Решить неравенство sinx 1 2: Решите неравенство sin(x)>1/2 (синус от (х) больше 1 делить на 2)

Содержание

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Часть 2.

Начало здесь.

Если вы беретесь за изучение темы «Простейшие тригонометрические неравенства», то должны прежде знать, где находятся оси тангенса и котангенса и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть III).

Кстати, для сдающих ЕГЭ по математике, –   умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Примеры решения простейших тригонометрических  неравенств

Пример 1. 

Решить неравенство:

Решение: 

Отмечаем на оси тангенсов 1. Указываем все значения тангенса, меньшие 1 – ниже 1.

Далее, отмечаем все точки тригонометрического круга, значение тангенса в которых будет меньше 1.  Для этого мы мысленно соединяем каждую точку оси тангенсов ниже 1 с началом координат; тогда каждая проведенная прямая пересечет дважды тригонометрический круг.

Вот эти-то точки круга нас и интересуют! Они выстраиваются в две дуги (точнее в две серии дуг). Значения тангенса в них – меньше 1.

Заметим, кстати, что дуга повторяет дугу равно через пол круга, то есть через (период функции – это ).

Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:

или так

Пример 2. 

Решить неравенство:

Решение: 

Отмечаем на оси тангенсов . Указываем все значения тангенса, большие или равные  – выше   (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси тангенсов  на тригонометрический круг.

 

Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:

или такого (разницы – никакой):

 

Пример 3.

Решить неравенство:

Решение: 

Отмечаем на оси котангенсов . Указываем все значения котангенса, большие или равные  – правее  (включая саму точку).

«Транслируем» отмеченные точки оси котангенсов  на тригонометрический круг:

Все подходящие значения можно записать в виде следующего двойного неравенства:

Вы обратили внимание, решая тригонометрическое неравенство с тангенсом,  – мы не включаем в ответ точки (значение тангенса в этих точках не определено)?

А, решая тригонометрическое неравенство с котангенсом,  – мы не включаем в ответ точки  (значение котангенса в этих точках не определено).

Пример 4.

Решить неравенство:

Решение: 

Проверьте себя

Помните,  решения (ответы)  к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. (См., например,  задание 2).

 1. Решить неравенство:

Ответ: + показать

2. Решить неравенство:

Ответ: + показать

3. Решить неравенство:

Ответ: + показать

Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – пишите в комментариях!

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Обратим внимание на несколько задач.

Задача 1.

Решить неравенство cos x > 1/2.

Решение.

По определению косинуса cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство cos x > 1/2, нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеют абсциссу, большую 1/2.

Абсциссу, равную 1/2, имеют две точки единичной окружности М1 и М2.

Точка М1 получается поворотом точки Р (0; 1) на угол -π/3, а также на углы -π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …; точка М2 – поворотом на угол π/3, а также на углы π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …

Абсциссу, большую 1/2, имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М1М2. Таким образом, решениями неравенства  cos x > 1/2 являются все числа х из промежутка -π/3 < х < π/3.

Ответ. Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < х < π/3 + 2πn, n € Z.

Задача 2.

Решить неравенство cos x ≤ 1/2.

Решение.

Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства cos x ≤ 1/2 являются числа х, которые принадлежат промежутку π/3 ≤ х ≤ 5π/3.

Ответ. Все решения данного неравенства – множество отрезков π/3 + 2πn ≤ х ≤ 5π/3 + 2πn, n € Z.

Задача 3.

Решить неравенство sin x ≥ -1/2. 

Решение.

Ординату, не меньшую -1/2, имеют все точки дуги М

1ММ2  единичной окружности. Поэтому решениями неравенства sin x ≥ -1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку -π/6 ≤ х ≤ 7π/6. Все решения данного неравенства – множество отрезков -π/6 + 2πn ≤ х ≤ 7π/6 + 2πn, n € Z.

Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой М1М2, имеют ординату, меньшую -1/2. Поэтому все числа х € (-5π/6; -π/6) являются решениями неравенства sin x < -1/2.

Ответ. Все решения этого неравенства – интервалы (-5π/6 + 2πn; -π/6 + 2πn), n € Z.

Задача 4.

Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ -(√2/2).

Решение.

Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ -(√2/2), находим
3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n € Z.

Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда
1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.

Ответ. 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Методическая разработка урока (2 часа) (10 класс) тема «тригонометрические неравенства сводящиеся к простейшим» цели урока

Методическая разработка урока (2 часа)

(10 класс)

Тема: «Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим».

Цели урока:

  1. Сформировать умение решать тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим, через использование известных методов решения тригонометрических уравнений.

  2. Повторить и закрепить решение простейших тригонометрических неравенств, формулы тригонометрии, преобразования тригонометрических выражений.

  3. Развивать культуру устной математической речи.

Ход урока.

I. Самоопределение к учебной деятельности.

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока – продолжаем изучать решение тригономет-

рических неравенств.

— Здравствуйте, ребята! Что нового вы узнали на прошлом уроке? (Метод решения простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.)

— Как вы считаете, все ли виды тригонометрических неравенств мы рассмотрели? (Нет, только простейшие неравенства.)

— Чему сегодня будет посвящен урок? (Решению более сложных тригонометрических неравенств.

)

II. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.

Цель этапа:

  1. актуализировать учебное содержание необходимое и достаточное для изучения нового материала: решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности, значения тригонометрических функций «основных» углов;

  2. актуализировать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение;

  3. зафиксировать повторяемые алгоритмы в виде схем;

  4. зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, показывающее недостаточность имеющихся знаний: сразу найти решение тригонометрического неравенства по единичной окружности.

1. Решите неравенства:

а) sin α > 0;

б) cos x ≥ 0;

в) tg x ≤ 1;

г) cos x ≤ -1;

д) sin x > .

2. Придумайте тригонометрическое неравенство, которое не имеет решений (cos x < — 2).

3. Придумайте тригонометрическое неравенство, решением которого является любое число (sin x > — 1,5).

4. Решите неравенства с помощью единичной окружности (на доске приготовлены рисунки с изображением системы координат, единичной окружности):

а) cos x > ;

б) sin x ≤ ;

в) sin x > -.

В ходе выполнения этого задания учащиеся объясняют решение неравенства с места, учитель дополняет рисунки на доске, повторяется алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности:

1. На оси, соответствующей заданной тригонометрической функции, отметить данное числовое значение этой функции.

2. Провести через отмеченную точку прямую, пересекающую единичную окружность.

3. Выделить точки пересечения прямой и окружности с учетом строгого или нестрогого знака неравенства.

4. Выделить дугу окружности, на которой расположены решения неравенства.

5. Определить значения углов в начальной и конечной точках дуги окружности.

6. Записать решение неравенства с учетом периодичности заданной тригонометрической функции.

5. На доске расположены три рисунка единичной окружности, на которых выделены решения некоторых тригонометрических неравенств. Определите, решения каких тригонометрических неравенств изображены на рисунке.

(sin x < 0; cos x ≤ ; sin x > )

6. Решите неравенство (ограничить время для выполнения задания):

sin 2x + cos 2x < 1.

III. Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности.

Цель этапа:

  1. организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

  2. согласовать цель и тему урока.

— Какое задание вы должны были выполнить? (Решить неравенство за ограниченное время).

— Получилось воспользоваться известным алгоритмом? (Нет).

— Почему возникло затруднение? (Это неравенство не является простейшим).

— Какова цель нашего урока? (Придумать новый алгоритм для решения таких неравенств).

— Назовите тему урока (Решение «сложных» тригонометрических неравенств).

IV. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:

  1. организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

  2. зафиксировать новый способ действия в вербальной форме и с помощью эталона.

— С чего мы всегда начинаем выполнять задание, после того как прочтём его? (С анализа условия, сравнения данного задания с подобными ему, способ решения которых уже известен).

— Попробуйте поработать в группах и найти способ решения «сложных» неравенств.

Учащимся предлагается поработать в группах по три-четыре человека, всего шесть групп. Даётся три неравенства, каждая группа получает одно из них. Таким образом, одно и то же неравенство решают две группы. Решение неравенства записывается на пленке.

1) sin 2x + cos 2x < 1;

2) sin 3x + sin x < 4sin 2x;

3) sinx + cosx < .

После того как время для выполнения задания вышло, решения неравенств проверяются через кодоскоп, сравниваются и обсуждается способ решения. При возникновении затруднений решение неравенства разбирается фронтально.

— Что помогло вам справиться с заданием? (Знание тригонометрических формул, умение выполнять преобразования тригонометрических выражений, знание способов решения тригонометрических уравнений, умение решать простейшие тригонометрические неравенства).

— Применяли известный алгоритм решения тригонометрических неравенств? (Да, но не сразу).

— Как можно записать новый способ решения неравенств в виде алгоритма?

В ходе обсуждения появляется алгоритм:

Алгоритм решения тригонометрических неравенств:

1. Привести заданное неравенство к простейшему с помощью преобразования тригонометрических выражений, входящих в неравенство, использования способов разложения на множители или, если возможно, использовать метод введения новой переменной.

2. Решить полученное простейшее тригонометрическое неравенство с помощью единичной окружности или решить неравенство с новой переменной, а затем найти решение заданного неравенства.

3. Записать ответ.

— В ходе преобразования «сложных» тригонометрических неравенств к чему приходили? (К простейшим неравенствам).

— Тогда, как можно уточнить тему урока? (Тригонометрические неравенства, сводящиеся к простейшим).

— Запишите тему урока в тетради.

V. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель этапа:

зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

У доски решить задание:

Найти значения х, при которых функция у = cos2x + 5cosx + 3 принимает неотрицательные значения.

Решение:

cos2x + 5cosx + 3 ≥ 0

2cosx – 1 + 5cosx + 3 ≥ 0

2cosx + 5cosx + 2 ≥ 0

cos x = t, │t│≤ 1

2t+ 5t + 2 ≥ 0

t ≤ -2; t ≥ —

1) При t ≤ -2 решений нет, так как не выполняется условие │t│≤ 1.

2) При t ≥ — получим cos x ≥ -,

— + 2n ≤ х ≤ + 2n, nZ.

Ответ: функция у = cos2x + 5cosx + 3 принимает неотрицательные значения при — + 2n ≤ х ≤ + 2n, nZ.

VI. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа:

проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Решить самостоятельно неравенства:

1)10 ∙ (sin 2x sin3x – cos2x cos3x) > sin10x ;

2) 2sinx + sinx – 3 > 0.

Работы проверяются по эталону. Ошибки исправляются, анализируются, выясняется их причина.

VII. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа:

тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: решением простейших тригонометрических неравенств.

Решить неравенство:

sinx sin(- 3x) + cosx cos(- 3x) > .

Решение:

sinx cos3x + cosx sin3x >

sinx ∙ () ∙ cos3x + cosx ∙ () ∙ sin3x >

sinx ∙ (1 — cos2x) ∙ cos3x + cosx ∙ (1 + cos 2x) ∙ sin3x >

sinx cos3x – sinx cos3x cos2x + cosx sin3x + cosx sin3x cos2x >

sin 4x – cos2x ∙ (sinx cos3x — cosx sin3x) >

sin 4x + cos 2x sin2x >

sin 4x + >

3sin 4x >

sin 4x >

+ < x < + , k.

Ответ: + < x < + , k.

VIII. Рефлексия деятельности на уроке.

Цель этапа:

  1. зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

  2. оценить собственную деятельность на уроке;

  3. зафиксировать неразрешенные затруднения как направления будущей учебной деятельности;

  4. обсудить и записать домашнее задание.

— Какая цель стояла перед нами?

— Мы достигли своей цели?

— Что использовали для достижения цели?

— Проанализируйте свою работу на уроке.

Домашнее задание:

Решить неравенства: 1) sinx > ;

2) tgx – 4tgx + ≥ 0;

3) sin x + cos x > 1.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств (урок обобщения и систематизации знаний в 11-м классе вечерней школы)

Цели урока:

  1. систематизация знаний, умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств;
  2. развитие логического мышления, умений анализировать, сравнивать, обобщать; развитие математической речи учащихся;
  3. воспитание уверенности в себе; воспитание культуры общения, умения работать в коллективе, группе.

Оборудование:

  • карточки-задания для каждого участника;
  • задания для капитанов команд — - «цветик-семицветик»;
  • карточки-задания для консультантов;
  • плакат “Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств”.

Форма проведения: урок – КВН

Ход урока

Класс разбит на 3 команды, выбраны капитаны, в каждой команде есть консультант, который ведёт контроль за правильностью решения примеров.

1. Разминка: (устно)

Найти значение выражения: (правильный ответ – 1 балл)

Составить неравенство и указать его решение: (правильный ответ – 2 балла)

2. Конкурс-блиц: (1 задание – 1 балл)

Решить уравнения:

1. sin x = -1
cos x = 1
tg x = 0
arcsin 3x =
cos 2x = 2

2. sin x = 0
cos x = -1
tg x = 1
arccos 4х =
2sin x = 4

3. sin x = 1
cos x = 0
tg x = -1
arctg 2x =
sin 4x = 2

Решить неравенство:

1. sin x < -1 2. cos x > 1 3. sin x > 1

Самопроверка, с использованием плаката “Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств” (Приложение 1).

3. Конкурс команд:

Каждому учащемуся из команды предлагается задание, состоящее из двух тригонометрических уравнений и одного неравенства. Работа выполняется по индивидуальным карточкам-заданиям трёх уровней сложности.

(зелёная карточка – 4 балла; синяя – 5 баллов; красная – 6 баллов)

Решить уравнение:

  1. 2cos 3x + 1 = 0
  2. 1 + 2sin 2x = 0
  3. tg=1
  4. tg = 1
  5. 3tg
  6. sin
  7. 2cos
  8. sin
  9. ctg
  10. cos x = —
  11. sin =
  12. sin 3x·cos x – cos 3x·sin x = 0
  13. cos 3x·cos x — sin 3x·sin x = 0
  14. sin 5x·cos x – cos 5x·sin x =
  15. cos 5x·cos x + sin 5x·sin x =
  16. cos 2x·cos x — sin 2x·sin x = 1
  17. cos 3x·cos x — sin 3x·sin x =
  18. coscos x + sin x·sin =
  19. 2sin2 x – 2cos x =
  20. 2cos2 x + 2 sin x = 2,5
  21. 3cos2 x + 7sin x – 5 = 0
  22. cos2 x + 6sin x – 6 = 0
  23. 5sin2 x + cos x – 1 = 0
  24. 2sin2 x + 5cos x = 4
  25. 5sin2 + 8cos (? + x) = 0
  26. sin2— 3cos (4? + x) = 4
  27. 4sin2 x – 4sin x + 1 = 0
  28. 2sin2 x + 5cos x + 1 = 0
  29. 2sin2 x + 11cos x — 7 = 0
  30. 5sin2 x + cos x — 1 = 0
  31. 2sin2 x + 7cos x + 2 = 0
  32. 3tg3 x – 3tg x = 0
  33. 2 — cos2 x + sin x = 0
  34. sin x + cos x = 0
  35. sin x + cos x = 0
  36. sin x +cos x = 0
  37. sin 2x + cos 2x = 0
  38. sin 2x — cos 2x = 0
  39. sin 2x = 2 sin2 x
  40. sin 2x — 2sin2 x = 0
  41. 2sin2 (? — x) = cos 2x
  42. sin 2x + cos 2x = 1
  43. sin= sin x
  44. sin= cos x
  45. cos x = 2 cos
  46. sin x +cos x = 2
  47. sin x – cos x = 1
  48. sin x +cos x = 1

Решить неравенство:

  1. sin x ?
  2. tg x ? —
  3. cos x ?
  4. tg x > -1
  5. cos x >
  6. sin x ?
  7. 2sin x > -1
  8. 2cos x < —
  9. ctg x < 1
  10. -2cos x > 1
  11. tg 2x ?
  12. 3tg 3x >
  13. tg ? -1
  14. cos 2x < -0,5
  15. sin 2x < -0,5
  16. sin 4x >
  17. sin (x + ) >
  18. cos<
  19. tg (x + ) > 1
  20. tg
  21. 2cos
  22. 2sin
  23. 2cos
  24. 3tg

1 команда

2 команда

3 команда

№1

Решить уравнения:

1. 2cos 3x + 1 = 0

2. 2sin2 x – 2cos x =

Решить неравенство:

sin x ?

№1

Решить уравнения:

1. 1 + 2sin 2x = 0

2. 2cos2 x + 2 sin x = 2,5

Решить неравенство:

tg x ? —

№1

Решить уравнения:

1. tg=1

2. 3cos2 x + 7sin x – 5 = 0

Решить неравенство:

cos x ?

№2

Решить уравнения:

1. tg = 1

2. cos2 x + 6sin x – 6 = 0

Решить неравенство:

tg x > -1

№2

Решить уравнения:

1. 3tg

2. 5sin2 x + cos x – 1 = 0

Решить неравенство:

cos x >

№2

Решить уравнения:

1. sin

2. 2sin2 x + 5cos x = 4

Решить неравенство:

sin x ?

№3

Решить уравнения:

1. cos x = —

2. 2sin2 x + 5cos x + 1 = 0

Решить неравенство:

-2cos x > 1

№3

Решить уравнения:

1. sin =

2. 2sin2 x + 11cos x — 7 = 0

Решить неравенство:

tg 2x ?

№3

Решить уравнения:

1. ctg

2. 4sin2 x – 4sin x + 1 = 0

Решить неравенство:

ctg x < 1

№4

Решить уравнения:

1. 2cos

2. 5sin2+8cos(? +x) = = 0

Решить неравенство:

2sin x > -1

№4

Решить уравнения:

1. sin

2. sin2-3cos (4?+x) = 4

Решить неравенство:

2cos x < —

№4

Решить уравнения:

1. sin 3x·cos x – cos 3x·sin x = = 0

2. 5sin2 x + cos x — 1 = 0

Решить неравенство:

3tg 3x >

№5

Решить уравнения:

1. sin 5x·cos x – cos 5x·sin x = =

2. 2sin2 x + 7cos x + 2 = 0

Решить неравенство:

tg ? -1

№5

Решить уравнения:

1. cos 5x·cos x+sin 5x·sin x =

2. 3tg3 x – 3tg x = 0

Решить неравенство:

cos 2x < -0,5

№5

Решить уравнения:

1. cos 2x·cos x — sin 2x·sin x =1

2. 2 — cos2 x + sin x = 0

Решить неравенство:

sin 2x < -0,5

№6

Решить уравнения:

1. cos 3x·cos x — sin 3x·sin x = =

2. sin x + cos x = 0

Решить неравенство:

sin 4x >

№6

Решить уравнения:

1. cos 3x·cos x-sin 3x·sin x = 0

2. sin x + cos x = 0

Решить неравенство:

sin (x + ) >

№6

Решить уравнения:

1. coscos x +

+ sin x·sin=

2. sin x +cos x = 0

Решить неравенство:

cos<

№7

Решить уравнения:

1. sin 2x + cos 2x = 0

2. sin= sin x

Решить неравенство:

tg (x + ) > 1

№7

Решить уравнения:

1. sin 2x — cos 2x = 0

2. sin= cos x

Решить неравенство:

tg

№7

Решить уравнения:

1. sin 2x = 2 sin2 x

2. cos x = 2 cos

Решить неравенство:

2cos

№8

Решить уравнения:

1. sin 2x — 2sin2 x = 0

2. sin x +cos x = 2

Решить неравенство:

2sin

№8

Решить уравнения:

1. 2sin2 (? — x) = cos 2x

2. sin x – cos x = 1

Решить неравенство:

2cos

№8

Решить уравнения:

1. sin 2x + cos 2x = 1

2. sin x +cos x = 1

Решить неравенство:

3tg

4. Конкурс капитанов:

Капитаны работают у доски. Им предлагается оторвать один лепесток «цветика-семицветика» (Приложение 2) с заданием (правильный ответ – 3 балла)

Решить уравнение:

  1. sin 2x = 2 sin2 x
  2. 3sin 2x + 7cos 2x = 0
  3. (cos x + sin x)2 = cos 2x
  4. 1 – 2sin 2x = 6cos2 x
  5. sin x – cos x = 2
  6. 7sin 2x + 2cos2x – 6 = 0
  7. sin x + cos x =

5. Конкурс консультантов: (правильный ответ – 4 балла)

Решите систему уравнений:

1. 2. 3.

6. Конкурс эрудитов:

Пока команды готовят вопросы друг для друга, слушаем сообщение об истории развития учения о тригонометрических функциях (Приложение 3).

Вопросы: (правильный ответ – 2 балла)

  1. Кем и когда были составлены первые тригонометрические таблицы?
  2. Что больше сos 35° или cos 50°?
  3. Что больше sin 50° или sin 55°?

Итоги урока: Подсчитываем количество баллов, набранных командами и каждым учащимся. Каждому учащемуся команды-победительницы + 1 балл. Ученикам, набравшим:

10 и более баллов – «5» (отлично);

7–9 баллов – «4» (хорошо);

4–6 баллов – «3» (удовлетворительно).

Домашнее задание:

Решите систему уравнений:

1. 2. 3.

Рефлексия: вопрос классу: «Оцените своё самочувствие на уроке, поставив какой-либо значок на графике функции у = sin х, изображенной на отвороте доски. Где вы себя ощущали: на гребне волны синусоиды или во впадине?»

Решение тригонометрических уравнений — Тригонометрия

В общем, есть 3 шага. Эти шаги могут быть очень сложными или даже невозможными, в зависимости от уравнения.

Шаг 1: Найдите тригонометрические значения, необходимые для решения уравнения.
Шаг 2: Найдите все «углы», которые дают нам эти значения из шага 1.
Шаг 3: Найдите значения неизвестных, которые приведут к углам, которые мы получили в шаге 2.

(длинный) Пример
Решение: #2sin(4x-pi/3)=1#

Шаг 1: Единственная триггерная функция в этом уравнении — #sin#.
Иногда бывает полезно, чтобы все выглядело проще, заменяя, например:
Замените #sin(4x-pi/3)# одной буквой #S#. Теперь нам нужно найти #S#, чтобы #2S=1#. Простой! Сделать #S=1/2#
Таким образом, решение должно будет сделать #sin(4x-pi/3)=1/2#

Шаг 2: «Угол» в этом уравнении равен #(4x-pi/3)#. На данный момент давайте назовем это #theta#. Нам нужно #sin theta = 1/2#
Таких #theta# бесконечно много, нужно найти их все.

Каждое #theta#, которое делает #sin theta = 1/2#, котерминально либо с #pi/6#, либо с #(5 pi)/6#.(Пройдите через один период графика или один раз по единичному кругу.)
Итак, #theta# Что, помните, является нашим кратким способом записи #4x-pi/3#, должно иметь форму: #theta = pi/6 +2 pi k# для некоторого целого числа #k# или вида #theta = (5 pi)/6 +2 pi k# для некоторого целого числа #k#.

Шаг 3:
Заменив #theta# в последнем бите шага 2, мы видим, что нам нужно одно из: #4x- pi/3 = pi/6+2 pi k# для целого числа #k#
или #4x- pi/3 = (5 pi)/6+2 pi k# для целого числа #k#.

Добавление # pi/3# в форме #(2 pi)/6# к обеим частям этих уравнений дает нам:
#4x = (3 pi)/6+2 pi k = pi/2+2 pi k# для целого числа #k# или
#4x = (7 pi)/6+2 pi k# для целого числа #k#.

Деление на #4# (умножение на #1/4#) дает нам:

#x= pi/8+(2pi k)/4# или
#x=(7 pi)/24+(2 pi k)/4# для целого числа #k#.

Мы можем записать это в более простой форме:
#x= pi/8+pi/2 k# или
#x=(7 pi)/24+pi/2 k# для целого числа #k#.

Последнее замечание Целое число #k# может быть положительным или отрицательным целым числом или 0. Если #k# отрицательное, мы фактически вычитаем из основного решения.

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Тригонометрия

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Тригонометрия — Тригонометрические неравенства…

При решении тригонометрических неравенств используются известные из алгебры свойства неравенств, а также тригонометрические преобразования и формулы. Использование единичной окружности при решении тригонометрических неравенств практически необходимо.Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 1 . Решите неравенство: sin x > 0,

Раствор . В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство справедливо при

0 < х <. Теперь необходимо добавить период синуса 2 п :

ПРИМЕР 2 . Решите неравенство: sin x > 0.5 .

Раствор .

ПРИМЕР 4 . Решить систему одновременных неравенств:

Второе неравенство tan x < 1 имеет решение:

Спина


| Главная | О нас | Ссылки | Свяжитесь с нами |

Copyright 2002-2007 Dr. Юрий Беренгард. Все права защищены.

Основные тригонометрические неравенства

Неизвестная переменная (угол): x
Набор целых чисел: ℤ
Целое число: n
Набор действительных чисел: ℝ
Реальный номер: и

тригонометрические функции: SIN x , COS x , Tan x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x , COT x

Неравенство, включающее тригонометрические функции неизвестного угла, называется тригонометрическим неравенством.

Основные тригонометрические уравнения имеют вид

Следующие \(16\) неравенства относятся к основным тригонометрическим неравенствам:

\[\sin x \gt a,\; \sin x \ge a,\; \sin x \lt a,\; \sin x \le a,\]

\[\cos x \gt a,\; \cos x \ge a,\; \cos x \lt a,\; \cos х \ле а,\]

\[\tan x \gt a,\; \тан х \ге а,\; \загар х \lt а,\; \загар х \ле а,\]

\[\cot x \gt a,\; \cot x \ge a,\; \кот х \lt а,\; \cot x \le a. \]

Здесь \(x\) неизвестная переменная, \(a\) может быть любым вещественным числом.

Неравенства вида \(\sin x \gt a,\) \(\sin x \ge a,\) \(\sin x \lt a,\) \(\sin x \le a\)

Неравенство \(\sin x \gt a\)

Если \(\left| a \right| \ge 1\), то неравенство \(\sin x \gt a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

Если \(a \lt -1\), то решением неравенства \(\sin x \gt a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}.\)

При \(-1 \le a \lt 1\) решение неравенства \(\sin x \gt a\) выражается в виде

\[\arcsin a + 2\pi n \lt x \lt \pi — \arcsin a + 2\pi n, \;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 1.

Неравенство \(\sin x \ge a\)

Если \(a \gt 1\), то неравенство \(\sin x \ge a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

Если \(a \le -1\), то решением неравенства \(\sin x \ge a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}.\)

Случай \(а = 1:\)

\[x = \pi/2 +2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}. \]

При \(-1 \lt a \lt 1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \ge a\) включает граничные углы и имеет вид

\[\arcsin a + 2\pi n \le x \le \pi — \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Неравенство \(\sin x \lt a\)

Если \(a \gt 1\), то решением неравенства \(\sin x \lt a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}.\)

Если \(a \le -1\), то неравенство \(\sin x \lt a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

При \(-1 \lt a \le 1\) решение неравенства \(\sin x \lt a\) лежит в интервале

\[-\pi — \arcsin a + 2\pi n \lt x \lt \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Фигура 2.

Неравенство \(\sin x \le a\)

Если \(a \ge 1\), то решением неравенства \(\sin x \le a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}.\)

Если \(a \lt -1\), то неравенство \(\sin x \le a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

Случай \(а = -1:\)

\[x = -\pi/2 + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}. \]

При \(-1 \lt a \lt 1\) решение нестрогого неравенства \(\sin x \le a\) лежит в интервале

\[-\pi — \arcsin a + 2\pi n \le x \le \arcsin a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Неравенства вида \(\cos x \gt a,\) \(\cos x \ge a,\) \(\cos x \lt a,\) \(\cos x \le a\)

Неравенство \(\cos x \gt a\)

Если \(a \ge 1\), то неравенство \(\cos x \gt a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

Если \(a \lt -1\), то решением неравенства \(\cos x \gt a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}.\)

При \(-1 \le a \lt 1\) решение неравенства \(\cos x \gt a\) имеет вид

\[-\arccos a + 2\pi n \lt x \lt \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 3.

Неравенство \(\cos x \ge a\)

Если \(a \gt 1\), то неравенство \(\cos x \ge a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

Если \(a \le -1\), то решением неравенства \(\cos x \ge a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}. \)

Случай \(а = 1:\)

\[x = 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

При \(-1 \lt a \lt 1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \ge a\) выражается формулой

\[-\arccos a + 2\pi n \le x \le \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Неравенство \(\cos x \lt a\)

Если \(a \gt 1\), то неравенство \(\cos x \lt a\) верно для любого действительного значения \(x\): \(x \in \mathbb{R}.\)

Если \(a \le -1\), то неравенство \(\cos x \lt a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

При \(-1 \lt a \le 1\) решение неравенства \(\cos x \lt a\) записывается в виде

\[\arccos a + 2\pi n \lt x \lt 2\pi — \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 4.

Неравенство \(\cos x \le a\)

Если \(a \ge 1\), то решением неравенства \(\cos x \le a\) является любое действительное число: \(x \in \mathbb{R}.\)

Если \(a \lt -1\), то неравенство \(\cos x \le a\) не имеет решений: \(x \in \varnothing.\)

Случай \(а = -1:\)

\[x = \pi + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}. \]

Для \(-1 \lt a \lt 1\) решение нестрогого неравенства \(\cos x \le a\) записывается как

\[\arccos a + 2\pi n \le x \le 2\pi — \arccos a + 2\pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Неравенства вида \(\tan x \gt a,\) \(\tan x \ge a,\) \(\tan x \lt a,\) \(\tan x \le a\)

Неравенство \(\tan x \gt a\)

Для любого действительного значения \(a\) решение строгого неравенства \(\tan x \gt a\) имеет вид

\[\arctan a + \pi n \lt x \lt \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 5.

Неравенство \(\tan x \ge a\)

Для любого действительного значения \(a\) решение неравенства \(\tan x \ge a\) выражается в виде

\[\arctan a + \pi n \le x \lt \pi/2 + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Неравенство \(\tan x \lt a\)

При любом значении \(a\) решение неравенства \(\tan x \lt a\) записывается в виде

\[-\pi/2 + \pi n \lt x \lt \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 6.

Неравенство \(\tan x \le a\)

Для любого значения \(a\) неравенство \(\tan x \le a\) имеет следующее решение:

\[-\pi/2 + \pi n \lt x \le \arctan a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}. \]

Неравенства вида \(\cot x \gt a,\) \(\cot x \ge a,\) \(\cot x \lt a,\) \(\cot x \le a\)

Неравенство \(\cot x \gt a\)

При любом значении \(a\) решение неравенства \(\cot x \gt a\) имеет вид

\[\pi n \lt x \lt \text {arccot ​​} a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рис. 7.

Неравенство \(\cot x \ge a\)

Нестрогое неравенство \(\cot x \ge a\) имеет аналогичное решение:

\[\pi n \lt x \le \text {arccot ​​} a + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Неравенство \(\cot x \lt a\)

При любом значении \(a\) решение неравенства \(\cot x \lt a\) лежит на открытом интервале

\[\text {arccot} a + \pi n \lt x \lt \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

Рисунок 8.

Неравенство \(\cot x \le a\)

При любом значении \(a\) решение нестрогого неравенства \(\cot x \le a\) лежит в полуинтервале

\[\text {arccot} a + \pi n \le x \lt \pi + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}.\]

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск