Степень с корнем в показателе: Свойство показателей корня и подкоренного выражения

Содержание

Свойство показателей корня и подкоренного выражения

Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится:

Или:

Доказательство

 

Введем следующие обозначения:

Воспользуемся определением корня n-й степени:

Воспользуемся свойством степеней и возведем в одну и ту же степень k обе части равенства:

Запишем полученной равенство в таблицу:

Во втором столбике правые части уравнения равны, значит равны и левые:

Так как в натуральную степень возводятся неотрицательные выражения, и показатели степени равны, то равны и основания:

Вернемся к введенным нами обозначениям:

Если m=1, то получаем равенство:

Что и требовалось доказать.

Данное свойство позволяет

умножать корни с разными показателями

 

Рассмотрим пример:

Здесь записано произведение корней с разными показателями.

Свойств для корней с разными показателями нет. Поэтому, для того, чтобы перемножить эти корни нужно провести преобразования.

Найдем общий множитель для показателей корней. Он равен 12.

Тогда преобразуем первый и второй множители, используя свойство корней, следующим образом:

В результате получаем:

Так как записано произведение двух корней с одинаковыми показателями, то можем применить свойство произведения корней:

Примеры

 

Примечание

 

Данное свойство рассматривается только для случаев, когда переменные принимают только неотрицательные значения, так как корень из отрицательного числа не всегда имеет смысл.

Если показатель степени – нечетный, то корень существует и для отрицательного подкоренного выражения. В этом случае, данное свойство можно применять.

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Свойства корня n-й степени.

Преобразование иррациональных выражений. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
1. Корень из произведения, десятичные дроби и целые числа

Сложность: лёгкое

2
2. Корень из произведения, целые числа и обыкновенные дроби

Сложность: лёгкое

3
3. Корень из частного, обыкновенные дроби

Сложность: лёгкое

2
4. Корень из произведения

Сложность: лёгкое

4
5.
Корень из корня

Сложность: лёгкое

1
6. Извлечение корня из степени

Сложность: лёгкое

3
7. Показатели корня

Сложность: лёгкое

2
8. Корни с разными показателями

Сложность: лёгкое

2
9.
Корень из произведения степеней, корень в степени (целые числа)

Сложность: среднее

3
10. Корень из дроби

Сложность: среднее

5
11. Произведение корней

Сложность: среднее

4
12. Частное корней

Сложность: среднее

3
13. Произведение корня из произведения степеней и корня из степени

Сложность: среднее

5
14. Корень из частного степеней

Сложность: среднее

3
15. Корень из степени

Сложность: среднее

4
16. Сравнение корней

Сложность: среднее

3
17. Произведение корней с разными показателями

Сложность: среднее

3
18. Частное корней с разными показателями

Сложность: среднее

3
19. Произведение корней с разными показателями из произведений степеней

Сложность: среднее

6
20. Степень произведения (число и корень)

Сложность: среднее

6
21. Степень произведения (одночлен и корень)

Сложность: среднее

4
22. Корень из произведения степеней (десятичные дроби)

Сложность: среднее

4
23. Уравнение

Сложность: сложное

5
24. Уравнение, сводимое к квадратному (метод введения новой переменной)

Сложность: сложное

5
25. Уравнение, сводимое к квадратному (полное)

Сложность: сложное

8

Архитектура. Бытовая техника. Канализация. Лестницы. Мебель. Окна. Отопление. Ремонт. Строительство

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:


Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, ( 5) 0 = 1, ( 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

0 0 — любое число.

Действительно,


Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

В этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Возведение в отрицательную степень — один из основных элементов математики, который часто встречается при решении алгебраических задач. Ниже приведена подробная инструкция.

Как возводить в отрицательную степень — теория

Когда мы число в обычную степень, мы умножаем его значение несколько раз. Например, 3 3 = 3×3×3 = 27. С отрицательной дробью все наоборот. Общий вид по формуле будет иметь следующий вид: a -n = 1/a n . Таким образом, чтобы возвести число в отрицательную степень, нужно единицу поделить на данное число, но уже в положительной степени.

Как возводить в отрицательную степень — примеры на обычных числах

Держа вышеприведенное правило на уме, решим несколько примеров.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Ответ: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Ответ -4 -2 = 1/16.

Но почему ответ в первом и втором примерах одинаковый? Дело в том, что при возведении отрицательного числа в четную степень (2, 4, 6 и т.д.), знак становится положительным. Если бы степень была четной, то минус сохранился:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как возводить в отрицательную степень — числа от 0 до 1

Вспомним, что при возведении числа в промежутке от 0 до 1 в положительную степень, значение уменьшается с возрастанием степени. Так например, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Пример 3: Вычислить 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Ответ: 0,5 -2 = 4

Разбор (последовательность действий):

  • Переводим десятичную дробь 0,5 в дробную 1/2. Так легче.
    Возводим 1/2 в отрицательную степень. 1/(2) -2 . Делим 1 на 1/(2) 2 , получаем 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4


Пример 4: Вычислить 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Пример 5: Вычислить -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Ответ: -0,5 -3 = -8


Исходя из 4-го и 5-ого примеров, сделаем несколько выводов:

  • Для положительного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 4), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени не важна, значение выражения будет положительным. При этом, чем больше степень, тем больше значение.
  • Для отрицательного числа в промежутке от 0 до 1 (пример 5), возводимого в отрицательную степень, четность или нечетность степени неважна, значение выражения будет отрицательным. При этом, чем больше степень, тем меньше значение.


Как возводить в отрицательную степень — степень в виде дробного числа

Выражения данного типа имеют следующий вид: a -m/n , где a — обычное число, m — числитель степени, n — знаменатель степени.

Рассмотрим пример:
Вычислить: 8 -1/3

Решение (последовательность действий):

  • Вспоминаем правило возведения числа в отрицательную степень. Получим: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
  • Заметьте, в знаменателе число 8 в дробной степени. Общий вид вычисления дробной степени таков: a m/n = n √8 m .
  • Таким образом, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Получаем кубический корень из восьми, который равен 2. Исходя отсюда, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
  • Ответ: 8 -1/3 = 2

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 — это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило — возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.

Решение задач в Excel

Для разрешения задач с возведением в степень Excel позволяет пользоваться одним из двух вариантов. -C2.

Второй вариант — использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента — число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

Формула

Результат

СТЕПЕНЬ(B2;C2)

СТЕПЕНЬ(B3;C3)

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel . Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

  1. Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
  2. Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
  3. Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. C$3».

Число / Степень

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность — это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

Числом, возведенным в степень, называют такое число, которое несколько раз умножено само на себя.

Степень числа с отрицательным значением (a — n) можно определить на подобии того, как определяется степень того же числа с положительным показателем (a n) . Однако, оно также требует дополнительного определения. Определяется такая формула как:

a — n = (1 / a n)

Свойства отрицательных значений степеней чисел аналогичны степеням с положительным показателем. Представленное уравнение a m / a n = a m-n может быть справедливым как

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса ».

А. Д. Александров

при n больше m , так и при m больше n . Рассмотрим на примере: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Для начала необходимо определить то число, которое выступает определением степени. b=a(-n) . В этом примере -n является показателем степени, b — искомое числовое значение, a — основание степени в виде натурального числового значения. Затем определить модуль, то есть абсолютное значение отрицательного числа, которое выступает в роли показателя степени. Вычислить степень данного числа относительного абсолютного числа, как показателя. Значение степени находится делением единицы на полученное число.

Рис. 1

Рассмотри степень числа с отрицательным дробным показателем. Представим, что число а это любое положительное число, числа n и m — натуральные числа. Согласно определению a , которое возведено в степень равняется единице, разделенной на это же число с положительной степенью (рис 1). Когда степенью числа является дробь, то в таких случаях используются исключительно числа с положительными показателями.

Стоит помнить , что ноль никогда не может быть показателем степени числа (правило деления на ноль).

Распространению такого понятия как число стали такие манипуляции, как расчеты измерения, а также развитие математики, как науки. Ввод отрицательных значений было обусловлено развитием алгебры, которая давала общие решения арифметических задач, независимо от их конкретного смысла и исходных числовых данных. В индии еще в VI-XI веках отрицательные значения чисел систематически употребляли во время решения задач и растолковывались таким же образом, что и сегодня. В европейской науке отрицательные числа начали обширно употребляться благодаря Р. Декарту, который дал геометрическое толкование отрицательным числам, как направлениям отрезков. Именно Декарт предложил обозначение числа возведенного в степень отображать как двухэтажную формулу a n .

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 — это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило — возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. -C2.

Второй вариант — использование готовой функции «Степень», принимающей два обязательных аргумента — число и показатель. Чтобы приступить к ее использованию, достаточно в любой свободной ячейке поставить знак «равно» (=), указывающий на начало формулы, и ввести вышеприведенные слова. Осталось выбрать две ячейки, которые будут участвовать в операции (или указать конкретные числа вручную), и нажать на клавишу Enter. Посмотрим на нескольких простых примерах.

Формула

Результат

СТЕПЕНЬ(B2;C2)

СТЕПЕНЬ(B3;C3)

Как видим, нет ничего сложного в том, как возводить число в отрицательную степень и в обычную с помощью Excel. Ведь для решения данной задачи можно пользоваться как привычным всем символом «крышечка», так и удобной для запоминания встроенной функцией программы. Это несомненный плюс!

Перейдем к более сложным примерам. Вспомним правило о том, как возводить число в отрицательную степень дробного характера, и увидим, что эта задача очень просто решается в Excel.

Дробные показатели

Если кратко, то алгоритм вычисления числа с дробным показателем следующий.

  1. Преобразовать дробный показатель в правильную или неправильную дробь.
  2. Возвести наше число в числитель полученной преобразованной дроби.
  3. Из полученного в предыдущем пункте числа вычислить корень, с условием, что показателем корня будет знаменатель дроби, полученной на первом этапе.

Согласитесь, что даже при оперировании малыми числами и правильными дробями подобные вычисления могут занять немало времени. Хорошо, что табличному процессору Excel без разницы, какое число и в какую степень возводить. C$3».

Число / Степень

Обратите внимание, что положительные числа (даже нецелые) без проблем вычисляются при любых показателях. Не возникает проблем и с возведением любых чисел в целые показатели. А вот возведение отрицательного числа в дробную степень обернется для вас ошибкой, поскольку невозможно выполнить правило, указанное в начале нашей статьи про возведение отрицательных чисел, ведь четность — это характеристика исключительно ЦЕЛОГО числа.

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

  • 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
  • 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
  • 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
  • 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
  • 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • a n * a m = (a) (n+m) ;
  • a n: a m = (a) (n-m) ;
  • (a b) m =(a) (b*m) .

Проверим на примерах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
  • 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них;
  • затем возведение в степень;
  • потом выполнять действия умножения, деления;
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А если дробь?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r 1 – в этом случае равно 3;

r 2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

«Корень n-й степени, арифметический корень n-й степени и его свойства»

Урок по теме «Корень n­й степени, арифметический корень n­й степени и его свойства»  Цели урока: Образовательная:  Создать условия для формирования у обучающихся целостного  представления о корне n­ой степени, навыков сознательного и рационального использования  свойств корня при решении различных задач. Развивающая: Создать условия для  развития алгоритмического, творческого мышления,  развивать навыки самоконтроля. Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать  аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Мотивация урока.  Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить».   Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата. 3.Актуализация знаний.  1. Назовите взаимообратные алгебраические операции над  числами       (сложение и вычитание, умножение и деление).  2. Всегда ли можно выполнить такую алгебраическую операцию, как        деление?      (нет, делить на нуль нельзя) 3.  Какую еще операцию вы можете выполнять с числами?       (возведение в степень) 4.  Какая операция будет ей обратной?       (извлечение корня) 5.  Корень какой степени вы можете извлекать?      (корень второй степени) 6.  Какие свойства квадратного корня вы знаете?      (извлечение квадратного корня из произведения, из частного, из        корня, возведение в степень) 7.  Найдите значения выражений:        √4=¿ …, т.к. …2 = 4,      √9=¿ …, т.к. …2 = 9,                √144=¿ …, т.к. …2  = 144,    √−81=¿ …, т.к. ……      √0,25=¿ …, т.к. …2 = 0,25,     √−1=¿ …….. Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.  Арифметическим квадратным корнем  из числа а называется неотрицательное число, квадрат  которого равен а.  Запись   читается «квадратный корень из а», опуская при этом слово  а «арифметический».  а , а­ подкоренное выражение, а знак ­радикал (от латинского ­ корень). Из истории. Ещё 4000 лет назад вавилонские ученые составили наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин ( при помощи которых деление чисел сводилось к умножению)  таблицы квадратов чисел и квадратных корней чисел. При этом они умели находить  приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа. 4. Изучение нового материала. Корнем  n­й  степени из числа  а  называется такое число  b,  n­я  степень которого   а,  т. е.  b  – корень  n­й  степени из   Очевидно, что в соответствии с основными свойствами степеней с натуральными  показателями, из любого положительного числа существует два противоположных значения корня  четной степени, например, числа 4 и ­4 являются корнями квадратными из 16, так как (­4)2 = 42 =  16, а числа 3 и ­3 являются корнями четвертой степени из 81, так как (­3)4 = З4 = 81. Кроме того, не существует корня четной степени из отрицательного числа, поскольку  четная степень любого действительного числа неотрицательна.  Что же касается корня  нечетной степени, то для любого действительного числа существует только один корень нечетной  степени из этого числа. Например, 3 есть корень третьей степени из 27, так как З3 = 27, а ­2 есть  корень пятой степени из ­32, так как (­2)5 = 32. В связи с существованием двух корней четной степени из положительного числа,  введем понятие арифметического корня, чтобы устранить эту двузначность корня. Неотрицательное значение корня n­й степени из неотрицательного числа называется  арифметическим корнем. Обозначение:   – корень n­й степени. Число n называется степенью арифметического корня. Если n=2, то степень корня не указывается и . Корень второй степени принято называть квадратным, а корень третьей степени – пишется   n a a кубическим.  =  в,  в2  == а,  а ≥  0,   в  ≥  0   а 1. п  ­  четное а ≥  0,    в  ≥ 0                             (    =  в,  вп =  а п а )2  =  а,  а  ≥  0 а 2. п  ­  нечетное        а,в  ­  любые                              ( )п  =  а п а   =   а 2а                         а,  если  а  ≥  0                                                 ­ а,  если  а  < 0   =   ва  ( ва  2) а  ­  в.   если  а ≥  в                                                          в  ­  а,  если  а <  в ,  а ≥  0,   в ≥  0 ,  а  ≥ 0,  в  ≥ 0 ав  ва . п ав  п п ва ,  а ≥  0,  в >  0 ,  а  ≥ 0,   в  > 0 а  в п а  в п п а в а в                                      а  ≥ 0 mn a  km n k a                            m, n, k  ­    натуральные  числа n k a  nk a 5. Закрепление нового материала. Устная  работа а)  Какие  выражения  имеют  смысл?         ;      ;    ;    ;   1 4 3 8 3 27                 ;    ;  4 5 3 1  ;   8 4 16 ; ;   ;    ;  ;  3 27 4 3 1 8 1  ;   9 4 16  ;    ;   3 9 5 32 . б) при  каких  значениях  переменной  а  имеет  смысл  выражение?                                                                             а               а                                                                                                                                                                                                                    2а 3 а в) Вычислите: 2а 3а 5а 4 а ;       100 5 100000 ;    ;      ;     4 81 25,6 3 001,0 ;    ;     3 125 27 16,0 ;   . 4 81 16 г) Верно  ли  равенство  (устно): = 2;                                           =  2;                                     ( 2)2( )2  =  2;    2  =  ­ 2;                                      = а;                                           =   ­ а; 2а 2а 22 2)2(          =   а 2а ;                                  а  ­    = 0;                                   а  ­    =  2а; 2а 2а   а  ­    =  а  ­ 2а а 3 23 ;                             =  3;                                            =  ­ 2; 5 52  =   . 2 9 92     =  2;                                            =  3;                                         4 22 6 63 6. Самостоятельная работа. Работа в парах: с. 178.№1,2.             7. Итоги урока. Д/з. Рефлексия деятельности.    Урок по теме «Преобразование корней»  Цели урока:  Образовательная:  Создать условия для формирования у обучающихся целостного  представления о корне n­ой степени, навыков сознательного и рационального  использования свойств корня при решении различных задач на преобразование корней.  Развивающая: Создать условия для  развития алгоритмического, творческого мышления,  развивать навыки самоконтроля.  Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности,  воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать  рекомендации. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Мотивация урока.  Мы продолжаем изучать корни степени п. Ввели понятия корня n­ой степени, изучили его свойства. Тема сегодняшнего урока “ Преобразование корней  3.Актуализация знаний. Проверка д/з.  Что называется корнем n степени?   Что называется арифметическим корнем степени n?   Сформулируйте свойства арифметического корня степени n. Восстановите записи: а)* =   * б)* =  в) г)  Вычислите: а)  = *  = *                                  б) в) г) д) 1)                                                       *                                 *                 Какие  из  следующих  записей  не  имеют  смысла?  16√3 ;    −4√2;5√0;6√−6;√−12;7√10 ;        8√−22 ;   −9√−7. 2)  При  каких  значениях  переменной   а  выражение  имеет  смысл? √а;√а2;√−а;√а3;√−а2;3√а;4√а;√−а5;5√а2;6√а3. 3) Какие  из  следующих  записей  не  имеют  смысла?  16√3 ;    −4√2;5√0;6√−6;√−12;7√10 ;        8√−22 ;   −9√−7. 4. Решение упражнений на преобразование корней. Рассмотрим различные виды преобразований корней на основе свойств корней степени п. К ним относятся  преобразования корней из произведения, дроби и степени, умножение и  деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня. Корень из произведения равен произведению 1. корней той же степени из сомножителей, то есть  0 при четном п.  если а   0, b  n ab n  n a b ,          Например,   15  53 3   .5        И обратно,   n a  n b n ab .        Например,   3 3  3 2 3 .6 Получили правило: чтобы умножить корни с одинаковыми показателями, надо  перемножить подкоренные выражения и извлечь корень данной степени из  произведения. 2. Правило вынесения множителя из­под знака корня                         n n a  n b a b Например,   300  100  3 10 3  . И обратно, правило внесения множителя под знак корня    a  n b n n a  b Например, 32  3 3 24 3. Корень из частного равен частному от деления корня той же степени из делимого на  корень той же степени из делителя, то есть                  = n a b n n a b . Например,  144 169  144 169  12 13 . И обратно,                =  . n n a b . n a b   Следующая формула удобна, когда нужно избавиться от радикала в знаменателе.                                                     n a b  n n  1 n ab b n  n  1 . ab b Например,  3 2 3  3  2 32 3 3 3  18 3 . 4. Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное  выражение, не меняя показателя корня, то есть  n m  p a n  mp a . Например,  2  3 5 3  2 5 3  .25 5. Чтобы извлечь корень из корня, нужно перемножить их показатели, не меняя  подкоренного выражения, то есть    n m nm a  a . Например,      3 2 6  .2 6. Решение уравнений.  Сколько корней имеет уравнение хn=а, если n – нечетное число? – один корень Сколько корней имеет уравнение хn=а?     если n –четное число – зависит от а: если а – отрицательное, то нет корней; если а = 0, то один корень; 5. Закрепление знаний на преобразование корней. а) Вынести  множитель  из­под  знака  корня   4√16х4у   при  условии, что х 0. б) Внести  множитель  под  знак  корня  3у 4√хприусловии, что у ¿0 . Решение. а) Так  как  х 0  по  условию,  а  у ≥0    (в  противном  случае  выражение  не   имеет  смысла), то   4√16х4у   =  4√24∙х4∙у= 4√24∙4√х4∙4√у=2|х|4√у=−2х4√у. б) Так  как  у ¿0   по  условию,  а  х впротивномслучае ≥0¿ не  имеет  смысла   выражение   4√х¿ ,  то  3у 4√х=−(−у)∙4√34∙4√х=−4√(−у)4∙4√34∙х=−4√(−у)4∙81х=−4√81ху4. Пример . Выполнить действия:  53(  ).152)(2  Решение.  )152)(253(  6  25  25453  30  25  28 .5 Пример . Освободиться от иррациональности в знаменателе: 2 2   р р . 6. Самостоятельная работа. Вопросы  теста   по  теме  «Корень  n­й  степени  и  его  свойства». Вычислите: 4√16∙81                       1)     а)    5      б)  6       в)   4    г)  – 36.  4)  2 а)   ­ 2       б)   6     в)   ­ 6  г)   54 3√−27 3√0,343 7)  5 а)  5,5    б)  3   в) 0,7    г) 3,5 3√26∙53 2)     а)  15    б)  18     в)  20  г)  10 3√40 3√5 5)   3√√36∙43 8)   а)  12    б)  6    в) 7    г)  36 а) 8           б)  3        в)  4    г)  2 5√95∙23∙5√27 6)     а) 18   б) 72    в)  36   г)  4 8√313∙8√58∙33 9)   а) 15   б) 45   в)  54   г)  30 5 2        в) 9√ 59 3)   а)   218 5 4         б)  4 5 25 16      г)   3√−8∙3√8−3 10)   а)  1   б) 64   в)  – 1   г)  38 11) х4= 81 а)3;  б) ­3;  в) ­3,+3;  г)2 12) х5=32 а) ­2;   б) 2;  в) ­2; 2;  г) 3 7. Итоги урока. Д/з. Рефлексия. Вопросы и упражнения для самопроверки  Урок по теме «Преобразование корней»  Цели урока:  Образовательная:  Создать условия для формирования у обучающихся целостного  представления о корне n­ой степени, навыков сознательного и рационального  использования свойств корня при решении различных задач на преобразование корней, при решении иррациональных уравнений.  Развивающая: Создать условия для  развития алгоритмического, творческого мышления,  развивать навыки самоконтроля.  Воспитательные: способствовать развитию интереса к предмету, активности,  воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать  рекомендации. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Мотивация урока.  3.Актуализация знаний. Проверка д/з.  Что называется корнем n степени? Что называется арифметическим корнем степени n?   Сформулируйте свойства арифметического корня степени n.   Сформулируйте правило извлечения корня из произведения. Приведите пример.  Как выносить множитель за знак радикала? Приведите пример.  Сформулируйте правило извлечения корня из дроби. Приведите пример.  Как освободиться от иррациональности в знаменателе?   Как возвести корень в степень? Приведите пример.  Как извлечь корень из корня? Покажите на примере. Устная работа.  Найдите значение выражений: а) 5  =;       0,7  = ;           3 125,0 4 81 = 5 32 б) ( 3 2 )3=;       (­3  )4= ;       4 5  в)  3 27  64 =;   4 8  4 2 =;    =;   2 6 8 = 4 16 81 1 2 Г   3 Вычислить:  3√216∙343. Вынести  из ­под знака корня        А    42              Б 21             В 14           Г  28     А    а          Б  |a|         В  28√a7(a≥0) 4√a         7√a4 Избавьтесь от иррациональности в знаменателе      3 √7+√10 . А     1                          Б   −1                      В   √7−√10                   Г   √10−√7 4 Сравните  3 3√2  та  3√53 . А     3 3√2<¿   3√53 .        Б  3 3√2=¿   3√53        В  3 3√2>¿   3√53        Г  невозможно вычислить 4. Решение упражнений на преобразование корней и иррациональных  уравнений. 1 часть. 1. Вычислите: а ) 20 4 5   ; 2 б  2 ) 7 2 5 ;  2 8 в ) 4   2  3 4   2 8 9;  г ) 4 256. 2. Упростите для отрицательного  а  выражение   . 3  18 64 а 3. Упростите выражение:      .  6 4 4 8 4 2  3 4 4. Упростите выражение:   4 256 4 8 12 а b c ,если a  0, c  0. 5. Найдите значение выражения   6  х  8,5 6  4   х  12,5 4  , если  9, 2 х  12, 2 . 2 часть. Определение.  Иррациональными  называются  уравнения, в которых переменная  содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Основные методы решения: 1 2 Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Метод введения новых переменных. При  возведении  обеих  частей  уравнения  в  четную  степень     могут возникать посторонние корни.   Поэтому при использовании   указанного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений и проверять все корни. Примеры  (решаются учителем, а затем учащимися на доске): №1(1, 2, 3), 2(1,2), 4(1), 5(1) 5. Самостоятельная работа. В­1 1. Вычислите: а)  б)  5 32 25,0 в)  3 3 3 8 г)  7,0 4 81   д)      4 16 81  3 1 8 е)  3 3 42      з)  ж)  6 232   5)7(3 5  2. Решите уравнения: а)   б)  x 3 3 0 81     в)     г) x 8 01 49  x  ;7 1 4 8 x 02              В­2 1. Вычислите:  а)  49,0 б)  3 64 д)  4 81 16  3 1 27    е)  3 3 62 ж)  2. Решите уравнения:  а) x 5 4 80 6  223 б)   0 6. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.. г)  5,0 4 81 в)  3 2 10 27     з)   3)6(3 3       в)  x 10 01    г) 12 1 3 3 x 09 x 1 ;5 Урок по теме: Действия с корнями. Цели урока:  образовательные:   закрепить   знание   свойств   корня   степени  n  в   ходе   выполнения упражнений; закрепить умение преобразовывать выражения, содержащие корни степени n;  развивающие:   способствовать   развитию   логического   мышления,   математической   речи учащихся, внимания, памяти;  воспитательные:   воспитание   интереса   к   математике   как   учебному   предмету   через    современные технологии преподавания; способствовать развитию навыков самоконтроля. Ход урока 1. Организационный момент. 2. Мотивация урока.  3.Актуализация знаний. Проверка д/з. Индивидуальные задания на доске:           1* 1) Вычислите:      а)  ;   б)  . 4 2  4 8 6 316      2) Вынесите множитель из­под знака корня:      а)  ;    в)  ;   б)  ;   г)  . 3 54 4 84 b , если b 0 4 24 y , если y 0 5 53 ух 2*  1) Вычислите:  4 2 800 .  175  175 2  2 800       2) Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:         а)  ;   б)  . 5 3 3 3 2  12 3 Остальные учащиеся выполняют задание в тетрадях: 1) Найдите значение выражения: а)  ;   б)  . 3 3 54 2 6 28         2) Вынесите множитель из­под знака корня:      а)   ;   б)   ;    в)  3 16 4 34 a , если a 0 3 10х           3) Представьте в виде   число: а)  ;  б)  . 3 3 2хх 3 n a Устная работа. 1. 2. 3. 4. Что называется корнем n степени? Что называется арифметическим корнем степени n?       Сформулируйте свойства арифметического корня степени n.        Имеет ли смысл выражение:  ;       3 8 6  ;9 ;25 4  .4,0 ;   5. 4 43 6. а)        Найдите значение выражения: ;   ;   ( 4 4 )12 4 81 16 5 8  5 4 3  2   5 5 8 3  ;   ;   ;  ;  3 227 6 381 300 100 125 . 3  3,0  3 09,0 ;  . Упростите выражение: ; б)  1. 2. 5. 6. 4 625m 8 3 9  17  3 9 17 4. Действия с корнями Выполнение упражнений (на доске с объяснением). Упростите выражение:    х  х   6 у х  6 у  3 х  6 ху  3 у      6 у 3  х  6  = 3     у х   у =   6 у х  6 у  6 2 х  6 ху  3 2 у =  .  у  х у х  х  21  12 3  Упростите выражение:    332 93 12 12   2  332  .332  Решить №8., 10 с.178,  № 4(1, 3), 5(2), 7(1) с.185.   Повторить п.п.1, понятие и запись множества, решить устно № 2, письменно №1. Историческая пауза. Растут ли корни в огороде? Самостоятельная работа. I вариант. 1. Вычислите:  . 3 7 3 189 3 1) 1;   2) 4,5;   3) 8;   4) 21. 2. Вычислите:  . 3  2,0  3 04,0 1)  2,02,0 ;   2) −0,2;   3) −0,4;   4)  3. Упростите выражение:   3 08,0 . . 3 7  22  3 7 22 1) 3;   2) −15;   3) −3;   4) 9. 4. Упростите выражение:      .  133  13  3    1  13 1) 2;   2)  2  13 ;   3)  ;   4)  . 13  3  2 II вариант. 1. Вычислите:  . 3 3 189  7 3 ;   3) 9;   4) 27. 1) 1;   2)  1 3 2. Вычислите:  .    2 3 5  4 1)  3  5 ;   2)15;   3) 45;   4) 40. 3. Упростите выражение:  5 7  17  5 7 17 1) 2;   2) −10;   3) −3;   4) 24. 4. Упростите выражение:  1) 0;   2)1;   3) −1;   4)  . а3 3  а  а а 3   а 3 9 а 7. Подведение итогов урока. Рефлексия. Д/з. . .

Степени и корни

Степени и корни

Степени.

Выражение   называется степенью.

В этом выражении число   называется основанием степени, а число    — показателем степени.

Если — натуральное число, то , то есть степень равна произведению множителей, каждый из которых равен .

Для положительных чисел    и    и рациональных чисел    и   справедливы следующие свойства степени:

1.

Любое число в нулевой степени равно 1.

2.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели складываются.

3.

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели вычитаются.

4.  

При возведении в степень произведения, в эту степень возводится каждый множитель.

5.  

При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель.

6.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

7.

При возведении в отрицательную степень, основание степени «переворачивается», и знак  показателя степени меняется на противоположный.

Корни.

:

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна :

Внимание! Степень корня — это натуральное число, большее 1.

,

,

Свойства корня n-ой степени:

1.

2.

3.

4.

5.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В  случае нечетного показателя уравнение  при любом действительном значении и целом  ВСЕГДА имеет единственный корень:

,

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение  не может быть отрицательным.

В  случае четного показателя уравнение имеет

при  единственный корнь 

и, если , два корня:

и  

Для корня четной степени справедливо тождество:

Внимание! Для корня четной степени справедливы равенства:

 

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня


Формулы преобразования степени числа. Свойства степени

(ab)n=anbn   
Степень произведения двух чисел равна произведению каждого из сомножителей в этой степени  

( a / b )n  = an / bn
Степень частного равна частному этих чисел, каждое из которых возведено в данную степень  

an am = an+m
Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней

an  / am = an-m если n > m
Частное двух одинаковых чисел в разной степени равно этому числу в степени разности числителя и знаменателя, при условии, что степень числа в числителе больше степени в знаменателе.  

(an )m=anm
Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению

Формулы преобразования корня числа. Свойства корня

n√0 = 0
Корень произвольной степени из нуля равен нулю

n√1 = 1
  Корень произвольной степени из единицы равен единице

Корень числа произвольной степени, возведенный в эту же степень, равен этому числу.

Корень произвольной степени от произведения равен произведению корней этой же степени каждого из множителей

Корень произвольной степени частного двух чисел равен частному корней этой степени этих же чисел


Содержание главы:
 Задача про бросание гранаты | Описание курса | Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа 

   

Экспоненты и корни: определение и примеры — видео и расшифровка урока

Показатель степени решения

Помните, что 53? Мы сказали, что это 5 * 5 * 5. Итак, 53 = 125.

Экспоненты очень быстро увеличивают числа. Если у нас есть 124, мы хотим умножить четыре 12 вместе, или 12 * 12 * 12 * 12.

Первые 12 * 12 = 144

144 * 12 = 1,728

1,728 * 12 = 20,736 5 Итак 20 736.

Что произойдет, если основное число отрицательное, например -32? Мы делаем то же самое, но нам нужно включить отрицательный знак.Так что это -3 * -3, что положительно 9.

Если бы у нас было -33, это было бы -3 * -3 * -3. Отрицательное, умноженное на отрицательное, становится положительным. Но тогда положительный раз отрицательный отрицательный. Итак, -33 = -27.

До сих пор мы рассматривали только выражения с положительными показателями. Что делать, если показатель степени отрицательный? Вот один: 4-2. Что это просит нас сделать? Если положительный показатель степени означает умножение, то отрицательный показатель степени означает противоположность умножения, то есть деление.

Действительно, у нас просто не может быть отрицательного показателя степени.Чтобы сделать его положительным, подставим то же выражение (без знака минус) в качестве знаменателя дроби:

Есть еще одна ситуация с показателем степени: 20. Как мы можем перемножить ноль двоек вместе? Мы не можем. Но каждый раз, когда вы видите 0 в качестве показателя степени, знайте, что ответ равен 1. Итак, 20 = 1. Почему это так? Это называется правилом нулевого показателя. Это немного сложно объяснить, поэтому просто имейте в виду, что выражения с 0 для показателя степени равны 1.

Решение корней

Теперь, когда мы рассмотрели показатели степени, давайте поговорим о корнях. Начнем с простого:

Это называется корень из 4 или квадратный корень из 4. Чтобы упростить это, нам просто нужно найти, какое число умножить на 4. Мы знаем, что 2 * 2 = 4, поэтому квадратный корень из 4 равен 2. Конечно, -2 * -2 = 4 тоже верно, но при использовании подкоренного символа мы придерживаемся положительного результата.

Вот еще один:

Какой квадратный корень из 81? Мы могли бы попробовать несколько чисел, чтобы узнать:

  • 7 * 7 = 49
  • 8 * 8 = 64
  • 9 * 9 = 81

Вот оно! Квадратный корень из 81 равен 9.

Помните этот?

Это кубический корень из 27. На этот раз нам нужно число, равное 27 при трехкратном умножении. Вы можете снова использовать метод проб и ошибок: 2 * 2 * 2 = 8. Это слишком мало. 4 * 4 * 4 = 64. Это слишком много. 3 * 3 * 3 = 27. Вот именно! Таким образом, кубический корень из 27 равен 3.

Краткий обзор урока

Показатель степени говорит нам, сколько числа будет умножено само на себя. Итак, если у нас есть 83, мы хотим умножить три восьмерки, или 8 * 8 * 8. Корень в основном противоположен. Мы пытаемся найти число, которое мы умножаем само на себя определенное количество раз, чтобы получить число под знаком радикала.

КОРНИ И ПОКАЗАТЕЛИ: РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ: УПРОЩЕНИЕ КОРНИ: ЭЛЕМЕНТНАЯ И ВЫСШАЯ ШКОЛА

Содержание этой страницы:

  • Введение

  • Корни как степени, свойства степеней, важное свойство, произведение и частное корней

  • Решаемые упражнения: упрощение выражений с корнями


Введение

Мощность является выражением этого типа

а б = а · а · · · а · а

Это выражение представляет собой результат умножения на основание , на , сама по себе столько раз, сколько показывает показатель степени , b . n = a$$

Другими словами, n корень числа a есть число b , что в степени n равно a (так, b n = a ).

Число н называется степенью корня и называется корнем и корня.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

  • Корень степени n = 2 известен как квадратный корень .

    Пример:

    Квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 в степени двойки равно 9.

    $$ \sqrt{9} = 3 $$

  • Корень степени n = 3 известен как кубический корень .

    Пример:

    Кубический корень из -8 равен -2, потому что -2 в степени три равно -8.

    $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$

Важно: Нет корней с четной степенью (2, 4, 6, 8. .) отрицательных чисел (это комплексные числа), но есть являются корнями отрицательных чисел, если степень нечетное число.


СВОЙСТВА ПОЛНОМОЧИЙ
Продукт

Мощность

Частное

Отрицательный показатель степени

Обратный

Инверсия инверсии


Важное имущество

Вероятно, чаще всего мы будем использовать следующее свойство:

$$ a^\frac{b}{c} = \sqrt[c]{a^b} $$



Произведение и частное корней

Произведение двух корней с одинаковым степень — это корень (той же степени) произведения подкоренных, это

$$ \sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} $$

То же самое происходит с частным:

$$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} $$





Упростите выражения с дробными показателями

Упражнение 1

Показать решение

У нас есть квадратный корень, записанный в виде степени. Мощность составляет:

Мы знаем, что квадратный корень из 9 равен 3, но мы можем записать 9 как 9 = 3 2 чтобы лучше увидеть, как исчезает квадратный корень (это то, что мы будем делать с более сложными выражениями):



Упражнение 2

Показать решение

Пишем мощность в виде рута.Поскольку знаменатель показатель степени равен 4, это четвертый корень степени (корень четвертой степени):

Обратите внимание, что числитель 3 остается показателем степени подкоренного числа.

Мы не можем удалить какой-либо термин из корня, потому что это корень четвертой степени, и для этого radicand должен иметь показатель степени больше или равно 4,



Упражнение 3

Показать решение

Мы можем записать квадратный корень в виде степени для работы с показателем степени:

Теперь применяем свойства полномочий: у нас есть степень степени, поэтому мы умножаем показатели степени:

Запишем мощность в виде корня (четвертой степени):

Мы выразили радикал как продукт, чтобы увидеть есть фактор, который мы можем извлечь из выражение. Поскольку это корень четвертой степени, мы можем написать a 5 для каждого 5 4 мы имеем в подкоренном:

Дальнейшее упрощение выражения невозможно.



Упражнение 4

Показать решение

Помните, что произведение корни одной степени является корнем с той же степенью произведение подкоренных:

Потому что у нас есть корень в числителе и знаменатель (в той же степени) мы можем запишите их как один корень:

Примечание: : вышеописанный шаг связан со свойствами степеней, потому что

Теперь мы можем упростить подкоренную дробь:

В связи с тем, что у нас есть 1 в числитель и его квадратный корень равен 1, мы собираемся чтобы снова написать два корня:

Вычисляем куб частного:

Наконец, математики не любят корни в в знаменателе, поэтому умножаем в числителе и знаменатель на корень так, чтобы он остался в числителе:



Упражнение 5

Показать решение

Запишем корень двенадцатой степени как степень:

Мы упростили дробь степени. Теперь запишем подкоренное число (49) в степени: 49 = 7 2 .



Упражнение 6

Показать решение

Это упражнение может показаться сложным, потому что есть корни в корнях, но единственное нам нужно сделать, это написать квадрат корни как степени и применять свойства сил (мощность силы):



Упражнение 7

Показать решение

Пишем 72 как мощность для применения свойств:

Мы запишем дробный показатель как кубический корень, и мы сможем извлечь множитель:

Обратите внимание, поскольку это куб root (третьей степени), мы можем извлечь 3 от корня для каждого 3 3 .



Упражнение 8

Показать решение

Запишем корни как степени:

Теперь запишем 4 как степень, 4 = 2 2 , чтобы можно было упростить:



Упражнение 9

Показать решение

Мы записываем числа, а также корни в экспоненциальной форме, чтобы применить свойства:

Поэтому



Упражнение 10

Показать решение

Запишем корни как степени (одна кубическая, другая квадратная) и 9 как 9 = 3 2

Теперь умножаем все показатели (степень степени):

Наконец, упростим дроби в показателях степени:

Мы можем извлечь фактор:

Как обычно, удалим корень из знаменателя.

Поскольку это кубический корень, мы должны умножить его дважды. в числителе и в знаменателе, чтобы оно исчезло:



Упражнение 11

Показать решение

Раньше всего, потому что мы иметь дробь в степени минус один, мы пишем обратное, чтобы показатель степени исчез:

Теперь, поскольку все корни квадратные, мы можем их умножить:

Упростим дробь:

Теперь мы немного поработаем над избегаем корня в знаменателе: отделяем корни

Умножаем и делим на корень из 2:



Упражнение 12

Показать решение

Выражение довольно страшное, но все, что нам нужно сделать, это записать все корни в виде степеней:

Обратите внимание, что мы записали все показатели всего за один шаг.

Упростим показатель степени:



Упражнение 13

Показать решение

У нас есть корень из отрицательного числа, а потому что это куб корень (нечетная степень), он существует.

Запишем кубический корень в виде степени:

Умножаем показатели степени (степень степени):

Обратите внимание, что мы можем убрать знак минус, потому что (-5) 2 = 5 2



Упражнение 14

Показать решение

Запишем пять корней как степени:

Умножаем показатели степени (степень степени):

Дробь равна 1.

Следовательно,



Упражнение 15

Показать решение

Мы можем извлечь 4 как общий делитель подкоренного числа:

4 оставляет квадратный корень как 2 (потому что это 2 2 ):

Нам нужно понять, что подкоренное число является результатом биномиальной теоремы Ньютона (вычитание в квадрате):

Наконец, корень исключает квадрат

Важно: В действительности, когда мы исключаем квадратный корень из число в квадрате нам нужно записать абсолютное значение

Это связано с тем, что если значение x делает полином x — 3 отрицательно, (когда x < 3 ) тогда степень двойки составляет подкоренное положительное и, следовательно, квадратный корень существует и является положительное число. Но если мы не запишем число как абсолютное значение, когда мы исключаем корень, получаем отрицательное число и, как следствие, ложное равенство.

Давайте посмотрим на примере:

Предположим, что x = 0 . Тогда

Но

Однако, если мы запишем абсолютное значение, мы получим




Matesfacil.ком J. Llopis имеет лицензию творческий Commons Attribution-NonCommercial 4.0 Международная лицензия.

Что такое показатели степени и корни?

Что такое показатели и корни? Что ж, экспоненты — хитрые маленькие жулики, когда дело доходит до математики. Они используются во множестве мест, от математики до естественных и даже социальных наук. Хитрость в том, что сначала они кажутся такими простыми, а потом «БАМ!» — у вас внезапно появляются все эти правила и свойства, которые вы должны знать, особенно когда дело касается корней. К счастью, мы собираемся обсудить не только то, что такое экспоненты и корни , но и то, как заставить их работать на вас!

Показатель степени

По своей сути показатель степени — это сокращение для записи умножения одного и того же числа. Например:

5 3 — это то же самое, что сказать 5 x 5 x 5. Таким образом, 5 3 = 5 x 5 x 5 = 125.

Иногда показатель степени называется степенью . В нашем примере 5 3 также можно назвать числом 5 в третьей степени.Теперь есть некоторые специальные, которые имеют свои собственные имена. Одним из примеров является X 2 . Поскольку оно возведено во вторую степень, вы говорите, что значение равно в квадрате . Когда его возводят в третью степень, вы говорите, что значение равно в кубе . У других на самом деле нет специальных имен; извините X 4 .

Отрицательные?

Точно так же, как у вас могут быть положительные показатели, у вас могут быть и отрицательные. Это немного хитрее, потому что они означают что-то немного другое.

Когда показатель степени отрицательный, вы действительно смотрите на обратную величину показателя степени. По сути, вы смотрите на одно значение показателя степени. Это означает, что вы смотрите на дробь. То есть:

Итак, в случае 5 -3 вы действительно смотрите на обратное.

Правила экспоненты

Ранее я говорил, что экспоненты иногда бывают хитрыми маленькими жучками. Они компенсируют свою хитрость несколькими удобными маленькими правилами и свойствами.Эти свойства позволяют вам манипулировать показателями степени и корнями — не только для выполнения домашней работы, но и для более полного понимания математического выражения.

Product Rules

Поскольку показатели степени — это просто расширенное умножение, вполне естественно, что вы иногда объединяете показатели степени. Когда одно выражение с показателем степени умножается на другое выражение с показателем степени, показатели степени просто складываются. Например:

A м N =

м + N

, который выглядит следующим образом:

5 2 ∙ 5 4 = 5 2 + 4 = 5 6 = 15625

Другой способ умножения показателей степени — это когда у вас есть два (или более) разных основания.В этом случае вы сохраняете показатель степени таким же, но умножаете основания вместе. Например:

A M ∙ B M = (A ∙ B) м

, который выглядит следующим образом:

5 2 ∙ x 2 = 5x 2

Основы

Конечно, то, что поднимается, должно опускаться, а то, что умножается, можно разделить. Помните, что деление показателей степени равносильно тому, что показатель степени стоит в знаменателе (отрицательный показатель степени).Это означает, что правила деления выражений с показателями аналогичны, но имеют изюминку.

В случае одинаковых оснований показатели степени вычитаются, а не складываются. Например:

, что выглядит так:

Когда основания разные, но показатели степени одинаковы, основания делятся, но показатель степени остается прежним. Например:

, что выглядит так:

Видите? Это не так плохо.Теперь о кое-чем более интересном.

Power Rules

Иногда необходимо возвести целое выражение в некоторую степень. Например:

В этом случае все выражение (включая показатель степени) возводится в определенную степень. Показатель степени снаружи скобки означает то же самое для математического выражения, как если бы внутри скобки было одно значение. Чтобы решить эту проблему, вы умножаете показатель степени внутри скобок на показатель степени вне скобок.Например:

, что выглядит так:

Кстати, когда коэффициент и переменная возводятся в степень, вы применяете степень к коэффициенту, когда упрощаете выражение. Я имею в виду:

Обратите внимание, что коэффициент был возведен в квадрат. Это то, что вам нужно иметь в виду, когда вы возводите целые выражения в степень.

Корни

Теперь мы подошли к самой сложной части показателей. До сих пор мы имели дело только с показателями степени, которые были целыми числами (т.д., целые числа). Однако в некоторых математических и естественных науках показатели степени выражаются дробями. Например, можно иметь такое выражение, как:

Кажется нелогичным умножать значение или выражение на дробь, но вам просто нужно взглянуть на то, что на самом деле означает дробь. В случае одной половины мы пытаемся найти значение, которое при возведении в степень 2 равно a .

Это называется корнем . Обычно мы пишем их так:

Знаменатель представляет степень корня, который мы ищем.В этом случае вы хотите определить значение, которое при возведении в квадрат равно и . Со значениями было бы так:

Это действительно так просто. В случае корня из 2 или возведенного в половинную степень, вы называете это квадратным корнем из . Если степень равна одной трети, то вы смотрите на кубический корень .

Иногда значение дроби в числителе больше единицы. Например:

В этом случае степень корня по-прежнему равна знаменателю, но теперь вы еще и основание возводите в степень числителя.Примерно так:

Со значениями это выглядит так:

Таким образом, корни на самом деле просто дробные показатели. Когда вы думаете о них таким образом, другие правила по-прежнему применяются и работают хорошо.

Выводы

Экспоненты представляют расширенное умножение переменной или выражения. Есть несколько правил, которые мы можем использовать, чтобы комбинировать и манипулировать экспонентами. Когда они входят в дроби, они называются корнями и имеют специальную настройку.В целом, показателями степени и корнями легко манипулировать в математике и естественных науках.

  • Джон любит математику и естественные науки до такой степени, что его семья покупает ему книги по статистике и химии в подарок на день рождения. Получив степень бакалавра в Государственном университете Мюррея, он преподает химию и физику. Получив степень доктора педагогических наук в Университете Западного Кентукки, он полностью увлекся статистикой и методами исследования. Когда он не увлекается наукой и математикой, Джон любит рисовать на лицах, писать перьевыми ручками и души не чает в своей любящей жене и семье.

    Просмотреть все сообщения

6.1 Упрощение выражений с помощью корней и дробных показателей — Промежуточная алгебра

Цели обучения

  • Введение в корни
    • Определение и вычисление главных квадратных корней
    • Определить и вычислить корни n-й степени
    • Оценка несовершенных корней
  • Подкоренные выражения и дробные показатели
    • Определение и идентификация подкоренного выражения
    • Преобразование радикалов в выражения с дробными показателями
    • Преобразование выражений с дробными показателями в их подкоренные эквиваленты
  • Упрощение радикальных выражений
    • Упрощение подкоренных выражений с помощью факторизации
    • Упростите подкоренные выражения, используя дробные показатели степени и законы показателей степени
    • Определите \(\sqrt{x^2}=|x|\) и примените его при упрощении подкоренных выражений

Знаете ли вы, что из числа можно извлечь корень шестой степени? Вы, наверное, слышали о квадратном корне, который пишется как \(\sqrt{\,\,\,}\), но вы также можете взять корень третьей, четвертой и даже 5000-й степени (если вам действительно нужно). В этом уроке мы узнаем, как определяется квадратный корень, а затем мы будем опираться на это, чтобы сформировать представление о корнях n-й степени. Мы будем использовать факторинг и правила для показателей, чтобы упростить математические выражения, содержащие корни.

Наиболее распространенным корнем является квадратный корень из . Сначала мы определим, что такое квадратные корни и как найти квадратный корень из числа. Затем мы применим аналогичные идеи для определения и вычисления корней n-й степени.

Корни обратны показателям степени, так же как умножение обратно делению.{\ текст {п}}} \)

Наименование: «Три в квадрате» или «Три в второй степени», «Четыре в пятой степени», « х в кубе», « х в н -й степени»

Повторное умножение: \( 3\cdot 3\),    \( 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\),    \( x\cdot x\cdot x\),    \( \underbrace{ х\cdot x\cdot x…\cdot x}_{n\text{times}}\).

И наоборот, когда вы пытаетесь найти квадратный корень из числа (скажем, 25), вы пытаетесь найти число, которое можно умножить само на себя, чтобы получить исходное число. В случае 25 вы можете обнаружить, что \(5\cdot5=25\), поэтому 5 должно быть квадратным корнем.

Квадратные корни

Символ квадратного корня называется радикальным символом и выглядит следующим образом: \(\sqrt{\,\,\,}\). Выражение \( \sqrt{25}\) читается как «квадратный корень из двадцати пяти» или «корень из двадцати пяти». Число, записанное под подкоренным знаком, называется подкоренным числом и .

В следующей таблице показаны различные радикалы и их эквивалентные письменные и упрощенные формы.

Радикальный Имя Упрощенная форма
\( \sqrt{36}\)

«Квадратный корень из тридцати шести»

«Корень тридцать шесть»

\(\sqrt{36}=\sqrt{6\cdot 6}=6\)
\( \sqrt{100}\)

«Квадратный корень из ста»

«Корень сотни»

\(\sqrt{100}=\sqrt{10\cdot 10}=10\)
\( \sqrt{225}\)

«Квадратный корень из двухсот двадцати пяти»

«Корень двести двадцать пять»

\(\sqrt{225}=\sqrt{15\cdot 15}=15\)

Снова рассмотрим \( \sqrt{25}\). Вы можете заметить, что есть еще одно значение, которое при умножении само на себя также дает 25. Это число равно \(-5\).

\( \begin{array}{r}5\cdot 5=25\\-5\cdot -5=25\end{массив}\)

По определению, символ квадратного корня всегда означает нахождение положительного корня, называемого главным корнем . Таким образом, хотя \(5\cdot5\) и \(-5\cdot-5\) равны 25, только 5 является основным корнем. Вы также должны знать, что ноль особенный, потому что он имеет только один квадратный корень: сам (поскольку \(0\cdot0=0\)).2\) также даст положительный результат. Это приводит к важному факту — вы не можете найти квадратный корень из отрицательного числа.

В следующем видео мы представляем больше примеров того, как найти главный квадратный корень.

Последний пример, который мы показали, приводит к важной характеристике квадратных корней. Извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных значений.

Домен квадратного корня
\(\sqrt{-a}\) определен не для всех действительных чисел, a. {3}=8\), мы говорим, что 2 — это кубический корень из 8. В следующем примере мы будем вычислять кубические корни некоторых совершенных кубов.

Пример

Оцените следующее:

  1. \(\sqrt[3]{125}\)
  2. \(\sqrt[3]{27}\)
  3. \(\sqrt[3]{-8}\)
Показать решение

1. Вы можете прочитать это как «корень в третьей степени из 125» или «кубический корень из 125». Чтобы вычислить это выражение, найдите число, которое при умножении на себя два раза (всего на три одинаковых множителя) равно 125.

\(\text{?}\cdot\text{?}\cdot\text{?}=125\).

Поскольку 125 оканчивается на 5, 5 — хороший кандидат.

\(5\cdot5\cdot5=125\)
2. Мы хотим найти число, куб которого равен 27.

\(3\cdot3\cdot3=27\), поэтому кубический корень из 27 равен 3.

3. Мы хотим найти число, куб которого равен -8. Мы знаем, что 2 — это кубический корень из 8, так что, возможно, мы можем попробовать -2. \(-2\cdot{-2}\cdot{-2}=-8\), поэтому кубический корень из -8 равен -2. Это отличается от квадратных корней, потому что умножение трех отрицательных чисел дает отрицательное число.{3}}}=-1\).

В следующем видео мы покажем больше примеров нахождения кубического корня.

Энные корни

Кубический корень числа записывается маленькой цифрой 3, называемой индексом , сразу за радикальным символом и над ним. Это выглядит как \(\sqrt[3]{{}}\). Эта маленькая цифра 3 отличает кубические корни от квадратных корней, которые записываются без маленькой цифры снаружи и над корневым символом.

Ту же идею можно применить к любому показателю степени и соответствующему корню.{5}=243\). Если \(a\) является вещественным числом с хотя бы одним n -м корнем, то главный n -й корень из \(a\) является числом с тем же знаком, что и \(a\), что , возведенный в степень n , равен \(a\).

Главный n -й корень \(a\) записывается как \(\sqrt[n]{a}\), где \(n\) — натуральное число, большее или равное 2. В радикале выражение, \(n\) называется индексом радикала.

Определение: Основной

n th Корневой

Если \(a\) является вещественным числом с хотя бы одним n -м корнем, то главный n -й корень из \(a\), записанный как \(\sqrt[n]{a} \), это число с тем же знаком, что и \(a\), которое при возведении в n -ю степень равно \(a\).4}=3\)

  • \(\sqrt[8]{-1}\), поскольку у нас есть четный корень 8-й степени с отрицательным числом в качестве подкоренного числа, этот корень не имеет вещественных решений. Другими словами, \(-1\cdot-1\cdot-1\cdot-1\cdot-1\cdot-1\cdot-1\cdot-1 \ne -1\)
  • В следующем видео мы покажем больше примеров того, как вычислить и n-й корень.

    Вы можете найти нечетный корень отрицательного числа, но вы не можете найти четный корень отрицательного числа и получить действительный ответ. Это означает, что вы можете вычислять радикалы \(\sqrt[3]{-81},\\sqrt[5]{-64}\) и \(\sqrt[7]{-2187}\), но не можете вычислить радикалы \( \sqrt[{}]{-100},\ \sqrt[4]{-16}\) или \( \sqrt[6]{-2500}\) и получить ответ, который настоящий номер. Позже мы научимся справляться с этими радикалами, а пока просто скажем, что они не определены.

    Оценка корней

    Подход к обработке несовершенных корней (квадратов, кубов и т. д.) заключается в аппроксимации их путем сравнения значений с совершенными квадратами, кубами или корнями n-й степени. Предположим, вы хотите узнать квадратный корень из 17. Давайте посмотрим, как вы можете его аппроксимировать.

    Пример

    Оценка. \(\sqrt{17}\)

    Показать решение Подумайте о двух совершенных квадратах, окружающих число 17.17 находится между правильными квадратами 16 и 25. Таким образом, \( \sqrt{17}\) должно быть между \( \sqrt{16}\) и \(\sqrt{25}\).

    Определите, ближе ли \( \sqrt{17}\) к 4 или к 5, и сделайте другую оценку.

    \(\sqrt{16}=4\) и \(\sqrt{25}=5\)

    Поскольку 17 ближе к 16, чем к 25, \( \sqrt{17}\), вероятно, составляет около 4,1 или 4,2.

    Используйте метод проб и ошибок, чтобы получить более точную оценку \( \sqrt{17}\). Попробуйте возвести в квадрат все большие числа, начиная с 4,1, чтобы найти хорошее приближение для \( \sqrt{17}\).{2}\).

    \(4.1\cdot4.1=16,81\\4.2\cdot4.2=17,64\)

    Продолжайте использовать метод проб и ошибок, чтобы получить еще более точную оценку.

    \(4.12\cdot4.12=16.9744\\4.13\cdot4.13=17.0569\)

    Ответить
    \(\sqrt{17}\примерно 4,12\)

    Это приближение довольно близко. Если бы вы продолжали использовать эту стратегию проб и ошибок, вы могли бы продолжать извлекать квадратный корень с точностью до тысячных, десятитысячных и стотысячных, но со временем это стало бы слишком утомительно, чтобы делать это вручную.

    По этой причине, когда вам нужно найти более точную аппроксимацию квадратного корня, вы должны использовать калькулятор. В большинстве калькуляторов есть клавиша квадратного корня \( (\sqrt{{}})\), которая позволяет быстро вычислить квадратный корень. На простом четырехфункциональном калькуляторе вы, скорее всего, наберете число, из которого хотите извлечь квадратный корень, а затем нажмете клавишу квадратного корня.

    Попробуйте найти \( \sqrt{17}\) с помощью калькулятора. Обратите внимание, что вы не сможете получить «точный» ответ, потому что \( \sqrt{17}\) — иррациональное число, число, которое нельзя представить в виде дроби, а десятичная дробь никогда не заканчивается и не повторяется.Чтобы точно зафиксировать значение \( \sqrt{17}\), вам потребуется 90 119 бесконечных 90 122 точности. До девяти знаков после запятой \(\sqrt{17}\) приблизительно равно 4,123105626. Калькулятор может сэкономить много времени и получить более точный квадратный корень, когда вы имеете дело с числами, которые не являются идеальными квадратами.

    Пример

    Приблизительно \( \sqrt[3]{30}\), а также найдите его значение с помощью калькулятора.

    Показать решение Найдите кубики, окружающие число 30.

    30 находится между идеальными кубиками 27 и 81.

    \(\sqrt[3]{27}=3\) и \(\sqrt[3]{81}=4\), поэтому \(\sqrt[3]{30}\) находится между 3 и 4.
    Используйте калькулятор.

    \(\sqrt[3]{30}\приблизительно3. {\frac{1}{2}}}}\) 10

    Давайте рассмотрим еще несколько примеров, но на этот раз с кубическими корнями.{\ гидроразрыва {1} {3}}}} = 2 \ sqrt [3] {х} \)

    Запишите подкоренное выражение в виде выражения с дробным показателем степени

    Мы можем записывать подкоренные числа с дробными показателями, и, как мы увидим, упрощая более сложные подкоренные выражения, это может упростить задачу. Наличие различных способов выражения и записи алгебраических выражений позволяет нам иметь гибкость при их решении и упрощении. Это похоже на тезаурус, когда вы пишете, вы хотите иметь варианты для самовыражения!

    Пример

    Запишите \( \sqrt[4]{81}\) как выражение с дробным показателем степени.3}=2\)

    В нашем последнем примере мы перепишем выражения с дробными показателями как радикалы. Эта практика поможет нам, когда мы будем упрощать более сложные радикальные выражения, и когда мы научимся решать радикальные уравнения. {4}}y} \).{\ гидроразрыва {1} {2}}} \)

    А поскольку вы знаете, что возведение числа в степень \( \frac{1}{2}\) равносильно извлечению квадратного корня из этого числа, вы также можете записать это таким образом.

    \( \sqrt{3x}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{x}\)

    Взгляните на это: любое число под радикалом можно рассматривать как произведение отдельных множителей , каждый из которых находится под своим радикалом.

    Продукт, преобразованный в степенное правило или иногда называемый квадратным корнем из правила продукта

    Для любых действительных чисел a и b , \( \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\).{2}\).
    \( \sqrt{7}\cdot 3\)
    Переставьте множители так, чтобы целое число стояло перед корнем, а затем умножьте. (Это сделано для того, чтобы было ясно, что под корнем находится только 7, а не 3.)
    \( 3\cdot \sqrt{7}\)
    Ответ
    \( \sqrt{63}=3 \sqrt{7}\)

    Окончательный ответ \( 3\sqrt{7}\) может показаться немного странным, но он в упрощенной форме. {2}}=\left|x\right|\).2\) всегда будет неотрицательным. Включение столбцов абсолютных значений было бы излишним. Один совет, чтобы узнать, когда применять абсолютное значение после упрощения любого даже индексированного корня, — это посмотреть на конечный показатель степени в ваших переменных терминах. Если показатель степени нечетный, включая 1, добавьте абсолютное значение. Это относится к упрощению любого корня с четным индексом, как мы увидим в последующих примерах.

    В следующем видео вы увидите больше примеров того, как упростить радикальные выражения с переменными.{4}}\)

    Упрощение кубических корней

    Мы можем использовать те же методы, которые мы использовали для упрощения квадратных корней, чтобы упростить корни более высокого порядка. Например, чтобы упростить кубический корень, цель состоит в том, чтобы найти множители под радикалом, которые являются идеальными кубами, чтобы вы могли извлечь их кубический корень. Нам больше не нужно беспокоиться о том, определили ли мы главный корень, поскольку теперь мы находим кубические корни. Сосредоточьтесь на поиске идентичных трио факторов по мере упрощения.

    Пример

    Упростить.{2}}}\)

    В следующем видео мы покажем больше примеров упрощения кубических корней.

    Упрощение корней четвертой степени

    Теперь давайте перейдем к упрощению корней четвертой степени. Независимо от того, какой корень вы упрощаете, применяется одна и та же идея: найдите кубы для кубических корней, степени четырех для четвертых корней и т. д. Вспомните, что когда ваше упрощенное выражение содержит четный индексированный радикал и переменный множитель с нечетным показателем, вам нужно применить абсолютное значение (если только контекст вашей проблемы не позволяет вам «предполагать, что \(x \ge 0\)»).{2}}}\)

    Что ж, это заняло некоторое время, но вы справились. Вы применили свои знания о дробных показателях, отрицательных показателях и правилах показателей, чтобы упростить выражение.

    В нашем последнем видео мы показываем, как использовать дробные показатели для упрощения радикальных выражений. {n}}}=x\).{n}}}=\влево| х \справа|\). (Абсолютное значение учитывает тот факт, что если x является отрицательным и возводится в четную степень, это число будет положительным, как и главный корень n -го числа.)

    радикалов | GMAT бесплатно

    Квадратные корни

    Квадратный корень из числа x равен числу r , которое при возведении в квадрат становится равным x :

    Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, один положительный и один отрицательный.Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень обозначается знаком радикала:

    .

    Поскольку квадрат каждого действительного числа является положительным действительным числом, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней (и все числа на GMAT действительны; вопросы GMAT не учитывают, не учитывают и не включают недействительные числа).

    Стоит подчеркнуть, что знак радикала указывает на положительное число, даже если уравнение с квадратом переменной может иметь положительное или отрицательное решение. Например, значение

    будет положительным , хотя уравнение

    имеет как положительные, так и отрицательные корни, +3 и -3. Обратите внимание на ключевое различие между этими двумя случаями. На GMAT знак радикала всегда указывает на положительный квадратный корень из , но переменная, возведенная в квадрат, имеет как положительные, так и отрицательные корни.

    Кубические корни

    Кубический корень из числа х — это число r , куб которого равен х :

    Каждое действительное число x имеет ровно один действительный кубический корень, записанный,

    Например,

    и

    Упрощенная форма подкоренного выражения

    Чтобы привести радикальное выражение к упрощенной форме, вынесите из радикала как можно больше полных квадратов и умножьте на 1, чтобы удалить все радикалы из знаменателя (если присутствует дробь).

    Например, чтобы записать подкоренное выражение

    в упрощенном виде можно поступить следующим образом. Сначала найдите правильный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:

    Далее идет дробь под знаком корня, которую меняем следующим образом:

    Наконец, удалим радикал из знаменателя следующим образом:

    GMAT не делает особого акцента на упрощенную форму подкоренного выражения, но на некоторые вопросы вы получите ответ в неупрощенной форме, и вам придется получить упрощенную форму, чтобы выбрать правильный вариант ответа.

    Корни, кроме квадратных и кубических корней

    Квадратный корень и кубический корень являются частными случаями n корня. n -й корень числа x — это число r , которое при возведении в степень n равно x :

    .

    , где n — это степень корня. Корень второй степени называется квадратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем. Корни более высокой степени обозначаются порядковыми номерами, например, корень четвертой степени, корень двадцатой степени и т. Д.

    Например: 2 — это квадратный корень из 4, так как 2 в квадрате равно 4. И −2 также является квадратным корнем из 4, поскольку отрицательное число 2 в квадрате также равно 4.

    Корни рассматриваются как частные случаи возведения в степень, где показатель степени представляет собой дробь:

    Действительно, общепринятое обозначение радикала совпадает с показателем степени:

    Свойства корней

    Каждое положительное действительное число имеет положительный n -й корень, и правила операций с такими корнями подчиняются следующим правилам:

    Мы можем преобразовать любое выражение с радикалами в экспоненциальную форму:

    Использование формы экспоненты упрощает отмену степеней и корней.Мы рассмотрим правила экспоненты более подробно в следующей главе.

    Поскольку корни являются частными случаями экспоненты, радикальные правила — это, по существу, экспонентные правила, записанные с помощью другого обозначения, радикального символа.

    Практические вопросы

    Упрощение радикалов:
    http://www.gmatfree.com/simplifying-radicals

    Суммарные радикалы:
    http://www.gmatfree.com/summing-radicals

    Radical и Power:
    http://www.gmatfree.com/radical-and-power

    Умножение радикалов разных корней — Концепция

    Чтобы упростить два радикала с разными корнями, мы сначала перепишем корни как рациональные показатели.Прежде чем члены можно будет перемножить, мы изменим показатели степени, чтобы они имели общий знаменатель. Таким образом, основания теперь имеют одинаковые корни, и их члены можно перемножать. Далее мы пишем задачу, используя корневые символы, а затем упрощаем.

    Итак, мы знаем, как умножать квадратные корни, когда у нас есть один и тот же индекс, один и тот же корень, с которым мы имеем дело. Чего мы не знаем, так это того, как их умножать, когда у нас другой корень. Вот об этом мы сейчас и поговорим.
    Итак, если у нас есть квадратный корень из 3, умноженный на квадратный корень из 5. Они оба являются квадратными корнями, мы можем просто объединить наши термины, и мы получим квадратный корень из 15. Хорошо? Это достаточно легко. С чем мы действительно не знаем, как справляться, так это с тем, что наши корни различны. Итак, у меня есть кубический корень и квадратный корень, хорошо? Как и мы не можем объединить их, потому что мы имеем дело с разными корнями.Но есть способ манипулировать ими, чтобы их можно было комбинировать. И как я всегда это делаю, так это переписываю свои корни как экспоненты, хорошо? Итак, превратите это в 2 в одну треть, умноженное на 3 в одну половину. Хорошо. И помните, что когда мы имеем дело с долей показателей степени, это власть над корнем. Чтобы умножить наши радикалы вместе, наши корни должны быть одинаковыми. Итак, нам нужно каким-то образом манипулировать этими двумя корнями, 3 и квадратом, 3 и 2, чтобы они были одним и тем же корнем, хорошо? Итак, подумайте о том, каково наше наименьшее общее кратное. 2 и 3, 6. Хорошо? Итак, мы хотим переписать обе эти степени с корнем со знаменателем 6. Итак, 6, 2, вы получите 6. Нам просто нужно умножить это на 2 на 2, так что мы получим 2 на 6, а затем 3, нужно чтобы сделать половину со знаменателем 6, так что это просто становится 3 на 6. Хорошо. Итак, что у нас сейчас есть на самом деле, это корень шестой степени из 2 в квадрате, умноженный на корень шестой степени из 3 в третью. Хорошо? Таким образом, мы вообще не изменили нашу задачу, а просто изменили показатель степени, сделав его дробью немного, но большей.Это прекрасно. И теперь у нас одинаковые корни, так что мы можем умножить, оставив нам корень шестой степени из 2 в квадрате, умноженный на 3 в кубе. Хорошо. Часто эти числа будут довольно уродливыми и довольно большими, поэтому иногда вы можете просто оставить все как есть. 2 в квадрате и 3 в кубе не такие уж большие числа. 2 в квадрате — это 4, 3 в квадрате — это 27, 4 умножить на 27 — это, я думаю, 108. Таким образом, получается корень шестой степени из 108.
    Небольшое примечание: вам не обязательно переходить от переписывания дробей к степени ваши радикалы.Часто это помогает людям точно увидеть, что у них есть, поэтому, видя, что у вас есть те же корни, которые вы можете умножить, но если вам удобно, вы можете просто перейти с этого шага прямо сюда. Это прекрасно.
    Таким образом, всякий раз, когда вы умножаете радикалы с разными индексами, разными корнями, вам всегда нужно сделать свои корни одинаковыми, и вы делаете это, просто изменяя свою дробь, чтобы она была общим знаменателем [IB].

    Степень многочлена — Типы, как найти степень многочлена?

    Полиномы являются одним из важных понятий математики, как и степень полиномов, которая определяет максимальное количество решений, которые может иметь функция, и количество раз, когда функция пересекает ось x при построении графика.Это самая высокая экспоненциальная степень в полиномиальном уравнении. Давайте узнаем подробно об этом понятии и о том, как найти степень многочлена.

    Что такое степень многочлена?

    Степень полинома — это наивысшая экспоненциальная степень в полиномиальном уравнении. Для проверки степени любого полинома учитываются только переменные, коэффициенты игнорируются. Для функции полинома степени n th с вещественными коэффициентами и x как переменной, имеющей наибольшую степень n, где n принимает целые числовые значения, степень полинома в стандартной форме определяется как p (x) = a n х н + а н-1 х н-1 + а н-2 х н-2 + … + а 1 x 1 + а 0 .

    Степень полинома Определение:

    Степень полинома — это наибольшая степень переменной в полиномиальном уравнении. Для определения степени полиномиальной функции рассматриваются только члены с переменными, чтобы узнать степень полинома. Наивысшая экспоненциальная степень переменного члена в полиноме указывает на степень этого полинома.

    Посмотрите на полиномиальную функцию, приведенную ниже, где наибольшая степень x равна n.Следовательно, n — степень полинома этой функции.

    Как найти степень многочлена?

    Рассмотрим полином: p(x): 2x 5 −12x 3 +3x−π. Член с наибольшей степенью x равен 2x 5 , а соответствующий (наивысший) показатель степени равен 5. Следовательно, мы будем говорить, что степень этого многочлена равна 5. Таким образом, степень многочлена есть наибольшая степень переменная в полиноме. Мы можем представить степень многочлена как Deg(p(x)).Ниже приведены некоторые примеры:

    • Градус(х 3 +1) = 3
    • Градус(1+x+x 2 +x 3 +…+x 50 ) = 50
    • Градус(х+π 3 ) = 1

    Обратите внимание, что степень является наивысшим показателем переменного члена, поэтому, даже если показатель степени π равен 3 (см. последний пример, приведенный выше), это не имеет значения для определения степени многочлена.

    Степень нулевого многочлена

    Когда все коэффициенты равны нулю, многочлен считается нулевым многочленом.Таким образом, степень нулевого многочлена либо не определена, либо определена отрицательным образом (-1 или ∞).

    Степень постоянного многочлена

    Постоянный многочлен (P(x) = c) не имеет переменных. Поскольку переменной нет, она не имеет силы. Таким образом, степень постоянного многочлена равна нулю. Например: Для 6 или 6x 0 степень = 0,

    Степень многочлена с более чем одной переменной

    Степень многочлена с более чем одной переменной может быть вычислена путем сложения показателей степени каждой переменной в нем.Например: 5x 3 + 6x 2 y 2 + 2xy.

    • 5x 3 имеет степень 3 (x имеет показатель степени 3).
    • 6x 2 y 2 имеет степень 4 (x имеет показатель степени 2, y имеет 2, поэтому 2+2=4).
    • 2xy имеет степень 2 (x имеет показатель степени 1, y имеет 1, поэтому 1+1=2).

    Наибольшая степень из них равна 4, поэтому полином имеет степень 4 .

    Полиномы на основе степени

    Каждый из многочленов имеет определенную степень и на основании этого им присвоено определенное имя.Давайте классифицировать многочлены на основе степени многочлена с примерами.

    Многочлены Степень Примеры
    Постоянный многочлен Полиномы со степенью 0 3
    Линейный многочлен Многочлены со степенью 1 х + 8
    Квадратичный многочлен Полиномы степени 2 3x 2 — 4x + 7
    Кубический многочлен Полиномы степени 3 2x 3 + 3x 2 + 4x + 6
    Многочлен четвертой степени Многочлены степени 4 х 4 -16
    Полином пятой степени Многочлены степени 5 4x 5 + 2x 3 — 20

    Степень полинома Приложения

    Ниже приведены несколько применений степени многочлена:

    • Чтобы определить максимальное количество решений, которое может иметь функция.
    • Чтобы определить максимальное количество раз, когда функция будет пересекать ось X при построении графика.
    • Чтобы проверить, является ли полиномиальное выражение однородным, определите степень каждого члена. Когда степени членов равны, то полиномиальное выражение является однородным, а когда степени не равны, то выражение называется неоднородным. Например, в 4x 3 + 3xy 2 +8y 3 степень всех членов равна 3.Следовательно, данный пример является однородным полиномом степени 3.

    Степень полинома Советы и хитрости:

    Чтобы найти степень полинома, вы можете выполнить следующие шаги:

    1. Определите каждый член данного многочлена.
    2. Объедините все подобные термины, переменные термины; игнорировать постоянные термины.
    3. Расположите эти термины в порядке убывания их силы.
    4. Найдите член с наибольшим показателем степени, определяющий степень многочлена.

    Важные примечания:

    • Степень многочлена только с одной переменной: наибольший показатель степени переменной в многочлене (с использованием правила знаков Декарта)
    • Степень многочлена с более чем одной переменной: сложите показатели степени каждой переменной, заданной в члене, и найдите, какой член имеет наибольшую степень. Это и будет считаться степенью многочлена.
    • Степень рационального выражения: Берем степень верха (числитель) и вычитаем степень низа (знаменатель).
    • Степень любого многочленного выражения с квадратным корнем, такого как 3√x, равна 1/2.

    Связанные статьи

    Проверьте эти интересные статьи, связанные с понятием степени полиномов в математике.

    Часто задаваемые вопросы о степени многочлена

    Что такое степень многочлена?

    Степень полинома — это наивысшая степень переменного члена с ненулевым коэффициентом в полиноме.

    Что такое степень квадратного многочлена?

    Квадратичные многочлены характеризуются как многочлены степени 2. Таким образом, степень квадратного многочлена равна 2.

    Что такое полином 3-й степени?

    Многочлены степени 3 известны как кубические многочлены. Они имеют 3 как самый высокий показатель степени переменной. Один из примеров степени полинома 3: x 3 + 5x — 20.

    Какова степень нулевого многочлена?

    У нулевого многочлена все переменные коэффициенты равны нулю.Это постоянный многочлен со значением 0. Таким образом, степень нулевого многочлена не определена.

    Какова степень многочлена 5√x?

    Для многочлена 5√x показатель степени с переменной x равен 1/2. Таким образом, степень многочлена 5√x равна 1/2.

    Какова степень многочлена 5√3?

    Степень многочлена 5√3 равна нулю, поскольку нет переменной, а степень любого многочлена определяется наибольшей экспоненциальной степенью его переменного члена.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.