Точка экстремума производной: Урок 16. экстремумы функции — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Содержание

Исследование функции с помощью производной /qualihelpy

Рассмотрим функции  и , которые непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале .
Теорема Ферма : если функция  в точке  имеет локальный экстремум, то  .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке  параллельна оси абсцисс. 

Теорема Лагранжа:  , где .

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке   параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если  и  , то .

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если  , то .

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке   , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если   , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции   называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются  экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения , , ,

  и  являются точками экстремума рассматриваемой функции.

 

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: .

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции  ;
2) находим ;

3) находим критические точки функции, решая уравнение ;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию   на отрезке . Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке:  

1) находим ;

2) находим критические точки функции, решая уравнение ;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции  называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции находят, решая уравнение .

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба  графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство , то функция  вогнута на этом промежутке, а если , то функция выпукла на этом промежутке.

Точки экстремума функции. Узнаем как найти точки экстремума. Сумма точек экстремума

Важным понятием в математике является функция. С её помощью можно наглядно представить многие процессы, происходящие в природе, отразить с использованием формул, таблиц и изображений на графике взаимосвязь между определёнными величинами. Примером может служить зависимость давления слоя жидкости на тело от глубины погружения, ускорения — от действия на объект определённой силы, увеличения температуры — от передаваемой энергии и многие другие процессы. Исследование функции предполагает построение графика, выяснение её свойств, области определения и значений, промежутков возрастания и убывания. Важным моментом в данном процессе является нахождение точек экстремума. О том, как правильно это делать, и пойдёт разговор далее.

О самом понятии на конкретном примере

В медицине построение графика функции может рассказать о ходе развития болезни в организме пациента, наглядно отражая его состояние. Предположим, по оси ОХ откладывается время в сутках, а по оси ОУ — температура тела человека. На рисунке хорошо видно, как этот показатель резко поднимается, а потом падает. Нетрудно заметить также особые точки, отражающие моменты, когда функция, ранее возрастая, начинает убывать, и наоборот. Это точки экстремума, то есть критические значения (максимальные и минимальные) в данном случае температуры больного, после которых наступают изменения в его состоянии.

Угол наклона

Легко можно определить по рисунку, как изменяется производная функции. Если прямые линии графика с течением времени идут вверх, то она положительна. И чем они круче, тем большее значение принимает производная, так как растет угол наклона. В периоды убывания эта величина принимает отрицательные значения, в точках экстремума обращаясь в ноль, а график производной в последнем случае рисуется параллельно оси ОХ.

Любой другой процесс следует рассматривать аналогичным образом. Но лучше всего об этом понятии может рассказать перемещение различных тел, наглядно показанное на графиках.

Движение

Предположим, некоторый объект движется по прямой, равномерно набирая скорость. В этот период изменение координаты тела графически представляет собой некую кривую, которую математик назвал бы ветвью параболы. При этом функция постоянно возрастает, так как показатели координаты с каждой секундой изменяются всё быстрей. График скорости демонстрирует поведение производной, значение которой также увеличивается. А значит, движение не имеет критических точек.

Так бы и продолжалось бесконечно долго. Но если тело вдруг решит затормозить, остановиться и начать двигаться в другом направлении? В данном случае показатели координаты начнут уменьшаться. А функция перейдёт критическое значение и из возрастающей превратится в убывающую.

На этом примере снова можно понять, что точки экстремума на графике функции появляются в моменты, когда она перестаёт быть монотонной.

Физический смысл производной

Описанное ранее наглядно показало, что производная по сути является скоростью изменения функции. В данном уточнении и заключён её физический смысл. Точки экстремума – это критические области на графике. Их возможно выяснить и обнаружить, вычислив значение производной, которая оказывается равной нулю.

Существует и другой признак, который является достаточным условием экстремума. Производная в таких местах перегиба меняет свой знак: с «+» на «-» в области максимума и с «-» на «+» в районе минимума.

Движение под влиянием силы притяжения

Представим ещё одну ситуацию. Дети, играя в мяч, бросили его таким образом, что он начал двигаться под углом к горизонту. В начальный момент скорость данного объекта являлась самой большой, но под действием силы тяжести начала уменьшаться, причём с каждой секундой на одну и ту же величину, равную приблизительно 9,8 м/с2. Это значение ускорения, возникающего под влиянием земной гравитации при свободном падении. На Луне оно бы было примерно в шесть раз меньше.

Графиком, описывающим перемещение тела, является парабола с ветвями, направленными вниз. Как найти точки экстремума? В данном случае это вершина функции, где скорость тела (мяча) принимает нулевое значение. Производная функции становится равной нулю. При этом направление, а следовательно, и значение скорости, меняется на противоположное. Тело летит вниз с каждой секундой всё быстрее, причём ускоряется на ту же величину — 9,8 м/с2.

Вторая производная

В предыдущем случае график модуля скорости рисуется как прямая. Данная линия оказывается сначала направлена вниз, так как значение этой величины постоянно убывает. Достигнув нуля в один из моментов времени, далее показатели этой величины начинают возрастать, а направление графического изображения модуля скорости кардинально меняется. Теперь линия направлена вверх.

Скорость, являясь производной от координаты по времени, тоже имеет критическую точку. В этой области функция, вначале убывая, начинает возрастать. Это место точки экстремума производной функции. В данном случае угол наклона касательной становится равным нулю. А ускорение, являясь второй производной от координаты по времени, меняет знак с «-» на «+». И движение из равнозамедленного становится равноускоренным.

График ускорения

Теперь рассмотрим четыре рисунка. На каждом из них отображён график изменения с течением времени такой физической величины, как ускорение. В случае «А» значение его остаётся положительным и постоянным. Это означает, что скорость тела, как и его координата, постоянно увеличивается. Если представить, что объект будет двигаться таким образом бесконечно долго, функция, отражающая зависимость координаты от времени, окажется постоянно возрастающей. Из этого следует, что она не имеет критических областей. Точки экстремума на графике производной, то есть линейно изменяющейся скорости, также отсутствуют.

То же касается и случая «Б» с положительным и постоянно увеличивающимся ускорением. Правда, графики для координаты и скорости здесь будут несколько сложнее.

Когда ускорение стремится к нулю

Рассматривая рисунок «В», можно наблюдать совсем другую картину, характеризующую движение тела. Скорость его графически будет изображаться параболой с ветвями, направленными вниз. Если продолжить линию, описывающую изменение ускорения до пересечения её с осью ОХ, и дальше, то можно представить, что до этого критического значения, где ускорение окажется равным нулю, скорость объекта будет увеличиваться всё медленнее. Точка экстремума производной от функции координаты окажется как раз в вершине параболы, после чего тело кардинально поменяет характер движения и начнёт двигаться в другом направлении.

В последнем случае, «Г», характер движения точно определить невозможно. Здесь известно только, что ускорение за некоторый рассматриваемый период отсутствует. Значит, объект может оставаться на месте или движение происходит с постоянной скоростью.

Задача на сложение координат

Перейдём к заданиям, которые часто встречаются при изучении алгебры в школе и предлагаются для подготовки к ЕГЭ. На рисунке, который представлен ниже, изображён график функции. Требуется вычислить сумму точек экстремума.

Сделаем это для оси ординат, определив координаты критических областей, где наблюдается изменение характеристик функции. Проще говоря, найдём значения по оси ОХ для точек перегиба, а затем перейдём к сложению полученных членов. По графику очевидно, что они принимают следующие значения: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. В сумме это составляет -21, что и является ответом.

Оптимальное решение

Не стоит объяснять, насколько может оказаться важным в выполнении практических заданий выбор оптимального решения. Ведь путей достижения цели бывает много, а наилучший выход, как правило, — всего один. Это бывает крайне необходимо, к примеру, при конструировании судов, космических кораблей и самолётов, архитектурных сооружений для нахождения оптимальной формы данных рукотворных объектов.

Быстроходность средств передвижения во многом зависит от грамотного сведения к минимуму сопротивления, которое они испытывают при перемещении по воде и воздуху, от перегрузок, возникающих под действием гравитационных сил и многих других показателей. Кораблю на море необходимы такие качества, как устойчивость во время шторма, для речного судна важна минимальная осадка. При расчётах оптимальной конструкции точки экстремума на графике наглядно могут дать представление о наилучшем решении сложной проблемы. Задачи такого плана часто решаются в экономике, в хозяйственных областях, во множестве других жизненных ситуаций.

Из античной истории

Задачи на экстремум занимали даже древних мудрецов. Греческие учёные с успехом разгадали тайну площадей и объёмов путём математических вычислений. Это они первыми поняли, что на плоскости из разнообразных фигур, обладающих одним и тем же периметром, наибольшую площадь всегда имеет круг. Аналогичным образом шар наделён максимальным объёмом среди остальных предметов в пространстве с одинаковой величиной поверхности. Решению подобных задач посвятили себя такие известнейшие личности, как Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний. Найти точки экстремума прекрасно удавалось Герону, который, прибегнув к расчётам, сооружал хитроумные устройства. К ним относились автоматы, перемещающиеся посредством пара, работающие по тому же принципу насосы и турбины.

Строительство Карфагена

Существует легенда, сюжет которой построен на решении одной из экстремальных задач. Результатом делового подхода, который продемонстрировала финикийская царевна, обратившаяся за помощью к мудрецам, стало строительство Карфагена. Земельный участок для этого древнего и прославленного города подарил Дидоне (так звали правительницу) вождь одного из африканских племён. Площадь надела не показалась ему вначале очень большой, так как по договору должна была покрываться воловьей шкурой. Но царевна повелела своим воинам разрезать её на тонкие полосы и составить из них ремень. Он получился настолько длинным, что охватил участок, где уместился целый город.

Истоки математического анализа

А теперь перенесёмся из античных времён в более позднюю эпоху. Интересно, что к осознанию основ математического анализа подтолкнула Кеплера в XVII веке встреча с продавцом вина. Торговец был настолько сведущ в своей профессии, что легко мог определить объём находящегося в бочке напитка, просто опуская туда железный жгут. Размышляя над подобным курьёзом, знаменитый учёный сумел решить для себя эту дилемму. Оказывается, искусные бочары тех времён наловчились изготавливать сосуды таким образом, чтобы при определённой высоте и радиусе окружности скрепляющих колец они имели максимальную вместимость.

Это стало для Кеплера поводом для дальнейших размышлений. Бочары пришли к оптимальному решению методом долгого поиска, ошибок и новых попыток, передавая свой опыт из поколения в поколение. Но Кеплер хотел ускорить процесс и научиться делать то же самое в короткий срок путём математических вычислений. Все его наработки, подхваченные коллегами, превратились в известные ныне теоремы Ферма и Ньютона — Лейбница.

Задача на нахождение максимальной площади

Представим, что мы имеем проволоку, длина которой равна 50 см. Как составить из неё прямоугольник, обладающий наибольшей площадью?

Начиная решение, следует исходить из простых и известных любому истин. Понятно, что периметр нашей фигуры будет составлять 50 см. Он же складывается из удвоенных длин обеих сторон. Это значит, что, обозначив за «Х» одну из них, другую возможно выразить как (25 – Х).

Отсюда получаем площадь, равную Х(25 – Х). Данное выражение можно представить как функцию, принимающую множество значений. Решение задачи требует найти максимальное из них, а значит, следует узнать точки экстремума.

Для этого находим первую производную и приравниваем её нулю. В результате получается простое уравнение: 25 – 2Х = 0.

Из него мы узнаём, что одна из сторон Х = 12,5.

Следовательно, другая: 25 – 12,5 = 12,5.

Получается, что решением задачи будет квадрат со стороной 12,5 см.

Как найти максимальную скорость

Рассмотрим ещё один пример. Представим, что существует тело, прямолинейное движение которого описывается уравнением S = — t3 + 9t2 – 24t – 8, где пройденное расстояние выражается в метрах, а время в секундах. Требуется найти максимальную скорость. Как это сделать? Скачала находим скорость, то есть первую производную.

Получаем уравнение: V = — 3t2 + 18t – 24. Теперь для решения задачи снова нужно найти точки экстремума. Сделать это необходимо тем же способом, что и в предыдущей задаче. Находим первую производную от скорости и приравниваем её к нулю.

Получаем: — 6t + 18 = 0. Отсюда t = 3 с. Это время, когда скорость тела принимает критическое значение. Подставляем полученное данное в уравнение скорости и получаем: V = 3 м/с.

Но как понять, что это именно максимальная скорость, ведь критическими точками функции могут быть наибольшие или наименьшие её значения? Для проверки необходимо найти вторую производную от скорости. Она выражается числом 6 со знаком минус. Это значит, что найденная точка является максимумом. А в случае положительного значения второй производной был бы минимум. Значит, найденное решение оказалось правильным.

Приведённые в качестве примера задачи являются лишь частью из тех, которые возможно решить, умея находить точки экстремума функции. На самом деле их гораздо больше. А подобные знания открывают перед человеческой цивилизацией неограниченные возможности.

Как определить точки экстремума функции. Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Введение

Во многих областях науки и в практической деятельности часто приходится сталкиваться с задачами поиска экстремума функции. Дело в том, что многие технические, экономические и т.д. процессы моделируются функцией или несколькими функциями, зависящими от переменных – факторов, влияющих на состояние моделируемого явления. Требуется найти экстремумы таких функций для того, чтобы определить оптимальное (рациональное) состояние, управление процессом. Так в экономике, часто решаются задачи минимизации издержек или максимизации прибыли – микроэкономическая задача фирмы. В этой работе мы не рассматриваем вопросы моделирования, а рассматриваем только алгоритмы поиска экстремумов функций в простейшем варианте, когда на переменные не накладываются ограничения (безусловная оптимизация), и экстремум ищется только для одной целевой функции.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке. Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4 .

Функция y=f(x) в точке x 0 имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т.е. если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) f(x 0 ) .

Функция y=f(x)

имеет минимум в точке x 0 , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) >f(x 0 .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1 . В частности,

f (x 1) f (x 4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x 0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x 0 + Δx) 0 ) , т.е.

Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f «(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 (x

0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 (x 0) ≤ 0. Так как f » (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f » (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

y =|x |.

Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум. не имеет производной при
x
=0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x f(x) x >0f(x) >0.

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f «(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

Например.

.

Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются

критическими точками .

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

f «(x) >0 при x x 0 и f «(x) 0 при x> x 0 , то x 0 – точка максимума;

при x x 0 и f «(x)> 0 при x> x 0 , то x 0 – точка минимума.

Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f «(x)> 0 для x 0 , f «(x) 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x 0 ) = f «(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

Пусть x 0 . Тогда c 0 и f «(c)> 0. Поэтомуf «(c)(x- x 0) 0и, следовательно,

f(x) — f(x 0 ) 0,т.е. f(x) 0 ).

Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f «(c) 0. Значитf «(c)(x- x 0) 0. Поэтому f(x) — f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) .

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f «(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

f «(x) 0 при x 1 , f «(x)> 0 при x> x 1 .

Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .


Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

Найти область определения функции f(x).

Найти первую производную функции f «(x) .

Определить критические точки, для этого:

найти действительные корни уравнения f «(x) =0;

найти все значения x при которых производная f «(x) не существует.

Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

Вычислить значение функции в точках экстремума.

>> Экстремумы

Определение экстремума

Функция y = f (x ) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 f (x 2)).

Если дифференцируемая функция y = f (x ) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f » (x ) > 0

(f » (x )

Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f (x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f (x ) ≤ f (x о ) (f (x ) ≥ f (x о )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Точки экстремума

Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f (x ), то либо f » (x о ) = 0, либо f (x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x о — критическая точка. Если f » (x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f (x ) имеет
f » (x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f » (x о ) = 0, >0 ( x о является точкой локального минимума (максимума) функции f (x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие .

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример 3.22.

Решение. Так как f » (

Задачи на нахождения экстремума функции

Пример 3.23. a

Решение. x и y y
0 ≤ x ≤
> 0, а при x >a /4 S » функции кв . ед ).

Пример 3.24. p ≈

Решение. p p
S »
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Пример 3.22. Найти экстремумы функции f (x ) = 2x 3 — 15x 2 + 36x — 14.

Решение. Так как f » (x ) = 6x 2 — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.

Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a — 2x и S = x (a — 2x), где
0 ≤ x ≤ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S » = a — 4x, a — 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a — 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x a /4 S » > 0, а при x >a /4 S » функции S(a/4) = a/4(a — a/2) = a 2 /8 (кв . ед ). Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью V=16 p ≈ 50 м 3 . Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение. Площадь полной поверхности цилиндра равна S = 2 p R(R+Н). Мы знаем объем цилиндра V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R 2 = 16/ R 2 . Значит, S(R) = 2 p (R 2 +16/R). Находим производную этой функции:
S » (R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). S » (R) = 0 при R 3 = 8, следовательно,
R = 2, Н = 16/4 = 4.

Урок на тему: «Нахождение точек экстремумов функций. Примеры»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»

Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.

4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:


Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:


Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

Y min — точка минимума,
y max — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x 3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y»= 12 — 3x 2 ,
б) y»= 0, при x= ±2,

Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т. к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 — точка минимума функции.
Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y»= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. 2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Показать решение

Решение

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения.

Прежде, чем научиться находить экстремумы функции, необходимо понять, что же такое экстремум. Самое общее определение экстремума гласит, что это употребляемое в математике наименьшее или наибольшее значение функции на определенном множестве числовой линии или графике. В том месте, где находится минимум, появляется экстремум минимума, а там, где максимум – экстремум максимума. Также в такой дисциплине, как математический анализ, выделяют локальные экстремумы функции. Теперь давайте рассмотрим, как найти экстремумы.

Экстремумы в математике относятся к важнейшим характеристикам функции, они показывают её самое большое и самое маленькое значение. Находятся экстремумы преимущественно в критических точках находимых функций. Стоит отметить, что именно в точке экстремума функция кардинально меняет своё направление. Если просчитать производную от точки экстремума, то она, согласно определению, должна быть равна нулю или же вовсе будет отсутствовать. Таким образом, чтобы узнать, как найти экстремум функции, необходимо выполнить две последовательные задачи:

  • найти производную для той функции, которую необходимо определить заданием;
  • найти корни уравнения.

Последовательность нахождения экстремума

  1. Оформите в письменном виде функцию f(x), которая задана. Найдите её производную первого порядка f «(x). То выражение, которое получится, приравняйте к нулю.
  2. Теперь вам предстоит решить то уравнение, которое получилось. Результирующие решения и будут корнями уравнения, а также критическими точками определяемой функции.
  3. Теперь определяем, какими именно критическими точками (максимума или минимума) являются найденные корни. Следующим этапом, после того, как мы узнали, как находить точки экстремума функции, является нахождение второй производной от искомой функции f » (x). Необходимо будет подставить в конкретное неравенство значения найденных критических точек и затем посчитать, что получится. Если произойдет так, что вторая производная окажется больше нуля в критической точке, то ею и будет являться точка минимума, а в противном случае – это будет точка максимума.
  4. Остаётся посчитать значение начальной функции в необходимых точках максимума и минимума функции. Чтобы это сделать, подставляем полученные значения в функцию и рассчитываем. Однако стоит отметить, что, если критическая точка оказалась максимумом, то и экстремум будет максимальным, а если минимумом, то минимальным по аналогии.

Алгоритм нахождения экстремума

Чтобы обобщить полученные знания, составим краткий алгоритм того, как находить точки экстремума.

  1. Находим область определения заданной функции и её интервалы, которые точно определяют, на каких промежутках функция непрерывна.
  2. Находим производную от функции f «(x).
  3. Вычисляем критические точки уравнения y = f (x).
  4. Анализируем изменения направления функции f (x), а также знак производной f «(x) там, где критические точки разделяют область определения данной функции.
  5. Теперь определяем, является ли каждая точка на графике максимумом или минимумом.
  6. Находим значения функции в тех точках, которые являются экстремумами.
  7. Фиксируем результат данного исследования – экстремумы и промежутки монотонности. Вот и все. Теперь мы рассмотрели, как можно найти экстремум на любом промежутке. Если вам необходимо найти экстремум на определенном промежутке функции, то делается это аналогичным образом, только обязательно учитываются границы производимого исследования.

Итак, мы рассмотрели, как найти точки экстремума функции. При помощи несложных вычислений, а также знаний о нахождении производных, можно найти любой экстремум и вычислить его, а также графически его обозначить. Нахождение экстремумов является одним из важнейших разделов математики, как в школе, так и в Высшем учебном заведении, поэтому, если вы научитесь правильно их определять, то учиться станет намного проще и интереснее.

Если нет экстремумов функции. Монотонность функции.

Точки экстремума и экстремумы функции. Примеры нахождения точки экстремумов

Точка х 0 называетсяточкой максимума (минимума ) функцииf(х), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенствоf(х) ≤f(х 0) (f(х) ≥f(х 0)).

Значение функции в этой точке называется соответственно максимумом илиминимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названиемэкстремума функции.

Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом , подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 0 . На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают сглобальным максимумом илиминимумом (т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).

Необходимое условие экстремума . Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (илистационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.

Первое достаточное условие экстремума . Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, — то точка минимума.

Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).

Второе достаточное условие экстремума . Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

Исследование функции на экстремум в соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую производную функции f`(x).

2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т. е. найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f«(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Нахождение глобального максимума и минимума функции на некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:

1. Найти производную функции f`(x).

2. Найти критические точки функции f(x), в которых производнаяf`(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

Вконтакте

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

  • статистика;
  • машинное управление;
  • эконометрика.

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

  1. Нахождение точной области определения на графике.
  2. Поиск производной функции и точки экстремума.
  3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
  4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значения Построение графика значения
1. Определение точек возрастания и убывания значений.

2. Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями.

3. Процесс определения изменений положения на графике.

4. Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот.

5. Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат.

6. Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек.

7. Определение выпуклости и вогнутости кривой.

8. Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.

Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса.

Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике.

Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

Пояснение.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

x max = 3, x max = 8.

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции , а значения функции в этих точках – ее экстремумами .

Критические и стационарные точки функции:

Необходимое условие экстремума:

Достаточное условие экстремума:

На отрезке функция y = f (x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x ) на монотонность и экстремумы:

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4 .

Функция y=f(x) в точке x 0 имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т.е. если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) f(x 0 ) .

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x 0 , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) >f(x 0 .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1 . В частности, f (x 1) f (x 4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x 0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x 0 + Δx) 0 ) , т.е. Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f «(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 (x 0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 (x 0) ≤ 0. Так как f » (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f » (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры .

  1. y =|x |.

    Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

  2. Функция не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум.

    Функция не имеет производной при x =0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x f(x) x >0f(x) >0.

    Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

    Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f «(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

    Например . .

    Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

    Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками .

    Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

    Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

    Таким образом, если

    Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f «(x)> 0 для x 0 , f «(x) 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x 0 ) = f «(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

    1. Пусть x 0 . Тогда c 0 и f «(c)> 0. Поэтомуf «(c)(x- x 0) 0и, следовательно,

      f(x) — f(x 0 ) 0,т.е. f(x) 0 ).

    2. Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f «(c) 0. Значитf «(c)(x- x 0) 0. Поэтому f(x) — f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) .

    Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

    Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

    Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f «(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

    f «(x) 0 при x 1 , f «(x)> 0 при x> x 1 .

    Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

    Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .


    Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

    Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

    1. Найти область определения функции f(x).
    2. Найти первую производную функции f «(x) .
    3. Определить критические точки, для этого:
      1. найти действительные корни уравнения f «(x) =0;
      2. найти все значения x при которых производная f «(x) не существует.
    4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
    5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

    Примеры . Исследовать функции на минимум и максимум.

    НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

    Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

    Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

    Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b ] :

    1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b ) и вычислить значения функции в этих точках.
    2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b .
    3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Обратимся к графику функции у = х 3 – 3х 2 . Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х 3 – 3х 2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х 3 – 3х 2 , так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует окрестность точки х 0 – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х 2 , так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

Точкой минимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует такая окрестность точки х 0 , что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2) 2 , так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производную.

Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f «(х 0) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f «(х 0) равен нулю.

Например, функция f(х) = 1 – 3х 2 имеет в точке х 0 = 0 максимум, ее производная f «(х) = -2х, f «(0) = 0.

Функция f(х) = (х – 2) 2 + 3 имеет минимум в точке х 0 = 2, f «(х) = 2(х – 2), f «(2) = 0.

Отметим, что если f «(х 0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х 0 – это обязательно точка экстремума функции f(х).

Например, если f(х) = х 3 , то f «(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х 3 возрастает.

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f «(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

Таким образом, для того, чтобы точка х 0 была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х 4 – 4х 3 .

Решение.

1) Найдем производную: f «(х) = 4х 3 – 12х 2 = 4х 2 (х – 3).

2) Найдем стационарные точки: 4х 2 (х – 3) = 0, х 1 = 0, х 2 = 3.

3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f «(х) = 4х 2 (х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х

4) Так как при переходе через точку х 1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х 2 = 3. Поэтому х 2 = 3 – точка минимума.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Экстремум функции — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки  называется любой промежуток, для которого  является внутренней точкой.

Точка  называется точкой минимума (максимума) функции  если для всех  из некоторой окрестности точки  выполняется неравенство 

Точки минимума и максимума обозначают  соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: 

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции  точка  является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: 

Для функции  точка  является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: 

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки:  — точки максимума;  и  — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция  непрерывна на промежутке  и  — её критическая точка,  Тогда: точка  при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции  отрицательная, то при переходе через точку  возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае  — точка максимума. Если же при переходе через точку  убывание функции изменяется на возрастание, то  — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке  равна нулю, а слева и справа от  производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то  не является точкой экстремума.

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции 

Решение:

 

Критические точки функции:  При переходе через точку  производная меняет знаке  поэтому  —точка максимума. При переходе через точку  производная меняет знак с  поэтому  — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

  1. найти область определения функции;
  2. исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
  3. найти точки пересечения графика функции с осями координат;
  4. исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
  5. найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
  6. найти асимптоты графика функции;
  7. построить график функции.
Пример №553

Исследуйте функцию  и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме  Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение  не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось  Ось  он пересекает в точке с ординатой 

Критические точки: 

Составим и заполним таблицу.

На промежутках  функция возрастает, на промежутках   функция убывает.  — точка максимума,    —точка минимума,  

Область значений функции: 

График функции имеет вертикальную асимптоту  так как 

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке  А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки  функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки  Чётная функция может. Например, функция 

Пример №555

Существуют ли такие числа  при которых имеет экстремум функция 

Решение:

При любых действительных значениях  В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на  поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию  и постройте её график.

Решение.

2) Функция — нечётная, поскольку 

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке 

3) если  — график пересекает оси координат только в точке 

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что  для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков  и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты  и  (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Применение производной. Монотонность функции. Точки экстремума, экстремумы функции

2. Содержание

Монотонность функции
Точки экстремума,
экстремумы функции

3.

Монотонность функции Повторим теорию
Функция f возрастает
на множестве P, если
для любых x1 и x2 из
множества P, таких ,
что x1>x2, выполнено
неравенство
f(x1)> f (x2 )
y
1
0
1
y

4. Монотонность функции

Повторим теорию
Функция f убывает
на множестве P, если
для любых x1 и x2 из
множества P, таких ,
что x1>x2, выполнено
неравенство
f(x1)
y
1
0
1
y

5. Достаточный признак возрастания (убывания)функции

Если f‘ (x)> 0 в каждой
точке интервала P , то
функция возрастает на P.
f‘ (x)
|
+
+
|
|
f (x)
Если f‘ (x)
точке интервала P , то
функция убывает на P. f‘ (x)
f (x)

|
|

|

6. Исследование функции на монотонность с помощью производной

y x 4 8x 2 8
D(y)=R
y
y 4 x 3 16 x
4 x 16 x 0
3
4 x( x 4) 0
2
x1 2
x2 0
x3 2
y

|
-2
+
|
0

|
2
Функция убывает на
промежутке ?
Функция возрастает на
промежутке ?
+
x
Функция y=f(x) задана на отрезке [a; b]. На рисунке
изображен график ее производной. Исследуйте на
монотонность функцию y=f(x). В ответе укажите
количество промежутков, на которых функция
убывает.
y
Функция
возрастает
убывает
y f (x)
f‘f‘(x)
(x)>00
при
при
x a;0
x c; b
Ответ: 1
1
a
0
1
с
b
y
На рисунке изображен график производной функции
у =f /(x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте
функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее
промежутков убывания.
y
y = f /(x) 4
3
1 3
2
1
2
2
3 1
4 4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
f/(x)
f(x)
x
1 2 3 4 5 6 7
1
4
Функция у = f(x) определена на промежутке на
промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее
производной. Найдите длину промежутка убывания этой
y
функции.
4
/(x)
y
=
f
3
2
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f/(x)
f(x) -6
x
-1 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
3
2
На рисунке изображен график функции y=f(x).
Укажите длину наибольшего промежутка
возрастания этой функции.
y
y f (x)
1
Ответ: 4
0 1
x
Функция y=f(x) задана на промежутке (-6; 5).На
рисунке изображен график ее производной.
Найдите наибольшую из длин промежутков
убывания функции.
y
f‘ (x)
y f (x)
1
0
Ответ: 4
1
x

12. Точки экстремума. Экстремумы функции.

13. Точки экстремума, экстремумы функции

y
Точка x0 называется
точкой
максимума
f(x0)
функции, если для всех
x
из
некоторой
f(x0)≥ f (х )
окрестности выполнено
неравенство :
f(x0)≥ f (х )
f(x0)- максимум функции
1
0
1
x0
y

14. Точки экстремума, экстремумы функции

Точка x0 называется
точкой
минимума
функции, если для всех
x
из
некоторой
окрестности выполнено
неравенство :
f(x0)≤ f (х )
f(x0)- минимум функции
y
1
x0
0
1
y
f(x0)≤ f (х )
f(x0)
x max
xmin
Точки экстремума
y min
y max
Экстремумы функции

16.

Критические точки Внутренние
точки
области
определения
функции, в которых ее
производная
равна
нулю или не существует,
называются
критическими
точками
функции.
этой
Необходимое условие
экстремума
Если точка x0 является
точкой
экстремума
функции f и в этой
точке
существует
производная f‘ (x), то
она равна нулю:
f‘ (x)= 0

17. Признак максимума функции.

Если функция f
непрерывна
в
точке x0, а f‘(x)>0 на
интервале (a;x0) и
f‘(x)
на
интервале (x0;b), то
точка x0 является
точкой максимума
функции f
f
f

|
-2
+
|
0

|
2
+
x max
Упрощенное правило:
Если в точке x0 производная
меняет знак с плюса на
минус, то x0 есть точка
максимума .

18. Признак минимума функции.

Если функция f
непрерывна
в
точке x0, а f‘(x)
интервале (a;x0) и
f‘(x)>0
на
интервале (x0;b), то
точка x0 является
точкой минимума
функции f.
f
f

|
-2
xmin
+
|
0

|
2
+
xmin
Упрощенное правило:
Если в точке x0 производная
меняет знак с минуса на
плюс, то x0 есть точка
минимума .

19. Пример

Найдите
точки
экстремума функции
f
f(x)=3x-x3
D(y)=R
f
f‘ (x)=3-3×2
Критические точки
f‘
(x)= 0
x=±1
f‘ (x)- не
существует
Таких значений x
нет.
+
|
-1
xmin
Ответ:
|
1

x max
xmin 1
x max 1
x

20. График функции

y
xmin1
√3
0
1
x max
x

«Нахождение точек экстремумов функций. Примеры»

Обратимся к графику функции у = х 3 – 3х 2 . Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х 3 – 3х 2 в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х 3 – 3х 2 , так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует окрестность точки х 0 – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х 2 , так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

Точкой минимума функции f(х) называется точка х 0 , если существует такая окрестность точки х 0 , что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х 0) для всех х из этой окрестности.

Например, точка х 0 = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2) 2 , так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производную.

Если х 0 – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f «(х 0) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
f «(х 0) равен нулю.

Например, функция f(х) = 1 – 3х 2 имеет в точке х 0 = 0 максимум, ее производная f «(х) = -2х, f «(0) = 0.

Функция f(х) = (х – 2) 2 + 3 имеет минимум в точке х 0 = 2, f «(х) = 2(х – 2), f «(2) = 0.

Отметим, что если f «(х 0) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х 0 – это обязательно точка экстремума функции f(х).

Например, если f(х) = х 3 , то f «(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х 3 возрастает.

Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
f «(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

Таким образом, для того, чтобы точка х 0 была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х 4 – 4х 3 .

Решение.

1) Найдем производную: f «(х) = 4х 3 – 12х 2 = 4х 2 (х – 3).

2) Найдем стационарные точки: 4х 2 (х – 3) = 0, х 1 = 0, х 2 = 3.

3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f «(х) = 4х 2 (х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х

4) Так как при переходе через точку х 1 = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х 2 = 3. Поэтому х 2 = 3 – точка минимума.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

Вконтакте

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

  • статистика;
  • машинное управление;
  • эконометрика.

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

  1. Нахождение точной области определения на графике.
  2. Поиск производной функции и точки экстремума.
  3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
  4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значения Построение графика значения
1. Определение точек возрастания и убывания значений.

2. Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями.

3. Процесс определения изменений положения на графике.

4. Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот.

5. Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат.

6. Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек.

7. Определение выпуклости и вогнутости кривой.

8. Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.

Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса.

Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике.

Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.

Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума.

Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума.

Экстремум функционала

Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:

  • определить необходимое условие экстремального отношения;
  • учитывать достаточное условие крайних точек на графике;
  • осуществлять расчет острого экстремума.

Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.

Урок на тему: «Нахождение точек экстремумов функций. Примеры»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
Программная среда «1С: Математический конструктор 6. 1″

Что будем изучать:
1. Введение.
2. Точки минимума и максимума.

4. Как вычислять экстремумы?
5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:


Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:


Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

Y min — точка минимума,
y max — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x) Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x 3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y»= 12 — 3x 2 ,
б) y»= 0, при x= ±2,

Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: , в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= 3 — точка минимума функции.
Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y»= 1 + 2sin(x),
б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
а)
б) найдем значения в которой производная равна нулю: y»= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
Точка x= -2 точка минимума функции.
Точка x= 2 — точка минимума функции.
В точке x= 0 функция не существует.
Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x 3 — 15x — 5.
б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.
г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x) , изображенной на рисунке.

Значение функции в точке x 1 будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x 1 . В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум. В точке x 3 функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x 2 , то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум. Аналогично для точки x 4 .

Функция y=f(x) в точке x 0 имеет максимум , если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т.е. если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) f(x 0 ) .

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x 0 , если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x x 0 , принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x) >f(x 0 .

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x 1 имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x 1 . В частности, f (x 1) f (x 4) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x 0 экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство . Пусть для определенности в точке x 0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Δx имеем f(x 0 + Δx) 0 ) , т.е. Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Δx → 0 и учитывая, что производная f «(x 0) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Δx → 0, получаем: при Δx → 0 – 0 (x 0) ≥ 0 а при Δx → 0 + 0 (x 0) ≤ 0. Так как f » (x 0) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f » (x 0) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры .

  1. y =|x |.

    Функция не имеет производной в точке x =0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y (0)=0, а при всех x ≠ 0y > 0.

  2. Функция не имеет производной при x =0, так как обращается в бесконечность приx =0. Но в этой точке функция имеет максимум.

    Функция не имеет производной при x =0, так как при x →0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x) =0 и при x f(x) x >0f(x) >0.

    Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

    Однако, если в некоторой точке x 0 мы знаем, что f «(x 0 ) =0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x 0 функция имеет экстремум.

    Например . .

    Но точка x =0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox , а справа выше.

    Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками .

    Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

    Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x 0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x 0). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x 0 функция имеет максимум. Если же при переходе через x 0 слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

    Таким образом, если

    Доказательство . Предположим сначала, что при переходе через x 0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x , близких к точке x 0 f «(x)> 0 для x 0 , f «(x) 0 для x> x 0 . Применим теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x 0 ) = f «(c)(x- x 0), где c лежит между x и x 0 .

    1. Пусть x 0 . Тогда c 0 и f «(c)> 0. Поэтомуf «(c)(x- x 0) 0и, следовательно,

      f(x) — f(x 0 ) 0,т.е. f(x) 0 ).

    2. Пусть x > x 0 . Тогда c> x 0 и f «(c) 0. Значитf «(c)(x- x 0) 0. Поэтому f(x) — f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) .

    Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x 0 f(x) f(x 0 ) . А это значит, что в точке x 0 функция имеет максимум.

    Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

    Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f «(x 1 ) =0 и для любых x, достаточно близких к x 1 , выполняются неравенства

    f «(x) 0 при x 1 , f «(x)> 0 при x> x 1 .

    Тогда слева от точки x 1 функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x 1 функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

    Аналогично можно рассматривать точки x 2 и x 3 .


    Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

    Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

    1. Найти область определения функции f(x).
    2. Найти первую производную функции f «(x) .
    3. Определить критические точки, для этого:
      1. найти действительные корни уравнения f «(x) =0;
      2. найти все значения x при которых производная f «(x) не существует.
    4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
    5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

    Примеры . Исследовать функции на минимум и максимум.

    НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

    Наибольшим значением функции на отрезке называется самое большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.

    Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную на отрезке [a, b ]. Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в критических точках.

    Таким образом, получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b ] :

    1. Найти все критические точки функции в интервале (a, b ) и вычислить значения функции в этих точках.
    2. Вычислить значения функции на концах отрезка при x = a, x = b .
    3. Из всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Это довольно-таки занятный раздел математики, с которым сталкиваются абсолютно все ученики выпускных классов и студенты. Тем не менее далеко не каждому нравится матан. Некоторые не могут понять даже элементарных вещей наподобие, казалось бы, стандартного исследования функции. Данная статья призвана исправить подобную оплошность. Хотите поподробнее узнать об анализе функции? Желаете узнать, что такое точки экстремума и как их найти? Тогда данная статья для вас.

Исследование графика функции

Для начала стоит понять, зачем вообще необходимо анализировать график. Существуют простые функции, начертить которые не составит труда. Ярким примером подобной функции может служить парабола. Начертить ее график не составит труда. Все что необходимо, так это с помощью простого преобразования найти числа, при которых функция принимает значение 0. И в принципе это все что знать для того, чтобы начертить график параболы.

Но что делать, если функция, график которой нам нужно начертить, намного сложнее? Поскольку свойства сложных функций довольно-таки неочевидны, необходимо проводить целый анализ. Только после этого можно изобразить функцию графически. Как же это сделать? Ответ на этот вопрос вы сможете найти в данной статье.

План анализа функции

Первое, что необходимо сделать, так это провести поверхностное исследование функции, в ходе которого мы найдем область определения. Итак, начнем по порядку. Область определения — это совокупность тех значений, которыми функция задается. Проще говоря, это те числа, которые можно использовать в функции вместо х. Для того чтобы определить область определения, необходимо просто взглянуть на запись. К примеру, очевидно, что у функции у (х) = х 3 + х 2 — х + 43 область определения — множество действительных чисел. Ну а с функцией наподобие (х 2 — 2х)/х все немного иначе. Поскольку число в знаменателе не должно равняться 0, то областью определения данной функции будут все действительные числа, помимо нуля.

Далее необходимо найти так называемые нули функции. Это те значения аргумента, при которых вся функция принимает значения ноль. Для этого необходимо приравнять функцию к нулю, подробно ее рассмотреть и совершить некоторые преобразования. Возьмём уже знакомую нам функцию у(х) = (х 2 — 2х)/х. Из школьного курса мы знаем, что дробь равна 0 тогда, когда числитель равен нулю. Поэтому знаменатель мы отбрасываем и начинаем работать с числителем, приравнивая его к нулю. Получаем х 2 — 2х = 0 и выносим х за скобочки. Отсюда х (х — 2) = 0. В итоге получаем, что наша функция равна нулю тогда, когда х равняется 0 или же 2.

Во время исследования графика функции многие сталкиваются с проблемой в виде точек экстремума. И это странно. Ведь экстремумы — это довольно-таки простая тема. Не верите? Убедитесь сами, прочитав данную часть статьи, в которой мы поговорим о точках минимума и максимума.

Для начала стоит разобраться в том, что собой представляет экстремум. Экстремум — это предельное значений, которое достигает функция на графике. Отсюда получается, что существует два крайних значения — максимум и минимум. Для наглядности можно посмотреть на картинку, что расположена выше. На исследованной области точка -1 является максимумом функции у (х) = х 5 — 5х, а точка 1, соответственно, минимумом.

Также не стоит путать между собой понятия. Точки экстремума функции — это те аргументы, при которых заданная функция приобретает крайние значения. В свою очередь, экстремумом называют значение минимумов и максимумов функции. К примеру, вновь рассмотрим рисунок выше. -1 и 1 — это точки экстремума функции, а 4 и -4 — это сами экстремумы.

Нахождение точек экстремума

Но как все-таки найти точки экстремума функции? Все довольно-таки просто. Первое, что необходимо сделать — найти производную уравнения. Допустим, мы получили задание: «Найдите точки экстремума функции y (x), x — аргумент. Для наглядности возьмем функцию у (х) = х 3 + 2х 2 + х + 54. Проведем дифференцирование и получим следующее уравнение: 3х 2 + 4х + 1. В итоге мы получили стандартное квадратное уравнение. Все, что необходимо сделать дальше — приравнять его к нулю и найти корни. Поскольку дискриминант больше нуля (D = 16 — 12 = 4), данное уравнение определяется двумя корнями. Находим их и получаем два значения: 1/3 и -1. Это и будут точки экстремума функции. Однако как все-таки определить, кто есть кто? Какая точка является максимумом, а какая минимумом? Для этого нужно взять соседнюю точку и узнать ее значение. К примеру, возьмем число -2, которое находится слева по координатной прямой от -1. Подставляем это значение в наше уравнение у(-2) = 12 — 8 + 1 = 5. В итоге мы получили положительное число. Это значит, что на промежутке от 1/3 до -1 функция возрастает. Это, в свою очередь, обозначает, что на промежутках от минус бесконечности до 1/3 и от -1 до плюс бесконечности функция убывает. Таким образом, можно сделать вывод, что число 1/3 — точка минимума функции на исследованном промежутке, а -1 — точка максимума.

Также стоит отметить, что на ЕГЭ требуют не просто найти точки экстремума, Но и провести с ними какую-то операцию (прибавить, умножить и т.д.). Именно по этой причине стоит обратить особое внимание на условия задачи. Ведь из-за невнимательности можно потерять баллы.

Мин., Макс., Критические точки

Определение вогнутой вверх кривой: f(x) «вогнутая вверх» at x 0 тогда и только тогда, когда f ‘(x) возрастает при x 0

Определение вогнутой вниз кривой: f(x) «вогнута вниз» at x 0 тогда и только тогда, когда f ‘(x) убывает при x 0

Проверка второй производной: Если f »(x) существует при x 0 и положительно, то f »(x) вогнута до х 0 . Если f »(x 0 ) существует и отрицательно, то f(x) вогнута вниз в точке x 0 . Если ф »(x) не существует или равно нулю, то проверка не пройдена.

Локальные (относительные) экстремумы

Определение локальных максимумов: Функция f(x) имеет локальный максимум at x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторый интервал I, содержащий x 0 такое, что f(x 0 ) >= f(x) для всех x в I.

Определение локальных минимумов: Функция f(x) имеет локальный минимум at x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторый интервал I, содержащий x 0 такое, что f(x 0 ) <= f(x) для всех x в I.

Возникновение локальных экстремумов: Все локальные экстремумы возникают при критических точек, но не все критические точки находятся в локальных экстремумах.

Проверка первой производной для локальных экстремумов: Если f(x) увеличивается (f ‘(x) > 0) для всех x в некотором интервале (a, x 0 ] и f(x) убывает (f ‘(x) < 0) для всех x в некотором интервал [x 0 , b), то f(x) имеет локальный максимум в точке x 0 . Если f(x) убывает (f ‘(x) < 0) для всех x в некотором интервал (a, x 0 ] и f(x) возрастает (f ‘(x) > 0) для всех x в некотором интервале [x 0 , b), то f(x) имеет локальный минимум в точке x 0 .

Тест второй производной для локальных экстремумов: If f ‘(x 0 ) = 0 и f »(x 0 ) > 0, то f(x) имеет локальную минимум при x 0 . Если f ‘(x 0 ) = 0 и f »(x 0 ) < 0, то f(x) имеет локальный максимум в х 0 .

Абсолютный экстремум

Определение абсолютных максимумов: y 0 является «абсолютным максимум» f(x) на I тогда и только тогда, когда y 0 >= f(x) для всех х на Я.

Определение абсолютных минимумов: y 0 является «абсолютным минимум» f(x) на I тогда и только тогда, когда y 0 <= f(x) для всех х на Я.

Теорема об экстремальном значении: Если f(x) непрерывна в замкнутом интервале I, то f(x) имеет по крайней мере один абсолютный максимум и один абсолютный минимум в И.

Наличие абсолютных максимумов: Если f(x) непрерывна в замкнутом интервале I, то абсолютный максимум f(x) в I является максимальным значением функции f(x) на всех локальных максимумах и концах на I.

Наличие абсолютных минимумов: Если f(x) непрерывна в замкнутом интервале I, то абсолютным минимумом f(x) в I является минимальное значение функции f(x) на всех локальных минимумах и концах на I.

Альтернативный метод нахождения экстремумов: Если f(x) непрерывна в замкнутом интервале I, то абсолютные экстремумы f(x) в I происходят в критических точках и/или на концах I.
(Это менее конкретная форма вышеперечисленного.)

Определение возрастающей функции: Функция f(x) «возрастает» в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторое интервал I, содержащий x 0 такой, что f(x 0 ) > f(x) для всех x в I слева от x 0 и f(x 0 ) < f(x) для всех x в I справа от x 0 .

Определение убывающей функции: Функция f(x) является «убывающей» в точке x 0 тогда и только тогда, когда существует некоторый интервал I содержащие x 0 такие, что f(x 0 ) < f(x) для всех x в I слева от x 0 и f(x 0 ) > f(x) для все x в I справа от x 0 .

Проверка первой производной: Если f ‘(x 0 ) существует и положительна, то f ‘(x) возрастает при x 0 . Если f ‘(x) существует и отрицательно, то f(x) убывает в х 0 . Если f ‘(x 0 ) не существует или равен нулю, то тест не пройден.

Возникают ли локальные экстремумы тогда и только тогда, когда f'(x) = 0?

Почему некоторые говорят, что это правда: Это первый производный тест, которому нас учили в старшей школе.

Почему некоторые говорят, что это неверно: Есть случаи, которые являются исключениями из этого утверждения.Кроме того, меня учили, что это только первый шаг первого теста производной.

Утверждение неверно \color{#D61F06}{\textbf{false}}false.

Знание того, что производная функции равна 0 в определенной точке, не обязательно означает, что в этой точке существует локальный минимум или максимум. Когда f′(x)=0,f’(x) = 0,f′(x)=0, это означает только, что в этой точке есть горизонтальная касательная. Ниже приведен пример случая, когда функция имеет горизонтальную касательную в точке, не являющейся локальным экстремумом .

Кроме того, функция может иметь локальный минимум или максимум в точке, где ее производная отлична от нуля различными способами, описанными ниже. Например, f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ имеет локальный минимум при x=0,x = 0,x=0, несмотря на то, что f′(0) ≠0.f'(0)\neq 0.f'(0)​=0.

Контрпример 1:

Это простой контрпример данного утверждения: пример, когда производная функции равна 0 в точке, не являющейся локальным экстремумом.2 .f′(x)=3×2. Установив его равным нулю, мы получим x=0.x = 0.x=0. Но графически хорошо видно, что функция не достигает локального экстремума при x=0.x = 0.x=0. Кривая просто меняется от вогнутой вниз при x<0x < 0x<0 к вогнутой вверх при x>0.x > 0.x>0. □_\квадрат□​

Контрпример 2:

y=sin⁡xy = \sin xy=sinx для 0≤x≤π3 0 ≤ x ≤ \frac{\pi}{3}0≤x≤3π​ является примером функции, которая имеет локальный экстремум в точка, в которой его производная не равна 0.Это происходит потому, что функция имеет ограниченный домен.


Ниже показан график y=sin⁡xy = \sin xy=sinx для 0≤x≤π3. 0 ≤ x ≤ \frac{\pi}{3}.0≤x≤3π​.

Функция достигает максимального значения при x=π3 x = \frac{\pi}{3} x=3π​ и минимум при x=0:x = 0:x=0:

fmax(x)=sin⁡π3=32,fmin(x)=sin⁡0=0.\begin{array}{c}&f_{\text{max}}(x)=\sin\dfrac{\pi {3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, &f_{\text{min}}(x) = \sin 0 = 0.\end{массив} ​fmax​(x)=sin3π​=23​​,​fmin​(x)=sin0=0.​

Однако производная функции f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos xf′(x)=cosx не равна нулю ни в одной из точек:

f′(0)=cos⁡0=1,f′(π3)=cos⁡π3=12,\begin{массив}{c}&f ‘(0) =\cos 0 = 1, &f’\left( \dfrac{\pi}{3}\right) =\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2},\end{array} ​f′(0)=cos0=1, ​f′(3π​)=cos3π​=21​,​

подразумевает, что данное утверждение является ложным. □_\квадрат□​

Дополнительную информацию о локальных и глобальных экстремумах можно найти здесь: Экстремумы.

Ниже приведены два распространенных возражения против приведенного выше контрпримера:

локальных экстремумов функции y=sin⁡xy = \sin xy=sinx для 0≤x≤π3 0 ≤ x ≤ \frac{\pi}{3}0≤x≤3π​ равны

fmax(x)=sin⁡π3=32,fmin(x)=sin⁡0=0.\begin{array}{c}&f_{\text{max}}(x)=\sin\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, &f_{\text{min}}(x) = \sin 0 = 0.\end{array} ​fmax​(x)=sin3π​ =23​​,​fmin​(x)=sin0=0.​


Опровержение : Градиент функции положителен при x=π3x = \frac{\pi}{3}x=3π​, и поэтому он возрастает и полученное нами значение не является локальным максимумом.
Ответ : Функция не определена для x>π3x > \frac{\pi}{3} x>3π​ , и, следовательно, мы действительно достигли локального максимума при x=π3. x = \frac{\pi}{3} .x=3π​.


Опровержение : Разве −1-1−1 не является минимальным значением sin⁡x?\sin x?sinx?
Ответ : Минимальное значение функции sin⁡x\sin xsinx в области 0≤x≤π3 0 ≤ x ≤ \frac{\pi}{3} 0≤x≤3π​ не равно −1.- 1.−1. Значение -1-1-1 соответствует минимальному значению в большей области.

Относительный экстремум — Расчет 1

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

Экстремальная точка – обзор

ВВЕДЕНИЕ

В течение почти трех тысячелетий элемент Fe и его сплавы обеспечивали наиболее часто используемые конструкционные металлы и остаются предпочтительными материалами для большей части всех инженерных конструкций и устройств.Есть три основные причины, почему это так. Во-первых, железо широко распространено в земной коре и относительно легко извлекается из ее руд. Во-вторых, Fe обладает разумной внутренней прочностью, и его можно легировать или обрабатывать, чтобы оно стало еще прочнее. В-третьих, Fe (или сталь) — очень гибкий материал, который можно сделать мягким для формовки или твердым для структурной прочности путем довольно простых изменений в способе его обработки. Прочность Fe является обязательным условием. Если бы он не поддавался созданию сплавов, «прочных, как сталь», он не получил бы широкого распространения.

Достижения в вычислительной технике и вычислительных машинах недавно позволили вычислить идеальную прочность кристаллического материала — напряжение, которое приводит к нестабильности самой кристаллической решетки и устанавливает верхнюю границу прочности, которую может иметь материал [1,2 ]. Когда эти методы применяются к Fe, как это было впервые сделано в работе, представленной здесь [3,4], возникает пара сюрпризов. Во-первых, Fe на самом деле не так уж и силен. Во-вторых, удивительно, что Fe так сильно.

Эти утверждения могут быть основаны на простой модели, которая вытекает из доминирующей роли симметрии в определении идеальной прочности, как хорошо установлено из расчетов из первых принципов [2,5]. Энергия деформированного кристалла зависит от шести независимых компонент деформации и, следовательно, представляет собой 6-мерную гиперповерхность в 7-мерном пространстве. Локальные экстремумы и седловые точки на этой гиперповерхности почти всегда соответствуют структурам с высокой симметрией. Конфигурации, представляющие наибольший интерес, представляют собой седловые точки на поверхности энергии, соседствующие с начальным состоянием.Для заданной геометрии нагрузки (напряженного состояния) кристалл деформируется по определенному пути на поверхности энергии деформации по мере увеличения нагрузки. Напряжение, необходимое для управления системой, связано с локальным наклоном поверхности энергии в направлении движения. Идеальная прочность определяется наибольшей крутизной на пути между начальным состоянием и первой седловой точкой.

Самый крутой уклон соответствует максимальному напряжению; кристалл становится упруго неустойчивым, как только точка максимального напряжения пройдена.

Чтобы понять идеальную прочность, необходимо определить соответствующие структуры седловой точки. При изучении идеальной прочности ОЦК-металлов выявлено четыре таких структуры: ГЦК-структура, простая кубическая (ПК) структура, объемно-центрированная тетрагональная (ОЦТ) структура и базально-центрированная орторомбическая структура [6–8]. Например, релаксационный сдвиг ОЦК-металла в «легком» направлении <111> в плоскости {112} или {110} генерирует ОЦК-структуру без напряжений [8]. Поскольку система сдвига <111>{112} не является симметричной по знаку направления сдвига, также возможно перейти от ОЦК-структуры к орторомбической структуре с центром в основании путем сдвига в «жестком» направлении.Одноосное растяжение в направлении <111> переводит ОЦК структуру в ПК структуру [6,8], а растяжение <001> переводит ее из ОЦК либо в ГЦК (преобразование Бейна на рис. 1 [2]), либо в ОЦТ ( такая же безнапряженная структура ОЦТ, встречающаяся при сдвиге [7]). Конкуренция между двумя возможными путями, которые могут быть достигнуты при растяжении <001>, приводит к тому, что, хотя большинство ОЦК-кристаллов (Mo, W) определяются нестабильностью, связанной с ГЦК-структурой, и в идеале не расщепляются, по крайней мере один (Nb) становится неустойчивым по отношению к эволюции к седловой точке ОЦТ и разрушается при сдвиге [7].

Рис. 1. ОЦК-кристаллическая структура становится ГЦК-структурой после удлинения вдоль <100> направление.

Ab initio Расчеты полной энергии идеальных пределов прочности при растяжении ОЦК-металлов без ограничений показывают, что они наиболее слабы при растяжении в направлении <001> [2] (неудивительно, что {001} является преобладающей плоскостью спайности в ОЦК-металлах). Постоянная объемная деформация растяжения вдоль <001> преобразует ОЦК структуру в ГЦК при инженерной деформации около 0.26 («штамм Бейна», рис. 1). Поскольку обе конструкции по симметрии ненапряжены, растягивающее напряжение должно пройти хотя бы через один максимум на пути превращения. Если мы следуем Оровону [9] в допущении единственного экстремума (сплошная линия на рис. 2) и аппроксимируем кривую напряжения-деформации синусоидой, которая имеет правильный модуль при низкой деформации, идеальная прочность на растяжение составляет приблизительно

Рис. 2. Энергия как функция деформации имеет экстремум на ГЦК структуре, который может быть локальным максимумом (сплошная линия) или минимумом (пунктирная линия).Предполагая синусоидальную форму, точка перегиба, определяющая идеальную прочность, приходится на гораздо более низкую деформацию в последнем случае, а идеальная прочность значительно меньше.

(1)σm=0,08E<100>

в хорошем согласии с расчетами ab initio (например, σ м = 30 ГПа = 0,072 E <100> для W [10]). Поскольку модуль Fe значительно меньше, чем у других переходных металлов, таких как W, Mo и Ta, верхняя граница его прочности также меньше.

Но возникает вторая проблема, когда мы распространяем этот анализ на железо [3]. Известно, что ГЦК-фаза в Fe имеет энергию лишь немного выше, чем ОЦК-фаза, и, по крайней мере, метастабильна при низких температурах. На самом деле термомеханическая обработка, используемая для обработки конструкционной стали (в частности, многие из них разработаны или исследованы Гаретом Томасом), основана на легкости преобразования ее из ОЦК в ГЦК и обратно. Если предположить наличие метастабильной ГЦК-фазы, связанной непрерывной кривой энергия-деформация (пунктирная линия на рис.2), нестабильность при растяжении проявляется при гораздо меньшей деформации, а идеальная прочность должна составлять всего около 6 ГПа (по сравнению с 12 ГПа на основе нестабильной ГЦК). Эта цифра слишком мала, чтобы в нее можно было поверить. Поскольку растягивающие напряжения, в несколько раз превышающие предел текучести, развиваются перед вершинами трещин в упругопластических материалах, стали с пределом текучести намного выше 1 ГПа неизбежно будут хрупкими. Фактически, стали с гораздо более высоким пределом текучести обладают высокой вязкостью разрушения и значительной пластичностью.

Возможное решение этого парадокса предложено в работе Herper et al. [11]. Они рассчитали энергии Fe для различных магнитных состояний и деформаций решетки. Их расчеты показывают, что энергия ферромагнитного Fe монотонно возрастает, если оно искажается в сторону нестабильной ферромагнитной ГЦК, которую можно стабилизировать путем перехода в сложное антиферромагнитное состояние. Следствием этого является то, что низкоэнергетическая антиферромагнитная ГЦК-фаза является минимумом, а не седловой точкой на поверхности энергии деформации Fe.В то время как Herper и соавт. [11] не исследовали этот вопрос (у них были другие интересы), это предполагает возможность того, что ферромагнитное Fe может стать механически неустойчивым при растяжении <100> до того, как встретится с магнитным переходом, переводящим его в антиферромагнитное состояние, стабилизирующее ГЦК. Если это так, Fe может иметь механическое поведение типичного ОЦК-металла, но при этом иметь метастабильную ГЦК-структуру, стабилизированную поздним магнитным переходом. То есть он может быть и прочным, и легким в обработке.

Как мы покажем ниже, это очевидное объяснение того факта, что Fe имеет как полезную прочность на растяжение, так и ГЦК-фазу, облегчающую обработку. Двигаясь дальше, мы установим, что Fe естественным образом не расщепляется по плоскостям {100}, и вычислим его прочность на растяжение и сдвиг. Наконец, мы рассмотрим, как на прочность Fe влияет наложенное гидростатическое напряжение, возникающее, например, в вершине острой трещины.

Нахождение максимума и минимума с использованием производных

Где находится функция в верхней или нижней точке? Расчет может помочь!

Максимум — это верхняя точка, а минимум — нижняя точка:

В плавно изменяющейся функции максимум или минимум всегда находится там, где функция выравнивается   (за исключением седловой точки ).

Где он выравнивается?  Где наклон равен нулю .

Где нулевой наклон?   Производная говорит нам!

Давайте рассмотрим пример:

Пример: Мяч подброшен в воздух. Его высота в любой момент времени t определяется как:

ч = 3 + 14т — 5т 2

Какова его максимальная высота?

 

Используя производные, мы можем найти наклон этой функции:

d dt h = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t

(см. ниже этот пример того, как мы нашли эту производную.)

 

Теперь найдите, когда наклон равен нулю :

14 — 10t = 0

10 т = 14

т = 14 / 10 = 1,4

Наклон равен нулю при t = 1,4 секунды

А высота на тот момент:

ч = 3 + 14×1,4 − 5×1,4 2

ч = 3 + 19,6 — 9,8 = 12,8

И так:

Максимальная высота 12,8 м (при t = 1.4 с)

 

Краткий обзор деривативов

Производная в основном находит наклон функции.

В предыдущем примере мы взяли это:

ч = 3 + 14т — 5т 2

и получил эту производную:

d dt h = 0 + 14 − 5(2t)
= 14 − 10t

Что говорит нам о наклоне функции в любое время t

 

Мы использовали эти производные правила:

  • Наклон константы значения (например, 3) равен 0
  • Наклон линии , например, 2x равно 2, поэтому 14t имеет наклон 14
  • Функция квадрата , такая как t 2 , имеет наклон 2t, поэтому 5t 2 имеет наклон 5(2t)
  • А потом мы сложили их: 0 + 14 − 5(2t)

 

Откуда мы знаем, что это максимум (или минимум)?

Мы видели это на графике! Но иначе… снова приходят на помощь деривативы.

Возьмите производную от наклона (вторая производная исходной функции):

Производная от 14 − 10t равна −10

Это означает, что наклон постоянно уменьшается (-10): при перемещении слева направо наклон начинается с положительного значения (функция возрастает), проходит через ноль (плоская точка), а затем наклон становится отрицательным (функция падает). :


Наклон, который становится меньше (и проходит через 0), означает максимум.

Это называется тестом второй производной

На графике выше я показал наклон до и после, но на практике мы делаем тест в точке, где наклон равен нулю :

Тест второй производной

Когда наклон функции равен нулю при x , а вторая производная при x равна:

  • меньше 0, это локальный максимум
  • больше 0, это локальный минимум
  • равно 0, то тест не пройден (хотя могут быть и другие способы выяснить это)

 

«Вторая производная: меньше 0 — максимум, больше 0 — минимум»

 

Пример: Найдите максимумы и минимумы для:

у = 5х 3 + 2х 2 — 3х

Производная (наклон):

d dx y = 15x 2 + 4x − 3

Квадратичный с нулями:

 

Могут ли они быть максимальными или минимальными? (Пока не смотрите на график!)

 

Вторая производная равна y» = 30x + 4

При х = −3/5:

у» = 30(-3/5) + 4 = -14

меньше 0, поэтому −3/5 является локальным максимумом

При х = +1/3:

у» = 30(+1/3) + 4 = +14

больше 0, поэтому +1/3 — это локальный минимум

(Теперь вы можете посмотреть на график.)

слов

Высшая точка называется максимум (множественное число максимум ).

Нижняя точка называется минимум (множественное число минимум ).

Общее слово для обозначения максимума или минимума: экстремум (во множественном числе экстремум ).

Мы говорим местное максимальное (или минимальное), когда могут быть более высокие (или более низкие) точки в другом месте, но не поблизости.

Еще один пример

Пример: Найдите максимумы и минимумы для:

у = х 3 — 6х 2 + 12х — 5

Производная:

d dx y = 3x 2 − 12x + 12

Квадратично только с одним нулем в x = 2

Это максимум или минимум?

 

Вторая производная равна y» = 6x − 12

При х = 2:

у» = 6(2) — 12 = 0

это 0, поэтому тест не пройден

И вот почему:

Это точка перегиба («седловая точка»)… наклон становится равным нулю, но это не максимум и не минимум.

 

Должен быть дифференцируемым

И есть важный технический момент:

Функция должна быть дифференцируемой (производная должна существовать в каждой точке своей области определения).

Пример: как насчет функции f(x) = |x| (абсолютная величина) ?

  |х| выглядит так:  

При x=0 очень резкое изменение!

На самом деле он там не дифференцируем (как показано на дифференцируемой странице).2-16), \\х\geq 0 {/экв}.

а)

Критическая точка Производная Экстремум Значение
х=0 0 максимум 0
х=2 0 минимум -19.048813

б)

Критическая точка Производная Экстремум Значение
х=0 Не определено локальное макс. 0
х=2 0 минимум 31.748.021

c)

Критическая точка Производная Экстремум Значение
х=0 Не определено локальное макс. 0
х=2 0 минимум -19.048813

г)

Критическая точка Производная Экстремум Значение
х=0 Не определено локальное макс. 4
х=2 0 минимум -19.2-16)\ {/экв}

Первая производная:

{eq}\displaystyle \ f'(x)= 2/3\,x \left(…

См. полный ответ ниже.

Экстремумы (минимумы и максимумы) функций

Что такое экстремумы функций?

Экстремум (множественное число экстремумов) — это точка функции, в которой она имеет наибольшее (максимальное) или наименьшее (минимальное) значение. Глобальный максимум или минимум — это самое высокое или самое низкое значение всей функции, тогда как локальный максимум или минимум — это самое высокое или самое низкое значение в его окрестности.

Экстремумы можно найти там, где функция меняется с возрастающей на падающую или наоборот (см. монотонность). Подумайте об этом так: если вы поднимаетесь на холм и хотите найти его самую высокую точку, это будет как раз перед тем, как холм снова начнет снижаться. В частности, наклон холма в этой точке равен нулю. Если бы это было не ноль, это означало бы, что ваш путь все еще идет вверх. Следовательно, нам нужно найти все точки функции, в которых ее наклон равен нулю. Для этого используем первую производную.Чтобы найти точки, в которых наклон равен нулю, нам нужно найти корни производной. Корни производной потенциально могут быть экстремумами, но не обязательно. Снова подумайте о холме. Когда уклон становится нулевым, и вы не идете ни вверх, ни вниз, мы были бы на максимуме только в том случае, если бы холм начал падать отсюда. Однако что, если холм снова начнет подниматься вверх? В данном случае у нас нет максимума. Нахождение корней производной — это только первый шаг. После этого нам нужно решить, есть ли у нас максимум, минимум или ни то, ни другое.

Поиск потенциальных экстремумов

Рассмотрим следующую функцию и ее первую производную:

(1)  

Теперь мы найдем корни производной, приравняв ее к нулю и найдя:

(2)  

У нас есть потенциальные экстремумы в и , но нам все еще нужно определить, являются ли они минимумами или максимумами (или ни тем, ни другим). У нас нет ни того, ни другого, если функция растет (или падает) слева и растет (или падает) справа от потенциального экстремума (то есть, когда нет изменений).У нас есть максимум, когда он сначала растет, а затем падает, и минимум, когда он меняется с падения на рост. Мы используем тот же метод, который мы использовали для нахождения монотонности функции. Мы можем либо сравнить знак значения первой производной слева и справа от рассматриваемой точки. Или мы можем использовать вторую производную и проверить ее знак в рассматриваемой точке. Если оно положительное, то у нас есть минимум, и максимум, если оно отрицательное (и ни то, ни другое, если оно равно нулю).Вторая производная и ее значения при и :

(3)  

Мы видим это, то есть у нас есть максимум при , и это означает, что у нас есть минимум при . Следующий график иллюстрирует это. Функция показана красным, и мы можем видеть максимум в 1 и минимум в 4. Первая производная нарисована фиолетовым, и мы видим, что она пересекает ось x в этих точках. Наконец, вторая производная показана оранжевым цветом и имеет отрицательное значение, где мы видим максимум, и положительное значение, где мы видим минимум.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск