Трапеция называется равнобедренной если у нее: Трапеция — урок. Геометрия, 8 класс.

Содержание

Тест по геометрии «Трапеция» 8 класс

Тест «Трапеция» 8 класс

Вариант 1.

  1. Трапецией называется

А). четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны

Б). четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

В). параллелограмм, у которого две стороны параллельны, а две другие

Нет

  1. Боковыми сторонами трапеции называются

А) параллельные стороны трапеции
Б).непараллельные стороны

В). все противоположные стороны трапеции

  1. Трапеция называется равнобедренной, если

А). ее смежные стороны равны

Б). ее боковые стороны равны

В). две стороны равны

  1. Трапеция называется прямоугольной, если

А). один из углов прямой

Б). все углы прямые

В). диагонали пересекаются под прямым углом

  1. Свойства равнобедренной трапеции:

А). В равнобедренной трапеции биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

Б). Диагонали равны
В). Углы при основаниях равны.

  1. Выбери верные утверждения

А). В равнобедренной трапеции диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Б). Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180̊
В). В трапеции диагонали равны

Вариант 2

  1. Трапецией называется

А). четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Б). параллелограмм, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

В).четырехугольник. у которого противоположные стороны равны.

  1. Основаниями трапеции называются:

А). непараллельные стороны
Б). равные стороны
В). параллельные стороны

  1. Трапеция называется прямоугольной, если

А). все углы прямые,

Б). один из углов прямой.
В). противолежащие углы прямые

  1. Трапеция называется равнобедренной, если

А). если у нее есть прямой угол,

Б). если у нее боковые стороны равны
В).если ее основания равны

  1. Свойства равнобедренной трапеции

А).диагонали равны
Б). В равнобедренной трапеции высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
В). Углы при основаниях равны.

  1. Выбери верные утверждения

А). В трапеции диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Б). Биссектриса любого угла трапеции отсекает на ее основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

В). В трапеции противоположные углы равны.

Ответы

Признак равнобедренной трапеции по диагоналям. Как доказать что фигура трапеция

В разделе на вопрос как доказать, что четырехугольник трапеция заданный автором философия лучший ответ это Трапеция
Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.
Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.
Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой) , если ее боковые стороны равны.
Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
Свойства трапеции
ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции
Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Ответ от 22 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: как доказать, что четырехугольник трапеция

Ответ от Двутавровый [гуру]
Трапе́ция (от др. -греч. τραπέζιον — «столик» ; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.
средняя линия трапеции должна быть равна половине суммы оснований)

Ответ от Ёемен Аркадьевич [гуру]
Если доказать, что пара противоположных сторон параллельна, этого будет достаточно.. . Но лучше видеть конкретное задание.. . Все вопросы в агент.

Ответ от Ўлия Шимко [гуру]
кроме того надо еще показать, что основания паралельны

Поэтому одну из них мы назовем большим

, вторую — малым основанием трапеции. Высотой трапеции можно назвать любой отрезок перпендикуляра, проведенного из вершин на соответственно противоположную сторону (для каждой вершины есть две противоположные стороны), заключенный между взятыми вершиной и противоположной стороной. Но можно выделить «особый вид» высот.
Определение 8. Высотой основания трапеции называют отрезок прямой, перпендикулярной основаниям, заключенный между основаниями.
Теорема 7 . Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть дана трапеция АВСD и средняя линия КМ. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD через точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСм и МРD равны по стороне и двум углам (СМ=МD, ∠ ВСМ=∠ МDР — накрестлежащие, ∠ ВМС=∠ DМР — вертикальные), поэтому ВМ=МР или точка М — середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР:

Теорема 8 . Диагонали делят трапецию на четыре части, две из которых, прилежащие к боковым сторонам, равовелики.
Напомню, что фигуры называются равновеликими, если у них одинаковая площадь. Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты (обозначенные желтым) и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Их площадь можно разложить так:

Виды трапеций:
Определение 9. (рис 1) Остроугольной трапецией называется трапеция, у которой углы, прилегающие к большему основанию острые.
Определение 10. (рис 2) Тупоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов, прилегающих к большему основанию тупой.
Определение 11. (рис 4) Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям.

Определение 12. (рис 3) Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства равнобокой трапеции:
Теорема 10 . Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции, равны.
Доказательство. Докажем, например, равенство углов А и D при большем основании AD равнобокой трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ секущей прямой, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD — равнобедренный, ∠ СМD=∠ СDM, и, значит, ∠ А=∠ D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, также равны, т.к. являются для найденных внутренними односторонним и имеют в сумме два прямых.

Теорема 11 . Диагонали равнобокой трапеции равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD — общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому АС=BD.

Теорема 13 . Диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся на соответственно равные отрезки. Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Она равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD — общая, углы А и D равны по теореме 10). Поэтому ∠ ОАD=∠ ОDA, отсюда равны и углы ОВС и ОСВ как соответственно накрестлежащие для углов ODA и ОАD. Вспомним теорему: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный, поэтому треугольники ОВС и ОAD являются равнобедренными, значит, ОС=ОВ и ОА=OD, ч.т.д.
Равнобокая трапеция фигура симметричная.
Определение 13. Осью сисмметрии равнобокой трапеции называют прямую, проходящую через середины её оснований.


Теорема 14 . Ось сисмметрии равнобокой трапеции перпендикулярна её основаниям.
В теореме 9 мы доказали, что прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Далее (теорема 13) мы доказали, что треугольники АОD и ВОС равнобедренные. ОМ и ОК являются медианами этих треугольников соответственно по определению . Вспомним свойство равнобедренного треугольника : медиана равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является и высотой треугольника. Вследвствие перпендикулярности основаниям частей прямой КМ, ось симметрии перпендикулярна основаниям.
Признаки, выделяющие равнобокую трапецию среди всех трапеций:
Теорема 15 . Если углы, прилежищие к одному из оснований трапеции, равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 16 . Если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобокая.
Теорема 17 . Если продолженные до пересечения боковые стороны трапеции образуют вместе и её большим основанием равнобедренный треугольник, то трапеция равнобокая.
AD. Вспомним теорему: если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Значит, прямая ОК также перпендикулярна AD. Таким образом, через точку О проходит две прямых перпендикулярных прямой AD, чего быть не может, поэтому эти прямые совпадают и составляют общуй перпендикуляр КМ, который равен сумме двух радиусов и является диаметром вписанной окружности, поэтому r=KM/2 или r=h/2.
Теорема 21 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.

Доказательство: Пусть ABCD — данная трапеция, а AB и CD — её основания. Пусть также AH — высота, опущенная из точки A на прямую CD. Тогда S ABCD = S ACD + S ABC .
Но S ACD = 1/2AH·CD, а S ABC = 1/2AH·AB.
Следовательно, S ABCD = 1/2AH·(AB + CD).
Что и требовалось доказать.

Вторая формула перешла от четырехугольника.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

\[{\Large{\text{Произвольная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. \circ\) .

2) Т.к. \(AD\parallel BC\) и \(BD\) – секущая, то \(\angle DBC=\angle BDA\) как накрест лежащие.
Также \(\angle BOC=\angle AOD\) как вертикальные.
Следовательно, по двум углам \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\) .

Докажем, что \(S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COD}\) . Пусть \(h\) – высота трапеции. Тогда \(S_{\triangle ABD}=\frac12\cdot h\cdot AD=S_{\triangle ACD}\) . Тогда: \

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


Доказательство*

1) Докажем параллельность.


Проведем через точку \(M\) прямую \(MN»\parallel AD\) (\(N»\in CD\) ). Тогда по теореме Фалеса (т.к. \(MN»\parallel AD\parallel BC, AM=MB\) ) точка \(N»\) — середина отрезка \(CD\) . Значит, точки \(N\) и \(N»\) совпадут.

2) Докажем формулу.

Проведем \(BB»\perp AD, CC»\perp AD\) . Пусть \(BB»\cap MN=M», CC»\cap MN=N»\) .


Тогда по теореме Фалеса \(M»\) и \(N»\) — середины отрезков \(BB»\) и \(CC»\) соответственно. Значит, \(MM»\) – средняя линия \(\triangle ABB»\) , \(NN»\) — средняя линия \(\triangle DCC»\) . Поэтому: \

Т.к. \(MN\parallel AD\parallel BC\) и \(BB», CC»\perp AD\) , то \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – прямоугольники. По теореме Фалеса из \(MN\parallel AD\) и \(AM=MB\) следует, что \(B»M»=M»B\) . Значит, \(B»M»N»C»\) и \(BM»N»C\) – равные прямоугольники, следовательно, \(M»N»=B»C»=BC\) .

Таким образом:

\ \[=\dfrac12 \left(AB»+B»C»+BC+C»D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.


Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем, что точки \(P\) , \(N\) и \(M\) лежат на одной прямой.


Проведем прямую \(PN\) (\(P\) – точка пересечения продолжений боковых сторон, \(N\) – середина \(BC\) ). Пусть она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

Рассмотрим \(\triangle BPN\) и \(\triangle APM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle APM\) – общий, \(\angle PAM=\angle PBN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(AB\) секущей). Значит: \[\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Рассмотрим \(\triangle CPN\) и \(\triangle DPM\) . Они подобны по двум углам (\(\angle DPM\) – общий, \(\angle PDM=\angle PCN\) как соответственные при \(AD\parallel BC\) и \(CD\) секущей). Значит: \[\dfrac{CN}{DM}=\dfrac{PN}{PM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{AM}=\dfrac{CN}{DM}\) . Но \(BN=NC\) , следовательно, \(AM=DM\) .

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.


Пусть \(N\) – середина \(BC\) , \(O\) – точка пересечения диагоналей. Проведем прямую \(NO\) , она пересечет сторону \(AD\) в точке \(M\) . Докажем, что \(M\) – середина \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам (\(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{ON}{OM}\]

Аналогично \(\triangle CON\sim \triangle AOM\) . Значит: \[\dfrac{CN}{MA}=\dfrac{ON}{OM}\]

Отсюда \(\dfrac{BN}{MD}=\dfrac{CN}{MA}\) . Но \(BN=CN\) , следовательно, \(AM=MD\) .

\[{\Large{\text{Равнобедренная трапеция}}}\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

1) Рассмотрим равнобедренную трапецию \(ABCD\) .

Из вершин \(B\) и \(C\) опустим на сторону \(AD\) перпендикуляры \(BM\) и \(CN\) соответственно. Так как \(BM\perp AD\) и \(CN\perp AD\) , то \(BM\parallel CN\) ; \(AD\parallel BC\) , тогда \(MBCN\) – параллелограмм, следовательно, \(BM = CN\) .

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABM\) и \(CDN\) . Так как у них равны гипотенузы и катет \(BM\) равен катету \(CN\) , то эти треугольники равны, следовательно, \(\angle DAB = \angle CDA\) .

2)

Т.к. \(AB=CD, \angle A=\angle D, AD\) – общая, то по первому признаку . Следовательно, \(AC=BD\) .

3) Т.к. \(\triangle ABD=\triangle ACD\) , то \(\angle BDA=\angle CAD\) . Следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) – равнобедренный. Аналогично доказывается, что и \(\triangle BOC\) – равнобедренный.

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\) , такую что \(\angle A = \angle D\) .


Достроим трапецию до треугольника \(AED\) как показано на рисунке. Так как \(\angle 1 = \angle 2\) , то треугольник \(AED\) равнобедренный и \(AE = ED\) . Углы \(1\) и \(3\) равны как соответственные при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\) . Аналогично равны углы \(2\) и \(4\) , но \(\angle 1 = \angle 2\) , тогда \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\) , следовательно, треугольник \(BEC\) тоже равнобедренный и \(BE = EC\) .

В итоге \(AB = AE — BE = DE — CE = CD\) , то есть \(AB = CD\) , что и требовалось доказать.

2) Пусть \(AC=BD\) . Т.к. \(\triangle AOD\sim \triangle BOC\) , то обозначим их коэффициент подобия за \(k\) . Тогда если \(BO=x\) , то \(OD=kx\) . Аналогично \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .


Т.к. \(AC=BD\) , то \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . Значит \(\triangle AOD\) – равнобедренный и \(\angle OAD=\angle ODA\) .

Таким образом, по первому признаку \(\triangle ABD=\triangle ACD\) (\(AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD\) – общая). Значит, \(AB=CD\) , чтд.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Площадь трапеции калькулятор.

Как найти площадь трапеции


Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:


Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:


*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:


Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:


*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:


Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:


То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Трапеция — это особый вид четырехугольника, у которого две противолежащие стороны параллельны друг другу, а две другие — нет. Трапецеидальную форму имеют различные реальные объекты, поэтому вам может понадобиться рассчитать периметр такой геометрической фигуры для решения повседневных или школьных задач.

Геометрия трапеции

Трапеция (от греч. «трапезион» — стол) — это фигура на плоскости, ограниченная четырьмя отрезками, два из которых параллельны, а два — нет. Параллельные отрезки носят название оснований трапеции, а непараллельные — боковых сторон фигуры. Боковые стороны и их углы наклона определяют вид трапеции, которая может быть разносторонней, равнобедренной или прямоугольной. Помимо оснований и боковых сторон, трапеция имеет еще два элемента:

  • высота — расстояние между параллельными основаниями фигуры;
  • средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Данная геометрическая фигура широко распространена в реальной жизни.

Трапеция в реальности

В повседневной жизни трапецеидальную форму принимают многие реальные предметы. Вы легко найдете трапеции в следующих сферах человеческой деятельности:

  • дизайн интерьеров и декор — диваны, столешницы, стены, ковры, подвесные потолки;
  • ландшафтный дизайн — границы газонов и искусственных водоемов, формы декоративных элементов;
  • мода — форма одежды, обуви и аксессуаров;
  • архитектура — окна, стены, основания зданий;
  • производство — различные изделия и детали.

При столь широком использовании трапеций специалистам часто приходится вычислять периметр геометрической фигуры.

Периметр трапеции

Периметр фигуры — это числовая характеристика, которая рассчитывается как сумма длин всех сторон n-угольника. Трапеция — это четырехугольник и в общем случае все его стороны имеют разную длину, поэтому периметр рассчитывается по формуле:

P = a + b + c + d,

где a и c – основания фигуры, b и d – ее боковые стороны.

Несмотря на то, что при вычислении периметра трапеции нам нет нужды узнавать высоту, программный код калькулятора требует ввода этой переменной. Так как высота никак не влияет на вычисления, при использовании нашего онлайн-калькулятора вы можете ввести любое значение высоты, которое больше нуля. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Платок

Допустим, у вас есть платок в форме трапеции, и вы хотите отделать его бахромой. Вам понадобится узнать периметр платка, чтобы не купить лишнего материала или не ходить в магазин два раза. Пусть ваш равнобедренный платок имеет следующие параметры: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см. Вбиваем эти данные в онлайн-форму и получаем ответ в виде:

Таким образом, периметр платка составляет 340 см, и именно такой длины должна быть тесьма бахромы для его отделки.

Откосы

К примеру, вы решили сделать откосы для нестандартных металлопластиковых окон, которые имеют трапецеидальную форму. Такие окна широко используются при дизайне зданий, создавая композицию из нескольких створок. Чаще всего такие окна выполняются в виде прямоугольной трапеции. Давайте выясним, сколько материала потребуется для выполнения откосов такого окна. Стандартное окно имеет следующие параметры a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см. Используем эти данные и получим результат в виде

Следовательно, периметр трапециевидного окна составляет 390 см, и именно столько вам понадобится купить пластиковых панелей для формирования откосов.

Заключение

Трапеция — популярная в повседневности фигура, определение параметров которой может понадобиться в самых неожиданных ситуациях. Расчет периметров трапецией необходим многим профессионалам: от инженеров и архитекторов до дизайнеров и механиков. Наш каталог онлайн-калькуляторов позволит вам выполнить расчеты для любых геометрических фигур и тел.

Этот калькулятор рассчитал 2192 задачи на тему «Площадь трапеции»

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Выберете формулу вычисления площади трапеции, которую Вы планируете применить для решения поставленной перед Вами задачи:

Общая теория для вычисления площади трапеции.

Трапеция — это плоская фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков (сторон), соединяющих попарно эти четыре точки, у которой две противоположные стороны параллельны (лежат на параллельных прямых), а две другие не параллельны.

Точки называются вершинами трапеции и обозначаются заглавными латинскими буквами.

Отрезки называются сторонами трапеции и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые отрезки соединяют.

Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции .

Две не параллельные стороны трапеции называются боковыми сторонами трапеции .

Рисунок №1: Трапеция ABCD

На рисунке №1 представлена трапеция ABCD с вершинами A,B ,C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC — основания трапеции ABCD.

AD, BC — боковые стороны трапеции ABCD.

Угол, образованный лучами AB и AD, называется углом при вершине A. Обозначается он как ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Угол, образованный лучами CB и CD, называется углом при вершине C. Обозначается он как ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Угол, образованный лучами AD и CD, называется углом при вершине D. Обозначается он как ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Рисунок №2: Трапеция ABCD

На рисунке №2 отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. То есть,.


Рисунок №3: Равнобедренная трапеция ABCD

На Рисунке №3, AD=BC.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой) , если ее боковые стороны равны.

Рисунок №4: Прямоугольная трапеция ABCD

На Рисунке №4 угол D — прямой (равен 90 о).

Трапеция называется прямоугольной, если угол при боковой стороне прямой.

Площадью S плоской фигуры, к которым относится и трапеция, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.

Площадь обладает несколькими свойствами:

1. Она не может быть отрицательной.

2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.

3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.

4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади трапеции:

1. Площадь трапеции равна полусумме ее оснований умноженной на высоту:

2. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

3. При известных длинах оснований и боковых сторон трапеции её площадь можно вычислить по формуле:

4. Возможно вычислить площадь равнобедренной трапеции при известной длине радиуса вписанной в трапецию окружности и известном значении угла при основании по следующей формуле:

Пример 1: Вычислить площадь трапеции с основаниями a=7, b=3 и высотой h=15.

Решение:

Ответ:

Пример 2: Найти сторону основания трапеции с площадью S=35 см 2 , высотой h=7см и вторым основанием b = 2 см.

Решение:

Для нахождения стороны основания трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Выразим из данной формулы сторону основания трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 3: Найти высоту трапеции с площадью S=17 см 2 и основаниями a=30 см, b = 4 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 4: Вычислить площадь трапеции с высотой h=24 и средней линией m=5.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 5: Найти высоту трапеции с площадью S = 48 см 2 и средней линией m=6 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы высоту трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 6: Найти среднюю линию трапеции с площадью S = 56 и высотой h=4.

Решение:

Для нахождения средней линии трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы среднюю линию трапеции:

Таким образом, имеем следующее.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

  1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
  2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
  3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
  4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
  5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
  6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
  7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.


Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

Две стороны равны и параллельны. Трапеция-это четырёхугольник,у которого,а две другие стороны не параллельны

  • Остроугольной трапецией называется трапеция , у которой углы , прилегающие к большему основанию острые.

Тупоугольная трапеция
  • Тупоугольной трапецией называется трапеция , у которой один из углов , прилегающих к большему основанию тупой.


Равнобедренная трапеция
  • Равнобедренной (равнобокой, равнобочной) называется трапеция , у которой боковые стороны равны.


Прямоугольная трапеция
  • Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям


Определите вид трапеции

Свойства трапеции
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме .
  • Дана трапеция АВСD. КМ- средняя линия. Через точки В и М проведем прямую. Продолжим сторону AD за точку D до пересечения с ВМ. Треугольники ВСМ и МРD равны по стороне и двум углам, поэтому ВМ=МР или точка М — середина ВР. КМ является средней линией в треугольнике АВР. По свойству средней линии треугольника КМ параллельна АР и в частности АD и равна половине АР.


Свойства трапеции
  • Диагонали делят трапецию на четыре части , две из которых, прилежащие к боковым сторонам ,равновелики .
  • Треугольники АВD и АСD равновелики: у них равные высоты и общее основание. Эти треугольники имеют общую часть АОD. Следовательно площади красных треугольников равны.


Свойства трапеции
  • если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность ;

  • если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность


Свойства равнобокой трапеции
  • Углы, прилежащие к каждому из оснований равнобокой трапеции , равны.
  • Докажем равенство углов А и D при большем основании AD трапеции АВСD. Для этой цели проведем через точку С прямую параллельную боковой стороне АВ. Она пересечет большое основание в точке М. Четырехугольник АВСМ являеся параллелограммом, т.к. по построению имеет две пары параллельных сторон. Следовательно, отрезок СМ, заключенный внутри трапеции равен её боковой стороне: СМ=АВ. Отсюда ясно, что СМ=СD, треугольник СМD — равнобедренный , СМD=СDM, и, значит, А=D. Углы, прилежащие к меньшему основанию, т.к. являются для найденных внутренними односторонними.


Свойства равнобокой трапеции
  • Диагонали равнобокой трапеции равны.
  • Рассмотрим треугольники АВD и ACD. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АВ=СD, AD — общая, углы А и D равны по свойству равнобокой трапеции). Поэтому АС=BD.


Площадь трапеции
  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

  • Формула

  • S=1/2(AD+BC)*BH


Доказательство
  • Доказательство:

  • Рассмотрим трапецию ABCD c основаниями AD и BC , высотой BH и площадью S.

    Докажите, что S=1/2(AD+BC)*BH.
  • Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S=S(ABD)+S(BCD).

  • Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DF за основание и высоту треугольника BCD. Тогда S(ABD)=1/2AD*BH, S(BCD)=1/2*CB*DF. Т.к. DF=BH, тогда S(BCD)=1/2*CB*BH.

  • S=1/2AD*BH+1/2 BC*BH=1/2(AD+BС)*ВН.


Задача

Трапеции в жизни

«Параллельные плоскости 10 класс» — Две плоскости не пересекаются. 1. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Свойства параллельных плоскостей. Параллельность плоскостей. Взаимное расположение плоскостей. Две плоскости не параллельны. Теорема. Две плоскости пересекаются по прямой.

«Параллельное и последовательное соединение» — Схема подключения приборов для проверки законов последовательного соединения. Применение смешанного соединения. Применение параллельного соединения. Схема параллельного соединения проводников. Смешанным называют соединение, содержащее участки последовательного и параллельного соединения. Примеры схем смешанного соединения.

«Четырехугольники» — Решение задач. А. Нивен. Решите тест, ответы запишите в таблицу. Капитаны по ходу урока заполняют оценочные листы для своей группы. Кроссворд. Решение: Квадрат. Трапеция. Четырехугольники. Четырехугольники: Ответы к кроссворду. Правильные ответы. Творческое домашнее задание. Правила работы в группе.

«Параллельные прямые 7 класс» — Вопрос 5. Вопрос 3. Для угла 1 односторонним будет угол … ТЕСТ по теме «Параллельные прямые». На рисунке прямые а, в и с пересечены секущей d.Параллельными прямыми будут прямые. Вопрос 2. Можно бесконечное множество. Накрест лежащими. На рисунке углы 1 и2 являются… Вопрос 1. Правильных ответов: Через вершину М провести прямых, параллельных прямой NK …

«Аксиома параллельных прямых» — Об аксиомах геометрии. Решение задач. На аксиомах. Аксиома параллельных прямых. Урок: «Аксиома параллельных прямых». Строится вся геометрия. Геометрия 7 класс. Тема: «Параллельные прямые». Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а. Теорема Теорема Теорема Теорема. Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».

«Углы при параллельных прямых» — 1. На рисунке прямые а и в параллельны. 2. Для угла 1 односторонним будет угол: 2 5 6 7. По рисунку найти угол 1 и 2. Определение параллельных прямых Что такое секущая? Устный опрос. Прямые». Урок геометрии. Дополнительное задание. По рисунку доказать параллельность прямых АК и ВМ. 2. По рисунку найти углы 1, 2, 3.

Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.

1 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD — общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD — общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Одним из признаков параллелограмма является то, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом . То есть, если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то две другие стороны также оказываются равными между собой и параллельными друг другу, т. к. этот факт является определением и свойством параллелограмма.

Таким образом, параллелограмм можно определить лишь по двум сторонам, которые равны и параллельны друг другу.

Данный признак параллелограмма можно сформулировать как теорему и доказать. В таком случае нам дан четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны друг другу. Требуется доказать, что такой четырехугольник является параллелограммом (т. е. две его другие стороны равны и параллельны друг другу).

Пусть данный четырехугольник ABCD, и в нем стороны AB || CD и AB = CD.

По условию нам дан четырехугольник. Ничего не сказано о том, выпуклый он или нет (хотя параллелограммами могут быть только выпуклые четырехугольники). Однако даже в невыпуклом четырехугольнике всегда есть одна диагональ, которая делит его на два треугольника. Если это будет диагональ AC, то получим два треугольника ABC и ADC. Если это диагональ BD, то будут ∆ABD и ∆BCD.

Допустим, мы получили треугольники ABC и ADC. У них одна сторона общая (диагональ AC), сторона AB одного треугольника равна стороне CD другого (по условию), угол BAC равен углу ACD (как накрест лежащие между секущей и параллельными прямыми). Значит ∆ABC = ∆ADC по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что их остальные стороны и углы соответственно равны. Но стороне BC треугольника ABC соответствует сторона AD треугольника ADC, значит, BC = AD. Углу B соответствует угол D, значит, ∠B = ∠D. Эти углы могут быть равны друг другу, если BC || AD (так как AB || CD, то эти прямые можно совместить параллельным переносом, тогда ∠B станут накрест лежащими ∠D, а их равенство может быть только при BC || AD).

По определению параллелограмма им является четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу.

Таким образом было доказано, что если у четырехугольника ABCD стороны AB и CD равны и параллельны и диагональ AC делит его на два треугольника, то у него другая пара сторон оказывается равна друг другу и параллельна.

Если же четырехугольник ABCD был разделен на два треугольника другой диагональю (BD), то рассматривались бы треугольники ABD и BCD. Их равенство доказывалось бы аналогично предыдущему. Оказалось бы, что BC = AD и ∠A = ∠C, откуда следовало, что BC || AD.

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

    накрест лежащие углы равны, или

    соответственные углы равны, или

    сумма односторонних углов равна 180°, то

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной .

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис. 5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

    накрест лежащие углы равны;

    соответственные углы равны;

    сумма односторонних углов равна 180°.

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Св ва равнобокой трапеции. Полезные свойства трапеции. Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Трапеция — это частный случай четырехугольника, у которого одна пара сторон является параллельной. Термин «трапеция» произошел от греческого слова τράπεζα, означающего «стол», «столик». В этой статье мы рассмотрим виды трапеции и её свойства. Кроме того, разберемся, как рассчитывать отдельные элементы этой Например, диагональ равнобокой трапеции, среднюю линию, площадь и др. Материал изложен в стиле элементарной популярной геометрии, т. е. в легкодоступной форме.

Общие сведения

Для начала давайте разберемся, что такое четырехугольник. Данная фигура является частным случаем многоугольника, содержащего четыре стороны и четыре вершины. Две вершины четырехугольника, которые не являются соседними, называются противоположными. То же можно сказать и о двух несмежных сторонах. Основные виды четырехугольников — это параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и дельтоид.

Итак, вернемся к трапециям. Как мы уже говорили, у этой фигуры две стороны являются параллельными. Их называют основаниями. Две другие (непараллельные) — боковые стороны. В материалах экзаменов и различных контрольных работ очень часто можно встретить задачи, связанные с трапециями, решение которых зачастую требует от учащегося знаний, не предусмотренных программой. Школьный курс геометрии знакомит учеников со свойствами углов и диагоналей, а также средней линии равнобедренной трапеции. Но ведь, помимо этого, упомянутая геометрическая фигура имеет и другие особенности. Но о них чуть позже…

Виды трапеции

Существует много видов данной фигуры. Однако чаще всего принято рассматривать два из них — равнобедренную и прямоугольную.

1. Прямоугольная трапеция — это фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. У нее два угла всегда равны девяноста градусам.

2. Равнобедренная трапеция — это геометрическая фигура, у которой боковые стороны равны между собой. А значит, и углы у оснований также попарно равны.

Главные принципы методики изучения свойств трапеции

К основному принципу можно отнести использование так называемого задачного подхода. По сути, нет необходимости для ввода в теоретический курс геометрии новых свойств этой фигуры. Их можно открывать и формулировать в процессе решения различных задач (лучше системных). При этом очень важно, чтобы преподаватель знал, какие задания необходимо поставить перед школьниками в тот или иной момент учебного процесса. Более того, каждое свойство трапеции может быть представлено в виде ключевой задачи в системе задач.

Вторым принципом является так называемая спиральная организация изучения «замечательных» свойств трапеции. Это подразумевает возврат в процессе обучения к отдельным признакам данной геометрической фигуры. Таким образом, учащимся легче их запоминать. Например, свойство четырех точек. Его можно доказывать как при изучении подобия, так и впоследствии с помощью векторов. А равновеликость треугольников, прилегающих к боковым сторонам фигуры, можно доказывать, применяя не только свойства треугольников с равными высотами, проведенными к сторонам, которые лежат на одной прямой, но и с помощью формулы S= 1/2(ab*sinα). Кроме того, можно отработать на вписанной трапеции или прямоугольный треугольник на описанной трапеции и т. д.

Применение «внепрограммных» особенностей геометрической фигуры в содержании школьного курса — это задачная технология их преподавания. Постоянное обращение к изучаемым свойствам при прохождении других тем позволяет учащимся глубже познавать трапецию и обеспечивает успешность решения поставленных задач. Итак, приступим к изучению этой замечательной фигуры.

Элементы и свойства равнобедренной трапеции

Как мы уже отмечали, у данной геометрической фигуры боковые стороны равны. Еще она известна как правильная трапеция. А чем же она так примечательна и почему получила такое название? К особенностям данной фигуры относится то, у нее равны не только боковые стороны и углы у оснований, но и диагонали. Кроме того, сумма углов равнобедренной трапеции равна 360 градусам. Но и это еще не все! Из всех известных трапеций только вокруг равнобедренной можно описать окружность. Это связано с тем, что сумма противоположных углов у этой фигуры равна 180 градусам, а только при таком условии можно описать окружность вокруг четырехугольника. Следующим свойством рассматриваемой геометрической фигуры является то, что расстояние от вершины основания до проекции противолежащей вершины на прямую, которая содержит это основание, будет равно средней линии.

А теперь давайте разберемся, как найти углы равнобедренной трапеции. Рассмотрим вариант решения этой задачи при условии, что известны размеры сторон фигуры.

Решение

Обычно четырехугольник принято обозначать литерами А, Б, С, Д, где БС и АД — это основания. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Будем считать, что их размер равен Х, а размеры оснований равны Y и Z (меньшего и большего соответственно). Для проведения вычисления необходимо из угла В провести высоту Н. В результате получился прямоугольный треугольник АБН, где АБ — гипотенуза, а БН и АН — катеты. Вычисляем размер катета АН: от большего основания отнимаем меньшее, и результат делим на 2. Запишем в виде формулы: (Z-Y)/2 = F. Теперь для вычисления острого угла треугольника воспользуемся функцией cos. Получаем следующую запись: cos(β) = Х/F. Теперь вычисляем угол: β=arcos (Х/F). Далее, зная один угол, мы можем определить и второй, для этого производим элементарное арифметическое действие: 180 — β. Все углы определены.

Существует и второе решение данной задачи. В начале опускаем из угла В высоту Н. Вычисляем значение катета БН. Нам известно, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Получаем: БН = √(Х2- F2). Далее используем тригонометрическую функцию tg. В результате имеем: β = arctg (БН/ F). Острый угол найден. Далее определяем аналогично первому способу.

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Сначала запишем четыре правила. Если диагонали в равнобедренной трапеции перпендикулярны, то:

Высота фигуры будет равна сумме оснований, деленной на два;

Ее высота и средняя линия равны;

Центр окружности является точкой, в которой пересекаются ;

Если боковая сторона делится точкой касания на отрезки Н и М, тогда равен квадратному корню произведения этих отрезков;

Четырехугольник, который образовался точками касания, вершиной трапеции и центром вписанной окружности — это квадрат, у которого сторона равна радиусу;

Площадь фигуры равна произведению оснований и произведению полусуммы оснований на ее высоту.

Подобные трапеции

Данная тема весьма удобна для изучения свойств этой Например, диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника, причем прилежащие к основаниям являются подобными, а к боковым сторонам — равновеликими. Это утверждение можно назвать свойством треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями. Первая часть этого утверждения доказывается через признак подобия по двум углам. Для доказательства второй части лучше воспользоваться способом, приведенным ниже.

Доказательство теоремы

Принимаем, что фигура АБСД (АД и БС — основы трапеции) разбивается диагоналями ВД и АС. Точка их пересечения — О. Получаем четыре треугольника: АОС — у нижнего основания, БОС — у верхнего основания, АБО и СОД у боковых сторон. Треугольники СОД и БОС имеют общую высоту в том случае, если отрезки БО и ОД являются их основаниями. Получаем, что разность их площадей (П) равна разности этих отрезков: ПБОС/ПСОД = БО/ОД = К. Следовательно, ПСОД = ПБОС/К. Аналогично, треугольники БОС и АОБ имеют общую высоту. Принимаем за их основания отрезки СО и ОА. Получаем ПБОС/ПАОБ = СО/ОА = К и ПАОБ = ПБОС/К. Из этого следует, что ПСОД = ПАОБ.

Для закрепления материала учащимся рекомендуется найти связь между площадями полученных треугольников, на которые разбита трапеция ее диагоналями, решив следующую задачу. Известно, что у треугольников БОС и АОД площади равны, необходимо найти площадь трапеции. Так как ПСОД = ПАОБ, значит, ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*ПСОД. Из подобия треугольников БОС и АОД следует, что БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Следовательно, ПБОС/ПСОД = БО/ОД = √(ПБОС/ПАОД). Получаем ПСОД = √(ПБОС*ПАОД). Тогда ПАБСД = ПБОС+ПАОД+2*√(ПБОС*ПАОД) = (√ПБОС+√ПАОД)2.

Свойства подобия

Продолжая развивать эту тему, можно доказывать и другие интересные особенности трапеций. Так, с помощью подобия можно доказать свойство отрезка, который проходит через точку, образованную пересечением диагоналей этой геометрической фигуры, параллельно основаниям. Для этого решим следующую задачу: необходимо найти длину отрезка РК, который проходит через точку О. Из подобия треугольников АОД и БОС следует, что АО/ОС=АД/БС. Из подобия треугольников АОР и АСБ следует, что АО/АС=РО/БС=АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=БС*АД/(БС+АД). Аналогично из подобия треугольников ДОК и ДБС следует, что ОК=БС*АД/(БС+АД). Отсюда получаем, что РО=ОК и РК=2*БС*АД/(БС+АД). Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, параллельный основаниям и соединяющий две боковые стороны, делится точкой пересечения пополам. Его длина — это среднее гармоническое оснований фигуры.

Рассмотрим следующее качество трапеции, которое называют свойством четырех точек. Точки пересечения диагоналей (О), пересечения продолжения боковых сторон (Е), а также середины оснований (Т и Ж) всегда лежат на одной линии. Это легко доказывается методом подобия. Полученные треугольники БЕС и АЕД подобны, и в каждом из них медианы ЕТ и ЕЖ делят угол при вершине Е на равные части. Следовательно, точки Е, Т и Ж лежат на одной прямой. Точно так же на одной прямой располагаются точки Т, О, и Ж. Все это следует из подобия треугольников БОС и АОД. Отсюда делаем вывод, что все четыре точки — Е, Т, О и Ж — будут лежать на одной прямой.

Используя подобные трапеции, можно предложить учащимся найти длину отрезка (ЛФ), который разбивает фигуру на две подобные. Данный отрезок должен быть параллелен основаниям. Так как полученные трапеции АЛФД и ЛБСФ подобны, то БС/ЛФ=ЛФ/АД. Отсюда следует, что ЛФ=√(БС*АД). Получаем, что отрезок, разбивающий трапецию на две подобные, имеет длину, равную среднему геометрическому длин оснований фигуры.

Рассмотрим следующее свойство подобия. В его основе лежит отрезок, который делит трапецию на две равновеликие фигуры. Принимаем, что трапеция АБСД разделена отрезком ЕН на две подобные. Из вершины Б опущена высота, которая разбивается отрезком ЕН на две части — В1 и В2. Получаем: ПАБСД/2 = (БС+ЕН)*В1/2 = (АД+ЕН)*В2/2 и ПАБСД = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Далее составляем систему, первое уравнение которой (БС+ЕН)*В1 = (АД+ЕН)*В2 и второе (БС+ЕН)*В1 = (БС+АД)*(В1+В2)/2. Отсюда следует, что В2/ В1 = (БС+ЕН)/(АД+ЕН) и БС+ЕН = ((БС+АД)/2)*(1+В2/ В1). Получаем, что длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований: √((БС2+АД2)/2).

Выводы подобия

Таким образом, мы доказали, что:

1. Отрезок, соединяющий у трапеции середины боковых сторон, параллелен АД и БС и равен среднему арифметическому БС и АД (длина основания трапеции).

2. Черта, проходящая через точку О пересечения диагоналей параллельно АД и БС, будет равна среднему гармоническому чисел АД и БС (2*БС*АД/(БС+АД)).

3. Отрезок, разбивающий трапецию на подобные, имеет длину среднего геометрического оснований БС и АД.

4. Элемент, делящий фигуру на две равновеликие, имеет длину среднего квадратичного чисел АД и БС.

Для закрепления материала и осознания связи между рассмотренными отрезками учащемуся необходимо построить их для конкретной трапеции. Он без труда сможет отобразить среднюю линию и отрезок, который проходит через точку О — пересечение диагоналей фигуры — параллельно основаниям. А вот где будут находиться третий и четвертый? Этот ответ приведет учащегося к открытию искомой связи между средними величинами.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции

Рассмотрим следующее свойство этой фигуры. Принимаем, что отрезок МН параллелен основаниям и делит диагонали пополам. Точки пересечения назовем Ш и Щ. Данный отрезок будет равен полуразности оснований. Разберем это более детально. МШ — средняя линия треугольника АБС, она равна БС/2. МЩ — средняя линия треугольника АБД, она равна АД/2. Тогда получаем, что ШЩ = МЩ-МШ, следовательно, ШЩ = АД/2-БС/2 = (АД+ВС)/2.

Центр тяжести

Давайте рассмотрим, каким образом определяется этот элемент для данной геометрической фигуры. Для этого необходимо продлить основания в противоположные стороны. Что это значит? Нужно к верхнему основанию прибавить нижнее — в любую из сторон, например, вправо. А нижнее продлеваем на длину верхнего влево. Далее соединяем их диагональю. Точка пересечения этого отрезка со средней линией фигуры и есть центр тяжести трапеции.

Вписанные и описанные трапеции

Давайте перечислим особенности таких фигур:

1. Трапеция может быть вписана в окружность тольков том случае, если она равнобедренная.

2. Около окружности можно описать трапецию, при условии, что сумма длин их оснований равна сумме длин боковых сторон.

Следствия вписанной окружности:

1. Высота описанной трапеции всегда равна двум радиусам.

2. Боковая сторона описанной трапеции наблюдается из центра окружности под прямым углом.

Первое следствие очевидно, а для доказательства второго требуется установить, что угол СОД является прямым, что, по сути, также не составит большого труда. Зато знание данного свойства позволит при решении задач применять прямоугольный треугольник.

Теперь конкретизируем эти следствия для равнобедренной трапеции, которая вписана в окружность. Получаем, что высота является средним геометрическим оснований фигуры: Н=2R=√(БС*АД). Отрабатывая основной прием решения задач для трапеций (принцип проведения двух высот), учащийся должен решить следующее задание. Принимаем, что БТ — высота равнобедренной фигуры АБСД. Необходимо найти отрезки АТ и ТД. Применяя формулу, описанную выше, это будет сделать не сложно.

Теперь давайте разберемся, как определить радиус окружности, используя площадь описанной трапеции. Опускаем из вершины Б высоту на основание АД. Так как окружность вписана в трапецию, то БС+АД = 2АБ или АБ = (БС+АД)/2. Из треугольника АБН находим sinα = БН/АБ = 2*БН/(БС+АД). ПАБСД = (БС+АД)*БН/2, БН=2R. Получаем ПАБСД = (БС+АД)*R, отсюда следует, что R = ПАБСД/(БС+АД).

Все формулы средней линии трапеции

Теперь пора перейти к последнему элементу данной геометрической фигуры. Разберемся, чему равна средняя линия трапеции (М):

1. Через основания: М = (А+Б)/2.

2. Через высоту, основание и углы:

М = А-Н*(ctgα+ctgβ)/2;

М = Б+Н*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Через высоту, диагонали и угол между ними. К примеру, Д1 и Д2 — диагонали трапеции; α , β — углы между ними:

М = Д1*Д2*sinα/2Н = Д1*Д2*sinβ/2Н.

4. Через площадь и высоту: М = П/Н.

С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции , которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально.

Вконтакте

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).


Если сложить все градусные меры внутренних , то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей. Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.

Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD пользуются следующей формулой:

Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади

Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что

Пускай DF – будет . Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:

Т.е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.

Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.

Важно! При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Виды трапеций

В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

Разнобокая

Существует две формы: остроугольная и тупоугольная . ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

Если боковины по длине равны

Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

  1. Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
  2. Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
  3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
  4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить .
  5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции :

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность боковой стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим — тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния вычисляется по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.

Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований

Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:

Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.

Важно! Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.

Определение высоты, и способы как её найти

Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.

Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции

Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис. 5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .

Тогда получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:

Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты — процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.

Как быстро вычислить длину основания

Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как :

  • средняя линия;
  • площадь;
  • высота;
  • диагонали.

Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

Видео: особенности трапеции

Вывод

Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.

Трапеция — это четырехугольник, имеющий две параллельные стороны, являющиеся основаниями и две не параллельные стороны, являющиеся боковыми сторонами.

Также встречаются такие названия, как равнобокая или равнобочная .

— это трапеция, у которой углы при боковой стороне прямые.

Элементы трапеции

a, b — основания трапеции (a параллельно b ),

m, n — боковые стороны трапеции,

d 1 , d 2 — диагонали трапеции,

h — высота трапеции (отрезок, соединяющий основания и при этом перпендикулярен им),

MN — средняя линия (отрезок, соединяющий середины боковых сторон). {2} .

Отношение длин отрезков и оснований

Каждый отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, поделен этой точкой в отношении:

\frac{OX}{OY} = \frac{BC}{AD}

Это будет являться справедливым и для высоты с самими диагоналями.

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2 .
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
  3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ЕГЭ Математика. Решение задач С2

Трапе́ция — четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны.

Связанные определения

Элементы трапеции

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция

Равнобедренная трапеция

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства

  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
  •  Параллельные прямые, пересекающие стороны угла отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

  • Прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции.
  • Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
  • В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
  • В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.
  • Если трапецию можно вписать в окружность, то она равнобедренная.
  • Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
  • Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружность

  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.
  • Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность
  • Если в трапецию вписана окружность с радиусом , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка и , то .

Площадь


  • В случае, если и  — основания и  — высота, формула площади::
  • В случае, если  — средняя линия и  — высота, формула площади:

 Эти формулы — одинаковы, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

  • Формула, где ,  — основания, и  — боковые стороны трапеции:
  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным , и углом при основании :
  • В частности, если угол при основании равен 30°, то:
.

Теоретический тест по геометрии. 8 класс. Тема: Четырехугольники

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТЕСТ ПО ГЕОМЕТРИИ

8 КЛАСС

ТЕМА: ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

 

  А1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна:

  1) 180°(n − 2)

  2) 360°

  3) 180° · n

  4) 360° · n

  Ответ: 1.

 

  А2. Четырехугольник является параллелограммом, если у него:

  1) две стороны равны, а две другие параллельны

  2) диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

  3) две пары равных сторон

  4) все стороны параллельны

  Ответ: 2.

 

  А3. Трапеция называется равнобедренной, если у нее:

  1) две стороны равны

  2) два угла равны

  3) основания параллельны и равны

  4) боковые стороны равны

  Ответ: 4.

 

  А4. Прямоугольником называется:

  1) параллелограмм, у которого все стороны равны

  2) параллелограмм, у которого все углы прямые

  3) четырехугольник, у которого диагонали равны

  4) четырехугольник, у которого противолежащие стороны равны

  Ответ: 2.

 

  А5. Четырехугольник является ромбом, если у него:

  1) диагонали перпендикулярны

  2) диагонали равны

  3) диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам

  4) диагонали точкой пересечения делятся пополам

  Ответ: 3.

 

  А6. Квадратом является:

  1) параллелограмм, у которого все углы прямые

  2) ромб, у которого все углы прямые

  3) параллелограмм, у которого диагонали равны

  4) прямоугольник, у которого диагонали равны

  Ответ: 2.

 

  А7. Всякий прямоугольник является:

  1) квадратом

  2) ромбом

  3) трапецией

  4) параллелограммом

  Ответ: 4.

 

  А8. Выберите верное утверждение:

  1) если в четырехугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — прямоугольник

  2) если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — ромб

  3) если в четырехугольнике две стороны равны, а два угла прямые, то этот четырехугольник — прямоугольник

  4) если в четырехугольнике диагонали равны, а один из углов прямой, то этот четырехугольник — квадрат

  Ответ: 1.

 

  А9. Внешний угол правильного n-угольника равен:

  1) 180° / n

  2) 180° (n − 2)/n

  3) 360° (n − 2)/n

  4) 360° / n

  Ответ: 4.

 

  А10. Многоугольник называется выпуклым, если:

  1) все его стороны являются выпуклыми

  2) его нельзя разрезать на два других многоугольника

  3) он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины

  4) все его углы являются выпуклыми

  Ответ: 3.

 

Объем неправильной трапеции. Как найти площадь трапеции

Чтобы уверенно чувствовать себя на уроках геометрии и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. В первую очередь нужно их понять. Бояться, не говоря уже о ненависти к формулам, непродуктивно. В этой статье доступным языком будут разобраны различные способы нахождения площади трапеции. Для лучшего понимания соответствующих правил и теорем обратим некоторое внимание на его свойства.Это поможет вам понять, как работают правила и когда следует применять те или иные формулы.

Определение трапеции

Что это за фигура вообще? Трапеция – это многоугольник из четырех углов с двумя параллельными сторонами. Две другие стороны трапеции могут быть наклонены под разными углами. Его параллельные стороны называются основаниями, а для непараллельных сторон используется название «бока» или «бедра». Такие фигуры довольно часто встречаются в быту. Контуры трапеции можно увидеть в силуэтах одежды, предметов интерьера, мебели, посуды и многих других.Трапеция бывает разных видов: разносторонняя, равнобедренная и прямоугольная. Более подробно их виды и свойства мы разберем далее в статье.

Свойства трапеции

Кратко остановимся на свойствах этой фигуры. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, всегда равна 180°. Следует отметить, что все углы трапеции в сумме составляют 360°. Трапеция имеет понятие средней линии. Если соединить середины сторон отрезком, это будет средняя линия.Обозначается m. Средняя линия имеет важные свойства: она всегда параллельна основаниям (мы помним, что основания также параллельны друг другу) и равна их полусумме:

Это определение надо выучить и понять, потому что оно ключ к решению многих проблем!

У трапеции всегда можно уменьшить высоту до основания. Высота — это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, проведенный из любой точки одного основания к другому основанию или его продолжению.Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Такие задачи являются наиболее распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Простейшие формулы площади трапеции

Разберем две самые популярные и простые формулы, используемые для нахождения площади трапеции. Достаточно умножить высоту на половину суммы оснований, чтобы легко найти искомое:

S = h * (a + b) / 2.

В этой формуле a, b обозначают основание трапеции, h — высоту. Для простоты восприятия в данной статье знаки умножения отмечены в формулах символом (*), хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускается.

Давайте рассмотрим пример.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высотой 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи.По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2=12. Значит, полусумма равна 12 см. Теперь умножаем полусумму на высоту: 12*7=84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции 84 кв.см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть, по сути, следует из предыдущей концепции средней линии: S = m*h.

Использование диагоналей для расчетов

Другой способ найти площадь трапеции на самом деле не так уж сложен.Он связан с его диагоналями. Согласно этой формуле, чтобы найти площадь, нужно умножить полупроизведение ее диагоналей (d 1 d 2) на синус угла между ними:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Рассмотрим задачу, показывающую применение этого метода. Дано: трапеция с диагональю 8 и 13 см соответственно. Угол а между диагоналями равен 30°. Найдите площадь трапеции.

Раствор. Используя приведенную выше формулу, легко рассчитать, что требуется.Как известно, sin 30° равен 0,5. Следовательно, S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Ответ: площадь 52 кв.см.

Ищем площадь равнобедренной трапеции

Трапеция может быть равнобедренной (равнобедренной). Его стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо показано на рисунке. Равнобедренная трапеция обладает теми же свойствами, что и обычная трапеция, плюс ряд специальных. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность и вписать в нее окружность.

Какими способами можно вычислить площадь такой фигуры? Приведенный ниже метод потребует больших вычислений. Для его использования необходимо знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчета необходимы либо таблицы Брадиса, либо инженерный калькулятор. Вот формула:

S = c * sin a *( a c * cos a ),

где С -боковое бедро, основание.

У равнобедренной трапеции диагонали одинаковой длины. Верно и обратное: если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции, представляет собой полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d 2 sin a.

Найти площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом.Обладает свойствами обычной трапеции. Кроме того, у него есть очень интересная особенность. Разность площадей диагоналей такой трапеции равна разнице площадей ее оснований. Для него используются все ранее приведенные способы расчета площади.

Применение смекалки

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывания определенных формул. Рассмотрим подробнее, что такое трапеция. Если мы мысленно разделим его на части, то получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два).Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, а затем сложить все полученные значения.

Проиллюстрируем это на следующем примере. Вам дана прямоугольная трапеция. Угол С = 45°, углы А, D равны 90°. Верхнее основание трапеции 20 см, высота 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Эта фигура, очевидно, состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника.Так как трапеция прямоугольная, то ее высота равна боковой стороне, то есть 16 см. У нас есть прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона равна 16 см. Так как эта сторона является одновременно и высотой трапеции (а мы знаем, что высота опускается к основанию под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Значит, оставшийся угол треугольника равен 45°. В результате мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник с двумя одинаковыми сторонами.Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площади треугольника и прямоугольника и сложить полученные значения.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длина: S = 20 * 16 = 320. Нашли искомое: площадь трапеции S = ​​128 + 320 = 448 кв.см. Вы можете легко перепроверить себя, используя приведенные выше формулы, ответ будет идентичным.

Используя формулу Пика


Наконец, приведем еще одну оригинальную формулу, помогающую найти площадь трапеции. Она называется формулой Пика. Его удобно использовать, когда трапецию рисуют на клетчатой ​​бумаге. Подобные задания часто встречаются в материалах ГИА. Выглядит это так:

S = M/2 + N — 1,

в этой формуле М — количество узлов, т.е. пересечений линий рисунка с линиями ячеек на границах трапеции ( оранжевые точки на рисунке), N — количество узлов внутри рисунка (синие точки).Его удобнее всего использовать при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых приемов, тем меньше ошибок и тем лучше результаты.

Конечно, приведенная информация не исчерпывает видов и свойств трапеции, а также способов нахождения ее площади. В этой статье представлен обзор его наиболее важных характеристик. При решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Составление наиболее распространенных формул поможет учащимся сориентироваться в различных способах расчета площади трапеции и лучше подготовиться к контрольным работам и контрольным работам по данной теме.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают трудности у многих школьников. Вы легко с ними справитесь, если запомните все необходимые формулы и потренируетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями.Такие же можно найти в КИМах на сертификационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому относитесь к ним бережно.

Что нужно знать о трапеции?

Во-первых, вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие нет.

Высоту также можно уменьшить в трапеции (перпендикулярно основанию). Проводится средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы.А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в некоторых случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность вокруг него.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычисления площади равнобедренной и криволинейной трапеций мы рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, у которой высота h опущена к большему основанию.Вычислить площадь фигуры в этом случае проще простого. Нужно просто разделить на два сумму длин оснований и умножить полученное на высоту: S = 1/2(a+b)*h .

Возьмем другой случай: пусть в трапеции кроме высоты проведена средняя линия m. Мы знаем формулу нахождения длины средней линии: m = 1/2 (a + b). Поэтому мы с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m * h … Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо среднюю линию умножить на высоту.

Рассмотрим другой вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые не пересекаются под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, нужно произведение диагоналей разделить на два и результат умножить на синус угла между ними: S = 1/2d 1 d 2 * sinα .

Теперь рассмотрим формулу нахождения площади трапеции, если о ней ничего не известно, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d.Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно ее запомнить на всякий случай: S = 1/2 (a + b) * √c 2 — ((1/2 (b — a)) * ((b — a) 2 + c 2 — d 2)) 2 .

Кстати, вышеприведенные примеры справедливы и для случая, когда нужна формула площади прямоугольной трапеции. Это трапеция, сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, стороны которой равны, называется равнобедренной.Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин ее оснований равна сумме длин сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется следующим образом: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 / sinα … Другая формула площади — это частный случай для случая, когда угол между большим основанием и стороной равен 30 0 : S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз берем равнобедренную трапецию, у которой, кроме того, проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна половине суммы оснований: h = 1/2 (a + b). Зная это, несложно преобразовать уже знакомую формулу площади трапеции в следующий вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Давайте начнем с рассмотрения того, что такое изогнутая трапеция. Представьте ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знак в пределах заданного отрезка по оси x. Криволинейная трапеция образована графиком функции y = f(x) — вверху, ось абсцисс — внизу (отрезок), а по бокам — линиями, проведенными между точками а и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной формы вышеуказанными методами невозможно.Здесь нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формула Ньютона-Лейбница — S = ∫ baf(x) dx = F(x) │ ba = F(b) — F(a)… В этой формуле F — первопроизводная нашей функции на выбранный сегмент. А площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на данном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше уложились в голове, вот несколько примеров задач на нахождение площади трапеции.Лучше всего будет, если вы сначала сами попробуете решить задачи, а уже потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задание №1: Дана трапеция. Его большее основание 11 см, меньшее 4 см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, другая длиной 9 см.

Решение: Построить трапецию AMRS. Проведите прямую PX через вершину P так, чтобы она оказалась параллельной диагонали MC и пересекла прямую AC в точке X. Получится треугольник ARX.

Мы будем рассматривать две фигуры, полученные в результате этих манипуляций: треугольник ARX и параллелограмм CMRX.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = MR = 4см. Где мы можем вычислить сторону AX треугольника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник ARX прямоугольный (для этого применим теорему Пифагора — AX 2 = AR 2 + PX 2). И вычислить его площадь: S АРХ = 1/2 (АР * РХ) = 1/2 (9 * 12) = 54 см 2 .

Далее нужно доказать, что треугольники AMP и PCX равны. Основой будет равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опускаете по этим сторонам — они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задание №2: Дана трапеция КРМС. Точки О и Е расположены на его боковых сторонах, а ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ВВЦ находятся в соотношении 1:5.PM = a и KC = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную ВС, и обозначьте точку ее пересечения с ОЕ через Т. А — точка пересечения прямой, проведенной через точку Е, параллельной ВС, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение — ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (можно самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b> a. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ связаны как 1:5, что дает нам право составить следующее уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Так как треугольники TME и AEC подобны, то h 1 / h 2 = (x — a) / (b — x). Объедините обе записи и получите: (x — a) / (b — x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x — a) (x + a) = (b + x) (b — x) ↔ 5 (x 2 — a 2) = (b 2 — x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Таким образом, OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Заключение

Геометрия не самая легкая наука, но с экзаменационными заданиями вы наверняка справитесь. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно же, запомнить все необходимые формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы расчета площади трапеции, чтобы вы могли использовать их при подготовке к экзаменам и повторении материала.

Обязательно поделитесь этой статьей со своими одноклассниками и друзьями в социальных сетях.Пусть хороших оценок за ЕГЭ и ЕГЭ будет больше!

блог. сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

И . Теперь можно приступить к рассмотрению того, как найти площадь трапеции. Эта задача в быту встречается очень редко, но иногда возникает необходимость, например, найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще используются при строительстве современных квартир, или в дизайнерские проекты ремонта.

Трапеция – геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны друг другу и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем будет полезно еще одно определение. Это средняя линия трапеции, представляющая собой отрезок, соединяющий середины сторон и высоту трапеции, равную расстоянию между основаниями.
Подобно треугольникам, трапеция имеет частные виды в виде равнобедренной (равнобедренной) трапеции, у которой длины сторон одинаковы, и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают интересными свойствами:

  1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
  2. У равнобедренных трапеций стороны и углы, которые они образуют с основаниями, равны.
  3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей лежат на одной прямой.
  4. Если сумма сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать окружность
  5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции при любом ее основании равно 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
  6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. Наоборот. Если трапеция вписывается в окружность, то она равнобедренная.
  7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции, будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симметрии.

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту.В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S — площадь трапеции, a, b — длина каждого из оснований трапеции, h — высота трапеции.


Вы можете понять и запомнить эту формулу следующим образом. Как следует из рисунка ниже, трапецию с помощью средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один-два треугольника, а если вам так проще, то найти площадь трапеции как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для расчета его площади. Согласно ему площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается как: S = m*h, где S — площадь, m — длина средней линии, h — высота трапеции. Эта формула больше подходит для математических задач, чем для бытовых, так как в реальных условиях без предварительных расчетов длину осевой линии не узнать. И вы будете знать только длины оснований и сторон.

В этом случае площадь трапеции можно найти по формуле:

S = ((а + b) / 2) * √c 2 — ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

, где S — площадь, а, b — основания, c, d — стороны трапеции.

Есть еще несколько способов найти площадь трапеции. Но, они примерно так же неудобны, как и последняя формула, а значит, нет смысла на них останавливаться. Поэтому мы рекомендуем вам использовать первую формулу из статьи и хотим всегда получать точные результаты.

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них трапеция — разновидность выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – сторонами трапеции. Отрезок, соединяющий середины сторон, называется средней линией. Трапеции бывают нескольких видов: равнобедренные, прямоугольные, изогнутые. Для каждого типа трапеций существуют формулы нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину и высоту ее оснований. Высота трапеции – это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание равно a, нижнее — b, а высота — h. Тогда можно вычислить площадь S по формуле:

S = ½ * (a + b) * h

т.е. полусумму оснований умножить на высоту.

Также можно будет рассчитать площадь трапеции, если знать значение высоты и осевой линии.Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь будет найдена по формуле:


Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В этой формуле при расчете дается синус угла.

При известных длинах основания a и b и двух углах у нижнего основания площадь рассчитывается следующим образом:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция является частным случаем трапеции.Отличие ее в том, что такая трапеция представляет собой выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Его стороны равны.


Есть несколько способов найти площадь равнобедренной трапеции.

  • По длине трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому их обозначают одинаковой величиной — с, а а и b — длины оснований:

  • Если известны длина верхнего основания, сторона и угол при нижнем основании, то площадь вычисляется следующим образом:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — сторона.

  • Если вместо верхнего основания известна длина нижнего, б, то площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b — c * cos α)

  • Если известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 — a2) * tan α

  • Также площадь вычисляется через диагонали и угол между ними. При этом диагонали равны по длине, поэтому каждая обозначается буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

  • Вычисляем площадь трапеции, зная длину стороны, среднюю линию и угол при нижнем основании.

Пусть боковая сторона равна с, средняя линия m, угол а, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет r .


Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Затем площадь находится через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основание и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется следующим образом:

S = a * b/sin α

(эта и следующие формулы справедливы только для трапеций с вписанной окружностью).


Через основания и радиус окружности площадь находится следующим образом:

Если известны только основания, то площадь рассчитывается по формуле:


Через основания и боковую линию площадь Площадь трапеции с вписанной окружностью и через основания и среднюю линию — m вычисляют следующим образом:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной трапецией называется, у которой одна из боковых сторон равна перпендикулярно основаниям.В этом случае длина стороны совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция состоит из квадрата и треугольника. Найдя площадь каждой из фигур, сложите результаты, чтобы получить общую площадь фигуры.


Также для расчета площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы расчета площади трапеции.

  • Если длины оснований и высота (или перпендикулярная сторона) известны, то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

h (высота) может быть стороной c.Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

  • Другой способ вычисления площади — умножить длину осевой линии на высоту:

или по длине боковой перпендикулярной стороны:

  • Следующий способ расчета — через половину произведения диагоналей на синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α


Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до: (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна по причинам. Если взять длины сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

  • Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции y = f (x), заданной на отрезке, осью абсцисс и прямыми линиями x = a, x = b.На самом деле две его стороны параллельны друг другу (основаниям), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет собой кривую, соответствующую графику функции.


Площадь криволинейной трапеции ищется через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:


Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают такими же свойствами углов. Как и у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов.А сумма углов, прилежащих к стороне, равна 180 градусов.


Площадь трапеции. Привет! В этом посте мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как ее понять. Если есть понимание, то ему не нужно учиться. Если просто хотите посмотреть эту формулу и что срочно, то можете сразу листать страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие — нет.Те, которые не параллельны, являются основаниями трапеции. Два других называются сторонами.

Если стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапеция изображается так — большее основание внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать ее и наоборот. Вот эскизы:


Следующая важная концепция.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте углубимся. Почему это так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и проведем дополнительные построения: проведем прямые через основания, а перпендикуляры через концы средней линии до пересечения с основаниями :


* Буквенные обозначения вершин и других точек намеренно не вводятся во избежание ненужных обозначений.

Смотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 равны. Равенство треугольников подразумевает равенство элементов, а именно катетов (они обозначены синим и красным соответственно).

Внимание! Если мы мысленно «отрежем» синий и красный отрезок от нижнего основания, то у нас получится отрезок (это сторона прямоугольника), равный средней линии. Далее, если «приклеить» отрезанную синюю и красную линию к верхнему основанию трапеции, то мы также получим отрезок (это и есть сторона прямоугольника), равный средней линии трапеции.

Понял? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

См. другое объяснение

Сделаем следующее — построим прямую, проходящую через нижнее основание трапеции и прямая, которая пройдет через точки А и В:


Получаем треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).Это означает, что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим цветом) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:


* Средняя линия этой трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольник равен половине своего параллельного основания, то есть:

Ладно, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Формула площади трапеции:


Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

То есть получается, что он равен произведению средней линии на высоту:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мысленно отрезать от трапеции треугольники 2 и 4 и положить их соответственно на треугольники 1 и 3:


Тогда получится прямоугольник, площадь которого равна площади наша трапеция. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии на высоту, то есть мы можем написать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (просмотреть) материал статьи в формате *pdf

Вот и все. Успехов вам!

С уважением, Александр.

Что такое равнобедренная трапеция по математике? – JanetPanic.com

Что такое равнобедренная трапеция в математике?

Равнобедренная трапеция (названная англичанами равнобедренной трапецией; Бронштейн, Семендяев, 1997, с. 174) — это трапеция, у которой углы при основании равны, а значит, длины левой и правой сторон также равны.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике, 3-е изд.

Какое определение трапеции в математике?

Трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. У него могут быть прямые углы (прямая трапеция) и конгруэнтные стороны (равнобедренные), но это не обязательно.

Какими свойствами обладает равнобедренная трапеция?

Выпуклый многоугольник
Циклический
Равнобедренная трапеция/Свойства

Почему так называется равнобедренная трапеция?

Слово «равнобедренный» означает «равные ноги».” Равнобедренные трапеции имеют непараллельные стороны, которые имеют одинаковую длину. Эти равные стороны иногда называют «ногами».

Что такое трапеция математика весело?

Трапеция представляет собой четырехгранную плоскую фигуру с прямыми сторонами, у которой пара противоположных сторон параллельна (обозначены стрелками ниже): Трапеция. Равнобедренная трапеция. Трапеция: имеет пару параллельных сторон.

Чем трапеция отличается от равнобедренной?

Трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна, а две другие — нет.У равнобедренной трапеции непараллельные стороны равны.

Каковы правила равнобедренной трапеции?

Основания (верхнее и нижнее) равнобедренной трапеции параллельны. Противоположные стороны равнобедренной трапеции равны (конгруэнтны). Углы по обе стороны от оснований имеют одинаковую величину/меру (конгруэнтность). Диагонали (здесь не показаны) равны.

Как узнать, является ли трапеция равнобедренной?

Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда ее диагонали конгруэнтны.Итак, если мы сможем доказать, что основания параллельны, а диагонали конгруэнтны, то мы будем знать, что четырехугольник является равнобедренной трапецией, как точно утверждает Cool Math.

Как отличить трапецию от равнобедренной трапеции?

Каковы характеристики равнобедренного?

Равнобедренный треугольник, от греческого Ίσα Σκέλη (Isa Scele) = равные конечности, представляет собой треугольник, который имеет две равные стороны и, следовательно, два равных угла. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла «острые», что означает меньше прямого угла.

В чем разница между равнобедренным и остроугольным треугольником?

У равнобедренного треугольника две стороны равны. В остроугольном треугольнике три угла, каждый из которых меньше прямого. Некоторые равнобедренные треугольники остроугольные, а другие нет. Точно так же некоторые остроугольные треугольники равнобедренные, а другие нет.

Как выглядит равнобедренная трапеция?

Трапеция представляет собой четырехстороннюю плоскую фигуру с прямыми сторонами, у которой пара противоположных сторон параллельна (обозначены стрелками ниже): Трапеция: является равнобедренной трапецией, когда оба угла, исходящие из параллельной стороны, равны, а стороны, которые не параллельны равны по длине.

Что означает равнобедренный?

Определение равнобедренного треугольника 1: две равные стороны — см. рисунок треугольника 2 трапеции: две непараллельные стороны равны Примеры равнобедренного в предложении

Какое описание не гарантирует, что трапеция равнобедренная? – Реабилитацияроботикс.нет

Какое описание не гарантирует, что трапеция равнобедренная?

Правильный ответ среди всех других вариантов C) имеет конгруэнтные основания.Равнобедренная трапеция: трапеция, у которой одна пара параллельных прямых и непараллельные стороны конгруэнтны. Какое описание НЕ гарантирует, что трапеция равнобедренная? Трапеция равнобедренная тогда и только тогда, когда две ее диагонали равны.

Когда стороны трапеции равны?

Если стороны трапеции равны, то это равнобедренная трапеция. 2. Если два угла при основании трапеции равны, то это равнобедренная трапеция.

Могут ли трапеции иметь конгруэнтные основания?

Трапеция – это четырехугольник, у которого ровно одна пара параллельных сторон.Теперь, если трапеция равнобедренная, то стороны конгруэнтны, и каждая пара углов основания конгруэнтна. Другими словами, конгруэнтны нижние углы при основании, конгруэнтны и верхние углы при основании./span>

Как классифицировать равнобедренную трапецию?

Равнобедренная трапеция – это трапеция, у которой непараллельные стороны равны. Воздушный змей — это четырехугольник, у которого ровно две пары смежных конгруэнтных сторон. (Это определение не включает ромбы. В некоторых учебниках говорится, что у воздушного змея есть по крайней мере две пары смежных конгруэнтных сторон, поэтому ромб является частным случаем воздушного змея.)

Все ли стороны параллелограмма равны?

Один особый вид многоугольников называется параллелограммом. Это четырехугольник, у которого две пары противоположных сторон параллельны. Если у нас есть параллелограмм, у которого все стороны равны, то мы имеем то, что называется ромбом.

Имеет ли равнобедренная трапеция параллельные стороны?

У любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (бока) имеют одинаковую длину (свойства, общие с параллелограммом).Диагонали также имеют одинаковую длину.

Всегда ли две равнобедренные трапеции подобны?

Чтобы два треугольника были подобны, углы в одном треугольнике должны иметь те же значения, что и углы в другом треугольнике. Стороны должны быть пропорциональны. Следовательно, равнобедренные треугольники не всегда подобны./span>

Есть ли у трапеции прямые углы?

У трапеции два прямых угла.

Как называется перевернутая трапеция?

Трапеция или трапеция Это форма с 4 сторонами, но имеет пару противоположных сторон, которые параллельны.Ловушка с полостью (трапецией) для омара имеет форму трапеции. Эта трапеция также имеет параллельные стороны сверху и снизу, но перевернута. Это все-таки трапеция.

На что похожа форма трапеции?

Трапеция – четырехгранная плоская фигура с одной парой противоположных параллельных сторон. Он выглядит как треугольник, верхняя часть которого срезана параллельно нижней. Обычно трапеция располагается самой длинной стороной вниз, и у вас будут две наклонные стороны для краев.

Может ли трапеция иметь 2 пары параллельных сторон?

У трапеции одна пара параллельных сторон, а у параллелограмма две пары параллельных сторон. Значит параллелограмм тоже трапеция.

Почему ромб не квадрат?

Чем квадрат отличается от ромба? Квадрат и ромб имеют равные длины сторон. Но у квадрата все углы равны 90 градусов, а у ромба только противоположные углы равны..

Воздушный змей — это ромб?

Воздушный змей — четырехугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары сторон одинаковой длины, смежных друг с другом, и только одна пара противоположных углов равна.Все стороны ромба равны и противоположные углы равны. Итак, все воздушные змеи не являются ромбами.

Как называется шестигранный объект?

шестигранник

Какой формы ромб?

В плоской евклидовой геометрии ромб (множественное число ромбов или ромбов) — это четырехугольник, все четыре стороны которого имеют одинаковую длину. Другое название – равносторонний четырехугольник, так как равносторонний означает, что все его стороны равны по длине.

Какие основания равнобедренной трапеции?

Какие основания равнобедренной трапеции?

В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны , а две другие стороны (бока) имеют одинаковую длину (свойства, общие с параллелограммом).Диагонали также имеют одинаковую длину.

Чему равны нижние углы при основании равнобедренной трапеции?

Теперь, если трапеция равнобедренная, то катеты конгруэнтны и каждая пара углов при основании конгруэнтна. Другими словами, нижние углы при основании конгруэнтны , и углы при верхнем основании также конгруэнтны. Точно так же из-за односторонних внутренних углов нижний угол основания является дополнительным к любому верхнему углу основания.

Где углы основания трапеции?

Пара углов, имеющих общее основание, называется углами при основании трапеции.На рисунке 1 ∠ A и ∠ B или ∠ C и ∠ D являются углами при основании трапеции ABCD. Можно доказать два особых свойства равнобедренной трапеции. Теорема 53. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

Что вы можете сказать о катетах равнобедренной трапеции?

Стороны равнобедренной трапеции конгруэнтны , что означает, что они равны по размеру.

Сколько прямых углов у трапеции?

два прямых угла У трапеции два прямых угла .

Делят ли диагонали равнобедренной трапеции углы основания пополам?

Теорема

: углы при основании равнобедренной трапеции равны. Верно и обратное: если у трапеции углы при основании равны, то это равнобедренная трапеция. … Диагонали равнобедренной трапеции также конгруэнтны, но они НЕ делят друг друга пополам .

Равны ли противоположные углы трапеции?

В обычной трапеции противолежащие углы не равны .В равнобедренной трапеции противоположные углы не равны, однако две пары смежных углов равны: одна пара острых (на обоих концах более длинной параллельной стороны) и одна пара тупых (на обоих концах более короткой параллельной стороны).

Равны ли диагонали и углы при основании равнобедренной трапеции?

Диагонали также имеют одинаковую длину. Углы при основании равнобедренной трапеции равны по размеру (на самом деле существует две пары равных углов при основании, где один угол при основании является дополнительным углом к ​​углу при основании другого).

Когда углы основания трапеции равны?

У трапеции углы при основании равны тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная. Пример 1 В равнобедренной трапеции угол при основании равен 73°. Найдите все остальные углы трапеции.

Как вычислить периметр равнобедренной трапеции?

Формула для расчета периметра равнобедренной трапеции: Периметр = сумма всех сторон равнобедренной трапеции

Как называются стороны трапеции?

Непараллельные стороны трапеции называются ее боковыми сторонами или катетами (стороны AD и BC на рис. 1).Углы на концах большего основания трапеции называются углами при основании (углы LA и LB на рис. 1). Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны (см. рис. 2). Рис. 1. Трапеция

⇐ Что вы говорите, когда кто-то получает плохую оценку? Почему соединения существуют в виде димеров? ⇒
Похожие сообщения:
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск