Вычисление площадей криволинейных трапеций: определение, площадь криволинейной трапеции, формула Ньютона-Лейбница, геометрический смысл теоремы Лагранжа о среднем

Содержание

Практическая работа по математике на тему «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Практическая работа №8

«Вычисление площадей фигур»

 

Цель работы: закрепить навык вычисления площади криволинейной трапеции.

Необходимо знать: определение криволинейной трапеции, формулу Ньютона-Лейбница для расчёта определённого интеграла.

Необходимо уметь: по готовому чертежу составлять формулу площади и находить её значение.

 

  1. Теоретическая часть

 

Определение. Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:      

              

 

  • сверху — графиком непрерывной функции y=y(x)
  • снизу – осью OX (y=0)
  • слева – прямой x=a
  • справа – прямой x=b

 

 

Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:

                                                                                                                              (1)

Рассмотрим различные методы вычисления площадей плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 2) представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).

 

 

 

 

Ответ: 6 кв.ед.

 

Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

 

Решение: данная фигура (рис. 4) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2).

 

 

Ответ: 1/6 кв.ед.

 

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .

 

Решение: данная фигура (рис. 5)представляет собой разность криволинейных трапеций

Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и  x2=1.

  . Можно записать под один интеграл:

 

Ответ: 4,5 кв.ед.

 

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.

 

Решение: данная фигура (рис. 6) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S1+S2, где    и  . Получим формулу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       

Вычислить площадь плоской фигуры

 

 

Вариант 1

Вариант 2

1.у=х2-2х+2, х=-1

2.У= х2-5х+6 с осью ОХ

3.у=х2+1 и у=-х+3

4. у=х2+1 и у=-х+3 и координатными осями.

 

1вариант:а) у=х2-2х+2, х=1,х=2;б)у=х2, х=0,х=4

 

 

  

2 вариант: а) у=х2-5х+6 с осью ОХ; б) у=х3, х=3

 

2 Задание. Вычислить площадь

 

3 Задание. Вычислить площадь

 

 

4  Задание.

5. Задание

6 задание

7. Задание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Контрольные вопросы

 

  1. Приведите определение криволинейной трапеции.
  2. В чём геометрический смысл определённого интеграла?
  3. Выберите формулу площади заштрихованной  фигуры:

 

     

 

  А.

 

  Б.

 

  В.

 

 

 

 

Критерии оценки

 

«Отлично» — даны ответы на все контрольные вопросы, задания самостоятельной работы выполнено полностью.

«Хорошо» — даны ответы на все контрольные вопросы; при выполнении заданий самостоятельной работы допущены 1-2 арифметические ошибки.

«Удовлетворительно» — выполнено 60%-70% заданий самостоятельной работы, даны ответы не на все контрольные вопросы;.

«Неудовлетворительно» — выполнено менее 60% заданий для самостоятельной работы

Вычисление площади криволинейной трапеции — презентация онлайн

1.

Вычисление площади криволинейной трапеции Применение определенного интеграла
для нахождения площади
криволинейной трапеции.
Найдите производную и одну из
первообразных функции
f'(x)
1
0
х
2Cos2x
22 ln2
х
f(x)
х
х

Sin2x
F(x)
х3
12 2
х x
Соs2
2 ln22
x2
3

3. Определенный интеграл

b
f x dx F x
b
a
F b F a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен площади криволинейной трапеции:
ограниченной кривой у = f(x),
прямыми х = а; х = b и осью Ох, у = 0 .
Криволинейная трапеция
Криволинейной трапецией называется фигура,
ограниченная графиком одной непрерывной
функцией f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком
[а;b] на оси Ох.
У
0
a
x=b
х=а
y = f(x)
b
Х
На каком рисунке изображена
криволинейная трапеция?
y
1.
2.
y
x
x
3.
y
4.
x
y
x

6. Какие из данных фигур являются криволинейными трапециями?

1
2
3
у
y
y
y = f(x)
0
a
b
х
a
0
y
b
c
4
0
b
b x
y
y = f1(x)
b
x
0
0
a
y
a
a
x
y = f2(x)
0
x
5
a
b x
6

7. Площадь криволинейной трапеции

y
D
C
b
S ABCD f x dx
a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
F b F a
y=0
x

8. Площадь криволинейной трапеции

y
B
b
y=0
x
b
S ABCD
f x dx
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
F b F a
y
Площадь криволинейной
трапеции
D
0
A
a
C
S PMCD S ABCD S ABMP
B
b
b
b
x
f x dx g x dx
a
a
b
b
а
a
f ( x)dx g ( x)dx
P
M
y
Площадь криволинейной
трапеции
D
C
S PMCD S ABCD S ABMP
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
f x dx g x dx
f x g x dxx
b
a

11.

Пример 1: вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС SABCD SABOCD
C
2
2
1
1
x 2 dx x 2 dx
B
A
-1
2
2
x
x
х 2 х 2 dx 2x
3
2
1
O
D
2
2
3
2
1
8 1
1
1
2 4 2 5 4,5
3 2
3
2
x
y
Площадь криволинейной
трапеции
SАЕDВ SAEDC SСDB
D
с
b
a
с
f x dx g x dx
Е
0
Aa
с
C
b
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ SADС SСDB
D
A
2
4
C
8
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
4
8
x — 2 dx 2
2
2
3 4
x 2
8 — хdx
3
4
4 8 x 8 x
3
2
8
4
4 2 3 2 2 3 4 8 8 8 8 4 8 4 8 4
3
3
3
3
8 х t
dx dt
1
2
2 t dt 2 t dt
3
2
t
4
2 (8 x) 3
3
3
2
8 32 40
1
13
3 3
3
3

15.

Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y = (x-1)2, осью Ox и прямой x=2. y x 1
2
1
0
1
01
x=2
y
12
x
Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
У=х²
y
b
S
f ( x ) dx
a
3
S
х 2 dx F (3) F (1)
1
33 13
2
8 ( кв.ед)
3
3
3
1
0
1
3
x
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
у
1
S ( x 2 2)dx
2
3
x
1
( 2 x) 2
3
1
8
2 ( 4)
3
3
х
-2
0
1

18. Вычисление площадей плоских фигур

Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=x-2 и y=x2-4x+2
y
1.
y=x2-
4x+2, xв =2, yв = -2
2. у=х-2: х=0, у=-2; х=2, у=0
3. Абсциссы точек пересечения:
x2- 4x+2=x-2
х1=1, х2=4
4
4. S= ((x 2)
( х 2 4 x 2))dx
1
4
2
3
4
5x
x
(5 x x 4)dx (
4 x) 4,5
2
3
1
1
Ответ: S=4,5
1
2
-2
4
x
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у
х
-2
3
у = х2 — 3
Найдите площадь фигуры, ограниченной
линиями
у
S1
S2
х
Найти площадь криволинейной трапеции,
изображенной на рисунке
y
I
1
0
I
-1
y=sinx
2
x

Открытый урок «Площадь криволинейной трапеции»

Открытый урок Площадь криволинейной трапеции

Записать в тетради тему урока

ГГБОУ ЦО №162

Преподаватель Викулина Е. В.

2018

План урока

  • 1. Повторение (Первообразная)
  • 2. Проверочная работа. Корректировка знаний.
  • 3. Новая тема. (Криволинейная трапеция. Площадь. Интеграл.)
  • 4. Закрепление материала. Решение задач.
  • 5. Подведение итогов. Домашнее задание.
  • Повторение (устно) а) Найти верное соответствие

f(x)

1

F(x)

2

а

3

b

4

5

c

d

e

2-3 человека устно

Повторение.

Первообразная степенной функции.

1. Повторение б) Найти первообразные функций

В тетрадях под номерами записать только первообразные функций. (Проверка – след. Слайд)

Проверка

Произвести корректировку знаний и умений

Площадь криволинейной трапеции ( практическое применение )

Определение КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ

  • Фигура, ограниченная снизу отрезком оси , сверху графиком непрерывной функции , принимающей положительные значения, а с боков отрезками прямых и , называется криволинейной трапецией.
  • Отрезок называют основанием этой криволинейной трапеции.

Устно. Определите на каких рисунках изображены криволинейные трапеции. Ответ обоснуйте.

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции

можно вычислить по формуле

S = F ( b ) – F ( a ) ,

где F ( x ) – любая первообразная

функции f (х).

Из истории Создатели интегрального и дифференциального исчисления

  • НЬЮТОН, ИСААК (Newton, Isaac) (1643-1727)   — английский математик, физик, алхимик и историк, заложивший основы математического анализа, рациональной механики и всего математического естествознания, а также внесший фундаментальный вклад в развитие физической оптики.
  • ЛЕЙБНИЦ, ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ (Leibniz, Gottfried Wilhelm von) (1646-1716) выдающийся немецкий философ и математик.

Интеграл (формула Ньютона – Лейбница)

  • Разность называют интегралом от функции на отрезке и обозначают так:
  • Читается: «Интеграл от а до b эф от икс дэ икс»
  • Формула

СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

  • Символ «интеграл» введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Якоб Бернулли (1690 г .), родоначальник швейцарской династии математиков. Вероятно, оно происходит от латинского integero , которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый .

Задача. Найти площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке.

  • Решение:
  • 1. рис.
  • 2.
  • Ответ:

Повторение. Построение при помощи шаблона графиков квадратичной функции.

Решение задач

  • 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х= -2, х= 1, осью Ох и графиком функции у = х + 1.

Формула Ньютона — Лейбница

Решение задач

  • 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции

Решение задач ( дополнительно )

  • 3* Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми х = 4, х = 9, осью Ох и графиком функции

Итоги урока

  • 1. Повторили пройденный материал. Провели проверочную работу. (Результаты на следующем уроке)
  • Ввели новые понятия « криволинейная трапеция », « интеграл ». Узнали формулу Ньютона – Лейбница для нахождения площади криволинейной трапеции. Закрепили полученные данные решением задач.
  • Оценки за работу на уроке:

Домашнее задание

  • Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции

Благодарю за работу на уроке!

Криволинейная трапеция — Энциклопедия по экономике

Кривая у = /(ж) и прямые ж = а, х = b и у = 0 ограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой у = /(ж) от а до 6, или криволинейной трапецией.  [c.223]

Если требуется вычислить площадь S криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой, то можно вычислить S с любой степенью точности.  [c.223]

Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой ж интервала [а, ] он имеет высоту /(ж) и бесконечно  [c.223]

Рис. 12.2. Вычисление площади криволинейной трапеции
Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Sn стремится к площади криволинейной трапеции S.  [c.225]

Если а определенный интеграл равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций (рис. 12.3)  [c.228]

Искомую площадь можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций, ограниченных данными линиями. Поэтому  [c.247]

Объем тела вращения. Пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная неотрицательная функция у — /(ж). Необходимо найти объем Vx тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = /(ж), у = О, ж = а, х = Ъ (рис. 12.1).  [c.249]

Она выражает объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси Оу.  [c.252]

Задача 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линия-  [c.253]

На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят численными методами. Основа численных методов построения формул приближенного вычисления интегралов состоит в замене частичных криволинейных трапеций, образующихся при разбиении отрезка интегрирования, на более простые фигуры. В формуле прямоугольников — это прямоугольники в формуле трапеций — трапеции в формуле парабол — параболы. Рассмотрим эти методы более подробно.  [c.254]

Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [а, 6] задана функция у = f(x]. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции S1, ограниченной кривой у = f(x] и прямыми х = а, х = Ъ и у = 0 (рис. 12.1).  [c.254]

В основе этого метода лежит замена частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху функцией /(ж), на криволинейную трапецию, ограниченную сверху параболой вида  [c.259]

Искомый несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция ( бесконечный шпиль ) имеет бесконечную площадь (рис. 12.17). А  [c.266]

Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция ( бесконечный шпиль ) имеет площадь равную двум (рис. 12.17). По сравнению с предыдущим примером площадь оказалась конечной. Это является следствием того, что  [c.268]

Если определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции выражает площадь криволинейной трапеции, то двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции равен объему тела, построенного на области D плоскости хОу как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = /(ж, у). Этот объемный аналог криволинейной трапеции называют цилиндроидом.  [c.300]

Филлипса 25 Криволинейная трапеция 223 Критерий Сильвестра 312  [c.458]

С геометрической точки зрения нахождение квантиля уа заключается в таком выборе значения Y = ya, при котором площадь заштрихованной криволинейной трапеции была бы равна а.  [c.29]

Рис. 7.1. Пример криволинейной трапеции
Площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [и, Ь  [c.141]

Решение. Искомый объем (ела вращения равен разности объемов, образованных вращением криволинейных трапеции с верхними границами, соответственно, у = Лх ч у -л. Пределы интегрирования оп-  [c.143]

Вероятность р = р(3/7 интервал времени между двумя соседними заказами больше 3-х и меньше 5-ти дней, равна по значению площади заштрихованной на рис. 7.5 криволинейной трапеции, которая вычисляется по формуле  [c.118]

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = 1(к), осью Ох, прямыми х = а, х = Ь, находят по формуле  [c. 158]

Рассмотрим распределение Паретто (рис. 2.4.9). Площадь криволинейной трапеции, образованной приращением функции Л F(t0) и частью кривой, приближенно равна значению L0(t0)AF(tg), тогда коэффициент Джини  [c.102]

Ученые XVIII века находили объем тела вращения следующим образом. Они считали, что криволинейная трапеция состоит из бесконечно малых прямоугольников со сторонами dx и /(ж)  [c.249]

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями /(.г) и g (х) соотвествешю, непрерывными на отрезке [а, Ь], то пло-щаль 5 криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеции, ограниченных сверху графикам и /(j ) и g(x)  [c.141]

Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Задание 7

В этой статье мы будем учиться решать задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

Как всегда, начнем с теории. Как вы помните, неопределенный интеграл  от функции —  это множество всех первообразных :

В неопределенном интеграле не заданы границы интегрирования, и в результате нахождения неопределенного интеграла от функции мы получаем множество первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину С.

Если заданы границы интегрирования, то мы получаем определенный интеграл:

Здесь число   — нижний предел интегрирования, число  — верхний предел интегрирования. Определенный интеграл — это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона — Лейбница:

.

— это значение первообразной функции  в точке , и, соответственно,  — это значение первообразной функции  в точке .

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

 

Зеленая фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл  — это число, равное площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке   функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике. 

Прототип Задания 7 (№ 323080)

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

, где  — первообразная функции .

По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать «в уме».

=

=

Ответ: 4

Посмотрите небольшую видеолекцию,  в которой решены все типы задач на первообразную: