Тригонометрические уравнения примеры решения: Примеры решения задач тригонометрических уравнений с ответами

Содержание

Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением

Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos и tg x

Справочные сведения

1. Решение тригонометрических уравнений сводится в конечном итоге к решению простейших тригонометрических уравнений, т. е. уравнений вида

а) Если то все корни уравнения

определяются формулой

а все корни уравнения

— формулой

где ( принимает любые целые значения).

Если , то уравнения (1) и (3) не имеют корней.

б) Уравнение

при любом а имеет корни, определяемые формулой

в) Формулы нахождения корней некоторых часто встречающихся простейших тригонометрических уравнений:

Рассмотрим уравнение вида

Полагая , перепишем уравнение (7) в виде

Пусть тогда уравнение (8) не имеет действительных корней и поэтому уравнение (7) также не имеет корней.

Пусть тогда уравнение (8) имеет корни

а уравнение (7) равносильно совокупности уравнений

Уравнение (7) имеет корни тогда и только тогда, когда и по крайней мере одно из чисел по абсолютной величине не превосходит единицы, причем:

а) если то уравнение (7) имеет две серии корней

б) если или то уравнение (7) имеет одну серию корней, определяемую первой или второй из формул (10) соответственно.

К квадратному уравнению можно свести уравнение

если заменить на Аналогично, уравнения вида

также приводятся к квадратным уравнениям. Рассмотрим уравнение вида

В каждом слагаемом левой части уравнения (11) сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и а число — показателем однородности.

Рассмотрим однородные уравнения с показателями 1 и 2, т. е. уравнения вида

предполагая, что в уравнении (12) хотя бы одно из чисел , не равно нулю, а в уравнении (13) хотя бы одно из чисел, , отлично от нуля.

Пусть в уравнении (12) ; тогда значения , при которых , не удовлетворяют уравнению (12), так как если , то Поэтому в случае , разделив обе части уравнения (12) на , получим равносильное уравнение

Аналогично, если, то разделив обе части уравнения (13) на , получим равносильное уравнение

Примеры с решениями

Пример №107.

Решить уравнение

Решение:

По формуле (4) находим где Отсюда следует, что

Пример №108.

Решить уравнение

Решение:

Согласно формуле (2) получаем

откуда Так как правая часть этого равенства должна быть неотрицательной, то может принимать только значения Отсюда находим

Пример №109.

Решить уравнение

Решение:

Применяя формулу (6), находим

откуда

Пример №110.

Решить уравнение

Решение:

При получим квадратное уравнение имеющее корни Так как то исходное уравнение равносильно уравнению откуда находим

Ответ.

Пример №111.

Решить уравнение

Решение:

Пусть тогда и уравнение примет вид

или

откуда находим Если то а если то

Ответ.

Пример №112.

Решить уравнение

Решение:

Полагая получаем уравнение имеющее корни Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений откуда находим две серии корней:

Пример №113.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно каждому из уравнений откуда

Пример №114.

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на , получим равносильное уравнение имеющее корни , Исходное уравнение, равносильное совокупности уравнений и имеет две серии корней:

Замечание. К уравнению вида (13) сводится уравнение

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

Пример №115.

Решить уравнение

Решение:

Это уравнение равносильно каждому из следующих уравнений :

Значит, исходное уравнение не имеет корней.

Пример №116.

Решить уравнение

Решение:

Полагая преобразуем уравнение к виду

Разложив левую часть полученного уравнения на множители, приходим к уравнению Если , то , откуда Если то откуда

Ответ.

Пример №117.

Решить уравнение

Решение:

Полагая и используя формулу преобразуем уравнение к виду или откуда Следовательно, откуда

Ответ.

Пример №118.

Решить уравнение

Решение:

Полагая и используя формулу получаем уравнение имеющее корни Следовательно, откуда

Ответ.

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Решение тригонометрического уравнения. С1. Пример 14

 

ПОДГОТОВКА К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ.

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

ЗАДАНИЕ С1.

ПРИМЕР 14.

 

(в данном подразделе рассматриваем примеры решения тригонометрических уравнений — задание уровня С1 на ЕГЭ по математике; подробный ход решения, приведенный в примерах, позволяет наглядно и доступно представить алгоритм действий применяемый для успешного выполнения задания С1 при сдаче ЕГЭ; в этом примере описано решение тригонометрического уравнения, включенного в некоторые тренировочные тесты ЕГЭ, и максимально сходного с уравнениями, включаемыми в реальные варианты экзамена; тип приведенного здесь тригонометрического уравнения, соответствует типам уравнений включенных в демонстрационные варианты ЕГЭ 2011, 2016 и 2017 гг. )

 

Решить уравнение:

 

 

Решение:

 

Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулой приведения:

 

 

Так как угол  – угол 2 четверти, а cos во 2 четверти принимает отрицательные значения, то в ответе появляется « — ». Для угла  название исходной функции «cos» заменяется на «sin».

 

Тогда уравнение принимает вид:

 

 

 

Выполним замену:

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

Выполним замену 

 

 

Решим уравнение через дискриминант:

 

 

 

 

 

Выполним обратную замену:

 

 

 

Теперь отберем корни уравнения из промежутка  .

 

 

 

 

Все примеры решения тригонометрических уравнений >>>

 

< Предыдущая   Следующая >

Примеры решения тригонометрических уравнений — презентация онлайн

Учиться можно только
весело…
Чтобы переваривать
знания, надо поглощать
их с аппетитом.
Анатоль Франс
1844 — 1924

3. Проверочная работа В заданиях 1-6 найдите значения аркфункций в заданиях 7-15 запишите решения простейших тригонометрических

уравнений
№ п/п
Задание
1
arcsin 0
2
arccos (-√3/2)
3
arctg (-1/√3)
4
arcsin (-1/2)
5
arctg 1
6
arccos (-1)
7
sin x = √2/2
8
cos x = 0
9
tg x = -1
10
cos x = -1/2
11
sin x = -1
12
tg x = 2
13
sin 2x = 0
14
2cos 3x — √3 = 0
15
tg x/2 = 1
Ответ

5.

Критерии оценки за каждый правильный ответ – 1 балл
14-15 баллов «5»
12-13 баллов «4»
9-11 баллов «3»
0-8 баллов «2»

6. Примеры тригонометрических уравнений

2sin2x + sin x – 1= 0
sin2x — 3sin x cos x +2cos2 x =0
cos 5x – cos 3x = 0
6cos2x + cos x – 1 = 0
sin x — 2cos x = 0
sin x + √3cos x = 0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
sin 5x – sin x = 0

группы
Уравнения
Критерий отбора
Принцип решения
1
2sin2x + sin x – 1= 0
6cos2x + cos x – 1 = 0
Сводящиеся к
квадратному
Введение новой
переменной
2
sin 5x – sin x = 0
cos 5x – cos 3x = 0
Разность (сумма)
одноименных
функций
Разложение на
множители
3
sin x — 2cos x = 0
sin x + √3cos x = 0
Вида
4
sin2x — 3sin x cos x +2cos2 x =0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
Аsin x + Вcos x = 0
(Однородные 1 степ)
Аsin2x +Вsin xcos x +
+Сcos2x=0
(однородные 2
степени)
?
?

группы
Уравнения
Критерий отбора
Принцип решения
1
2sin2x + sin x – 1= 0
6cos2x + cos x – 1 = 0
Сводящиеся к
квадратному
Введение новой
переменной
2
sin 5x – sin x = 0
cos 5x – cos 3x = 0
Разность (сумма)
одноименных
функций
Разложение на
множители
3
sin x — 2cos x = 0
sin x + √3cos x = 0
Вида
4
sin2x — 3sin x cos x +2cos2 x =0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
Аsin x + Вcos x = 0
(Однородные 1 степ)
Аsin2x +Вsin xcos x +
+Сcos2x=0
(однородные 2
степени)
?
Обе части уравнения
делим на cos2 x,
получаем уравнение
вида
2
Аtg x +Вtg x + +С=0

группы
Уравнения
Критерий отбора
Принцип решения
1
2sin2x + sin x – 1= 0
6cos2x + cos x – 1 = 0
Сводящиеся к
квадратному
Введение новой
переменной
2
sin 5x – sin x = 0
cos 5x – cos 3x = 0
Разность (сумма)
одноименных
функций
Разложение на множители
3
sin x — 2cos x = 0
sin x + √3cos x = 0
Вида
Аsin x + Вcos x = 0
(Однородные 1 степ)
4
sin2x — 3sin x cos x +2cos2 x =0
2sin2x -sin x cos x = cos2x
Аsin2x +Вsin xcos x +
+Сcos2x=0
(однородные 2
степени)
Обе части уравнения
делим на cos x,
получаем уравнение
вида
Аtgx +В=0
Обе части уравнения
делим на cos2 x,
получаем уравнение
вида
Аtg2x +Вtg x + +С=0
+6cosx – 6= 0
2
cos 2x + cos x + sin x cos x = 0
cos x = sin x
2
5sin x

11.

Домашнее задание: п.11,№166(а),170(а,б),173(а),
подобрать уравн. других типов

Методы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс

Тема: «Методы решения тригонометрических уравнений».  

Цели урока:

образовательные:

— сформировать навыки различать виды тригонометрических уравнений;

— углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

воспитательные:

— воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

— формирование умения анализировать поставленную задачу;

развивающие:

— формировать навык проводить анализ ситуации с последующим выбором наиболее рационального выхода из нее.

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

Начнем урок с повторения основного приема решения любого уравнения: сведение его к стандартному виду. Путем преобразований линейные уравнения сводят к виду ах = в, квадратные – к виду ax 2 + bx + c =0. В случае тригонометрических уравнений необходимо свести их к простейшим, вида: sinx = a , cosx = a , tgx = a , которые легко можно решить.

В первую очередь, конечно, для этого необходимо использовать основные тригонометрические формулы, которые представлены на плакате: формулы сложения, формулы двойного угла, понижения кратности уравнения. Мы уже умеем решать такие уравнения. Повторим некоторые из них:

Вместе с тем существуют уравнения, решение которых требует знаний некоторых специальных приемов.

Темой нашего урока является рассмотрение этих приемов и систематизация методов решения тригонометрических уравнений.

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции с последующей заменой переменной.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение однородных уравнений.

4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах, но более подробно остановимся на двух последних, так как два первых мы уже использовали при решении уравнений.

1. Преобразование к квадратному уравнению относительно какой-либо тригонометрической функции.

2. Решение уравнений методом разложения на множители.

3. Решение однородных уравнений.

Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:

соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 ).

При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на cos 2 x для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно – они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.

Запомним это уравнение: при рассмотрении следующего метода – введение вспомогательного аргумента, решим его другим способом.


4. Введение вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уже решенное предыдущим методом уравнение:

Как видим, получается тот же результат.

Рассмотрим еще один пример:

В рассмотренных примерах было, в общем, понятно, на что требуется разделить исходное уравнение, чтобы ввести вспомогательный аргумент. Но может случиться, что не очевидно, какой делитель выбрать. Для этого существует специальная методика, которую мы сейчас и рассмотрим в общем виде. Пусть дано уравнение:

Разделим уравнение на квадратный корень из выражения (3), получим:

asinx + bcosx = c ,

тогда a 2 + b 2 = 1 и, следовательно, a = sinx и b = cosx . Используя формулу косинуса разности, получим простейшее тригонометрическое уравнение:


которое легко решается.

Решим еще одно уравнение:


Сведем уравнение к одному аргументу – 2 x с помощью формул двойного угла и понижения степени:

Аналогично предыдущим уравнениям, используя формулу синуса суммы, получаем:

что тоже легко решается.

Решите самостоятельно, определив предварительно метод решения:

Итогом урока является проверка решения и оценка учащихся.

Домашнее задание: п. 11, конспект, № 164(б, г), 167(б, г), 169(а, б), 174(а, в).

Урок алгебры в 10-м классе. Тема: «Примеры решения тригонометрических уравнений»

Цель урока:

  1. Закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
  2. Сформировать понятие решения тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным.
  3. Развивать умения сравнивать, выявлять закономерности, обобщать.
  4. Воспитывать ответственное отношение к труду.

Оборудование:

  1. Карточки для повторения формул решения простейших тригонометрических уравнений.
  2. Плакат с алгоритмом решения тригонометрических уравнений (большой на доску и каждому на стол).

Литература: Учебник Колмагорова “Алгебра и начала анализа, 10-11 класс”.

Ход урока.

I. Повторение

1. sin x = a, cos x = a, tg x = a

При каких значениях а эти уравнения имеют решения?
[sin x и cos x при /а/ 1 tg x при любом a]

2. Повторить формулы решения простейших тригонометрических уравнений (на карточках):

sin x = а х = (-1)к arc sin a+ к, к z
sin x = 0
sin x = 1
sin x = -1

cos x = a x=± arc cos a + 2 , n z
cos x = 0
cos x = 1
cos x = -1

tg x = a x = arc tg a + n, n z

arc sin (-а) = — arc sin а
arc cos (-а) = — arc cos а
arc tg а (-а) = — arc tg а

II. Проверка домашнего задания.

Игра “Поле чудес”. Правила игры несколько изменены, а название оставлено.

Правила игры.

  • Учитель берет понравившееся ему высказывание или слова из песни, стихотворения, пословицу. По количеству букв в этом высказывании подбирается столько же примеров или задач так, чтобы одинаковым буквам соответствовали одинаковые ответы.
  • Каждому ученику учитель дает карточку с заданиями и ученик сразу начинает решать.
  • На доске записаны буквы, которые встречаются в высказывании, и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам.
  • Ниже записаны числа по порядку (по количеству букв в высказывании).
  • Ученик, выполнявший задание, называет номер своей карточки и букву, под которой записан ответ.
  • Учитель под числом (…) ставит букву (…). И так далее. Ученики стараются быстрее решить, чтобы получить следующую карточку.
  • За правильно решенные 2-3 задания он может получить оценку. Поэтому желательно карточек иметь более чем число.

Ум хорошо, а два лучше
12 3 45 67 8 9 10 11 12 13 14 15 1 6 17

а в д
n z , к z , n z
е л м
, n z , n z , n z
о р у
, n z , n z , n z
x ч ш
, n z , n z , n z

Уравнение:

, n z у
cos x = -1 х = +2 n, n z м
, n z x
, n z o
, n z p
, n z o
, n z ш
, n z o
, n z a
, n z д
, k z в
, n x a
, n z л
, n z у
, n z ч
, n z ш
, n z е

Дополнительные уравнения

, n z
, k z
, n z
, k z
, n z
, n z
, n z
, n z
, n z
, n z
, k z
, n z
, k z
, k z
, n z
, n z

III. Объяснение нового.

1.

  • В предыдущих параграфах были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений: sin x=a, cos x=a, tg x=a
  • К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства из них требуется применение формул преобразований тригонометрических выражений.
  • Сегодня на уроке мы рассмотрим уравнение, сводящиеся к квадратным.

2.

  • На доске записаны уравнения:

а) 3х-8=х+6 (линейное уравнение)
б) х2+2х-15=0 (квадратное уравнение)
в) х4-5х2+4=0 (квадратное уравнение относительно х2).
г) 2 cos2x-cosx-1=0 (квадратное уравнение относительно cosx)

  • Какие из них являются квадратными?
  • Общий вид квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0

,

Корни квадратного уравнения, приведенного, т. е. х2+рх+q=0 можно находить по теореме Виета:

Х12=-р; х1х2=q

  • х4-5х2+4=0 – квадратное уравнение относительно х2. Это уравнение назвали биквадратным. Общий вид ах4+вх2+с=0, где а± 0.
  • Его легко решить методом введения новой переменной, т.е. х2 и уравнение принимает вид: а2-5а+4=0

3. Последнее уравнение тоже квадратное, относительно cosx. Для его решения введем новую переменную. Пусть y=cosx, тогда уравнение можно записать виде: 2-у-1=0. Получили квадратное уравнение.

Д=1+8=9;

Следовательно:

а) cosx=1 б) cosx=

х=2p n, n z , n z

 , n n

Ответ: 2 n, n z; , n z

4. Решим уравнение:

 Надо привести уравнение к одной функции. Для этого заменим cos2 x на 1-sin2x. Получим относительно xinx квадратное уравнение:

Пусть xinx=у, тогда 2+5у-3=0

Получили квадратное уравнение

Д=25+24=49

;

Следовательно:

а) б) xinx=-3 – решение не имеет

, к z

, к z

Ответ: , к z

5.

tgx-2ctgx=-1. Функции разные. Используя тождество tgx? ctgx=1, выразим , заменим ctgx через tgx.

пусть tgx=у, то у2+у-2=0 (дальше, как в предыдущем случае).

6. Для закрепления

4 xin2x- cosx-1=0
Заменим xin2x на 1- cos2x. Получим
4(1- cos2x)- cosx-1=0
4-4 cos2x- cosx-1=0
-4 cos2x- cosx+3=0
4 cos2x+ cosx-3=0

пусть cosx=у, то

2+у-3=0

Д=1-48=49 ;

Следовательно,

а) cosx=-1 б)

х= +2 n, n z , n z

Ответ: +2 n; , n z

7. №164 (в) — cамостоятельно

2 xin2x- xinx-1=0
пусть xinx=у, то
2-у-1=0

Д=1+8=9;

Следовательно,

а) xinx=1 б)

, n z , n z

,к z.

Ответ: , n z

, к z

№ 165(б)

2 xin2x+3 cosx=0

Заменим xin2x на 1- cos2x получим

2(1- cos2x)+3 cosx=0
2-2 cos2x+3 cosx=0
-2 cos2x+3 cosx+2=0, т.е.
2 cos2x-3 cosx-2=0

пусть cosx=у, то
2-3у=0

Д=9+16=25

;

Следовательно,

а) cosx=2 б)

решение не имеет , n z

, n z

, n z

Ответ: , n z

8.

Итог урока

Алгоритм решения тригонометрических уравнений.

  1. Привести уравнение к квадратному, относительно тригонометрических функций, применяя тригонометрические тождества.
  2. Ввести новую переменную.
  3. Записать данное уравнение, используя эту переменную.
  4. Найти корни полученного квадратного уравнения.
  5. Перейти от новой переменной к первоначальной.
  6. Решить простейшие тригонометрические уравнения.
  7. Записать ответ.

Внеклассный урок — Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод введения новой переменной.

Пример 1: Решим уравнение

2 sin2 x + sin x – 1 = 0

Решение.

Вводим новую переменную sin x = y. Тогда мы получаем обычное квадратное уравнение:

2y2 + y – 1 = 0.

Решаем его:

D = b2 – 4ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 1 + 8 = 9

√D = 3

 

         –b + √D         –1 + 3      1
y1 = ————  =  ——— = —
             2a                  4          2

 

         –1 – 3
y2 = ——— = –1
            4

Таким образом:

            1
sin x = —   и   sin x = –1
            2

Поскольку речь идет о синусе, то подставляем эти значения в формулы с арксинусом, вычисляем значения арксинусов и находим значения x:

1) x = (–1)n arcsin a + πk  =  (–1)n arcsin 1/2 + πk  =  (–1)n π/6 + πk

2) x = arcsin а + 2πn  = arcsin (–1) + 2πn = –π/2 + 2πn

Ответ:
x = (–1)n π/6 + πk,  k ∈ Z
x = –π/2 + 2πn,  n ∈ Z

 

Пример 2: Решим уравнение

6 sin2x + 5 cos x – 2 = 0.

Решение:

Мы знаем, что

sin2x + cos2x = 1.

Отсюда выводим значение sin2 x:

sin2x = 1 – cos2x.

Вводим это значение sin2x в наш пример:

6 (1 – cos2x) + 5 cos x – 2 = 0.

Раскрываем скобки:

6 – 6 cos2x + 5 cos x – 2 = 0.

Сводим подобные члены:

4 – 6 cos2x + 5 cos x  = 0.

Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

– 6 cos2x + 5 cos x + 4 = 0.

Введем опять новую переменную y =  cos x и в результате получим квадратное уравнение:

 – 6у2 + 5у + 4 = 0.

Решив его, находим корни:

          1
у= – —
          2

или
          1
у = 1 —
          3

Символом у мы заменили cos. Значит, теперь разберемся с ним.

Рассмотрим вариант

                1
cos x = 1 —
                3

Мы видим, что в этом случае cos x больше 1 (cos x > 1). А значит, это уравнение корней не имеет (значение косинуса должно быть не меньше –1, но не больше 1).

В другом уравнении cos x меньше 1 (cos x < 1). Значит, решаем его.

Сначала находим значение арккосинуса:

               1       2π
arccos – — = ——
               2        3

Осталось найти x:

                                        2π
x = ± arccos x +  2πk = ——  +  2πk,  k ∈ Z
                                         3

2. Метод разложения на множители.

Смысл в том, чтобы, разложив уравнение на множители, прийти к двум и более уравнениям, равным нулю. Затем среди них можно найди решение. То есть задача сводится к решению совокупности уравнений.

Пример: Решим уравнение

2 sin x/2 cos 5x – cos 5x = 0.

Решение.

Находим общий множитель. Это cos 5x. Выносим его за скобки:

cos 5x (2 sin x/2 – 1) = 0.

Уравнение верно, если хотя бы один из множителей равен 0. Значит, приравняем оба множителя к нулю:

cos 5x = 0

2 sin x/2 – 1 = 0.

Находим значение х в первом уравнении.

Так как 5х = π/2 + πn, то:

х = π/10 + πn/5.

Находим значение х во втором уравнении:

sin x/2 = 1/2,

x/2 = (-1)n π/6 + πn,

x = (-1)n π/3 + 2πn.

Ответ:

х = π/10 + πn/5

x = (-1)n π/3 + 2πn,

n ∈ Z.

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения: квадрат тригонометрической функции

п.1. Решение простейших тригонометрических уравнений

Про аркфункции (обратные тригонометрические функции) и их свойства – см. §9-11 данного справочника.
Обобщим результаты решения простейших уравнений, полученные в этих параграфах. k arcsin a+\pi k\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=arcsin a+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin a+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} $$ cosx=a $$ $$ -1\leq a\leq 1 $$ \begin{gather*} x=\pm arccos a+2\pi k \end{gather*} $$ tgx=a $$ $$ a\in\mathbb{R} $$ \begin{gather*} x=arctga+\pi k \end{gather*} $$ ctgx=a $$ $$ a\in\mathbb{R} $$ \begin{gather*} x=arcctga+\pi k\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=arctg\frac1a+\pi k \end{gather*}

Частные случаи, для которых запись результата отличается от общей формулы:

a=0 a=-1 a=1
$$ sinx=a $$ $$ x=\pi k $$ $$ -\frac\pi2+2\pi k $$ $$ \frac\pi2+2\pi k $$
$$ cosx=a $$ $$ x=\frac\pi2+\pi k $$ \begin{gather*} \pi+2\pi k \end{gather*} \begin{gather*} 2\pi k \end{gather*}

Например:

\begin{gather*} sinx=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=(-1)^k arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\pi k=(-1)^k\frac\pi4+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l l} x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. 2\frac{x}{2}-2,5tg\frac{x}{2}+1=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \left(tg\frac{x}{2}+2\right)\left(tg\frac{x}{2}+\frac12\right)=0\\ \left(tg\frac{x}{2}-2\right)\left(tg\frac{x}{2}-\frac12\right)=0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} tg\frac{x}{2}=\pm 2\\ tg\frac{x}{2}=\pm\frac12 \end{array} \right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm arctg2+2\pi k\\ x=\pm 2arctg\frac12+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Таким образом, решая одно и то же уравнение, мы получаем очень разные по виду ответы. Однако, при проверке, все полученные множества решений совпадают.

Внимание!
При решении тригонометрических уравнений разными способами полученные ответы могут значительно отличаться по виду, но при этом они описывают одно и то же множество решений, т.е. являются равносильными.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнение обычным способом и с помощью универсальной подстановки. Сравните полученные ответы и множества решений. 2\frac{3x+\frac\pi3}{2}}=0\Rightarrow tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}=0\Rightarrow\frac{3x+\frac\pi3}{2}=\pi k\Rightarrow\\ \Rightarrow 3x+\frac\pi3=2\pi k=3x=-\frac\pi3+2\pi k\Rightarrow=-\frac\pi9+\frac{2\pi}{3} \end{gather*} При использовании универсальной подстановки потеряна половина корней (период увеличился в 2 раза). Это связано с тем, что мы отбросили еще одно решение: \(tg\frac{3x+\frac\pi3}{2}\rightarrow\infty\) — значение тангенса у асимптот. Действительно, в этом случае дробь стремится к 0, что удовлетворяет уравнению. Получаем: \begin{gather*} \frac{3x+\frac\pi3}{2}=\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pi+2\pi k\Rightarrow 3x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k\Rightarrow x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3} \end{gather*} Таким образом, мы получили два семейства решений: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \end{gather*} Представим последовательности решений в градусах, подставляя возрастающие значения \(k\): \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-20^{\circ}+120^{\circ}k=\left\{. {\circ},…\right\} $$ Получаем, что: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac\pi9+\frac{2\pi k}{3}\\ x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow x=-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3} \end{gather*} Ответы и множества решений после учета значений у асимптот совпадают.
Ответ: \(-\frac\pi9+\frac{\pi k}{3}\)

Вывод: при использовании универсальной подстановки нужно быть аккуратным и помнить о возможности потерять корни. Семейство бесконечных решений для тангенса \(\frac{x}{2}=\frac\pi2+\pi k\), т.е. \(x=\pi+2pi k\) нужно проверять как возможное решение для исходного уравнения отдельно.

Внимание!

При использовании универсальной подстановки можно потерять часть корней исходного тригонометрического уравнения.
Поэтому вместе с универсальной подстановкой проверяется также дополнительное возможное решение для бесконечного тангенса половинного угла: \(x=\pi+2\pi k\). \begin{gather*} f(sin(x), cos(x),…)=0\Leftrightarrow\\ \left[ \begin{array}{l l} f\left(tg\left(\frac{x}{2}\right)\right)=0\\ (?) x=\pi+2\pi k \end{array} \right. 2\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{1+cos\left(2\left(x+\frac\pi4\right)\right)}{2}=\frac12 \Rightarrow cos\left(2x+\frac\pi2\right)=0\Rightarrow\\ \Rightarrow -sin2x=0\Rightarrow sin2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k\Rightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Из чертежа видно, что \begin{gather*} \left[ \begin{array}{l l} -\frac\pi2+\pi k\\ \pi k \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi k}{2} \end{gather*} Оба решения соответствуют 4 базовым точкам на числовой окружности через каждые 90°. Множества решений совпадают. Ответы не совпадают, но являются равнозначными.
Ответ: \(\frac{\pi k}{2}\)
Вывод: формулы понижения степени не расширяют и не урезают множество корней исходного уравнения. Полученные ответы либо совпадают, либо нет, но всегда являются равнозначными.

Решение тригонометрических уравнений, моделирующих реальную ситуацию | Тригонометрия

шага по решению тригонометрических уравнений, моделирующих реальную ситуацию

Шаг 1: Установите заданную тригонометрическую функцию равной заданному постоянному значению.

Шаг 2: Определите границы для независимой переменной (как подсказывает задача).

Шаг 3: Используя оценки, полученные на шаге 2, решите уравнение, полученное на шаге 1, для независимой переменной.

Определения для решения тригонометрических уравнений, моделирующих реальную ситуацию

Тригонометрическое уравнение: Уравнение, состоящее только из тригонометрических функций и констант, является тригонометрическим уравнением.

Модель: Математическая модель представляет собой уравнение (или уравнения, неравенства с ограничениями на переменные), которое используется для описания явления.

Теперь, когда мы научились решать тригонометрические уравнения, моделирующие реальную ситуацию, давайте отточим наши навыки, пройдя два практических примера!

Пример задачи 1. Решение тригонометрических уравнений, моделирующих реальную ситуацию

Развлекательная часть только что создала совершенно новые американские горки. Аттракцион имеет такую ​​особенность, что во время катания ваш рост во время

{экв.} т {/eq} определяется как {eq}p(t) = 20+10\sin\left(\frac{\pi(t-1)}{5}\right) {/экв}.

Предположим, что поездка начинается в момент времени {eq}t = 0 \text { секунд} {/экв}. В какое время ваш рост будет {eq}30 \text{ футов} {/eq} в течение первых 10 секунд поездки?

Шаг 1: Установите заданную тригонометрическую функцию равной заданному постоянному значению.

У нас есть {eq} 20+10\sin\left(\frac{\pi(t-1)}{5}\right) = 30 {/экв}.

Шаг 2: Определите границы для независимой переменной (как подсказывает задача).

Границы для независимой переменной {eq}t {/eq} задаются как {eq}0\le t \le 10 {/экв}.

Шаг 3: Используя оценки, полученные на шаге 2, решите уравнение, полученное на шаге 1, для независимой переменной.

Мы хотим решить уравнение {eq}\displaystyle 20+10\sin\left(\frac{\pi(t-1)}{5}\right) = 30 {/eq} на интервале {eq}0 \le \theta \le 10 {/экв}. Изолируйте функцию синуса (вычитая 20 и затем разделив обе части на 10), чтобы получить:

{eq}\sin\left(\frac{\pi(t-1)}{5}\right) = 1 {/экв}.

Из единичного круга мы знаем, что синусоидальная функция равна 1 всякий раз, когда вход синуса имеет вид {eq}\dfrac{\pi}{2}+2\pi k {/экв}. Итак, мы должны написать следующее:

{eq}\dfrac{\pi(t-1)}{5} = \dfrac{\pi}{2}+2\pi k, {/экв}, где {экв}к {/eq} – целое число. Решение для {eq} t {/eq}, мы имеем {eq}t = 1 + \dfrac{5}{2}+10k = 3.5+ 10к {/экв}. Только когда мы подключаем {eq}k=0 {/eq} мы получаем {eq}t {/eq}-значение от 0 до 10, поэтому ответ {eq}t=3,5 \text{ секунд} {/экв}.

Пример задачи 2. Решение тригонометрических уравнений, моделирующих реальную ситуацию

Определенная популяция вида птиц имеет волнообразный характер из-за ограниченных ресурсов и сезонных погодных условий. Количество птиц этой категории в момент времени {eq}t {/eq} задается функцией {eq}n(t) = 5000+300\cos t {/экв}. Начиная со времени {eq}t=0 \text{ месяцев} {/eq}, в начале января, в какое время в течение первых 2 месяцев года численность этой популяции птиц будет составлять {eq}5600 \text{ птиц} {/экв}?

Шаг 1: Установите заданную тригонометрическую функцию равной заданному постоянному значению.

У нас есть:

{экв} 5000+300\cos(\pi(t)) = 5600 {/экв}.

Шаг 2: Определите границы для независимой переменной (как подсказывает задача).

Границы для независимой переменной {eq}t {/eq} задаются как {eq}0\le t \le 2 {/экв}.

Шаг 3: Используя оценки, полученные на шаге 2, решите уравнение, полученное на шаге 1, для независимой переменной.

Мы хотим решить уравнение {eq}5,000+300\cos(\pi(t)) = 5,600 {/eq} на интервале {eq}0 \le \theta \le 10 {/экв}. Изолируйте функцию косинуса, чтобы получить:

{экв}\cos(\pi t) =\frac{5,600-5,000}{300}=\frac{1}{2} {/экв}.

Из единичного круга мы знаем, что косинус равен 1/2, когда вход равен {eq}\pm ​​\frac{\pi}{3} +2\pi k {/eq}, поэтому положим {eq}\pi t = \pm \frac{\pi}{3} +2\pi k {/eq} для получения

{экв}t = \pm \frac{1}{3} + 2k {/экв}.

Значения {eq}-\frac{1}{3}+2\cdot 1 = \frac{5}{3},\\ \frac{1}{3}+2\cdot 0 = \frac{1}{3} {/eq} — единственные, которые попадают в пределы {eq}0 \le t \le 2 {/экв}. Таким образом, в первые два месяца года численность птиц составляет 5600 особей в периоды {eq}t=\frac{1}{3} \text{ месяцев } \приблизительно \text{ янв } 10\\ t=\frac{5}{3} \text{ месяцев} \примерно \text{ фев } 21.{/экв}

Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

Тригонометрические уравнения: формулы, тождества, решение, примеры

Тригонометрические уравнения : Тригонометрия — это раздел математики, который занимается изучением длин сторон и углов, входящих в прямоугольные треугольники. Он широко используется в геодезии и навигации. Обычно используются шесть тригонометрических функций. Это синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс.Уравнения, в которые входят тригонометрические функции переменной, называются тригонометрическими уравнениями.

Применение тригонометрии в нашей повседневной жизни

Тригонометрические функции

Шесть тригонометрических функций определяются следующим образом:

(i) Синус: \(\sin \,\theta = \frac{{{\text{противоположный}}}}{{{\text{гипотенуза}}}}\)
(ii) Косинус: \(\cos \,\theta = \frac{{{\text{adjacent}}}}{{{\text{гипотенуза}}}}\)
(iii) Тангенс: \(\tan \, \theta = \frac{{{\text{противоположный}}}}{{{\text{смежный}}}}\)
(iv) Котангенс: \(\cot \,\theta = \frac{{ {\text{смежный}}}}{{{\text{напротив}}}}\)
(v) Секанс: \(\sec \,\theta = \frac{{гипотенуза}}{{смежный} }\)
(vi) Косеканс: \({\rm{косек}}\,\theta = \frac{{{\rm{гипотенуза}}}}{{{\rm{напротив}}}}\ )

Тригонометрические тождества

Тригонометрические уравнения, которые справедливы для всех значений переменных, называются тригонометрическими тождествами.
Перечислены различные типы тригонометрических тождеств и примеры для каждого из них.

1. Пифагорейские тождества
i. \(\тета + \тета = 1\)
ii. \(1 + \тета = \тета\)

2. Тождества суммы и разности
i. \(\sin \;\left( {u \pm v} \right)\; = \sin \;u\;\cos \;v\; + \cos \;u\;\sin \;v\)
ii. \(\tan \;\left( {u \pm v} \right)\; = \frac{{\tan \;u\;\; \pm \;\tan \;v\;}}{{1 \; \mp \;\tan \;u\;\tan \;v\;}}\)

3.Сумма идентификаторов продуктов
i. \(\sin \,u\,\cos \;\,v + \cos \,u\,\sin \,v\; = \sin \left( {u \pm v} \right)\)
ii . \(\cos \,u\; — \;\cos \,v\; = \; — 2\left( {\frac {{u + v}}{2}} \right)\;\;\sin \;\влево ({\ гидроразрыва {{и\; — \;v}}{2}} \вправо)\)

4. Произведение суммирования тождеств
i. \(\ sin \, u \, \ cos \, v \; = \; \ frac {1} {2} \ left [ {\ sin \; \ left ( {u + v} \ right) + \ sin \ ;\left( {u – v} \right)} \right]\)
ii. \(\ cos \,u\,\cos \,u\; = \frac{1}{2}\left[ {\cos \;\left( {u\; — v} \right)\; + \ cos \left( {u + v} \right)} \right]\)

5.Взаимные тождества
i. \(\tan \,\theta = \frac{1}{{\cot \,\theta}}\)
ii. \(\cos\,\operatorname{co} \,\theta = \frac{1}{{\sec \,\theta}}\)

6. Частные тождества
i. \(\cot \,\theta = \frac{{\cos \,\theta}}{{\sin \,\theta}}\)
ii. \(\tan \,\theta = \frac{{\sin \,\theta}}{{\cos \,\theta}}\)

7. Четно-нечетные тождества
i. \(\sin\left( { – x} \right)\; = \; – \sin \,x\)
ii. \(\cos \left( { – x} \right)\; = \cos \,x\)

8.Тождества с двойным углом
i. \(\tan \,2\theta = \frac{{2\tan \,\theta }}{{1 – \theta }}\)
ii. \(\sin\,2u = 2\sin\,u\;\cos\,u\)

9. Полуугольные тождества
i. \(u = \frac{{1 + \cos \,2u}}{2}\)
ii. \(u = \frac{{1 – \cos \,2u}}{2}\)

10. Кофункциональные тождества
i. \(\sec \;\left( {\frac{\pi} {2} – x} \right) = x\)
ii. \ (\ кроватка \; \ влево ( {\ гидроразрыва {\ pi} {2} — x} \ right) = \ tan \, x \)

Как решать тригонометрические уравнения?

Простые уравнения типа \(\cos\,\cos\,x = 1\) могут решаться численно путем приближения.Сложные уравнения нуждаются в более аналитическом подходе. Чтобы решить сложные тригонометрические уравнения, выполните пять шагов.

Шаг 1: Перепишите уравнение в терминах одной функции одного угла.
Шаг 2: Найдите значения в тригонометрической функции.
Шаг 3: Перечислите различные возможные решения для угла. Решите для угла.
Шаг 4: Найдите переменную, если необходимо.
Шаг 5: Примените любые ограничения, если они доступны.

Давайте изучим \(5\) шагов, используя два примера задач.
Пример 1: Решите уравнение: \(x – x + \sin \,x = 0\).
Пример 2: Решите: \(3\left( {\frac{B}{2}} \right) – 1 = 0\).

Шаг 1: переход к одной функции одного угла
Подобно алгебраическим выражениям, состоящим из переменных, тригонометрическое уравнение состоит из функций и углов. Чтобы решить уравнение, первым шагом является преобразование членов как одной функции одного угла.Это означает, что все члены уравнения должны иметь один и тот же угол и одну и ту же функцию. Для этого преобразования можно использовать любое из тригонометрических тождеств.

Пример 1: Решите уравнение: \(x – x +\sin \,x = 0\).
Здесь обратите внимание на два типа функций: синус и косинус. Цель первого шага состоит в том, чтобы преобразовать уравнение в одну функцию одного угла. Вспоминая тригонометрические тождества, мы можем записать \(x\) через \(x\).Следовательно, мы получим,
\(x – \left( {x – 1} \right) + \sin \,x\; = 0\)
\(x – \left( {x + 1} \right) + \sin \,x\; = 0\)
Заметьте, что уравнение теперь выражено одной функцией одного угла. Это может быть дополнительно упрощено в следующих шагах.

Пример 2: Решить: \(3\left( {\frac {B}{2}} \right) – 1 = 0\)
Шаг 1: Это не обязательно, так как уравнение приведено в члены одной функции одного угла.

Шаг 2: Найдите значения тригонометрической функции
В конце шага \(1\) уравнение будет иметь только один тип функции с одним типом угла.На этом шаге найдите значение этой функции путем упрощения, аналогичного алгебраическому упрощению. Используйте алгебраические тождества везде, где это необходимо.

Пример 1: Продолжая предыдущий шаг, мы можем еще больше упростить поиск значения тригонометрической функции.
\(х – х + 1 + \sin \,x = 0\)
\(1 + \sin \,x = 0\)
\( \sin \,x = -1\)

Пример 2: Поскольку шаг \(1\) не относится к этому тригонометрическому уравнению, продолжаем с шагом \(2\).
Шаг 2: Найдем тригонометрическую функцию.
\(\ влево ( {\ гидроразрыва {B} {2}} \ справа) = \ гидроразрыва {1} {3} \)
\ (\ загар \; \ влево ( {\ гидроразрыва {B} {2}} \right) = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \)
Примечание. Не забудьте добавить знак \(\pm \) при использовании квадратных корней во время упрощения.

Шаг 3: Нахождение угла
После нахождения функции теперь переходим к нахождению угла.
я. Если углы кратны \(\frac{\pi }{6}\) или \(\frac{\pi }{4}\), их относительно легче решить.
ii. Если углы кратны половинным углам, то для оценки используются тождества половинных углов.
Тригонометрические функции являются периодическими. Это означает, что их значения повторяются в цикле. Следовательно, для любого тригонометрического уравнения существует либо ноль, либо бесконечно много решений.
Например, рассмотрим уравнение \(\tan \,\theta = 1\).
Здесь показан график для различных значений \(y = \tan \,x\).

Решения уравнения \(\tan \,\theta = 1\) идентифицируются по графику как:
\(\theta = \ldots – \frac{{7\pi }}{4},\; – \frac{{3\pi }}{4},\frac{\pi }{4},\frac{{5\pi }}{4},. .. \)
Цикл здесь равен \(\frac{{ 5\pi }}{4}\;- \;\frac{\pi }{4} = \frac{{4\pi }}{4} = \pi \)
Следовательно, общее решение для этой функции можно быть определена как \(\theta = \frac{\pi }{4} + n\pi \), где \(n\) — целое число.
Аналогичным образом найдите углы в данном уравнении, перечислив возможные решения.

Пример 1: Продолжая шаг \(2\), мы должны найти \(x\).
\(\sin \,x = – 1\)
Используя общее решение тригонометрических уравнений, мы знаем, что общее решение равно
\(x = \left( {4n – 1} \right)\frac{\ pi }{2}\)
Обратите внимание, что не все вычисления будут такими простыми.

Пример 2: Продолжая шаг \(2\), теперь мы находим углы.
Пусть \(\frac{B}{2} = \theta \). Имеем
\(\tan \,\theta = \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \)
То есть \(\tan\,\theta \; = \sqrt {\frac{ 1}{3}} \) или \(\tan \,\;\theta =\, — \sqrt {\frac{1}{3}} \)
\(\theta = \frac{\pi} }{ 6}\) или \(\theta = \frac{5\pi }{6}\)
Общее решение можно записать в виде \(\theta = \frac{\pi }{6} + n\pi \ ) или \(\theta = \frac{{5\pi}}{6} + n\pi \)
Но, \(\theta = \frac{B}{2}\), следовательно, общее решение таково: \(\frac{B}{2} = \frac{\pi }{6} + n\pi \) или \(\frac{B}{2} = \frac{{5\pi}}{6} + п\пи\)

Шаг 4: Решение для переменной
Решение для угла эффективно представляет собой \(2-\)шаговый процесс, если в углах участвует переменная. В случае двойного угла или половинного угла убедитесь, что периодичность добавляется к конкретному углу, а не к половинным или двойным значениям. Важно работать с углом, а не с переменной в функции угла.

Пример 2: Продолжая, мы имеем общее решение из шага \(3\) как:
\(\frac{B}{2} = \frac{\pi }{6} + n\pi \) или \(\frac{B}{2} = \frac{5\pi }{6} + n\pi \)

Шаг 4: Теперь найдем переменную.
Умножив на \(2\) с обеих сторон, мы получим
\(B = \left( {\frac{\pi }{6} + n\pi } \right) \times 2\) или \(B = \left ( {\ frac {5 \ pi} {6} + n \ pi} \ right) \ times 2 \)
\ (B = \ frac {\ pi} {3} + 2n \ pi \) или \ (B = \frac{5\pi }{3} + 2n\pi \)
Обратите внимание, что угол \(\theta\) или \(\frac {B}{2}\) имеет период \(\ pi\), а переменная \(B\) имеет период \(2\pi\).

Шаг 5: Применение любого ограничения Доступно
Последний шаг решения тригонометрического уравнения включает в себя применение любого заданного ограничения. Наиболее распространенным ограничением является предоставляемый интервал. Он предоставляется либо в виде обозначения, либо в виде неравенства.
Например:
Обозначение интервала: \(( – \pi ,\;2\pi )\)
Неравенство: \( – \pi \le \theta < 2\pi \)
Помните об открытых или закрытых интервалах или слабое и строгое неравенства, в зависимости от того, что применяется, если они снабжены интервалами.
В случае отсутствия ограничений Шаг \(4\) является последним. Набор решений будет содержать все действительные решения, полученные на предыдущем шаге.

Пример 2: Используя общее решение из шага \(4\), мы имеем:
\(B = \frac{\pi }{3} + 2n\pi \) или \(B = \frac{5 \pi }{3} + 2n\pi \)
Допустим, неравенство равно \(0 \le B < \pi \)

Шаг 5: Примените ограничение.
я. Для \(n = \,- 1\),
\(B = \frac{\pi }{3} + 2\left( { – 1} \right)\pi \) или \(B = \frac{ 5 \pi }{3} + 2\left( { – 1} \right)\pi \)
\(B = \frac{\pi }{3} – 2\pi \) или \(B = \frac {5\pi }{3} – 2\pi \)
\(B =\, – \frac{{5\pi }}{3}\) или \(B = \,- \frac{{\pi }}{3}\)
ii. Для \(n = 0\),
\(B = \frac{\pi} {3} + 2\left({0} \right)\pi \) или \(B = \frac{5 \pi} {3} + 2\left( { 0} \right)\pi \)
\(B = \frac{{\pi}}{3}\) или \(B = \frac{{5\pi}} {3}\)
Обратите внимание, что существует только одно решение, лежащее в заданном интервале.
\(\следовательно \) Решение: \(B = \frac {\pi}{3}\)
Это называется главным решением тригонометрического уравнения.

Общее решение против основного решения

Решение тригонометрических уравнений может привести к двум типам решений – основному и общему.
Для тригонометрических уравнений, содержащих тригонометрические функции от переменной \(x\), где \(x\) лежит в интервале \([0,\,2\pi]\), называется главным решением.
Если решение тригонометрического уравнения находится в терминах \(n\), где \(n\) — целое число, оно называется общим решением.

Выводы и доказательства теорем

Теорема 1: Для любых действительных чисел \(x\) и \(y\) \(\sin \,x = \sin \,y\; \Rightarrow x = n\pi + {\left( { – 1} \right)^n}y,\;n \in Z\)
Доказательство:
Дано: \(\sin \,x = \sin \,y\)
Перестановка, \(\sin \, х – \sin \,y = 0\)
\( \Rightarrow 2\cos \;\frac{{x + y}}{2}\;\sin \;\frac{{x – y}}{2 } = 0\)
\(\следовательно \,\cos \;\frac{{x + y}}{2} = 0\) или \(\sin \;\frac{{x — y}}{2 } = 0\)
\( \Стрелка вправо \frac{{x + y}}{2} = \left( {2n + 1} \right)\frac{\pi}{2}\) или \(\frac {{x – y}}{2} = n\pi \), где \(n = Z\)
Упрощая, получаем,
\(x = \left( {2n + 1} \right)\pi – y\) или \(x = 2n\pi + y\)
Следовательно, \(x = \left( {2n + 1} \right)\pi + {\left( { – 1} \right)^{2n + 1}}y\) или \(x = 2n\pi + {\left( { – 1} \right)^{2n}}y\)
Объединяя, получаем, \(x = n\pi + { \left( { – 1} \right)^n}y,\;n \in Z\).

Теорема 2: Для любых действительных чисел \(x\) и \(y\), \(\cos \,x = \cos \,y\; \Rightarrow x = 2n\pi \pm y,\, \;n \in Z\).
Доказательство:
Дано: \(\cos \,x = \cos \,y\)
Перестановка, \(\cos \,x — \cos \,y = 0\)
\( \Rightarrow — 2 \sin \;\frac{{x + y}}{2}\;\sin \;\frac{{x — y}}{2} = 0\)
\(\следовательно \,\sin \;\ frac{{x + y}}{2} = 0\) или \(\sin \;\frac{{x — y}}{2} = 0\)
\( \Rightarrow \frac{{x + y }}{2} = n\pi \) или \( \frac{{x – y}}{2} = n\pi \), где \(n = Z\)
Упрощая, получаем,
\( x = 2n\pi – y\) или \(x = 2n\pi + y\)
Объединяя, получаем, \(x = 2n\pi \pm y,\,n \in Z\)

Теорема 3: Если \(x\) и \(y\) не являются нечетными кратными \(\frac {\pi}{2}\), то докажите, что \(\tan \,x = \tan \,y\; \Стрелка вправо x = n\pi + y,\,n \in Z\).
Доказательство:
Дано: \(\tan \,x = \tan \,y\)
Перестановка, \(\tan \,x – \tan \,y = 0\)
\( \Rightarrow \frac {{\ sin \, x \; \ cos \, y \; — \ cos \, x \, \ sin \, y}} {{\ cos \, x \; \ cos \, y}} = 0 \ )
\(\sin \,x\;\cos \,y – \cos \,x\;\sin \,y = 0\)
Это можно записать как
\(\sin \,(x – y) = 0\)
\(\следовательно, x – y = n\pi\)
\(\Стрелка вправо x = n\pi + y,\,n \in Z\).

Тригонометрические уравнения и их общие решения

Ниже приведен список общих тригонометрических уравнений и их общих решений, где \(n\) — целое число.n}\alpha \)

\(\cos \,\theta = \cos \,\alpha \) \(\theta = 2n\pi \pm \alpha \)
\(\ tan \,\theta = \tan \,\alpha \) \(\theta = n\pi + \alpha \)
\(\sin \,\theta = 0\) \(\ тета = n\pi \)
\(\cos \,\theta = 0\) \(\theta = \left( {2n + 1} \right)\frac{\pi} {2} \)
\(\tan \,\theta = 0\) \(\theta = n \pi\)
\(\sin \,\theta = 1\) \( \theta = \left( {4n + 1} \right)\frac{\pi }{2}\)
\(\cos \,\theta = 1\) \(\theta = 2 n \pi\)
\(\sin\,\theta = – 1\) \(\theta = \left( {4n – 1} \right)\frac{\pi} {2}\)
\(\cos \,\theta = – 1\) \(\theta = \left( {2n + 1} \right) {\pi }\)
\(\theta = \альфа\) \(\тета = п\р i \pm \alpha \)
\(\theta = \alpha \) \(\theta = n\pi \pm \alpha \)
\(\theta = \alpha \) \(\theta = n\pi \pm \alpha \)
\(a\,\cos \,\theta + b\,\sin \,\theta = c\) \(\theta = 2n\pi + \alpha + \beta \)
Здесь
\(\cos \,\alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\ )
\(\sin \,\alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(\cos \,\beta = \frac{ a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Давайте теперь научимся решать тригонометрические уравнения, используя опорные углы и тригонометрические тождества.

Решенные задачи: тригонометрические уравнения

Q.1. Каковы решения \(\sin \;\left( {x\; – \;\frac{\pi }{3}} \right) =\,- \frac{1}{2}\) в \(x-\) интервал \([0,\,2\pi]\)?
Ответ:
Возьмем \(x\; – \;\frac{\pi }{3} = y\)
\(\следовательно \,\sin \,y\; = \,- \frac{1} {2}\)
\( \Rightarrow y = \,- \frac{\pi }{6},\,\frac{{7\pi }}{6}\) (в интервале \(\left[ {0,\,2\pi } \right] – \frac{\pi }{3} \le \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right) \le \frac{{5 \pi }}{3}\))
\(\следовательно \,x =\, – \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}\) и \(x = \frac {{7\pi}}{6} + \frac{\pi}}{3}\)
\( \Rightarrow x = \frac{\pi}}{6},\,\frac{{3\pi}} {2}\).{\rm{o}}}.\)
Ответ: Используя, \(\alpha = 1 – \alpha\),
Получаем, \(\alpha = \,-\cos \;\alpha + \ влево( {1 — \alpha } \right)\)
\(\alpha \; + \alpha \; + \cos \,\alpha \; — 1 = 0\)
\(2 \alpha \; + \ cos \,\alpha \; – 1 = 0\)
Факторизация,
\((2 \cos \,\alpha \; – 1)(\cos\,\alpha \; + 1) = 0\)
Отсюда ,
\((2 \cos \,\alpha \; — 1) = 0\) и \((\cos \,\alpha \; + 1) = 0\)
\(2 \cos \,\alpha = 1\) и \(\cos\,\alpha = \,- 1\)
\(\cos \,\alpha = \frac {1}{2}\)
В интервале \({0^{ \rm{o}}} \le \alpha < {360^{\rm{o}}},\)
\(\alpha = 60^\circ ,\;300^\circ \) и \(\alpha = 180^\circ\)
Тогда \(\alpha = 60^\circ ,\;300^\circ ,\;180^\circ\).

Q.4. Найдите общее решение уравнения \(\cos \;2x\; – 2\tan \;x\; + 2 = 0\)
Ответ:
Используя \(\cos \;2x\; = \frac{ {1 – x\;}}{{1 + x}}\), получаем,
\(\frac{{1 – x\;}}{{1 + x\;}} – 2\tan \, x\; + 2 = 0\)
\(1 – x\; – 2\tan \,x\;\left( {1 + x\;} \right) + 2\left( {1 + x\; } \right) = 0\)
\(1 — x\; — 2\tan \,x\; — 2x\; + 2 + 2x\; = 0\)
\( — 2x\; + x\; – 2\tan \,x\; + 3 = 0\)
\(2x\; – x\; + 2\tan \,x\; – 3 = 0\)
Факторизуя, получаем,
\(\ влево( {\tan \,x\; – 1} \right)\left( {2x\; + \tan \,x\; + 3} \right) = 0\)
Здесь
\(\left( {2x\; + \tan \,x\; + 3} \right)\) имеет мнимые корни.
Следовательно, \(\left( {\tan \,x\; – 1} \right) = 0\)
\(\Стрелка вправо \tan \,x = 1\)
\(x = \frac{\pi {4} + п\пи \).

Q.5. Найдите все решения для \(\left({\frac{E}{2}} \right) — \;\left({\frac{E}{2}} \right) = 1\).
Ответ:
Замена \(\left({\frac{E}{2}} \right) = 1\; — \left({\frac{E}{2}} \right)\)
\( \ влево ( {\ гидроразрыва {E} {2}} \ справа) — \; \ влево ( {\ гидроразрыва {E} {2}} \ справа) = 1 \)
\ (\ влево ( {\ гидроразрыва {E {2}} \right) – \;1 – 1 = 0\)
\(\left( {\frac{E}{2}} \right) – \;1 = 0\)
\(\left ( {\ frac {E} {2}} \right) = 0 \)
\(\ следовательно \, \ frac {E} {2} = \ frac {{\ left ({2n + 1} \ right) \ pi }}{2}\)
\( \Стрелка вправо E = \left( {2n + 1} \right)\pi \). \цирк\).

Резюме

Итак, мы знаем, что такое тригонометрические уравнения, как можно вывести некоторые первичные тригонометрические уравнения с помощью тригонометрических функций и тригонометрические тождества. Существует два типа решений тригонометрических уравнений – общее решение и главное решение. В то время как общее решение записывается через n, где n — целое число, главное решение представляет собой тригонометрическую функцию от переменной \(x\), где \(x\) лежит в интервале \([0,\,2 \Пи]\).

Научившись находить решение тригонометрических уравнений за пять шагов, мы также решили несколько примеров, используя полученные знания.

Изучите важные формулы тригонометрии

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Q.1. Что такое тригонометрические уравнения?
Ответ:
Уравнения, в которые входят тригонометрические функции переменной, называются тригонометрическими уравнениями.

В.2. Какая польза от тригонометрических уравнений?
Ответ:
Хотя тригонометрия может и не иметь прямого применения в реальных сценариях, она используется в различных областях. Тригонометрия применяется в медицине, геодезии, архитектуре, звуковом дизайне, спутниковой навигации и астрономии.

Q.3. Как решать тригонометрические уравнения?
Ответ:
Чтобы аналитически решить тригонометрическое уравнение, выполните следующие действия.
Шаг 1: Перепишите уравнение в терминах одной функции одного угла.
Шаг 2: Найдите значения в тригонометрической функции.
Шаг 3: Перечислите различные возможные решения для угла. Решите для угла.
Шаг 4: Найдите переменную, если необходимо.
Шаг 5: Примените любые ограничения, если они доступны.

Q.4. Являются ли тригонометрические уравнения линейными?
Ответ:
Линейное уравнение имеет вид \(ax + bx = c\). Подставляя \(x = \sin \,x\) и \(y = \cos \,x\), мы получаем \(a\sin \,x + b\cos \,x = c\).Это линейная функция от \(\sin\,x\) и \(\cos\,x\).

Q.5. Являются ли некоторые тригонометрические уравнения тождествами?
Ответ:
Тригонометрическое уравнение, справедливое для всех значений переменной, называется тригонометрическим тождеством. Итак, можно с уверенностью сказать, что не все тригонометрические уравнения являются тригонометрическими тождествами, но все тригонометрические тождества являются уравнениями.

Теперь у вас есть вся необходимая информация о концепции тригонометрических уравнений, и мы надеемся, что эта подробная статья будет вам полезна.Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этой статьи, отправьте нам сообщение через раздел комментариев ниже, и мы свяжемся с вами как можно скорее.

1033 Просмотров

Решение тригонометрических уравнений — Концепция

Когда решая тригонометрические уравнения , мы находим все углы, которые делают уравнение верным. Если интервал не указан, используйте периодичность, чтобы показать бесконечное число решений. Два способа визуализации решений: (1) график в координатной плоскости и (2) единичный круг.Единичный круг является более полезным из двух для получения ответа.

Я хочу поговорить о тригонометрических уравнениях. Давайте начнем с очень простого примера, синус тета равен половине. Помните, когда вы решаете уравнения, вы пытаетесь найти значения переменной, которые делают уравнение верным, поэтому мы хотим найти все углы, для которых синус равен половине.Теперь я нарисовал картинку: график у равен синусу тета, и я хочу показать вам, что я также нарисовал график у равно половине, так что вы можете видеть, что есть бесконечно много точек, где синус тета на самом деле равные половины. У него будет бесконечно много точек, и за период будет две точки, поэтому ожидайте бесконечно много ответов и ожидайте, что в задаче будет два за период.
Теперь обычно я нахожу решения на единичной окружности, поэтому я нарисовал единичную окружность, а также начертил линию y, равную половине, потому что помните, если я нарисую угол, точка на единичной окружности, где угол пересекает эта точка p, ее координата y будет синусом этого угла, поэтому в этом случае координата y должна быть равна половине, поэтому вопрос в том, каков этот угол тета?
Первое решение, которое мы получаем, исходит из обратного синуса.Обратный синус половины даст нам угол между -5 над 2 и пи над 2, который удовлетворяет уравнению, в данном случае это пи над 6 в этом решении. Но вы могли видеть, что в интервале от 0 до 2pi в течение первого периода 2 of sine sine theta есть два решения, вот второе. Как этот угол связан с первым? Мы [IB], вероятно, видим по симметрии, что этот угол здесь равен тета, поэтому этот угол должен быть равен пи минус тета, дополнение, так что это второе решение.
Всегда помните это тождество синус числа пи минус х равен синусу числа х с функцией синуса дополнительные углы имеют то же значение синуса, что является важным свойством функции синуса, поэтому, если число пи больше 6 работает, 5pi больше 6 также является правильным решением ? Имея в виду, что 5pi больше 6 равно pi минус pi больше 6, так что это дополнение. Это дает нам второе решение, теперь я называю эти два решения pi больше 6 и 5pi больше 6 моими принципиальными решениями, и я хочу получить остальные из них, используя периодичность функции синуса.Синус периодичен с периодом 2pi, поэтому я могу добавить любое целое число, кратное 2pi, и получить другое решение, поэтому мои решения будут иметь форму тета, равного pi больше 6 плюс 2n pi, и это представляет собой четное число pi, я мог бы добавить любое четное кратное числу пи, или вычесть любое четное число, кратное числу пи, и получить новое решение, или 5pi на 6 плюс 2n pi. Таким образом, решения обоих этих принципов дают бесконечно много решений.
Возвращаясь назад, просто помните, что существует бесконечно много решений, два за период, и два решения за данный период связаны тем, что они дополняют друг друга.Мы получаем одно решение, используя обратный синус, мы получаем другое решение, используя тот факт, что синус дополнения совпадает с синусом угла, и, наконец, используем периодичность для получения остальных решений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.