Уравнения с дробями: Решение уравнений с дробями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Как решать уравнения с дробями

При решении уравнений с дробями нужно придерживаться очень простого алгоритма:

  1. Лучше всего найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) или просто общий знаменатель.
  2. Умножить на него все члены.
  3. Сократить.

После выполнения этих действий мы получим обычное уравнение, которое уже не будет содержать дроби. Далее уравнение решается, но в конце решения необходимо выяснить, не будет ли найденный корень превращать знаменатель в ноль.

Если знаменатель дробей уравнения содержит только числа, то такие уравнения называются линейными.

Пример.
Решим простое уравнение .

Решение.
В левой части уравнения оставим слагаемое с неизвестным, все остальное перенесем в правую часть уравнения:

   

   

Умножим обе части уравнения на знаменатель 13:

   

   

Ответ. .

Рассмотрим уравнение, в котором знаменатель содержит неизвестное.

Такие уравнения называют дробными или дробно-рациональными.
При решении уравнений такого типа также избавляются от дробей, после чего практически всегда они превращаются в линейное или квадратное уравнение.
Необходимо учитывать следующее:

 

  • если при решении получают значение переменной, которое обращает знаменатель в 0, то такое значение не может быть корнем;
  • недопустимо умножать или делить уравнение на выражение, которое равно 0.Пример.
    Решим дробное уравнение .

    Решение.
    Знаменатель может обратиться в нуль при — не может быть корнем.
    В левой части уравнения оставим слагаемые с неизвестным, остальные перенесем в правую часть уравнения:

       

       

    Избавимся от знаменателя с помощью умножения обеих частей уравнения на знаменатель

    х:

       

       

    Осталось решить уравнение:

       

       

    Ответ.  .

Урок 53. обобщение и систематизация знаний по теме «смешанные дроби. уравнения» — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 53

Обобщение и систематизация знаний по теме «Смешанные дроби. Уравнения»

Перечень рассматриваемых вопросов:

– сложение, вычитание, умножение и деление смешанных дробей с разными знаками;

– уравнения, корни уравнения;

– уравнение как перевод условия задачи на математический язык;

– решение задач с помощью уравнений.

Тезаурус

Натуральные числа – это числа, которые используются при подсчёте предметов.

Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Положительная смешанная дробь есть сумма натурального числа и правильной дроби.

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного получают верное числовое равенство.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Учение – путь к умению!» –гласит известная поговорка. Сегодня мы будем учиться решать уравнения со смешанными дробями. Для этого сегодня мы повторим действия сложения, умножения, вычитания и деления смешанных дробей.

Для начала вспомним правило сложения (вычитания) смешанных дробей.

Чтобы сложить (вычесть) смешанные дроби, надо:

1) отдельно сложить (вычесть) их целые части;

2) отдельно сложить (вычесть) дробные части.

Если дроби с разными знаменателями, то нужно их привести к общему знаменателю.

При этом необходимо помнить, что дроби складываются, если они с одинаковыми знаками, при этом знак дробей сохраняется. Если дроби с разными знаками, то они вычитаются. Из большего модуля вычтем меньший и перед разностью поставим знак слагаемого с большим модулем. При необходимости из целой части уменьшаемого занимают единицу и переводят её в дробную часть.

А теперь вспомним правило умножения смешанных дробей.

Сначала переводим смешанные дроби в неправильные. Затем выполняем вычисления с дробями: определяем знак результата и выполняем действия с модулями (с положительными дробями), находим произведение отдельно числителей и отдельно знаменателей. Произведение числителей пишем числителем новой дроби, а произведение знаменателей, знаменателем новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака произведения используем следующее правило. Если количество отрицательных множителей чётное, то произведение будет положительным, если количество отрицательных множителей нечётное, то знак произведения будет отрицательным.

Чётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «+»

Нечётное число множителей со знаком «–» → Результат со знаком «–»

Вспомним общий алгоритм деления смешанных дробей.

Сначала переводим смешанную дробь в неправильную.

Затем переводим деление в умножение, переворачивая вторую дробь, т.е. умножаем делимое на число обратное делителю. И находим произведение числителей и знаменателей. Это будут соответственно числитель и знаменатель новой дроби. При необходимости упрощаем результат: сокращаем дробь и выделяем её целую часть.

При выборе знака частного используем такое же правило, как и при умножении. Если количество отрицательных дробей чётное, то частное будет положительным, если количество отрицательных дробей нечётное, то знак частного будет отрицательным.

Все арифметические действия можно использовать при решении уравнений и задач, которые сводятся к уравнениям. Напомним алгоритм решения задач с помощью уравнений.

Во-первых, неизвестную величину нужно обозначить буквой.

Во-вторых, используя условие задачи, составить уравнение.

Затем решить это уравнение.

И ответить на вопрос задачи.

Решая уравнение, мы можем использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя знак числа на противоположный;

– делить или умножать обе части уравнения на одно и то же отличное от нуля число.

Задача на движение

Путь от пункта А до пункта В у мотоциклиста занимает 30 мин, а у велосипедиста – 2 часа. Скорость мотоциклиста на 42 км/ч больше скорости велосипедиста. С какой скоростью движется велосипедист?

Решение

Обозначим через х км/ч скорость велосипедиста и сведём известные и неизвестные величины в таблицу.

Тогда скорость мотоциклиста (х + 42) км/ч.

Путь велосипедиста 2х км.

Расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом – одинаковое.

Составим уравнение:

Решаем уравнение.

Умножим левую и правую часть уравнения на 2:

х + 42 = 4х.

Перенесём х в правую часть с противоположным знаком:

42 = 4х – x,

42 = 3x.

Разделим обе части уравнения на 3:

x = 14 (км/ч).

Ответ: скорость велосипедиста составляет 14 км/ч.

Разбор заданий тренировочного модуля

Решение

Чтобы сравнить данное выражение с нулём, нужно вспомнить, что значит число в третьей степени. Это значит, что число умножается само на себя три раза, В условии задачи – отрицательное число, при умножении знак «минус» будет повторяться три раза, значит, в результате получится отрицательное число, а любое отрицательное число меньше нуля.

Тип 2. Девочке задали на лето прочитать книгу, в которой х страниц. Она читала её три дня. В первый день девочка прочитала 21 страницу книги. Во второй день она прочитала 1/5 книги. В третий день она прочитала 1/2 от прочитанного во второй день.

Сколько страниц она прочитала в третий день?

Решение

Перенесём 21 в правую часть уравнения и выполним арифметические действия с х в левой части уравнения:

Ответ: 3 страницы было прочитано в третий день.

Взаимно обратные дроби под корнями. Пример решения иррационального уравнения.

Решить иррациональное уравнение

Невозможно не заметить, что одна подкоренная дробь есть перевернутая другая. А это подсказывает, что можно пробовать решать уравнение методом введения новой переменной. Напомним последовательность действий для этого метода:

  • Сначала вводится новая переменная.
  • Дальше решается уравнение с новой переменной. Если оно решений не имеет, то не имеет решений и исходное уравнение. Если же оно имеет решение, то выполняются следующие шаги.
  • Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого в случае единственного корня составляется одно уравнение, в случае нескольких корней – составляется совокупность уравнений, а в случае бесконечного множества корней составляется совокупность уравнений и/или неравенств.
  • Решается составленное уравнение или совокупность, найденное решение дает искомое решение исходного уравнения.

Какое выражение примем в качестве новой переменной? Так как взаимно обратные дроби находятся под корнями, причем показатели корней одинаковые, то в качестве новой переменной t целесообразно взять один из этих корней. Примем . Тогда второй корень выражается через t как 1/t, что вытекает из равенства , справедливого на ОДЗ переменной x для исходного уравнения в силу свойства корня из произведения. Таким образом, введение новой переменной приводит нас к уравнению .

Теперь нам нужно решить рациональное уравнение:

Возвращаемся к старой переменной. Так как мы принимали и нашли t1=−4, t2=1, то составляем совокупность двух уравнений: .

Осталось решить совокупность. Она содержит два простейших иррациональных уравнения. Первое иррациональное уравнение решим методом оценки. Оно, очевидно, решений не имеет, так как слева находится корень четной степени, а справа — отрицательное число. Второе уравнение удобно решить по определению корня. Решаем второе уравнение:

Итак, совокупность уравнений имеет единственный корень x=0, который является единственным корнем исходного иррационального уравнения.

Школьная математика — страница 4

  • 05.05.2014, лёгкий уровень

    Тригонометрия → Значение тригонометрических функций

    Учимся вычислять тригонометрические функции произвольного аргумента. Разумеется, речь идет лишь о тех углах, которые сводятся к табличным значениям.

  • 05.05.2014, лёгкий уровень

    Тригонометрия → Радианная и градусная мера угла

    Радианная и градусная мера угла. Один из ключевых моментов «взрослой» тригонометрии. Давайте раз и навсегда разберемся с радианами, а также с определением самих тригонометрических функций с помощью координатного круга.

  • 04.05.2014, лёгкий уровень

    Корни → Иррациональные уравнения с модулем

    Решение иррациональных уравнений с модулем. Никаких сложных выкладок — будем решать исключительно стандартными средствами алгебры.

  • 04.05.2014, лёгкий уровень

    Рациональные дроби → Дробно-рациональные выражения

    Упрощение дробно-рациональных выражений. В этом уроке мы рассмотрим, как можно быстро упростить дробно-рациональное выражение, даже если оно содержит многочлены 3-й или 4-й степени.

  • 04.05.2014, средний уровень

    Корни → Выделение полного квадрата

    Учимся выделять точный квадрат. Предлагаю вашему вниманию быстрый и очень эффективны метод выделения точного квадрата в выражениях, содержащих знак корня.

  • 03. 05.2014, лёгкий уровень

    Неравенства → Особенности решения неравенств с радикалами

    Неравенства с радикалами. Что делать, когда одним из множителей в неравенстве является арифметический квадратный корень. И как не нарваться на лишние корни при решении.

  • 03.05.2014, лёгкий уровень

    Логарифмы → Логарифмические уравнения: краткий курс

    Логарифмические уравнения: изучаем и применяем универсальный метод решения — каноническую форму.

  • 01.10.2013, средний уровень

    Многочлены → Деление многочленов уголком

    Давно хотел записать этот видеоурок. Деление многочленов уголком!

  • 01.10.2013, средний уровень

    Уравнения → Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня

    Опубликован видеоурок по иррациональным уравнениям — на первый взгляд, простая, но на самом деле довольно скользкая тема.

  • 21.09.2013, лёгкий уровень

    Арифметика → Как быстро возводить числа в квадрат? Без калькулятора

    Мастер-класс по устному счету: быстрое возведение чисел в квадрат

  • 18. 09.2013, лёгкий уровень

    Логарифмы → Учимся решать простейшие логарифмические уравнения

    Опубликован видеоурок по логарифмам: простейшие логарифмические уравнения

  • 15.09.2013, средний уровень

    Тригонометрия → Однородные тригонометрические уравнения

    Видеоурок по тригонометрии: как решать однородные тригонометрические уравнения

  • 09.07.2013, средний уровень

    Тригонометрия → Учимся расщеплять ответы в тригонометрических уравнениях

    Опубликован видеоурок по особенностям работы с синусом: расщепление ответов в тригонометрических уравнениях

  • 09.07.2013, средний уровень

    Тригонометрия → Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

    Смотрите видео мастер-класса по тригонометрическим уравнениям: как упростить ответы в тригонометрии

  • 09.07.2013, лёгкий уровень

    Тригонометрия → Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов

    Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов? Короткий, но очень полезный видеоурок.

  • 06.07.2013, средний уровень

    Тригонометрия → Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии

    Тригонометрические уравнения: видео и тест по формулам приведения (очень полезная штука!)

  • 06.07.2013, сложный уровень

    Уравнения → Как решать биквадратное уравнение

    Опубликован видеоурок про биквадратные уравнения и методы их решения.

  • 17.06.2013, лёгкий уровень

    Проценты → Задачи на проценты: формула, упрощающая вычисления

    Задачи на проценты и пропорции: очень эффективная формула вычисления процентов (видео + тесты)

  • 13.06.2013, сложный уровень

    Неравенства → Иррациональные неравенства. Часть 2

    Опубликована 2-я часть урока про иррациональные неравенства — когда корень больше функции.

  • 14.12.2012, средний уровень

    Корни → Как быстро извлекать квадратные корни

    Опубликован видеоурок «Как быстро извлекать квадратные корни»

  • 07. 12.2012, лёгкий уровень

    Дроби → Как представить обычную дробь в виде десятичной

    Видеоурок: как представить обычную дробь в виде десятичной

  • 25.11.2012, лёгкий уровень

    Неравенства → Тест по методу интервалов для строгих неравенств

    Дополнительный тест к предыдущему уроку по методу интервалов.

  • 15.11.2012, лёгкий уровень

    Неравенства → Метод интервалов: случай нестрогих неравенств

    Применяем метод интервалов для решения нестрогих неравенств. Ключевой момент — чем различаются отрезки и интервалы с точки зрения алгебры.

  • 16.03.2012, сложный уровень

    Логарифмы → Сложные логарифмические неравенства

    Как решать сложные логарифмические неравенства? Специальная формула избавления от логарифмов с переменным основанием.

  • 07.03.2012, средний уровень

    Неравенства → Иррациональные неравенства. Часть 1

    Решение иррациональных неравенств: часть 1. Случай, когда радикал меньше функции.

  • 01.03.2012, лёгкий уровень

    Уравнения → Так сокращать дроби нельзя!

    Решение дробно-рациональных уравнений: так сокращать дроби нельзя!

  • 10.02.2012, средний уровень

    Дроби → Периодические десятичные дроби

    Учимся считать периодические десятичные дроби.

  • 06.02.2012, лёгкий уровень

    Экспонента → Простейшие показательные уравнения — 2 вариант

    Еще один тест по простейшим показательным уравнениям.

  • 05.02.2012, лёгкий уровень

    Экспонента → Простейшие показательные уравнения

    Большой урок о том, как решать простейшие показательные уравнения.

  • 08.11.2011, средний уровень

    Уравнения → Следствия из теоремы Виета

    Рассмотрим более «продвинутые» методы решения квадратных уравнений, которые напрямую следуют из теоремы Виета. С помощью таких приемов можно устно решать даже очень сложные на первый взгляд уравнения.

  • 07. 11.2011, средний уровень

    Уравнения → Теорема Виета

    Значительно упрощает решение многих квадратных уравнений. Никаких дискриминантов, никаких длинных формул — с помощью этой теоремы большинство уравнений решаются практически устно.

  • 19.09.2011, лёгкий уровень

    Проценты → Тест к уроку «Простые проценты» (легкий)

    Первое и самое простое домашнее задание на работу с простыми процентами. Такие задачи постоянно встречаются в ЕГЭ по математике (задача B1).

  • 02.09.2011, лёгкий уровень

    Дроби → Сравнение дробей

    Сегодня мы научимся сравнивать дроби между собой. Это один из последних уроков, связанных с дробями, и он же — один из самых важных.

  • 28.08.2011, лёгкий уровень

    Дроби → Тест к уроку «Десятичные дроби» (2 вариант)

    Рассмотрим обратную задачу: перевод десятичных дробей в обычные. Алгоритм работы здесь значительно проще. Единственное, где может возникнуть заминка — это сокращение готовой дроби и выделение целой части.

  • 24.08.2011, лёгкий уровень

    Дроби → Тест к уроку «Десятичные дроби» (1 вариант)

    Сегодня в основном будем учиться переводить обычные дроби в десятичные. Это самая распространенная и одновременно самая трудная операция, вызывающая больше всего проблем. Обратный переход — от десятичных дробей к обычным — отработаем в следующий раз.

  • 22.08.2011, лёгкий уровень

    Дроби → Тест на тему «Значащая часть числа»

    Как и обещал, выкладываю подборку задач на выделение значащей части. Будьте внимательны: все задачи очень легкие, но их решение требует некоторой тренировки. Поэтому их так много.

  • 21.08.2011, средний уровень

    Дроби → Стандартный вид числа

    Сегодня мы научимся работать с числами в стандартном виде. Это еще одна форма представления десятичных дробей, весьма распространенная в научных расчетах. Числа, записанные в стандартном виде, очень удобно сравнивать между собой — и в этом заключается их основное преимущество.

  • 20.08.2011, лёгкий уровень

    Дроби → Умножение и деление десятичных дробей

    Учимся умножать и делить десятичные дроби. Для этого рассмотрим новое понятие — значащая часть числа. С помощью значащей части умножение выполняется мгновенно. С делением чуть сложнее — тут работает традиционный подход, когда мы умножаем первую дробь на «перевернутую» вторую.

  • 19.08.2011, лёгкий уровень

    Дроби → Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)

    Сложные выражения выражения с дробями — тест к уроку. Скобки, степени, умножение и сложение — все это необходимо выполнять в строгой последовательности. Для начала потренируемся на самых простых комбинациях.

  • 18.08.2011, средний уровень

    Дроби → Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)

    Сложение и вычитание дробей — одна из самых простых операций в арифметике. Большинство осваивают ее моментально. Но спустя некоторое время у многих начинаются проблемы. Откуда? И как с этим бороться? Читайте — и решайте.

  • Решение уравнений с дробями или десятичными знаками — Элементарная алгебра

    Решение линейных уравнений и неравенств

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решение уравнений с дробными коэффициентами
    • Решите уравнения с десятичными коэффициентами

    Прежде чем начать, пройдите этот тест на готовность.

    1. Умножение:
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    2. Найдите ЖК-дисплей и .
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    3. Умножьте 4,78 на 100.
      Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок).

    Решение уравнений с дробными коэффициентами

    Воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, введенной ранее, для решения уравнения .

    Этот метод работал хорошо, но многие ученики не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби. Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями.Этот альтернативный метод исключает дроби.

    Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется «очищением» уравнения дробей.

    Давайте решим похожее уравнение, но на этот раз воспользуемся методом исключения дробей.

    Как решать уравнения с дробными коэффициентами

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Обратите внимание на (рис.), как только мы очистили уравнение дробей, оно стало таким же, как те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили задачу на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

    Стратегия решения уравнений с дробными коэффициентами.

    1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
    2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
    3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

    Решить: .

    Решение

    Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на LCD всех дробей в уравнении.

    Решить: .

    Решить: .

    В следующем примере у нас снова есть переменные с обеих сторон уравнения.

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    В следующем примере мы начнем с использования свойства Distribution. Этот шаг очищает дроби сразу.

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    В следующем примере, даже после распределения, нам все еще нужно очистить дроби.

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Решение уравнений с десятичными коэффициентами

    В некоторых уравнениях есть десятичные дроби.Уравнение такого рода возникает, когда мы решаем задачи, связанные с деньгами или процентами. Но десятичные дроби также могут быть представлены дробями. Например, и . Итак, с уравнением с десятичными знаками мы можем использовать тот же метод, который мы использовали для очистки дробей — умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

    Решить: .

    Решение

    Посмотрите на десятичные дроби и придумайте эквивалентные дроби.

    Обратите внимание, на ЖК-дисплее 100.

    Умножая на ЖКИ, мы удалим десятичные дроби из уравнения.

    Решить: .

    Решить: .

    В следующем примере используется уравнение, типичное для денежных приложений в следующей главе. Обратите внимание, что мы распределяем десятичные дроби до того, как очищаем все десятичные дроби.

    Решить: .

    Решить: .

    Решить: .

    Ключевые понятия

    • Стратегия решения уравнения с дробными коэффициентами
      1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
      2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает дроби.
      3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.
    Практика делает совершенным

    Решение уравнений с дробными коэффициентами

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение с дробными коэффициентами.

    Решение уравнений с десятичными коэффициентами

    В следующих упражнениях решите каждое уравнение с десятичными коэффициентами.

    Математика на каждый день

    Монеты У Тейлора ?2. 00 центов и копеек. Количество копеек на 2 больше, чем количество десятицентовиков. Решите уравнение для , количество десятицентовиков.

    Марки Паула купила марок номиналом 49 и 21 цент на сумму 22,82 фунта стерлингов. Количество марок номиналом 21 цент было на 8 меньше, чем количество марок номиналом 49 центов. Решите уравнение для s , чтобы найти количество 49-центовых марок, купленных Паулой.

    Письменные упражнения

    Объясните, как найти наименьший общий знаменатель , , и .

    Если уравнение состоит из нескольких дробей, как умножение обеих частей на ЖК-дисплей облегчает решение?

    Если в уравнении есть дроби только с одной стороны, почему нужно умножать обе части уравнения на LCD?

    Что такое LCD в уравнении? Откуда вы знаете?

    100. Обоснования могут быть разными.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство выполнения целей этого раздела.

    ⓑ В целом, после просмотра контрольного списка, как вы думаете, хорошо ли вы подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

    Двухшаговые уравнения с дробями — предварительная алгебра

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects. org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

     

     Практический семинар по уравнениям дробей| Боренсон Математика

    Уникальный подход HOE Fractions

    Сначала учащиеся находят долю единицы неизвестного, а затем само неизвестное. Например, если дробное уравнение упростить до 7/3 x = 28, учащиеся увидят, что 1/3 x = 4 и, следовательно, x = 12. Таким образом, учащиеся используют осмысленный подход к решению дробных линейных уравнений.

    Алгебраические принципы, используемые при решении уравнений

    При решении дробных уравнений I уровня учащиеся используют свойство равенства вычитания и принцип подстановки. Они превращают дроби в равнозначные дроби, имеющие общий знаменатель.При решении дробных уравнений II уровня учащиеся используют аддитивное свойство равенства, свойство аддитивных обратных величин и аддитивное свойство тождества.

    Мы используем модель коучинга на наших семинарах

    Как и на всех семинарах Borenson Math, мы используем модель коучинга, в которой участники семинара работают на своих местах и ​​выступают перед аудиторией, чтобы усвоить концепции, представленные на семинаре.

    Основные стратегии растворения бетона

    Участники семинара узнают, как представлять дробно-линейные уравнения на своих ламинированных весах. Как и в обычной программе Hand-On Equations, они затем используют «разрешенные ходы» для упрощения и решения уравнений. Уравнения сбрасываются для проведения проверки. Представлены стратегии, позволяющие участникам семинара перенести свой практический опыт обучения на абстрактные методы решения.

    Семинар на полдня, 3 часа

    На этом семинаре учителя знакомятся с полной программой «Практические уравнения в дробях», состоящей в общей сложности из 12 уроков, а также дополнительных уроков.Уровень I имеет дело с дробными уравнениями, имеющими положительные константы. Уровень II имеет дело с дробными уравнениями, имеющими отрицательные константы.

    Вариант 1: Студенческий набор Workshop & HOE Fractions для каждого участника

    Округ проводит базовый семинар, на котором участники изучают конкретные стратегии, которые можно использовать для решения дробных уравнений. Каждый участник получает студенческий комплект HOE Fractions.

     

    Вариант 2: Система обучения Workshop & HOE Fractions для каждого участника

    Округ предоставляет Систему практического обучения уравнениям дробей для каждого участника по сниженной цене в 22 доллара США.50 штук (вместо 29,50 долларов). Эта опция предоставляет учителю учебные пособия и рабочие листы для учащихся. Нажмите здесь, чтобы увидеть образец страницы с учебной страницы, и здесь, чтобы увидеть образец рабочего листа.

     

      Вариант 3: Семинар и класс HOE Fractions  Наборы материалов для каждого участника

    Округ предоставляет классу набор практических дробей уравнений для каждого участника, что позволяет немедленно внедрить их в классе.В зависимости от количества приобретенных комплектов занятий гонорар семинара может быть уменьшен или отменен.

    Чтобы провести полудневный семинар в вашем округе:

    Отправьте электронное письмо по адресу [email protected] com, заполните быструю форму или позвоните по телефону 800-993-6284. Пожалуйста, укажите три альтернативные даты, которые будут работать для вас.

    Комментарии участников семинара

    «Этот конкретный подход позволяет учащимся перейти к абстрактному.Упрощенные математические манипуляции мощны

    «Мне очень понравилось учиться представлять дробные уравнения конкретным образом. Мне это нравится!!»

    «Удивительно, как быстро я вырос в своих знаниях о содержании.»

    «Я вижу, что эта программа развивает у учащихся навыки критического мышления и решения проблем».

    Решение уравнений, записанных в виде дробей — Введение в уравнения — KS3 Maths Revision

    Чтобы решить уравнения, записанные в виде дробей, вы должны сделать то же самое с каждой частью уравнения, чтобы получить ответ.

    Полезно знать, что \(\frac{1}{2}x\) равносильно \(\frac{x}{2}\), а \(\frac{1}{4}x \) совпадает с \(\frac{x}{4}\) и т. д.

    Например, посмотрите на уравнение:

    \[\frac{1}{2}x = 3\]

    Это можно переписать как:

    \[\frac{x}{2} = 3\]

    Если мы затем умножим обе части на \(2\), мы получим ответ:

    \[x = 6\]

    Вопрос

    Решите уравнение:

    \[2x — 3 = \frac {1}{2}\]

    Найдите ответ
    Число внизу равно \(2\), поэтому умножьте с обеих сторон на \(2\).Помните, что вы должны умножить каждый член обеих сторон на \(2\), чтобы получить:

    \[4x — 6 = 1\]

    Добавить \(6\) к обеим сторонам:

    \[4x = 7 \]

    Затем разделите обе части на \(4\), чтобы получить:

    \(x = \frac {7} {4}\), что можно записать как \(x = 1 \frac {3} { 4}\)

    Операции с алгебраическими дробями

    Операции с алгебраическими дробями

    Многие приемы упростят вашу работу при выполнении операций с алгебраическими дробями.При просмотре примеров обратите внимание на этапы каждой операции и любые методы, которые сэкономят ваше время.

    Сокращение алгебраических дробей

    Чтобы сократить алгебраическую дробь до меньших членов, сначала разложите числитель и знаменатель; затем уменьшить (или разделить) общие множители.

    Пример 1

    Уменьшить.

    Предупреждение: Не уменьшайте с помощью знака сложения или вычитания, как показано здесь.

    Умножение алгебраических дробей

    К умножить алгебраические дроби, сначала разложить числители и знаменатели, которые являются полиномами; затем уменьшите, где это возможно. Перемножьте оставшиеся числители вместе и знаменатели вместе. (Если вы правильно сократили, ваш ответ будет в сокращенной форме.)

    Пример 2

    Умножить.

    Деление алгебраических дробей

    Чтобы разделить алгебраические дроби, инвертировать вторую дробь и умножить. Помните, уменьшать можно только после инвертирования.

    Пример 3

    Разделить.

    Сложение или вычитание алгебраических дробей

    К прибавить или вычесть алгебраические дроби, имеющие общий знаменатель, просто сохранить знаменатель и сложить (сложить или вычесть) числители. Уменьшите, если возможно.

    Пример 4

    Выполните указанную операцию.

    К прибавить или вычесть алгебраические дроби, имеющие разные знаменатели, сначала найти наименьший общий знаменатель (НОД), заменить каждую дробь эквивалентной дробью с общим знаменателем, а затем объединить каждый числитель. Уменьшите, если возможно.

    Пример 5

    Выполните указанную операцию.

    Если существует общий переменный множитель с более чем одним показателем, используйте его наибольший показатель.

    Пример 6

    Выполните указанную операцию.

    Чтобы найти наименьший общий знаменатель, часто необходимо разложить знаменатели на множители и действовать следующим образом.

    Пример 7

    Выполните указанную операцию.

    Иногда проблема требует уменьшения того, что кажется конечным результатом.Подобная проблема находится в следующем примере.

    Пример 8

    Выполните указанную операцию.

    Линейные уравнения с дробями — примеры и практические задачи

    Что такое линейные уравнения?

    Линейные уравнения имеют то свойство, что их можно записать в виде , где – переменная или неизвестная, а – известные числа.

    Чтобы уравнение было линейным, оно должно содержать только переменные, возведенные в первую степень после приведения к простейшему виду.Например, уравнения и являются линейными уравнениями.

    Уравнение не является линейным уравнением. Однако мы можем видеть, что когда мы записываем его в его простейшей форме, то есть когда мы объединяем одинаковые термины, содержащиеся термины исчезают, и мы получаем уравнение . Следовательно, это уравнение является линейным уравнением.

    Все линейные уравнения с одной переменной и дробями имеют ровно одно решение.

    ПРИМЕРЫ

    Ниже приведены линейные уравнения:


    Правило уравнений

    Можно выполнить любую операцию (сложение, вычитание, умножение, деление) с одной частью уравнения, если мы выполняем ту же операцию с другой стороны уравнения.

    Например, у нас есть уравнение . Если мы хотим, мы можем добавить 5 к обеим частям уравнения: .

    Обратите внимание, что в этом уравнении было не очень полезно добавлять 5 к обеим частям уравнения. Однако мы можем использовать ту же идею для применения операций таким образом, чтобы упростить уравнение, и мы можем найти его решение.

    Теперь мы рассмотрим метод, который мы можем использовать для решения линейных уравнений с дробями.

    Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике


    Метод решения линейных уравнений с дробями

    1.Упростите обе части уравнения:

    а. Удалите скобки (используя распределительное свойство), если они есть.

    б. Уберите дроби (умножьте обе части на наименьшее общее кратное).

    в. Соедините подобные термины.

    2. Изолировать переменную в одной части уравнения:

    Мы применяем сложение и вычитание так, чтобы переменная находилась только на одной стороне уравнения, а константы — на другой.

    3.Применяйте различные операции, чтобы полностью изолировать x.

    4. Подтвердите ответ.


    Линейные уравнения с дробями – примеры с ответами

    ПРИМЕР 1

    • Найдите значение  в уравнении .

    Решение:  

    1. Упростить: 

    Снимаем скобки: .

    Упростим дроби, умножив на 2: .

    Объедините похожие термины: .

    2.Изолируйте переменную: переместите 16 вправо и -4x влево:

    3. Примените различные операции, чтобы изолировать : разделите обе стороны на 13: 

    4. Проверьте свое решение: подставьте значение в исходное уравнение:

    Это правда

    Ответ:  

    ПРИМЕР 2

    • Найдите значение  в уравнении .

    Решение:  

    1. Упростить: 

    Скобки отсутствуют.

    Упростите дроби: умножьте на 6: .

    Объедините похожие термины: .

    2. Изолируйте переменную: переместите 24 вправо:

    3. Примените различные операции, чтобы изолировать : разделите обе стороны на 5: 

    4. Проверьте свое решение: подставьте значение в исходное уравнение:

    Это правда

    Ответ:  

    ПРИМЕР 3

    • Найдите значение  в уравнении .

    Решение:  

    1. Упростить: 

    Удалите скобки: .

    Удалить дроби: умножить на 10: .

    Объедините похожие термины: .

    2. Изолируйте переменную: переместите 20 вправо, а 12x влево: 

    3. Примените операции, чтобы изолировать : разделите обе стороны на 13: 

    4.Проверьте свое решение: подставьте в исходное уравнение значение:

    .

    Это правда

    Ответ:  

    ПРИМЕР 4

    • Найдите значение  в уравнении .

    Решение:  

    1. Упростить: 

    Удалите скобки: .

    Удалить дроби: .

    Объедините похожие термины: .

    2.Изолируйте переменную: переместите -24 вправо и -6x влево:

    3. Примените операции, чтобы изолировать : разделите обе стороны на -5: 

    4. Проверьте свое решение: подставьте значение в исходное уравнение:

    Это правда

    Ответ:  

    Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике


    Линейные уравнения с дробями. Практические задачи

    Решите уравнение.

    Выберите ответ






    Чек
    Решите уравнение.

    Выберите ответ






    Чек
    Найдите значение x в уравнении.

    Выберите ответ






    Чек
    Найдите значение x в уравнении.

    Выберите ответ






    Чек

    См. также

    Хотите узнать больше о линейных уравнениях? Взгляните на эти страницы:

    Практический набор для занятий по уравнениям дробей — 20 учащихся — математические манипуляции, расходные материалы и ресурсы

    Обзор

    Артикул № 505237

    Средний рейтинг:

    Рекомендуемый класс (ы): 5-8

    Описание
    Включает практическую систему обучения уравнениям дробей, двадцать (20) наборов для учащихся, каждый из которых состоит из ламинированной шкалы, набора числовых кубиков и набора блоков дробей с пластиковой чашей, а также права на воспроизведение рабочих листов в классе.

    Это программа, которая представляет собой конкретное введение в дробно-линейные уравнения. Разработан доктором Генри Боренсоном, изобретателем практических уравнений.

    Детали
    • Тип: Манипуляторы
    • Транспортные размеры (высота, ширина и длина): -1 х -1 х -1
    Безопасность

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.