Свойства круг: Все свойства окружности

Содержание

Основные формулы и свойства по теме «Окружность и круг» 9 кл. / Геометрия / Архив / anaZana

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки.
Эта точка (О) называется центром окружности.

Расстояние (r) от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности.
Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r).

 

Касательная — прямая (а), проходящая через точку (А) окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется.

При этом данная точка (А) окружности называется точкой касания.

 

 

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

 

 

 

 

 

 


Пропорциональные линии в круге

Если две хорды АВ и CD пересекаются внутри круга в точке Е, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, т. е.

AЕ·ЕВ = DE·EC

 



Если из точки, взятой вне окружности, проведены две секущие

АС и AC1, то справедливо равенство

AB·AC=АВ1·АС1.

 

 

 


Теорема о квадрате касательной


Если из точки, лежащей вне круга, проведены секущая MB и касательная МС, то справедливо равенство

МC 2 = МВ·МА

 

 

 

 


Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, проходит через ее середину.

Обратно:

если диаметр проходит через середину хорды, то он ей перпендикулярен.

 

 

 

Углы в круге

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами (∠AOB).

Вписанный угол — угол, образованный двумя хордами СА и СВ, исходящими из одной точки на окружности (∠ACB).

Описанный угол — угол, образованный двумя касательными DM и DN (∠MDN).

Центральный угол имеет ту же градусную меру, что и дуга, на которую он опирается.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

 

 

 



 

 

Угол, образованный двумя хордами и опирающийся на них центральный угол связаны соотношением

 

 

 

 

 


Длина окружности

 

Длина дуги, соответствующая центральному углу в n°

 


Площадь круга

 

 


Круговой сектор

— часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Площадь кругового сектора

 

где α — градусная мера угла, R — радиус круга.

Квадрантсектор, отсекаемый радиусами, образующими угол 90°. 

 

 

 


Круговой сегмент — общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

Площадь сегмента, не равного полукругу

 

где α — градусная мера центрального угла, которая содержит дугу этого кругового сегмента,
SΔ

площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор.

Знак «−» надо брать, когда α<180°, а знак «+», α>180°.

Основание и высота сегмента

 

 

 

 

 

Круговое кольцо

                                            R, r — внешний и внутренний радиусы;
D, d — внешний и внутренний диаметры;
— средний радиус; k — ширина кольца.

 

Cталь 45 механические, технологические, физические свойства, химический состав. Сталь 45 круг стальной пруток,сталь 45 шестигранник,сталь 45 лист стальной

Справочная информация

Характеристика материала сталь 45
Марка стали сталь 45
Заменитель стали сталь 40Х, сталь 50, сталь 50Г2
Классификация стали Сталь конструкционная углеродистая качественная
ГП «Стальмаш» поставляет следующие виды металлопроката сталь 45:
круг ст 45 ГОСТ 2590-2006 круг (пруток) горячекатаный
круг ст 45 ГОСТ 7417-75 круг (пруток) калиброванный
круг ст 45 ГОСТ 14955-77 круг (пруток) со спецотделкой поверхности (серебрянка)
шестигранник ст 45 ГОСТ 2879-2006 шестигранник горячекатаный
шестигранник ст 45 ГОСТ 8560-78 шестигранник калиброванный
лист ст 45 ГОСТ 19903-74 прокат листовой горячекатаный
Применение стали 45 вал-шестерни, коленчатые и распределительные валы, шестерни, шпиндели, бандажи, цилиндры, кулачки и другие нормализованные, улучшаемые и подвергаемые поверхностной термообработке детали, от которых требуется повышенная прочность.

Химический состав в % материала сталь 45

C Si Mn Ni S P Cr Cu As
0.42 — 0.5 0.17 — 0.37 0.5 — 0.8 до   0.25
до   0.04
до   0.035 до   0.25 до   0.25 до   0.08

Температура критических точек материала сталь 45

Ac1 = 730 ,      Ac3(Acm) = 755 ,       Ar3(Arcm) = 690 ,       Ar1 = 780 ,       Mn = 350

Механические свойства при Т=20oС материала сталь 45

Сортамент Размер Напр.
sв sT d5 y KCU Термообр.
мм МПа МПа % % кДж / м2
Лист горячекатан. 80   590   18     Состояние поставки
Полоса горячекатан. 6 — 25   600
 
16 40   Состояние поставки
Поковки 100 — 300   470 245 19 42 390 Нормализация
Поковки 300 — 500   470 245 17 35 340 Нормализация
Поковки 500 — 800   470 245 15 30 340 Нормализация
    Твердость материала сталь 45   горячекатанного отожженного ,       HB 10 -1 = 170   МПа
    Твердость материала сталь 45   калиброванного нагартованного ,       HB 10 -1 = 207   МПа

Физические свойства материала сталь 45

T E 10— 5 a 10 6 l r C R 10 9
Град МПа 1/Град Вт/(м·град) кг/м3 Дж/(кг·град) Ом·м
20 2     7826    
100 2. 01 11.9 48 7799 473  
200 1.93 12.7 47 7769 494  
300 1.9 13.4 44 7735 515  
400 1.72 14.1 41 7698 536  
500   14. 6 39 7662 583  
600   14.9 36 7625 578  
700   15.2 31 7587 611  
800     27 7595 720  
900     26   708  
T E 10— 5 a 10 6 l r C R 10 9

Технологические свойства материала сталь 45

  Свариваемость: трудносвариваемая.
  Флокеночувствительность: малочувствительна.
  Склонность к отпускной хрупкости: не склонна.

Зарубежные аналоги материала сталь 45Внимание!   Указаны как точные, так и ближайшие аналоги.

США Германия Япония Франция Англия Евросоюз Италия Бельгия Испания Китай Швеция Болгария Венгрия Польша Румыния Чехия Австрия Австралия Швейцария Юж.Корея
DIN,WNr JIS AFNOR BS EN UNI NBN UNE GB SS BDS MSZ PN STAS CSN ONORM AS SNV KS
1044
1045
1045H
G10420
G10430
G10440
G10450
M1044
1. 0503
1.1191
1.1193
C45
C45E
C45R
Cf45
Ck45
Cm45
Cq45
S45C
S48C
SWRCh55K
SWRCh58K
1C45
2C45
AF65
C40E
C45
C45E
C45RR
CC45
XC42h2
XC42h2TS
XC45
XC45h2
XC48
XC48h2
060A47
080M
080M46
1449-50CS
1449-50HS
50HS
C45
C45E
1. 1191
2C45
C45
C45E
C45EC
C46
1C45
C43
C45
C45E
C45R
C46
C45
C45E
C45k
C48k
F.114
F.1140
F.1142
45
45H
ML45
SM45
ZG310-570
ZGD345-570

Обозначения:

Механические свойства :
sв — Предел кратковременной прочности , [МПа]
sT — Предел пропорциональности (предел текучести для остаточной деформации), [МПа]
d5 — Относительное удлинение при разрыве , [ % ]
y — Относительное сужение , [ % ]
KCU — Ударная вязкость , [ кДж / м2]
HB — Твердость по Бринеллю , [МПа]

Физические свойства :
T — Температура, при которой получены данные свойства , [Град]
E — Модуль упругости первого рода , [МПа]
a — Коэффициент температурного (линейного) расширения (диапазон 20o — T ) , [1/Град]
l — Коэффициент теплопроводности (теплоемкость материала) , [Вт/(м·град)]
r — Плотность материала , [кг/м3]
C — Удельная теплоемкость материала (диапазон 20o — T ), [Дж/(кг·град)]
R — Удельное электросопротивление, [Ом·м]

Свариваемость :
без ограничений — сварка производится без подогрева и без последующей термообработки
ограниченно свариваемая — сварка возможна при подогреве до 100-120 град. и последующей термообработке
трудносвариваемая — для получения качественных сварных соединений требуются дополнительные операции: подогрев до 200-300 град. при сварке, термообработка после сварки — отжиг
Марочник стали и сплавов

Конспект занятия по математике Во второй младшей группе. «Круг. Свойства круга»

Конспект занятия по математике

 Во второй младшей группе.

«Круг. Свойства круга»

Программные задачи:

 

ОБУЧАЮЩИЕ ЗАДАЧИ: познакомить с кругом и его свойствами. Освоение умения соотносить сенсорные эталоны с предметами окружающего мира. Закрепить счет до двух.

 

РАЗВИВАЮЩИЕ ЗАДАЧИ: развивать фантазию, творческие способности.

 

Материал и оборудование: заяц и медведь (игрушки), два круга разного цвета и размера для каждого ребенка.

 

Ход занятия:

 

Воспитатель: Ребята! Послушайте одну историю. Жил-был заяц Касьян. Вырастил он большой урожай овощей на огороде. Много моркови, много свеклы, много капусты, много картофеля, а перевезти не на чем. Шел он по лесу, видит – колесо лежит (из картона). Вот здорово, — думает заяц, — сделаю тележку и перевезу овощи. Стал поднимать, сдвигать с места. Не может – тяжелое. Как быть? А тут медведь идет. Стали вдвоем думать. Ничего не придумали. А что бы вы им посоветовали?

 

Дети предлагают свои варианты. Приходят к выводу, что колесо надо катить.

 

Воспитатель: Вот катят медведь и заяц колесо, видят еще одно лежит. Сколько колес? (Два).

 

Воспитатель: Покатили они свои колеса домой и стали строить тележку. Пока они строят тележку. Посмотрите. У вас лежат свои «колеса» — покатайте их. Почему они катятся? (Круглые – дети обводят пальцем по контору). Эта фигура называется круг. Посмотрите на свои круги. Чем они отличаются? (Цвет, размер). Как проверить, что они разного размера? (Положить друг на друга, наложить один на другой).

 

Физкультминутка.

 

Воспитатель: Встаньте, дети, встаньте в круг,

 

Встаньте в круг, встаньте в круг,

 

Жил на свете старый жук,

 

Старый добрый жук…

 

Какой большой круг. А как его сделать маленьким?

 

Игра «Пузырь»

 

Воспитатель: Отгадайте загадку:

 

Нет углов у меня

 

И похож на блюдце я,

 

На тарелку и на крышку,

 

На кольцо, на колесо.

 

Кто же я такой, друзья? (Круг)

 

Воспитатель: Какие предметы похожи на круг? (Блюдце, тарелка, кольцо, колесо). Если дети затрудняются, можно им прочитать еще раз загадку или показать эти предметы.

 

Воспитатель (показывает круг): Назовите эту геометрическую фигуру? (Круг).

 

Воспитатель: Отгадайте загадку:

 

Бьют его, а он не плачет,

 

Только выше, выше скачет. (Мяч)

 

Воспитатель (показывает нарисованный мяч): На какую геометрическую фигуру похож мяч? (На круг).

 

Воспитатель: С какой геометрической фигурой мы сегодня познакомились?

 

(С кругом).

 

Круг нержавеющий свойства, характеристики ✅

Круг нержавеющий: коротко о главном

  • от Администратор сайта

Круг нержавеющий – сплошной прокатный пруток круглого профиля из легированных многокомпонентных сталей. Обладает повышенной прочностью, жаростойкостью и высокими показателями эксплуатационных характеристик. Применяется в топливной, авиационной и нефтегазовой промышленности, машиностроении и строительстве, медицине и коммунальном хозяйстве.

Производство

Нержавеющий круг изготавливают методом высокотемпературной деформации (горячий прокат) и холодной калибровки, технологией ковки под давлением. Для улучшения качества и механических свойств выполняют обработку поверхности металлоизделий (очистка, шлифовка, полировка).

В качестве сырья используют стали разных марок. Для прутов, работающих в агрессивных средах, применяют коррозионно-стойкие сплавы 10Х17Н13М3Т, 10Х17Н13М2Т. Для деталей, подвергаемых термической закалке, хорошо подходят пищевые стали аустенитного класса 08Х18Н9, 08Х18Н10.

Более широкое распространение получили круги, изготовленные из конструкционной криогенной стали 12Х18Н10Т. Этот прокат необходим в производстве конструкций, работающих в среде разбавленных кислот и щелочных растворов, высоких температур (+600 °С).

Технические характеристики

Прочный нержавеющий круг выпускается с различной точностью прокатки изделий (обычная, высокая, повышенная, особо высокая) и диаметром сечения от 5,0 до 270,0 мм. Длина прутов регламентируется стандартом в зависимости от класса стали, металлопродукция изготавливается длиной в пределах 1,0-12,0 м. Отпускается прокат стержнями мерной длины (одного размера), кратной мерной (с нормируемыми припусками на каждую часть) и немерной длины (разными отрезками в пределах от 1,0 до 12,0 м). Круглые прутки диаметром менее 9,0 мм могут поставляться в мотках.

Физические свойства нержавеющего круга гарантируют стабильную работу изготовленных из него конструкций и деталей. Прутки обладают несомненными достоинствами:

  • высокая точность металлоизделий, качественная обработка поверхности;
  • жаростойкость, надежная эксплуатация в высокотемпературных условиях;
  • механическая прочность, стойкость к коррозийным разрушениям и износу;
  • хорошая пластичность, податливость разным видам обработки и сварке;
  • антибактериальные свойства, гигиеничность и санитарная безопасность.

Сферы применения

Пруты из нержавеющих сплавов востребованы во многих отраслях промышленности. Из них делают каркасные конструкции зданий и ограждений, монолитных фундаментов сооружений. Они необходимы для производства прочных крепежных изделий, деталей станочного и насосного оборудования, элементов трубопроводных магистралей и нефтяных платформ, электродвигателей, корпусов приборов и инструментов.

Металлопрокат широко применяется при изготовлении железобетонных стройматериалов (блоки, перемычки, плиты, бордюрные камни, балки, ригеля). Прутки используются для молниеотводов, конструктивных элементов опор линий передач. Гигиеничность материала способствует применению продукции в медицине, фармакологии, пищевой и легкой отрасли (специализированное оборудование, емкости).

состав, особые свойства проката, сфера применения

Главная > Статьи > Круг стальной калиброванный: состав, особые свойства проката, сфера применения

Круг стальной – распространенное изделие металлического проката, изготавливаемое в форме прута с круглым сечением. Официальное название – металлопрокат круговой стальной. Выпуск калиброванного круга контролируется ГОСТом 7417-75, регламентирующего производство изделий с диаметром круга от 3 до 100 мм. Форма выпуска изделия зависит от диаметра готового проката. Круги до 5 мм выпускаются, как правило, в мотках. Если диаметр больше 5 мм, то изделия имеют вид прутков. В зависимости от назначения конечного изделия, круг калиброванный может производиться из углеродистой, конструкционной, низколегированной, или других видов сталей. Использование в составе различных легирующих элементов, таких как никель, хром, медь позволяет придать стали большую прочность, устойчивость к окислению, снижает хрупкость изделия.

Для калиброванного круга предусматривается особая технология производства методом холодного волочения через калиброванное отверстие, позволяющая металлургам существенно улучшить физические и механические характеристики, сделать готовое изделие максимально ударопрочным и устойчивым к любому внешнему воздействию. Калиброванные элементы отличаются предельно точными геометрическими параметрами и высоким качеством поверхности. В зависимости от назначения калиброванный круг может поддаваться дополнительной обработке, в результате которой он получается матовым или шлифованным.

Круговой стальной металлопрокат применяется во многих промышленных и производственных областях, выступая как самостоятельное изделие, или в качестве заготовки для последующего производства фасонного проката и других стальных деталей.

Прутки нержавеющие, болванки круглого сечения широко используются в автомобильной, авиационной, судостроительной, деревообрабатывающей промышленностях, в дизайне и наружной рекламе. Круг калиброванный применяется для армирования железобетона: устойчивость к неблагоприятным условиям делает его незаменимым при строительстве. Его широко используют при закладке фундаментов и свай, при создании перекрытий. Если изделие изготавливается из конструкционных марок стали с низким процентным содержанием углерода и лигатуры, то оно не имеет ограничений по свариваемости. Это идеальный материал для изготовления строительных лесов, заграждений, любых видов опор и каркасов.

Круг калиброванный стальной выбирается для конструкций повышенной точности и прочности. Калиброванный круг из нержавеющей стали подойдет даже для создания декоративных элементов: ограждений балконов, лестниц, мостов.

Из кругового стального металлопроката производятся также разнообразные детали: оси, цилиндры, валы, шпиндели, пружины, рессоры и др. К таким деталям предъявляют высокие требования относительно качества поверхности и точности параметров. Поверхность стального круга ровнее, чем у гладкой арматуры или катанки, кроме того, стальной круг отличается способностью восстанавливать форму при легком сгибании, поэтому он подходит для изготовления таких деталей. Износоустойчивость и прочность калиброванного круга позволяет эксплуатировать его в условиях повышенной нагрузки и в значительном перепаде температур.

Специалисты указывают на особенности применения калиброванного проката в зависимости от его состава:

  • Круг из конструкционной углеродистой стали используется для выпуска дисков сцепления, шпинделей, прокатных валиков и иных механизмов с повышенными упругими свойствами, высокопрочных изделий (зубчатых реек и колес, плунжеров, шатунов, коленвалов для автомобилей), дисков, тяг, осей и многих других малонагруженных деталей, применяемых в машино- и автомобилестроении.

  • Круг из конструкционной легированной стали. Идеален для элементов механизмов, функционирующих на сравнительно небольших скоростях (червячные валы, составляющие подшипников качения, зубчатые колеса), для трущихся изделий, работающих в условиях постоянного износа (крестовины карданов, распредвалы, поршневые пальцы и так далее). Также данный прокат рекомендован для деталей компрессорных агрегатов и турбин.

Популярность калиброванной продукции у мелких предприятий объясняется тем, что в большинстве случаев нет необходимости подвергать его механической предварительной обработке, поскольку уже на этапе производственного выпуска он имеет отличное качество поверхности. Использование круга, таким образом, значительно сокращает финансовые затраты фирмы за счет экономии средств, идущих на процессы дополнительной обработки. Калибрование нивелирует многие серьезные изъяны на поверхности проката, что приводит к значительному увеличению срока эксплуатации приспособлений, сделанных из прокатного сырья.

Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network

(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})

{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*

{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}

{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}  

{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}

{{l10n_strings. LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}

{{article.content_lang.display}}

{{l10n_strings.AUTHOR}}  

{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}

{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}

Применение и свойства латунного круга

Латунь — твердый и недорогой металл. Его легко обрабатывать станком и он стоек к образованию коррозии. Поэтому круг латунный ЛС59-1 имеет широкую сферу применения. Его, как и круг латунный Л63, заказывают для судостроительного дела, химической промышленности, энергетики и приборостроения. Это незаменимый элемент для охлаждения двигателей, химической аппаратуры и трубопроводов. Однако заказывают данную продукцию лишь у проверенного поставщика. Например, латунный круг от МЗОЦМ можно получить на выгодных условиях. При этом он будет отличаться неизменным качеством.

Какие плюсы у латунных прутков от МЗОЦМ:

  1. незаменимый элемент множества приборов
  2. легко разрезать и обработать
  3. подходит даже для мелких деталей
  4. низкие температуры не меняют его физических и химических свойств
  5. твердая поверхность, устойчивая к механическому повреждению и другие преимущества.

Почему продукция МЗОЦМ пользуется популярностью у заказчиков

Латунь от МЗОЦМ имеет стабильный состав, разработанный для увеличения прочности на разрыв. В состав данного металла входит свинец, медь и цинк. Завод дает гарантию на высокое качество своей продукции. Многие компании постоянно сотрудничают с ним долгие годы. Он не зря поддерживается и спонсируется муниципалитетами, поскольку заслужил доверие со стороны заказчиков и инвесторов. У МЗОЦМ проверенная сырьевая база, что позволяет производить качественную продукцию по доступной цене. Кроме того, там постоянно ведутся разработки, повышающие полезные характеристики металлов.

Какие полезные свойства у латунного круга

Латунный круг от МЗОЦМ — это износостойкий и востребованный товар. Он обладает высокой теплопроводимостью и электропроводимостью. Его можно паять и фрезеровать на производстве заказчика. При этом у латунного круга низкие антифрикционные характеристики. Это дает возможность применять его в тех механизмах, где детали подвержены регулярному истиранию. А по сравнению с медью латунь еще и дешевле. Кроме того, вышедшие из употребления латунные детали идут на переплавку. Поэтому из них потом можно сделать новые профили.

Предыдущая статьяСтальная труба: основные характеристики, как выбрать, критерии выбора, функции, где применяются, прочность и долговечностьСледующая статьяСадовые теплицы: основные особенности

Круги — Свойства, Формулы, Части, Примеры

Окружность – криволинейная плоская фигура. Каждая точка на окружности равноудалена от фиксированной точки, известной как центр окружности. Это двухмерная форма, измеряемая в терминах радиуса. Слово «круг» происходит от латинского слова «circulus», означающего маленькое кольцо.

Что такое Круг?

Окружность – это двумерная фигура, образованная набором точек, находящихся на постоянном или фиксированном расстоянии (радиусе) от фиксированной точки (центра) на плоскости.Фиксированная точка называется началом или центром окружности, а фиксированное расстояние точек от начала координат называется радиусом.

Части круга

Есть много частей или компонентов круга, которые мы должны знать, чтобы понять его свойства. Круг состоит в основном из следующих частей:

Окружность: Также называется периметром круга и может быть определена как расстояние вокруг границы круга.

Радиус круга: Радиус — это расстояние от центра круга до любой точки на его границе. Круг имеет много радиусов, так как это расстояние от центра и касается границы круга в разных точках.

Диаметр: Диаметр — это прямая линия, проходящая через центр и соединяющая две точки на границе окружности. Следует отметить, что в круге может быть несколько диаметров, но они должны:

  • проходят через центр.
  • — прямые линии.
  • касаются границы круга в двух различных точках, лежащих друг напротив друга.

Хорда окружности: Хорда — это любой отрезок, касающийся окружности в двух разных точках на ее границе. Самая длинная хорда в окружности — это ее диаметр, который проходит через центр и делит ее на две равные части.

Касательная: Касательная — это линия, которая касается окружности в единственной точке и лежит вне окружности.

Секанс: Линия, пересекающая две точки на дуге/окружности окружности, называется секущей.

Дуга окружности: Дугой окружности называют кривую, то есть часть или часть ее окружности.

Отрезок окружности: Площадь, ограниченная хордой и соответствующей дугой окружности, называется отрезком. Сегменты бывают двух типов — малый сегмент и большой сегмент.

Сектор окружности: Сектор окружности определяется как площадь, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой окружности.Существует два типа секторов — второстепенный сектор и основной сектор.

Для лучшего понимания рассмотрите данное изображение, изображающее все части круга.

Свойства круга

Давайте двигаться вперед и узнать о некоторых интересных свойствах кругов, которые отличают их от других геометрических фигур. Вот список свойств круга:

  • Окружность — это замкнутая 2D-форма, не являющаяся многоугольником. У него одна изогнутая грань.
  • Две окружности можно назвать конгруэнтными, если они имеют одинаковый радиус.
  • Равные хорды всегда равноудалены от центра окружности.
  • Биссектриса хорды проходит через центр окружности.
  • При пересечении двух окружностей линия, соединяющая точки пересечения, будет перпендикулярна линии, соединяющей их центральные точки.
  • Касательные, проведенные в конечных точках диаметра, параллельны друг другу.

Круговые формулы

Давайте посмотрим список важных формул, относящихся к любому кругу.

  • Площадь круга Формула: Площадь круга относится к количеству пространства, покрытого кругом. Это полностью зависит от длины его радиуса → Площадь = πr 2 квадратных единиц.
  • Длина окружности Формула: Длина окружности — это общая длина границы окружности → Длина окружности = 2πr единиц.
  • Длина дуги Формула: Дуга – это сечение (часть) окружности. Длина дуги = θ × r. Здесь θ в радианах.
  • Площадь сектора Формула: Если сектор образует угол θ (измеряется в радианах) в центре, то площадь сектора круга = (θ × r 2 ) ÷ 2. Здесь θ равно в радианах.
  • Длина хорды Формула: Можно рассчитать, если известен угол, образуемый хордой в центре, и значение радиуса.Длина хорды = 2 r sin(θ/2). Здесь θ в радианах.
  • Площадь сегмента Формула: Сегмент окружности представляет собой область, образованную хордой и соответствующей дугой, охватываемой сегментом. Площадь сегмента = r 2 (θ − sinθ) ÷ 2. Здесь θ указано в радианах.

Похожие темы

Проверьте эти интересные статьи, связанные с кругами в математике.

Часто задаваемые вопросы о кругах

Что такое круг в геометрии?

Круг — это круглая двухмерная фигура.Это замкнутая форма с расстоянием от центра до окружности, называемым радиусом «r», и расстоянием от одной точки окружности до другой точки, проходящей через центр, называемой диаметром «d». Одним из лучших примеров круга в реальном мире является основа для пиццы.

Насколько круг двумерен?

Окружность – это замкнутая двумерная фигура, в которой множество всех точек плоскости находится на одинаковом расстоянии от центра окружности. Его реальные примеры включают плоские поверхности или изображения колес, пиццы, орбиты и т. д.

Что такое формулы кругов?

Формулы, связанные с кругами:

  • Диаметр круга ⇒ D = 2 × r единиц.
  • Окружность ⇒ C = 2 × π × r единиц.
  • Площадь ⇒ A = π × r 2 квадратных единиц.

Как называется полукруг в геометрии?

В геометрии полукругом называют половину круга. Диаметр делит окружность на две равные части, которые являются полуокружностями.

Что такое хорда в круге?

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки внутри окружности на ее дуге.Поскольку диаметр также имеет две точки на окружности, значит, это самая длинная хорда. Все углы, отмеченные в окружности, опирающейся на одну и ту же хорду, равны.

Каковы основные части круга?

Список различных частей окружности включает касательную, хорду, радиус, диаметр, малую дугу, большую дугу, малый сегмент, большой сегмент, малый сектор и большой сектор.

Что такое длина окружности?

Окружность круга определяется как линейное расстояние вокруг его границы, или мы можем сказать, что если круг разомкнуть, чтобы образовать прямую линию, то длина этой линии будет длиной окружности круга.

Каковы свойства кругов?

Ниже приведены некоторые свойства кругов:

  • Два круга с одинаковым радиусом конгруэнтны по своей природе.
  • Диаметр — это самая длинная хорда окружности, которая делит окружность на две равные части.
  • Радиус окружности делит хорду пополам, если он проведен перпендикулярно хорде.

Геометрия: свойства окружности — Magoush Math

Что такое свойства окружности? Что общего у всех кругов, что нужно знать в геометрии? В следующем видео и расшифровке мы рассмотрим то, что вам нужно знать.

Углы в кругах

Теперь мы можем поговорить о некоторых свойствах круга. Многие из свойств, о которых мы поговорим в этом видео, связаны с углами в окружностях. Первое, о чем мы поговорим, это длина, и это относительно легко. Любой треугольник, две стороны которого являются радиусами, должен быть равнобедренным. Теперь это довольно очевидно, если подумать.

Конечно, если мы посмотрим на этот треугольник здесь, OB и OA — это радиусы, то, конечно, они равны, потому что все радиусы одной и той же окружности равны.Ну сразу значит имеем треугольник с двумя равными сторонами, другими словами равнобедренный треугольник. И поскольку стороны равны, углы должны быть равны. Итак, у нас есть угол 70 градусов в точке А. Это означает, что у нас должен быть угол 70 градусов в точке В, что оставляет 40 градусов для угла в точке О.

Если сторона хорды такого треугольника также равна радиусу, то треугольник будет равносторонним, что, конечно, является частным случаем равнобедренного треугольника. Итак, если нам скажут, что этот шнур EF также имеет длину R в дополнение к нескольким радиусам, то мы сразу же узнаем, что имеем равносторонний треугольник и углы в 360 градусов.Поочередно, если нам даны два радиуса и угол 60 градусов между ними.

Мы знаем, что если мы протянем третью нить, то получим равнобедренный треугольник. Так что это обязательно означает, что эта третья хорда должна иметь длину, равную длине радиуса. Теперь обратите внимание, что этот угол в середине, угол EOF, имеет вершину в центре круга. Это особый вид ракурса.

Центральный угол

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Центральный угол имеет уникальную связь с дугой, которую он пересекает. Один из способов говорить о размере дуги — это говорить о ее дуговой мере, то есть о том, сколько градусов она имеет. Мера центрального угла равна мере дуги. Так, например, здесь у нас есть дуга, идущая от J к K и L, и у нас есть угол.

Диаметр

Поскольку угол равен 135 градусам, это автоматически означает, что дуга от J до K и L также является дугой в 135 градусов. Теперь диаметр — это, по сути, угол 180 градусов.Когда мы идем от А к О, к Б, это прямая линия, мы совсем не сгибаемся. Итак, по 180 градусов с каждой стороны, и это делит окружность на две дуги по 180 градусов.

Полукруг

И конечно, дугу размером 180 градусов мы называем полукругом. Мера всего круга по всей окружности составляет 360 градусов, то есть угол по всей окружности. А так просто подумать. Если вы стоите в одну сторону и поворачиваетесь полностью, так что, когда вы останавливаетесь, вы снова смотрите в ту же сторону, что и значит поворачиваться на 360 градусов.

Часто полезно понимать эти углы с точки зрения того, как часто вам придется поворачиваться. Если два различных центральных угла одной и той же окружности имеют одинаковую меру, они будут пересекать дуги одинакового размера. Итак, у нас есть два равных угла, поэтому они пересекают две равные дуги. И если бы нам сказали, что дуги равны, мы могли бы сделать вывод, что углы равны.

Аналогично хорды равной длины пересекают дуги равной длины. Итак, если мы знаем, что хорды имеют одинаковую длину, то и дуги должны быть равны. Опять же, если бы нам сказали, что дуги равны, мы могли бы сделать вывод, что хорды равны. Таким образом, центральные углы имеют вершины в центре окружности. Другой вид угла имеет вершину на окружности, точка B находится на окружности.

Вписанные углы

Такой угол называется вписанным углом . Сторонами вписанного угла всегда являются две хорды, пересекающиеся в вершине. Таким образом, этот угол образован хордами АВ и ВС, двумя хордами, имеющими общий конец В.Эта общая конечная точка является вершиной вписанного угла. Вписанный угол также имеет особое отношение к дуге, на которую он опирается, другое отношение.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Так, например, здесь у нас есть вписанный угол в 40 градусов, который должен составлять половину дуги. Таким образом, дуга должна быть 80 градусов.

Пример

Вот один из способов понять, почему это правило верно. Давайте теперь посмотрим на эту диаграмму, конечно, на этой диаграмме золотой угол BOC является центральным углом.

И красный угол при A, BAC, который является вписанным углом, и мы хотели бы выяснить отношение этого вписанного угла к дуге. Ну конечно, центральный угол равен дуге, это легко, ладно? Таким образом, дуга равна этому золотому центральному углу. Мы знаем, что этот треугольник ABO должен быть равнобедренным, потому что у него две стороны с радиусом.

Таким образом, эти два красных угла должны быть равны, и помните, что один из них является вписанным углом. Таким образом, мера этого красного угла является мерой вписанного угла.

Мы просто назовем это x, это то, что мы ищем, как это x связано с размером арки? Ну, конечно, если мы добавим золотой и синий, те два угла, которые лежат на одной прямой. Конечно, в сумме они должны давать 180, потому что любые два угла на прямой должны давать в сумме 180.

Кроме того, мы можем сложить три угла в треугольнике, так что это будет 2x, два красных угла плюс синий угол, который также должен быть равен 180. Сумма любых трех углов в треугольнике должна быть равна 180. Ну взгляните на это. У нас есть вещь плюс AOB равно 180, вещь плюс AOB равна 180. Сразу же, если у нас есть золото плюс синий равняется 180 и красный плюс синий равняется 180, это должно означать, что красное и золото равняются одному и тому же.

Что вспомнить

Другими словами, то, что у нас есть 2x = BOC, и отсюда мы можем просто разделить на 2. Таким образом, x = половина центрального угла, и, конечно, центральный угол равен дуге. Значит, это половина дуги. Вписанный угол равен половине дуги.Это один из способов убедиться, что это правда.

Если вы запомните этот аргумент, это действительно поможет вам запомнить этот факт намного глубже. Это означает, что любой вписанный угол, пересекающий полуокружность (т. е. любой вписанный угол, пересекающий концы диаметра), должен быть прямым. Поскольку HG является диаметром, это означает, что эта дуга здесь является полуокружностью, дугой в 180 градусов.

Знай, когда у тебя прямой угол

Ну, угол HKJ пересекает эту дугу, поэтому он должен составлять половину длины этой дуги. Половина от 180 градусов составляет 90 градусов, и это должно означать, что в точке К мы имеем угол 90 градусов. Тест очень любит этот конкретный факт. Им это нравится, потому что если у вас есть прямоугольный треугольник, вы можете использовать теорему Пифагора. Вы можете использовать все виды пропорций, все, что вы можете делать, когда знаете, что у вас есть прямой угол.

Если два вписанных угла в одну и ту же окружность опираются на одну и ту же дугу или на одну и ту же хорду и пересекают одну и ту же хорду с одной и той же стороны, то два вписанных угла равны.Итак, у нас есть два вписанных угла, пересекающих хорду LM, и эти два угла должны быть равны. Теперь они должны пересечься на одной стороне хорды. Если бы мы также нарисовали угол здесь с другой стороны, очевидно, что это был бы гораздо более широкий ангел. Это был бы совсем другой угол.

На самом деле, как оказалось, это было бы дополнением к двум углам в М и Р, но нам не нужно об этом беспокоиться. Все, что вам нужно знать, это то, что если углы находятся на одной стороне шнура, то два вписанных угла должны быть равны.

Касательные линии

Наконец, мы обсудим линию, линию особого рода, находящуюся вне круга. Касательная линия — это линия, которая проходит через окружность и касается ее только в одной точке.

Слово тангенс на самом деле означает касаться, мы получили английское слово осязаемый от того же корня. Если провести радиус к точке касания, то радиус и касательная перпендикулярны. Так что это еще один случай, когда сама геометрия гарантирует, что у нас есть прямой угол.

Здесь для наглядности я нарисовал маленький перпендикулярный знак. Но даже если бы этот знак не был нарисован, главное, чтобы вы знали, что у вас есть радиус до точки касания касательной. Вы знаете, что у вас там прямой угол. И, конечно, это также поддается всем другим специальным фактам прямого угла. Теорема Пифагора, соотношения и все такое прочее.

Свойства круга: практическая задача

Вот учебная задача, остановите видео, а потом поговорим об этом.

Итак, у нас есть относительно сложная диаграмма. Прежде всего обратите внимание, что углы PQS и PRS пересекают одну и ту же хорду PS. Таким образом, два угла, пересекающие одну и ту же хорду в одной и той же окружности, должны быть равны. Это означает, что PRS также должен иметь меру 40 градусов.

Теперь заметьте, что треугольник PSR — прямой угол, потому что PR — это диаметр. Так что PSR — прямой угол. Ну, у нас 40 градусов в R, у нас 90 градусов в S, значит, у нас должно быть 50 градусов в P.Таким образом, этот угол SPR составляет угол 50 градусов. Теперь обратите внимание на касательную линию, касательная пересекает радиус, а P является точкой касания.

Итак, у нас есть прямой угол, ТРО — прямой угол, и он состоит из этих двух меньших углов. Одним из них является угол 50 градусов, SPR. Итак, угол 50 градусов. И это означает, что оставшийся угол, TPS (угол, который мы ищем), должен составлять угол 40 градусов. И так TPS равняется 40 градусам.

Резюме

Таким образом, если две стороны треугольника являются радиусами, то треугольник равнобедренный, и, конечно, всегда ищите равносторонние построенные радиусы внутри круга. Центральный угол, являющийся углом, вершина которого находится в центре, имеет ту же меру, что и дуга, на которую он опирается. Равные хорды пересекают равные дуги.

Вписанный угол имеет половину дуги, на которую он опирается. Помните, что вписанный угол имеет вершину на окружности. Угол, вписанный в полуокружность, равен 90 градусов, это очень удобный факт, который нужно иметь в виду. Два вписанных угла, пересекающие одну и ту же хорду с одной и той же стороны, равны. А касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Обратите внимание, что здесь есть два случая: угол, вписанный в полуокружность, и угол между касательной и радиусом. Оба случая, когда сама геометрия гарантирует, что у нас есть прямой угол. И, следовательно, открывает теорему Пифагора и все другие специальные факты прямого угла.

  • Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видеоуроков и практических вопросов, чтобы помочь учащимся GMAT добиться успеха. Он также был признан «участником месяца» более двух лет в GMAT Club. Майк имеет A.B. по физике (окончание с отличием ) и степень МТС. в религиях мира, оба из Гарварда. Помимо стандартного тестирования, Майк имеет более чем 20-летний опыт преподавания как в частных, так и в государственных средних школах, специализируясь на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать настольные мячи на орбите, и, несмотря на то, что у него нет явных дефектов черепа, он настаивает на том, чтобы болеть за нью-йоркский Метс.Узнайте больше о GMAT из видеороликов Майка на Youtube и ресурсов, таких как What is a Good GMAT Score? и диагностический тест GMAT.

    Просмотреть все сообщения

Свойства круга — Magoosh GRE

Свойства круга. На предыдущем уроке мы рассмотрели некоторые основы. Мы рассмотрели радиусы, хорды, диаметр, длину окружности, знаменитую формулу длины окружности и знаменитую формулу площади. Теперь, если что-то из этого для вас совершенно новое, я предлагаю посмотреть предыдущий урок о кругах.

В этом уроке мы поговорим о другом, в этом уроке мы рассмотрим несколько идей, связанных с углами в кругах. Первое, вероятно, очевидно, и треугольник, две стороны которого являются радиусами, должен быть равнобедренным.Так, например, AOB должен быть равнобедренным треугольником, потому что OA и OB являются радиусами. И, конечно же, все радиусы одной и той же окружности равны.

Значит, два угла при основании равны. Таким образом, угол B должен быть равен 70, а угол посередине должен быть равен 40 градусам. Если сторона хорды такого треугольника также равна радиусу, то треугольник будет равносторонним. Другими словами, если у нас есть хорда EF, длина которой равна радиусу, то когда мы рисуем этот треугольник, все три стороны являются радиусами.

Получается равносторонний треугольник, все углы равны 60 градусов. И обратите внимание, что этот угол EOF находится в центре круга. Это вершина, это точка, это центр круга. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Теперь это важная идея, что тест не обязательно заставит вас узнать этот термин, но это важная идея, чтобы понять и понять, как он связан с некоторыми другими углами.

Центральный угол имеет уникальную связь с дугой и пересекается.Один из способов говорить о размере дуги — это говорить о ее дуговой мере. Другими словами, сколько градусов он занимает. Мера центрального угла равна мере дуги. Итак, здесь у нас есть центральный угол 135 градусов, о эта дуга, JKL, эта дуга также должна быть 135 градусов.

Это один из способов говорить о размере дуги. Другой способ — длина дуги, которую мы обсудим в следующем видео. Теперь диаметр, по сути, представляет собой угол 180 градусов. Это прямой угол, градусы угла AOB будут равны 180.Таким образом, он делит окружность на две дуги по 180 градусов. Дуга с мерой 180 градусов называется полукругом.

Измерение всей окружности составляет 360 градусов, то есть угол по всей окружности. Если два различных центральных угла одной и той же окружности имеют одинаковую меру, то они будут пересекать дуги одинаковой величины. Итак, если эти два угла равны, то и дуги должны быть равны, в самом деле, наоборот, дуги равны, то должны быть равны и углы.

Аналогично, равные хорды одной и той же окружности пересекают дуги одинаковой длины.Итак, если JK = LM, то эти две дуги равны. Вот практическая задача, поставьте видео на паузу, а потом поговорим об этом. Итак, у нас есть дуга AB, равная 50 градусам, и поэтому мы хотим знать не угол центра, мы хотим знать угол A, что такое AOB? Ну, во-первых, мы знаем, что дуга должна иметь ту же меру, что и центральный угол, поэтому AOB равняется размеру дуги, равной 50 градусам.

И мы знаем, что это равнобедренный треугольник, поэтому мы не знаем угол в AOB, но мы знаем, что он должен быть равен, поэтому мы назовем его x. Итак, 50 + x + x = 180. Ну, другими словами, 2x = 130. x равно 130, делённому на 2, что равно 65. Таким образом, это мера угла при A и угла при B.

Нам нужно угол в A, так что это вариант ответа D. Центральные углы имеют вершины в центре круга. Другой вид угла имеет вершину на окружности. Таким образом, вершина этого угла находится вовсе не в центре, а на самой окружности. Итак, это другой вид угла, и этот вид угла называется вписанным углом.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на самой окружности. Сторонами вписанного угла всегда являются две хорды, пересекающиеся в этой вершине. Итак, здесь AB — хорда, а BC — хорда, и они пересекаются в точке B. Вписанный угол также имеет особые отношения с дугой, на которую он опирается. Пересекается, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, если угол DEF равен 40 градусам, то эта дуга, дуга FGD, должна быть равна 80 градусам. Теперь, почему это правда? Вот один из способов понять, почему это так. Предположим, мы нарисовали вот такую ​​специальную диаграмму. Итак, конечно, дуга ВС равна центральному углу ВОС.

Мы знаем, что треугольник AOB равнобедренный, поэтому угол BAO равен углу ABO. Итак, эти два красных угла равны, просто вычислите это x. Мы знаем, что если мы посмотрим на углы, образующие диаметр AOC, должно быть верно, что эти два угла, синий угол и оранжевый угол, должны составлять в сумме 180 градусов.

Таким образом, BOC плюс угол AOB должны быть равны 180 градусам. Но в треугольнике верно и то, что 2xs + AOB = 180 градусов.Посмотрите на эти два уравнения. Вещь + AOB = 180 градусов, вещь + AOB равняется 108 градусам, другими словами, эти две вещи должны быть равны. Таким образом, должно быть верно, что 2x = угол BOC, и тогда мы можем просто разделить, так что X — половина меры угла BOC, и поэтому это половина меры дуги.

Итак, это один из особых способов понять, почему вписанный угол должен составлять половину длины дуги. Это означает, что любой вписанный угол, который пересекает полуокружность, то есть любой вписанный угол, который пересекает концы диаметра, должен быть прямым углом. Таким образом, тот факт, что HOJ является диаметром, автоматически означает, что угол K должен быть прямым, потому что он пересекает дугу в 180 градусов.

И тесту очень нравится этот факт, ему очень нравится рисовать такого рода диаграммы и ожидать, что вы будете знать, что это прямой угол. Если два вписанных угла в одну и ту же окружность пересекают одну и ту же дугу или одну и ту же хорду с одной и той же стороны, то эти два вписанных угла должны быть равны друг другу. Итак, вот эти два угла LNM и LPM, эти два угла равны.Вот практическая задача, поставьте видео на паузу, а потом поговорим об этом.

Итак, нам дан угол BEC, равный 20 градусам. Итак, мы сразу знаем, что эта дуга, дуга ВС, должна равняться 40 градусам. Но нам сказали, что ВС равно CD, поэтому мы знаем, что дуга CD также равна 40 градусам. Итак, дуга от B до C и D равна 40 плюс 40, или 80 градусов. Дуга BD составляет 80 градусов, это дуга, которую пересекает угол A.

Итак, угол A должен составлять половину дуги или 40 градусов. Наконец, мы обсудим линию вне круга.Касательная линия — это линия, проходящая через Окружность и касающаяся ее только в одной точке, касательной от латинского tangera — касаться. И на самом деле от этого же латинского корня мы получаем английское слово tangible. Таким образом, касательная просто касается окружности в одной точке.

Если провести радиус к точке касания, то радиус на касательной линии всегда перпендикулярен. Это действительно важный факт, и испытуемый тоже любит этот факт. Обратите внимание, что это поддается теореме Пифагора и другим специальным фактам прямого угла.Итак, когда у вас есть прямой угол, можно подразумевать множество вещей.

Вот практическая задачка, останови видео, а потом поговорим об этом. Итак, это сложная диаграмма, но на самом деле это не такая уж сложная проблема. Прежде всего, обратите внимание, что углы PQS, этот угол здесь и этот угол PRS, пересекают одну и ту же хорду, хорду PS. А если два угла пересекают одно ядро, то они должны быть равны.

Значит, ПРС — это угол 40 градусов. Ну что ж.посмотрите на угол S. Мы знаем, что pr — это диаметр. А PSR — это угол, вписанный в полуокружность, так что это должен быть прямой угол. Таким образом, PSR составляет 90 градусов.

Теперь, если мы просто посмотрим на треугольник PSR, у нас есть угол при R, у нас есть угол при S, мы можем найти угол при P. Угол P должен быть 50 градусов. Тогда мы знаем, что TPO — прямой угол, потому что TP — касательная, и она должна быть перпендикулярна радиусу. Таким образом, TPS, угол, который мы ищем, равен TPO минус SPR, что равно 90 минус 50 или 40 градусов.

И мы выбираем вариант ответа C. Таким образом, если две стороны треугольника являются радиусами, треугольник равнобедренный. Центральный угол имеет ту же меру дуги, на которую он опирается. Хорды ​​одинаковой длины пересекают равные дуги. Вписанный угол имеет половину дуги, на которую он опирается. Угол, вписанный в полуокружность, равен 90 градусов.

Два вписанных угла, пересекающие одну хорду с одной и той же стороны, равны. И, наконец, касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

Свойства окружности: определение, типы, формулы

Свойства окружности: Окружность представляет собой двумерную форму, созданную рядом точек на плоскости, которые находятся на постоянном или фиксированном расстоянии (радиусе) от фиксированной точка (центр). Фиксированная точка называется началом или центром окружности, а фиксированное расстояние между точками называется радиусом. Окружность – это плоская фигура с криволинейной поверхностью. Каждая точка на окружности равноудалена от определенной точки, известной как центр окружности.Окружность — это двумерная форма, которая измеряется в терминах радиуса. Термин «круг» происходит от греческого слова «киркос», что означает «кольцо» или «обруч».

В математике есть множество свойств окружностей, посвященных геометрии. Также может быть показано его отношение к прямым линиям, многоугольникам и углам. Все эти факты, взятые вместе, являются характеристиками круга. {\rm{o}}}\) (по CPCT)

Изучите концепции 10-го экзамена CBSE

Свойства окружности, связанные с углами

Теорема 1: Равные хорды окружности образуют равные углы в центре.

Дано: окружность с центром \(O.\,AB\) и \(CD\) являются равными хордами окружности, т. е. \(AB = CD.\)
Доказать: \(\угол AOB = \ угол COD\)
Доказательство : In \(\Delta AOB\) и \(\Delta COD\)
\(AO = OD\) (Радиус)
\(AB = CD\) (Дано)
\(OB = OC\) (Радиус)
\(\следовательно \Delta AOB \cong \Delta DOC\) (по правилу SSS)
\(\следовательно \угол AOB = \угол DOC\) (по CPCT)

Теорема 2: Если углы, образуемые хордами окружности в центре, равны, то и хорды равны.

Чтобы доказать: \(AB = CD\)
Доказательство : В \(\Delta AOB\) и \(\Delta DOC\)
Дано \(\угол AOB = \угол COD\)
\( AO = OD\) (Радиус)
\(\угол AOB = \угол DOC\) (Дано)
\(OB = OC\) (Радиус)
\(\следовательно \Delta AOB \cong \Delta DOC\) ( По правилу SAS)
\(\следовательно, AB = CD\) (согласно CPCT)

Теорема 3: Угол, образуемый хордой в центре, вдвое больше угла в любой точке окружности.

Дано: дуга \(PQ\) окружности, опирающаяся на углы \(\угол POQ\) в центре \(O\) и \(\угол PAQ\) и точка \(A\) на остальной части круга.
Чтобы доказать: \(\угол POQ = 2\угол PAQ.\)
Доказательство : Рассмотрим три различных случая:

Случай 1: Когда дуга \(PQ\) является второстепенной
Случай 2: Когда дуга \(PQ\) является полуокружностью и
Случай 3: Когда дуга \(PQ\) является большой
Соединение \(AO\) и удлинение в точку \(B.\)
Во всех случаях \(\угол BOQ = \угол OAQ + \угол AQO\) (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних противоположных углов)

Также в \(\Delta OAQ,\)
\(OA = OQ\)( Радиусы окружности)
Поэтому \(\угол OAQ = \угол OQA\)
\( \Стрелка вправо \угол BOQ = 2\угол ОАК\) ….(i)
Аналогично \(\угол BOP = 2\угол OAP\)…..(ii)

Из уравнения (i) и (ii),
\(\угол BOP + \угол BOQ = 2\влево( {\угол OAP + \угол OAQ} \вправо)\)
\(\угол POQ = 2\угол PAQ\)…(iii)
Для случая \(3,\), где \(PQ\) — большая дуга, (iii) заменяется углом рефлекса \(\угол POQ = 2\угол PAQ\)

Практика 10-го экзамена CBSE Вопросы

Теорема 4: Углы, опирающиеся на хорду в разных точках на одной стороне окружности, имеют одинаковую меру.

Учитывая, что точки \(A\) и \(B\) этой окружности образуют углы \(\угол APB\) и \(\угол AQB\) точек \(P\) и \(Q\) соответственно.
Чтобы доказать: \(\угол APB = \угол AQB\)
Угол, образуемый дугой в центре, вдвое больше угла, образуемого любой точкой на оставшейся части окружности.
\(\угол AOB = 2\угол APB\) …(i)
\(\угол AOB = 2\угол AQB\) …(ii)
Из уравнения (i) и (ii)
\(2\угол APB = 2\угол AQB\)
\(\угол APB = \угол AQB\)

Теорема 5: Угол, образуемый диаметром по окружности, является прямым углом.{\г{о}}}\)

Свойства окружности, связанные с касательной

Теорема 1: Касательная в любой точке окружности перпендикулярна радиусу через точку касания.

Дано: Окружность \(C\left( {0,r} \right)\) и касательная \(l\) в точке \(A.\)
Доказать: \(OA \bot l\)
Построение: Возьмем точку \(B,\), отличную от \(A,\), на касательной \(l. \) Соединим \(OB.\) Предположим, что \(OB\) пересекает окружность в точке \(C. \)
Доказательство : Мы знаем, что среди всех отрезков, соединяющих точку \(O\) i.е. центра окружности к точке на \(l\) (\(l\) — касательная к окружности), перпендикуляр кратчайший к \(l.\)
\(OA = OC\) (радиус тот же круг)
Теперь \(OB = OC + BC\)
\(\следовательно, OB > OC\)
\( \Стрелка вправо OB > OA\)
\( \Стрелка вправо OA < OB\)
\(B\ ) — произвольная точка касательной \(l.\). Таким образом, \(OA\) короче любого другого отрезка, соединяющего \(O\) с любой точкой на \(l.\)
Здесь \(OA \bot l\)
Это обратная теорема касательной.

Теорема 2: Прямая, перпендикулярная радиусу в своей точке на окружности, является касательной к окружности.

Дано: \(M\) — центр окружности, seg \(MN\) — радиус.
Прямая \(l \bot \) отрезок \(MN\) в точке \(N.\)
Доказать: Прямая \(l\) является касательной к окружности.
Конструкция: Возьмем любую точку \(P,\), кроме \(N,\) на прямой \(l.\) Нарисуем отрезок \(MP.\)
Доказательство : Теперь в \(\Delta MNP,\,\угол N\) — прямой угол.
Следовательно, seg \(MP\) является гипотенузой.
Следовательно, seg \(MP > \) seg \(MN.\)
Поскольку seg \(MN\) является радиусом, точка \(P\) не может лежать на окружности.
Итак, никакой другой точки, кроме точки \(N,\) прямой \(l\), нет на окружности.
Прямая \(l\) пересекает окружность только в одной точке \(N.\)
Следовательно, прямая \(l\) является касательной к окружности.

Теорема 3: Длины касательных, проведенных из внешней точки к окружности, равны.

Дано: окружность с центром \(O,\), точка \(P\), лежащая вне окружности, и две касательные \(PA,\, PB\) к окружности из \(P.{\rm{o}}}\) (Поскольку касательная в любой точке окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания)
Теперь в прямоугольных треугольниках \(\Delta OAP\) и \(\Delta OBP \)
\(OA = OB\) (Радиусы одной окружности)
\(OP = OP\) (Общий)
Следовательно, \(\Delta OAP \cong \Delta OBP\) (По критериям соответствия RHS)
Следовательно, \(PA = PB\) (согласно CPCT)

Попытка 10-го экзамена CBSE Пробные тесты

Свойства окружности, связанные с циклическим четырехугольником

Теорема 1: Во вписанном четырехугольнике сумма любой пары противоположных углов является дополнительной. {\rm{o}}}\)
Значит доказано.{\rm{o}}}.\)
Следовательно, проведите окружность, проходящую через точки \(P,\,Q\) и \(R\), и заметьте, что она также проходит через точку \(S.\ )
Отсюда заключаем, что четырехугольник \(PQRS\) является вписанным четырехугольником.

Теорема 3: Если построить одну сторону вписанного четырехугольника, то внешний угол равен внутреннему противолежащему углу.

Чтобы доказать: \(\угол CBE = \угол ADC\)
Доказательство: Пусть сторона \(AB\) вписанного четырехугольника \(ABCD\) продолжается до \(E.{\rm{o}}}\)
Следовательно, \(DBC\) — прямая. То есть \(B\) лежит на отрезке \(DC.\)

Сводка

В этой статье мы обсудили важные свойства окружности, связанные с хордой, свойства окружности, связанные с углами, свойства окружности, связанные с касательной, и свойства окружности, связанные с вписанными четырехугольниками.

С помощью доказательств теорем и решенных примеров, связанных со свойствами окружности, можно легко понять концепцию.

Часто задаваемые вопросы о свойствах круга

Q.1. Может ли вписанный четырехугольник лежать в полуокружности?
Ответ:
Да, если взять диаметр, поскольку одна сторона четырехугольника, а другие стороны лежат на окружности, то вписанный четырехугольник может быть полукругом.

Q.2. Является ли квадрат вписанным четырехугольником?
Ответ : Да, сумма противоположных углов квадрата является дополнительной.Следовательно, это вписанный четырехугольник.

Q.3. Делит ли радиус касательную пополам?
Ответ: Нет, он не делит касательную пополам, но перпендикулярен касательной через точку касания.

Q.4. Каковы хордовые свойства окружности?
Ответ: Свойства окружности, связанные с хордой:
(i) Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит хорду пополам. {\rm{o}}}.\)

Ознакомьтесь с другими важными статьями по математике:

Мы надеемся, что эта статья о свойствах кругов поможет вам. Если у вас есть какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать в разделе комментариев ниже. Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

3136 просмотров

Аренда квартир в округе Читтенден, VT

«Мы добиваемся успеха, когда добиваются успеха наши клиенты»

346 Shelburne Rd.

Hickok & Boardman Place, цокольный этаж

PO Box 4057

Burlington, VT 05406

 

Компания Full Circle Property Management, Inc. , была основана в 2018 году, но началась она намного раньше. С 1 января 2019 года, после более чем сорока лет обслуживания клиентов в районе Берлингтона, компания Coburn & Feeley передала свои бизнес-операции, персонал и клиентов компании Full Circle Property Management, Inc. Вице-президент и главный операционный директор Coburn & Feeley, а ныне президент Full Circle.

Стефани обладает двадцатилетним опытом управления портфелем недвижимости как на жилом, так и на коммерческом рынке.Она также привела с собой команду профессионалов в области управления недвижимостью, чей разнообразный опыт, навыки и опыт дополняются культурой непрерывного обучения Full Circle.

 

В Full Circle мы стремимся удовлетворить все потребности наших клиентов, включая финансовую отчетность, сбор арендной платы, аренду, осмотр имущества, техническое обслуживание и общественные программы.

 

Мы помогаем максимизировать доходы и контролировать расходы, в то же время следя за тем, чтобы имущество наших клиентов содержалось в хорошем состоянии.

 

Свяжитесь с нами, чтобы обсудить, как мы можем сделать то же самое для вас!

 Рекомендуемая аренда

Свойства круга: урок для детей — видео и расшифровка урока

Измерение окружностей

Один из способов пройти через окружность — провести хорду , которая представляет собой прямую линию, идущую от одной части окружности к другой.Одна особая хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Радиус составляет половину расстояния от диаметра. И диаметр, и радиус можно рисовать по вертикали, горизонтали и диагонали.

Снаружи и сечения кругов

И последнее, но не менее важное: есть еще одна линия, которая касается круга, но проведена за его пределами. Эта линия называется касательной .

Когда два радиуса (слово, обозначающее более одного радиуса) соединяются в дугу, образующаяся форма называется сектором .Сектора выглядят точно так же, как кусочки пиццы, которые вы видите на картинке. Прямые края — это радиусы, а изогнутая часть (корка) — это дуга.

Сектора похожи на кусочки пиццы.

Когда хорда соединяется с дугой, образующаяся часть называется сегментом . Обратите внимание на изображение, как струны гитары пересекают круг на гитаре. Каждая из струн представляет собой аккорд, который создает сегменты разного размера.

Сегмент, видимый там, где гитарные струны пересекают круг.

Итоги урока

Итак, давайте повторим. Как мы узнали, у окружности много свойств. Три самых важных свойства, о которых следует помнить, это окружность , то есть расстояние вокруг формы; диаметр , который представляет собой расстояние от одного конца круга до другого, проходящего через центр; и радиус , который составляет половину диаметра.

Также помните, что дуга — это небольшой отрезок окружности, а хорда — это прямая линия, проходящая через окружность. Дуга и хорда соединяются вместе, образуя сегмент , а дуга и два радиуса образуют то, что называется сектором (как кусок пиццы). Наконец, если вы нарисуете линию, которая находится за пределами круга, но все еще касается круга, она называется касательной .

Теперь вы должны быть готовы пойти и начать измерять круги самостоятельно!

Simon Property Group продает торговый центр Circle Center в Индианаполисе

Simon Property Group больше не является владельцем торгового центра Circle Centre в центре Индианаполиса и продает свою долю в сделке, которая послужила началом разговора о реконструкции торгового центра.

Адам Коллинз, советник владельца торгового центра, Circle Center Development Co, подтвердил IndyStar в пятницу утром, что Саймон продал свою миноритарную долю — примерно 15% — в торговом центре оставшимся мажоритарным владельцам.

Circle Centre Development Co. — товарищество с ограниченной ответственностью, состоящее из 17 деловых и корпоративных инвесторов, а также первоначальных инвесторов торгового центра. IndyStar обратился к Саймону за комментарием.

«Что касается инициирования (продажи), это было связано с продолжающимся разговором между сторонами о том, что лучше для актива», — сказал Коллинз, партнер юридической фирмы Индианаполиса Wallack Somers & Haas.

Сделка была завершена 30 декабря. 

Подробнее о Simon Property Group: Это больше, чем торговая компания, говорит генеральный директор

Коллинз отказался сообщить, сколько Circle Centre Development Co. это из группы собственности.

Похоже, сделка не повлияет на арендаторов, по крайней мере, сразу. JLL, фирма по коммерческой недвижимости, привлеченная Саймоном для помощи в управлении торговым центром, продолжит выполнять свои управленческие функции.

«Группа владельцев продолжит управлять торговым центром так же, как и в течение последних пяти-десяти лет», — сказал Коллинз.«С нашей точки зрения, ничего не меняется с точки зрения того, как работает модель, как ею управляют».

С прицелом на будущее и долгосрочное использование торгового центра компания Circle Centre Development Co. запрашивает у архитектурно-дизайнерских фирм идеи относительно будущего развития торгового центра.

Правообладатель выбрал пять групп, в том числе RATIO Design и Meticulous Design + Architecture Индианаполиса; CSO Architects также из Индианаполиса; Woolpert Inc, у которой есть местный офис, и Arquitectonica, базирующаяся в Майами; Dorsky + Yue International Architecture, имеющая офисы во Флориде и Огайо; и Колледж архитектуры и планирования Государственного университета Болла, чтобы представить идеи для будущего использования торгового центра.

«Собственник стремится найти партнера по развитию, который может реализовать это видение взаимовыгодным образом для города, штата и собственника», — сказал Коллинз.

Circle Center Development Co. ожидает, что этап проектирования и предварительной разработки будет завершен к концу 2022 года. После этого компания приступит к следующим шагам по реконструкции торгового центра.

Simon, крупнейший оператор и владелец торговых центров в Соединенных Штатах, больше не указывает торговый центр Circle Center в качестве одного из своих объектов в Индиане.У торгового центра Circle Center теперь есть собственный автономный веб-сайт.

Оставшаяся собственность Саймона в Индиане включает торговые центры Castleton Square и Fashion Mall в Keystone, College Mall в Блумингтоне, Greenwood Park Mall, Hamilton Town Center в Ноблсвилле, аутлеты Indiana Premium в Эдинбурге, аутлеты Lighthouse Place Premium в Мичиган-Сити, торговый центр Tippecanoe в Лафайетте. и торговый центр University Park в Мишаваке.

Торговые центры Indy: Взгляд на то, как зародились крупнейшие торговые центры Индианаполиса и как они развиваются сейчас считается катализатором возрождения района.

В пресс-релизе мэр Индианаполиса Джо Хогсетт отметил, что строительство торгового центра было прямым продуктом совместной работы городских и общественных лидеров по возрождению центра города.

«В течение почти трех десятилетий этот объект служил важной достопримечательностью и удобством как для жителей, так и для гостей, — сказал Хогсетт. — Теперь, в том же духе сотрудничества, мы отправляемся в путешествие, стимулировать дальнейшее развитие экономического и гражданского центра, которым является наша Майл-сквер.”

В последние годы торговый центр пришел в упадок, так как основные арендаторы, такие как универмаг Nordstrom и Carson’s, закрыли там свои магазины.

Рост розничных продаж в электронной коммерции также повлиял на обычные магазины, а пандемия ускорила переход к онлайн-покупкам. Несколько лет назад в ТЦ начали заселяться нетрадиционные арендаторы. IndyStar и ее материнская компания Gannett переехали на опорное место, оставленное Nordstrom вакантным в 2014 году, и на четвертом этаже открылась школа.

Во время пандемии торговый центр Circle Center потерял больше арендаторов, включая Victoria’s Secret, Express, GameStop и Eddie Bauer. H&M недавно закрылся.

H&M: Говорит, что закрывается. Расположение торгового центра Circle Center

Объект больше не рассматривается исключительно как торговый центр, сообщила в пресс-релизе вице-президент Indy Chamber по экономическому развитию Индианаполиса Порция Бейли-Бернард.

«Появилась совершенно новая возможность сделать больше и создать впечатляющее развитие для нашего города», — сказал Бейли-Бернард.«Это больше не рассматривается как просто торговый центр, а как объект смешанного использования, и подобные возможности подчеркивают, как отношения между нашим государственным и частным секторами обеспечивают оптимальное развитие в Индианаполисе».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск