Тригонометрические уравнения простые примеры с решениями: Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Содержание

Помощь студентам в учёбе от Людмилы Фирмаль

Здравствуйте!

Я, Людмила Анатольевна Фирмаль, бывший преподаватель математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института со стажем работы более 17 лет. На данный момент занимаюсь онлайн обучением и помощью по любыми предметам. У меня своя команда грамотных, сильных бывших преподавателей ВУЗов. Мы справимся с любой поставленной перед нами работой технического и гуманитарного плана. И не важно: она по объёму на две формулы или огромная сложно структурированная на 125 страниц! Нам по силам всё, поэтому не стесняйтесь, присылайте.

Срок выполнения разный: возможно онлайн (сразу пишите и сразу помогаю), а если у Вас что-то сложное – то от двух до пяти дней.

Для качественного оформления работы обязательно нужны методические указания и, желательно, лекции. Также я провожу онлайн-занятия и занятия в аудитории для студентов, чтобы дать им более качественные знания.


Моё видео:



Как вы работаете?

Вам нужно написать сообщение в Telegram . После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ?

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.


Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

Теперь напишите мне в Telegram или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения.

Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования. 80% заказов сдаются раньше срока.

После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.
















Как вы работаете?

Вам нужно написать сообщение в Telegram .

После этого я оценю Ваш заказ и укажу срок выполнения. Если условия Вас устроят, Вы оплатите, и преподаватель, который ответственен за заказ, начнёт выполнение и в согласованный срок или, возможно, раньше срока Вы получите файл заказа в личные сообщения.

Сколько может стоить заказ?

Стоимость заказа зависит от задания и требований Вашего учебного заведения. На цену влияют: сложность, количество заданий и срок выполнения. Поэтому для оценки стоимости заказа максимально качественно сфотографируйте или пришлите файл задания, при необходимости загружайте поясняющие фотографии лекций, файлы методичек, указывайте свой вариант.

Какой срок выполнения заказа?

Минимальный срок выполнения заказа составляет 2-4 дня, но помните, срочные задания оцениваются дороже.

Как оплатить заказ?

Сначала пришлите задание, я оценю, после вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Какие гарантии и вы исправляете ошибки?

В течение 1 года с момента получения Вами заказа действует гарантия. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.


Качественно сфотографируйте задание, или если у вас файлы, то прикрепите методички, лекции, примеры решения, и в сообщении напишите дополнительные пояснения, для того, чтобы я сразу поняла, что требуется и не уточняла у вас. Присланное качественное задание моментально изучается и оценивается.

Теперь напишите мне в Telegram или почту и прикрепите задания, методички и лекции с примерами решения, и укажите сроки выполнения. Я и моя команда изучим внимательно задание и сообщим цену.

Если цена Вас устроит, то я вышлю Вам форму оплаты, в которой можно оплатить с баланса мобильного телефона, картой Visa и MasterCard, apple pay, google pay.

Мы приступим к выполнению, соблюдая указанные сроки и требования.

80% заказов сдаются раньше срока.

После выполнения отправлю Вам заказ в чат, если у Вас будут вопросы по заказу – подробно объясню. Гарантия 1 год. В течении 1 года я и моя команда исправим любые ошибки в заказе.















Можете смело обращаться к нам, мы вас не подведем. Ошибки бывают у всех, мы готовы дорабатывать бесплатно и в сжатые сроки, а если у вас появятся вопросы, готовы на них ответить.

В заключение хочу сказать: если Вы выберете меня для помощи на учебно-образовательном пути, у вас останутся только приятные впечатления от работы и от полученного результата!

Жду ваших заказов!

С уважением

Пользовательское соглашение

Политика конфиденциальности


Простейшие тригонометрические уравнения. Частные случаи. Уравнения, приводимые к алгебраическим

«Каждая решенная мною задача
становится образом, который служит
впоследствии для решения других задач»
Р.Декарт

2. СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение
2. Повторение
Простейшие тригонометрические уравнения
Частные случаи
Задания для на повторение
4. Уравнения, приводимых к алгебраическим
5. Примеры решения уравнений
6. Использование тр. ур. при решении
геометрических задач
7.Задания для самостоятельной работы
8.Краткий справочник формул

3. Введение

Тригонометрические функции возникли в
Древней Греции в связи с исследованиями в
астрономии и геометрии. Отношения сторон в
прямоугольном треугольнике, которые по
существу и есть тригонометрические функции,
встречаются уже в III в. до н.э. в работах
Евклида, Архимеда и других.
Современную форму тригонометрическим
функциям и вообще тригонометрии придал
Леонард Эйлер. Ему принадлежат определения
тригонометрических функций и принятая в наши
дни символика.

4. Введение

ТРИГОНОМЕТРИЯ
математическая
дисциплина, изучающая зависимость между
сторонами и углами треугольника.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ, с
помощью которых связываются элементы
треугольника,
изучаются
в
курсе
математического анализа.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ –
это уравнения, в которых неизвестные
являются аргументами тригонометрических
функций.

5. Решение простейших тригонометрических уравнений

Если
Если
уравнение не имеет решения.
Если
Если
уравнение не имеет решения.

6. Решение простейших тригонометрических уравнений Частные случаи

1. Решите
( 1) n
1)
уравнение:
n,
4
n
,
4 2
3)
2 cos x
n Z
n Z
2 n 2) n 3)
3
3
n
4
2 n,
4
4)
2. Решите уравнение:
1)
2)
8
2
n Z
n Z
sin( 3x) 0
n 4)
n
3
1
3. Укажите наименьший
sin tg ( x)
положительный корень уравнения
2
3
1)
3
2)
5
4
3)
6
4)
2
С помощью замены переменной можно
привести тригонометрическое уравнение к
алгебраическому. Рассмотрим несколько типов
уравнений:
Тип уравнения
Замена
Алгебраическое
уравнение
ПР №1
ПР №2
ПР №3
ПР №4

9. Пример 1

Теория
Пример 1
Сделаем замену переменной
Получаем :
,
Делаем обратную замену
,
Теория
Пример 2
Применим основное тригонометрическое тождество
Сделаем замену переменной
Получаем :
,

11.

Пример 3 Теория
Пример 3
Сделаем замену переменной
Получаем :
,

12. Пример 4

Теория
Пример 4
Сделаем замену переменной
Получаем :
,

13. Решение геометрической задачи

Биссектриса одного из острых
углов прямоугольного треугольника
в шесть раз короче гипотенузы.
Найдите
острые
углы
этого
треугольника.

14. Решение задачи

ДАНО: треугольник АВС
угол С –прямой
ВД- биссектриса
НАЙТИ :
,
РЕШЕНИЕ:
Пусть
Применив теорему синусов к треугольнику АВД,
найдем, что
Учитывая условия задачи, получаем:

15. Задача продолжение

Решение задачи сводится
к решению тригонометрического
уравнения
Решаем квадратное уравнение относительно
ОТВЕТ:
,получаем

16. Задания для самостоятельной работы

Вариант № 1
Вариант № 2
1)
1)
2)
2)
3)
3)
4)
4)
5)
5)

17.

Краткий справочник формул 1. Нахождение тригонометрических
функций по единичной окружности
2. Основные тригонометрические
тождества
3. Формулы двойного аргумента
4. Формулы сложения
5. Формулы преобразования суммы в
произведение
6. Формулы преобразования произведения
в сумму

18. Единичная окружность

ПР №1
ПР №2
ПР №3
ПР №4
Задания с.р
..
.
2. Основные
тригонометрические
тождества
3.Формулы
двойного
аргумента
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
4. Формулы сложения
1
2
3
4
5
6
7
8
5. Формулы преобразования суммы в
произведение
1
2
3
4
6. Формулы преобразования
произведения в сумму
1
2
3

Тригонометрические уравнения Виды способы решения примеры Метод

Тригонометрические уравнения Виды, способы решения, примеры

Метод универсальной подстановки Равенство одноименных функций Способы решения тригонометрических уравнений Простейшие Уравнения, содержащие одну функцию одного и того же аргумента Разложение на множители Однородные уравнения Сводящиеся к ним Введение вспомогательного угла Формулы понижения степени Нестандартные способы решения Использование ограниченности тригонометрических функций

Простейшие уравнения Sinx=a sinx=a, |a|≤ 1 x=(-1)n arcsin a +πn, n – целое число Например: sin x=½ x=(-1)n π/6 + πn, n – целое число Частные случаи: sin x=0 sin x=1 sin x=-1 x=πn, n – Z x=π/2+2πn, n-Z x=-π/2 +2πn, n-Z

Простейшие уравнения Cos x=a cos x=a, |a|≤ 1 x=±arccos a +2πn, n – Z Например: cos x=1/8 x= ±arccos 1/8 +2πn, n — Z Частные случаи: cos x=0 cos x=1 x=π/2 +πn, n – Z x=2πn, n – Z cos x=-1 x=π + 2πn, n — Z

Простейшие уравнения Tg x = a tg x =a x = arctg a +πn, n – Z x ≠ π/2 +πk, k – Z Например: tg x=3/5 x= arctg 3/5 +πn, n – Z x ≠ π/2 + πk, k – Z tgx=√ 3 x= π/3 + πn, n – Z x ≠ π/2 + πk, k — Z

Простейшие уравнения Ctg x=a ctg x=a x= arcctg a + πn, n – Z x ≠ πk, k – Z Например: ctg x=0 x= π/2 +πn, n – Z x ≠ πk, k – Z ctg x= 1 x= π/4 + πn, n — Z x ≠ πk, k — Z

Уравнения, сводящиеся к простейшим 1). cos (2 x- π/4)=-√ 3/2 3). tg (3 x + π/2)=-√ 3 2 x- π/4= ± 5π/6 +2 πn, n – Z 3 x+ π/2=-π/3 +πn, n — Z x= π/8 ± 5π/12 + πn, n – Z 3 x=-5π/6 +πn, n — Z x=-5π/18 + πn/3, n — Z 2). 2 sin x+ √ 3 =0 4). ctg 3 x =- √ 3 /3 2 sin x= — √ 3 3 x=2π/3 +πn, n — Z sin x=- √ 3 /2 x = π/9 + πn/3, n – Z x=(-1)n 5π/3 + πn, n — Z x ≠ πk/3, k – Z

? Простейшие уравнения и сводящиеся к ним Попробуйте решить следующие уравнения: 1) cos x = 2, 5 2) sin x = √ 3/2 3) tg x + 1 = 0 4) ctg x = 2, 5 5) sin (x/2 – π/6) + 1 = 0 6) 2 cos (x/2 – π/6) = √ 3 7) √ 3 tg (x/3 + π/3) = 3

Ответы: 1) нет решений 2) x = (-1)n * π/3 + 2πn, n – Z 3) x = — π/4 + πn, n – Z 4) x = arcctg 2, 5 + πn, n – Z 5) x = — π/2 + 4πn, n — Z 6) x = 3πn, n – Z

Уравнения, содержащие функцию одного аргумента Уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного аргумента решаются методом замены переменной 1) 2 cos 2 x – 15 cos x – 8 = 0 cos x = t, |t|≤ 1 2 t 2 — 15 t – 8 = 0 D=225+64=289 t 1= -1/2 t 2 = 8 не удовлетворяет условию cos x = -1/2 x= ± 2π/3 +2πn, n — Z

Уравнения, сводящиеся к одной функции одного аргумента cos 4 x – 3 cos 2 x = 1 2 cos 22 x – 1 – 3 cos 2 x – 1 = 0 2 cos 22 x – 3 cos 2 x – 2 = 0 cos 2 x=t, |t|≤ 1 2 t 2 – 3 t – 2 = 0 D=25 t 1=-1/4 t 2=1 cos 2 x = -1/4 x = ± 1/2 arccos(-1/4)+πn, n – Z cos 2 x = 1 x= πk, k – Z

? Уравнения, содержащие функцию одного аргумента и сводящиеся к ним Попробуйте решить следующие уравнения: 1) 3 cos 2 x = 7 sin x 2) 1 / sin 2 x = ctg x + 3 3) 2 sin 2 x – 3 sin x – 2 = 0 4) 4 sin 2 x – 4 cos x = 1 5) 2 tg x + ctg x = 1 6) 26 sin x + 27 sin 2 x + 27 cos 2 x = 26

Ответы: 1) x = (-1)n * arcsin 1/3 + πn, n – Z 2) x = 3π/4 + πn, n – Z x = arcctg 2 + πk, k – Z 3) x = (-1)n+1 * π/6 + πn, n – Z 4) x = ± π/3 + 2 πn, n – Z 5) x = -arctg ½ + πn, n – Z x = π/4 + πk, k – Z 6) x = (-1)n+1 * arcsin 1/26 + πn, n — Z

Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители 1) sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 2 sin 2 x * cos x + sin 2 x = 0 sin 2 x (2 cos x + 1) = 0 sin 2 x = 0 x = πn/2, n — Z 2 cos x = -1 x = ± 2π/3 + 2πk, k – Z 2) sin 5 x – sin x = 0 2 sin 2 x * cos 3 x = 0 sin 2 x = 0 x = πn/2, n — Z cos 3 x = 0 x = π/6 + πk/3, k — Z

? Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители Попробуйте решить следующие уравнения: 1) sin 2 x + cos 8 x – cos 6 x = 1 2) 2 cos x + sin 2 x + 1 = 0 3) 6 sin x * cos x + 2 sin x + 3 cos x + 1 = 0

Ответы: 1) x = πn/4, n — Z x = πk, k – Z x = π/6 + πm/3, m – Z 2) x = — π/2 + 2 πn, n – Z x = ± 2π/3 + 2 πk, k – Z 3) x = (-1)n+1 * π/6 + πn, n – Z x = ±arccos (-1/3) + 2 πk, k — Z

Однородные уравнения Тригонометрическое уравнение вида asin x + bcos x = 0 называется однородным 1 -ой степени. Решаются методом деления asin x + bcos x = 0, a≠b |: cos x = 0 не является корнем уравнения atg x + b = 0 tg x = -b/a x = -arctg (b/a) + πn, n — Z

Однородные уравнения cos 2 x – 3 sin x * cos x + 2 sin 2 x =0 |: cos x = 0 не является корнем уравнения 1 – 3 tg x + 2 tg 2 x = 0 tg x = t 2 t 2 – 3 t + 1 = 0 t 1 = 1 t 2 = ½ tg x = 1 x = π/4 + πn, n — Z tg x = ½ x = arctg ½ + πk, k — Z

Уравнения, сводящиеся к однородным a f(x) + b g(x) = c a f 2(x) + b f(x)g(x) + c g 2(x) = d, d = d*1 = d(sin 2 x + cos 2 x) Например: 2 sin 2 x + sin x * cos x + 9 cos 2 x = 5 2 sin 2 x +sin x * cos x + 9 cos 2 x – 5 (sin 2 x + cos 2 x) = 0 -3 sin 2 x + sin x * cos x + 4 cos 2 x = 0 |: cos 2 x, cos x = 0 не является корнем уравнения 3 tg 2 x – tg x – 4 = 0 tg x = -1 x = — π/4 + πn, n — Z tg x = 4/3 x= arctg (4/3) + πk, k — Z

? Однородные уравнения и сводящиеся к ним Попробуйте решить следующие уравнения: 1) sin x + cos x = 0 2) 4 sin 2 x + 3 sin x cos x – 7 cos 2 x = 0 3) 3 cos 2 x + 3 sin x cos x = 2 4) 3 cos x + 4 sin x = 5 5) 6 cos 2 x – 2 sin 2 x = 5

Ответы: 1) x = π/2 + πk, k – Z x = 2 πn, n – Z x = — π/4 + πm, m – Z 2) x = π/4 + πn, n – Z x = — arctg 7/4 + πk, k – Z 3) x = arctg (3±√ 17/4 ) + πn, n – Z 4) x = 2 arctg ½ + 2 πn, n – Z 5) x = ±arctg √ 7/7 + πn, n — Z

Решение уравнений, используя равенство одноименных тригонометрических функций Решаются по формулам: 1) sin x = sin y x = y + 2 πn, n – Z x = π – y + 2 πn, n – Z 2) cos x = cos y x = y + 2πn, n – Z x = -y + 2 πn, n — Z 3) tg x = tg y x = y + πn, n — Z x ≠ π/2 + πk, k — Z y ≠ π/2 + πm, m — Z 4) ctg x = ctg y x = y + πn, n — Z x ≠ πk, k – Z y ≠ πm, m — Z

Решение уравнений, используя равенство одноименных тригонометрических функций 1) sin 10 x = sin 5 x 10 x = 5 x + 2 πn 10 x = π – 5 x + 2 πn, n – Z x = 2πn/5 x = π/15 + 2 πn/15, n – Z 2) cos 4 x = sin 5 x cos 4 x = cos (π/2 – 5 x) 4 x = π/2 – 5 x + 2 πn x = π/18 + 2 πn/9 4 x = — π/2 + 5 x + 2 πn, n – Z x = π/2 + 2 πn, n – Z

? Решение уравнений, используя равенство одноименных тригонометрических функций Попробуйте решить следующие уравнения: 1) tg 3 x = tg x 2) cos x = cos (1 — 4 x) 3) cos x = sin 5 x 4) cos 6 x = 1 – 2 sin 2 x

Ответы: 1) x = πn/2, n – Z x ≠ π/2 + πk, k – Z 2) x = 1/5 + 2πn/5, n – Z x = 1/3 + 2πk/3, k – Z 3) x = π/12 + πn/3, n – Z x = π/8 + πk/2, k – Z 4) x = πn/2, n – Z x = πn/4, n — Z

Решение уравнений используя формулу понижения степени Решаются по формулам: cos 2 x = ½ (cos 2 x + 1) 2 cos 2 x = cos 2 x + 1 sin 2 x = ½ (1 -cos 2 x) 2 sin 2 x = 1 – cos 2 x Например: cos 2 x + sin 4 x = 2 cos 6 x 4 cos 2 x + (1 – cos 2 x)2 = (cos 2 x + 1)3 cos 2 x = t |t| ≤ 1 4 t + 1 – 2 t + t 2 = t 3 + 3 t 2 + 3 t + 1 t (t +1)2 = 0 t=0 cos 2 x = 0 x = π/4 + πn/2, n — Z t = -1 cos 2 x = -1 x = π/2 + πk, k — Z

Решение уравнений методом введения вспомогательного угла a sin x + b cos x = 0 √a 2 + b 2 * ((a/ √a 2 + b 2 )* sin x+ (b/ √a 2 + b 2) cosx = 0 sin (x + φ) = 0 cos φ = a/ (a/√a 2 + b 2) x = — arccos (a/√a 2 + b 2) ± πn, n – Z Например: 5 sin x – 2 cos x = — √ 29/2 5/√ 29 sin x – 2/√ 29 cos x = — ½ sin (x – φ) = — ½ sin φ = 2/√ 29 x – φ = (-1)n+1 π/6 + πn, n – Z x = (-1)n+1 π/6 + arcsin 2/√ 29 + πn, n — Z

Метод универсальной тригонометрической подстановки Уравнения решаются по формулам: cos x = (1 – tg 2(x/2)) / (1 + tg 2 (x/2)) sin x = (2 tg(x/2)) / (1 + tg 2(x/2)) Например: 10 cos 2 x + 8 = tg x 10 ((1 – tg 2 x)/(1+tg 2 x)) + 8 – tg x = 0 tg x = t 10 – 10 t 2 + 8 t 2 – t 3 = 0 t = 2 – корень (t – 2)*(t 2 +4 t +9) = 0 tg x = 2 x = arctg 2 + πn, n – Z

Использование ограниченности функций |sin x| ≤ 1, |cos x| ≤ 1 1)cos 4 x – sin x – 2 = 0 cos 4 x – sin x = 2 cos 4 x = 1 x = πn/2, n — Z -sin x = 1 x = — π/2 + 2 πk, k – Z 2) cos 5 x + sin 4 x = 1 cos 5 x ≤ cos 2 x sin 4 x ≤ sin 2 x равенство выполняется при cos x =1 sin x = 1 cos x = 0 sin x = -1 sin x = 0 Ответ: x = π/2 + πn, n — Z x = 2πk, k — Z

Об авторах Ларионова Ксюша, умная, красивая, добрая, а главное — очень скромная!!!: ) Коняшкина Катя, еще умнее, еще красивее, еще добрее, а главное еще скромнее!!! : ) Материалы взяты из учебника «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н. Колмогорова

Решение основных тригонометрических уравнений с синусом | Тригонометрия

Решение основных тригонометрических уравнений с синусом

Шаг 1: Найдите заданные тригонометрические уравнения.

Шаг 2: Замените {eq}\sin(x)= t {/eq} в данном тригонометрическом уравнении.

Шаг 3: Решите полиномиальное уравнение.

Шаг 4: Рассчитать {eq}x {/eq}, заменив {eq}t=\sin(x) {/экв}.{2} (х) — 2 \sin (х)=1 {/экв}

Основными тригонометрическими функциями являются синус, косинус и тангенс.

$$\sin x = \frac{\text{Противоположная сторона}}{Гипотенуза} $$

$$\cos x = \frac{\text{Смежная сторона}}{гипотенуза} $$

$$\tan x = \frac{\text{Противоположная сторона}}{\text{Смежная сторона}} $$

где,

{экв.}x {/eq} — острый угол прямоугольного треугольника.

В приведенном выше треугольнике мы можем вычислить тригонометрическую функцию как. \циркуляр {/экв}

{экв} х = \ гидроразрыва {\ пи} {2} {/экв}

Период синусоидальной функции равен {eq}2\pi {/экв}.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+ 2\pi n \text { и } \frac{\pi}{2}+2\pi n $$

Для всех целых значений n.

Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

Объяснение урока: Простые тригонометрические уравнения

В этом объяснении мы узнаем, как находить меры угла по заданным значениям интервала и функции.

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, которое включает по крайней мере одно из следующего: тригонометрическую функцию, такую ​​как синус, косинус или тангенс; обратная тригонометрическая функция, такая как косеканс, секанс или котангенс; или инверсия любого из них. Некоторые из более простых примеров таких уравнений можно решить без использования калькулятора; однако для большинства из них было бы утомительно пытаться запомнить конкретные значения тригонометрической функции. В этих случаях мы используем обратную функцию наряду со знанием симметрии и периодичности их графиков для вычисления дополнительных решений.

Прежде чем мы продемонстрируем, как использовать симметрию графика тригонометрической функции для нахождения всех решений в заданном интервале, мы сначала напомним точные значения синуса, косинуса и тангенса ряда специальных углов.

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник с двумя сторонами длиной 1 см, как показано на рисунке.

Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить длину гипотенузы как √1+1=√2см. Затем, используя тригонометрическое соглашение для обозначения сторон относительно угла в верхней части диаграммы, мы можем вычислить точное значение sin(45)∘.sinopphypsin𝜃=45=1√2=√22.∘

Используя этот равнобедренный треугольник и приведенный ниже равносторонний треугольник, вы сможете получить следующие точные значения синуса, косинуса и тангенса (как показано в таблице).

Точные значения для заданных значений 𝜃 следующие.

θ 0 θ 0∘ 30 = Π6∘ 45 = Π4∘ 60 = Π3∘ 90 = Π2∘
Sinθ 0 12 1√2 = √22 √32 1
1 √32 1√2 = √22 1√2 = √22 12 0
Tanθ 0 1√3 = √ 33 1 √3 Undefined

Важно, чтобы мы могли вспомнить эти точные значения, не чувствуя необходимости тянуться к калькулятору, и поэтому нам нужно время, чтобы ознакомиться с данные таблицы.

В первом примере мы покажем, как использовать симметрию графика синуса вместе с таблицей точных значений, чтобы найти все решения простого тригонометрического уравнения.

Пример 1. Определение общего решения тригонометрического уравнения

Каково общее решение sin𝜃=√22?

Ответ

Чтобы найти общее решение тригонометрического уравнения, мы начинаем с поиска частного решения. В этом случае может помочь таблица точных тригонометрических величин.

Для угла 𝜃, выраженного в радианах, точные значения функции синуса следующие.

θ 0 π6 π4 π3 Π2
Sinθ 0 12 √22 √32 1
1

Мы наблюдаем, что Sinπ4 =√22, поэтому 𝜃=𝜋4 является частным решением уравнения sin𝜃=√22.

Чтобы найти другие решения, мы нарисуем график 𝑦=𝜃sin, как показано на следующем рисунке.

Решения sin𝜃=√22 находятся добавлением к диаграмме линии 𝑦=√22. Значения 𝜃 в точках пересечения этой линии с синусоидой являются решениями уравнения.

Поскольку синусоида имеет симметрию относительно 𝜋2 в интервале 0≤𝜃≤𝜋, второе решение находится вычитанием 𝜋4 из 𝜋: 𝜋−𝜋4=3𝜋4.

Помните, функция синуса является периодической с периодом 2𝜋 радиан, поэтому дальнейшие решения можно найти, добавляя или вычитая 2𝜋 радиан из конкретных решений.

Другими словами, решение 𝜋4+2𝑛𝜋, 3𝜋4+2𝑛𝜋, для целых значений 𝑛.

В качестве альтернативы, это может быть представлено с помощью обозначения множества как 𝜋4+2𝑛𝜋, 3𝜋4+2𝑛𝜋, где 𝑛∈ℤ.

В предыдущем примере мы продемонстрировали, как интерпретировать симметрию графика синуса, чтобы найти все решения уравнения. Другим мощным инструментом, который можно использовать для расширения области определения функции синуса, является единичный круг. Помните, что это круг с центром в начале координат и радиусом в 1 единицу.Чтобы использовать единичную окружность для определения синуса 90 275 любого угла 90 276 𝜃, мы начинаем в точке (1,0) и движемся по окружности в направлении против часовой стрелки, пока угол, который образуется между этой точкой, началом , а положительная 𝑥-ось равна 𝜃. Тогда, если эта точка имеет координаты (𝑥,𝑦), sin𝜃 равен значению 𝑦.

Обратите внимание, что значение 𝑦-координаты положительно как в 1-м, так и во 2-м квадрантах; следовательно, значение sin𝜃 также будет положительным в этих квадрантах. Кроме того, поскольку единичный круг обладает отражательной симметрией относительно оси 𝑦, мы можем видеть, что sinsin𝜃=(180−𝜃).

Продолжая двигаться по окружности единичной окружности, мы можем увидеть, что sinsin𝜃=(360+𝜃) для всех значений 𝜃.

Эти результаты можно обобщить следующим образом.

Практическое руководство. Поиск решений простых уравнений, включающих функцию синуса

Если 𝜃=𝜃 является решением уравнения sin𝜃=𝑐 для некоторой константы 𝑐∈[−1,1], второе решение дается формулой 𝜃 =180−𝜃.Тогда множество всех решений sin𝜃=𝑐 равно 𝜃=𝜃+2𝑛𝜋𝜃=𝜋−𝜃+2𝑛𝜋,𝑛∈ℤ.и где

Если 𝜃 измеряется в градусах, решения 𝜃=𝜃+360𝑛𝜃=180−𝜃+360𝑛,𝑛∈ℤ.andwhere

Хотя нам может показаться склонным запоминать эти формулы, на практике гораздо эффективнее набросать график функции синуса или единичный круг, чтобы помочь нам вывести множество решений уравнения, включающего функцию синуса. Давайте продемонстрируем это на нашем следующем примере.

Пример 2. Поиск решений тригонометрического уравнения в заданном диапазоне

Найдите набор значений, удовлетворяющих 4𝜃−1=0sin, где 90≤𝜃≤360∘∘.

Ответ

Чтобы решить это простое тригонометрическое уравнение, мы начнем с перестановки, чтобы сделать функцию синуса предметом: 4𝜃−1=04𝜃=1𝜃=14.sinsinsin

Необходимо соблюдать осторожность на следующем этапе вычислений. Мы должны взять как положительные, так и отрицательные квадратные корни из 14. Это приведет к созданию пары уравнений с точки зрения греха𝜃: синорсинсинорсин𝜃=14𝜃=-14,𝜃=12𝜃=-12.

Обратите внимание, что мы могли бы также разложить выражение 4𝜃−1sin на множители как (2𝜃−1)(2𝜃+1)sinsin, а затем решить уравнение (2𝜃−1)(2𝜃+1)=0sinsin, чтобы получить то же самое результат.

Далее, чтобы решить первое уравнение, мы вспоминаем точные значения sin𝜃, где 𝜃 измеряется в градусах, следующим образом.

161 30160 θ 30∘ 60∘ 161

0 90∘

Sinθ 0 12 √22 √32 1

Следовательно, решением уравнения sin𝜃=12 является 𝜃=30∘. Обратите внимание, что это выходит за пределы указанного интервала 90≤𝜃≤360∘∘, поэтому мы будем учитывать симметрию единичного круга, чтобы найти дальнейшие решения.

Мы видим, что единственным решением в заданном интервале является 𝜃=180−30=150∘.

Теперь мы решим второе уравнение, снова используя симметрию единичного круга. Поскольку sin𝜃=𝑦 для всех 𝜃, а значение 𝑦 отрицательно в 3-м и 4-м квадрантах, мы добавляем здесь прямоугольные треугольники, как показано.

Следовательно, следующие два решения равны 𝜃=180+30=210∘ и 𝜃=360−30=330∘. На этом этапе мы могли бы захотеть найти дополнительные решения, добавив к ним целые числа, кратные 360∘, но это привело бы к значениям, выходящим за пределы требуемого интервала.

Набор значений, удовлетворяющих 4𝜃−1=0sin, где 90≤𝜃≤360∘∘, равен {150,210,330}.∘∘∘

В предыдущем примере мы продемонстрировали, как использовать симметрию единичного круга с информацией о точных значениях для решения тригнометрических уравнений, где 𝜃 не является острым углом. Стоит отметить, что для решения второго уравнения sin𝜃=−12 мы могли бы в качестве альтернативы использовать функцию обратного синуса и калькулятор, чтобы найти 𝜃=−12=−30.sin∘

Если бы мы выбрали этот метод, нам пришлось бы рассматривать области единичного круга, где 𝜃0∘, и применять правила симметрии и периодичности как обычно.

В нашем следующем примере мы рассмотрим, как использовать симметрию графика функции косинуса для решения тригнометрического уравнения.

Пример 3. Решение тригонометрического уравнения со смещенным углом в заданном диапазоне

Найдите множество значений, удовлетворяющих условию cos(𝜃−105)=−12, где 0𝜃360∘∘.

Ответ

Чтобы найти решения тригонометрического уравнения в заданном интервале, мы начинаем с поиска частного решения. В этом случае может помочь таблица точных тригонометрических величин.

Сначала мы переопределим аргумент функции, положив 𝛼=𝜃−105 таким образом, что косанд𝛼=−12𝜃=𝛼+105.

Изменение интервала действия наших решений путем добавления 105∘ дает −105𝛼255∘∘. Тогда точные значения cos𝛼, где 𝛼 измеряется в градусах, следующие.

α α 0∘ 30∘ 4 60∘ 161
Cosα

1

1 √22 √22 12 0

Мы видим, что cos𝛼=12; однако в таблице нет таких значений 𝛼, что cos𝛼=−12.Нарисовав график функции косинуса и линии 𝑦=12 и 𝑦=-12, мы можем найти соответствующее значение 𝛼.

Граф имеет вращательную симметрию между 0≤𝛼≤180∘∘ относительно (90,0)∘, поэтому первое решение cos𝛼=−12 есть 𝛼=180−60=120.∘

Используя симметрию кривой, следующее решение 𝛼=180+60=240.∘

По-видимому, есть еще одно решение, полученное с помощью 𝛼=120+360=480∘; однако это вне интервала 105𝛼465∘∘.

Следовательно, решения cos𝛼=−12 равны 𝛼=120∘ и 𝛼=240∘.

Поскольку мы определили 𝜃=𝛼+105, решения cos(𝜃−105)=−12 равны 𝜃=120+105=225𝜃=240+105=345,∘∘и

Следовательно, множество решений {225,345}. ∘∘

Обратите внимание, что альтернативный метод нахождения частного решения cos𝛼=−12 заключается в использовании функции арккосинуса, такой что 𝛼=−12=120.cos∘

На этом этапе оставшиеся шаги для поиска других решений такие же.

Помните, мы также можем использовать симметрию единичного круга для достижения того же результата.Точно так же, как значение 𝑦-координаты точки пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью говорит нам значение sin𝜃, значение 𝑥-координаты говорит нам значение cos𝜃.

Поскольку значение 𝑥-координаты положительно в 1-м и 4-м квадрантах, в силу симметрии единичного круга coscos𝜃=(360−𝜃).

Используя симметрию единичной окружности и периодичность функции косинуса, мы можем привести формулы для общего решения уравнений, включающих эту функцию.

Практическое руководство. Решение простых уравнений с использованием функции косинуса

Если 𝜃=𝜃 является решением уравнения cos𝜃=𝑐 для некоторой константы 𝑐∈[−1,1], второе решение определяется выражением 𝜃=360 −𝜃. Тогда множество всех решений cos𝜃=𝑐 есть 𝜃=𝜃+2𝑛𝜋𝜃=2𝜋−𝜃+2𝑛𝜋,𝑛∈ℤ.и где

Если 𝜃 измеряется в градусах, решения 𝜃=𝜃+360𝑛𝜃=360−𝜃+360𝑛,𝑛∈ℤ.andwhere

В предыдущем примере мы продемонстрировали, как решить тригонометрическое уравнение, где аргумент тригонометрической функции каким-то образом преобразован.В таких случаях мы начинаем с переопределения аргумента и изменения интервала, на котором мы решаем, что позволяет нам использовать симметрию стандартных тригонометрических кривых, прежде чем окончательно решить полученные уравнения в 𝜃. Как правило, это более разумный путь, чем попытки применить преобразования к кривым тригонометрических функций. Это кратко изложено ниже.

Практическое руководство. Решение простого тригонометрического уравнения с преобразованным аргументом

  1. Переопределение аргумента тригонометрической функции (например,г., пусть 𝑥=𝜃+30).
  2. Изменить заданный интервал, на котором должны быть найдены решения, используя то же определение (например, 0≤𝜃≤360∘∘ означает 30≤𝑥≤390∘∘).
  3. Найдите все решения полученного уравнения на этом новом интервале.
  4. Преобразуйте эти решения обратно в исходную переменную, используя исходное определение (например, 𝜃=𝑥−30).

Теперь мы покажем, как использовать эту технику для решения уравнения с тройным углом.

Пример 4. Решение тригонометрического уравнения с тройным углом в заданном диапазоне

Найдите множество значений, удовлетворяющих условию sin3𝑥=1, где 0≤𝑥≤2𝜋.

Ответ

Чтобы решить sin3𝑥=1, мы начнем с переопределения аргумента. Положив 𝜃=3𝑥, так что 𝑥=𝜃3, уравнение принимает вид sin𝜃=1, где 0≤𝜃3≤2𝜋. Чтобы упростить этот интервал, мы умножаем на 3, чтобы получить 0≤𝜃≤6𝜋.

Теперь мы можем решить уравнение sin𝜃=1 на этом новом интервале. Для угла 𝜃, заданного в радианах, точные значения функции синуса следующие.

θ 0 π6 π4 π3 π2
Sinθ 0 12 √22 √32 1
1

Отсюда, решение к уравнению sin𝜃=1 равно 𝜃=𝜋2. Чтобы найти дальнейшие решения, нарисуем график 𝑦=𝜃sin на интервале 0≤𝜃≤6𝜋, помня, что функция синуса является периодической с периодом 2𝜋 радиан.

Мы видим, что решения встречаются каждые 2𝜋 радиана, поэтому наши дополнительные решения равны 𝜃=5𝜋2 и 𝜃=9𝜋2.

Следовательно, множество решений sin𝜃=1 на требуемом интервале равно 𝜋2,5𝜋2,9𝜋2.

Поскольку 𝑥=𝜃3, мы можем найти множество решений sin3𝑥=1, разделив каждое из этих значений на 3. Тогда множество решений равно 𝜋6,5𝜋6,3𝜋2.

Теперь мы продемонстрируем, как применить этот процесс для решения уравнений, включающих функцию тангенса.

Пример 5. Решение тригонометрического уравнения, содержащего сдвинутый двойной угол в заданном диапазоне

Найдите набор значений, удовлетворяющих тангенсу 2𝑥+𝜋5=−1, где 0≤𝑥≤2𝜋.

Ответ

Чтобы решить это уравнение, мы начнем с переопределения аргумента, что позволит нам использовать симметрию функции тангенса. Пусть 𝜃=2𝑥+𝜋5, поэтому tan𝜃=−1 на 𝜋5≤𝜃≤21𝜋5.

Затем мы можем использовать таблицу точных значений и знания о периодичности функции тангенса для решения этого нового уравнения.

Помните, что для 𝜃, измеренного в радианах, точные значения tan𝜃 следующие.

θ 0 Π6 Π4 π3 Π2
Tanθ

1

0 1√3 = √33 1 √3 undefined

Мы видим, что tan𝜋4=1, поэтому давайте воспользуемся этим, чтобы найти значение 𝜃, где tan𝜃=−1. График 𝑦=𝜃tan нарисован на интервале 0≤𝜃≤21𝜋5 ниже.

Мы видим, что график функции тангенса имеет вращательную симметрию относительно (𝑛𝜋,0), где 𝑛∈ℤ.Следовательно, первое решение tan𝜃=−1 равно 𝜃=𝜋−𝜋4=3𝜋4. Точно так же, поскольку функция является периодической с периодом 𝜋 радиан, остальные решения находятся путем добавления к этому значению множителей 𝜋: 𝜃=3𝜋4+𝜋=7𝜋4,𝜃=3𝜋4+2𝜋=11𝜋4,𝜃=3𝜋4+3𝜋=15𝜋4.

Теперь у нас есть четыре решения tan𝜃=−1 на требуемом интервале. Поскольку мы определили 𝜃=2𝑥+𝜋5, мы можем найти значение 𝑥, установив 𝜃=2𝑥+𝜋5 в каждом случае и найдя 𝑥. В случае первого значения 𝜃 это дает 2𝑥+𝜋5=3𝜋42𝑥=11𝜋20𝑥=11𝜋40.

Аналогичным образом оставшиеся значения 𝑥 равны 31𝜋40, 51𝜋40 и 71𝜋40.Следовательно, набор значений, удовлетворяющих tan2𝑥+𝜋5=−1, где 0≤𝑥≤2𝜋, равен 11𝜋40,31𝜋40,51𝜋40,71𝜋40.

В предыдущем примере мы рассмотрели периодичность функции тангенса. Как мы сделали для функций синуса и косинуса, мы можем привести общие решения уравнений, включающих эту функцию.

Практическое руководство. Решение простых уравнений с использованием функции тангенса

Если 𝜃=𝜃 является решением уравнения tan𝜃=𝑐, для некоторой константы 𝑐∈ℝ множество всех решений уравнения tan𝜃=𝑐 равно 𝜃=𝜃+𝑛𝜋,𝑛∈ℤ.где

Если 𝜃 измеряется в градусах, решение 𝜃=𝜃+180𝑛,𝑛∈ℤ.где

До сих пор мы рассматривали только «стандартные» тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс. Важно понимать, что процесс выполняется для обратных функций: косеканса, секанса и котангенса. Мы продемонстрируем это на следующем примере.

Пример 6. Нахождение общего решения обратного тригонометрического уравнения

Найдите общее решение уравнения sec𝜃=−√2.

Ответ

Напомним, что функция секанса является обратной функцией косинуса. Другими словами, секко𝜃≡1𝜃.

Следовательно, уравнение sec𝜃=−√2 можно переписать как 1𝜃=-√2𝜃=-1√2=-√22.coscos

Мы знаем, что для угла 𝜃, измеренного в радианах, применяются следующие точные значения функции косинуса.

θ 0 Π6 Π4 Π3 Π2
COSθ

1

0 √22 √22 12 0
0

Пока мы наблюдаем значение cos𝜋4 равно √22, для −√22 значения нет.Вместо этого мы нарисуем график 𝑦=𝜃cos, чтобы вывести соответствующие решения.

Граф имеет вращательную симметрию между 0≤𝛼≤180∘∘ относительно 𝜋2,0, поэтому первое решение cos𝜃=−√22 есть 𝜃=𝜋−𝜋4=3𝜋4.

Аналогично, следующее решение дается выражением 𝜃=3𝜋2−𝜋4=5𝜋4.

Поскольку функция косинуса является периодической с периодом 2𝜋 радиан, дальнейшие решения находятся путем добавления целых кратных к любому из этих решений. Например, мы могли бы найти другое решение, вычитая 2𝜋 из 5𝜋4: 𝜃=5𝜋4−2𝜋=−3𝜋4.

Другими словами, общее решение sec𝜃=−√2 есть 3𝜋4+2𝜋𝑛,5𝜋4+2𝜋𝑛,𝑛∈ℤ.где

Альтернативно, где

интервал или его общее решение. Сейчас мы повторим ключевые понятия.

Ключевые моменты

  • Мы можем решать простые тригонометрические уравнения, используя таблицы точных значений или обратные тригонометрические функции.
  • Чтобы помочь нам вычислить все решения данного уравнения в заданном диапазоне, мы можем нарисовать график необходимой тригонометрической функции или использовать единичный круг.
  • Симметрия и периодичность функций синуса, косинуса и тангенса позволяют нам вычислять дальнейшие решения тригонометрических уравнений или общие решения, включающие целые числа, кратные 360∘ или 2𝜋 для синуса и косинуса и 180∘ и 𝜋 для тангенса.

Тригонометрические уравнения – объяснение и примеры

Тригонометрические уравнения — это уравнения, в которых участвуют тригонометрические функции и неизвестные углы.

Эти уравнения часто требуют использования тригонометрических тождеств для решения неизвестной переменной. Поскольку тригонометрические функции являются периодическими, существует решение между $0$ и $2\pi$, если решение существует, но в этом случае будет существовать бесконечно много других решений. Возможно также, что уравнение не имеет решения.

Поскольку тригонометрические уравнения предполагают решение неизвестных переменных, они полезны во всех конкретных приложениях тригонометрии, включая науку и технику.

Прежде чем читать этот раздел, обязательно ознакомьтесь с тем, как решать линейные и квадратные уравнения, обратные триггерные функции и триггерные тождества.

В этом разделе рассматриваются:

  • Что такое тригонометрическое уравнение?
  • Как решить тригонометрическое уравнение
08
  • тригонометрические уравнения с более чем одним тремя функциями
    • Основные тригонометрические уравнения
    • тригонометрические уравнения без решения

    Что тригонометрическое уравнение?

    Тригонометрическое уравнение — это уравнение, включающее тригонометрические функции и неизвестные углы. Эти неизвестные углы будут переменными в уравнениях.

    Поскольку тригонометрические функции являются периодическими, они имеют бесконечно много решений, если существует решение с действительным знаком. Обычно за решение уравнения принимают решение на интервале от $0$ до $2\pi$ радиан, если не указано иное. Это называется основным решением.

    Однако иногда требуется общее решение. Это решение, которое включает в себя все возможные углы, которые могут работать в уравнении.Такое решение будет включать переменную «n», где «n» — целое число.

    Простой пример тригонометрического уравнения: $sinx=0$. Поскольку синус равен $0$ при $0$ радианах и $\pi$ радианах, главным решением является $0$ или $\pi$. Общее решение: $0+n\pi$, где $n$ — целое число.

    Однако в большинстве случаев тригонометрические уравнения требуют больше работы, чем просто использование обратных триггерных функций. Это потому, что они обычно немного сложнее. Как правило, использование тригонометрических тождеств для перезаписи уравнения с использованием только одного типа тригонометрической функции является лучшим способом решения тригонометрических уравнений.

    Как решить тригонометрическое уравнение

    Решение тригонометрических уравнений работает почти так же, как решение полиномиальных уравнений, когда задействована только одна тригонометрическая функция. То есть триггерные функции следует рассматривать как переменные в некоторой степени, даже если они являются функциями переменной.

    Если наивысшая степень тригонометрического уравнения равна $1$, получить все тригонометрические функции с одной стороны уравнения, а все остальные — с другой. Затем используйте обратные триггерные функции в обеих частях уравнения, чтобы отменить триггерную функцию.Это создаст общее полиномиальное уравнение, которое можно решить, используя обратный порядок операций.

    Если старшая степень тригонометрических функций больше $1$, ее можно решить так же, как полиномы со степенью больше $1$. Их легче всего решить, если их можно разложить на множители как квадратичные. Факторинг также с группировкой работает, когда мощность больше $2$.

    Однако, если существует более одной триггерной функции, необходимо сначала переписать уравнение, чтобы была только одна функция. Это делается с помощью тригонометрических тождеств. После этого эти шаги можно использовать для упрощения и решения.

    Тригонометрические уравнения с более чем одной триггерной функцией

    Иногда тригонометрические уравнения включают более одной тригонометрической функции. В этом случае нет смысла применять обратную триггерную функцию к обеим частям уравнения, поскольку это не отменит все триггерные функции. В этом случае используйте тригонометрические тождества, чтобы сделать все триггерные функции одинаковыми.

    Если добавляется или вычитается триггерная функция (такая как $sinx+siny$), используйте тождества сложения/вычитания, чтобы объединить ее в одну функцию.

    Конечная цель решения тригонометрических функций состоит в том, чтобы получить одну тригонометрическую функцию первой степени с одной стороны уравнения и числа с другой стороны. Это означает, что левая часть может быть отменена с помощью обратной триггерной функции, что делает возможным нахождение переменной, если решение существует.

    Основные тригонометрические уравнения

    Основные тригонометрические уравнения имеют вид $funx=a$, где $fun$ обозначает любую из шести тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, косеканса, секанса и котангенса, а $a$ число.

    Это базовые тригонометрические уравнения, поскольку для их решения не требуется никакой перестановки. Чтобы отменить тригонометрическую функцию, примените обратные тригонометрические функции к обеим сторонам. Следовательно, решением этого уравнения является $x=arcfun(a)$, где $arcfun$ — соответствующая обратная тригонометрическая функция.

    При решении уравнения вида $fun(f(x))=a$ начните, как и раньше, с применения обратной тригонометрической функции к обеим частям. Это дает $f(x)=arcfun(a)$. Затем найдите $x$, используя алгебраические методы.

    Если функция триггера представляет собой синус, косинус, секанс или косеканс, общее решение будет $arcfun(a)+2n\pi$ для любого целого числа $n$. Если тригонометрическая функция является касательной или кокасательной, общим решением является $arcfun(a)+n\pi$ для любого целого числа $n$.

    Важно знать, как решать эти основные уравнения, потому что конечной целью решения общего тригонометрического уравнения является приведение уравнения к форме $fun(x)=a$ или $fun(f(x))=a$.

    Тригонометрические уравнения без решения

    Не все тригонометрические уравнения имеют решение.

    Некоторые тригонометрические уравнения не имеют решений. Это связано с тем, что обратная триггерная функция не всегда определена для всех значений. Например, синус и косинус угла должны быть между $-1$ и $1$. Косеканс и секанс не могут лежать в интервале $(-1, 1)$.

    Таким образом, уравнения типа $cosx=5$ и $cscx=0$ не имеют решения в действительных числах. Существуют решения с участием мнимых (комплексных) чисел, но они выходят за рамки этой статьи.

    Обратите внимание, что хотя тангенс и котангенс определены для всех действительных значений, все же можно получить уравнение, где $tanx=c$ для комплексного, не действительного числа $c$.Такая функция также не имела бы вещественного решения.

    Примеры

    В этом разделе рассматриваются распространенные задачи, связанные с тригонометрическими уравнениями, и их пошаговые решения.

    Пример 1

    Найдите главное и общее решения основного тригонометрического уравнения $cosx=-1$.

    Решение

    Это уравнение уже имеет форму $funx=a$. Поэтому для решения примените обратную тригонометрическую функцию — в данном случае функцию арккосинуса — к обеим частям уравнения.2x} = \pm \sqrt{1}$.

    Помните, что есть положительный и отрицательный квадратный корень, потому что $1\time1=1$ и $-1 \times -1=1$.

    Следовательно, упрощая, это:

    $sinx=1$ или $sinx=-1$.

    Чтобы решить это, возьмите арксинус обеих частей двух уравнений. Это дает:

    $x=\frac{\pi}{2}$ радиан или $x=\frac{3\pi}{2}$ радиан.

    Это основное решение. Поскольку синус периодичен в $2\pi$, общее решение равно $\frac{\pi}{2}+2n\pi$ радиан или $\frac{3\pi}{2}+2n\pi$ радиан для любого целого числа $n$. 2+2x+1-\frac{2\pi}{3}=0$.

    Поскольку третье слагаемое не простое, для решения используйте формулу квадратного уравнения.

    $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(1-\frac{2\pi}{3})}}{2}$ радиан.

    Это упрощается до $x=1-\sqrt{\frac{2\pi}{3}}$ радиан или $x = \sqrt{\frac{2\pi}{3}}-1$ радиан, или приблизительно $-2,45$ радиан или $0,45$ радиан.

    Поскольку тангенс периодичен по $\pi$, общими решениями являются $x=1-\sqrt{\frac{2\pi}{3}}+n\pi$ радиан или $x = \sqrt{\frac{ 2\pi}{3}}-1+n\pi$ радиан для любого целого числа $n$.

    Пример 4

    Найдите решение тригонометрического уравнения $sin(x-1)+sin(x+1)+1=0$.

    Решение

    Начните с составления уравнения так, чтобы в левой части были только триггерные функции, а в правой — только числа. Для этого просто нужно вычесть 1 доллар с обеих сторон.

    $sin(x-1)+sin(x+1) = -1$.

    Это уравнение, однако, не имеет формы $funx=a$. Существуют две различные функции синуса. Используйте формулу суммы, чтобы помочь.

    $sin(x-1)+sin(x+1) = 2sin(\frac{x+1+x-1}{2})cos(\frac{x+1-(x-1)}{ 2})$.

    Это упрощает до:

    $2sin(x)cos(1)$.

    В этом случае $cos(1)$ — это просто число. Его можно рассматривать как константу. Следовательно, тригонометрическое уравнение можно переписать как:

    $2sin(x)cos(1) = -1$ 

    Или

    $sin(x) = \frac{-1}{2cos(1)}$.

    Возьмите арксинус обеих сторон, чтобы получить точный ответ:

    $x = arcsin(\frac{-1}{2cos(1)})$.

    В десятичном приближении это составляет $-1,18$ радиан. Следовательно, общее решение равно $-1.2(2x) = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$.

    Затем извлеките квадратный корень из обеих сторон, чтобы получить:

    $cos(2x) = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}$.

    Теперь уравнение имеет вид $fun(f(x))=a$. Поэтому возьмите арккосинус обеих сторон. Это:

    $2x = arccos(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}$.

    Наконец, разделите обе части на $2$, чтобы найти $x$.

    $x = \frac{arccos(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}}{2}$ радиан.

    Хотя правая часть этого уравнения выглядит сложной, это просто константа.Вставка значений в калькулятор показывает, что он имеет десятичную аппроксимацию 0,50 радиана.

    Это основное решение. Поскольку косинус периодичен в $2\pi$, общее решение равно $\frac{arccos(\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}}{2} + 2n\pi$ радиан для любого целого числа , $n$

    Пример 6

    Найдите решение уравнения $tan(x)+cot(x) = \frac{1}{2}$

    Решение

    И снова это уравнение содержит два различные типы тригонометрических функций.Использование тригонометрических тождеств для того, чтобы существовал только один тип функции, упростит уравнение.

    В этом случае начните с фактор-тождеств $tanx=\frac{sinx}{cosx}$ и $cotx=\frac{cosx}{sinx}$. Это дает:

    $\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx} = \frac{1}{2}$.

    Теперь умножьте первую дробь на $\frac{sinx}{sinx}$, а вторую на $\frac{cosx}{cosx}$. Две дроби имеют одинаковые знаменатели, и их сложение дает:

    $\frac{sin^2x+cos^2x}{cosxsinx} = \frac{1}{2}$.

    Тождество Пифагора показывает, что числитель равен $1$. Таким образом, все уравнение упрощается до установки равных знаменателей.

    $cosxsinx=2$.

    Это похоже на тождество $2cosxsinx=sin(2x)$. Поэтому умножьте обе части уравнения на $2$.

    $2cosxsinx=4$

    $sin(2x)=4$.

    Но синус любого угла должен быть между $-1$ и $1$. Следовательно, не существует угла $2x$, такого что $sin(2x)=4$. Таким образом, у этого уравнения нет решения.

    Решение тригонометрических уравнений – математические советы

    \(\displaystyle \begin{array}{c}4\sin x\cos x=2\sin x\\\text{Interval }(0,2\pi )\ конец {массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{array}{c}4\sin x\cos x-2\sin x=0\\2\sin x\left( {2\cos x-1} \right)=0\ конец{массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{align}2\sin x=0\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,2\cos x-1=0\\\sin x =0\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\cos x=\frac{1}{2}\\x=0,\,\,\pi \ ,\,\,\,\,&\,\,\,\,x=\frac{\pi }{3},\,\frac{{5\pi}}{3}\end{align}\ )

    \(\displaystyle x=\left\{{0,\pi ,\frac{\pi}}{3},\frac{{5\pi}}{3}} \right\}\)

    \(\displaystyle \begin{array}{c}4{{\cos}^{4}}\theta -7{{\cos}^{2}}\theta+3=0\\\text{Общие Решения (в градусах)}\end{массив}\)

     

    \(\displaystyle \left( {4{{{\cos}}^{2}}\theta -3} \right)\left( {{{{\cos}}^{2}}\theta -1 } \справа)=0\)

     

    \(\displaystyle \begin{align}\sqrt{{{{{\cos}}^{2}}\theta}}=\sqrt{{\frac{3}{4}}}\,\,\ ,\,\,\,&\,\,\,\,\,\sqrt{{{{{\cos}}^{2}}\theta}}=\sqrt{1}\\\,\cos \ theta = \ pm \ frac {{\ sqrt {3}}} {2} \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \ cos \ theta = \ вечера 1\,\конец{выравнивание}\)

    \(\displaystyle \begin{array}{c}\text{(Добавить }180{}^\circ k\text{ вместо }360{}^\circ k\text{ из-за }\pm )\\ \,\,\,\theta =30{}^\circ +180{}^\circ k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\theta = 180{}^\circ k\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\тета = 330{}^\circ +180{}^\circ k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\left\{ \begin{array}{l}\theta |\theta =30{ }^\circ +180{}^\circ k,\,\,\theta =330{}^\circ +180{}^\circ k,\\\,\,\,\,\theta =180{ }^\circ k\конец{массив} \right\}\конец{массив}\)

    \(\displaystyle \begin{array}{c}2{{\sec }^{2}}x-3\sec x=2\\\text{Общие решения}\end{массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{array}{c}2{{\sec}^{2}}x-3\sec x-2=0\\\left( {2\sec x+1} \right) \left( {\sec x-2} \right)=0\end{массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{align}\sec x=-\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\, \,\sec x=2\\\text{(нет решения)}\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\left( {\cos x= \frac{1}{2}} \right)\end{align}\)

    \(\ displaystyle \left \ { {x | x = \ frac {\ pi} {3} +2 \ pi k, \, x = \ frac {{5 \ pi}} {3} +2 \ pi k \,} \право\}\)

    \(\displaystyle \begin{array}{c}{{\tan }^{4}}x-4{{\tan}^{2}}x+3=0\\\text{Общие решения}\ конец {массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{array}{c}\left( {{{{\tan }}^{2}}x-3} \right)\left( {{{{\tan }}^{2 }}x-1} \right)=0\\{{\tan }^{2}}x-3=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\tan }^{2}}x-1=0\конец{массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{align}\sqrt{{{{{\tan }}^{2}}x}}=\sqrt{3}\,\,\,\,\,\,&\, \,\,\,\sqrt{{{{{\tan }}^{2}}x}}=\sqrt{1}\\\tan x=\pm \sqrt{3}\,\,\, \,\,\,\,&\,\,\,\,\,\tan x=\pm \sqrt{1}\\x=\frac{\pi }{3}+\pi k\,\ ,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,x=\frac{\pi }{4}+\pi k\\x=\frac{{2 \pi }}{3}+\pi k\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,x=\frac{{3\pi }}{ 4}+\пи к\конец{выравнивание}\)

    \(\displaystyle \left\{ \begin{align}x|x=\frac{\pi}}{3}+\pi k,\,\,x=\frac{{2\pi}}{3} +\pi k,\\\,\,\,\,x=\frac{\pi }{4}+\pi k,\,\,\,x=\frac{{3\pi}}{4 }+\pi k\end{выравнивание} \right\}\)

    \(\ displaystyle \ begin {array} {c} 3 {{\ cot } ^ {2}} x + 3 \ cot x- \ sqrt {3} \ cot x = \ sqrt {3} \\\ text { Интервал }(0,2\pi )\конец{массив}\)

     

    \(\ displaystyle \ begin {array} {c} 3 {{\ cot} ^ {2}} x + 3 \ cot x- \ sqrt {3} \ cot x- \ sqrt {3} = 0 \\ 3 \ раскладушка х \ влево ( {\ раскладушка х + 1} \ справа) — \ sqrt {3} \ влево ( {\ раскладушка х + 1} \ справа) = 0 \\\ влево ( {\ раскладушка х + 1} \ вправо)\влево( {3\cot x-\sqrt{3}} \right)=0\end{массив}\)

     

    \(\displaystyle \begin{align}\cot x=-1\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\cot x=\frac{{\sqrt{3} }}{3}\\\tan x=-1\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\tan x=\frac{3}{{\sqrt{3}}} =\sqrt{3}\\x=\frac{{3\pi }}{4},\,\,\frac{{7\pi }}{4}\,\,\,\,\,& \,\,\,\,\,x=\frac{\pi }{3},\,\,\frac{{4\pi}}{3}\end{align}\)

    \(\ displaystyle x = \ left \ { {\ frac {{3 \ pi}} {4}, \ frac {{7 \ pi}} {4}, \ frac {\ pi} {3}, \ frac {{4\пи}}{3}} \справа\}\)

    \(\displaystyle \begin{array}{c}\sqrt{3}\sin \left( {2\theta} \right)\cot \left( {2\theta} \right)-\sin \left( {2\theta} \right)=0\\\text{Интервал}(0,2\pi)\end{массив}\)

     

    \(\displaystyle \sin\left({2\theta} \right)\left({\sqrt{3}\cot \left({2\theta} \right)-1}\right)=0\)

    \(\displaystyle \begin{align}\sin \left( {2\theta } \right)=0\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\, \cot \left( {2\theta} \right)=\frac{1}{{\sqrt{3}}}\\2\theta =\pi k\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,&\,\,\,\,\,\,2\theta =\frac{\pi }{3}+\pi k\\\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,2\theta =\frac{{4\pi }}{3}+\pi k\\\,\,\,\, \,\theta =\frac{{\pi k}}{2}\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\theta =\frac{ \pi }{6}+\frac{\pi }{2}k\\\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,\,\,\,\, \theta =\frac{{4\pi}}{6}+\frac{\pi}}{2}k\end{align}\)

    Из-за ограничения домена для cot (где находятся его асимптоты) и учитывая, что \(\displaystyle \cot \left[ {2\left( {\frac {{\pi k}}{2}} \right)} \right]=\cot \left( {\pi k} \right)\) не определено, мы должны исключить \(\displaystyle \frac{{\pi k}}{2}\).

    Решения: \(\displaystyle \theta =\left\{ {\frac{\pi}}{6},\frac{{2\pi}}{3},\frac{{7\pi}}}{6 },\frac{{5\pi}}{3}} \right\}\)

    Единичный круг — решение тригонометрических уравнений

    Мы делаем шаг вперед. Теперь внутри триггерных функций будут всевозможные выражения, а не только t сами по себе. Как вы думаете, вы можете справиться с этим? Если нет, сделайте перерыв и вернитесь к этому завтра. Мы будем здесь, мы можем подождать.

    Пример задачи

    Решить sec (4 t ) = 2 на отрезке [0, π].

    Вторая важная вещь, которую нужно знать об этой задаче, это то, что не имеет значения, сколько t находится внутри триггерной функции: они не меняют правую часть уравнения. У нас есть sec (что-то) = 2, и мы решаем его так же, как и в прошлый раз.


    Проверив единичный круг. Секанс является обратной величиной косинуса (не синуса! Никогда не синуса!), поэтому он будет равен 2, когда или (плюс или минус 2π).


    Не надо, не надо не говорить, что этот материал равен t .Это самое важное, что нужно знать об этой проблеме. Об этом очень легко забыть; мы сделали это сами, когда писали эту задачу, как это ни стыдно. Вместо этого наше (что-то) должно быть 4 t :

    Теперь мы разделим каждую часть этих уравнений на 4, чтобы получить t само по себе:

    9 делится. Это тоже легко забыть. Не делайте этого, иначе появится Призрак Математического Будущего и расскажет вам, как ужасно вы все напортачили.

    (Кстати, это кто-то, кто умер в будущем и отправился в прошлое, чтобы рассказать нам об этом, или кто-то, кто сейчас является призраком и может видеть будущее? Мы просто не знаем.)

    В любом случае , теперь мы подставляем некоторые значения для n , чтобы найти другие решения в пределах интервала. Когда n = 1:

    попадает в интервал [0, π], но не попадает. Проверка n = 2 дает , что тоже велико.

    Идем в другом направлении, с n = -1, имеем:

    Добавим в нашу конюшню правильных ответов, отбрасывая в сторону.Если мы вычтем еще одно, мы получим еще одно отрицательное число, что означает, что мы исчерпали наш запас углов.

    Это означает, что наш окончательный ответ . Мы продолжаем получать правильные ответы, но Регис отказывается отдать нам наш миллион долларов.

    Пример задачи

    Решите sin (π – t) = cos (π – t)

    Здесь мы следуем нашей стандартной процедуре. Изолируйте триггерную функцию с помощью t ; найти чему (чему-то) равно; найти все решения; отпраздновать фейерверком.

    Однако здесь у нас двоится в глазах. В них две функции с т . В этом случае мы можем исправить это с небольшим разделением. Зная, что синус, деленный на косинус, равен тангенсу, мы просто делим:

    тангенс (π – t ) = 1

    Так лучше. Однако это сработало только потому, что содержимое каждой триггерной функции (π – t ) было одинаковым. Если бы они не были идентичными, нам бы не повезло.

    Чтобы найти, где синус и косинус равны (и поэтому тангенс будет равен 1), мы проверяем единичную окружность.


    Перестанет ли круг когда-нибудь быть таким полезным? Мы надеемся, что нет. Нам нужны углы π / 4 и / 4 ; помните, тангенс положителен в квадрантах I и III.

    Прежде чем идти дальше, мы можем использовать одну хитрость, которая немного облегчит эту задачу.


    Два наших базовых решения находятся на противоположных сторонах круга, на расстоянии π друг от друга в обоих направлениях.Вместо двух наборов решений, которые повторяются через каждые 2π, мы можем иметь один набор решений, которые повторяются через каждые π.

    Мы можем получить правильный ответ в любом случае. Это как выбирать между двумя разными маршрутами к месту назначения, где один маршрут короче и погода лучше.

    Теперь нам нужно заменить это (что-то) на (π – t ), следя за этим отрицательным знаком.

    Если вы следили за указателями, то уже заметили, что мы не меняли его на π n .Это потому, что n может быть любым целым числом, положительным или отрицательным, поэтому оно просто поглощает отрицательный знак. Это как-то мерзко, правда.

    В любом случае, у нас есть решения. Мы можем вернуться к исходной задаче и еще раз проверить, все ли мы сделали правильно. Например, когда:

    А теперь мы откидываемся на спинку кресла и наблюдаем за бумом.

    Узнайте о решении тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических тождеств

    Общее решение тригонометрического уравнения можно найти, используя знания тригонометрических тождеств.

    Чтобы найти общее решение, включающее ‘ n ‘, которое дает все решения тригонометрического уравнения sin⁡x=a,cos⁡x=a andtan⁡x=a\sin x = a,\cos x = a\,{\ rm{and}}\tan x = asinx=a,cosx=aandtanx=a важны следующие теоремы, приведенные ниже:

    Для функции sin:

    Теорема: для любых действительных чисел x и y sin⁡x−−sin y=0\sin{\rm{ }}x—sin{\rm{ }}y = 0sinx−−sin y=0 следует , где x=nπ+(−−1)ny, где n∈Zx = n\pi + {\left( {—1} \right)^n}y,{\rm{где}}n \in Zx =nπ+(−−1)ny, где n∈Z

    Доказательство: если sin⁡x=sin⁡y\sin x = \sin ysinx=siny

    sinx−siny=0sin{\rm{}}x-sin{\rm{}}y = 0sinx−siny=0
    2cos⁡x+y2sin⁡x−y2=02\cos\frac{{x + y }}{2}\sin \frac{{x — y}}{2} = 02cos2x+y​sin2x−y​=0
    cos⁡x+y2=0 или sin⁡x−y2=0\cos \frac {{x + y}}{2} = 0\,{\rm{or}}\,\sin \frac{{x — y}}{2} = 0cos2x+y​=0orsin2x−y​=0
    x+y2=(2n+1)π2 или x−y2=nπ, n∈Z\frac{{x + y}}{2} = (2n + 1)\frac{\pi}{2}\,{ \rm{or}}\,\frac{{x — y}}{2} = n\pi ,\,n \in Z2x+y​=(2n+1)2π​or2x−y​=nπ,n ∈Z
     x=(2n+1)π−−yorx=2nπ+y, где n∈Z\,x = \left( {2n + 1} \right)\pi —y{\rm{ или }}x = 2n\pi + y,{\rm{ где}}n \in Zx=(2n+1)π−−yorx=2nπ+y,гдеn∈Z
    x=(2n+1)π+(−−1 )2n+1yorx=2nπ+(−−1)2ny, где n∈Zx = \left( {2n + 1} \right)\pi + {\left( {—1} \right)^{2n + 1} }y{\rm{или}}x = 2n\pi + {\left({—1} \right)^{2n}}y,{\rm{где}}n \in Zx=(2n+1 )π+(−−1)2n+1yorx=2nπ+(−−1)2ny, где n∈Z

    Объединяя два приведенных выше уравнения, мы получаем,

    Для функции cos:

    Теорема: для любых действительных чисел x и y, , cos⁡x=cos y\cos{\rm{ }}x = cos{\rm{\ }}ycosx=cos y подразумевает , где x=2nπ±y, где n∈Zx = 2n\pi \pm y,\,{\rm{где}}n \in Zx=2nπ±y, где n∈Z

    Доказательство: если cos⁡x=cos⁡y\cos x = \cos ycosx = уютный

    cosx−cos⁡y=0{\rm{cos}}x-\cosy = 0cosx−cosy=0
    −2sin⁡x+y2sin⁡x−y2=0 — 2\sin\frac{{x + y} {2}\sin \frac{{x — y}}{2} = {\rm{}}0−2sin2x+y​sin2x−y​=0
    sin⁡x+y2=0 или sin⁡x− y2=0\sin \frac{{x + y}}{2} = 0\,{\rm{or}}\,\sin \frac{{x — y}}{2} = 0sin2x+y​= 0orsin2x−y​=0
    x+y2=nπorx−y2=nπ, где n∈Z\frac{{x + y}}{2} = n\pi {\rm{ or }}\frac{{x — y }}{2} = n\pi ,{\rm{ где }}n \in Z2x+y​=nπor2x−y​=nπ, где n∈Z
    x=2nπ−yorx=2nπ+y, где n∈Zx = 2n\pi -y{\rm{ или }}x = 2n\pi + y,{\rm{ где }}n \in Zx=2nπ−yorx=2nπ+y,где n∈Z

    Объединяя два приведенных выше уравнения, мы получаем,

    x=2nπ±y,где n∈Z x = 2n\pi \pm y,{\rm{где}}\,n \in Zx=2nπ±y,wheren∈Z

    Для функции тангенса:

    Теорема: Если x и y не являются нечетными кратными , то из π2\frac{\pi }{2}2π следует , где tan⁡x=tan⁡y  следует x=nπ+y, где n∈Z\ tan {\ rm { }} x = \ tan {\ rm { }} y \, {\ rm {подразумевается}} \, x = n \ pi + y, \, {\ rm {где}} \, n \ в Ztanx=tany подразумевает x=nπ+y, где n∈Z

    Доказательство: Если tan⁡x=tan⁡y\tan x = \tan ytanx=tany

    tan⁡x−tan⁡y=\tan x — \tan y = tanx−tany=
    sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y=0\frac{{\sin x\cos y — \cos x\sin y}}{{\cos x\cos y}} = 0cosxcosysinxcosy−cosxsiny​=0
    sin⁡(x−−y)=0\sin \left( {x—y} \right ) = 0sin(x−−y)=0

    Следовательно, x−y=nπ, i. е.,x=nπ+y, где n∈Zx — y = n\pi ,\,т.е.,{\rm{}}x = n\pi + y,{\rm{где}}n \in Zx−y =nπ,т.е.,x=nπ+y,гдеn∈Z

    Эти теоремы следуют для cos⁡ec x, sec⁡ x иcot⁡ x\cos ec\,x,\,\sec\,x\,{\ rm{and}}\cot \,xcosecx,secxandcotx после их соответствующих обратных тригонометрических функций.

    Тригонометрические тождества очень важны при поиске решения тригонометрических уравнений.

    Шпаргалка по тригонометрическим уравнениям — DoubleRoot.in

    Эта шпаргалка охватывает школьную математику — тригонометрические уравнения.

    Уравнение, в котором участвуют тригонометрические соотношения неизвестных углов, известно как тригонометрическое уравнение . Значения неизвестных углов, удовлетворяющие уравнению, называются решениями уравнения.

    В общем случае тригонометрические уравнения имеют бесконечные решения из-за периодичности тригонометрических функций. Например, если π/4 является решением, то 2π + π/4, 4π + π/4, 6π + π/4 и т. д. также являются решениями уравнения.Множество всех таких решений называется общим решением уравнения. Напротив, мы также можем найти частных решений тригонометрического уравнения, которые удовлетворяют некоторым другим условиям, скажем, все решения, лежащие в интервале (-2π, 2π).

    Хорошее знание тригонометрических соотношений и основных тождеств необходимо для понимания и решения задач, связанных с тригонометрическими уравнениями. Шпаргалка по тригонометрии также доступна на этом сайте.

    Приличное понимание графиков и их преобразований действительно поможет в быстром решении тригонометрических уравнений.На этом веб-сайте также доступна шпаргалка по преобразованиям графов.

    В этом одностраничном PDF-файле содержится краткое изложение теории и наиболее важных формул, связанных с этой концепцией. Держите его под рукой, пока будете повторять концепцию, особенно перед экзаменом.

    Темы, включенные в эту шпаргалку:

    • Основные тригонометрические уравнения: sinx = sinα, cosx = cosα, tanx = tanα, sin 2 x = sin 2 α, cos 2 x = cos 2 α, tan 1 tan 1 x 2 2 2 2 α
    • Особые случаи: sinx = 0, sinx = 1, sinx = -1, cosx = 0, cosx = 1, cosx = -1, tanx = 0, cotx = 0

    Вот ссылка для скачивания:

    Если вы хотите оставить отзыв, отправьте мне сообщение в Facebook или Twitter.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.