Составные простые числа – Простые числа 🔢 свойства, формула, последовательность простых и составных чисел, теория, таблица простых чисел до 1000 и до 10000, наибольшое и наименьшее число, примеры

Содержание

Простые и составные числа. Видеоурок. Математика 6 Класс

Рассмотрим рисунок 1, на нем выписан натуральный ряд чисел.

Рис. 1. Числа от 1 до 100 (Источник)

Правила игры

1. Берем число, а потом вычеркиваем все числа, которые на него делятся. Начинаем с 2.

Так, каждое второе число будет делиться на два (рис. 2).

Рис. 2. Вычеркивание всех чисел, которые делятся на 2

2. Берем следующее незачеркнутое число и обводим его кружочком. Вычеркиваем числа, которые делятся на три.

Рис. 3. Вычеркивание чисел, которые делятся на 3

3. Следующее незачеркнутое число – пять. Вычеркиваем все числа, делящиеся на пять (рис. 4).

Рис. 4. Вычеркивание чисел, которые делятся на 5

4. Берем число семь и продолжаем зачеркивать числа (рис. 5).

Рис. 5. Вычеркивание чисел, которые делятся на 7

5. Посмотрим, что получилось: зачеркнуты почти все числа. После того как мы подумаем над тем, что объединяет все зачеркнутые числа, ответим: они все на что-то делились. Те числа, которые остались незачеркнутыми (рис. 4), ни на что, кроме себя и единицы, не делятся.

Данное действие называется решето Эратосфена – просеивание натурального ряда в поисках простых чисел. Простые числа – это такие числа, которые делятся на себя и на единицу (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Те числа, которые делятся не только на себя и на единицу, имеют больше двух делителей, называются составными.

Есть интересное число, которое делится только на себя (имеет один делитель). Это единица, она не является ни простым, ни составным.

Все

натуральные числа – числа, которые мы используем при счете, можно разделить на три группы.

1. Простые – имеют только два делителя: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т. д.

2. Составные числа – имеют больше двух делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т. д.

3. Единица (1) имеет только один делитель.

Если посмотрим на таблицу простых чисел (рис. 6), то заметим, что все числа, кроме двойки, нечетные. Самое маленькое простое число – два. А самое большое из ныне найденных простых чисел содержит семнадцать миллионов четыреста двадцать пять тысяч сто семьдесят цифр: 17 425 170 цифр.

Рис. 6. Таблица некоторых простых чисел (Источник)

Любое натуральное число можно разложить в произведение простых чисел единственным образом с точностью до порядка сомножителей.

1. Например, число 6 можно получить, если 3 умножить на 2 или 2 умножить на 3.

2. Аналогично раскладываем на простые множители число 48.

Обратите внимание: каждый раз мы выделяли простой множитель, а потом второй множитель раскладывали на множители и так, пока не получили все простые.

3. Теперь для разложения с помощью основной теоремы арифметики возьмем 122. Данное число делится на два, получаем 61. Так как шестьдесят один – это простое число, то разложение числа 122 на простые множители:

4. Если разложим число 462 на простые множители, получим:

В простых числах интересно то, что иногда они стоят через один (подряд простые числа стоять не могут, потому что каждое второе делится на 2, исключением является пара 2 и 3), например 3 и 5 или 71 и 73, или 461 и 463, такие числа называют «

близнецами». Иногда простые числа очень далеко расположены друг от друга и найти каждое следующее простое число с каждым разом все сложнее.

Криптограф – специалист по расшифровке и зашифровыванию информации.

Так, криптографы используют большие простые числа, для того чтобы создавать коды, которые очень сложно взламывать.

В последующих уроках нам потребуются знания о простых числах, чтобы вычислять НОД – наибольший общий делитель и НОК – наименьшее общее кратное.

 

Список литературы

1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 288 с.: ил.

2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика, 6 класс. – М.: Мнемозина.

3. Истомина Н.Б., Математика, 6 класс. – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Научная библиотека» (Источник)

2. Интернет портал «Clever Students» (Источник)

3. Интернет портал «Школьный помощник» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Математика. 6 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 17 § 4, № 95, 98, 104.

2. Что такое натуральные числа?

3. Какие группы натуральных чисел вы знаете? 

4.*Разложите на простые множитель такие числа, воспользовавшись основной теоремой арифметики:

а) 335              б) 892              в) 647             г) 995              д) 44               е) 220

Онлайн урок: Простые и составные числа по предмету Математика 6 класс

Натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Такое разложение будет единственным и может отличаться только порядком множителей.

Это понятие носит название основной теоремы арифметики и используется очень часто.

Посмотрим на примерах, как всё тут работает.

Разложить 6 можно двумя способами, расположив по-разному простые множители: 3 умножить на 2 или 2 умножить на 3

\(\mathbf{6 = 3\cdot2 = 2\cdot3}\)

Если попытаемся разложить число 48 на простые множители, то  получим:

\(\mathbf{48 = 2\cdot24 = 2\cdot2\cdot12 = 2\cdot2\cdot2\cdot6= 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}\)

Чтобы всё сделать правильно при разложении, нужно выделить простой множитель, с оставшимся числом поступить так же и повторять действия, пока не получатся все простые множители.

Посмотрим еще один пример и возьмем 122.

Это число делится без остатка на два, так как оно чётное, получаем 61. Шестьдесят один - это простое число.

Таким образом, разложение числа 122 на простые множители выглядит так:

\(\mathbf{122 = 2\cdot61}\)

 

Возьмем еще большее число, к примеру, 462. При разложении на простые множители получим:

\(\mathbf{462 = 2\cdot3\cdot7\cdot11}\)

Бывают такие случаи, когда в числовом ряду простые числа стоят через одно составное. Рядом они стоять не могут, ведь каждое второе число будет чётным, значит, оно уже не будет являться простым.

Если простые числа стоят через одно составное, например, 3 и

5 или 71 и 73, или 461 и 463, то они называются «близнецами».

С развитием вычислительной техники было доказано, что простые числа с увеличением располагаются всё дальше друг от друга. Это создаёт проблему при поиске каждого нового простого числа.

 

Пример 1

Используя основную теорему арифметики, разложите на простые множители числа 72, 228, 896, 994, 105, 98

Решение:

$$\mathbf{72 = 8\cdot9=4\cdot2\cdot3\cdot3=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}$$

$$\mathbf{228= 12\cdot19 = 4\cdot3\cdot19=2\cdot2\cdot3\cdot19}$$

$$\mathbf{896 = 64\cdot14 = 4\cdot16\cdot2\cdot7= 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot7}$$

$$\mathbf{994 = 2\cdot7\cdot71}$$

$$\mathbf{105= 3\cdot5\cdot7}$$

$$\mathbf{98 = 2\cdot14 =2\cdot2\cdot7}$$

 

Пример 2

Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31, 25, 100, 189, 325, 558, 194?

Решение:

Число 31 имеет два делителя: 1, 31

Число

25 имеет три делителя: 1, 5, 25

Число 100 имеет девять делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Число 189 имеет восемь делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189

Число 325 имеет шесть делителей: 1, 5, 13, 25, 65, 325

Число 558 имеет двенадцать делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 31, 62, 93, 186, 279, 558

Число 194 имеет четыре делителя: 1, 2, 97, 194

 

Пример 3

Какое из чисел 129, 565, 441, 70, 237, 816 имеет самое большое количество делителей?

Решение:

Число 129 имеет четыре делителя: 1, 3, 43, 129

Число 565 имеет четыре делителя: 1, 5, 113, 565

Число 441 имеет девять делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441

Число 70 имеет восемь делителей: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

Число 237 имеет четыре делителя:

1, 3, 79, 237

Число 816 имеет двадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 34, 48, 51, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816

Самое большое количество делителей имеет число 816

Простые и составные числа | Математика

Натуральные числа, большие единицы, в зависимости от количества их делителей, подразделяются на простые и составные числа.

Простое число – это натуральное число, которое больше единицы и делится только на единицу и само на себя.

Пример.

2, 5, 7, 11 – простые числа.

2 – делится на 1 и на 2.

5 – делится на 1 и на 5.

7 – делится на 1 и на 7.

11 – делится на 1 и на 11.

Составное число – это натуральное число, которое больше единицы, делится не только на единицу и само на себя, но и ещё хотя бы на одно натуральное число.

Пример.

4, 6, 9, 10 – составные числа.

4 – делится на 1, на 2 и на 4.

6 – делится на 1, на 2, на 3 и на 6.

9 – делится на 1, на 3 и на 9.

10 – делится на 1, на 2, на 5 и на 10.

Наименьшее простое число – число 2 (оно же первое простое число). Это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа нечётные.

Наименьшее составное число – число 4 (оно же первое составное число).

Простых и составных чисел бесконечно много, есть первое простое и составное число, но нет последнего простого и составного числа.

Единица имеет только один делитель – само число 1. Этим единица отличается от всех остальных натуральных чисел, поэтому условились считать, что единица не является ни простым, ни составным числом.

Не существует простых чисел, оканчивающихся на 4, 6, 8 или 0. Среди простых чисел есть только одно число, оканчивающееся на 2 – само число 2, из оканчивающихся на 5 – тоже есть только одно число – само число 5. Все остальные простые числа, кроме 2 и 5, оканчиваются на 1, 3, 7 или 9. Не все числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7, 9, являются простыми, например числа 21, 27, 33, 39 и многие другие – составные.

Как узнать, число простое или составное?

Самый простой способ определить является число простым или составным – посмотреть таблицу простых чисел.

Если под рукой нет таблицы с выписанными простыми числами, то можно попробовать определить с помощью последовательного перебора всех возможных делителей данного числа. Если ни одно число не подойдёт в качестве делителя данного числа, то это число будет простым, в противном случае – составным.

Если данное число превосходит наибольшее число из имеющейся таблицы, то можно попробовать определить с помощью последовательного деления данного числа на простые числа, начиная с числа 2. Если ни одно простое число не подойдёт в качестве делителя данного числа, то это число – простое, в противном случае – составное.

О сайте:   конспекты по математике, русскому языку и химии
Связь:   [email protected]
Новое на сайте | © 2018 – 2019

Простые числа и составные числа. Таблица простых чисел.

Навигация по странице:

Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя[1].

То есть, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

Составное число — натуральное число, большее 1, не являющееся простым.

Каждое составное число является произведением двух или более простых чисел.

Таким образом, все натуральные числа разбиваются на три класса:
  • единицу - имеет один натуральный делитель,
  • простые числа - имеют два натуральных делителя,
  • составные числа - имеют больше двух натуральных делителей.
Примеры

2 — простое число (делится на 2 и 1)

3 — простое число (делится на 3 и 1)

4 — составное число (делится на 4, 2 и 1)

5 — простое число (делится на 5 и 1)

6 — составное число (делится на 6, 3, 2 и 1)

7 — простое число (делится на 7 и 1)

8 — составное число (делится на 8, 4, 2 и 1)

9 — составное число (делится на 9, 3 и 1)

10 — составное число (делится на 10, 5, 2 и 1)

Таблица простых чисел от 2 до 1000

23571113171923293137
414347535961677173798389
97101103107109113127131137139149151
157163167173179181191193197199211223
227229233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349353359
367373379383389397401409419421431433
439443449457461463467479487491499503
509521523541547557563569571577587593
599601607613617619631641643647653659
661673677683691701709719727733739743
751757761769773787797809811821823827
829839853857859863877881883887907911
919929937941947953967971977983991997

Таблица простых чисел от 1000 до 10000

100910131019102110311033103910491051106110631069
108710911093109711031109111711231129115111531163
117111811187119312011213121712231229123112371249
125912771279128312891291129713011303130713191321
132713611367137313811399140914231427142914331439
144714511453145914711481148314871489149314991511
152315311543154915531559156715711579158315971601
160716091613161916211627163716571663166716691693
169716991709172117231733174117471753175917771783
178717891801181118231831184718611867187118731877
187918891901190719131931193319491951197319791987
199319971999200320112017202720292039205320632069
208120832087208920992111211321292131213721412143
215321612179220322072213222122372239224322512267
226922732281228722932297230923112333233923412347
235123572371237723812383238923932399241124172423
243724412447245924672473247725032521253125392543
254925512557257925912593260926172621263326472657
265926632671267726832687268926932699270727112713
271927292731274127492753276727772789279127972801
280328192833283728432851285728612879288728972903
290929172927293929532957296329692971299930013011
301930233037304130493061306730793083308931093119
312131373163316731693181318731913203320932173221
322932513253325732593271329933013307331333193323
332933313343334733593361337133733389339134073413
343334493457346134633467346934913499351135173527
352935333539354135473557355935713581358335933607
361336173623363136373643365936713673367736913697
370137093719372737333739376137673769377937933797
380338213823383338473851385338633877388138893907
391139173919392339293931394339473967398940014003
400740134019402140274049405140574073407940914093
409941114127412941334139415341574159417742014211
421742194229423142414243425342594261427142734283
428942974327433743394349435743634373439143974409
442144234441444744514457446344814483449345074513
451745194523454745494561456745834591459746034621
463746394643464946514657466346734679469147034721
472347294733475147594783478747894793479948014813
481748314861487148774889490349094919493149334937
494349514957496749694973498749934999500350095011
502150235039505150595077508150875099510151075113
511951475153516751715179518951975209522752315233
523752615273527952815297530353095323533353475351
538153875393539954075413541754195431543754415443
544954715477547954835501550355075519552155275531
555755635569557355815591562356395641564756515653
565756595669568356895693570157115717573757415743
574957795783579158015807581358215827583958435849
585158575861586758695879588158975903592359275939
595359815987600760116029603760436047605360676073
607960896091610161136121613161336143615161636173
619761996203621162176221622962476257626362696271
627762876299630163116317632363296337634363536359
636163676373637963896397642164276449645164696473
648164916521652965476551655365636569657165776581
659966076619663766536659666166736679668966916701
670367096719673367376761676367796781679167936803
682368276829683368416857686368696871688368996907
691169176947694969596961696769716977698369916997
700170137019702770397043705770697079710371097121
712771297151715971777187719372077211721372197229
723772437247725372837297730773097321733173337349
735173697393741174177433745174577459747774817487
748974997507751775237529753775417547754975597561
757375777583758975917603760776217639764376497669
767376817687769176997703771777237727774177537757
775977897793781778237829784178537867787378777879
788379017907791979277933793779497951796379938009
801180178039805380598069808180878089809381018111
811781238147816181678171817981918209821982218231
823382378243826382698273828782918293829783118317
832983538363836983778387838984198423842984318443
844784618467850185138521852785378539854385638573
858185978599860986238627862986418647866386698677
868186898693869987078713871987318737874187478753
876187798783880388078819882188318837883988498861
886388678887889389238929893389418951896389698971
899990019007901190139029904190439049905990679091
910391099127913391379151915791619173918191879199
920392099221922792399241925792779281928392939311
931993239337934193439349937193779391939794039413
941994219431943394379439946194639467947394799491
949795119521953395399547955195879601961396199623
962996319643964996619677967996899697971997219733
973997439749976797699781978797919803981198179829
983398399851985798599871988398879901990799239929
99319941994999679973

1Простое число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 4.

Простые числа 🔢 свойства, формула, последовательность простых и составных чисел, теория, таблица простых чисел до 1000 и до 10000, наибольшое и наименьшее число, примеры

Простые числа – это натуральные числа, их можно разделить только на два значения: единицу и себя. К натуральным относят те, которые используются во время счета, поэтому должно выполняться требование, чтобы они были положительными и целыми. Делители также не должны быть отрицательными и дробными.

Применение простых чисел

Они широко применяются в криптографии, когда необходимо закодировать важную информацию от посторонних глаз. Шифрование касается каждого человека, так как используется в создании электронной почты, банковских карт. Даже мобильная связь защищается кодами. 

Кроме того, используются на системах, защищающих транспортные средства от угонщиков, создают преграду для атак вирусов и взломов компьютерных сайтов. При попытке продолжить разложение простых чисел или определить закономерность появления, возникают новые способы математических расчетов.

Простые и составные числа - что это такое

Математика предлагает начинать знакомиться с данными понятиями в средней школе, в 5 или в 6 классе. 

Простые и составные числа

Проверка на принадлежность к определенному множеству достаточно простая:

  1. Простые числа можно делить только на 1 и на такое же число. Например 3 и 7 — простые числа, 3 делится на 1 и на 3, 7 делится на 1 и на 7.

  2. Составные числа можно делить не только на себя и единицу. При этом не должно получаться остатка. Они делятся на одно или несколько значений. Например, 8 и 6 относят к составным. Восьмерка делится на 1, 2, 4, 8; шестерка – на 1, 2, 3 и 6.

Определение простых чисел позволяет исключить из их ряда единицу. Она характеризуется наличием только одного делителя, не являющегося отрицательным значением. Получить ее можно, используя только один способ, умножив саму на себя.

Простые двузначные числа определяются по внешнему виду:

  1. Если оканчиваются четной цифрой, то точно являются составными. То же касается и значений, имеющих больше двух знаков.

  2. Если на конце находится цифра 5, то она входит в число делителей.

Такие простые способы помогают легко классифицировать многозначные показатели.

Некоторые двузначные вводят в заблуждение с первого взгляда, если оканчиваются на единицу. Кажется, что разложить на множители их невозможно. Но есть исключения, например: 21, 81. Чем дальше, тем больше отклонений от этой закономерности.

Последовательность простых чисел

Есть целые алгоритмы, помогающие получать новое, ранее неизвестное значение. 

Существуют таблицы, в которых собраны найденные числа, имеющие не больше двух делителей, например, до 200, 1000 или больше. 

Таблица простых чисел

Последовательность можно продолжать бесконечно, начинается она так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и т. д.

Наименьшее и наибольшее простое число

Самым меньшим значением, делящимся на себя и 1, является 2. Это единственное простое значение, являющееся четным. Остальные всегда делятся на два, то есть получают третий делитель. 

Самое малое и большое простое число

Простых чисел много и их количество стремится к бесконечности, потому узнать самое большое невозможно.

Нескончаемость ряда была доказана еще до нашей эры Евклидом. Он предложил перемножить все известные исследуемые значения и прибавить к ним единицу. 

При его делении в любом случае будет оставаться остаток, то есть отнести к составным невозможно. Что противоречит тому факту, что были использованы все известные простые числа, в том числе и самое большое. Значит, предположение о конечности ряда является неверным.

В настоящее время известно значение, имеющее около 25 миллионов знаков. Оно относится к наибольшему из открытых наукой, это 282589933

Множество простых чисел

Множествами называются совокупности элементов, объединенных в одно целое общими свойствами. 

Решето Эратосфена

Для изучаемых объектов к ним относятся:

Простые числа можно определить, используя решето Эратосфена. Нужно выписать в ряд все значения, с которыми предстоит работать. Выбрать самое маленькое и вычеркнуть его, затем продолжать действие, убирая кратные ему. 

Например, в ряду от 1 до 100 первым таким объектом будет 2. Поэтому и вычеркивать нужно значения, кратные двойке, то есть те, которые делятся на нее. 

По окончании из оставшихся выбрать новое простое, искать кратные ему и также убирать. Повторять, пока это представляется возможным. 

В итоге, все составные окажутся зачеркнутыми.

Эратосфен использовал свое открытие следующим образом. Он брал папирус, записывал на нем необходимые значения, при отборе прокалывал неподходящие острым предметом (отсюда название «решето Эратосфена»). Поэтому они как будто просеивались через сито, и в списке оставались видимыми только необходимые.

Некоторые свойства простых чисел

Выделяют свойства, объединенные в теоремы, постулаты. Многие являются основой математических правил, используемых в настоящее время. 

Простые числа близнецы и тройняшки

Изучением занимается теория чисел, при использовании формул простые числа обозначаются буквой n.

Известны следующие правила:

  1. Если рассматривать два простых числа (n), одно из которых делится на другое, то можно утверждать, что они равны.

  2. Все являются нечетными, за исключением двойки.

  3. Можно выделить пары, разница между которым равна 2. При их сложении получается значение, кратное трем. Их так и называют парными или близнецами. Исключение составляют две первые цифры в ряду, 3 и 5, так как сумму, полученную при их сложении, нельзя разделить на 3.

  4. Для каждого натурального значения (N), большего единицы, существует n, превышающее его. При этом удвоенное натуральное будет больше n.

  5. Если одно из двух N делится на n, то их произведение также будет делиться на него.

  6. Любое N, за исключением единицы, можно отнести к n или представить в виде их произведения.

  7. Если взять составное число и разложить его на множители n, то среди них окажется один, квадрат которого будет меньше первоначального составного.

  8. Некоторые n имеют пары, которые можно найти, перевернув n наоборот. Например, 13 и 31, 37 и 73. То же самое касается трехзначных n: 107 и 701, 709 и 907.

  9. Если N возвести в степень, представленную n, а затем вычесть N, то полученное значение будет делиться на используемое n. Это правило представляет собой малую теорему Ферма.

Действия с простыми числами

Можно использовать разные арифметические действия, складывать, умножать, вычитать, делить. Простые числа могут являться основанием и показателем степени. 

Извлечь корень из них невозможно.

Таблица простых чисел до 1000

Простые числа до 997

Таблица простых числе до 10000

40 41
42


Простые и составные числа

Определение 9.1. Натуральное число p называется простым, если оно имеет только два различных между собой натуральных делителя: 1 и p.

Примеры. 2, 3, 5, 7, 11, 13 – простые числа.

Определение 9. 2. Натуральное число, большее единицы, называется составным, если оно имеет более двух различных натуральных делителей.

Примеры. 4, 6, 8, 9, 10, 12 составные числа.

Замечание 1. Из этих определений следует, что множество натуральных чисел можно разбить на три класса:

а) составные числа;

б) простые числа;

в) единица.

Если а – составное, то а = nq, где 1 < n < a, 1 < q < a.

Простейшие свойства простых чисел

10. Если а Z и p – простое, то (а, p) = 1 а p.

Действительно, пусть d = (a, p), тогда (а d) p d, т.к. p – простое число, то оно имеет два делителя 1 и p. Если (а, p) = 1, то а и p взаимно просты, а если (а, p) = p, то а p.

20. Если произведение нескольких сомножителей делится на p, то, по крайней мере, один из сомножителей делится на p.

Действительно, пусть произведение а1 а2 ∙ … ∙ аn делится на p. Если предположить противное: все аi не делятся на p, то (а1 а2 ∙ … ∙ аn, p) = 1, следовательно, какой-то сомножитель делится на p.

30. Различные простые числа взаимно просты.

40. Наименьший простой делитель p натурального числа n > 1 не превосходит .

Пусть n = pn1, причем p n1 и p – простое. Тогда n p2p .

50. Если натуральное число n не делится ни на одно простое число p , тоn – простое, в противном случае оно будет составным.

Данное свойство непосредственно следует из свойства 40.

Пример. Выясним, будет ли число 157 простым?

Выпишем простые делители, не превосходящие : 2, 3, 5, 7, 11. Проверяем, что 157 не делится на 2, на 3, на 5, на 7, на 11. Следовательно, число 157 – простое.

Решето Эратосфена

На свойстве 50 основан метод, позволяющий определить список простых чисел p1 < p2 < … до заданной границы n. Этот метод носит название решето Эратосфена, названный в честь древнегреческого математика, географа и астронома.

Шаг 1. Выпишем подряд все натуральные числа 2, … , n1, n.

Положим, что p1 = 2 и вычеркнем все последующие числа, делящиеся на 2, кроме p1 = 2.

Шаг 2. Пусть k 2 и уже определены числа p1,…, pk-1. Обозначим pk первое невычеркнутое число, следующее за pk-1. Если pk2 > n, то обозначим pk+1, pk+2, … все оставшиеся невычеркнутыми числа, следующие за pk, в порядке возрастания. На этом алгоритм завершает свою работу.

Шаг 3. Если pk2n, то вычеркиваем числа, делящиеся на pk, начиная с pk2 (двигаясь до n с шагом pk). Вычеркнутые ранее числа также принимаются в учет, но не вычеркиваются еще раз. По завершении процедуры алгоритм увеличивает индекс k на единицу и переходит к шагу 2.

В результате алгоритм оставляет невычеркнутыми только простые числа.

Примеры: 1. Найти все простые числа, меньшие 30.

Применим решето Эратосфена, остановившись, как только найдём простое число, не меньшее =5,… , т.е. простое число 7.

Теорема Евклида. Основная теорема арифметики

Теорема 9.1 (теорема Евклида). Множество простых чисел бесконечно.

Доказательство.

Предположим противное, пусть p1, p2, … , pk – все простые числа, где p1 = 2, а pk – самое большое простое число.

Составим натуральное число n = p1 · p2 · … · pk + 1, т.к. n > pi, то оно должно быть составным. Покажем, что наименьший делитель q1 числа n будет простым. Так как n – составное, то n = n1q, где q < n1. Если предположить, что q – составное число, то q = q1k и n = n1 q1k, так как q1 < q, то q – уже не будет наименьшим делителем числа n, что противоречит условию. Итак, наименьший делитель числа n будет простым. Однако n не делится ни на p1, ни на p2, … , ни на pk, так как 1 не делится на любое pi .

Следовательно, наше предположение о конечности множества простых чисел было неверно.

Замечание 2. Простые числа составляют лишь небольшую часть чисел натурального ряда. Доказано, что в натуральном ряду существуют сколь угодно длинные интервалы, не содержащие ни одного простого числа.

Теорема 9. 2 (основная теорема арифметики). Любое натуральное число n > 1 может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел, с точностью до порядка сомножителей.

Доказательство.

I. Докажем возможность представления методом математической индукции по величине числа. Пусть n N и n > 1.

1) n = 2. Утверждение выполняется, так как 2 – простое число.

2) Предположим, что утверждение теоремы выполнено для всех натуральных чисел,меньших числа k.

3) Покажем, что утверждение выполнено для k.

а) Если k – простое число, то доказывать нечего.

б) Если k – составное число, то оно имеет делитель а, такой, что 1 < a < k . Тогда k = ab. Очевидно, что 1 < b < k. Согласно предположению, теорема выполнена для чисел а и b, т. е. а = p1p2 ∙ … ∙ ps и b = q1q2 ∙ … ∙ qm, где pi, qj – простые. Тогда k = p1p2 ∙ … ∙ psq1q2 ∙ … ∙ qm. Полученная формула означает, что существует представление числа k в виде произведения простых чисел.

Согласно принципа математической индукции возможность представления в виде произведения простых чисел доказана для любого натурального n > 1.

II. Покажем, что представление числа n в виде произведения простых чисел единственно с точностью до порядка сомножителей.

Пусть n = p1p2 ∙ … ∙ ps и n = q1q2 ∙ … ∙ qr, где pi, qj – простые числа, тогда будет иметь место равенство:

p1( p2 ∙ … ∙ ps) = q1q2 ∙ … ∙ qr(1)

Тогда простое число p1 делит q1q2 ∙ … ∙ qr, так что p1 делит одно из простых чисел правой части, пусть q1p1 , а значит, p1 = q1 . Поэтому обе части рассмат­ри­ва­е­мого равенства можно сок­ра­тить на p1. Разделив обе части равенства (1) на p1, получим равенство p2 ∙ … ∙ ps= q2 ∙ … ∙ qr . Повторяя процесс рассуждения еще (s – 1) раз, мы получим равенство:

1 = qs+1qs+2 qr

Так как все qi > 1, то это равенство невозможно. Следовательно, в обеих разложениях число сомножителей одинаково (s = r) и сами сомножители одинаковы.

Замечание 3. В разложении числа n на простые сомножители некоторые из них могут повторяться. Обозначим буквами кратность их вхождения вn, получим так называемое каноническое разложение числа n:

МЕТОДИКА 19. Тема: Простые числа, их свойства. Основная теорема арифметики.

I.Основные понятия: простые числа, составные числа, основная теорема арифметики.

Ранее изученный материал: делители и кратные, признаки делимости.

Теоретический материал темы:

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Свойства простых чисел:

10. Любое натуральное число либо делится на простое, либо взаимно просто с ним.

20. Произведение натуральных чисел делится на простое тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них делится на это простое.

30. Простых чисел бесконечно много (нет самого большого простого числа).

40. Если натуральное число не делится ни на одно простое, квадрат которого не превосходит это натуральное число, то оно само простое.

50. Любое простое число p(p > 3) представимо в виде .

Основная теорема арифметики: всякое составное число можно разложить на простые множители. При любом способе получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка записи множителей.

Простые и составные числа

Открытый урок по математике 5 класс по теме

"Простые и составные числа"

Цель: 1)сформировать  понятия  простого  и  составного  числа,  способность  к  установлению  вида  числа  на  основе определения  и  таблицы.

2) повторить  и  закрепить  понятия  классификации, делителя  и  кратного, тренировать  вычислительные  навыки при  решении  уравнений и  примеров.

Структура  урока:

1.Самоопределение  к деятельности (организационный  момент)

2.Актуализация  знаний и  фиксация  затруднений  в  деятельности.

3. Постановка учебной  задачи или  проблемы.

4. «Открытие»  детьми  нового  знания.

5.Первичное  закрепление во  внешней  речи.

6.Самостоятельная  работа  с  самопроверкой  в  классе.

7.Включение  нового знания в систему  знаний  и  повторение.

8.Рефлексия   деятельности. (Итог урока)

Тема: Простые  и  составные  числа

Цель: 1)сформировать  понятия  простого  и  составного  числа,  способность  к  установлению  вида  числа  на  основе определения  и  таблицы.

2) повторить  и  закрепить  понятия  классификации, делителя  и  кратного, тренировать  вычислительные  навыки при  решении  уравнений и  примеров.

Структура  урока:

1.Самоопределение  к деятельности (организационный  момент)

2.Актуализация  знаний и  фиксация  затруднений  в  деятельности.

3. Постановка учебной  задачи или  проблемы.

4. «Открытие»  детьми  нового  знания.

5.Первичное  закрепление во  внешней  речи.

6.Самостоятельная  работа  с  самопроверкой  в  классе.

7.Включение  нового знания в систему  знаний  и  повторение.

8.Рефлексия   деятельности. (Итог урока)

Ход  урока:

1.Орг.  момент

 Итак,  начнём  урок. Ребята, какую  тему  мы  изучали   на  прошлом  уроке?

  -Делители и  кратные

Делители  и  кратные  находят   своё  применение ещё  во многих новых  математических понятиях.

2.Актуализация  знаний.

1. Используя  слова «делится» или  «кратное» и «делитель», что  можно  сказать  о  равенстве?

а=а·1

 21= 3·7,              Д(21)={1,3,7,21}

 21=1·21.  

2.Найдите  делители чисел

I вариант   19, 16, 23,63. ( раздать  листочки)

I вариант  15, 17, 31, 42. (проверить по  листочкам)

Молодцы!!!

-Что  общего  между  данными  числами  и  их   делителями?

- Числа  имеют  по  2  делителя (единицу  и  само   число) или  больше 2  делителей.

- Итак, на  какие  группы    разобьём  эти  числа?

-Числа, имеющие 2  делителя и  больше  двух  делителей.

-Числа  первой  группы  называются  простыми, а  второй - составными.

-Сформулируйте вывод.

-Формулируют определение, т.е.  «открывают»  новое  знание.

-Запишите  тему: «Простые  и составные  числа»

 Какова  наша  цель  урока? Какую  работу  мы  сегодня  должны  провести?

-Найти  способы, как  быстро  определить  простые  и  составные  числа.

-Итак, какие  числа называются  простыми?

- Натуральные числа,  которые  имеют  2 делителя   называются  простыми.

(показать  схему)    Простые числа:  два  делителя ( 1 и само  число)        ***

-Какие  числа  называются  составными?

-Натуральные числа, которые имеют больше двух делителей

-( показать схему)  Составные числа: больше  ДВУХ  делителей  **

-Какие  из чисел являются  простыми, какие  составными?

-19,23,17,31.                16,15,63,42

3. Найдите делители  числа  1

  -1.

-Сколько  делителей?

-1

-Является  простым?

-Нет

-Является составным.

-Нет

-Сформулируйте  вывод.

-1  не  является ни  простым, ни  составным.

4.Определите  какими  являются  числа 8, 11, 12.

Как  быстро  определить,  что  число  составное?

Вывод,  что  определить составное  достаточно  определить  третий  делитель, кроме  1  и  самого  числа.

4.Определите за  30  секунд,  каким   является  число  337?

-Итак, каким  является  число 337?

-Думаем,  что  простое.

-а  почему вы  так  думаете?                     ( Проблема?)

-мы  не  нашли  третий  делитель

-Значит, вы  за  30 секунд успели  перебрать  все  возможные  делители?

-Конечно, нет!

-Тогда  вы  вправе  утверждать, что 337- простое  число?

-Мы  не  можем  этого  утверждать.  (Возникновение  проблемной  ситуации)

-Итак,  что  вы  хотели  сделать  с  числом  337?

-Определить, простым  или  составным  оно  является.

-И  какой  способ  применили?

-Искали  третий  делитель  методом  перебора.

-Удалось  ли вам  это  сделать  быстро? (побуждение  к  осознанию  противоречия )

-Нет (осознание  неприменимости  старого  способа)

-Над  каким  вопросом  будем  дальше  работать? (побуждение  к  формулированию  проблемы)

-Будем  искать  быстрый  способ  определения  простых  составных  чисел.

-Сформулировали  проблему.

-(Проблема  как  вопрос, ответом  на  который  является  таблица  простых  чисел)

-Откройте  учебник на  странице 97, прочитайте,  начиная  со  слова Другой  греческий …

-Итак, придётся  использовать  остроумный способ составления простых  чисел… зафиксируем быстрый  способ определения  простых  чисел.

 -Вот  эта  таблица простых  чисел. Она  даёт  возможность  легко  определить  каким  является число.

Итак,  какой  вывод  можно  сделать?

Способ1            Способ2                                            Способ1           Способ2

Найти

два  делителя: 1 и  само  число

Воспользоваться

таблицей

простых  чисел

Найти

больше

двух делителей

Найти

третий делитель, кроме 1 и самого  числа  и

А теперь  ответьте  на  вопросы, открыв  таблицу  простых  чисел.

1.а) Известно, что  число 809  простое. Делится  ли  оно  на  19?

б)Используя таблицу простых  чисел, определи, являются ли простыми числа:59,83,91, 127,379,511,697,761,803,851,991,997.***

в)Есть ли  чётные  простые  числа?  Сколько  их?  Почему?

г) Есть  ли  простые  числа,  оканчивающиеся  цифрой 0? д)Какими  цифрами  не  может  оканчиваться  многозначное  простое  число?

е)Какими  цифрами  может  оканчиваться  многозначное  простое  число?

Самостоятельная работа с проверкой в классе

2.416а) б)   Записать  на  боковой  доске ***    (карточки)

Докажи, что числа  являются составными:

а)8 ,28, 111                                                б)77 777,1111, 242 242,373 737,111 111 111  

в)111111…1 (1996 цифр)

3.418 1)3)  1вариант (Наташа)                          418 2)4)2 вариант( Ренат)

}

7. Включение нового знания  в  систему  знаний и  повторение

    1 вариант                                                              2вариант

определите, является  ли значение  выражения простым  или  составным

1. .((7777:77+157):86 + 216):219•306            1.((8888:88+136):79 +303):306•219

                       306-составное                                                            219-составное

8.Рефлексия.

-Что  нового  узнали?

-Каким способом  определить является простым  или  составным?

-Как оцениваете  свою деятельность  на  уроке?

-Посмотрите, числа-близнецы …                

   Домашнее  задание  

                                                                                441,442, с451.

Оценки  за урок.                           Спасибо за  урок!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *