Решение задач с помощью пропорций: Решение задач с помощью пропорции

Содержание

Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Главное свойство пропорции:

Произведение крайних членов равно произведению средних.

a : b = c : d,


где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены.


Вывод из главного свойства пропорции:

  • Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:

  • Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний.
    То есть для пропорции a/b = c/d:

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Запомним!

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

Как решаем:

В этом примере неизвестен крайний член, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

x = (2 * 3)/1 = 6

Ответ: x = 6.

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Как решаем:

y = (3 * 5)/1 = 15

Ответ: y = 15.

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Как решаем:

x = (30 * 8)/5 = 48

Ответ: x = 48.

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Как решаем:

y = (7 * 10)/5 = 14

Ответ: y = 14.

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Как решаем:

  • Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

    Получим: 3x = 2y.

  • Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
  • После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

Ответ: 2 к 3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Как решаем:

  • Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

    300 — 100%

    108 — ?%

  • Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
  • Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Как решаем:

  • Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
  • Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Как решаем:

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Составим пропорцию:

5 : 100 = х : 98

х = (5 * 98) : 100

х = 4,9

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

  • v1 = 75 км/ч
  • v2 = 52 км/ч
  • t1 = 13 ч
  • t2 = х

Как решаем:

  1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.


  2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

    t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:


Как решаем:

  1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

    30 : 24 = 5 : х


  2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

    х = 24 * 5 : 30

    х = 4


  3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Онлайн-подготовка к ОГЭ по математике — отличный способ снять стресс и закрепить знания перед экзаменом.

Пропорции. Решение задач с помощью пропорций

Тема: Пропорции. Решение задач с помощью пропорций

Домашнее задание п. 2.3, № 177 (в, г), № 178 (б, г, е, з), № 185

Математическая разминка

1. Вычислите отношение: а) 4 : 12; б) 100 : 75; в) 1,5 : 3,5.

2. Запишите несколько отношений, равных: а) 3; б) 5.

3. После контрольной работы учитель проверил 10 тетрадей учеников, и ему осталось проверить ещё 20. Что показывает отношение: а) 1 : 30; б) 20 : 30; в) 20 : 10?

4. На столе горят 7 свечей, 3 свечи потушили. Сколько свечей останется на столе через 5-6 часов?

Пропорции

Работа с учебником: с. 57

Определение

Пропорции

Пропорции

Свойство

произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Пропорции

Пример

Анализируем и рассуждаем

6

Решить: № 178 (а, в, д, ж)

Формулируем алгоритм

УЧЕБНИК

179

УЧЕБНИК

182

Решение задачи № 182 (а)

 

1 : 5 000 000 – означает: 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности.

Расстояние между Москвой и Курском на карте равно 9 см.

Составим отношения:

Определим, прямая или обратная пропорциональная зависимость: чем больше расстояние на карте, тем больше расстояние на местности. Значит пропорциональная зависимость – прямая.

Составим пропорцию:

Найдем х: х = = 45000000

Ответ: 45 000 000 см = 450 км

Решить самостоятельно № 182 (б)

Расстояние на карте

Расстояние на местности

1

5 000 000

9

х

Пропорции

ДИДАКТ.М

С. 27

Практикум

Пропорции

ДИДАКТ.М

С.28

Пропорции

ДИДАКТ.М

С.28

Решение задач с помощью пропорций

Часто на практике приходится решать задачи, которые наиболее целесообразно делать с помощью пропорций. Если в условиях имеются две связанные величины, то для решения такую задачу удобно приводить к равенству дробей. Дробь еще называют отношением. Например, дробь , или 2:3 – это отношение двух к трем. Если два отношения равны друг другу, говорят о пропорции. Например,  . Если вычислить значения выражений слева и справа от знака «=», можно убедиться, что они равны между собой. Это означает, что они являются пропорцией.

Равенство    словесно выражается так: «Десять относится к пяти, как 30 относится к пятнадцати», или «Десять больше пяти во столько же раз, во сколько тридцать больше пятнадцати». Очевидно, что в пропорции фигурируют 4 числовых значения – 4 члена. Если любой из них неизвестен, его можно вычислить по трем другим членам.

Пример 1

Чтобы вычислить x, достаточно умножить обе части на 20:

Сократив, получим:

3*4=x

x=12

Подставим найденное значение вместо x и проверим правильность решения:

Правую часть можно сократить на 4:

Таким образом, при найденном значении x=12 равенство верно.

Пример 2

Умножим обе части на :

, или

x=6

Для проверки подставим найденное значение вместо x:

Правая часть сокращается на 2:

 = 7/6

Итак, при вычисленном значении x=6 равенство верно.

Основное свойство пропорции

Если a:b=c:d, то a и d являются крайними членами этой пропорции, b и c – средними. Основное свойство заключается в следующем: произведение крайних членов равно произведению средних: ad=bc. При записи в виде равенства дробей  крайние и средние члены образуют 2 диагонали в форме креста. И основное свойство можно ради наглядности формулировать по-другому: произведения членов, составляющих правую диагональ, равно произведению членов, образующих левую диагональ («правило креста»). Чтобы убедиться, что данное свойство действительно присуще пропорции  , достаточно умножить обе ее части на bd:

Сократив обе части, избавимся от знаменателей и получим:

ad=cb

Используя основное свойство, можно легко и быстро находить неизвестный член.

Пример 3

По основному свойству:

7x=8*35

X==40

Проверим правильность решения:

Правую часть сократим на 5:

Таким образом, при полученном значении x=40 равенство верно.

Прямая и обратная зависимость

Допустим, имеются два изменяющихся параметра x и y. Причем, увеличение или уменьшение любого из них в некоторое число раз влечет за собой подобное изменение и другого в такое же число раз. В этом случае говорят о прямой зависимости, или прямой пропорциональности величин между собой: x прямо пропорционален величине y, y прямо пропорционален параметру x. Прямо пропорциональными являются такие пары как объем вещества и его масса, скорость движения и пройденное расстояние за некоторое время, количество работников и объем работы, который они способны выполнить за определенное время и т. д.

Задача 1

Человек проходит расстояние от своего дома до троллейбусной остановки (250 м) за 5 минут, до автобусной – за 7 минут. Какое расстояние от дома до остановки автобуса?

Так как увеличилось время, затраченное на дорогу, очевидно, что увеличилось и пройденное расстояние. Причем, оба этих параметра возросли в одинаковое количество раз: отношение первого расстояния ко второму равно отношению первого промежутка времени ко второму. Таким образом, расстояние и время на его прохождение прямо пропорциональны между собой. Выразим задачу равенством дробей и решим ее с помощью основного свойства:

x==350 м

Ответ: расстояние до автобусной остановки составляет 350 м

Предположим, имеются два переменных параметра x и y. Причем, увеличение любого из них в некоторое число раз приводит к уменьшению другого в то же число раз. И наоборот, уменьшение любого из них в какое-либо количество раз приводит к увеличению другого в это же количество раз. Другими словами, увеличение какого-либо параметра соответствует увеличению другого в обратное число раз. В этом случае говорят об обратной зависимости: x обратно пропорционален y, y обратно пропорционален x.

Задача 2

Плывя со скоростью 45 км/ч, катер прошел некоторый путь за 4 ч. За какое время он пройдет этот же путь при скорости 40 км/ч?

Так как скорость катера уменьшилась, времени на проплывание ему потребуется больше. Значит, скорость и время обратно пропорциональны друг другу. Таким образом, отношение первой скорости ко второй равно отношению второго промежутка времени к первому:

X = 

Ответ: при скорости 40 км/ч катер пройдет данный путь за  часа.

Задача 3

Вася выполнил требуемое количество отжиманий за 1 минуту. Ваня отжимается в  раза быстрее. За какое время Ваня отожмется требуемое количество раз?

Поскольку Ваня отжимается быстрее Васи, то времени ему потребуется меньше. Причем, ванин промежуток времени будет во столько же раз меньше, во сколько раз больше его быстрота (в  раза). Таким образом, время выполнения одинакового количества отжиманий и быстрота обратно пропорциональны между собой. Обозначим время отжиманий Вани как x, тогда

x = 1 мин :  =  =  мин

Ответ: 3/4 мин.

Несмотря на наличие в условиях обратной зависимости, в данном случае для решения нет смысла использовать равенство дробей.

Урок математики в 6-м классе по теме &quot Решение задач с помощью пропорций&quot

Урок математики в 6-м классе по теме: «Решение задач с помощью пропорций»

Абдуллина Аида Айратовна, учитель математики

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

  • научить учащихся выделять в условиях задач две величины;

  • устанавливать вид зависимости между ними;

  • научить их делать краткую запись условия задачи и составлять пропорцию;

  • развить воображение, математическую интуицию, память, мышление, сформировать правильную математическую речь;

  • активизировать познавательную и творческую активность учащихся.

Оборудование: плакаты, индивидуальные карточки, сигнальные карточки

ХОД УРОКА

Организационный момент

Устные задания (тест с использованием сигнальных карточек):

Найти отношение:

а) [8]; б) [6].

Верна ли пропорция:

а) [2]; б) [1].

3. Решить пропорцию:

а) 12,5:Х = 1,2 : 0,6 [4]

б) [0]

Ответы: 1) да; 2) нет; 3) 2; 4) 6,25; 5); 6) ; 7)12,05; 8); 9); 0) ?.

Вопросы:

  1. Что называется отношением двух чисел?

  2. Что показывает отношение двух чисел?

  3. Что такое пропорция?

  4. Сформулируйте основное свойство пропорции?

Решение задач

На предыдущем уроке учащимся были введены понятия прямой и обратной пропорциональности, отработаны данные понятия на задачах. На данном уроке решаем задачи с помощью пропорций. Рассматриваемые задачи – это задачи с целыми значениями величин, отношение которых тоже целое число. Для этого составляем краткую запись условия задачи. В процессе устного обсуждения выделяем 2 величины, устанавливаем вид зависимости. Уменьшение величины показываем стрелкой вниз, а увеличение — стрелкой вверх. Затем составляем пропорцию и решаем её.

1. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 ч, если его скорость была постоянна.

Решение.

I способ (“по-старому”).

1) 480 : 6 = 80 (км/ч)
2) 80 • 2 = 160 (км)

II способ

Составим краткую запись условия задачи:

Краткая запись заранее оформляется на плакате. В процессе устного обсуждения выясняем, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны.

Затем, составляем пропорцию и решаем её: ; Х= 160 (км)

2. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограмм сахарного песку надо взять на 12 кг ягод? [8 кг]. (Задача дается на самостоятельное решение, но перед этим устное обсуждение задачи).

3. Расстояние между городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние, со скоростью 40 км/ч?

Решение.

В процессе устного обсуждения выясняем, что скорость уменьшилась, а время увеличилось в одно и то же число раз, следовательно, эти величины при одном и том же расстоянии являются обратно пропорциональными.

(ч)

4. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров? [4 дня] (Для самостоятельного решения).

В этой задаче предполагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью. Для того, чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, постоянно задаём вопрос: “Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?”. Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок).
Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой или обратной пропорциональностью, — рассматриваем провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер.

5.

1) За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймали за 3 ч?
2) Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать ещё 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?
Затем, рассматриваем задачу, в которой зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорциональность.

6. * Пруд зарастает лилиями, причём за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель? [7 недель]

IV. Задача на смекалку (на “совместную работу”).

За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели
За сколько дней прикончат ром
Пираты, действуя вдвоем? [10 дней]

V. Задание на дом

1) В 100 граммах раствора содержится 4 грамма соли. Сколько граммов соли содержится в 300 граммах раствора?
2) 4 комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле 8 комбайнов?
3) Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?
4) По учебнику  № 803 (а).

VI. Подведение итогов урока

ГДЗ по Математике 6 класс: Виленкин, Решебник учебника 2013/2019г.

Готовое домашние задание (ГДЗ) по математике 6 класса от Виленкина, Жохова, Чеснокова и Шварцбурда к двум изданиям учебника 2013 и 2019 года. Решебник также имеет ответы к новому учебнику в 2 частях.

2013 годИздание: Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 30-е издание. Мнемозина, 2013г.выбратьвыбрано2019Издание: Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных организаций / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 37-е издание в двух частях. Мнемозина, 2019г.выбратьвыбрано

Решебник по математике для 6 класса к Виленкину – это сборник готовых решений и ответов, который составлен на базе учебника по математике для шестиклассников, составленного группой российских авторов – Виленкиным Н.Я., Жоховым В.И., Чесноковым А.С., Шварцбурдом С.И.

Решебник для учебника по математике 6 класса от Виленкина

ГДЗ по математике для 6 класса позволяет ученикам проверять правильность выполнения домашних заданий. С его помощью им удается понять алгоритм решения сложных задач самостоятельно.

Более того, готовые решения и ответы – подсказка родителям, которые стремятся оказать своим детям посильную помощь в деле подготовки домашних работ по математике.

Решебник позволяет сократить учебную нагрузку на шестиклассников, которые не всегда успевают понять решение примера или задачки в классе.

 Интерфейс нашего сайта делает использование учебника максимально удобным для детей и родителей:

  • База ответов доступна с телефона, планшета и компьютера;
  • Таблиц номеров позволяет оперативно перейти на нужный ответ;
  • Регулярное обновление решебников исключает вероятность ошибок в подготовке домашнего задания.

Такие опции позволяют сделать процесс выполнения работ по математике максимально эффективным, как с позиции результата, так и с позиции экономии времени.

Учебник по математике в 6 классе от Виленкина, Жохова, Чеснокова и Шварцбурга

На нашем сайте приведены готовые решения и ответы на задания учебника для 6 класса от Виленкина Н. Я. В настоящее время в большинстве школ используется книга 30-го издания, выпущенная в 2013 году.

В учебном пособии детально рассмотрены два крупных раздела арифметики:

  1. Свойства и операции с натуральными числами;
  2. Признаки, характеристики и математические действия с дробными числами.

В учебнике также приведены сведения о таких арифметических понятиях, как НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель), приведен порядок их расчета, а также особенности составления пропорций.

Книга знакомит шестиклассников с особенностями координат на плоскости, а также понятием масштаба. Детально представляет различия между положительными и отрицательными числами, а также правилами математических действий с ними.

Построение пропорций для решения реальных задач — видео и расшифровка урока

Перекрестное умножение

В пропорции, если одно из чисел неизвестно, мы можем использовать процесс, называемый перекрестным умножением, чтобы найти это неизвестное. Чтобы выполнить перекрестное умножение , мы умножаем числитель левого отношения на знаменатель правого отношения и умножаем знаменатель левого отношения на числитель правого отношения.Затем мы устанавливаем два произведения равными друг другу и находим неизвестное.

Например, пусть у нас есть следующая пропорция:

Давайте используем перекрестное умножение, чтобы найти неизвестное количество в пропорции:

Как видите, у нас есть 2 x = 3 * 6, что в упрощенном виде дает нам 2 x = 18. Затем мы делим обе части на 2 и получаем x = 9.Просто, верно?

Решение реальных проблем

Давайте вернемся к нашему примеру с зарплатой. Мы можем использовать пропорции для решения этой проблемы, но сначала мы должны построить пропорцию, которая представляет эту проблему. Чтобы построить пропорцию, нам просто нужно установить два отношения, сравнивающие одни и те же величины, а затем приравнять их. В нашем примере у нас есть количество часов, которые вы работаете, и сумма вашей зарплаты в качестве наших величин.

Мы знаем, что когда вы работаете 22 часа, вы зарабатываете 223 доллара.Этой информации достаточно, чтобы составить один коэффициент, сравнивающий количество отработанных часов с суммой заработанных денег:

Остальная информация, которой мы располагаем, заключается в том, что на следующей неделе вы будете работать 31 час, и вы хотите знать, сколько денег вы заработаете за это количество часов. Здесь неизвестно, сколько денег вы заработаете за 31 час работы. Назовем неизвестное x и установим другое отношение, сравнивая эти две величины:

Теперь у нас есть два отношения, сравнивающие количество отработанных часов с суммой заработанных денег.Все, что нам нужно сделать, это приравнять их, и мы получим нашу пропорцию:

Важно отметить, что вы хотите, чтобы ваши количества в числителе и знаменателе были согласованы в обоих соотношениях пропорции. Мы видим, что сделали это на нашем примере, поскольку часы стоят в числителе в обоих соотношениях, а доллары — в знаменателе в обоих соотношениях. Наконец, мы можем использовать пропорцию, чтобы найти неизвестное:

Мы видим, что вы получите зарплату в размере 314 долларов.22 за 31 час работы на следующей неделе. Разве эти пропорции не удобны, когда дело доходит до реальных приложений? Давайте рассмотрим еще один пример.

Быстрый пример

Предположим, вы печете печенье для предстоящего события. У вас есть много печенья, и вы можете сделать 120 печений за 2 часа. Вы сможете печь в течение 7 часов, и вы хотите знать, сколько печенья вы сможете испечь за это время, если продолжите выпекать с такой скоростью.

И снова у нас есть реальная проблема, которую мы можем решить с помощью пропорций.Во-первых, нам нужно построить нашу пропорцию, поэтому нам нужны два отношения. Мы знаем, что вы можете сделать 120 печенек за 2 часа. Это дает нам две величины, которые нужно составить в соотношении:

.

Мы хотим знать, сколько печенья вы сможете сделать за 7 часов, поэтому неизвестное количество — это количество печенья. Назовем его c . Опять же, мы можем установить соотношение, сравнивающее количество файлов cookie с часами:

Теперь у нас есть два отношения, поэтому мы устанавливаем их равными и используем пропорцию для нахождения неизвестного.Это дает нам 120 / 2 = c / 7. Мы перекрестно умножаем, и это дает 120 * 7 = 2 c . Упрощая, получаем 840 = 2 c . Затем делим обе части на 2 и получаем 420.

Таким образом, у вас получится 420 печенек. Расскажите о перегрузке сладостью!

Сводка урока

Хорошо, давайте уделим минуту или две повторению. В этом уроке мы узнали, что пропорция — это уравнение, в котором два отношения равны друг другу, а пропорция — это дробь, сравнивающая две величины. Мы можем использовать пропорции для решения реальных задач, выполнив следующие шаги:

  1. Используйте информацию в задаче, чтобы установить два отношения, сравнивающие одни и те же величины. Одно из ваших соотношений будет содержать неизвестное.
  2. Установите отношения равными, создав пропорцию.
  3. Используйте перекрестное умножение, чтобы найти неизвестное в пропорции.

Пропорции — отличный инструмент для добавления в наш набор математических инструментов, поскольку их можно использовать во многих случаях нашей повседневной жизни!

6.5: Решение пропорций и их применение (Часть 1)

Использование определения пропорции

В разделе, посвященном отношениям и нормам, мы увидели, как они используются в нашей повседневной жизни. Когда два отношения или скорости равны, уравнение, связывающее их, называется пропорцией .

Определение: пропорция

Пропорция представляет собой уравнение вида \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), где b ≠ 0, d ≠ 0.

Пропорция указывает, что два соотношения или доли равны.Пропорция читается как «а к b, как с к d».

Уравнение \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) является пропорцией, поскольку две дроби равны. Пропорция \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) читается как «1 к 2, как 4 к 8».

Если мы сравниваем количества с единицами, мы должны быть уверены, что сравниваем их в правильном порядке. Например, в пропорции \(\dfrac{20\; учащиеся}{1\; учитель} = \dfrac{60\; учащиеся}{3\; учителя}\) мы сравниваем количество учеников с количеством учителей .Ставим учеников в числители, а учителей в знаменатели.

Пример \(\PageIndex{1}\):

Запишите каждое предложение в виде пропорции: (a) 3 к 7, как 15 к 35. (b) 5 попаданий в 8 битах равносильно 30 попаданиям в 48 летучих мышей. (c) 1,50 доллара за 6 унций эквивалентны 2,25 доллара за 9 унций.

Раствор

(a) 3 соответствует 7, как 15 соответствует 35

Запишите в виде пропорции. $$\dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35}$$

(b) 5 попаданий в 8 летучих мышах равносильно 30 попаданиям в 48 летучих мышей

Запишите каждую дробь для сравнения попаданий с летучими мышами. $$\dfrac{hits}{at-bats} = \dfrac{hits}{at-bats}$$
Напишите в виде пропорции. $$\dfrac{5}{8} = \dfrac{30}{48}$$

(c) 1,50 доллара США за 6 унций эквивалентно 2,25 доллара США за 9 унций

Запишите каждую дробь, чтобы сравнить доллары с унциями. $$\dfrac{\$}{унций} = \dfrac{\$}{унций}$$
Напишите в виде пропорции. $$\dfrac{1.50}{6} = \dfrac{2.25}{9}$$

Упражнение \(\PageIndex{1}\):

Запишите каждое предложение в виде пропорции: (a) 5 к 9, как 20 к 36. (b) 7 попаданий в 11 at-bats равносильно 28 попаданиям в 44 at-bats. (c) 2,50 доллара за 8 унций эквивалентны 3,75 доллара за 12 унций.

Ответить на

\(\frac{5}{9} = \frac{20}{36}\)

Ответ б

\(\frac{7}{11} = \frac{28}{44}\)

Ответ c

\(\frac{2.50}{8} = \фракция{3,75}{12}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\):

Запишите каждое предложение в пропорции: (a) 6 равно 7, как 36 равно 42. (b) 8 взрослых на 36 детей — это то же самое, что 12 взрослых на 54 ребенка. (c) 3,75 доллара за 6 унций эквивалентны 2,50 доллара за 4 унции.

Ответить на

\(\frac{6}{7} = \frac{36}{42}\)

Ответ б

\(\frac{8}{36} = \frac{12}{54}\)

Ответ c

\(\frac{3.75}{6} = \фракция{2,50}{4}\)

Посмотрите на пропорции \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}\) и \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{9}\). Из нашей работы с эквивалентными дробями мы знаем, что эти уравнения верны. Но как узнать, является ли уравнение пропорцией с эквивалентными дробями, если оно содержит дроби с большими числами? Чтобы определить, верна ли пропорция, мы находим перекрестных произведения каждой пропорции. Чтобы найти перекрестные произведения, мы умножаем каждый знаменатель на противоположный числитель (по диагонали через знак равенства).Результаты называются перекрестными произведениями из-за образовавшегося перекрестия. Взаимные произведения пропорции равны.

Определение: Перекрестные произведения пропорции

Для любой пропорции вида \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), где b ≠ 0, d ≠ 0, ее векторные произведения равны.

Перекрестные произведения можно использовать для проверки правильности пропорции. Чтобы проверить, составляет ли уравнение пропорцию, мы находим перекрестные произведения. Если они равны, мы имеем пропорцию.

Пример \(\PageIndex{2}\):

Определите, является ли каждое уравнение пропорцией: (a) \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}\) (b) \(\dfrac{17,5}{37,5} = \dfrac{ 7}{15}\)

Раствор

Чтобы определить, является ли уравнение пропорцией, мы находим векторные произведения. Если они равны, уравнение является пропорцией.

(а) \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{28}\)

Найдите перекрестные произведения.

\[28 \cdot 4 = 112 \qquad 9 \cdot 12 = 108\]

Поскольку перекрестные произведения не равны, 28 · 4 ≠ 9 · 12, уравнение не является пропорцией.

(б) \(\dfrac{17.5}{37.5} = \dfrac{7}{15}\)

Найдите перекрестные произведения.

\[15 \cdot 17,5 = 262,5 \qquad 37,5 \cdot 7 = 262,5\]

Поскольку перекрестные произведения равны, 15 • 17,5 = 37,5 • 7, уравнение представляет собой пропорцию.

Упражнение \(\PageIndex{3}\):

Определите, является ли каждое уравнение пропорцией: (a) \(\dfrac{7}{9} = \dfrac{54}{72}\) (b) \(\dfrac{24.5}{45,5} = \dfrac{7}{13}\)

Ответить на

нет

Ответ б

да

Упражнение \(\PageIndex{4}\):

Определите, является ли каждое уравнение пропорцией: (a) \(\dfrac{8}{9} = \dfrac{56}{73}\) (b) \(\dfrac{28,5}{52,5} = \dfrac{ 8}{15}\)

Ответить на

нет

Ответ б

нет

Решить пропорции

Чтобы решить пропорцию, содержащую переменную, мы помним, что пропорция представляет собой уравнение. Все методы, которые мы использовали до сих пор для решения уравнений, все еще применимы. В следующем примере мы будем решать пропорцию путем умножения на наименьший общий знаменатель (LCD), используя свойство равенства умножения.

Пример \(\PageIndex{3}\):

Решите: \(\dfrac{x}{63} =\dfrac{4}{7}\).

Раствор

Чтобы изолировать x, умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, 63. $$\textcolor{red}{63} \left(\dfrac{x}{63}\right) = \textcolor{red}{63} \left(\dfrac{4}{7}\right)$$
Упрощение. $$x = \dfrac{9 \cdot \cancel{7} \cdot 4}{\cancel{7}}$$
Разделите общие делители. $$x = 36$$

Проверка: Чтобы проверить наш ответ, подставляем в исходную пропорцию.

Замените x = \(\textcolor{red}{36}\) $$\dfrac{\textcolor{red}{36}}{63} \stackrel{?}{=} \dfrac{4}{7}$$
Показать общие множители. $$\dfrac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} \stackrel{?}{=} \dfrac{4}{7}$$
Упрощение. $$\dfrac{4}{7} = \dfrac{4}{7} \; \галочка$$

Упражнение \(\PageIndex{5}\):

Решите пропорцию: \(\dfrac{n}{84} = \dfrac{11}{12}\).

Ответить

77

Упражнение \(\PageIndex{6}\):

Решите пропорцию: \(\dfrac{y}{96} = \dfrac{13}{12}\).

Ответить

104

Когда переменная находится в знаменателе, мы будем использовать тот факт, что перекрестные произведения пропорции равны, чтобы решить пропорции.

Мы можем найти перекрестные произведения пропорции и приравнять их. Затем мы решаем полученное уравнение, используя наши знакомые методы.

Пример \(\PageIndex{4}\):

Решите: \(\dfrac{144}{a} =\dfrac{9}{4}\).

Раствор

Обратите внимание, что переменная находится в знаменателе, поэтому мы будем решать, находя перекрестные произведения и приравнивая их.

$
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. 4 • 144 = а • 9
Упрощение. 576 = 9а
Разделите обе части на 9. $$\dfrac{576}{9} = \dfrac{9a}{9}$$
Упрощение. 64$ =

Проверьте свой ответ.

Замените a = \(\textcolor{red}{64}\) $$\dfrac{144}{\textcolor{red}{64}} \stackrel{?}{=} \dfrac{9}{4}$$
Показать общие множители. $$\dfrac{9 \cdot 16}{4 \cdot 16} \stackrel{?}{=} \dfrac{9}{4}$$
Упрощение. $$\dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{4} \; \галочка$$

Другой способ решить эту проблему — умножить обе стороны на LCD, 4a. Попробуйте и убедитесь, что вы получили такое же решение.

Упражнение \(\PageIndex{7}\):

Решите пропорцию: \(\dfrac{91}{b} = \dfrac{7}{5}\).

Ответить

65

Упражнение \(\PageIndex{8}\):

Решите пропорцию: \(\dfrac{39}{c} = \dfrac{13}{8}\).

Ответить

24

Пример \(\PageIndex{5}\):

Решите: \(\dfrac{52}{91} = \dfrac{-4}{y}\)

Раствор

Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.
г • 52 = 91(-4)
Упрощение. 52г = -364
Разделите обе части на 52. $$\dfrac{52y}{52} = \dfrac{-364}{52}$$
Упрощение. $$y = -7$$

Чек:

Замените y = \(\textcolor{red}{-7}\) $$\dfrac{52}{91} \stackrel{?}{=} \dfrac{-4}{\textcolor{red}{-7}}$$
Показать общие множители. $$\dfrac{13 \cdot 4}{13 \cdot 7} \stackrel{?}{=} \dfrac{-4}{\textcolor{red}{-7}}$$
Упрощение. $$\dfrac{4}{7} = \dfrac{4}{7} \; \галочка$$

Упражнение \(\PageIndex{9}\):

Решите пропорцию: \(\dfrac{84}{98} = \dfrac{-6}{x}\).

Ответить

-7

Упражнение \(\PageIndex{10}\):

Решите пропорцию: \(\dfrac{-7}{y} = \dfrac{105}{135}\).

Ответить

-9

Решение приложений с использованием пропорций

Стратегия решения приложений, которую мы использовали ранее в этой главе, также работает для пропорций, поскольку пропорции представляют собой уравнения.Когда мы устанавливаем пропорцию, мы должны убедиться, что единицы измерения правильные — единицы в числителях совпадают, и единицы в знаменателях совпадают.

Пример \(\PageIndex{6}\):

Когда педиатры назначают детям ацетаминофен, они назначают 5 миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые 25 фунтов веса ребенка. Если Зоя весит 80 фунтов, сколько миллилитров ацетаминофена пропишет ее врач?

Раствор

Определите, что вас просят найти. Сколько мл ацетаминофена выпишет врач?
Выберите переменную для ее представления. Пусть a = мл ацетаминофена.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Если 5 мл назначают на каждые 25 фунтов, сколько будет назначено на 80 фунтов?
Перевести в пропорцию. $$\dfrac{ml}{фунтов} = \dfrac{ml}{фунтов} \tag{6.5.24}$$
Замените указанные значения — будьте осторожны с единицами измерения. $$\dfrac{5}{25} = \dfrac{a}{80} \tag{6.5.25}$$
Умножьте обе стороны на 80. $$80 \cdot \dfrac{5}{25} = 80 \cdot \dfrac{a}{80} \tag{6. 5.26}$$
Умножьте и покажите общие множители. $$\dfrac{16 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \dfrac{80a}{80} \tag{6.5.27}$$
Упрощение. $$16 = a \tag{6.5.28}$$
Проверить правильность ответа. Да. Так как 80 примерно в 3 раза больше 25, лекарство должно быть примерно в 3 раза больше 5.
Напишите полное предложение. Педиатр прописал бы Зое 16 мл ацетаминофена.

Вы также можете решить эту пропорцию, установив перекрестные произведения равными.

Упражнение \(\PageIndex{11}\):

Педиатры назначают 5 миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые 25 фунтов веса ребенка.Сколько миллилитров ацетаминофена доктор пропишет Эмилии, которая весит 60 фунтов?

Ответить

12 мл

Упражнение \(\PageIndex{12}\):

На каждый 1 килограмм (кг) веса ребенка педиатры назначают 15 миллиграмм (мг) жаропонижающего средства. Если Изабелла весит 12 кг, сколько миллиграмм жаропонижающего пропишет педиатр?

Ответить

180 мг

Пример \(\PageIndex{7}\):

Одна марка попкорна для микроволновки содержит 120 калорий на порцию.Целый пакетик этого попкорна рассчитан на 3,5 порции. Сколько калорий в целом пакете этого попкорна для микроволновки?

Раствор

Определите, что вас просят найти. Сколько калорий в целом пакете попкорна для микроволновки?
Выберите переменную для ее представления. Пусть c = количество калорий.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Если в одной порции 120 калорий, сколько калорий содержится в целом пакете с 3,5 порциями?
Перевести в пропорцию. $$\dfrac{калории}{порция} = \dfrac{калории}{порция} \tag{6. 5.29}$$
Подставить указанные значения. $$\dfrac{120}{1} = \dfrac{c}{3.5} \tag{6.5.30}$$
Умножьте обе стороны на 3,5. $$(3.5) \left(\dfrac{120}{1}\right) = (3.5) \left(\dfrac{c}{3.5}\right) \tag{6.5.31}$$
Умножить. $$420 = c \tag{6.5.32}$$
Проверить правильность ответа. Да. Поскольку 3,5 находится между 3 и 4, общее количество калорий должно быть между 360 (3 • 120) и 480 (4 • 120).
Напишите полное предложение. Весь пакет попкорна для микроволновки содержит 420 калорий.

Упражнение \(\PageIndex{13}\):

Марисса любит карамельный макиато в кофейне. 16 унций. средний размер имеет 240 калорий. Сколько калорий она получит, если выпьет большие 20 унций. размер?

Ответить

300

Упражнение \(\PageIndex{14}\):

Янели любит конфеты Starburst, но хочет, чтобы ее закуски не превышали 100 калорий. Если конфеты содержат 160 калорий на 8 штук, сколько штук она может съесть на закуску?

Ответить

5

Пример \(\PageIndex{8}\):

Джозайя поехал в Мексику на весенние каникулы и обменял 325 долларов на мексиканские песо.В то время по обменному курсу 1 доллар США был равен 12,54 мексиканских песо. Сколько мексиканских песо он получил за поездку?

Раствор

Определите, что вас просят найти. Сколько мексиканских песо получил Иосия?
Выберите переменную для ее представления. Пусть p = количество песо.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Если 1 доллар США равен 12,54 мексиканских песо, то сколько песо будет составлять 325 долларов?
Перевести в пропорцию. $$\dfrac{\$}{песо} = \dfrac{\$}{песо} \tag{6. 5.33}$$
Подставить указанные значения. $$\dfrac{1}{12,54} = \dfrac{325}{p} \tag{6.5.34}$$
Переменная стоит в знаменателе, поэтому найдите перекрестные произведения и приравняйте их. $$p \cdot 1 = 12,54 (325) \tag{6,5,35}$$
Упрощение. $$c = 4075,5 \tag{6.5.36}$$
Проверить правильность ответа. Да, 100 долларов будут равняться 1254 песо. 325 долларов — это чуть более чем в 3 раза больше этой суммы.
Напишите полное предложение. У Джозайи есть 4075,5 песо на поездку на весенние каникулы.

Упражнение \(\PageIndex{15}\):

Юрианна едет в Европу и хочет обменять 800 долларов на евро.По текущему обменному курсу 1 доллар США равен 0,738 евро. Сколько евро у нее будет на поездку?

Ответить

590 евро

Упражнение \(\PageIndex{16}\):

Кори и Николь едут в Японию и должны обменять 600 долларов на японские иены. Если каждый доллар равен 94,1 иены, сколько иен они получат?

Ответить

56 460 иен

словесных задач: пропорции

А соотношение это сравнение двух чисел.Можно написать через двоеточие ( 1 : 5 ) , или используя слово «к» ( 1 к 5 ) , или как дробь: 1 5

Пример 1:

Во дворе есть пруд 12 солнечная рыба и 30 светящиеся радуги. Напишите соотношение солнечников и радужных светил в простейшая форма .

Запишите соотношение в виде дроби.

12 30

В настоящее время уменьшить дробь .

2 5

Таким образом, соотношение солнечная рыба для радужных светил является 2 : 5 .

(Обратите внимание, что отношение светит радуга солнечной рыбе это взаимный : 5 2 или 5 : 2 .)

Внимательно прочитайте текстовые задачи, чтобы проверить, соответствует ли соотношение, о котором вас спрашивают, часть общего или отношение одной части к другой части .

Пример 2:

В классе г-жи Экпебе есть 32 студенты, из них 20 девочки. Напишите соотношение девочек и мальчиков.

Осторожный! Не пиши 20 32 … это доля Всего количество учащихся, которые являются девушками. Нам нужно соотношение девочек и мальчиков.

Вычесть 20 от 32 найти количество мальчиков в классе.

32 − 20 знак равно 12

Есть 12 мальчики в классе. Итак, соотношение девочек и мальчиков равно 20 : 12 .

Вы можете уменьшить это отношение так же, как вы уменьшаете дробь.Оба числа имеют общий факт 4 , поэтому разделите оба на 4 .

В простейшем виде это соотношение равно 5 : 3 .

Некоторые задачи на соотношение слов требуют решения пропорции.

Пример 3:

В рецепте указано масло и сахар в соотношении 2 : 3 . Если вы используете 6 чашек масла, сколько чашек сахара вы должны использовать?

Соотношение 2 : 3 означает, что для каждого 2 чашки сливочного масла, вы должны использовать 3 чашки сахара.

Здесь вы используете 6 чашки сливочного масла или 3 раз столько.

Итак, вам нужно умножить количество сахара на 3 .

3 × 3 знак равно 9

Итак, вам нужно использовать 9 чашки сахара.

Вы можете думать об этом с точки зрения эквивалентных дробей:

2 3 знак равно 6 9

Решения задач с пропорциями — Математические модули Ohlone Biotechnology

  • Сколько мл этилового спирта содержится в 30 мл 75% (об.) раствора этилового спирта?
  • Сколько граммов NaCl необходимо для создания 125 грамм 45.6% (мас./мас.) раствор NaCl?

Все эти вопросы связаны с решениями. Прежде чем мы начнем решать эти задачи, нам нужно будет лучше познакомиться с процентами и привыкнуть к ним.

Понимание процентов

«Процент» переводится как «на сто». Символ «%» используется для обозначения того, что число представляет собой процент и эквивалентно дроби

.

1100

Вы уже знаете, что числа могут быть представлены в различных формах.Например, половина числа может быть представлена ​​десятичной дробью как 0,5 или дробью как ½.

Мы также можем представлять проценты в виде дроби или десятичной дроби. Если мы подумаем о символе «%», представляющем фразу «на сто», мы можем думать о нем как о знаменателе дроби. Примечание: «за» указывает на деление, и все задачи на деление можно записать в виде дроби. Например, 50% также можно записать как

.

50100=12=0,5

Чтобы преобразовать процент в дробь, измените символ % на его эквивалентную дробную форму и перепишите его с процентами в числителе и 100 в знаменателе.Например, в вопросе 3 выше 45,6% можно записать как

.

45.6100

Пропорции

Пропорции — это утверждение о том, что два отношения равны друг другу. Пропорция для любого уравнения имеет вид

.

аб=кд

Для решения пропорций требуется новый инструмент: свойство умножения равенства.

Свойство равенства умножения

Свойство равенства умножения говорит о том, что если два выражения эквивалентны, умножение обеих частей уравнения на любое число не изменит его предыдущей эквивалентности.См. «Модуль 9 — Решение уравнений» для обзора этого свойства.

Мы можем использовать это свойство по-разному при решении пропорций — один из способов, которым мы можем использовать свойство равенства умножения, — это перекрестные произведения.

Перекрестные произведения — это быстрый способ использовать свойство равенства умножения. Давайте посмотрим на математику перекрестных произведений:

Рассмотрим пропорцию: x6=43Наименьший общий знаменатель (НОД) равен 18 Умножьте обе части на 18:   18 · x6=43·18Умножьте обе части на 18:   18 · x6=43·1818×6=723 упростите ⇒  3x=24

Последнее утверждение дает нам уравнение, эквивалентное исходным пропорциям, но без дробей.

Обратите внимание, что это последнее утверждение является тем же утверждением, к которому мы пришли бы, если бы мы «перемножили»:

Здесь мы выполнили перекрестное умножение, сначала умножив числитель первой дроби (x) на знаменатель второй дроби (3), в результате чего получилось 3x. Затем мы умножили знаменатель первой дроби (6) на числитель второй дроби (4), в результате чего получилось 24. Форма «бабочки» или крестообразной формы этого типа умножения соответствует его тезке «перекрестного умножения».

Теперь, когда у нас есть необходимые инструменты для решения пропорций, давайте вернемся назад и посмотрим, как решать задачи на процентное решение.

Чтобы решить эти проблемы, нам нужно создать пропорцию, которая представляет проблему, которую мы пытаемся решить. Формула, которую мы создадим, будет представлять собой сравнение заданного соотношения 90 143 и желаемого соотношения 90 144.

Данный коэффициент может принимать различные формы в зависимости от способа определения вашего запаса. 15% раствор может быть представлен одной из трех мер, в зависимости от заданных единиц:

  1. Вес/объем
    Если единицами являются граммы/миллилитры, это означает, что на каждые 100 миллилитров раствора приходится 15 граммов растворенного вещества.Это наиболее распространенная форма, используемая при обсуждении отношений.
  2. Объем/объем
    Если единицами измерения являются миллилитры/миллилитры, это означает, что на каждые 100 миллилитров раствора приходится 15 миллилитров растворенного вещества.
  3. Вес/вес
    Если единицы измерения граммы/граммы, это означает, что на каждые 100 граммов раствора приходится 15 граммов растворенного вещества.

Это кратко изложено в таблице ниже:

15% раствор глицерина, как представлено:
Вес/объем 15 г глицерина / 100 мл раствора
Объем/объем 15 мл глицерина / 100 мл раствора
Вес/вес 15 г глицерина / 100 г раствора

В любом случае важно отметить, что знаменатель в соотношении представляет 100 единиц раствора. Контекст проблемы укажет, с каким из представлений вы работаете.

Теперь мы готовы взяться за проблемы, подобные тем, с которых мы начали этот модуль:

Сколько миллилитров глицерина необходимо для приготовления 150 мл 8% об/об раствора глицерина?

Решить,

  1. Определите, что вам дали: В итоге нам нужно 150 мл раствора, и нам нужно, чтобы его концентрация была 8%.
  2. Установите пропорцию заданного соотношения: желаемое соотношение.

    Мы знаем, что наш окончательный раствор будет состоять из 8% глицерина, а это означает, что 8 из каждых 100 миллилитров нашего конечного продукта составляют глицерин. 8 мл 100 мл = x 150 мл

    Это можно перевести как: мы хотим, чтобы 8 мл из 100 мл нашего конечного продукта были глицерином, но сколько миллилитров глицерина необходимо, чтобы сохранить это соотношение, но получить 150 мл?

  3. Это можно перевести как: мы хотим, чтобы 8 мл из 100 мл нашего конечного продукта были глицерином, но сколько миллилитров глицерина необходимо, чтобы сохранить это соотношение, но получить 150 мл?

    (8 мл)(150 мл)=(x)(100 мл)1200 мл=(100)(x)12 мл=x

    Вам нужно 12 мл раствора глицерина, чтобы 150 мл конечного продукта содержали 8% глицерина.

Сколько граммов этилового спирта содержится в 30 мл 75% раствора этилового спирта?

  1. Настройка: на этот раз наши единицы говорят нам, что мы смотрим на пропорцию веса/объема. 75% (вес/объем) раствор означает, что из каждых 100 мл раствора 75 граммов приходится на этиловый спирт. Мы хотим знать, как создать 30 мл раствора, сохраняющего то же соотношение. (75 г) (100 мл) = x (30 мл)

  2. Решите: (75г)(30мл)=(х)(100мл)2250г·мл=(х)(100мл)22.5 г=x

    В 30 мл 75%-ного (вес/объем) раствора этилового спирта содержится 22,5 г этилового спирта.

Сколько граммов NaCl необходимо для приготовления 125 граммов раствора NaCl с концентрацией 45,6 %?

 

  1. Настройка: на этот раз наши единицы измерения веса/веса. 45,6% раствор означает, что 45,6 грамма из каждых 100 граммов раствора составляют NaCl. 45,6 г100 г=x125 г
  2. Решите: 45,6 г125 г=100 г x 5700 г · г=100 г x 5700 г · г100 г=x; x=57 г

    Нам нужно 57 г NaCl, чтобы получить 125 г желаемого раствора.

Проверка понимания #1

  1. Сколько граммов NaCl необходимо для приготовления 250 миллилитров 25% (вес/объем) раствора?
  2. Сколько микролитров этилового спирта необходимо для приготовления 130 микролитров 12%-ного (объемного) раствора этилового спирта?
  3. Сколько миллиграммов хлорида натрия содержится в 320 миллилитрах 2,7% (масса/объем) раствора хлорида натрия?
  4. Сколько миллилитров уксусной кислоты содержится в 300 мл 52% (об./об.) раствора уксусной кислоты?
  5. Сколько граммов HCl необходимо для приготовления 50 граммов 36% (масс.) раствора HCl?

Рассмотрим следующий вопрос: сколько граммов KCl необходимо для приготовления 400 мл раствора с концентрацией 2 грамма на литр? Эта задача отличается тем, что решение, которое вам дано, записано в терминах общей концентрации.В этой задаче нам не задана процентная концентрация и знаменатель не равен 100 единицам.

В настоящее время у нас есть две проблемы:

  1. Проблема 1: Наша концентрация записана в граммах на литр, но часть вопроса в миллилитрах.
  2. Проблема 2: У нас нет решения в процентах, которое можно было бы использовать для одной стороны нашей пропорции. Мы можем решить первую задачу, переведя одну из единиц измерения в другую. В данном случае вопрос касается нашего желания сделать 400 мл.

Давайте решим Задачу 1, переведя литры в концентрации в миллилитры. Мы знаем, что в 1 л содержится 1000 мл, и мы можем использовать этот коэффициент преобразования, чтобы изменить форму нашей общей концентрации:

.

2 грамма 1 л⇒ 2 грамма 1000 мл

Мы можем решить задачу 2, изменив способ записи нашей пропорции. Мы остановимся на нашем методе, указанном ранее: заданное соотношение = желаемое соотношение:

.

2 грамма 1000 мл = x 400 мл 800 грамм · мл = 1000 мл · x 800 грамм · мл 1000 мл = x 0.8 грамм=х

Нам потребуется 0,8 грамма KCl, чтобы сделать 400 мл раствора с концентрацией 2 грамма на литр.

Проверка понимания #2: Решение задач с пропорциями

Решите следующие общие задачи на концентрацию. Решения находятся в конце этого руководства.

  1. Сколько граммов NaOH необходимо для приготовления 4 мл раствора с концентрацией 1,5 г/л?
  2. Сколько миллилитров пропиленгликоля потребуется для приготовления 150 мл раствора с концентрацией 15 мл/л?
  3. Сколько миллиграммов NaCl необходимо для приготовления 50 мл раствора NaCl с концентрацией 2 мг/мл?
  4. Сколько миллиграммов сахарозы необходимо, чтобы получить 230 мл 0.раствор сахарозы 5г/л?

Ответы на проверку понимания #1

  1. 62,5 г NaCl
  2. 15,6 мкл этанола
  3. 8,64 г или 8640 мг
  4. 156 мл
  5. 18 г

Ответы на проверку понимания #2

  1. 0,006 г NaOH
  2. 2,25 мл пропиленгликоля
  3. 100 мг NaCl
  4. 0,115 г, что составляет 115 мг

Решение словесных задач с соотношениями и пропорциями Складной

Хотите узнать кое-что интересное? Я преподавал отношения и пропорции в Алгебре 1, ни разу не упомянув перекрестное умножение. Двое детей предложили это как вариант, но я быстро сказал им, что есть способ решить эти задачи без перекрестного умножения. Я научился скрещивать умножение в средней школе и отлично справлялся. Но мои ученики настолько привязались к перекрестному умножению, что делают это все время. Добавление дробей? Давайте перекрестить умножить. Умножение дробей? Давайте перекрестить умножить. Делить дроби? Больше перекрестного умножения. Тьфу…

Я решил, что секрет правильного построения пропорций моими учениками заключается в том, чтобы заставить их писать единицы измерения на ОБЕИХ сторонах пропорции.

И, чтобы обойти перекрестное умножение, мы просто берем обратное значение обеих частей каждый раз, когда переменная, которую мы вычисляем, находится в знаменателе. Ура за отказ от трюков!

Вот 4 практические задачи, которые мы вместе решали в классе. Задачи написаны так, чтобы отражать тип вопросов, которые могут быть заданы на экзамене в конце обучения. Последние два года я как бы пропустил это, потому что считаю, что ученики должны были освоить этот тип задач на уровне средней школы.Но последние несколько лет наши оценки по математике в средней школе были крайне низкими. Поэтому я не могу предположить, что что-то сохранилось от этих классов. Я знаю, что они сохранили некоторые вещи; Я просто не могу быть уверен, что это за вещи.

Таким образом, это должно быть в основном повторение для моих учеников по алгебре 1, но я надеюсь, что оно также поможет моим ученикам лучше освоиться с текстовыми задачами, что является одной из моих целей на этот год.

Вот крупный план четырех задач, над которыми мы работали.

Мои ученики находят эти задачи особенно сложными, когда им дают соотношение двух типов чего-либо, а затем просят найти общее число или дать им общее число. На SMART Board мы начали с 4 мальчиков и 5 девочек. Мы поместили 90 студентов/х девушек на другую сторону. Это означало, что мы должны были превратить мальчиков в учеников и добавить 4 мальчиков к 5 девочкам, чтобы сделать учеников.

Проработав этот вопрос, большинство моих учеников задали именно этот вопрос в викторине! В прошлые годы это всегда был один из самых сложных вопросов для студентов, когда мы начинали проверку перед экзаменом в конце обучения.

Полное разоблачение: мои ученики ужасно справились с этой викториной. Но это также был последний день перед осенними каникулами и 5-дневными выходными. Никто не хотел быть там. Когда они вернулись с осенних каникул, мы проработали вопросы викторины, я еще раз напомнил о важности написания ВСЕХ наших разделов, и на следующий день студенты прошли повторную проверку с гораздо лучшими результатами.

Оглядываясь назад, я должен был провести вторник, решая больше практических задач, вместо того, чтобы заставлять их проходить викторину в тот день.Я надеялся покончить с отношениями и пропорциями, чтобы мы могли перейти к процентам, когда вернемся.

Бесплатная загрузка решения словесных задач с соотношениями и пропорциями Foldable


Решение текстовых задач с соотношениями и пропорциями (PDF) (114 загрузок)


Решение задач Word с соотношениями и пропорциями Foldable (редактируемый файл Publisher ZIP) (59 загрузок)

Дополнительные упражнения для обучения соотношениям и пропорциям

6.

5 Решение пропорций и их применение — Предварительная алгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Использовать определение пропорции
  • Решить пропорции
  • Решение приложений с использованием пропорций
  • Запишите уравнения процентов в виде пропорций
  • Перевод и решение процентных пропорций

Будьте готовы 6.11

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Упрощение: 134.134.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.44.

Будьте готовы 6.12

Решите: x4=20.x4=20.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 4.99.

Будьте готовы 6.13

Напишите как скорость: Сале проехал на своем велосипеде 2424 мили за 22 часа.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 5.63.

Используйте определение пропорции

В разделе, посвященном отношениям и нормам, мы увидели, как они используются в нашей повседневной жизни. Когда два отношения или скорости равны, уравнение, связывающее их, называется пропорцией.

Доля

Пропорция – это уравнение вида ab=cd,ab=cd, где b≠0,d≠0.b≠0,d≠0.

Пропорция указывает, что два соотношения или доли равны. Пропорция читается как «a«a к b,b, как cc к d».d».

Уравнение 12=4812=48 является пропорцией, потому что две дроби равны. Пропорция 12=4812=48 читается как «1»1 к 22, как 44 к 8,8″.

Если мы сравниваем количества с единицами, мы должны быть уверены, что сравниваем их в правильном порядке.Например, в пропорции 20 учеников 1 учитель = 60 учеников 3 учителя 20 учеников 1 учитель = 60 учеников 3 учителя мы сравниваем количество учеников с количеством учителей. Ставим учеников в числители, а учителей в знаменатели.

Пример 6.40

Запишите каждое предложение в виде пропорции:

  1. ⓐ33 соответствует 77, а 1515 соответствует 35,35.
  2. 90 129 ⓑ55 попаданий в 88 летучих мышей — это то же самое, что 3030 попаданий в 4848 летучих мышей.
  3. ⓒ 1,50 доллара 1,50 доллара за 66 унций эквивалентны 2 долларам.25 2,25 доллара за 99 унций.
Решение
3 соответствует 7, как 15 соответствует 35.
Напишите в виде пропорции. 37=153537=1535
5 попаданий в 8 бат-бейсах равно 30 попаданий в 48 ат-бэтов.
Запишите каждую дробь, чтобы сравнить попадания с летучими мышами. hitsat-bats=hitsat-batshitsat-bats=хитсат-летучие мыши
Напишите в виде пропорции. 58=304858=3048
  • ⓐ55 до 99, как 2020 до 36,36.
  • ⓑ77 попаданий в 1111 ат-летучих мышей равнозначно 2828 попаданиям в 4444 ат-летучих мышей.
  • ⓒ 2,50 доллара 2,50 доллара за 88 унций эквивалентны 3,75 доллара 3,75 доллара за 1212 унций.
  • Попробуйте 6.80

    Запишите каждое предложение в виде пропорции:

    1. ⓐ66 соответствует 77, как 3636 соответствует 42.42.
    2. ⓑ88 взрослых на 3636 детей — это то же самое, что 1212 взрослых на 5454 детей.
    3. ⓒ3,75 доллара 3,75 доллара за 66 унций эквивалентны 2,50 доллара 2,50 доллара за 44 унции.

    Посмотрите на пропорции 12=4812=48 и 23=69,23=69. Из нашей работы с эквивалентными дробями мы знаем, что эти уравнения верны. Но как узнать, является ли уравнение пропорцией с эквивалентными дробями, если оно содержит дроби с большими числами?

    Чтобы определить, верна ли пропорция, мы находим перекрестных произведений каждой пропорции.Чтобы найти перекрестные произведения, мы умножаем каждый знаменатель на противоположный числитель (по диагонали через знак равенства). Результаты называются перекрестными произведениями из-за образовавшегося перекрестия. Взаимные произведения пропорции равны.

    Перекрестные произведения пропорции

    Для любой пропорции вида ab=cd,ab=cd, где b≠0,d≠0,b≠0,d≠0, ее векторные произведения равны.

    Перекрестные произведения можно использовать для проверки правильности пропорции. Чтобы проверить, составляет ли уравнение пропорцию, мы находим перекрестные произведения.Если они равны, мы имеем пропорцию.

    Пример 6.41

    Определите, является ли каждое уравнение пропорцией:

    1. ⓐ49=122849=1228
    2. ⓑ17,537,5=71517,537,5=715
    Решение

    Чтобы определить, является ли уравнение пропорцией, мы находим векторные произведения. Если они равны, уравнение является пропорцией.

    Найдите перекрестные произведения. 28⋅4=1129⋅12=10828⋅4=1129⋅12=108

    Поскольку перекрестные произведения не равны, 28·4≠9·12,28·4≠9·12, уравнение не является пропорцией.

    Найдите перекрестные произведения. 15⋅17,5=262,537,5⋅7=262,515⋅17,5=262,537,5⋅7=262,5

    Поскольку перекрестные произведения равны, 15·17,5=37,5·7,15·17.5=37,5·7, уравнение представляет собой пропорцию.

    Попробуйте 6.81

    Определите, является ли каждое уравнение пропорцией:

    1. ⓐ79=547279=5472
    2. ⓑ24,545,5=71324,545,5=713

    Попробуйте 6.82

    Определите, является ли каждое уравнение пропорцией:

    1. ⓐ89=567389=5673
    2. ⓑ28,552,5=81528,552,5=815

    Решение пропорций

    Чтобы решить пропорцию, содержащую переменную, мы помним, что пропорция представляет собой уравнение.Все методы, которые мы использовали до сих пор для решения уравнений, все еще применимы. В следующем примере мы будем решать пропорцию путем умножения на наименьший общий знаменатель (LCD), используя свойство равенства умножения.

    Попробуйте 6.83

    Решите пропорцию: n84=1112. n84=1112.

    Попробуйте 6.84

    Решите пропорцию: y96=1312.y96=1312.

    Когда переменная находится в знаменателе, мы будем использовать тот факт, что перекрестные произведения пропорции равны, чтобы решить пропорции.

    Мы можем найти перекрестные произведения пропорции и приравнять их. Затем мы решаем полученное уравнение, используя наши знакомые методы.

    Пример 6.43

    Решение

    Обратите внимание, что переменная находится в знаменателе, поэтому мы будем решать, находя перекрестные произведения и приравнивая их.

    Другой способ решить эту проблему — умножить обе стороны на LCD, 4a.4a. Попробуйте и убедитесь, что вы получили такое же решение.

    Попробуйте 6.85

    Решите пропорцию: 91b=75,91b=75.

    Попробуйте 6.86

    Решите пропорцию: 39c=138,39c=138.

    Пример 6.44

    Решите: 5291=-4г.5291=-4г.

    Попробуйте 6. 87

    Решите пропорцию: 8498=-6x.8498=-6x.

    Попробуйте 6.88

    Решите пропорцию: −7y=105135.−7y=105135.

    Решение приложений с использованием пропорций

    Стратегия решения приложений, которую мы использовали ранее в этой главе, также работает для пропорций, поскольку пропорции представляют собой уравнения.Когда мы устанавливаем пропорцию, мы должны убедиться, что единицы измерения правильные — единицы в числителях совпадают, и единицы в знаменателях совпадают.

    Пример 6.45

    Когда педиатры назначают детям ацетаминофен, они назначают 55 миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые 2525 фунтов веса ребенка. Если Зоя весит 8080 фунтов, сколько миллилитров ацетаминофена пропишет ее врач?

    Решение

    Вы также можете решить эту пропорцию, установив перекрестные произведения равными.

    Попробуйте 6.89

    Педиатры назначают 55 миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые 2525 фунтов веса ребенка. Сколько миллилитров ацетаминофена доктор пропишет Эмилии, которая весит 6060 фунтов?

    Попробуйте 6.90

    На каждые 11 килограммов (кг) веса ребенка педиатры назначают 1515 миллиграммов (мг) жаропонижающих средств. Если Изабелла весит 1212 кг, сколько миллиграмм жаропонижающего пропишет педиатр?

    Пример 6.46

    Одна марка попкорна для микроволновки содержит 120120 калорий на порцию. В целом пакете этого попкорна 3,5–3,5 порции. Сколько калорий в целом пакете этого попкорна для микроволновки?

    Решение
    Определите, что вас просят найти. Сколько калорий в целом пакете попкорна для микроволновки?
    Выберите переменную для ее представления. Пусть c=c= количество калорий.
    Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Если в одной порции 120 калорий, сколько калорий содержится в целом пакете с 3,5 порциями?
    Перевести в пропорцию.
    Подставить указанные значения.
    Умножьте обе стороны на 3,5.
    Умножить.
    Проверить правильность ответа.
    Да. С 3.5 находится между 3 и 4, общее количество калорий должно быть между 360 (3⋅120) и 480 (4⋅120).
    Напишите полное предложение. Весь пакет попкорна для микроволновки содержит 420 калорий.

    Попробуйте 6.91

    Марисса любит карамельный макиато в кофейне. 1616 унций. средний размер имеет 240240 калорий. Сколько калорий она получит, если выпьет большую порцию 2020 унций. размер?

    Попробуйте 6.92

    Янели любит конфеты Starburst, но хочет, чтобы ее закуски не превышали 100100 калорий. Если конфеты содержат 160160 калорий на 88 штук, сколько штук она может съесть в перекусе?

    Пример 6.47

    Джозайя поехал в Мексику на весенние каникулы и обменял 325 долларов 325 долларов на мексиканские песо. В то время обменный курс составлял 1 доллар США за 1 доллар США, равный 12,5412,54 мексиканских песо. Сколько мексиканских песо он получил за поездку?

    Решение
    Определите, что вас просят найти. Сколько мексиканских песо получил Иосия?
    Выберите переменную для ее представления. Пусть p=p= количество песо.
    Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. Если 1 доллар США равен 12,54 мексиканских песо, то сколько песо будет составлять 325 долларов?
    Перевести в пропорцию.
    Подставить указанные значения.
    Переменная стоит в знаменателе, поэтому найдите перекрестные произведения и приравняйте их.
    Упрощение.
    Проверить правильность ответа.
    Да, 100 долларов будут равняться 1254 песо. 325 долларов — это чуть более чем в 3 раза больше этой суммы.
    Напишите полное предложение. У Джозайи есть 4075,5 песо на поездку на весенние каникулы.

    Попробуйте 6.93

    Юрианна едет в Европу и хочет обменять 800 долларов 800 долларов на евро. По текущему обменному курсу 1 доллар США за 1 доллар США равен 0.7380,738 евро. Сколько евро у нее будет на поездку?

    Попробуйте 6.94

    Кори и Николь едут в Японию и должны обменять 600 долларов 600 долларов на японские иены. Если каждый доллар равен 94,194,1 иены, сколько иен они получат?

    Запись процентных уравнений в виде пропорций

    Ранее мы решали процентные уравнения, применяя свойства равенства, которые мы использовали для решения уравнений в этом тексте. Некоторые люди предпочитают решать процентные уравнения, используя метод пропорций.Метод пропорций для решения процентных задач предполагает процентную пропорцию. Пропорция процентов — это уравнение, в котором процент равен эквивалентной пропорции.

    Например, 60%=6010060%=60100, и мы можем упростить 60100=35,60100=35. Поскольку уравнение 60100=3560100=35 показывает процент, равный эквивалентному соотношению, мы называем его процентной долей. Используя словарь, который мы использовали ранее:

    amountbase=percent100amountbase=percent100

    Процентная доля

    Сумма относится к основанию как процент к 100.100.

    суммабаза=процент100суммабаза=процент100

    Если мы переформулируем задачу словами пропорции, может быть проще составить пропорцию:

    Сумма зависит от основания, как процент от ста. Сумма зависит от основания, как процент от ста.

    Мы могли бы также сказать:

    Сумма вне базы такая же, как процент от ста. Сумма вне базы такая же, как процент от ста.

    Сначала потренируемся переводить в процентную пропорцию.Позже решим пропорцию.

    Пример 6.48

    Перевести в пропорцию. Какое число составляет 75%75% от 90?90?

    Решение

    Если вы ищете слово «из», это может помочь вам определить основу.

    Определите части процентной доли.
    Переформулировать в виде пропорции.
    Установите пропорцию. Пусть n=числоn=число. n90=75100n90=75100

    Попробуйте 6.95

    Переведите в пропорцию: какое число составляет 60%60% от 105?105?

    Попробуйте 6.96

    Перевести в пропорцию: Какое число составляет 40%40% от 85?85?

    Пример 6.49

    Перевести в пропорцию. 1919 год это 25%25% от какого числа?

    Решение
    Определите части процентной доли.
    Переформулировать в виде пропорции.
    Установите пропорцию. Пусть n=числоn=число. 19n=2510019n=25100

    Попробуйте 6.97

    Переведите в пропорцию: 3636 составляет 25%25% от какого числа?

    Попробуйте 6.98

    Переведите в пропорцию: 2727 составляет 36%36% от какого числа?

    Пример 6.50

    Перевести в пропорцию. Сколько процентов от 2727 составляет 9,9?

    Решение
    Определите части процентной доли.
    Переформулировать в виде пропорции.
    Установите пропорцию. Пусть p=процентp=процент. 927=p100927=p100

    Попробуйте 6.99

    Перевести в пропорцию: Сколько процентов от 5252 составляет 39?39?

    Попробуйте 6.100

    Перевести в пропорцию: Сколько процентов от 9292 составляет 23?23?

    Перевод и решение процентных пропорций

    Теперь, когда мы записали уравнения процентов в виде пропорций, мы готовы решать уравнения.

    Пример 6.51

    Переведите и решите, используя пропорции: Какое число составляет 45%45% от 80?80?

    Попробуйте 6.101

    Переведите и решите, используя пропорции: какое число составляет 65%65% от 40?40?

    Попробуйте 6.102

    Переведите и решите, используя пропорции: Какое число составляет 85%85% от 40?40?

    В следующем примере процент больше 100 100, то есть больше одного целого. Значит, неизвестное число будет больше основания.

    Пример 6.52

    Переведите и решите, используя пропорции: 125%125% от 2525 это какое число?

    Попробуйте 6.103

    Переведите и решите, используя пропорции: 125%125% от 6464 это какое число?

    Попробуйте 6.104

    Переведите и решите, используя пропорции: 175%175% от 8484 — это какое число?

    Проценты с десятичными знаками и деньгами также используются в пропорциях.

    Пример 6.53

    Переведите и решите: 6,5%6.5% от какого числа составляет 1,56 доллара? 1,56 доллара?

    Попробуйте 6.105

    Переведите и решите, используя пропорции: 8,5%8,5% от какого числа 3,23 доллара? 3,23 доллара?

    Попробуйте 6.106

    Переведите и решите, используя пропорции: 7,25%7,25% от какого числа 4,64$?4,64$?

    Пример 6.54

    Переведите и решите, используя пропорции: Сколько процентов от 7272 составляет 9?9?

    Попробуйте 6.107

    Переведите и решите, используя пропорции: Сколько процентов от 7272 составляет 27?27?

    Попробуйте 6. 108

    Переведите и решите, используя пропорции: Сколько процентов от 9292 составляет 23?23?

    Раздел 6.5 Упражнения

    Практика ведет к совершенству

    Использование определения пропорции

    В следующих упражнениях запишите каждое предложение в виде пропорции.

    243.

    44 соответствует 1515, а 3636 соответствует 135.135.

    244.

    77 соответствует 99, как 3535 соответствует 45,45.

    245.

    1212 соответствует 55, а 9696 соответствует 40,40.

    246.

    1515 соответствует 88, а 7575 соответствует 40.40.

    247.

    55 побед в 77 играх — это то же самое, что 115115 побед в 161161 игре.

    248.

    44 победы в 99 играх — это то же самое, что 3636 побед в 8181 игре.

    249.

    88 отдыхающих на 11 вожатых — это то же самое, что 4848 отдыхающих на 66 вожатых.

    250.

    66 отдыхающих на 11 вожатых — это то же самое, что 4848 отдыхающих на 88 вожатых.

    251.

    9,36 доллара 9,36 доллара за 1818 унций — это то же самое, что 2,60 доллара за 2,60 доллара за 55 унций.

    252.

    3,92 доллара 3,92 доллара за 88 унций эквивалентны 1 доллару.47 1,47 доллара за 33 унции.

    253.

    18,04 доллара 18,04 доллара за 1111 фунтов эквивалентны 4,92 доллара 4,92 доллара за 33 фунта.

    254.

    12,42 доллара 12,42 доллара за 2727 фунтов эквивалентны 5,52 доллара 5,52 доллара за 1212 фунтов.

    В следующих упражнениях определите, является ли каждое уравнение пропорцией.

    259.

    1218=4,997,561218=4,997,56

    261.

    13,58,5=31,0519,5513,58,5=31,0519,55

    262.

    10,18,4=3,032,5210,18,4=3,032,52

    Решение пропорций

    В следующих упражнениях решите каждую пропорцию.

    271.

    а-8=-4248а-8=-4248

    272.

    б-7=-3042б-7=-3042

    Решение задач с использованием пропорций

    В следующих упражнениях решите задачу на пропорции.

    279.

    Педиатры назначают 55 миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые 2525 фунтов веса ребенка. Сколько миллилитров ацетаминофена доктор пропишет Джослин, которая весит 4545 фунтов?

    280.

    Брианна, которая весит 66 кг, только что получила прививки и нуждается в обезболивающем.Обезболивающее назначается детям из расчета 1515 миллиграммов (мг) на каждые 11 килограммов (кг) веса ребенка. Сколько миллиграммов назначит врач?

    281.

    В спортзале Кэрол измеряет свой пульс в течение 1010 секунд и насчитывает 1919 ударов. Сколько это ударов в минуту? Достигла ли Кэрол целевой пульс 140–140 ударов в минуту?

    282.

    Кевин хочет поддерживать частоту сердечных сокращений на уровне 160160 ударов в минуту во время тренировки. Во время тренировки он насчитал 2727 ударов за 1010 секунд.Сколько это ударов в минуту? Достиг ли Кевин своей целевой частоты сердечных сокращений?

    283.

    Новый энергетический напиток рекламирует 106106 калорий на 88 унций. Сколько калорий в 1212 унциях напитка?

    284.

    Одна банка газировки на 1212 унций содержит 150150 калорий. Если Джозайя выпьет большую порцию на 3232 унции из местного мини-маркета, сколько калорий он получит?

    285.

    Карен съедает 1212 чашек овсянки, что составляет 22 балла в ее программе похудения. Ее муж, Джо, может съесть на завтрак 33 единицы овсянки.Сколько овсянки ему можно?

    286.

    Рецепт овсяного печенья требует 1212 чашек масла для приготовления 44 дюжин печенья. Хильде нужно испечь 1010 дюжин печенья для распродажи выпечки. Сколько чашек масла ей понадобится?

    287.

    Дженис едет в Канаду и обменяет 250 долларов США на канадские доллары. По текущему обменному курсу 1 доллар США равен 1,01 доллара США 1,01 канадца. Сколько канадских долларов она получит за поездку?

    288.

    Тодд едет в Мексику и должен обменять 450 долларов на мексиканские песо.Если каждый доллар стоит 12 2912,29 песо, сколько песо он получит за поездку?

    289.

    Стив поменял 600$600 на 480480 евро. Сколько евро он получил за доллар США?

    290.

    Марта поменяла 350$ 350 долларов США на 385385 австралийских долларов. Сколько австралийских долларов она получила за доллар США?

    291.

    В прачечной Люси поменяла 12 долларов на четвертаки. Сколько кварталов она получила?

    292.

    Придя в казино, Герти обменяла 20 долларов 20 долларов на пятицентовики.Сколько пятицентовиков она получила?

    293.

    Автомобиль Джесси проезжает 3030 миль на галлоне бензина. Если Лас-Вегас находится на расстоянии 285 285 миль, сколько галлонов бензина нужно, чтобы добраться туда и потом домой? Если бензин стоит 3,09 доллара 3,09 доллара за галлон, какова общая стоимость бензина для поездки?

    294.

    Дэнни хочет поехать в Феникс, чтобы увидеть своего дедушку. Феникс находится в 370 370 милях от дома Дэнни, а его машина расходует 18 518,5 миль на галлон. Сколько галлонов бензина понадобится Дэнни, чтобы добраться до Финикса и обратно? Если бензин 3 доллара.19 3,19 доллара за галлон, какова общая стоимость бензина, чтобы доехать до дедушки?

    295.

    Хью уезжает рано утром, чтобы выехать из своего дома в Чикаго и отправиться на гору Рашмор, находящуюся в 812812 милях от него. За 33 часа он прошел 1 миль. При такой скорости, сколько времени займет весь путь?

    296.

    Келли покидает свой дом в Сиэтле, чтобы поехать в Спокан, расстояние 280280 миль. За 22 часа она прошла 152152 мили. При такой скорости, сколько времени займет весь путь?

    297.

    Фил хочет удобрить свой газон. Каждый мешок удобрения покрывает около 4 000 4 000 квадратных футов газона. Площадь газона Фила составляет примерно 13 500 13 500 квадратных футов. Сколько мешков удобрений ему придется купить?

    298.

    Эйприл хочет покрасить свой дом снаружи. Один галлон краски покрывает около 350 350 квадратных футов, а площадь дома составляет примерно 2 000 2000 квадратных футов. Сколько галлонов краски ей придется купить?

    Запись уравнений процентов в виде пропорций

    В следующих упражнениях переведите в пропорцию.

    299.

    Какое число составляет 35%35% от 250?250?

    300.

    Какое число составляет 75%75% от 920?920?

    301.

    Какое число составляет 110%110% от 47?47?

    302.

    Какое число составляет 150%150% от 64?64?

    303.

    4545 это 30%30% от какого числа?

    304.

    2525 это 80%80% от какого числа?

    305.

    9090 это 150%150% от какого числа?

    306.

    7777 это 110%110% от какого числа?

    307.

    Сколько процентов от 8585 составляет 17?17?

    308.

    Сколько процентов от 9292 составляет 46?46?

    309.

    Сколько процентов от 260260 составляет 340?340?

    310.

    Сколько процентов от 180180 составляет 220?220?

    Перевод и решение процентных пропорций

    В следующих упражнениях выполните перевод и решение пропорций.

    311.

    Какое число составляет 65%65% от 180?180?

    312.

    Какое число составляет 55%55% от 300?300?

    313.

    18%18% от 9292 какое число?

    314.

    22%22% от 7474 какое число?

    315.

    175%175% от 2626 какое число?

    316.

    250%250% от 6161 какое число?

    317.

    Что такое 300%300% от 488?488?

    318.

    Что такое 500%500% от 315?315?

    319.

    17%17% от какого числа 7,65$?7,65$?

    320.

    19%19% от какого числа 6,46$?6,46$?

    321.

    $13,53$13,53 составляет 8,25%8,25% от какого числа?

    322.

    $18,12$18,12 составляет 7,55%7,55% от какого числа?

    323.

    Сколько процентов от 5656 составляет 14?14?

    324.

    Сколько процентов от 8080 составляет 28?28?

    325.

    Сколько процентов от 9696 составляет 12?12?

    326.

    Сколько процентов от 120120 составляет 27?27?

    Математика на каждый день
    327.

    Смешивание концентрата Сэм купил в складском магазине большую бутылку концентрированного чистящего раствора. Он должен смешать концентрат с водой, чтобы приготовить раствор для мытья окон. В инструкции сказано смешать 33 унции концентрата с 55 унциями воды. Если он поместит 1212 унций концентрата в ведро, сколько унций воды он должен добавить? Сколько всего унций раствора у него будет?

    328.

    Смешивание концентрата Трэвис собирается помыть машину. В инструкциях на бутылке с концентратом для мойки автомобилей говорится, что нужно смешать 22 унции концентрата с 1515 унциями воды. Если Трэвис насыпает 66 унций концентрата в ведро, сколько воды он должен смешать с концентратом?

    Письменные упражнения
    329.

    Чтобы решить «какое число составляет 45%45% от 350»350», вы предпочитаете использовать уравнение, как в разделе «Операции с десятичной дробью», или пропорцию, как в этом разделе? Объясни свою причину.

    330.

    Чтобы решить «сколько процентов от 125125 составляет 25»25», вы предпочитаете использовать уравнение, как в разделе «Операции с десятичной дробью», или пропорцию, как в этом разделе? Объясни свою причину.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

    ⓑ В целом, после просмотра контрольного списка, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующей главе? Почему или почему нет?

    Как решить пропорцию — Полный курс арифметики

    (Евклид, VII.17.)

    Мы уже видели, что отношение сохранится, если мы разделим оба слагаемых на одно и то же число.

    Пример 5.   Заполните пропорцию:

    .

    6 : 7 = ? : 28

    Решение . 7 умножили на 4, чтобы получить 28. Следовательно, 6 также нужно умножить на 4:

    6 : 7 = 24 : 28.

    Чтобы решить эту пропорцию —

    6 : 7 = ? : 28

    — мы могли бы сказать:

    «7 входит в число 28 четыре раза.Четыре раза по 6 будет 24.»

    Все примеры и задачи в этом уроке должны быть простыми вычислениями в уме.

    Пример 6.   Решите эту пропорцию:

    2 : 3 = 12 : ?

    Решение . «2 шесть раз входит в число 12. Шесть раз 3 равно 18».

    2 : 3 = 12 : 18.

    На самом деле, рассмотрим эти столбцы кратные 2 и 3:

      2      3

      4      6

      6      9

      8    12

     10    15

     12    18

     14    21

    И так далее.

    Итак, 2 составляет две трети от 3. (Урок 17.)  И каждое число, кратное 2, составляет две трети от этого того же , кратного 3:

    4 составляет две трети от 6.

    6 составляет две трети от 9.

    8 составляет две трети от 12.

    И так далее. На самом деле это единственные натуральные числа, в которых первое составляет две трети второго.

    Обратите внимание, что у каждой пары есть общий делитель. И при делении на этот делитель в каждом случае частное будет 2 и 3.Это теорема об общем делителе. 2 и 3 – самые низкие условия. Это наименьшие числа, имеющие отношение «две трети».

    Пример 7.   Назовите три пары чисел, первая из которых составляет три пятых от второй.

      Решение . Элементарной парой являются 3 и 5. Чтобы сгенерировать другие, возьмите одно и то же число, кратное обоим: 6 и 10, 9 и 15, 12 и 20 и так далее.

    Пример 8.   27 составляет три четверти какого числа?

    Решение .Пропорционально:

    3 : 4 = 27 : ?

    «27 — это девять раз по 3. Девять раз по 4 равно 36.»

    3 : 4 = 27 : 36.

    27 составляет три четверти от 36.

    Только кратное 3 может быть тремя четвертями другого числа, которое должно быть тем же самым кратным 4.

    Поскольку 3 соответствует 4, то любое количество троек соответствует равному количеству 4.

    Пример 9.Решите эту пропорцию:

    9 : 45 = 2 : ?

    Решение . Здесь надо смотреть прямо:

    9 – пятая часть от 45.  А 2 – пятая часть от 10.

    9 : 45 = 2 : 10.

    Пример 10. Общий делитель. Заполните эту пропорцию:

    12 : 200 = ? : 100.

    Решение . С другой стороны, мы видим, что 200 равно , разделенному на 2.Следовательно, 12 также нужно разделить на 2.

    12 : 200 = 6 : 100.

    Вместо деления 12 и 200 на 2 можно взять половину. Половина от 200 равна 100. Половина от 12 равна 6.

    Правило трех

    Мы видим, что если мы знаем три члена пропорции, то всегда можем найти четвертый. Это называется правилом трех. Мы можем резюмировать это следующим образом.

    1-й : 2-й = 3-й : 4-й.

    Если 4-й член неизвестен, а 3-й член кратен
    или части 1-го (Пример 6),
    , то 4-й должен быть таким же кратным или частью 2-го.
      (Аналогично, если 3-й член неизвестен, а 4-й
    кратен 2-му; Пример 5)
     
    Если 4-й член неизвестен, а 2-й член кратен
    или части 1-го (пример 9),
    , то 4-й должен быть таким же кратным или частью 3-го.

    Самое главное, мы будем применять это правило, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого.

    Что касается теоремы об общем делителе , то это то, что мы называем симметричной версией теоремы об одном и том же кратном. Для этой пропорции

    6 соответствует 100, как 12 соответствует 200,

    , в котором 3-й и 4-й члены появляются как двойники 1-го и 2-го, логически эквивалентна этой пропорции,

    12 соответствует 200, а 6 соответствует 100,

    , в котором 3-й и 4-й члены появляются как половинки 1-го и 2-го.

    Пример 11.   В классе соотношение девочек и мальчиков 3 к 4.

    Есть 24 мальчика. Сколько девочек?

      Решение . Пропорционально,

    Девочки : Мальчики = 3 : 4 = ? : 24.

    Обратите внимание, что 24 соответствует мальчикам.

    Теперь 4 входит в число 24 шесть раз. Следовательно, число девушек равно шестикратному 3:   18 .

    Это еще один подход к Примеру 7 из предыдущего урока. А следующий пример — еще один способ приблизиться к Примеру 8 этого Урока.

    Пример 12. Целое равно сумме частей. В классе количество девочек составляет 75% от количества мальчиков. Есть 35 студентов. Сколько девочек и сколько мальчиков?

    Решение . Сказать, что девочки составляют 75% — три четверти — мальчиков,

    означает, что соотношение девочек и мальчиков составляет 3 к 4.Но это означает, что 3 из каждых 92 208 7 92 209 учащихся — девочки (3 + 4 = 7), а 4 из каждых 7 — мальчики.

    Следовательно, составим пропорцию:

    девушки: общее количество студентов =

    3 : 7 = ? : 35.

    Поскольку 35 равно 5 × 7, пропущенный член равен 5 × 3 = 15.

    Есть 15 девушек. И так 20 мальчиков.

    В этот момент, пожалуйста, «переверните» страницу и выполните несколько задач .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск