Уравнение делить на уравнение онлайн: Деление многочленов онлайн

Содержание

Деление многочленов онлайн

Онлайн калькулятор осуществляет деление многочленов двумя различными способами: делением в столбик и методом неопределенных коэффициентов. Для работы калькулятора введите исходные данные своей задачи.

Метод деления в столбик рассмотрим на следующем примере. Пусть нам требуется разделить многочлен

на многочлен

Сразу необходимо отметить, что:

деление многочленов возможно только в том случае, если степень многочлена делимого больше или равна степени многочлена делителя.

В нашем случае указанное условие выполняется т.к. степень многочлена делимого равна трём, а степень многочлена делителя — двум.

Чтобы осуществить деление многочленов, запишем многочлен делимое слева от вертикальной черты, а многочлен делитель — справа:

Далее, разделим слагаемое со старшей степенью многочлена делителя на слагаемое со старшей степенью многочлена делимого :

Запишем полученный результат (частное от деления) справа под чертой:

Теперь, умножаем на многочлен делитель , получаем:

Записываем полученный результат слева под многочленом делимым:

Вычитаем из многочлена делимого полученный результат:

Записываем полученный многочлен в столбик:

Далее, процедура повторяется, т. е. мы делим слагаемое со старшей степенью полученного многочлена ( ) на слагаемое со старшей степенью многочлена делителя ( ), и т.д., в результате получаем:

Процесс деления останавливается, когда степень многочлена остатка меньше степени многочлена делителя. Это условие описано выше.

Записываем полученный результат следующим образом. Сначала записываем частное (многочлен справа под чертой) равное , затем прибавляем к нему дробь, числителем которой является многочлен остаток равный (тот многочлен, который остался после всех вычитаний слева снизу в столбике) а знаменателем — многочлен делитель . В результате получаем:

Таким образом:

Другим способом деления многочленов является

метод неопределенных коэффициентов. Рассмотрим его на том же самом примере. В общем случае, результат деления многочленов можно записать в следующем виде:

где — многочлен частное, степень которого равна разности степеней многочлена делимого и многочлена делителя, т.е. в нашем случае — единице. — многочлен остаток, степень которого не больше степени многочлена делителя, т.е. в нашем случае — не больше единице.

Теперь, запишем многочлен в общем виде:

— неизвестные пока коэффициенты.

Тоже самое для многочлена :

— неизвестные пока коэффициенты.

Таким образом, получаем следующее равенство:

Итак, нам нужно определить неизвестные коэффициенты и . Для этого домножаем обе части приведенного выше равенства на знаменатель — многочлен делитель , получаем:

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые:

Для того, чтобы сохранить верное равенство, нам нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получаем следующую систему линейных уравнений:

В результате решения этой системы, получаем следующие значения коэффициентов:

Подставляем значения полученных коэффициентов и исходное равенство:

Как видно, данный результат полностью совпадает с результатом, полученным методом деления в столбик.

Решение кубических уравнений, формулы и примеры

Запишем поэтапный ход деления. Делим старший элемент делимого (слагаемое со старшей степенью) на старший элемент делителя. То есть надо подобрать такой одночлен, что его произведение со старшим элементом делителя, то есть , будет равно старшему элементу делимого, то есть . Искомый одночлен равен , записываем его в поле для частного:

Далее делитель умножаем на полученное частное (для этого каждое слагаемое делителя умножаем на ), записываем результат под делимым так, чтобы каждая степень полученного после умножения выражения была записана под соответствующей степенью делимого:

Отнимаем многочлены:

Поскольку степень полученного остатка больше степени делителя, то деление продолжаем. Теперь подбираем одночлен, на который нужно умножить делитель , чтобы получить в результате старшее слагаемое остатка . Таким одночленом является , его записываем в поле для частного к записанному уже там значению :

Умножаем делитель на указанный одночлен, результат записываем под остатком и вычитаем от него:

Степень полученного остатка равна степени делителя (а должна быть строго меньше, чтобы процесс деления закончился), поэтому деление продолжаем. 2=(a-b)(a+b)\).

\((x-1)(x-2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})≥0\)

Вот сейчас все готово для применения метода интервалов.


Запишем ответ.

Ответ: \((-∞;-\sqrt{2}]∪[1;\sqrt{2}]∪[2;∞)\).

Деление многочлена на двучлен онлайн калькулятор. Математика, которая мне нравится

Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.

Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.

А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.

Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.

Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.

Легко проверить, что

Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2. Поделим на .

Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.

Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что

Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.

Содержание

Теорема

Пусть P k (x) , Q n (x) — многочлены от переменной x степеней k и n , соответственно, причем k ≥ n . Тогда многочлен P k (x) можно представить единственным способом в следующем виде:

(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) ,
где S k-n (x) — многочлен степени k-n , U n-1 (x) — многочлен степени не выше n-1 , или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где p i , q i — известные коэффициенты, s i , u i — неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1) :
;
(2) .
Первый член в правой части — это многочлен степени k . Сумма второго и третьего членов — это многочлен степени не выше k — 1 . Приравняем коэффициенты при x k :
p k = s k-n q n .
Отсюда s k-n = p k / q n .

Преобразуем уравнение (2) :
.
Введем обозначение: .
Поскольку s k-n = p k / q n , то коэффициент при x k равен нулю.

Поэтому — это многочлен степени не выше k — 1 , . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3) .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1) , только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k-n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U n-1 (x) .

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s i , u l . Причем s k-n ≠ 0 . Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Q n (x) , получим:
(4) .
По аналогии с десятичными числами, S k-n (x) называется целой частью дроби или частным, U n-1 (x) — остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10 . Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10 . Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком


.

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе — многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):



Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .

1.2 Умножаем 2 x 2 на x 2 — 3 x + 5 :
. Результат записываем в левый столбик:

1.3 Берем разность многочленов в левом столбике:

.



Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3 ) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2 ). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1 Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;

2.2 Умножаем на знаменатель: ;

2.3 И вычитаем из последней строки левого столбика: ;


Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 . Поэтому дробь — правильная.

;
2 x 2 — 4 x + 1 — это целая часть;
x — 8 — остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2. 3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x :
.

Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:

где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:

Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.

Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов , отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.

Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.

Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.

Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.

Определение . Разделить многочлен a (x ) на многочлен b (x ) с остатком – это значит представить многочлен a (x ) в виде

a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x ) ,

где многочлен c (x ) – частное , а многочлен r (x ) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

Очень важно отметить, что формула

a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x )

является тождеством , т. е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .

При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.

Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.

К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.

Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен

2x 4 — x 3 + 5x 2 — 8x + 1

на многочлен

x 2 — x + 1 .

Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:

  1. Делим первый член делимого 2x 4 на первый член делителя x 2 . Получаем первый член частного 2x 2 .
  2. Умножаем первый член частного 2x 2 на делитель x 2 — x + 1, а результат умножения
  3. 2x 4 — 2x 3 + 2x 2

    пишем под делимым 2x 4 — x 3 + 5x 2 — 8x + 1 .

  4. Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток
  5. x 3 + 3x 2 — 8x .

    Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

  6. Делим первый член остатка x 3 на первый член делителя x 2 . Получаем второй член частного x .
  7. Умножаем второй член частного x на делитель x 2 — x + 1 , а результат умножения
  8. x 3 — x 2 + x

    пишем под первым остатком x 3 + 3x 2 — 8x .

  9. Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток
  10. 4x 2 — 9x + 1 .

    Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.

  11. Делим первый член второго остатка 4x 2 на первый член делителя x 2 . Получаем третий член частного 4 .
  12. Умножаем третий член частного 4 на делитель x 2 — x + 1 , а результат умножения
  13. Общий вид одночлена

    f(x)=ax n , где:

    a — коэффициент, который может принадлежать любому из множеств N, Z, Q, R, C

    x — переменная

    n показатель степени, который принадлежит множеству N

    Два одночлена подобны, если они имеют одну и ту же переменную и одинаковый показатель степени.

    Примеры: 3x 2 и -5x 2 ; ½x 4 и 2√3x 4

    Сумма одночленов, не подобных друг другу, называется многочленом (или полиномом). В этом случае одночлены являются слагаемыми полинома. Полином, содержащий два слагаемых, называется биномом (или двучленом).
    Пример: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
    Полином, содержащий три слагаемых, называется трехчленом.

    Общий вид многочлена с одной переменной

    где:

  • a n ,a n-1 ,a n-2 ,…,a 1 ,a 0 — коэффициенты полинома. Они могут быть натуральными, целыми, рациональными, действительными или комплексными числами.
  • a n — коэффициент при слагаемом с наибольшим показателем степени (ведущий коэффициент)
  • a 0 — коэффициент при слагаемом с наименьшим показателем степени (свободный член, или константа)
  • n — степень полинома

Пример 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

  • полином третьей степени с коэффициентами 5, -2, 7 и -1
  • 5 — ведущий коэффициент
  • -1 — свободный член
  • x — переменная

Пример 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

  • полином четвертой степени с коэффициентами -2√3,½ и -4
  • -2√3 — ведущий коэффициент
  • -4 — свободный член
  • x — переменная

Деление полиномов

p(x) и q(x) — два полинома:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +. ..+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +…+a 1 x 1 +a 0

Чтобы найти частное и остаток от деления p(x) на q(x) , нужно использовать следующий алгоритм:

  1. Степень p(x) должна быть больше либо равной степени q(x) .
  2. Мы должны записать оба полинома в порядке понижения степени. Если в p(x) нет члена с какой-либо степенью, его надо дописать с коэффициентом 0.
  3. Ведущий член p(x) делится на ведущий член q(x) , и результат записывается под разделительной линией (в знаменателе).
  4. Умножаем полученный результат на все члены q(x) и записываем результат с противоположными знаками под членами p(x) с соответствующими степенями.
  5. Складываем почленно слагаемые с одинаковыми степенями.
  6. К результату приписываем оставшиеся члены p(x) .
  7. Делим ведущий член полученного полинома на первый член полинома q(x) и повторяем шаги 3-6.
  8. Эта процедура повторяется до тех пор, пока вновь полученный полином не будет иметь меньшую степень, чем q(x) . 2-x+1$

    3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

    4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

    5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

    6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

    / -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

    7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

    / -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

    2x 4 -2x 3 +2x 2

    / -x 3 +9x 2 -3x+5

    8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

    / -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

    2x 4 -2x 3 +2x 2

    / -x 3 +9x 2 -3x+5

    / 6x-3 СТОП

    x 3 -2x 2 -x+8 —> C(x) Частное

    Ответ: p(x) = x 5 — 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 — 3x + 5 = (x 2 — x + 1)(x 3 — 2x 2 — x + 8) + 6x — 3

    Пример 2
    p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
    q(x)=x 2 -3x

    X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

    / 3x 3 +3x 2 +2x-8

    / 38x-8 r(x) СТОП

    x 2 +3x+12 —> C(x) Частное

    Ответ: x 4 + 3x 2 + 2x — 8 = (x 2 — 3x)(x 2 + 3x + 12) + 38x — 8

    Деление на полином первой степени

    Это деление можно выполнить с использованием вышеупомянутого алгоритма или даже более быстрым образом, если воспользоваться методом Горнера.
    Если f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 , полином можно переписать в виде f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +…+x(a n-1 +a n x)…))

    q(x) — полином первой степени ⇒ q(x)=mx+n
    Тогда полином в частном будет иметь степень n-1 .

    По методу Горнера, $x_0=-\frac{n}{m}$.
    b n-1 =a n
    b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
    b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2

    b 1 =x 0 .b 2 +a 2
    b 0 =x 0 .b 1 +a 1
    r=x 0 .b 0 +a 0
    где b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +…+b 1 x+b 0 — частное. Остатком будет полином нулевой степени, поскольку степень полинома в остатке должна быть меньше, чем степень делителя.
    Деление с остатком ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r если $x_0=-\frac{n}{m}$
    Отметим, что p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

    Пример 3
    p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
    q(x)=x-3
    p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
    x 0 =3

    b 3 =5
    b 2 =3. 5-2=13
    b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
    b 0 =3.43-6=123
    r=3.123-7=362
    5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

    Пример 4
    p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
    q(x)=x+2
    p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
    q(x)=x+2
    x 0 =-2
    p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

    b 4 =-2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
    b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
    b 2 =(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
    ⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r=125
    -2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

    Пример 5
    p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
    q(x)=2x-1
    $x_0=\frac{1}{2}$
    p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
    b 2 =3
    $b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
    $b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
    $r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
    $\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2—\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$
    Вывод
    Если мы делим на полином степени выше, чем один, для нахождения частного и остатка нужно воспользоваться алгоритмом 1-9 .
    Если мы делим на полином первой степени mx+n , то для нахождения частного и остатка нужно использовать метод Горнера с $x_0=-\frac{n}{m}$.
    Если нас интересует только остаток от деления, достаточно найти p(x 0) .
    Пример 6
    p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
    q(x)=x-1
    x 0 =1
    r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
    r=5

    Пусть требуется

    (2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

    Здесь дано произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) и один множитель (2x – 1), – надо найти другой множитель. В данном примере сразу ясно (но вообще этого установить нельзя), что и другой, искомый, множитель, или частное, есть многочлен. Это ясно потому, что данное произведение имеет 4 члена, а данный множитель лишь 2. Однако, сказать заранее, сколько членов у искомого множителя – нельзя: может быть 2 члена, 3 члена и т. д. Вспоминая, что старший член произведения всегда получается от умножения старшего члена одного множителя на старший член другого (см. умножение многочлена на многочлен) и что членов, подобных этому, быть не может, мы уверены, что 2x 3 (старший член данного произведения) получится от умножения 2x (старший член данного множителя) на неизвестный старший член искомого множителя. Чтобы найти последний, придется, следовательно, разделить 2x 3 на 2x – получим x 2 . Это и есть старший член частного.

    Вспомним затем, что при умножении многочлена на многочлен приходится каждый член одного многочлена умножать на каждый член другого. Поэтому данное произведение (2x 3 – 7x 2 + x + 1) представляет собою произведение делителя (2x – 1) на все члены частного. Но мы можем теперь найти произведение делителя на первый (старший) член частного, т. е. (2x – 1) ∙ x 2 ; получим 2x 3 – x 2 . Зная произведение делителя на все члены частного (оно = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) и зная произведение делителя на 1-ый член частного (оно = 2x 3 – x 2), вычитанием мы можем найти произведение делителя на все остальные, кроме 1-го, члены частного. Получим

    (2x 3 – 7x 2 + x + 1) – (2x 3 – x 2) = 2x 3 – 7x 2 + x + 1 – 2x 3 + x 2 = –6x 2 + x + 1.

    Старший член (–6x 2) этого оставшегося произведения должен представлять собою произведение старшего члена делителя (2x) на старший член остального (кроме 1-го члена) частного. Отсюда найдем старший член остального частного. Надо –6x 2 ÷ 2x, получим –3x. Это и есть второй член искомого частного. Мы можем опять найти произведение делителя (2x – 1) на второй, только что найденный, член частного, т. е. на –3x.

    Получим (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. Из всего данного произведения мы уже вычли произведение делителя на 1-ый член частного и получили остаток –6x 2 + x + 1, представляющий собою произведение делителя на остальные, кроме 1-го, члены частного. Вычитая из него только что найденное произведение –6x 2 + 3x, получим остаток, представляющий собою произведение делителя на все остальные, кроме 1-го и 2-го, члены частного:

    –6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.

    Разделив старший член этого оставшегося произведения (–2x) на старший член делителя (2x), получим старший член остального частного, или его третий член, (–2x) ÷ 2x = –1, – это и есть 3-й член частного.

    Умножив на него делителя, получим

    (2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

    Вычтя это произведение делителя на 3-й член частного из всего оставшегося до сих пор произведения, т. е.

    (–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

    мы увидим, что в нашем примере произведение делится на остальные, кроме 1-го, 2-го и 3-го, члены частного = 0, откуда заключаем, что у частного больше членов нет, т. е.

    (2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.

    Из предыдущего мы видим: 1) удобно располагать члены делимого и делителя по нисходящим степеням, 2) необходимо установить какой-либо порядок для выполнения вычислений. Таким удобным порядком можно считать тот, который употребляется в арифметике при делении многозначных чисел. Следуя ему, все предыдущие вычисления расположим так (сбоку даны еще краткие пояснения):

    Те вычитания, какие здесь нужны, выполняются переменою знаков у членов вычитаемого, причем эти переменные знаки пишутся сверху.

    Так, написано

    Это значит: вычитаемое было 2x 3 – x 2 , а после перемены знаков получили –2x 3 + x 2 .

    Благодаря принятому расположению вычислений, благодаря тому, что члены делимого и делителя расположены по нисходящим степеням и благодаря тому, что степени буквы x в обоих многочленах идут, понижаясь всякий раз на 1, оказалось, что подобные члены приходятся написанными друг под другом (напр.: –7x 2 и +x 2), почему легко выполнить их приведение. Можно подметить, что не все члены делимого нужны во всякий момент вычисления. Напр., член +1 не нужен в тот момент, где был найден 2-й член частного, и эту часть вычислений можно упростить.


    Еще примеры:

    1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

    Расположим по нисходящим степеням буквы a и делимое и делитель:


    (Заметим, что здесь, благодаря отсутствию в делимом члена с a 3 , в первом вычитании оказалось, что подписаны друг под другом не подобные члены –a 2 b 2 и –2a 3 b. Конечно, они не могут быть приведены в один член и написаны под чертою оба по старшинству).


    В обоих примерах надо внимательнее относиться к подобным членам: 1) друг под другом часто оказываются написанными не подобные члены и 2) иногда (как, напр. 2+15}$
    $x_{2,3} = 1 \pm\sqrt{16}$
    $x_{2,3} = 1 \pm4$

    $x_2=5$ и $x_3=-3$

    Решения первоначального уравнения: $x_1=-2$, $x_2=5$ и $x_3=-3$

Решение уравнений 6 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 Решение уравнений

Уравнение, которое можно привести к виду ax = b, где a и b − некоторые числа

(a≠0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Рассмотрим решение уравнения:

4·(х-5) = 16 (1)

х-5 = 16:4

х-5 = 4 (2)

х = 9

Уравнение (2) можно получить из уравнения (1), разделив обе части уравнения на 4.

4(х-5)=16 |:4   (1)                9 – корень уравнения (1), так как

4(x-5)4=164                          4(9-5) = 16 – верное равенство.

х-5 = 4  (2)                           9 – корень уравнения (2), так как

                                              9-5 = 4 – верное равенство.

Число 9 – это корень уравнения (1) и корень уравнения (2).

Сформулируем первое свойство уравнения.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, и корни уравнения не изменятся.

Применим первое свойство к решению уравнения.

Пример 1. Решим уравнение 34x-98x=54-18.

Умножим обе части уравнения на 8. Тогда коэффициент перед x станет целым.

34x-98x = 54-18 |·8

3∙84x-9∙88x = 5∙84-1∙88

6x-9x = 10-1

-3x = 9

x = 9:(-3)

x = -3.

Пример 2. Решим уравнение 0,7x-0,2x = 5,5.

Умножим обе части уравнения на 10. Тогда коэффициенты перед x станут целыми.

0,7х-0,2х = 5,5 |·10

7х-2х = 55

5х = 55

x = 55:5

x = 11.

Пример 3. Решим уравнение -20x-50∙2 = 100.

Разделим обе части этого уравнения на 2.

(-20х-50)·2 = 10 |:2

-20х-50 = 50

-20х = 50+50

-20х = 100

x = 100:(-20)

x = -5.

Пример 4. Решим уравнение 2,1∙4-6y = -42.

Разделим обе части равенства на 2,1.

2,1·(4-6у) = -4 |:2,1

4-6у = -20

-6у = -24

y = -24:(-6)

y = 4.

Пример 5. Решим уравнение 2х+5 = 17.

По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х = 17-5; 2х = 12. Уравнения 2х+5 = 17 и 2х = 17-5 имеют один и тот же корень 6, т.к. 2·6+5 = 17 и 2·6 = 17-5.

Уравнение 2х = 17-5 можно записать так: 2х = 17+(-5).

Видим, что корень уравнения 2х+5 = 17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный.

Пример 6. Решим уравнение 5х = 2х+6.

Вычтем из правой и левой части равенства 2х.

5х-2х = 2х-2х+6

Или 5х-2х = 6

3х = 6

x = 2.

Уравнение 5х-2х = 6 можно получить из исходного, если слагаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив его знак на противоположный.

Таким образом выполняется второе свойство уравнения:

Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак.

Пример 7. Решим уравнение 13x+12 = x.

Умножим левую и правую часть равенства на 3.

13x+12 = x |·3

x+36 = 3x

Перенесем с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое 3х из правой части в левую.

x-3x = -36

-2x = -36

x = -36:(-2)

x = 18

Рассмотрим сложные примеры.

Пример 8. Решим уравнение 12∙8x-4-5 = 6∙13x+12.

Сначала раскроем скобки.

12∙8x-12∙4-5 = 6∙13x+6∙12

4x-2-5 = 2x+3

Перенесем слагаемые, которые содержат неизвестное, в левую часть, а известные слагаемые в правую часть.

4х-2х = 3+2+5

2х = 10

x = 5

Пример 9. Решим уравнение 7-x6 = 19x-118.

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение средних равно произведению крайних.

8·(7-х) = 6·(19х-11)

Раскроем скобки в левой и в правой части уравнения.

8·7-8·х = 6·19х-6·11

56-8х = 114х-66

Перенесем неизвестное влево, а известное вправо.

-8х-114х = -66-56

-122х = -122

x = 1

Решение дробных уравнений онлайн калькулятор. Уравнения

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками.. Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус. В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу. Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. Исходя из этого, для уравнений используют различные методы и теоремы для нахождения решений. Решение уравнений данного типа означает нахождение искомых корней в общем виде. Наш сервис позволяет решить даже самое сложное алгебраическое уравнение онлайн. Вы можете получить как общее решение уравнения, так и частное для указанных вами числовых значений коэффициентов. Для решения алгебраического уравнения на сайте достаточно корректно заполнить всего два поля: левую и правую части заданного уравнения. 2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение — это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да…) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные — третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел. ) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю — для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа — Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: «Как решать уравнения? » лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 — 2 = 3 — 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений.

Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: «с иксами — влево, без иксов — вправо!» Это заклинание — инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? ? Ответ неверный! Справа у нас ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ «с никаким» не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева — привести подобные, справа — посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.


Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y. Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Полиномиальный калькулятор длинного деления с шагами и решателем

Онлайн-калькулятор деления полиномов в длинное с шагами поможет вам выполнить деление заданного делимого и делителя в длинное. Вы можете найти остаток и частное с помощью калькулятора полиномиального деления, который обеспечивает подробные вычисления для длинного полиномиального деления. Вы можете изучить и понять всю концепцию деления многочленов в длинное и многое другое.

Что такое полиномиальное длинное деление?

В алгебре длинное деление многочленов — это алгоритм деления многочлена, при котором многочлен делится на другой многочлен той же или более низкой степени.Поэтому обобщенная версия знакомого арифметического метода называется многочленами от деления в длину.
Это можно легко сделать с помощью калькулятора делящих многочленов с шагами, потому что он разделяет сложные задачи деления на более мелкие.

Как сделать полиномиальное длинное деление?

Метод длинных полиномов деления может быть выполнен двумя разными полиномами. Этот метод часто используется калькулятором полиномов деления с шагами, чтобы разбить сложную форму на простейшую.{2} – 13 х + 78+\dfrac{(-395)}{х + 5}} \)

Однако онлайн-калькулятор синтетического деления позволит вам определить напоминание и частное полиномов с помощью метода синтетического деления.

Типы полиномиального деления:

Существует четыре различных типа полиномиального деления:

  • Многочлен Деление на другой одночлен
  • Деление многочлена на номинал
  • Полиномиальное деление на двучлен
  • Деление многочлена на другой многочлен

Калькулятор полиномиального деления с шагом может решить все типы полиномиального деления с полным решением. 2 + 2x + 1.{2} + 2 x + 1}}

долл. США

Как работает калькулятор полиномов с длинным делением?

Онлайн-калькулятор деления многочленов с решением обеспечивает деление двух многочленов, выполнив следующие действия:

Ввод:
  • Сначала введите делимое и делитель в данные поля.
  • Нажмите кнопку «Рассчитать».

Вывод:
  • Калькулятор полиномов деления с шагом сначала отображает специальный формат заданных значений.2 \) для заданного полиномиального выражения xy / x + y.

    Как лучше и проще всего делить длинные многочлены?

    Метод длинных полиномов деления — лучший способ разделить два длинных полинома.

    Заключение:

    Используйте этот онлайн-калькулятор деления многочленов для получения подробных решений деления многочленов в длину. Инженеры в основном используют полиномы для моделирования пути американских горок. Таким образом, калькулятор полиномиального деления точно предоставляет таблицу результатов с полными вычислениями для заданных значений.

    Ссылка:

    Из источника Википедии: Полиномиальное длинное и короткое деление, Псевдокод, Евклидово деление, Разложение полиномов на множители, Нахождение касательных к полиномиальным функциям.

    Из источника Purple Math: деление длинного многочлена, деление многочлена, деление одночлена на другой одночлен, деление многочлена на одночлен.

    Из источника Lumen Learning: Алгоритм деления, деление многочленов, теорема о рациональном корне, теорема об остатке, синтетическое деление, рациональные корни и деление многочленов с использованием калькулятора деления.

    Калькулятор полиномиального деления — Онлайн калькулятор полиномиального деления

    Калькулятор деления полиномов помогает разделить два многочлена и отобразить результат. Деление многочленов включает в себя деление одного многочлена более высокой степени на многочлен более низкой степени.

    Что такое калькулятор полиномиального деления?

    Калькулятор деления многочленов — это онлайн-инструмент, который помогает разделить два заданных многочлена. Степень делимого обычно больше степени делителя.Чтобы использовать калькулятор полиномиального деления , введите два полинома в указанные поля ввода.

    Как использовать калькулятор полиномиального деления?

    Чтобы разделить два многочлена с помощью калькулятора деления многочленов, выполните следующие действия:

    • Шаг 1 : Перейдите к онлайн-калькулятору полиномиального деления Cuemath.
    • Шаг 2: Введите два многочлена в указанные поля ввода.
    • Шаг 3 : Нажмите кнопку « Divide «, чтобы разделить два многочлена.
    • Шаг 4 : Нажмите кнопку « Reset «, чтобы очистить поля и ввести новые полиномы.

    Как работает калькулятор полиномиального деления?

    Многочлен определяется как алгебраическое выражение, состоящее из переменных, констант, коэффициентов, неотрицательных возведенных в степень переменных и включающее сложение, вычитание и умножение. Существуют различные методы деления многочленов. Это длинное деление, синтетическое деление, расщепление терминов и методы факторизации.Наиболее часто используемый метод деления многочленов — метод деления в длину. Если между числителем и знаменателем нет общих множителей, для упрощения выражения можно использовать метод длинного деления.

    Метод длинного деления

    • Шаг 1: Расположите все термины в порядке убывания их степеней.
    • Шаг 2: Первый член делимого делится на делитель. Полученный результат записывается в виде первого члена частного.
    • Шаг 3: Теперь этот результат умножается на делитель. Полученный продукт записывается под делимым.
    • Шаг 4: Вычтите произведение из делимого, чтобы получить новый многочлен.
    • Шаг 5: Повторяйте шаги со 2 по 4 с новыми сгенерированными многочленами до тех пор, пока не останется членов и остаток не будет равен 0. Это означает, что многочлен 1 полностью делится на многочлен 2.

    Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

    Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

    Забронируйте бесплатный пробный урок

    Решенные примеры на полиномиальное деление

    Пример 1: Разделите 4x 2 — 5x — 21 на x — 3 и проверьте результат с помощью калькулятора полиномиального деления.

    Решение:

    Частное равно 4x + 7, а остаток равен 0.

    Пример 2: Разделите (x 4 + 2 x 2 + 17 x — 48) на (x + 3) и проверьте результат с помощью калькулятора полиномиального деления.

    Решение:

    Частное равно х 3 — 3 х 2 + 11 х — 16, а остаток равен 0.​​​​​

    Точно так же вы можете использовать калькулятор деления многочленов, чтобы разделить данные многочлены

    • 9x 4 + 7x и 2x
    • 3x 3 — 2x — 1 и x — 1

    ☛ Математические калькуляторы:

    Калькулятор умножения дробей — Онлайн калькулятор умножения дробей

    Калькулятор умножения дробей — это бесплатный онлайн-инструмент, который умножает две дроби и отображает их произведение. Две дроби можно умножить, даже если значения знаменателей не совпадают.

    Что такое калькулятор умножения дробей?

    Калькулятор умножения дробей помогает вычислить произведение двух заданных дробей и упрощает полученную дробь до наименьших членов. Умножать можно только правильные и неправильные дроби. Чтобы использовать калькулятор умножения дробей , введите значения в соответствующие поля ввода.

    Калькулятор умножения дробей

    Как пользоваться калькулятором умножения дробей?

    Пожалуйста, следуйте инструкциям ниже, чтобы умножить две заданные дроби с помощью калькулятора умножения дробей.

    • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору умножения дробей Cuemath.
    • Шаг 2: Введите значения в указанные поля ввода.
    • Шаг 3: Нажмите «Умножить» , чтобы получить произведение двух дробей.
    • Шаг 4: Нажмите «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

    Как работает калькулятор умножения дробей?

    Умножать дроби проще, чем их складывать или вычитать.Шаги для умножения дробей следующие:

    • Шаг 1: Проверить, являются ли данные дроби правильными или неправильными дробями. Если да, перейдите к шагу 3, в противном случае перейдите к шагу 2.
    • Шаг 2: Если какая-либо из заданных дробей является смешанной дробью вида [ \(X\tfrac{y}{z}\)], то мы должны преобразовать ее в неправильную дробь. Это можно сделать, используя формулу \(X\tfrac{y}{z}\) = \(\frac{zX + y}{z}\).
    • Шаг 3: Допустим, наша первая дробь задается как A / B, а вторая дробь — C / D.
    • Шаг 4: Умножьте числители (A × C). Запишите полученное значение над чертой или знаком «/».
    • Шаг 5: Умножьте знаменатели (B × D). Запишите полученное значение под чертой.
    • Шаг 6: Упростите полученную дробь [(A × C) / (B × D)] до наименьших членов. Это даст нам произведение двух дробей.

    Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

    Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

    Забронируйте бесплатный пробный урок

    Решенные примеры на калькуляторе умножения дробей

    Пример 1: Умножьте 2/3 × 6/7 и проверьте результат с помощью онлайн-калькулятора умножения дробей.

    Решение:

    Умножьте числители: 2 × 6 = 12

    Умножьте знаменатели: 3 × 7 = 21

    Продукт = 12/21, который упрощен как = 4/7

    Следовательно, произведение 2/3 и 6/7 равно 4/7

    Пример 2: Умножить на 4.2/9 × 15/6,3 и проверьте результат с помощью онлайн-калькулятора умножения дробей.

    Решение:

    Умножьте числители: 4,2 × 15 = 63

    Умножьте знаменатели: 9 × 6,3 = 56,7

    Произведение = 63/56,7, что упрощено как = 10/9

    Следовательно, произведение 4,2/9 и 15/6,3 равно 10/9

    Теперь используйте калькулятор умножения дробей и умножьте следующие дроби:

    • 16,2/9,9 × 7. 2 +3x +4 $ в таблицу делений.

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{\квадрат} &2&3&4\\ & & & \\ \hline & & & \конец{массив} $$

      Шаг 2: Измените знак числа в делителе и запишите его слева. В этом случае делитель равен $x — 2$, поэтому мы должны заменить $\, -2 \,$ на $\, \color{blue}{2} $.

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{2} &2&3&4\\ & & & \\ \hline & & & \конец{массив} $$

      Шаг 3: Перенос старшего коэффициента

      $$ \begin{массив}{с|ррр} 2 &\color{оранжевый}{2}&3&4\\ & & & \\ \hline &\color{оранжевый}{2}& & \конец{массив} $$

      Шаг 4: Умножить перенос вниз на левый член и поместить результат в следующий столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{2} &2&3&4\\ & &\цвет{синий}{4} &\\ \hline &\цвет{синий}{2}& & \конец{массив} $$

      Шаг 5: Добавить последний столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} 2 &2&\color{оранжевый}{3}&4\\ & &\color{оранжевый}{4}& \\ \hline &2&\color{оранжевый}{7}& \конец{массив} $$

      Шаг 6: Умножить предыдущее значение на левый член и поместить результат в следующий столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{2} &2&3&4\\ & &4&\цвет{синий}{14} \\ \hline &2&\цвет{синий}{7}& \конец{массив} $$

      Шаг 6: Добавить последний столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{2} &2&3&\цвет{оранжевый}{4}\\ & &4&\color{оранжевый}{14} \\ \hline &2&7& \color{оранжевый}{18} \конец{массив} $$

      Шаг 7: Считайте результат из синтетической таблицы. 2$ членов, поэтому эти коэффициенты должны быть равны нулю)

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{\квадрат} &1&0&0& 10&1\\ & & & & &\\ \hline & & & & & \конец{массив} $$

      Шаг 2: Измените знак числа в делителе и запишите его слева. В этом случае делитель равен $x + 3$, поэтому мы должны заменить $\, +3 \,$ на $\, \color{blue}{-3} $.

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{-3}&1&0&0&10&1\\ & & & & &\\ \hline & & & & & \конец{массив} $$

      Шаг 3: Перенос старшего коэффициента

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \color{синий}{-3}&\color{оранжевый}{1}&0&0&10&1\\ & & & & &\\ \hline &\color{оранжевый}{1}& & & & \конец{массив} $$

      Умножить перенос на левый член и поместить результат в следующий столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{-3}&1&0&0&10&1\\ & &\цвет{синий}{-3}& & &\\ \hline &\цвет{синий}{1}& & & & \конец{массив} $$

      ДОБАВИТЬ последний столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} -3 &1&\color{оранжевый}{0}&0&10&1\\ & &\color{оранжевый}{-3}& & &\\ \hline &1&-3 & & & \конец{массив} $$

      Умножить последнее значение на левый член и поместить результат в следующий столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{-3} &1&0&0&10&1\\ & &-3&\цвет{синий}{9}& &\\ \hline &1&\цвет{синий}{-3} & & & \конец{массив} $$

      ДОБАВИТЬ последний столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} -3 &1& 0&\color{оранжевый}{0}&10&1\\ & &-3&\color{оранжевый}{9}& &\\ \hline &1&-3&\color{оранжевый}{9}& & \конец{массив} $$

      Умножить последнее значение на левый член и поместить результат в следующий столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{-3} &1& 0&0&10&1\\ & &-3&9& \цвет{синий}{-27}&\\ \hline &1&-3&\цвет{синий}{9}& & \конец{массив} $$

      ДОБАВИТЬ последний столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} -3 &1&0&0&10&\color{оранжевый}{1}\\ & &-3& 9 & \color{оранжевый}{-27}&\\ \hline &1&-3&9& \color{оранжевый}{-17}& \конец{массив} $$

      Умножить последнее значение на левый член и поместить результат в следующий столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} \цвет{синий}{-3} &1&0&0&10&1\\ & &-3& 9 &-27&\цвет{синий}{51}\\ \hline &1&-3&9&\цвет{синий}{-17}& \конец{массив} $$

      ДОБАВИТЬ последний столбец

      $$ \begin{массив}{с|ррр} -3 &1&0&0&10&\color{оранжевый}{1}\\ & &-3& 9 &-27&\color{оранжевый}{51}\\ \hline &1&-3&9&-17&\color{оранжевый}{52} \конец{массив} $$

      Шаг 7: Считайте результат из синтетической таблицы. 2 + 9x — 17} + \dfrac{ \color{оранжевый}{52} }{ x + 3 } $$

      Синтетическое подразделение

      Синтетика Отдел: Процесс (стр. 1 из 4)

      Разделы: Введение, Примеры работы, Нахождение нули, факторинг полиномов

      Синтетическое подразделение сокращенный или сокращенный метод полинома подразделение в частный случай деления на линейный множитель — а это только работает в этом случае.Синтетическое деление обычно используется, но не для деления множителей, а для нахождения нулей (или корней) многочленов. Подробнее об этом позже.

      Если вам дали, скажем, полиномиальное уравнение y = х 2 + 5х + 6, вы можете разложить полином как 90 634 y 90 637 = ( х + 3)( х + 2). потом можно найти нули и установив каждый множитель равным нулю и решив.Вы обнаружите, что x = 2 и х = 3 два нуля из и .

      Вы можете, однако, также работать в обратном порядке от нулей, чтобы найти исходный многочлен. Для например, если вам дано, что x = 2 и х = 3 это нули квадратичного, то вы знаете, что x + 2 = 0, значит х + 2 — множитель, а х + 3 = 0, значит х +3 — это фактор.Следовательно, вы знаете, что квадратичный должен быть вида y = а ( х + 3) ( х + 2).

      (Дополнительный номер « a » в этом последнем предложении, потому что, когда вы работаете назад от нули, вы не знаете, к какому квадрату вы работаете. Для любое ненулевое значение « a «, ваш квадратик по-прежнему будет иметь те же нули. Но вопрос стоимости из « и » это просто техническое соображение; Пока вы видите отношения между нулями и множителями, это все, что вам действительно нужно знать для этого урока.)

      Во всяком случае, это многословный способ сказать, что если x n — фактор, затем х = п это ноль, и если x  =  n ноль, то x n является коэффициентом.И это тот факт, который вы используете, когда делаете синтетическое деление.

      Давайте еще раз посмотрим на квадратичный сверху: y = х 2 + 5 х + 6. Из рационального Тест на корни, ты знаю, что 1, 2, 3 и 6 возможные нули квадратичного. (И из приведенного выше факторинга вы знаете, что нули на самом деле их 3 и 2.) Как бы вы использовали синтетическое деление для проверки потенциальных нулей? Хорошо, подумай, как долго полиномиальное деление работает. Если мы догадаемся, что х = 1 это ноль, то это означает, что x 1 является коэффициентом квадратичный. А если это фактор, то он будет делиться поровну; это если мы разделим х 2 + 5 х + 6 по х 1, мы бы получили нулевой остаток.Проверим:

      Как и ожидалось (поскольку мы знаем что х 1 не является фактором), мы получили ненулевой остаток. Как это выглядит в синтетическом делении? Copyright Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

      Сначала напишите коэффициенты ТОЛЬКО внутри перевернутого символа деления:

       

        

       

      Убедитесь, что вы уходите комнату внутри, под рядом коэффициентов, чтобы написать еще один ряд чисел позже.
       

      Ставим пробный ноль, х = 1, слева:

        

       

      Возьмите первое число внутри, представляющий старший коэффициент, и перенесите его вниз, без изменений, ниже знака деления:

        

       

       
      Умножить это переносимое значение тестовым нулем и переносим результат вверх в следующий столбец:

        

       

       
      Добавить вниз столбец:

        

       

      Умножить предыдущее перенесите значение тестовым нулем и перенесите новый результат в последний столбец:

        

       

       
      Добавить вниз столбец:

      Этот последний перенос значение — остаток.

        

       

      Сравнивая, можно увидеть что мы получили тот же результат от синтетического деления, то же частное (а именно, 1 х + 6) и тот же остаток в конце (а именно, 12), как когда мы делали длинное деление:

      Результаты отформатированы по-разному, но вы должны признать, что каждый формат предоставил нам результат, являющийся частным x + 6 и остаток из 12.


      Вы уже знаете (из приведенного выше фактора), что x + 3 является коэффициентом многочлена, и, следовательно, x = 3 — это ноль.

      Теперь сравните результаты деления в длину и синтетического деления. когда мы используем фактор x + 3 (для длинное деление) и ноль x = 3 (для синтетическое подразделение):

      Как видно выше, хотя результаты форматируются по-разному, в остальном результаты одинаковы:

      В длинном дивизионе я разделить на коэффициент x + 3, и прибыл в результат х + 2 с остатком нуля.Это означает, что x + 3 — множитель, а что х + 2 остается после факторинга из х + 3. Установка коэффициентов равно нулю, я получаю, что x = 3 и х = 2 это нули квадратичного.

      В синтетическом подразделении, Я разделил на х = 3, и пришел к тот же результат x + 2 с остатком нуля.Поскольку остаток равен нулю, это означает, что x + 3 является множителем и х = 3 — это ноль. Также, из-за нулевого остатка x + 2 — остаток множитель после деления. Установив это значение равным нулю, я получаю x . = 2 — другой нуль квадратичного.

      Я вернусь к этим отношениям между множителями и нулями далее; две темы неразрывно переплетены.


      Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы практиковать синтетическое деление. Попробуйте введенное упражнение или введите собственное упражнение. Затем нажмите кнопку «бумажный самолетик», чтобы сравнить свой ответ. к Мэтьюю. (Или пропустить виджет и продолжить с уроком.)

      (Нажмите, чтобы просмотреть шаги) на экране ответов виджета вы перейдете на сайт Mathway для платного обновления . )

      Топ |  1 | 2 | 3 | 4   | Вернуть к индексу  Далее >>

      Процитировать эту статью как:

      Стапель, Элизабет. «Синтетический отдел: Процесс». Пурпурная математика . Доступно по номеру
           https://www.purplemath.com/modules/synthdiv.хтм . Доступ [Дата] [Месяц] 2016
       

       

      Это математическое уравнение разделяет Интернет

      Часто социальные сети должны быть поляризованными, чтобы приносить прибыль, когда люди сталкиваются друг с другом и увеличивают вовлеченность. За последние несколько дней в сети произошла своеобразная драка — и все это связано с математическим уравнением.

      Уравнение, опубликованное @pjmolI, кажется простым и понятным: 8 ÷ 2(2+2) = ? Здесь нет странных операций или целых чисел, но люди сбиваются с толку, когда решают уравнение и получают разные ответы от своих сверстников, либо 16, либо 1.

      Даже разные калькуляторы дают разные результаты. Некоторые люди утверждают, что математика сломана или что их никто не учил математике должным образом. Однако путаница заключается в том, что вопрос задан вводящим в заблуждение образом.

      Так что правда? По правилам алгебры ответ должен быть 16. Давайте разберем его традиционным подходом. Неважно, учили ли вас алгебре с помощью соглашений BODMAS (скобки, порядок, деление, умножение, сложение, вычитание) или PEMDAS (скобки, индексы, умножение, деление, сложение, вычитание).

      Для начала вы решаете бит сложения в квадратных скобках и в итоге получаете уравнение, которое гласит: 8 ÷ 2 x 4 =? Согласно BODMAS и PEMDAS, деление и умножение имеют одинаковый приоритет. Итак, как только вы доберетесь туда, как вы должны решить эту проблему? Слева направо. Вы делаете 8, делите на 2, а затем умножаете на 4.

      Так почему же и люди, и вычислители ошибаются? Уравнение настроено неоднозначно, и математики наверняка будут раздражены, если вы напишете его таким образом. Для людей и машин это буквально зависит от того, в каком направлении вы будете двигаться после решения скобок. Люди, которые вычислили 1, не должны чувствовать, что совершили чудовищную ошибку.

      В уравнении не хватает пары скобок, которые позволили бы кому-то прийти к правильному решению без двусмысленности.У вас могло бы быть (8 ÷ 2) x (2 + 2), что равнялось бы 16, или вы могли бы записать это как 8 ÷ [2 x (2 + 2)], что равно 1. Оба эти варианта, безусловно, были бы более простыми. , но они, вероятно, не стали бы вирусными.

      Это математическое уравнение разделяет интернет, и никто не может прийти к единому мнению относительно ответа

      8 ÷ 2(2+2). Просто, верно? НЕПРАВИЛЬНО.

      Как человек, который годами не рассчитывал ничего сложнее, чем чаевые в ресторане, могу сказать, что не могу поверить, что мы сделали математику трендом в Твиттере.Вы действительно заставите меня вытащить мой пыльный графический калькулятор TI-48, ха. Мне правда придется порыться в своих аспирантских мозгах, как в файлах памяти Губки Боба, сгоревших дотла, и вычислить это уравнение.

      Хорошо, я думаю, мы делаем это. Ребята из популярной викторины — сможете ли вы разгадать этот спорный пост?

      Твит мог быть удален

      Карандаши вниз. Какой ответ вы получили? 1 или 16? Настоящий ответ может вас удивить: никто не может принять окончательное решение. Довольно разочаровывающе, да? Вот я и подумал, что какие-нибудь лихие математические мажоры ворвутся и положат конец этому безумию, но даже они не могут сейчас остановить эту вирусную битву.

      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: На экзамене по математике студентов попросили посчитать калории в женском обеде. Вот почему это проблема.
      Твит мог быть удален

      Ответ заключается в том, как вы его решаете, и это зависит от того, где в мире вы изучали математику. Если вы используете метод PEMDAS, порядок уравнения следующий: скобки, показатели степени, умножение, деление, сложение, вычитание. Но если вас воспитали по методу БОДМАС, то порядок такой: Скобки, Порядки, Деление, Умножение, Сложение, Вычитание.

      Итак, технически оба ответа правильные! Бу, это не весело.Как миллениал с доновым математическим образованием, мой окончательный ответ: 1. Но кто я такой, чтобы говорить, я всего лишь писатель — давайте послушаем, что скажут эксперты.

      Но разница между ответами заключается скорее в том, какие обозначения вы используете для решения уравнения, ÷ или /, чем в разнице между PEMDAS и BODMAS. Это намеренно сбивает с толку и даст вам 1 или 16 соответственно, в зависимости от того, как вы его вводите и в каком порядке решаете уравнение.

      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален

      Как оказалось, формула написана намеренно запутанно. Пост, предназначенный для намеренного разжигания хаоса в Интернете? Как новаторский.

      Твит мог быть удален
      Твит мог быть удален

      Ну вот, ребята! Мат. Мы действительно решили это.

      ОБНОВЛЕНО 1 августа 2019 г., 9:15 утра по восточноевропейскому времени с дополнительным обоснованием того, почему люди получают разные ответы

      Видео по теме: Илон Маск сбил с толку пользователей Твиттера твитом о Марсе

      .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск