Система неравенств это: Системы неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

определение, понятие, алгоритм и примеры

Понятие системы неравенств с одной переменной и его решения

Несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если нужно найти такое множество значений переменной, которое будет решением каждого из неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной является такое множество значений этой переменной, которое превращает каждое из неравенств в верное числовое неравенство.

Следствие: общим решением системы неравенств с одной переменной является пересечение частных решений каждого из неравенств системы.

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -5 \\ x \lt 5 \end{array} \right.} \iff -5 \le x \lt 5 или x \in \Bbb[-5;5)$ — полуинтервал

О пересечении числовых промежутков подробней см. §17 данного справочника

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника.

Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} x-2 \lt 1 \\ x+5 \ge 6 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 3 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \iff 1 \le x \lt 3 или x \in \Bbb[1;3)$ — полуинтервал

Внимание!

Если в системе неравенств есть несколько неравенств со знаком «больше», то из них останется одно неравенство по принципу «больше большего».

Аналогично:

Если в системе неравенств есть несколько неравенств со знаком «меньше», то из них останется одно неравенство по принципу «меньше меньшего» .

Например:

1) В системе $ {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end{array} \right.} $ наибольшее число (условие) справа 5.

По принципу «больше большего» останется: $ {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end{array} \right.} \iff x \gt 5 $

2) В системе $ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} $ наименьшее число (условие) справа 2.

По принципу «меньше меньшего» останется: $ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} \iff x \lt 2 $

Примеры

Пример 1. Решите системы уравнений:

$а) {\left\{ \begin{array}{c} 2(x-8) \ge x-16 \\ 3(x+1) \le 11 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 2x-x \ge -16+16 \\ 2x \le 11-3 \end{array} \right. } \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 0 \\ 2x \le 8 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 0 \\ x \le 4 \end{array} \right.} \iff 0 \le x \le 4$

$x \in [0;4]$ — интервал

$б) {\left\{ \begin{array}{c} 5(x-6) \gt x-10 \\ 4(x-1) \lt x+5 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 5x-x \gt 30-10 \\ 4x-x \lt 5+4 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 4x \gt 20 \\ 3x \lt 9 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing$ — решений нет

$в) {\left\{ \begin{array}{c} -5 \lt 3x+1 \le 4 \\ 3 \lt 2x+5 \lt 9 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -5-1 \lt 3x \le 4-1 \\ 3-5 \lt 2x \lt 9-5 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -6 \lt 3x \le 3 \\ -2 \lt 2x \lt 4 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -2 \lt x \le 1 \\ -1 \lt x \lt 2 \end{array} \right.} \iff$

$$\iff -1 \lt x \le 1$$

$x \in (-1;1] $ — полуинтервал

Пример 2. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

$ а) \sqrt{x+2} + \sqrt{4-x} $

$ {\left\{ \begin{array}{c} x+2 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -2 \\ x \le 4 \end{array} \right.} \iff -2 \le x \le 4 $

$x \in [-2;4]$

$ б) \sqrt{2x+3} + \frac{1}{x-4}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1,5 \\ x \neq 4 \end{array} \right.}$

$x \in [-1,5;4) \cup (4;+ \infty) $

$ в) \frac{1}{\sqrt{x-5}} + \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} x-5 \gt 0 \\ 1-x \gt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing $ — решений нет

$ г) {\sqrt{x+3}} + \frac{1}{\sqrt{x+1}}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \ge 0 \\ x+1 \gt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -3 \\ x \gt -1 \end{array} \right. } \iff x>-1$

$x \in (-1;+ \infty) $

Пример 3*. У космического пирата Шутзема несколько затруднительное финансовое положение и только 510 астротугриков в кармане. Однако ему нужно пополнить запасы топлива и продовольствия. Одна капсула с топливом стоит 50 астротугриков, а одна капсула с едой – 30 астротугриков. Какой вариант покупок есть у Шутзема на всю сумму без сдачи, если топлива нужно не менее 4 капсул, а еды – не менее 5?

Пусть x — количество капсул с топливом, y – количество капсул с едой.

По условию задачи:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 50x+30y \le 500 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 5x+3y \le 50 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end{array} \right.} $$

Изобразим полученные полуплоскости графически и найдём их пересечение.

Прямая сверху – это бюджетное ограничение.

На этой прямой в области допустимых значений (закрашенный треугольник, стороны включительно) есть только одно целое решение: $ {\left\{ \begin{array}{c} x = 6 \\ y = 7 \end{array} \right. 2-x-2 \le 0 \\ x \ge 0\end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} (x+1)(x-2) \le 0 \\ x \ge 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -1 \le x \le 2\\x \ge 0 \end{array} \right.} \iff 0 \le x \le 2 $$

$x \in [0;2]$

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Примеры

Пример 1. Решите систему неравенств:

$ а) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+3}{x-1} \gt \frac{x-2}{x+4} \\ 2x+5 \lt x+7 \end{array} \right. 2-3x+2)}{(x-1)(x+4)} \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{4x+10}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{4(x+2,5)}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2,5}{(x-1)(x+4)} \gt 0 \\ x \lt 2\end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-4;-2,5) \cup (1;2)$

$ б) {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} \ge 2 \\ 3(x+2) \gt 4x \end{array} \right.}$

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} \ge 2 \\ 3(x+2) \gt 4x\end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1}{x-4} -2 \ge 0 \\ 3x+6 \gt 4x \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{5x+1-2(x-4)}{x-4} \ge 0 \\ 6 \gt 4x-3x\end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3x+9}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{3(x+3)}{x-4} \ge 0\\ x \lt 6 \end{array} \right.

2-10x+21} \gt 0 $

Разложим знаменатель на множители. Неравенство строгое, поэтому уберём скобку с чётной степенью в числителе и добавим требование неравенства корню в систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2(x+2,5)}{(x-7)(x-3)} \gt 0 \\x \neq 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+2,5}{(x-7)(x-3)} \gt 0 \\x \neq 1 \end{array} \right.} $$

Ответ: $x \in (-2,5;1) \cup (1;3) \cup (7;+\infty) $

Пример 3. Решите двойные неравенства:

$а) -1 \le \frac{x+5}{x-3} \le 3$

Запишем и решим систему:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} \frac{x+5}{x-3} ≥ -1\\ \frac{x+5}{x-3} ≤ 3 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x+5}{x-3} +1 ≥ 0 \\\frac{x+5}{x-3} -3 ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c}\frac{x+5+x-3}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{x+5-3x+9}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.} \Rightarrow $$

$$ \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} \frac{2x+2}{x-3} ≥ 0 \\ \frac{-2x+14}{x-3} ≤ 0 \end{array} \right.

2-4 \cdot 1 \cdot (-9) = 16+36 = 52, x_{1, 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{13}}{2} = 2 \pm \sqrt{13} $$

Ответ: $x \in (-\infty;-5) \cup [2-\sqrt{13};-1) \cup [2+\sqrt{13};+\infty) $

Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Неравенство — это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство.

Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств — часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования, в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

, откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:

Решение:

,

следовательно, координаты точки B: .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств, то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A(3; 0), B(0; 2). Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0):

,

получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

,

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае — может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2. Решить систему линейных неравенств

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC. Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC, является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE. Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE.

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n-мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

Так же, как и в двухмерном пространстве (на плоскости), каждое из неравенств системы определяет n-мерное полупространство. Пересечение всех этих полупространств образует многогранник решений. Но изобразить этот многогранник (называемый симплексом) геометрически невозможно. Лишь в случае, когда число неизвестных не больше трёх, то есть в действительном пространстве, многогранник решений можно изобразить геометрически.

Множество решений линейных неравенств геометрически составляет выпуклый многогранник или выпуклое множество точек.

Как уже отмечалось, системы линейных неравенств играют важную роль в линейном программировании. Теоремы линейного программирования содержат такие понятия, как выпуклые множества и крайние точки. Разберёмся бегло, о чём речь.

Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их. Если же существует хотя бы такая пара точек множества, что отрезок, соединяющий эти точки, не принадлежит целиком этому множеству, то такое множество называется невыпуклым. На рисунке 4 слева изображено выпуклое множество, а справа — невыпуклое.

Выпуклые множества обладают важным свойством, которое устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Пересечение двух выпуклых множеств — также выпуклое множество.

Через любую внутреннюю точку выпуклого множества можно провести отрезок, для которого она является внутренней, а сам отрезок целиком принадлежит этому множеству. Но есть точки (для выпуклого многоугольника это его вершины), для которых такое построение выполнить нельзя: нет ни одного отрезка, для которого вершина являлась бы внутренней, а отрезок целиком бы принадлежал мноргоугольнику.

Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.

Продолжение темы «Систем уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

определение, виды, примеры решения. Что называется решением системы неравенств

Системе неравенств.
Пример 1 . Найти область определения выражения
Решение. Под знаком квадратного корня должно находиться неотрицательное число, значит, должны одновременно выполняться два неравенства: В таких случаях говорят, что задача сводится к решению системы неравенств

Но с такой математической моделью (системой неравенств) мы еще не встречались. Значит, решение примера мы пока не в состоянии довести до конца.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой (так же обстоит дело и в системах уравнений). Например, запись

означает, что неравенства 2х — 1 > 3 и Зх — 2

Иногда используется запись системы неравенств в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства 3

В курсе алгебры 9-го класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств.

Рассмотрим систему неравенств

Можно подобрать несколько ее частных решений, например х = 3, х = 4, х = 3,5. В самом деле, при х = 3 первое неравенство принимает вид 5 > 3, а второе — вид 7

В то же время значение х = 5 не является решением системы неравенств. При х = 5 первое неравенство принимает вид 9 > 3 — верное числовое неравенство, а второе — вид 13 Решить систему неравенств — значит найти все ее частные решения. Ясно, что такое угадывание, которое продемонстрировано выше, — не метод решения системы неравенств. В следующем примере мы покажем, как обычно рассуждают при решении системы неравенств.

Пример 3. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.

а) Решая первое неравенство системы, находим 2х > 4, х > 2; решая второе неравенство системы, находим Зх б) Решая первое неравенство системы, находим х > 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 23). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем луч


в) Решая первое неравенство системы, находим х

Обобщим рассуждения, проведенные в рассмотренном примере. Предположим, что нам нужно решить систему неравенств


Пусть, например, интервал (а, b) является решением неравенства fх 2 > g(х), а интервал (с, d) — решением неравенства f 2 (х) > s 2 (х). Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 25). Решением системы неравенств является пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. На рис. 25 это интервал (с, b).


Теперь мы без особого труда сможем решить систему неравенств, которую получили выше, в примере 1:

Решая первое неравенство системы, находим х > 2; решая второе неравенство системы, находим х


Разумеется, система неравенств не обязательно должна состоять из линейных неравенств, как было до сих пор; могут встретиться любые рациональные (и не только рациональные) неравенства. Технически работа с системой рациональных нелинейных неравенств, конечно, сложнее, но принципиально нового (по сравнению с системами линейных неравенств) здесь ничего нет.

Пример 4. Решить систему неравенств

Р е ш е н и е.

1) Решим неравенство Имеем
Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой (рис. 27). Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х) = (х- 3)(х + 3) сохраняет постоянный знак — эти знаки указаны на рис. 27. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство р(х) > 0 (они заштрихованы на рис. 27), и точки, в которых выполняется равенство р(х) = 0, т.е. точки х = -3, х = 3 (они отмечены на рис. 2 7 темными кружочками). Таким образом, на рис. 27 представлена геометрическая модель решения первого неравенства.


2) Решим неравенство Имеем
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой (рис. 28). Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение О (заштриховано на рис. 28), и точки, в которых выполняется равенство g (х) — О, т.е. точки х = 0, х = 5 (они отмечены на рис. 28 темными кружочками). Таким образом, на рис. 28 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.


3) Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а для решений второго — нижнюю штриховку (рис. 29). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок .


Пример 5. Решить систему неравенств:


Решение:

а) Из первого неравенства находим x >2. Рассмотрим второе неравенство. Квадратный трехчлен х 2 + х + 2 не имеет действительных корней, а его старший коэффициент (коэффициент при х 2) положителен. Значит, при всех х выполняется неравенство х 2 + х + 2>0,а потому второе неравенство системы не имеет решений. Что это значит для системы неравенств? Это значит, что система не имеет решений.

б) Из первого неравенства находим x > 2, а второе неравенство выполняется при любых значениях х. Что это значит для системы неравенств? Это значит, что ее решение имеет вид х>2, т.е. совпадает с решением первого неравенства.

О т в е т:

а) нет решений; б) x >2.

Этот пример является иллюстрацией для следующих полезных

1. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.

2. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной , то решением системы служит решение второго неравенства системы.

Завершая этот параграф, вернемся к приведенной в его начале задаче о задуманном числе и решим ее, как говорится, по всем правилам.

Пример 2 (см. с. 29). Задумано натуральное число. Известно, что если к квадрату задуманного числа прибавить 13, то сумма будет больше произведения задуманного числа и числа 14. Если же к квадрату задуманного числа прибавить 45, то сумма будет меньше произведения задуманного числа и числа 18. Какое число задумано?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.
Задуманное число х, как мы видели выше, должно удовлетворять системе неравенств


Второй этап. Работа с составленной математической моделью.Преобразуем первое неравенство системы к виду
х2- 14x+ 13 > 0.

Найдем корни трехчлена х 2 — 14x + 13: х 2 = 1, х 2 = 13. С помощью параболы у = х 2 — 14x + 13 (рис. 30) делаем вывод, что интересующее нас неравенство выполняется при x 13.

Преобразуем второе неравенство системы к виду х2 — 18 2 + 45

В этой статье собрана начальная информация о системах неравенств. Здесь дано определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. А также перечислены основные виды систем, с которыми наиболее часто приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Навигация по странице.

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определить аналогично тому, как мы вводили определение системы уравнений , то есть, по виду записи и смыслу, вложенному в нее.

Определение.

Система неравенств – это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11 , запишем их одно под другим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
и объединим знаком системы – фигурной скобкой, в результате получим систему неравенств такого вида:

Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что в них определения даются более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными .

Основные виды систем неравенств

Понятно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не заблудиться в этом многообразии, их целесообразно рассматривать по группам, имеющим свои отличительные признаки. Все системы неравенств можно разбить на группы по следующим критериям:

  • по числу неравенств в системе;
  • по числу переменных, участвующих в записи;
  • по виду самих неравенств.

По числу неравенств, входящих в запись, различают системы двух, трех, четырех и т.д. неравенств. В предыдущем пункте мы привели пример системы , которая является системой двух неравенств. Покажем еще пример системы четырех неравенств .

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в этом случае по сути речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если смотреть на число переменных, то имеют место системы неравенств с одной, двумя, тремя и т.д. переменными (или, как еще говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, записанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x , y и z . Обратите внимание, что ее два первых неравенства содержат не все три переменные, а лишь по одной из них. В контексте этой системы их стоит понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 соответственно. Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств , она взята из .

Что называется решением системы неравенств?

Введем еще одно определение, связанное с системами неравенств, — определение решения системы неравенств :

Определение.

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, обращающее каждое из неравенств системы в верное , другими словами, являющееся решением каждого неравенства системы.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной . Возьмем значение переменной x , равное 8 , оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два верных числовых неравенства 8>7 и 2−3·8≤0 . Напротив, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной x первое неравенство обратится в неверное числовое неравенство 1>7 .

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и большим числом переменных:

Определение.

Решением системы неравенств с двумя, тремя и т.д. переменными называется пара, тройка и т.д. значений этих переменных, которая одновременно является решением каждого неравенства системы, то есть, обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

К примеру, пара значений x=1 , y=2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными , так как 1+2

Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, а могут иметь и бесконечно много решений. Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Когда система не имеет решений, то имеет место пустое множество ее решений. Когда решений конечное число, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то и множество решений состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича . Под частным решением системы неравенств понимают ее одно отдельно взятое решение. В свою очередь общее решение системы неравенств — это все ее частные решения. Однако в этих терминах есть смысл лишь тогда, когда требуется особо подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это и так понятно из контекста, поэтому намного чаще говорят просто «решение системы неравенств».

Из введенных в этой статье определений системы неравенств и ее решений следует, что решение системы неравенств представляет собой пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.

Список литературы.

  1. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2008. — 287 с. : ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. ЕГЭ -2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012. – 192 с. – (ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе).

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Определение 1

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 · x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

  • количество неравенств системы;
  • количество переменных записи;
  • вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x ≥ — 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 — x 2 — 4 · y 2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x , y , z . Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544 — 4 — x 32 — 2 — x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Определение 2

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x > 7 , 2 — 3 · x ≤ 0

Если значение х = 8 , то решение системы очевидно, так как выполняется 8 > 7 и 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1 > 7 . Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Определение 3

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х = 1 и у = 2 будет решением неравенства x + y

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное. Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенствсчитают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке мы начнем изучение систем неравенств. Вначале будем рассматривать системы линейных неравенств. В начале урока рассмотрим, откуда и зачем возникают системы неравенств. Далее изучим, что значит решить систему, и вспомним объединение и пересечение множеств. В конце будем решать конкретные примеры на системы линейных неравенств.

Тема : Рацион альные неравенства и их системы

Урок: Основн ые понятия, решение систем линейных неравенств

До сих пор мы решали отдельные неравенства и применяли к ним метод интервалов, это могли быть и линейные неравенства , и квадратные и рациональные. Теперь перейдем к решению систем неравенств — сначала линейных систем . Посмотрим на примере, откуда берется необходимость рассматривать системы неравенств.

Найти область определения функции

Найти область определения функции

Функция существует, когда существуют оба квадратних корня, т.е.

Как решать такую систему? Необходимо найти все x, удовлетворяющие и первому и второму неравенству.

Изобразим на оси ox множество решений первого и второго неравенства.

Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение.

Такой метод изображения решения системы неравенств иногда называют методом крыш.

Решением системы является пересечение двух множеств.

Изобразим это графически. Имеем множество А произвольной природы и множество В произвольной природы, которые пересекаются.

Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое состоит из всех элементов, входящих и в А и в В.

Рассмотрим на конкретных примерах решения линейных систем неравенств, как находить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Решить систему неравенств:

Ответ: (7; 10].

4. Решить систему

Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства

Графически обозначим решения каждого неравенства и найдем промежуток их пересечения.

Таким образом, если мы имеем систему, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно исключить.

Ответ: система противоречива.

Мы рассмотрели типовые опорные задачи, к которым сводится решение любой линейной системы неравенств.

Рассмотрим следующую систему.

7.

Иногда линейная система задается двойным неравенством, рассмотрим такой случай.

8.

Мы рассмотрели системы линейных неравенств, поняли, откуда они появляются, рассмотрели типовые системы, к которым сводятся все линейные системы, и решили некоторые из них.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Портал Естественных Наук ().

2. 2-1)≥0\\x

Решение системы неравенств

Чтобы

решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из \((4;\infty)\), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, то есть любой икс из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.


Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.

Пример: (Задание из ОГЭ) Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)
Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)

Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.

Перевернем получившееся неравенство.

Поделим все неравенство на \(2\).

Запишем ответ для первого неравенства.

\(x∈(-∞;4)\)

Теперь решим второе неравенство.

2) \((x-5)(x+8)

Неравенство уже в идеальном виде для применения .

Запишем ответ для второго неравенства.

Объединим оба решения с помощью числовых осей. 2\)

Перед нами обычное – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.

Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.

Отметим решение на числовой прямой.

Запишем ответ к первому неравенству.

\(x∈(-∞;5]\)

На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.

2) \(2-7x≤14-3x\)

Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).

\(-7x+3x≤14-2\)

Приводим подобные слагаемые.

Делим все неравенство на \(-4\), перевернув при этом знак.

Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.

\(x∈[-3;∞)\)

А теперь объединим решения. 2-55x+2500\end{cases}\)

Математика по полочкам: 13. Системы неравенств

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Если ставится задача найти множество общих решений двух или более неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой. Иногда системы неравенств записывают в виде двойного неравенства:

-5<x<12 или 
Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство.
Решить систему неравенств – значит найти решения для всей системы, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Чтобы решить систему неравенств с одной переменной, надо:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти пересечение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств.

Пример:
Решить систему неравенств:
Решим каждое неравенство в отдельности
1) 5x-x2≥0,
5x-x2=0,
x(5-x)=0,
x=0 или 5-x=0,
-x=-5,
x=5.
Находим решение с помощью метода интервалов:
2) 6-2x<-2,
-2x<-2-6,
-2x<-8,
x>-8:(-2),
x>4.

Объединим оба решения:

Ответ: (4; 5].
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если необходимо найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой.

Решением совокупности неравенств называют такие значения переменной, которые являются верными хотя бы для одного из этих неравенств.

Чтобы решить совокупность неравенств с одной переменной, надо:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти объединение найденных решений, отметив решение каждого неравенства на числовой прямой.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Пример:
Решить совокупность неравенств:


Решим каждое неравенство в отдельности
1) 5х+6≤1,
     5х≤ -5,
     х≤ -1.

2) 2х+1≥3,
    2х≥2,
    х≥1.

Объединим оба решения:

Ответ: (-∞; -1]U[1;+∞).



УПРАЖНЕНИЯ

1. Решите систему неравенств:
Решение:
а)
Ответ: (5; 7]



2. Решите систему неравенств:
Решение:

Ответ: (1; 10].




3. Найдите целые решения системы неравенств:
Решение:
а)
Ответом являются все целые числа, которые принадлежат промежутку (-15; 5).
Ответ: -14; -13; -12; -11; -10; -9; -8; -7; -6.



4. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (-1; 3).



5. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (-1;2).



6. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: нет решений.



7. Решите систему неравенств:

Решение:

Ответ: (0; +∞).


8. Решите неравенство:

а) -2<3x+5≤10;    б) 2<4x+6≤12.

Решение:

Ответ: (-2 1/3; 1 2/3].



9. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: [0,4; 0,5).



10. Решите систему неравенств (№ 3. 4.52 [7]):
Решение:
Ответ: (-1; 2).



11. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: [-9; 3)U(3; 9].



12. Решите систему неравенств:
Решение:




Ответ: (-7; -6)U(1;7).



13. Решите систему неравенств:
Решение:
Ответ: (2; 4).



14. Решите систему неравенств:

Решение:

Ответ: (-7; -2)U(0; 2).


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Решите систему неравенств:

2. Решите систему неравенств:

3. Решите систему неравенств:

4. Решите систему неравенств:

5. Решите систему неравенств:

6. Решите систему неравенств:

7. Решите систему неравенств:

8. Решите систему неравенств:

9. Решите систему неравенств:

10. Решите систему неравенств:


Проверь себя


Решение систем неравенств с одной переменной. | Математика в школе

Здравствуйте, уважаемые читатели. Решение системы неравенств с одной переменной, намного легче, чем решение системы уравнений. Поехали.

Решим следующую систему неравенств:

Решим эту систему двумя способами. Первый способ решения системы неравенств с одной переменной, это постоянно переписываем систему и делаем преобразование в каждом неравенстве. Такой способ для многих учащихся сложный, они начинают запутываться. Привожу решение этим методом ниже по действиям. В каждой системе выполнено определенное действие.

1. Выполнили раскрытие скобок. 2. Выполнено умножение и определены выражения, которые перенесем вправо и влево. 3. Приведем подобные слагаемые. 4. Делим правую и левую сторону неравенств на одинаковое число. 5. Конечная система неравенств по которой пишем ответ.

1. Выполнили раскрытие скобок. 2. Выполнено умножение и определены выражения, которые перенесем вправо и влево. 3. Приведем подобные слагаемые. 4. Делим правую и левую сторону неравенств на одинаковое число. 5. Конечная система неравенств по которой пишем ответ.

Ответ к системе можно записать на координатной прямой в виде пересечений множеств, в виде неравенства или числового промежутка.

Точка, выколотая т.к. знак неравенства строгий, и закрашенная — знак неравенства нестрогий.

Точка, выколотая т.к. знак неравенства строгий, и закрашенная — знак неравенства нестрогий.

Второй способ решения системы неравенств с одной переменной.

Тем, кому кажется сложным первый способ решения, то можно и этим способом решать. Каждое неравенство решаем отдельно, но при записи ответа, обязательно решение каждого неравенства указать на координатной прямой, затем отобразить решения на общей координатной прямой.

Соединим обе этих картинки на общей числовой прямой, и получим ответ для системы неравенств

Другие статьи канала на похожую тему:

Сравниваем решение линейных уравнений и линейных неравенства с одной переменной.

Решение линейных неравенств. Задание № 13 ОГЭ

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Неравенства методы их решения. Методы решения неравенств. Системы неравенств и системы уравнений

Одна из тем, которая требует от учеников максимума внимания и усидчивости, это решение неравенств. Такие похожие на уравнения и при этом сильно от них отличающиеся. Потому что к их решению нужен особый подход.

Свойства, которые потребуются для нахождения ответа

Все они применяются для того, чтобы заменить имеющуюся запись равносильной. Большая их часть похожа на то, что было в уравнениях. Но есть и отличия.

  • Функцию, которая определена в ОДЗ, или любое число можно прибавить к обеим частям исходного неравенства.
  • Аналогичным образом возможно умножение, но только на положительную функцию или число.
  • Если это действие выполняется с отрицательными функцией или числом, то знак неравенства нужно заменить на противоположный.
  • Функции, которые являются неотрицательными, можно возводить в положительную степень.

Иногда решение неравенств сопровождается действиями, которые дают посторонние ответы. Их нужно исключить, сравнив область ОДЗ и множество решений.

Использование метода интервалов

Его суть состоит в том, чтобы свести неравенство к уравнению, в котором в правой части стоит ноль.

  1. Определить область, где лежат допустимые значения переменных, то есть ОДЗ.
  2. Преобразовать неравенство с помощью математических операций так, чтобы в его правой части стоял ноль.
  3. Знак неравенства заменить на «=» и решить соответствующее уравнение.
  4. На числовой оси отметить все ответы, которые получились во время решения, а также интервалы ОДЗ. При строгом неравенстве точки нужно нарисовать выколотыми. Если присутствует знак равенства, то их полагается закрасить.
  5. Определить знак исходной функции на каждом интервале, получившемся из точек ОДЗ и делящих его ответов. Если при переходе через точку знак функции не изменяется, то она входит в ответ. В противном случае — исключается.
  6. Граничные для ОДЗ точки нужно дополнительно проверить и только потом включать или нет в ответ.
  7. Ответ, который получается, нужно записать в виде объединенных множеств.

Немного о двойных неравенствах

Они используют в записи сразу два знака неравенства. То есть некоторая функция ограничена условиями сразу дважды. Такие неравенства решаются, как система из двух, когда исходное разбито на части. И в методе интервалов указываются ответы от решения обоих уравнений.

Для их решения также допустимо использовать свойства, указанные выше. С их помощью удобно приводить неравенство к равенству нулю.

Как обстоят дела с неравенствами, в которых имеется модуль?

В этом случае решение неравенств использует следующие свойства, причем они справедливы для положительного значения «а».

Если «х» принимает алгебраическое выражение, то справедливы такие замены:

Если неравенства нестрогие, то формулы тоже верны, только в них, кроме знака больше или меньше, появляется «=».

Как осуществляется решение системы неравенств?

Это знание потребуется в тех случаях, когда дано такое задание или имеется запись двойного неравенства или в записи появился модуль. В такой ситуации решением будут такие значения переменных, которые удовлетворяли бы всем имеющимся в записи неравенствам. Если таких чисел нет, то система решений не имеет.

План, по которому выполняется решение системы неравенств:

  • решить каждое из них отдельно;
  • изобразить на числовой оси все интервалы и определить их пересечения;
  • записать ответ системы, который и будет объединением того, что получилось во втором пункте.

Как быть с дробными неравенствами?

Поскольку во время их решения может потребоваться изменение знака неравенства, то нужно очень тщательно и внимательно выполнять все пункты плана. Иначе может получиться противоположный ответ.

Решение дробных неравенств тоже использует метод интервалов. И план действий будет таким:

  • Используя описанные свойства, придать дроби такой вид, чтобы справа от знака остался только ноль.
  • Заменить неравенство на «=» и определить точки, в которых функция будет равна нулю.
  • Отметить их на координатной оси. При этом числа, получившиеся в результате расчетов в знаменателе, всегда будут выколоты. Все другие — исходя из условия неравенства.
  • Определить интервалы знакопостоянства.
  • В ответ записать объединение тех промежутков, знак которых соответствует тому, который был в исходном неравенстве.

Ситуации, когда в неравенстве появляется иррациональность

Другими словами, в записи присутствует математический корень. Поскольку в школьном курсе алгебры большая часть заданий идет для квадратного корня, то именно он и будет рассмотрен.

Решение иррациональных неравенств сводится к тому, чтобы получить систему из двух или трех, которые будут равносильны исходному.

Исходное неравенство условие равносильная система
√ n(х) m(х) меньше или равно 0 решений нет
m(х) больше 0

n(х) больше или равно 0

n(х)

√ n(х) > m(х)

m(х) больше или равно 0

n(х) > (m(х)) 2

n(х) больше или равно 0

m(х) меньше 0

√n(х) ≤ m(х) m(х) меньше 0 решений нет
m(х) больше или равно 0

n(х) больше или равно 0

n(х) ≤ (m(х)) 2

√n(х) ≥ m(х)

m(х) больше или равно 0

n(х) ≥ (m(х)) 2

n(х) больше или равно 0

m(х) меньше 0

√ n(х)

n(х) больше или равно 0

n(х) меньше m(х)

√n(х) * m(х)

n(х) больше 0

m(х) меньше 0

√n(х) * m(х) > 0

n(х) больше 0

m(х) больше 0

√n(х) * m(х) ≤ 0

n(х) больше 0

n(х) равно 0

m(х) -любое

√n(х) * m(х) ≥ 0

n(х) больше 0

n(х) равно 0

m(х) -любое

Примеры решения разных видов неравенств

Для того чтобы добавить наглядности в теорию про решение неравенств, ниже приведены примеры.

Первый пример. 2х — 4 > 1 + х

Решение: для того чтобы определить ОДЗ, достаточно просто внимательно посмотреть на неравенство. Оно образовано из линейных функций, поэтому определено при всех значениях переменной.

Теперь из обеих частей неравенства нужно вычесть (1 + х). Получается: 2х — 4 — (1 + х) > 0. После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные слагаемые неравенство примет такой вид: х — 5 > 0.

Приравняв его к нулю, легко найти его решение: х = 5.

Теперь эту точку с цифрой 5, нужно отметить на координатном луче. Потом проверить знаки исходной функции. На первом интервале от минус бесконечности до 5 можно взять число 0 и подставить его в неравенство, получившееся после преобразований. После расчетов получается -7 >0. под дугой интервала нужно подписать знак минуса.

На следующем интервале от 5 до бесконечности можно выбрать число 6. Тогда получается, что 1 > 0. Под дугой подписан знак «+». Этот второй интервал и будет ответом неравенства.

Ответ: х лежит в интервале (5; ∞).

Второй пример. Требуется решить систему двух уравнений: 3х + 3 ≤ 2х + 1 и 3х — 2 ≤ 4х + 2.

Решение. ОДЗ этих неравенств тоже лежит в области любых чисел, поскольку даны линейные функции.

Второе неравенство примет вид такого уравнения: 3х — 2 — 4х — 2 = 0. После преобразования: -х — 4 =0. Из него получается значение для переменной, равное -4.

Эти два числа нужно отметить на оси, изобразив интервалы. Поскольку неравенство нестрогое, то все точки нужно закрасить. Первый интервал от минус бесконечности до -4. Пусть будет выбрано число -5. Первое неравенство даст значение -3, а второе 1. Значит, этот промежуток не входит в ответ.

Второй интервал от -4 до -2. Можно выбрать число -3 и подставить его в оба неравенства. В первом и во втором получается значение -1. Значит, под дугой «-».

На последнем интервале от -2 до бесконечности самым лучшим числом является ноль. Его и нужно подставить и найти значения неравенств. В первом из них получается положительное число, а втором ноль. Этот промежуток тоже нужно исключить из ответа.

Из трех интервалов решением неравенства является только один.

Ответ: х принадлежит [-4; -2].

Третий пример. |1 — х| > 2 |х — 1|.

Решение. Первым делом нужно определить точки, в которых функции обращаются в ноль. Для левого этим числом будет 2, для правого — 1. их нужно отметить на луче и определить промежутки знакопостоянства.

На первом интервале, от минус бесконечности до 1, функция из левой части неравенства принимает положительные значения, а из правой — отрицательные. Под дугой нужно записать рядом два знака «+» и «-».

Следующий промежуток от 1 до 2. На нем обе функции принимают положительные значения. Значит, под дугой два плюса.

Третий интервал от 2 до бесконечности даст такой результат: левая функция — отрицательная, правая — положительная.

С учетом получившихся знаков нужно вычислить значения неравенства для всех промежутков.

На первом получается такое неравенство: 2 — х > — 2 (х — 1). Минус перед двойкой во втором неравенстве получился из-за того, что эта функция отрицательная.

После преобразования неравенство выглядит так: х > 0. Оно сразу дает значения переменной. То есть из этого интервала в ответ пойдет только промежуток от 0 до 1.

На втором: 2 — х > 2 (х — 1). Преобразования дадут такое неравенство: -3х + 4 больше ноля. Его нулем будет значение х = 4/3. С учетом знака неравенства получается, что х должен быть меньше этого числа. Значит, этот интервал уменьшается до промежутка от 1 до 4/3.

Последний дает такую запись неравенства: — (2 — х) > 2 (х — 1). Его преобразование приводит к такому: -х > 0. То есть уравнение верно при х меньшем ноля. Это значит, что на искомом промежутке неравенство не дает решений.

На первых двух промежутках граничным оказалось число 1. Его нужно проверить отдельно. То есть подставить в исходное неравенство. Получается: |2 — 1| > 2 |1 — 1|. Подсчет дает что 1 больше 0. Это верное утверждение, поэтому единица входит в ответ.

Ответ: х лежит в промежутке (0; 4/3).

Неравенство это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений . Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами .

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых вещественных чисел a, b, и c :
Принцип прибавления неравенств : Если a Принцип умножения для неравенств : Если a 0 верно, тогда ac Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами .

Пример 1 Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x — 5 b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
Решение
Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x
Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x — 5 и y 2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x
Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и , или , тогда формируется двойное неравенство . Двойное неравенство, как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
называется соединённым , потому что в нём использовано и . Запись -3 Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2 Решите -3 Решение У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x — 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или x > 3}, y 1 ≤ y 2 или y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x| |x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x| |y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4 Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2| b) |5 — 2x| ≥ 1

Решение
a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3
b) |5 — 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или x ≥ 3}, или (-∞, 2] . Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием

Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).

То есть, выяснив, как решать неравенстватакого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U . В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5 через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая, до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но — именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Популярные задания с неравенствами.

Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать — и всё просто!)

1. Найдите любые два решения неравенства 3х — 3

Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:

Не знаешь, что нужно — делай, что можно!)

х 1

И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!

Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом. Пишите, какую хотите. Едем дальше.

2. Решить неравенство:

4х — 3 0

Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, — встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака «=» (равно ) ставить знак «» (не равно ). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:

х 0,75

В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:

4х — 3 = 0

Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:

х = 0,75

Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство. А нам нужно — неравенство. Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:

х 0,75

При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему…) Ещё пример популярного задания:

3. Найти наименьшее целое решение неравенства:

3(х — 1) 5х + 9

Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные… Получаем:

х > — 6

Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства…

Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие «наименьшее целое». Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)

Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > — 6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5… Стоп! Нам сказано целое решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!

Стало быть, правильный ответ: -5.

Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:

4. Решить неравенство:

7 3х+1 13

Во как! Такое выражение называется тройным неравенством. Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях. .. Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.

Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но… Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма первого тождественного преобразования.

А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.

Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!

Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:

7 -1 3х+1-1 13-1

6 12

Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:

2 х 4

Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они — самое обычное дело.

В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства, проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Система неравенств | Блестящая математика и естественные науки вики

Решение системы неравенств с двумя переменными часто изображают в виде заштрихованного графика на координатной плоскости. Заштрихованные области показывают области, которые содержат точки в решении. Если линия сплошная, то точки на линии содержатся в решении. Если линия заштрихована, то точки на линии не содержатся в решении, но любая смежная заштрихованная область содержит точки в решении.

{y≤2x+3y>−13x−1\begin{случаи} у \ле 2х+3 \\ у > -\фракция{1}{3}х-1 \end{cases}{y≤2x+3y>−31​x−1​

Заштрихованная область — это пересечение неравенств.Каждая точка в заштрихованной области и на сплошном луче является частью решения. Штриховые линии и лучи не являются частью решения.

Следующий процесс работает путем выделения переменной yyy в каждом неравенстве. Поскольку большие значения yyy находятся выше в координатной плоскости, символ >>> или ≥\ge≥ означает, что решение существует выше линии неравенства. Точно так же символ <<< или ≤\le≤ означает, что решение существует ниже линии неравенства.

Построение графиков линейных систем неравенств: метод затенения наклон-пересечение

  • Поместите каждое неравенство в форму пересечения наклона.

  • Нарисуйте линию, ограничивающую каждое неравенство. Если символ ≤\le≤ или ≥,\ge,≥, то линия должна быть сплошной, чтобы показать, что точки на линии включены в решение. Если используется символ <,<,<, >,>,> или ≠,\ne,​=, то линия должна быть пунктирной, чтобы показать, что точки на линии не включены в решение.

  • Для каждого неравенства, если символ ≥\ge≥ или >,>,>, заштриховать над линией. Если символ ≤\le≤ или <,<,<, то заштрихуйте ниже линии. Если символ ≠,\ne,​=, то заштрихуйте обе стороны линии.

  • Если система представляет собой объединение , то ваш график завершен. Если система представляет собой пересечение , то в решении находятся только области, которые являются частью всех неравенств. Вы должны стереть все тени, линии и лучи, которых нет в растворе.

Граф объединения неравенств

y>3x∪y<2x.\begin{массив}{ccc} у>3х & \чашка & у<2х. \end{массив}y>3x​∪​y<2x.


Начните с построения графика линии каждого неравенства. Используются символы >>> и <,<,<, поэтому линии должны быть пунктирными.

В первом неравенстве y>3x,y>3x,y>3x, поэтому штриховка должна быть выше линии.

Во втором неравенстве y<2x,y<2x,y<2x, поэтому штриховка должна быть ниже линии.

Поскольку эта система является объединением, все заштрихованные части являются частью неравенства. Для ясности каждая заштрихованная область должна быть одного цвета, а пунктирные линии в заштрихованной области должны быть сплошными, чтобы показать, что они являются частью решения.

Каждая точка в заштрихованной области имеет либо y>3xy>3xy>3x, либо y<2x.у<2х.у<2х. □_\квадрат□​

Латойя управляет фабрикой по производству готовой к сборке мебели. Она планирует, как распределить ресурсы на свое оборудование для производства столов. Машина A\text{A}A может производить 6 столов в час и стоит 100 долларов за каждый час работы. Машина B\text{B}B может производить 10 столов в час и стоит 200 долларов за каждый час работы. У Латойи есть рабочие, которые могут эксплуатировать машины до 50 часов на этой неделе, и она выделила 8000 долларов из своего бюджета на эксплуатацию этих машин.Нарисуйте график, показывающий, как она может распределить свои ресурсы для производства столов.


Пусть aaa будет количеством часов, в течение которых работает машина A\text{A}A, и пусть B\text{B}B будет количеством часов, в течение которых работает машина B\text{B}B. Можно написать систему неравенств, чтобы описать ограничения на использование этих машин.

Сначала опишите, как машины ограничены временем:

а+b≤50.а+b \le 50.а+b≤50.

Затем опишите, как машины ограничены стоимостью:

100a+200b≤8000a+2b≤80. \begin{выровнено} 100а+200б&\ле 8000\\ а+2b &\le 80. \end{выровнено}100a+200ba+2b​≤8000≤80.​

Кроме того, машины не могут работать менее 0 часов:

a≥0b≥0.\begin{выровнено} a &\ge 0 \\ b &\ge 0. \end{выровнено}ab​≥0≥0.​

Пусть aaa откладывается на оси xxx, а bbb — на оси yyy. Решение bbb во всех неравенствах, кроме a≥0a\ge 0a≥0, дает систему

{b≤−a+50b≤−12a+40a≥0b≥0.\begin{случаи} б\ле-а+ 50\\ b \le -\frac{1}{2}a+40 \\ а \ge 0 \\ б\ге 0.\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​b≤−a+50b≤−21​a+40a≥0b≥0.​

Нарисуйте график каждой из линий.

Так как первое неравенство имеет символ <<<, заштриховать под чертой.

Примените тот же принцип, чтобы заштриховать все остальные неравенства. Неравенство a≥0a \ge 0a≥0 заштриховано справа, потому что справа на графике существуют большие значения aaa.

Весь график остается заштрихованным. Однако эта система представляет собой пересечение , поскольку все неравенства должны выполняться. Следовательно, все штриховки, которые не входят в число , должны быть стерты из всех неравенств.

Оставшаяся заштрихованная область является решением системы неравенств. Любая упорядоченная пара в этом решении даст Латойе возможность планировать использование своего оборудования. Вы могли заметить, что количество произведенных столов не было включено в этот анализ.Если цель состоит в том, чтобы разработать оптимальный способ производства столов, то необходимо использовать линейное программирование. □_\квадрат□​

Следующий процесс работает, потому что линии каждого неравенства разбивают координатную плоскость на области. Если точка на координатной плоскости удовлетворяет системе, то все точки в той же области, что и эта точка, также удовлетворяют системе.

Решение линейных систем неравенств: метод контрольных точек

  • Нарисуйте линию для каждого неравенства. Следуйте тем же правилам для пунктирных и сплошных линий, что и раньше.

  • Для каждой области, которую разделяют линии, выберите точку в этой области. Проверьте точку, подставив значения xxx и yyy в каждое неравенство.

  • Если система представляет собой объединение , то контрольная точка должна удовлетворять только одному из неравенств. Если система представляет собой пересечение , то она должна удовлетворять всем неравенствам. Если контрольная точка удовлетворяет системе, заштрихуйте область, в которой находится контрольная точка.

  • Сотрите все линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график решения следующей системы неравенств

{2x+3y≤4x−4y>2.\begin{случаи}\begin{выровнены} 2x+3y &\le 4\\ х-4у &> 2. \end{выровнено}\end{cases}{2x+3yx−4y​≤4>2.​​

Обратите внимание, что эта система представляет собой перекресток . Сначала нарисуйте линию для каждого неравенства. Первое неравенство должно получиться сплошной линией, а второе неравенство — пунктирной линией.Эти линии разбивают граф на 4 области.

Выберите точку из каждого региона и проверьте ее на неравенства:

1:(0,0){2(0)+3(0)≤4✓0−4(0)>2×2:(2,1){2(2)+3(1)≤4×2−4( 1)>2×3:(3,0){2(3)+3(0)≤4×3−4(0)>2✓4:(2,−1){2(2)+3(−1)≤ 4✓2−4(−1)>2✓\begin{массив}{ccl} \boxed{1}: & (0,0) & \begin{cases}\begin{array}{rlc} 2(0)+3(0) & \le 4 & \checkmark \\ 0-4(0) & > 2 & \text{x} \end{массив}\end{case} \\ \boxed{2}: & (2,1) & \begin{case}\begin{array}{rlc} 2(2)+3(1) & \le 4 & \text{x} \\ 2-4 (1) & > 2 & \text{x} \end{массив}\end{case} \\ \boxed{3}: & (3,0) & \begin{case}\begin{array}{rlc} 2(3)+3(0) & \le 4 & \text{x} \\ 3-4 (0) & > 2 & \checkmark \end{массив}\end{case} \\ \boxed{4}: & (2,-1) & \begin{cases}\begin{array}{rlc} 2(2)+3(-1) & \le 4 & \checkmark \\ 2-4( -1) & > 2 & \checkmark \end{массив}\end{case} \end{массив}1​:2​:3​:4​:​(0,0)(2,1)(3,0)(2,−1)​{2(0)+3(0) 0−4(0)≤4>2​✓x​{2(2)+3(1)2−4(1)​≤4>2​xx​​{2(3)+3(0) )3−4(0)≤4>2x✓​{2(2)+3(−1)2−4(−1)​≤4>2​✓✓​​

Единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам, — это точка в области 4. Затените эту область и удалите все сплошные лучи, которые не находятся в этой области.

□_\квадрат□​

Круг > Прямоугольник > Треугольник Прямоугольник > Треугольник > Круг Треугольник > Прямоугольник > Круг Прямоугольник > Круг > Треугольник Круг > Треугольник > Прямоугольник Треугольник > Круг > Прямоугольник

Выше показано, как мобильный телефон будет сбалансирован, если его оставить висеть. Предположим, что точка опоры находится в центре каждого стержня.

Каков относительный вес этих фигур?

Система неравенств: Графики и концепция — Видео и стенограмма урока

Построение графика одного неравенства

Мы начнем с выбора одного из неравенств и построения графика связанного с ним уравнения. Уравнение — это утверждение о том, что две величины равны. Мы можем создать это уравнение, заменив знаки >, <, >= или <= на знак =.2. Эй, это правда! Мы можем заштриховать область над линией:

Второе неравенство

Далее на той же сетке рисуем линию y = x + 1. Здесь мы будем использовать сплошную линию, потому что неравенство y <= x + 1, а не просто y < x + 1. Вы можете увидеть это на графике в виде прямой сплошной красной линии. Какую сторону линии мы должны заштриховать? Давайте проверим точку (0,0) и посмотрим, сделают ли ее значения x и y неравенство верным. Получаем 0 <= 0 + 1; это так, поэтому мы заштриховываем сторону, включающую точку (0,0). На этом графике используется бледно-голубая заливка для набора решений y <= x +1, чтобы было легче увидеть наборы решений обоих неравенств.

Если бы у нас было три неравенства, или четыре, или любое число, мы бы изобразили их на той же сетке, используя тот же метод.

Окончательное решение

Теперь, когда все нарисовано и заштриховано, мы можем использовать наш график, чтобы найти окончательное решение.2; мы можем видеть это, потому что он находится на пунктирной линии, а не на сплошной, и он не полностью находится внутри области с перекрывающейся штриховкой.

С другой стороны, точка (0,1) в порядке; он находится на сплошной линии, которая касается заштрихованной области. Так же и точка (1,2). Если изобразить точку (0,0.5), то можно увидеть, что она полностью находится внутри заштрихованной области. Мы можем построить любую точку и сказать, является ли она частью набора решений или нет.

Что, если затенение было в двух совершенно разных местах без перекрытия? Тогда набор решений будет пустым набором , набором без элементов.

Резюме урока

Всякий раз, когда мы хотим найти набор решений для системы неравенств с помощью графика, мы можем использовать следующую стратегию:

  1. Нарисуйте график уравнения, связанного с одним из неравенств. Используйте сплошную линию, если неравенство >= или <=, и пунктирную линию, если неравенство > или <.
  2. Определите, какая сторона линии представляет набор решений, проверив точку, которая не находится непосредственно на линии. Если мы можем заменить x на первую координату и y на вторую координату в неравенстве и сделать верное утверждение, то заштрихуйте сторону линии, где расположена точка.Если нет, заштрихуйте другую сторону.
  3. Повторяйте шаги 1 и 2, пока все неравенства не будут отображены и заштрихованы на одной и той же сетке. Область графика, где все штриховки перекрываются, представляет собой набор решений. Если заштрихованные области не все перекрываются, набор решений пуст .

Системы линейных неравенств

Пожалуйста, включите сценарии (или JavaScript) в вашем веб-браузере и затем перезагрузите эту страницу.

Система неравенства — это список из двух или более неравенств, которые должны быть истинными.Для Например, пара неравенств, показанная справа, представляет собой систему линейных неравенств. В этом уроке вы узнаете о решениях систем линейных неравенства и как их найти на графике.

$$\{\,\cl»tight»{\table x, +, 2y, <, -7; 2x, -, 3y, >, 0}$$


Мы хотим решить эту систему линейных неравенств:

$$\{\,\cl»tight»{\table y≥-2x-2; y≥-2}$$

То есть мы хотим найти пары $(x,y)$, которые являются решениями и неравенства.Во-первых, нам нужно нарисовать линии $y=-2x-2$ и $у=-2$. Посмотрите на сетки слева. В левой сетке вы смотрите на график $y=-2x-2$. На верно, вы смотрите на график $y=-2$.

Вот способ проверить, является ли точка $(1,2)$ решением задачи первое неравенство:

$y≥-2x-2$ за $(1,2)$ ?
$2≥-2(1)-2$ ?
$2≥-2-2$ ?
$2≥-4$ ?
ДА

Проверьте каждую точку в таблице ниже в обоих неравенствах.Также укажите, какие точки решений системы двух неравенств (то есть, какие точки являются решением обоих первое неравенство и второе неравенство).

Точка Решение задачи
$y≥-2x-2$?
Решение задачи
$y≥-2$?
Решение
для обоих?
Нажмите посмотреть на графики неравенств. Являются ли синие точки, которые являются решениями $y≥-2x-2$ в заштрихованной области на левой сетке?
Являются ли синие точки, которые являются решениями для $y≥-2$ в заштрихованной области справа?
Назовите синие точки на сетке, которые являются решениями всего системы (оба неравенства).

Нажмите, чтобы посмотреть $y≥-2x-2$ и $y≥-2$ показаны вместе. То темно-синий участок — это область, где наборы решений перекрываются. Светло-голубая часть — остальная часть набора решений $y≥-2$, а розовый участок — остальная часть множества решений $y≥-2x-2$.

Найдите на графике только что перечисленные точки. Они в темноте синий, светло-голубой или розовая часть?
Какой цветной участок графика представляет множество решений всей системы неравенства?
Теперь решим систему линейных неравенств:

$$\{\,\cl»tight»{\table y≥-4x-2; 3x+4y≤18}$$

Красная линия — это график $y=-4x-2$ и синяя линия — это график $3x+4y=18$.

Для каждой точки в таблице ниже найдите точку на сетке и определить, является ли оно решением каждого неравенства.

Точка Решение задачи
$y≥-4x-2$?
Решение задачи
$3x+4y≤18$?
Решение
для обоих?
Нажмите посмотреть на график неравенств. Помните, что темно-синий область — график множества решений системы линейных неравенств.Назовите точка на сетке, которая лежит в наборе решений.
Совпадает ли ваш ответ с ответом из таблицы?
Теперь ваша очередь решить показанную здесь систему линейных неравенств:

$$\{\,\cl»tight»{\table x,+,y,≥,-2; 2x,-,3y,≤,6}$$

Графики линий $x+y=-2$ и $2x-3y=6$ даны на сетка ниже. Как видите, графики этих двух линий делят сетку на четыре части, которые были помечены A, B, C и D.

Выберите точку в каждой части приведенной выше сетки (A, B, C и D) и заполните таблицу ниже.

Раздел Точка Решение задачи
$x+y≥-2$?
Решение задачи
$2x-3y≤6$?
Решение
для обоих?
Какие сечения (A, B, C или D) являются решениями $x+y≥-2$?
Какие разделы являются решениями $2x-3y≤6$?
В каком сечении задано решение системы линейных неравенств?
Нажмите, чтобы построить график двух неравенств. Есть ли синий участок сетки слева соответствует к набору решений, который вы только что нашли?
Верхняя сетка слева показывает систему двух неравенств. Нижняя сетка показывает другое систему, включающую неравенство $y

Объяснение урока: Приложения к системам неравенств

В этом объяснении мы научимся решать приложения системы неравенств, переводя каждое условие в неравенство.

Система линейных неравенств (представленная ,≤,>, и ≥) представляет собой набор из двух или более линейных неравенств в несколько переменных. Он используется, когда проблема требует ряда решений и на эти решения наложено более одного ограничения; например, магазин пытаясь купить акции с заданным бюджетом.

Напомним, что на графике, представляющем систему неравенств, штриховка выше или вправо означает больше, чем , а затенение ниже или влево означает 90 179 меньше, чем 90 180 конкретной строки, определяемой 𝑥=𝑎, 𝑦=𝑏 или общая линия 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Кроме того, мы должны также взять границу региона, где сплошная линия означает , равное , а пунктирная линия означает, что не равно .

Пересечение областей каждого из неравенств в системе находится там, где множество решений лежит, так как эта область удовлетворяет каждому неравенству в система. Мы включаем только значения на краях пересечений область, если на обоих есть сплошная линия, так как все неравенства должны быть выполняется, а строгое неравенство, изображенное пунктирной линией, исключает его из набора решений.

Например, рассмотрим систему неравенств 𝑥>3,𝑦≤6,𝑥+𝑦≤10.

Область, где пересекаются все заштрихованные области, находится там, где системы неравенства выполняются.

Давайте рассмотрим пример из реальной жизни, где мы переводим условия в система неравенств. В качестве примера с одной переменной предположим, что тематический парк есть 3 аттракциона, которые кто-то хочет попробовать. Поездка на качелях требует, чтобы всадники находились в высотой не менее 1 м, каток каботажное судно требует, чтобы всадники были по крайней мере 1.высотой 3 м, а карусель требует, чтобы всадники находились между 0,8 м и 1,4 м высотой.

Если обозначить рост всадника как 𝑥, то ограничение от качелей, по крайней мере 1 м высотой, можно перевести так как 𝑥≥1.

Аналогично ограничение для американских горок, не менее 1,3 м высотой, может быть переводится как 𝑥≥1,3.

Последнее ограничение состоит в том, что карусель требует, чтобы гонщики находились между 0,8 м и 1,4 м, можно переводится как 0,8≤𝑥≤1.4.

Таким образом, система неравенств, представляющая эту ситуацию, имеет вид 𝑥≥1,𝑥≥1,3,0,8≤𝑥≤1,4.

Мы также можем комбинировать эти неравенства. Во-первых, обратите внимание, что мы можем игнорировать первый ограничение, 𝑥≥1, так как второй ограничение 𝑥≥1. 3 учитывает это учетная запись. Таким образом, мы имеем неравенства 𝑥≥1,3,0,8≤𝑥≤1,4.

Теперь второе неравенство эквивалентно 𝑥≥0,8 и 𝑥≤1,4, и мы можем аналогично объедините первое с 𝑥≥1,3 чтобы получить неравенства 𝑥≥1.3 и 𝑥≤1,4, что эквивалентно 1,3≤𝑥≤1,4.

Теперь давайте рассмотрим другой пример из реальной жизни с линейными неравенствами. с более чем одной переменной. Предположим, мы хотим сделать прямоугольный сад и у нас есть определенное количество проволочных ограждений, до 40 метров, до места по всему периметру.

Как мы можем представить эту ситуацию в виде системы неравенств?

Во-первых, пусть 𝑥 будет длиной в метров и 𝑦 ширина в метров, что дает нам следующий прямоугольник:

Поскольку длина и ширина не могут быть отрицательными числами, это преобразуется в состояние 𝑥≥0, 𝑦≥0.

Обратите внимание, что периметр прямоугольника 𝑃=2𝑥+2𝑦=2(𝑥+𝑦), и поскольку это не может превышать 40 метров, это означает, что 𝑃≤40, что переводится в условие 2(𝑥+𝑦)≤40𝑥+𝑦≤20.

Подводя итог, система неравенств, представляющая эту ситуацию, будет 𝑥≥0,𝑦≥0,𝑥+𝑦≤20.

Эта система может быть визуально представлена ​​в первом квадранте следующим образом:

Значения 𝑥 и 𝑦, которые удовлетворяют всем неравенства лежат внутри пересечения трех заштрихованных областей.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, где мы получаем систему неравенства из текстовой задачи. В первом примере мы укажем система неравенств для пастуха, желающего построить прямоугольный овчарня.

Пример 1. Формулировка системы неравенств, описывающей заданную ситуацию

Пастух хочет построить прямоугольный коровник. То длина сарая должна быть более 88 м а его периметр должен быть меньше 253 м.Выведите систему неравенств, описывающую ситуации, обозначая длину амбара через 𝑥 и его ширину на 𝑦.

Ответ

В этом примере мы сформулируем системы неравенств, которые выполнить условия, чтобы пастух построил прямоугольный овчарня.

Так как длина сарая 𝑥 должна быть больше 88 м и ширина сарая 𝑦 не может быть отрицательным значением, у нас есть условия 𝑥>88, 𝑦>0.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон. С сарай прямоугольный, его периметр, 𝑃, определяется 𝑃=2𝑥+2𝑦, а так как это должно быть меньше более 253 м, у нас есть 𝑃=2(𝑥+𝑦)253.

Таким образом, система неравенств для каждого условия для данная ситуация 𝑥>88,𝑦>0,2(𝑥+𝑦)253.

Теперь определим систему неравенств из ситуации описание двух типов гвоздей, которые хочет купить плотник.

Пример 2. Определение системы неравенств, описывающей данное Ситуация

Плотник хочет купить два вида гвоздей; первый тип стоит 6 фунтов за килограмм, а второй вид стоит 9 фунтов за килограмм. Ему нужно как минимум 5 кг первого типа и не менее 7 кг второй. Он может потратить меньше, чем 55 фунтов. Использование 𝑥 для представления суммы первого тип и 𝑦 для представления второго типа, сформулируйте систему неравенств, которая представляет эту ситуацию.

Ответ

В этом примере мы сформулируем системы неравенств, которые удовлетворить условия для плотника, который хочет приобрести два типа ногтей.

Так как 𝑥 и 𝑦 суммы гвоздей (в килограммах) от первого и второго типа соответственно, а плотнику нужно не менее 5 кг первого типа и 7 кг второго имеем условие 𝑥≥5,𝑦≥7.

Как стоит первый тип 6 фунтов за килограмм а второй вид стоит 9 фунтов за килограмм, общая цена для каждого типа будет 6𝑥 и 9𝑦 соответственно.Их сумма должна быть менее 55 фунтов, и таким образом мы имеем 6𝑥+9𝑦55.

Таким образом, система неравенств для каждого условия для данная ситуация 𝑥≥5,𝑦≥7,6𝑥+9𝑦55.

У нас также может быть несколько линейных неравенств (т. е. разные области, определенные выше или ниже нескольких прямых линий), в зависимости от ситуации. Давайте рассмотрим другой пример из реальной жизни. Предположим, мы хотим соберите шкаф и купите два предмета, деревянные доски и пачку гвоздей, и мы хотим, чтобы количество деревянных досок было не менее 7. Мы также знаем, что деревянные доски стоят 5 долларов каждая и упаковка гвоздей стоит 3 доллара, и у нас есть Всего нужно потратить 75 долларов, поэтому окончательная сумма должно быть хотя бы это. На каждую деревянную планку у нас также должно быть не менее 4 гвоздей, зная, что в каждой пачке 8 гвоздей.

Как представить эту ситуацию в виде системы неравенств? Эта система может быть представлена ​​следующим образом.

Во-первых, обозначим количество деревянных досок как 𝑥 и количество упаковок гвоздей как 𝑦.Так как количество деревянных досок и пачки гвоздей не могут быть отрицательным числом, это переводится в условие 𝑥≥0, 𝑦≥0.

Так как мы требуем, чтобы количество деревянных досок 𝑥 быть не менее 7, это означает состояние 𝑥≥7.

Это означает, что мы можем игнорировать условие 𝑥≥0, так как это уже учтено, ведь если 𝑥≥7, то это также означает, что 𝑥≥0. Теперь, поскольку деревянные доски стоят $5 каждый, общая сумма, потраченная на деревянные доски будут цена каждой доскиколичество деревянных досок(5$)×(𝑥)=5𝑥.

Точно так же упаковка гвоздей стоит 3 доллара за штуку, поэтому общая сумма, потраченная на пачки гвоздей, составит цена каждой пачки гвоздейколичество пачек гвоздей(3$)×(𝑦)=3𝑦.

Общая потраченная сумма будет суммой этих 5𝑥+3𝑦, и у нас есть не более 75 долларов, что означает 5𝑥+3𝑦≤75.

Поскольку нам сказали, что на каждой доске должно быть не менее 4 гвоздей, общее количество гвоздей будет быть больше или равно 4-кратному общему количеству досок, зная, что в каждой упаковке содержится 8 гвоздей: 8𝑦≥4𝑥𝑦≥12𝑥.

Подводя итог, система неравенств, представляющая эту ситуацию, будет 𝑥≥7,𝑦≥0,5𝑥+3𝑦≤75,𝑦≥12𝑥.

Мы также можем представить эту систему визуально следующим образом:

Значения 𝑥 и 𝑦, которые удовлетворяют все неравенства лежат внутри пересечения четырех заштрихованных областей.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы попрактиковаться и углубить наше понимание приложений систем неравенств путем перевода каждого условия в неравенство. Для первого примера определим систему неравенства для студента, сдающего тест.

Пример 3. Определение системы неравенств, описывающей данное Ситуация

Учитель дал своим ученикам 100 минут решить тест, состоящий из двух разделов: раздела А и раздела Б. Студенты должны были ответить не менее чем на 4 вопроса из раздела А и на не менее 6 вопросов из раздела B и в общей сложности ответить не менее чем на 11 вопросов.Если девушка ответила на каждый вопрос раздела А в 3 минуты и каждый вопрос в разделе B в 6 минут, вывести систему неравенств, которая помогла бы узнать, сколько вопросов она пыталась решить в каждом разделе. Используйте 𝑥 для представления количество ответов на вопросы из раздела A и 𝑦 для представления числа из раздела B.

Ответ

В этом примере мы сформулируем системы неравенств, которые удовлетворять условиям, чтобы учащийся знал, сколько вопросов она пыталась решить в конкретном тесте.

Так как 𝑥 и 𝑦 количество ответов на вопросы из раздела A и раздела B и студенты должны были ответить не менее 4 и 6 соответственно, у нас есть 𝑥≥4, 𝑦≥6.

Поскольку они также должны были ответить как минимум на 11 вопросов, что сумма количества вопросов, на которые даны ответы из раздела А, 𝑥, а количество ответов на вопросы от сечение B, 𝑦, имеем 𝑥+𝑦≥11.

Так как девушка ответила на каждый вопрос из раздела А в 3 минуты и каждый из раздела B в 6 минут, общее количество минут для раздела A и B будет 3𝑥 и 6𝑦 соответственно.Их сумма должна быть не более 100 минут, максимальное время, отведенное на решение теста; таким образом, у нас есть 3𝑥+6𝑦≤100.

Таким образом, система неравенств для каждого условия для данного ситуация 𝑥≥4,𝑦≥6,𝑥+𝑦≥11,3𝑥+6𝑦≤100.

В следующем примере сформулируем систему неравенств для человека покупка двух разных типов свечей.

Пример 4. Формулировка системы неравенств, описывающей заданную ситуацию

Шейди идет в магазин за свечами.Маленькие свечи стоят 3 доллара. а большие свечи стоят 5 долларов. Ему нужно купить как минимум 20 свечей, и он не может потратить более 80 долларов. Напиши система линейных неравенств, которая представляет ситуацию, используя 𝑥 для представления количества маленьких свечи и 𝑦 для обозначения количества большие свечи.

Ответ

В этом примере мы сформулируем системы неравенств, которые выполнить условия Shady, желающие приобрести два разных типа свечей, маленькие и большие.

Так как 𝑥 и 𝑦 — номера маленькие и большие свечи, соответственно, и они должны быть неотрицательно, имеем 𝑥≥0, 𝑦≥0.

Поскольку Шейди нужно купить не менее 20 свечей, сумма количество маленьких и больших свечей, 𝑥 и 𝑦 должно быть больше или равно 20, и у нас есть условие 𝑥+𝑦≥20.

Поскольку маленькие свечи стоят 3 доллара и большая стоимость $ 5, всего для каждого будет 3𝑥 и 5𝑦 соответственно.Сумма этого будет общим стоимость свечей, которая не может быть больше 80; таким образом, 3𝑥+5𝑦≤80.

Таким образом, система неравенств для каждого условия для данная ситуация 𝑥≥0,𝑦≥0,𝑥+𝑦≥20,3𝑥+5𝑦≤80.

Теперь рассмотрим пример, где мы определяем систему неравенства для фабрики детского питания, выпускающей два вида детского питания.

Пример 5. Определение системы неравенств, описывающих заданную ситуацию

Фабрика детского питания производит два вида детского питания.Первый тип содержит 2 единицы витамина (А) и 3 единицы витамина (В) на грамм. Второй тип содержит 3 единицы витамина (А) и 2 единицы витамина (В) на грамм. Если ребенку необходимо не менее 100 единиц витамина (А) и 120 единиц витамина (В) в день, сформулируйте систему неравенств, описывающую питание что ребенок должен съесть каждый день для удовлетворения этих требований. Используйте 𝑥 для представления массы первый вид детского питания (в граммах) и 𝑦 для представления массы второго вида детского питания (в граммах).

Ответ

В этом примере мы сформулируем системы неравенств, которые удовлетворяют условиям количества, которое ребенок должен съесть за каждый день для удовлетворения потребности в витамине (А) и витамине (В).

Поскольку 𝑥 и 𝑦 — массы первого и второго видов детского питания (в граммах), соответственно, и они должны быть неотрицательными, мы имеем 𝑥≥0, 𝑦≥0.

Поскольку первый вид содержит 2 единицы витамина (А), а второй типа содержит 3 единицы витамина (А) на грамм, общее количество витамина (А) для каждого вида равно 2𝑥 и 3𝑦 соответственно.Их сумма должна быть не менее 100 единиц, так как ребенку нужно как минимум столько единиц, и, таким образом, 2𝑥+3𝑦≥100.

Аналогично, первый тип содержит 3 единицы витамина (В), а второй тип содержит 2 единицы витамина (В) на грамм, а общее количество единиц витамина (В) для каждого вида равно 3𝑥 и 2𝑦 соответственно. Сумма этих быть не менее 120 единиц, а значит 3𝑥+2𝑦≥120.

Таким образом, система неравенств для каждого условия для данная ситуация является 𝑥≥0,𝑦≥0,2𝑥+3𝑦≥100,3𝑥+2𝑦≥120.

Наконец, давайте рассмотрим пример, где мы определяем систему неравенства для производителя конфет, поставляющего комбинацию различных виды печенья в специальную пекарню.

Пример 6. Определение системы неравенств, описывающей данное Ситуация

Производитель конфет 30 кг шоколада печенье и 60 кг ванильного печенья. Продажи будут осуществляться в двух различных комбинациях. Первая комбинация будет состоять из четверти шоколадного печенья и три четверти ванильного печенья по весу, а вторая комбинация быть половина шоколадного печенья и половина ванильного печенья по весу.Eсть контракт, требующий, чтобы по крайней мере 20 кг второй Комбинация должна поставляться в конкретную пекарню.

Какая из следующих систем неравенств представляет число килограммов из первой и второй комбинаций, которые будут проданы?

Пусть 𝑥 будет количеством килограммы первой комбинации и 𝑦 количество килограммы второй комбинации.

  1. 𝑥 + 2𝑦≤120,
    3𝑥 + 2𝑦≤240,
    𝑦≥20,
    𝑥≥0
  2. 𝑥 𝑥 + 2𝑦≤120,
    3𝑥 + 2𝑦≤240,
    𝑦≤20,
    𝑥≥0,
    𝑦≥0
  3. 𝑥 + 2𝑦≥120,
    3𝑥 + 2𝑦≥240,
    𝑦≥20,
    𝑥≥0
  4. 𝑥 + 2𝑦≤120,
    3𝑥 + 2𝑦≤240,
    𝑦≥20
  5. 𝑥 +2𝑦≤120,
    3𝑥+2𝑦≤240,
    𝑥≥20

Ответ

В этом примере мы сформулируем системы неравенств, которые удовлетворяют условия по количеству килограммы двух разных видов печенья для продажи.

Так как 𝑥 и 𝑦 количество килограммов в первой и второй комбинации соответственно, и они должны быть неотрицательно, и контракт требует, по крайней мере, 20 кг второй комбинация, мы имеем 𝑥≥0, 𝑦≥20.

Так как первая комбинация требует, чтобы одна четверть веса была из шоколадное печенье, а вторая комбинация требует, чтобы половина веса быть из шоколадного печенья, общий вес шоколадного печенья для каждого комбинация 𝑥4 и 𝑦2 соответственно.Сумма их не больше более 30 кг, максимальный вес шоколадного печенья, который дает нам 𝑥4+𝑦2≤30.

Мы также можем умножить это на 4, чтобы записать как 𝑥+2𝑦≤120.

Точно так же, как первая комбинация требует три четверти веса быть ванильным печеньем, а для второй комбинации требуется половина вес ванильного печенья, общее количество ванильного печенья для каждая комбинация 3𝑥4 и 𝑦2 соответственно.Сумма этих должна быть не более 60 кг, максимальный вес ванильного печенья; таким образом, у нас есть 3𝑥4+𝑦2≤60.

Мы также можем умножить это на 4, чтобы записать как 3𝑥+2𝑦≤240.

Таким образом, система неравенств для каждого условия для данного ситуация 𝑥+2𝑦≤120,3𝑥+2𝑦≤240,𝑦≥20,𝑥≥0.

Это вариант А.

Ключевые моменты

  • В данной ситуации, чтобы сформулировать систему неравенств, мы должны пометить каждую из величин 𝑥 или 𝑦.
  • Если количества 𝑥 и 𝑦, значения, которые никогда не могут быть отрицательными, такие как длина или ширина, то мы всегда должны начинать с 𝑥≥0, 𝑦≥0.
  • Нам могут быть даны другие ограничения для количеств 𝑥 и 𝑦, как минимум и/или максимальное значение для каждого.
  • Дополнительные линейные неравенства вида можно перевести из ограничений, заданных для полной комбинации величин, принимая во внимание учитывать взвешивание каждого количества, например цену каждого количество и максимальный расход.

5.5 — Системы неравенств

5.5 — Системы неравенств

График неравенства

Когда мы имели дело с одной переменной, график неравенства представлял собой некоторый интервал на действительном числовая строка. Теперь мы имеем дело с двумя переменными, а графиком неравенства является множество все упорядоченные пары (x, y), удовлетворяющие неравенству. Как правило, это будет представлено полуплоскостью.

Рисование неравенства двух переменных

  1. Замените неравенство знаком равенства и нарисуйте полученное уравнение.Используйте сплошную линию, если равенство включено (<= или >=), а пунктирная линия неравенства является строгой (< или >).
  2. Выберите контрольную точку не на графике уравнения. Если эта контрольная точка удовлетворяет неравенству, затем заштрихуйте каждую точку на той стороне неравенства, которая включает вашу контрольную точку. Если тест точка не удовлетворяет неравенству, затем заштрихуйте другую сторону неравенства.

Решение системы неравенств

Решением системы неравенств является множество всех упорядоченные пары (x, y), удовлетворяющие всем неравенствам одновременно.

Решением данной системы линейных неравенств является нарисовано справа.

( х — 3) 2 + ( у — 3) 2 < 4
х + у <= 5
2x + 3y <= 12

Обратите внимание, что круг не сплошной, а пунктирный. Это потому что там является строгим неравенством (< или >), то есть равенство не включается.

Теперь одна вводящая в заблуждение вещь о создании вывода на Компьютер заключается в том, что он выглядит очень простым, чтобы набросать систему.В на самом деле, есть четыре способа, которыми вы можете набросать решение задачи. система линейных неравенств

  1. Нарисуйте все линии и кривые. Выберите контрольную точку в каждом регион (регионов будет много — на рисунке их 8). Недостаток — слишком много работы.
  2. Закрашивайте каждое встречающееся неравенство. То, что заштриховано для каждого неравенства, является решение. Если неравенств три, то решением будет то, что заштриховано трижды.Если там пять неравенств, то решение заштриховано пять раз. Недостаток — если вы делаете хорошая работа по затенению, и вы должны, становится трудно сказать, что заштриховано три раза в отличие от того, что заштриховано четыре раза.
  3. Заштрихуйте каждое неравенство по мере его появления, но заштрихуйте ложную часть в каждом кейс. То противопоставление «если не работает, то заштриховано» — это «если не заштриховано, то работает». Другими словами, все, что осталось незаштрихованным, будет той частью, которая является решением.Недостаток — твой ответы будут незаштрихованы там, где книги будут заштрихованы.
  4. Закрасьте только правильное ребро каждого неравенства. Затем вы можете расширить их до посмотрите, какие области заштрихованы со всех сторон.

Какой бы метод вы ни использовали, напишите слово «да» или что-то подобное в область решения.

Определение системы по графику.

  1. Напишите уравнение для каждой границы на графике.
  2. Выберите контрольную точку в области решения и подставьте ее в уравнение.
  3. Замените знак равенства на любое неравенство, необходимое для того, чтобы утверждение было верным. Включать знак равенства, если это сплошная линия, и не включайте знак равенства в неравенство, если это пунктир.

Системы уравнений и неравенств — Системы линейных неравенств

Системы линейных неравенств

Извините, но жизнь не всегда справедлива, и приходится иметь дело с неравенствами — даже в математике.Теперь мы собираемся рассказать, как мы имеем дело с системами линейных неравенств. Да, мы знаем, что это несправедливо. Ты снова бросаешь на нас этот взгляд?

Давайте вспомним, как построить график одного неравенства. Затем мы перейдем к построению систем неравенств в виде графиков. Однако мы собираемся ограничиться графическим отображением линейного неравенства, а не чего-то вроде апартеида. Эта система неравенств слишком велика, чтобы уместиться на одном графике.

Во-первых, мы полностью игнорируем знак неравенства и рисуем линию так, как если бы вместо этого она имела знак равенства.

Тогда сразу перестаем игнорировать знак неравенства, чтобы проверить строгое это неравенство или нет. Наше внимание иногда непостоянно. Неравенства со знаком «<» или «>» изображаются пунктирными линиями, а неравенства со знаком «≤» или «≥» — сплошными линиями.

После построения графика мы проверяем точки, чтобы увидеть, какая область графика удовлетворяет неравенству, а затем закрашиваем эту область. Это грязная работа, но кто-то должен это делать.

Вот и все, что нужно для построения графика одного линейного неравенства.Графическое представление их системы на самом деле не так уж и отличается. Давайте пройдемся по одному.

Пример задачи

Нарисуйте график системы неравенств.

2 x y ≤ -4

x + y < 4

Наш первый шаг – изобразить каждое неравенство в виде графика. Мы рекомендуем делать это на одной координатной плоскости. Однако мы начнем с того, что каждая линия будет отображаться отдельно, просто чтобы было проще для глаз.

Сначала мы построим график 2 x y ≤ -4.У нас он в стандартном виде, так что найти перехваты несложно. y -перехват, когда x = 0, равен:

2(0) – y = -4

y = 4

(Помните, мы игнорируем неравенство сейчас. ) Точно так же x -перехват:

2 x – 0 = -4

x = -2

Хорошо, теперь мы перестанем игнорировать знак неравенства. Вы можете перестать задерживать дыхание, ≤. Во всяком случае, этот тип неравенства показан сплошной линией.

Мы еще не закончили, потому что нам нужно заштриховать части, где неравенство верно. Мы будем использовать (0, 0) в качестве нашей контрольной точки.

2 x y ≤ -4

Является ли 2(0) – 0 ≤ -4? Нет, это не так. Заштрихуйте другую сторону нашей линии.

Теперь мы повторим эту процедуру с другим нашим графиком, x + y < 4.

Оба отрезка равны 4, что значительно упрощает задачу. Не 1+1=2 вида легко, но все же.

Это неравенство здесь строгое. Если вы опоздаете к обеду на минуту, вы не получите десерта и отправитесь спать пораньше. Боже, успокойся, неравенство. Мы будем использовать пунктирную линию, если это сделает вас счастливыми.

Чтобы получить правильное затенение, мы снова проверим точку (0, 0). Честно говоря, мы начинаем думать, что (0, 0) нравится, когда нас тестируют. Это немного странно.

Является ли 0 + 0 < 4? Да, так мы заштриховываем левую часть линии.

Итак, мы изобразили оба неравенства.Что теперь? Разбить их вместе и посмотреть, что выживет?

Вообще-то да. Мы поместим обе линии и их штриховку на один и тот же график. Любое решение системы должно удовлетворять обоим отдельным уравнениям. Это означает любое место на графике, где оттенки перекрываются (или имеют сплошную линию и штриховку). Мы предлагаем использовать два разных цвета для каждой линии. Как насчет ярко-розового поверх флуоресцентного зеленого? Просто шучу. Это уничтожит ваши глазные яблоки.

С этого момента мы просто покажем затенение области решения.

Это не так уж плохо. Мы рисуем оба неравенства как обычно, а затем смотрим, где их оттенки перекрываются. Сохраняем перекрытие и отбрасываем все остальное.

Давайте сделаем еще один и посмотрим, сможем ли мы закончить его быстрее. Держу пари, доллар мы можем.

Пример задачи

Нарисуйте график системы неравенств.

y ≤ -3 x + 4

x + 3 y < -6

Наше первое уравнение уже находится в форме пересечения наклона.Графически это будет проще, чем графически конфеты от ребенка. В основном потому, что мы понятия не имеем, как вы это сделаете.

Уклон равен м = -3, и у нас b = 4. Это неравенство, поэтому нам также нужно проверить, является ли линия пунктирной или сплошной. Линия под неравенством — верный признак сплошной линейности.

Для затенения мы тестируем точку (0, 0).

0 ≤ -3(0) + 4

Является ли 0 ≤ 4? Да, поэтому заштрихуйте окрестности (0, 0) слева.

Теперь x + 3 y < -6 находится на графическом блоке. x -перехват равен:

x + 3(0) = -6

x = -6

Между тем, y -перехват равен: 90 10 y

-6

y = -2

Последнее, что нам нужно отметить, это то, что линия пунктирная из-за знака «меньше».

Звонок (0, 0) в испытательную комнату.(0, 0), в испытательную комнату. Пожалуйста, введите себя в x + 3 y < -6 и начните тестирование.

Является ли 0 + 3(0) < -6? Нет, отрицательные числа меньше 0. Закрасьте сторону, не содержащую (0, 0).

Заштрихованные области, соответствующие обеим линиям, удовлетворяют системе неравенств.

Мы думаем, что это было чуточку быстрее. Однако мы можем сделать еще лучше.

Пример задачи

Решите эту систему неравенств, построив график.

y x – 2

y x < -5

. какая сторона прямой входит в наше неравенство. Помните, что поскольку у нас есть символ ≥, наша линия будет сплошной, а не пунктирной.

Мы уже находимся в форме пересечения наклона, где м = 1 и b = -2. Этого достаточно, чтобы мы начали.

А как насчет затенения? Неравенство окутывает злыми тенями даже ночью. Наш старый резерв, (0, 0), заполнит нас.

0 ≥ 0 – 2?

Это правда, поэтому мы заштриховываем сторону линии с точкой (0, 0) слева.

Наше второе неравенство, y x < -5, уже находится в стандартной форме, поэтому мы будем работать с ним так. Это означает больше шуток о перехватах и ​​поиск перехватов.

y -пересечение: y – 0 = -5

(0, 5)

x -пересечение: 0 – x = —

3 9000 2 те на вашем участке и графически их.Только помните, что неравенство строгое, поэтому в нашей прямой есть дыры.

Быстрый плагин (0, 0) дает нам:

0 – 0 < -5

Это неправда. Это невозможно!

Итак, мы затеняем другую сторону линии. Теперь мы можем сложить все вместе:

Ну тогда это другое. Затенение двух неравенств не перекрывается; слишком велики их различия, слишком велика пропасть между ними. Это достаточно грустно, чтобы заставить нас немного прослезиться. У нас нет решений этой системы неравенств.

Пример задачи

Нарисуйте график системы неравенств.

Еще одна система неравенств для дороги. В них есть дроби, но они в форме пересечения наклона, так что это действительно помогает нам.

Первая линия имеет наклон и y — точку пересечения b = 4. Мы также знаем, что она имеет сплошную линию. Этого достаточно, чтобы построить график.

Теперь протестируем затенение с помощью (0, 0).

Есть? Неа. Заштрихуйте другую сторону нашей линии.

Далее идет график. Оно очень похоже на другое уравнение, где b = -4, а также сплошная линия. Они не «точно такие же» похожие, они просто похожи.

Время игры: (0, 0), мы выбираем вас. Используйте Test Point для неравенства.

Есть? Ага. Это означает, что мы заштриховываем сторону начала координат.

Теперь давайте соберем все вместе.

Просто прелесть. Мы думаем, что установили мировой рекорд скорости для построения графиков неравенства.

Системы неравенств Изобразить множество решений системы

На графике:
Заданная система неравенств. Также найдите координаты всех вершин и проверьте, ограничено ли множество решений.
График:
Данная система неравенств есть,
y<9−x2…..(1)
y≥x+3…..(2)
Соответствующее уравнение неравенства (1) есть,
y =9−x2
Так как в неравенстве y<9−x2 стоит знак строго меньше, то точки на параболе y=9−x2 не удовлетворяют неравенству y<9−x2.
Следовательно, сама парабола y=9−x2 не является частью множества решений.
Соответствующее уравнение неравенства (2) имеет вид неравенство y≥x+3
Следовательно, сама линия y=x+3 является частью множества решений.
Рассмотрим контрольные точки (0,4), чтобы проверить, удовлетворяет ли решение каждому неравенству данной системы.
Подставить 0 вместо x и 4 вместо y в неравенстве y<9−x2
y<9−x2
4<9−0
4<9
Точка (0,4) находится внутри параболы y=9−x2 и удовлетворяет неравенству y<9−x2. Так что это часть набора решений.
Подставьте 0 вместо x и 4 вместо y в неравенстве y≥x+3.
y≥x+3
4≥0+3
4≥3
Точка (0,4) находится ниже прямой y=x+3 и удовлетворяет неравенству y≥x+3. Так что это часть набора решений.
Следовательно, контрольная точка(0,4) удовлетворяет каждому неравенству данной системы.
Множество решений данной системы неравенств есть пересечение решений каждого данного неравенства.
Таким образом, набор решений показан заштрихованной областью.

Вершины находятся в точках пересечения соответствующего уравнения данной системы неравенств.
y=9−x2…..(3)
y=x+3…..(4)
Из рисунка 1 видно, что парабола y=9−x2 и прямая y=x+3 пересекаются.
Подставьте x+3 вместо y в уравнении (3).
y=9−x2
x+3=9−x2
x2+x=9−3
x2+x−6=0
Далее решите приведенное выше уравнение для значения x.
x2+3x−2x−6=0
(x−2)(x+3)=0
x+3=0 или x−2=0
x=−3 или x=2
Следовательно, x- координата вершины -3 и 2.
Замените x на -3 в уравнении (3).
y=9−x2
y=9−(−3)2
y=0
Замените x на 2 в выражении (3).
y=9−x2
y=9−(2)2
y=9−4
y=5
Следовательно, координата y вершины равна 0 и 5.
Следовательно, вершины заштрихованной области равны ( -3,0) и (2,5).
Из рисунка 1 видно, что заштрихованная область заключена граничными линиями данной системы неравенств.
Следовательно, заштрихованная область ограничена.
Интерпретация:
Множество решений данной системы неравенств лежит в 1 и 2 квадрантах, как показано на рисунке 1.
Вывод:
Таким образом, вершинами данной системы неравенств являются (-3,0) и (2,5), множество решений ограничено.»

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск