Тройная система неравенств: Как решить тройную систему неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Содержание

Как решить тройную систему неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Системе неравенств.
Пример 1 . Найти область определения выражения
Решение. Под знаком квадратного корня должно находиться неотрицательное число, значит, должны одновременно выполняться два неравенства: В таких случаях говорят, что задача сводится к решению системы неравенств

Но с такой математической моделью (системой неравенств) мы еще не встречались. Значит, решение примера мы пока не в состоянии довести до конца.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой (так же обстоит дело и в системах уравнений). Например, запись

означает, что неравенства 2х — 1 > 3 и Зх — 2

Иногда используется запись системы неравенств в виде двойного неравенства. Например, систему неравенств

можно записать в виде двойного неравенства 3

В курсе алгебры 9-го класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств.

Рассмотрим систему неравенств

Можно подобрать несколько ее частных решений, например х = 3, х = 4, х = 3,5. В самом деле, при х = 3 первое неравенство принимает вид 5 > 3, а второе — вид 7

В то же время значение х = 5 не является решением системы неравенств. При х = 5 первое неравенство принимает вид 9 > 3 — верное числовое неравенство, а второе — вид 13 Решить систему неравенств — значит найти все ее частные решения. Ясно, что такое угадывание, которое продемонстрировано выше, — не метод решения системы неравенств. В следующем примере мы покажем, как обычно рассуждают при решении системы неравенств.

Пример 3. Решить систему неравенств:

Р е ш е н и е.

а) Решая первое неравенство системы, находим 2х > 4, х > 2; решая второе неравенство системы, находим Зх б) Решая первое неравенство системы, находим х > 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис.

23). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем луч


в) Решая первое неравенство системы, находим х

Обобщим рассуждения, проведенные в рассмотренном примере. Предположим, что нам нужно решить систему неравенств


Пусть, например, интервал (а, b) является решением неравенства fх 2 > g(х), а интервал (с, d) — решением неравенства f 2 (х) > s 2 (х). Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго — нижнюю штриховку (рис. 25). Решением системы неравенств является пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. На рис. 25 это интервал (с, b).


Теперь мы без особого труда сможем решить систему неравенств, которую получили выше, в примере 1:

Решая первое неравенство системы, находим х > 2; решая второе неравенство системы, находим х


Разумеется, система неравенств не обязательно должна состоять из линейных неравенств, как было до сих пор; могут встретиться любые рациональные (и не только рациональные) неравенства. Технически работа с системой рациональных нелинейных неравенств, конечно, сложнее, но принципиально нового (по сравнению с системами линейных неравенств) здесь ничего нет.

Пример 4. Решить систему неравенств

Р е ш е н и е.

1) Решим неравенство Имеем
Отметим точки -3 и 3 на числовой прямой (рис. 27). Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение р(х) = (х- 3)(х + 3) сохраняет постоянный знак — эти знаки указаны на рис. 27. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство р(х) > 0 (они заштрихованы на рис. 27), и точки, в которых выполняется равенство р(х) = 0, т.е. точки х = -3, х = 3 (они отмечены на рис. 2 7 темными кружочками). Таким образом, на рис. 27 представлена геометрическая модель решения первого неравенства.


2) Решим неравенство Имеем
Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой (рис. 28). Они разбивают прямую на три промежутка, причем на каждом промежутке выражение О (заштриховано на рис. 28), и точки, в которых выполняется равенство g (х) — О, т.е. точки х = 0, х = 5 (они отмечены на рис. 28 темными кружочками). Таким образом, на рис. 28 представлена геометрическая модель решения второго неравенства системы.


3) Отметим найденные решения первого и второго неравенств системы на одной координатной прямой, использовав для решений первого неравенства верхнюю штриховку, а для решений второго — нижнюю штриховку (рис. 29). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Таким промежутком является отрезок .


Пример 5. Решить систему неравенств:


Решение:

а) Из первого неравенства находим x >2. Рассмотрим второе неравенство. Квадратный трехчлен х 2 + х + 2 не имеет действительных корней, а его старший коэффициент (коэффициент при х 2) положителен. Значит, при всех х выполняется неравенство х 2 + х + 2>0,а потому второе неравенство системы не имеет решений. Что это значит для системы неравенств? Это значит, что система не имеет решений.

б) Из первого неравенства находим x > 2, а второе неравенство выполняется при любых значениях х. Что это значит для системы неравенств? Это значит, что ее решение имеет вид х>2, т.е. совпадает с решением первого неравенства.

О т в е т:

а) нет решений; б) x >2.

Этот пример является иллюстрацией для следующих полезных

1. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений.

2. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной , то решением системы служит решение второго неравенства системы.

Завершая этот параграф, вернемся к приведенной в его начале задаче о задуманном числе и решим ее, как говорится, по всем правилам.

Пример 2 (см. с. 29). Задумано натуральное число. Известно, что если к квадрату задуманного числа прибавить 13, то сумма будет больше произведения задуманного числа и числа 14. Если же к квадрату задуманного числа прибавить 45, то сумма будет меньше произведения задуманного числа и числа 18. Какое число задумано?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.
Задуманное число х, как мы видели выше, должно удовлетворять системе неравенств


Второй этап. Работа с составленной математической моделью.Преобразуем первое неравенство системы к виду
х2- 14x+ 13 > 0.

Найдем корни трехчлена х 2 — 14x + 13: х 2 = 1, х 2 = 13. С помощью параболы у = х 2 — 14x + 13 (рис. 30) делаем вывод, что интересующее нас неравенство выполняется при x 13.

Преобразуем второе неравенство системы к виду х2 — 18 2 + 45

Неравенства и системы неравенств — это одна из тем, которая проходится в средней школе по алгебре. По уровню сложности она является не самой трудной, т. к. имеет незамысловатые правила (о них немного позже). Как правило, решение систем неравенств школьники усваивают достаточно легко. Это связано ещё и с тем, что учителя попросту «натаскивают» своих учеников по данной теме.

И они не могут этого не делать, ведь она изучается и в дальнейшем с применением иных математических величин, а также проверяется на ОГЭ и ЕГЭ. В школьных учебниках тема, посвящённая неравенствам и системам неравенств, раскрыта очень подробно, поэтому если вы собираетесь её изучить, то лучше всего прибегнуть именно к ним. Данная статья лишь пересказывает большие материалы, и в ней могут быть некоторые опущения.

Понятие системы неравенств

Если обратиться к научному языку, то можно дать определение понятию «система неравенств». Это такая математическая модель, которая представляет собой несколько неравенств. От данной модели, конечно же, требуется решение, и в его качестве будет выступать общий ответ для всех неравенств системы, предложенной в задании (обычно в нём так и пишут, например: «Решите систему неравенств 4 x + 1 > 2 и 30 — x > 6… «). Однако перед тем как перейти к видам и методам решений, нужно ещё кое в чём разобраться.

Системы неравенств и системы уравнений

В процессе изучения новой темы очень часто возникают недопонимания. С одной стороны, всё ясно и скорее хочется приступить к решению заданий, а с другой — какие-то моменты остаются в «тени», не совсем хорошо осмысливаются. Также некоторые элементы уже полученных знаний могут переплетаться с новыми. В результате такого «наложения» зачастую случаются ошибки.

Поэтому перед тем как приступить к разбору нашей темы, следует вспомнить про отличия уравнений и неравенств, их систем. Для этого нужно ещё раз пояснить, что представляют собой данные математические понятия. Уравнение — это всегда равенство, и оно всегда чему-нибудь равно (в математике это слово обозначается знаком «=»). Неравенство же представляет собой такую модель, в которой одна величина или больше, или меньше другой, или содержит в себе утверждение, что они неодинаковы. Таким образом, в первом случае уместно говорить о равенстве, а во втором, как бы это очевидно ни звучало из самого названия, о неравенстве исходных данных. Системы уравнений и неравенств друг от друга практически не отличаются и методы их решения одинаковы. Единственное различие заключается в том, что в первом случае используются равенства, а во втором применяются неравенства.

Виды неравенств

Выделяют два вида неравенств: числовые и с неизвестной переменной. Первый тип представляет собой предоставленные величины (цифры), неравные друг другу, например, 8 > 10. Второй — это неравенства, содержащие в себе неизвестную переменную (обозначается какой-либо буквой латинского алфавита, чаще всего X). Данная переменная требует своего нахождения. В зависимости от того, сколько их, в математической модели различают неравенства с одной (составляют систему неравенств с одной переменной) или несколькими переменными (составляют систему неравенств с несколькими переменными).

Два последних вида по степени своего построения и уровню сложности решения делятся на простые и сложные. Простые называют ещё линейными неравенствами. Они, в свою очередь, подразделяются на строгие и нестрогие. Строгие конкретно «говорят», что одна величина обязательно должна быть либо меньше, либо больше, поэтому это в чистом виде неравенство. Можно привести несколько примеров: 8 x + 9 > 2, 100 — 3 x > 5 и т. д. Нестрогие включают в себя ещё и равенство. То есть одна величина может быть больше или равна другой величине (знак «≥») либо меньше или равна другой величине (знак «≤»). Ещё в линейных неравенствах переменная не стоит в корне, квадрате, не делится на что-либо, из-за чего они называются «простыми». Сложные включают в себя неизвестные переменные, нахождение которых требует выполнения большего количества математических операций. Они часто находятся в квадрате, кубе или под корнем, могут быть модульными, логарифмическими, дробными и пр. Но поскольку нашей задачей становится необходимость разобраться в решении систем неравенств, то мы поговорим о системе линейных неравенств. Однако перед этим следует сказать пару слов об их свойствах.

Свойства неравенств

К свойствам неравенств относятся следующие положения:

  1. Знак неравенства меняется на обратный, если применяется операция по перемене следования сторон (например, если t 1 ≤ t 2 , то t 2 ≥ t 1).
  2. Обе части неравенства позволяют прибавить к себе одно и то же число (например, если t 1 ≤ t 2 , то t 1 + число ≤ t 2 + число).
  3. Два и более неравенств, имеющие знак одного направления, позволяют складывать их левые и правые части (например, если t 1 ≥ t 2 , t 3 ≥ t 4 , то t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4).
  4. Обе части неравенства позволяют себя умножать или делить на одно и то же положительное число (например, если t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, то число · t 1 ≥ число · t 2).
  5. Два и более неравенств, имеющие положительные члены и знак одного направления, позволяют умножать себя друг на друга (например, если t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 то t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. Обе части неравенства позволяют себя умножать или делить на одно и то же отрицательное число, но при этом знак неравенства меняется (например, если t 1 ≤ t 2 и число ≤ 0, то число · t 1 ≥ число · t 2).
  7. Все неравенства обладают свойством транзитивности (например, если t 1 ≤ t 2 и t 2 ≤ t 3 , то t 1 ≤ t 3).

Теперь после изучения основных положений теории, относящейся к неравенствам, можно приступить непосредственно к рассмотрению правил решения их систем.

Решение систем неравенств. Общие сведения. Способы решения

Как уже говорилось выше, решением выступают значения переменной, подходящие ко всем неравенствам данной системы. Решение систем неравенств — это осуществление математических действий, которые в итоге приводят к решению всей системы или доказывают, что у неё решений не имеется. В таком случае говорят, что переменная относится к пустому числовому множеству (записывается так: буква, обозначающая переменную ∈ (знак «принадлежит») ø (знак «пустое множество»), например, x ∈ ø (читается так: «Переменная «икс» принадлежит пустому множеству»). Выделяют несколько способов решения систем неравенств: графический, алгебраический, способ подстановки. Стоит заметить, что они относятся к тем математическим моделям, которые имеют несколько неизвестных переменных.

В случае, когда имеется только одна, подойдёт способ интервалов.

Графический способ

Позволяет решить систему неравенств с несколькими неизвестными величинами (от двух и выше). Благодаря данному методу система линейных неравенств решается достаточно легко и быстро, поэтому он является самым распространённым способом. Это объясняется тем, что построение графика сокращает объём написания математических операций. Особенно становится приятным немного отвлечься от ручки, взять в руки карандаш с линейкой и приступить к дальнейшим действиям с их помощью, когда выполнено много работы и хочется небольшого разнообразия. Однако данный метод некоторые недолюбливают из-за того, что приходится отрываться от задания и переключать свою умственную деятельность на рисование. Тем не менее, это очень действенный способ.

Чтобы выполнить решение системы неравенств с помощью графического способа, необходимо все члены каждого неравенства перенести в их левую часть. Знаки поменяются на противоположные, справа следует записать ноль, затем нужно записать каждое неравенство отдельно. В итоге из неравенств получатся функции. После этого можно доставать карандаш и линейку: теперь потребуется нарисовать график каждой полученной функции. Всё множество чисел, которое окажется в интервале их пересечения, будет являться решением системы неравенств.

Алгебраический способ

Позволяет решить систему неравенств с двумя неизвестными переменными. Также неравенства должны обладать одинаковым знаком неравенства (т. е. обязаны содержать либо только знак «больше», либо только знак «меньше» и пр.) Несмотря на свою ограниченность, этот способ к тому же и более сложный. Он применяется в двух этапах.

Первый включает себя действия по избавлению от одной из неизвестных переменных. Сначала нужно её выбрать, затем проверить на наличие чисел перед этой переменной. Если их нет (тогда переменная будет выглядеть, как одиночная буква), то ничего не изменяем, если есть (вид переменной будет, например, таким — 5y или 12y), то тогда необходимо сделать так, чтобы в каждом неравенстве число перед выбранной переменной было одинаковым. Для этого нужно умножить каждый член неравенств на общий множитель, например, если в первом неравенстве записано 3y, а во втором 5y, то необходимо все члены первого неравенства умножить на 5, а второго — на 3. Получится 15y и 15y соответственно.

Второй этап решения. Нужно левую часть каждого неравенства перенести в их правые части с изменением знака каждого члена на противоположный, справа записать нуль. Затем наступает самое интересное: избавление от выбранной переменной (по-другому это называется «сокращение») во время складывания неравенств. Получится неравенство с одной переменной, которое необходимо решить. После этого следует проделать то же самое, только с другой неизвестной переменной. Полученные результаты и будут решением системы.

Способ подстановки

Позволяет решить систему неравенств при наличии возможности ввести новую переменную. Обычно этот способ применяется, когда неизвестная переменная в одном члене неравенства возведена в четвёртую степень, а в другом члене имеет квадрат. Таким образом, данный метод направлен на понижение степени неравенств в системе. Неравенство образца х 4 — х 2 — 1 ≤ 0 данным способом решается так. Вводится новая переменная, например, t. Пишут: «Пусть t = х 2 «, далее модель переписывают в новом виде. В нашем случае получится t 2 — t — 1 ≤0. Это неравенство нужно решить методом интервалов (о нём немного позже), потом обратно вернуться к переменной X, затем проделать то же самое с другим неравенством. Полученные ответы будут решением системы.

Метод интервалов

Это самый простой способ решения систем неравенств, и в то же время он является универсальным и распространённым. Он используется и в средней школе, и даже в высшей. Его суть заключается в том, что ученик ищет промежутки неравенства на числовой прямой, которая рисуется в тетради (это не график, а просто обычная прямая с числами). Там, где промежутки неравенств пересекаются, находится решение системы. Чтобы использовать метод интервалов, необходимо выполнить следующие шаги:

  1. Все члены каждого неравенства переносятся в левую часть с изменением знака на противоположный (справа пишется ноль).
  2. Неравенства выписываются отдельно, определяется решение каждого из них.
  3. Находятся пересечения неравенств на числовой прямой. Все числа, находящиеся на этих пересечениях, будут являться решением.

Какой способ использовать?

Очевидно тот, который кажется наиболее лёгким и удобным, но бывают такие случаи, когда задания требуют определённого метода. Чаще всего в них написано, что нужно решать либо с помощью графика, либо методом интервалов. Алгебраический способ и подстановка используются крайне редко или не используются вообще, поскольку они достаточно сложные и запутанные, да и к тому же больше применяемы для решения систем уравнений, а не неравенств, поэтому следует прибегать к рисованию графиков и интервалов. Они привносят наглядность, которая не может не способствовать эффективному и быстрому проведению математических операций.

Если что-то не получается

Во время изучения той или иной темы по алгебре, естественно, могут возникнуть проблемы с её пониманием. И это нормально, ведь наш мозг устроен так, что он не способен уяснить сложный материал за один раз. Часто требуется перечитать параграф, воспользоваться помощью учителя или заняться практикой по решению типовых заданий. В нашем случае они выглядят, например, так: «Решите систему неравенств 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x — 1 > 3». Таким образом, личное стремление, помощь сторонних людей и практика помогают в понимании любой сложной темы.

Решебник?

А ещё очень хорошо подойдёт решебник, только не для списывания домашних заданий, а для самопомощи. В них можно найти системы неравенств с решением, посмотреть на них (как на шаблоны), попытаться понять, как именно автор решения справился с поставленной задачей, а затем попытаться выполнить подобное в самостоятельном порядке.

Выводы

Алгебра — это один из самых сложных предметов в школе. Ну что же тут поделать? Математика всегда была такой: кому-то она даётся легко, а кому-то с затруднением. Но в любом случае следует помнить, что общеобразовательная программа построена так, что с ней может справиться любой ученик. К тому же, надо иметь в виду огромное количество помощников. Некоторые из них были упомянуты выше.

Системой неравенств принято называть любую совокупность двух или более неравенств, содержащих неизвестную величину.

Наглядно данную формулировку иллюстрируют, к примеру, такие системы неравенств :

Решить систему неравенств означает найти все значения неизвестной переменной, при которых реализуется каждое неравенство системы, либо обосновать, что таких не бывает.

Значит, для каждого отдельного неравенства системы вычисляем неизвестную переменную. Далее из получившихся значений выбирает только те, которые верны и для первого и для второго неравенства. Следовательно, при подстановке выбранного значения оба неравенства системы становятся правильными.

Разберем решение нескольких неравенств:

Разместим одну под другой пару числовых прямых; на верхнею нанесем величину x , при которых первое неравенств о (x > 1) становиться верным, а на нижней—величину х , которые являются решением второго неравенства (х > 4).

Сопоставив данные на числовых прямых , отметим, что решением для обоих неравенств будет х > 4. Ответ, х > 4.

Пример 2.

Вычисляя первое неравенство получаем -3х x > 2, второе —х > -8, или х х , при которых реализуется первое неравенство системы , а на нижнюю числовую прямую, все те значения х , при которых реализуется второе неравенство системы.

Сопоставив данные, получаем, что оба неравенства будут реализовываться при всех значениях х , размещенных от 2 до 8. Множеств значений х обозначаем двойным неравенством 2 х

Пример 3. Найдем

В этой статье собрана начальная информация о системах неравенств. Здесь дано определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. А также перечислены основные виды систем, с которыми наиболее часто приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Навигация по странице.

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определить аналогично тому, как мы вводили определение системы уравнений , то есть, по виду записи и смыслу, вложенному в нее.

Определение.

Система неравенств – это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11 , запишем их одно под другим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
и объединим знаком системы – фигурной скобкой, в результате получим систему неравенств такого вида:

Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что в них определения даются более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными .

Основные виды систем неравенств

Понятно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не заблудиться в этом многообразии, их целесообразно рассматривать по группам, имеющим свои отличительные признаки. Все системы неравенств можно разбить на группы по следующим критериям:

  • по числу неравенств в системе;
  • по числу переменных, участвующих в записи;
  • по виду самих неравенств.

По числу неравенств, входящих в запись, различают системы двух, трех, четырех и т.д. неравенств. В предыдущем пункте мы привели пример системы , которая является системой двух неравенств. Покажем еще пример системы четырех неравенств .

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в этом случае по сути речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если смотреть на число переменных, то имеют место системы неравенств с одной, двумя, тремя и т.д. переменными (или, как еще говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, записанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x , y и z . Обратите внимание, что ее два первых неравенства содержат не все три переменные, а лишь по одной из них. В контексте этой системы их стоит понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 соответственно. Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств , она взята из .

Что называется решением системы неравенств?

Введем еще одно определение, связанное с системами неравенств, — определение решения системы неравенств :

Определение.

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, обращающее каждое из неравенств системы в верное , другими словами, являющееся решением каждого неравенства системы.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной . Возьмем значение переменной x , равное 8 , оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два верных числовых неравенства 8>7 и 2−3·8≤0 . Напротив, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной x первое неравенство обратится в неверное числовое неравенство 1>7 .

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и большим числом переменных:

Определение.

Решением системы неравенств с двумя, тремя и т.д. переменными называется пара, тройка и т.д. значений этих переменных, которая одновременно является решением каждого неравенства системы, то есть, обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

К примеру, пара значений x=1 , y=2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными , так как 1+2

Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, а могут иметь и бесконечно много решений. Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Когда система не имеет решений, то имеет место пустое множество ее решений. Когда решений конечное число, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то и множество решений состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича . Под частным решением системы неравенств понимают ее одно отдельно взятое решение. В свою очередь общее решение системы неравенств — это все ее частные решения. Однако в этих терминах есть смысл лишь тогда, когда требуется особо подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это и так понятно из контекста, поэтому намного чаще говорят просто «решение системы неравенств».

Из введенных в этой статье определений системы неравенств и ее решений следует, что решение системы неравенств представляет собой пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.

Список литературы.

  1. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2008. — 287 с. : ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. ЕГЭ -2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012. – 192 с. – (ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе).

называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину

Вот образцы подобных систем:

Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.

Ответ: х

Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш .

Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В . Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи — сонаправленные, противонаправленные и так далее.

Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Вычислим систему неравенств :

Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x >7 , а на нижней — которые выступают решением второго неравенства x >10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x >10.

Ответ: (10;+∞).

Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения х при которых существует первое неравенство системы , а на второй числовой оси, размещенной под первой, — все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях х расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7х≤10

Ответ: (7; 10].

Подобным образом решаются и нижеследующие системы неравенств.

Как в Excel решить систему линейных уравнений — Трюки и приемы в Microsoft Excel

В этой статье мы расскажем, как использовать формулы для решения систем линейных уравнений.

Вот пример системы линейных уравнений:
3x + 4y = 8
4x + 8y = 1

Решение состоит в нахождении таких значений х и у, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Эта система уравнений имеет одно решение:
x = 7,5
y = -3,625

Количество переменных в системе уравнений должно быть равно количеству уравнений. Предыдущий пример использует два уравнения с двумя переменными. Три уравнения требуются для того, чтобы найти значения трех переменных (х,у и z). Общие действия по решению систем уравнений следующие (рис. 128.1).

Рис. 128.1. Использование формулы для решения системы из двух уравнений

  1. Выразите уравнения в стандартной форме. Если это необходимо, используйте основы алгебры и перепишите уравнение так, чтобы все переменные отображались по левую сторону от знака равенства. Следующие два уравнения идентичны, но второе приведено в стандартном виде:
    3x - 8 = -4y
    3x + 4y = 8
    .
  2. Разместите коэффициенты в диапазоне ячеек размером n x n, где n представляет собой количество уравнений. На рис. 128.1 коэффициенты находятся в диапазоне I2:J3.
  3. Разместите константы (числа с правой стороны от знака равенства) в вертикальном диапазоне ячеек. На рис. 128.1 константы находятся в диапазоне L2:L3.
  4. Используйте массив формул для расчета обратной матрицы коэффициентов. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон I6:J7 (не забудьте нажать Ctrl+Shift+Enter, чтобы ввести формулу массива): =МОБР(I2:J3).
  5. Используйте формулу массива для умножения обратной матрицы коэффициентов на матрицу констант. На рис. 128.1 следующая формула массива введена в диапазон J10:JJ11, который содержит решение (x = 7,5 и у = -3,625): =МУМНОЖ(I6:J7;L2:L3). На рис. 128.2 показан лист, настроенный для решения системы из трех уравнений.

Рис. 128.2. В Excel можно решить систему из трех уравнений, применив нужные формулы

Пример решения системы уравнений

Навигация по записям

По теме

Новые публикации

Фазовая устойчивость и равновесие — Справочник химика 21

    Согласно выводу неравенства (1Х.103) — (IX.105) являются необходимыми, но не достаточными условиями устойчивости относительно непрерывных изменений состояния. В самом деле, может представиться такой случай, когда эти неравенства будут выполнены, а состояние гетерогенной системы будет неустойчивым. Так, если одна или несколько фаз становятся неустойчивыми [при этом знаки соответствующих неравенств (IX. 100) изменяются на обратные], ТО гетерогенная система в целом также становится неустойчивой. Однако при этом левая часть неравенства (1Х.103) может сохранить свой положительный знак. Таким образом, можно утверждать, что если гетерогенная система находится в состоянии устойчивого равновесия и если протекающие в ней фазовые процессы вызывают изменение состояния фаз, то условие (1Х.103) и его следствия (IX.104) и (1Х.105) непременно выполняются. [c.224]
    При изучении фазовых равновесий широко применяется графический метод — метод построения диаграмм состояния. Диаграмма состояния может быть построена на основании опытных данных для любого вещества она позволяет судить об устойчивости какой-либо одной фазы системы и об устойчивости равновесия между двумя или тремя фазами при заданных условиях. На рис. 53 представлена диаграмма состояния иодида серебра AgI, имеющего три кристаллические модификации А, Б и В. Каждой модификации, т. е. каждой фазе, отвечает определенная область диаграммы, отделенная от других областей линиями, характеризующими равновесия между двумя отдельными фазами. Так, например, линия / характеризует равновесие между кристаллическими модификациями А и Б. [c.135]

    Из прочих факторов, затрудняющих расшифровку фазового состава следует отметить способность некоторых соединений легко образо вывать твердые растворы. При этом температуры соответствующих тепловых эффектов смещаются, а иногда вообще исчезают. Наконец, химическое взаимодействие веществ, находящихся в системе, приводит к значительному изменению характера термограмм, проявлению новых эндо- и экзоэффектов и исчезновению эффектов, присущих отдельным фазам. В этих случаях само взаимодействие может оказаться интересным явлением, позволяющим делать определенные выводы. Поэтому иногда целесообразно намеренно вводить некоторые вещества, чтобы заставить их реагировать с искомой фазой. Следует отметить, что пленки и отложения обычно состоят из веществ, находящихся между собой в устойчивом равновесии, поэтому на их термограммах, часто даже очень сложных, экзотермических эффектов обычно не наблюдается.[c.217]

    Если система состоит из двух или более несмешивающихся фаз, то условия устойчивости равновесия (1.36) и (1.37) применимы к каждой фазе. Очевидно, что мольные объемы и числа молей компонентов в разных фазах должны быть различными. Следовательно, фазовое равновесие возможно, когда не только температуры, давления, но и химические потенциалы компонентов во всех фазах одинаковы. Поэтому условия фазового равновесия можно выразить равенствами [c.22]

    Механические, физические и вообще эксплуатационные свойства полимеров в значительной мере определяются их фазовым состоянием и надмолекулярной структурой. При решении вопроса о способности полимерного материала или изделия выдерживать те или иные нагрузки в определенном диапазоне температур особое значение приобретают проблемы устойчивости фазовых состояний, равновесий и переходов. [c.5]


    В точке й давление пара двух полиморфных модификаций одинаково и, если бы это было возможно, в этой точке наблюдалось бы фазовое превращение. Однако этот переход в условиях устойчивого равновесия не существует, так как уже при более низкой температуре кристалл расплавляется (температура плавления — точка Ь). [c.232]

    ФАЗОВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И РАВНОВЕСИЕ [c.9]

    Рассмотренные в статье условия фазовой устойчивости п равновесия фаз в системах, где возмоншо протекание химических превращений, позволяют проводить расчеты их диаграмм состояний. В частности, с помощью предложенного подхода могут быть рассчитаны фазовые диаграммы серы, фосфора, мышьяка, церия и других веществ, существующих в природе в различных молекулярных или валентных формах. [c.140]

    Формула (13) вместе с (12) дает наиболее общее решение вопроса о связи между числами фазовых областей в диаграммах устойчивых равновесий. [c.30]

    Пленка устойчива при условии da Jdq>Q. Таким образом, капля жидкости, смочившая подложку, может находиться в устойчивом равновесии с полимолекулярным адсорбционным слоем этой же жидкости, если изотерма поверхностного натяжения подложки a — f iq) имеет максимум и минимум [35]. При такой форме изотермы (рис. 1.10,6) в равновесии друг с другом находятся фазовый слой жидкости q — 0) и адсорбционный полимолекулярный слой q = qf). [c.37]

    Общая термодинамическая теория устойчивых равновесий разрабатывается в последние годы В. К. Семенченко в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. За основные характеристики устойчивости В. К. Семенченко принял коэффициенты устойчивости и величину, названную им детерминантом устойчивости . Было показано, что по этим характеристикам фазовые переходы можно разделить на три группы. Одну из них образуют критические переходы, являющиеся граничными между фазовыми переходами первого рода и закритическими в этом случае достигается нижняя граница устойчивости, т. е. равновесие, подобное безразличному равновесию в механике. Исследован также случай достижения верхней границы устойчивости показано, что все следствия теоремы Нернста и закономерности, описывающие свойства полупроводников, являются частными случаями разработанной теории.[c.285]

    Уже при рассмотрении консервативной системы мы встречали устойчивые и неустойчивые состояния равновесия Они были связаны с определенными типами особых точек на фазовой плоскости. В случае центра /авновесие устойчиво, в случае седла — неустойчиво. Применим здесь тот же подход — рассмотрим фазовую плоскость. Она будет теперь иметь совсем другой вид, чем в случае консервативной системы. Здесь нет континуума замкнутых интегральных кривых, а есть семейство спиралей. В консервативных системах в окрестности устойчивого равновесия колебания периодические. Здесь же колебания около устойчивого равновесия обязательно затухают, и система стремится возвратиться в равновесное состояние (рис. 45,а). Если имеет место неустойчивость, то система совершает нарастающие колебания и беспредельно удаляется от состояния равновесия (рис. 45,6). Оба эти случая, как вы видели, могут осуществиться на практике. Особые точки типа, изображенного на рис. 45, а и б, называются фокусами (устойчивым и неустойчивым). Движение по интегральным кривым происходит по часовой стрелке. [c.138]

    При переходе через критическую область температур система оказывается в состоянии неустойчивого равновесия с г =0 и будет оставаться в нем бесконечно долго, если из этого состояния ее не выведут флуктуации. При этом система попадет в одно из положений устойчивого равновесия и спонтанно возникнет поляризация образца либо намагниченность в ферромагнетике. Состояние возникшей поляризации или намагниченности имеет конечное время жизни, так как разрушается под действием флуктуаций или шума. Таким образом шум как порождает упорядоченное состояние, так и разрушает его. Теория неравновесных фазовых переходов дает ответы на вопросы, за какое время возникает упорядоченное состояние, какова продолжительность его жизни, величина среднего значения параметра порядка, восприимчивость системы на внешнее воздействие и др. В общем случае устойчивые состояния могут быть предельными циклами и анализ неравновесных фазовых переходов значительно усложняется.[c.152]

    При исследовании поведения динамической системы представляет интерес не только устойчивость ее положений равновесия, но и характер расположения фазовых траекторий в малой их окрестности. Иными словами, оказывается существенным вопрос о том, каков тип положений равновесия исследуемой системы. [c.27]

    Если Ул и Х2 отрицательны, то с ростом т изображающие точки приближаются к положению равновесия, стремясь к нему при т->оо. Положение равновесия будет устойчивым узлом. Стрелки на фазовых траекториях рис. 1-1 соответствуют устойчивому узлу. [c.30]


    При ЭТОМ положение равновесия будет устойчивым узлом. Стрелки на фазовых траекториях рис. 1-6 соответствуют устойчивому узлу. [c.35]

    При ЭТОМ положение равновесия будет устойчивым фокусом. Стрелки на фазовых траекториях рис. 1-7 соответствуют устойчивому фокусу. [c.35]

    Чтобы определить число и устойчивость положений равновесия этой системы в трехмерном фазовом пространстве, необходимо найти решения уравнений [c. 101]

    К особым фазовым траекториям относятся положения равновесия, сепаратрисы седел и изолированные замкнутые фазовые траектории, называемые предельными циклами. Если на предельный цикл изнутри и снаружи наматываются фазовые траектории, то он является устойчивым и изображает автоколебания (более подробно о предельных циклах и автоколебаниях будет сказано ниже). [c.122]

    Особые траектории разделяют всю фазовую плоскость на отдельные области — ячейки, заполненные неособыми траекториями, характер поведения которых одинаков. Каждая ячейка грубой динамической системы содержит элемент притяжения— устойчивый узел (фокус) или устойчивый предельный цикл, к которому стремятся все фазовые траектории, заключенные в данной ячейке. Иными словами, каждая ячейка является областью притяжения или областью устойчивости в большом (в общем случае частью такой области) для какого-либо положения равновесия или предельного цикла. [c.122]

    Из этих рисунков видно, что все фазовые траектории стремятся к положению равновесия (О, уо). Отсюда следует, что эго положение равновесия абсолютно устойчиво. [c.127]

    Уо]положения равновесия. Фазовые портреты системы для подобласти //б, соответствующей устойчивости второго положения равновесия [c.128]

    Отсюда следует, что при устойчивости положения равновесия фазовый портрет реактора в простейшем случае будет иметь вид, изображенный на рис. 1У-3. [c.131]

    Поскольку все фазовые траектории входят внутрь прямоугольника без контакта, то при существовании единственного устойчивого положения равновесия (область / плоскости параметров Уа, Л о, рис. Ш-24) фазовый портрет изучаемой модели аналогичен фазовому портрету реактора полунепрерывного действия, изображенному на рис. 1У-3. При наличии же седла и двух устойчивых положений равновесия (область 3 плоскости Уй, -Го, рис. П1-24) фазовый портрет исследуемой модели может иметь вид, показанный на рис. 1У-4. [c. 132]

    Отсюда следует, что рис. -3 и -4 можно рассматривать, как возможные варианты фазовых портретов полимеризационного реактора, обладающего соответственно одним устойчивым положением равновесия или тремя положениями равновесия, из которых неустойчиво только седло. [c.132]

    Еслн полимеризационный реактор обладает пятью положениями равновесия, из которых два — седла (С1 и С2), а три — устойчивые узлы (/, //, ///), то его фазовый портрет в простейшем случае имеет вид, изображенный на рис. IV-б. [c.132]

    Как было показано А, А. Андроновым , математическим образом автоколебаний на фазовой плоскости являются предельные циклы — изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым изнутри и снаружи приближаются фазовые траектории, имеющие форму спиралей. Такие предельные циклы называются устойчивыми. На рис. 1У-7 изображен устойчивый предельный цикл, охватывающий неустойчивое положение равновесия типа фокуса.[c.134]

    Точки пересечения этого графика (рнс. 5.3) с прямой, соответствующей уравнению (5.33), дадут нам точки равновесия системы. Прямая делит фазовую плоскость на две области. Ниже ее г>Гр и, как следует из уравнений (5.26) и (5.29), drldt>0 и drofdt>0, т. е. точка, характеризующая состояние систе.мы, движется вверх по фазовой кривой. Выше прямой точка движется вниз. Таким образом, ясно, что точки А и В являются точками устойчивого равновесия, а точки С и D — неустойчивого. Начальным положением системы является точка [c.96]

    Детально рассмотрены равновесия периодических коллоидных структур в работах Ефремова, а также Усьярова [62, 63, 67]. При этом полученные ими условия не являются условиями фазового равновесия, а будут только условиями устойчивости по отношению к образованию локальных дефектов за счет агрегирования. Такое агрегирование может, например, отвечать переходу соседних частиц в ближнюю потенциальную яму, если в самой решетке расстояния примерно соответствуют дальней потенциальной яме. Эти условия устойчивого равновесия должны выполняться всегда, независимо от того, находится ли система в стесненных условиях и поэтому однофазна или двухфазна. [c.12]

    С помощью термохимических расчетов, основанных на определении энтальпии, энтропии и свободной энергии в основной системе кремнезема, Мозесман и Питцер построили диаграмму фазовых равновесий для модификаций кремнезема (фиг. 433). Данные вычислялись по определениям Сосмана изменений объйиов з и величины изменений давление — температура по уравнению йР1йТ = Д5/ДК. Вызывает сомнение вопрос, можно ли такой способ расчета применять к превращениям типа р-кристобалита, которые протекают постепенно. Для превращения скачком этот метод достаточно надежен и представляется возможным. Точно так же допущение, согласно которому пограничные кривые можно приближенно изобразить прямыми линиями, отвечает результатам Бриджмена , по крайней мере при давлениях до нескольких тысяч атмосфер. Относительно условий устойчивости фаз можно считать очевидным, что кварц находится в состоянии устойчивого равновесия с расплавом при умеренно высоких давлениях, в тройной точке кварц —кристобалит —расплав при 1715 10 Ч] и 1160 500 атм. Вторая тройная точка кристобалит — [c.405]

    На рис. 56,а и б представлены проекции Дженеке для растворов данной взаимной системы при различных температурах. Эти два простых случая будут использованы для того, чтобы продемонстрировать некоторые фазовые превращения, которые могут иметь место в таких системах. Обе диаграммы разделены кривыми на четыре поля, которые являются проекциями поверхностей насыщения (например, см. рис. 54,6). Соли АХ я ВУ могут сосуществовать в растворе в устойчивом равновесии составы растворов представлены точками кривой РР. [c.132]

    Наличие взаимодействия частиц приводит к тому, что необходимо рассматривать термодинамическую устойчивость химического равновесия. Устойчивость равновесия s l = s + С1 в сильнонеидеальном случае рассматривалась в [241]. Нарушение устойчивости было истолковано как указание на фазовый переход первого рода. Две фазы отличаются друг от друга концентрацией ионов. [c.112]

    Аллотропические цепи. В аллотропических цепях электродами служат две модификации одного н того же металла (М и Мр), погруженного в раствор (или в расплав) его ионопроводящего соединения. При данной темпера1уре только одна из модификаций выбранного металла устойчива (если это не температура фазового превращения, при которой существуют в равновесии обе модификации), другая же находится в метастабильном состоянии. Электрод, изготовленный из металла в метг Стабильном состоянии (пусть это будет Мр), должен обладать повышенным запасом свободной энергии. Он играет роль отрицательного электрода элемента и посылает ионы металла в раствор  [c.194]


Estimation by Dynamic Normal Technique

855

И. Г. Полянская, В. В. Юрак

ЭКОНОМИКА РЕГИОНА Т. 14, вып. 3 (2018)

Иррациональность

индивида

заключается в пред-

положении, что чело-

век чаще иррациона-

лен и подвержен эмо-

циям в своих решениях

и синдрому толпы,

а не действует как

«рациональный

оптимизатор»

Изменчивость.

Динамичность

основываются на

том, что рыночная

экономика и природ-

ная среда представ-

ляют собой динамиче-

ские системы

Историчность

предусматривает

зависимость конеч-

ных результатов си-

стемы от ее предше-

ствующего опыта

Традиционность

Основан на выработке

традиций в реализа-

ции стандартизован-

ных правил принятия

решений и осущест-

вления деятельности,

применяемых в те-

чение определенного

периода без коррек-

тировки или с внесе-

нием несущественных

корректировок

Справедливость

Предполагает обеспе-

чение высокого каче-

ства жизни для всего

общества, включая бу-

дущие поколения.

«Думай глобально

— действуй ло-

кально». «Думать

о будущем — дей-

ствуй сейчас»

Заключается в ор-

ганизации мест-

ных тактических

механизмов и си-

стем с целью дости-

жения стратегиче-

ских и глобальных за-

дач. Предполагает

анализ последствий

разрабатываемых

действий

Сбалансированность

Основан на опережении

или равенстве темпов

использования природ-

ных ресурсов темпами

восстановления при-

родной среды.

Системность

предусматривает на-

личие единого функ-

ционального целого

в регулировании при-

родопользования по-

средством конкрет-

ных механизмов и ин-

струментов, а также

всестороннюю ком-

плексную оценку воз-

действия производ-

ства на окружающую

среду и ее ответных

реакций. С позиции си-

стемного подхода ни

один ресурс не может

использоваться или

охраняться незави-

симо от другого.

Оптимизация при-

родопользова-

ния. Целостности

мышления

Заключается в нахож-

дении и принятии наи-

более целесообразных

решений об использо-

вании природных ре-

сурсов и природных

систем на основе од-

новременного и ком-

плексного использова-

ния социального эко-

логического и экономи-

ческого подхода, при

решении проблем и по-

строении прогнозов

развития различных

отраслей и регионов

Сохранение при-

родной среды.

Недостижение

точки бифуркации

природной среды

Исходит из утвержде-

ния, что эксплуата-

ция природных систем

не должна достигнуть

уровня, после кото-

рого нарушаются про-

цессы их самоподдер-

жания и саморегуля-

ции, то есть необхо-

димо учитывать их

ассимиляционную ем-

кость, количество

изымаемого природ-

ного ресурса, струк-

туру экосистемы

и другие факторы,

обеспечивающие ее

функционирование

Комплексность ис-

пользования природ-

ных ресурсов

Предусматривает

максимально полное

использование природ-

ных ресурсов, снижаю-

щее количество отхо-

дов и вредную нагрузку

на окружающую среду

Опережение тем-

пов заготовки сырья

темпами выхода ко-

нечной продукции

Основан на снижении

количества образую-

щихся в процессе про-

изводства отходов,

то есть на более пол-

ном использовании и

уменьшении количе-

ства исходного сырья,

затрачиваемого на

единицу продукции

Безотходность

Предусматривает

максимальное вовле-

чение отходов в хо-

зяйственную дея-

тельность с целью

переработки и сниже-

ния антропогенной

нагрузки на окружаю-

щую среду

«Тройная спираль»

Заключается в опти-

мальном взаимодей-

ствии трех основных

институтов при пла-

нировании и организа-

ции природопользова-

ния — власти, науки и

бизнеса.

Рис. 3. Принципы сбалансированного природопользования

Построение графика системы трех линейных неравенств | Алгебра

Построение графика системы трех линейных неравенств

Шаг 1: Определите три линейных неравенства в нашей системе.

Шаг 2: Нарисуйте один за другим график наших линейных неравенств. Запомнить:

  • Если наше неравенство имеет {eq}> {/eq} или {eq}\geq, {/eq} заштриховываем все выше линии.
  • Если наше неравенство имеет {eq}< {/eq} или {eq}\leq, {/eq} заштриховываем все ниже линии.
  • Если наше неравенство имеет {eq}> {/экв} или {экв}<, {/eq} наша линия состоит из точек.
  • Если наше неравенство имеет {eq}\geq {/eq} или {eq}\leq, {/eq} наша линия сплошная.

Шаг 3: Наш набор решений будет там, где пересекаются все три области.

Графическое изображение системы трех линейных неравенств: словарь

Линейное неравенство: Линейное неравенство — это линейная функция, которая вместо знака равенства имеет либо меньше ({eq}< {/eq}), меньше или равно ({eq}\leq {/eq}) больше или равно ({eq}\geq {/eq}) или больше, чем ({eq}> {/eq}) знак, разделяющий обе части уравнения. В зависимости от того, какой знак используется в неравенстве, определяется, как мы строим график функции:

  • Если у нас есть неравенство с {eq}< {/eq}, затем рисуем линейное уравнение с пунктирной линией и заполняем все ниже линии. Пример неравенства {eq}y
  • Аналогично, неравенство с {eq}> {/eq} имеет пунктирную линию в линейном уравнении и заполняет все выше линии, как показано ниже на примере {eq}y>x: {/экв}

  • Единственная разница между неравенством с {eq}< {/eq} и один с {eq}\leq {/eq} — линейное уравнение становится сплошной линией вместо пунктирной.Пример {eq}y\leq x {/eq} приведен ниже:
  • Снова аналогично неравенство с {eq}\geq {/экв} вместо {экв}> {/eq} имеет сплошную линию вместо пунктирной, но в остальном выглядит идентично. Пример {eq}y\geq x {/eq} приведен ниже:

При построении графика системы линейных уравнений множество решений представляет собой пересечение всех неравенств.Например, при графическом отображении трех неравенств {eq}y\geq x, \ y<2, {/eq} и {eq}y\geq-2, {/eq} области разного цвета, показанные ниже, представляют разные точки пересечения трех неравенств:

  • Верхняя левая розовая область содержит значения, удовлетворяющие {eq}y\geq x, \ y\not\leq2, {/eq} и {eq}y\not>-2 {/экв}.
  • Верхняя правая синяя область содержит значения, удовлетворяющие {eq}y>-2, \ y\not\geq x, {/eq} и {eq}y\not\leq2 {/экв}.
  • Нижняя правая желтая область содержит значения, удовлетворяющие {eq}y\leq2, \ y\not\geq x, {/eq} и {eq}y\not>-2 {/экв}.
  • Нижняя левая оранжевая область содержит значения, удовлетворяющие условиям {eq}y\geq x, y\leq2, {/eq} и {eq}y\not>-2. {/экв}
  • Средняя правая серая область содержит значения, удовлетворяющие {eq}y\leq2, \ y>-2, {/eq} и {eq}y\not\geq x. {/экв}
  • Средняя левая красная область содержит значения, удовлетворяющие {eq}y\geq x, \ y\leq2, {/eq} и {eq}y>-2, {/eq} наш набор решений!

Теперь мы представим два примера графических систем трех линейных неравенств:

График системы 3-х линейных неравенств: пример 1

Найдите решение приведенной ниже системы линейных уравнений с помощью графика и определите область решения:

{экв}\начало{выравнивание} х-у&<5\\ х&\geq-3\\ 3x+2y&\leq6 \end{выравнивание} {/экв}

Шаг 1: Определите три линейных неравенства в нашей системе.

Мы перепишем нашу систему, чтобы наши неравенства было легче отображать в виде графиков. Тогда мы получим следующую систему:

{экв}\начало{выравнивание} у&>х-5\\ х&\geq-3\\ у&\leq-\frac32x+3 \end{выравнивание} {/экв}

Шаг 2: Нарисуйте один за другим график наших линейных неравенств.

Сначала мы построим график {eq}y>x-5: {/экв}

Обратите внимание, что пока наш набор решений — это розовая область в верхней части графика.Теперь построим график {eq}x\geq-3: {/экв}

Наш набор решений теперь уменьшен до оранжевой области в середине графика. Наконец, мы построим график {eq}y\leq-\frac32x+3: {/экв}

Шаг 3: Определите наш набор решений.

В соответствии с нашим окончательным графиком выше, наш набор решений представляет собой заштрихованную среднюю красную область .

График системы 3-х линейных неравенств: пример 2

Найдите решение приведенной ниже системы линейных уравнений с помощью графика и определите область решения:

{экв}\начало{выравнивание} х+2у&\geq4\\ 2x-y&\leq-3\\ у&<0 \end{выравнивание} {/экв}

Шаг 1: Определите три линейных неравенства в нашей системе.

Мы перепишем нашу систему, чтобы наши неравенства было легче отображать в виде графиков. Тогда мы получим следующую систему:

{экв}\начало{выравнивание} у&\geq-\frac12x+2\\ у&\geq2x+3\\ у&<0 \end{выравнивание} {/экв}

Шаг 2: Нарисуйте один за другим график наших линейных неравенств.

Сначала мы построим график {eq}y\geq-\frac12x+2 {/экв}

Обратите внимание, что пока наш набор решений — это розовая область в верхней части графика.Теперь построим график {eq}y\geq2x+3: {/экв}

Наш набор решений теперь уменьшен до оранжевой области в верхней середине графика. Наконец, мы построим график {eq}y<0: {/экв}

Шаг 3: Определите наш набор решений.

На нашем последнем графике выше обратите внимание, как область, затененная {eq}y<0 {/eq} не пересекает нашу оранжевую область в верхней части графика. Это означает, что не имеет решения, поскольку во всем нашем графе нет области, закрашенной всеми тремя цветами.

Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

Системы уравнений и неравенств — Решение систем с тремя переменными

Решение систем с тремя переменными


Три уравнения. Три неизвестные переменные. Если они не будут найдены вовремя, мировые запасы Silly Putty сгорят. Только один человек может найти их вовремя, и она только что заболела. О-о.

В качестве нашего лучшего агента Shmoop вы должны научиться решать системы уравнений с тремя переменными и спасать глупую замазку мира, что довольно близко к спасению самого мира.

К счастью, для решения системы с тремя переменными используются те же методы, что и с двумя переменными, — нам просто нужно ударить по этому лоху несколько раз. Иногда будет проще использовать исключение, иногда быстрая замена решает проблему в один миг, а иногда оба метода объединяются для решения проблемы, а затем вместе борются с преступностью.

Типы ответов, которые мы можем найти, тоже одинаковы: может быть ноль, одно или бесконечное количество решений.

Быстро в тренировочную комнату. Да-на-нана-на-на.

Проблема образца

решить систему уравнений:

x + 2 y — 3 Z = -3

2 x + y + Z = -2

2 x y + 4 z = 4

Будь начеку, Шмупер. Мы можем начать эту проблему либо с замены, либо с исключения.На этот раз мы собираемся использовать исключение. Когда у нас есть три уравнения, мы можем складывать или вычитать только два уравнения за раз. Мы не можем жонглировать так много сразу.

Воспользуемся третьим уравнением, чтобы избавиться от y в первом и втором уравнениях. Например, давайте добавить:

2 x + Z + Z = -2

2 x Z + 4 Z = 4

Это дает нам:

(2 x + 2 x ) + ( y y y ) + ( Z + 4 Z ) = (-2 + 4)

4 x + 5 Z = 2

Небольшое умножение в третьем уравнении поможет нам исключить другие y из первого уравнения.

x + 2 y – 3 z = -3

2(2 x y + 4 z 904 = 07)

x + 2 Z — 3 Z — 3 Z = -3

4 x — 2 y + 8 Z = 8

Теперь мы можем добавить их как босс.

( x + 4 x ) + (2 y — 2 y — 2 y ) + (-3 Z + 8 Z ) = (-3 + 8)

5 x + 5 z = 5

Теперь у нас есть система уравнений с двумя переменными, точно такая же, как когда-то давно.Две секции назад.

4 x + 5 z = 2

5 x + 5 z = 5

Помни свое обучение, секретный агент. Хотя подстановка часто полезна, когда мы работаем только с двумя переменными, в этом случае мы можем исключить z из этих уравнений, умножив 4 x + 5 z = 2 на -1.

-4

-4 x — 5 Z = -2

5 x + 5 Z = 5

Добавление наших двух уравнений вместе, мы получаем:

x = 3

Отлично. Теперь мы к чему-то пришли; не уверен, где, хотя. Мы можем подставить x = 3 в любое из наших предыдущих уравнений. Мы рекомендуем один из них без y , чтобы мы могли найти z .

4 x + 5 Z = 2

4 (3) + 5 Z = 2

12 + 5 Z = 2

5 Z = -10

Z = -2

Теперь вернем все это домой, подставив x = 3 и z = -2 в одно из трех исходных уравнений.Возьмем x + 2 y – 3 z = -3.

3 + 2 y — 3 (-2) = -3

2 Y + 9 = -3

2 y = -12

y = -6

Мы нашли единственное решение, так что это упорядоченная тройка в виде (3, -6, -2). Это означает, что есть одна точка, где встречаются все самолеты (например, аэропорт).

Однако это не единственный возможный результат для системы из трех уравнений.Иногда решений не будет, потому что по крайней мере две плоскости параллельны друг другу.

Пример задачи

Решите систему уравнений.

x Z + 2 Z + 2 Z + 2 Z + 4 Z + 2 Z + 4 Z + 4 Z + -1

+ 2 Z = -1

+ 2 Z + 4 Z + 4 Z = 3

2 x + 2 y — 3 y — 3 z = 9

Хорошо, как начать? Ну, а начнем с начала, а когда дойдем до конца, остановимся.Да, это дельный совет.

Мы можем использовать первое уравнение, чтобы исключить x из нашей системы, умножив на -2. Это кажется нам хорошим началом.

-2 ( x + 3 y + 2 Z + 2 Z = -1)

-2 x — 6 y — 4 Z = 2

Теперь добавьте новую и улучшенную версию Нашего первого уравнения ко второму уравнению:

-2 x — 6 Z — 4 Z = 2

2 x + 6 y + 4 Z = 3

(- 2 x + 2 x ) + (-6 y + 6 y ) + (-4 z + 4 z ) = (2 + 3)

0 = 5

Что? Это не правильно. Наши силы Шмуп сломали математику? Нет, просто нет решений, удовлетворяющих этим уравнениям. Нет никакой точки, которая, если подставить ее в эти уравнения, даст 0 = 5.

Итак, это наш ответ: решения нет. Наши три плоскости не все пересекаются. Может быть, у двоих из них есть, но у третьего уже были планы на обед. Может быть, все трое и встречаются, но никогда одновременно. Системы без решений должны лучше координировать свои графики.

Пример задачи

Решите эту систему линейных уравнений.

3 x + 2 Z — 2 Z = -2

6 x + 4 Z — 4 Z = -4

5 x y + z = 1

От какой переменной мы можем попытаться избавиться в первую очередь? Какой метод будет работать лучше всего? Кто из участников выиграет American Idol в этом году?

Коэффициенты y и z в третьем уравнении можно использовать для исключения любой переменной. Одно из них также можно было бы использовать в качестве замены, но с этими 5 x вместе с коэффициентами в первых двух уравнениях у нас на руках была бы большая мешанина чисел. Обычно мы любим устраивать беспорядок, но только не во время решения математических задач.

Хорошо, мы решили, что мы собираемся добавить:

3 x + 2 y — 2 Z = -2

2 (5 x y + Z = 1)

Это устранит y … и z ! Н-м-повезло.

3 x + 2 y — 2 Z — 2 Z = -2

10 x — 2 y + 2 Z = 2

, что дает нам:

(3 x + 10 x ) + (2 y — 2 y — 2 y ) + (-2 Z + 2 Z ) = (-2 + 2)

13 x = 0

x = 0

Великолепное начало.Мы можем упростить все, подставив 0 вместо x в наших исходных уравнениях.

2 y — 2 Z = -2

4 y — 4 Z — 4 Z = -4

y + Z = 1

запомнить Метод замены? Мы делаем. Мы как слон или жесткий диск компьютера — мы никогда не забываем. Как насчет того, чтобы заменить наш путь к решению? Сначала найдите y в третьем уравнении.

y = z – 1

А теперь подставьте z – 1 вместо y в первое уравнение.

2( z – 1) – 2 z = -2

2 z – 2 – 2 z = -2

0 = 0

Из наших переменных выпали все и

0 = 0

мы остались с истинным утверждением. Как и в случае с двумя переменными, у нас есть бесконечное число решений. Проблема решена, верно?

Бззз! Неправильно. Мы показали, что х и х имеют бесконечное количество общих решений, но мы уже знаем, что х = 0, помните? Даже если бы мы этого не сделали, нам все равно нужно было бы выяснить, что такое x .

Когда у нас были бесконечные двумерные решения, это означало, что обе линии были абсолютно одинаковыми. Сейчас мы находимся в трехмерном пространстве и работаем с тремя плоскостями. У нас может быть бесконечное количество решений, при этом все три плоскости не должны быть одинаковыми; они могут просто разделить линию между собой.

Что это за линия? Это y = z – 1. Любое решение системы уравнений должно удовлетворять х = 0 и y = z – 1.

уравнения с тремя переменными, секретный агент Shmoop.Мир и его запасы Silly Putty теперь в ваших руках. Удачи.

Системы неравенств. Задача 3

Некоторые неравенства не имеют решения. Если два неравенства имеют параллельные линии и заштрихованные области не пересекаются (т. е. заштрихованы противоположные области), то система не имеет решения. Это означает, что не существует координатной точки, которая делает оба неравенства верными.

Здесь у меня есть система неравенств, которые я собираюсь изобразить в виде графика, и я рад, потому что они оба уже решены для y, так что это должно быть довольно просто.

В первом уравнении я буду использовать красный цвет, я начну с точки пересечения у -2, поднимусь по дробному наклону вверх на 3 над 4 и поставлю еще одну точку, подожди до 3 над 4. Получилось Это. Затем я собираюсь использовать пунктирную линию, чтобы соединить их, и подумать о штриховке.

Обычно я использую точку (0,0) для проверки, если она не находится на линии. Верно ли, что 0 больше, чем 3/4, умноженное на 0, за вычетом 2? О, да, больше, чем -2, так что я собираюсь затенить здесь, хорошо. Затем для моей другой линии я собираюсь провести аналогичный процесс, начиная с -3, 1, 2, 3, мне нужно сделать наклон, который на три выше четырех, вот он.Нарисуйте пунктирную линию, чтобы соединить их, а затем подумайте о штриховке.

Верно ли, что 0 меньше, чем ¾ умножить на 0, убрав 3? Отрицательный да, 0 меньше, чем -3? Нет, это означает, что здесь не следует закрашивать синюю линию в направлении (0,0). Ничего себе, посмотрите, ребята, этот график немного сложно увидеть, потому что я не использовал миллиметровую бумагу, не делайте эту ошибку дома. Но вы можете сказать, что если бы я сделал это идеально, это были бы две параллельные линии. Что здесь интересно, так это то, что у меня нет области решения.

Поскольку у меня есть параллельные линии, у меня есть две линии с одинаковым наклоном, и я вижу, что из моей исходной задачи наклон равен 3/4, и я заштриховал их друг от друга, но на этом графике мои штриховки не перекрываются. Это означает, что никакая пара координат, пара координат xy, не будет работать в обоих этих неравенствах. Это своего рода сложная проблема, которую вы могли видеть. Будьте осторожны, когда у вас есть параллельные линии, которые вы можете заштриховать таким образом, и у вас вообще не будет никаких решений.

Решить системы линейных уравнений и неравенств с двумя и тремя переменными графическими методами, методами подстановки и исключения.

MA.912.A.3.14 — Решение систем линейных уравнений и неравенств с двумя и тремя переменными графическими методами, методами подстановки и исключения.

Веб-сайт несовместим с используемой версией браузера. Не все функции могут быть доступны. Пожалуйста, обновите ваш браузер до последней версии.

Решайте системы линейных уравнений и неравенств с двумя и тремя переменными графическими методами, методами подстановки и исключения.

Пояснения

Пример 1: Решите следующую систему уравнений путем замены:

Пример 2: Нарисуйте график решения следующей системы неравенств:

Пример 3: Решите следующую систему уравнений:

Общая информация

Предметная область: X-Mathematics (бывшие стандарты — 2008)

Класс: 912

Совокупность знаний: Алгебра

Идея: Уровень 2: Базовое применение навыков и понятий

Дата принятия или пересмотра: 07. 09.

Дата последней оценки: 07.06.

Статус: Утверждено Государственным советом — Архивировано

Оценено: Да

Спецификации объекта испытаний

  • Тип(ы) предмета: Этот ориентир можно оценить с помощью: МС , Франция Предметы)
  • Также оценивает:

    MA. 912.A.3.13 Используйте график, чтобы приблизить решение системы линейных уравнений или неравенств в двух переменные с технологией и без нее.

    MA.912.A.3.15 Решение реальных задач, связанных с системы линейных уравнений и неравенств на двойки и тройки переменные.


  • Уточнение:
    Учащиеся будут решать системы линейных уравнений с двумя переменными.
  • Ограничения по содержанию:

    В пунктах не указывается метод решения систем линейных уравнения, такие как замена или исключение.

    Элементы не будут оценивать системы линейных неравенств.

    Предметы не оценивают системы линейных уравнений с тремя переменными.

    В заданиях учащимся может быть предложено написать и/или решить системы линейных уравнения с двумя переменными.

    В заданиях учащимся может быть предложено решить системы линейных уравнений с учетом график системы.

    В заданиях с приведенными уравнениями уравнения могут быть в основе или опции.

  • Атрибуты ответа:
    Заполняя элементы ответа, можно попросить учащихся предоставить координату x (или координата y) решения системы линейных уравнений.

Образцы тестовых заданий (2)

  • Контрольный образец #: Образец 1
  • Вопрос: Расс купил 3 средних и 2 больших подводных бутерброда на общую сумму 29 долларов.95. Стейси купила 4 средних и 1 большой бутерброд с подводной лодкой на общую сумму 28,45 долларов США.
    В каком утверждении указана стоимость каждого бутерброда средней и большой подводной лодки?
  • Сложность: Н/Д
  • Тип: MC: Множественный выбор

  • Тестовый образец #: Образец 2
  • Вопрос:

    Сайт, продающий песни для скачивания, увеличил цену за песню с 0 долларов. от 99 до 1,29 доллара. Мэйси потратила 15,36 долларов на скачивание песен в течение месяца повышения цен. Она скачала На 4 песни больше по 0,99 доллара, чем по 1,29 доллара. Приведенная ниже система уравнений представляет ситуацию, когда x — это количество песен, которые Мэйси скачала за 0,99 доллара США, а y — это количество песен, которые она скачала. по цене 1,29 доллара.

    х = у + 4
    0,99х + 1,29у = 15,36

    Каково точное количество песен, загруженных Мэйси по цене 0,99 доллара США?

  • Сложность: Н/Д
  • Тип: FR: Ввод ответа

Связанные точки доступа

Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями.

Связанные ресурсы

Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.

Ресурсы для учащихся

Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом эталонном тесте.

Ресурсы для родителей

Проверенные ресурсы, которые воспитатели могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте.

Загрузка….

систем линейных неравенств, решения этих систем. Картинки, примеры и практические задачи.

Система линейных неравенств — это просто два или более линейных неравенства на одной плоскости. Другими словами, система линейных неравенств — это всего лишь два или более неравенства вместе.

Самый простой способ запомнить, что означает «система» в данном контексте, — это ответить на следующий вопрос: «Относится ли слово система только к одному объекту или система всегда относится к нескольким объектам?»

Ответ «больше, чем одна вещь»

Точно так же «система линейных неравенств» — это «более одного линейного неравенства».

Интерактивная Система
линейных неравенств

Нажмите и перетащите точки ниже, и система линейных неравенств соответствующим образом скорректируется. (Полноразмерная интерактивная система линейных неравенств)

Привязки к сетке

Y ≥ Х ≥

?

Y ≥ Х ≥

Используйте его для включения или отключения привязки

Нажмите на уравнение, чтобы изменить тип неравенства между ≤,
<, > и ≥

Вы можете перетаскивать точки, чтобы изменить уравнение линии

Ниже приведены графики линейных неравенств: y < x + 1 и y > x.

На изображении выше представлена ​​система неравенств, составленная из тех же двух линейных неравенств:

у < х + 1
у > х

Когда мы возьмем оба линейных неравенства, изображенных выше, и изобразим их на одной и той же декартовой плоскости, получаем систему линейных неравенств.Решение этой системы — желтая область. что является областью перекрытия. Другими словами, решением системы является область, в которой оба неравенства верны. Координаты y всех точек в желтой области равны как на больше x + 1, так и меньше x.

Пример
системы линейных неравенств

На рисунке ниже показана система линейных неравенств.

Слева график двух линейных неравенств. Каково решение этой системы линейных неравенств?

(Напоминание: решением является область, которую покрывают оба неравенства)

Проблема 1

Ниже приведен график следующей системы неравенств:

Сможете ли вы определить по картинке, какая область является решением этой системы?

Покажи ответ
Задача 2

Слева график

Какая область слева является решением этой системы линейных неравенств?

  • у ≥ х + 1
  • г ≥ –3/2x + 1

Помните: это просто означает, какая область включает 90 800 и 90 801 следующих линейных неравенств:

у ≥ х + 1 и у ≥ –х + 1

Покажи ответ

#2

Проблема 3

Каково решение следующей системы линейных неравенств (линии которой изображены справа)

у ≤ -½x + 2
у ≥ ½x — 1

Покажи ответ

Розовая область представляет собой решение этой системы линейных неравенств.

4.4 Решение систем уравнений с тремя переменными — Алгебра среднего уровня 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными
  • Решить систему линейных уравнений с тремя переменными
  • Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными

Будь готов 4.10

Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

Вычислить 5x−2y+3z5x−2y+3z, когда x=−2,x=−2, y=−4,y=−4 и z=3.z=3.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.21.

Будь готов 4.11

Классифицируйте уравнения как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение. {−2x+y=−11x+3y=9.{−2x+y=−11x+3y=9.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2. 6.

Будь готов 4.12

Классифицируйте уравнения как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение. {7x+8y=43x−5y=27.{7x+8y=43x−5y=27.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.8.

Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными

В этом разделе мы продолжим нашу работу по решению системы линейных уравнений. До сих пор мы работали с системами уравнений с двумя уравнениями и двумя переменными.Теперь будем работать с системами трех уравнений с тремя переменными. Но сначала давайте рассмотрим, что мы уже знаем о решении уравнений и систем, содержащих до двух переменных.

Ранее мы узнали, что график линейного уравнения ax+by=c,ax+by=c представляет собой линию. Каждая точка на линии, упорядоченная пара (x, y), (x, y), является решением уравнения. Для системы двух уравнений с двумя переменными рисуем две линии. Тогда мы увидим, что все точки, являющиеся решениями каждого уравнения, образуют прямую.И, найдя, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями

Мы знаем, что когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий на одной плоскости, возможны три случая, как показано на рисунке.

Аналогично, для линейного уравнения с тремя переменными ax+by+cz=d,ax+by+cz=d каждое решение уравнения представляет собой упорядоченную тройку (x,y,z)(x,y,z) , что делает уравнение верным.

Линейное уравнение с тремя переменными

Линейное уравнение с тремя переменными, где a, b, c, и d — действительные числа, а a, b и c — не все 0, имеет вид

Каждое решение уравнения представляет собой упорядоченную тройку (x,y,z)(x,y,z), которая делает уравнение верным.

Все точки, являющиеся решениями одного уравнения, образуют плоскость в трехмерном пространстве. И, обнаружив, что общего у плоскостей, мы найдем решение системы.

Когда мы решаем систему трех линейных уравнений, представленную графиком трех плоскостей в пространстве, возможны три случая.

Чтобы решить систему трех линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями всех трех уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченную тройку (x,y,z)(x,y,z), которая делает все три уравнения верными. Они называются решениями системы трех линейных уравнений с тремя переменными.

Решения системы линейных уравнений с тремя переменными

Решениями системы уравнений являются значения переменных, при которых все уравнения верны. Решение представлено упорядоченной тройкой (x,y,z).(x,y,z).

Чтобы определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная тройка делает все три уравнения верными, то это решение системы.

Пример 4.31

Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы: {x−y+z=22x−y−z=−62x+2y+z=−3.{x−y+z=22x−y−z=− 62x+2y+z=−3.

ⓐ (−2,−1,3)(−2,−1,3) ⓑ (−4,−3,4)(−4,−3,4)

Решение



Попытайся 4,61

Определите, является ли упорядоченная тройка решением системы: {3x+y+z=2x+2y+z=−33x+y+2z=4.{3x+y+z=2x+2y+z=−33x +у+2г=4.

ⓐ (1,−3,2)(1,−3,2) ⓑ (4,−1,−5)(4,−1,−5)

Попытайся 4.62

Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы: {x−3y+z=−5−3x−y−z=12x−2y+3z=1.{x−3y+z=−5−3x−y −z=12x−2y+3z=1.

ⓐ (2,−2,3)(2,−2,3) ⓑ (−2,2,3)(−2,2,3)

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными

Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, мы в основном используем те же методы, что и для систем с двумя переменными. Мы начинаем с двух пар уравнений, и в каждой паре мы исключаем одну и ту же переменную.Это даст нам систему уравнений только с двумя переменными, и тогда мы будем знать, как решить эту систему!

Затем мы используем значения двух только что найденных переменных, чтобы вернуться к исходному уравнению и найти третью переменную. Мы записываем наш ответ в виде упорядоченной тройки, а затем проверяем наши результаты.

Пример 4.32

Как решить систему уравнений с тремя переменными методом исключения

Решите систему методом исключения: {x−2y+z=32x+y+z=43x+4y+3z=-1.{х-2у+г=32х+у+г=43х+4у+3г=-1.

Решение

Попытайся 4,63

Решите систему методом исключения: {3x+y-z=22x-3y-2z=14x-y-3z=0.{3x+y-z=22x-3y-2z=14x-y-3z=0.

Попытайся 4,64

Решите систему методом исключения: {4x+y+z=-1-2x-2y+z=22x+3y-z=1.{4x+y+z=-1-2x-2y+z=22x+3y −z=1.

Здесь перечислены шаги.

Как

Решите систему линейных уравнений с тремя переменными.
  1. Шаг 1. Запишите уравнения в стандартной форме
    • Если какие-либо коэффициенты являются дробями, удалите их.
  2. Шаг 2. Исключите одну и ту же переменную из двух уравнений.
    • Решите, какую переменную вы удалите.
    • Работа с парой уравнений для исключения выбранной переменной.
    • Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны.
    • Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную
  3. Шаг 3.Повторите шаг 2, используя два других уравнения, и исключите ту же переменную, что и в шаге 2.
  4. Шаг 4. Два новых уравнения образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решите эту систему.
  5. Шаг 5. Используйте значения двух переменных, найденных на шаге 4, чтобы найти третью переменную.
  6. Шаг 6. Запишите решение в виде упорядоченной тройки.
  7. Шаг 7. Убедитесь, что упорядоченная тройка является решением всех трех исходных уравнений.

Пример 4.33

Решите: {3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5.{3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5.

Решение
{3x−4z=0(1)3y+2z=−3(2)2x+3y=−5(3){3x−4z=0(1)3y+2z=−3(2)2x+3y=− 5(3)

Мы можем исключить zz из уравнений (1) и (2), умножив уравнение (2) на 2, а затем сложив полученные уравнения.

Обратите внимание, что оба уравнения (3) и (4) содержат переменные xx и yy. Мы решим эту новую систему для xx и yy.

Чтобы найти y , мы подставляем x=−4x=−4 в уравнение (3).

Теперь у нас есть x=−4x=−4 и y=1.y=1. Нам нужно решить для z . Мы можем подставить x=−4x=−4 в уравнение (1), чтобы найти z .

Запишем решение в виде упорядоченной тройки. (−4,1,−3)(−4,1,−3)

Проверяем, что решение делает все три уравнения верными.

3x−4z=0(1)3(−4)−4(−3)=?00=0✓3y+2z=−3(2)3(1)+2(−3)=?−3−3 =−3✓2x+3y=−5(3)2(−4)+3(1)=?−5−5=−5✓Решение (−4,1,−3).3x−4z= 0(1)3(−4)−4(−3)=?00=0✓3y+2z=−3(2)3(1)+2(−3)=?−3−3=−3✓ 2x+3y=-5(3)2(-4)+3(1)=?-5-5=-5✓Решение (-4,1,-3).

Попытайся 4,65

Решите: {3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6.{3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6.

Попытайся 4,66

Решите: {4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6.{4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6.

Когда мы решаем систему и получаем ложное утверждение без переменных, мы знаем, что решений нет и что система несовместима. В следующем примере показана противоречивая система уравнений.

Пример 4,34

Решите систему уравнений: {x+2y-3z=-1x-3y+z=12x-y-2z=2.{x+2y-3z=-1x-3y+z=12x-y-2z=2.

Решение
{x+2y-3z=-1(1)x-3y+z=1(2)2x-y-2z=2(3){x+2y-3z=-1(1)x-3y+z= 1(2)2x−y−2z=2(3)

Используйте уравнение (1) и (2), чтобы исключить z .

Используйте (2) и (3), чтобы снова исключить zz.

Используйте (4) и (5), чтобы удалить переменную.

Нет решения.

Мы остались с ложным утверждением, и это говорит нам о том, что система несовместима и не имеет решения.

Попытайся 4.67

Решите систему уравнений: {x+2y+6z=5-x+y-2z=3x-4y-2z=1.{x+2y+6z=5-x+y-2z=3x-4y-2z =1.

Попытайся 4,68

Решить систему уравнений: {2x-2y+3z=64x-3y+2z=0-2x+3y-7z=1.{2x-2y+3z=64x-3y+2z=0-2x+3y-7z =1.

Когда мы решаем систему и получаем не переменные, а истинное утверждение, мы знаем, что существует бесконечно много решений. Система согласована с зависимыми уравнениями. Наше решение покажет, как две переменные зависят от третьей.

Пример 4,35

Решите систему уравнений: {x+2y−z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4.{x+2y−z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4.

Решение
{x+2y−z=1(1)2x+7y+4z=11(2)x+3y+z=4(3){x+2y−z=1(1)2x+7y+4z=11( 2)х+3у+г=4(3)

Используйте уравнение (1) и (3), чтобы исключить x .

Используйте уравнения (1) и (2), чтобы снова исключить x .

Используйте уравнения (4) и (5), чтобы исключить yy.

Существует бесконечно много решений.
Решите уравнение (4) для y . Представьте решение, показывающее, как x и y зависят от z .
у+2г=3у=-2г+3у+2г=3у=-2г+3
Используйте уравнение (1), чтобы найти x . х+2у-z=1х+2у-z=1
Замените y=−2z+3. y=−2z+3. х+2(-2z+3)-z=1x-4z+6-z=1x-5z+6=1x=5z-5x+2(-2z+3)-z=1x-4z+6-z =1x−5z+6=1x=5z−5

Верное утверждение 0=00=0 говорит нам, что это зависимая система, имеющая бесконечно много решений.Решения имеют вид (x,y,z)(x,y,z), где x=5z−5;y=−2z+3x=5z−5;y=−2z+3, а z — любое вещественное число. количество.

Попытайся 4,69

Решите систему уравнениями: {x+y-z=02x+4y-2z=63x+6y-3z=9.{x+y-z=02x+4y-2z=63x+6y-3z=9.

Попытайся 4,70

Решите систему уравнениями: {x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0.{x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y −7z=0.

Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными

Приложения, которые моделируются системами уравнений, могут быть решены с использованием тех же методов, которые мы использовали для решения систем.Многие из приложений являются просто расширениями трех переменных типов, которые мы решили ранее.

Пример 4,36

Театральный факультет муниципального колледжа продал три вида билетов на свой последний спектакль. Билеты для взрослых продаются за 15 долларов, студенческие билеты за 10 долларов и детские билеты за 8 долларов. Театральный отдел был в восторге от того, что продал 250 билетов и заработал 2825 долларов за один вечер. Количество проданных студенческих билетов в два раза превышает количество проданных билетов для взрослых.Сколько штук каждого типа продал отдел?

Решение
Мы будем использовать диаграмму для систематизации информации.
Количество учащихся вдвое превышает количество взрослых.
Перепишите уравнение в стандартной форме. у=2х2х-у=0у=2х2х-у=0
Используйте уравнения (1) и (2), чтобы исключить z .
Используйте (3) и (4), чтобы исключить y.у.
Решить для x .  x=75 x=75 билетов для взрослых
Используйте уравнение (3), чтобы найти y . −2x+y=0−2x+y=0
Замените x=75.x=75. −2(75)+y=0−150+y=0y=150студенческих билетов−2(75)+y=0−150+y=0y=150студенческих билетов
Используйте уравнение (1), чтобы найти z . х+у+г=250х+у+г=250
Подставьте значения
x=75,y=150.х=75,у=150.

75+150+z=250225+z=250z=25детских билетов75+150+z=250225+z=250z=25детских билетов
Запишите решение. Театральный отдел продал 75 билетов для взрослых,
150 билетов для студентов и 25 билетов для детей.

Попытайся 4,71

Отдел изящных искусств муниципального колледжа продал три вида билетов на свою последнюю танцевальную презентацию. Билеты для взрослых продаются по 20 долларов, студенческие билеты по 12 долларов и детские билеты по 10 долларов.Отдел изящных искусств был в восторге от того, что продал 350 билетов и заработал 4650 долларов за одну ночь. Количество проданных детских билетов равно количеству проданных билетов для взрослых. Сколько штук каждого типа продал отдел?

Попытайся 4,72

Футбольная команда муниципального колледжа продала три вида билетов на свою последнюю игру. Билеты для взрослых продаются по 10 долларов, студенческие — по 8 долларов, детские — по 5 долларов. Футбольная команда была в восторге от того, что продала 600 билетов и заработала 4900 долларов за одну игру.Количество билетов для взрослых в два раза превышает количество билетов для детей. Сколько штук каждого типа продала футбольная команда?

Раздел 4.

4 Упражнения
Практика делает совершенным

Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными

В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная тройка решением системы.

162 .

{2x−6y+z=33x−4y−3z=22x+3y−2z=3{2x−6y+z=33x−4y−3z=22x+3y−2z=3

ⓐ (3,1,3)(3,1,3) ⓑ (4,3,7)(4,3,7)

163 .

{−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1{−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1

ⓐ (−5,−7,4)(−5,−7,4) ⓑ (5,7,4)(5,7,4)

164 .

{y-10z=-82x-y=2x-5z=3{y-10z=-82x-y=2x-5z=3

ⓐ (7,12,2)(7,12,2) ⓑ (2,2,1)(2,2,1)

165 .

{x+3y−z=15y=23x−2x−3y+z=−2{x+3y−z=15y=23x−2x−3y+z=−2

ⓐ (−6,5,12)(−6,5,12) ⓑ (5,43,−3)(5,43,−3)

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными

В следующих упражнениях решите систему уравнений.

166 .

{5x+2y+z=5−3x−y+2z=62x+3y−3z=5{5x+2y+z=5−3x−y+2z=62x+3y−3z=5

167 .

{6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1{6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1

168 .

{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3

169 .

{5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7{5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7

170 .

{3x−5y+4z=55x+2y+z=02x+3y−2z=3{3x−5y+4z=55x+2y+z=02x+3y−2z=3

171 .

{4x−3y+z=72x−5y−4z=33x−2y−2z=−7{4x−3y+z=72x−5y−4z=33x−2y−2z=−7

172 .

{3x+8y+2z=-52x+5y-3z=0x+2y-2z=-1{3x+8y+2z=-52x+5y-3z=0x+2y-2z=-1

173 .

{11x+9y+2z=-97x+5y+3z=-74x+3y+z=-3{11x+9y+2z=-97x+5y+3z=-74x+3y+z=-3

174 .

{13x−y−z=1x+52y+z=−22x+2y+12z=−4{13x−y−z=1x+52y+z=−22x+2y+12z=−4

175 .

{x+12y+12z=015x−15y+z=013x−13y+2z=−1{x+12y+12z=015x−15y+z=013x−13y+2z=−1

176 .

{x+13y-2z=-113x+y+12z=012x+13y-12z=-1{x+13y-2z=-113x+y+12z=012x+13y-12z=-1

177 .

{13x−y+12z=423x+52y−4z=0x−12y+32z=2{13x−y+12z=423x+52y−4z=0x−12y+32z=2

178 .

{x+2z=04y+3z=-22x-5y=3{x+2z=04y+3z=-22x-5y=3

179 .

{2x+5y=43y-z=34x+3z=-3{2x+5y=43y-z=34x+3z=-3

180 .

{2y+3z=-15x+3y=-67x+z=1{2y+3z=-15x+3y=-67x+z=1

181 .

{3x−z=−35y+2z=−64x+3y=−8{3x−z=−35y+2z=−64x+3y=−8

182 .

{4x−3y+2z=0−2x+3y−7z=12x−2y+3z=6{4x−3y+2z=0−2x+3y−7z=12x−2y+3z=6

183 .

{x−2y+2z=1−2x+y−z=2x−y+z=5{x−2y+2z=1−2x+y−z=2x−y+z=5

184 .

{2x+3y+z=12x+y+z=93x+4y+2z=20{2x+3y+z=12x+y+z=93x+4y+2z=20

185 .

{x+4y+z=-84x-y+3z=92x+7y+z=0{x+4y+z=-84x-y+3z=92x+7y+z=0

186 .

{x+2y+z=4x+y-2z=3-2x-3y+z=-7{x+2y+z=4x+y-2z=3-2x-3y+z=-7

187 .

{x+y-2z=3-2x-3y+z=-7x+2y+z=4{x+y-2z=3-2x-3y+z=-7x+2y+z=4

188 .

{x+y-3z=-1y-z=0-x+2y=1{x+y-3z=-1y-z=0-x+2y=1

189 .

{x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7{x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7

Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными

В следующих упражнениях решите данную задачу.

190 .

Сумма мер углов треугольника равна 180. Сумма мер второго и третьего углов в два раза больше первого угла. Третий угол на двенадцать больше второго. Найдите меры трех углов.

191 .

Сумма мер углов треугольника равна 180. Сумма мер второго и третьего углов в три раза больше меры первого угла. Третий угол на пятнадцать больше второго.Найдите меры трех углов.

192 .

После просмотра крупной музыкальной постановки в театре посетители могут приобрести сувениры. Если семья покупает 4 футболки, видео и 1 мягкую игрушку, их общая сумма составляет 135 долларов.

Пара покупает 2 футболки, видео и 3 мягких игрушки для своих племянниц и тратит 115 долларов. Другая пара покупает 2 футболки, видео и 1 мягкую игрушку на сумму 85 долларов. Какова стоимость каждого предмета?

193 .

Молодежная группа церкви продает закуски, чтобы собрать деньги на участие в своем съезде.Эми продала 2 фунта конфет, 3 коробки печенья и 1 банку попкорна на общую сумму 65 долларов. Брайан продал 4 фунта конфет, 6 коробок печенья и 3 банки попкорна на общую сумму 140 долларов. Паулина продала 8 фунтов конфет, 8 коробок печенья и 5 банок попкорна на общую сумму 250 долларов. Какова стоимость каждого предмета?

Письменные упражнения
194 .

Своими словами объясните, как решить систему линейных уравнений с тремя переменными методом исключения.

195 .

Как определить, что система трех линейных уравнений с тремя переменными не имеет решения? Бесконечно много решений?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

ⓑ По шкале от 1 до 10, как бы вы оценили свое знание этого раздела в свете ваших ответов на контрольный список? Как вы можете улучшить это?

Объяснение урока: Решение систем линейных неравенств

В этом объяснении мы научимся решать системы линейных неравенств с помощью графически и определите области, представляющие решение.

Система неравенств (представленная символами ,≤,> и ≥) представляет собой набор два или более линейных неравенства с несколькими переменными и они используются, когда проблема требует ряда решений, и существует более одного ограничения на эти решения. решения.

На графике, представляющем систему неравенств, затенение выше означает, что больше в то время как затенение ниже означает, что меньше . Кроме того, мы должны также взять границу с учетом региона, где сплошная линия означает равных , а пунктирная линия означает, что не равно .

Неравенства вида 𝑥>𝑎 или 𝑥𝑎 будут представлены в виде вертикали пунктирная линия на 𝑥=𝑎 (параллельно оси 𝑦), поскольку сама линия не включена в области, представляющей неравенство, а заштрихованная область будет либо на справа для 𝑥>𝑎 или слева для 𝑥𝑎. То же самое относится к 𝑥≥𝑎 или 𝑥≤𝑎, за исключением того, что теперь регион также будет включать строку 𝑥=𝑎, что было бы представлено сплошной линией, но направление затенение будет таким же.

Аналогично, неравенства вида 𝑦>𝑏 или 𝑦𝑏 будет представлен в виде горизонтальной пунктирной линии на 𝑦=𝑏 (параллельно оси 𝑥), так как сама линия не входит в область, представляющую неравенство, а заштрихованная область будет либо выше, для 𝑦>𝑏, либо ниже, для 𝑦𝑏, строка 𝑦=𝑏. То же самое применимо для 𝑦≥𝑏 или 𝑦≤𝑏, за исключением того, что теперь область также будет включать строку 𝑦=𝑏, которая будет представлена сплошная линия, но направление штриховки будет таким же.

Например, рассмотрим неравенства 𝑥≥3 и 𝑦5 представлено на графике:

Неравенство 𝑥≥3 — сплошная линия при 𝑥=3, так как имеем ≥; следовательно, сама линия включена в область и заштрихованная область находится справа от линии, представляющей все значения 𝑥 больше 3. Если бы у нас было 𝑥>3, у нас было бы то же самое, за исключением того, что линия в 𝑥=3 была бы пунктирной поскольку он сам не будет включен в регион. Для 𝑥≤3 или 𝑥3, штриховка будет слева, представляя все числа меньше 3, а линия будет сплошной или пунктирной соответственно, в зависимости от входит ли линия 𝑥=3 в регион.

Неравенство 𝑦5 представлено пунктирной линией на 𝑦=5, так как имеем ; следовательно, сама линия не включена в регионе, а заштрихованная область находится ниже линии, представляющей все значения 𝑦 меньше 5. Если бы у нас было 𝑦≤5, мы бы то же самое, за исключением того, что линия в 𝑦=5 будет сплошной, как если бы себя включить в регион. Для 𝑦≥5 или 𝑦>5, штриховка будет выше, представляя все числа больше 5, а линия будет сплошной или пунктирной соответственно, в зависимости от того, линия 𝑦=5 включена в регион.

Пересечение областей каждого из неравенств в системе находится там, где множество решений лежат, так как эта область удовлетворяет каждому неравенству в системе. Мы включаем только значения на краях пересечений области, если на обоих есть сплошная линия, так как все неравенства должны быть удовлетворены, и строгое неравенство, представленное пунктирной строка, исключает ее из набора решений. В приведенном выше примере две линии пересекаются в точке (3,5), но это исключается из набора решений, так как не удовлетворяют строгому неравенству 𝑦5.

Первый квадрант может быть представлен неотрицательными значениями 𝑥 и 𝑦 и, следовательно, область, где 𝑥≥0 и 𝑦≥0. Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это визуально интерпретируется по графику.

Пример 1. Определение системы неравенств, представленной заданным графом

Укажите систему неравенств, решение которой представлено следующим графом.

Ответ

Заштрихованная область представляет все неотрицательные значения 𝑥 и 𝑦, которые можно перевести в неравенства 𝑥≥0, 𝑦≥0.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим каждое неравенство отдельно и посмотрим, где они перекрывать. 𝑥≥0, то есть все неотрицательные значения 𝑥 включая ось 𝑦, заштрихована в первом и четвертом квадрантах.

Аналогично, 𝑦≥0, которое представляет собой все неотрицательные значения 𝑦, включая ось 𝑥, заштрихована в первой и второй квадрант.

Область, в которой оба неравенства перекрываются, находится в первом квадранте, представленном где заштрихованные области каждого неравенства перекрываются.

Перекрывающаяся область в точности соответствует решению, представленному на приведенном графике.

У нас может быть несколько неравенств этой формы, ограничивающих значения сверху и/или ниже. Например, если бы у нас была система неравенств 2𝑥≤6,−2≤𝑦7, где второе неравенство — это все значения 𝑦 между −2 и 7, который также может быть записан отдельно как 𝑦≥−2 и 𝑦7. Эта система неравенств может быть представлена ​​следующим образом:

Теперь есть сплошная линия в точке 𝑦=−2, но пунктирная линия в точке 𝑦=7, что показывает, что 𝑦=−2 включено в регионе, а 𝑦=7 нет, как показано синим цветом на графике выше.Снова набор решений для системы неравенств находится там, где пересекаются заштрихованные области неравенств.

Четыре точки пересечения (2,7), (2,−2), (6,7) и (6,−2) на краю областей. Однако только точка (6,−2) входит в множество решений, так как остальные точки не удовлетворяют строгим неравенствам.

Мы также можем иметь неравенства с уравнением линии. Например, неравенство вида 𝑦≥𝑚𝑥+𝑐 представлена ​​сплошной линией, где заштрихованная область будет выше прямой линии 𝑦=𝑚𝑥+𝑐, тогда как неравенство 𝑦>𝑚𝑥+𝑐 имеет ту же заштрихованную область, но граница представлена ​​пунктирной линией.По аналогии, то же самое применимо к 𝑦≤𝑚𝑥+𝑐 или 𝑦𝑚𝑥+𝑐, за исключением того, что заштриховано область будет ниже прямой линии. Например, регион для 2𝑥+3𝑦>30, что эквивалентно 𝑦>−23𝑥+10 в приведенной выше форме будет выглядеть следующим образом:

Между тем, область для 2𝑥+3𝑦≤30 или 𝑦≤−23𝑥+10 будет заштриховано ниже сплошной линией. Если есть множественные неравенства (т. е. система неравенств), то возможные решения будут лежат внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств.

Рассмотрим пример, в котором мы сформулируем систему неравенств, представленную заданный граф.

Пример 2. Определение системы неравенств, представленной заданным графом

Укажите систему неравенств, решение которой представлено следующим графом.

Ответ

Напомним, что на графике, представляющем систему неравенств, штриховка выше или вправо означает, что больше, чем , а затенение ниже или влево означает меньше, чем конкретная линия, определяемая 𝑥=𝑎, 𝑦=𝑏, или общая строка 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Кроме того, мы должны также взять границу региона, где сплошная линия означает , равное , а пунктирная линия означает, что не равно .

Если есть система неравенств, то возможные решения будут лежать внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в система. Мы включаем только ребра пересечений всех неравенства в наборе решений, если у нас есть сплошная линия для обеих линий, так как должны выполняться все неравенства и строгое неравенство, представленный пунктирной линией, с одной или обеих сторон исключил бы его из набор решений.

Заштрихованная область находится в первом квадранте для всех неотрицательных значений 𝑥 и 𝑦, что можно перевести как неравенства 𝑥≥0, 𝑦≥0.

Вертикальные линии, параллельные оси 𝑦, равны 𝑥=3 и 𝑥=6. Поскольку граница слева от красной области, при 𝑥=3, изображается сплошной линией и границей на справа от красной области при 𝑥=6 представлено пунктирной линией, имеем неравенства 𝑥≥3 и 𝑥6, что эквивалентно 3≤𝑥6.

Аналогично, горизонтальные линии, параллельные оси 𝑥, 𝑦=2 и 𝑦=6. Поскольку линии по обе стороны синей области сплошные, мы имеем неравенства 𝑦≥2 и 𝑦≤6, что эквивалентно 2≤𝑦≤6.

Уравнение прямой, проходящей через точки (8,0) и (0,8) есть определяется как 𝑦=8−𝑥, что является сплошной линией на графике. Поскольку заштрихованная область, желтым, находится ниже этой линии, имеем неравенство 𝑦≤8−𝑥, который можно переставить как 𝑥+𝑦≤8.

Таким образом, система неравенств, представленная графом, имеет вид 𝑥≥0,𝑦≥0,3≤𝑥6,2≤𝑦≤6,𝑥+𝑦≤8.

Теперь рассмотрим другую систему неравенств, включающую уравнение линия. Рассмотрим систему неравенств 𝑥>3,𝑦≤6,𝑥+𝑦≤10.

Неравенство 𝑥>3 показано пунктирной линией на 𝑥=3 и заштрихованная область (красным цветом) справа, и неравенство 𝑦≤6 показано сплошной линией при 𝑦=6 и заштрихованной областью (синим цветом) ниже.Наконец, неравенство 𝑥+𝑦≤10 показано сплошной линией с уравнением 𝑦=10−𝑥 и заштрихованной областью внизу (зеленым цветом).

Заштрихованные области, где все они пересекаются, — это места, где все неравенства в система удовлетворена; все решения можно найти в этом регионе.

Рассмотрим пример, в котором мы определяем неравенство этого типа из заданный график и заштрихованная область, представляющая набор решений.

Пример 3: Определение неравенства, представленного заданным графиком

Заполните пропуск: Заштрихованная область представляет набор решений неравенств 𝑦≥3, 𝑥≥0 и .

  1. 2𝑦 + 𝑥 + 8≤0
  2. 2𝑦 + 𝑥-8≤0
  3. 𝑦 + 2𝑥-8≤0
  4. 𝑦 + 2𝑥 + 8≤0

Ответ

6

Уравнение линии, которая проходит через (0,4) и (8,0) определяется как 2𝑦=8−𝑥. Поскольку заштрихованная область лежит ниже этой линии, это представляет область 𝑦≤4−12𝑥, что эквивалентно неравенству 2𝑦+𝑥−8≤0.

Это вариант B.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы попрактиковаться и углубить наше понимание решать системы линейных неравенств, изображая их в виде графиков и выделяя области представляющий решение.

Первые несколько примеров связаны с определением системы неравенств из области, представленной на графике. В следующем примере используется область, ограниченная двумя прямые линии.

Пример 4. Определение системы неравенств, представленной заданным графом

Укажите систему неравенств, решение которой представлено следующим графом.

Ответ

Напомним, что на графике, представляющем систему неравенств, заштрихованное выше означает больше , а заштрихованное ниже означает меньше общая линия определяется как 𝑦=𝑚𝑥+𝑏. Кроме того, мы также должны принять граница области, где сплошная линия означает равное , а пунктирная линия означает, что не равно .

Если есть система неравенств, то возможные решения будут лежать внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в система. Мы включаем только ребра пересечений всех неравенств в наборе решений, если у нас есть сплошная линия на обеих линиях, так как все неравенства должно выполняться и строгое неравенство, изображенное пунктирной линией, с одной или обеих сторон исключит его из набора решений.

Уравнение прямой, проходящей через точки (0,3) и (−1,0) равно 𝑦=3𝑥+3, что является сплошной линией на графике. Поскольку заштриховано область, выделенная желтым цветом, находится выше этой линии, мы имеем неравенство 𝑦≥3𝑥+3.

Аналогично уравнение прямой, проходящей через точки (0,−8) и (−4,4) есть 𝑦=−3𝑥−8, что является пунктирной линией на графике. С заштрихованная красным цветом область выше этой линии, имеем неравенство 𝑦>−3𝑥−8.

Таким образом, система неравенств, представленная на графике, имеет вид 𝑦≥3𝑥+3,𝑦>−3𝑥−8.

В следующем примере мы определим систему неравенств, описывающую область в графе, ограниченная тремя прямыми линиями.

Пример 5. Запись системы неравенств, описывающей область на графике

Найдите систему неравенств, которая образует треугольник, показанный на графике.

Ответ

Напомним, что в графе, представляющем систему неравенств, затенение выше означает больше , а заштрихованное ниже означает меньше общая линия определяется 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Кроме того, мы также должны принять границы области, где сплошная линия означает , равное , а пунктирная линия означает, что не равно .

Если есть система неравенств, то возможные решения будут лежать внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в система. Мы включаем только ребра пересечений всех неравенств в решение установлено, если у нас есть сплошная линия на обеих линиях, так как все неравенства должно выполняться и строгое неравенство, изображенное штриховой линией, на одна или обе стороны исключили бы его из набора решений.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат и пересекающей другие строки в (−2,2) и (2,−2) есть 𝑦=−𝑥, сплошная линия на график. Поскольку заштрихованная область находится выше этой линии, имеем неравенство 𝑦≥−𝑥.

Аналогично, уравнение прямой с положительным градиентом, пересекающей другие строки в (1,8) и (−2,2) равно 𝑦=2𝑥+6, что является пунктирной линией на график. Поскольку заштрихованная область находится ниже этой линии, имеем неравенство 𝑦2𝑥+6.

Наконец, уравнение линии с отрицательным градиентом, пересекающей другие строки в (1,8) и (2,−2) равно 𝑦=−10𝑥+18, что является сплошной линией на графике. Поскольку заштрихованная область находится ниже этого прямой имеем неравенство 𝑦≤−10𝑥+18.

Таким образом, система неравенств, представленная графом, имеет вид 𝑦2𝑥+6,𝑦≥−𝑥,𝑦≤−10𝑥+18.

Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, в которых мы идентифицируем определенные регионы, показанные на график по заданной системе неравенств, а не определять их по график.В следующем примере мы определим область, которая представляет решение одного неравенства.

Пример 6. Определение областей, представляющих решения для Система неравенств

Какие области на графике содержат решения неравенства 𝑦≥2𝑥−4?

Ответ

Напомним, что в графе, представляющем систему неравенств, затенение выше означает больше , а заштрихованное ниже означает меньше общая линия определяется 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Кроме того, мы должны также взять границу с учетом региона, где сплошная линия означает равных , а штриховая строка означает, что не равно .

Если есть система неравенств, то возможные решения будут лежать внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в система. Мы включаем только ребра пересечений всех неравенств в решение установлено, если у нас есть сплошная линия на обеих линиях, так как все неравенства должно выполняться и строгое неравенство, изображенное пунктирной линией, с одной или обеих сторон исключит его из набора решений.

На графике есть три отчетливые линии на границах областей показано. Две линии пунктирные, а одна сплошная. Есть две линии с положительным градиентом, один из которых проходит через начало координат, а третий с отрицательным градиентом.

Неравенство 𝑦≥2𝑥−4 может быть представлено сплошным телом прямой, так как граница области 𝑦=2𝑥−4 входит в область и заштрихованная область будет областью над линией из-за неравенства ≥.Это сплошная линия, проходящая через точки (0,−4) и (2,0) с положительным градиентом, как показано на графике.

Таким образом, области на графе, содержащие решения неравенства 𝑦≥2𝑥−4 — это A, B, C и D.

Теперь давайте рассмотрим пример, в котором мы идентифицируем области, представляющие решения к системе неравенств, на этот раз определяемой двумя прямыми линиями.

Пример 7. Идентификация областей, представляющих решения для Система неравенств

Какие области на графике содержат решения, удовлетворяющие обоим неравенствам 𝑦𝑥,𝑦≥2𝑥−4?

Ответ

Напомним, что на графике, представляющем систему неравенств, заштрихованное выше означает больше , а заштрихованное ниже означает меньше общая линия определяется как 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Кроме того, мы также должны принять граница области с учетом, где сплошная линия означает равное , а пунктирная линия означает, что не равно .

Если есть система неравенств, то возможные решения будут лежать внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в система. Мы включаем только ребра пересечений всех неравенств в решение установлено, если у нас есть сплошная линия на обеих линиях, так как все неравенства должно выполняться и строгое неравенство, изображенное пунктирной линией, с одной или обеих сторон исключит его из набора решений.

Неравенство 𝑦𝑥 можно изобразить штриховой линией, так как граница области, 𝑦=𝑥, не входит в область и заштрихована площадь будет областью ниже линии из-за неравенства . Это пунктирная линия, проходящая через начало координат с положительным градиентом.

Аналогично можно представить неравенство 𝑦≥2𝑥−4 сплошной линией, так как граница области 𝑦=2𝑥−4 входит в область, а заштрихованная область будет областью выше линии из-за неравенство ≥.Это сплошная линия, проходящая через точки (0,−4) и (2,0), как показано на графике.

Таким образом, области графа, содержащие решения системы неравенства 𝑦𝑥 и 𝑦≥2𝑥−4 C и D.

Наконец, давайте рассмотрим пример, в котором мы идентифицируем область, которая представляет решения системы неравенств, представленной тремя неравенствами.

Пример 8. Определение областей, представляющих решения для Система неравенств

Какая область на графике содержит решения набора неравенств 𝑦>2,𝑦≥−𝑥,𝑥1?

Ответ

Напомним, что на графике, представляющем систему неравенств, штриховка выше или вправо означает, что больше, чем , а затенение ниже или влево означает меньше, чем конкретная линия, определяемая 𝑥=𝑎, 𝑦=𝑏 или общая линия 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.Кроме того, мы должны также принять во внимание границу области, где сплошная линия означает , равное , а пунктирная линия означает, что не равно .

Если имеется система неравенств, то возможные решения будут лежат внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в системе. Мы включаем только ребра пересечений всех неравенства в наборе решений, если у нас есть сплошная линия на обеих линиях, как должны выполняться все неравенства и строгое неравенство, представленный пунктирной линией, с одной или обеих сторон исключил бы его из набор решений.

Неравенство 𝑦>2 можно изобразить штриховой линией, так как граница области, 𝑦=2, не входит в область и заштрихована площадь будет областью над линией из-за неравенства >. Это пунктирная линия параллельна оси 𝑥, как показано на графике.

Аналогично, неравенство 𝑦≥−𝑥 можно изобразить сплошной линией, поскольку граница области 𝑦=−𝑥 включена в область и заштрихованная область будут областью выше линии из-за неравенство ≥.Это сплошная линия, которая проходит через начало координат с отрицательным градиентом.

Наконец, неравенство 𝑥1 можно изобразить штриховой линией, поскольку граница области 𝑥=1 не входит в область и заштрихованная область будет областью ниже линии из-за неравенства . Это пунктирная линия, параллельная 𝑦-ось, как показано на графике.

Область, удовлетворяющая всем неравенствам, будет пересечением все заштрихованные области отдельных неравенств.

Таким образом, области на графе, содержащие решения системы неравенства 𝑦>2,𝑦≥−𝑥,𝑥1 есть D.

Ключевые точки

  • Затенение вправо означает, что больше , а закрашивание влево означает меньше конкретная линия, параллельная оси 𝑦, определяемая формулой 𝑥=𝑎.
  • Затенение вверху означает больше , а затенение внизу означает меньше a конкретная линия, параллельная оси 𝑥, определяемой 𝑦=𝑏.
  • Затенение вверху означает больше , а затенение внизу означает меньше общая линия определяется как 𝑦=𝑚𝑥+𝑏.
  • Сама линия не попадает в заштрихованную область, если у нас есть строгий неравенство.
  • Если есть система неравенств, то возможные решения будут лежат внутри пересечения заштрихованных областей для всех неравенств в системе.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск