Рівняння з модулем 10 клас: Рівняння з модулями. Приклади

Содержание

Математика: 10 клас календарне планування

ТЕМА    УРОКУ                                          
І ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ (3 год)
Вступ Класифікація алгебраїчних рівнянь. Лінійне рівняння з однією змінною, з двома змінними, з параметрами та способи їх розв’язування
Системи лінійних рівнянь загального вигляду, аналіз кількості розв’язків. Метод Крамера, Гауса для систем трьох і більше рівнянь
Лінійне рівняння з модулем

ІІ РАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ (4год )
Раціональні рівняння з однією змінною. Значення ОДЗ для аналізу коренів
Раціональні рівняння, які містять змінну під знаком модуля. Раціональні рівняння з параметрами
Системи раціональних рівнянь з двома змінними
Розв’язування текстових задач за допомогою раціональних рівнянь
ІІІ КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ  (6 год)
Квадратні рівняння. Неповні, повні квадратні рівняння. Біквадратні рівняння, метод введення нової змінної
Рівняння, що зводяться до квадратних, методом виділення повного квадрату; за допомогою формул скороченого множення. Квадратні рівняння, що розв’язуються методом інтервалів
Розв’язування квадратних рівнянь через аналіз графіка квадратичної функції
Квадратні рівняння з параметрами. Квадратні рівняння, які містять змінну під знаком модуля
Системи квадратних рівнянь
Розв’язування текстових задач за допомогою квадратних рівнянь
ІV РІВНЯННЯ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ (4 год )
Многочлени з однією змінною та дії над ними. Ділення многочлена на многочлен
Розв’язування рівнянь вищих степенів за допомогою тотожних перетворень
Теорема Безу, формула Вієта для розв’язування симетричних рівнянь третього і четвертого степеня
Кратність коренів. Схема Горнера. Знаходження раціональних коренів многочлена з цілим коефіцієнтом
V РІВНЯННЯ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛІ: ВІД ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ДО РІВНЯНЬ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ (4 год)
Узагальнення поняття модуля.
Розкриття модулів числових виразів. Лінійні рівняння з модулем. Графік лінійного рівняння з модулем
Розв’язування рівнянь, що містять модуль, піднесенням до квадрату обох частин рівнянь; методом інтервалів
Розв’язування ірраціональних рівнянь, що зводяться до лінійних рівнянь з модулем
Графіки рівнянь з двома змінними, що містять аргумент під знаком модуля; містять обидві змінні під знаком модуля
VІ ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ (4 год)
Класифікація ірраціональних рівнянь. Основні методи розв’язування
Розв’язування ірраціональних рівнянь, що містять взаємно обернені величини. Метод вихідних пропорцій
Розв’язування ірраціональних рівнянь методом зведення до систем з алгебраїчних рівнянь
Системи ірраціональних рівнянь
VІІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ (5 год)
Класифікація тригонометричних рівнянь. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь
Розв’язування тригонометричних рівнянь, що до квадратних; шо зводяться до однорідних; що містять параметри
Розв’язування тригонометричних рівнянь розкладанням на множники, методом перетворення добутку(суму) тригонометричних функцій у суму(добуток)
Тригонометричні рівняння, що є лінійними відносно sinx і cosx, виду Asinx+Bcosx=C та способи його розв’язування
Системи тригонометричних рівнянь різних видів різними способами
VІІІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИ ( 5 год)
Лінійні рівняння з параметрами. Системи лінійних рівнянь з параметрами
Квадратні рівняння з параметрами
Параметри у тригонометрії: розв’язування алгебраїчного рівняння відносно певної тригонометричної функції та врахування області значень даної функції
Розв’язування рівнянь
Підсумковий урок

Загальні методи розв’язання рівнянь — методична рекомендація. Алгебра, 11 клас.

1. Рівняння третього степеня (добуток дорівнює 0) 2 вид — інтерпретація легке
1,5Б.
Розв’язання рівняння третього степеня (добуток дорівнює 0).
2. Рівняння з модулем вигляду |x|=a 2 вид — інтерпретація легке 1Б. Знаходження добутку коренів рівняння з модулем вигляду |x|=a.
3. Заміна рівняння на рівносильне рівняння 1 вид — рецептивний легке 1Б. Визначається рівносильність рівнянь у результаті переходу від рівняння вигляду h(f(x))=h(g(x)) до рівняння f(x)=g(x).
4. Рівняння третього степеня, спосіб групування 2 вид — інтерпретація середнє 4Б. Розв’язання рівняння третього степеня розкладанням на множники способом групування.
5. Біквадратне рівняння 2 вид — інтерпретація середнє 4Б. Розв’язання біквадратного рівняння способом введення нової змінної.
6. Рівняння п’ятого степеня 2 вид — інтерпретація середнє 3Б. Розв’язання рівняння п’ятого степеня, використання кубічного кореня (добуток дорівнює 0).
7. Рівняння n-го степеня 2 вид — інтерпретація середнє 2Б. Розв’язання рівняння n-го степеня.
8. Ірраціональне рівняння (квадратне) 2 вид — інтерпретація середнє 4Б. Розв’язання ірраціонального рівняння (формула квадрата суми або різниці).
9. Запитання про рівність із модулем 1 вид — рецептивний середнє 1Б. Теоретичні запитання про рівність із модулем, використання визначення модуля.
10. Рівняння з модулем вигляду |f(x)|=a 2 вид — інтерпретація середнє 2Б. Розв’язання рівняння з модулем вигляду |f(x)|=a.
11. Рівняння з модулем вигляду |f(x)|=|g(x)| 2 вид — інтерпретація середнє 3Б. Розв’язання рівняння з модулем вигляду |f(x)|=|g(x)|.
12. Рівняння з модулем, подібні модулі 2 вид — інтерпретація середнє 3Б. Розв’язання рівняння з модулем, зведення подібних модулів.
13. Тригонометричне рівняння, метод розкладання на множники 2 вид — інтерпретація середнє 4Б. Розв’язання тригонометричного рівняння методом розкладання на множники.
14. Рівняння шостого степеня, метод введення нової змінної 2 вид — інтерпретація середнє 3Б. Розв’язання рівняння шостого степеня методом введення нової змінної.
15. Ірраціональне рівняння, метод введення нової змінної 2 вид — інтерпретація середнє 4Б. Розв’язання ірраціонального рівняння методом введення нової змінної.
16. Ірраціональне рівняння, метод введення нової змінної, обернені величини 2 вид — інтерпретація середнє 3Б. Розв’язання ірраціонального рівняння методом введення нової змінної, обернені величини.
17. Логарифмічне рівняння, метод введення нової змінної 2 вид — інтерпретація середнє 4Б. Розв’язання логарифмічного рівняння методом введення нової змінної.
18. Розв’язання рівняння, заміна його на рівносильне рівняння 2 вид — інтерпретація середнє 2Б. Для розв’язання рівняння застосовується метод заміни його на рівносильне рівняння, тобто від рівняння вигляду h(f(x))=h(g(x)) переходимо до рівняння f(x)=g(x).
19. Розв’язання рівняння графічним методом 2 вид — інтерпретація середнє 2Б. Пропонується розв’язати рівняння, використовуючи функціонально-графічний метод.
20. Рівняння третього степеня, розкладання на множники 2 вид — інтерпретація важке 4Б. Розв’язання рівняння третього степеня методом розкладання на множники.
21. Рівняння вищого степеня 2 вид — інтерпретація важке 3Б. Розв’язання рівняння вищого степеня методом розкладання на множники.
22. Ірраціональне рівняння (властивість модуля) 2 вид — інтерпретація важке 4Б. Розв’язання ірраціонального рівняння, використання властивості модуля.
23. Рівняння з двома модулями 2 вид — інтерпретація важке 3Б. Розв’язання рівняння з двома модулями.
24. Квадратне рівняння з модулем 2 вид — інтерпретація важке 3Б. Розв’язання квадратного рівняння з модулем.

Модуль числа, рішення нерівностей з модулем, властивості, як розкрити, чому дорівнює модуль відємного числа, як вирішувати рівняння з модулем, приклади графіків

Модуль числа легко знайти, і теорії, яка лежить в його основі, важлива при вирішенні завдань.

Властивості та правила розкриття, використовувані при рішенні вправ і на іспитах, будуть корисні школярам і студентам.

Що таке модуль математики

Модуль числа описує відстань на числової лінії від нуля до точки без урахування того, у якому напрямку від нуля лежить точка. Математичне позначення: |x|.

Іншими словами, це абсолютна величина числа. Визначення доводить, що значення ніколи не буває негативним.

Властивості модуля

Важливо пам’ятати про наступні властивості:

  1. Правило розкриття: абсолютна величина будь-якого числа більше або дорівнює нулю:

  2. Якщо абсолютні значення містять вираження протилежних значень, вони рівні:

  3. Значення числа не перевищує величину його модуля:

  4. Правило розкриття при творі:

  5. Правило, застосовне при розподілі:

  6. При зведенні в ступінь:

  7. Сума величин:

  8. Подвійний модуль:

Модуль комплексного числа

Абсолютною величиною комплексного числа називають довжину спрямованого відрізка, проведеного від початку комплексної площини до точки (a, b).

Цей спрямований відрізок також є вектором, що представляють комплексне число a + bi, тому абсолютна величина комплексного числа – це те ж саме, що й величина (або довжина) вектора, що представляє a+ bi.

Як вирішувати рівняння з модулем

Рівняння з модулем – це рівність, яка містить вираз абсолютного значення. Якщо для дійсного числа воно представляє його відстань від початку координат на числової лінії, то нерівності з модулем є типом нерівностей, які складаються з абсолютних значень.

Рівняння типу |x| = a

Рівняння |x| = a має дві відповіді x = a і x = –a, тому що обидва варіанти знаходяться на координатній прямій на відстані a від 0.

Рівність з абсолютною величиною не має рішення, якщо величина негативна.

Якщо |x| < a являє собою відстань чисел від початку координат, це означає, що потрібно шукати всі числа, чиє відстань від початку координат a менше.

Рівняння типу |x| = |y|

Коли є абсолютні значення по обидві сторони рівнянь, потрібно розглянути обидві можливості для прийнятних визначень – позитивні й негативні висловлювання.

Наприклад, для рівності |x − a| = |x + b| є два варіанти: (x − a) = − (x + b) або (x − a) = (x + b).

Далі проста арифметика − потрібно вирішити два рівності щодо x.

Рівняння типу |x| = y

Рівняння такого виду містять абсолютну величину вирази із змінною ліворуч від нуля, а праворуч – ще одну невідому. Змінна y може бути як більше, так і менше нуля.

Для отримання відповіді на таку рівність потрібно вирішити систему з кількох рівнянь, в якій потрібно переконатися, що y – невід’ємна величина:

Рішення нерівностей з модулем

Щоб краще зрозуміти, як розкрити модуль в різних типах рівностей і нерівностей, потрібно проаналізувати приклади.

Рівняння виду |x| = a

Приклад 1 (алгебра 6 клас). Вирішити: |x| + 2 = 4.

Рішення.

Такі рівняння вирішуються так само, як і рівності без абсолютних значень. Це означає, що, переміщаючи невідомі вліво, а константи – вправо, вираз не змінюється.

Після переміщення константи вправо отримано: |x| = 2.

Оскільки невідомі пов’язані з абсолютним значенням, це рівність має дві відповіді: 2 і -2.

Відповідь: 2 і -2.

Приклад 2 (алгебра 7 клас). Вирішити нерівність |x + 2| ≥ 1.

Рішення.

Перше, що потрібно зробити, це знайти точки, де абсолютне значення зміниться. Для цього вираз прирівнюється до 0. Отримано: x = -2.

Це означає, що -2 – поворотна точка.

Далі визначається знак на інтервалах: на проміжку величина буде від’ємною, а на інтервалі буде позитивною.

Поділимо інтервал на 2 частини:

  1. для x + 2 ≥ 0

Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал [-1; + ∞).

  1. для х + 2 < 0

Загальним відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал (−∞; -3].

Остаточне рішення – об’єднання відповідей окремих частин:

x ∈ (–∞; -3] ∪ [-1; + ∞).

Відповідь: x ∈ (–∞; -3] ∪ [-1; + ∞).

Рівняння виду |x| = |y|

Приклад 1 (алгебра 8 клас). Вирішити рівняння з двома модулями: 2 * |x– 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Рішення:

Відповідь: x1 = 3; x2 = − 1.

Приклад 2 (алгебра 8 клас). Вирішити нерівність:

Рішення:

Рівняння виду |x| = y

Приклад 1 (алгебра 10 клас). Знайти x:

Рішення:

Дуже важливо провести перевірку правій частині, інакше можна написати у відповідь помилкові коріння. З системи видно, що не лежить в проміжку .

Відповідь: x = 0.

Модуль суми

Модуль різниці

Абсолютна величина різниці двох чисел x і y дорівнює відстані між точками з координатами X і Y на координатній прямій.

Приклад 1.

Приклад 2.

Модуль від’ємного числа

Для знаходження абсолютного значення числа, яке менше нуля, потрібно дізнатися, як далеко воно лежить від нуля. Оскільки відстань завжди є позитивним (неможливо пройти «негативні» кроки, це просто кроки в іншому напрямку), результат завжди позитивний. Тобто,

Простіше кажучи, абсолютна величина від’ємного числа має протилежне значення.

Модуль нуля

Відомо властивість:

Ось чому можна сказати, що абсолютна величина – позитивне число: нуль не є ні негативних, ні позитивних.

Модуль в квадраті

Модуль в квадраті завжди дорівнює виразу в квадраті:

Приклади графіків з модулем

Часто в тестах і на іспитах зустрічаються завдання, які можна вирішити, лише проаналізувавши графіки. Розглянемо такі завдання.

Приклад 1.

Дана функція f(x) = |x|. Необхідно побудувати графік від – 3 до 3 з кроком 1.

Рішення:

Пояснення: з рисунка видно, що графік симетричний відносно осі Y.

Приклад 2. Необхідно намалювати і порівняти графіки функцій f(x) = |x–2| і g(x) = |x|-2.

Рішення:

Пояснення: константа всередині абсолютної величини переміщує весь графік вправо, якщо значення негативне, і вліво, якщо позитивне. Але постійна зовні буде пересувати графік вгору, якщо значення позитивне, і вниз, якщо воно негативне (як -2 функції g (x)).

Координата вершини x (точка, в якій поєднуються дві лінії, вершина графа) – це число, на яке графік зсувається вліво або вправо. А координата y – це значення, на яке графік зсувається вгору або вниз.

Будувати такі графіки можна за допомогою онлайн додатків для побудови. З їх допомогою можна наочно побачити, як константи впливають на функції.

Метод інтервалів в задачах з модулем

Метод інтервалів – один з кращих способів знайти відповідь у завданнях з модулем, особливо якщо у виразі їх кілька.

Для використання методу потрібно зробити наступні дії:

  1. Прирівняти кожен вираз до нуля.
  2. Знайти значення змінних.
  3. Нанести на числову пряму точки, отримані в пункті 2.
  4. Визначити на проміжках знак виразів (негативне або позитивне значення) і намалювати символ – або + відповідно. Найпростіше визначити знак за допомогою методу підстановки (підставивши будь-яке значення з проміжку).
  5. Вирішити нерівності з отриманими знаками.

Приклад 1. Розв’язати методом інтервалів.

Рішення:

Результатом буде сума всіх відповідних інтервалів.

У модулі Модуль

Серед прикладів часто зустрічаються рівняння, де потрібно знайти коріння рівностей такого виду: ||ax – b| c| = kx + m.

Краще всього зрозуміти принцип на прикладі.

Приклад 1. Вирішити

Рішення:

Першим ділом потрібно розкрити внутрішній модуль. Для цього розглядається два варіанти:

У першому випадку вираз позитивне, а в другому негативне. Виходячи з цього, отримуємо:

Потрібно спростити два рівняння:

Далі кожна з рівностей поділяється ще на два:

Отримано чотири результату:

Висновок

Найважливіше, що потрібно знати: модуль не може бути від’ємним.

Тому, якщо не надано вираз, схожий на |2 – 4x| = -7 варто пам’ятати, що рівність невірно навіть без пошуків відповідей.

Як підсумок, нагадаємо всі властивості, які допоможуть у вирішенні завдань:

  • коли позитивне число знаходиться всередині модуля, досить просто позбутися від нього;
  • якщо є вираз, потрібно його спростити, перш ніж знайти абсолютне значення;
  • якщо рівняння містить дві змінні, потрібно вирішувати його за допомогою системи рівнянь і за основу брати методи розв’язання виразів з абсолютними величинами.

Вирішувати рівності і нерівності можна різними способами, але краще всього використовувати графічний спосіб або метод інтервалів.

МОДУЛЬ 10 ОЦЕНКА — eme5601

ПРЕДСКАЗАНИЯ

 


Этот рисунок иллюстрирует дискомфорт, который обычно сопровождает оценку. И следующий пример показывает, что оценочная обратная связь не всегда воспринимается человеком, которого оценивают, положительно.

 

Дон Тости, внесший значительный вклад в практику педагогического дизайна, однажды спросил: «Если обратная связь желательна, почему люди идут на все, чтобы избежать ее предоставления или получения?» Все признают, что обратная связь может быть полезной, но, как подразумевал Дон Тости и как иллюстрируют приведенные выше карикатуры, обычно рассматривается как неудобный процесс либо для оценки, либо для получения результатов оценки. Для этого есть множество причин, не последней из которых является то, что когда происходит оценка, она часто делается неуклюже или оскорбительно, или, наоборот, тривиально.Однако оценка может быть чрезвычайно полезной и, по сути, является важнейшим элементом успеха в разработке и проведении обучения. Литература и упражнения в этом модуле содержат ценную информацию о типах и процессах оценивания.


ЦЕЛИ

В Модуле 10 вы:


 

 

Обь тел.

 

Ac тивит y #

 

Ду и

 

10.1 Подготовьте вопросы, которые можно использовать при оценке «реакции учащихся»

 

Эта цель будет достигнута путем чтения в

Мероприятие 10.1 и три части Мероприятия 10.2.

 

10,1

 

 

 

10.2-П т 1

 

10.2-П т 2

 

10.2-П т 3

 

 

 

 

 

 

 

10 апр 23:59

 

13 апр 23:59

 

17 апр 23:59

 

10. 3 Описать ключевые концепции и соображения, касающиеся формативной и итоговой оценки и процесса, называемого «анализ затрат и результатов»

.

 

Эта цель будет достигнута путем выполнения показаний в

Мероприятие 10.3 и обсуждение в Мероприятии 10.4.

 

10,3

 

 

 

 

10,4

 

 

 

 

 

 

20 апр 23:59

 

10.5 Разработка модели процесса ISD

 

Эта цель будет достигнута путем подготовки Задания 4, последнего основного задания для класса.

 

10,5

Присвоить#4

 

25 апр 23:59

 

 

ОБЗОР МОДУЛЯ

 

Этот модуль начинается с краткого введения в концепцию оценки, за которым следует подробное обсуждение различных типов оценки.Представлены две разные, но связанные между собой схемы классификации типов оценки. Первый, называемый уровнями оценки, изображен в модели оценки, которая определяет четыре уровня (или цели) оценки. Через ряд чтений и действий вы обдумаете, почему, когда и как использовать каждый уровень оценки. Особое внимание уделяется вопросам выбора инструментов и их осуществимости. Во второй структуре типы оценивания классифицируются как формирующее оценивание или итоговое оценивание.Описываются цели каждого из них, а затем сравниваются с уровнями оценки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.