Сумма сторон параллелограмма: Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Содержание

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

 

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно  параллельны.

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Свойства параллелограмма

 

1. Противоположные стороны параллелограмма  попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

 

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

 

 

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

 

 

 

 

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

 

 

 

7. Диагонали   параллелограмма и стороны

связаны следующим соотношением:

 

 

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

 

 

Признаки параллелограмма

 

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

 

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства  применяются в задачах:


Формулы площади параллелограмма

смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

 

 

Как найти площадь параллелограмма по двум сторонам. Вычисляем сумму углов и площадь параллелограмма: свойства и признаки

Параллелограмм представляет собой четырехугольную фигуру, у которой противолежащие стороны попарно параллельны и попарно равны. Равны у него также и противоположные углы, а точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, являясь при этом центром симметрии фигуры. Частными случаями параллелограмма являются такие геометрические фигуры как квадрат, прямоугольник и ромб. Площадь параллелограмма может быть найдена различными способами, в зависимости от того, какими исходными данными сопровождается постановка задачи.


Ключевой характеристикой параллелограмма, очень часто используемой при нахождении его площади, является высота. Высотой параллелограмма принято называть перпендикуляр, опущенный из произвольной точки противоположной стороны к отрезку прямой, образующей данную сторону.
  1. В самом простом случае площадь параллелограмма определяется как произведение его основания на высоту.

    S = DC ∙ h

    где S — площадь параллелограмма;
    a — основание;
    h — высота, проведенная к данному основанию.

    Данную формулу очень легко понять и запомнить, если взглянуть на следующий рисунок.

    Как видно из данного изображения, если слева от параллелограмма отрезать воображаемый треугольник и присоединить его справа, то в результате мы получим прямоугольник. А как известно, площадь прямоугольника находится перемножением его длины на высоту. Только в случае параллелограмма длина будет являться основанием, а высота прямоугольника — высотой параллелограмма, опущенной на данную сторону.

  2. Площадь параллелограмма может быть также найдена в результате перемножения длин двух смежных оснований и синуса угла между ними:

    S = AD∙AB∙sinα

    где AD, AB — смежные основания, образующие точку пересечения и угол а между собой;
    α — угол между основаниями AD и AB.

  3. Также площадь параллелограмма можно найти разделив пополам произведение длин диагоналей параллелограмма на синус угла между ними.

    S = ½∙AC∙BD∙sinβ

    где AC, BD — диагонали параллелограмма;
    β — угол между диагоналями.

  4. Существует также формула для нахождения площади параллелограмма через радиус вписанной в него окружности. Она записывается следующий образом:

Как в евклидовой геометрии точка и прямая — главные элементы теории плоскостей, так и параллелограмм является одной из ключевых фигур выпуклых четырехугольников. Из него, как нитки из клубка, втекают понятия «прямоугольника», «квадрата», «ромба» и других геометрических величин.

Вконтакте

Определение параллелограмма

Выпуклый четырехугольник,

состоящий из отрезков, каждая пара из которых параллельна, известен в геометрии как параллелограмм.

Как выглядит классический параллелограмм изображает четырехугольник ABCD. Стороны называются основаниями (AB, BC, CD и AD), перпендикуляр, проведенный из любой вершины на противоположную этой вершине сторону, — высотой (BE и BF), линии AC и BD — диагоналями.

Внимание! Квадрат, ромб и прямоугольник — это частные случаи параллелограмма.

Стороны и углы: особенности соотношения

Ключевые свойства, по большому счету, предопределены самим обозначением , их доказывает теорема. Эти характеристики следующие:

  1. Стороны, которые являются противоположными, — попарно одинаковые.
  2. Углы, расположенные противоположно друг другу — попарно равны.

Доказательство: рассмотрим ∆ABC и ∆ADC, которые получаются вследствие разделения четырехугольника ABCD прямой AC. ∠BCA=∠CAD и ∠BAC=∠ACD, поскольку AC для них общая (вертикальные углы для BC||AD и AB||CD, соответственно). Из этого следует: ∆ABC = ∆ADC (второй признак равенства треугольников).

Отрезки AB и BC в ∆ABC попарно соответствуют линиям CD и AD в ∆ADC, что означает их тождество: AB = CD, BC = AD. Таким образом, ∠B соответствует ∠D и они равны. Так как ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, которые так же попарно одинаковые, то ∠A = ∠C. Свойство доказано.

Характеристики диагоналей фигуры

Основной признак этих линий параллелограмма: точка пересечения разделяет их пополам.

Доказательство: пусть т. Е — это точка пересечения диагоналей AC и BD фигуры ABCD. Они образуют два соизмеримых треугольника — ∆ABE и ∆CDE.

AB=CD, так как они противоположные. Согласно прямых и секущей, ∠ABE = ∠CDE и ∠BAE = ∠DCE.

По второму признаку равенства ∆ABE = ∆CDE. Это означает, что элементы ∆ABE и ∆CDE: AE = CE, BE = DE и при этом они соразмерные части AC и BD. Свойство доказано.

Особенности смежных углов

У смежных сторон сумма углов равна 180° , поскольку они лежат по одну сторону параллельных линий и секущей. Для четырехугольника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Свойства биссектрисы:

  1. , опущенные на одну сторону, являются перпендикулярными;
  2. противолежащие вершины имеют параллельные биссектрисы;
  3. треугольник, полученный проведением биссектрисы, будет равнобедренным.

Определение характерных черт параллелограмма по теореме

Признаки этой фигуры вытекают из ее основной теоремы, которая гласит следующее: четырехугольник считается параллелограммом в том случае, если его диагонали пересекаются, а эта точка разделяет их на равные отрезки.

Доказательство: пусть в т. Е прямые AC и BD четырехугольника ABCD пересекаются. Так как ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (по первому признаку равенства треугольников). То есть ∠EAD = ∠ECB. Они также являются внутренними перекрестными углами секущей AC для прямых AD и BC. Таким образом, по определению параллельности — AD || BC. Аналогичное свойство линий BC и CD выводится также. Теорема доказана.

Вычисление площади фигуры

Площадь этой фигуры находится несколькими методами, одним из самых простых: умножения высоты и основания, к которому она проведена.

Доказательство: проведем перпендикуляры BE и CF из вершин B и C. ∆ABE и ∆DCF — равные, поскольку AB = CD и BE = CF. ABCD — равновеликий с прямоугольником EBCF, так как они состоят и соразмерных фигур: S ABE и S EBCD , а также S DCF и S EBCD . Из этого следует, что площадь этой геометрической фигуры находится так же как и прямоугольника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для определения общей формулы площади параллелограмма обозначим высоту как

hb , а сторону — b . Соответственно:

Другие способы нахождения площади

Вычисления площади через стороны параллелограмма и угол , который они образуют, — второй известный метод.

,

Sпр-ма — площадь;

a и b — его стороны

α — угол между отрезками a и b.

Этот способ практически основывается на первом, но в случае, если неизвестна. всегда отрезает прямоугольный треугольник, параметры которого находятся тригонометрическими тождествами, то есть . Преобразуя соотношение, получаем . В уравнении первого способа заменяем высоту этим произведением и получаем доказательство справедливости этой формулы.

Через диагонали параллелограмма и угол, который они создают при пересечении, также можно найти площадь.

Доказательство: AC и BD пересекаясь, образуют четыре треугольника: ABE, BEC, CDE и AED. Их сумма равна площади этого четырехугольника.

Площадь каждого из этих ∆ можно найти за выражением , где a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Поскольку , то в расчетах используется единое значение синуса. То есть . Поскольку AE+CE=AC= d 1 и BE+DE=BD= d 2 , формула площади сводится до:

.

Применение в векторной алгебре

Особенности составляющих частей этого четырехугольника нашли применение в векторной алгебре, а именно: сложении двух векторов. Правило параллелограмма утверждает, что если заданные векторы и не коллинеарны, то их сумма будет равна диагонали этой фигуры, основания которой соответствуют этим векторам.

Доказательство: из произвольно выбранного начала — т. о. — строим векторы и . Далее строим параллелограмм ОАСВ, где отрезки OA и OB — стороны. Таким образом, ОС лежит на векторе или сумме .

Формулы для вычисления параметров параллелограмма

Тождества приведены при следующих условиях:

  1. a и b, α — стороны и угол между ними;
  2. d 1 и d 2 , γ — диагонали и в точке их пересечения;
  3. h a и h b — высоты, опущенные на стороны a и b;
Параметр Формула
Нахождение сторон
по диагоналям и косинусу угла между ними

по диагоналям и стороне

через высоту и противоположную вершину
Нахождение длины диагоналей
по сторонам и величине вершины между ними

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

Теоретический материал

Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:

  1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
  2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
  3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними

Задачи на нахождение площади параллелограмма

Задача .
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см.Найти площадь параллелограмма.

Решение .
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 — 81
AK = 1

Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания. AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 — 81
NC 2 = √144
NC = 12

Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC — NB
Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Ответ : 99 см 2 .

Задача

В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.

Решение .
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.
Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов — прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S AOB +2S BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Ответ : 56 см 2 .

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. Основные задачи в школе по данной теме заключаются в вычислении площади параллелограмма, его периметра, высоты, диагоналей. Указанные величины и формулы для их вычисления будут приведены ниже.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма как и противоположные углы равны между собой:
AB=CD, BC=AD ,

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся на две равные части:

АО=OC, OB=OD. 2) .

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов (прилегающие к одной стороне) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая

Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Рекомендуем также

В параллелограмме углы прилежащие к одной стороне. Параллелограмм и его свойства

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

  • параллелограмм — это выпуклый четырехугольник;
  • у параллелограмма противоположные стороны попарно равны;
  • у параллелограмма противоположные углы попарно равны;
  • диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Параллелограмм — выпуклый четырехугольник

Докажем сначала теорему о том, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником . Многоугольник является выпуклым тогда, когда какая бы его сторона не была продлена до прямой, все остальные стороны многоугольника окажутся по одну сторону от этой прямой.

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого AB противоположная сторона для CD, а BC — противоположная для AD. Тогда из определения параллелограмма следует, что AB || CD, BC || AD.

У параллельных отрезков нет общих точек, они не пересекаются. Это значит, что CD лежит по одну сторону от AB. Поскольку отрезок BC соединяет точку B отрезка AB с точкой C отрезка CD, а отрезок AD соединяет другие точки AB и CD, то отрезки BC и AD также лежат по ту же сторону от прямой AB, где лежит CD. Таким образом, все три стороны — CD, BC, AD — лежат по одну сторону от AB.

Аналогично доказывается, что по отношению к другим сторонам параллелограмма три остальные стороны лежат с одной стороны.

Противоположные стороны и углы равны

Одним из свойств параллелограмма является то, что в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы попарно равны . Например, если дан параллелограмм ABCD, то у него AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доказывается эта теорема следующим образом.

Параллелограмм является четырехугольником. Значит, у него две диагонали. Так как параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то любая из них делит его на два треугольника. Рассмотрим в параллелограмме ABCD треугольники ABC и ADC, полученные в результате проведения диагонали AC.

У этих треугольников одна сторона общая — AC. Угол BCA равен углу CAD, как вертикальные при параллельных BC и AD. Углы BAC и ACD также равны как вертикальные при параллельных AB и CD. Следовательно, ∆ABC = ∆ADC по двум углам и стороне между ними.

В этих треугольниках стороне AB соответствует сторона CD, а стороне BC соответствует AD. Следовательно, AB = CD и BC = AD.

Углу B соответствует угол D, т. е. ∠B = ∠D. Угол A параллелограмма представляет собой сумму двух углов — ∠BAC и ∠CAD. Угол же C равен состоит из ∠BCA и ∠ACD. Так как пары углов равны друг другу, то ∠A = ∠C.

Таким образом, доказано, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Диагонали делятся пополам

Так как параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, то у него две две диагонали, и они пересекаются. Пусть дан параллелограмм ABCD, его диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Рассмотрим образованные ими треугольники ABE и CDE.

У этих треугольников стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Угол ABE равен углу CDE как накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD. По этой же причине ∠BAE = ∠DCE. Значит, ∆ABE = ∆CDE по двум углам и стороне между ними.

Также можно заметить, что углы AEB и CED вертикальные, а следовательно, тоже равны друг другу.

Так как треугольники ABE и CDE равны друг другу, то равны и все их соответствующие элементы. Стороне AE первого треугольника соответствует сторона CE второго, значит, AE = CE. Аналогично BE = DE. Каждая пара равных отрезков составляет диагональ параллелограмма. Таким образом доказано, что диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам .

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.

§43. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

1. Определение параллелограмма.

Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В четырёхугольниках АВDС и ЕFNМ (черт. 224) ВD || АС и АВ || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

2. Свойства параллелограмма.

Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Пусть имеется параллелограмм АВDС (черт. 225), в котором АВ || СD и АС || ВD.

Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.

Проведём в параллелограмме АВDС диагональ СВ. Докажем, что /\ САВ= /\ СDВ.

Сторона СВ общая для этих треугольников; / АВС = / ВСD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АВ и СD и секущей СВ; / АСВ = / СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB (§ 38).

Отсюда /\ САВ = /\ СDВ.

Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и АВD.

Следствия. 1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.

/ А = / D, это следует из равенства треугольников САВ и СDВ.
Аналогично и / С = / В.

2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.

АВ = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.

Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.

Пусть ВС и AD — диагонали параллелограмма AВDС (черт. 226). Докажем, что АО = OD и СО = ОВ.

Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например /\ AОВ и /\ СОD.

В этих треугольниках АВ = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
/ 1 = / 2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных АВ и СD и секущей AD;
/ 3 = / 4 по той же причине, так как АВ || СD и СВ — их секущая (§ 38).

Отсюда следует, что /\ AОВ = /\ СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = ОВ.

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 2 d .

Доказать самостоятельно.

3. Признаки параллелограмма.

Теорема. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике AВDС (черт. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник АВDC — параллелограмм.
Соединим отрезком какие-нибудь две противоположные вершины этого — четырёхугольника, например С и В. Четырёхугольник АВDС разбился на два равных треугольника: /\ СAВ и /\ СDВ. В самом деле, сторона СВ у них общая, АВ = СD и АС = ВD по условию. Таким образом, три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, поэтому /\ СAВ = /\ СDВ.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому
/ 1 = / 2 и / 3 = / 4.

Углы 1-й и 2-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых АВ и СD прямой СВ. Следовательно, АВ || СD.

Точно так же углы 3-й и 4-й являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых СА и ВD прямой СВ, следовательно, СА || ВD (§ 35).

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВDС попарно параллельны, следовательно, он параллелограмм, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике АВDС АВ = СD и АВ || СD. Докажем, что при этих условиях четырёхугольник АВDС- параллелограмм (черт. 228).

Соединим отрезком СВ вершины С и В. Вследствие параллельности прямых АВ и СD углы 1 и 2, как углы внутренние накрест лежащие, равны (§ 38).
Тогда треугольник САВ равен треугольнику СDВ, так как сторона СВ у них общая,
АВ = СD по условию теоремы и / 1 = / 2 по доказанному. Из равенства этих треугольников вытекает равенство углов 3 и 4, так как они лежат против равных сторон в равных треугольниках.

Но углы 3 и 4 — это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых АС и ВD прямой СВ, следовательно, АС || ВD (§ 35), т. е. четырёхугольник
АВDС- параллелограмм.

Упражнения.

1. Доказать, что если диагонали четырёхугольника в точке их взаимного пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

2. Доказать, что четырёхугольник, у которого сумма внутренних углов, прилежащих к каждой из двух соседних сторон, равна 2d , есть параллелограмм.

3. Построить параллелограмм по двум сторонам и углу между ними:

а) используя параллельность противоположных сторон параллелограмма;
б) используя равенство противоположных сторон параллелограмма.

4. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и диагонали.

5. Построить параллелограмм по двум его диагоналям и углу между ними.

6. Построить параллелограмм по его стороне и двум диагоналям.

Параллелограммом называется такой четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.

Параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольников, но кроме этого имеет и свои отличительные особенности. Зная их, мы можем с легкостью находить как стороны, так и углы параллелограмма.

Свойства параллелограмма

  1. Сумма углов в любом параллелограмме, как и в любом четырехугольнике, равна 360°.
  2. Средние линии параллелограмма и его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эту точку принято называть центром симметрии параллелограмма.
  3. Противоположные стороны у параллелограмма всегда равны.
  4. Также у этой фигуры всегда равны противоположные углы.
  5. Сумма углов, которые прилегают к любой из сторон параллелограмма, всегда составляет 180°.
  6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Это выражается формулой:
    • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 +b 2), где d 1 и d 2 — диагонали, a и b — смежные стороны.
  7. Косинус тупого угла всегда меньше нуля.

Как найти углы заданного параллелограмма, применяя эти свойства на практике? И какие еще формулы могут нам в этом помочь? Рассмотрим конкретные задания, в которых требуют: найдите величины углов параллелограмма.

Нахождение углов параллелограмма

Случай 1. Известна мера тупого угла, требуется найти острый угол.

Пример: В параллелограмме ABCD угол A равен 120°. Найдите меру остальных углов.

Решение: Пользуясь свойством № 5, мы можем найти меру угла B, смежного с тем углом, который дан в задании. Он будет равен:

А теперь, пользуясь свойством №4, мы определяем, что два оставшихся угла C и D противоположны тем углам, которые мы уже нашли. Угол C противоположен углу A, угол D — углу B. А следовательно они попарно им равны.

  • Ответ: B = 60°, C = 120°, D=60°

Случай 2. Известны длины сторон и диагонали

В таком случае нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Мы можем сначала по формуле вычислить косинус нужного нам угла, а потом по специальной таблице найти, чему равен сам угол.

Для острого угла формула такая:

  • cosa = (А² + В² — d²) / (2 * А * В), где
  • а — это искомый острый угол,
  • А и В — стороны параллелограмма,
  • d — меньшая диагональ

Для тупого угла формула немного меняется:

  • cosß = (А² + В² — D²) / (2 * А * В), где
  • ß — это тупой угол,
  • А и В — стороны,
  • D — большая диагональ

Пример: необходимо найти острый угол параллелограмма, стороны которого равны 6 см и 3 см, а меньшая диагональ равна 5.2 см

Подставляем значения в формулу для нахождения острого угла:

  • cosa = (6 2 + 3 2 — 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 — 27. 04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
  • cosa = 1/2. По таблице выясняем, что искомый угол равен 60°.

Параллелограммом называют четырехугольник противолежащие стороны которого попарно параллельны. Также параллелограмм владеет такими свойствами, как противоположные стороны равны, противоположные углы равны, сумма всех углов равна 360 градусов.

Вам понадобится

  • Знания по геометрии.

Инструкция

1. Представим дан один из углов параллелограмма и равен A. Обнаружим значения остальных 3. По свойству параллелограмма противоположные углы равны. Значит угол, лежащий наоборот данного равен данному и его значение равно А.

2. Обнаружим оставшиеся два угла. Потому что сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов, а противоположные углы между собой равны, то получается, что угол, принадлежащий одной стороне с данным, равен (360 — 2А)/2. Ну либо позже реформирования получим 180 — А. Таким образом в параллелограмме два угла равны А, а два других угла равны 180 — А.

Обратите внимание!
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Полученные значения углов дозволено легко проверить. Для этого сложите их и, если сумма равна 360, все посчитано правильно.

Полезный совет
Прямоугольник и ромб являются частным случаем параллелограмма, следственно все свойства и способы вычисления углов применимы и к ним.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которго противоположные стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых

Свойства параллелограмма:
Теорема 22. Противоположные стороны параллелограма равны.
Доказательство. В параллелограмме АВСD проведем диагональ АС. Треугольники АСD и АСВ равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов. прилежащих к ней: ∠ САВ=∠ АСD, ∠ АСВ=∠ DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, АВ=CD и ВС=AD, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д. Из равенства этих треугольников также следует равенство соответственных углов треугольников:
Теорема 23. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠ А=∠ С и ∠ В=∠ D.
Равенство первой пары идет из равенства треугольников АВD и CBD, а второй — АВС и ACD.
Теорема 24. Соседние углы параллелограмма, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов.
Это так, потому что они являются внутренними односторонними углами.
Теорема 25. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ВОС и АОD. По первому свойству AD=ВС ∠ ОАD=∠ ОСВ и ∠ ОDА=∠ ОВС как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС. Поэтому треугольники ВОС и АОD равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, ВО=ОD и АО=ОС, как соответственные стороны равных треугольников, ч.т.д.

Признаки параллелограмма
Теорема 26. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Доказательство. Пусть у четырехугольника АВСD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис2). Проведем диагональ АС. Треугольникик АВС и ACD равны по трем сторонам. Тогда углы ВАС и DСА равны и, следовательно, АВ параллельна CD. Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.
Теорема 27. Если противоположные углы четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.
Пусть ∠ А=∠ С и ∠ В=∠ D. Т.к. ∠ А+∠ В+∠ С+∠ D=360 о, то ∠ А+∠ В=180 о и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых). Также докажем и параллельность сторон АВ и CD и заключим, что АВСD является параллелограммом по определению.
Теорема 28. Если соседние углы четырехугольника, т.е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме 180 градусов, то он является параллелограммом.
Если внутренние односторонные углы в сумме составляют 180 градусов, то прямые праллельны. Значит АВ парал CD и ВС парал AD. Четырехугольник оказывается параллелограммом по определению.
Теорема 29. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Если АО=ОС, ВО=ОD, то треугольники АOD и ВОС равны, как имеющие равны углы (вертикальные) при вершине О, заключенные между парами равных сторон. Из равенства треугольников заключаем, что AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 1.
Теорема 30. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.
Пусть в четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD параллельны и равны. Проведем диагонали АС и ВD. Из параллельности этих прямых следует равенство накрест лежащих углов АВО=СDО и ВАО=ОСD. Треугольники АВО и CDО равны по стороне и прилежащим к ней углам. Поэтому АО=ОС, ВО=ОD, т.е. диагонали точкой пересечения делятся пополам и четырехугольник оказывается параллелограммом по признаку 4.

В геометрии рассматривают частные случаи параллелограмма.

площа па

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. 2).

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов ( прилегающие к одной стороне ) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая

Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Посмотреть материалы:

Найти площадь параллелограмма диагоналями которого являются. Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограммом называют четырехугольник у которого противоположные стороны параллельны между собой. 2) .

Основные признаки параллелограммов:

1. Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны является параллелограммом.
2. Четырехугольник с равными противоположными сторонами является параллелограммом.
3. Четырехугольник с равными и параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.
4. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам то это параллелограмм.
5. Четырехугольник у которого противоположные углы попарно равны является параллелограммом

Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы противоположных углов в параллелограмме могут быть параллельными или совпадать.

Биссектрисы соседних углов (прилегающие к одной стороне) пересекаются под прямым углом (перпендикулярные).

Высота параллелограмма

Высота параллелограмма — это отрезок который проведен с угла перпендикулярно к основанию. Из этого следует что из каждого угла можно провести две высоты.

Формула площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту проведенную к ней. Формула площади следующая

Вторая формула не менее популярная при вычислениях и определяется так: площадь параллелограмма равна произведению соседних сторон на синус угла между ними

На основе приведенных формул Вы будете знать как вычислить площадь параллелограмма.

Периметр параллелограмма

Формула для вычисления периметру параллелограмма имеет вид

то есть периметр равен удвоенному значению суммы сторон. Задачи на параллелограмм будут рассмотрены в соседних материалах, а пока изучайте формулы. Большинство задач по вычислению сторон, диагоналей параллелограмма достаточно просты и сводятся к знанию теоремы синусов и теоремы Пифагора.

Точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S — площадь параллелограмма,

а — длина основания параллелограмма,

h — длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет площади, разделенной на длину основания:

Например,

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание — 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

h=50/10=5 (см).

Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный , то для высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных .

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

H=10*sin(30º)=10*1/2=5 (см). 2)=3 (см).

Видео по теме

Источники:

  • что такое высота параллелограмма

Высотой многоугольника называют перпендикулярный одной из сторон фигуры отрезок прямой, который соединяет ее с вершиной противолежащего угла. Таких отрезков в плоской выпуклой фигуре существует несколько, и длины их не одинаковы, если хоть одна из сторон многоугольника имеет отличную от других величину. Поэтому в задачах из курса геометрии иногда требуется определить длину большей высоты, например, треугольника или параллелограмма.

Инструкция

Если кроме длины самой короткой из сторон треугольника (a) в условиях приведена (S) фигуры, большей из высот (Hₐ) будет достаточно проста. Удвойте площадь и разделите полученное значение на длину короткой — это и будет искомая высота: Hₐ = 2*S/a.

Не зная площади, но имея длины треугольника (a, b и c), тоже можно найти самую длинную из его высот, однако математических операций будет значительно больше. Начните с вычисления вспомогательной величины — полупериметра (р). Для этого сложите длины всех сторон и разделите результат

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
  4. где S — площадь треугольника,
    — длины сторон треугольника,
    — высота треугольника,
    — угол между сторонами и,
    — радиус вписанной окружности,
    R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
  3. где S — Площадь квадрата,
    — длина стороны квадрата,
    — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

    где S — Площадь прямоугольника,
    — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма
  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    a · b · sin α

  3. где S — Площадь параллелограмма,
    — длины сторон параллелограмма,
    — длина высоты параллелограмма,
    — угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
  4. где S — Площадь ромба,
    — длина стороны ромба,
    — длина высоты ромба,
    — угол между сторонами ромба,
    1 , 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции

    Где S — Площадь трапеции,
    — длины основ трапеции,
    — длины боковых сторон трапеции,

При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:

  1. Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
  2. Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
  3. Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
  4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
  5. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними

Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.

Задача 1.

Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.

Решение.

1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.

2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.

3. АD = АМ + МD = 7 см.

4. Периметр АВСD = 20 см.

Ответ. 20 см.

Задача 2.

В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.

Решение.

1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.

2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)

3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.

4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)

5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.

Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.

Задача 3.

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О;

Решение.

1. В треугольнике DОМ

2. В прямоугольном треугольнике DНС
(

Тогда (Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).

Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1.

3.

4.

Ответ: АВ: НD = 2: 1,

Задача 4.

Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.

Решение.

1. АО = 2√6.

2. К треугольнику АОD применим теорему синусов.

АО/sin D = OD/sin А.

2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Ответ: 12.

Задача 5.

У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.

Решение.

Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф.

1. Посчитаем двумя разными
способами его площадь.

S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф,

S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф.

Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство

(АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 .

((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Составим систему:

{d 1 2 + d 2 2 = 296,
{d 1 + d 2 = 140.

Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым.

Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24.

Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24.

Ответ: 24.

Задача 6.

Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.

Решение.

1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями.

АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD.

Учтем, что

Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имеем систему
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10.

Примечание: В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей.

Ответ: 10.

Задача 7.

Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.

Решение.

1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу.

Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 .

2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 .

По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5.

3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145.

Ответ: 145.

Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Определение параллелограмма

Четырёхугольник называется параллелограммом, если его противоположные стороны попарно параллельны. {\circ};\)
\(ABCD\) – параллелограмм, \(AC \cap BD =O\) \(\Rightarrow\) \(AO=CO, \, BO=DO \)

Признаки параллелограмма

1. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
2. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
3. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
4. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

\( AB=CD, \, BC=AD \) \(\Rightarrow\) \(ABCD\) – параллелограмм\(;\)
\(\angle{A}=\angle{C}, \, \angle{B}=\angle{D} \) \(\Rightarrow\) \(ABCD\) – параллелограмм\(;\)
\( AB=CD, \, AB||CD \) \(\Rightarrow\) \(ABCD\) – параллелограмм\(;\)

\( AO=CO, \, BO=DO \) \(\Rightarrow\) \(ABCD\) – параллелограмм

Виды параллелограммов

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности треугольника.

$$ S=pr, $$

где \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) – полупериметр треугольника

Площадь параллелограмма

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

\( S=ah \)

2. Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними.

\( S=ab\sin{\gamma} \)

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

\( S=\frac{1}{2}d_1d_2\sin{\varphi} \)

Математика по полочкам: 26. Четырехугольники



Ромб

Параллелограмм у которого все стороны равны называется ромбом.

Свойства ромба

Так ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.


1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: АС  ВD.

2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.


Признаки ромба

1. Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то этот  параллелограмм — ромб.

2. Если у параллелограмма одна из диагоналей лежит на биссектрисе, то этот параллелограмм — ромб.


Площадь ромба

1. Площадь ромба равна произведению его основания на высоту: S=СH*AВ.

2. Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус угла между сторонами: S=AB2*sin A.

3. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S=(d1*d2):2.


Прямоугольник

Параллелограмм, у которого все углы прямые называется прямоугольником.


Свойства прямоугольника

Так прямоугольник является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника

Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон: S = a*b.

Квадрат

Прямоугольник, у которого все стороны равны называется квадратом.


Свойства квадрата

Квадрату имеет все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника.


Площадь квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=а2

Трапеция

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны называется трапецией. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями (AD и  ВС), а две другие — боковыми сторонами (АВ и СD).

Трапеция, боковые стороны которой равны (АВ=СD), называется равнобедренной.

У равнобедренной трапеции углы при основании равны: A=D, B=C.

Диагонали равнобедренной трапеции равны: АС=BD.

Трапеция, у которой есть прямой угол называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции равна их полусумме: MN=(a+b):2.

Средняя линия трапеции делит высоту трапеции на два равных отрезка.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: S =(a+b):2*h.


УПРАЖНЕНИЯ

1. а) Любой ли параллелограмм является ромбом:
1) Да;    2) Нет;     3) зависит от длин его сторон;   4) зависит от величин его углов.
    б) Любой ли параллелограмм является прямоугольником:
1) Да;    2) Нет;     3) зависит от длин его сторон;   4) зависит от величин его углов.
Решение:
а)зависит от длин его сторон.
Ответ: 3.



2. Является ли четырехугольник параллелограммом:

Решение:
а) В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. должно быть АО=ОС и ВО=OD, но ВО не равно OD ( 3 не равно 4).
Ответ: не является.



3. Найдите площадь закрашенной голубым цветом фигуры:

Решение:
а) Площадь прямоугольника ABCD равна 12*16=192.
Площадь квадрата KLMN равна 4*4=16.
Площадь фигуры, закрашенной голубым цветом равна 192-16=176.
Ответ: 176 кв.ед.



4. а) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 160°. Найдите все углы параллелограмма.
    б) Сумма противоположных углов параллелограмма равна 20°. Найдите все углы параллелограмма.
Решение:
а) 

∠A+∠C=160°, т.к. противоположные углы параллелограмма равны, то ∠A=∠C=80°.
∠A+∠В =180° — по свойствам параллелограмма, тогда ∠В=180°-80°=100°.

Т.к. противоположные углы параллелограмма равны, то  ∠В=D=100°.

Ответ: 80°, 100°, 80°, 100°.




5. а) Периметр ромба равен 24 см, а один из углов равен 120°. Найдите большую диагональ ромба.

    б) Один из углов ромба равен 60°. Найдите периметр ромба, если его меньшая диагональ равна 4 см.

Решение:
а)

1) У ромба все стороны равны, тогда АВ=Р:4=24:4=6 см.

2) Пусть ∠A=120°, тогда большая диагональ ромба BD.

BD=BO+OD, т.к. диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

3) ∠ВAО=120°: 2=60°, т. к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4) Рассмотри треугольник АВО, он прямоугольный, т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

5) Найдем ВО:

ВО=АВ*sin ∠ВAО;


6.  а) Докажите, что биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD взаимно перпендикулярны.
     б) Докажите, что биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD параллельны.
Решение:
а)

Доказательство:

1) ∠DAК=∠ВКA как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АК.

2) ∠ВAК=∠КAD, т.к. АК — биссектриса угла BAD.

3) Следовательно, ∠ВAК=∠ВКA, тогда треугольник АВК — равнобедренный.

4) Биссектриса ВО в равнобедренном треугольнике АВК является и высотой, т.е. ВО перпендикулярно АК, а следовательно ВМ перпендикулярно АК.

Что и требовалось доказать.



7. а) Диагональ DB параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне АВ. сosA=3/5. Сторона AD=20 см. Найдите площадь параллелограмма.
   б) Диагональ АС параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне СD. sin CAD=2/3. Сторона AD=15 см. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:

а)

Площадь параллелограмма может быть вычислена по формуле S=BD*AB.

1) Найдем АВ:

cos A=AB:AD, AB=AD*cos A=20*3/5=12 см.

2) Найдем BD:

По теореме Пифагора: BD2=AD2-AB2=400-144=256, BD=16 см.

3) Найдем площадь:

S=16*12=192 см2

Ответ: 192 см2



8. а) В равнобедренной трапеции с основаниями 10 см и 6 см диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите площадь трапеции.

    б) Площадь  равнобедренной трапеции равна 54 см2. Средняя линия трапеции равна 9 см. Диагонали перпендикулярны боковым сторонам. Найдите основания трапеции.

Решение:
а) 

1) Треугольник ACD прямоугольный. Проведем к гипотенузе этого треугольника высоту СН.

HD=(AD-BC):2=(10-6):2=2 см, т.к. ABCD — равнобедренная трапеция.

2)CH2=АН*HD=10*2=20, 
2)

9. а) АМ и DM — биссектрисы параллелограмма ABCD. М лежит на стороне ВС параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если АМ=4 см, DM=3 см.
    б) BМ и CM — биссектрисы параллелограмма ABCD. М лежит на стороне AD параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если BМ=6 см, CM=4 см.
Решение:
а) 

1) Найдем угол AMD:

∠А+∠D=180° как углы при соседних вершинах.  ∠МАD+∠ADM=(∠А+∠D):2=90°, т.к. АМ и DM — биссектрисы углов А и D.

Тогда ∠AMD=180-(∠МАD+∠ADM)=180-90=90°.

2) Треугольник AMD — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора найдем AD:

AD2=AM2+MD2=16+9=25, AD=5 см.

3) Найдем высоту параллелограмма.

МН — высота в прямоугольном треугольнике, а также и высота параллелограмма.

SAMD = AM*MD:2=4*3:2=6 см.

SAMD = MH*AD:2; 6=MH*5:2; MH=2,4 см

4) Найдем площадь параллелограмма:

S=MH*AD=2,4*5=12 см2.

Ответ: 12 см2.



10. а) В трапеции ABCD проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает боковые стороны трапеции в точках E и F. Найти площадь трапеции AEFD, если площадь трапеции EBCF равна 20 см2 и ВС=4 см, EF=8 см, AD=16 см.

     б) В трапеции ABCD проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает боковые стороны трапеции в точках M и N. Найти площадь трапеции MBCN, если площадь трапеции  AMND равна 48 см2 и ВС=4 см, MN=6 см, AD=9 см.

Решение:
а) 

1) Трапеции AEFD и EBCF подобны:

1. ∠1=∠2, ∠3=∠4 как соответственные углы при параллельных прямых EF и AD.

2. ∠5=∠6, ∠7=∠8 как соответственные углы при параллельных прямых EF и ВС.

2) Найдем коэффициент подобия:

k=EF:BC=8:4=2.

3) Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.
SAEFD = SEDCF *k2= 20*4=80 см2.

Ответ: 80 см2.



11. а) В параллелограмме ABCD отрезок CF пересекает диагональ BD в точке О (F лежит на стороне АD). Найдите площадь параллелограмма, если площади треугольников ODF и CDO раны 12 см2 и 20 см2 соответственно.

     б) В параллелограмме ABCD отрезок ВF пересекает диагональ АС в точке О (F лежит на стороне АD). Найдите площадь параллелограмма, если площади треугольников OFA и OBA раны 12 см2 и 8 см2 соответственно.

Решение:
а)

1) Проведем к CF  высоту DH.

Рассмотрим площади треугольников FOD и OCD:

SODF = DH*OE:2; 12= DH*OE:2;  DH*OF=24. (1)
SCDO = DH*OC:2; 20 = DH*OC:2; DH*OC=40. (2)

Разделим выражение (2) на (1): OC:OF=40:24, OC:OF=5:3.

2) Треугольники BOC и FOD подобны по двум углам:

1.  ∠FOD=∠BOC как вертикальные углы;

2. ∠СFD=∠FCB как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей FC.

3) Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.

SBOC = SFOD*k2=12*(5/3)2=100/3 см2.

4) Найдем площадь треугольника BCD:

SBCD= SBCO + SOCD=100/3+20=53 1/3 см2.

5) Найдем площадь параллелограмма:

SABCD=2*SBCD=106 2/3 см2.

Ответ: 106 2/3 см2.

12. а) Средняя линия трапеции равна 5 см, диагонали трапеции равны 14 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

     б) Средняя линия трапеции равна 10 см, диагонали трапеции равны 14 см и 10 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:
а)
Дано: ABCD — трапеция; 

АС=14 см;


BD=8 см;


MN — средняя линия; MN=5 см.


Найти: S трапеции. 

1) AD+BC=2*MN=2*5=10 см.

2) AB+CD=BC+AD=10 cм.

3) Проведем прямую СЕ параллельно прямой BD. E — точка пересечения прямых AD и CE. 

DBCE — параллелограмм, т.к. две пары противолежащих сторон параллельны.

DE=BC и BD=CE=8 см, т.к. противолежащие стороны параллелограмма равны.

АЕ=AD+DE=AD+BC=10 см.

4) Найдем площадь треугольника АСЕ по формуле Герона:

р=(АС+СЕ+АЕ):2=(14+8+10):2=16 см.

5) Найдем площадь трапеции:

Треугольники ABC и CED имеют одинаковую площадь, т.к. их площади равны половине произведения высоты трапеции на равные стороны ВС и DE.

Тогда площадь трапеции равна площади треугольника АСЕ:



ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ


1. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это:
а) квадрат; б) ромб; в) трапеция; г) прямоугольник; д) параллелограмм.

2. Является ли четырехугольник параллелограммом, если одна пара его противоположных сторон равна, а другая параллельна?

3. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AB и CD сумма углов А, В, С равна 340°. Найдите все углы трапеции.

4. В параллелограмме ABCD угол А равен 60°, сторона ВС равна 10 см, высота  СН проведена из вершины С к стороне AD и АН=14 см. Найдите периметр параллелограмма.

5. Диагонали ромба относятся как 2:5. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 10 см.

6. Площадь прямоугольника равна 54 см2. Найдите площадь четырехугольника вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

7. В параллелограмме ABCD к сторонам BC и DC проведены  высоты из точки А, угол между высотами равен 45° и одна из высот делит сторону DC на отрезки 3 см и 4 см, считая от вершины С. Найдите площадь параллелограмма.

8.  Найдите среднюю линию трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны и равны 12 см и 16 см.

9. Может ли четырехугольник с противоположными наборами сторон a и b,  c и d являться трапецией, если да, то найти ее площадь:
а) a=5 см, b=4 см, c=6 см, d=3 см;      б) a= 3 см, b=4 см, c=5 см, d=3 см.

10. Площадь трапеции ABCD равна 100 см2. Из середины стороны АВ к стороне CD проведен перпендикуляр, который равен 16 см. Найдите боковую сторону CD.




ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ

Формула параллелограмма — Что такое формула параллелограмма? Примеры

Параллелограмм – это двумерная фигура. Он имеет четыре стороны, у которых две пары противоположных сторон параллельны. Противоположные стороны параллелограмма равны по длине и противолежащие углы равны по размеру, а сумма смежных углов параллелограмма равна 180 градусам. Прежде чем перейти к формуле параллелограмма, давайте рассмотрим ее свойства.

Свойства параллелограмма

Ниже перечислены несколько важных свойств параллелограмма:

  • Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны.
  • Внутренние противоположные углы равны.
  • Последовательные углы являются дополнительными.
  • В случае, если градусная мера любого из углов является прямым, то и все остальные углы будут прямыми.
  • Две диагонали делят друг друга пополам.
  • Каждая диагональ делит параллелограмм пополам на два равных треугольника
  • Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей, что известно как закон параллелограмма.

Что такое формула параллелограмма?

Рассмотрим параллелограмм ABCD, как показано ниже. Давайте разберемся с формулами параллелограмма.

У нас есть,           

  • АБ || компакт-диск, переменный ток || БД                     
  • AB = CD = b               
  • до нашей эры = AD = a               
  • h = высота параллелограмма
  • DB = d\(_1\), AC = d\(_2\)  — двуугольники параллелограмма

Площадь параллелограмма Формула

Площадь параллелограмма – это область или поверхность, занимаемая двумерной плоскостью. Давайте посмотрим на формулу параллелограмма для вычисления площади.

Формула площади параллелограмма с использованием основания и высоты

  • Формула площади параллелограмма = Основание × Высота
  • Площадь параллелограмма ABCD = b × h

Площадь формулы параллелограмма без высоты

  • Если высота параллелограмма не указана, для нахождения площади можно использовать тригонометрию.
  • Формула площади параллелограмма = a b sin A = b a sin B

Площадь параллелограмма с использованием диагоналей

Площадь любого параллелограмма также можно вычислить, используя длины его диагоналей.Предположим, диагонали d\(_1\) и d\(_2\) пересекают друг друга под углом x, тогда площадь параллелограмма определяется как: 

  • Площадь формулы параллелограмма = ½ ×\({d_1} × {d_1} sin (x)\)
  • Площадь параллелограмма ABCD = ½ × AC × BD sin (x)

Периметр параллелограмма Формула

 Периметр параллелограмма – это общее расстояние от границ параллелограмма. Для вычисления периметра параллелограмма необходимо знать его длину и ширину.Пусть стороны параллелограмма равны а и b. Имея в виду свойство параллелограмма, т. Е. Противоположные стороны параллельны и конгруэнтны. Периметр параллелограмма равен:

  • Периметр = a + b + c + d (когда a, b, c, d представляют 4 стороны параллелограмма)
  • Поскольку сторона AB = CD = b, сторона BC = AD = a
  • Периметр параллелограмма = 2 (a+b)

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых сигналов

Занимаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия.С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Забронируйте бесплатный пробный урок

Пример формулы параллелограмма

Пример 1:  Используя формулу параллелограмма, найдите площадь параллелограмма с основанием 6 см и высотой 8 см.

Решение:

Дано:
Основание, b = 6 см
Высота, h = 8 см
Мы знаем, что, используя формулу параллелограмма
Формула площади параллелограмма = b × h квадратных единиц
= 6 × 8 = 48 кв. см

Ответ: Следовательно, площадь параллелограмма = 48 см 2 .

Пример 2:  Используя формулу параллелограмма, найдите периметр параллелограмма со сторонами 5 м и 7 м.

Решение:

Дано:
а = 5 м
б = 7 м
Мы это знаем,
Периметр параллелограмма = 2(a + b) единиц
= 2(5 + 7)
= 24 м

Ответ: Таким образом, периметр параллелограмма равен 24 м.

Пример 3: Площадь игровой площадки в форме параллелограмма составляет 25000 в 90 123 2 , с одной стороной 250 дюймов. Найдите соответствующую высоту, используя формулу площади параллелограмма.

Решение:
Площадь детской площадки = 25000 в  2  
Сторона детской площадки = 250 в 90 115 Используя формулу Площадь параллелограмма = b × h квадратных единиц
Соответствующая высота = 25000/250 = 100 в

Ответ: Соответствующая высота игровой площадки составляет 100 дюймов.

Часто задаваемые вопросы о формуле параллелограмма

Как рассчитать площадь с помощью формулы параллелограмма?

Если даны основание и высота (высота) параллелограмма, то площадь можно выразить как произведение основания и высоты параллелограмма.
А = чч
A = основание × высота (единицы 2 )

Что такое формула параллелограмма для расчета периметра?

Чтобы вычислить периметр параллелограмма, мы используем общую формулу параллелограмма, указанную ниже:
Периметр параллелограмма = 2 (a+b) единиц

Что такое «h» в формуле параллелограмма для площади?

Формула площади параллелограмма задается как A = bh квадратных единиц.Здесь «h» представляет собой высоту (высоту) параллелограмма.

Что такое «B» в формуле параллелограмма для площади?

Формула площади параллелограмма определяется как A = B × H квадратных единиц. Здесь «В» представляет собой основание параллелограмма.

Как найти длину стороны параллелограмма

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Свойства параллелограмма — Задача 2

Напомним, что параллелограмм имеет две пары последовательных сторон. Отсюда можно найти периметр параллелограмма, некоторые из сторон которого заданы через переменную.Сначала найдите переменную, установив заданную длину стороны равной выражению для противоположной стороны. Затем подставьте это значение в выражение для другой стороны, чтобы найти ее длину. Помните, что противоположные стороны равны. Также помните, что периметр многоугольника равен сумме длин его сторон. Итак, сложите значение каждой стороны, чтобы найти периметр многоугольника.

Одна из ключевых вещей в геометрии — смотреть на картинку и не принимать ничего, кроме того, что тебе дано.Так что, хотя это может и не выглядеть как идеальный параллелограмм, потому что я не великий художник, мы можем предположить, что у нас есть две пары параллельных сторон, и нас просят найти заглавную букву P, которая является вашим периметром.

Итак, чтобы сделать это, нам нужно знать некоторую информацию о параллелограммах. Первое, что нам поможет, это то, что мы знаем, что в параллелограмме противоположные стороны всегда конгруэнтны. Итак, что я могу сделать, поскольку я не знаю, что такое х, так это сказать, что 20 равно х плюс 3, и я знаю, что 2х будет вот здесь.

Почему я думаю обо всех 4 сторонах? Поскольку нас просят найти периметр, а это значит, что мне нужно будет просуммировать 4 стороны моего параллелограмма. Итак, если я знаю, что такое x, я могу подставить здесь и узнать, каков мой общий периметр.

Итак, давайте напишем уравнение, в котором 20 равно x плюс 3, так как противоположные стороны параллелограмма равны. Ну, это довольно простое уравнение для решения. Мы говорим, что х должно быть 17. Так как х равно 17, это делает эту сторону 2 умноженной на 17, поэтому я думаю, что я мог бы сделать, это написать, так как у меня здесь немного больше места, это 2 умножить на 17, что равно до 34.

Итак, чтобы как-то подчистить это, я собираюсь перерисовать свой параллелограмм немного меньше здесь, и мы видим, что это 20, мы знаем, что это 20. Противоположные стороны конгруэнтны, что означает, что эта сторона равна 20. Мы знаем что эта сторона равна 34, и поскольку противоположные стороны в параллелограмме, поэтому я, вероятно, должен отметить это как параллельное, 2 пары параллельных сторон. Мы знаем, что эта сторона должна быть 34.

Таким образом, сумма этих чисел, мы видим, что 20 плюс 20 равно 40, плюс 34 и 34 равно 68, поэтому наш периметр равен 60 плюс 48, что равно 108, и это не так. Не похоже, что у нас здесь есть единицы измерения, поэтому я просто напишу, что P равно 108 единицам.

Здесь важно помнить, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Свойства параллелограммов — Уроки Византа

Самый широкий термин, который мы использовали для описания любой формы, — «многоугольник». Когда мы
обсуждали четырехугольники
в предыдущем разделе, мы, по сути, только что указали, что это многоугольники с четырьмя
вершинами и четырьмя сторонами. Тем не менее, в этом разделе мы подробнее рассмотрим
и обсудим особый тип четырехугольника: параллелограмм .Однако, прежде чем мы это сделаем,
давайте рассмотрим некоторые определения, которые помогут нам описать различные части четырехугольников.

Четырехсторонняя терминология

Поскольку весь этот раздел посвящен изучению четырехугольников, мы воспользуемся
некоторой терминологией, которая поможет нам описать конкретные пары прямых, углов и
вершин четырехугольников. Давайте сейчас изучим эти термины.

Последовательные углы

Два угла, вершины которых являются концами одной и той же стороны, называются последовательными
углами
.

?Q и ?R являются последовательными углами, поскольку Q и R являются конечными точками одной и той же стороны.

Противоположные углы

Два противоположных угла называются противоположными углами .

?Q и ?S — противоположные углы, потому что они не являются концами общей стороны.

Стороны подряд

Две стороны четырехугольника, которые пересекаются, называются последовательными сторонами .

QR и RS являются последовательными сторонами, поскольку они пересекаются в точке R.

Противоположные стороны

Две стороны, которые не являются последовательными, называются противоположными сторонами .

QR и TS являются противоположными сторонами четырехугольника, потому что они не пересекаются.

Теперь, когда мы понимаем, что означают эти термины, мы готовы начать наш урок
о параллелограммах.

Свойства параллелограммов: стороны и углы

Параллелограмм — это тип четырехугольника, у которого пары противоположных сторон параллельны.

Четырехугольник ABCD является параллелограммом, потому что AB ? DC и AD ? г. до н.э.

Хотя определяющими характеристиками параллелограмма являются пары параллельных
противоположных сторон, есть и другие способы определить, является ли четырехугольник
параллелограммом.Мы будем использовать эти свойства в наших двухколоночных геометрических доказательствах
, чтобы получить полезную информацию.

Если четырехугольник является параллелограммом, то.

(1) его противоположные стороны конгруэнтны,

(2) его противоположные углы равны, и

(2) его последовательные углы являются дополнительными.

Еще одно важное свойство параллелограмма, на которое стоит обратить внимание, заключается в том, что если один угол
параллелограмма прямой, то и все они прямые.Почему это свойство
верно? Давайте внимательно разберем эту ситуацию. Рассмотрим рисунок ниже.

Учитывая, что ?J — прямой угол, мы также можем определить, что ?L
— прямой угол, поскольку противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Вместе
сумма этих углов равна 180 , потому что

Мы также знаем, что остальные углы должны быть равны, потому что они также являются противоположными
углам.По теореме о сумме внутренних углов многоугольника мы знаем, что все четырехугольники
имеют угловые меры, сумма которых равна 360 . С ? J ? J и
? L Сумма до 180 180 , мы знаем, что сумма ? K
и ? M также будет 180 :

Поскольку ?K и ?M конгруэнтны, мы можем определить их меры
с одной и той же переменной, x .Итак, у нас есть

Следовательно, мы знаем, что ?K и ?M оба являются прямыми углами.
Наша последняя иллюстрация показана ниже.

Давайте поработаем над парой упражнений, чтобы попрактиковаться в использовании свойств стороны и угла
параллелограмма.

Упражнение 1

Учитывая, что QRST является параллелограммом, найдите значения x и y
на диаграмме ниже.

Решение:

Изучив диаграмму, мы понимаем, что сначала будет проще решить для x
, потому что y используется в том же выражении, что и x

18 9026) , но x сам по себе находится в сегменте QR .
Поскольку противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны, мы можем положить величины
равными друг другу и найти x:

Теперь, когда мы определили, что значение x равно 7 ,
, мы можем использовать его для подстановки в выражение, данное в ?R . Мы знаем, что
?R и ?T конгруэнтны, поэтому имеем

Подставляем х на 7 и получаем

Итак, мы определили, что x=7 и y=8 .

Упражнение 2

Учитывая, что EDYF является параллелограммом, определите значения x и y .

Решение:

Для решения этой задачи нам потребуется использовать тот факт, что последовательные углы
параллелограмма являются дополнительными. Единственный угол, который мы можем вычислить изначально
, — это угол в вершине Y , потому что все, что для этого требуется, — это сложение
углов. У нас есть

Зная, что ? Y ? У имеет меру 115 115 будет позволить нам
решить на x и y , поскольку они оба найдены в углах
подряд до ? Y . Давайте сначала найдем и . У нас есть

Все, что осталось решить, это x . Мы будем использовать тот же метод
, который мы использовали при решении для y :

Итак, у нас есть x=10 и y=13 .

Стороны и углы параллелограмма — не единственные их уникальные характеристики.
Давайте узнаем еще некоторые определяющие свойства параллелограммов.

Свойства параллелограммов: диагонали

Когда мы говорим о диагоналях параллелограмма, мы говорим о прямых
, которые можно провести из вершин, не соединенных отрезками. Каждый параллелограмм
будет иметь только две диагонали. Иллюстрация диагоналей параллелограмма
показана ниже.

У нас есть два важных свойства, которые касаются диагоналей параллелограмма.

Если четырехугольник является параллелограммом, то.

(1) его диагонали делят друг друга пополам, и

(2) Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Отрезки AE и CE конгруэнтны друг другу, потому что диагонали пересекаются в точке
E, которая делит их пополам.Отрезки BE и DE также конгруэнтны.

Две диагонали делят параллелограмм на конгруэнтные треугольники.

Воспользуемся этими свойствами для решения следующих упражнений.

Упражнение 3

Учитывая, что ABCD является параллелограммом, найдите значение x .

Решение:

Мы знаем, что диагонали параллелограмма делят друг друга пополам. Это означает, что
точка E разбивает каждую биссектрису на два эквивалентных сегмента.
Таким образом, мы знаем, что DE и BE конгруэнтны, поэтому мы имеем

Итак, значение x равно 3 .

Упражнение 4

Учитывая, что FGHI является параллелограммом, найдите значения x и y .

Давайте сначала попробуем найти x . Нам дано, что ?FHI
— прямой угол, поэтому его мера равна 90° . Мы можем сделать вывод, что ?HFG также является прямым углом по теореме
о альтернативных внутренних углах.

Если мы посмотрим на ?HIJ , мы заметим, что два его угла конгруэнтны,
так что это равнобедренный треугольник. Это означает, что ?HIJ имеет меру
из 9x , поскольку ?IJH имеет эту меру.

Мы можем использовать тот факт, что треугольник имеет прямой угол и что в нем два конгруэнтных угла
, чтобы найти x . Мы будем использовать теорему
о сумме углов треугольника и углов
, чтобы показать, что сумма углов должна составлять 180° .

Теперь давайте найдем y .Мы знаем, что отрезки IJ
и GJ конгруэнтны, потому что они делятся пополам противоположной диагональю.
Следовательно, мы можем приравнять их друг к другу.


Поскольку мы можем сказать, что IJ и GJ
конгруэнтны, мы имеем

Итак, наши ответы: x=5 и y=4 .

фактов о параллелограмме для детей

Параллелограмм — это многоугольник с четырьмя сторонами (четырехугольник). Он имеет две пары параллельных сторон (стороны, которые никогда не пересекаются) и четыре ребра. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину (равнодлинны). Слово «параллелограмм» происходит от греческого слова «parallelogrammon» (, ограниченное параллельными линиями ). Прямоугольники, ромбы и квадраты являются параллелограммами.

Как показано на рисунке справа, поскольку треугольники ABE и CDE равны (имеют одинаковую форму и размер),

Во всех параллелограммах противоположные углы равны друг другу.Углы, не противоположные в параллелограмме, в сумме дают 180 градусов.

Характеристики

Простой (несамопересекающийся) четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда верно любое из следующих утверждений:

  • Две пары противоположных сторон имеют одинаковую длину
  • Две пары противоположных углов равны по мере
  • Диагонали делят друг друга пополам
  • Одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине
  • Смежные углы являются дополнительными
  • Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника
  • Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. (Это закон параллелограмма)
  • Имеет вращательную симметрию 2-го порядка
  • Имеет две линии симметрии

Свойства

  1. Противоположные стороны параллелограмма параллельны.
  2. Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит площадь пополам.
  3. Параллелограммы — это четырехугольники.

хороший факт параллелограмм параллелограмм Параллелограмм это многоугольник с четырьмя сторонами (четырехугольник). Он имеет две пары параллельных сторон (стороны, которые никогда не пересекаются) и четыре ребра.Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину (равнодлинны). Слово «параллелограмм» происходит от греческого слова «parallelogrammon» (ограниченный параллельными линиями).[1] Прямоугольники, ромбы и квадраты являются параллелограммами.

Как показано на рисунке справа, поскольку треугольники ABE и CDE конгруэнтны (имеют одинаковую форму и размер),

{\displaystyle AE=CE} {\displaystyle AE=CE} {\displaystyle BE=DE. } {\displaystyle BE=DE.} Во всех параллелограммах противоположные углы равны друг другу.Углы, не противоположные в параллелограмме, в сумме дают 180 градусов.

Содержание 1 Характеристики 2 Свойства 3 Ссылки 4 Другие веб-сайты Характеристики Простой (несамопересекающийся) четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда верно любое из следующих утверждений:[2][3]

Две пары противоположных сторон равны по длине Две пары противоположных углов равны по размеру Диагонали делят друг друга пополам Одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине Смежные углы дополнительные Каждая диагональ делит четырехугольник на два равных треугольника Сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей.(Это закон параллелограмма) Он имеет вращательную симметрию порядка 2 Он имеет две линии симметрии Свойства Противоположные стороны параллелограмма параллельны. Любая прямая, проходящая через середину параллелограмма, делит площадь пополам. Параллелограммы — это четырехугольники. Ссылки

 "Онлайн- этимологический словарь". etymonline.com. Проверено 10 января 2011 г.
Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смельцер, Методы евклидовой геометрии, Математическая ассоциация Америки, 2010 г., стр. 51-52.
Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников.Исследование определения», издательство Information Age Publishing, 2008 г., стр. 22.
 

Другие веб-сайты Викискладе есть медиафайлы, связанные с параллелограммами. Параллелограмм и ромб — анимированный курс (конструкция, окружность, площадь) Интерактивный параллелограмм — стороны, углы и наклон

 Эту короткую статью о математике можно сделать длиннее. Вы можете помочь Википедии, дополнив ее.
 

это параллелограмм хороший факт параллелограмм в нем параллелен

Категория: Полигоны Меню навигации Вы не вошли в систему Обсуждение Вклады Зарегистрироваться Войти PageTalk ЧитатьИзменитьИзменить источникПросмотреть историюПоиск Поиск Википедия Главная страница Простой старт Простой разговор Новые изменения Показать любую страницу Помощь Связаться с нами Дать в Википедию О Википедии Инструменты Какие здесь ссылки Связанные изменения Загрузить файл Специальные страницы Постоянная ссылка Информация о странице Цитировать эту страницу Элемент Викиданных Песочница Печать/экспорт Сделать книгу Скачать в формате PDF Страница для печати В других проектах Wikimedia Commons

На других языках Deutsch English Español Français 한국어 Italiano Tagalog Tiếng Việt 中文 Еще 79 Изменить ссылки Последний раз эта страница была изменена 12 января 2021 г. , в 14:46.Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike и GFDL; могут применяться дополнительные условия. Подробнее см. в Условиях использования.

Площадь параллелограмма — веб-формулы

 

b: длина основания
h: высота параллелограмма
A: Площадь

Площадь параллелограмма определяется как:
A = b ∙ h

 

Пример 1:

Найдите площадь параллелограмма с основанием 24 м и высотой 17 м.
Решение :

 

А = чч

А = 24 * 17

А = 408 м 2

 

 

Пример 2: Основание параллелограмма 15 см, а высота 10 см. Каковы площадь и периметр этого параллелограмма?

Решение : Мы знаем, что этот район

А = чч
А = 15*10
А = 150 см 2

Как показано ниже, у нас нет информации о левой и правой сторонах.

 

Таким образом, мы не можем определить периметр.

 

 

Пример 3: Основание параллелограмма равно 3x, высота равна x, а другая сторона параллелограмма (не основание) равна 2x. Если площадь этого параллелограмма равна 15, каков его периметр?

 

Решение :

 

Обратите внимание, что на диаграмме мы знаем достаточно информации, чтобы сформулировать уравнение площади параллелограмма.

А = bh = (3x)x = 3x 2
А = 15

3x 2 = 15
х 2 = 5

х = √5

Поскольку x = √5 , мы знаем высоту h = √5 , основание b = 3x = x√5 и другую сторону 2x = 2√5 .

Периметр – это сумма четырех сторон, а именно двух оснований и двух других сторон.

Периметр = 2 * (3 * √5) + 2 * (2 * √5 ) = 10√5

 

 

Пример 4: Параллелограмм имеет длину 3 ярда. Высота, измеренная перпендикулярно этой стороне, составляет 1,5 ярда. Что такое площадь?

Решение : Поскольку они перпендикулярны, в формуле можно использовать длину стороны и высоту.

А = 3 * 1,5

A = 4,5 квадратных ярда.

 

Пример 5: Определите площадь параллелограмма высотой 5 м и длиной основания 9 м.

А = b ∙ h = 9 ∙ 5 = 45 м 2

6 Свойства параллелограммов, которые помогут вам их идентифицировать

Параллелограмм — это всего лишь один тип многоугольника.Это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны друг другу. Чтобы определить, является ли четырехугольник, с которым вы работаете, параллелограммом, вам необходимо знать следующие 6 свойств параллелограмма.

Противоположные стороны параллельны

Параллельные линии — это линии, которые всегда находятся на одинаковом расстоянии друг от друга и никогда не соприкасаются. Если бы стороны параллелограмма были продолжающимися линиями, противоположные стороны никогда не соприкасались бы. Эти линии останутся на одном и том же расстоянии друг от друга, как бы далеко они ни простирались.Если у вашего четырехугольника противоположные стороны параллельны, то вы можете получить параллелограмм.

Противоположные стороны конгруэнтны

В геометрии конгруэнтность означает, что две вещи идентичны. Если бы вы наложили фигуры друг на друга, они бы точно совпадали. Это верно для сторон параллелограмма. Каждая из противоположных сторон одинакова по длине. Если бы вы разделили фигуру на части и поместили противоположные стороны друг на друга, вы бы обнаружили, что они идеально выровнены.

Противоположные углы равны

Углы, противоположные друг другу, также равны. Чтобы узнать, является ли ваш четырехугольник параллелограммом, вы можете взять транспортир и измерить каждый угол. Углы, противоположные друг другу, будут иметь одинаковую величину. Обычно параллелограмм имеет два острых и два тупых угла. Следовательно, острые углы должны иметь одинаковую величину, а тупые углы также должны иметь одинаковую величину.

Последовательные углы являются дополнительными

Чтобы найти еще одно свойство параллелограмма, проведите воображаемую линию через фигуру, чтобы разрезать ее пополам. Затем посмотрите на последовательные углы (или те, которые находятся рядом друг с другом). Если фигуры являются дополнительными, то фигура может быть параллелограммом.

Дополнительные углы — это два угла, которые в сумме составляют 180 градусов. Предположим, что два последовательных угла имеют измерения 35 градусов и 145 градусов.Если мы сложим их вместе (35 + 145), сумма составит 180 градусов. Следовательно, у нас есть дополнительные углы.

Диагонали делят друг друга пополам

Теперь представьте, что вы проводите воображаемую линию из одного угла в противоположный ему конгруэнтный угол. Эта линия должна создать два конгруэнтных треугольника внутри фигуры.

Отсюда проведите еще одну воображаемую линию от дополнительного угла к противоположному, конгруэнтному углу. Эти две воображаемые линии должны пересекать друг друга пополам.(Разделить пополам означает разрезать что-то на две равные части.) Если это так в случае с диагональными линиями, то (наряду с предыдущими пятью свойствами) у вас есть параллелограмм.

Если один угол прямой…

Последнее свойство имеет значение, только если в вашем четырехугольнике есть прямой угол. Если у вас есть один угол, который является прямым углом, то все остальные углы также должны быть прямыми углами. Почему? Потому что мы знаем, что противоположные углы равны. Мы также знаем, что последовательные углы являются дополнительными, и 90 + 90 = 180. Следовательно, все четыре угла будут иметь измерение 90 градусов.

Подведем итоги. Вы будете знать, что ваш четырехугольник является параллелограммом, если он обладает следующими свойствами параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллельны.

2. Противоположные стороны равны.

3. Противоположные углы равны.

4. Последовательные углы дополнительные (в сумме до 180 градусов).

5. Диагонали делят друг друга пополам.

6. И все четыре угла равны 90 градусов, ЕСЛИ один угол равен 90 градусов.

Ищите эти 6 свойств параллелограммов, когда вы определяете, какой у вас тип многоугольника.

  • Джейми окончил Университет имени Бригама Янга в Айдахо по специальности «Английское образование». Она провела несколько лет, обучая и репетиторству студентов в начальной, средней школе и колледже.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск