Все виды графиков функций: Функции и графики в математике с примерами и образцами

Содержание

Лекция по математике для 1 курса по теме «Построение графиков функций»

Лекция: Построение и преобразование графиков.

Преподаватель: Горячева А.О.

Графики элементарных функций

Прямая линия — график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax — прямая пропорциональность)/

y=3x+4 (построить)

Парабола — график функции квадратного трёхчлена у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 — максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс — корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0.

Построение графика:

1. Найти координаты вершины параболы, выяснить направление ветвей.

2. Найти точки пересечения с осями координат.

3. Найти координаты еще 2-х контрольных точек.

у = х2 –х – 2, у = 4х2 +17х+1

Гипербола — график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 — во II и IV. Асимптоты — оси координат. Ось симметрии — прямая у = х(а > 0) или у — — х(а < 0).

У= 1/2х, у=3/х.

Дробно-линейная функция.

Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена независимая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с≠0 и аd – вс ≠ 0, называется дробно-линейной функцией.

Графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Зная, как строить графики функции y = f(x), всегда можно построить график функции y = af(kx + b) + m.

y = f(x + b)

Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b | единиц:

влево, если b > 0;

вправо, если b < 0.

y= f(x) + m

Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц:

вверх, если m > 0,

вниз, если m < 0.

Отражение графика

y = f( — x)

Симметричное отражение графика относительно оси ординат.

y = — f(x)

Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс.

Сжатие и растяжение графика

y = f(kx)

При k > 1 — сжатие графика к оси ординат в k раз, при 0 < k < 1 — растяжение графика от оси ординат в k раз.

y = kf(x)

При k > 1 — растяжение графика от оси абсцисс в k раз, при 0 < k < 1 — cжатие графика к оси абсцисс в k раз

Преобразования графика с модулем

y = | f(x) |

При f(x) > 0 — график остаётся без изменений, при f(x) < 0 — график симметрично отражается относительно оси абсцисс.

y = f( | x | )

При x>0 — график остаётся без изменений, при x<0—график симметрично отражается относительно оси ординат.

Cуществует 2 алгоритма построения графика функции вида у =f(х+t)+m,

Алгоритм 1:

  1. Построить график функции у =f(x).

  2. Осуществить параллельный перенос графика у =f(x) вдоль оси х на |t| масштабных единиц влево, если t>0, и если t<0, то — вправо.

  3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси у на |m| масштабных единиц вверх, если m>0, и вниз, если m<0.

Алгоритм 2:

  1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя (пунктиром) вспомогательные прямые х =-t, у = m, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку(-t;m).

  2. К новой системе координат «привязать» график функции у =f(х).

Пример 1. Построим график функции у =(х+3)2+1

Введем вспомогательную систему координат: это прямые х=-3, у=1. Основная функция у=х2

График функции у =(х+3)2+1 получается с помощью сдвига функции у=х

2 на 3 масштабные единицы влево и на 1 единицу вверх.

Напишите уравнение функции изображенной на рисунке:

Пример 2. Постройте график функции:


Задания:

1. Постройте графики функций:

1) у = (х-2)2+3; 2) у = (х+1)2-2; 3) y=; 4)y=(x-1)3+2.

2. Индивидуальная работа.

Тест:

1. Какая линия является графиком функции у = — (х-3)2 +2?

А. прямая, проходящая через начало координат

Б парабола

В. прямая, не проходящая через начало координат

Г. гипербола

2. График функции у=2(х+2)2 получится из графика функции у=2х2 сдвигом на 2 единицы масштаба

А. вправо

Б. влево

В. вверх

Г. вниз

3. Какая из функций является ограниченной сверху

А. у=2х2

Б у=-3 (х-2)2+3

В у=3х2-1

Г у=х+3

4. Для функции у=2(х-2)2+3 вспомогательные оси имеют уравнения вида:

А х=2; у=3.

Б х=-2; у=3.

В х=2; у=-3

Г х=-2; у=-3

11. Функции и графики — MAPHY.COM

Основные теоретические сведения

Координаты и базовые понятия о функциях

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у. При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х.

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно этох), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D(y). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е(у).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f(x) называют четной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f(x) называют нечетной, если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны.  График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х.

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида, и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

 

График линейной функции

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону — слева направо):

 

График квадратичной функции (Парабола)

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x1; 0) и (x2; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x0; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

  • если коэффициент a > 0, в функции y = ax2 + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;
  • если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

 

Графики других функций

Степенной функцией называют функцию, заданную формулой:

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x| выглядит следующим образом:

 

Графики периодических (тригонометрических) функций

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое, неравное нулю, число Т, что f(x + Т) = f(x), для любого х из области определения функции f(x).  Если функция f(x) является периодической с периодом T, то функция:

где: Akb – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T1, который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой:

График функции y = cosx называется косинусоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой. Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Графики функции. 9-й класс

Цель урока – повторить и систематизировать знания об изученных функциях и их графиках.

Для достижения цели поставлены три задачи:

обучающая: повторить свойства изученных функций, а также их графики.

развивающая: развивать математическую речь, логическое мышление, познавательный интерес к предмету, воображение, память;

воспитательная: воспитывать аккуратность, внимание к слову учителя.

Структура урока

Этапы урока

Деятельность уч-ся

Время
1 Организационный момент   1
2 Математический диктант Письменная 5-7
3 Проверка математического диктанта Письменная, устная работа 10
4 Решение задач на построение графиков функций Решение задач
Письмена, устная работа
15
5 Самостоятельная работа. Сам. работа. 7-8
6 Подведение итогов. Рефлексия. Обсуждение результатов деятельности на уроке 3
7 Домашнее задание. Обсуждение 1

Тип урока: обобщения и систематизации знаний.

Оборудование и оформление: проектор, таблица, сигнальные карточки, шаблоны функций у = х?, у = х?

Ход урока

1. Оргмомент.

Объявление темы и цели урока. Запись в тетради даты, темы.

2. Математический диктант.

Диктант проводится с целью выявления пробелов в знаниях учащихся, для того, чтобы в дальнейшем их можно было ликвидировать. Учащиеся получают два чистых листа бумаги и копирку и выполняют работу под копирку в двух экземплярах.

Задания математического диктанта.

  1. Постойте график функции

1 вар: y=(x-1)?; 2 вар: y= -x?+3.

Как называются графики этих функций?

  1. Запишите формулу для вычисления координаты х вершины параболы.
  2. Постройте график функции

1 вар: y= | x |; 2 вар: y= | x -1|.

  1. Как называется график функции, в каких четвертях расположен график функции
  2. 1 вар: у = 2 вар: у = – ? Запишите уравнение прямой в общем виде.
  3. На рисунке изображён график функции у = х2– х -6. Используя график функции, решите неравенство (слайд 2)

1 вар: х2 – х-6 >0 2 вар: х2 – х – 6 <0 .

3. Проверка.

По окончании математического диктанта учащиеся сдают 1 лист с ответами учителю, а другой оставляют у себя для проверки. Проверка проводится с помощью средств обратной связи – сигнальных карточек.

На слайде 3 несколько видов графиков, один ученик называет свой вариант ответа, другие сигнализируют своё согласие или не согласие сигнальными карточками (зелёный цвет – согласны, красный – не согласны с ответом товарища). С помощью этого слайда идёт проверка вопросов № 1,3,4.

Последний вопрос проверяется по слайду 2.

При проверке не просто называются верные ответы, но также идёт обсуждение ошибок. В конце ученики выставляют себе оценки по следующим критериям:

“5” – 6 верных ответов,
“4” – 4,5 верных ответов,
“3” – 3 верных ответа,
“2” – 1,2 верных ответа.

Учитель может перепроверить оценки учеников, т.к. у него есть листы с ответами.

4. Решение задач на построение графиков функций.

А) Построение графиков линейной функции: у=2х+3, у=2х-2, у = – х, у = – х+3.

При построении ученики отвечают на вопросы. Когда графики функций вида у = кх +в параллельны? На что указывает число в в уравнении прямой? По графику определите координаты точек пересечения графиков функций с осью ординат. (Слайд 3)

Б) Построение графиков функций у = х2, у = х2, у = (х+3)2-2,

у = х2-2. Построение графиков производится с использованием шаблонов графиков функций.

При построении графиков функций ученики рассказывают свойства этих функций.

Выполните задания: график какой функции изображён на рисунке? (Слайд 5)

В) Построение графика функции y = ах2 + вх + с

Постройте график функции y =x2-5x+6. Ученики выполняют построение по алгоритму. Один ученик работает у доски.

Выполните задание: квадратичная функция y = ax2 + bx + c задана графиком, изображённым на рисунке. Определите знаки коэффициентов a, b и c. (Слайд 6)

1) a > 0, b < 0, c > 0;
2) a > 0, b > 0, c > 0;
3) a > 0, b < 0, c = 0;
4) a > 0, b = 0, c < 0.

По графику квадратичной функции найдите все значения x, при которых (Слайд 7)

Г) Построение графиков функций, содержащих знак модуля:

у = | x -1|+2; y=|x2-x-6|

Чтобы построить график функции y=|f(x)|, достаточно построить график функции y=f(x) и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси 0x. (Слайд 8)

5.

Самостоятельная работа.

Задания самостоятельной работы дифференцированы по сложности. (Слайд 9)

1 уровень: 1 вар: y=(x+2)2-4, y= х3-2;

2 вар: y=(x-4)2-1, y= (х+5)3.

2 уровень: 1 вар: y = 4x – х2, у = ;

2 вар: y = x2– 6х, у = -.

3 уровень: 1 вар: y =x2-2x-3, y =|2х-1|;

2 вар: y =-x2-2x-3, y =|0,5х+1|.

6. Подведение итогов.

Оценки за урок.

Рефлексия.

Включаем светофор: если на уроке ученику было всё понятно и не возникли вопросы, то он поднимает сигнальную линейку зелёного цвета, в противном случае – красную.

7. Домашнее задание. (Слайды 10, 11)

1. Повторить свойства функции у = и построить график у =

2.

3. Построить график функции вида  y=f(x).

y = x2 — |x| -3

4. Объясните построение графика функции (На оценку “5”)

Презентация

Графики общих функций: список, типы и рабочий лист

Графики общих функций  являются графическими представлениями функций, которые часто используются в математике.

Помните, что функция  это математическая конструкция, которая принимает значения x в качестве входных данных и выводит значения y в соответствии один к одному или многие к одному. Функции представляют связь между независимой переменной x и зависимой переменной y.

Представление функции, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals

Типы графиков функций

Некоторые из наиболее распространенных функций , которые вы найдете в математике, перечислены ниже:

1. Константа:  где c — константа. Форма графика постоянных функций представляет собой прямую линию, параллельную оси x, которая пересекает ось y, где y = c.

. Форма линейных графиков также представляет собой прямую линию. В этом случае линия имеет наклон, который может быть пологим или крутым в зависимости от ее значения.

   

График функции идентичности, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

3. Квадратичный: . Форма графика квадратичных функций – парабола.

   

График квадратичной функции, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

4.  Кубический:  . Кубические графики представляют собой непрерывные и гладкие линии, которые могут иметь максимальные или минимальные точки, в которых они меняют направление в средней части кривой, а на любом конце кривой они стремятся уйти в положительную или отрицательную бесконечность.

   

График кубической функции, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

5. Квадратный корень: . График функции квадратного корня имеет характерную форму из-за его ограниченной области определения ( ). Это потому, что квадратный корень из отрицательного числа не имеет действительного решения. Поэтому в этом типе графика используются только положительные числа.

   

График функции квадратного корня, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

6.  Кубический корень:  . Графы кубического корня отличаются от графов квадратного корня тем, что кубический корень из отрицательных чисел имеет действительные решения.Следовательно, функции кубического корня не имеют ограниченной области определения, x может принимать как отрицательные, так и положительные значения, что видно из формы его графика.

   

График функции кубического корня, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

7.  модуль или абсолютное значение:  . График модульных функций имеет характерную v-образную форму. Это то же самое, что f (x) = x, но отрицательные значения y отражаются на оси x. Это потому, что модуль числа x — это то же число, но положительное.

   

График функции модуля или абсолютного значения, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

8.  Обратный:  . На графике обратных функций есть асимптоты — линии, к которым кривая подходит очень близко, но никогда их не касается. График имеет асимптоты при x = 0 и y = 0.

   

График обратной функции, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

9.  Квадрат обратной функции:  .Форма графика функции обратного квадрата меняется по сравнению с предыдущей, потому что наличие  в знаменателе означает, что все значения y будут положительными.

     

График функции обратного квадрата, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

10.  Экспоненциальная функция:  . График показательной функции имеет горизонтальную асимптоту при y = 0 и пересекает ось y в точке (0, 1). После этого он быстро увеличивается.

   

График экспоненциальной функции, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals 

11.  Логарифмический:  . Логарифмическая функция является обратной экспоненциальной функции, поэтому график логарифмической функции будет отражением экспоненциального графика, к которому она относится, по линии y = x. График логарифмической функции имеет вертикальную асимптоту при x = 0 и пересекает ось x в точке (1, 0).

   

График логарифмической функции, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

12. Тригонометрические функции :  Графики тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса) имеют характерную форму, потому что они периодические, что означает, что они повторяются через определенный интервал.

а) Синус: . График для синуса имеет максимальное значение 1 и минимальное значение -1, и он повторяется каждые 2π. График синуса пересекает ось Y в начале координат (0, 0).

       

       

   График тригонометрической функции — sin (x), Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals        

b)  Косинус:  .График косинуса также имеет максимальное значение 1 и минимальное значение -1 и повторяется каждые 2π. Вы можете отличить его от графика синуса, потому что график косинуса пересекает ось Y в точке (0, 1).

       

  График тригонометрической функции — cos (x), Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

c)  Касательная:  . Касательный граф не имеет точек максимума или минимума и повторяется через каждые π. Следовательно, он имеет вертикальные асимптоты в точках , , и т. д.

       

  График тригонометрической функции — tan (x), Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals       

Как найти общую функцию графика?

Чтобы определить общую функцию графика, очень полезно изучить формы их графиков. Сосредоточьтесь на их характеристиках и формулах (например, на форме кривой), чтобы вы могли быстро определить, какой тип функции представляет график. Запоминание предыдущего списка графиков общих функций поможет вам приобрести этот важный навык на тот случай, если они понадобятся вам для решения конкретных задач.

Определение того, является ли график функцией Этот тест покажет вам, представляет ли график функцию. Вам нужно провести вертикальные линии, пересекающие график. Если в какой-либо точке вертикальная линия пересекает график более одного раза, то график

не является функцией (x имеет более одного выхода).Например:

        

    Пример теста с вертикальной линией, Марилу Гарсия Де Тейлор — StudySmarter Originals 

        Этот график не является функцией, поскольку вертикальная линия пересекает две точки на графике.

  • Тест горизонтальной линии:  Этот тест показывает, является ли функция взаимно однозначной или нет. Если вы рисуете горизонтальную линию и она пересекает график более одного раза, то это не является взаимно однозначной функцией . Например:

       

     Пример теста горизонтальной линии, Марилу Гарсиа Де Тейлор — StudySmarter Originals  

горизонтальная линия дважды пересекает график.

Графики общих функций — основные выводы

  • Функция — это математическая конструкция, которая принимает значения x в качестве входных данных и выводит значения y в соответствии один к одному или многие к одному.

  • Графики общих функций — это графические представления функций, которые часто используются в математике.

  • Изучение форм различных типов графиков функций, их особенностей и формул помогает быстро определить, какой тип функции представляет график, глядя на форму кривой.

  • Проверка вертикальной линии используется для определения того, представляет ли график функцию.

  • Проверка горизонтальной линии используется для определения того, является ли функция взаимно однозначной или нет.

Графики общих функций

Общие функции — это графическое представление функций, которые часто используются в математике. x

  • Логарифмическая величина:  f(x) = ln(x)
  • Тригонометрические функции: f(x) = sin(x), f(x) = cos(x) и f(x) = tan(x)
  • Чтобы найти общую функцию графика, полезно изучить формы различных типов графиков функций, их особенности и формулы, чтобы вы могли быстро определить, какой тип функции представляет график, только взглянув на форму графика. Кривая.

    Викторина с окончательными графами общих функций

    Ответить

    Функции — это математические конструкции, которые принимают значения x в качестве входных данных и выводят значения y в соответствии один к одному или многие к одному. Функции представляют отношения между независимой переменной x и зависимой переменной y.

    Вопрос

    Что такое графики общих функций?

    Ответить

    Графики общих функций — это графическое представление функций, наиболее часто используемых в математике.

    Вопрос

    Какой тест вы используете, чтобы определить, является ли график функцией?

    Вопрос

    Какой тип теста вы используете, чтобы определить, является ли функция взаимно однозначной?

    Типы функций с графиками

    Что такое функции?

    Функция — это отношение между набором входных данных и набором выходных данных со свойством, согласно которому каждый вход связан ровно с одним выходом. Предположим, у нас есть множества P и Q. Отображение из P в Q будет функцией только тогда, когда каждому элементу в множестве P назначен только один элемент множества Q.

    Условия для функции

    Множества P и Q не должны быть пустыми.

    В функции конкретный ввод задается для получения определенного результата.

    Функция f : P → Q означает, что f  является функцией от P до Q, где P – домен, а Q – диапазон.

    Тест вертикальной линии:  Тест вертикальной линии используется для определения того, представляет ли конкретная кривая функцию или нет.Чтобы график был функцией, любая вертикальная линия должна пересекать график только в одной точке.

    Если можно провести вертикальную линию, пересекающую график в двух или более точках, график не является функцией.

    Представление функций

    Функции обычно представляются как .

    Если у нас есть функция , мы читаем это как « f из x равно x в кубе».

    Имейте в виду, что мы можем использовать любую букву алфавита, как строчную, так и прописную, для представления функций и их переменных.Например, следующие также допустимые представления функций:


    Какие существуют типы алгебраических функций?

    Ниже перечислены наиболее важные типы алгебраических функций:

    • Polynomial Функция
    • Константная функция
    • Linear Function
    • Cubic Function
    • Функция
    • Обратная функция
    • Rational Функция
    • Обратная функция
    • Экспоненциальная функция
    • Функция LogarithMic
    • Тригонометрические функции
    • Даже и нечетные функции
    • Кусочные функции
    • Инъективная функция
    • Сюръективная функция
    • Биективная функция
    • Функция абсолютного значения

    Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике


    Типы функций и их графики

    Полиномиальная функция

    Полиномиальная функция — это функция, являющаяся полиномом типа

    .

    Областью определения полиномиальных функций являются все действительные числа.Эти функции непрерывны во всей области их определения.

    Высшая степень в выражении известна как степень полиномиальной функции. Например, следующий график представляет полиномиальную функцию третьей степени:

    Постоянная функция

    Постоянная функция является полиномиальной функцией нулевой степени, где мы имеем . Независимо от входного значения функция всегда возвращает одно и то же постоянное значение.

    Линейная функция

    Все функции вида , где a и b — вещественные числа, а a — ненулевые, являются линейными функциями.График этих функций всегда будет прямой линией. Это означает, что линейная функция является полиномиальной функцией первой степени:

    Квадратичная функция

    Все функции, имеющие вид , где a , b и c  – действительные числа, а a  отличны от нуля, являются квадратичными функциями. Квадратичная функция является полиномиальной функцией второй степени, поэтому ее график представляет собой параболу:

    Кубическая функция

    Подобно предыдущим полиномиальным функциям, кубическая функция имеет вид , где a, b, c, и d — действительные числа, а a отличны от нуля.Эта функция является полиномиальной функцией третьей степени:

    Функция идентификации

    Функция тождества — это функция, в которой изображением любого элемента является тот же самый элемент: .

    Функция тождества представляет собой линейную функцию с наклоном, проходящим через точку (0, 0). Эта функция делит первый и третий квадранты на равные части:

    Рациональная функция

    Рациональные функции — это функции, представленные в виде дробей двух многочленов, где частное неприводимо и отлично от нуля.Областью определения рациональной функции являются все действительные числа, кроме тех, у которых знаменатель равен нулю.

    Обратная функция

    Обратная функция — это функция, которая обращает эффект исходной функции. Например, если исходная функция умножает на 3, обратная функция делит на 3, а если исходная функция умножает на 3, а затем прибавляет 4, то обратная функция вычитает 4 и затем делит на 3.

    Ниже приведен график функции и ее обратной функции:

    Экспоненциальная функция

    Экспоненциальные функции — это функции, которые имеют переменную в качестве показателя степени основания.Эти функции имеют общий вид , где b  – основание экспоненциальной функции.

    Логарифмическая функция

    Логарифмическая функция состоит из логарифма по основанию b . В самом простом виде логарифмическая функция имеет вид .

    Тригонометрические функции

    Тригонометрические функции — это функции, полученные из различных соотношений трех сторон прямоугольного треугольника. Шесть основных тригонометрических функций — это синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс.

    Синус:  Синус угла определяется как отношение противолежащего катета (O) к гипотенузе (H). .

    Косинус:  Косинус угла определяется как отношение между прилежащей стороной (O) и гипотенузой (H). .

    Тангенс:  Тангенс угла определяется как отношение между противолежащей стороной (О) и прилежащей стороной (А). .

    Косеканс:  Косеканс — это обратное тригонометрическое отношение синуса.Косеканс определяется как отношение между гипотенузой (H) и противолежащим катетом (H). .

    Секанс:  Секанс — это обратное тригонометрическое отношение косинуса. Секанс определяется как отношение между гипотенузой (H) и прилежащим катетом (A). .

    Котангенс:  Котангенс – это обратное тригонометрическое отношение тангенса. Котангенс определяется как отношение между прилежащей стороной (А) и противолежащей стороной (О). .

    Начните прямо сейчас: изучите наши дополнительные ресурсы по математике

    Нечетные и четные функции

    Если у нас есть это, то функция будет даже . Четная функция симметрична относительно оси y .

    Если у нас есть это , то функция будет нечетное . Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

    Кусочная функция

    Кусочные функции, также известные как функции, определяемые частями, представляют собой функции, которые имеют различные выражения в зависимости от интервала, в котором находится независимая переменная.

    Функция абсолютного значения

    Функция абсолютного значения заставляет выходы функции всегда быть положительными. В простейшей форме функция абсолютного значения имеет вид . Эта функция образует V-образный график.

    Инъективная функция

    Инъективная функция — это функция, в которой каждый элемент конечного множества (Y) имеет единственный элемент начального множества (X). Эти функции также известны как «один к одному».

    Сюръективная функция

    Сюръективная функция — это функция, в которой всем элементам конечного множества (Y) соответствует хотя бы один элемент исходного множества (X).

    Биективная функция

    Биективная функция — это функция, которая одновременно и инъективна, и сюръективна.


    См. также

    Хотите узнать больше о функциях? Взгляните на эти страницы:

    44 типа графиков и диаграмм [и как выбрать лучший]

    Популярные типы графиков включают линейные графики, гистограммы, круговые диаграммы, точечные диаграммы и гистограммы. Графики — отличный способ визуализировать данные и отображать статистику.Например, гистограмма или диаграмма используются для отображения числовых данных, которые не зависят друг от друга.

    Включение визуализации данных в ваши проекты имеет важное значение при работе с числовой статистикой. Независимо от того, что вы создаете, визуальные эффекты для представления ваших данных могут значительно помочь вашей аудитории понять вашу точку зрения.

    Но как узнать, какие типы графиков и диаграмм лучше всего подходят для вашей отрасли и вашей информации?

    Независимо от того, пытаетесь ли вы визуализировать рост в отчете о продажах, продемонстрировать демографические данные в презентации, поделиться отраслевой статистикой в ​​инфографике или что-то еще, вам понадобится простой способ продемонстрировать этот контент.

    Поскольку мы понимаем, насколько сложно определить, какая именно диаграмма или график лучше всего подходят для визуализации ваших данных, мы составили список из 44 типов графиков, многие из которых можно построить прямо в Visme, чтобы помочь вам. .

    Найдите свою отрасль, ознакомьтесь с доступными вам вариантами графика, затем нажмите кнопку под каждым шаблоном, чтобы начать вводить свои данные и настраивать дизайн для своего проекта.

     

    44 Типы графиков и диаграмм

    Маркетинг

    Линейные графики

    Линейные диаграммы или линейные графики — это мощные визуальные инструменты, которые иллюстрируют тенденции в данных за определенный период времени или определенную корреляцию. Например, одна ось графика может представлять значение переменной, а другая ось часто отображает временную шкалу.

    Каждое значение наносится на график, затем точки соединяются для отображения тренда за сравниваемый промежуток времени. Несколько трендов можно сравнить, нанеся линии разных цветов.

    Например, интерес цифрового маркетинга с течением времени можно легко визуально показать с помощью линейного графика. Просто нанесите каждое количество поисковых запросов на временную шкалу, чтобы просмотреть тенденцию.

    Гистограммы

    Самый простой и понятный способ сравнения различных категорий — классическая гистограмма. Общепризнанный график представляет собой ряд столбцов разной длины.

    Одна ось гистограммы показывает сравниваемые категории, а другая ось представляет значение каждой из них. Длина каждой полосы пропорциональна числовому значению или проценту, который она представляет.

    Например, 4 доллара можно представить в виде прямоугольной полосы длиной четыре единицы, а 5 долларов — в виде полосы длиной в пять единиц. Одним быстрым взглядом зрители точно узнают, как различные предметы соотносятся друг с другом.

    Гистограммы отлично подходят для визуального представления практически любого типа данных, но они особенно эффективны в маркетинговой индустрии. Графики идеально подходят для сравнения любых числовых значений, включая размеры групп, запасы, рейтинги и ответы на опросы.

    Круговые диаграммы

    Круговые диаграммы — самый простой и эффективный визуальный инструмент для сравнения частей целого. Например, круговая диаграмма может быстро и эффективно сравнивать различные бюджетные ассигнования, сегменты населения или ответы на вопросы маркетинговых исследований.

    Разработчики маркетингового контента часто полагаются на круговые диаграммы для сравнения размеров сегментов рынка. Например, простая круговая диаграмма может ясно показать, как самые популярные производители мобильных телефонов сравниваются в зависимости от размера их пользовательской базы.

    Аудитория может быстро понять, что стоковая фотография является наиболее часто используемым визуальным элементом в маркетинге, а оригинальная графика, такая как та, которую можно создать с помощью Visme, занимает второе место.

    Карты Mosaic или Mekko

    Базовые линейные, гистограммы и круговые диаграммы — отличные инструменты для сравнения одной или двух переменных в нескольких категориях, но что произойдет, если вам нужно сравнить несколько переменных или несколько категорий одновременно?

    Что, если все эти переменные даже не числовые? Мозаика — или мекко — график может быть лучшим выбором.

    Возможно, рыночный аналитик, например, хочет сравнить больше, чем размер различных рынков мобильных телефонов. Что, если вместо этого ему или ей нужно сравнить размер пользовательской базы, а также возрастные группы внутри каждой группы?

    Мозаичная диаграмма позволит указанному маркетологу наглядно и просто проиллюстрировать все переменные.

    В приведенном выше примере на одной оси диаграммы представлены сравниваемые категории — производители мобильных телефонов, а на другой — различные возрастные диапазоны.

    Размер и цвет каждого поперечного сечения графика соответствует сегменту рынка, который он представляет, как показано в условных обозначениях графика.

    Пирамиды населения

    Рыночные сегменты часто делятся по возрасту и полу, и пирамида населения является идеальным визуальным представлением этих двух групп.

    График обычно принимает форму пирамиды, когда популяция здорова и растет: самые большие группы — это самые молодые, и каждый пол сокращается примерно одинаково по мере старения населения, оставляя самые маленькие группы в верхней части графика.

    Пирамида населения, которая отклоняется от своей классической формы, может указывать на неравномерность населения в определенный период, например, на голод или экономический бум, который привел к увеличению смертности или рождаемости.

    Конечно, демографические пирамиды не всегда используются для сравнения населения по возрасту и, следовательно, не всегда принимают форму одноименного графика.

    Например, маркетолог может использовать план для сравнения населения по доходу, весу или коэффициенту умственного развития, в котором самые маленькие группы часто будут как в верхней, так и в нижней части. Несмотря на это, на графике четко показаны демографические тенденции, в то время как на нем сравниваются размеры двух связанных групп.

    Карты пауков

    Когда статистику необходимо визуально сравнить три или более количественных переменных, он или она может использовать лепестковую диаграмму, также известную как диаграмма паука или звездная диаграмма.

    Диаграмма обычно состоит из ряда радиусов, каждый из которых представляет отдельную категорию, которые расходятся от центральной точки наподобие спиц.

    Длина каждой «спицы» пропорциональна сравниваемому значению.Для каждой категории спицы затем соединяются линией определенного рисунка или цвета, образуя звездообразную форму с точками, равными количеству категорий.

    Результатом является графическое представление, которое может одновременно отображать тенденции и сравнивать категории.

     

    Бизнес и финансы

    Графики акций

    Источник изображения

    Один из самых важных финансовых графиков. Биржевые диаграммы помогают инвесторам отслеживать рынки, определять прибыли и убытки, а также принимать решения о покупке и продаже.

    Хотя для представления рыночных изменений используются различные графики, наиболее распространенным, вероятно, является базовый линейный график, превращенный в гистограмму.

    Линии просто отслеживают изменения в конкретной акции или общей рыночной стоимости за определенный период времени. Несколько акций можно отслеживать и сравнивать одновременно, преобразуя линейный график в диаграмму с областями с накоплением или просто используя несколько линий разных цветов.

    Блок-схемы

    Часто в бизнесе, как и в других отраслях, процесс должен быть изображен на диаграмме.Блок-схема позволяет упорядочивать процесс шаг за шагом, от начала до конца, с целью анализа, проектирования, документирования или управления им.

    Эти блок-схемы могут даже иметь несколько начал и концов, с бесчисленными путями и путешествиями между ними.

    В то время как простая блок-схема, безусловно, может документировать базовый процесс от A до B и C, диаграммы чаще используются для иллюстрации более сложных последовательностей с несколькими решениями или условиями на пути.

    Каждый раз, когда выполняется условие, на диаграмме отображаются различные варианты, затем путь продолжается после каждого выбора.

    Диаграммы Ганта

    Диаграммы Ганта — это специальные типы столбчатых диаграмм, используемые для представления проектов и графиков. Использование цветных полос разной длины отражает не только даты начала и окончания проекта, но и важные события, задачи, вехи и их временные рамки.

    Современные диаграммы Ганта также могут иллюстрировать отношения зависимости действий.

    Если, например, выполнение командой 3 задачи C зависит от предварительного завершения задачи B командой 2, диаграмма может отражать не только эту взаимосвязь, но и запланированные даты и крайние сроки для каждой из них.

    Контрольные карты

    Также широко известная как диаграмма поведения процесса, контрольная диаграмма помогает определить, попадает ли набор данных в средний или заданный контрольный диапазон.

    Типичная контрольная диаграмма, часто используемая в процессах контроля качества, состоит из точек, нанесенных на две оси и представляющих измерения образцов.

    Вычисляется среднее значение каждой точки, и центральная линия на графике соответствует среднему значению. Затем для каждой выборки рассчитывается стандартное отклонение от среднего значения.

    Наконец, верхний и нижний контрольные пределы определяются и изображаются в виде диаграммы, чтобы отразить точки, в которых отклонение выходит за пределы ожидаемого стандарта.

    Карты водопада

    Водопадные диаграммы, которые особенно полезны в бухгалтерском учете и качественном анализе, иллюстрируют положительное и отрицательное влияние различных факторов на начальное значение.

    Например, каскадная диаграмма может четко и эффективно показать, как начальный баланс меняется месяц за месяцем в течение года.

    Поскольку они часто выглядят так, как будто столбцы плавают по всему графику, каскадные диаграммы иногда называют плавающими блоками или диаграммами Марио.

    Диаграммы иерархии

    По внешнему виду похожая на блок-схему, иерархическая диаграмма, также известная как организационная диаграмма или организационная диаграмма, иллюстрирует структуру организации, а также отношения внутри нее.

    Типичная организационная структура компании, например, перечисляет генерального директора вверху, за которым следуют президенты, вице-президенты, менеджеры и так далее.

    Организационная схема может проиллюстрировать цепочку подчинения от любого сотрудника до самого верха. Диаграммы иерархии аналогичным образом используются для представления родословных, научных классификаций, демографии и любого набора данных с аналогичной разбивкой.

    Возьмите приведенную выше диаграмму в качестве примера, где команда проекта организована в виде диаграммы организационной иерархии, так что каждый знает, кто является их руководителем в проекте.

     

    Инженерия и технологии

    Графики рассеяния

    График, также известный как диаграмма рассеяния, состоит из двух осей, каждая из которых представляет набор данных. Например, одна ось может отображать количество миль, пройденных транспортным средством, а вторая ось отображает общее количество израсходованных галлонов бензина.

    Среднее значение расхода топлива на галлон для каждого отобранного автомобиля представлено точкой на графике. После нанесения нескольких точек можно определить тенденции и сравнить образцы в зависимости от того, сколько цветов представлено на диаграмме.

    Решетчатые участки

    Иногда статистику необходимо сравнить больше наборов данных, чем может быть представлено одним графиком. Что, если, например, на графике необходимо сравнить не только пробег и израсходованные галлоны, но и количество шестерен и цилиндров, содержащихся в каждом образце автомобиля?

    Решетчатый график, также называемый решетчатым графиком или графиком, может отображать и сравнивать все эти переменные. В то время как в приведенном выше примере используется ряд точечных диаграмм, решетчатые графики также обычно содержат ряд гистограмм или линейных графиков.

    Графики функций

    Математикам, инженерам и статистикам часто требуется определить значение уравнения, построив график его результата. График функции — это множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению.

    Следовательно, функция уравнения с переменными x и y будет нарисована на графике с осями x и y . Точно так же уравнение, которое также включает переменную z , должно быть нарисовано на трехмерном графике с третьей осью.

    Графики функций обычных форм визуально связаны с соответствующими им алгебраическими формулами.

    Бинарные диаграммы решений

    Двоичное решение — это выбор между двумя альтернативами, поэтому диаграмма бинарного решения иллюстрирует путь от одного решения к другому.

    В компьютерных науках бинарные решения составляют логический тип данных, в котором два значения связаны с разными действиями в потоке процесса.

    За пределами информатики диаграмма бинарных решений все еще может использоваться для иллюстрации любого процесса, посредством которого действия основаны на выборе между двумя значениями, независимо от того, являются ли эти условия да или нет, истина или ложь, 1 или 0 или любое другое противоположное значение. выбор.

    В конечном счете выбранный путь покажет, как протекал процесс от начала до конца.

    Принципиальные схемы

    Как следует из названия, принципиальная схема представляет собой визуальное представление электрической цепи. Используя простые формы и изображения, диаграмма иллюстрирует компоненты и взаимосвязи цепи от начала до конца.

    Хотя пути и соединения точны, диаграмма не обязательно представляет пропорциональную пространственную конструкцию цепи.В информатике принципиальные схемы полезны для изображения данных, связанных как с аппаратным, так и с программным обеспечением.

    Графика не только визуализирует пути цепи в буквальном смысле, но также тесно связана с вышеупомянутой бинарной диаграммой решений — обе используются для построения схемы потоков процессов программирования.

     

    История

    Сроки

    Возможно, самая понятная из визуализаций данных, временная шкала отслеживает данные за определенный период времени.Важные даты и события выделены в том месте, где они появляются на хронологической шкале. Временные шкалы можно использовать отдельно или в сочетании с другими визуализациями.

    Эта инфографика с временной шкалой «История Винсента Ван Гога» — отличный пример того, как можно создать временную диаграмму прямо в Visme.

    Древовидные диаграммы

    Форма иерархической схемы, генеалогическое дерево иллюстрирует структуру семьи. Он может начинаться с предка, а затем изображать его или ее потомков, их братьев и сестер, браки и детей и так далее.

    Родословная, с другой стороны, начинается с человека и показывает его родословную, от родителей до бабушек и дедушек, и продолжается вверх.

    Графики солнечных лучей

    Тип многоуровневой круговой диаграммы, диаграмма солнечных лучей используется для иллюстрации иерархических данных с помощью концентрических кругов. Каждое кольцо «солнечных лучей» представляет собой уровень в иерархии, при этом корневой узел представлен центральным кругом, а иерархия движется наружу.

    Хотя диаграмму солнечных лучей можно использовать для иллюстрации знакомой или корпоративной иерархии, она также может разбивать данные по периодам времени, создавая историческую иерархию.

    Различные подразделения организации могут быть представлены определенными оттенками, при этом разные уровни часто принимают разные оттенки одного и того же цветового семейства. Кольца также могут быть разделены, чтобы представлять несколько подразделений в пределах одного организационного уровня.

    Фактически, традиционное сложное цветовое колесо, используемое в магазинах красок, представляет собой еще одну форму диаграммы солнечных лучей.

    Линейные графики

    Если временная шкала является формой графика, то имеет смысл только то, что историки часто используют ее для отображения других данных.При сопоставлении уровней иммиграции с временной шкалой полученная гистограмма иллюстрирует тенденции изменения численности населения за столетие или дольше с помощью основного линейного графика.

    Диаграммы с областями с накоплением

    Диаграммы с областями с накоплением часто используются для отображения изменений нескольких переменных во времени. Например, можно провести несколько линий, чтобы отслеживать изменения численности населения в различных штатах с течением времени.

    Область под каждой линией может быть окрашена в другой оттенок, чтобы представить штат, который она обозначает, в результате чего будет диаграмма, которая четко отображает тенденции населения, в то же время отображая данные по каждому штату в порядке от наименее до самого густонаселенного.

     

    Политология и социология

    Гистограммы с накоплением

    При изучении групп людей обычно сравнивают сразу несколько переменных. В конце концов, гораздо полезнее изучать расовое происхождение, возраст и пол в дополнение к общей численности населения.

    Гистограмма с накоплением сочетает в себе элементы традиционной гистограммы и круговой диаграммы для отображения итогов, тенденций и пропорций на одной иллюстрации.

    Вместо того, чтобы просто иллюстрировать изменения в глобальном населении с течением времени с помощью традиционной столбчатой ​​гистограммы, гистограмма с накоплением может также отображать расовый состав населения в течение каждого года и то, как эти пропорции менялись за тот же период.

    Решетчатые гистограммы

    При представлении данных с тремя переменными дизайнер может попытаться создать трехмерную гистограмму, но добавление дополнительной оси иногда может показаться загроможденным и нечетким, особенно в печатной форме.

    Вместо этого дополнительные переменные могут быть представлены в формате решетки или сетки.

    Объединив ряд гистограмм в модульную конструкцию, можно легко сравнивать дополнительные наборы данных. Например, одна гистограмма может проиллюстрировать политический срыв национальных выборов в Польше за пятилетний период.

    Но решетчатая гистограмма может отображать один и тот же набор данных для 16 европейских стран.

    Диаграммы с областями с накоплением

    Диаграммы с областями с накоплением идеально подходят для сравнения значений, для которых обычно требуется несколько линейных графиков. Каждая строка представляет отдельную категорию, а область под каждой строкой обычно окрашена в определенный цвет, чтобы можно было легко сравнивать каждый набор данных.

    Например, на диаграмме с областями, одна ось которой представляет числовое значение, а другая ось служит временной шкалой, данные для различных категорий во времени можно отслеживать и сравнивать с одним графиком.

    Многоуровневые круговые диаграммы

    Слишком часто дизайнер сталкивается с большим количеством наборов данных, чем может быть представлено на одном стандартном графике. К счастью, в случае круговой диаграммы можно представить несколько слоев данных без необходимости использования нескольких изображений или решетки.

    Многоуровневая круговая диаграмма, например, состоит из уровней, где каждый слой представляет отдельный набор данных, и может быть идеальным решением.

    Таким образом, хотя для иллюстрации различных источников записанных слов за три разных десятилетия потребовались бы три традиционные круговые диаграммы, многоуровневая круговая диаграмма может не только заменить все три, но и предложить более четкое визуальное сравнение годового количества слов. Результаты.

    Диаграммы Венна

    Классическая диаграмма Венна, также известная как логическая диаграмма, иллюстрирует все возможные логические отношения между определенным набором множеств.

    Например, перекрытие двух или более кругов — в данном случае их три — визуально представляет сходства и различия между социальной, экономической и экологической сферами устойчивого развития.

    Чем больше кругов использовано, тем более логичны выводы, которые могут быть представлены их перекрытием.Объединенный набор всех данных на диаграмме называется объединением, а перекрывающиеся области называются пересечениями.

    Диаграмма Венна, в которой относительный размер и площадь каждой формы пропорциональны размеру группы, которую она представляет, известна как пропорциональная площади или масштабированная диаграмма Венна.

     

    Наука

    Скаттерграммы

    Диаграммы рассеяния, также известные как диаграммы рассеивания, представляют собой графики, которые показывают взаимосвязь между двумя или более переменными.На графиках используются математические координаты для представления двух переменных набора данных.

    Данные отображаются на диаграмме рассеивания в виде набора точек, каждая из которых представляет переменные значения, нанесенные на горизонтальную и вертикальную оси. Если точки имеют цветовую кодировку, дополнительная переменная может быть представлена ​​на одной диаграмме.

    Нанося на график определенные наборы данных, ученые могут обнаружить тенденции, о которых иначе они могли бы не знать. Например, диаграмма рассеяния может позволить врачу сопоставить частоту сердечных сокращений пациентов в состоянии покоя с показателями их индекса массы тела.

    Полученный график показывает, что более высокая частота сердечных сокращений коррелирует с более высоким ИМТ.

    Графики решетчатых линий

    Решетчатые графики позволяют ученым исследовать сложные наборы данных с несколькими переменными, одновременно сравнивая больший объем информации.

    В то время как однолинейный график может иллюстрировать ежемесячные наблюдения НЛО в Теннесси за 18-летний период, решетчатый линейный график будет отображать одни и те же данные для всех 50 штатов на одном графике.

    Решетчатая линейная диаграмма основана на том же принципе, что и ее более простая копия, отображая тренды в наборе данных, состоящем из двух переменных — количества наблюдений НЛО и дат — посредством использования соединительных точек на двух осях.

    Но при объединении нескольких линейных графиков в модульном формате представлена ​​дополнительная переменная — местоположение.

    Диаграммы Парето

    Иногда базовый график не отображает достаточно информации, чтобы сделать необходимый вывод. Диаграмма Парето сочетает в себе гистограмму с линейным графиком, чтобы проиллюстрировать не только отдельные значения категорий, но и совокупный итог всего набора.

    Диаграммы Парето

    предназначены для выделения наиболее важных из набора факторов.

    На диаграмме Парето, которая отслеживает тип и частоту дефектов пищевых продуктов, столбцы иллюстрируют общее количество случаев возникновения каждого типа дефектов – как указано на одной из осей диаграммы – в то время как линейная диаграмма показывает кумулятивную частоту всех категорий, от большинства до наименее распространен.

    Результатом является график, который четко отражает наиболее распространенные дефекты пищевых продуктов и процентную долю каждого из них.

    Радиолокационные карты

    Радарная диаграмма, также известная как диаграмма пауков или звездная диаграмма, отображает наборы данных, состоящие из трех или более переменных, на двумерном графике.Количественное значение каждой переменной отражается по оси, которая обычно начинается в центральной точке диаграммы.

    При отображении переменных каждого элемента линия соединяет точки на каждой оси, образуя неправильный многоугольник, который может напоминать или не напоминать звезду или паутину.

    Несколько наборов данных можно сравнивать на одном радиолокационном графике, представляя каждый из них разным цветом, идентифицируемым метками или сопровождающим ключом.

    Радарная диаграмма может, например, четко сравнивать и иллюстрировать затраты и результаты различных медицинских процедур, поскольку они связаны с несколькими состояниями — все в одном графике.

    Сферические контурные графики

    Источник изображения

    Нанесение планетарных условий на базовый двухосевой график может вызвать затруднения. Земля, в конце концов, шар. Вместо этого данные могут быть нанесены на трехосное поле с использованием переменных x, y и z. Полученный участок, если он будет завершен, примет форму сферы.

    Сферический график может, например, отображать глобальные тренды температуры или количества осадков, назначая каждому диапазону значений определенный цвет, а затем отображая данные с точками соответствующего оттенка.

     

    Здоровье и благополучие

    Многострочные графики

    Точно так же, как медицинские симптомы редко бывают изолированными, анализ биометрических данных также не является изолированным. В конце концов, одна статистика редко рисует всю медицинскую картину.

    Линейные графики могут отражать несколько наборов данных с линиями разного рисунка или цвета. Например, многолинейный график может иллюстрировать изменения продолжительности жизни не только населения в целом, но и каждого пола и нескольких рас.

    Гистограммы с накоплением

    Гистограммы с накоплением полезны не только для иллюстрации частей целого. Их также можно использовать для отображения дополнительных переменных.

    В то время как базовая гистограмма может отображать, какая часть населения классифицируется как имеющая избыточный вес за определенный период времени, гистограмма с накоплением также может отслеживать, какая часть населения страдает ожирением.

    Блок-схемы

    Соблюдение надлежащего процесса, вероятно, более важно в медицине, чем в любой другой области.В конце концов, если хирург забудет сделать шаг, вы вполне можете истечь кровью во сне.

    Блок-схемы часто используются в больницах, клиниках и других медицинских учреждениях для обеспечения единообразного соблюдения надлежащих процедур.

    Пиктограммы

    В пиктограмме или пиктограмме изображения и символы используются для иллюстрации данных. Например, базовая пиктограмма может использовать изображение солнца для обозначения каждого дня с хорошей погодой в месяце и дождевое облако для обозначения каждого ненастного дня.

    Поскольку известно, что изображения обладают большей эмоциональной силой, чем необработанные данные, пиктограммы часто используются для представления медицинских данных.

    Иллюстрация, которая заштриховывает пять из 20 символов человека, чтобы представить 20-процентный уровень смертности, несет более мощное сообщение, например, чем полоса, линия или круговая диаграмма, иллюстрирующие те же данные.

    Анатомические схемы

    Медицинские диаграммы часто используются для иллюстрации анатомии, методов лечения или патологии болезни, чтобы объяснить методы лечения пациентов и других лиц, не имеющих обширного опыта в области биомедицины.

    Хотя медицинские диаграммы считаются сочетанием науки и искусства, они могут быть такими же техническими, как и любые другие количественные графики. И каким бы подробным ни был рисунок, анатомические схемы предназначены для четкого и эффективного представления данных.

    Как и в случае со сложной контурной диаграммой, диаграммы фокусируются на ключевой информации, даже если она была выбрана из огромного количества медицинских или научных данных.

    Мультикруговые диаграммы

    Как и в случае с многоуровневыми круговыми диаграммами, столбчатыми диаграммами с накоплением и решетчатыми диаграммами, многокруговые диаграммы рисуют более подробный портрет набора данных, который они иллюстрируют.

    В то время как одна круговая диаграмма может отображать, какая часть всего населения имеет определенное заболевание, многокруговая диаграмма может разбить эту статистику, чтобы проиллюстрировать не только долю мужчин и долю женщин, но и то, как эти две группы сравниваются. .

    Графики рассеяния

    Источник изображения

    Может быть сложно графически представить наборы медицинских данных, которые состоят из сотен или более пациентов, как это имеет место в большинстве медицинских исследований.

    Но точечная диаграмма позволяет представить каждый предмет, нанесенный на график в соответствии с переменными на двух осях диаграммы.

    Рисунок, образованный нанесенными точками, может четко определять тенденции в данных. Например, анализируя точечную диаграмму, исследователь может легко выявить корреляцию между большей продолжительностью жизни и более высоким доходом домохозяйства.

     

    Метеорология и окружающая среда

    Контурные графики

    Источник изображения

    Контурные графики позволяют анализировать три переменные в двумерном формате. Вместо построения данных по двум основным осям на графике также представлено третье значение, основанное на затенении или цвете.

    Подобно тому, как топографическая карта отображает долготу, широту и высоту в двухмерном изображении, контурный график иллюстрирует значения x , y и z .

    С помощью контурного графика, например, климатолог может не только отображать соленость океана в разные даты, но и ее соленость на разных глубинах в эти даты.

    Тепловые карты

    Источник изображения

    Тип контурной диаграммы, тепловая карта специально отображает изменение температуры в разных географических точках. В то время как две оси графика — это широта и долгота карты, третья переменная — температура — представлена ​​цветовым спектром.

    Хотя тепловые карты чаще всего используются для иллюстрации погоды, они также могут отображать веб-трафик, финансовые показатели и почти любые другие трехмерные данные.

    Scatter-Line Combo

    Комбинируя линейный график с точечной диаграммой, метеорологи и другие статистики могут проиллюстрировать взаимосвязь между двумя наборами данных.

    Например, высокие и низкие температуры каждого дня в месяце могут быть отображены в виде точечной диаграммы, а затем можно добавить линейный график, чтобы отобразить исторические средние высокие и низкие температуры за тот же период.

    Полученный комбинированный график четко показывает, как диапазон температур каждый день сравнивается со средним историческим значением, и даже показывает, как эти измерения изменяются за исследуемый период времени.

    Трехмерные графики

    Источник изображения

    Технология теперь позволяет статистикам отображать многомерные наборы данных в истинном виде. Трехмерные графики, созданные с помощью специального программного обеспечения, отражают взаимосвязь между тремя переменными, нанесенными по трем осям.

    Метеоролог может, например, составить график поля ветра урагана.

    Гистограммы

    По определению, гистограмма — это особый тип вертикальной гистограммы, на которой представлены числовые данные и их частотное распределение.

    Как следует из названия, распределение часто иллюстрируется во времени, но данные также могут быть построены на основе любой хронологической шкалы, такой как температура, высота над уровнем моря или денежное выражение.

    Хотя гистограммы обычно представляют собой гистограммы, эта концепция также может быть применена к линейным графикам и другим схемам, основанным на построении двух осей.

     

    Выберите один из этих типов графиков для создания

    Готовы приступить к созданию ваших любимых типов графиков? Создайте бесплатную учетную запись в Visme и начните работу с готовыми шаблонами и простым в использовании Graph Engine.

    Мы пропустили один из ваших любимых типов графиков? Что вам больше всего нравится создавать с помощью Visme? Дайте нам знать в комментариях ниже!

    Графики полиномиальных функций – Алгебра и тригонометрия

    Цели обучения

    В этом разделе вы:

    • Распознавать характеристики графиков полиномиальных функций.
    • Используйте факторинг для нахождения нулей полиномиальных функций.
    • Определите нули и их кратность.
    • Определить конечное поведение.
    • Поймите взаимосвязь между степенью и точками поворота.
    • Граф полиномиальных функций.
    • Используйте теорему о промежуточном значении.

    Доход вымышленной кабельной компании в миллионах долларов с 2006 по 2013 год показан на (Рисунок) .

    Распознавание характеристик графиков полиномиальных функций

    Полиномиальные функции степени 2 и выше имеют графики, не имеющие острых углов; Напомним, что такие типы графиков называются гладкими кривыми. Полиномиальные функции также отображают графики без разрывов. Кривые без разрывов называются непрерывными.(Рисунок) показывает график, представляющий полиномиальную функцию, и график, представляющий функцию, не являющуюся полиномом.

    Рисунок 1.

    Распознавание полиномиальных функций

    Какой из графиков на (рисунке) представляет полиномиальную функцию?

    Рисунок 2.

    Все ли полиномиальные функции имеют областью определения все действительные числа?

    Да. Любое действительное число является допустимым входом для полиномиальной функции.

    Определение нулей и их кратностей

    Графики ведут себя по-разному при разных x -перехватах. Иногда график пересекает горизонтальную ось на пересечении. В других случаях график будет касаться горизонтальной оси и «отскакивать» от нее.

    Предположим, например, что мы построили график показанной функции.

    Обратите внимание на (Рисунок), что поведение функции на каждом из x точек пересечения отличается.

    Рисунок 7. Идентификация поведения графика на точке пересечения с абсциссой путем изучения кратности нуля.

    Точка пересечения x
    является решением уравненияГрафик проходит непосредственно через точку пересечения x вМножитель является линейным (имеет степень 1), поэтому поведение вблизи точки пересечения похоже на поведение линии — он проходит прямо через перехват.Мы называем это одиночным нулем, потому что ноль соответствует одному фактору функции.

    Точка пересечения x представляет собой повторное решение уравнения График касается оси в точке пересечения и меняет направление. Коэффициент является квадратичным (степень 2), поэтому поведение вблизи точки пересечения похоже на квадратичное — он отскакивает от горизонтальной оси на точке пересечения.

    Фактор повторяется, то есть фактор появляется дважды. Количество раз, когда данный множитель появляется в факторизованной форме уравнения многочлена, называется кратностью.Нуль, связанный с этим фактором, имеет кратность 2, потому что фактор встречается дважды.

    Точка пересечения x представляет собой повторное решение фактора График проходит через ось в точке пересечения, но сначала немного выравнивается. Этот фактор является кубическим (степень 3), поэтому вблизи точки пересечения поведение похоже на кубическое — с той же S-образной формой вблизи точки пересечения, что и функция инструментария. Мы называем это тройным нулем или нулем с кратностью 3.

    Для нулей с четной кратностью графики касаются или касаются оси x .Для нулей с нечетной кратностью графики пересекают или пересекают ось x . См. (Рисунок) примеры графиков полиномиальных функций с кратностью 1, 2 и 3.

    Рисунок 8.

    Для более высоких четных степеней, таких как 4, 6 и 8, график по-прежнему будет касаться и отскакивать от горизонтальной оси, но для каждого увеличения четной степени график будет казаться более плоским по мере приближения и выхода из x — ось.

    Для более высоких нечетных степеней, таких как 5, 7 и 9, график по-прежнему будет пересекать горизонтальную ось, но для каждого увеличения нечетной степени график будет выглядеть более плоским по мере приближения и выхода из оси x .

    Как

    Дан график полиномиальной функции степени , определите нули и их кратности.

    1. Если график пересекает ось x и кажется почти линейным на пересечении, это один ноль.
    2. Если график касается оси x и отскакивает от оси, это нуль с четной кратностью.
    3. Если график пересекает ось x в нуле, это ноль с нечетной кратностью.
    4. Сумма кратностей равна

    Определение нулей и их кратностей

    Используйте график функции степени 6 на (рисунок) для определения нулей функции и их возможных кратностей.

    Рисунок 9. [reveal-answer q=»fs-id1165135533053″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135533053″]

    Полиномиальная функция имеет степень 6. Сумма кратностей должна быть 6.

    Начиная слева, первый нуль появляется на графике, касающемся оси x , поэтому кратность нулей должна быть четной.Нуль, скорее всего, имеет кратность

    .

    Следующий ноль происходит в этой точке График выглядит почти линейным. Это один ноль кратности 1.

    Последний ноль находится в точке График пересекает ось x , поэтому кратность нуля должна быть нечетной. Мы знаем, что кратность, вероятно, равна 3, а сумма кратностей равна 6.

    [/скрытый ответ]

    Попробуйте

    Используйте график функции степени 9 на (рис.) для определения нулей функции и их кратностей.

    Рисунок 10. [reveal-answer q=»fs-id1165135255999″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135255999″]

    На графике есть ноль -5 с кратностью 3, ноль -1 с кратностью 2 и ноль 3 с кратностью 4.

    [/скрытый ответ]

    Определение конечного поведения

    Как мы уже узнали, поведение графика полиномиальной функции вида

    Число

    будет либо расти, либо падать по мере неограниченного увеличения
    , и будет либо расти, либо падать по мере неограниченного уменьшения
    . Это связано с тем, что для очень больших входных данных, скажем, 100 или 1000, старший член доминирует над размером выходных данных. То же самое справедливо и для очень малых входных данных, скажем –100 или –1000.

    Напомним, что мы называем это поведение конечным поведением функции. Как мы указывали при обсуждении квадратных уравнений, когда главный член полиномиальной функции является четной степенной функцией, поскольку неограниченно возрастает или убывает, неограниченно возрастает. Когда главный член представляет собой нечетную степенную функцию, как безгранично убывает, так и безгранично убывает; как безгранично возрастает, так и безгранично возрастает.Если ведущий член отрицательный, он изменит направление конечного поведения. (Рисунок) суммирует все четыре случая.

    Рисунок 11.

    Понимание взаимосвязи между степенью и поворотными моментами

    В дополнение к конечному поведению напомню, что мы можем анализировать локальное поведение полиномиальной функции. У него может быть поворотный момент, когда график меняется с возрастающего на убывающий (подъем к падению) или от убывающего к возрастающему (от падения к подъему). Посмотрите на график полиномиальной функции на (рисунок).График имеет три точки поворота.

    Рисунок 12.

    Эта функция является полиномиальной функцией 4 й степени и имеет 3 точки поворота. Максимальное количество точек поворота полиномиальной функции всегда на единицу меньше, чем степень функции.

    Интерпретация поворотных моментов

    Точка поворота — это точка графика, в которой график меняется с возрастания на спад (с подъема на спад) или с убывания на рост (с падения на рост).

    Многочлен степени будет иметь не более поворотных точек.

    Нахождение максимального числа точек поворота с использованием степени полиномиальной функции

    Найдите максимальное количество точек поворота каждой полиномиальной функции.

    [reveal-answer q=»514289″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”514289″]
    1. Сначала перепишем полиномиальную функцию в порядке убывания:

      Определите степень полиномиальной функции. Эта полиномиальная функция имеет степень 5.

      Максимальное количество поворотных точек

    2. Сначала определите старший член полиномиальной функции, если функция была расширена.

      Затем определите степень полиномиальной функции. Эта полиномиальная функция имеет степень 4.

      Максимальное количество поворотных точек

    [/скрытый ответ]

    График полиномиальных функций

    Мы можем использовать то, что мы узнали о кратностях, конечном поведении и точках поворота, для построения графиков полиномиальных функций.Давайте соберем все это вместе и посмотрим на шаги, необходимые для построения графика полиномиальных функций.

    Как

    По заданной полиномиальной функции нарисуйте график.

    1. Найдите перехваты.
    2. Проверка на симметрию. Если функция является четной функцией, ее график симметричен относительно оси, то есть
      . Если функция является нечетной функцией, ее график симметричен относительно начала координат, то есть
    3. Используйте кратность нулей, чтобы определить поведение полинома на точках пересечения.
    4. Определите конечное поведение, изучив ведущий член.
    5. Используйте конечное поведение и поведение на точках пересечения, чтобы нарисовать график.
    6. Убедитесь, что количество точек поворота не превышает степени многочлена на единицу меньше.
    7. При необходимости используйте технологию для проверки графика.

    Рисование графика полиномиальной функции

    Нарисуйте график

    [reveal-answer q=»fs-id1165135237926″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135237926″]

    Этот график имеет две точки пересечения размером x .Коэффициент возводится в квадрат, что указывает на кратность 2. График будет отскакивать от точки пересечения x . Функция имеет кратность, равную единице, что указывает на то, что график пересечет ось на этом пересечении.

    Перехват y находится путем вычисления

    y -перехват равен

    Кроме того, мы можем видеть, что главный член, если бы этот многочлен был перемножен, был бы
    , поэтому конечное поведение является поведением вертикально отраженного кубика, с выходами, уменьшающимися по мере того, как входы приближаются к бесконечности, и выходами, увеличивающимися по мере приближения входов. отрицательная бесконечность.См. (Рисунок).

    Рисунок 13.

    Для того, чтобы нарисовать это, мы считаем, что:

    Рисунок 14.

    Где-то после этой точки график должен повернуться вниз или начать уменьшаться к горизонтальной оси, потому что график проходит через следующую точку пересечения atSee (Рисунок).

    Рисунок 15.

    Поскольку функции, как мы знаем, график продолжает уменьшаться, мы можем перестать рисовать график в четвертом квадранте.

    Используя технологию, мы можем построить график полиномиальной функции, показанный на (Рисунок), и убедиться, что полученный график похож на наш эскиз на (Рисунок).

    Рисунок 16. Полный график полиномиальной функции

    [/hidden-answer]

    Попробуйте

    Нарисуйте график

    [reveal-answer q=»fs-id1165135264689″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ a=”fs-id1165135264689″][/скрытый ответ]

    Использование теоремы о промежуточном значении

    В некоторых ситуациях мы можем знать две точки на графике, но не нули. Если эти две точки находятся на противоположных сторонах оси x , мы можем подтвердить, что между ними есть ноль.Рассмотрим полиномиальную функцию, график которой гладкий и непрерывный. Теорема о промежуточном значении утверждает, что для двух чисел и в области определения f и функция принимает каждое значение между и (хотя теорема интуитивно понятна, доказательство на самом деле довольно сложно и требует высшей математики). Мы можем применить эту теорему к частному случаю, который полезен в графики полиномиальных функций. Если точка на графике непрерывной функции лежит выше оси, а другая точка ниже оси, должна существовать третья точка между точкой пересечения графика и осью.Назовите эту точку Это означает, что мы уверены, что есть решение, где

    Другими словами, теорема о промежуточном значении говорит нам, что когда полиномиальная функция изменяется с отрицательного значения на положительное, функция должна пересечь ось. (Рисунок) показывает, что между
    и

    есть ноль Рисунок 17. Использование теоремы о промежуточном значении для доказательства существования нуля.

    Попробуйте

    Показать, что функция имеет хотя бы один действительный нуль между и

    Написание формул для полиномиальных функций

    Теперь, когда мы знаем, как находить нули полиномиальных функций, мы можем использовать их для написания формул на основе графиков.Поскольку полиномиальная функция, записанная в факторизованной форме, будет иметь точку пересечения x , где каждый множитель равен нулю, мы можем сформировать функцию, которая будет проходить через набор точек пересечения x , введя соответствующий набор факторов.

    Как

    Имея график полиномиальной функции, напишите формулу для этой функции.

    1. Определите точки пересечения x на графике, чтобы найти множители многочлена.
    2. Изучите поведение графика на точках пересечения x , чтобы определить множественность каждого фактора.
    3. Найдите полином наименьшей степени, содержащий все множители, найденные на предыдущем шаге.
    4. Используйте любую другую точку на графике (проще всего пересечение и ) для определения коэффициента растяжения.

    Написание формулы полиномиальной функции на основе графика

    Напишите формулу полиномиальной функции, показанной на (рис.).

    Рисунок 19.

    Попробуйте

    Учитывая график, показанный на (рисунке), напишите формулу для показанной функции.

    Рисунок 20. [reveal-answer q=»fs-id1165135559461″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135559461″]

    [/скрытый ответ]

    Использование локальных и глобальных экстремумов

    С помощью квадратичных вычислений мы смогли алгебраически найти максимальное или минимальное значение функции, найдя вершину. Для общих полиномов нахождение этих поворотных точек невозможно без более продвинутых методов исчисления. Даже в этом случае поиск экстремумов может быть сложной задачей с алгебраической точки зрения.Сейчас мы оценим расположение поворотных точек, используя технологию построения графика.

    Каждая точка поворота представляет собой локальный минимум или максимум. Иногда поворотной точкой является самая высокая или самая низкая точка на всем графике. В этих случаях мы говорим, что точка поворота является глобальным максимумом или глобальным минимумом. Их также называют абсолютным максимумом и абсолютным минимумом функции.

    Все ли полиномиальные функции имеют глобальный минимум или максимум?

    №Только полиномиальные функции четной степени имеют глобальный минимум или максимум. Например, не имеет ни глобального максимума, ни глобального минимума.

    Использование локальных экстремумов для решения задач

    Коробка с открытым верхом должна быть изготовлена ​​путем вырезания квадратов из каждого угла листа пластика размером 14 см на 20 см, а затем складывания сторон. Найдите размер квадратов, которые нужно вырезать, чтобы максимально увеличить объем, заключенный в коробке.

    [reveal-answer q=»fs-id1165135470058″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135470058″]

    Мы начнем с этой задачи, нарисовав рисунок, подобный изображенному на (Рисунок), обозначив ширину вырезанных квадратов переменной

    . Рисунок 22.

    Обратите внимание, что после вырезания квадрата с каждого конца остается прямоугольник acm bycm для основания коробки, и коробка становится высотой cm. Это дает объем

    Обратите внимание, поскольку множители равны [латекс]\,20–2w\,[/латекс], а три нуля равны 10, 7 и 0 соответственно. Поскольку высота 0 см неприемлема, мы рассматриваем только нули 10 и 7. Самая короткая сторона равна 14, и мы отсекаем два квадрата, поэтому значения могут принимать значения больше нуля или меньше 7. Это означает, что мы ограничим область определения этой функции до Используя технологию построения графика в этой разумной области, мы получим график, аналогичный показанному на (рис. ).Мы можем использовать этот график, чтобы оценить максимальное значение объема, ограниченное значениями for, приемлемыми для данной задачи — значениями от 0 до 7.

    Рисунок 23.

    На этом графике мы обращаем наше внимание только на часть разумной области. Мы можем оценить максимальное значение примерно в 340 кубических см, что происходит, когда квадраты составляют около 2,75 см с каждой стороны. Чтобы улучшить эту оценку, мы могли бы использовать расширенные функции нашей технологии, если они доступны, или просто изменить наше окно, чтобы увеличить наш график для получения (рисунок).

    Рисунок 24.

    На этом увеличенном изображении мы можем уточнить нашу оценку максимального объема примерно до 339 кубических см, когда квадраты имеют размеры приблизительно 2,7 см с каждой стороны.

    [/скрытый ответ]

    Попробуйте

    Использовать технологию поиска максимального и минимального значения на интервале функции

    [reveal-answer q=»fs-id1165134559223″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134559223″]

    Минимум примерно в точке, максимум примерно в точке

    [/скрытый ответ]

    Раздел Упражнения

    Устный

    Если полиномиальная функция степени имеет различные нули, что вы знаете о графике функции?

    Объясните, как теорема о промежуточном значении может помочь нам найти нуль функции.

    [reveal-answer q=»fs-id1165135314696″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135314696″]

    Если мы оцениваем функцию при и при изменении знака значения функции, то мы знаем, что ноль существует между и

    [/скрытый ответ]

    Объясните, как факторизованная форма полинома помогает нам в его графическом отображении.

    Если график многочлена просто касается оси x , а затем меняет направление, какой вывод мы можем сделать о разложенной на множители форме многочлена?

    [reveal-answer q=»fs-id1165135621855″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135621855″]

    Будет множитель возведен в четную степень.

    [/скрытый ответ]

    Алгебраический

    Для следующих упражнений найдите или t -пересечения полиномиальных функций.

    [reveal-answer q=»fs-id1165135347433″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ a = «fs-id1165135347433»]
    [/ скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165132941732″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165132941732″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134149980″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134149980″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134331988″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134331988″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134103103″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134103103″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134478959″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134478959″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134340053″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134340053″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165133104635″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165133104635″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165135376471″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135376471″]

    [/скрытый ответ]

    В следующих упражнениях используйте теорему о промежуточном значении, чтобы убедиться, что заданный многочлен имеет по крайней мере один нуль в заданном интервале.

    [reveal-answer q=»fs-id1165135621876″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135621876″]

    и
    Подтверждение смены знака.

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165133073928″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165133073928″]


    и изменение знака подтверждает.

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165135524657″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135524657″]

    и изменение знака подтверждается.

    [/скрытый ответ]

    Для следующих упражнений найдите нули и укажите кратность каждого из них.

    [reveal-answer q=»fs-id1165134534140″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134534140″]

    0 с кратностью 2, с кратностью 5, 4 с кратностью 2

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134357524″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134357524″]

    0 при кратности 2, –2 при кратности 2

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165133277602″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165133277602″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165135349287″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135349287″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165133035945″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165133035945″]


    с кратностью 2, 0 с кратностью 3

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165131857396″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165131857396″]

    [/скрытый ответ]

    Графический

    Для следующих упражнений постройте график полиномиальных функций. Обратите внимание и перехваты, множественность и конечное поведение.

    В следующих упражнениях используйте графики, чтобы написать формулу для полиномиальной функции наименьшей степени.

    [reveal-answer q=»fs-id1165134087659″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134087659″]

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165133104571″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165133104571″]

    [/скрытый ответ]


    В следующих упражнениях используйте график для определения нулей и кратности.

    [reveal-answer q=»fs-id1165134156011″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134156011″]

    –4, –2, 1, 3 с кратностью 1

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134347476″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134347476″]

    –2, 3 с кратностью 2

    [/скрытый ответ]

    В следующих упражнениях используйте предоставленную информацию о полиномиальном графике, чтобы написать уравнение.

    Степень 3. Нули на и — точка пересечения на

    Степень 4. Корень кратности 2 в и корень кратности 1 в и у -пересечение в

    Степень 5. Двойной ноль в и тройной ноль в Проходит через точку

    [reveal-answer q=»fs-id1165134277296″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134277296″]

    [/скрытый ответ]

    Степень 3. Нули в [латекс]\,х=3,[/латекс]и

    Степень 5.Корни кратности 2 в
    и
    и корень кратности 1 в

    y -перехват на

    Двойной ноль на
    и тройной ноль на
    Проходит через точку

    Технология

    В следующих упражнениях используйте калькулятор для аппроксимации локальных минимумов и максимумов или глобальных минимумов и максимумов.

    [reveal-answer q=»fs-id1165133348575″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165133348575″]

    локальное макс.
    локальное мин.

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165135314791″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165135314791″]

    глобальный минимум

    [/скрытый ответ]

    [reveal-answer q=»fs-id1165134402645″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134402645″]

    глобальный минимум

    [/скрытый ответ]

    Расширения

    В следующих упражнениях используйте графики для записи полиномиальной функции наименьшей степени.

    [reveal-answer q=»fs-id1165134402716″]Показать решение[/reveal-answer]
    [скрытый ответ = ”fs-id1165134402716″]

    [/скрытый ответ]

    Типы графиков, используемых в математике и статистике

    Описательная статистика: диаграммы, графики и графики > Типы диаграмм

    Общие типы графиков

    Содержание (нажмите, чтобы перейти к разделу) :

    1. Гистограмма
    2. Сегментированная гистограмма
    3. Столбчатая диаграмма
    4. Box and Whiskers Graph (также называемый Box Plot)
    5. График частот (таблица частот)
    6. Суммарная таблица частот
    7. Многоугольник частот
    8. Гистограмма
    9. Линейный график
    10. График времени
    11. Гистограмма относительной частоты
    12. Круговая диаграмма
    13. Точечная диаграмма
    14. Степлот
    15. Дополнительные примеры различных графиков
    16. Воронкообразная диаграмма (открывается в новом окне)

    1.

    Типы графиков: Гистограммы



    Гистограмма — это тип диаграммы, на которой есть столбцы, показывающие различные категории и суммы в каждой категории.
    См.: Примеры гистограмм

    .

    Этот тип графика представляет собой гистограмму с накоплением, где столбцы показывают 100 процентов дискретного значения.
    См.: Сегментированная гистограмма, что это такое?

    Microsoft Excel называет гистограмму с вертикальными полосами столбчатой ​​диаграммой, а гистограмму с горизонтальными полосами — гистограммой.

    См.: Столбчатая диаграмма Excel 2013

    4. Типы графиков: Box and Whiskers (Boxplots)


    Этот тип диаграммы, иногда называемый блочной диаграммой, удобен для отображения сводки из пяти чисел.
    См.: Таблица Box and Whiskers

    5. Типы графиков: распределения частот

    Таблица частот.

    Хотя технически это не то, что большинство людей назвало бы графиком, это простой способ показать, как распределяются данные.
    См.: Таблица частотного распределения.

    Таблица, показывающая, как накапливаются значения.
    См.: Таблица кумулятивного распределения частот.

    Этот тип графика почти идентичен гистограмме. Там, где гистограммы используют прямоугольник, эти графики используют точки, которые затем соединяются вместе.
    См.: Полигон частот.


    8. Типы графиков: гистограмма


    Способ отображения счетчиков данных с организованными в ячейки данными.
    См.: Гистограмма.

    9.Типы графиков: линейные графики

    Это график -4 5x+3.


    График, который показывает линию; обычно с уравнением. Могут быть прямыми или изогнутыми линиями.
    См.: Линейный график.

    График Доу-Джонса из Wall Street Journal показывает, как фондовый рынок меняется с течением времени.

    График времени подобен линейному графику. Однако время всегда отображается по оси X.
    См.: График времени.


    Гистограмма относительных частот показывает относительные частоты.
    См.: Гистограмма относительной частоты.

    12. Типы диаграмм: круговые диаграммы

    Круговая диаграмма, показывающая расход воды. Изображение предоставлено EPA.

    Как следует из названия, эти типы графиков выглядят как пироги.
    См.: Круговая диаграмма: для чего она используется?

    13. Типы графиков: точечные графики

    Точечная диаграмма.


    Эти диаграммы используют точки для построения точек данных. точки «разбросаны» по странице.
    См.: Диаграмма рассеяния.

    145. Типы графиков: Stemplots



    Шаблоны помогают визуализировать все отдельные элементы набора данных.
    См.: Stemplot: Что это такое?

    Аддитивные деревья
    Кривая Лоренца
    Минимальные остовные деревья


    ————————————————— ————————-

    Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

    Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице Facebook .


    Функции и графики

    Обзор

    Хотя есть свидетельства того, что понятие функции появилось уже в четырнадцатом веке нашей эры, именно немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц ближе к концу семнадцатого века нашей эры впервые ввел термин функция .Лейбниц использовал этот термин для описания алгебраической связи между координатами 90 271 x 90 272 и 90 271 y 90 272 любой точки на геометрически полученной кривой, такой как касательная или хорда, но позже эта идея была обобщена для включения любых алгебраических отношений, в которых значение выход y (известный как зависимая переменная ) функционально зависит от значения связанного входа x (известного как независимая переменная ). Вход функции альтернативно упоминается как ее аргумент , в то время как выход функции может также упоминаться как ее значение .Функция производит один (и только один) вывод для любого заданного ввода. Хотя для целей этого обсуждения мы предположим, что входы и выходы функции представляют собой действительные числа (фактически, любое число, не являющееся мнимым числом ), они могут принимать и другие формы. Вот пример функции:

    ƒ( х ) = 3 х

    Это стандартное обозначение для определения функции с именем ƒ .Действие этой функции заключается в создании вывода для любого заданного входного значения ( x ). Результат равен x , умноженному на три. Таким образом, мы могли бы применить функцию, определенную к определенному входному значению, следующим образом:

    ƒ(5) = 15

    Обычно при написании алгебраических выражений вход функции называется x , а выход функции y . Если бы нам нужно было описать действие функции, определенной выше, с помощью алгебраического уравнения, мы могли бы сказать:

    у = 3 х

    Однако написание уравнения — это только один из способов описания функции. Есть несколько других способов выражения действия функции. Первый из них заключается в создании таблицы, состоящей из диапазона возможных входных значений вместе с соответствующими им выходными значениями.Обратите внимание, что набор упорядоченных пар, в котором каждая пара состоит из входного значения и выходного значения, известен как отношение . Если мы создадим таблицу входов и выходов для функции ƒ( x ) = 3 x , мы могли бы получить что-то вроде следующего:


    3 0 9990
    Входные и выходные значения для
    ƒ( x ) = 3 x
    x -5 -4 -4 -3 -2 -2 -1 0 1 2 3 4 5
    3 x -15 -12 -1 -9 -6 -3 -3 0 3 6 9 12 15

    Мы также можем просмотреть функцию в виде графика, нанеся значения 90 271 x 90 272 и 90 271 y 90 272 на миллиметровую бумагу и соединив точки вместе, используя прямую линию или кривую (в зависимости от того, является ли функция 90 271 линейной, 90 272 или 90 271 нелинейной). ).Обратите внимание, что большинство программ для работы с электронными таблицами, доступных в настоящее время, также создают график на основе заданного набора входных и выходных значений. Фактически, вы можете просто ввести функцию в электронную таблицу в виде формулы и позволить электронной таблице вычислить выходные значения для диапазона входных данных. На следующем рисунке показан снимок экрана графика, созданного с помощью Microsoft Excel таким образом, с использованием входных значений ( x ) из приведенной выше таблицы:


    График линейной функции ƒ( х ) = 3 х


    Если выход функции может быть выражен с помощью алгебраического уравнения, говорят, что он вычислим .Слово «вычислимый» здесь означает, что мы можем вычислить результат для любого заданного входа. В большинстве случаев расчет может быть либо выполнен с помощью карандаша и бумаги, либо может быть реализован в виде компьютерного алгоритма. Набор всех возможных значений, которые могут использоваться в качестве входных данных для конкретной функции, называется областью функции . Набор всех возможных значений, которые могут быть получены в качестве выходных данных для функции, называется содоменом . Если функция может принимать входные данные с действительными значениями, и домен, и содомен могут включать все действительные числа, в зависимости от действия, определенного для функции.Это, безусловно, относится к функции ƒ( x ) = 3 x . Таким образом, теоретически мы могли бы расширить график этой функции на бесконечное расстояние в любом направлении. Обратите внимание, однако, что если домен (т.е. набор возможных входных значений) для функции ƒ( x ) = 3 x был ограничен набором целых чисел, со-домен также был бы ограничен набором целых чисел , а набор возможных выходных значений (иногда называемый диапазоном функции или изображением ) будет ограничен набором целых чисел, которые также кратны трем плюс ноль.

    Функция иногда описывается с точки зрения ее связи с другой функцией. Наиболее часто встречающимся примером этого является обратная функция данной функции. Мы можем сказать, например, что функция, обратная степенной функции ƒ( x ) = 10 x , является логарифмической функцией log 10 x . Обратная функция меняет действие исходной функции на противоположное.Например, если мы применим степенную функцию ƒ( x ) = 10 x к значению x из два , мы получим следующее:

    ƒ(2) = 10  2 = 100

    Следовательно, теоретически, если мы применим к этому выходу логарифмическую функцию log 10 x , она должна обратить действие степенной функции и восстановить значение x до его исходного значения (два).Вот результат применения обратной функции:

    ƒ(100) = логарифм 10 100 = 2

    Не все функции могут иметь обратную функцию. Функция, которая может иметь обратную функцию, называется обратимой . Знакомым примером обратимой функции является функция, которая преобразует температуру в градусах Цельсия ( C ) в температуру в градусах Фаренгейта ( F ):

    F = ƒ ( C ) = 9 C + 32
    5

    Функция, обратная функции ƒ, часто обозначается как функция ƒ -1 .Таким образом, обратная вышеприведенная функция (то есть функция, которая преобразует температуру из градусов по Фаренгейту обратно в температуру в градусах по Цельсию) может быть записана следующим образом:

    C = ƒ -1 ( F ) = 5 ( F — 32)
    9

    Нахождение области определения функции

    Как указывалось ранее, область определения функции — это набор всех возможных входных значений. Домен будет включать любое входное значение, которое приводит к выходу вещественного числа. Если нет ограничений на возможные действительные входы для функции, область определения состоит из набора всех действительных чисел. Для некоторых функций это не так. Если функция производит частное (то есть результат операции деления), в котором входные данные являются знаменателем, то ноль не может быть включен в область определения функции. Знаменатель с нулевым значением привел бы к делению на ноль, и поэтому результат был бы неопределенным.Точно так же, если бы функция выдавала на выходе квадратный корень, нужно было бы выбрать входное значение, чтобы избежать попытки вычислить квадратный корень из отрицательного числа, поскольку отрицательное число не может иметь квадратный корень. Рассмотрим следующие функции:

    ƒ( x ) = 3 x  2 — 4 x + 2

    ƒ( x ) = √( x + 16)

    В первом примере выше можно показать, что мы можем ввести любое действительное число для x и получить действительное число в качестве вывода, поэтому область определения функции ƒ( x ) = 3 x 2 — 4x + 2 — это все действительные числа. Во втором примере у нас есть результат, представляющий собой квадратный корень из x плюс шестнадцать ( x + 16), поэтому x должно быть больше или равно минус шестнадцать (-16). Только значения x , которые больше или равны минус шестнадцати, дадут подкоренное число и , которое гарантированно будет иметь значение, равное нулю или больше (подкоренное число и — это терм, корень которого берется). Следовательно, область определения функции ƒ( x ) = √( x + 16) представляет собой все действительные числа со значением минус шестнадцать или выше.

    Линейные функции

    Линейные функции называются так потому, что их график неизменно представляет собой прямую линию (в отличие от кривой). Когда мы смотрим на график линейной функции, нас интересует наклон линии и точки, в которых линия пересекает оси x и y на графике. Обратите внимание, что константные функции — это частный случай линейной функции, в которой линия горизонтальна и никогда не пересекает ось x — см. ниже.Также обратите внимание, что линия не может быть вертикальной, так как это означало бы, что x является константой. Если бы это было так, мы бы не имели дело с функцией, поскольку х не зависели бы от х . Точки, в которых линия пересекает оси x — и y , и, следовательно, ее наклон, определяются уравнением, описывающим функцию. Общий вид линейной функции может быть выражен следующим образом:

    y = ƒ( x ) = m x + c

    Здесь x и y — переменные, а m и c — постоянные значения.Можно показать, что м — это наклон (или градиент ) линии, а c — значение x , при котором линия пересекает ось y . Говорят, что уравнение, записанное в этой форме, имеет форму наклон-пересечение . Для любого заданного линейного уравнения мы можем найти значения для y , подставив в уравнение различные значения x . Если мы найдем достаточное количество значений для и (минимум два), мы сможем нарисовать график.Мы также могли бы провести анализ линейного графика, чтобы относительно легко вывести уравнение для функции. Мы можем найти значение c , просто найдя точку пересечения y . Значение м представляет собой наклон линии, и его можно найти, взяв координаты x и y двух подходящих точек на линии и применив следующую формулу:

    9091 м = 9091 м = Δ y = Y 2 2 Y 1
    Δ x x 2 x 1

    Рассмотрим следующий график:


    График линейной функции


    Из графика видно, что линия пересекает ось y , где y равно два ( y = 2), поэтому значение константы c равно двум. Принимая значения для x 1 2 1 и x 2 два и два и шесть и шесть (2 и 6), мы можем видеть, что соответствующие значения для y 1 и y 2 это четыре и восемь (4 и 8). Теперь мы можем подставить эти значения в формулу наклона линии следующим образом:

    9091 м = 9091 м = Δ y = Y 2 y 1 = 0 8 — 4 = 4 = 1
    Δ x 2 2 2 x 1 6 — 2 4

    Значение м (т.е. наклон линии), поэтому один (1), и мы можем написать уравнение для функции, которая описывает график следующим образом:

    y = ƒ( х ) = х + 2

    Обратите внимание, что если наклон линии минус (т. е. линия наклонена вниз слева направо), то значение м также будет отрицательным. Есть еще несколько моментов, на которые следует обратить внимание.Во-первых, если две линейные функции строят графики с одинаковым наклоном, но разными y -перехватами, они параллельны (если оба наклона и y -перехваты равны, то функции идентичны). Во-вторых, если произведение наклонов двух линий равно минус один (-1), то графики будут перпендикулярны (под прямым углом) друг к другу. Наконец, для линейной функции, если известны наклон и одна точка на прямой или, альтернативно, если известны любые две точки на прямой, можно построить график функции и определить ее уравнение.

    Имейте также в виду, что далеко не все линейные функции имеют область определения, которая представляет собой множество всех действительных чисел. Некоторые функции вызывают разрыв . Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим следующую функцию:

    0

    Y = ƒ ( x ) = 2 x 2 — 5 x + 3
    x

    70

    Вы должны увидеть, что для этой функции, когда x равно единице, значение y будет неопределенным, потому что x минус один ( x — 1) в знаменателе приведет к делению на нуль.Никакие другие действительные числовые значения x не вызовут проблем, поэтому на графике, по сути, есть разрыв, состоящий из одной точки на том, что в противном случае является континуумом. Вот график функции (обратите внимание, что разрыв обозначен маленьким кружком):


    График разрывной линейной функции y = ƒ( x ) = (2 x  2 — 5 x + 3) / ( x — 1)


    Если линейное уравнение имеет два (или более) неизвестных значения, решить его без дополнительной информации будет практически невозможно. С другой стороны, если у нас есть два 90 271 различных 90 272 уравнения, оба из которых относятся к одним и тем же неизвестным значениям, то мы можем решить оба уравнения одновременно (то есть 90 271 одновременно 90 272 ). Алгебраическое решение этих «одновременных уравнений» здесь не рассматривается. На данный момент нас интересует тот факт, что для линейных уравнений с двумя переменными ( x и y ) мы можем построить линейный график на основе того, что мы знаем.Если у нас есть два уравнения, которые относятся к одним и тем же неизвестным значениям, мы можем построить два графика. Хотя это звучит как утверждение очевидного, суть в том, что, рисуя график обоих уравнений на одной и той же системе осей, мы можем сразу увидеть, где линии пересекаются друг с другом (конечно, при условии, что они пересекаются). Точка пересечения будет иметь значения координат x и y , удовлетворяющие обоим уравнениям. Предположим, что нам даны следующие уравнения:

    2 х + у = 7

    3 х у = 8

    Мы можем нарисовать графики для обоих уравнений на одном и том же наборе осей следующим образом:


    Графики линейных уравнений 2 x + y = 7 и 3 x y = 8


    Из графиков видно, что пересечение происходит по координатам x = 3, y = 1. Мы можем проверить правильность значений, подставив их в оба уравнения, чтобы убедиться, что мы получаем заявленный результат в обоих случаях. Если уравнения одинаковы, мы получим один и тот же график в обоих случаях. Фактически это означает, что все точки на прямой являются решениями. Если линии не пересекаются, они должны (по определению) быть параллельны, и поэтому решения нет.

    Постоянные функции

    Постоянная функция — это функция, в которой выходное значение никогда не изменяется.Мы можем написать общую постоянную функцию ƒ( x ) = c , в которой c является некоторым (неуказанным) постоянным значением. Выход постоянной функции ƒ( x ) = c никогда не меняется, независимо от значения, взятого x . Реальным примером постоянной функции может быть функция, которая связывает частное силы ( F ) и ускорения ( a ) к массе ( m ) тела (обратите внимание, что масса m тело является константой, в отличие от его веса, который зависит от силы, действующей на тело за счет силы тяжести):

    ƒ( F / a ) = м

    Постоянная функция — это простейшая функция для алгебраического описания, поскольку ее выход не меняется. По той же причине очень прост и график постоянной функции. График функции представляет собой линию или кривую, соединяющую набор координат x и y , представляющих входные значения и соответствующие выходные значения функции. Поскольку выходные значения (представленные координатами y ) всегда будут одинаковыми независимо от значения входных значений (представленных координатами x ), то график постоянной функции ƒ( x ) = c — горизонтальная линия, проходящая через ось y в координатах 0, c.Вот график постоянной функции ƒ( x ) = 3:


    График постоянной функции ƒ( x ) = 3


    Квадратичные функции

    Квадратные уравнения используются для решения всевозможных задач в науке, технике и многих других областях. Квадратичная функция представляет собой полиномиальную функцию, имеющую вид ƒ( x ) = x 2 + bx + c , где a , b c и и не могут равняться нулю. График квадратичной функции представляет собой параболу с осью симметрии, параллельной оси y (см. ниже). Термин , квадратичный , относится к тому факту, что старший показатель степени, присутствующий в выражении, описывающем функцию, равен двум (2). Это означает, что функция является полиномом второго порядка . Если выход функции равен нулю, результирующее уравнение представляет собой квадратное уравнение (т. е. оно принимает форму y = ƒ( x ) = ax  2 + bx + c = 0).Решением квадратного уравнения является значение (или значения) x , для которых это верно (т.е. y равно нулю). Глядя на график квадратичной функции, должно стать очевидным, что для любого заданного квадратного уравнения есть три возможных исхода:

    • график не пересекает ось x и решения нет
    • график пересекает ось x в одной точке, и есть одно решение
    • график пересекает ось x в двух точках, и есть два решения

    В большинстве случаев мы ожидаем, что график пересечет линию в двух точках. Координаты x , соответствующие этим точкам, называются корнями уравнения. Поэтому мы можем найти решение квадратного уравнения, нарисовав график функции и найдя точки, в которых график пересекает ось x . Вот график функции y = ƒ( x ) = x  2 — 4 x — 5:


    График y = ƒ( x ) = x  2 — 4 x — 5


    На рисунке видно, что график пересекает ось x в двух точках: x равно минус единице ( x = -1) и x равно пяти ( x = 5).Таким образом, существует два решения ( минус один и пять ) для квадратного уравнения x  2 — 4 x — 5 = 0. Вы можете увидеть характерную форму графика здесь. Нижняя часть графика (или вершина, если парабола перевернута) называется вершиной или точкой поворота . Если вершина лежит на оси x , решение единственное. В зависимости от значений a , b и c в квадратичной функции точная форма и положение параболы будут меняться.Например, если значение a равно отрицательному , парабола будет перевернутой (перевернутой, с вершиной вверху, а не внизу).

    Кубические функции

    Как и квадратные уравнения, кубические уравнения используются для решения задач в науке и технике. Кубическая функция — это полиномиальная функция, которая принимает форму ƒ ( x AX

    3 + BX

    2 + CX + D , в котором A , B , c и d (обычно) действительные числа, а a не может равняться нулю.График кубической функции представляет собой кривую, как показано ниже. Термин кубический относится к тому факту, что самый высокий показатель степени, присутствующий в выражении, описывающем функцию, равен три (3). Это означает, что функция является полиномом третьего порядка . Если выход функции равен нулю, результирующее уравнение представляет собой кубическое уравнение (т. е. оно принимает форму y = ƒ( x ) = ax 3 + bx 2 9116 + сх + д = 0).Решениями кубического уравнения являются значения x , для которых это верно (т.е. y равно нулю). График кубической функции пересекает ось x в трех точках, поэтому кубическое уравнение имеет три корня. Мы можем найти решение кубического уравнения, нарисовав график функции и найдя точки, в которых график пересекает ось x . Вот график функции y = ƒ( x ) = 2 x 3 — 3 x 2 — 3 x + 2:


    График y = ƒ( x ) = 2 x 3 — 3 x  2 — 3 x + 2


    На иллюстрации видно, что график пересекает ось x в трех точках. Следовательно, существует три решения кубического уравнения 2 x 3 — 3 x 2 — 3 x + 2 = 0. Решения для показанного здесь графика таковы: x = -1, x = 0,5 и x = 2. Точки на графике, где кривая претерпевает резкое изменение направления, называются критическими точками . График, показанный выше, имеет две критические точки.


    Линейные уравнения и функции — функции и их графики

    Функции и их графики

    Функция, функция, какая у тебя функция? Вы личный тренер, известный шпион, дверной косяк или что-то совсем другое? Мы думаем, что это последний.

    Функция принимает некоторые входные данные, обычно называемые x , в уравнение f ( x ). Затем x проходит через уравнение, и в конце мы получаем некоторый результат, обычно известный как y . Обратите внимание, что y и f ( x ) на самом деле одно и то же. Может быть, и — знаменитый шпион?

    Мы называем x независимой переменной , а y — зависимой переменной .Так что x прекрасно работает, а y все еще живет дома. Все возможные значения x- являются доменом , а все возможные значения y- являются диапазоном .

    Пример задачи

    Найдите область определения и диапазон y = 3 x – 4, где 0 ≤ x < 4.

    Если бы мы только что получили уравнение, y – 3 x 4, ничего не говоря, мы бы сказали, что домен состоит из всех действительных чисел.Это исключает воображаемые, фальшивые, бредовые и позерские числа.

    В этом случае, однако, мы не можем выбрать любое x , которое нам нравится под солнцем. В задаче сказано, что 0 ≤ x < 4. Это означает, что наша область ограничена всеми действительными числами от 0 до 4, включая 0, но не 4 (из-за линии под голодным ртом Pacman).

    Теперь диапазон. Диапазон — все возможные значения и . В нашем уравнении y = 3 x – 4 значения y- – это то, что мы получаем, когда подставляем известные нам значения x-.Давайте составим таблицу, чтобы зафиксировать диапазон.

    Диапазон этой функции -4 ≤ y < 8. Обратите внимание, что y меньше 8, потому что x не может равняться 4, поэтому y никогда не может точно равняться 8.

    В этом случае диапазон прост; мы можем посмотреть наименьшее и наибольшее значения x , и они дадут нам наименьшее и наибольшее значения y . Что, если бы у нас было что-то вроде y = — x 2 , где -2 < x < 2?

    Здесь, если мы просто подставим x = -2 и 2, мы получим y = -4 для них обоих. Однако мы знаем, что и не всегда находятся на уровне -4. Мы должны проверить x = 0, чтобы обнаружить, что y = 0, что дает нам диапазон -4 < y < 0. В любое время, когда график может наклониться или опуститься, проверьте различные числа, чтобы найти правильный диапазон.

    Теперь давайте на секунду поговорим о графических функциях. На самом деле, давайте поговорим и построим график одновременно. Только не просите нас тоже жевать жвачку.

    Пример задачи

    График y = 3 x – 4, где 0 ≤ x < 4.

    О, это снова ты. Вы собираетесь повторять вещь , не так ли?

    Это нормально, потому что это означает, что мы уже проделали большую часть работы. Нам известен домен и диапазон, и мы подключили несколько точек.

    Начните с рисования координатной плоскости . x -ось лежит на спине, лежа, а y -ось стоит по стойке смирно. Они встречаются посередине в точке происхождения .Не пытайтесь слишком сильно визуализировать это; на самом деле это не так больно, как кажется. Мы надеемся.

    Мы используем числа на осях, чтобы нанести точки и провести линию. Делаем заказанные пары , которые выглядят так: ( x , y ). И x всегда вызывает дробовик, поэтому y никогда не будет первым.

    Начиная с исходной точки (0, 0), положительные значения x перемещаются вправо, а положительные значения y перемещаются вверх. Переместите оба числа вместе, чтобы построить каждую точку из нашей таблицы.

    Видишь, как красиво они выстроились? Почему они не могли так красиво выглядеть на своих школьных фотографиях? Что ж, давайте проведем через них линию, пока они сидят на месте.

    Здесь у нас ограниченный домен, поэтому мы рисуем только линию, где функция действительно существует. Несуществующие линии на удивление легко рисовать, так что следите за ними.

    Вертикальность

    В функциях есть кое-что очень важное. На самом деле, это настолько важно, что мы поместим его в отдельную строку:

    На каждые x приходится только одно y .Другими словами, каждый вход имеет только один выход. Входит один x , выходит один y .

    Если уравнение нарушает этот принцип, оно не является функцией. К счастью, нам не нужно подключаться и проверять каждое значение x-, чтобы увидеть, есть ли среди них общее значение y-. Это было бы утомительно и ужасно. Вместо этого мы можем использовать тест вертикальной линии . Какое имя, а?

    Возьмем, к примеру, эти графики. Тест именно на то, на что он похож: рисование вертикальных линий поверх графика.Если любая вертикальная линия может проходить через график более одного раза, то уравнение , а не является функцией.

    Видишь? Мы можем с первого взгляда сказать, что является функцией, а что нет.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск