Уравнение неравенств: Алгебра: Уравнения. Неравенства

Содержание

Уравнения и неравенства. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

Вход Вход Регистрация Начало Новости ТОПы Учебные заведения Предметы Проверочные работы Поиск по сайту
    org/BreadcrumbList»>
  • Предметы
  • Алгебра
  • 11 класс
    1. Равносильность уравнений. Теоремы о равносильности уравнений

    2. Общие методы решения уравнений

    3. Равносильность неравенств.

      Системы и совокупности неравенств
    4. Уравнения и неравенства с двумя переменными

    5. Общие методы решения систем уравнений

    6. Уравнения и неравенства с параметром

    Отправить отзыв Нашёл ошибку? Сообщи нам! Copyright © 2022 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение

    Методическая разработка «Уравнения и неравенства»

    Методическая разработка по теме

    «Уравнения и неравенства»

    (практическая часть)

    для студентов СПО.

    Составитель:

    Восковская Н.И.

    Преподаватель математики

    ГБПОУ ВО «ВЮТ»

    Воронеж 2020

    СОДЕРЖАНИЕ

    РАЗДЕЛ 1. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы уравнений……………………………………………………………….…….3-16

    Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем»…..………………………………………………………3-6

    Практическая работа №2: «Решение показательных уравнений и систем»……………………………………………………………………….…6-9

    Практическая работа №3: «Решение тригонометрических уравнений и систем»…………………………………………………………………………9-13

    Практическая работа №4: «Решение логарифмических уравнений и систем»……………………………………………………………………….13-16

    РАЗДЕЛ 2. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства и системы неравенств……………………………………………..…………………….17-28

    Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных неравенств»…..………………………………………………………………17-20

    Практическая работа №2: «Решение показательных неравенств»….21-23

    Практическая работа №3: «Решение тригонометрических нер-тв»…23-26

    Практическая работа №4: «Решение логарифмических нер-тв»……26-28

    РАЗДЕЛ 3. Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств и систем с одной и двумя переменными…….29-35

    Практическая работа №1: «Решение уравнений графическим методом»…..……………………………………………………………….…29-31

    Практическая работа №2: «Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными»………………………………………………………31-35

    ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА: «Уравнения и неравенства»……. ..36-37

    СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………….…………..38

    РАЗДЕЛ 1. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и системы уравнений.

    Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных уравнений и систем».

    Рациональные уравнения.

    Рациональное уравнение — это такой вид уравнения в которой левая и правая части рациональные выражения. В записи уравнения имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень.

    Рассмотрим примеры решения таких уравнений

    32 (6). Решить уравнение

    На первом этапе раскроем в уравнении все скобки, получим

    Теперь оставим в левой части уравнения все неизвестные, а все числа перенесем в правую часть. Не забываем, что при переносе переменных или чисел через знак равенства знак необходимо поменять на противоположный, получим

    Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

    Получили неверное равенство (0 не равен 11), следовательно

    Ответ: корней нет.

    33 (2). Решить уравнение

    Так как здесь присутствует неизвестная переменная в знаменателе, то на первом этапе необходимо выделить область допустимых значений. Так как в знаменателе не должен находиться ноль, то получим следующее

    Итого, ОДЗ:

    Теперь перейдем к непосредственному решению уравнения. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю

    Получим в левой и правой части дроби можем применить правило пропорции, получим

    Раскроем скобки

    Ответ: .

    Иррациональные уравнения

    Иррациональное уравнение — это такой вид уравнения, содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. 

    Рассмотрим пример

    70 (3). Решить уравнение

    Так как в уравнении присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений. Мы знаем, что в корне четной степени должно быть неотрицательное число, то есть

    С другой стороны, значение корня также не может быть отрицательным числом, то есть правая часть уравнения также должна быть неотрицательной

    В итоге, получаем следующее ОДЗ:

    Перейдем к непосредственному решению уравнения. Для того, чтобы избавиться от корня возведем обе части уравнения в квадрат

    Перенесем все в левую часть уравнения

    Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта

    Ответ:

    Задание для самостоятельного решения:

    1. Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
      №32 (пункт 7), №33 (пункт 3) – всего два уравнения.

    2. Изучаем видео-урок и решаем №45 (пункт 1) (https://www.youtube.com/watch?v=8mbiYVE6kYY)

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-М – 2 вариант,
    Буквы Н-Р – 3 вариант, Буквы С-Я – 4 вариант.

    Вариант 1.

    1. Решите уравнение

    Вариант 2.

    1. Решите уравнение

    Вариант 3.

    1. Решите уравнение

    Вариант 4.

    1. Решите уравнение

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    Практическая работа №2: «Решение показательных уравнений и систем».

    Показательное уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида . Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию, логарифмы и т.д.

    Рассмотрим примеры решения таких уравнений

    93 (2). Решить уравнение

    На первом этапе приведем все к одному показателю степени. Так как у нас есть выражение , то, применяя свойство степени разности получим , что , Подставим

    Избавимся от знаменателя, для этого обе части уравнения умножим на 4, получим

    Разделим обе части уравнения на 3, получим

    Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

    Ответ: 2.

    94 (1). Решить уравнение

    Используя свойства степеней, выражение можно переписать следующим образом: . Подставим уравнение

    Сделаем замену, пусть тогда уравнение примет вид

    Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

    Вернемся к замене:

    1. , тогда

    2. тогда

    Ответ: и .

    Рассмотрим теперь пример решения системы показательных уравнений.

    95 (6). Решить систему уравнений

    Для решения данной системы уравнения воспользуемся методом сложения. Для этого умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения между собой

    Разделим обе части уравнения на 5

    Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

    Чтобы найти вторую переменную подставим во второе уравнение, получим

    Так как показатель степени и справа и слева одинаков (2), то приравняем степени, получим

    Ответ: (-2;0).

    Задание для самостоятельного решения:

    1. Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
      №90 (пункт 2), №93 (пункт 4) и №95 (пункт 4)– всего три примера.

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Вариант 3.

    Вариант 4.

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Вариант 5.

    Вариант 6.

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    Практическая работа №3: «Решение тригонометрических уравнений и систем».

    1. Теоретические сведения.

    Тригонометрическое уравнение — это уравнение, содержащее в себе одну или несколько тригонометрических функций.

    Напомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений

    Также пригодится таблица значений тригонометрических функций

    1. Разбор примеров.

    С примерами решений простейших тригонометрических
    уравнений можно ознакомиться в следующем видео-уроке: https://www. youtube.com/watch?v=o082MVvD59o

    Рассмотрим примеры решения более сложных тригонометрических уравнений

    155 (1). Решить уравнение

    Сначала нужно привести уравнение к однородному, то есть к такому, в котором только один вид тригонометрической функции. Из основного тригонометрического тождества можно вывести следующую формулу . Подставим ее в уравнение

    Обе части уравнения умножим на -1, получим

    Сделаем замену , получим

    Получили квадратное уравнение, решая его через дискриминант, получим

    Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

    Ответ: и .

    156 (1). Решить уравнение

    Сначала нужно привести уравнение к однородному. Для этого разделим обе части уравнения на , получим

    Используя тригонометрическое свойство , получим

    Сделаем замену, пусть тогда уравнение примет вид

    Используя теорему Виета или формулу дискриминанта, получим следующие корни

    Вернемся к замене. Получаем два простейших тригонометрических уравнения:

    Ответ: и .

    Рассмотрим теперь пример решения системы тригонометрических уравнений.

    Задача. Решить систему уравнений

    Выразим из первого уравнения через

    Подставим во второе уравнение системы

    Воспользовавшись формулой синуса суммы, получим

    Разделим обе части уравнения на

    Чтобы найти вторую переменную подставим найденный в выражение
    :

    Ответ: .

    Задание для самостоятельного решения:

    1. Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
      №155 (пункты 2-4) – всего три примера.

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Вариант 3.

    Вариант 4.

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Вариант 5.

    Вариант 6.

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а)

    б)

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    Практическая работа №4: «Решение логарифмических уравнений и систем».

    Логарифмическое уравнение — это любое уравнение, содержащее в себе Логарифмическую функцию. Помимо указанной функции подобные уравнения могут содержать в себе любые другие алгебраические конструкции — многочлены, корни, тригонометрию и т.д.

    Рассмотрим примеры решения таких уравнений

    98 (5). Решить уравнение

    Как мы знаем логарифмическая функция имеет свою область определения – логарифмируемое выражение должно быть больше нуля. Найдем область определения

    Перейдем к непосредственному решению уравнения. На первом этапе приведем все к одному основанию логарифма. Применяя свойство логарифма можем переписать число 2 следующим образом

    Подставим в уравнение

    Так как основания логарифмов слева и справа одинаковые, то можем приравнять логарифмируемые выражения

    Ответ: 15.

    98 (1). Решить уравнение

    Найдем область определения

    Применяя свойство логарифма разности, получим

    Так как основания логарифмов слева и справа одинаковые, то можем приравнять логарифмируемые выражения

    Ответ: 4.

    Рассмотрим теперь пример решения системы показательных уравнений.

    101 (1). Решить систему уравнений

    Отметим вначале область определения:

    На первом этапе из второго уравнения системы выразим через :

    Подставим в первое уравнение системы:

    Решим данное уравнение по алгоритму предыдущего примера

    Чтобы найти вторую переменную подставим в выражение

    Ответ: (1;10).

    Задание для самостоятельного решения:

    1. Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
      №98 (пункты 2-3), №101 (пункт 4) – всего три примера.

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Вариант 3.

    Вариант 4.

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Вариант 5.

    Вариант 6.

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Решить следующие уравнения:

    а) ;

    б)

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    РАЗДЕЛ 2. Рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства и системы неравенств.

    Практическая работа №1: «Решение рациональных, иррациональных неравенств и систем».

    Рациональные неравенства.

    Рациональное неравенство — это такой вид неравенства в котором левая и правая части рациональные выражения. В записи имеются только сложение, вычитание, умножение, деление, а также возведение в целую степень.

    Рассмотрим примеры решения таких неравенств

    40 (1). Решить неравенство

    Рациональные неравенства такого типа решаются следующем образом. На первом этапе раскрываем скобки (если они имеются) и переносим все неизвестные переменные влево, а числа вправо

    Приведем подобные слагаемые слева и справа, получим

    Разделим все на 4. Так как 4 положительное число, то знак неравенства не меняется. Если же мы будем умножать на число, меньше нуля, то знак неравенства необходимо менять на противоположный В нашем случае получим:

    Ответ: .

    Рассмотрим пример решения системы рациональных неравенств.

    41 (2). Решить систему неравенств

    Вначале будем по отдельности (по такому же принципу, как в предыдущем примере) находить решения каждого из входящих в систему неравенств, получим:

    Отметим оба получившихся решения на одной прямой

    В ответ записываем ту часть числовой прямой где сошлись оба решения вместе.

    Ответ: .

    Иррациональные неравенства.

    Иррациональное неравенство — это такой вид неравенства, содержащее неизвестное под знаком корня. или возведённое в степень, которую нельзя свести к целому числу. 

    Рассмотрим несколько примеров.

    74 (2). Решить неравенство

    Так как в неравенстве присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений.

    Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

    1. Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

    Так как у нас слева корень четной степени, то здесь получается дополнительная область определения

    Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

    Находим корни по теореме Виета

    1. Отмечаем корни, полученные в первом пункте (в нашем случае это 1) на числовой прямой вместе с областью определения неравенства и расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).

    1. Записываем ответ.

    Ответ:

    76 (2). Решить неравенство

    Так как в неравенстве присутствует квадратный корень, то вначале необходимо найти область допустимых значений.

    ОДЗ: .

    Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

    1. Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

    Возведем обе части уравнения в квадрат, получим

    1. Отмечаем корни на числовой прямой вместе с ОДЗ и расставляем знаки на получившихся интервалах

    1. Записываем ответ.

    Ответ:

    Задание для самостоятельного решения:

    Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
    №40 (пункты 2, 3), №41 (пункт 1) – всего три примера.

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-Д 1 вариант, Буквы Е-М – 2 вариант, Буквы Н-Р – 3 вариант, Буквы С-Я – 4 вариант.

    Вариант 1.

    1. Решите неравенство

    2. Решите неравенство

    Вариант 2.

    1. Решите неравенство

    2. Решите неравенство

    Вариант 3.

    1. Решите неравенство

    2. Решите неравенство

    Вариант 4.

    1. Решите неравенство

    2. Решите неравенство

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    Практическая работа №2: «Решение показательных неравенств».

    Показательное неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе показательную функцию, т.е. выражение вида .

    Рассмотрим примеры решения таких неравенств

    96 (2). Решить неравенство

    Для решения такого вида неравенства вначале необходимо и левую и правую часть привести к одному основанию степени. Так как 27 это 3 в кубе, то получим

    Далее необходимо воспользоваться следующим правилом: если основания степени больше 1, то знак неравенства остается неизменным, если же меньше 1, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

    В нашем случае основание – число 3, больше единицы, следовательно можем «отбросить» основания без изменения знака неравенства, получим

    Ответ: .

    96 (6). Решить неравенство

    Так как 8 это 2 в кубе, то получим

    Воспользуемся правилом, так как 2 больше единицы, следовательно можем «отбросить» основания без изменения знака неравенства, получим

    Решим неравенство методом интервалов. Приравняем к нулю:

    По теореме Виета, получаем корни

    Отметим корни на числовой прямой и расставим знаки

    Ответ: .

    97 (2). Решить неравенство

    Для начала преобразуем неравенство, используя следующие 3 свойства: , получим

    Переходим к решению неравенства. Будем решать его методом интервалов. Для этого выполняем следующее:

    1. Вместо знака неравенства запишем знак равенства и решим полученное уравнение

    Сделаем замену . Получим

    Находим корни по теореме Виета

    Возвращаясь к замене, получим

    1. Отмечаем корни, полученные в первом пункте (в нашем случае это 1) на числовой прямой и расставляем знаки на полученных промежутков (проверяем выполнение на промежутке неравенства, если неравенство выполнено ставим плюс, если нет – минус).

    1. Записываем ответ.

    Ответ:

    Задание для самостоятельного решения:

    Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
    №96 (пункты 2-4), №97 (пункт 4) – всего 4 примера.

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

    Решить неравенство

    Решить неравенство

    Вариант 3.

    Вариант 4.

    Решить неравенство

    Решить неравенство

    Вариант 5.

    Вариант 6.

    Решить неравенство

    Решить неравенство

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    Практическая работа №3: «Решение тригонометрических неравенств».

    Решение простейших тригонометрических неравенств.

    Для решения простейших тригонометрических неравенств нам вначале необходимо решить соответствующее уравнение, а затем, используя тригонометрическую окружность, найти решение неравенства. Рассмотрим решения простейших тригонометрических неравенств на примерах.

    Пример 1:

    Найдем решение тригонометрического неравенства

    Отметим решение на тригонометрической окружности

    Так как неравенство имеет знак «больше или равно», то решение лежит на верхней дуге окружности (относительно решения уравнения).

    Ответ: .

    Пример 2:

    Найдем решение тригонометрического неравенства

    Отметим решение на тригонометрической окружности

    Так как неравенство имеет знак «меньше», то решение лежит на дуге окружности, расположенной слева (относительно решения уравнения).

    Ответ: .

    Пример 3:

    Найдем решение тригонометрического неравенства

    Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса

    Отметим решение на тригонометрической окружности

    Так как неравенство имеет знак «меньше или равно», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 3.

    Ответ:

    Пример 4:

    Найдем решение тригонометрического неравенства

    Здесь также нам понадобится область определения. Как мы помним у функции тангенса

    Отметим решение на тригонометрической окружности

    Так как неравенство имеет знак «больше», то решение лежит на дугах окружности, отмеченных синим на рисунке 4.

    Ответ:

    Задание для самостоятельного решения:

    Решаем из сборника задач Богомолова №152 – всего 4 примера.

    Практическая работа №4: «Решение логарифмических неравенств»,

    Логарифмическое неравенство — это любое неравенство, содержащее в себе логарифмическую функцию.

    Рассмотрим примеры решения таких неравенств

    103 (4). Решить неравенство

    Как мы знаем логарифмическая функция имеет свою область определения – логарифмируемое выражение должно быть больше нуля. Найдем область определения

    Разделим на -5. Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный

    Переходим к непосредственному решению неравенства. Для решения такого вида неравенства вначале необходимо и левую и правую часть привести к одному основанию логарифма. Число -2 можем представить через логарифм по основанию следующим образом

    Подставим

    Далее необходимо воспользоваться следующим правилом: если основания логарифма больше 1, то знак неравенства остается неизменным, если же меньше 1, то знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

    В нашем случае основание – число , меньше единицы, следовательно можем «отбросить» основания, но при этом изменив знак неравенства на противоположный, получим

    Разделим на -5. Так как делим на отрицательное число, то знак неравенства нужно изменить на противоположный

    С учетом ОДЗ, Ответ: .

    Пример 2: Решить неравенство

    Вначале найдем область определения:

    Единицу можем представить следующим образом

    Подставим

    Применяя свойство суммы логарифмов, получим

    Так как основание логарифма 3 больше 1, то знак неравенства не меняем

    С учетом ОДЗ, Ответ: .

    Задание для самостоятельного решения:

    Решаем из сборника задач Богомолова следующие номера:
    103 (пункты 2-3), №104 (пункт 1) – всего 3 примера.

    Задание по вариантам:

    Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

    Решить неравенства:

    а) ;

    б)

    Решить неравенства:

    а) ;

    б)

    Вариант 3.

    Вариант 4.

    Решить неравенства:

    а) ;

    б)

    Решить неравенства:

    а) ;

    б)

    Вариант 5.

    Вариант 6.

    Решить неравенства:

    а) ;

    б)

    Решить неравенства:

    а) ;

    б)

    Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

    РАЗДЕЛ 3. Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств и систем с одной и двумя переменными.

    Практическая работа №1: «Решение уравнений графическим методом»

    Графический метод решения уравнений заключатся в следующем:

    1. Приводим уравнение к такому виду, чтобы справа и слева были простейшие функции;

    2. Строим эти две функции на одном графике;

    3. Переменная по оси абсцисс точек пересечения графиков и есть решение уравнения.

    Рассмотрим несколько примеров.

    Пример №1. Решить графически следующее уравнение

    Здесь мы сразу видим, какие две функции нам надо построить:

    1. — показательная функция. Точки для построения

      прямая, достаточно две точки
      Построим обе функции на одном графике

      Видим, что графики пересекаются в точке

      Ответ: .

      Пример №2. Решить графически уравнение

      Преобразуем для начала наше уравнение. Так как мы знаем график квадратичной функции , то слева оставим , а остальное перенесем вправо

      Теперь видим, какие две функции нам надо построить:

      1. — парабола. Точки для построения

        прямая, достаточно две точки
        Построим обе функции на одном графике

        Видим, что графики пересекаются в точке .

        Ответ: .

        Задание по вариантам:

        Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

        Решить графически уравнения:

        а)

        б)

        Решить графически уравнения

        а)

        б)

        Вариант 3.

        Вариант 4.

        Решить графически уравнения

        а)

        б)

        Решить графически уравнения

        а)

        б)

        Вариант 5.

        Вариант 6.

        Решить графически уравнения

        а)

        б)

        Решить графически уравнения

        а)

        б)

        Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

        Практическая работа №2: «Решение неравенств и систем неравенств с двумя переменными»

        Линейные неравенства с двумя переменными.

        Определение 1: Неравенства вида или , где – неизвестные переменные, а – некоторые числа, причем отличны от нуля называются линейными неравенствами с двумя переменными.

        Пример : – линейное неравенство с двумя переменными.

        Определение 2: Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

        Свойства линейных неравенств с двумя переменными:

        1. К неравенству можно прибавлять с обоих сторон и вычитать из обоих сторон одно и тоже число.

        2. Неравенство можно умножать и делить с обоих сторон на одно и тоже, отличное от нуля, число, причем при умножении (делении на положительное число уравнение не меняет знак, а при умножение (деление) на отрицательное число меняет знак на противоположный.

        Определение 3: Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

        Задача 1: Решить неравенство

        Решение.

        Выражаем через :

        Изобразим график уравнения – прямая, достаточно две точки:

        Так как последнее неравенство имеет знак «больше», получим решение, изображенное на рисунке ниже (серым цветом). Заметим, что прямая не входит в решение, так как в неравенстве не присутствует знак равенства.

        Задача 2: Решить неравенство

        Решение.

        Выражаем через :

        Изобразим график уравнения прямая, достаточно две точки

        Так как последнее неравенство имеет знак «больше или равно», получим решение, изображенное на рисунке (серым цветом). Заметим, что прямая входит в решение, так как в неравенстве присутствует знак равенства.

        Системы линейных неравенств с двумя переменными.

        Определение 4: Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

        Определение 5: Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

        Решением системы неравенств является пересечение графических решений каждого неравенства по отдельности.

        Задача 3: Решить систему неравенств

        Решение.

        Решим для начала оба неравенства отдельно также, как в задачах 1 и 2.

        Красным цветом – решение первого неравенства , зеленым – решение второго неравенства .

        Там, где сошлись вместе оба решения (сошлись красные и зеленые штриховки), та область и является решением всей системы неравенств

        Задача 4: Решить систему неравенств

        Решение.

        Решим для начала два этих неравенства по отдельности

        – окружность с центром в точке и радиусом 2. Изобразим график неравенства. Так как знак больше, то это область за пределами окружности (оранжевая)

        – окружность с центром в точке и радиусом 3. Изобразим график неравенства. Так как знак меньше, то это область внутри окружности (желтая)

        1. Нанесем оба решения на один рисунок, там где оба решения сошлись, та область и является решением нашей системы:

        Задание по вариантам:

        Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

        изобразить решение неравенства:
        1. изобразить решение системы неравенств:

        а)

        б)

        1. изобразить решение неравенства:

        1. изобразить решение системы неравенств:

        а)

        б)

        Вариант 3.

        Вариант 4.

        1. изобразить решение неравенства:

        1. изобразить решение системы неравенств:

        а)

        б)

        1. изобразить решение неравенства:

        1. изобразить решение системы неравенств:

        а)

        б)

        Вариант 5.

        Вариант 6.

        1. изобразить решение неравенства:

        1. изобразить решение системы неравенств:

        а)

        б)

        1. изобразить решение неравенства:

        1. изобразить решение системы неравенств:

        а)

        б)

        Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

        ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА: «Уравнения и неравенства»

        Примечание: Вариант выбирается по первой букве вашей фамилии следующим образом: Буквы А-В — 1 вариант, Буквы Г-Ж – 2 вариант, Буквы З-Л – 3 вариант, Буквы М-О – 4 вариант, Буквы П-С – 5 вариант, Буквы Т-Я – 6 вариант

        Решить линейное неравенство
        1. Решить иррациональное уравнение

        1. Решить показательное неравенство

        1. Решить логарифмическое уравнение

        1. Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

        1. Решить линейное неравенство

        1. Решить иррациональное уравнение

        1. Решить показательное неравенство

        1. Решить логарифмическое уравнение

        1. Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

        Вариант 3.

        Вариант 4.

        1. Решить линейное неравенство

        1. Решить иррациональное уравнение

        1. Решить показательное неравенство

        1. Решить логарифмическое уравнение

        1. Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

        1. Решить линейное неравенство

        1. Решить иррациональное уравнение

        1. Решить показательное неравенство

        1. Решить логарифмическое уравнение

        1. Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

        Вариант 5.

        Вариант 6.

        1. Решить линейное неравенство

        1. Решить иррациональное уравнение

        1. Решить показательное неравенство

        1. Решить логарифмическое уравнение

        1. Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

        1. Решить линейное неравенство

        1. Решить иррациональное уравнение

        1. Решить показательное неравенство

        1. Решить логарифмическое уравнение

        1. Изобразить на плоскости решение системы неравенств с двумя переменными

        Система оценивания (5-ти бальная): за каждый правильно решенный пример получаем 1 предварительный балл. Всего можно получить 13 баллов. Таблица перевода баллов в оценку:

        СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

        1. Богомолов Н.В. /Математика: учебник для прикладного бакалавриата / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5-е изд. перераб. и доп. -М.: Издательство Юрайт, 2016. — 396с. – Серия: Бакалавр. Прикладной курс.

        2. Богомолов, Н.В./ Практические занятия по математике: учеб. пособие для СПО / Н.В. Богомолов. — 1-е изд. перераб. и доп, — М: Издательство Юрайт, 2016. — 495с. Серия:Профессиональное образование.

        3. Григорьев С.Г. /Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования. / Григорьев С.Г. под ред. В.А.Гусева.- 11-е изд., стер.- М.: Издательский центр “Академия”, 2014. – 416 с.

        4. Алимов, Ш.А. / Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Ш.А.Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачеваи др. — 3-е изд. – М. Просвещение, 2016. – 463 с.

        5. Колмогоров А.Н./ Алгебра и начала математического анализа 10-11классы: учеб пособие для общеобразоват.организаций /Колмогоров А.Н., А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др. под ред. А.Н.Колмогорова.-26-е изд. – М.: Просвещение, 2018. – 384 с.

    Некоторые нестандартные способы решения уравнений и неравенств

    ЕГЭ по профильной математике включает решение уравнений и неравенств. Они встречаются во второй части, требующей развернутого ответа. На уроках школьников учат классическим приемам выполнения заданий, однако существует достаточно много нестандартных. Разбираем некоторые, учимся выполнять примеры. 

    Рационализация

    Суть: с помощью некоторых преобразований пример приводится к рациональному виду. Возможно, данный способ рассказывали учителя: в последние годы он становится более популярным. Для решения уравнений и неравенств используются так называемые формулы рационализации: 

    Алгоритм выполнения задания: 

    1. Ищем область допустимых значений.
    2. Приводим выражение к стандартному виду.
    3. Упрощаем с помощью формул рационализации.
    4. Решаем полученное после упрощения.
    5. Записываем ответ. 

    Разберем метод на примере. 

    Задание: logx(2-x)4<8

    Сначала определяем область допустимых значений. Получаем: х > 0, х ≠ 1, х ≠ 2.

    Запишем правую часть в виде логарифма с основанием x, перенесем его в левую часть:

    logx(2-x)4-8logxx<0

    Применяем формулу 1 из таблицы, получаем:

    (x-1)(2-x-x)<0

    Имеем: 

    x>0 и 2-x-x=(a-b)(a+b)

    Упрощаем снова, используя формулу 9 из таблицы: 

    (x-1)(2-x-x)(2-x+x)<0

    (x-1)(2-2x)2<0

    (x-1)(4-4x)<0

    Делим выражение на два отдельных, решаем каждое. 

    x-1<0

    x<1

    4-4x<0

    x>1

    Строим числовую прямую с тремя точками: 0, 1, 2 (не забываем: точки из ОДЗ включаются). Расставляем знаки. Находим интервалы, в которых: x < 0.

    Ответ: x ∈ (0;1)∪(1;2)∪(2;+∞)

    Учет ОДЗ

    Этот метод решения уравнений и неравенств позволяет значительно сэкономить время на экзамене, а часто — еще и избавиться от громоздких выражений. Он показывает, имеются ли у примера корни. Иногда получается найти ответ, подставляя числа из области допустимых значений. Алгоритм очень простой: 

    Находим область допустимых значений.

    Подставляем число из области допустимых значений в выражение. Этим проверяем, является ли оно корнем.

    Записываем ответ.

    Решим простую задачу. 

    Задание: 3-x=log5(x-3)

    Ищем область допустимых значений. 

    3-x>0

    x<3

    x-3>0

    x>3

    Получается, что «x» принадлежит пустому множеству. Корней нет. 

    Ответ: нет корней. 

    Другие методы

    На самом деле, нестандартных методов решения уравнений и неравенств очень много. Внимания заслуживают: 

    • прием мажорантов. Основан на том, что многие функции ограничены. Найдя точку ограниченности, можно упростить выполнение задания;
    • использование монотонности функции. Функцию, лежащую в основе примера, проверяют на монотонность. По ее «характеру» определяют, сколько корней у уравнения;
    • использование графиков. Выражение визуализируют. Используют точки пересечения, находят корни графически;
    • угадывание корня. В некоторых примерах о корне можно догадаться, внимательно изучив внешний вид выражения. 

    Теперь вы знаете несколько методов решения уравнений и неравенств. Используйте информацию, чтобы быстрее выполнять задания на итоговом экзамене. Хотите разобрать и другие номера? Записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ «Уникум» при Российском университете дружбы народов. Вы сможете продуктивно учиться в мини-группах (или обычных, зависит от желания) в ведущем российском вузе. Очные занятия в университете сразу «погрузят» вас в студенческую атмосферу, а онлайн-занятия позволят подготавливаться самостоятельно из дома. Мы уверены, вы сможете подобрать для себя удобный формат обучения. 

    Лекция по математике на тему:»Равносильность уравнений, неравенств, систем»

    Лекция

     

    Тема: Равносильность уравнений, неравенств, систем

    Количество часов: 2 часа

    Цель: расширение понятийной базы по теме «Уравнения, неравенства, системы» за счет включения в нее новых элементов; систематизация учебного материала и выявление логики

     

    План:

    1.       Понятие о равносильности уравнений и неравенств.

    2.       Понятие о равносильности систем уравнений.

     

    Вопрос 1. Понятие о равносильности уравнений и неравенств.

     

    Определение. Равенство с переменной называется уравнением.

    В общем виде уравнение понимается как аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны.

    Общий вид уравнения с одной переменной х

    f(x) = g(x)

    Корнем (или решением) уравнения называется значение переменной, превращающее уравнение в верное числовое равенство.

    Определение. Если два выражения с переменной соединить одним из знаков: > (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно), то получим неравенство с переменной.

    Общий вид неравенства с одной переменной х (например, для случая «больше»):

    f(x) >g(x)

    Решением неравенства называется значение переменной, превращающее это неравенство в верное числовое неравенство.

    Таким образом, решить уравнение (неравенство) – значит найти все его корни (решения) или показать, что их нет.

    Определение. Областью допустимых значений (ОДЗ, или областью определения) уравнения или неравенства называется общая область определения для функций f(x) иg(x), стоящих в левой и правой частях уравнения или неравенства.

    Определение. Два уравнения (неравенства) называются равносильными (или эквивалентными) на некотором множестве (обычно на ОДЗ исходного уравнения или неравенства), если на этом множестве они имеют одни и те же решения, т.е. каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и, наоборот, каждое решение второго – является решением первого.

     

     

     

    Некоторые теоремы о равносильности

     

    Уравнения

    Неравенства

    1. Если из одной части уравнения (или неравенства) перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение (или неравенство), равносильное заданному (на любом множестве)

    2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, имеющую смысл и не равную нулю на ОДЗ исходного уравнения), то получим уравнение, равносильное исходному (на ОДЗ исходного)

    2а. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, имеющую смысл и положительную на ОДЗ исходного неравенства), то получим неравенство, равносильное исходному (на ОДЗ исходного)

    2б. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, имеющую смысл и отрицательную на ОДЗ исходного неравенства) и, кроме того, поменять знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное исходному (на ОДЗ исходного)

    3. Если от обеих частей уравнения f(x) = g(x)взять возрастающую (или убывающую) функцию  и при этом не происходит сужения ОДЗ исходного уравнения, то полученное уравнение  будет равносильно исходному (на ОДЗ исходного).

    3а. Если от обеих частей неравенства f(x) >g(x)взять возрастающую функцию (сохранив знак неравенства) и при этом не происходит сужения ОДЗ исходного неравенства, то полученное неравенство   будет равносильно исходному (на ОДЗ исходного).

    3а. Если от обеих частей неравенства f(x) <g(x)взять убывающую функцию  , поменяв знак неравенства на противоположный, и при этом не происходит сужения ОДЗ исходного неравенства, то полученное неравенство  будет равносильно исходному (на ОДЗ исходного).

     

     

     

    Вопрос 2. Понятие о равносильности систем уравнений.

     

    Если ставится задача найти все общие решения двух (или больше) уравнений или неравенств с одной или несколькими переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений или неравенств.

    Определение. Решением системы называется такое значение переменной или такой упорядоченный набор значений переменных (если переменных несколько), которые удовлетворяют сразу всем уравнениям (неравенствам) системы, т.е. решением системы двух или больше уравнений (или неравенств) с n неизвестными называется такое упорядоченное множество из n чисел, при подстановке которых в систему вместо неизвестных все уравнения (или неравенства) превращаются в верные числовые равенства (или неравенства).

    Решить систему уравнений или неравенств – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

    Если система не имеет решения, то ее называют несовместной.

     

    Определение. Две системы уравнений (или неравенств) называются равносильными на некотором множестве, если они на этом множестве имеют одинаковые решения, т.е. каждое решение первой системы на этом множестве является решением второй и обратно, каждое решение второй является решением первой.

    Как и для уравнений, все равносильные преобразования систем выполняются на ОДЗ исходной системы.

    ОДЗ (областью допустимых значений) системы называется общая область определения для всех функций, которые входят в запись этой системы.

    Основные утверждения о равносильности систем

    (свойства равносильности систем)

    1.     Если изменить порядок уравнений (или неравенств) заданной системы, то получим систему, равносильную заданной.

    2.      Если одно из уравнений (или неравенств) системы заменить на равносильное ему уравнение (или неравенство), то получим систему, равносильную заданной.

    3.     Если первое уравнение некоторой системы, например , равносильно совокупности, состоящей из k уравнений то заданная система равносильна совокупности kсистем

     или   или …

          (аналогично для систем неравенств).

    4.     Если в системе уравнений из одного уравнения выразить одну переменную, например х через другие и полученное выражение подставить вместо х во все остальные уравнения системы, то получим систем, равносильную заданной.

    5.     Если первое уравнение системы заменить суммой первого уравнения, умноженного на число , и второго уравнения, умноженного на число  (а все остальные уравнения оставить без изменения), то получим систему, равносильную заданной.

     

    Вопросы для самопроверки:

    1.     Дайте понятие уравнению (неравенству).

    2.     Какие уравнения (неравенства) называются равносильными?

    3.      Что означает понятие «система несовместна»?

    4.     Когда две системы уравнений (неравенств) считаются равносильными?

     

    Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

    1.        Башмаков М.И., Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –7-е изд., стер. – М с.: Издательский центр «Академия», 2020. – 256с.

    2.        Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни  – М.: Просвещение, 2018. – 431 с.: ил.


    Неравенства и уравнения абсолютного значения

    PDF

    НЕРАВЕНСТВА И АБСОЛЮТНЫЕ УРАВНЕНИЯ


    Обзор модуля
    Неравенство — это математическое выражение, которое сравнивает алгебраические выражения с использованием больше (>), меньше (<) и других символов неравенства. Составное неравенство — это пара неравенств, соединенных числами и , или , или .В этом модуле свойства неравенств будут использоваться для решения линейных неравенств и составных неравенств с одной переменной. Модуль завершается изучением уравнений и неравенств с абсолютной величиной.

    Введение в решение неравенств         

    Неравенство — математическое утверждение, которое сравнивает алгебраические величины

    *Решение неравенств аналогично решению уравнений, используйте противоположные операции, чтобы изолировать переменную.

    (02:27)

      Решение неравенств: две операции (01:25) 


    Вы можете представить решение неравенства с одной переменной на числовой прямой.

    Для < и > незакрашенный кружок используется для обозначения того, что номер решения не включен в решение .

    Для и закрытый кружок используется для обозначения того, что номер решения — это , включенный в решение.

    Составные неравенства

    составные неравенства: пара неравенств, соединенных «и» или «или».

    Чтобы решить составное неравенство, объединенное с « и », найдите значения переменной, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

    * « и » означает пересечение решений


    Чтобы решить составное неравенство, соединенное с « или », найдите значения переменной, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству.
     « или » означает объединение решений


    Решение сложных неравенств (02:25) 

     

    Стоп!   Перейдите к вопросам № 1–13 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.

    Решение уравнений и неравенств с абсолютными значениями

    абсолютное значение — расстояние от нуля (всегда положительное).

    *Две полосы вокруг числа обозначают абсолютное значение.

                              = 5         = 6

    Почему уравнения абсолютного значения имеют два решения?

    В простом уравнении абсолютного значения, таком как | х | = 5, давайте посмотрим, какие два значения x делают выражение верным?

                Поскольку | 5 | = 5, то х = 5.
    Кроме того, поскольку |–5 | = 5, то х = –5.

    Следовательно, решение | х | = 5 равно х = 5 или х = –5.

    Давайте расширим понимание уравнения абсолютного значения.

    Давайте подумаем над следующим вопросом:  В уравнении абсолютного значения |3 x + 4| = 19, какими двумя значениями может быть 3 x + 4 и почему?


    Значение 3 x + 4  в |3 x + 4| = 19 может быть 19, потому что почему?

    Абсолютное значение |19| = 19, поэтому 3 x + 4 может равняться 19.

    «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

    Значение 3 x + 4  в |3 x + 4| = 19 может быть –19, потому что почему?

    Абсолютное значение |19| = 19, поэтому 3 x + 4 может равняться 19.

    «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.

    Какие два уравнения можно написать, чтобы найти значения x , которые решают |3 x + 4| = 19?

    3 x + 4 = 19 ИЛИ 3 x + 4 = 19

    «Нажмите здесь», чтобы проверить ответ.


    Выполните следующие шаги, чтобы решить уравнения с абсолютными значениями, но помните, почему эти шаги работают, помня объяснение выше.

        1.)  Перепишите уравнение без обозначения абсолютного значения.
    2.) Перепишите второй раз, используя противоположное тому, чему было равно исходное уравнение, и соедините его словом « или ».
    3.) Решите оба уравнения и проверьте оба ответа в исходном уравнении.


    постороннее решение : Постороннее решение — это решение, которое не удовлетворяет исходному уравнению.

    Поскольку –11/4 не удовлетворяет исходному уравнению, –11/4 является посторонним решением.

    *Важно проверить все решения в исходном уравнении, чтобы определить, не являются ли они посторонними.

    Следовательно, решение x = –3/2.

    абсолютное неравенство — неравенство, содержащее абсолютное значение.

    Для решения абсолютных неравенств:

    1.) Перепишите неравенство без обозначения модуля.
    2.) Перепишите еще раз, поменяйте знак неравенства и используйте противоположности.
    3.) Решите оба неравенства и проверьте оба ответа в исходном неравенстве.
    4.) Если неравенство а < или , соедините словом «и».
    5.) Если неравенство > или , соедините словом «или».

    Стоп!   Перейдите к вопросам № 14–33, чтобы завершить этот модуль.

    2: Уравнения и неравенства — Математика LibreTexts

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
    1. Авторы

    Напомним, что функция — это отношение, которое присваивает каждому элементу домена ровно один элемент диапазона.Линейные функции — это особый тип функций, которые можно использовать для моделирования многих реальных приложений, таких как рост растений во времени. В этой главе мы рассмотрим линейные функции, их графики и то, как связать их с данными.

    • 2.1: Прелюдия к уравнениям и неравенствам
      Основы уравнений имеют решающее значение для многих аспектов современной жизни.
    • 2. 2: Прямоугольные системы координат и графики
      Декарт ввел компоненты, которые составляют декартову систему координат, сетку с перпендикулярными осями.Декарт назвал горизонтальную ось осью \(x\), а вертикальную ось — осью \(y\). Эта система, также называемая прямоугольной системой координат, основана на двумерной плоскости, состоящей из осей \(х\) и \(у\). Перпендикулярные друг другу оси делят плоскость на четыре части. Каждый раздел называется квадрантом.
    • 2.3: Линейные уравнения с одной переменной
      Линейное уравнение представляет собой уравнение прямой линии, записанное с одной переменной.Единственная степень переменной равна 1. Линейные уравнения с одной переменной могут иметь вид ax+b=0ax+b=0 и решаются с использованием основных алгебраических операций.
    • 2.4: Модели и приложения
      Линейное уравнение можно использовать для решения задачи с неизвестным числом. Приложения могут быть написаны как математические задачи путем определения известных величин и присвоения переменной неизвестным величинам. Известно много формул, которые можно использовать для решения приложений.Задачи на расстояние решаются по формуле \(d = rt\). Многие геометрические задачи решаются с помощью формулы периметра \(P =2L+2W\), формулы площади \(A =LW\) или формулы объема \(V =LWH\).
    • 2.5: Комплексные числа
      Квадратный корень любого отрицательного числа может быть записан как кратное i. Чтобы построить комплексное число, мы используем две числовые линии, которые пересекаются, образуя комплексную плоскость. Горизонтальная ось — это реальная ось, а вертикальная ось — воображаемая ось.Комплексные числа можно складывать и вычитать, комбинируя действительные части и комбинируя мнимые части. Комплексные числа можно умножать и делить.
    • 2.6: Квадратные уравнения
      Многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью разложения на множители, если уравнение имеет старший коэффициент 1 или уравнение представляет собой разность квадратов. Затем свойство нулевого фактора используется для поиска решений. Многие квадратные уравнения со старшим коэффициентом, отличным от 1, можно решить с помощью факторизации с использованием метода группировки.Другой метод решения квадратичных уравнений — это свойство квадратного корня. Переменная возводится в квадрат. Мы выделяем квадрат члена и берем квадратный корень из обеих частей уравнения.
    • 2.7: Другие типы уравнений
      Рациональные показатели можно переписать несколькими способами в зависимости от того, что наиболее удобно для задачи. Чтобы решить, обе части уравнения возводятся в степень, которая сделает показатель степени переменной равным 1. Факторинг распространяется на многочлены более высокого порядка, когда он включает факторизацию GCF или факторинг путем группировки.Мы можем решать радикальные уравнения, выделяя радикал и возводя обе части уравнения в степень, соответствующую индексу.
    • 2. 8: Линейные неравенства и абсолютные неравенства
      В этом разделе мы рассмотрим различные способы выражения различных наборов чисел, неравенств и абсолютных неравенств.

    Уравнения / Неравенства — GRE Math

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects. org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

     

    Решение уравнений и неравенств — обзор алгебры (видео)

    Привет! Добро пожаловать в это видео Mometrix об уравнениях и неравенствах. В этом видео мы поговорим об их сходствах и различиях, о том, что они означают, и мы разберем, чтобы это было легко понять, иногда сбивающие с толку знаки неравенства.

    Итак, давайте начнем с основного вопроса: что такое уравнение?

    Вот очень простой способ придумать уравнение. Уравнение имеет знак «равно», например:

    2 + 2 = 4

    Когда вы видите знак равенства, вы знаете, что математическая задача — это уравнение. Это говорит о том, что две или более вещи равны. Эти «вещи» могут быть простыми или сложными. Вот пример простого уравнения:

    10 + 2 = 6 + 6

    Как видите, ответ по обе стороны от знака равенства равен 12.Уравнение говорит, что сумма чисел в левой части (10+2) равна сумме чисел в правой части (6+6).

    Уравнения могут быть сложными, но в их основе обе стороны знака равенства остаются верными. Давайте разберем это более сложное уравнение, взяв за основу этот пример.

    5 x 2 ÷ 2 + 10 + 2 = 5 x 2 ÷ 2 + 6 + 6

    Ответ для обеих частей уравнения равен 17. Давайте разберем его.

    5 х 2 = 10, разделить на 2 равно 5. 5 плюс 10 плюс 2 равно 17.

    А с другой стороны:

    5 x 2 = 10, разделить на 2 = 5.

    Тогда 5 + 6 + 6 также равно 17.

    Это простой взгляд на уравнения. Давайте рассмотрим некоторые ключевые термины, касающиеся алгебраических уравнений:

    Алгебраическое выражение — это задача, которую вы пытаетесь решить. X + 7 = 14 — простое алгебраическое выражение. Эти выражения содержат числа, переменные и арифметические операции, которые могут быть такими простыми, как сложение или вычитание, или такими сложными, как умножение квадратного корня.

    Термин представляет собой по крайней мере одно число или переменную, умноженные вместе, хотя термины могут иметь более одного числа переменных. Например, 2 x — 4 x = 20. «2» и «4» — это числа, а «X» — это переменная.

    Коэффициенты умножают переменные. Итак, давайте посмотрим на 6x, что означает 6-кратное увеличение переменной «x». Следовательно, число 6 является коэффициентом.

    Константы — это числа, значения которых не изменяются. Значения фиксированы. Давайте посмотрим на n + 5 = 9. Значения «5» и «9» не меняются, так что это константы.Константы также могут быть переменными, заменяющими фиксированные числа.

    Подобные Термины имеют одинаковые переменные и показатели степени. Итак, 5xy, 6xy и 9xy подобны терминам, потому что все они содержат «xy».

    Показатель степени — это упрощенный метод умножения. «3» в x³ — показатель степени. Гораздо проще написать и прочитать это m³ + y³ + n², чем написать и прочитать это:

    m x m x m + y x y x y + n x n.

    Неравенства также играют большую роль в алгебре. В то время как уравнения означают, что две вещи равны, неравенства (как вы могли догадаться) показывают, что вещи не равны.Вот 5 знаков неравенства:

    Больше: >

    Больше или равно: ≥

    Меньше: 9 и 6 ≠ 5. Алгебраически выражаясь, вы можете увидеть:

    x > n + 17

    Уравнения и неравенства в чем-то похожи, но в чем-то сильно различаются. Начнем с сходства. Вы можете умножать и делить числа в неравенствах почти так же, как и при работе с уравнениями. Вот простой пример:

    9x + 10 > 3x + 4

    Уравнения верны.Другими словами, значение после знака равенства является абсолютным. Нет никаких сомнений в том, что 10 + 10 = 20. С неравенствами существует больше возможных результатов, поскольку существует бесконечное количество возможностей для чисел, которые меньше или больше.

    Отрицательные числа работают иначе. Здесь все становится немного сложнее. Каждый раз, когда вы используете отрицательное число для умножения или деления неравенства, вы должны «перевернуть» знак неравенства, чтобы уравнение оставалось верным.
    Например:

    4 > 3.

    Четыре больше трех. Мы знаем, что это правда. Итак, давайте немного расширим обе стороны:

    3 x 4 > 3 x 3.

    В этом случае 12 больше 9. Опять же, это правда.

    Но если мы умножим отрицательные числа, все немного изменится.

    Давайте умножим обе части нашего уравнения на – 3: – 3 x 4 > -3 x 3. Ответ станет -12 > – 9.

    Но это неправильно. Мы знаем, что минус 12 не больше минус 9.

    Вот почему вы должны обратить неравенство. Если вы этого не сделаете, проблема не будет реальной. Таким образом, обращение неравенства дает -12

    Kahoot! стенды с Украиной

    Украинские педагоги и учащиеся нуждаются в нашей поддержке

    Мы глубоко обеспокоены насилием и гибелью людей в результате российского вторжения в Украину. Мы поддерживаем народ Украины и надеемся на скорейшее и мирное окончание нынешнего кризиса.

    Кахут! получил ряд запросов от школ и педагогов Украины с просьбой о помощи в продолжении обучения, несмотря на войну. Мы поддержали каждую из них, и теперь мы предлагаем Kahoot! Решения EDU бесплатно как для K-12, так и для высших учебных заведений в течение одного года для нуждающихся украинских школ. Кроме того, мы оперативно переводим и локализуем Kahoot! платформа на украинский язык.

    Приостановка коммерческих услуг и продаж в России

    Наше коммерческое присутствие на российском рынке очень ограничено.У нас нет офисов или представительств в стране, а также у нас нет там физических операций или служб передачи данных. Подавляющее большинство наших пользователей в России — это преподаватели и студенты, пользующиеся нашим бесплатным сервисом.

    Кахут! соблюдает режим международных санкций и не разрешает продажи физическим или юридическим лицам, находящимся под санкциями в России. Вскоре после вторжения России в Украину Kahoot! инициировал процесс приостановки предоставления всех коммерческих услуг в России. Это включает, помимо прочего, онлайн-продажи, продажи с помощью, продажи в магазинах приложений и запрет продаж российским корпорациям и организациям.

    Безопасное и надежное использование Kahoot! платформа

    В рамках нашей миссии сделать обучение потрясающим и поскольку образование остается одним из основных прав человека, мы предлагаем учителям, учащимся и частным пользователям бесплатный доступ к нашей платформе. Мы делаем это более чем в 200 странах и регионах по духу, аналогичному общедоступным службам, таким как Википедия.

    Точно так же инклюзивность является одной из главных ценностей Kahoot!. Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы когда и где это возможно, предлагать детям, школам и другим людям возможность использовать цифровые инструменты для результативного образования и обучения, независимо от их происхождения или местонахождения.Это было нашим руководящим принципом и при предложении наших услуг в России.

    Одним из наших первых ответов на кризис было быстрое расширение контроля нашей глобальной команды модераторов над всем контентом, связанным с Россией, для защиты целостности платформы.

    Однако, поскольку ситуация продолжает обостряться, жизненно важно, чтобы мы могли гарантировать, что наша платформа используется в соответствии с нашими собственными правилами и стандартами. Поэтому, помимо приостановки продаж, мы предпримем все возможные и необходимые шаги, чтобы приостановить доступ к Kahoot! услуги в России, за возможным исключением режима самообучения, в котором будет представлен только контент, проверенный Kahoot!.

    Это позволит учащимся, школьникам и другим пользователям безопасно и ответственно продолжать свое обучение. Мы будем продолжать оценивать способы безопасного и ответственного предложения наших услуг для поддержки всех учащихся и преподавателей, в том числе находящихся в России.

    Поддержка наших сотрудников

    В Kahoot! мы не просто команда по названию, мы команда на деле. Таким образом, мы стремимся к благополучию наших сотрудников, особенно тех, кто связан с Украиной, или тех, кто иным образом особенно пострадал от войны.Мы оказываем этим коллегам всю возможную поддержку.

    Принимая во внимание текущую ситуацию, Kahoot! Группа сделала пожертвование на экстренную помощь организации «Спасти детей» и Норвежскому совету по делам беженцев. Это вклад в поддержку жизненно важной помощи и защиты невинных украинских детей, семей и беженцев.

    Поскольку ситуация в Украине продолжает развиваться, наши команды по всей компании активно следят за кризисом, чтобы мы могли реагировать самым ответственным и поддерживающим образом.

    Наши сердца обращены к народу Украины, его близким и всем, кого затронул этот кризис.

     

    Как уравнения и неравенства используются в реальном мире? – М.В.Организинг

    Как уравнения и неравенства используются в реальном мире?

    Неравенство, возможно, используется в «реальной жизни» чаще, чем равенство. Предприятия используют неравенство для управления запасами, планирования производственных линий, создания моделей ценообразования, а также для отгрузки/складирования товаров и материалов.Посмотрите линейное программирование или симплекс-метод.

    Какие примеры реальных неравенств используются в математике?

    Ситуация Математическое неравенство
    Ограничение скорости Разрешенная скорость на шоссе ≤ 65 миль в час
    Кредитная карта Ежемесячный платеж ≥ 10% вашего баланса в этом платежном цикле
    Обмен текстовыми сообщениями Допустимое количество текстовых сообщений в месяц ≤ 250
    Время в пути Время, необходимое для ходьбы от дома до школы ≥ 18 минут

    Чем решение системы уравнений алгебраически похоже на решение системы с помощью графика?

    Решением такой системы является упорядоченная пара, являющаяся решением обоих уравнений. Чтобы решить систему линейных уравнений графически, мы изобразим оба уравнения в одной и той же системе координат. Решение системы будет находиться в точке пересечения двух прямых.

    Как можно решить системы линейных уравнений с двумя переменными алгебраическими методами?

    Алгебраические методы решения систем

    1. Использовать метод подстановки. Решить систему уравнений методом подстановки.
    2. Используйте метод исключения без умножения.Решите систему уравнений, когда для исключения переменной не требуется умножение.
    3. Используйте метод исключения с умножением.

    Какие есть примеры уравнений из реальной жизни?

    Примеры из реальной жизни включают:

    • Расчет заработной платы на основе почасовой ставки.
    • Расчет доз лекарственных средств на основе веса пациентов.
    • Вычисление периметров квадратов.
    • Аренда автомобиля при внесении залога и почасовой оплате.

    Каковы примеры экспоненциальных функций в реальной жизни?

    Экспоненциальные функции часто используются для представления реальных приложений, таких как рост/распад бактерий, рост/сокращение населения и сложные проценты. Предположим, вы изучаете действие антибиотика на определенную бактерию.

    Что такое экспоненциальная ситуация?

    Экспоненциальный рост — это увеличение количества или размера с постоянно растущей скоростью. При экспоненциальном росте темпы роста населения на душу населения (на человека) остаются неизменными независимо от размера населения, заставляя его расти все быстрее и быстрее, пока оно не станет большим, а ресурсы не станут ограниченными.

    Почему используется Экспоненциальный?

    Экспоненциальные функции могут использоваться для моделирования роста и распада. Экспоненциальные функции постоянно возрастают, поэтому утверждение, что экспоненциальная функция моделирует рост населения, в точности означает, что человеческое население будет расти неограниченно.

    Какие существуют два типа экспоненциальных функций?

    Два типа экспоненциальных функций — это экспоненциальный рост и экспоненциальное затухание.

    Почему мы используем E в математике?

    Число e — важная математическая константа, приблизительно равная 2. 71828 . При использовании в качестве основы для логарифма мы называем этот логарифм натуральным логарифмом и записываем его как lnx ⁡ .

    Почему уравнение называется линейным?

    Почему уравнение называется линейным? Оно называется линейным уравнением, потому что если вы попытаетесь построить график данного уравнения с переменными x и y на графике с осями x и y, вы получите в результате линию. Следовательно, оно называется линейным уравнением.

    Что такое K в линейном уравнении?

    ух=к.Где k — константа. Переписав это уравнение, умножив обе его части на x, получим: y=kx. Обратите внимание, что это линейное уравнение в форме пересечения наклона, где y -пересечение b равно 0 .

    Является ли X Y 0 линейным уравнением?

    Подсказка: уравнения x=0 представляют ось y, а y=0 представляют ось x. Полный пошаговый ответ: Даны уравнения x=0, y=0. Точно так же для уравнения y=0 график будет XOX’ (поскольку значение y фиксировано равным нулю, а значение x может быть любым).

    Как найти значение k в линейных уравнениях с двумя переменными?

    Затем, подставляя все значения констант в условие несовпадения и используя первые два отношения равенства, получаем значение k. Полный пошаговый ответ: В этом вопросе мы должны найти значение k для пары линейных уравнений 4x-5y=5 и kx+3y=3 несовместимо.

    При каком значении K данная система линейных уравнений будет несовместимой?

    к=2

    02) Линейные уравнения и неравенства

    Субъективные/теоретические вопросы
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:22 [ обновлено 6 января 2012 г., 2:23 ]

    a) Решите неравенство -5 < -2x -7

     

    b) Нарисуйте решение

     

    c) Если область определения {-3, -2, 1, 4, 5}, каково решение задавать?

    Субъективные/теоретические вопросы
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г. , 2:21

    а) Кофи и Ама — брат и сестра.Возраст Кофи, умноженный на два плюс пять, равен возрасту Амы. Аме 17 лет. Сколько лет Кофи? Сначала напишите линейное уравнение, а затем решите его. (5 баллов)

        б) Решите линейное неравенство 6n – 4 < 26 (3 балла)

        в)   i) Верно или неверно: x – x = 0. (1 балл)

             ii) Верно или неверно:  x + x = x (1 балл)

       d)  i) Решите линейное неравенство n + 3 < 7 (1 балл)

            ii) Нарисуйте решение, если область определения {1,2,3,4,5,6 ,7} (2 балла)

           iii) Нарисуйте график набора решений, если область определения {целые числа} (2 балла)

    Линейные неравенства
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:21

    Пусть x > 5 и пусть домен равен D = {4,5,6,7,8,9,10}. Перечислите элементы набора решений.

    A. S = {6,7,8,9,10}

    B. S = {6,7,8,9,10,11,12,….}

    C. S = {4}

    D. S = {…,-1,0,1,2,3,}

    Линейные неравенства
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:20

    Домен: {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Найдите набор решений для n + 3 <= 7

     

    A.{5, 6, 7}

     

    Б. {4, 5, 6}

     

    В. {3, 4, 5}

     

    Д. {2, 3, 3, 4}
    7

    6

    Линейные неравенства
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:19

    Решите линейное неравенство -9 <= 3 - 3x

     

    A. 4 <= x

     

    B. 4 >= x

     

    C.4 < x

     

    D. 4 > x

    Линейные неравенства
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:19 9 Линейные неравенства 6 опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:18

    Решить неравенство 3z + 5 < 14

    A. z = 3

    B. z < 3

    C. z < 6

    D. z < 9

    II.Решите неравенство, которое вы написали в предыдущем вопросе.

    A. x < 50

    B. x < 180

    C. x < 80

    D. x > 80

    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:17
    9 Решения уравнений 96819 опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:16 [ обновлено 6 января 2012 г., 2:16 ]

    I. Запишите линейное неравенство, чтобы выразить эту текстовую задачу. Кофи и Ама владеют продовольственным магазином.Кофи продает 50 различных предметов. Вместе Кофи и Ама продают менее 130 товаров.

    A. 50 + x < 130

    B. 130 + x < 50

    C. 130 + 50 < x

    D. x < 130 + 50

    (A и B указывают влево, C и D указывают вправо.A и D закрыты, B и C открыты. Вот что происходит, когда вы позволяете им оцифровать ваш тест!)

    Решение линейных уравнений
    опубликовано Адамом Биддлом 6 января 2012 г., 2:14

    Решите для y: y + 5 = 13

    A.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск