Тригонометрические функции примеры: Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова

Содержание

Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова

Рада видеть вас на моем сайте. Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой.

Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях. Мы поможем с любым заданием от простого заказа в одну формулу, или если у вас будет заказ на написание большой работы примерно на 198 страниц — мы это тоже умеем!

Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно — просто прислав файлы в whatsapp!

Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока. Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу.

Ваш заказ будет уникальным!

Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.

Лучшие университеты мира: МГУ и MIT

Моя видео презентация:

Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞

 Шаг 1Сфотографируйте задание так, чтобы изображение было максимально четким. В чат прикрепите необходимые для выполнения вашей работы, лекции, учебники, методички и т. д. (если имеются). При необходимости напишите дополнительные пояснения.

 Шаг 2.   Все файлы пришлите мне в чат в WhatsАpp

После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)

 Шаг 3.  Если всё понравится — оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.

 Шаг 4.  Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.

 Шаг 5.  Получаете заказ в чат. Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.

ТОП 5 ответов на ваши вопросы

Как вы работаете?

Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:

  1. Вы присылаете необходимые файлы с описанием в WhatsApp.
  2. Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
  3. Вы оплачиваете заказ.
  4. Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
  5. В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.

Какая будет цена?

Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.

Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в WhatsАpp. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).

Какой срок выполнения?

Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.

Как происходит оплата?

Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.

Какие гарантии?

Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.

Что обо мне говорят студенты и школьники

Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.

                       

Правовые документы:

Условия использования

Политика конфиденциальности

Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова

Рада видеть вас на моем сайте. Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой.

Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях. Мы поможем с любым заданием от простого заказа в одну формулу, или если у вас будет заказ на написание большой работы примерно на 198 страниц — мы это тоже умеем!

Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно — просто прислав файлы в whatsapp!

Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока.

 Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу. Ваш заказ будет уникальным!

Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.

Лучшие университеты мира: МГУ и MIT

Моя видео презентация:

Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞

 Шаг 1Сфотографируйте задание так, чтобы изображение было максимально четким. В чат 

прикрепите необходимые для выполнения вашей работы, лекции, учебники, методички и т. д. (если имеются). При необходимости напишите дополнительные пояснения.

 Шаг 2.  Все файлы пришлите мне в чат в WhatsАpp

После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)

 Шаг 3.  Если всё понравится — оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.

 Шаг 4.  Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.

 Шаг 5.  Получаете заказ в чат.

Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.

ТОП 5 ответов на ваши вопросы

Как вы работаете?

Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:

  1. Вы присылаете необходимые файлы с описанием в WhatsApp.
  2. Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
  3. Вы оплачиваете заказ.
  4. Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
  5. В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.

Какая будет цена?

Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.

Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в WhatsАpp. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).

Какой срок выполнения?

Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.

Как происходит оплата?

Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.

Какие гарантии?

Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.

Что обо мне говорят студенты и школьники

Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.

                       

Правовые документы:

Условия использования

Политика конфиденциальности

Помогаю с учёбой — Преподаватель Анна Евкова

Рада видеть вас на моем сайте. Если вы здесь – значит, вам необходима помощь с учебой.

Я, Анна Евкова, бывший преподаватель Самарского института информатики и вычислительной техники и моя команда преподавателей поможем вам справиться с трудностями в заданиях. Мы поможем с любым заданием от простого заказа в одну формулу, или если у вас будет заказ на написание большой работы примерно на 198 страниц — мы это тоже умеем!

Я всегда в вашем смартфоне, заказывайте где удобно и когда удобно — просто прислав файлы в whatsapp!

Все заказы выполняются качественно, профессионально и высылаются раньше срока.  Каждый выполненный заказ проходит проверку на плагиат, вы не сдадите на проверку одинаковую с кем-то работу. Ваш заказ будет уникальным!

Подготовимся онлайн совместно со мной или с преподавателем из моей команды, проработаем базовые темы, освоим сложные разделы, отработаем экзаменационные задания и подойдём к сдаче любого предмета максимально подготовленным и расскажем все секреты.

Лучшие университеты мира: МГУ и MIT

Моя видео презентация:

Пять простых шагов и всё будет на ❝отлично❞

 Шаг 1Сфотографируйте задание так, чтобы изображение было максимально четким. В чат прикрепите необходимые для выполнения вашей работы, лекции, учебники, методички и т. д. (если имеются). При необходимости напишите дополнительные пояснения.

 Шаг 2.  Все файлы пришлите мне в чат в WhatsАpp

После этого я изучу и оценю. (Не забывайте чем больше времени, тем меньше цена!)

 Шаг 3.  Если всё понравится — оплатите. Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.

 Шаг 4.  Приступаю к работе. Все необходимые требования и сроки будут соблюдены. Более 78% заказов отправляются в чат раньше указанного времени.

 Шаг 5.  Получаете заказ в чат. Если у вас возникнут вопросы, я подробно отвечу. Гарантия на заказ действует 1 год. В течение этого времени ошибки в заказе будут исправлены.

ТОП 5 ответов на ваши вопросы

Как вы работаете?

Для того, чтобы разобраться с этим вопросом, предлагаю ознакомиться с простым алгоритмом:

  1. Вы присылаете необходимые файлы с описанием в WhatsApp.
  2. Я знакомлюсь с файлами, и оцениваю заказ.
  3. Вы оплачиваете заказ.
  4. Я, или преподаватель, начинаем работу над заказом.
  5. В согласованный срок, или раньше, Вы получаете свою работу файлом в чат.

Какая будет цена?

Невозможно ответить на этот вопрос не изучив файлы. Стоимость определяется исходя из нескольких важных факторов: уровень сложности задания, определенные требования к оформлению.

Для точной оценки стоимости присылайте файлы в чат в WhatsАpp. Например: лекции, методички, учебники (если такие имеются).

Какой срок выполнения?

Минимальный срок выполнения заказа варьируется от 2 до 4 дней. Главное помнить, что для срочных заказов цена будет увеличиваться, а срок выполнения сокращаться.

Как происходит оплата?

Оплатить можно с помощью баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, а также через Apple Pay и Google Pay.

Какие гарантии?

Любые ошибки, допущенные мной или преподавателем в заказе, исправим в течении 1 года.

Что обо мне говорят студенты и школьники

Разместила отзывы с Ютуба и чуть ниже с Вконтакте, остальные отзывы на моём ютуб канале и социальных сетях.

                       

Числовой аргумент тригонометрических функций. Алгебра, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1. Область определения тригонометрических функций

Сложность: лёгкое

1
2. Определение множества значений тригонометрических функций

Сложность: лёгкое

2
3. Множество значений тригонометрических функций

Сложность: лёгкое

2
4. Упрощение выражения

Сложность: лёгкое

1
5. Нахождение множества значений тригонометрических функций

Сложность: среднее

2
6. Область определения тригонометрических функций (решение уравнения)

Сложность: среднее

2
7. Множество значений тригонометрических функций с использованием формулы сложения

Сложность: среднее

2
8. Наибольшее и наименьшее значения выражения

Сложность: среднее

2
9. Нахождение значений тригонометрических функций

Сложность: среднее

3
10. Определение значений тригонометрических функций

Сложность: среднее

3
11. Множество значений функции

Сложность: сложное

2
12. Нахождение суммы квадратов тригонометрических функций

Сложность: сложное

1

Тригонометрические функции

Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?

Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение — отрезок [a; b]. Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылезет» за пределы отрезка [a; b]. Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.

Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке [a; b] не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.

Задача. Найдите точку максимума функции, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3]:

y = sin x − 5x sin x − 5cos x + 1

Вычисляем производную:

y’ = (sin x − 5x sin x − 5cos x + 1)’ = … = cos x − 5x cos x =(1 − 5x) cos x

Затем решаем уравнение:

y’ = 0;
(1 − 5x) cos x = 0;
. ..
x1 = 0,2;
x2 = π/2 + πn, n ∈ Z.

С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n,начиная с n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2

Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n,тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2

Но −π/2 < −π/3 — этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним — и все корни для n < −1.

Получается, что на отрезке [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:

Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательная, достаточно подставить в производную значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно, это точка максимума.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−π/4; π/4]:

y = 4 tg x − 4x + π − 5

Вычисляем производную:

y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Затем решаем уравнение:

y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ … ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Снова выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n,начиная с n = 0:

n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = πи значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π. Но −π < −π/4,поэтому x = −πи n < −1 тоже вычеркиваем.

Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции дляx = 0, x = π/4и x = −π/4. Имеем:

y(0) = 4tg 0 − 4 · 0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg π/4 − 4 · π/4 + π − 5 = 1;
y(−π/4) = 4tg (−π/4) − 4 · (−π/4) + π − 5 = … = 2π − 9.

Теперь заметим, что π = 3,14… < 4,поэтому π − 5 < 4 − 5 < 0и 2π − 9 < 8 − 9 < 0. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее — очевидно, это y = 1.

Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов можно записать лишь единицу.

Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.

Случай пустого множества решений

Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.

Однако будьте предельно внимательны, поскольку такие задачи встречаются в ЕГЭ крайне редко. Если в процессе решения выясняется, что корней нет, лучше еще раз проверить все выкладки. И только когда убедитесь, что ошибок нет, можно расслабиться: вам досталась легкая задача!

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−3π/2; 0]:

y = 7sin x − 8x + 5

Сначала находим производную:

y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8

Попробуем решить уравнение:

y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7

Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1],а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.

Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу — вычисляем значение функции:

y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8 · (−3π/2) + 5 = … = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8 · 0 + 5 = 5.

Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.

Смотрите также:

  1. Задача B15: Линейные выражения под знаком тригонометрической функции
  2. Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Метод коэффициентов, часть 1
  5. Задача B5: вычисление площади методом обводки
  6. Углы и отрезки в стереометрии — 2

Тема № 5 1 тригонометрические уравнения i теоретический материал

Тема № 5.1. Тригонометрические уравнения

I. Теоретический материал

Основные понятия

  1. Тригонометрическое уравнение

  2. Простейшие тригонометрические уравнения

  3. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

  4. Виды тригонометрических уравнений и способы их решения

Уравнение (*), где – данное число, а – одна из основных тригонометрических функций, называют простейшим тригонометрическим уравнением.

Простейшее тригонометрическое уравнение (*) имеет период , если функция имеет период . Если для некоторого простейшего тригонометрического уравнения с периодом найдено некоторое решение , то любое число при любом целом также является решением этого уравнения. Множество всех решений вида, где пробегает все целые числа, называют серией решений этого уравнения и записывают в виде, .

Видами тригонометрических уравнений простейшего типа являются: , , , .

  1. Уравнение . Так как областью значений синуса является

о

y

x

трезок , то это уравнение не имеет решений при . Пусть теперь . Построим на одном чертеже графики функций и .

По рисунку ясно, что прямая пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что при уравнение имеет бесконечно много корней. Так как синус имеет период , то достаточно найти все решения в пределах этого периода. По графику видно, что при на отрезке есть два числа (угла) синус которого равен .

Если один из таких углов , то тоже решение уравнения , причем углы и не получаются один из другого прибавлением периода.

Пусть — какое либо решение уравнения , где . Тогда все решения этого уравнения получаются по формулам , , .

Эти две серии решений иногда записываются одной формулой:

(-1) ,

Уравнение при имеет бесконечно много решений. Для одного из них имеется специальное название – арксинус.

Пусть число a по модулю не превосходит единицы.

Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от до , синус которого равен a.

Обозначение: .

Равенство равносильно двум условиям: и .

Решения уравнения (при ) можно записать так:

, ,

или в виде одной формулы:

  1. Уравнение При уравнение решений не имеет; если , то решений уравнения бесконечно много.

y

Если – какое-либо решение уравнения , то также есть решение этого уравнения, так как . По графику видно, что при в пределах одного периода уравнение имеет два решения.

Е

x

сли — одно из решений уравнения , то все решения исчерпываются двумя сериями:

, ; , .

Эти серии записывают в виде одной формулы: , .

Также как и для синуса, выделяется одно определенное решение уравнения и ему дается специальное название – арккосинус.

Пусть – число, по модулю не превосходящее единицы.

Арккосинусом числа называется угол , лежащий в пределах от до , косинус которого равен .

Обозначение: .

Равенство равносильно двум условиям:

и .

Арккосинус числа существует лишь при . Решение уравнения (при ) можно записать в общем виде:

3. Уравнения Область значений тангенса (котангенса) – вся числовая ось. Поэтому уравнения , имеют решения при любом . В пределах одного периода тангенс и котангенс принимают каждое значение ровно один раз. Поэтому если известно одно решение уравнения или , то все остальные получают прибавление периода: , , ; , ,.

Арктангенсом числа называется угол , тангенс которого равен .

Обозначение: .

Уравнение равносильно двум условиям:

и

Общая формула:

Арккотангенсом числа называется угол , котангенс которого равен .

Обозначение: .

Уравнение равносильно двум условиям: и ;,

Общая формула:

Более сложные тригонометрические уравнения решаются сведением их к простейшим с помощью различных алгебраических и тригонометрических формул и преобразований.

II. Практический материал

Примеры выполнения заданий

Виды тригонометрических уравнений и способы их решения

Простейшие тригонометрические уравнения и сводимые к ним

Решаются с помощью специальных формул, рассмотренных выше.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Применим общую формулу:

,.

Ответ: ,.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. ; ; , .

Ответ: , .

Уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций

Уравнения такого вида решаются сведением исходного уравнения к уравнению, зависящему лишь от одной тригонометрической функции. Для этого используются формулы, связывающие различные тригонометрические функции

( и т.д.). После производится замена тригонометрической функции на переменную, и уравнение решается как алгебраическое. Далее от переменной переходим к тригонометрической функции и получается простейшее тригонометрическое уравнение.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Это квадратное уравнение относительно . Решим его введением новой переменной: ;

, , ,

, .

– посторонний корень, так как ; ,

,.

Ответ:, .

Однородные уравнения

Уравнение вида называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени; уравнение вида называют однородным уравнением второй степени.

Уравнение делим на выражение: тригонометрическую функцию, стоящую в уравнении в старшей степени. Получаем уравнение, алгебраическое относительно одной из тригонометрических функций. Метод его решения рассмотрен выше.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Делим уравнение на (при этом мы не потеряем корней, так как если в данное уравнение поставить , то получим, что и , что невозможно). Получаем уравнение вида: .

Введем новую переменную :

; , , ,

.

, ; , .

Ответ:;

.

Уравнения, сводимые к известному виду путем преобразований с помощью тригонометрических формул (суммы, разности, произведения)

Иногда в уравнениях встречаются тригонометрические функции кратных углов. В таких случаях нужно использовать формулы преобразования суммы в произведение или наоборот.

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение. В этом примере удобнее воспользоваться формулой синуса разности: , . Это частный случай: .

Ответ: .

Уравнения, решаемые понижением их порядка

Некоторые уравнения целесообразнее решать после преобразований с помощью формул удвоения. Такие замены позволяют избавиться от степени в уравнении и свести его к линейному.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Применим формулу косинуса двойного угла:

, , .

Воспользуемся формулой суммы косинусов:, , .

Решаем это уравнение:

, , ; , , ,

, .

Ответ: ;

Задания для самостоятельной работы

Простейшие тригонометрические уравнения и сводимые к ним

Задание 1. Решить уравнение .

Задание 2. Решить уравнение .

Задание 3. Решить уравнение .

Задание 4. Решить уравнение .

Задание 5. Решить уравнение

Задание 6. Решить уравнение

Уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций

Задание 7. Решить уравнение .

Задание 8. Решить уравнение .

Задание 9. Решить уравнение .

Задание 10. Решить уравнение .

Задание 11. Решить уравнение

Задание 12. Решить уравнение

Однородные уравнения

Задание 13. Решить уравнение .

Задание 14. Решить уравнение .

Задание 15. Решить уравнение .

Задание 16. Решить уравнение

Задание 17. Решить уравнение

Задание 18. Решить уравнение

Уравнения, сводимые к известному виду путем преобразований с помощью тригонометрических формул (суммы, разности, произведения)

Задание 19. Решить уравнение

Задание 20. Решить уравнение

Задание 21. Решить уравнение .

Задание 22. Решить уравнение

Задание 23. Решить уравнение .

Задание 24. Решить уравнение

Уравнения, решаемые понижением их порядка

Задание 25. Решить уравнение.

Задание 26. Решить уравнение

.

Задание 27. Решить уравнение .

Задание 28. Решить уравнение .

Задание 29. Решить уравнение

Задание 30. Решить уравнение

Тригонометрические функции — формулы, графики, примеры, значения

Тригонометрические функции — это шесть основных функций, которые имеют входное значение домена в виде угла прямоугольного треугольника и числовой ответ в виде диапазона. Тригонометрическая функция (также называемая «тригонометрической функцией») f(x) = sinθ имеет область определения, которая представляет собой угол θ, заданный в градусах или радианах, и диапазон [-1, 1]. Точно так же у нас есть домен и диапазон от всех других функций. Тригонометрические функции широко используются в исчислении, геометрии, алгебре.

Здесь, в приведенном ниже содержании, мы будем стремиться понять тригонометрические функции в четырех квадрантах, их графики, область и диапазон, формулы и дифференцирование, интегрирование тригонометрических функций. Мы решим несколько примеров, используя эти шесть триггерных функций, чтобы лучше понять их и их применение.

Что такое тригонометрические функции?

В тригонометрии используются шесть основных тригонометрических функций.Эти функции являются тригонометрическими отношениями. Шесть основных тригонометрических функций — это функция синуса, функция косинуса, функция секанса, функция косеканса, функция тангенса и функция котангенса. Тригонометрические функции и тождества — отношения сторон прямоугольного треугольника. Сторонами прямоугольного треугольника являются перпендикулярная сторона, гипотенуза и основание, которые используются для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Формулы тригонометрических функций

У нас есть определенные формулы для нахождения значений триггерных функций с использованием сторон прямоугольного треугольника. Для записи этих формул мы используем сокращенную форму этих функций. Синус записывается как sin, косинус — как cos, тангенс — как tan, секанс — как sec, косеканс — как cosec, а котангенс — как cot. Основные формулы для нахождения тригонометрических функций следующие:

  • sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза
  • cos θ = основание/гипотенуза
  • тангенс θ = Перпендикуляр/Основание
  • с θ = гипотенуза/основание
  • косек θ = гипотенуза/перпендикуляр
  • кроватка θ = основание/перпендикуляр

Как видно из приведенных выше формул, синус и косеканс обратны друг другу.Точно так же обратными парами являются косинус и секанс, тангенс и котангенс.

Значения тригонометрических функций

Тригонометрические функции имеют область определения θ, выраженную в градусах или радианах. Некоторые из главных значений θ для различных тригонометрических функций представлены ниже в таблице. Эти главные значения также называются стандартными значениями триггерных функций при определенных углах и часто используются в расчетах. Главные значения тригонометрических функций были получены из единичной окружности.Эти значения также удовлетворяют всем тригонометрическим формулам.

Триггерные функции в четырех квадрантах

Угол θ является острым углом (θ < 90°) и измеряется относительно положительной оси x против часовой стрелки. Кроме того, эти триггерные функции имеют разные числовые знаки (+ или -) в разных квадрантах, которые основаны на положительной или отрицательной оси квадранта. Тригонометрические функции Sinθ, Cosecθ положительны в квадрантах I и II и отрицательны в квадрантах III и IV.Все тригонометрические функции имеют положительный диапазон в первом квадранте. Тригонометрические функции Tanθ, Cotθ положительны только в квадрантах I и III, а тригонометрические отношения Cosθ, Secθ положительны только в квадрантах I и IV.

Тригонометрические функции имеют значения θ, (90° — θ) в первом квадранте. Тождества кофункций обеспечивают взаимосвязь между различными дополнительными тригонометрическими функциями для угла (90 ° — θ).

  • sin(90°-θ) = cos θ
  • cos(90°-θ) = sin θ
  • тангенс (90°-θ) = раскладушка θ
  • раскладушка (90°-θ) = тангенс θ
  • сек (90°-θ) = cosec θ
  • cosec(90°−θ) = sec θ

Значение домена θ для различных тригонометрических функций во втором квадранте равно (π/2 + θ, π — θ), в третьем квадранте (π + θ, 3π/2 — θ), а в четвертом квадранте равно (3π/2 + θ, 2π — θ).Для π/2, 3π/2 тригонометрические величины изменяются как их дополнительные отношения, такие как Sinθ⇔Cosθ, Tanθ⇔Cotθ, Secθ⇔Cosecθ. Для π, 2π тригонометрические значения остаются прежними. Изменение тригонометрических отношений в разных квадрантах и ​​углах можно понять из приведенной ниже таблицы.

Тригонометрическое соотношение I — Квадрант II — Квадрант III квадрант IV-квадрант
θ π/2 — θ π/2 + θ π — θ π + θ 3π/2 — θ 3π/2 + θ 2π — θ
Синθ Косθ Косθ Синθ -Sinθ -Косθ -Косθ -Sinθ
Косθ Синθ -Sinθ -Косθ -Косθ -Sinθ Синθ Косθ
Танθ Кот θ — Кот θ -Тан θ Танθ Кот θ — Кот θ -Тан θ
Кот θ Танθ -Тан θ — Кот θ Кот θ Танθ -Тан θ — Кот θ
секθ Косекθ -Косекθ -сек -сек -Косекθ Косекθ секθ
Косекθ секθ секθ Косекθ -Косекθ -сек -сек -Косекθ

График тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций имеют значение домена θ, представленное по горизонтальной оси x, и значение диапазона, представленное по вертикальной оси y. Графики Sinθ и Tanθ проходят через начало координат, а графики других тригонометрических функций через начало координат не проходят. Диапазон Sinθ и Cosθ ограничен [-1, 1]. Диапазон бесконечных значений представлен пунктирными линиями.

Область и диапазон тригонометрических функций

Значение θ представляет собой область определения тригонометрических функций, а результирующее значение представляет собой диапазон тригонометрической функции.Значения домена θ указаны в градусах или радианах, а диапазон представляет собой действительное числовое значение. Как правило, область определения тригонометрической функции представляет собой действительное числовое значение, но в некоторых случаях некоторые значения углов исключаются, поскольку это приводит к бесконечному значению диапазона. Тригонометрические функции являются периодическими функциями. В таблице ниже представлены область и диапазон шести тригонометрических функций.

Тригонометрические функции Домен Диапазон
Синθ (-∞, + ∞) [-1, +1]
Косθ (-∞ +∞) [-1, +1]
Танθ Р — (2n + 1)π/2 (-∞, +∞)
Кот θ Р — № (-∞, +∞)
секθ Р — (2n + 1)π/2 (-∞, -1] U [+1, +∞)
Косекθ Р — № (-∞, -1] U [+1, +∞)

Тождества тригонометрических функций

Тождества тригонометрических функций в широком смысле делятся на тождества взаимности, формулы Пифагора, тождества суммы и разности тригонометрических функций, формулы для кратных и дольных углов, тождеств суммы и произведения. Все приведенные ниже формулы можно легко вывести, используя отношение сторон прямоугольного треугольника. Более высокие формулы могут быть получены с использованием основных формул тригонометрических функций. Взаимные тождества часто используются для упрощения тригонометрических задач.

Взаимные тождества

  • cosec θ = 1/sin θ
  • с θ = 1/cos θ
  • раскладушка θ = 1/загар θ
  • sin θ = 1/косек θ
  • cos θ = 1/сек θ
  • загар θ = 1/кот θ

Пифагорейские тождества

  • Sin 2 θ + Cos 2 θ = 1
  • 1 + Тан 2 θ = Секунда 2 θ
  • 1 + Cot 2 θ = Cosec 2 θ

Тождества суммы и разности

Полуугольные тождества

  • sin A/2 = ±√[(1 — cos A) / 2]
  • cos A/2 = ±√[(1 + cos A) / 2]
  • tan A/2 = ±√[(1 — cos A) / (1 + cos A)] (или) sin A / (1 + cos A) (или) (1 — cos A) / sin A

Идентификаторы с двойным углом

  • sin(2x) = 2sin(x) cos(x) = [2tan x/(1+tan 2 x)]
  • cos(2x) = cos 2 (x)–sin 2 (x) = [(1-tan 2 x)/(1+tan 2 x)]
  • cos(2x) = 2cos 2 (x)−1 = 1–2sin 2 (x)
  • тангенс (2x) = [2tan(x)]/ [1−тангенс 2 (x)]
  • раскладушка(2x) = [раскладушка 2 (x) — 1]/[2раскладушка(x)]
  • сек (2x) = сек 2 x/(2-сек 2 x)
  • cosec (2x) = (sec x. косек х)/2

Трёхугольные удостоверения

Идентификаторы продуктов

  • 2sinx⋅cosy=sin(x+y)+sin(x−y)
  • 2cosx⋅cosy=cos(x+y)+cos(x−y)
  • 2sinx⋅siny=cos(x−y)−cos(x+y)

Сумма тождеств

  • sinx+siny=2sin((x+y)/2) . cos((х-у)/2)
  • sinx-siny=2cos((x+y)/2) . грех((х-у)/2)
  • cosx+cosy=2cos((x+y)/2) . cos((х-у)/2)
  • cosx-cosy=-2sin((x+y)/2 .грех((х-у)/2)

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции — это обратные соотношения основных тригонометрических соотношений. Здесь базовую тригонометрическую функцию Sin θ = x можно изменить на Sin -1 x = θ. Здесь x может иметь значения в целых числах, десятичных дробях, дробях или показателях степени. Для θ = 30° имеем θ = Sin -1 (1/2). Все тригонометрические формулы могут быть преобразованы в формулы обратной тригонометрической функции.

Произвольные значения: Формула обратной тригонометрической пропорции для произвольных значений применима ко всем шести тригонометрическим функциям. Для обратных тригонометрических функций синуса, тангенса, косеканса отрицательные значения переводятся как отрицательные значения функции. А для функций косеканса, секанса, котангенса минусы домена переводятся как вычитание функции из значения π.

  • Sin -1 (-x) = -Sin -1 x
  • Желто-коричневый -1 (-x) = — Желто-коричневый -1 x
  • Cosec -1 (-x) = -Cosec -1 x
  • Cos -1 (-x) = π — Cos -1 x
  • Секунда -1 (-x) = π — Секунда -1 x
  • Детская кроватка -1 (-x) = π — Детская кроватка -1 x

Обратные тригонометрические функции обратных и дополнительных функций аналогичны основным тригонометрическим функциям.Взаимоотношения основных тригонометрических функций, синуса-косеканса, косеканса, тангенса-котангенса, можно интерпретировать для обратных тригонометрических функций. Также дополнительные функции, так как косинус, тангенс-котангенс и секанс-косеканс, можно интерпретировать как:

Обратные функции: Обратная тригонометрическая формула арксинуса, арккосинуса и арктангенса также может быть выражена в следующих формах.

  • Sin -1 x = Cosec -1 1/x
  • Cos -1 x = Секунда -1 1/x
  • Желто-коричневый -1 x = Детская кроватка -1 1/x

Дополнительные функции: Дополнительные функции синуса-косинуса, тангенса-котангенса, секанса-косеканса дают в сумме π/2.

  • Sin -1 x + Cos -1 x = π/2
  • Желто-коричневый -1 x + Детская кроватка -1 x = π/2
  • сек -1 х + косек -1 х = π/2

Производные тригонометрических функций

Дифференцирование тригонометрических функций дает наклон касательной к кривой. Дифференцирование Sinx есть Cosx, и здесь, применяя значение x в градусах для Cosx, мы можем получить наклон касательной кривой Sinx в конкретной точке.Формулы дифференцирования тригонометрических функций полезны для нахождения уравнения касательной, нормали, для нахождения погрешностей в вычислениях.

  • д/дх. Синкс = Коскс
  • д/дх. Cosx = -Sinx
  • д/дх. Tanx = Секунда 2 x
  • д/дх. Cotx = -Cosec 2 x
  • d/dx.Secx = Secx.Tanx
  • д/дх. Cosecx = — Cosecx.Cotx

Интегрирование тригонометрической функции

Интегрирование тригонометрических функций помогает найти площадь под графиком тригонометрической функции.Как правило, площадь под графиком тригонометрической функции может быть рассчитана относительно любой из осевых линий и в пределах определенного предельного значения. Интегрирование тригонометрических функций помогает найти площадь плоских поверхностей неправильной формы.

  • ∫ cosx dx = sinx + C
  • ∫ sinxdx = -cosx + C
  • ∫ сек 2 x dx = tanx + C
  • ∫ cosec 2 x dx = -cotx + C
  • ∫ сек.tanx dx = secx + C
  • ∫ cosecx.cotx dx = -cosecx + C
  • ∫ tanx dx = log|secx| + С
  • ∫ cotx.dx = log|sinx| + С
  • ∫ secx dx = log|secx + tanx| + С
  • ∫ cosecx.dx = log|cosecx — cotx| + С

Похожие темы

Следующие ссылки по теме помогают лучше понять тригонометрические тождества.

Часто задаваемые вопросы по тригонометрическим функциям

Что такое шесть тригонометрических функций?

Тригонометрические функции являются результатом отношения сторон прямоугольного треугольника.Для трех сторон треугольника, таких как гипотенуза, основание, высота, и для угла между гипотенузой и основанием, равным θ, значение шести тригонометрических отношений следующее.

  • Sinθ = Высота/Гипотенуза
  • Cosθ = Основание/Гипотенуза
  • Tanθ = высота/база
  • Cotθ = база/высота
  • секθ = гипотенуза/основание
  • Cosecθ = гипотенуза/высота

Как найти тригонометрические функции?

Тригонометрические функции — это отношение сторон прямоугольного треугольника.Далее также применим правило Пифагора Гипотенуза 2 = Высота 2 + Основание 2 . Кроме того, тригонометрические функции имеют разные значения для разных значений угла между гипотенузой и основанием прямоугольного треугольника.

Что такое область определения и область значений тригонометрических функций?

Область определения тригонометрической функции — это значение θ в Sinθ, а диапазон — конечное числовое значение Sinθ. Это понятие можно аналогичным образом применить ко всем другим тригонометрическим функциям.Далее значениями домена могут быть любые угловые значения, но здесь мы имеем главные значения углов как 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. И диапазоном являются самые высокие и самые низкие значения, которые получены. Это [-1, 1] для sinθ, cosθ и (-∞, +∞) для tanθ, cotθ.

Что получится в результате умножения шести тригонометрических функций?

Результат умножения шести тригонометрических функций следующий. Sinθ.Cosθ.Tanθ.Cotθ.Secθ.Cosecθ = Sinθ.Cosθ.Sinθ/Cosθ.Cosθ/Sinθ.1/Cosθ.1/Sinθ = 1,

Какое общее решение тригонометрической функции Sinx?

Общее решение Sinx равно nπ + (-1) n x. Это представляет все более высокие значения угла Sinx. Для x = π/3 мы имеем более высокие значения x как 2π/3, 7π3, а общее решение x равно nπ +(-1) n π/3.

Каково общее решение тригонометрической функции Cosx?

Общее решение Cosx равно 2nπ + x. Это общее решение представляет все более высокие значения угла Cosx.Для x = π/4 высшие значения x равны 7π/4, 9π/4, а общее решение x равно 2nπ + π/4.

Каково общее решение триггерной функции Tanx?

Общее решение Tanx равно nπ + x. Общее решение представляет собой все более высокие значения углов Tanx. При x = π/6 более высокие значения x равны 7π/6, 13π/6, а общее решение x равно nπ + π/6.

Как дифференцировать тригонометрические функции?

Дифференцирование тригонометрической функции приводит к наклону касательной к кривой тригонометрической функции.Дифференцирование sinx приводит к cosx, который путем замены значения x в градусах дает значение наклона касательной к кривой sinx. Дифференциация рассчитывается с использованием первого принципа производных. Далее, у нас есть дифференцирование шести тригонометрических функций следующим образом.

  • д/дх. Синкс = Коскс
  • д/дх. Cosx = -Sinx
  • д/дх. Tanx = Секунда 2 x
  • д/дх. Cotx = -Cosec 2 x
  • д/дх.Secx = Secx.Tanx
  • д/дх. Cosecx = — Cosecx.Cotx

Каковы применения тригонометрических функций?

Тригонометрические функции имеют множество приложений в исчислении алгебры координатной геометрии. Наклон линии, нормальная форма уравнения лжи, параметрические координаты параболы, эллипса, гиперболы вычисляются и представляются с помощью тригонометрических функций. Тригонометрические функции можно использовать для нахождения высоты дерева при заданном расстоянии дерева от точки наблюдения.Кроме того, тригонометрические функции широко используются в астрономии для определения расстояний до звезд и небесных тел с помощью заданного значения угла.

Тригонометрические функции: определение и примеры — видео и расшифровка урока

Примеры из жизни

Эти тригонометрические функции имеют практическое применение в геодезии, строительстве, инженерии и даже медицине. Вот один из практических способов использования этих функций для решения проблемы:

Угол подъема самолета 23 градуса, высота 2500 метров.Как далеко это?

Мы пытаемся решить этот прямоугольный треугольник для гипотенузы x. Поскольку известная нам длина стороны противоположна известному углу, мы можем использовать функцию синуса.

Sin(23) = 2500 м / x

x = 6398,3 метра Полученная информация поможет вам определить, какую функцию использовать.

Пример:

Решите для b, если вы знаете, что c равно 2,5 км, а B равно 15,7 градуса.

Поскольку мы знаем измерения угла, противоположного стороне, которую мы пытаемся найти, и гипотенузу, мы можем использовать функции синуса или косеканса. Чаще всего при решении этих задач используются функции синуса, косинуса и тангенса, поскольку их проще вычислить с помощью калькулятора. Итак, мы будем использовать функцию синуса для этой задачи.

SIN (15.7) = B / 2.5 км

0.271 = B / 2.5 км

км

км

Попробуйте один:

Решите треугольник ABC, учитывая, что угол A равен 35 градусам, а c равен 15 футам.

Мы мало что знаем об этом треугольнике, но поскольку это прямоугольный треугольник, и мы знаем как минимум две другие стороны или углы, мы можем использовать тригонометрические функции для решения остальных.Проще всего начать с поиска угла 90 685 B. 90 686 Поскольку сумма углов всех треугольников равна 180 градусам, чтобы найти угол 90 685 B, просто вычтите 90 686.

180 — 90 — 35 = B

B = 55 градусов

Тогда мы можем использовать синус и косинус, чтобы найти стороны a и b. Используя угол A, и гипотенузу, уравнение, которое нужно решить для стороны a :

Sin(35 градусов) = a / 15 футов

a = 8.6 футов

Уравнение, чтобы решить на сторону B IS:

COS (35 градусов) = B /15 футов

B = 12,3 фута

Урок Урок

Шесть основных тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс и котангенс. Они полезны для определения высоты и расстояния и имеют практическое применение во многих областях, включая архитектуру, геодезию и инженерию.

Результаты обучения

Как только вы повторите урок, примените свои знания, чтобы:

  • Сформулировать шесть тригонометрических функций
  • Назовите стороны треугольника
  • Распознать отношения между сторонами треугольника и тригонометрическими функциями
  • Используйте тригонометрические функции для решения задач

Тригонометрические функции – объяснение и примеры

Тригонометрические функции определяют связь между катетами и соответствующими углами прямоугольного треугольника .Существует шесть основных тригонометрических функций — синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс. Меры углов являются значениями аргументов тригонометрических функций. Возвращаемые значения этих тригонометрических функций являются действительными числами.

Тригонометрические функции можно определить, определив отношения между парами сторон прямоугольного треугольника. Тригонометрические функции используются для определения неизвестной стороны или угла прямоугольного треугольника.

Ожидается, что после изучения этого урока мы изучим концепции, связанные с этими вопросами, и будем готовы давать точные, конкретные и последовательные ответы на эти вопросы.

  • Что такое тригонометрические функции?
  • Как определить тригонометрические отношения гипотенузы, прилежащей и противоположной сторон прямоугольного треугольника?
  • Как мы можем решать актуальные задачи, используя тригонометрические функции?

Цель этого урока — прояснить любую путаницу, которая может у вас возникнуть в отношении понятий, связанных с тригонометрическими функциями.

Что такое тригонометрия?

По-гречески «тригонон» (означает треугольник) и «метрон» (означает мера). Тригонометрия — это просто изучение треугольников — меры длин и соответствующих углов. Вот и все!

Тригонометрия — одно из самых сложных понятий в математике, но на самом деле оно легкое и интересное.

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке $2.1$. Пусть $a$ — длина катета, противолежащего углу $A$. Аналогично, пусть $b$ и $c$ — длины катетов, противоположных углам $B$ и $C$ соответственно.

Внимательно посмотрите на треугольник.Каковы возможные меры этого треугольника?

Мы можем определить:

Углы: $∠A$, $∠B$ и $∠C$

Или

Длины сторон: $a$, $b$ и $ c$

Они образуют набор из шести параметров — трех сторон и трех углов — с которыми мы обычно имеем дело в тригонометрии .

Дано несколько и с помощью тригонометрии нам нужно определить неизвестные. Это даже не сложно. Это не очень сложно.Это легко, поскольку тригонометрия обычно имеет дело только с одним типом треугольника — прямоугольным. Вот почему прямоугольный треугольник считается одной из самых значимых фигур в математике. И хорошая новость в том, что вы уже знакомы с ним.

Давайте посмотрим на прямоугольный треугольник с углом $\theta$, как показано на рисунке $2.2$. Крошечный квадрат с одним из углов показывает, что это прямой угол.

Это треугольник, с которым мы будем часто иметь дело, чтобы охватить большинство понятий тригонометрии.

Что такое тригонометрические функции?

В тригонометрии мы обычно имеем дело с несколькими тригонометрическими функциями, но очень немногие понимают, что такое функция. Это просто. Функция подобна коробке с двумя открытыми концами, как показано на рис. 2-3. Он получает ввод; какой-то процесс происходит внутри, и он возвращает результат, основанный на процессе, который происходит внутри. Все зависит от того, что происходит внутри.

Давайте рассмотрим это как нашу функциональную машину, и процесс внутри нее состоит в том, что он добавляет каждый вход к $7$ и генерирует выход. Предположим, что эта машина получает на вход 3$. Он добавит $3$ к $7$ и вернет выход $10$.

Таким образом, функция будет иметь вид нашей функциональной машины будет $10$.

В тригонометрии этим функциям даются разные имена, которые мы обсудим здесь. В тригонометрии мы обычно — и часто — имеем дело с тремя основными функциями: синусом, косинусом и тангенсом.Эти имена могут поначалу звучать пугающе, но поверьте мне, вы быстро к ним привыкнете.

Давайте рассмотрим эту коробочную машину как синусоидальную функцию, как показано на рис. 2-4. Допустим, он получает случайное значение $\theta$. Он выполняет какой-то процесс внутри, чтобы вернуть какое-то значение.

Какое может быть значение? Какой может быть процесс? Это полностью зависит от треугольника.

На рис. 2-5 показан прямоугольный треугольник с гипотенузой, смежными и противоположными сторонами относительно исходного угла.

Глядя на диаграмму, становится ясно, что:

  • смежная   сторона  является рядом с опорным углом $\theta$.
  • противоположная сторона лежит ровно   напротив опорного угла $\theta$ .
  • Гипотенуза  — самая длинная сторона — прямоугольного треугольника против прямого угла .

Теперь, используя рис. 2-5, мы можем легко определить синусоидальную функцию .

Синус угла $\theta$ записывается как $\sin \theta$.

Помните, что $\sin\theta$ равно обратному делению на гипотенузу.

Таким образом, формула функции синуса будет:

А как насчет функции косинуса ?

Косинус угла $\theta$ записывается как $\cos \theta$.

Помните, что $\cos\theta$ равно отношению длины прилежащей стороны к $\theta$ к длине гипотенузы.

Таким образом, формула функции косинуса будет:

Следующей очень важной функцией является тангенсная функция .

Тангенс угла $\theta$ записывается как $\tan \theta$.

Помните, что $\tan\theta$ равно отношению длины стороны, противоположной углу $\theta$, к длине стороны, прилегающей к $\theta$.

Таким образом, формула тангенса функции будет:

Таким образом, полученные нами соотношения известны как синус, косинус и тангенс и называются тригонометрическими функциями .

Как запомнить формулы основных тригонометрических функций?

Чтобы запомнить формулы тригонометрических функций, достаточно запомнить одно кодовое слово:

SOH – CAH – TOA

Проверьте, как легко это получается.

SOH

ДСВЗ

ТОА

синусоида

косинусного

Касательная

Напротив от гипотенузы

$ {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ mathrm {adjacent}} {\ mathrm {гипотенуза}}}} $

$ {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac $

Обратные тригонометрические функции

онометрические функции — обратные тригонометрические функции — применив немного алгебры.

Косеканс угла $\theta$ записывается как $\csc \theta$.

Помните, что $\csc \theta$ является обратной величиной $\sin \theta$.

$ {\ displaystyle \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}} $

As

$ {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ mathrm {напротив}} {\mathrm {гипотенуза}}}}$

Таким образом, формула функции косеканса будет:

\mathrm {напротив} }}}$

Аналогично,

Сеанс угла $\theta$ записывается как $\sec \theta$.

$\sec\theta$ является обратной величиной $\cos\theta$.

$ {\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}} $

As

$ {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ mathrm {adjacent}} {\mathrm {гипотенуза}}}}$

Таким образом, формула функции секущей будет выглядеть так:

\mathrm {соседний} }}}$

Аналогично,

Котангенс угла $\theta$ записывается как $\cot \theta$.

$\cot \theta$ является обратной величиной $\tan \theta$.

$ {\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}}} $

As

$ {\ displaystyle \ tan A = {\ frac {\ mathrm {напротив}} }{ \mathrm {adjacent} }}}$

Таким образом, формула котангенса функции будет следующей: mathrm {opposite} }}}$

Таким образом, последние сгенерированные нами соотношения известны как косеканс, секанс и тангенс, а также называются (обратными) тригонометрическими функциями .

Краткое изложение результатов в таблице ниже:

Синус-функция $

Главная тригонометрические функции

1

Другие тригонометрические функции

функция косеканса

$ {\ displaystyle $

Функция косинуса

= {\ displaystyle \ cos frac {\ mathrm {смежный} {\ mathrm {гипотенуза}}}} $

Функция секущей

$ {\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frachy \ sec \ theta = {\ frachy {\ mathrm } }{\mathrm {смежный} }}}$

9009 1

касательная функция 9082

$ {\ displayStyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {напротив}} {\ mathrm {соседний}}}}} $

2 ♦ Функция котангенса

$ {\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ mathrm {adjacent} {\ mathrm {opposite}}}} $

Каждая из этих сторон будет иметь длину. Таким образом, эти тригонометрические функции будут возвращать числовое значение.

Пример 1

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами длины $12$ и $5$ и гипотенузой длины $13$. Пусть $\theta$ — угол, противоположный стороне длины $5$, как показано на рисунке ниже. Что такое:

  1. Sine $ \ theta $
  2. Cosine $ \ theta $
  3. $ \ theta $
  4. tangent $ \ theta $

Раствор:

Часть A) Определение $ \ SIN \ Theta $

Глядя на диаграмму, видно, что сторона длины $5$ — это противоположная сторона , которая лежит точно   напротив исходного угла $\theta$ , , а сторона длины $13$ — это гипотенуза .Таким образом,

Против = $5$

Гипотенуза = $13$

Мы знаем, что формула синуса равна

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite}} {\mathrm {гипотенуза} }}}$

Таким образом,

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {5}{13}}}$

Диаграмма $\sin\theta$ также показано ниже.

Часть б) Определение $\cos \theta$

Глядя на диаграмму, видно, что сторона длины $12$ находится прямо рядом с исходным углом $\theta$ , и стороной длины $13%%EDITORCONTENT%%nbsp;является гипотенузой .Таким образом,

Смежные = $12$

Гипотенуза = $13$

Мы знаем, что формула функции косинуса: }{\mathrm {гипотенуза} }}}$

Таким образом,

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {12}{13}}}$

Диаграмма $\cos\theta$ также показано ниже.

Часть C) Определение $ \ Tan \ Theta $

Глядя на диаграмму, понятно, что:

напротив = $ 5 $

соседний = $ 1202

Мы знаем, что формула функции тангенса: \theta ={\frac {5}{12}}}$

Диаграмма $\tan \theta$ также показана ниже.

Пример 2

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами длины $4$ и $3$ и гипотенузой длины $5$. Пусть $\theta$ — угол, противоположный стороне длины $3$, как показано на рисунке ниже. Что такое:

  1. $\csc \theta$
  2. $\sec \theta$
  3. $\cot \theta$

Решение: \cta4

5

Часть 900 $

Глядя на диаграмму видно, что сторона длины $3$ это противоположная сторона которая лежит точно напротив опорного угла $\theta$ , и стороны длины $5%% EDITORCONTENT%%nbsp;является гипотенузой .Таким образом,

Противоположная = $3$

Гипотенуза = $5$

Мы знаем, что формула функции косеканса равна

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {гипотенуза}} {\mathrm {напротив} }}}$

Таким образом,

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {5}{3}}}$

Часть б) Определение $\сек \theta $

Глядя на диаграмму, мы можем определить, что сторона длины $4$ равна сразу после от исходного угла $\theta$. Таким образом,

Смежные = $4$

Гипотенуза = $5$

Мы знаем, что формула секущей функции равна

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm} }{\mathrm {соседний} }}}$

Таким образом,

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {5}{4}}}$

Часть c) Определение $\cot \theta$

Глядя на диаграмму , мы можем убедиться, что:

Смежные = $4$

Противоположные = $3$

Мы знаем, что формула функции котангенса 2 {\ 2 $ 2 2 0 9 0 900 900 8 900 displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {\ mathrm {adjacent} }{\ mathrm {opposite}}}} $

Таким образом,

$ {\ displaystyle \ cot \ theta = {\ frac {4} {3 }}}$

Пример 3

Дан прямоугольный треугольник со сторонами длины $11$ и $7$.Какой вариант представляет собой тригонометрическое отношение ${\ frac {7} {11}} $?

       a) $\sin \theta$

       b) $\cos \theta$

       c) $\tan \theta$

       d) $\cot \theta$

90 диаграмма Ясно, что сторона длины $7$ — это противоположная сторона , которая лежит точно   против опорного угла $\theta$ , и сторона длины $11%%EDITORCONTENT%%nbsp;прямая к эталонному углу. Таким образом,

Противоположный = $7$

Смежный = $11$

Мы знаем, что формула функции тангенса: }{\mathrm {соседний} }}}$

Таким образом,

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {7}{11}}}$

Следовательно, вариант c) является верным выбором .

3.1: Основные тригонометрические тождества — Mathematics LibreTexts

На данный момент мы знаем несколько соотношений между тригонометрическими функциями.Например, мы знаем взаимные отношения:

  1. \(\csc\;\theta ~=~ \dfrac{1}{\sin\;\theta} \qquad \) когда \(\sin\;\theta \ne 0\)
  2. \(\sec\;\theta ~=~ \dfrac{1}{\cos\;\theta} \qquad \) когда \(\cos\;\theta \ne 0\)
  3. \(\cot\;\theta ~=~ \dfrac{1}{\tan\;\theta} \qquad \), когда определено \(\tan\;\theta \), а не \(0\)
  4. \(\sin\;\theta ~=~ \dfrac{1}{\csc\;\theta} \qquad \), когда определено \(\csc\;\theta \), а не \(0\)
  5. \(\cos\;\theta ~=~ \dfrac{1}{\sec\;\theta} \qquad \), когда определено \(\sec\;\theta \), а не \(0\)
  6. \(\tan\;\theta ~=~ \dfrac{1}{\cot\;\theta} \qquad \), когда определено \(\cot\;\theta \), а не \(0\)

Обратите внимание, что каждое из этих уравнений верно для всех углов \(\theta \), для которых определены обе части уравнения. Такие уравнения называются тождествами , и в этом разделе мы обсудим несколько тригонометрических тождеств , т. е. тождеств с тригонометрическими функциями. Эти тождества часто используются для упрощения сложных выражений или уравнений. Например, одним из наиболее полезных тригонометрических тождеств является следующее:

.

\[ \tan\;\theta ~=~ \frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta} \qquad \text{когда} \cos\;\theta \ne 0 \label{3.1 }\]

Чтобы доказать это тождество, выберите точку \((x,y) \) на конечной стороне \(\theta \) на расстоянии \(r >0 \) от начала координат и предположим, что \(\cos\ ;\тета\ne 0 \).Тогда \(x \ne 0 \) (поскольку \(\cos\;\theta = \frac{x}{r}\)), поэтому по определению

\[\nonumber
\frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta} ~=~ \dfrac{~\dfrac{y}{r}~}{~\dfrac{x}{r }~} ~=~ \frac{y}{x} ~=~
\tan\;\theta ~.
\]

Обратите внимание, как мы доказывали тождество, расширяя одну из его сторон (\(\frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta}\)) до тех пор, пока не получили выражение, равное другой стороне ( \(\загар\;\тета\)). 2 \;\theta \label{3.2 \;\тета ~+~ 4
\end{align*}\]

Пример 3.3

Докажите, что \(\;\tan \;\theta ~+~ \cot \;\theta ~=~ \sec \;\theta ~ \csc \;\theta\; \).

Раствор

Разложим левую часть и покажем, что она равна правой части:

\[\nonumber \begin{alignat*}{3}
\tan \;\theta + \cot \;\theta ~ &= ~ \frac{\sin\;\theta}{\cos\;\theta} ~+~
\frac{\cos\;\theta}{\sin\;\theta} &{} \qquad &\text{(by \ref{3.2 \;\theta}{\cos\;\theta ~ \sin\;\theta} &{} \qquad
&\text{(после получения общего знаменателя)}\\ \nonumber
&= ~ \frac{ 1}{\cos\;\theta ~ \sin\;\theta} &{} \qquad &\text{(by \ref{3.3})}\\ \nonumber
&= ~ \frac{1}{\ cos\;\theta} ~\cdot~ \frac{1}{\sin\;\theta}\\ \nonumber
&= ~ \sec \;\theta ~ \csc \;\theta
\end{alignat* }\]

Как в приведенном выше примере мы узнали, что нужно расширять левую сторону, а не правую? В целом, хотя этот метод не всегда работает, более сложную сторону идентичности, вероятно, будет легче расширить. 2 \;\theta}{\sec\;\theta} ~=~ \csc\;\theta ~ \cot\;\theta\; \ ).2 \;\theta}{\sec\;\theta}
&{} \qquad &\text{(by \ref{3.11})}\\ \nonumber
&= ~ \dfrac{\csc\;\theta ~\cdot~ \dfrac{1}{\sin\;\theta}}{\dfrac{1}{\cos\;\theta}} &{}
&{}\\[2mm]\nonumber
&= ~ \csc\;\theta ~\cdot~ \frac{\cos\;\theta}{\sin\;\theta} &{} &{}\\ \nonumber
&= ~ \csc \;\theta ~ \cot \;\theta &{} \qquad &\text{(by \ref{3.2})}
\end{alignat*}\]

При попытке доказать тождество, где хотя бы одна сторона является отношением выражений, перекрестное умножение может быть эффективным методом:

\[\nonumber
\frac{a}{b} ~=~ \frac{c}{d} \quad\text{если и только если}\quad ad ~=~ bc
\]

Пример 3.2 \;\тета = 1 \). Это распространенный метод исключения тригонометрических функций из систем уравнений.

Авторы и авторство

Производные тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (sin x ), косинус (cos x ), тангенс (tan x ), котангенс (cot x ), секанс (sec x ). 2}\sin x\]

Пример 1.\prime } = — 2\cos \sin x \cdot \sin \sin x \cdot \cos x.\]

Последнее выражение можно упростить формулой двойного угла:

\[2\cos \sin x \cdot \sin \sin x = \sin \left( {2\sin x} \right).\]

Следовательно, производная равна

\[y’\left( x \right) = — \sin \left( {2\sin x} \right)\cos x.\]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

Тригонометрические функции

То тригонометрические отношения также можно рассматривать как функции переменной, являющейся мерой угла.

Эта угловая мера может быть либо задана в градусов или радианы . Здесь мы будем использовать радианы. Так как любой угол с мерой больше 2 π радиан или менее 0 эквивалентен некоторому углу с мерой 0 ≤ θ < 2 π , все тригонометрические функции периодический .

График синус функция выглядит так:

Обратите внимание, что домен функции у знак равно грех ( Икс ) ) — все действительные числа (синус определен для любой угловой меры), спектр является − 1 ≤ у ≤ 1 .

График косинус функция выглядит так:

Область определения функции у знак равно потому что ( Икс ) все действительные числа (косинус определен для любой меры угла), диапазон − 1 ≤ у ≤ 1 .

График касательная функция выглядит так:

Область определения функции у знак равно загар ( Икс ) ) все действительные числа Кроме значения, где потому что ( Икс ) равно 0 , то есть значения π 2 + π н для всех целых чисел н . Диапазон функции тангенса — все действительные числа.

График секущей функции выглядит так:

Область определения функции у знак равно сек ( Икс ) знак равно 1 потому что ( Икс ) снова все действительные числа, кроме значений, где потому что ( Икс ) равно 0 , то есть значения π 2 + π н для всех целых чисел н .Диапазон функции у ≤ − 1 или у ≥ 1 .

График функции косеканса выглядит следующим образом:

Область определения функции у знак равно csc ( Икс ) знак равно 1 грех ( Икс ) все действительные числа, кроме значений, где грех ( Икс ) равно 0 , то есть значения π н для всех целых чисел н . Диапазон функции у ≤ − 1 или у ≥ 1 .

График функции котангенса выглядит так:

Область определения функции у знак равно детская кроватка ( Икс ) знак равно потому что ( Икс ) грех ( Икс ) все действительные числа, кроме значений, где грех ( Икс ) равно 0 , то есть значения π н для всех целых чисел н . Диапазон функции — все действительные числа.

Примеры графических тригонометрических функций А , В , С и D . Хватай свою шапку ловца оленей и увеличительное стекло, и давайте разгадаем эту тайну.

Средняя линия, D , является переменной, которую легче всего отследить. Максимальное значение функции находится при y = 0, а минимальное значение при y = -4. Посередине между ними находится срединная линия (воздух), и она находится на y = -2. Это означает, что D = -2.

Далее следует A для яблока, адамантия и амплитуды. Последнее показывает, насколько далеко от средней линии находятся максимальное и минимальное значения. Теперь мы знаем, что они на расстоянии 2, поэтому A = 2.

Ого, мы на полпути! Ого, живу молитвой. Возьми меня за руку, и мы сделаем это, клянусь.

Период функции зависит только от B , в то время как величина горизонтального перемещения зависит как от B , так и от C , поэтому далее мы рассмотрим период. Это длина полного цикла кривой. Глядя на нашу кривую, мы видим, что требуется 2π, чтобы вернуться к началу кривой, поэтому наш период равен 2π. Если период равен 2π/ B , B должен быть равен 1.

Переходя к B , мы знаем, что период нашей функции равен , поэтому, если мы знаем период, мы знаем B . Глядя на нашу кривую, мы видим, что от одного пика до другого требуется 2π, поэтому наш период равен 2π. Если период равен , а он есть, B должен быть равен 1.

Теперь, когда мы смотрим на горизонтальное положение графика, оно очень похоже на косинус. Максимум на оси y находится при x = 0, в то время как базовая функция синуса имеет максимум при .Это показывает горизонтальное смещение  влево. Это означает, что (количество горизонтального перемещения) равно . Давайте найдем C :

Мы отследили все значения. A = 2, B = 1, C =  и D = -2, и мы можем подставить их в уравнение ) + D чтобы получить:

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск