Виды треугольников и их свойства: Виды треугольников – острый, равнобедренный, равносторонний (5 класс, математика)

Содержание

Треугольник. Свойства и признаки треугольника.

Треугольник произвольный

 

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (тремя углами).

Виды треугольников:+ показать

Остроугольный треугольник  – треугольник, у которого все углы острые (то есть меньше 90˚).

Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов  тупой (больше 90˚).

Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90˚).

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием.

Равносторонний (правильный) треугольник –  треугольник, у которого все три стороны равны.

 Свойства 

+ показать

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

2.

 Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

3. Сумма углов треугольника равна 180 º .

4. Внешний угол треугольника  равен сумме внутренних углов,
не смежных с ним:

(Внешний угол образуется в результате продолжения одной из сторон треугольника).

5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Признаки равенства треугольников

+ показать

1. Треугольники равны, если у них соответственно равны две стороны и угол между ними.

 2. Треугольники равны, если у них соответственно равны два угла и прилегающая к ним сторона.

 

3. Треугольники равны, если у них соответственно равны три стороны.

Биссектриса, высота, медиана

 

Здесь подробно о биссектрисе, высоте, медиане треугольника.

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей  стороне и равна ее половине.

 

Вписанная окружность

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность

Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.

Соотношение сторон в произвольном треугольнике

 

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

 

Через сторону и высоту

Через две стороны и угол между ними

Через радиус описанной окружности

Через радиус вписанной окружности

, где – полупериметр

Формула Герона

, где  – полупериметр

 

Смотрите также площадь треугольника здесь.

И, думаю, будет полезна  таблица формул для треугольника.

 

«Виды треугольников и их свойства».

5-й класс

Тип урока: усвоение новых знаний.

Цель: Создать условия для формирования свойств углов и сторон треугольника, умения использовать их для различных видов треугольников.

Планируемые результаты учащиеся выведут правило треугольника и свойство углов треугольника; научатся рассуждать и делать выводы; слушать собеседника и вести диалог; работать в группе; излагать и аргументировать свою точку зрения; оценивать себя и товарищей.

Личностные: способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение слушать, ясно и точно излагать свои мысли, развитие инициативы и активности при решении математических задач. Формировать умения работы в группах.

Метапредметные: умение понимать и использовать средства наглядности (чертежи, рисунки, модели и т. п.).

Развитие понимания сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом .

Предметные: овладение геометрическим языком, развитие изобразительных умений. Умение измерять углы с помощью транспортира, вычислять углы треугольника, используя свойство углов треугольника и определять существование треугольника по правилу треугольника. Умение анализировать, обобщать и делать выводы.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах.

Техническое оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска, учебники по математике, раздаточный материал, интерактивный плакат, электронная презентация, выполненная в программе PowerPoint.

Задачи:

формирование познавательных УУД: научить в процессе реальной ситуации использовать свойства треугольников. Решать задачи, используя свойство углов и правило треугольника.

формирование коммуникативных и личностных УУД: умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, выстраивать в группе сверстников продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность.
формирование регулятивных УУД: развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Методы:

  • по источникам знаний: словесные, наглядные;
  • по степени взаимодействия учитель – ученик: эвристическая беседа;
  • относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;
  • относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

Технологии: коз, системно-деятельностная.

Метод обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Технологическая карта урока

Деятельность учителя

1. Организационный момент.

Создать благоприятный психологический настрой на работу.

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.

Деятельность учащихся

Включаются в деловой ритм урока.

Записывают дату урока.

УУД

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.

2. Актуализация и самоопределение.

Актуализация опорных знаний и способов действий.

Интерактивная таблица (“ Наглядная математика”)

В: какие виды углов вы знаете?

В: дайте определение каждому из видов.

Презентация. Слайд 1, 2.

Распределить учащихся по группам с помощью теста :

что вы видите на данном рисунке?

1 – “Топологи”– прямоугольник.
2 – “Проективисты” – конверт.
3 – “Метристы”– пирамида вид сверху или крыша.
4 – “Порядковцы”– 4 треугольника
5 – “Алгебраисты”– по два равных треугольника.

Отвечают на поставленные вопросы

О: прямые, острые, тупые, развернутые.

О: дают определение каждому из видов.

Учащиеся с помощью теста делятся на группы (по уровню восприятия).

Регулятивные: Целеполагание, постановка учебной задачи; определение и осознание того, что уже известно

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

Познавательные: анализ объектов, выбор оснований, критериев для сравнения, классификации объектов.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД
3. Целеполагание и мотивация.

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока.

1) Отметьте в тетради три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и соедините попарно эти точки. Какая фигура у вас получилась?

Что вы знаете о треугольнике?

2) Слайд 3

3) ‹А=400, ‹В=600,‹С=? (Слайд 4)

Узнаем новое о треугольнике, так как он обладает большим количеством свойств, каким не обладает ни одна геометрическая фигура.

Сформулируйте тему урока. (Слайд 5, 6)

Поставьте цели урока.

1) Треугольник – определение.

Стороны, углы, вершины.

Составляют треугольники из палочек. Не всегда получается.

3) некоторые учащиеся не знают ответ.

Формулируют тему урока и цели урока: “Треугольники и их виды”.

Цель: узнать новые свойства углов и сторон треугольников. Научиться использовать эти свойства при решении дидактических задач.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели;

Личностные – формулирование проблемы.

4. Введение новых знаний.

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изучаемой темы.

Практическая работа в группах

Задание № 1.

Распределите данные треугольники на группы. По какому принципу вы будете это делать .

Опишите полученные группы моделей треугольников.

Задание № 2.

1)Выяснить связь между длинами сторон треугольника (измерьте стороны треугольника и установите зависимость между длинами сторон ∆).

2) Найти сумму углов в треугольнике

(с помощью транспортира и без него – оторвав углы бумажного треугольника и сложив их, получить развернутый).

3)Какие результаты получились?

Слайд 7.

4) Сделайте общий вывод.

Задание № 1.

Выполняют работу в группах, проверяя друг друга: делят пластиковые модели треугольников на 2 группы по следующему принципу

1. по величине углов – остроугольный, прямоугольный, тупоугольный;

2. по количеству одинаковых сторон – равносторонний, равнобедренный, разносторонний.

Описывают полученные группы моделей треугольников.

Результаты записывают в тетрадях.

Делают вывод о видах треугольников.

Задание № 2.

1) измеряют стороны треугольника. Сравнивают, анализируют и устанавливают зависимость между длинами сторон .

Делают вывод: сторона всегда меньше суммы 2-х других сторон.

2) измеряют углы в треугольнике с помощью транспортира и без него – оторвав углы и сложив их.

Находят их сумму.

3) Каждая группа учащихся высказывает свои предположения (по своим треугольникам).

Делают вывод о сумме углов треугольника.

(У всех результаты разные, но близкие к 1800)

Формулируют свойство углов треугольника.

4) Общий вывод: сторона треугольника всегда меньше суммы длин других сторон и сумма углов в треугольнике равна 1800 .

Коммуникативные: постановка вопросов, инициативное сотрудничество.

Познавательные: построение логической цепи рассуждений.

Регулятивные: саморегуляция.

5. Первичное закрепление.

Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.

Задание 3. Слайд 8.

В: определите какие из следующих треугольников существуют и назовите виды этих треугольников.

1 гр. 7см, 7см, 7см; 4м, 9м, 4м.

2 гр. 12дм, 3дм, 8дм; 7м, 8м, 7м.

3 гр. 1дм, 14см, 22см; 3см,4см, 5дм.

4 гр. 2 см; 5 см, 8 см; 6 дм, 7 дм, 8 дм.

5 гр. 11 дм, 11дм,1 дм; 12см,25 см,25 см.

Задание № 4. Слайд 9.

Найдите все углы в заданном треугольнике.

Задание № 5. Слайд 10.

Все группы делают одно задание.

Сколько треугольников вы видите на рисунке? Назовите виды этих треугольников.

Задание № 6. (Дополнительное.) Слайд 11.

Найди треугольники разных видов.

Тупоугольные треугольники закрасить красным цветом.

Прямоугольные треугольники закрасить зеленым цветом.

Остроугольные треугольники закрасить желтым цветом.

1 гр. Да, равносторонний. Нет,9›4+4.
2 гр. Нет,12› 3+8. Да,
равнобедренный.
3 гр. Нет, 22›1+14. Да, разносторонний.
4 гр. Нет, 8› 2+5. Да, разносторонний.
5 гр. Да, равнобедренный. Да, равнобедренный.

Выполняют, по группам обсуждая решение.

Ответы:

1. по 600; 2. 900, 450,450; 3.500;
4. 900, 300 ; 5.по 500.

О: 1). 8 – все прямоугольные и равнобедренные.

2) 8–4 прямоугольных,2 остроугольных и равнобедренных,

2 – тупоугольных и равнобедренных.

3).8-2-тупоугольных и равнобедренных,4 остроугольных,

2-тупоугольных.

Каждая группа раскрашивает своего “человечка”.

Проверка. У всех должно получиться одинаково.

Регулятивные: контроль, оценка, коррекция.

Познавательные: умение структуризировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач, рефлексия способов и условий действия.

Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог, отстаивать свою точку зрения, контроль, коррекция .

6. Организация первичного контроля.

Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков.

Тест “Да и нет не говорите, лучше сразу напишите”. Слайд 12, 13.

1. Существует ли треугольник, у которого два прямых угла?
2. Существует ли треугольник, у которого два тупых угла?
3. Существует ли треугольник, у которого один из углов тупой, а другой прямой?
4. Можно ли назвать равнобедренный треугольник, у которого основание равно боковой стороне равносторонним?
5. Может ли сторона равностороннего треугольника быть равной 2 см, если его периметр 6 см?
6. Существует ли треугольник со сторонами 1см, 2см,12см?
7. Существует ли треугольник с углами: 300 , 600 , 900?

Проверка по ключу.

Ключ.

1 2 3 4 5 6 7
О нет нет нет да да нет да

Отчет о работе в группах (лист самооценки).

Подсчитать количество баллов у каждого и в группе в целом.

Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Познавательные: освоение способа действий, моделируют, оценивают результат своей деятельности;

Личностные: самоопределение.

7. Информация о домашнем задании.

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Каждому учащемуся в группе раздается фигура, состоящая из 10 правильных одинаковых треугольников.

Задание:

Изготовить интересную геометрическую фигуру, которая состоит из треугольников и меняется, выворачиваясь на изнанку. Эта игрушка называется “Флексагон”

Записывают домашнее задание в дневнике.

8. Подведение итогов урока. Рефлексия учебной деятельности.

Осуществляет самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия.

Рефлексия учебного материала и деятельности учащихся.

Листок настроения.

Слайд 13.

В начале урока у первого человечка нарисовать свое настроение, а в конце – у второго.

Регулятивные: оценка –осознание уровня и качества усвоения; контроль

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Личностные: интерес к учебному материалу.

Урок 63. виды треугольников по видам углов. закрепление изученного материала — Математика — 3 класс

Математика

3 класс

Урок № 63

Виды треугольников по видам углов. Закрепление изученного материала

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Какие виды треугольников различают по видам углов?

Как различать треугольники: прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?

Тезаурус:

Геометрия – это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника.

Виды треугольников по величине углов

Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой, т.е. 90º.

Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.

Основная и дополнительная литература:

1. Моро М. И. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. М. «Просвещение» — 2017. С. 85-87.

2. Волкова С. И. математика. Тесты. 3 кл. – М.: Просвещение, 2018. С. 60-67.

3. Рудницкая В. Н. Математика. Дидактические материалы. ч.1 3 кл. – М. «Вентана- Граф», 2016, с. 47-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что вы уже знаете о видах треугольников.

По длине сторон различают: разносторонние, равнобедренные и равносторонние треугольники.

Но было бы несправедливо разделить все треугольники на 3 вида по длине сторон. Ведь у каждого есть ещё и по три угла.

У вас уже появились идеи?

Углы бывают:

Острые – меньше прямого

Прямые – угол 90 градусов

Тупые – больше прямого

Оказывается, по величине углов все треугольники тоже можно разделить на 3 вида:

те, у которых все углы острые, – остроугольные,

те, у которых есть прямой угол, – прямоугольные,

те, у которых есть тупой угол, – тупоугольные.

Для того чтобы безошибочно определить вид треугольника по величине углов, необходимо измерить все три угла при помощи транспортира.

Обычно вид треугольника можно определить на глаз.

Попробуйте определить виды треугольников по величине углов без измерений.

Проверим.

Прямоугольный –1, 3

Остроугольный – 6

тупоугольный– 2, 4, 7, 5

Сделаем вывод:

По величине углов различают 3 вида треугольников:

Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные

Определить вид треугольника можно тремя способами:

с помощью измерений, на глаз и по условным обозначениям.

Теперь вы можете различать виды треугольников по сторонам и по углам. Эти знания необходимы в геометрии.

Задания тренировочного модуля

Закончите предложения:

Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого ……………………

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть ……………………

Тупоугольный треугольник – треугольник, все стороны которого есть ……………………

Правильные варианты ответов:

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы острые.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол.

Тупоугольный треугольник — треугольник, все стороны которого есть тупой угол.

Определите вид треугольника по величине углов и выпишите номера треугольников по порядку:

Правильный ответ:

Остроугольные: 1, 2, 10

Прямоугольные: 4, 6, 8, 12

Тупоугольные: 3, 5, 7, 9, 11

Треугольник и его виды / Геометрия / Справочник по математике 5-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по математике 5-9 класс
  4. Геометрия
  5. Треугольник и его виды

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки. Указанные точки называются вершинами треугольника, а отрезкисторонами.

Данная фигура является треугольником (произносят: треугольник АВС, пишут: ∆ АВС). Точки А, В, С вершины треугольника, а отрезки АВ, ВС, АСстороны.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Виды треугольников

По виду углов:

  1. Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые.

  1. Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов тупой.

  1. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой.

Сумма углов любого треугольника равна 1800.

По количеству равных сторон:

  1. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

OXP — равнобедренный: XO = XP. Равные стороны на рисунке отмечают равным количеством чёрточек (в нашем случае одной чёрточкой). В равнобедренном треугольники равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием, т.е. в ∆OXP: XO и XP — боковые стороны, а OP — основание.

  1. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны.

WYZ — равносторонний: WY = YZ = ZW. Равносторонний треугольник также называют правильным. Если сторона равностороннего треугольника равна , то его периметр вычисляют по формуле:

P = 3
  1. Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны имеют различную длину.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Отрезок

Ломаная

Четырехугольники

Единицы измерения площадей. Свойства площадей

Прямоугольник, его периметр и площадь. Ось симметрии фигуры

Квадрат. Периметр и площадь квадрата.

Многоугольники. Правильные многоугольники. Равенство фигур.

Плоскость

Прямая

Луч

Шкалы и координаты

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Куб. Площадь поверхности куба

Куб. Объем куба

Угол. Обозначение углов

Прямой и развернутый угол

Чертежный треугольник

Измерение углов. Транспортир. Виды углов

Окружность, круг, шар

Цилиндр, конус

Отрезок-xx

Геометрия

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 329, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 508, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 784, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1686, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 370, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 418, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 507, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 508, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1193, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 685, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 717, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 7, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1184, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1257, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1268, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 738, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1409, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1595, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 753, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник


© budu5. com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Урок, «Треугольники» Виды треугольников их свойства. Признаки равенства треугольников.

I. Этап «Вызов»

 

Учитель приветствует учащихся, позитивный настрой, деление на группы «Виды треугольников»

Учитель предлагает ученикам модели треугольников разной формы, размеров и цветов. Они выбирают себе по одному, за тем рассаживаются по группам:

 1 группа – остроугольный треугольник.

2 группа – прямоугольный треугольник

3 группа – равнобедренный треугольник

4 группа – тупоугольный треугольник.

проверяет их готовность к уроку;

 

Учитель предлагает учащимся игру «Верю, не верю»

Верны ли утверждения?

  1. Если треугольники равны, то каждый угол первого треугольника равен каждому углу второго треугольника.
  2. Верно ли, что каждому углу первого треугольника можно найти угол, равный ему во втором, равном треугольнике?
  3. Верно ли, утверждение, что если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  4. Высота равнобедренного треугольника является медианой, биссектрисой.
  5. Медиана равностороннего треугольника, проведённая к основанию, называется высотой и биссектрисой.
  6. В треугольнике углы при основании равны.

 

Учитель предлагает учащимся «Батл» между командами, составить вопросы по 3 тонких вопроса и по 2 толстых вопроса

 «Тонкие» вопросы

Требуют лишь знания текста.

  • «Кто…»
  • «Когда…»
  • «Что…»
  • «Как называли…»
  • «Что говорили…»
  • «Какой…»
  • «О чём думал…»
  • «Что делал…» и т. п

«Толстые» вопросы

Требуют размышления и анализа. Включаем голову.

  • «Объясните, почему…»
  • «Как мог бы иначе поступить…»
  • «Что было бы, если…»
  • «Мог ли…»
  • «В чём сходство и различие между…»
  •  «Можно ли согласиться, что…» и т.п.

 

Учащиеся готовы к началу работы, определяют роли в группах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся поднимают палец вверх если утверждение верно, если не верно, то вниз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся работая в группе составляют вопросы опираясь на карту «толстых и тонких вопросов»

 

II. этап «Осмысление»

«Синквейн», учащимся составить

1.      строчка. Одно существительное, являющееся темой синквейна.

2.      строчка. Два или несколько прилагательных, раскрывающих тему синквейна.

3.      строчка. Три глагола, относящиеся к ней.

4.      строчка. Целая фраза или предложение, состоящее из нескольких слов, выражающих своё отношение к теме синквейна.

5.      строчка. Одно слово, резюме, которое дает новую интерпретацию темы и позволяет выделить личное к ней отношение.

«Пазл» учитель раздает карточки (пазлы) на которых изображены треугольники

 

 

 

«Кластер — Бренд» на листе А3 каждая группа должна как можно больше расписать о своем треугольнике

 

 

 

 

«Задача —  на удачу!»

Учитель предлагает каждой группе учащимся по рисунку записать условие задачи, дано и найти решение.

 

 

Работая в группе учащиеся составляют ёлочку из 5 треугольников, на каждом из которых будет по строчке.

Крепят свою ёлочку на доску.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся должны найти соответственно равные треугольники по признакам равенства треугольников, и указать по какому признаку они равны.

 

Учащиеся рисуют кластер, схему. Вносят туда все определения и термины связаны с их видом треугольника.

 

Защита кластера

 

Учащиеся работая в группе разбирают рисунок задачи, оформляют в тетрадях, находят решение задачи.

По одному из членов группы выходят к доске и демонстрируют решение классу.

III. этап «Рефлексия»

«Оценочный лист»

 

 

 

 

«Две звезды, одно пожелание» , на стикерах записать свое впечатление о уроке, на сколько ваша работа на уроке была успешная и пожелание

 

Внутри группы, по критериям оценивают работу каждого члена группы, выставляют итоговый балл.

 

 

Крепят свои стикеры на ёлочку «Синквейн»

Основные элементы треугольника и их свойства. Свойства треугольника

Типы треугольников

Рассмотрим три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки (рис. 1).

Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника, а концы отрезков (три точки, не лежащие на одной прямой) – вершинами треугольника.

В таблице 1 перечислены все возможные типы треугольников в зависимости от величины их углов .

Таблица 1 – Типы треугольников в зависимости от величины углов

Признаки равенства прямоугольных треугольников
Рисунок Тип треугольника Определение
Остроугольный треугольник Треугольник, у которого все углы острые , называют остроугольным
Прямоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов прямой , называют прямоугольным
Тупоугольный треугольник Треугольник, у которого один из углов тупой , называют тупоугольным
Остроугольный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого все углы острые , называют остроугольным

Прямоугольный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого один из углов прямой , называют прямоугольным

Тупоугольный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого один из углов тупой , называют тупоугольным

В зависимости от длин сторон выделяют два важных типа треугольников.

Таблица 2 – Равнобедренный и равносторонний треугольники

Рисунок Тип треугольника Определение
Равнобедренный треугольник боковыми сторонами , а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника
Равносторонний (правильный) треугольник Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником
Равнобедренный треугольник

Определение:

Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным треугольником. В этом случае две равные стороны называют боковыми сторонами , а третью сторону называют основанием равнобедренного треугольника

Равносторонний (правильный) треугольник

Определение:

Треугольник, у которого все три стороны равны, называют равносторонним или правильным треугольником

Признаки равенства треугольников

Треугольники называют равными , если их можно совместить наложением .

В таблице 3 приведены признаки равенства треугольников .

Таблица 3 – Признаки равенства треугольников

Рисунок Название признака Формулировка признака

по
двум сторонам и углу между ними

Признак равенства треугольников по
стороне и двум прилежащим к ней углам

Признак равенства треугольников по
трём сторонам
Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

Формулировка признака .
Если две стороны одного треугольника и угол между ними соответственно равны двум сторонам другого треугольника и углу между ними, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Формулировка признака .
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны
Признак равенства треугольников по трём сторонам

Формулировка признака .
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.

Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 2), две другие стороны называют катетами .

Таблица 4 – Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Формулировка признака .
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу

Формулировка признака .
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны
Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

Треугольники

Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Виды треугольников

Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.

Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые, то есть меньше 90°.

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой, то есть больше 90°.

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

    Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

    Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

    Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

Высота

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

    В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.

    В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

    Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

    Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника .

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

    две стороны и угол между ними;

    два угла и прилежащая к ним сторона;

    три стороны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны:

    гипотенуза и острый угол;

    катет и противолежащий угол;

    катет и прилежащий угол;

    два катета ;

    гипотенуза и катет .

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

    два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;

    две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;

    три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты , медианы , биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности :

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos

Формулы площади треугольника

    Произвольный треугольник

a, b, c — стороны; — угол между сторонамиa и b ;- полупериметр;R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; h a высота, проведенная к стороне a .

При изучении математики ученики начинаются знакомиться с различными видами геометрических фигур. Сегодня речь пойдет о различных видах треугольников.

Определение

Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Рис. 1. Треугольник ABC.

Виды треугольников

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

  • остроугольные;
  • прямоугольные;
  • тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Рис. 2. Виды треугольников по углам.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.

Причем, большая сторона является гипотенузой.

Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние;
  • равнобедренные;
  • разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.

Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.

Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.

Существует понятие золотого треугольника. Это равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны пропорциональны основе и равны определенному числу. В такой фигуре углы пропорциональны соотношению 2:2:1.

Задача:

Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?

Решение:

Для решения данного задания нужно использовать неравенство a

Что мы узнали?

Из данного материала из курса математики 5 класса, мы узнали, что треугольники классифицируются по сторонам и величине углов. Треугольники имеют определенные свойства, которые можно использовать при решении заданий.

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 — четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника , отрезки — его сторонами . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми , третья сторона — основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны . Равносторонние треугольники всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. — М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. — М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. — М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. — М.: «Экзамен», 2012.
  1. Nsportal.ru ().
  2. Prosv.ru ().
  3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются , отрезки — его . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Треугольник — определение и общие понятия

Треугольник – это такой простой многоугольник, состоящий из трех сторон и имеющий столько же углов. Его плоскости ограничиваются 3 точками и 3 отрезками, попарно соединяющими даные точки.

Все вершины любого треугольника, независимо от его разновидности, обозначаются заглавными латинскими буквами, а его стороны изображаются соответствующими обозначениями противоположных вершин, только не большими буквами, а малыми. Так, например, треугольник с вершинами обозначенными буквами А, В и С имеет стороны a, b, c.

Если рассматривать треугольник в евклидовом пространстве, то это такая геометрическая фигура, которая образовалась с помощью трех отрезков, соединяющих три точки, которые не лежат на одной прямой.

Посмотрите внимательно на рисунок, который изображен вверху. На нем точки А, В и С являются вершинами этого треугольника, а его отрезки носят названия сторон треугольника. Каждая вершина этого многоугольника образует внутри его углы.

Виды треугольников



Согласно величины, углов треугольников, они делятся на такие разновидности, как: Прямоугольные;
Остроугольные;
Тупоугольные.



К прямоугольным принадлежат такие треугольники, у которых в наличии есть один прямой угол, а остальные два имеют острые углы.

Остроугольные треугольники – это те, у которых все его углы острые.

А если у треугольника имеется один тупой угол, а два остальных угла острые, то такой треугольник относится к тупоугольным.

Каждый из вас прекрасно понимает, что не все треугольники имеют равные стороны. И соответственно тому, какую длину имеют его стороны, треугольники можно поделить на:

Равнобедренные;
Равносторонние;
Разносторонние.



Задание: Нарисуйте разные виды треугольников. Дайте им определение. Какое между ними отличие вы видите?

Основные свойства треугольников

Хотя эти простые многоугольники могут отличаться друг от друга величиной углов или сторон, но в каждом треугольнике есть основные свойства, характерны для этой фигуры.

В любом треугольнике:

Общая сумма всех его углов равняется 180º.
Если он принадлежит к равносторонним, то каждый его угол равен 60º.
Равносторонний треугольник имеет одинаковые и ровные между собой углы.
Чем меньше сторона многоугольника, тем меньший угол расположен напротив него и наоборот напротив большей стороны находиться больший угол.
Если стороны равные, то напротив них расположены равные углы, и наоборот.
Если взять треугольник и продлить его сторону, то в итоге мы образуется внешний угол. Он равен сумме внутренних углов.
В любом треугольнике его сторона, независимо от того, какую бы вы не выбрали, все равно будет меньше, чем сумма 2-х других сторон, но больше чем их разность:

1. a b – c;
2. b a – c;
3. c a – b.

Задание

В таблице приведены уже известные два угла треугольника. Зная общую сумму всех углов найдите, чему равен третий угол треугольника и занесите в таблицу:

1. Сколько градусов имеет третий угол?
2. К какому виду треугольников он относится?



Признаки равности треугольников

I признак



II признак



III признак



Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины фигуры к его противоположной стороне, называется высотой треугольника. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения всех 3-х высот треугольника является его ортоцентром.

Отрезок, проведенный из данной вершины и соединяющий ее на средине противоположной стороны, является медианой. Медианы, также как и высоты треугольника, имеют одну общую точку пересечения, так называемый центр тяжести треугольника или центроид.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину угла и точку противоположной стороны, а также делящий этот угол пополам. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром окружности, вписанной в треугольник.

Отрезок, который соединяет середины 2-х сторон треугольника, называется средней линией.

Историческая справка

Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырех тысячелетней давности. Немного позже, благодаря теореме Пифагора и формуле Герона, изучение свойства треугольника, перешло на более высокий уровень, но все же, это происходило более двух тысяч лет назад.

В XV – XVI веках стали проводить много исследований о свойствах треугольника и в итоге возникла такая наука, как планиметрия, которая получила название «Новая геометрия треугольника».

Ученый из России Н. И.Лобачевский внес огромный вклад в познание свойств треугольников. Его труды в дальнейшем нашли применение как в математике, так и физике и кибернетике.

Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов.

А какой самый известный треугольник вы знаете? Это конечно же Бермудский треугольник! Он получил такое название в 50-х годах из-за географического расположения точек (вершин треугольника), внутри которых, согласно существующей теории, возникали связанные с ним аномалии. Вершинами Бермудского треугольника выступают Бермудские острова, Флорида и Пуэрто-Рико.

Задание: А какие теории о Бермудском треугольнике слышали вы?



А известно ли вам, что в теории Лобачевского при сложении углов треугольника их сумма всегда имеет результат меньший, чем 180º. В геометрии Римана, сумма всех углов треугольника больше 180º, а в трудах Эвклида она равна 180 градусам.

Домашнее задание

Решите кроссворд на заданную тему



Вопросы к кроссворду:

1. Как называется перпендикуляр, который провели из вершины треугольника к прямой, расположенной на противоположной стороне?
2. Как, одним словом можно назвать сумму длин сторон треугольника?
3. Назовите треугольник, у которого две стороны равны?
4. Назовите треугольник, у которого есть угол, равный 90°?
5. Какое название носит большая, из сторон треугольника?
6. Название стороны равнобедренного треугольника?
7. Их всегда три в любом треугольнике.
8. Какое название носит треугольник, у которого один из углов превышает 90°?
9. Название отрезка, соединяющего вершину нашей фигуры со срединой противоположной стороны?
10. В простом многоугольнике АВС, заглавная буква А является …?
11. Какое название носит отрезок, делящий угол треугольника пополам.

Вопросы к теме треугольников:

1. Дайте определение.
2. Сколько высот он имеет?
3. Сколько биссектрис у треугольника?
4. Чему равна его сумма углов?
5. Какие виды этого простого многоугольника вам известны?
6. Назовите точки треугольников, которые носят название замечательных.
7. Каким прибором можно измерить величину угла?
8. Если стрелки часов показывают 21 час. Какой угол образуют часовые стрелки?
9. На какой угол поворачивается человек, если ему дана команда «налево», «кругом»?
10. Какие еще определения вам известны, которые связанные с фигурой, имеющей три угла и три стороны?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Как найти среднюю линию треугольника? Свойства, теорема

ф

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Виды треугольников:

  • Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
  • Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
  • Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

  • В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
  • Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
  • Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Запоминаем

Средняя линия параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.


Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

 
  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.

  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.

  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.

  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:


Докажем теорему:

 
  1. По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

  2. Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

    (по второму признаку подобия треугольников).

  3. Так как △AMN ~ △ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

  4. Так как △AMN ~ △ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

    Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Теорема доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.


Как найти периметр треугольника:

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.


Решение:

 
  1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

    S = ½ × AC × BC
  2. Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

    MN = ½ × AC

    Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

  3. Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

    NP = ½ × BC

    Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

  4. Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

    S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Какие бывают виды треугольников?

Какие существуют типы треугольников?

Сумма углов любого треугольника равна Равносторонний

Равносторонний треугольник имеет три равные стороны и углы . У него всегда будут углы 60° в каждом углу.

Равнобедренный

Равнобедренный треугольник можно нарисовать разными способами.Можно нарисовать с двумя равными сторонами и двумя равными углами или с Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник имеет один угол 90° . Этот угол 90° показан в виде маленького квадрата, где соединяются две стороны треугольника. Треугольник может быть прямоугольным и равнобедренным одновременно.В этом случае углы будут 90°, 45° и 45°.

Разносторонний

Разносторонний треугольник имеет ни одного его стороны имеют одинаковую длину.

Тупоугольный

Тупоугольный треугольник имеет три различных угла , причем один угол больше 90° . Нет его сторон равны по длине.

Треугольник и его свойства – определение и типы

Возможно, слово «треугольник» вам встречалось несколько раз в жизни.Вы также можете знать, какова его форма и чем она отличается от квадрата или круга. Однако эта статья проливает свет на то, что такое треугольник в контексте математики.

 

Кроме того, вы также узнаете о треугольнике и его классе свойств 7. Поэтому вы будете взволнованы, когда обнаружите, насколько легко понять основные понятия, лежащие в основе этой главы. Однако сначала узнайте, что такое треугольник в математическом смысле.

 

Что такое треугольник?

Треугольники относятся к категории геометрии в математике.Другими словами, он имеет уникальную форму, которая отличает его от различных геометрических форм, которые вы видите в повседневной жизни. Однако треугольник в основном представляет собой замкнутый многоугольник с тремя прямыми сторонами.

 

Взгляните на следующую диаграмму:

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

На этом рисунке вы видите три отрезка AB, BC и AC, соединенные на концах. Кроме того, «треугольник» означает фигуру с тремя углами, как вы можете видеть на этой диаграмме.Таким образом, три угла равны ⊿BAC, ⊿ABC, ⊿ACB.

 

Вам будет интересно узнать, что независимо от того, какие углы в треугольнике, их сумма всегда равна 1800. Следовательно, этот многоугольник может существовать только в том случае, если сумма внутренних углов составляет 1800. Вы можете обратиться к этому явлению как суммарному свойству треугольника.

Теперь взгляните на типы треугольников, чтобы лучше понять треугольник класса 7 и его свойства.

Вы можете классифицировать типы треугольников в следующие категории:

типы треугольников

Определение

8

1. равносторонний треугольник

Виды треугольников

Properties



1. Остроугольный треугольник

В этом виде треугольника углы на всех трех сторонах меньше 900. Поскольку углы меньше 900, они острые.

Каждый из углов меньше 900, а сумма этих углов всегда равна 1800. 

2. Прямоугольный треугольник размерность 900. Поскольку 900 широко известен как прямой угол, треугольник, который имеет один такой угол, называется прямоугольным треугольником.

Одна сторона 900, остальные углы должны быть острыми. Это потому, что сложение всех внутренних углов всегда дает 1800. 

С другой стороны, сторона, противоположная наибольшему углу, является самой длинной стороной. Вы также можете назвать это гипотенузой.

3. Тупоугольный треугольник

В этом случае треугольник имеет только один угол, который больше 900. Его также можно назвать косым углом.

Естественно, два других угла должны быть меньше тупого угла. Это так, что внутренняя сумма всех углов остается 1800.


2

Как следует из названия, все три стороны этого типа треугольники равны по длине. Следовательно, углы внутри треугольника также должны быть одинаковыми.

Поскольку сумма внутренних углов равна 1800, в равностороннем треугольнике все углы должны быть равны. В этом случае каждый угол этого треугольника равен 600.

2. Равнобедренный треугольник

В этой категории треугольников две стороны имеют одинаковую длину. В результате нижележащие углы с каждой стороны также равны.

Поскольку две стороны имеют одинаковую длину, третья сторона должна иметь разную длину. Кроме того, угол другой стороны также отличается от предыдущих углов.

3. Разносторонний треугольник

В разностороннем треугольнике ни одна из трех сторон не имеет одинаковой длины.Следовательно, их углы также не равны друг другу.

В этом случае длины трех сторон различны. Однако сумма разнородных внутренних углов также должна быть равна 1800. 

 

Таблица выше завершает главу по математике для 7 класса о треугольнике и его свойствах. Однако следует знать и о дополнительных особенностях этих типов треугольников. Вы можете почерпнуть знания из следующего раздела.

 

Каковы свойства треугольников?

Взгляните на следующий треугольник и его свойства – 

  • Слово «вершины» относится к заостренным сторонам треугольника.

  • Всегда помните, что если сложить две стороны треугольника, сумма получится больше, чем длина третьей стороны.

  • Сторона, отражающая наибольший угол, всегда является самым длинным отрезком в треугольнике. В случае прямоугольного треугольника вы можете назвать эту сторону гипотенузой. Уравнение для нахождения гипотенузы:

(Гипотенуза)2 = (Перпендикуляр)2 + (Основание)2. Она известна как теорема Пифагора.

  • Площадь треугольника = 12 х высота х основание.

  • Сумма всех отрезков треугольника называется его периметром.

  • Сумма внутреннего угла и прилежащего к нему внешнего угла треугольника всегда равна 1800

 

Это первичный треугольник и его свойство. Однако попробуйте ответить на следующие вопросы:

  1. Может ли треугольник иметь два прямых угла?

  2. Может ли треугольник иметь два тупых угла?

  3. Может ли треугольник иметь три угла, равные 600?

Теперь, когда вы знаете о треугольнике и его свойствах, почитайте о похожих интересных темах на сайте Vedantu.Вы также можете загрузить наше приложение Vedantu для расширенного доступа к этим материалам.

 

Другие многоугольники

Многоугольники характеризуются как замкнутые двумерные формы, образованные путем соединения 3 или более линейных сегментов друг с другом. Многоугольники можно классифицировать как:

  • Правильные многоугольники. Правильные многоугольники — это многоугольники, все стороны которых связаны с ними, имеют тенденцию быть равными, и все внутренние углы измеряются одинаково. Например, квадрат — это правильный четырехугольник или правильный многоугольник с 4 сторонами, все углы которого равны 90 градусов.и т. д.

  • Треугольники. Треугольники, также известные как треугольники, представляют собой многоугольники, имеющие три стороны. Эти треугольники делятся на разные типы в зависимости от длины их сторон и меры угла. Например, равносторонний треугольник (треугольник со всеми сторонами и углами равен), равнобедренный треугольник (треугольник с 2 сторонами и равными углами) и т. д.

  • Четырехсторонние многоугольники. .Четырехугольники-многоугольники также называются четырехугольниками и четырехугольниками. Например, квадрат, ромб и т. д.

  • Равносторонние многоугольники. Равносторонние многоугольники — это многоугольники, все стороны которых имеют тенденцию быть равными. Например, равносторонний треугольник, квадрат, ромб и т. д.

  • Равноугольные многоугольники. Равноугольные многоугольники — это фигуры, у которых все внутренние углы равны. Например: прямоугольники, квадраты и т. д. 

Советы по изучению треугольников

Треугольник — это подтема многоугольников, содержащая множество формул.Чтобы учиться и получать высокие оценки по треугольникам, учащийся может следовать данным советам:

  • . Учащийся должен делать свои собственные записи и таблицы формул и свойств различных треугольников, чтобы понять их и использовать позже во время экзаменов.

  • Студенты должны решить много вопросов по теме. Они могут начать с выполнения упражнений NCERT «Треугольники»

  • . После завершения NCERT учащийся может перейти к справочникам, таким как RD Sharma и RS Aggarwal.Они могут найти решения для этих книг на официальном сайте Vedantu.

  • Студенты также должны просмотреть экзаменационные работы предыдущего года и решить в них вопросы Треугольника. Это поможет им сломать шаблон вопросов и понять уровень сложности вопросов, заданных на экзамене.

  • Они также могут найти множество БЕСПЛАТНЫХ ресурсов, таких как видеолекции и список важных вопросов, которые они могут получить на официальном сайте Vedantu.

  •  Учащиеся должны серьезно практиковать Треугольники, поскольку в старших классах одни и те же темы возвращаются к ним в более сложных формах.

Вот несколько советов, которым может следовать учащийся, чтобы понять треугольники глав и получить хорошие оценки.

Типы треугольников — определение, формулы, свойства, факты и размеры

Существуют различные типы треугольников, основанные на сторонах и углах треугольников. Треугольник может иметь все стороны одинаковые или все стороны разные. Точно так же треугольник может иметь либо все углы одинаковые, либо все углы разные. Углы могут быть меньше, больше или равны 90 градусов.Два треугольника с одинаковыми углами, но разной длиной сторон называются подобными треугольниками. Таким образом, отношение сторон большего и меньшего треугольника всегда постоянно.

 

Что такое треугольник?

По определению, треугольник — это двумерная фигура с плоской поверхностью, которую можно нарисовать на листе бумаги. Треугольник состоит из трех сторон, трех вершин и трех углов. Другими словами, мы можем сказать, что Треугольник — это простейший многоугольник. Многоугольники — это замкнутые, плоские, двумерные формы, имеющие множество углов.Минимальное количество углов, необходимых для создания многоугольника, равно трем, потому что один или два угла не могут образовать замкнутую форму. Каждый угол составляет угол. Самый простой факт о треугольнике заключается в том, что сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам.

 

Примечание. Ни один из углов не должен составлять ноль градусов или 180 градусов, так как это будет прямая линия, а не треугольник. Кроме того, ни один треугольник не может иметь два угла больше 90 градусов, так как он не будет треугольником.

 

Термины, относящиеся к треугольникам:

Медиана:

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны треугольника, называется медианой.На рисунке ABC D является серединой AB. Таким образом, AD образует медиану треугольника ABC.

 

Точно так же можно провести медиану из середины ВС и СА. Другими словами, треугольник может иметь три медианы.

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Центроид

Центроид треугольника — это точка пересечения трех медиан треугольника.

Здесь середина медиан AD, BE и FC является центром тяжести треугольника ABC.

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Высота

Длина перпендикуляра из вершины к противоположной стороне треугольника называется его высотой, а сторона, на которую проведен перпендикуляр, называется его высотой основание.

В треугольнике ABC перпендикуляр, проведенный к BC, то есть AD, является высотой. Сторона ВС называется основанием треугольника.

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Ортоцентр

Точка пересечения (или совпадения) трех высот треугольника называется его ортоцентром.

Точка встречи (O) высот AD, CF и BE треугольника называется ортоцентром.

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Центр и вписанная окружность: 

Точка пересечения внутренних биссектрис угла треугольника называется центром. Центр окружности также является центром окружности, которая касается всех сторон треугольника.

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Центр окружности и окружность:

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC называется центром описанной окружности.

 

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

 

Окружность — это окружность, нарисованная с центром описанной окружности треугольника в качестве центра, так что окружность проходит через все вершины треугольника.

 

Типы треугольников

Существует три типа треугольников, основанных на сторонах и углах. Для работы с разными типами треугольников важно знать их свойства. Треугольник можно классифицировать на основе двух факторов:

Типы треугольников на основе сторон:

  1. Разносторонний треугольник.

  2. Равнобедренный треугольник.

  3. Равносторонний треугольник.

 

Разносторонние треугольники

Разносторонние треугольники имеют неконгруэнтные стороны. Неконгруэнтность — это термин, используемый для неравных сторон треугольников. Например, если треугольник имеет стороны 12 см, 30 см и 23 см, то его можно назвать разносторонним треугольником. Даже треугольник с двумя одинаковыми сторонами нельзя назвать разносторонним треугольником. Как и во всех других треугольниках, даже сумма всех углов разностороннего треугольника равна ровно 180 градусам.Рисунок, приведенный ниже, иллюстрирует разносторонний треугольник.

 

Факты о несимметричном треугольнике.

  1. У разностороннего треугольника нет одинаковых сторон и углов.

  2. Сторона, противоположная наименьшему углу, также является наименьшей.

  3. Его самая длинная сторона находится прямо напротив его самого большого угла.

  4. Его нельзя разделить на две половины.

  5. Не имеет оси симметрии.

  6. Разносторонний треугольник может быть остро разносторонним треугольником, тупым разносторонним треугольником или прямоугольным разносторонним треугольником.

  7. Площадь разностороннего треугольника можно вычислить по формуле Герона, если известны все стороны.

  8. Когда разносторонний треугольник вписан в окружность, каждый угол равен половине угла, опирающегося на противоположную сторону.

  9. Центр описанной окружности лежит внутри треугольника, если все три угла острые.

                   

Равнобедренные треугольники

Равнобедренный треугольник — это треугольник, имеющий две стороны равной длины и одну неравную сторону.Кроме того, углы, лежащие при равных сторонах равнобедренного треугольника, равны. Таким образом, мы можем сказать, что у равнобедренного треугольника две равные стороны, а также два равных угла. Равные стороны называются катетами, а неравные — основанием. Равнобедренный треугольник можно разделить на два равных прямоугольных треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника можно оценить:

  1. Если известны размеры одного угла и одной стороны

  2. Если даны три стороны треугольника.

  3. Если даны две стороны равнобедренного треугольника и угол между ними.

 

Факты о равнобедренном треугольнике:

  1. Две стороны конгруэнтны друг другу.

  2. Два угла, противоположные равным сторонам, равны друг другу. Таким образом, углы равны по теореме об угле основания равнобедренного треугольника.

  3. Угол при вершине — это угол, который не равен двум конгруэнтным углам при основании.

  4. Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, делит основание на две равные части, а также делит угол при вершине на два равных угла.

  5. Площадь равнобедренного треугольника = ½ × основание × высота

  6. Периметр равнобедренного треугольника = сумма всех трех сторон

  7. Третий неравный угол равнобедренного может быть острым или тупым.

  8. Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит внутри треугольника, если все три угла трех треугольников острые.

  9. Стороны треугольника являются хордами описанной окружности.

  10.  Если один из углов равен 90 градусов, то центр описанной окружности лежит вне треугольника.

  11.  Центроид — это пересечение медиан равнобедренного треугольника.

  12.  Медиана, проведенная из вершины, делит треугольник под прямым углом.

  13.  Биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в центре описанной окружности.

  14.  Биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в центре вписанной стороны.

  15.  Круг, нарисованный с центром в центре, касается трех сторон треугольника внутри.

  16.  Каждая медиана делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника, имеющих одинаковую площадь.

  17.  Соединение середины трех сторон делит треугольник на 4 меньших треугольника той же площади.

  18.  Когда нарисован круг с диаметром, равным основанию:

  1. Для тупоугольного равнобедренного треугольника вершина лежит внутри круга.

  2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике вершина лежит на окружности.

  3. Для остроугольного равнобедренного треугольника вершина лежит вне треугольника.

  1.  Если середину вершины принять за радиус и провести окружность с серединой основания в качестве центра 

  1. Для остроугольных равнобедренных вершин вершины основания лежат внутри окружности.

  2. Для прямоугольного равнобедренного треугольника вершины основания лежат на окружности

  3. Для тупоугольного равнобедренного треугольника вершины основания лежат вне окружности.

 

Равносторонние треугольники

В равностороннем треугольнике все стороны равны, каждый внутренний угол равен 60 градусов. Равносторонний треугольник также называют равноугольным треугольником, потому что все углы равны. Площадь равностороннего треугольника можно оценить в трех случаях:

  • Если даны меры одного угла и одной стороны.

  • Если даны три стороны треугольника.

  • Если даны две стороны треугольника и углы между ними.{2}\]
    Здесь s — стороны равностороннего треугольника.

  • Ортоцентр, центр описанной окружности, центр вписанной окружности и центр тяжести лежат в одной и той же точке.

  • Каждая высота является медианой равностороннего треугольника.

  • Центр тяжести – это точка пересечения биссектрисы угла, медианы, а также серединного перпендикуляра треугольника.

  • 2

    9009 9009 9009

    Описание

    INOSCELES

    У него есть две равные стороны, а третья сторона либо дольше, либо короче, чем равные стороны.

    Равносторонний

    Меры всех сторон и углов одинаковы.

    Scalene

    Его стороны и углы имеют разные размеры.

     

    Типы треугольников по углам:

    1. Остроугольный треугольник.

    2. Тупоугольный треугольник.

    3. Прямоугольный треугольник.

     

    1. Остроугольные треугольники

    Все внутренние углы равностороннего треугольника меньше 90 градусов, так что сумма всех углов всегда равна 180 градусам.На приведенном ниже рисунке показан остроугольный треугольник.

     

    (Изображение будет загружено в ближайшее время)

     

    Фигура, приведенная выше, представляет собой остроугольный треугольник, все внутренние углы которого меньше 90 градусов (то есть 74, 50 и 56 градусов).

     

    Факты об остроугольных треугольниках:

    1. Все три угла острые.

    2. Его серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности, а медианы пересекаются в центре тяжести.

    3. Центр описанной окружности остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

    4. Биссектрисы пересекаются в центре окружности. Можно нарисовать круг с центром треугольника в качестве центра круга, чтобы он касался трех сторон треугольника внутри.

    5. Если соединить середины трех сторон треугольника, получится 3 параллелограмма одинаковой площади и 4 треугольника одинаковой площади.

     

    1. Тупоугольные треугольники

    Один из трех внутренних углов тупоугольного треугольника больше 90 градусов, а два других меньше 90 градусов, так что сумма всех внутренних углов всегда равна 180 градусов.

     

    Факты о тупоугольных треугольниках:

    1. Он имеет два острых угла и один тупой угол.

    2. Серединные перпендикуляры к нему пересекаются в центре описанной окружности.

    3. Медианы пересекаются в центре тяжести.

    4.  Его центр описанной окружности всегда лежит вне треугольника.

    5. Биссектрисы пересекаются в центре треугольника. Нарисован круг с центром, так как его центр касается трех сторон треугольника внутри.

    6. Медианы разбивают треугольник на два меньших треугольника, имеющих одинаковую площадь.

    7. Если соединить середины трех сторон треугольника, получится 3 параллелограмма одинаковой площади и 4 треугольника одинаковой площади.

     

    1. Прямоугольные треугольники

    Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов равен 90 градусов. Сторона, противоположная прямому углу (угол 90 градусов), всегда является самой длинной стороной, называемой гипотенузой, а сторона, примыкающая к прямому углу, называется перпендикуляром.Сторона, на которую опирается прямоугольный треугольник, называется основанием или прилежащей. Прямоугольный равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого перпендикуляр и основание одинаковой длины, так что угол между ними равен 90 градусов. На приведенном ниже рисунке показан прямоугольный треугольник.

     

    Факты о прямоугольном треугольнике

    1. Из трех углов прямоугольного треугольника один угол больше 90 градусов, а два других являются острыми углами.

    2. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой, а угол, противолежащий гипотенузе, равен 90 градусов.

    3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения основания на высоту.

    4. Радиус описанной окружности всегда равен половине гипотенузы, а центр описанной окружности всегда является серединой гипотенузы.

    5. Прямая, перпендикулярная гипотенузе под прямым углом, дает три подобных треугольника.

    9 2 9009 9009

    Типы треугольника

    Описание

    Right (прямоугольник)

    Один из углов — это правильный угол.

    Острый

    Все углы меньше 90 градусов.

    Тупой

    Один из всех углов больше 90 градусов.

     

    Типы треугольников и их свойства. Математика для детей

    Что такое треугольник?

    Треугольник — Определение

    Любой плоский многоугольник (двумерный), заключенный в три прямые линии, называется треугольником.

    • Сумма трех углов внутри треугольника всегда составляет 180 градусов.
    • Площадь треугольника равна ½ основания * высота (длина, которая находится под углом 90 градусов к основанию). Почему? Если перевернуть треугольник и сделать его двойным, получится параллелограмм, площадь которого равна основанию*высоте.
    • В Атлантическом океане есть загадочный треугольник, называемый Бермудским треугольником, где исчезают самолеты, а также там были замечены НЛО.
    • Почему большинство пицц разрезают на треугольники? Только так круг можно разрезать одинаково.
    • Треугольник Паскаля, названный в честь Блеза Паскаля, представляет собой треугольник, в котором каждое число внутри треугольника представляет собой сумму двух чисел над ним.
    • Мелки имеют треугольную форму наверху, чтобы художник мог более крепко держать карандаш.

    Различные типы треугольников

    Треугольники по внутренним углам-

    Прямоугольный треугольник или треугольник 45-45-90

    • Один угол равен 90°, сторона, противоположная ему, называется гипотенузой, а другие стороны катетами.
    • Он используется в теореме Пифагора, где, если мы разместим три квадрата на каждой стороне треугольника, самый большой квадрат всегда будет равен площади двух других квадратов.
    • Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет два равных угла по 45° и две равные стороны.
    • Разносторонний прямоугольный треугольник не имеет равных сторон и углов. Треугольник 30-60-90 является частным случаем разностороннего прямоугольного треугольника.

    Остроугольный треугольник
    Каждый угол меньше 90°, а сумма любых двух углов всегда больше 90°.
    Примеры: Стетоскоп врача имеет острые углы, стрелки, указывающие на одно направление и отсутствие поворота направо, содержат острые углы, вершина буквы А или вершина футбольного мяча имеет острый угол.
    Тупоугольный треугольник
    Один угол в треугольнике больше 90°. Их называют тупыми углами.
    Примеры: бумеранги, крыши

    Треугольники по сторонам

    Разносторонний треугольник — треугольник, стороны которого не равны. Самая длинная сторона треугольника находится прямо напротив самого длинного угла и так далее.Форма разностороннего треугольника является мощной и прочной и поэтому используется для проектирования крыш или пандусов в скейт-парке или паруса парусной лодки.
    Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого два угла и стороны равны.
    Примеры: кусок пиццы, кусок торта, вымпел, стая птиц, летящих в форме равнобедренного треугольника. На флаге Гайаны изображен равнобедренный треугольник. В футуристических самолетах используются равнобедренные треугольники, так как это уменьшает сопротивление и увеличивает подъемную силу.
    Равносторонний треугольник — это треугольник с равными сторонами и равными углами (каждый угол равен 60°).
    Подобные треугольники похожи во всех отношениях, кроме размера. Значит, их углы равны, а стороны находятся в одинаковом отношении.
    Конгруэнтные треугольники абсолютно идентичны друг другу, как с точки зрения углов, так и сторон.

    Другие свойства треугольников

    • Центр треугольника находится там, где сходятся три биссектрисы угла. Из этой точки любой круг, который нарисован и касается трех сторон треугольника, является самым большим кругом.
    • Центр окружности треугольника находится там, где пересекаются серединные перпендикуляры. Каждая биссектриса делит другую прямую на две равные части под углом 90°.

    Более интересные рабочие листы по математике и уроки можно найти по адресу: https://mocomi.com/learn/maths/

    видов треугольников с картинками ~ BZU SCIENCE


    В нашей повседневной жизни, мы должны иметь дело с различными видами форм. В этих формах некоторые формы открыты, а некоторые формы закрыты. Чтобы различать эти формы, мы сохранили названия этих форм.Следовательно, замкнутая фигура, имеющая три стороны, которые соединены, называется треугольником. Наряду с тремя сторонами, у треугольника тоже три угла. По этим сторонам и углам треугольники подразделяются на разные виды. Здесь мы обсудим все типы треугольников. с помощью картинок.
    На основе стороны, треугольники делятся на три категории. Эти три категории треугольники, основанные на сторонах, объясняются ниже;

    1. Неравносторонний треугольник

    разносторонний треугольник — это такой треугольник, у которого длины сторон различны. Это значит что в разностороннем треугольнике нет равных сторон. Вместе с различны длины сторон, меры всех углов этого треугольника равны также разные.

    2. Равнобедренный треугольник

    Треугольник у которого две равные стороны (одинаковая длина) называется равнобедренным треугольником. Две стороны равнобедренного треугольника, имеющие одинаковую длину, называются стороны и третья сторона этого треугольника, которая имеет другую длину, известна в качестве базы. Угол, образованный двумя равными сторонами равнобедренного треугольник называется углом при вершине, а два других угла называются основанием углы.Важнейшее качество этого треугольника состоит в том, что углы при основании эти треугольники равномерны.

    3. Равносторонний треугольник

    Это существенный вид треугольника относительно сторон, потому что этот треугольник имеет три стороны одинаковой длины. Другими словами, мы можем сказать, что равносторонний треугольник это треугольник, у которого все три стороны равны. Мы также можем сказать равносторонний треугольник как правильный треугольник, потому что наряду с тремя равными стороны, этот треугольник также имеет три равных угла.В целом измерение всех углов треугольника равно 180°. Поэтому каждый угол равносторонний треугольник равен 60°. На основе углов, мы можем разделить эти треугольники на пять различных категорий. Эти пять категорий треугольников, основанных на углах, объясняются ниже;

    4. Острый треугольник

    Как мы знаем что у треугольника три угла. Если все углы треугольника имеют меньше 90°, этот треугольник известен как остроугольный треугольник. Самое важное Особенность этого треугольника в том, что он может быть равнобедренным, разносторонним или равносторонним. треугольник.

    5. Прямоугольный треугольник

    Треугольник который имеет хотя бы один прямой угол (угол точного измерения 90°) равен известен как прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник может быть равнобедренным или разносторонний треугольник, но он не может быть равносторонним треугольником.

    6. Тупоугольный треугольник

    Треугольник который имеет хотя бы один угол, размер которого больше 90°, но меньше больше 180° называется тупоугольным треугольником. Рисуя тупоугольный треугольник, вы нельзя нарисовать более одного тупого угла.Тупоугольный треугольник тоже может быть равнобедренный или разносторонний треугольник, но он не может быть равносторонним треугольником.

    7. Равносторонний треугольник

    Треугольник у которого все три угла равны, называется равноугольным треугольник. Это означает, что все углы треугольника должны быть равны 60°. Все равноугольные треугольники также являются равносторонними.

    8. Косой треугольник

    Треугольник, который треугольник, не являющийся прямоугольным, называется косоугольным. Это означает, что косоугольный треугольник может быть остроугольным, тупоугольным, равноугольный треугольник, но он не может быть прямоугольным треугольником.Вместе с понимания различных типов треугольников, нам также необходимо получить представление об основных свойствах треугольников. Эти свойства поясняется ниже; · Согласно к свойству суммы углов треугольника, сумме всех углов треугольника должен быть 180°. · Если складываем две стороны треугольника, их сумма будет больше третьей стороны треугольника. · То Сторона, лежащая против наибольшего угла треугольника, называется большая сторона треугольника.· Если мы знаем две стороны треугольника, мы можем легко найти третью сторону треугольника треугольник с помощью теоремы Пифагора. · Если мы знаем два угла треугольника, мы можем легко найти третий угол треугольника по формуле суммы углов треугольника. Это факт что если мы хотим научить студентов базовой концепции треугольников, мы учащимся нужно будет привести примеры треугольников из реальной жизни. Немного важные и интересные примеры треугольников из жизни приведены ниже; · Большинство из нас ежедневно видят дорожные знаки.Эти дорожные знаки являются лучшими примерами равнобедренные треугольники, потому что все углы и стороны этих дорожных знаков равны. · Бермуды треугольник также известен как еще один реальный пример треугольников. Бермуды треугольник — это слабо очерченная треугольная область в Атлантическом океане. в Бермудский треугольник, более 50 кораблей и 20 самолетов — моя стерически исчезнувший. · Пирамиды также являются лучшими реальными примерами треугольников. Это древние горы, построенные египтянами.Формы этих пирамид являются тетраэдрическими, то есть в этих древних горы. · К поддерживают мосты, строятся треугольные формы. Эти треугольные формы известны как ферменные мосты. Эти поддерживающие формы могут распределять вес мостов. · Парусный спорт лодки также являются лучшими реальными примерами треугольных форм. Несколько лет раньше дизайн этих форм был квадратным, но в наши дни почти все парусные формы имеют треугольную форму.· То крыши домов треугольные. Эти формы крыш не пропускают дождь и снег, чтобы остаться в течение более длительного периода. · Пока строя лестницы, конструкторы используют знания о треугольнике. Его причина в том, что они должны строить эти лестницы в треугольной форме. Эти лестницы образуют прямоугольные треугольники. Когда нам нужно разместить лестницу перед стеной мы должны сделать треугольную форму. · К сделать некоторые здания привлекательными и интересными, эти здания построены в треугольной форме.Наиболее ярким примером таких зданий является Эйфелева башня. · Мы должны использовать треугольные формулы, чтобы найти высоту столба или горы. Для по этой причине мы используем понятие прямоугольного треугольника.

    · Бутерброды а пицца – самая любимая еда молодого поколения. Большинство из люди начинают свой день с бутербродов и формы этих бутербродов тоже треугольный. Некоторые пиццы также доступны в треугольной форме.

    Объяснение типов треугольников — Образование

    В геометрии треугольник является наиболее важной формой, определяемой как замкнутая двумерная диаграмма, имеющая три угла, три стороны и три вершины.Другими словами, треугольник — это многоугольник с тремя сторонами. Слово «треугольник» происходит от латинского слова «triangulus», что означает треугольный. Давайте узнаем больше о типах треугольников.

    В давние времена астрономы разработали подход, называемый триангуляцией, для определения расстояний до далеких звезд. Они измеряют диапазон в двух разных областях, а затем измеряют угол, возникающий в результате изменения или параллакса, создаваемого движением наблюдателя между двумя точками. Потом применили регулирование синусов для определения нужного диапазона.

    египетских пирамид были созданы около 2900 г. до н.э. Фактически, его форма представляет собой трехмерную пирамиду с треугольными гранями. Это полностью спроектированная версия, в которой длины, а также углы со всех сторон одинаковы. Милет (624 г. до н.э. – 547 г. до н.э.), греческий математик, перенял египетскую геометрию и создал Грецию.

    Аристарх (310–250 гг. до н. э.), греческий математик, использовал описанный выше метод для определения расстояния между планетой и Луной. Эратосфен (276 г. до н.э. – 195 г. до н.э.) снова использовал тот же способ для определения расстояния вокруг поверхности Земли (называемого площадью).

    В этом посте мы, скорее всего, рассмотрим определение Треугольника, различные виды Треугольника, жилой или коммерческой недвижимости, а также практическое применение Треугольника.

    Что такое треугольник?

    Треугольник — двумерное замкнутое число с тремя сторонами. Это многоугольник с тремя ребрами, тремя вершинами и тремя углами, образующий замкнутое представление. Мы используем символ ∆ для обозначения треугольника.

    Различные типы треугольников

    Виды треугольников классифицируются на основе:

    Длины их сторон

    Внутренние углы

    Классификация треугольников по величине внутренних углов

    По шагу внутренних углов треугольник можно разделить на три категории:

    • Остроугольный
    • Тупоугольный
    • Прямоугольный

    Остроугольный треугольник

    Серьезный угол Треугольник — это треугольник, в котором все три внутренних угла меньше 90 градусов.

    Каждый из углов a, b и c меньше 90 градусов.

    Тупоугольный треугольник

    Тупоугольный треугольник – это треугольник, в котором среди внутренних углов более 90 уровней.

    Угол a гораздо более тупой, а углы b и c острые.

    Прямоугольный треугольник

    Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором между углами ровно 90 градусов. Гипотенуза — это сторона правильного треугольника с наибольшим размером.

    Типы треугольников в зависимости от длины их сторон

    Треугольники можно разделить на три вида в зависимости от длины их сторон:

    • Скален
    • Равнобедренный
    • Равносторонний
    Равнобедренный треугольник

    Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны и два угла равны. Равные длины треугольника выявляются при выполнении дуги с каждой стороны.

    Равносторонний треугольник

    У равностороннего треугольника все три стороны равны и все три внутренних угла также равны. При этом каждый внутренний угол равностороннего треугольника составляет 60 уровней. Равносторонний треугольник иногда называют равносторонним треугольником, поскольку все три угла равны.

    В равностороннем треугольнике стороны AB = BC = AC и ∠ ABC = ∠ ACB = ∠ BAC

    Имейте в виду, что углы равностороннего треугольника не зависят от размеров сторон.

    Разносторонний треугольник

    Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны имеют разные ступеньки, и все внутренние углы также различны.

    Свойства треугольника

    Свойства Треугольника имеют широкое применение. Многие математики использовали его при решении своих задач. Евклидова геометрия, как и тригонометрия, прекрасно использует построения из треугольников.

    Вот несколько стандартных жилых или коммерческих объектов треугольника:

    • Треугольник — это двумерный многоугольник
    • Треугольник имеет три стороны, три угла и три вершины.
    • Длины любых двух сторон треугольника больше размера оставшейся стороны.
    • Сумма длин трех сторон дает границу треугольника
    • Положение треугольника равно произведению основания и высоты.

    Проработанные примеры различных типов треугольников.
    Пример 1

    Найдите значение угла x в треугольнике, указанном ниже.

    Раствор

    Это равнобедренный треугольник, в котором две стороны равны, а также два угла равны.Следовательно,

    х = (180°– 70°)/2,

    х= 110°/ 2.

    = 55°.

    Пример 2

    Найдите угол y в идеальном треугольнике, показанном ниже.

    Раствор

    Один угол идеального треугольника равен 90°.

    Итак, мы;. у + 50 + 90 = 180.

    а, у = (180–140)°.

    у = 40°.

    6 Различные типы треугольников с примерами определений Вопросы

    Треугольник — это плоская геометрическая фигура (многоугольник), имеющая три стороны. Проще говоря, область, замкнутая тремя линиями, называется треугольником. он также имеет три угла и три вершины. В основном, существует шесть типов треугольников , которые следующие: треугольники, основанные на их сторонах, являются равнобедренными, равносторонними, разносторонними, а треугольники, основанные на их углах, являются тупыми, острыми и прямыми. сумма углов треугольника равна 180º.

    поэтому мы можем сказать, что

    Треугольник имеет:

    Стороны: у него три и это линии, которые образуют многоугольник.
    Вершины: их три, и каждая из них является точкой пересечения двух сторон.
    Углы: имеет три отверстия, которые образуются при соединении двух сторон.

    Примечание. Мы часто используем строчные буквы, такие как a, b, c, для обозначения сторон и заглавные буквы для обозначения углов различных треугольников.

    Треугольники известны как простые многоугольники, но они очень полезны для понимания других сложных типов многоугольников.

    Типы треугольников по сторонам

    1. Равнобедренный Треугольник
    2. Равносторонний Треугольник
    3. Разносторонний Треугольник

    Равнобедренный Треугольник

    Равнобедренный треугольник известен как треугольник, имеющий две равные стороны, также имеющий равные противоположные углы.этот тип треугольника удовлетворяет уравнению AB = AC, тогда ∠B = ∠C. кусок пиццы и пара сережек — примеры такого типа из жизни.

    Попробуйте также: Равнобедренный треугольник

    Равносторонний треугольник

    Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны по длине, а все углы равны 60º. это правильный многоугольник.

    Попробуйте также: Равносторонний треугольник

    Разносторонний треугольник

    Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого нет ни равных сторон, ни равных углов.другими словами, все стороны и углы отличны друг от друга. но сумма всех углов всегда будет равна 180 градусам.

    Попробуйте также: Scelene Triangle

    Типы треугольников в соответствии с их углами

    1. тупые треугольники
    2. Острый треугольник
    3. правый треугольник
    4. Правый треугольник
    5. Тупые треугольник

      Это один из углов треугольника больше 90º, он известен как тупоугольный треугольник.в этом условии сумма оставшихся двух углов меньше 90°. у нас есть несколько тупых треугольных крыш в наших реальных примерах.

      Попробуйте также: Типы тупоугольных треугольников

      Остроугольный треугольник

      Если все внутренние углы треугольника меньше 90º, такой треугольник называется остроугольным. это замкнутая двумерная плоская фигура, имеющая три стороны и углы. мы можем найти площадь этого треугольника, используя формулу = 1/2 основания X высота.

      Попробуйте также: Типы остроугольных треугольников

      Прямоугольный треугольник

      Прямоугольные треугольники состоят из прямого и двух острых углов. Следовательно, длинная сторона является гипотенузой. Например, некоторые равнобедренные и разносторонние треугольники. Это, однако, никогда не может произойти с равносторонним треугольником, так как мера его углов неизменна.

      Попробуйте также: Типы прямоугольных треугольников

      Свойства треугольников

      1. Одна сторона треугольника меньше суммы двух других и больше их разности.
      2. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
      3. Значение внешнего угла равно сумме двух несмежных внутренних углов.

      Часто задаваемые вопросы (Часто задаваемые вопросы)

      Что такое 7 треугольников?

      равносторонний, прямоугольный равнобедренный, тупоугольный равнобедренный, остроугольный равнобедренный, правосторонний разносторонний, тупоразносторонний и остроразносторонний — это хорошо известные семь типов треугольников.

      Какие существуют 3 основных типа треугольников?

      три основных типа треугольников по сторонам: равносторонний, равнобедренный и разносторонний.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск