Внеклассный урок — Треугольники

Основные понятия.

Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.

Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.

 
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины  к противолежащей стороне (рис.1).

Биссектриса треугольника – это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.2).

Медиана треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине (рис.4).

Сумма углов треугольника равна 180^º.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.5).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

     Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.7).

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами.

  
Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.8).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны (рис.9).

Свойства равностороннего треугольника:

Замечательные свойства треугольников

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

Признаки равенства треугольников.

Первый признак равенства: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Неравенство треугольника.

В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b².

Площадь треугольника.

1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

         ah
S = ——
          2

2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:

       1
S = — AB · AC · sin A
        2

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла треугольника.

Синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.

Котангенс острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.

Правила:

Катет, противолежащий углу α, равен произведению гипотенузы на sin α.

Катет, прилежащий к углу α, равен произведению гипотенузы на cos α.

Катет, противоположный углу α, равен произведению второго катета на tg α.

Основные тригонометрические тождества:

                  sin α
1)    tg α = ——
                  cos α

2)    sin² α + cos² α = 1

                           1
3)    1 + tg² α = ——
                         cos² α

                1             1
4)    1 + ——  =  ——
              tg² α       sin² α

Для любого острого угла α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

При возрастании острого угла sin α и tg α возрастают, а cos α убывает.

Что такое треугольник? — [Определение, факты и примеры]

Что такое треугольник?

В геометрии треугольник — это замкнутая двумерная фигура с тремя прямыми сторонами. Треугольник также является многоугольником.

Мы можем найти форму треугольника на флаге, треугольнике музыкального инструмента и придорожной вывеске.

• Треугольник имеет три стороны, три вершины и три угла.
• Сумма трех внутренних углов треугольника всегда равна 180°.
• Сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.
• Треугольник с вершинами P, Q и R обозначается как △PQR.
• Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Чтобы классифицировать треугольники по их углам, мы измеряем каждый из его внутренних углов. Треугольники можно классифицировать по углам, как:

В остроугольном треугольнике все внутренние углы острые (меньше 90°), в прямоугольном треугольнике один угол прямой (равный 90°), а в тупоугольном треугольнике один угол тупой (больше 90°).

Чтобы классифицировать треугольники по их сторонам, мы измеряем длину каждой из его сторон. Треугольники можно классифицировать по их сторонам, как:

Чтобы классифицировать треугольники по углам и сторонам, мы измеряем внутренние углы и длину сторон треугольника.Вот несколько примеров треугольников, классифицированных по углам и сторонам:

 Давайте петь!

Дженна любит треугольники!

Крошечные треугольники на ее блузке,

Красная крыша ее кукольного домика,

Кусочек сыра для мышки.

 Давай сделаем это!

Вместо того, чтобы раздавать детям листы с заданиями по математике, попросите ребенка наблюдать/отмечать предметы треугольной формы.

Вы также можете дать им зубочистки или соломинки и попросить составить из них всевозможные треугольники.

 Связанный математический словарь-

Все о треугольниках

Треугольники повсюду в окружающем нас мире — мосты, крыши, стойки для бильярдных шаров, даже на молекулярном уровне мы окружены треугольниками.

Если вы обращали хоть немного внимания на эти треугольники, то знаете, что они бывают самых разных форм и размеров. Что может навести вас на вопрос, как именно мы классифицируем и описываем формы этих объектов в треугольном зоопарке?

Больше не удивляйтесь, потому что это именно тот вопрос, на который мы ответим сегодня, когда узнаем все о треугольниках.

Что такое треугольник?

Прежде чем мы узнаем о том, как классифицируются различные типы треугольников, давайте уделим минуту, чтобы точно определить, что мы подразумеваем под словом «треугольник». К счастью, смысл прямо в этом слове: «три» или три и «угол» или, ну, угол — три угла.Это, конечно же, именно то количество углов, которое есть у каждого из треугольников, которые вы знаете и любите. Очевидно, нет большого сюрприза.

Говоря об углах, мы на самом деле имеем в виду точки — иначе говоря, вершины — где сходятся две линии. Чтобы иметь три вершины, образующие эти три угла, у вас должна быть трехсторонняя фигура. И вуаля… треугольник.

Есть много других интересных фактов, которые нужно знать о треугольниках, например тот факт, что сумма углов каждого существующего треугольника всегда должна равняться 180 ⁰ . Почему? Мы узнаем об этом в следующем эпизоде, но пока оставим это и перейдем к выяснению того, как мы можем описать различные типы треугольников, с которыми мы сталкиваемся.

Равнобедренные, равнобедренные и разносторонние треугольники

Если вы подумаете об этом (и, возможно, нарисуете несколько картинок), вы увидите, что, поскольку у треугольника три стороны, у него также должно быть три возможных соотношения между длинами сторон:

1. В равностороннем треугольнике все три стороны имеют одинаковую длину.Мало того, что три катета равностороннего треугольника имеют одинаковую длину, все его углы также должны быть равны (60 ⁰   за штуку, если вы считаете). Если вам трудно понять, почему это должно быть так, нарисуйте равносторонний треугольник, а затем представьте, что вы сжимаете его так или иначе. Видите ли, как бы вы его ни сжимали, в полученном треугольнике углы больше не будут равными? Только у равностороннего треугольника может быть три равных угла.
    
2. В равнобедренном треугольнике две из трех сторон (но не все три) имеют одинаковую длину.Это слово происходит от греческого слова, означающего что-то вроде «равная нога». Учитывая, что у равнобедренного треугольника две стороны одинакового размера, это описание «равнобедренного треугольника» имеет смысл. Сколько из трех углов равнобедренного треугольника должны быть равны? Я позволю вам подумать об этом, но вот подсказка: это больше, чем ничего, но меньше, чем все три.
    
3. Наконец, разносторонний треугольник — это любой треугольник, все стороны которого имеют разную длину. Большинство треугольников на самом деле разносторонние, поэтому, вероятно, большинство из нас не помнит это слово.Мы склонны помнить значение слов «равносторонний» и «равнобедренный», потому что это особые случаи, а разносторонние — это обычные повседневные чудаки. Сколько углов разностороннего треугольника равны? Подумай об этом…

Страницы

Треугольники (Предварительная алгебра, Введение в геометрию) – Mathplanet

Треугольник состоит из трех отрезков. Отрезки пересекаются в своих концах. Для наименования треугольника часто используют его вершины (названия концов).Треугольник ниже называется ABC.

Треугольник имеет три угла. Сумма углов треугольника всегда равна 180°.

У нас есть разные типы треугольников. Треугольник классифицируется по его углам и количеству конгруэнтных сторон.

Треугольник, имеющий три остроугольных угла, называется остроугольным.

Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным.

Треугольник, у которого один угол тупой, называется тупоугольным.

Если треугольник имеет три конгруэнтные стороны, мы называем треугольник равносторонним треугольником. Отмечаем конгруэнтные стороны косой чертой. Углы равностороннего треугольника всегда равны 60°.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Углы, противолежащие двум сторонам одинаковой длины, равны.

Треугольник без конгруэнтных сторон и углов называется разносторонним треугольником.

Когда два треугольника равны, это означает, что они имеют одинаковый размер и форму. Это означает, что они имеют одинаковые углы. Красные косые черты показывают нам, какие стороны и углы конгруэнтны. Конгруэнтность показана этим символом

$$\конг$$

$$\begin{matrix} A\cong X & & AB\cong XY\\ B\cong Y & & BC\cong YZ\\ C\cong Z & & AC\cong XZ \end{matrix}$$

Треугольники, у которых углы равны, но разные размеры, называются подобными.Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Сходство показано этим символом

$$\sim$$

$$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup XYZ$$

$$A=X,\: \: B=Y,\: \: C=Z$$

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$$

Пример

Найдите x в подобных треугольниках.

Мы знаем, что поскольку треугольники подобны, стороны пропорциональны, а это означает, что

$$\frac{x}{14}=\frac{3}{21}\Rightarrow$$

$$x=\frac{14\cdot 3}{21}=\frac{42}{21}=2$$

$$x=2$$

Выяснить, являются ли треугольники прямоугольными, равнобедренными, остроугольными, разносторонними, тупоугольными или равносторонними