У х 1 3 х: Mathway | Популярные задачи

2 — x – 1 и построение графика.

Решение.

  1. Функция определяется для любых значений аргумента х, поэтому ее область определения от —\pi до +\pi.
  2. Точки, в которых функция пересекается с координатными осями.

Ось Ох: при у = 0 нужно решить уравнение:

   

Преобразуем данное выражение, вынеся из двух первых слагаемых множитель х в квадрате, а из вторых двух слагаемых — минус:

   

Общий множитель выносим за скобки:

   

Решим полученное уравнение, разбив его на два более простых:
или

   

   

Получили две точки пересечения (—1; 0) и (1; 0).
Ось Оу:  при х = 0. Подставим это значение в уравнение функции:

   

  1. Определим четность функции:

   

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

  1. Степенные функции непериодичны.
  2. Вычислим промежутки возрастания или убывания, а также точки экстремумов:

   

Найдем критические точки:

   

   

   

   

Рассмотрим поведение производной функции на трех полученных промежутках:
От —\pi до—1:
— функция возрастающая
От —1 до 1/3:
— функция убывает
От 1/3 до +\pi:
— функция возрастает
Получаем в точке —1 — точку максимума, а в точке 1/3 — точку минимума.
Найдем координату у этих точек:

   

   

  1. Вычислим промежутки выпуклости или вогнутости и точку ее перегиба:

   

   

   

Рассмотрим знак 2-й производной на промежутках:
От —\pi до —1/3:
— функция выпукла вверх
От —1/3 до +\pi:
— функция выпукла вниз
Найдем координаты точки перегиба:

   

  1. Функция не имеет точек разрыва.
  2. Строим график функции.

Содержание

Приложение 5. Примеры расчета нормативного расхода топлив / КонсультантПлюс

Приложение 5

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА НОРМАТИВНОГО РАСХОДА ТОПЛИВ

(в примерах приводятся условные цифры)

1. Из путевого листа установлено, что легковой автомобиль такси ГАЗ-24-10, работавший в горной местности на высоте 300 — 800 м, совершил пробег 244 км.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива для легкового автомобиля ГАЗ-24-10 составляет Hs= 13,0 л/100 км;

— надбавка за работу в горной местности на высоте над уровнем моря от 300 до 800 м составляет D = 5%.

Нормативный расход топлива составляет:

Qн = 0,01 x Hs x S x (1 + 0,01 x D) = 0,01 x 13,0 x 244 x (1 + 0,01 x 5) = 33,3 л.

2. Из путевого листа установлено, что городской автобус Ikarus-280.33 работал в городе в зимнее время с использованием штатных отопителей салона Sirokko-268 совместно с Sirokko-262 (отопитель прицепа), совершил пробег 164 км при времени работы на линии 8 ч.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег для городского автобуса Ikarus-280.33 составляет Hs = 43,0 л/100 км;

— надбавка за работу в зимнее время составляет D = 8%;

— норма расхода топлива на работу отопителя Sirokko-268 совместно с Sirokko-262 составляет Hот = 3,5 л/ч.

Нормативный расход топлива составляет:

Qн = 0,01 x Hs x S x (1 + 0,01 x D) + Hот x T = 0,01 x 43,0 x 164 x (1 + 0,01 x 8) + 3,5 x 8 = 104,2 л.

3. Из путевого листа установлено, что одиночный бортовой автомобиль ЗИЛ-431410 при пробеге 217 км выполнил транспортную работу в объеме 820 т·км в условиях эксплуатации, не требующих применения надбавок или снижений.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег для бортового автомобиля ЗИЛ-431410 составляет Hs = 31,0 л/100 км;

— норма расхода бензина на перевозку полезного груза составляет Hw = 2,0 л/100 т·км.

Нормативный расход топлива составляет:

Qн = 0,01 x (Hs x S + Hw x W) = 0,01 (31 x 217 + 2 x 820) = 83,7 л.

4. Из путевого листа установлено, что бортовой автомобиль КамАЗ-5320 с прицепом ГКБ-8350 выполнил 6413 т-км транспортной работы в условиях зимнего времени по горным дорогам на высоте 800 — 2000 м и совершил общий пробег 475 км.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег для бортового автомобиля КамАЗ-5320 составляет Hs = 25,0 л/100 км;

— норма расхода топлива на перевозку полезного груза составляет Hw = 1,3 л/100 т·км;

— норма расхода топлива на дополнительную массу прицепа или полуприцепа составляет Hg = 1,3 л/100 т·км;

— надбавка за работу в зимнее время составляет D = 8%, за работу в горных условиях на высоте от 800 до 2000 м над уровнем моря D = 10%;

— масса снаряженного прицепа ГКБ-8350 Gпр = 3,5 т;

— норма расхода топлив на пробег автопоезда в составе автомобиля КамАЗ-5320 с прицепом ГКБ-8350 составляет:

Hsan = Hs + Hg x Gпр = 25 + 1,3 x 3,5 = 29,55 л/100 км.

Нормативный расход топлива:

Qн = 0,01 x (Hsan x S + Hw x W) x (1 + 0,01 x D) = 0,01 x (29,55 x 475 + 1,3 x 6413) x (1 + 0,01 x 18) = 264,0 л.

5. Из путевого листа установлено, что седельный автомобиль-тягач МАЗ-5429 с полуприцепом МАЗ-5205А выполнил 9520 т·км транспортной работы при пробеге 595 км.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег для тягача МАЗ-5429 составляет Hs = 23,0 л/100 км;

— норма расхода топлива на перевозку полезного груза составляет Hw = 1,3 л/100 т·км;

— масса снаряженного полуприцепа МАЗ-5205А Gпр = 5,7 т;

— надбавка за работу в зимнее время D = 6%, снижение в связи с передвижением автопоезда по загородной дороге с усовершенствованным покрытием D = 15%;

— норма расхода топлива на пробег автопоезда в составе седельного тягача МАЗ-5429 с полуприцепом МАЗ-5205А без груза составляет: Hsan = Hs + Hg x Gпр = 23 + 1,3 x 5,7 = 30,41 л/100 км.

Нормативный расход топлива:

Qн = 0,01 x (Hsan x S + Hw x W) x (1 + 0,01 x D) = 0,01 x (30,41 x 595 + 1,3 x 9520) x (1 — 0,01 x 9) = 277,3 л.

6. Из путевого листа установлено, что автомобиль-самосвал МАЗ-5551 совершил пробег 165 км, выполнив при этом m = 10 ездок с грузом. Работа осуществлялась в зимнее время в карьере.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива для автомобиля-самосвала МАЗ-5551 составляет Hs = 28 л/100 км;

— норма расхода топлива для самосвалов на каждую ездку с грузом составляет Hz = 0,25 л;

— надбавки за работу в зимнее время D = 6%, на работу в карьере — D = 12%.

Нормативный расход топлива:

Qн = 0,01 x Hs x S x (1 + 0,01 x D) + Hz x m = 0,01 x 28 x 165 x (1 + 0,01 x 18) + 0,25 x 10 = 57 л.

7. Из путевого листа установлено, что автомобиль-самосвал КамАЗ-5511 с самосвальным прицепом ГКБ-8527 перевез на расстояние 115 км 13 т кирпича, а в обратную сторону перевез на расстояние 80 км 16 т щебня. Общий пробег составил 240 км.

Учитывая, что автомобиль-самосвал работал с коэффициентом полезной работы более чем 0,5, нормативный расход топлив определяется так же, как для бортового автомобиля КамАЗ-5320 (базового для самосвала КамАЗ-5511) с учетом разницы собственной массы этих автомобилей. Таким образом, в этом случае норма расхода топлива для автомобиля КамАЗ-5511 включает 25 л/100 км (норма расхода топлива для порожнего автомобиля КамАЗ-5320) плюс 2,7 л/100 км (учитывающих разницу собственных масс порожнего бортового автомобиля и самосвала в размере 2,08 т), что составляет 27,7 л/100 км.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег для автомобиля КамАЗ-5511 в снаряженном состоянии составляет Hs = 27,7 л/100 км;

— норма расхода топлива на перевозку полезного груза составляет Hw = 1,3 л/100 т·км;

— работа проводилась в условиях, не требующих применения надбавок и снижений;

— масса снаряженного самосвального прицепа ГКБ-8527 Gпр = 4,5 т;

— норма расхода топлива на пробег автопоезда в составе автомобиля КамАЗ-5511 с прицепом ГКБ-8527 составляет: Hsan = Hs + Hw x Gпр = 27,7 + 1,3 x 4,5 = 33,6 л/100 км.

Нормативный расход топлива:

Qн = 0,01 x [Hsan x S + Hw (S’ x G’ + S» x G»)] = 0,01 x [33,6 x 240 + 1,3 x (115 x 13 + 80 x 16)] = 116,7 л.

8. Из путевого листа установлено, что грузовой автомобиль-фургон ГЗСА-37021 (на сжиженном нефтяном газе), работая с почасовой оплатой в черте города с частыми остановками, совершил пробег 152 км.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег автомобиля-фургона ГЗСА-37021 составляет Hs = 34,0 л/100 км;

— надбавка за работу с почасовой оплатой D = 10%, надбавка за работу с частыми технологическими остановками D = 8%.

Нормативный расход топлива:

Qн = 0,01 x Hs x S x (1 + 0,01 x D) = 0,01 x 34 x 152 x (1 + 0,01 x 18) = 61 л.

9. Из путевого листа установлено, что автомобильный кран КС-4571 на базе автомобиля КрАЗ-257, вышедший из капитального ремонта, совершил пробег 127 км. Время работы спецоборудования по перемещению грузов составило 6,8 ч.

Исходные данные:

— базовая норма расхода топлива на пробег автомобильного крана КС-4571 составляет Hsc = 52,0 л/100 км;

— норма расхода топлива на работу специального оборудования, установленного на автомобиле, составляет Hт = 8,4 л/ч;

— надбавка при пробеге автомобилем первой тысячи километров после капитального ремонта D = 5%.

Нормативный расход топлива:

Qн = (0,01 x Hsc x S + Hт x Т) x (1 + 0,01 x D) = (0,01 x 52 x 127 + 8,4 x 6,8) x (1 + 0,01 x 5) = 129,3 л.

ЕГЭ. Задание 13. Тригонометрические (и не только) уравнения

Подготовка к профильному уровню единого государственного экзамена по математике. Полезные материалы по тригонометрии, большие теоретические видеолекции, видеоразборы задач и подборка заданий прошлых лет.

Полезные материалы

Подборки видео и онлайн-курсы

Тригонометрические формулы

Геометрическая иллюстрация тригонометрических формул

Арк-функции. Простейшие тригонометрические уравнения

 

а) Решите уравнение $\sin x + \left(\cos \dfrac{x}{2} — \sin \dfrac{x}{2}\right)\left(\cos \dfrac{x}{2} + \sin \dfrac{x}{2}\right) = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

 

а) Решите уравнение $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$.

Подборка заданий прошлых лет

  1. а) Решите уравнение $\dfrac{\sin x}{\sin^2\dfrac{x}{2}} = 4\cos^2\dfrac{x}{2}$. 2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{4} \right)$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -4\pi; -\dfrac{5\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  2. а) Решите уравнение $2 \sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{3} \right) — \sqrt{3} \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  3. а) Решите уравнение $2\sqrt3 \sin\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right) — \cos 2x = 3\cos x — 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ 2\pi; \dfrac{7\pi}{2} \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  4. а) Решите уравнение $2\sin\left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) — \cos x = \sqrt3\sin 2x — 1$.
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \dfrac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$. (ЕГЭ-2018. Основная волна)
  5. а) Решите уравнение $\sqrt2\sin\left( \dfrac{\pi}{4} + x \right) + \cos 2x = \sin x — 1$. 2 x + 5\sin\left( \dfrac{\pi}{2} — x\right) — 2 = 0$.
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -5\pi; \ — \dfrac{7\pi}{2}\right]$. (ЕГЭ-2012, вторая волна)

Где сейчас футболисты сборной СССР 1980-х, фото звезд советского футбола: Дасаев, Заваров, Литовченко, Родионов, Демьяненко, Михайличенко, Яковенко — 17 марта 2022

Завершаем наш цикл о легендах советского футбола 1980-х. В последней части вас ждут два великих спартаковца и пять киевских динамовцев.

Ринат Дасаев

Тогда: вратарь «Спартака», «Севильи»

Сейчас: тренер вратарей в академии «Спартака», 64 года

РИА Новости

Легенда «Спартака» и лучший вратарь мира 1988 года по версии Международной федерации футбольной истории и статистики окончил карьеру в начале 1990-х в «Севилье». После остался в Испании и продолжил работать в своем последнем клубе — только теперь в роли тренера вратарей. В 1998 году Дасаев вернулся в Россию и с тех пор тренировал киперов в «Спартаке», сборной России, дубле «Спартака» и «Спартаке-2». Сейчас великий вратарь работает с ребятами 2011 и 2013 г.р в академии «Спартака» им. Федора Черенкова.

Геннадий Литовченко

Тогда: полузащитник «Днепра», «Динамо» Киев

Сейчас: тренер «Полесье», 58 лет

РИА Новости/ Sport.ua

Лучший футболист 1984 года в СССР закончил карьеру в 33 в одесском «Черноморце». С тех пор Литовченко работает тренером. За 26 лет он успел потренировать девять украинских клубов, среди которых киевский ЦСКА, «Металлист» и «Кривбас», поработать с Украиной-U21 и главной сборной страны, а также в тренерском штабе двух российских команд — «Динамо» и «Волга». Сейчас Литовченко трудится в качестве ассистента главного тренера «Полесье» — середняка Первой украинской лиги.

Анатолий Демьяненко

Тогда: защитник «Динамо», Киев

Сейчас: вице-президент УАФ, 63 года

РИА Новости/ football-pitch.ru

Знаменитый капитан киевского «Динамо» сумел блеснуть в своем клубе и в качестве тренера. Демьяненко возглавил киевлян в 2005-м, в 2006-м выиграл Кубок страны, а в 2007-м оформил с командой золотой требл и был заслуженно признан лучшим тренером года на Украине. Впрочем, на этом серьезные успехи на тренерском поприще у Демьяненко закончились. Впредь он работал с «Нефтчи», узбекским «Насафом», «Волынью» и словакской «Нитрой», но сумел выиграть лишь Кубок АФК (с «Насафом») — второй по значимости турнир, проводимый Азиатской конфедерацией футбола. В 2020-м Демьяненко сделал паузу в тренерской карьере и получил должность в Украинской ассоциации футбола.

Александр Заваров

Тогда: полузащитник СКА Ростов, «Зари», «Динамо» Киев, «Ювентуса»

Сейчас: скаут «Динамо» Киев, 60 лет

РИА Новости/ 1927.kiev.ua

Легендарный советский полузащитник после окончания карьеры, как и многие его коллеги, подался в тренеры. Начал с французского «Сен-Дизье» и вывел клуб из пятого в четвертый дивизион, потом взял Кубок Швейцарии с «Вилем», транзитом через казахский «Женис» и украинский «Металлист» перебрался в киевский «Арсенал» — с ним Заваров ничего не выиграл, но зато вывел почти обанкротившийся клуб из застоя и самостоятельно привлек инвесторов. После недолго работал помощником Михаила Фоменко в сборной Украины, а с 2018 года трудится в селекционной службе киевского «Динамо».

Павел Яковенко

Тогда: полузащитник «Металлиста», «Динамо» Киев

Сейчас: без работы, 57 лет

РИА Новости/ footboom.net

Стал тренером после окончания карьеры и легендарный полузащитник киевского «Динамо» Яковенко. За 28 лет он поработал с семью клубами из России и Украины, среди которых «Металлург», «Уралан», «Химки» и «Кубань», а также с молодежной сборной Украины, но главным и единственным его достижением в роли тренера стала победа в Первой Лиге России (с «Ураланом»). Последним местом работы Яковенко была «Оболонь». Он возглавил клуб из Киева в октябре 2020 года: под его руководством команда выиграла девять матчей, дважды сыграла вничью и шесть раз проиграла. Руководство «Оболони» посчитало такие результаты неудовлетворительными, поэтому рассталось с тренером. Яковенко оставил клуб в мае 2021 года — на восьмом месте Первой лиги Украины.

Сергей Родионов

Тогда: нападающий «Спартака»

Сейчас: президент академии «Спартака», 59 лет

РИА Новости/ Александр Мысякин, Sport24

Прославленный форвард «Спартака» начинал свою постигроцкую карьеру с тренерской деятельности: возглавлял «Спартак-2» и дубль «Спартака», а также работал ассистентом в «Спартаке», «Спартаке» Луховицы и «Анжи». В 2010 году Родионов окончил обучение в ВШТ на тренерских курсах и получил лицензию Pro, однако вскоре по иронии судьбы с тренерской работой завязал и переключился на менеджерские должности. Возглавлял академию «Спартака», затем был гендиректором и спортивным директором московского клуба, а в августе 2019-го вернулся в академию, которой управляет до сих пор.

Алексей Михайличенко

Тогда: полузащитник «Динамо» Киев

Сейчас: спортивный директор «Динамо» Киев, 58 лет

РИА Новости/ twitter.com

Михайличенко завершил карьеру в 1996 году в «Рейнджерс», а в новом тысячелетии дебютировал в качестве тренера. Два раза становился чемпионом Украины вместе с «Динамо» Киев и выводил украинскую молодежную сборную в финал чемпионата Европы, благодаря чему получил повышение, возглавив взрослую национальную команду. В 2010-х вернулся в родное «Динамо» и с тех пор стал поочередно менять должности, работал директором, спортивным директором и тренером клуба. В 2021-м Михайличенко покинул «Динамо» и занял должность вице-президента Украинской ассоциации футбола.

Прямая вариация — Бесплатная помощь по математике

Когда две переменные связаны таким образом, что отношение их значений всегда остается одним и тем же, говорят, что эти две переменные находятся в прямом изменении.

Проще говоря, это означает, что если A всегда в два раза больше, чем B, то они напрямую изменяются . Если галлон молока стоит 3 доллара, а я покупаю 1 галлон, общая стоимость составит 3 доллара. Если я куплю 10 галлонов, цена составит 30 долларов. В этом примере общая стоимость молока и количество купленных галлонов подвержены прямому изменению — отношение стоимости к количеству галлонов всегда равно 3.

Если говорить более «геометрически», то если y изменяется прямо как x, то график всех точек, описывающих это отношение, представляет собой линию, проходящую через начало координат (0, 0), наклон которой называется константой вариации. Это потому, что каждая из переменных постоянно кратна другой, как на графике, показанном ниже:

Ключевые понятия прямого варьирования:

Как распознать прямое изменение в уравнении?

Уравнение \(\frac{y}{x} = 6\) утверждает, что y изменяется прямо как x, поскольку отношение y к x (также пишется как y:x) никогда не меняется.Число 6 в уравнении \(\frac{y}{x} = 6\) называется константой вариации. Уравнение \(\frac{y}{x} = 6\) также можно записать в эквивалентной форме \(y = 6x\). Эта форма показывает, что у всегда в 6 раз больше, чем х.

Аналогично, для уравнения \(y=\frac{x}{3}\) постоянная вариации равна \(\frac{1}{3}\). Уравнение говорит нам, что для любого значения x значение y всегда будет на 1/3 больше.

Алгебраическая интерпретация прямой вариации

Для уравнения вида \(y = kx\) умножение x на некоторую фиксированную величину также умножает y на ТАКУЮ ЖЕ ФИКСИРОВАННУЮ СУММУ.Если мы удвоим x, то мы также удвоим соответствующее значение y. Что это значит? Например, поскольку периметр квадрата P изменяется прямо пропорционально длине одной стороны квадрата, мы можем сказать, что P = 4s, где число 4 представляет четыре стороны квадрата, а s представляет длину одной стороны. Это уравнение говорит нам, что периметр всегда в четыре раза больше длины одной стороны (имеет смысл, верно?), но и говорят нам, что удвоение длины сторон удваивает периметр (который все равно будет в четыре раза больше). в целом).

Геометрическая интерпретация прямой вариации

Уравнение \(y = kx\) является частным случаем линейного уравнения (\(y=mx+b\)), где отрезок y равен 0. (Примечание: уравнение \(y = mx + b\) — форма пересечения наклона, где m — наклон, а b — пересечение оси y). В любом случае, прямая линия, проходящая через начало координат (0,0), всегда представляет прямое изменение между y и x. Наклон этой линии является постоянной вариации. Другими словами, в уравнении \(y = mx\) m — постоянная вариации.

Пример А:

Если y изменяется прямо как x и \(y = 8\), когда \(x = 12\), найдите k и напишите уравнение, выражающее это изменение.

План атаки:

Подставьте данные значения в уравнение \(y = kx\).

Решите для k.

Затем замените k его значением в уравнении \(y = kx\).

Пошагово:

Начните с нашего стандартного уравнения: \(y = kx\)

Вставляем наши известные значения: \(8 = k*12\)

Разделите обе части на 12, чтобы найти k: \(\frac{8}{12} = k\)

\(\frac{2}{3} = k\)

Далее: Вернитесь к \(y = kx\) и замените k на \(\frac{2}{3}\).

Результат:

$$ y = \frac{2}{3}*x $$

Пример Б:

Если y изменяется прямо как x и \(y = 24\) при \(x = 16\), найдите y при \(x = 12\).

План атаки:

Когда две величины изменяются напрямую, их отношение всегда одинаково. Мы создадим два отношения, установим их равными друг другу, а затем найдем недостающее количество.

Пошагово:

Данные числа образуют одно отношение, которое можно записать как \(\frac{y}{x}\): \(\frac{24}{16}\)

Чтобы найти y, когда \(x=12\), мы устанавливаем другое соотношение: \(\frac{y}{12}\)

Решить:

По определению оба отношения равны:

$$ \frac{24}{16} = \frac{y}{12} $$

Умножьте каждую сторону на 12, чтобы найти y:

$$ \frac{24}{16}*12 = y $$ $$ y = \frac{3}{2}*12 $$
Результат:

Теперь у вас есть общее представление о прямой вариации? Если вам все еще нужна дополнительная помощь, попробуйте поискать на нашем веб-сайте (в верхней части страницы) более конкретный вопрос или просмотрите другие наши уроки по алгебре.Иногда полезно, чтобы тему объяснил кто-то другой (свежий взгляд!), поэтому вам также может быть интересен другой урок по прямому варианту, например, эта страница, на которой представлены примеры решения прямого варианта.

Интерактивный алгебраический решатель

Связанные страницы

Горизонтальные асимптоты | Пурпурная математика

Пурпурная математика

В то время как вертикальные асимптоты являются священной почвой, горизонтальные асимптоты являются лишь полезными рекомендациями.

В то время как вы никогда не можете коснуться вертикальной асимптоты, вы можете (и часто делаете) коснуться и даже пересечь горизонтальную асимптоту.

В то время как вертикальные асимптоты указывают на очень специфическое поведение (на графике), обычно близкое к началу координат, горизонтальные асимптоты указывают на общее поведение, обычно далекое от сторон графика.

Другими словами, горизонтальные асимптоты существенно отличаются от вертикальных асимптот.

MathHelp.

com

Чтобы понять концепцию горизонтальных асимптот, давайте рассмотрим несколько примеров.

  • Найдите горизонтальную асимптоту следующей функции:

Во-первых, обратите внимание, что знаменатель представляет собой сумму квадратов, поэтому он не имеет множителей и не имеет реальных нулей. Другими словами, эта рациональная функция не имеет вертикальных асимптот. Так что у нас все в порядке на этом фронте.

Как упоминалось выше, горизонтальная асимптота функции (при условии, что она есть) говорит мне примерно, куда пойдет график, когда x станет очень, очень большим. Итак, я рассмотрю несколько очень больших значений для x ; то есть при некоторых значениях x , которые очень далеки от начала координат:

В стороне от графика, где x сильно отрицательно (например, -1000) или сильно положительно (например, 10000), «+2» и «+1» в выражении для y действительно не так важно. В итоге я получил очень большое число, разделенное на очень большое число в квадрате, которое «упростилось» до очень маленького числа.Значения и в основном получены из « x » и « x 2 », особенно после того, как x стали очень большими. А поскольку x 2 было «больше», чем x , x 2 уменьшило значение всей дроби до y = 0 (то есть до x

4 = 0). -ось), когда

x стали большими.

Это имеет смысл, если подумать. Если у вас есть миллион (плюс два, но кого это волнует?), деленное на миллион в квадрате (плюс 1, но кого это волнует?), то вы, по сути, получили миллион, деленный на квадрат миллиона. , что упрощается до 1 на миллион. Что очень и очень мало. Таким образом, , курс , значение функции становится очень, очень маленьким; а именно, он становится очень, очень близким к нулю.

Я вижу это поведение на графике, если уменьшить масштаб по оси x :

На графике видно немного интересное поведение в середине, прямо возле начала координат, но остальная часть графика довольно скучная, тянется по оси x .

Если я увеличу начало координат, я также увижу, что график пересекает горизонтальную асимптоту (по стрелке):

Пересечение горизонтальной асимптоты является обычным и совершенно нормальным явлением. (Это вертикальные асимптоты, к которым мне нельзя прикасаться. )

Как видно из таблицы значений и графика, горизонтальная асимптота соответствует оси x .

горизонтальная асимптота: y = 0 (ось x )

В приведенном выше упражнении степень в знаменателе (а именно, 2) была больше степени в числителе (а именно, 1), а горизонтальная асимптота была y = 0 (ось x ).Это свойство всегда верно: если степень x в знаменателе больше степени x в числителе, то знаменатель, будучи «сильнее», тянет дробь вниз к оси x , когда x становится большим. То есть, если полином в знаменателе имеет больший старший показатель, чем полином в числителе, то график следует вдоль оси x в крайнем правом и крайнем левом положениях графика. Таким образом, каждый раз, когда степень в знаменателе больше степени в числителе, горизонтальная асимптота будет осью x , также известной как линия y = 0.


Что произойдет, если степени в числителе и знаменателе совпадают? Давайте посмотрим:

  • Найдите горизонтальную асимптоту следующего числа:

В отличие от предыдущего примера, эта функция имеет полиномы степени 2 сверху и снизу; в частности, степени одинаковы в числителе и знаменателе.Поскольку степени одинаковы, числитель и знаменатель «тянут» поровну; этот график не должен тянуться к оси x и не должен уходить в бесконечность. Но куда это пойдет?

Опять же, мне нужно думать о больших значениях для x . Когда x действительно большое, у меня будет, грубо говоря, удвоенное что-то большое (минус одиннадцать, но кого это волнует?) разделить на один раз что-то большое (плюс девять, но кого это волнует?).

Как вы могли догадаться из последнего упражнения, «–11» и «+9» не будут иметь большого значения для действительно больших значений x .Далеко по краям графика у меня будет примерно

2 x 2 /x 2 , что сокращается до 2.

Подтверждает ли это таблица значений? Проверим:

Для больших значений x значение функции, как и ожидалось, очень близко к y = 2. И график функции отражает это:

Конечно, в середине графика, рядом с исходной точкой, вероятно, происходит что-то интересное.Но если смотреть в стороны, то видно, что график очень близко прилегает к линии y = 2. (В математическом анализе вы сами научитесь это доказывать.)

Тогда мой ответ:

горизонтальная асимптота: y = 2

В приведенном выше примере степени в числителе и знаменателе были одинаковыми, а горизонтальной асимптотой оказалась горизонтальная линия, значение которой y было равно значению, найденному путем деления старших коэффициентов двух многочленов. Это всегда верно: когда степени числителя и знаменателя одинаковы, то горизонтальная асимптота находится путем деления старших членов, поэтому асимптота определяется как:

y = (старший коэффициент числителя) / (старший коэффициент знаменателя)


  • Найдите горизонтальную асимптоту
    y = (4 x 3 + 3 x — 4)/(5 — 3 x 3 ).

Теперь, когда я знаю правила о способностях, мне не нужно составлять таблицу значений или рисовать график. Я могу просто сравнить показатели.

В этой рациональной функции наивысшая степень в числителе и знаменателе одинакова; а именно куб.

(Эта дробь может немного ввести в заблуждение, потому что член с наибольшей степенью в знаменателе не является первым членом. Но это нормально; все, что мне нужно, это найти тот член, который имеет наибольший показатель степени. Неважно, где в выражении находится этот термин.)

Итак, я знаю, что график этой функции будет иметь горизонтальную асимптоту, которая является значением деления коэффициентов членов с наивысшими степенями. Эти коэффициенты равны 4 и −3. Тогда мой ответ:


  • Найдите горизонтальную асимптоту
    y = (1 − x 2 )/( x 5 + 3 x 2 )

    4 7

Наибольшая степень в числителе равна 2.В знаменателе x 2 , но это не имеет значения, потому что наибольшая степень в знаменателе равна 5.

Поскольку наибольшая степень внизу больше, чем наибольшая степень сверху, то горизонтальная асимптота будет горизонтальной осью.


URL: https://www.purplemath.com/modules/asymtote2.htm

4.5 The Chain Rule — Calculus Volume 3

Напомним, что цепное правило для производной композиции двух функций может быть записано в виде

В этом уравнении как f(x)f(x), так и g(x) g(x) — функции одной переменной. Теперь предположим, что ff — функция двух переменных, а gg — функция одной переменной. Или, возможно, они оба являются функциями двух переменных или даже большего числа. Как бы мы вычислили производную в этих случаях? Следующая теорема дает нам ответ для случая одной независимой переменной.

Доказательство

В доказательстве этой теоремы используется определение дифференцируемости функции двух переменных. Предположим, что f дифференцируемо в точке P(x0,y0),P(x0,y0), где x0=g(t0)x0=g(t0) и y0=h(t0)y0=h(t0) для фиксированного значения t0.t0. Мы хотим доказать, что z=f(x(t),y(t))z=f(x(t),y(t)) дифференцируемо при t=t0t=t0 и что уравнение 4.29 выполняется в этой точке как хорошо.

Поскольку ff дифференцируема в точках P, P, мы знаем, что

z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y), z(t)=f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+E(x,y),

(4.30)

, где lim(x,y)→(x0,y0)E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2=0.lim(x,y)→(x0,y0)E( х,у)(х-х0)2+(у-у0)2=0. Затем мы вычитаем z0=f(x0,y0)z0=f(x0,y0) из обеих частей этого уравнения:

z(t)−z(t0)=f(x(t),y(t))−f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)−x( t0))+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0))+E(x(t),y(t)).z(t)−z(t0)=f(x(t ),y(t))−f(x(t0),y(t0))=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0))+fy(x0,y0)(y(t) −y(t0))+E(x(t),y(t)).

Далее мы делим обе части на t−t0:t−t0:

z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0) t−t0)+E(x(t),y(t))t−t0. z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)(y(t)−y(t0) t−t0)+E(x(t),y(t))t−t0.

Затем мы берем предел, когда tt приближается к t0:t0:

limt→t0z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0,y0)limt→t0(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)limt→t0(y (t)−y(t0)t−t0)+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.limt→t0z(t)−z(t0)t−t0=fx(x0, y0)limt→t0(x(t)−x(t0)t−t0)+fy(x0,y0)limt→t0(y(t)−y(t0)t−t0)+limt→t0E(x( t),y(t))t−t0.

Левая часть этого уравнения равна dz/dt,dz/dt, что приводит к

dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0,y0)dydt+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.dzdt=fx(x0,y0)dxdt+fy(x0,y0)dydt+limt→t0E(x(t),y(t))t−t0.

Последний член можно переписать как

limt→t0E(x(t),y(t))t−t0=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2(x−x0)2+(y −y0)2t−t0)=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)limt→t0((x−x0)2+(y−y0)2t− t0).limt→t0E(x(t),y(t))t−t0=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2(x−x0)2 +(y−y0)2t−t0)=limt→t0(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)limt→t0((x−x0)2+(y−y0 )2t−t0).

Когда tt приближается к t0,t0, (x(t),y(t))(x(t),y(t)) приближается к (x(t0),y(t0)),(x(t0),y (t0)), так что мы можем переписать последний продукт как

lim(x,y)→(x0,y0)(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0 )2+(y−y0)2t−t0). lim(x,y)→(x0,y0)(E(x,y)(x−x0)2+(y−y0)2)lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0 )2+(y−y0)2t−t0).

Так как первый предел равен нулю, нам нужно только показать, что второй предел конечен:

lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2t−t0)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0)2+ (y−y0)2(t−t0)2)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0t−t0)2+(y−y0t−t0)2)=(lim(x ,y)→(x0,y0)(x−x0t−t0))2+(lim(x,y)→(x0,y0)(y−y0t−t0))2.lim(x,y)→( x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2t−t0)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0)2+(y−y0)2(t −t0)2)=lim(x,y)→(x0,y0)((x−x0t−t0)2+(y−y0t−t0)2)=(lim(x,y)→(x0,y0 )(x−x0t−t0))2+(lim(x,y)→(x0,y0)(y−y0t−t0))2.

Поскольку x(t)x(t) и y(t)y(t) являются дифференцируемыми функциями от t,t, оба предела внутри последнего радикала существуют. Следовательно, это значение конечно. Это доказывает цепное правило при t=t0;t=t0; остальная часть теоремы следует из предположения, что все функции дифференцируемы во всей своей области определения.

При ближайшем рассмотрении уравнения 4.29 обнаруживается интересная закономерность. Первый член уравнения равен ∂f∂x·dxdt∂f∂x·dxdt, а второй член равен ∂f∂y·dydt. ∂f∂y·dydt.Напомним, что при умножении дробей может использоваться сокращение. Если рассматривать эти производные как дроби, то каждое произведение «упрощается» до чего-то, напоминающего ∂f/dt.∂f/dt. Переменные xandyxandy, которые исчезают при этом упрощении, часто называют промежуточными переменными: они являются независимыми переменными для функции f,f, но являются зависимыми переменными для переменной t.t. В правой части формулы появляются два члена, а ff является функцией двух переменных. Этот шаблон также работает с функциями более чем двух переменных, как мы увидим далее в этом разделе.

Пример 4,26

Использование цепного правила

Рассчитать dz/dtdz/dt для каждой из следующих функций:

  1. z=f(x,y)=4×2+3y2,x=x(t)=sint,y=y(t)=costz=f(x,y)=4×2+3y2,x=x(t) =sint,y=y(t)=стоимость
  2. z=f(x,y)=x2−y2,x=x(t)=e2t,y=y(t)=e−tz=f(x,y)=x2−y2,x=x(t )=e2t,y=y(t)=e−t
Решение
  1. Чтобы использовать цепное правило, нам нужны четыре величины: ∂z/∂x, ∂z/∂y, dx/dt, ∂z/∂x, ∂z/∂y, dx/dt и dy/dt: день/дт:
    ∂z∂x=8x∂z∂y=6ydxdt=costdydt=−sint∂z∂x=8x∂z∂y=6ydxdt=costdydt=−sint
    Теперь подставим каждое из них в уравнение 4. 29:
    dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(8x)(стоимость)+(6y)(−sint)=8xcost−6ysint.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=( 8x)(стоимость)+(6y)(-sint)=8xcost-6ysint.
    В этом ответе есть три переменные. Чтобы свести его к одной переменной, используйте тот факт, что x(t)=sintandy(t)=cost.x(t)=sintandy(t)=cost. Получаем
    dzdt=8xcost-6ysint=8(sint)cost-6(cost)sint=2sintcost.dzdt=8xcost-6ysint=8(sint)cost-6(cost)sint=2sintcost.
    Эту производную также можно вычислить, сначала подставив x(t)x(t) и y(t)y(t) в f(x,y),f(x,y), а затем продифференцировав по t:t:
    z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))2+3(y(t))2=4sin2t+3cos2t.z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=4(x(t))2+3(y(t))2=4sin2t+3cos2t.
    Тогда
    dzdt=2(4sint)(стоимость)+2(3cost)(-sint)=8sintcost−6sintcost=2sintcost,dzdt=2(4sint)(стоимость)+2(3cost)(-sint)=8sintcost−6sintcost=2sintcost,
    что такое же решение. Однако не всегда может быть так легко отличить эту форму.
  2. Чтобы использовать цепное правило, нам снова нужны четыре величины: ∂z/∂x, ∂z/dy, dx/dt, ∂z/∂x, ∂z/dy, dx/dt и dy/dt:dy/. ДТ:
    ∂z∂x=xx2−y2∂z∂y=−yx2−y2dxdt=2e2tdxdt=−e−t.∂z∂x=xx2−y2∂z∂y=−yx2−y2dxdt=2e2tdxdt=−e−t.
    Подставляем каждое из них в уравнение 4.29:
    dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt=(xx2−y2)(2e2t)+(−yx2−y2)(−e−t)=2xe2t−ye−tx2−y2.dzdt=∂z∂ x·dxdt+∂z∂y·dydt=(xx2-y2)(2e2t)+(-yx2-y2)(-e-t)=2xe2t-ye-tx2-y2.
    Чтобы свести это к одной переменной, мы используем тот факт, что x(t)=e2tx(t)=e2t и y(t)=e−t.y(t)=e−t. Следовательно,
    dzdt=2xe2t+ye-tx2-y2=2(e2t)e2t+(e-t)e-te4t-e-2t=2e4t+e-2te4t-e-2t.dzdt=2xe2t+ye-tx2-y2=2( e2t)e2t+(e−t)e−te4t−e−2t=2e4t+e−2te4t−e−2t.
    Чтобы исключить отрицательные показатели, мы умножаем верхнюю часть на e2te2t, а нижнюю — на e4t:e4t:
    . dzdt=2e4t+e-2te4t-e-2t·e2te4t=2e6t+1e8t-e2t=2e6t+1e2t(e6t-1)=2e6t+1ete6t-1.dzdt=2e4t+e-2te4t-e-2t·e2te4t=2e6t+1e8t-e2t=2e6t+1e2t(e6t-1)=2e6t+1ete6t-1.
    Опять же, эту производную также можно вычислить, сначала подставив x(t)x(t) и y(t)y(t) в f(x,y),f(x,y), а затем продифференцировав по t: т:
    z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=(x(t))2−(y(t))2=e4t−e−2t=(e4t−e−2t )1/2. z=f(x,y)=f(x(t),y(t))=(x(t))2−(y(t))2=e4t−e−2t=( e4t−e−2t)1/2.
    Тогда
    dzdt=12(e4t−e−2t)−1/2(4e4t+2e−2t)=2e4t+e−2te4t−e−2t.dzdt=12(e4t−e−2t)−1/2(4e4t+2e −2t)=2e4t+e−2te4t−e−2t.
    Это же решение.

Пропускной пункт 4.23

Рассчитайте dz/dtdz/dt, используя следующие функции. Выразите окончательный ответ через t.t.

z=f(x,y)=x2−3xy+2y2,x=x(t)=3sin2t,y=y(t)=4cos2tz=f(x,y)=x2−3xy+2y2,x=x( t)=3sin2t,y=y(t)=4cos2t

Часто бывает полезно создать визуальное представление уравнения 4.29 для цепного правила. Это называется древовидной диаграммой цепного правила для функций одной переменной и позволяет запомнить формулу (рис. 4.34).Эта диаграмма может быть расширена для функций более чем одной переменной, как мы вскоре увидим.

Фигура 4,34 Древовидная диаграмма для случая dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt.dzdt=∂z∂x·dxdt+∂z∂y·dydt.

На этой диаграмме крайний левый угол соответствует z=f(x,y).z=f(x,y). Поскольку ff имеет две независимые переменные, из этого угла выходят две прямые. Верхняя ветвь соответствует переменной xx, а нижняя ветвь соответствует переменной y.y. Поскольку тогда каждая из этих переменных зависит от одной переменной t, t, одна ветвь исходит от xx, а другая — от y.у. Наконец, каждая из ветвей в крайнем правом углу имеет метку, которая представляет собой путь, пройденный для достижения этой ветви. Верхняя ветвь достигается путем следования по ветке xx, затем по ветке tt; поэтому он помечен (∂z/∂x)×(dx/dt).(∂z/∂x)×(dx/dt). Нижняя ветвь аналогична: сначала ветвь yy, затем ветвь tt. Эта ветвь обозначена (∂z/∂y)×(dy/dt).(∂z/∂y)×(dy/dt). Чтобы получить формулу для dz/dt, dz/dt, добавьте все члены, которые появляются в правой части диаграммы. Это дает нам уравнение 4.29.

В цепном правиле для двух независимых переменных z=f(x,y)z=f(x,y) является функцией xandy,xandy, и оба x=g(u,v)x=g(u,v ) и y=h(u,v)y=h(u,v) являются функциями независимых переменных uandv.uandv.

Теорема 4.9

Цепное правило для двух независимых переменных

Предположим, что x=g(u,v)x=g(u,v) и y=h(u,v)y=h(u,v) являются дифференцируемыми функциями uu и v,v, и z=f( x,y)z=f(x,y) — дифференцируемая функция от xandy. xandy. Тогда z=f(g(u,v),h(u,v))z=f(g(u,v),h(u,v)) является дифференцируемой функцией от uandv,uandv, и

∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u

(4.31)

и

∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v.∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v.

(4.32)

Мы можем нарисовать древовидную диаграмму для каждой из этих формул, а также для следующих.

Фигура 4,35 Древовидная диаграмма для ∂z∂u=∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂u∂z∂u=∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂u и ∂z∂v=∂z∂x·∂x∂v+∂z∂y·∂y∂v.∂z∂v=∂z∂x·∂x∂v+∂z∂y·∂y∂v.

Чтобы вывести формулу для ∂z/∂u,∂z/∂u, начните с левой стороны диаграммы, затем следуйте только ветвям, которые заканчиваются на uu, и добавляйте члены, которые появляются в конце этих ветвей.Для формулы для ∂z/∂v,∂z/∂v следуйте только ветвям, которые заканчиваются на vv, и добавляйте члены, которые появляются в конце этих ветвей.

Между этими двумя теоремами о цепных правилах есть важное различие. В цепном правиле для одной независимой переменной левая часть формулы для производной не является частной производной, но в цепном правиле для двух независимых переменных это так. Причина в том, что в цепном правиле для одной независимой переменной zz является функцией только от tt, тогда как в цепном правиле для двух независимых переменных zz является функцией как u, так и v.уаv.

Пример 4,27

Использование цепного правила для двух переменных

Рассчитайте ∂z/∂u∂z/∂u и ∂z/∂v∂z/∂v, используя следующие функции:

z=f(x,y)=3×2−2xy+y2,x=x(u,v)=3u+2v,y=y(u,v)=4u−vz=f(x,y)=3×2− 2xy+y2,x=x(u,v)=3u+2v,y=y(u,v)=4u−v.
Решение

Чтобы реализовать цепное правило для двух переменных, нам нужны шесть частных производных — ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ∂z/∂ х,∂z/∂y,∂x/∂u,∂x/∂v,∂y/∂u и ∂y/∂v:∂y/∂v:

∂z∂x=6x−2y∂z∂y=−2x+2y∂x∂u=3∂x∂v=2∂y∂u=4∂y∂v=−1.∂z∂x=6x−2y∂z∂y=−2x+2y∂x∂u=3∂x∂v=2∂y∂u=4∂y∂v=−1.

Чтобы найти ∂z/∂u,∂z/∂u, мы используем уравнение 4.31:

∂z∂u=∂z∂x∂x∂u+∂z∂y∂y∂u=3(6x−2y)+4(−2x+2y)=10x+2y.∂z∂u=∂z∂x ∂x∂u+∂z∂y∂y∂u=3(6x−2y)+4(−2x+2y)=10x+2y.

Далее подставляем x(u,v)=3u+2vx(u,v)=3u+2v и y(u,v)=4u−v:y(u,v)=4u−v:

∂z∂u=10x+2y=10(3u+2v)+2(4u−v)=38u+18v.∂z∂u=10x+2y=10(3u+2v)+2(4u−v)= 38у+18в.

Чтобы найти ∂z/∂v,∂z/∂v, мы используем уравнение 4.32:

∂z∂v=∂z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v=2(6x−2y)+(−1)(−2x+2y)=14x−6y.∂z∂v=∂ z∂x∂x∂v+∂z∂y∂y∂v=2(6x−2y)+(−1)(−2x+2y)=14x−6y.

Затем подставляем x(u,v)=3u+2vx(u,v)=3u+2v и y(u,v)=4u−v:y(u,v)=4u−v:

∂z∂v=14x−6y=14(3u+2v)−6(4u−v)=18u+34v.∂z∂v=14x−6y=14(3u+2v)−6(4u−v)= 18у+34в.

Пропускной пункт 4,24

Рассчитать ∂z/∂u∂z/∂u и ∂z/∂v∂z/∂v, используя следующие функции:

z=f(x,y)=2x−yx+3y,x(u,v)=e2ucos3v,y(u,v)=e2usin3v.z=f(x,y)=2x−yx+3y,x( u,v)=e2ucos3v,y(u,v)=e2usin3v. .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск