Свойства средней линии равнобедренной трапеции: Трапеция. Равнобедренная трапеция. Средняя линия трапеции

Содержание

Средние линии равнобедренной трапеции. Свойство 1

Средние линии равнобедренной трапеции перпендикулярны.

 

MN – средняя линия равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD).

KT – вторая средняя линия равнобедренной трапеции ABCD (отрезок, который делит основания трапеции пополам).

MN перпендикулярна КТ.

Средние линии равнобедренной трапеции

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции

 

Шаг 1

 

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD (AB = CD).

Проведем в ней среднюю линию MN:

Проведем вторую среднюю линию КТ, т.е. проведем отрезок, в котором точка К является серединой стороны ВС, а точка Т является серединой основания AD:

Докажем, что проведенные линии перпендикулярны.

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции. Шаг 1

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим треугольник АDС.

CN = ND – по условию;

AT = TD – по условию.

Итак, в треугольнике АDС отрезок TN делит стороны пополам. По определению средней линии треугольника, TN – средняя линия.

По свойству средней линии треугольника:

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции. Шаг 3

Шаг 4

 

Рассмотрим треугольник ABD.

АМ = МВ – по условию;

AT = TD – по условию.

Итак, в треугольнике АВD отрезок МT делит стороны пополам. По определению средней линии треугольника, МT – средняя линия.

По свойству средней линии треугольника:

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции. Шаг 4

Шаг 5

 

Рассмотрим треугольник BCD.

BK = KC – по условию;

CN = ND – по условию.

Итак, в треугольнике BCD отрезок KN делит стороны пополам. По определению средней линии треугольника, KN – средняя линия.

По свойству средней линии треугольника:

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции. Шаг 5

Доказательство свойства средних линий равнобокой трапеции. Шаг 6

9E09BEAE0A118E93DED3D74128EA2C147A65428915829EB11235F7758F7B38C3

Средняя линия трапеции равна половине большего основания. Трапеция, средняя линия трапеции, треугольник

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия. По теореме 1, получаем

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

\circ\) .

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


Доказательство*

1) Докажем параллельность.


Проведем через точку \(M\) прямую \(MN»\parallel AD\) (\(N»\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N»\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\) .


Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) — середины отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Значит, \(MM»\) – средняя линия \(\triangle ABB»\) , \(NN»\) — средняя линия \(\triangle DCC»\) . Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Значит, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Трапеция. Теорема о средней линии трапеции

1. Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две
стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее
основаниями, а непараллельные стороны – боковыми
сторонами.
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые
стороны равны.
Трапеция называется прямоугольной, если один из ее
углов прямой.

2. Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется
соединяющий середины ее боковых сторон.
отрезок,

3. Теорема о средней линии трапеции

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и
равна их полусумме.
Доказательство. Пусть EF – средняя
линия трапеции ABCD (AB || CD).
Проведем прямую DF и ее точку
пересечения с прямой AB обозначим G.
Треугольники DFC и GFB равны по второму признаку равенства
треугольников (CF = BF по условию, угол 1 равен углу 2, как
вертикальные, угол 3 равен углу 4, как накрест лежащие углы). Из
равенства этих треугольников следует, что DF = GF и, значит, EF средняя линия треугольника AGD. Из теоремы о средней линии
треугольника следует, что EF параллельна AB и EF = AG. Так как
AB || CD, то EF будет параллельна обоим основаниям и кроме того,
EF = AG/2 = (AB + BG)/2 = (AB + CD)/2.

4. Вопрос 1

Какой четырехугольник называется трапецией?
Ответ: Трапецией называется четырехугольник,
у которого две стороны параллельны, а две
другие не параллельны.

5. Вопрос 2

Какие стороны трапеции называются:
основаниями; б) боковыми сторонами?
а)
Ответ: а) Основаниями трапеции называются ее
параллельные стороны;
б) боковыми сторонами трапеции
называются ее непараллельные стороны.

6. Вопрос 3

Какая трапеция называется: а) равнобедренной;
б) прямоугольной?
Ответ: а) Трапеция называется равнобедренной,
если ее боковые стороны равны;
б) трапеция называется прямоугольной,
если один из ее углов прямой.

7. Вопрос 4

Что называется средней линией трапеции?
Ответ: Средней линией трапеции называется
отрезок, соединяющий середины ее боковых
сторон.

8. Вопрос 5

Сформулируйте
трапеции.
Вопрос 5
теорему
о
средней
линии
Ответ: Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.

9. Упражнение 1

Изобразите равнобедренную трапецию ABCD,
три вершины которой даны на рисунке, а
четвертая находится в одном из узлов сетки.
Ответ:

10. Упражнение 2

Изобразите прямоугольную трапецию ABCD,
три вершины которой даны на рисунке, а
четвертая находится в одном из узлов сетки.
Ответ:

11. Упражнение 3

Могут ли углы, прилежащие к основанию
трапеции, быть один острым, а другой тупым?
Ответ: Да.

12. Упражнение 4

Может ли у трапеции быть: а) три прямых угла;
б) три острых угла?
Ответ: а) Нет; б) нет.

13. Упражнение 5

Докажите,
что
углы
при
равнобедренной трапеции равны.
основании
Доказательство. Пусть ABCD –
трапеция, AD не параллельна BC.
Докажем, что углы A и B равны.
Через вершину C проведем прямую, параллельную AD и
обозначим E ее точку пересечения с прямой AB.
Четырехугольник AECD – параллелограмм,
следовательно, угол BAD равен углу BEC. Треугольник
BCE – равнобедренный, следовательно, угол BCE равен
углу BEC. Таким образом, в трапеции ABCD угол A равен
углу B.

14. Упражнение 6

Верно ли, что если два угла трапеции равны, то
она равнобедренная?
Ответ. Нет, она может быть прямоугольной.

15. Упражнение 7

Верно ли, что если два угла при основании
трапеции равны, то она равнобедренная?
Ответ. Да.

16. Упражнение 8

Докажите, что сумма двух противоположных
углов равнобедренной трапеции равна 180о.
Доказательство. Пусть ABCD – трапеция, AD не
параллельна BC. Докажем, что сумма углов A и С равна
180о. Действительно, Сумма углов B и C равна 180о.
Угол A равен углу B. Следовательно, сумма углов A и С
равна 180о.

17. Упражнение 9

Чему равны углы равнобедренной трапеции,
если известно, что разность противолежащих
углов равна 40о?
Ответ: 70о, 110о, 70о, 110о.

18. Упражнение 10

Докажите, что
трапеции равны.
диагонали
равнобедренной
Доказательство. Пусть ABCD – равнобедренная
трапеция. Треугольники ABC и BAD равны (AB –
общая сторона, BC = AD, угол ABC равен углу
BAD. Следовательно, AC = BD.

19. Упражнение 11

Верно ли, что если диагонали трапеции равны,
то она равнобедренная?
Ответ. Да.

20. Упражнение 12

Определите вид четырехугольника, который
получится, если последовательно соединить
отрезками середины сторон равнобедренной
трапеции.
Ответ: Ромб.

21. Упражнение 13

Прямая, проведенная параллельно боковой
стороне трапеции через конец меньшего
основания, равного 3 см, отсекает треугольник,
периметр которого равен 15 см. Найдите
периметр трапеции.
Ответ: 21 см.

22. Упражнение 14

Проведите
среднюю
линию
изображенной на рисунке.
Ответ:
трапеции,

23. Упражнение 15

Проведите
среднюю
линию
изображенной на рисунке.
Ответ:
трапеции,

24. Упражнение 16

Основания трапеции относятся как 5:2, а их
разность равна 18 см. Найдите среднюю линию
трапеции.
Ответ: 21 см.

25. Упражнение 17

Периметр трапеции равен 50 см, а сумма
непараллельных сторон равна 20 см. Найдите
среднюю линию трапеции.
Ответ: 15 см.

26. Упражнение 18

Средняя линия трапеции равна 30 см, а меньшее
основание равно 20 см. Найдите большее
основание.
Ответ: 40 см.

27. Упражнение 19

Периметр равнобедренной трапеции равен 80 см,
ее средняя линия равна боковой стороне.
Найдите боковую сторону данной трапеции.
Ответ: 20 см.

28. Упражнение 20

Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее
оснований больше другого на 4 см. Найдите
основания трапеции.
Ответ: 5 см и 9 см.

29. Упражнение 21

Основания трапеции относятся как 2 : 3, а
средняя линия равна 5 м. Найдите основания.
Ответ: 4 м и 6 м.

30. Упражнение 22

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого
угла на большее основание равнобедренной
трапеции, делит его на части, имеющие длины 5
см и 2 см. Найдите среднюю линию этой
трапеции.
Ответ: 5 см.

31. Упражнение 23

В равнобедренной трапеции большее основание
равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол
между ними 60о. Найдите меньшее основание.
Ответ: 1,7 м.

32. Упражнение 24

Cредняя линия трапеции равна 10 см. Одна из
диагоналей делит ее на два отрезка, разность
которых равна 2 см. Найдите основания этой
трапеции.
Ответ: 8 см и 12 см.

33. Упражнение 25

Основания трапеции равны 4 см и 10 см.
Найдите отрезки, на которые делит среднюю
линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Ответ: 2 см и 5 см.

34. Упражнение 26

Меньшее основание равнобедренной трапеции
равно
боковой
стороне,
а
диагональ
перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы
трапеции.
Ответ: 60о, 120о, 60о, 120о.

35. Упражнение 27*

Может ли средняя линия трапеции пройти через
точку пересечения диагоналей?
Решение: Нет. Действительно, пусть ABCD – трапеция, EF
– средняя линия, G, H – ее точки пересечения с
диагоналями. Тогда EG – средняя линия треугольника
ACD и, следовательно, равна половине CD. FH – средняя
линия треугольника BCD и, следовательно, равна
половине CD. Если бы точки G и H совпадали, то средняя
линия EF была бы равна CD. В этом случае трапеция была
бы параллелограммом.

36. Упражнение 28*

В выпуклом пятиугольнике ABCDE AE = 4.
Середины сторон AB и CD, BC и ED соединены
отрезками. Середины H и K этих отрезков снова
соединены отрезками. Найдите длину отрезка
HK.
Решение: Пусть M, N, P, R, L – середины
соответствующих сторон. Тогда HK = 1 ML = 1 AE = 1.
2
4

Трапеция. Свойства трапеции — презентация онлайн

Тема: ТРАПЕЦИЯ
Тема: ТРАПЕЦИЯ
B
A
C
ABCD –
трапеция
D
BC, AD – основания трапеции, ВС ║ АD
AB,CD – боковые стороны
Определение:
Четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны
называется трапецией.
Равнобедренная трапеция
B
C
AB=CD
ABCD равнобедренная
трапеция
A
D
Определение:
Трапеция, у которой боковые стороны
равны, называется равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции
1. В равнобедренной трапеции углы при
каждом основании равны.
2. В равнобедренной трапеции диагонали
равны.
Признаки равнобедренной трапеции
1. Если углы при основании трапеции
равны, то она равнобедренная.
2. Если диагонали трапеции равны, то
она равнобедренная.
Прямоугольная трапеция
B
C
A=
В = 900
ABCD прямоугольная
трапеция
A
D
Определение:
Трапеция, у которой один из углов
прямой, называется прямоугольной.
Средняя линия трапеции
B
MN — средняя линия
трапеции
C
N
M
D
A
Определение:
Отрезок, соединяющий середины боковых
сторон, называется средней линией трапеции.
Свойство средней линии трапеции
Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме
B
M
A
C
MN ║ ВС ║ АD
N
MN = ( BC + AD) / 2
D
Задача 1
B
C
Дано: ABCD – трапеция,
АВ = СD = ВС.
Найти: углы трапеции.
A
D
Задача 2
5
B
C
Дано: ABCD – трапеция,
АD = 7, ВС = 5, АВ = CD.
Найти: СD.
600
A
600
К
Р
D
Задача 3
C
B
AD = 30, угол С = 1350,
1350
СС1 ┴ AD, угол ВАС = 450
450
A
Дано: ABCD – трапеция,
Найти: ВС.
C1
D
В
М
Задача 4
С
Дано: ABCD – трапеция,
МК – средняя линия.
К
ВС =13, МК = 25.
Найти: АD.
А
D
Самое главное сегодня!
1. Какой четырёхугольник называется
трапецией?
2. Какая трапеция называется равнобедренной?
3. Какая трапеция называется прямоугольной?
4. Сформулируйте свойства и признаки
равнобедренной трапеции.
5. Что такое средняя линия трапеции?
Домашнее задание
П. 44, записи в тетрадях,
№ 387, № 390.
Всем спасибо!
Желаю успехов!

Урок по теме «Средняя линия трапеции» 8 класс

2.Актуализация опорных знаний

Повторение изученного ранее материала.  Работа по презентации

-Как вы думаете,  какова тема урока?

Отгадайте  ребусы и определите ключевые слова урока.

     

Разгадайте загадку

 Я фигуру начертил,

А название забыл.

Ту фигуру каждый знает —

Юбочку напоминает.

В ней четыре стороны,

Не всегда они равны.

 

Используя слова – подсказки, сформулируйте тему урока.

 -Ребята, как вы считаете, какой будет цель нашего урока?

— Какие нужно поставить задачи для достижения нашей цели?

— записываем в тетрадь  тему сегодняшнего урока.

Начинаем наш урок с математического диктанта.

Диктант.

 

 

Высказывания

 

 

Ответ

  1. Верно ли, что трапеция – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны?

Нет

  1. Верно ли, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны?

 

Да

  1. Верно ли, что трапеция является прямоугольной, если у нее три прямых угла?

Нет

  1. Верно ли, что сумма векторов — и  равна 2?

 

Нет

  1. Верно ли, что средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон?

Да

  1. Верно ли, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее четвертой части?

 

Нет

  1. Верно ли, что коллинеарные векторы всегда сонаправлены?

Нет

 

  1. Верно ли, что высоты равнобедренной трапеции, проведенные из вершин тупых углов, отсекают равные прямоугольные треугольники?

 

Да

  1. Верно ли, что векторы  и k∙ сонаправлены?

Нет

 

 

Критерии оценки:

9 «+» — «5»;

7-8 «+» — «4»;

5-6 «+» — «3».

Тест.

Вариант 1.

 

  1. В   АВС найдите     

а)              б)

в)              г)

 

  1. В   АВС найдите     

а)               б)

в)              г)

  1. Найдите меньшее основание трапеции:

 

а) 4                  б) 3

в) 2                  г) 3,5

  1. Выберите верное равенство:

 

а)            б)

в)             г)

 

 

Тест.

Вариант 2.

 

  1. В   MNK найдите     

а)              б)

в)             г)

 

  1. В   MNK найдите     

а)              б)

в)             г)

 

  1. Найдите большее основание трапеции:

 

а) 9                  б) 11

в) 8                  г) 14

 

  1. Выберите верное равенство:

 

а)              б)

в)             г)  Проверим себя:

1 вариант:  1 – В, 2 – Б, 3 – А, 4 – В;
2 вариант:  1 – Б, 2 – Б, 3 – Б, 4 – В;

Слушают

 

 

Отгадывают ребусы, определяют ключевые слова урока.

 

 

 

 

 

 

 

Определяют тему урока, цель, задачи.

 

 

 

Отвечают на вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обмениваются тетрадями, осуществляют взаимопроверку.

 

 

 

Выполняют тестовую работу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Осуществляют самопроверку

5.Контроль и оценка знаний и умений

I вариант.

Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8 см.

 

II вариант.

Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите основание трапеции.

 

III вариант (облегченный)

Большее основание трапеции равно 16 см, а средняя линия – 13 см. Вычислите меньшее основание.

Выполняют задания на листочках

6.Итоги урока

7.Рефлексия

Подведение итогов урока.

Ответить на вопросы:

На уроке  я узнал…

Мне было интересно, что …

Я разобрался в том, что…

Мне стало понятно, что…

Мне непонятно,  . ..

 

 

Отвечают на вопросы

Материалы для подготовки к ГИА «Задачи по теме «Трапеция и ее свойства »

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 96

Готовимся к ГИА

Задачи по теме «Трапеция и ее свойства »

Автор: Кошелева Е.В.,

учитель математики

МАОУ СОШ № 96

г. Краснодар

2014 г.

Решите задачи, используя следующие свойства

1)Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим её оснований h3 = a ∙ b

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 10. Верхнее основание трапеции в два раза меньше её высоты. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 500

Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен 20. Найти площадь этой трапеции.

Ответ: 20

Основания описанной около окружности равнобедренной трапеции равны 2 и 18. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 60

Основания равнобедренной трапеции относятся как 1 : 5, а радиус окружности, вписанной в эту трапецию, равен . Найдите стороны трапеции

Ответ:

Около окружности с диаметром 15 описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17. Найдите основания трапеции.

Ответ: 25 и 9

В равнобокую трапецию с верхним основанием, равным 1, вписана окружность единичного радиуса. Найти нижнее основание трапеции.

Ответ: 4

В равнобокую трапецию вписана окружность радиуса , точка касания делит боковую сторону на отрезки, разность между которыми равна . Найти среднюю линию трапеции.

Ответ: 13

Средняя линия равнобедренной трапеции равна . Известно, что средняя линия делит площадь трапеции на две части, площади которых относятся как 7:13. Найти высоту трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Ответ: 4

В равнобедреннуютрапецию вписан круг. Боковая сторона делится точкой касания на отрезки длиной 9 и 16. Определить площадь трапеции.

Ответ: 600

Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояния между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции12. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ:

Средняя линия равнобокой трапеции, описанной около круга, равна 68. Найти радиус этого круга, если нижнее основание трапеции больше верхнего на 64.

Ответ: 30

В равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 36, вписана окружность радиуса 12. Найдите наименьшее основание трапеции

Ответ: 13

2) Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна средней линии

1.Около круга радиуса описана равнобедренная трапеция с острым углом 30°. Найти длину средней линии трапеции. Ответ: 8

Найти боковую сторону равнобокой трапеции, описанной около круга, если острый угол при основании трапеции равен , а площадь трапеции 288.

Ответ: 24

Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 20

Около окружности описана трапеция, площадь которой равна 20, а синусы углов при основании равны 0,8. Найти длину средней линии трапеции.

Ответ: 5

Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 5. Боковая сторона равна 12. Чему равна площадь трапеции?

Ответ: 120

Равнобокая трапеция с площадью 40 и боковым ребром 8 такова, что в неё можно вписать окружность. Найти радиус окружности.

Ответ: 2,5

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна 8. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен 30°.

Ответ: 4

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 4. Боковая сторона равна 9.  Найти площадь трапеции.

Ответ: 72

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а периметр равен 48. Найдите длину боковой стороны.

Ответ : 12

В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60, а площадь равна , вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Ответ: 3

3)Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты: S = h3.

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а длина её средней линии равна 9. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Ответ: 9

В равнобедренной трапеции средняя линия равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь этой трапеции

Ответ: 25

Найти площадь равнобедренной трапеции, основания которой 12 и 34, а диагонали перпендикулярны

Ответ: 529

В равнобедреннойтрапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции, если её площадь равна 36.

Ответ: 6

Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а её площадь равна 4. Найти высоту трапеции.

Ответ: 2

Найти периметр равнобедренной трапеции, боковая сторона которой 13, высота 12, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Ответ: 50

Площадь равнобедренной трапеции равна 256, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ: 18

В равнобедренной трапеции ABCD (BC || AD) диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, ВС = , AD = . Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Ответ: 15

В равнобедренной трапеции ABCD (AD || BC) Диагонали взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна . Расстояние от вершины А до прямой CD в три раза больше, чем расстояние от вершины В до этой прямой. Найдите основания трапеции.

Ответ: 18 см и 6см

4)В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна средней линии трапеции.

Найти диагональ равнобедренной трапеции, если её площадь равна , а средняя линия равна 2

Ответ: 6

Найти площадь равнобедренной трапеции, если её высота равна 4, а тангенс угла между диагональю и основанием равен .

Ответ: 96

Найти площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ, равная 13, образует с основанием угол, косинус которого равен .

Ответ: 78

Большее основание равнобедренной трапеции равно 8, боковая сторона 9, а диагональ 11. Найти меньшее основание.

Ответ: 5

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10, боковая сторона 18, а диагональ 22. Найти большее основание трапеции.

Ответ: 16

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её средняя линия равна 6, а тангенс угла между диагональю и основанием равен 1,5.

Ответ:54

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её диагональ равна , а средняя линия равна

Ответ: 24

Средняя линия равнобедренной трапеции равна 4. Площадь трапеции равна 8. Найти тангенс угла между диагональю и основанием трапеции

Ответ: 0,5

В равнобедренной трапеции диагональ, равная , составляет с основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.

Ответ:2

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна , а основания равны 4 и 5. Найдите её диагональ

Ответ: 14

В равнобокой трапеции основания 6 и 10. Диагональ равна 10. Найти площадь трапеции

Ответ: 48

Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагоналями трапеции и её основанием равен 2. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 4

В равнобедренной трапеции диагональ равна , а средняя линия – . Найдите высоту трапеции

Ответ: 5

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма. Трапеция — методическая рекомендация. Геометрия, 8 класс.

1. Вопросы по свойствам и признакам параллелограмма 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Теоретические вопросы по свойствам и признакам параллелограмма.
2. Углы параллелограмма (проверка) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Проверка правильности величин углов параллелограмма, свойства углов параллелограмма.
3. Углы параллелограмма (вычисление) 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Вычисление остальных углов параллелограмма, если дан один из его углов.
4. Углы трапеции 1 вид — рецептивный лёгкое 2 Б. Нахождение других углов трапеции, если известны два из них.
5. Углы равнобедренной трапеции 1 вид — рецептивный лёгкое 3 Б. Нахождение остальных углов равнобедренной трапеции, если дана величина одного из них.
6. Средняя линия трапеции 1 вид — рецептивный лёгкое 3 Б. Вычисление средней линии трапеции, если даны её основания.
7. Углы параллелограмма (уравнение) 1 вид — рецептивный среднее 3 Б. Вычисление углов параллелограмма при помощи уравнения.
8. Углы параллелограмма, даны углы между стороной и диагональю 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление углов параллелограмма, если известны углы между стороной параллелограмма и диагональю.
9. Тупой угол параллелограмма 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление тупого угла параллелограмма, если известен угол между стороной и высотой параллелограмма.
10. Вычисление сторон параллелограмма, дан периметр 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Определение стороны параллелограмма, если известен его периметр.
11. Периметр параллелограмма 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление сторон параллелограмма и его периметра.
12. Стороны параллелограмма (разница сторон) 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление сторон параллелограмма, если даны их разница и периметр параллелограмма, при помощи уравнения.
13. Стороны параллелограмма (соотношение сторон) 2 вид — интерпретация среднее 4 Б. Вычисление сторон параллелограмма, если даны их соотношение и периметр параллелограмма, при помощи уравнения.
14. Стороны трапеции 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление сторон трапеции, если дано их соотношение.
15. Основание прямоугольной трапеции 2 вид — интерпретация среднее 3 Б. Вычисление меньшего основания прямоугольной трапеции, если известны острый угол, большее основание и высота трапеции.
16. Высота трапеции 2 вид — интерпретация среднее 2 Б. Вычисление высоты или стороны трапеции, если она образует с основанием угол 30 градусов.
17. Стороны равнобедренной трапеции 2 вид — интерпретация сложное 3 Б. Вычисление сторон трапеции при помощи уравнения, если известны периметр и разница сторон трапеции.
18. Периметр равнобедренной трапеции 2 вид — интерпретация сложное 4 Б. Вычисление периметра равнобедренной трапеции, если известны периметр треугольника и меньшее основание.
19. Прикладная задача на использование свойства средней линии трапеции 3 вид — анализ сложное 4 Б. Вычисление количества металлических прутьев для заказа (в метрах), используется свойство средней линии трапеции.
20. Расстояние от точки до прямой 3 вид — анализ сложное 4 Б. Определение расстояния от точки до прямой с использованием знаний о средней линии трапеции.

Примечания к видео-лекции на http://www.unizor.com

Трапеция

Четырехугольник (многоугольник с 4 вершинами) с двумя противоположными сторонами, параллельными друг другу а две другие стороны не параллельны друг другу называется трапецией . К сожалению, есть еще один термин, используемый для той же цели, трапеция . Традиционно четырехугольник. с двумя параллельными сторонами называется американцами трапецией, в то время как многие европейцы используют термин трапеция.Интересно, что четырехугольник без параллельных сторон называется трапеция в Америке и трапеция в Европе. В этих лекциях мы будем использовать Американская терминология (не потому, что она лучше, а потому, что надо чем-то пользоваться).

Две параллельные стороны трапеции часто называют основаниями (иногда, различение верхней и нижней базы, если используется рисунок), в то время как две другие стороны упоминаются на ноги (иногда различая левую и правую ноги).
Расстояние между параллельными сторонами трапеции по взаимно перпендикулярной линии это его высота .
Отрезок, соединяющий середины двух ветвей, есть его медиана (иногда называемая средняя линия или средняя линия ).
Трапеция называется равнобедренной , если две ее стороны конгруэнтны.

Вот некоторые основные свойства трапеции.

Теорема 1
Основания трапеции не конгруэнтны друг другу (т.е. одно из них должно быть короче другой) .
Это утверждение следует из теоремы о параллелограммах, утверждающей, что четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны друг другу, называется параллелограмм. А так как это параллелограмм, то две другие стороны должны быть равны. параллельны и конгруэнтны друг другу, что противоречит определению трапеция.

Теорема 2
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC уголки ∠ ABC и ∠ BCD , формованные на базе ВС с двумя ножками, конгруэнтны друг другу и, аналогично, углы ∠ BAD и ∠ ADC , образованный основанием AD с двумя ножками, конгруэнтны друг другу тоже .
Опустим перпендикуляры из вершин B и C на противоположные база AD . Точки пересечения: P и Q , соответственно.
Два прямоугольных треугольника Δ BPA и Δ CQD равны конгруэнтны, потому что
(a) их гипотенузы AB и CD равны по предположению этой теоремы (трапеция равнобедренная),
(б) катеты BP и CQ конгруэнтны как расстояния между двумя параллельными линиями BC и AD .
Из равенства этих прямоугольных треугольников следует равенство углов ∠ BAP и ∠ CDQ .
В зависимости от взаимного расположения оснований обе точки P и Q лежат либо внутри основания AD (если оно больше основания BC ) или вне его (если он меньше). В первом случае углы ∠ БАТ и ∠ BAD совпадают, как и углы ∠ CDQ и ∠ CDA . Следовательно, равенство углов при основании доказано. в угол основания в последнем случае ∠ BAD и и ∠ CDA дополняют уголки ∠ BAP и ∠ CDQ и, следовательно, также совпадают.

Теорема 3
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC уголки ∠ ABC и ∠ BAD формованные на ножке АВ с двумя основаниями, доборными и, аналогично, уголками ∠ BCD и ∠ CDA , образованные ветвью CD с двумя базами, также являются дополнительными .
Так как мы доказали, что обе пары углов, образованных каждым основанием с двумя катетами в равнобедренном треугольнике есть равны, сумма двух углов, образованных левым катетом с двумя основаниями, равна равен сумме двух углов, образованных правой ногой с этими двумя основаниями.
Напомним, что сумма всех углов выпуклого четырехугольника (трапеция выпуклая) равен 360 градусам. Следовательно, сумма двух углов, образованных каждым катетом с Два основания равны 180 градусам.

Теорема 4
Медиана трапеции параллельна ее основаниям и равна полусумме этих две базы .
Пусть ABCD — трапеция с нижним основанием AD и верхним основанием до н.э. ; M — середина левой ноги AB и N — середина правой ноги CD .
Соедините вершину B с серединой N противоположной стороны CD и продлить его за точку N до пересечения с продолжение нижнего основания AD в точке X .
Рассмотрим два треугольника Δ BCN и Δ NDX . Они есть конгруэнтны по теореме угол-сторона-угол, потому что
(a) уголки ∠ BNC и ∠ DNX вертикальные,
(b) отрезки CN и ND конгруэнтны (поскольку точка N — середина сегмента CD ),
(c) уголки ∠ BCN и ∠ NDX чередуются внутри уголки с параллельными линиями BC и DX и поперечными CD .
Следовательно, отрезки BC и DX равны, как и сегменты BN и NX , откуда следует, что N является серединой отрезка BX .
Теперь рассмотрим треугольник Δ ABX . Поскольку M является средней точкой стороны AB по предпосылке этой теоремы и N является средней точкой отрезка BX , как только что доказано, отрезок MN является средним отрезком треугольника Δ ABX и, следовательно, параллелен его основанию AX и равна его половине.
Но AX есть сумма нижнего основания AD и сегмента DX , что соответствует верхнему основанию BC . Следовательно, MN равно до половины суммы двух оснований AD и BC . Конец доказательства.

Теорема 5
Прямая, соединяющая середины двух оснований равнобедренной трапеции, является ее осью симметрии .
Пусть ABCD — трапеция с нижним основанием AD и верхним основанием до н.э. ; X является средней точкой основания AD и Y является серединой основания BC .
Так как отрезки AX и XD равны, для доказательства симметрия точек А и D относительно XY , достаточно доказать, что XY перпендикулярно AD .Аналогично, поскольку отрезки BY и YC конгруэнтны, доказать симметрию B и C относительно XY достаточно доказать перпендикулярность XY и до н.э. . Очевидно, что если XY перпендикулярно одному основанию, оно перпендикулярно другому основанию, так как основания трапеции параллельны.
Для определенности предположим, что база BC меньше, чем AD . Соедините точку X с обоими концами противоположного основания BC и рассмотрим два треугольника: Δ AXB и Δ DXC . Они конгруэнтны по аксиоме стороны-угла-стороны, потому что
а) стороны AX и XD равны (поскольку X является серединой основания AD ),
б) углы ∠ BAX и ∠ CDX равны, т.к. углы при основании равнобедренной трапеции (см. выше),
в) стороны AB и CD равны катетам равнобедренного треугольника. трапеция.
Из равенства этих треугольников следует, что отрезки XB и XC равны, а треугольник Δ BXC равен равнобедренный. Отрезок XY является медианой этого равнобедренного треугольника и, следовательно, это также его высота. Следовательно, XY перпендикулярны к основанию BC , что достаточно для симметрии этого равнобедренного трапеция относительно линии XY .

Доказательство параллельности средней линии трапеции. Н.Никитин Геометрия

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

  • Собираемая нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрывать свои персональные данные. Мы также можем раскрывать информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, правоохранительных органов или по другим причинам, представляющим общественный интерес.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением правил конфиденциальности.

В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих чертах и ​​свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и вписанной в трапецию окружности. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми этими элементами и их сочетаниями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, во время чтения начертите трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

  1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии.А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
  2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
    Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
  4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции.Она пересекает основания в точках X и T.
    Если теперь продолжить линию XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжения сторон и середины трапеций основания X и T пересекаются.
  5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
  2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок такой же длины, как и сторона.

Свойства угла трапеции

  1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
  3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

  1. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ.Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
  3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
  4. Только вблизи равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
  5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + б)/2 .
  7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции.Вы получите два разреза. Длину единицы можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (a+b)/2 . Второе мы получим, если из большего основания вычтем меньшее и разделим полученную разницу на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
  2. Диагональ и сторона могут сходиться под острым углом, тогда центр окружности находится внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
  5. Коротко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности.Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = AE/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

Свойства трапеции, описанной около окружности

В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: м = (с + d)/2 .
  2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
  3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
  4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и сторона трапеции, примыкающей к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

Полученный четырехугольник AKMT является параллелограммом (AK || MT, KM || AT). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

К.Э.Д.

Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

Задание повторить

Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, сторона КА, равная 8 см, образует с меньшим основанием угол 150 0 .Вам нужно найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опускаем высоту до большей трапеции основания. И начнем смотреть на углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

Теперь рассмотрим прямоугольный ∆ANK (я думаю, что это очевидно для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции KH — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать карандашом в руках трапеции всех вышеперечисленных свойств и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

Конечно, информации здесь много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной.Но вы сами видели, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробная сводка всех общих свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

блог.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какая фигура называется трапецией.

Определение 1

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные — сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем ее векторным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рис. 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и \ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow(MN)$. Далее мы используем правило многоугольника для сложения векторов.С одной стороны получаем, что

С другой стороны

Складывая два последних равенства, получаем

Так как $M$ и $N$ — середины сторон трапеции, то

Получаем:

Следовательно

Из того же равенства (поскольку $\overrightarrow(BC)$ и $\overrightarrow(AD )$ сонаправлены и, следовательно, коллинеарны), получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры заданий на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Стороны трапеции равны $15\см$ и $17\см$ соответственно.Периметр трапеции равен $52\см$. Найдите длину средней линии трапеции.

Раствор.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма сторон равна

Следовательно, поскольку периметр равен $52\см$, сумма оснований равна

Отсюда по теореме 1 получаем

Ответ: $10\см$.

Пример 2

Концы окружности диаметром $9$ см и $5$ см соответственно от ее касательной.Найдите диаметр этого круга.

Раствор.

Дана окружность с центром $O$ и диаметром $AB$. Проведите касательную $l$ и постройте расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Поскольку $AD$ и $BC$ — расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$, а поскольку $OH$ — радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH |\влево|AD\вправо||BC$. Из всего этого получаем, что $ABCD$ — трапеция, а $OH$ — ее средняя линия.По теореме 1 получаем

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ.

§ 49. ТРАПЕЦИЯ.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.

На рис. 252 четырехугольник ABDC AB || компакт-диск, переменный ток || Б.Д. ABDC — трапеция.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями ; АВ и CD — основания трапеции. Две другие стороны называются сторонами трапеции; AC и BD — стороны трапеции.

Если стороны равны, то трапеция называется равнобедренной .

Трапеция АВОМ равнобедренная, так как АМ=ВО (рис. 253).

Трапецию, у которой одна из сторон перпендикулярна основанию, называют прямоугольной (дев. 254).

Срединная линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна каждому из ее оснований и равна их полусумме.

Дано: ОС — средняя линия трапеции АБДК, т. е. ОК = ОА и ВС = CD (рис. 255).

Мы должны доказать:

1) ОС || КД и ОС || АБ;
2)

Доказательство. Через точки A и C провести прямую, пересекающую продолжение основания KD в некоторой точке E.

В треугольниках ABC и DCE:
BC = CD — по условию;
/ 1 = / 2 вертикально,
/ 4 = / 3, как внутренние крестообразно лежащие с параллельными АВ и КЕ и секущей BD.Следовательно, /\ АВС = /\ ДСЭ.

Следовательно, AC = CE, т. е. OS — средняя линия треугольника KAE. Отсюда (§ 48):

1) ОС || КЭ и, следовательно, ОС || КД и ОС || АБ;
2) , но DE = AB (из равенства треугольников ABC и DCE), поэтому отрезок DE можно заменить равным ему отрезком AB. Тогда получаем:

Теорема доказана.

Упражнения.

1. Докажите, что сумма внутренних углов трапеции, примыкающих к каждой стороне, равна 2 d .

2. Докажите, что углы при основании равнобедренной трапеции равны.

3. Докажите, что если углы при основании трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

4. Докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

5. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

6. Докажите, что периметр фигуры, образованной отрезками, соединяющими середины сторон четырехугольника, равен сумме диагоналей этого четырехугольника.

7. Докажите, что прямая, проходящая через середину одной из сторон трапеции параллельно ее основаниям, делит другую сторону трапеции пополам.

Четырехугольник только с двумя параллельными сторонами называется трапецией .

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями , а те стороны, которые не параллельны, называются сторонами . Если стороны равны, то такая трапеция равнобедренная. Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Средняя линия трапеции

Срединная линия — отрезок, соединяющий середины сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.

Теорема:

Если прямая, пересекающая середину одной стороны, параллельна основаниям трапеции, то она делит вторую сторону трапеции пополам.

Теорема:

Длина средней линии равна среднему арифметическому длин ее оснований

МН || АБ || DC
AM=MD; БН=НЗ

MN средняя линия, AB и CD — основания, AD и BC — стороны

МН=(AB+DC)/2

Теорема:

Длина средней линии трапеции равна среднему арифметическому длин ее оснований.

Основная задача : Докажите, что средняя линия трапеции делит пополам отрезок, концы которого лежат на середине оснований трапеции.

Средняя линия треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Он параллелен третьей стороне и его длина равна половине длины третьей стороны.
Теорема : Если прямая, пересекающая середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне данного треугольника, то она делит третью сторону пополам.

AM = MC и BN = NC =>

Применение свойств средней линии треугольника и трапеции

Деление отрезка на определенное количество равных частей.
Задание: Разделите отрезок АВ на 5 равных частей.
Решение:
Пусть p — случайный луч, начало которого находится в точке A и который не лежит на прямой AB. Откладываем последовательно 5 равных отрезков на р АА 1 = А 1 А 2 = А 2 А 3 = А 3 А 4 = А 4 А 5
Соединяем А 5 с В и проводим прямые через А 4 , А 3 , А 2 и А 1 параллельны А 5 В.Они пересекают AB в точках B 4 , B 3 , B 2 и B 1 соответственно. Эти точки делят отрезок АВ на 5 равных частей. Действительно, из трапеции BB 3 A 3 A 5 мы видим, что BB 4 = B 4 B 3 . Точно так же из трапеции B 4 B 2 A 2 A 4 получаем B 4 B 3 = B 3 B 2

В то время как из трапеции B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Тогда из B 2 AA 2 следует, что B 2 B 1 = B 1 A. В итоге получаем:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Это Ясно, что для того, чтобы разделить отрезок AB на другое количество равных частей, нужно спроецировать такое же количество равных отрезков на луч p.А затем продолжить в порядке, описанном выше.

Math9_Q3_Module 3 Страницы 1-19 — Flip PDF Download

9 9 Математика. Четверть 3. Модуль 3. Теоремы о средней линии и теоремы о трапециях и воздушных змеях.

Математика. , раздел 176 гласит: «Ни одно произведение правительства Филиппин не защищено авторскими правами.Однако для использования такого произведения в целях получения прибыли необходимо предварительное одобрение государственного органа или учреждения, в котором создается произведение. Такое агентство или ведомство может, помимо прочего, выдвигать в качестве условия выплату лицензионных отчислений. Заимствованные материалы (например, песни, рассказы, стихи, изображения, фотографии, торговые марки, товарные знаки и т. д.), включенные в этот модуль, принадлежат их соответствующим владельцам авторских прав. Были приложены все усилия, чтобы найти и получить разрешение на использование этих материалов у соответствующих владельцев авторских прав.Издатель и авторы не представляют и не претендуют на право собственности на них. Опубликовано Департаментом образования SDO Нуэва-Эсиха. Руководитель школьного отдела: Джесси Д. Феррер, CESO V. Помощник руководителя школьного отдела: Мина Грейс Л. Акоста, доктор философии, CESO VI. Ронило Э. Иларио Группа разработчиков модуля Автор: Райан Д. Редакторы Alap: Джерри М. Падидиг, Джоали О. Гонсалес, Роландо К.Руллан-младший Донато Б. Чико Леви Б. Хернал Марк В. Гэтбунтон Рецензент: SDO Nueva Ecija Художник-макет: Райан Д. Алап Руководящая группа: Джейн М. Гарсия, Эд Флорентино О. Рамос, доктор философии Беверли Т. Мангулабнан, доктор философии Элеонора А. Манибог, доктор философии Отпечатано на Филиппинах Министерством образования – регион III – SDO Адрес офиса в Нуэва-Эсиха: Brgy. Ризал, Ста. Rosa, Nueva Ecija Телефакс: (044) 940-3121 Адрес электронной почты: [email protected]

Вводное сообщение Этот модуль самообучения подготовлен для того, чтобы вы, наши дорогие ученики, могли продолжать учебу и учиться, не выходя из дома.Действия, вопросы, указания, упражнения и обсуждения четко сформулированы, чтобы вы могли понять каждый урок. Каждый SLM состоит из разных частей. Каждая часть будет направлять вас шаг за шагом по мере того, как вы узнаете и понимаете уроки, подготовленные для вас. Предварительные тесты предназначены для измерения ваших предыдущих знаний по урокам в каждом SLM. Это подскажет вам, нужно ли вам продолжить выполнение этого модуля, если вам нужно обратиться к своему фасилитатору или за помощью к учителю для лучшего понимания урока.В конце каждого модуля вам необходимо ответить на пост-тест, чтобы самостоятельно проверить свои знания. Ключи ответов предоставляются для каждого задания и теста. Мы верим, что вы будете честны в их использовании. В дополнение к материалам в основном тесте, «Примечания для учителя» также предоставляются нашим инструкторам и родителям для стратегий и напоминаний о том, как они могут лучше всего помочь вам в вашем домашнем обучении. Пожалуйста, используйте этот модуль с осторожностью. Не ставьте ненужных меток ни на одной части этого SLM. Используйте отдельный лист бумаги при ответах на упражнения и тесты.Внимательно прочитайте инструкции перед выполнением каждой задачи. Если у вас есть какие-либо вопросы по использованию этого УУЗР или трудности с ответами на задания в этом модуле, не стесняйтесь обращаться к своему учителю или фасилитатору. Спасибо.

Что мне нужно знать Этот модуль был разработан и написан для учащихся. Ожидается, что после прохождения этого модуля учащийся: 1. докажет теорему о средней линии (M9GE-IIId-1) 2. докажет теоремы о трапециях и воздушных змеях (M9GE-IIId-2) Что я знаю ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА Направления: выяснить как много вы уже знаете об этом уроке.Выберите правильный ответ для каждого пункта. Напишите буквы своих ответов на отдельном листе бумаги. Обратите внимание на вопросы, на которые вы не ответили правильно, и найдите правильный ответ по мере прохождения этого модуля. 1. Какое из следующих утверждений ВЕРНО? А. Трапеция может иметь четыре равные стороны. Б. У трапеции может быть три прямых угла. C. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. D. Диагонали равнобедренной трапеции делят друг друга пополам.2. Найдите длину x или медиану приведенной ниже трапеции. A. 23,5 B. 23,6 21 C. 23,7 D. 23,9 x 26 3. Диагонали равнобедренной трапеции равны (2x — 47) см и (x + 31) см. Каково значение х? А. 37 Б. 39 В. 78 Г. 80 4. Водосточный желоб в поперечном сечении имеет форму трапеции с основаниями 2 м и 6 м.Какова длина медианы трапеции? A. 2 м B. 4 м C. 5 м D. 8 м 5. Найдите значение y на рисунке ниже. A. 24 B. 30 (3y -17)0 (2y +13)0 C. 35 D. 45 1

1Урок Теорема о средней линии и теоремы о трапециях и воздушных змеях Поздравляем! Сейчас вы изучаете третий урок для Третьей четверти. В предыдущем модуле обсуждались теоремы о различных видах параллелограмма (прямоугольник, ромб и квадрат).Теперь в этом модуле мы сосредоточимся на теореме о средней линии и теоремах о трапециях и воздушных змеях. Кроме того, этот модуль поможет учащимся решать задачи, связанные с теоремой о средней линии, трапециями и воздушными змеями, используя каждую из теорем и свойств. Что внутри? Проверьте свои предположения. Указания: Используя приведенную ниже таблицу, угадайте, верно это утверждение или нет. Пройдя этот модуль, вернитесь к таблице и напишите «Правильно» или «Неверно» в зависимости от ваших предположений. Утверждения Мое предположение… Я был… (Правильно или Ложно) (Правильно или Неверно) 1.Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое короче. 2. Медиана трапеции параллельна основаниям и ее длина равна половине суммы длин оснований. 3. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. 4. Стороны равнобедренной трапеции параллельны и конгруэнтны. 5. Диагонали воздушного змея перпендикулярны друг другу. 2

Что нового Исследуй меня! ЗАДАНИЕ A Используя приведенный рисунок, следуйте указанной процедуре и ответьте на приведенные ниже вопросы.Материалы: бумага для документов, карандаш, линейка и транспортир Процедура: A B F 1. Нарисуйте трапецию ABCD, где AB = 6 см, BC = 5 см, E C AD = 5 см и DC = 10 см. D 2. Обозначьте середины отрезков ̅A̅̅D̅ и B̅̅̅C̅ буквами E и F соответственно.3. Чтобы сформировать отрезок, соедините E и F. Вопросы: • Выглядит ли E̅̅̅F̅ параллельно основанию трапеции? • Измерьте ̅E̅̅F̅ с помощью линейки. Как долго это? • Какова сумма оснований трапеции ABCD? • Сравните сумму оснований и длину ̅E̅̅F̅. Что ты нашел? ЗАДАНИЕ B Учитывая рисунок справа, выполните описанную ниже процедуру и ответьте на следующие вопросы. Материалы: бумага, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, линейка.Процедура: Y It hapeislo kslikearo f 1. Нарисуйте воздушного змея RYAN, где ̅Y̅̅R̅ ≅ ̅Y̅̅A̅ и R̅̅̅N̅ ≅ ̅A̅̅N̅ . R A Рассмотрим диагонали R̅̅̅A̅ и ̅Y̅̅N̅, которые пересекаются в точке Z. Z 2. С помощью транспортира оцените каждый из углов при вершине в точке Z. В таблице ниже сообщите о своих выводах. 3Н

3.Чтобы измерить указанные сегменты, используйте линейку и запишите свои наблюдения в таблице ниже. Что измерять? • Сравните величины углов в каждой паре. Что ты нашел? Что такое Что такое теорема о средней линии? Теорема о средней линии Теорема 1: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое короче.Теперь мы докажем очень важную теорему, которая будет очень полезна в следующем разделе. B Дано: ∆ABC, D — середина A̅̅̅B̅, 1 A E — середина ̅B̅̅C̅ D A2 E F Докажите: ̅D̅̅E̅ ∥ ̅A̅̅C̅, ̅D̅̅E̅ = 1 A̅̅̅C̅ A 3 A A 2 Его форма похожа на крышу Доказательство: AA 4 C Утверждения A A Причины A 1.∆ABC, D — середина отрезка A̅̅̅B̅, E — 1. Дана середина отрезка ̅B̅̅C̅ 2. В луче, противоположном E̅̅̅D̅, есть 2. В луче укажите на заданную точку F так, что D̅̅̅E̅ = E̅̅̅F̅ расстояние от конечная точка луча. 3. E̅̅̅B̅ ≅ E̅̅̅C̅ 3. Определение середины 4. ∠2 ≅ ∠3 4. Вертикальные углы 5. ∆DBE ≅ ∆FCE 5.Постулируйте конрумию SAS постулируют 4

6. ∠1 ≅ ≅4 6. Соответствующие части конгруэнтных треугольников составляет 7. a̅̅̅b̅ ∥ C̅̅̅f̅ congrament 7. Если альтернативные углы интерьера 8. a̅̅̅d̅ ≅ b̅̅̅d̅ connoguent, то линии 9. ̅d̅̅b̅ ≅ f̅̅̅c̅ параллельно. 8. Определение средней точки 10. D̅̅̅A̅ ≅ C̅̅̅F̅ 9.Соответствующие части 11. Четырехугольник ADFC — конгруэнтный Треугольники — параллелограмм. Конгруэнт 12. D̅̅̅e̅ ∥ ̅A̅̅C̅ 10. Отличный недвижимость 11. Определение параллелограммы 13. ̅d̅̅e̅ + e̅̅̅f̅ = d̅̅̅f̅ 14. d̅̅̅e̅ + d̅̅̅e̅ = d̅̅̅f̅ 12. ̅d̅̅e̅ находится на стороне d̅̅̅f̅ adfc 15. 2̅d̅̅e̅ = ̅d̅̅f̅ 16. a̅̅̅c̅ ≅ d̅̅̅f̅ 13. Постулат сложения сегментов 17. 2̅D̅̅E̅= ̅A̅̅C̅ 14. Подстановка 18. ̅D̅̅E̅ = 1 A̅̅̅C̅ 15.Дополнение 16. Свойство параллелограмма 2 17. Противоположные стороны равны. 18. Свойство равенства умножения Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое короче. Что такое Трапеция? Трапеция — еще один тип четырехугольника, который так же важен, как и параллелограмм. Четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон, является трапецией.Параллельные стороны трапеции считаются основаниями, а катеты называются непараллельными сторонами. Углы при основании называются углами, образованными основанием и ребром. Теорема о средней линии трапеции Отрезок, соединяющий середины катетов трапеции, называется медианой. Теорема о среднем отрезке трапеции Теорема 2: медиана трапеции параллельна каждому основанию, а ее длина равна половине суммы длин оснований. 5

Чтобы доказать приведенную выше теорему, посмотрите приведенное ниже доказательство.F G Его форма похожа на крышу Дано: Трапеция EFGH с медианой I̅J Докажите: I̅J ∥ F̅̅̅G̅ , I̅J ∥ E̅̅̅H̅ I K AJ I̅J = 1 (E̅̅̅H̅ + ̅F̅̅G̅) EA Его форма похожа на крышу \\ J 2 A A Доказательство: H Его форма похожа на крышу Утверждения A Причины 1.Трапеция EFGH с медианой I̅J 1. Дана 2. Нарисуйте ̅F̅̅H̅ с серединой K 2. Постулат прямой 3. I̅̅K̅ = 1 E̅̅̅H̅ и I̅̅K̅ ∥ ̅E̅̅H̅ 3. Теорема о средней линии 2 4. Теорема о средней линии на ∆FGH 1 4. ̅K̅ F̅̅̅g̅ и ̅k̅̅j̅ ∥ f̅̅̅g̅ 5. ̅e̅̅̅̅̅ ∥ f̅̅̅g̅ 5. Определение трапеции 6. I̅̅k̅ ∥ ̅f̅̅g̅ 6. Определение параллельного 7. IK̅̅ и ̅k̅̅j̅ оба параллельны IK̅ ̅ 7.Определение параллели ̅F̅G̅̅. Таким образом, I, K и J коллинеарны. 8. I̅J = I̅̅K̅ + ̅K̅̅J̅ 8. Постулат сложения сегментов 9. I̅J = 1 ̅E̅̅H̅ + 1 ̅F̅̅G̅ 9. Подстановка (SN 3, 4 и 8) 10. Распределительное свойство равенства 22 10. I̅J=1 (E̅̅̅H̅ + ̅ ̅ Теоремы о равнобедренной трапеции Теорема 3. Углы при основании равнобедренной трапеции равны. Теорема 4: Противолежащие углы равнобедренной трапеции дополнительные.Теорема 5: Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Теорема 3. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. Дано: равнобедренная трапеция.IsoSceles Trapezoid Math 1. Дано 2. M̅̅̅̅A̅ ∥ ̅H̅̅T̅ 2. Определение inoSceles Trapezoid M̅̅̅̅h̅ ≅ A̅̅̅t̅ 3. Нарисуйте M̅̅̅p̅ ⊥ H̅̅̅T̅ 3. Строительство ̅a̅̅q̅ ⊥ h̅̅̅t̅ Так что ̅h̅̅p̅ = q̅̅̅t̅ 4. Определение конгруэнтных сегментов. 4. H̅̅̅P̅ ≅ Q̅̅̅T̅ 6

5. ∠MPH и ∠AQT прямые углы 5. Определение перпендикулярных отрезков 6.∆MPH и ∆AQT — прямоугольные треугольники. 6. Определение прямоугольного треугольника 7. ∆MPH ≅ ∆AQT 7. Утверждения 2 и 4 и катет гипотенузы (HL) 8. ∠H ≅ ∠T 8. Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны 9. ∠HMA и ∠H являются дополнительными 9. Внутренние углы одной стороны Теорема углов. 10. Теорема о дополнении ∠TAM и ∠T являются дополнительными углами.10. ∠HMA ≅ ∠TAM Теорема 4: Противолежащие углы равнобедренной трапеции дополняют друг друга. O 12 V Дано: Равнобедренная трапеция LOVE A A Докажите: ∠O и ∠E являются дополнительными AA ∠L и ∠V являются дополнительными Доказательство: 3 E LS Утверждения A Доводы A 1.Равнобедренная Трапеция ЛЮБОВЬ 1. Дано 2. ̅L̅̅O̅ ≅ ̅V̅̅E̅; ̅O̅̅V̅ ≅ ̅L̅̅E̅ 2. Определение равнобедренного треугольника 3. Из O провести O̅̅̅S̅ ∥ V̅̅̅E̅, где лежит S 3. Постулат о параллельности на L̅̅̅E̅ 4. OSEV является параллелограммом 4. Определение параллелограмма 5. ̅V̅̅ O̅ ≥ ≥ ̅L̅̅O̅ ≅ O̅̅̅S̅ 6. Свойство транзитивности 7. Треугольник ∆LOS равнобедренный. 7. Определение равнобедренного треугольника 8. ∠3 ≅ ∠L 8.Теорема о равнобедренном треугольнике 9. m∠1 + m∠3 + m∠L = 1800 9. Теорема о сумме внутренних углов треугольника 10. ∠3 ≅ ∠2 10. Альтернативные внутренние углы конгруэнтны 11. ∠L ≅ ∠E 11. Теорема 3. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. 12. m∠1 + m∠2 + m∠E = 1800 12. Замена (SN 9, 10 и 11) 13.∠1 + ∠2 = ∠LOV 13. Постулат сложения углов 14. m∠LOV + m∠E 14. Подстановка 15. m∠E + m ∠V 15. Внутренние углы одной стороны являются дополнительными. 16. m∠L + m∠V 16. Замена 17. ∠O и ∠E дополнительные 17. Определение дополнительных углов ∠L и ∠V дополнительные 7

Теорема 5. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны.Учитывая: IsoSceles Trapezoid Cute UT Доказательство: C̅̅̅t̅ ≅ E̅̅̅U̅ AA Доказательство: заявления CE 1. Наследственные причины 1. IsoSceles Trapezoid Cute A 2. ̅u̅̅c̅ ≅ T̅̅̅e̅ 3. ∠cut ≅ ∠etu 2. Определение inoSceles Trapezoid 4. U̅̅̅T̅ ≅ ̅t̅̅u̅ 3 Теорема 3. Углы при основании равнобедренной трапеции 5. ∆CUT ≅ ∆ETU 6. C̅̅̅T̅ ≅ E̅̅̅U̅ равны.4. Рефлексивное свойство 5. Постулат о конгруэнтности SAS 6. Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны Пример 1 R Y Дано: RYAN — трапеция со медианой ̅̅̅̅̅. а. Если RY = 14 и NA = 18, найти DM DA AM b. Если RY = 4x -10, DM = x + 2 и NA = 8, найдите x NA AA Решения: A A a.DM = 1 (̅R̅̅Y̅ + ̅N̅̅A̅) Средний сегмент трапеции Теорема 2 Подставить Simplify = 1 (14 +18) 2 = 16 b. DM = 1 (̅R̅̅Y̅ + N̅̅̅A̅) Теорема о средней линии трапеции Замена 2 Упрощение x + 2 = 1 ⌊(4 − 10) + 8⌋ Распределительное свойство 2 x + 2 = 1 (4 − 2) 2 x + 2 = 2x – 1 3 =x Вычтите x и прибавьте 1 к каждой стороне.Пример 2 Используйте равнобедренную трапецию справа, чтобы ответить на следующие вопросы. а. Если MI = 8x + 2 и NA = 4x + 6, найдите x. М А А б. MAIN — равнобедренная трапеция и m∠M = 65. A Что такое m∠A, m∠I и m∠N? I N 8A

Решения: a.По теореме 5 M̅̅̅̅I = ̅N̅̅A̅. Итак, 8x + 2 = 4x + 6 Теорема 5 4x = 4 Упростим x=1 Умножим на 1 с каждой стороны. 4 б. m∠M + m∠A = 180 Два угла, образующие односторонние внутренние углы вдоль одного катета, являются дополнительными. 65 + m∠A = 180. Замените m∠A = 115. Вычтите 65 с каждой стороны. Теоремы о воздушных змеях. Углы воздушного змея. Теорема: невершинные углы воздушного змея конгруэнтны.Диагонали воздушного змея Теорема: диагонали воздушного змея перпендикулярны. Теорема о биссектрисе диагонали воздушного змея: Диагональ, соединяющая вершины углов при вершине воздушного змея, является серединным перпендикуляром к другой диагонали. Теорема о биссектрисе угла воздушного змея: углы при вершине воздушного змея делятся пополам его диагональю. Теорема: площадь воздушного змея равна половине произведения длин его диагоналей. Дано: Четырехугольник МИНС — воздушный змей. M Докажите: ∠I ≅ ∠S A IS Утверждения Причины AA 1.Соедините точки I и S с помощью 1. Построения и линии отрезка Постулат N 2. ̅M̅̅̅I ≅ M̅̅̅S̅ 2. Определение воздушного змея A ̅I̅N̅ ≅ S̅̅N̅̅ 3. Конгруэнтность SSS 3. ∆MIN ≅ ∆MSN Постулат 4. CPCTC 4. ∠I ≅ ∠S 9

Пример 3 1) Найдите площадь воздушного змея с диагоналями 8 дюймов и 16 дюймов в длину.Площадь воздушного змея = d1d2 2 Решения: Площадь = (8 )(16) = 108 2 = 54 дюйма2. 22 2. Когда диагонали воздушного змея пересекаются, они образуют 4 отрезка длиной 6 м, 4 м, 5 м и 4 м. Какова площадь получившегося воздушного змея? Решения: Отрезки длиной 4 м и 4 м должны представлять отрезок, который был разделен пополам на 2 равные части или d2, d2 = 4 м + 4 м = 8 м. Отрезки длиной 6 м и 5 м должны представлять d1, тогда d1 = 6 метров + 5 метров = 11 метров Площадь = 8 × 11 = 88 = 44 м2.22 Дополнительное задание «Что еще?»: Завершите доказательство! A. Указания: Дополните приведенную ниже таблицу доказательствами теорем о равнобедренных трапециях. Запишите свои ответы на отдельном листе бумаги. Дано: равнобедренная трапеция ABCD AB Докажите: A̅̅̅C̅ ≅ ̅B̅̅D̅ AA Доказательство: DC Утверждения 1. Дано A Причины A 1. 2. Проведите диагонали ̅̅̅̅ и ̅̅̅̅ 2.3. 4. 3. Определение равнобедренной трапеции 5. ̅A̅̅B̅ ≅ ̅A̅̅B̅ 4. Теорема 3. Углы при основании 6. равнобедренной трапеции равны. 7. ̅A̅̅C̅ ≅ B̅̅̅D̅ 5. 6. Постулат о конгруэнтности SAS 7. 10

B. Указания: Дополните приведенную ниже таблицу доказательствами теорем о воздушных змеях.Запишите свои ответы на отдельном листе бумаги. Дано: Воздушный змей GIVE с диагоналями I V ̅G̅̅V̅ и I̅E GA Докажите: G̅̅̅V̅ — серединный перпендикуляр к I̅E A E A Доказательство: Утверждения Обоснования 1. 1. Дано 2. 2. G̅I ≅ G̅̅̅E̅; I̅V ≅ E̅̅̅V̅; 3. G̅I = G̅̅̅E̅; I̅̅V̅̅= E̅̅̅V̅ 3.4. 4. Теорема о биссектрисе диагонали воздушного змея C. Указания: Дополните приведенную ниже таблицу доказательствами теорем о воздушных змеях. Запишите свои ответы на отдельном листе бумаги. B Дано: Воздушный змей ABCD с A̅̅̅B̅ ≅ ̅A̅̅D̅ и ̅C̅̅B̅ ≅ ̅C̅̅D̅. AA C Доказательство: ̅A̅C̅̅ ⊥ B̅̅̅D̅ A Доказательство: D Основания Утверждения 1.Учитывая 1. 2. A 2. A и C лежат на серединном перпендикуляре к B̅̅̅D̅ 3. 3. A̅̅̅C̅ ⊥ ̅B̅̅D̅ Что я узнал Подведем итоги! Давайте вспомним, что вы узнали. Вставьте недостающие слова, чтобы сделать утверждение верным. Напишите свой ответ на отдельном листе бумаги. 1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен ___________ третьей стороне и вдвое короче. 2. ________________ — четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон.3. ________________ трапеции параллельна каждому основанию и ее длина равна половине суммы длин оснований. 4. Углы при основании равнобедренной трапеции равны _____________. 11

5. Противолежащие углы равнобедренной трапеции ____________________. 6. Диагонали равнобедренной трапеции равны ________________. 7. _________________ углы воздушного змея равны. 8. Диагонали воздушного змея ________________.9. ____________ воздушного змея составляет половину произведения длин его диагоналей. 10. ________________ называют углами, образуемыми основанием и катетом трапеции. Что я могу сделать № ДЕЯТЕЛЬНОСТИ. 1 Направления: Напишите и решите, что спрашивают. Запишите свое полное решение на отдельном листе бумаги. По пунктам 1-4. Обратитесь к четырехугольнику MOVE, который представляет собой равнобедренную трапецию. MO 1. Назовите основания на рисунке. AA 2. Какие два отрезка параллельны? 3.Какие два отрезка равны? E V 4. Что вы называете ̅̅̅̅̅ и ̅̅̅̅? 5. Диагонали воздушного змея имеют длины 13 дюймов и 8 дюймов. Найдите площадь воздушного змея. А А Для пунктов 6-7. Обратитесь к трапеции ABCD с медианой ̅̅̅̅ D В В С В В АФ 6.Если DC = 10 и AB = 20, какова мера В В E Его форма похожа на крышу В В Его форма похожа на крышу АВ. В В В A из E̅̅̅F̅ ? А 7.Если EF = 16 и AB = 22, какова мера ̅D̅̅C̅ ? Его форма похожа на крышу. АКТИВНОСТЬ НЕТ.2. Завершите доказательство. Указания: дополните приведенную ниже таблицу доказательствами теоремы о средней линии трапеции. Запишите свои ответы на отдельном листе бумаги. Дано: трапеция ABCD с медианой E̅̅̅F̅. А В В B Докажите: ̅E̅̅F̅ ∥ A̅̅̅B̅ ∥ ̅D̅̅C̅ и EF = 1 (̅̅̅̅ + ̅̅̅̅) E В В Его форма похожа на крышу D В В Ф 2 В В С В В G A 12

Доказательство: Причины 1. Утверждения 1. Трапеция ABCD с медианой ̅E̅̅F̅. 2. Постулат прямой в G. 2. 3. 3. ̅A̅̅B̅ ∥ ̅D̅̅C̅ 4. 4. Определение медианы трапеции 5. ∠ABF ≅ ∠GCE 5. 6. ∠BFA ≅ ∠CFG 6. 7. 7. ASA Постулат 8. 8. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и вдвое короче.9. E̅̅̅F̅ ∥ ̅A̅̅B̅ 9. 10. DG = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ 11. DG = ̅̅̅̅ + ̅̅̅̅ 10. 12. 11. 12. Оценка закона замещения Указания: Давайте проверим, что вы узнали из этого модуля. Внимательно прочитайте каждый вопрос. Напишите буквы своих ответов на отдельном листе бумаги. 1. Какое из следующих утверждений верно для воздушных змеев? А. Противоположные стороны равны.Б. Диагонали равны. C. Углы при вершине равны. D. Диагонали перпендикулярны. 2. Диагонали равнобедренной трапеции представлены числами 2x – 40 и x + 20. Каково значение x? A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 3. Какова длина медианы трапеции CARE? C 8 см A AA E 20 см R A. 5 см B. 9 см C.14 см Г. 28 см 13

4. Райан делает торт, подобный тому, который показан ниже. Верхний слой торта имеет диаметр 9 дюймов, а нижний слой имеет диаметр 21 дюйм. Насколько большим должен быть средний слой торта? A. 12 дюймов B. 13 дюймов C. 14 дюймов D. 15 дюймов 5. Два последовательных угла трапеции прямые. Какое утверждение НЕ МОЖЕТ быть верным? А. Два прямых угла являются углами при основании.Б. Диагонали не равны. C. Две стороны равны. D. Никакие две стороны не конгруэнтны. 6. Трапеция имеет высоту 15 дюймов и основания размером 14 дюймов и 26 дюймов. Какова его площадь? A. 300 квадратных дюймов B. 301 квадратный дюйм C. 302 квадратных дюйма D. 303 квадратных дюйма 7. Когда диагонали воздушного змея пересекаются, они образуют 4 сегмента длиной 6 метров, 4 метра, 5 метров и 4 метра. Какова площадь получившегося воздушного змея? А.41 кв.м. B. 42 кв.м. C. 43 кв.м. D. 44 кв.м. 8. Цветник в форме трапеции с основаниями 6 м и 7 м. Из средних точек двух сторон будет построен забор, чтобы разделить сад на две части. Какой должна быть длина этого забора? A. 4,5 м B. 5,5 м C. 6,5 м D. 7,5 м 9. Какое из следующих утверждений ВЕРНО? А. Трапеция может иметь четыре равные стороны. Б. У трапеции может быть три прямых угла. C. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. D. Диагонали равнобедренной трапеции делят друг друга пополам. 10. Каковы размеры сторон кайта SOFT в метрах? A. ST = 1 м и TF = 2 м 7x — 2 O 6x + 5 B. SO = 12 м и FT = 35 м S C. ST = 8 м и OF = 13 м F Его форма похожа на крышу D .SO = 13 м и OF = 15 м 5x + 2 5x + 10 T 14

Что еще Что я могу сделать? Ответ Ключевая оценка Упражнение по обогащению Упражнение №1 1. D A. 15 2. C 1. ABCD равнобедренная 1. ̅̅̅̅̅ или ̅̅̅̅̅̅ и ̅̅̅̅̅ 3. C или ̅̅̅̅̅ 4. D трапеция. 2. ̅̅̅̅̅̅ или ̅̅̅̅̅̅ и ̅̅̅̅ или 5. D 2. Строительство и строка 6.A ̅̅̅̅̅ 7. D Постулат 3. ̅̅̅̅̅ и ̅̅̅̅̅ и 8. C 3. ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ и ̅̅̅̅̅ 9. C 4. ∠ ≅ ∠ 4. диагональ/s 10. B 3) 6. ∆ ≅ ∆ 6. 15 Что я знаю 7.7. 10 1. C 2. A B. Действие № 2 3. C 1. Воздушный змей ДАЙ с 4. B 1. Дано 5.Диагонали B ̅̅̅̅ и ̅̅̅ 2. Нарисуйте ̅̅̅, используя F в качестве ее 2. Определение средней точки воздушного змея. Что я узнал 3. Определение конгруэнтности 3. Определение трапеции 1. параллель 4. ̅̅̅̅ ≅ ̅̅̅̅ 2. сегменты трапеции 5. чередующиеся внутренние 3. медиана 4.̅̅̅̅ ⊥ ̅̅̅ Углы равны. 4. Конгруэнтность 6. Теорема о вертикальном угле 5. Дополнительный C. 7. ∆ ≅ ∆ 6. Диагонали 1. Воздушный змей ABCD с ̅̅̅̅ ≅ 8. In ∆, ̅̅̅̅ ∥ ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ∥ 7. невершинность ̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ и ̅̅̅̅ = ½ ̅̅̅̅ 8. перпендикулярно 2.А равноудалена от 9. Прямая, параллельная одной из 9. концов площади С. Две прямые также параллельны 10. углам основания 3. Перпендикулярные прямые пересекаются с другой. для образования прямых углов. 10. Постулат сложения отрезков 11. Определение конгруэнтных отрезков. 12.EF = ½ (̅̅̅̅ + ̅̅̅̅)

Ссылки Книги: Булалаяо, Брайант, М., Калланта, Л., Круз, М., Де Вера, Дж., Гарсия, Хавьер, Р., С., Ласаро., Местерио , Б., и Саладино Р.Х., Отдел редакции (2014). Материалы для учащихся 9 класса по математике. Первое издание. ISBN: 978-971-9601-71-5. Дилао, С., и Бернабе, Дж., Отдел редакции (2009). Геометрия, Учебник для третьего курса. Исправленное издание. ISBN: 978-971-0315-56-7 Мендоса, М., и Оронсе, О., перепечатано, май 2010 г. Электронная математическая геометрия. Пересмотренное издание 2010 г.ISBN: 978-971-23-5481-6. Окампо, Понсонес, Р., С., и Тресваллес, Р., Математические идеи и жизненные приложения. Второе издание 2013 г. ISBN: 978-971-553-889-3. Веб-сайт: https://www.basic-mathematics.com/area-of-a-kite.html 16


Что такое средняя линия в геометрии? – Кухня

Каждая сторона медиального треугольника называется средним сегментом (или средней линией). В общем случае середина треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника .Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны.

Что такое теорема о средней линии в геометрии?

Теорема о средней линии утверждает, что разрезание по средней линии треугольника создает отрезок, параллельный основанию и вдвое длиннее. Два треугольника должны иметь одинаковый размер и форму, поэтому все три стороны имеют одинаковую длину и все три угла имеют одинаковую меру.

Какой сегмент является средней линией?

Срединный отрезок треугольника (также называемый средней линией) — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Как найти средний сегмент?

Соедините любые две середины сторон, и вы получите середину треугольника. Независимо от того, какой средний отрезок вы создали, он будет составлять половину длины основания треугольника (сторона, которую вы не использовали), а средний отрезок и основание будут параллельными линиями!

Как вы описываете равнобедренный?

Равнобедренный треугольник в геометрии — это треугольник, у которого две стороны одинаковой длины. Иногда указывается, что он имеет ровно две стороны одинаковой длины, а иногда имеет по крайней мере две стороны одинаковой длины, причем последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник как частный случай.

Какая средняя линия треугольника?

Каждая сторона медиального треугольника называется средним сегментом (или средней линией). В общем случае середина треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны.

Что такое центр окружности в геометрии?

Центр описанной окружности — это центр описанной окружности треугольника. Его можно найти как пересечение серединных перпендикуляров.

Как найти среднюю линию трапеции?

У трапеции средняя линия параллельна основаниям, а ее длина равна половине их суммы. И наоборот, линия, соединяющая точки на двух сторонах рапецоида, параллельная ее основаниям и равная половине их суммы, является средней линией.

Какой длины средняя линия треугольника?

В треугольнике средняя линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и вдвое короче. И наоборот, линия, соединяющая точки на двух сторонах треугольника, параллельная его третьей стороне и вдвое длиннее, является средней линией. Одно доказательство является прямым следствием теоремы Фалеса.

Чему равны соответствующие углы?

Что такое соответствующие углы? Соответствующее определение углов говорит нам, что когда две параллельные прямые пересекаются третьей, известно, что углы, которые занимают одно и то же относительное положение на каждом пересечении, являются соответствующими углами друг к другу.

Что такое теорема о средней точке Класс 9?

Теорема о средней точке гласит: «Отрезок в треугольнике, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется параллельным его третьей стороне и также составляет половину длины третьей стороны.

Могут ли длины сторон 8 9 и 12 образовать треугольник?

РЕШЕНИЕ: Да; Сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Чему равна медиана трапеции относительно оснований? – СидмартинБио

Чему равна медиана трапеции относительно оснований?

Медиана трапеции — это отрезок, соединяющий середины двух непараллельных сторон (катетов). Он параллелен основаниям и его длина равна половине суммы длин оснований.

У трапеции углы при основании параллельны?

Свойства трапеции следующие: Основания параллельны по определению. Каждый нижний угол основания дополняет верхний угол основания с той же стороны.

Является ли медиана трапеции?

Медиана трапеции — это линия, параллельная основаниям, проходящая от середины одного катета до середины другого. Здесь фиолетовая линия является медианой. Это та же самая линия, которая представляет опорную балку на нашем воображаемом мосту; опорная балка является медианой трапеции.

Где находятся углы основания трапеции?

Пара углов, имеющих общее основание, называется углами при основании трапеции. На рисунке 1 ∠ A и ∠ B или ∠ C и ∠ D являются углами при основании трапеции ABCD. Можно доказать два особых свойства равнобедренной трапеции.

Какие основания у трапеции?

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны называются катетами или боковыми сторонами (если они не параллельны; в противном случае имеются две пары оснований).

Какая теорема утверждает, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и составляет половину суммы оснований?

ТЕОРЕМА: Медиана трапеции параллельна основаниям и составляет половину суммы длин оснований. Равнобедренная трапеция – это трапеция с равными углами при основании.

Основания трапеции равны?

Трапеция – это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны – катетами.Другими словами, нижние углы при основании равны, и верхние углы при основании также равны.

Какие прямые параллельны на трапеции?

Трапеция – это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон. Параллельные стороны называются основаниями, а две другие стороны – катетами. А поскольку основания параллельны, мы знаем, что если секущей пересекают две параллельные прямые, то последовательные внутренние углы являются дополнительными.

Каковы параллельные стороны трапеции?

Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные стороны – катетами трапеции. Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой две непараллельные стороны равны.

Что такое медиана трапеции?

Медиана трапеции (а) параллельна основаниям и (б) имеет длину, равную среднему значению длин оснований. Затем студентов просят решить проблемы, связанные с этими понятиями, используя алгебру. Если воспроизведение не начнется в ближайшее время, попробуйте перезагрузить устройство.

Как называются параллельные стороны трапеции?

Параллельные стороны — это «основания». Две другие стороны — это «ноги». Расстояние (под прямым углом) от одного основания до другого называется «высотой». Площадь трапеции

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции Площадь представляет собой среднее длин двух оснований, умноженных на высоту: Площадь = a+b 2 × h Пример: Два основания трапеции равны 6 м и 4 м, а высота 3 м.

Что такое равнобедренная трапеция?

Трапеция: является равнобедренной трапецией, у которой оба угла, исходящие из параллельных сторон, равны, а стороны, которые не параллельны, равны по длине.

Что такое теорема о средней линии

Что такое теорема о средней линии?

Теорема о средней линии утверждает, что разрезание по средней линии треугольника создает отрезок, параллельный основанию и вдвое длиннее. … Два треугольника должны иметь одинаковый размер и форму, поэтому все три стороны имеют одинаковую длину и все три угла имеют одинаковую меру.

Что такое теорема о среднем отрезке?

Теорема о середине отрезка: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине ее длины. … Если пара сторон четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм.

Что такое средняя линия треугольника?

Каждая сторона медиального треугольника называется средним сегментом (или средней линией). В общем случае середина треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине длины третьей стороны.

Какую теорему о средней линии я буду применять?

Теорема о средней точке утверждает, что отрезок, соединяющий две стороны треугольника в середине этих сторон, параллелен третьей стороне и составляет половину длины третьей стороны . Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти длины сторон треугольника.

Что такое теорема о равнобедренном треугольнике?

Если две стороны треугольника равны, то углы, противолежащие этим сторонам, равны .

Что такое теорема о средней точке Класс 9?

Теорема о средней точке утверждает, что « Отрезок в треугольнике, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется параллельным его третьей стороне и также составляет половину длины третьей стороны ».

Что из следующего является теоремой о средней линии треугольника?

Теорема о середине отрезка утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое короче.

Что означает средняя точка?

: точка в середине чего-либо : точка посередине между двумя концами .

Как доказать параллелограмм?

  1. Докажите, что обе пары противоположных сторон конгруэнтны.
  2. Докажите, что обе пары противоположных сторон параллельны.
  3. Докажите, что одна пара противоположных сторон одновременно конгруэнтна и параллельна.
  4. Докажите, что диагонали четырехугольника делят друг друга пополам.
Какой сегмент является средней линией?

Середина треугольника (также называемая средней линией) — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Статья впервые опубликована на сайте askthelot.com/what-is-the-midline-theorem/

Какая теорема утверждает, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и составляет половину суммы оснований?

ТЕОРЕМА: Медиана трапеции параллельна основаниям и составляет половину суммы длин оснований. Равнобедренная трапеция – это трапеция с равными углами при основании.

Как найти средний сегмент?

Соедините любые две середины сторон, и вы получите середину треугольника .Независимо от того, какой средний отрезок вы создали, он будет составлять половину длины основания треугольника (сторона, которую вы не использовали), а средний отрезок и основание будут параллельными линиями!

Что находит формула средней точки?

Формула средней точки в координатной геометрии определяется как формула для нахождения центральной точки прямой по координатам ее концов . Формула средней точки используется для нахождения половины пути, то есть точки, которая делит прямую на две равные части.

Что такое центр масс треугольника?

Центр масс также называют центром тяжести. Центр масс треугольника точка, в которой масса треугольника будет уравновешена . Чтобы понять «центр масс» треугольника, давайте представим, что треугольный картон балансирует на кончике карандаша.

Что такое теорема о третьем угле?

Теорема о третьем угле утверждает, что если два угла в одном треугольнике равны двум углам в другом треугольнике, , то третья пара углов также должна быть равна .

Что такое Теорема о неравенстве внешнего угла?

Теорема о неравенстве внешних углов утверждает, что мера любого внешнего угла треугольника больше, чем оба несмежных внутренних угла .

Равнобедренные треугольники в сумме дают 180?

Части равнобедренного треугольника Две равные стороны равнобедренного треугольника — стороны, а третья сторона — основание. Угол между равными сторонами называется углом при вершине. Все углы должны быть равны 180 градусам при сложении .

Что такое теорема о неравенстве треугольника?

неравенство треугольника, в евклидовой геометрии, теорема о том, что сумма любых двух сторон треугольника больше или равна третьей стороне ; в символах a + b ≥ c. По сути, теорема утверждает, что кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия.

Что такое теорема о центроиде?

Теорема о центроиде утверждает, что центроид равен 23 расстояниям от каждой вершины до середины противоположной стороны .

В какой главе находится теорема о средней точке?

Теорема 8.9 – Глава 8 Класс 9 Четырехугольники (Термин 2)

Какова координата середины?

Также известна как теорема о средней точке: координаты середины отрезка равны среднему значению координат его концов . … Координата x средней точки представляет собой среднее значение координат x двух конечных точек. Точно так же координата y является средним значением координат y конечных точек.

Какие 3 из 8 свойств параллелограмма?

Свойства параллелограмма Противоположные стороны параллельны и равны . Противоположные углы равны . Последовательные углы являются дополнительными . … Каждая диагональ делит параллелограмм пополам на два равных треугольника.

Является ли четырехугольник трапецией?

Трапеция — это четырехугольник с одной парой противоположных сторон, параллельных . У него могут быть прямые углы (прямая трапеция) и конгруэнтные стороны (равнобедренные), но это не обязательно.

Что такое конгруэнтная математика?

конгруэнтность, в математике термин, используемый в нескольких значениях, каждое из которых означает гармоничное отношение, согласие или соответствие. … Таким образом, два треугольника конгруэнтны, если две стороны и прилежащий к ним угол в одном равны двум сторонам и прилежащему к ним углу в другом .

Образуют ли середины прямые углы?

По определению середины отрезок AD конгруэнтен отрезку BD . Отрезок DE параллелен отрезку AC, поэтому угол BDE и угол ADE прямые.… Это делает BE конгруэнтным AE, что делает сегменты BE, AE и EC конгруэнтными. Таким образом, середина гипотенузы равноудалена от всех трех вершин.

Что верно в отношении средней точки?

В геометрии середина — это середина отрезка . Он равноудален от обеих конечных точек и является центром тяжести как отрезка, так и конечных точек. Он делит сегмент пополам.

Может ли луч иметь середину?

Обратите внимание, что точка M равноудалена от точек A и B. Середина линии может быть найдена только в сегменте линии. Линия или луч не могут иметь середину, поскольку линия неопределенна и может бесконечно продолжаться в обоих направлениях, тогда как у луча есть только один конец.

Параллельна ли средняя линия основанию?

В трапеции средней линией (или средней линией) называется линия, соединяющая середины сторон. В трапеции средняя линия параллельна основаниям, а ее длина равна половине их суммы.

Докажите, что срединные линии трапеций равны.Диагонали трапеции

Трапеция — частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон параллельна. Термин «трапеция» происходит от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «стол». В этой статье мы рассмотрим виды трапеций и их свойства. Кроме того, мы разберемся, как рассчитать отдельные элементы данного примера, диагональ равнобедренной трапеции, среднюю линию, площадь и т. д. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, то есть в легкодоступном форма.

Общая информация

Для начала разберемся, что такое четырехугольник. Эта фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две несмежные вершины четырехугольника называются противоположными. То же самое можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников – параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтовидная форма.

Итак, вернемся к трапеции. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны параллельны.Они называются базами. Две другие (непараллельные) — стороны. В экзаменационных материалах и различных контрольных работах очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых часто требует от студента знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учащихся со свойствами углов и диагоналей, а также со средней линией равнобедренной трапеции. Но ведь помимо этого упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности.Но о них позже.. .

Виды трапеций

Есть много видов этой фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать две из них – равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольной трапецией называется фигура, у которой одна из сторон перпендикулярна основаниям. Он имеет два угла, которые всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция – геометрическая фигура, стороны которой равны между собой. Это означает, что углы при основаниях также попарно равны.

Основные принципы методики изучения свойств трапеции

Основным принципом является использование так называемого задачного подхода. На самом деле нет необходимости вводить в теоретический курс геометрии новые свойства этой фигуры. Их можно обнаружить и сформулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задачи необходимо ставить перед учащимися в тот или иной момент учебного процесса.При этом каждое свойство трапеции можно представить как ключевую задачу в системе задач.

Второй принцип — так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это предполагает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запомнить. Например, свойство четырех точек. Это можно доказать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов.А равенство площадей треугольников, прилегающих к сторонам фигуры, можно доказать, применяя не только свойства равновеликих треугольников, проведенных к сторонам, лежащим на одной прямой, но и используя формулу S= 1/ 2(ab*sinα). Кроме того, можно отрабатывать на вписанной трапеции или прямоугольном треугольнике на описанной трапеции и т.д.

Использование «внепрограммных» признаков геометрической фигуры в содержании школьного курса – технология задач для их обучения.Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся получить более глубокие знания о трапеции и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, стороны этой геометрической фигуры равны. Ее еще называют правильной трапецией. Чем он так примечателен и почему получил такое название? К особенностям этой фигуры относится то, что равны не только стороны и углы у оснований, но и диагонали.Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусов. Но это не все! Из всех известных трапеций вокруг равнобедренной можно описать только окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов этой фигуры равна 180 градусам, и только при этом условии вокруг четырехугольника можно описать окружность. Следующее свойство рассматриваемой геометрической фигуры состоит в том, что расстояние от вершины основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, будет равно средней линии.

Теперь разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим решение этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать буквами A, B, C, D, где BS и AD — основания. У равнобедренной трапеции стороны равны. Будем считать, что их размер равен X, а размеры оснований равны Y и Z (меньше и больше соответственно). Для выполнения расчета необходимо от угла В провести высоту Н.В результате получится прямоугольный треугольник ABN, где AB — гипотенуза, а BN и AN — катеты. Вычисляем размер катета АН: из большего основания вычитаем меньшее, а результат делим на 2. Записываем в виде формулы: (ЗУ)/2=Ф. Теперь для расчета острый угол треугольника, используем функцию cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить второй, для этого выполняем элементарное арифметическое действие: 180 — β.Все углы определены.

Есть и второе решение этой проблемы. В начале опускаем высоту Н от угла В. Рассчитываем величину ножки БН. Мы знаем, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(X2-F2). Далее воспользуемся тригонометрической функцией tg. В результате имеем: β = arctg(BN/F). Найден острый угол. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила.Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр круга — это точка, где ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, то она равна произведениям квадратных корней этих отрезков;

Четырехугольник, образованный точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности, представляет собой квадрат, сторона которого равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований на произведение половины суммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Эта тема очень удобна для изучения свойств этой. Например, диагонали делят трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям подобны, а прилежащие к сторонам равны. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается с помощью критерия подобия в двух углах. Для доказательства второй части лучше использовать изложенный ниже метод.

Доказательство теоремы

Примем, что фигура ABSD (AD и BS — основания трапеции) делится диагоналями VD и AC. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АВО и СОД — у боковых сторон. Треугольники SOD и BOS имеют общую высоту, если их основаниями являются отрезки BO и OD. Получаем, что разница между их площадями (П) равна разнице между этими отрезками: ПБОС/ПСОД=БО/ОД=К.Следовательно, PSOD = PBOS/K. Точно так же треугольники BOS и AOB имеют общую высоту. За их основания возьмем отрезки СО и ОА. Получаем PBOS/PAOB=CO/OA=K и PAOB=PBOS/K. Отсюда следует, что PSOD=PAOB.

Для закрепления материала учащимся предлагается найти связь между площадями полученных треугольников, на которые трапеция делится своими диагоналями, путем решения следующей задачи. Известно, что площади треугольников BOS и AOD равны, необходимо найти площадь трапеции.Поскольку ПСОД = ПАОБ, значит, ПАВСД = ПБОС + ПАОД + 2 * ПСОД. Из подобия треугольников BOS и AOD следует, что BO/OD = √(PBOS/PAOD). Следовательно, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Получаем PSOD=√(PBOS*PAOD). Тогда PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

подобия свойств

Продолжая развивать эту тему, мы можем доказать другие интересные свойства трапеции. Итак, используя подобие, можно доказать свойство отрезка, проходящего через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям.Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка RK, проходящего через точку O. Из подобия треугольников AOD и BOS следует, что AO/OS=AD/BS. Из подобия треугольников АОП и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО = БС*АД/(БС+АД). Аналогично, из подобия треугольников DOK и DBS следует, что OK = BS * AD / (BS + AD). Отсюда мы получаем, что RO=OK и RK=2*BS*AD/(BS+AD).Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям и соединяющий две стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство трапеции, которое называется свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения сторон (Е), а также середины оснований (Т и W) всегда лежат на одной прямой.Это легко доказывается методом подобия. Получившиеся треугольники BES и AED подобны, и в каждом из них медианы ET и EZH делят угол при вершине E на равные части. Следовательно, точки E, T и W лежат на одной прямой. Точно так же точки T, O и G расположены на одной прямой. Все это следует из подобия треугольников BOS и AOD. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и W — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, учащимся можно предложить найти длину отрезка (LF), который делит фигуру на две подобные. Этот отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как получившиеся трапеции ALFD и LBSF подобны, то BS/LF=LF/AD. Отсюда следует, что LF=√(BS*BP). Получаем, что отрезок, который делит трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две фигуры одинакового размера. Примем, что трапеция ABSD делится отрезком EN на два подобных.От вершины B опускается высота, которая делится отрезком EH на две части — B1 и B2. Получаем: ПАБСД/2=(БС+ЭХ)*Б1/2=(АД+ЭХ)*Б2/2 и ПАБСД=(БС+АД)*(Б1+Б2)/2. Далее составляем система, первое уравнение которой (БС+ЭН)*В1=(АД+ЭН)*В2 и второе (БС+ЭН)*В1=(БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует что B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) и BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равные, равна среднему квадрату длин оснований: √ ((BS2 + AD2)/2).

Выводы о подобии

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий середины сторон трапеции, параллелен AD и BS и равен среднему арифметическому между BS и AD (длина основание трапеции).

2. Прямая, проходящая через точку О пересечения диагоналей, параллельных AD и BS, будет равна среднему гармоническому чисел AD и BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Отрезок, делящий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований BS и AD.

4. Элемент, делящий фигуру на две равные, имеет длину средних квадратов чисел AD и BS.

Для закрепления материала и понимания связи между рассматриваемыми отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он легко может отобразить среднюю линию и отрезок, проходящий через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. Но где будет третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к обнаружению желаемого соотношения между средними значениями.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Примем, что отрезок MH параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Назовем точки пересечения W и W. Этот отрезок будет равен полуразности оснований. Давайте проанализируем это более подробно. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МС — средняя линия треугольника АВД, она равна АД/2.Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, Сщ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Посмотрим, как определяется этот элемент для данной геометрической фигуры . Для этого необходимо вытянуть основания в противоположные стороны. Что это значит? Необходимо к верхнему основанию добавить нижнее основание — в любую из сторон, например, вправо. А низ удлиняется на длину верха влево. Далее соединяем их диагональю.Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры является центром тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Перечислим признаки таких фигур:

1. Трапецию можно вписать в окружность только в том случае, если она равнобедренная.

2. Трапецию можно описать по окружности при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин сторон.

Последствия вписанного круга:

1.Высота описываемой трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД прямой, что, собственно, тоже не составит труда. Но знание этого свойства позволит нам использовать прямоугольный треугольник при решении задач.

Уточним теперь эти следствия для равнобедренной трапеции, вписанной в окружность.Получаем, что высота есть среднее геометрическое оснований фигуры: H=2R=√(BS*AD). Отрабатывая основной прием решения задач на трапеции (принцип рисования двух высот), учащийся должен решить следующую задачу. Примем, что BT есть высота равнобедренной фигуры ABSD. Необходимо найти отрезки AT и TD. Используя формулу, описанную выше, сделать это не составит труда.

Теперь разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции.Снижаем высоту от вершины B к основанию AD. Так как окружность вписана в трапецию, то BS+AD=2AB или AB=(BS+AD)/2. Из треугольника ABN находим sinα=BN/AB=2*BN/(BS+AD). ПАБСД=(БС+АД)*БН/2, БН=2Р. Получаем ПАБСД=(БС+АД)*R, отсюда следует, что R=ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу этой геометрической фигуры.Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+В)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = АХ*(ctgα + ctgβ)/2;

М = В + Н * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. Например, D1 и D2 — диагонали трапеции; α, β — углы между ними:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. По площади и высоте: М = П/Н.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения, подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если мы продолжим стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой линией, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в ​​пропорции, равной отношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a+b), где a и b — основания трапеция

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас получится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , лежит на средней линии трапеции .

Этот отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, образованные основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — , подобны .
Треугольники BOC и AOD подобны. Поскольку углы BOC и AOD вертикальны, они равны.
Углы OCB и OAD внутренние крест-накрест, лежащие на параллельных прямых AD и BC (основания трапеций параллельны друг другу) и секущей AC, следовательно, равны.
Углы OBC и ODA равны по той же причине (внутреннее пересечение).

Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, эти треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если известны длины двух соответствующих элементов подобных треугольников, то находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов связаны друг с другом точно такой же величиной.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на сторонах трапеции AB и CD.Это треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон этих треугольников могут быть совершенно разными, но площадей треугольников, образованных сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции, равны , то есть треугольники равны.


Если стороны трапеции продолжить в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, проходящей через середины оснований .

Таким образом, любую трапецию можно продолжить до треугольника. Где:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продолженных сторон, подобны
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является одновременно медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, лежащей в точке пересечения диагоналей трапеции (КН), то отношение составляющих ее отрезков от стороны основания к точке пересечения диагонали (KO/ON) будут равны отношению оснований трапеции (BC/AD).

КО/ОН=БК/АД

Это свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданное расстояние (км) делит пополам точку пересечения диагоналей трапеции
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна КМ = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


а, б — основания трапеции

в, д — стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — уголки с большим основанием трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов сторон плюс удвоенное произведение ее оснований. Это свойство диагоналей трапеции можно доказать в виде отдельной теоремы

.

2 . Эта формула получена преобразованием предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали набрасывается на знак равенства, после чего из левой и правой частей выражения извлекается квадратный корень.

3 .Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с тем отличием, что в левой части выражения

оставлена ​​еще одна диагональ.

Следующая группа формул (4-5) близка по смыслу и выражает аналогичную связь.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоты


Примечание .В этом уроке дается решение задач по геометрии о трапециях. Если вы не нашли решение задачи по геометрии интересующего вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | BC) пересекаются в точке O. Найдите длину основания BC трапеции, если основание AD = 24 см, длина AO = 9 см, длина OS = 6 см.

Решение .
Решение этой задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC подобны по трем углам — AOD и BOC вертикальны, а остальные углы попарно равны, так как образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Так как треугольники подобны, то все их геометрические размеры связаны друг с другом, как известные нам по условию задачи геометрические размеры отрезков АО и ОС. То есть

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
БК = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение.
Чтобы найти высоту трапеции из вершин меньшего основания В и С, опускаем две высоты на большее основание. Так как трапеция неравнополочная, обозначим длину АМ = а, длину КД = b (не путать с символами в формуле нахождения площади трапеции). Так как основания трапеции параллельны и мы опустили две высоты, перпендикулярные большему основанию, то MBCK является прямоугольником.

Средства
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK прямоугольные, поэтому их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
И
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Считаем, что a = 16 — b , то в первое уравнение
ч 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
ч 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставляем во второе уравнение значение квадрата высоты, получается по теореме Пифагора.Получаем:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
— (64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, КД = 12
Где
ч 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдите площадь трапеции, используя ее высоту и половину суммы оснований
, где ab — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции 80 см2.

В этой статье мы постараемся максимально полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет об общих признаках и свойствах трапеции, а также о свойствах вписанной трапеции и о окружности, вписанной в трапецию. Затронем также свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разобраться в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала кратко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны друг другу (это основания). А две не параллельны — это стороны.

В трапеции высоту можно не указывать — перпендикулярно основаниям. Проводятся средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции можно провести биссектрису.

О различных свойствах, связанных со всеми этими элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, во время чтения начертите трапецию ACME на листе бумаги и проведите в ней диагонали.

  1. Если найти середины каждой из диагоналей (назовем эти точки X и T) и соединить их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции состоит в том, что отрезок XT лежит на средней линии.А его длину можно получить, разделив разность оснований на два: XT = (a — b)/2·.
  2. Перед нами та самая трапеция ACME. Диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники AOE и IOC, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники подобны. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = AE/KM.
    Отношение площадей треугольников AOE и IOC описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только на этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые диагональные отрезки образовали вместе со сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЭМО равны — их площади одинаковы.
  4. Еще одним свойством трапеции является построение диагоналей. Итак, если мы продолжим стороны АК и МЕ в сторону меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся в какой-то точке. Далее проведите прямую линию через середины оснований трапеции.Она пересекает основания в точках X и T.
    Если теперь продолжить линию XT, то она соединит точку пересечения диагоналей трапеции O, точку, в которой продолжения сторон и середины трапеций основания X и T пересекаются.
  5. Через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х — на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОН = КМ/АЭ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проводим отрезок, параллельный основаниям трапеции (а и б). Точка пересечения разделит его на две равные части. Длину отрезка можно найти по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Проведите среднюю линию трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, сложив длины оснований и разделив их пополам: м = (a + b)/2 .
  2. Если провести любой отрезок (высоту, например) через оба основания трапеции, то средняя линия разделит ее на две равные части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, к примеру, угол КАЕ нашей трапеции АСМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко увидите, что биссектриса отсекает от основания (или его продолжения на прямой вне самой фигуры) отрезок такой же длины, как и сторона.

Свойства угла трапеции

  1. Какую бы из двух пар углов, примыкающих к стороне, вы ни выбрали, сумма углов в паре всегда равна 180 0 : α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соедините середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов для любого из них равна 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить, исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ — КМ) / 2 .
  3. Если провести параллельные линии через стороны угла трапеции, то они разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобедренной) трапеции

  1. У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы легче было представить, о чем она. Посмотрите внимательно на основание АЕ — вершина противоположного основания М проецируется в некоторую точку на прямой, содержащей АЕ.Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средней линии равнобедренной трапеции равно.
  3. Несколько слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции — их длины равны. А также углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции одинаковы.
  4. Только вблизи равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как обязательным условием для этого является сумма противоположных углов четырехугольника 180 0 .
  5. Свойство равнобедренной трапеции следует из предыдущего абзаца — если вокруг трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции следует свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b )/2 .
  7. Снова проведите линию ТХ через середины оснований трапеции — в равнобедренной трапеции она перпендикулярна основаниям. И в то же время ТХ является осью симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите к большему основанию (назовем его а) высоту от противоположной вершины трапеции.Вы получите два разреза. Длину единицы можно найти, если сложить длины оснований и разделить пополам: (a+b)/2 . Второе мы получим, если из большего основания вычтем меньшее и разделим полученную разницу на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Поскольку речь уже идет о трапеции, вписанной в окружность, остановимся на этом вопросе подробнее. В частности, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Здесь тоже рекомендуется не полениться взять в руки карандаш и нарисовать то, о чем пойдет речь ниже. Так вы быстрее поймете и лучше запомните.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к ​​стороне. В этом случае большее основание пересекает центр описанной окружности ровно посередине (R = ½AE).
  2. Диагональ и сторона могут сходиться под острым углом, тогда центр окружности находится внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может находиться вне трапеции, за ее большим основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной имеется тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции ACME (вписанный угол), равен половине соответствующего ей центрального угла: MAE = ½MY .
  5. Коротко о двух способах нахождения радиуса описанной окружности.Способ первый: внимательно посмотрите на свой рисунок — что вы видите? Вы легко заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла, умноженное на два. Например, R = AE/2 * sinAME . Аналогично формулу можно записать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, стороной и основанием трапеции: R = AM * ME * AE / 4 * S AME .

Свойства трапеции, описанной около окружности

В трапецию можно вписать окружность, если выполняется одно условие. Подробнее об этом ниже. А вместе это сочетание фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, то длину ее средней линии легко найти, сложив длины сторон и разделив полученную сумму пополам: м = (с + d)/2 .
  2. Для трапеции ACME, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин сторон: AK + ME = KM + AE .
  3. Из этого свойства оснований трапеции следует обратное утверждение: в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме сторон, можно вписать окружность.
  4. Точка касания окружности радиуса r, вписанной в трапецию, делит боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно рассчитать по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, нарисуйте этот пример сами.У нас есть старая добрая трапеция ACME, описанная вокруг окружности. В нем проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Треугольники АОК и ЕОМ, образованные отрезками диагоналей и сторон, прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т. е. стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, один из углов которой прямой.И его свойства вытекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна сторона перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и сторона трапеции, примыкающей к прямому углу, равны. Это позволяет вычислить площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через сторону, примыкающую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы наверное уже догадались, что здесь нам снова понадобится трапеция ACME — нарисуйте равнобедренную трапецию. Из вершины M проведите прямую MT, параллельную стороне AK (MT || AK).

Полученный четырехугольник AKMT является параллелограммом (AK || MT, KM || AT). Поскольку ME = KA = MT, ∆ MTE равнобедренный и MET = MTE.

АК || МТ, следовательно, МТЭ = КАЭ, МЭТ = МТЭ = КАЭ.

Где АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЭ = КМЭ.

К.Э.Д.

Теперь, основываясь на свойстве равнобедренной трапеции (равенстве диагоналей), докажем, что трапеция ACME равнобедренная :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЭ. Получаем параллелограмм КМНЕ (основание — МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆AMH равнобедренный, так как AM = KE = MX и MAX = MEA.

МХ || KE, KEA = MXE, следовательно, MAE = MXE.

Оказалось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, так как АМ = КЕ и АЕ — общая сторона двух треугольников. А также MAE=MXE. Можно заключить, что AK = ME, а значит, трапеция AKME равнобедренная.

Задание повторить

Основания трапеции АСМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием.Вам нужно найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опускаем высоту к большему основанию трапеции. И начнем смотреть на углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН односторонние. Значит, в сумме они составляют 1800. Следовательно, КАН = 30 0 (исходя из свойства углов трапеции).

Теперь рассмотрим прямоугольный ∆ANK (я думаю, что это очевидно для читателей без дополнительных доказательств). Из него находим высоту трапеции KH — в треугольнике это катет, который лежит напротив угла 30 0 .Следовательно, КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находится по формуле: S АКМЭ = (КМ + АЭ) * КН / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились нарисовать карандашом в руках трапеции всех вышеперечисленных свойств и разобрать их на практике, вы должны были хорошо усвоить материал.

Конечно, информации здесь много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно спутать свойства описываемой трапеции со свойствами вписанной.Но вы сами видели, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробная сводка всех общих свойств трапеции. А также специфические свойства и особенности равнобедренных и прямоугольных трапеций. Очень удобно использовать для подготовки к зачетам и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

блог.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию.Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

  • Собираемая нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в судебном порядке и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории Российской Федерации — раскрыть Вашу персональную информацию .Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать личную информацию, которую мы собираем, соответствующему правопреемнику третьей стороны.

Защита личной информации

Мы принимаем меры предосторожности, в том числе административные, технические и физические, для защиты вашей личной информации от потери, кражи и неправомерного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Сохранение вашей конфиденциальности на уровне компании

Чтобы обеспечить безопасность вашей личной информации, мы сообщаем нашим сотрудникам о правилах конфиденциальности и безопасности и строго следим за соблюдением правил конфиденциальности.

Ваша конфиденциальность важна для нас. По этой причине мы разработали Политику конфиденциальности, в которой описывается, как мы используем и храним вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей политикой конфиденциальности и сообщите нам, если у вас есть какие-либо вопросы.

Сбор и использование личной информации

Личная информация относится к данным, которые могут быть использованы для идентификации конкретного человека или связи с ним.

Вас могут попросить предоставить личную информацию в любое время, когда вы свяжетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов личной информации, которую мы можем собирать, и того, как мы можем использовать такую ​​информацию.

Какую личную информацию мы собираем:

  • Когда вы подаете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваше имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу личную информацию:

  • Собираемая нами личная информация позволяет нам связываться с вами и информировать вас об уникальных предложениях, рекламных акциях и других событиях и предстоящих событиях.
  • Время от времени мы можем использовать вашу личную информацию для отправки вам важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать личную информацию для внутренних целей, таких как проведение аудитов, анализ данных и различные исследования, чтобы улучшить предоставляемые нами услуги и предоставить вам рекомендации относительно наших услуг.
  • Если вы участвуете в розыгрыше призов, конкурсе или аналогичном поощрении, мы можем использовать предоставленную вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае необходимости — в соответствии с законом, судебным приказом, в порядке судопроизводства и/или на основании публичных запросов или запросов государственных органов на территории РФ — раскрыть свои личная информация. Мы также можем раскрыть информацию о вас, если решим, что такое раскрытие необходимо или уместно для обеспечения безопасности, правоохранительных органов или других целей, представляющих общественный интерес.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск