Разработка урока по геометрии по теме «Теорема Пифагора». 8-й класс

Цели:

• Образовательная:  создание условий для усвоения учащимися теоремы Пифагора, включение их в процесс поиска формулировок и доказательств, формирование навыка применения теоремы Пифагора при решении задач.
• Развивающая: развитие зрительной памяти, внимания, умений анализировать, сравнивать, обобщать.
• Воспитательная: умение оценивать себя и своих товарищей.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход УРОКА

1. Организационный этап

Дидактическая задача этапа: подготовить учащихся к работе на уроке.

С ребятами выполняется упражнение, способствующее повышению внимания, активизации памяти, улучшения слуха и речи.

Упражнение заключается в массаже ушей сверху – вниз  по краю от 3 до 5 раз.

2. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению материала.

Дидактическая задача этапа: организовать и направить к цели познавательную деятельность учащихся.

– учащимся предлагается посмотреть на доску, на которой написана тема урока и , исходя из темы урока, сказать, чем они будут заниматься на уроке.
– определяются цели урока, чему они должны научиться в ходе урока, какими знаниями и умениями овладеть (учиться применять теорему Пифагора при решении задач)
– учитель  вместе с ребятами выясняет, какими надо быть во время урока. Это ведёт к самоорганизации учащихся.

3. Этап усвоения новых знаний.

Дидактические задачи этапа:

– дать учащимся конкретные представления об изучаемых фактах;
– добиваться от учащихся восприятия, осознания, первичного обобщения, систематизации новых знаний.

На доске портрет Пифагора. Вопрос к ребятам: Что вы знаете об этом учёном?
После ответов учащихся им предлагается посмотреть фильм о Пифагоре.
После просмотра учитель задает ребятам вопросы:
– Что же нового вы узнали о Пифагоре?
– Откуда он родом?
– Какие книги он написал?
Далее учащимся предлагается выполнить следующее задание. На листах изображены прямоугольные треугольники (см. Приложение 2). Небходимо с помощью линейки измерить длины сторон и результаты занести в таблицу. Таблица так же приведена на раздаточном материале и представлена на доске. Первый учащийся, правильно заполнивший таблицу, заносит свои результаты в таблицу на доске.
Проанализировав данные в таблице что мы можем заметить? (то, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы).
Постановка проблемы: Вы выполняли задание всего на трёх треугольниках. А как вы думаете, будет ли наш с вами вывод действителен и для других треугольников?

Учащиеся выдвигают гипотезы.
Далее учитель предлагает обратиться к учебнику, где представлена теорема Пифагора.
(Формулируется теорема и разбирается доказательство). Делаются необходимые записи на доске и в тетрадях.

4. Этап проверки понимания учащимися нового материала.

Дидактическая задача этапа: установить усвоили или нет учащиеся теорему Пифагора.

№ 483 (б, г)

Физкультурная пауза

а) плечи наверх, назад, вниз – 3 раза
б) голову медленно повернуть вправо, влево – 3 раза
в) руки сцепить в замок, потянуть вперед, наверх – 3 раза
г) плечи наверх, назад, вниз – 3 раза

5. Этап закрепления нового материала

Дидактическая задача этапа: закрепить у учащихся те знания и умения, которые необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Работа в парах, возможна консультация учителя

Учащимся раздаются листы с заданиями (см. Приложение 3).

6. Этап информации о значении теоремы Пифагора

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы – это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. (см. Приложение 1)

7. Этап информации учащимся о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению.

Дидактическая задача этапа: сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения.

П. 54, стр. 125. № 483 (а, в), 484 (а, в), 485.
Задание отдельным учащимся: найти в дополнительной литературе другие способы доказательства теоремы Пифагора, подготовить сообщение к следующему уроку.

Теорема Пифагора. 8-й класс

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

1) Доказать теорему Пифагора, показать применение к решению задач;
2) развивать у учащихся логическое мышление, математическую речь;
3) расширить кругозор у учащихся, интерес к изучаемому предмету, познакомить с историческими сведениями по данной теме.

I. Организация учащихся на урок, сообщение темы и целей урока. (Cлайды 1,2)

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа.

– сторона квадрата равна 1,5 см. Найдите его площадь.

– Перечислите виды треугольников в зависимости от его сторон.

– Перечислите виды треугольников в зависимости от углов.

– Как называются стороны в прямоугольном треугольнике.

– Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 1,2дм и 3дм.

2) Практическая работа (слайд 3)

– Начертите прямой угол, отложите на его сторонах катеты 3 м и 4 м  (масштаб:1 клеточка равна 1метру)

– Проведите гипотенузу. Она равна 5 м.

– Достройте на катетах и гипотенузе квадраты.

– Найдите площади квадратов.

S=S₁+S₂
25=16+9, т.е.
5²=4²+3²

– Вывод: (слайд 4)

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

III. Изучение нового материала.

Теорема Пифагора: (слайд 5)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Провести устное доказательство по следующему плану:

– доказать равенство MBN=NCP=PDK=KAM;

– доказать, что MNPA– квадрат;

– выразить площадь квадрата АВСD через площади MBN, NCP, PDK, KAM и площадь квадрата MNPK;

– записать равенство, связывающее катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника – а

2+b²=с².

Запись в тетрадях учащихся

Дано: АВС, С=90°, а и b катеты, с-гипотенуза.

Доказать: а²+b²=с².

Доказательство:

– достроим АВС до квадрата со стороной а+b;

– S=( а+b)²;

– MBN=NCP=PDK=KAM по двум катетам;

– S=, 4 S=·4=2,

– S_MNPK=c²;

– (а+b)²=2аb+с²;

– а²+ 2аb+ b²=2аb+с² или а²+b²=с².

IV. Закрепление изученного материала.

Решение задач по готовым чертежам.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, определите значение х (слайд6)

V. Историческая справка – экскурсия в музей Пифагора (слайд 7).

– Биография Пифагора (слайд 8): о жизни Пифагора известно немного. Он родился на острове Самос, недалеко от Греции. Совсем юношей Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта и 12 лет жил в Вавилоне. После возвращения домой, он переселился в Италию, затем в Сицилию. И здесь, в Креоне, рождается школа Пифагора.

– Пифагорейская школа (слайд 9): Пифагор и его ученики занимались изучением чисел и свойств, вкладывая в каждое число определенный смысл. В пифагорейской школе много внимания уделялось музыке, живописи, физическому развитию, здоровью. Известно, что Пифагор был Олимпийским чемпионом. Пифагор и его ученики были очень трудолюбивы и жили по своим заповедям. Вот некоторые из них (слайд 9).

– Главный пифагорейский знак

(слайд 10): главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была пентаграмма или пифагорейская звезда– звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Звездчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма “предохраняет” от “нечистой силы”.

– Пифагоровы треугольники (слайд 11): треугольники со сторонами, выраженными целыми числами и удовлетворяющих соотношению, а²+b²=с², называют пифагоровыми. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 назвали египетским треугольником, так как с его помощью строили прямые углы при возведении египетских пирамид.

VI. Итог урока.

– Чье имя носит теорема, изученная на уроке?

– Почему главным пифагорейским символом служит пентаграмма?

– Сформулировать теорему Пифагора.

– Домашнее задание:

1) п.54. № 483(а), 484(в).

2) Найти в дополнительной литературе различные доказательства теоремы Пифагора.

Литература

1. Учебник “Геометрия, 7-9”, авт. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.
2. Рабочая тетрадь “Геометрия 7 класс”, Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов. М., “Просвещение” 2009 год.
3. Изучение геометрии в 7-9 классах. Книга для учителя. авт. Л. С. Атанасян и др.

Разработка открытого урока по геометрии по теме «Теорема Пифагора». 8-й класс

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности с помощью практико-ориентированного проекта.

Цели урока:

Образовательные:

• ознакомить и обеспечить овладение учащимися основными алгоритмическими приемами при нахождении сторон прямоугольного треугольника при помощи теоремы Пифагора;
• показать практическое применение теоремы Пифагора в жизни.

Воспитательные:

• формирование культуры поведения при фронтальной, групповой и индивидуальной работе.

Формировать УУД:

Личностные: способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.

Регулятивные: оценивать результаты деятельности, анализировать собственную работу, планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей, уметь ориентироваться в информации, уметь составлять алгоритм действия.

Коммуникативные: определять цель учебной деятельности, оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения в школе и следовать им.

Познавательные: ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя; добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке.

Планируемые результаты обучения, в том числе и формирование УУД:

Предметные:

• Понимать, что такое «теорема Пифагора». Знать, как найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника при помощи теоремы Пифагора.

Личностные:

• Уметь проводить самооценку на основе критерия успешности учебной деятельности.

Метапредметные:

• Уметь оценивать результаты деятельности, анализировать собственную работу, планировать своё действие в соответствии с поставленной задачей, уметь ориентироваться в учебнике, уметь составлять алгоритм действия.

Основные понятия: Теорема Пифагора.

Межпредметные связи: математика, история.

Ресурсы:

• учебник для общеобразовательных учреждений: «Геометрия 7-9 класс» Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др;
  презентация к уроку;
• смартфоны без доступа в сеть интернет и без сим-карт для осуществления голосовых вызовов с предустановленными приложением «Пифагория»;
• ноутбук с выходом в интернет для использования сайта «Математические этюды»;
• раздаточный печатный материал.

Ход урока

1) Оранизационный момент, приветствие, запись в тетради даты урока и наименование работы: Классная работа

Эпиграф к уроку:

2) Формулировка проблемной задачи

Обсуждение задачи, постановка гипотез, практическое решение задачи в тетради с использованием карандаша и линейки. Чертёж выполняем в масштабе.

3) Чтобы ответить на этот вопрос точно и математически грамотно, нам придётся отправиться в путешествие

(работа в малых группах по 4 человека, раздаточный материал: посадочные талоны на самолёт, чтобы не скучать в пути — кроссворд, после разгадывания которого будет ясна ТЕМА УРОКА)

Две пары работают в мультимедийном приложении на смартфоне «Пифагория» в теме «Прямые углы. Прямоугольные треугольники».

Ответ на кроссворд: ПИФАГОР.

4) Формулировка обучающимися ТЕМЫ УРОКА, озвучивание учителем целей и задач урока

5) Историческая справка о Пифагоре

О Пифагоре

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, в семье резчика по камню.

Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при счёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Крóтоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

10 фактов о теореме Пифагора

Пифагоровы штаны – на все стороны равны.

Чтобы это доказать, нужно снять и показать.

Этот стишок известен всем со средней школы, с тех самых пор, когда на уроке геометрии мы изучали знаменитую теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. А вот вам 10 фактов о знаменитой теореме.

1. Происхождение штанов понятно: построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрой мужских штанов. Правда, это как посмотреть: средневековые школяры называли эту теорему «pons asinorum», что означает «ослиный мост».

2. Книга рекордов Гиннесса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора, включая одно предложенное президентом США Джеймсом Абрамом Гарфилдом.

3. Теорему Пифагора доказывали через подобные треугольники, методом площадей и даже через дифференциальные уравнения – это сделал английский математик начала двадцатого века Годфри Харди. Известны доказательства теоремы Пифагора, предложенные Евклидом и Леонардо Да Винчи. А Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, а среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты».

4. Только одно доказательство теоремы Пифагора нам не известно: доказательство самого Пифагора. Долгое время считалось, что доказательство Евклида и есть доказательство Пифагора, но теперь считают, что это доказательство принадлежит Евклиду.

5. К настоящему моменту историки математики обнаружили, что теорема Пифагора не была открыта Пифагором – ее знали в разных странах задолго до древнегреческого философа и математика родом с острова Самос, жившего в VI веке до н.э.

6. Крупнейший историк математики Мориц Кантор разглядел папирус из Берлинского музея и обнаружил, что равенство три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате было известно уже египтянам около 2300 года до нашей эры во времена царя Аменемхета I.

7. Приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника обнаруживается в вавилонских текстах времен правления царя Хаммурапи, то есть за два тысячелетия до нашей эры. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до нашей эры.

8. Голландский математик Бартель Ван дер Варден сделал важный вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Пифагор, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку».

9. «В день, когда Пифагор открыл свой чертёж знаменитый,
     Славную он за него жертву быками воздвиг».

Со слов неизвестного древнего стихотворца легенда о гекатомбе – жертвоприношении ста быков пошла гулять по умам и страницам изданий. Остряки шутят, что с тех самых пор все скоты боятся нового. 

10. Сам Пифагор никогда не носил штанов – в те времена греки их не знали.

6) Формулировка теоремы Пифагора

Выполнение чертежа в тетради и математическая запись теоремы.

7) Показ отрывка из фильма «Приключения электроника» (30 сек)

Вопрос для обучающихся и статистика ответов с помощью сервиса Plickers.

Верный ответ: примерно 400.

8) Физкультминутка (посвящение в Пифагорейцы)

Все встали около парт и поочерёдно каждой рукой в воздухе «пишут» тайный знак Пифагорейской школы (пентаграмму)

9) Доказательство Теоремы Пифагора (практический способ)

Одна из формулировок теоремы Пифагора:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Два человека за компьютером на сайте «Математические этюды»,

http://www.etudes.ru/ru/etudes/pythagorean-theorem/

остальные: работа в парах, раздаточный материал.

10) Решение опорных задач, оформление их в рабочей тетради

Задачи.

1.  Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти гипотенузу.

2.  Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13, а один из катетов равен 12. Найти второй катет.

3.  Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4, а угол, прилежащий к этому катету, равен 60°. Найти квадрат второго катета.

4. Разбор задачи про дальнобойщиков (см.начало урока).

5. Как с помощью верёвки изобразить прямой угол?

Домашнее задание:

• параграф 3, пункт 55, теорема+доказательство
• выполнить № 483(а,в), 486(а,б)

11) Рефлексия

В тетрадях по пятибалльной шкале обучающиеся оценивают урок, отвечая на вопросы:

1. Понравился ли в целом вам урок?
2. Приобрели ли вы новые знания?
3. Всё ли вам было понятно?
4. Сможете ли вы теперь объяснить своим товарищам тему «Теорема Пифагора» и рассказать о её практическом применении?

12) Заключение

Все обучающиеся получают сертификат об успешном изучении темы «Теорема Пифагора».

Ответы@Mail.Ru: Напишите пожалуйста теорему пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Помимо этого есть ещё обобщённая теорема Пифагора (теорема косинусов) : квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

сам поди вырвал, лентяй

<a rel=»nofollow» href=»http://www.clascalc.ru/pithagorean-theorem.htm» target=»_blank»>http://www.clascalc.ru/pithagorean-theorem.htm</a> зайди и выучи

<img src=»//content.foto.my.mail.ru/mail/ivanovserezha/_animated/i-567.gif» >

«Пифагоровы штаны на все стороны равны». А если серьезно: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Доказательство смотри по ссылке выше.

Открытое занятие клуба «Мыслитель» по теме «Из истории теоремы Пифагора»

Цели занятия:

• познакомить с историей теоремы Пифагора,
• расширить кругозор учащихся,
• научить применять теорему Пифагора на практике,
• научить исследовать и собирать материал по теме.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Вступительное слово учителя

– Главная задача работы нашего клуба научиться разумно  применять знания на практике, а значит научиться решать задачи, не просто решать, а решать рационально. Приведу слова известного математика Д. Пойа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело идите в воду, а если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их…».

II. Презентация «По следам Пифагора»

Показываем слайды презентации с комментированием.

Да, путь познания не гладок
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,            
И поискам предела нет.
На радужной узрел я оболочке
Бегущие квадратики, кружочки,
Вселенной опрокинутый узор,
И вспыхнуло в мелькании сквозь строчки
Пылающее имя – Пифагор!!!

1 слайд. Пифагор. Портрет Пифагора

2 слайд. По следам Пифагора

– Пифагор – один из самых известных учёных, но и самая загадочная личность, человек символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели. Так, кто же ты Пифагор?

3 слайд. Биография Пифагора.

– Пифагор родился в 570 г. до н. э. на острове Самос.
Отец его Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Имя его матери неизвестно, по некоторым  источникам называют её Пифаидой, дочерью основателя Самоса. По  многим античным свидетельствам, родившийся у них мальчик был сказачно красив, а вскоре проявил свои незаурядные способности. В 20 лет он по совету учителя отправляется путешествовать в поисках познаний. Попадает в Милет, общается со знаменитым Фалесом, учится многому у него. Затем по совету Фалеса отправляется в Египет, путешествует по странам Востока, посещает Египет и Вавилон, подробно изучает восточную математику.  После 20 лет странствий возвращается на родину.  Затем поселяется в городе Кротоне и создаёт там знаменитую Пифагорейскую школу.

4 слайд Пифагорейская школа

– Система знаний в школе состояла из 4 разделов:

1. Арифметики – учения о числах.
2. Геометрии – учения о фигурах.
3. Астрономии – учения о строении мира.
4. Музыки – учения о гармонии и теории музыки.

– Эта система,  заложенная Пифагором  просуществовала тысячелетия.
В школе был особый распорядок дня. Вставали с восходом солнца и шли на морской берег встречать рассвет. Вместе строили планы на день предстоящий.
Члены Союза с равным усердием заботились и о духовном развитии и о физическом развитии. Среди победителей олимпийских игр в те времена было много пифагорейцев.  Сам Пифагор 4 раза был олимпийским чемпионом по кулачному бою.
В пифагорейской школе члены делились на математиков и акусматиков. Те, которые активно выступали были математиками, а те, которые больше слушали были акусматиками. Если кто-то проявлял активность его из акусматиков переводили в математики.
Жили они по правилам поведения, объединённым в моральный кодекс пифагорейцев, записанным в книге «Золотые стихи».

5 слайд «Золотые стихи»

Пифагоровы нравоучения или Моральный кодекс пифагорейцев

1. Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему тому, что хочешь знать.
2. Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
3. Прежде, чем говорить, дай мысли созреть под твоим языком.
4. Спеши делать добро лучше настоящим утром, чем наступающим вечером.
5. Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне. Первым твоим законом должно быть уважение к самому себе.
6. Начало есть половина всего.
7. Будь с тем, кто ношу взваливает, но не с тем, кто ношу сваливает.
8. Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не заставит раскаиваться.

– Пифагорейцы день начинали со  стихов:

Прежде, чем отойти от снов,
навеянных ночью
нужно на вопрос  себе ответить: 
Какие дела тебе день приготовил.

– А спать, отправлялись со стихами:

Прежде, чем напустить сон
на свои усталые очи,
попробуй на 3 вопроса  ответить:
Что я сделал?
Что не сделал?
И что мне ещё осталось сделать?..

6 слайд  Пентаграмма

– Пентаграмма – звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.  Пятиконечная звезда считалась в школе Пифагора символом дружбы, была чем-то вроде талисмана, которым одаривали друзей; тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга.
Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев заболел и больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить им за заботу, он перед смертью попросил их нарисовать на воротах дома пентаграмму, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые отблагодарят их.  И на самом деле через некоторое время один из пифагорейцев поинтересовался почему у них этот знак и услышав рассказ, щедро отблагодарил их.

 

 

7 слайд Пифагор и геометрия

– Именно Пифагор и его ученики придали геометрии характер настоящей науки.  Пифагору приписывается много замечательных открытий, доказательств:

1) теорема о сумме углов треугольника;
2) геометрические способы решения квадратных уравнений;
3) построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой
4) знаменитая теорема Пифагора и другие открытия.

8 слайд Знаменитая теорема Пифагора

– История показывает, что нет сомнения в том, что эту теорему знали за много лет до Пифагора.
Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне уже знали о треугольнике со сторонами 3, 4. 5 и пользовались этим треугольником. За 1200 лет до Пифагора в Вавилоне и за 2000лет в Египте уже знали это соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Исследование показывает, что скорее всего Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить  и доказать, перевести его тем самым из области практики в область науки. Поэтому это свойство и названо теоремой Пифагора.

9 слайд Пифагоровы тройки

– Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется «египетским треугольником» Этот треугольник потому и называется египетским, что он был известен ещё египтянам  и они его использовали для построения прямого угла.
Такие тройки чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора, и назвали пифагоровыми числами или пифагоровыми тройками. Таких троек существует очень много.
Вот несколько  пифагоровых троек:

32 +  42  = 52
72 + 242 = 252
112 + 602  = 612
632 + 162 = 652
332  + 562  = 652

– Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей:

1. Один из катетов должен быть кратным трём
2. Один из катетов должен быть кратным четырём
3. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

III. Знакомство с историей теоремы Пифагора

10 слайд Теорема Пифагора в дружеских шаржах

– Теорема Пифагора известна, наверное,  каждому человеку и на неё есть много дружеских шаржей.

11 слайд  Тайна Пифагора

– Была у Пифагора и его учеников тайна, сохраняемая даже под угрозой жизни. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1см. Проведём диагональ. Найдём её по теореме Пифагора. Имеем:

ВД2 = АВ2 +  АД2,     ВД2  = 2,    ВД =

– Сейчас мы знаем, что    – это иррациональное число. Но во времена Пифагора таких чисел не знали. Это противоречило утверждению Пифагора «Всё есть число». Отрезок есть, а числа нет. Пифагор решил сохранить это открытие в тайне. Существует легенда, что один из Пифагорейцев разгласил эту тайну. Боги разгневались и страшно его покарали. Он погиб при кораблекрушении.

12 слайд Числовая мистика

– «Всё есть число», «Числа правят миром» – изречения Пифагора.  Он считал, что через числа можно выразить все закономерности мира. Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры.

Число 1 означало  огонь,
2      –   землю,
3      –   воду,
4      –   воздух,
Сумма этих чисел  10  – весь мир,
5     –     любовь,
6     –     холод,
7     –      азум, свет, и.т. д.

– Чётные и нечётные числа ввёл именно Пифагор.
Чётные числа  считались несчастливыми, а   нечётные счастливыми.    Эта традиция сохранилась до сих пор, поэтому на праздник дарят нечётное число цветов, а на похороны  – чётное число.

13 слайд Крушение Союза

– Шло время, пифагорейский союз пришёл к власти в Кротоне. Появились зависть, недовольство, обман. К Пифагору пришёл некий человек Килон с просьбой принять его в союз, он обладал богатством и знатностью, но и тяжёлым характером. Пифагор отказался его принять и тот, обидевшись, отомстил Пифагору.  Однажды во время собрания он и его помощники подожгли дом, где шло собрание пифагорейцев. Многие погибли в огне. Пифагорейцы терпели одно поражение за другим. Сам Пифагор бежал и погиб в одной из ночных схваток.  А по другим источникам он не выдержал без продолжателей своего учения и лишил себя жизни. Нсть и другие версии его смерти…
Попрощаемся и мы с этим замечательным человеком:

Тихо ночь легла ему на веки,
Сжалась жизнь у времени в горсти,
Но, чтобы уйти ему навеки,
Надо нам, ученикам, уйти…

14 слайд Новые доказательства теоремы Пифагора

Подумав, комментируем доказательство теоремы по этим чертежам. По первому рисунку доказательство проводится, с помощью вырезания четырёх одинаковых треугольников. Второе доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.

По этим рисункам предлагается самостоятельно доказать теорему Пифагора.

IV. Решение практических задач с применением теоремы Пифагора

15 слайд

– Теорема Пифагора имела всегда самое широкое распространение и применение, говорят для того, чтобы получить звание магистра науки требовалось новое доказательство теоремы Пифагора. Ну и конечно же умение решать задачи на применение теоремы Пифагора. Этим мы сейчас и займёмся.

1. Задача  индийского учёного Бхаскара  Акария (1114 г.):

 

На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.
Задача сводится к нахождению длины отрезка СД по теореме Пифагора. СД² = СА² + АД²,   СД = 5,   тогда высота тополя равна:  3 + 5 = 8 футов.

2. Задача из старинного китайского трактата:

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растёт тростник, выходящий из земли на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина его достигнет берега. Какова глубина озера?

Решение:  Пусть глубина озера АВ равна х, ВК = 1, по условию,
ВС = 5, как половина стороны квадрата, если нагнуть тростник, то вершина его коснётся берега, то есть точки С, значит АС = АК = х + 1.  По  теореме Пифагора имеем:

АС² = АВ² + ВС²,   
(х + 1 )² =  х² + 5²,  отсюда следует  
х² + 2х + 1 = х² + 25, то есть х + 12.

Ответ: глубина озера 12 футов

3. Задача о птицах (Арабская задача):

На разных берегах реки растёт по пальме. Высота одной  — 30 локтей, другой – 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность между пальмами. Птицы кинулись разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба?

Решение: 202 + (50 – х )² =  х² + 30²,

Ответ: x = 20 локтей. (Локоть – старинная  мера)

4. Задача о башнях:

Одна из башен в полтора раза выше другой. Расстояние между основаниями башен равно 120 метров, а между шпилями – 125 м. Чему равна высота каждой башни?

x²  :  4  = 125²  – 120², x = 70

Ответ: 70 м, 105 м.

5. Задача. Чему равно расстояние от школы до дома?

Аня, Витя и Серёжа живут в домах А. В, С, расстояния между которыми равны соответственно 400 м, 680 м, 840 м. Дороги ВД и АС пересекаются под прямым углом, и на их пересечении находится школа, в которой учатся ребята. Чему равны расстояния от школы до каждого из домов?

680² – x² = 400² – (840 – x)²

Ответ: 240 м, 320 м и 600м.

VI. Викторина  по теме: «По следам Пифагора»

– Подведём итог сегодняшнего заседания клуба в форме викторины по теме занятия.

1) Где и когда родился Пифагор?
2) Назовите длины сторон египетского треугольника
3) Какие треугольники называют пифагоровыми?
4) Как читается знаменитая теорема Пифагора?
5) Как называется книга, в которую пифагорейцы объединили свои правила поведения?
6) Что являлось тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга?
7) Какая тайна была у пифагорейцев, которую нельзя было разглашать даже под знаком смерти?
8) Что связывает Пифагора и олимпий

Занимательные задачи по теме: «Теорема Пифагора». 8-й класс

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества задач. Поэтому для формирования понимания значимости теоремы Пифагора при изучении как геометрии, так и других дисциплин, умений применять теорему Пифагора к решению задач я предлагаю восьмиклассникам индивидуальные разноуровневые задачи, требующие творческого подхода в решении и оформлении. Решение таких занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.

Задача №1. Древнеиндийская задача.

Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
И ветер порывом
Отнёс его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

Решение.

 

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5 )² – Х² = 2² ,

Х² + Х + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Задача №2. Задача индийского математика XII в. Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение.

Пусть АВ – высота ствола. По теореме Пифагора имеем СD= . АВ = АС + АD, АВ = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача №3. Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение.

Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +А D2 =302 +Х2=900+Х2; в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 =202+(50 – Х)2 =400+2500 – 100Х+Х2=2900 – 100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – 100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Задача №4. Египетская задача.

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

Решение.

Пусть АВ = АС – длина стебля. Из АDС по теореме Пифагора СD =

Ответ: 5 футов.

Задача №5.

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение.

Пусть АВ=9 – высота ствола, искомая высота АС=Х, тогда СК = 9 – Х. Из САК по теореме Пифагора СК2 = АС2 + АК2; (9 – Х)2 = Х2 + 32, 81 – 18Х + Х2 = Х2 + 9, 18Х = 72, Х = 4. Значит, ствол переломлен на высоте 4 футов.

Ответ: 4 фута.

Задача №6.

В центре квадратного пруда, имеющего 10 футов в длину и ширину, растет тростник, возвышающийся на один фут над поверхностью воды. Если его пригнуть к берегу, к середине стороны пруда, то он своей верхушкой достигнет берега. Какова глубина пруда в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м)?

Решение.

Обозначим глубину озера В D = х, тогда АВ = ВС = х + 1 – длина тростника. Из ?В DС по теореме Пифагора СD² = СВ² – ВD²,

5² = (х + 1)² – х²,

25 = х² + 2х + 1 – х²,

2х = 24,

х = 12.

Значит, глубина пруда 12 футов. 12 • 0,3 = 3,6 (м).

Ответ: 3,6 м.

Задача №7.

Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Решение.

а) Пусть АВ – длина лестницы из 17 ступенек. Из АКD по теореме Пифагора АD = (см), АВ = 45 • 17 = 765 (см) = 7, 65 (м). б) ВС = 40 • 17 = 680 (см). Из АСВ по теореме Пифагора АС = (см) = 3,5 (м).

Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.

Задача №8.

Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Решение.

Из АН D по теореме Пифагора АН = (км), АВ = 2 • АН + НК, АВ = 2 • 2,755 + 0,12 = 5,63 (км).

Ответ: 5,63 км.

Задача №9.

Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.

Решение.

Ответ: 560 м.

Задача №10.

Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение.

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние а между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклоненном положении. Возвратим камыш в исходное положение и определим высоту в над водой, на которую поднимется при этом точка В наклонённого камыша, заняв исходное положение С. Тогда обозначив через D основание камыша, а через х – искомую глубину АD, из прямоугольного АВD по теореме Пифагора находим х2 +а2 = (х+в)2, х2+а2= х2+2хв+в2 2хв=а2 – в2 , х=

Задача №11.

Как далеко видно с маяка данной высоты над уровнем моря?

Решение.

Если обозначить через Н высоту маяка, а через R радиус Земли ( R приближенно равен 6400 км), то искомое расстояние будет равно S = . При Н=125 м S = 40 км.

Ответ: с высоты маяка в 125 м обозревается расстояние в 40 км.

Задача №12.

Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально, равна 3 м/с.

Решение.

 

v² = 3² + 4² = 25

v = 5.

Ответ: 5 м/с.

Литература:

• Семенов Е.Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1987.
• Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука, 1990.
• Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1978.
• Газета «Математика»: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», № 24, 2001 г. «Изучаем теорему Пифагора».
• Ульянова Е.А. Урок геометрии в 8-м классе по теме: «Теорема Пифагора» (интегрированный урок). – Фестиваль «Открытый урок 2005– 2006».
• Борисова Н.А. Урок-конференция по геометрии в 8-м классе по теме: «Пифагор и его теорема». – Фестиваль «Открытый урок 2005– 2006».