Высота цилиндра формула: Высота цилиндра | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Содержание

Цилиндр. Формулы и свойства

Определение.

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основами цилиндра).

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.

Основания цилиндра — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.

Круговой цилиндр

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность, а основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Прямой круговой цилиндр можно описать, как объёмного фигуру, образующуюся вращением прямоугольника вокруг своей стороны на 360°.

Определение. Радиус цилиндра r — это радиус основания цилиндра.

Определение. Диаметр цилиндра d — это диаметр основания цилиндра.

Определение. Высота цилиндра h — это расстояние между основаниями цилиндра.

Определение. Ось цилиндра — это прямая O1O2, которая проходит через центры оснований цилиндра.

Определение. Поверхность цилиндра состоит из цилиндрической поверхности и оснований цилиндра.

Определение. Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Определение. Касательная плоскость к цилиндру — это плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и перпендикулярно к осевому сечении цилиндра.

Формула. Объём цилиндра:
V = πr2h = πd2h ,
4
где r — радиус основы, h — высота цилиндра, d — диаметр основы. Формула. Площадь ,боковой поверхности цилиндра
:

Sb = 2πrh = πdh

Формула. Полная площадь поверхности цилиндра:

S = 2πr(h + r)

Косой цилиндр — цилиндр, основы которого не параллельны (Рис. 2)

Наклонный цилиндр — цилиндр, у которого образующие не перпендикулярно основам цилиндра (Рис.3 — наклонный круговой цилиндр).

Объем цилиндра: формула и расчет (2022)

  • Расчет объема цилиндра
  • Где применяется расчет объема цилиндра

Как отличить человека технической специальности от человека с гуманитарным складом ума? Спросите каждого, что такое цилиндр. Первый скажет, что это геометрическое тело, второй вспомнит мужской головной убор 19 века. Оба будут правы, да и шляпа получила такое название благодаря особенной форме, основой которой являлась та самая фигура из геометрии. Итак, каковы особенности цилиндра и как рассчитать его объем.

Расчет объема цилиндра

Слово «цилиндр» произошло от древнегреческого kylindros, означающего «валик». Математики дают несколько определений цилиндру:

  1. Цилиндр — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее под прямым углом.
  2. Цилиндр — это тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
  3. Цилиндр — геометрическое тело, которое сформировано вращением прямоугольника на оси, совпадающей с одной из его сторон.

Все эти определения верны. Также стоит отметить основные части цилиндра:

  1. Основания — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями.
  2. Боковая поверхность цилиндра — поверхность между плоскостями оснований.
Площадь трапеции: как вычислить, формула

Если в основании цилиндра лежит круг, то его называют круговым. Существуют и другие виды цилиндров, в зависимости от формы основания — эллиптический, гиперболический, параболический и т.д.

Также все цилиндры делятся на прямые и наклонные. У каждого цилиндра есть образующие — это отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований. Если образующие перпендикулярны основаниям, то цилиндр называется прямым, а если образующие расположены под углом — цилиндр наклонный или косой.

Есть и другие общие понятия для цилиндров:

  1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.
  2. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.
  3. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.
  4. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.
  5. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.
  6. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.
  7. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.
Итак, как же вычислить объем цилиндра. Посчитать объем прямого кругового цилиндра можно на калькуляторе. Он равен произведению площади основания на высоту.

V = πR2h,

где V — объем цилиндра, R — радиус основания, h — высота цилиндра, а «пи» — константа, равная 3,14.

Таким же образом вычисляется объем прямого кругового цилиндра через диаметр окружности основания — d.

V = πhd2/4

Если цилиндр прямой, но не круговой, то формула вычисления объема представляет произведение длины образующей – n на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей — S.

V = n * S

Если цилиндр наклонный, то в формуле участвует и синус угла наклона (альфа) образующей к основанию. В этом случае объем вычисляется по формуле:

V = S * n * sin α

Исчисляется объем цилиндра в кубических единицах.

Если стоит задача найти объем описанного вокруг сферы цилиндра, то расчеты будут такими:

Радиус цилиндра равен радиусу сферы — R. Высота цилиндра равна диаметру сферы. Диаметр есть удвоенный радиус — 2R. Таким образом объем прямого описанного цилиндра равен произведению площади основания πR2 («пи» умножить на радиус в квадрате) на высоту, т. е. 2R.

V = 2R * πR2

Приведя формулу к должному виду получим:

V = 2πR3

Если цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, то, зная длину стороны его основания и высоту, можно найти объем.

В этом случае радиус основания цилиндра равен половине длины стороны основания параллелепипеда — а. Высота цилиндра и параллелепипеда совпадают, обозначим h. Тогда объем вычисляется по формуле:

Где применяется расчет объема цилиндра

Расчет объема цилиндра учащиеся проходят в средней школе. Во взрослой жизни эти знания применяют в своей работе инженеры и конструкторы различных машин и механизмов, потребительских товаров, а также архитекторы.

Из товаров народного потребления форму цилиндра имеют стаканы, кружки, бокалы, кастрюли, термосы и прочая посуда, а также некоторые вазы, банки и упаковки напитков либо средств бытовой химии. Объем таких цилиндрических предметов исчисляется в литрах.

Факты о математике

Рассчитывается объем цилиндра при производстве медицинских шприцов. От полученного объема зависит точное количество медикаментов, вводимое пациенту при инъекциях. Лекарства в жидкой форме, суспензии, растворы помещаются в стеклянные или пластиковые бутылочки цилиндрической формы, а на бирке указывается объем средства.

Распространены цилиндры и в технике: такой вид имеют валы и их отдельные составные части, используемые в двигателях внутреннего сгорания. К тому же, расчет объема цилиндра – задача, которую приходится решать конструкторам при проектировании современных бензиновых и дизельных силовых агрегатов, ведь от этого параметра зависят характеристики, в первую очередь, мощность. Двигатели внутреннего сгорания снабжаются поршнями, которые также имеют цилиндрическую форму.

Архитекторам приходится рассчитывать объем цилиндра при проектировании зданий, снабженных колоннами. Правда, эти архитектурные элементы в классическом варианте (вместе с базой и капителем) встречаются редко, но упрощенные разновидности, состоящие из одного ствола (который и представляет собой цилиндр) используются часто.

Чрезвычайно распространенные детали, которые присутствуют в конструкциях технических устройств — роликовые подшипники. Как нетрудно догадаться по названию, главный компонент — прочные и износостойкие металлические цилиндрические ролики. Благодаря такой геометрии, эти детали обладают большой несущей способностью и способны выдерживать нагрузки. Роликовые подшипники — высокоточные детали, и поэтому при их создании правильный расчет объема цилиндра (ролика) играет немаловажную роль.

Чему равна площадь цилиндра. Как найти площадь цилиндра

Как вычислить площадь поверхности цилиндра — тема данной статьи. В любой математической задаче начать нужно с ввода данных, определить, что известно и чем оперировать в дальнейшем, и лишь затем приступить непосредственно к расчету.

Данное объёмное тело представляет собой геометрическую фигуру цилиндрической формы, ограниченную сверху и снизу двумя параллельными плоскостями. Если приложить немного воображения, то можно заметить, что геометрическое тело образуется вращением прямоугольника вокруг оси, причем осью является одна из его сторон.

Отсюда вытекает, что описываемая кривая сверху и снизу цилиндра будет окружностью, основным показателем которой является радиус или диаметр.

Площадь поверхности цилиндра — онлайн калькулятор

Данная функция окончательно облегчает процесс расчета, и все сводится лишь автоматическому подставлению заданных значений высоты и радиуса (диаметра) основания фигуры. Единственное, что требуется — точно определить данные и не ошибиться при вводе цифр.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Сначала нужно представить, как выглядит развертка в двухмерном пространстве.

Это не что иное, как прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности. Формула ее известна с незапамятных времен —2π * r , где r — радиус окружности. Другая сторона прямоугольника равна высоте h . Найти искомое не составит труда.

S бок = 2π * r * h ,

где число π = 3.14.

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной S бок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле S о = 2π * r 2 .

Конечная формула выглядит следующим образом:

S пол = 2π * r 2 + 2π * r * h.

Площадь цилиндра — формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

S пол = 2 π * r 2 + 2 π * r * h = 2 π * d 2 /4 + 2 π * h * d /2 = π * d 2 /2 + π * d * h ,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2

.

Примеры расчета площади цилиндра

Вооружившись знаниями, приступаем к практике.

Пример 1. Нужно вычислить площадь усеченного куска трубы, то есть цилиндра.

Имеем r = 24 mm, h = 100 mm. Использовать необходимо формулу через радиус:

S пол = 2 * 3. 14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Переводим в привычные м 2 и получаем 0,01868928, приблизительно 0.02 м 2 .

Пример 2. Требуется узнать площадь внутренней поверхности печной асбестовой трубы, стенки которой облицованы огнеупорным кирпичом.

Данные следующие: диаметр 0,2 м; высота 2 м. Используем формулу через диаметр:

S пол = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .

Пример 3. Как узнать, сколько материла нужно для пошива мешка, r = 1 м и высотой 1 м.

Один момент, есть формула:

S бок = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.

Площадь каждого основания цилиндра равна πr 2 , площадь обоих оснований составит 2πr 2 (рис.).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr , а высота равна высоте цилиндра h , т. е. 2πrh .

Полная поверхность цилиндра составит: 2π

r 2 + 2πrh = 2πr (r + h ).

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь развертки его боковой поверхности.

Поэтому площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна площади соответствующего прямоугольника (рис.) и вычисляется по формуле

S б.ц. = 2πRH, (1)

Если к площади боковой поверхности цилиндра прибавить площади двух его оснований, то получим площадь полной поверхности цилиндра

S полн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Объем прямого цилиндра

Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту , т. е.

где Q — площадь основания, а Н — высота цилиндра.

Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Q n и Q’ n таких, что

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q

n = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’ n = Q.

Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам

V n = Q n H и V’ n = Q’ n H.

Следовательно,

V= \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q n H = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’ n H = QH.

Следствие.
Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V = π R 2 H

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R 2 , и поэтому

Цилиндр представляет собой геометрическое тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и цилиндрической поверхностью. В статье поговорим о том, как найти площадь цилиндра и, применив формулу, решим для примера несколько задач.

У цилиндра есть три поверхности: вершина, основание, и боковая поверхность.

Вершина и основание цилиндра являются окружностями, их легко определить.

Известно, что площадь окружности равна πr 2 . Поэтому, формула площади двух окружностей (вершины и основания цилиндра) будет иметь вид πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третья, боковая поверхность цилиндра, является изогнутой стенкой цилиндра. Для того чтобы лучше представить эту поверхность попробуем преобразовать её, чтобы получить узнаваемую форму. Представьте себе, что цилиндр, это обычная консервная банка, у которой нет верхней крышки и дна. Сделаем вертикальный надрез на боковой стенке от вершины до основания банки (Шаг 1 на рисунке) и попробуем максимально раскрыть (выпрямить) полученную фигуру (Шаг 2).

После полного раскрытия полученной банки мы увидим уже знакомую фигуру (Шаг 3), это прямоугольник. Площадь прямоугольника вычислить легко. Но перед этим вернемся на мгновение к первоначальному цилиндру. Вершина исходного цилиндра является окружностью, а мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле: L = 2πr. На рисунке она отмечена красным цветом.

Когда боковая стенка цилиндра полностью раскрыта, мы видим, что длина окружности становится длиной полученного прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника будут длина окружности(L = 2πr) и высота цилиндра(h). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон – S = длина х ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результате мы получили формулу для расчета площади боковой поверхности цилиндра.

Формула площади боковой поверхности цилиндра
S бок. = 2πrh

Площадь полной поверхности цилиндра

Наконец, если мы сложим площадь всех трёх поверхностей, мы получим формулу площади полной поверхности цилиндра.

Площади поверхности цилиндра равна площадь вершины цилиндра + площадь основания цилиндра + площадь боковой поверхности цилиндра или S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Иногда это выражение записывается идентичной формулой 2πr (r + h).

Формула площади полной поверхности цилиндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра

Примеры расчета площади поверхности цилиндра

Для понимания приведенных формул попробуем посчитать площадь поверхности цилиндра на примерах.

1. Радиус ос­но­ва­ния цилиндра равен 2, высота равна 3. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S бок. = 2πrh

S бок. = 2 * 3,14 * 2 * 3

S бок. = 6,28 * 6

S бок. = 37,68

Площадь боковой поверхности цилиндра равна 37,68.

2. Как найти площадь поверхности цилиндра, если высота равна 4, а радиус 6?

Площадь полной поверхности рассчитывается по формуле: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24


Формула радиуса цилиндра:
где V — объем цилиндра, h — высота

Цилиндр — геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где Sb — площадь боковой поверхности, h — высота

Цилиндр — геометрическое тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны. Также, цилиндр представляет собой тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Эта поверхность образуется при движении прямой параллельно самой себе. При этом выделенная точка прямой перемещается вдоль определенной плоской кривой (направляющая). Данная прямая называется образующей цилиндрической поверхности.
Формула радиуса цилиндра:
где S — площадь полной поверхности, h — высота

Тема №6322 Ответы к тестам по геометрии тема Цилиндр 10 вариантов

Тема №6322

Вариант 1

1. Что  является основанием цилиндра…

    1) Два круга

    2) Два овала

    3) Круг

    4) Многогранник

2. Плоскость, параллельная плоскости основания  цилиндра, пересекает его боковую  поверхность по…

1) Кругу

2) Окружности, равной окружности основания

3) По  эллипсу

3. Объем  цилиндра вычисляется по формуле…

1) pR2H

2) pR2

3) 2pRH

4. Высота  цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Площадь боковой поверхности  цилиндра равна…

1) 12p

2) 24p

3) 36p

5. Радиус  основания цилиндра равен 2 см. Найдите  высоту цилиндра, если длина диагонали  его осевого сечения равна 5 см.

6. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 24p см2, объем цилиндра — 36p см3. Чему равен радиус основания цилиндра, если его высота 4 см?

7. Развертка  боковой поверхности цилиндра  представляет собой квадрат, площадь  которого равна 76p см2. Найти площадь основания цилиндра.

8. Развертка  боковой поверхности цилиндра  представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна 4 см и составляет угол 60о с основанием. Чему равно произведение pV, если V – объем цилиндра?

9. Площадь  основания цилиндра равна 20 см2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 45о.

10. В  цилиндр вписана прямая треугольная  призма АВСА1В1С1, основанием которой служит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (АВ=ВС). Найдите объем призмы, если радиус основания цилиндра равен 4 см, а плоскость треугольника АВ1С наклонена к плоскости основания под углом 45о.

 

Вариант 2

1. Касательной  плоскостью к цилиндру называется  плоскость…

    1) Проходящая через образующую  цилиндра

    2) Перпендикулярная плоскости осевого  сечения

    3) Перпендикулярная плоскости осевого  сечения, содержащего образующую

    4) Параллельная плоскости осевого  сечения

2. Плоскость, проходящая через ось цилиндра  называется…

1) Диаметральной

2) Секущей

3) Осевым  сечением

3. Площадь  круга вычисляется по формуле…

1) pR2H

2) pR2

3) 2pRH

4. Высота  цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Площадь основания цилиндра  равна…

1) 12p

2) 9p

3) 24p

5. Высота  цилиндра равна 12 см. Чему равен радиус основания, если диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 60о?

6. Объем  цилиндра равен 48p см3. Найдите высоту цилиндра, если она в два раза больше диаметра основания.

7. Высота  цилиндра равна диаметру основания. Площадь развертки боковой поверхности  цилиндра равна 104 см2. Найти площадь основания цилиндра.

8. Развертка  боковой поверхности цилиндра  представляет собой квадрат со  стороной длиной . Найти объем цилиндра.

9. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 28p см2. Найдите двугранный угол между сечениями цилиндра плоскостями, проходящими через его ось, если площади сечений 22 см2 и 26 см2.

10. Площадь  основания цилиндра равна 3p см2, а площадь его осевого сечения – 2 см2. Найдите объем правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра.

 

Вариант 3

1. Отрезок, соединяющий соответствующие точки  окружностей оснований, называется…

    1) Секущая

    2) Касательная

    3) Высота

    4) Образующая

2. Осевым  сечением прямого цилиндра является…

1) Параллелограмм

2) Ромб

3) Прямоугольник

3. Длина  окружности вычисляется по формуле…

     1) pR

     2) 2pR

3) pR2

4. Высота  цилиндра 4 см, радиус основания – 3 см. Объем цилиндра равен…

1) 12p

2) 24p

3) 36p

5. Чему  равна площадь осевого сечения  цилиндра, если длина окружности  основания цилиндра равна 4p, а высота цилиндра 2 см?

6. Найдите  диаметр основания цилиндра, если  объем цилиндра равен 64p см3, а площадь боковой поверхности 32p см2.

7. Высота  цилиндра равна радиусу его  основания. Площадь развертки боковой  поверхности цилиндра равна 1002 см2. Найти площадь основания цилиндра.

8. Развертка  боковой поверхности цилиндра  представляет собой прямоугольник, в котором диагональ составляет  угол 60о со стороной, равной высоте цилиндра. Чему равна диагональ прямоугольника, если объем цилиндра равен 162/p см3?

9. Длины  сторон прямоугольника равны 2 см  и 4 см. Вычислите отношение площадей  полных поверхностей цилиндров, полученных при вращении прямоугольника  вокруг его сторон.

10. Основанием  прямой призмы служит прямоугольный  треугольник, длина одного из  катетов которого равна 6 см. Диагональ  боковой грани призмы, проходящей  через другой катет, наклонена  к плоскости основания под  углом 45о. Найдите высоту цилиндра, вписанного в призму, если объем цилиндра 32p см3.

 

Вариант 4

1. Полная  поверхность цилиндра состоит  из…

    1) Оснований

    2) Боковой поверхности

    3) Сечения

    4) Основания 

2. Секущая  плоскость, перпендикулярная оси  цилиндра, пересекает его…

1) По  эллипсу

2) По  кругу

3) По  прямой

3. Площадь  боковой поверхности цилиндра  вычисляется по формуле…

1) pR2H

2) pR2

3) 2pRH

4. Объем  цилиндра равен 32p см3. Высота цилиндра – 2 см. Радиус основания цилиндра равен…

1) 16

2) 8

3) 4

5. Диагональ  осевого сечения цилиндра наклонена  к плоскости основания под  углом 45о. Вычислите радиус основания цилиндра, если его объем равен 54p см3.

6. Чему  равна диагональ осевого сечения  цилиндра, если объем цилиндра  равен 96p см2, а площадь основания 16p см2.

7. Прямоугольник  со сторонами длиной  см и см вращается вокруг меньшей стороны. Найти площадь полной поверхности полученной фигуры.

8. Цилиндр  образован вращением прямоугольника  вокруг одной из его сторон. Найдите объем цилиндра, если  площадь этого прямоугольника 12 см2, а длина окружности, описанная точкой пересечения диагоналей прямоугольника равна 4 см.

9. Радиус  основания цилиндра в три раза  больше его высоты. Найдите отношение  площади его полной поверхности  к боковой поверхности.

10. Основание  прямой призмы – прямоугольный  треугольник с катетами 3 см и 4 см. Найдите высоту призмы, если  площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в призмы равны 6p см2.

 

Вариант 5

1. Радиусом  цилиндра является…

    1) Диаметр основания

    2) Радиус основания

    3) Высота цилиндра

    4) Образующая цилиндра

2. Боковой  поверхностью цилиндра называется…

1) Часть  цилиндрической поверхности, расположенной  между плоскостями, которые параллельны  образующим 

2) Часть  цилиндрической поверхности, расположенной  между плоскостями, которые перпендикулярны  образующим

3) Часть  цилиндрической поверхности, расположенной  между плоскостями, которые параллельны  оси цилиндра

3. Площадь  полной поверхности цилиндра  вычисляется по формуле…

1) pR2H+2pRH

2) pR2+2pRH

3) 2pRH+2pR2

4. Площадь  основания цилиндра равна 144p см2. Радиус основания цилиндра равен…

1) 24

2) 12

3) 11

5. Радиус  цилиндра равен 3 см, а его высота  – 10 см. Вычислите площадь осевого  сечения цилиндра.

6. Найдите  отношение объема цилиндра к  его боковой поверхности, если  радиус основания равен 10 см.

7. Площадь  полной поверхности цилиндра  равна 80p см2. Площадь боковой поверхности равна половине полной поверхности. Вычислите радиус окружности, описанной около осевого сечения цилиндра.

8. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 144p см2. Вычислите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси и удаленной от нее на расстояние, равное половине радиуса, если данное сечение является квадратом.

9. Цилиндр  образован вращением прямоугольника  вокруг одной из его сторон. Найдите объем цилиндра, если  площадь прямоугольника равна 20 см2, а длина окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей равна 12 см.

10. Объем  равностороннего цилиндра равен 2p см3. Около него описана треугольная призма, периметр основания которой равен 84 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

 

Вариант 6

1. Цилиндр  называется прямым, если…

    1) Его основания параллельны

    2) Его основания перпендикулярны  образующим

    3) Его образующие наклонены под  острым углом к плоскости основания

    4) Его высота перпендикулярна плоскости  основания 

2. Плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность  по…

1) Прямой

2) Окружности

3) Окружности, равной окружности основания

3. Площадь  основания цилиндра вычисляется  по формуле…

1) pR2H

2) pR2

3) 2pRH

4. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 70p см2. Радиус основания равен 5 см. Высота цилиндра равна…

1) 7

2) 10

3) 14

5. Площадь  осевого сечения цилиндра равна 60 см2, а его высота – 10 см. Вычислите радиус основания цилиндра.

6. Объем  цилиндра в два раза больше  площади основания. Чему равна  высота цилиндра?

7. В  цилиндре, высота которого 6 см, а  радиус основания 5 см, проведено  сечение, параллельное его оси. Найдите  расстояние от прямой, на которой  лежит ось цилиндра, до плоскости  сечения, если длина диагонали  сечения равна 10 см.

8. Объем  цилиндра равен 1200p см3. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси. Найдите высоту цилиндра, если расстояние от прямой, содержащей ось цилиндра, до прямой, на которой лежит диагональ сечения, равно 8 см и сечением является квадрат.

9. Объем  цилиндра равен 875p/4 см3. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, периметры которых равны 18 см и 36 см. Найдите разность площадей данных сечений.

10. Высота  цилиндра на 2 см больше его  радиуса, а площадь полной поверхности  равна 80p см2. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, вписанной в цилиндр.

 

Вариант 7

1. У  прямого цилиндра образующие  равны…

    1) Высоте цилиндра

    2) Диаметру основания

    3) Радиусу цилиндра

2. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна…

     1) Произведению площади основания  на высоту

     2) Произведению длины окружности  основания на высоту

     3) Произведению длины окружности  основания на диаметр

3. 2pRH – это формула для вычисления..

1) Объема  цилиндра

2) Площади  боковой поверхности

3) Площади  основания

4. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 90p см2. Высота цилиндра равна 5 см. Радиус основания равен…

1) 9

2) 3

3) 12

5. Радиус  основания цилиндра равен 4 см, а  его высота – 5 см. Вычислите площадь  диагонального сечения цилиндра.

6. Объем  цилиндра равен 27p см3. Найдите радиус основания цилиндра, если он равен высоте цилиндра.

7. Объем  цилиндра равен 10p см3. Параллельно оси цилиндра на расстоянии см от нее проведена секущая плоскость, которая отсекает от окружности основания дугу в 60о. Вычислите площадь данного сечения.

8. Точка  О – середина оси О1О2 цилиндра, точки А и В лежат на одной из его образующих. На лучах ОА и ОВ выбраны соответственно точки D и С так, что точки А и В – середины отрезков OD и ОС соответственно. Чету равна длина отрезка DC, если расстояние между точками А и В равно 2 см?

9. Площадь  осевого сечения цилиндра равна 10 см2. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Найдите площади полученных сечений, если они равны.

10. В  цилиндр вписана призма, основанием  которой служит прямоугольный  треугольник. Найдите отношение  площади боковой поверхности  цилиндра к p, если площадь грани призмы, содержащей гипотенузу треугольника, равна 10 см2.

 

Вариант 8

1. Основания  цилиндра…

    1) Равны

    2) Параллельны

    3) Перпендикулярны

    4) Не равны

2. Площадью  полной поверхности цилиндра  называется…

     1) Сумма площадей боковой поверхности  и двух оснований цилиндра

     2) Сумма площадей оснований

     3) Сумма площадей оснований и  площади развертки цилиндра

3. pR2 – это формула для вычисления…

1) Объема  цилиндра

2) Площади  боковой поверхности

3) Площади  основания

4. Объем  цилиндра равен 175p см3. Радиус основания – 5 см. Высота цилиндра равна…

1) 10

2) 7

3) 5

5. Радиус  основания цилиндра равен 3 см, а  его высота – 8 см. Вычислите радиус  окружности, описанной около осевого  сечения цилиндра.

6. Чему  равна высота цилиндра, если его  объем равен 80p см3, а площадь основания 16p см2?

7. Площадь  полной поверхности цилиндра  равны 264p см2. Образующая цилиндра на 4 см больше диаметра его основания. Найдите длину диагонали осевого сечения цилиндра.

8. Высота  цилиндра 6 см, а радиус основания  – 5 см. Отрезок длиной 10 см расположен  так, что его концы лежат на  окружностях обоих оснований. Вычислите  расстояние от прямой, содержащей  данный отрезок, до прямой, содержащей  ось цилиндра.

9. От  прямоугольника ABCD, у которого АВ= 4 см, ВС=2 см, отрезан прямоугольник OFTK (TF=2 см, ЕК= 1 см, СК=1 см). Найдите отношение  объема тела, полученного при  вращении данной фигуры около  прямой АВ к p.

10. В  цилиндрический сосуд, радиус основания  которого равен 6 см, помещен шар  радиусом 3 см. В сосуд налита вода  так, что ее свободная поверхность  касается поверхности шара (шар  при этом не всплывает). Определить  толщину слоя воды, который получится, если вынуть шар из сосуда.

 

Вариант 9

1. Цилиндр  называется равносторонним, если…

    1) Его высота равна радиусу основания

    2) Его высота равна диаметру  основания

    3) Его высота равна образующим

    4) Все его образующие равны

2. Объем  цилиндра равен…

     1) Одной третьей произведения площади  основания на высоту

     2) Произведению длины окружности  основания на высоту

     3) Произведению площади основания  на высоту

3. pR2H – это формула для вычисления..

1) Объема  цилиндра

2) Площади  боковой поверхности

3) Площади  основания

4. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 40p см2, длина окружности основания 5p. Высота цилиндра равна…

1) 8

2) 4

3) 10

5. Осевое  сечение цилиндра – квадрат. Площадь  боковой поверхности цилиндра  равна 50p см2. Вычислите длину диагонали сечения.

6. Вычислите  высоту цилиндра, если его объем 160p см3, а диаметр основания равен 8 см.

7. Объем  цилиндра равен 2592p см3. Найдите длину диагонали осевого сечения цилиндра, если длина окружности основания равно 24p см.

8. Площадь  осевого сечения цилиндра равна 4 см2. Вычислите площадь сечения плоскостью, параллельной его оси и проходящей от прямой, содержащей ось, на расстоянии, равном половине радиуса основания.

9. От  квадрата ABCD, дина стороны которого 2 см, отрезан квадрат OFCK, где точка  О есть центр квадрата ABCD, а  точки F и К – середины сторон  ВС и CD соответственно. Полученная  фигура вращается вокруг прямой, содержащей сторону АВ. Вычислите  отношение объема тела, полученного  при вращении данной фигуры, к p.

10. Конус  высотой 6 см касается четырех  шаров радиусом 3 см, лежащих на  плоскости основания конуса так, что каждый шар касается двух  других. Объем этого конуса равен.

 

Вариант 10

1. Осью  цилиндра называется отрезок, соединяющий…

    1) Точки оснований

    2) Центры кругов оснований

    3) Две точки основания

    4) Противоположные точки оснований

2. Секущая  плоскость, расположенная под углом  к основанию, пересекает конус  по…

1) Кругу

2) Окружности

3) Эллипсу

3. 2pR – это формула для вычисления…

1) Площади  боковой поверхности

2) Площади  основания

3) Дины  окружности

4. Объем  цилиндра равен 27p см3, площадь основания — 9p см2. Высота цилиндра равна…

1) 9

2) 4

3) 3

5. Чему  равен радиус основания цилиндра, если площадь основания равна 81p см2?

6. Объем  цилиндра равен 90p см3. Вычислите радиус основания цилиндра, если его высота 10 см.

7. Радиусы  оснований двух цилиндров равны 8 см и 2 см. найдите отношение объемов  этих цилиндров, если площади  их боковых поверхностей равны.

8. Вычислите  периметр осевого сечения цилиндра, если площадь его полной поверхности  равна 130p см2, а объем цилиндра – 200p см3.

9. Высота  цилиндра равна радиусу его  основания и имеет длину 4 см. Через  ось цилиндра проведена другая  цилиндрическая поверхность, делящая  окружность основания на две  дуги, длины которых относятся  как 2:1. Эта цилиндрическая поверхность  делит данный цилиндр на две  части. Найдите отношение боковой  поверхности большей части цилиндра  к p.

10. В  цилиндре высотой 20 см и радиусом 15 см просверлили отверстие радиусом 9 см. Ось отверстия проходит через  ось цилиндра и перпендикулярна  ей. Найдите отношение объема  полученной фигуры к p.

 

Как найти высоту цилиндра — видео и стенограмма урока

Шаги для решения

Прежде чем мы научимся находить высоту цилиндра, нам нужно быстро просмотреть некоторые словарные запасы. Цилиндр — это трехмерный объект с двумя круглыми концами одинакового размера. Эти круглые концы одинакового размера называются основаниями . Высота цилиндра — это расстояние между двумя круглыми основаниями.

Еще одно словарное слово, это объем цилиндра.Объем — это количество места, которое занимает цилиндр, и у нас есть хорошая формула для нахождения объема цилиндра. Если V — объем цилиндра, h — высота, а r — радиус круглых оснований, то имеем следующее:

Или объем равен π r 2 * высота.

В этот момент вы можете задаться вопросом, почему мы говорим о формуле для нахождения объема цилиндра, когда мы заинтересованы в нахождении высоты цилиндра, и это справедливый вопрос! Давайте ответим!

Причина, по которой мы рассматриваем формулу объема, заключается в том, что мы можем манипулировать этой формулой, чтобы вывести формулу высоты цилиндра.

Мы начинаем с:

V = π R 2 H

Если мы разделим обе стороны π R 2, у нас есть:

V ÷ (π R 2) = ч

Если поменять местами стороны этого уравнения, то останется:

ч = В ÷ (π r 2)

Та-да! Теперь у нас есть формула, по которой мы можем найти высоту цилиндра. То есть, если мы знаем объем V цилиндра и радиус r круглого основания цилиндра, мы можем найти высоту х .Мы вывели формулу:

ч = В ÷ (π r 2)

Где В – объем цилиндра, а r – радиус круговых оснований цилиндра; поэтому высота цилиндра равна объему цилиндра, деленному на π r 2.

Как найти высоту и радиус цилиндра | Формула высоты цилиндра — видео и расшифровка урока

Измерения цилиндра

Существуют определенные измерения, которые можно произвести с цилиндра, включая высоту, радиус и объем. 2ч {/экв}

  • SA: {экв}2\pi r(r+h) {/экв}

Объем цилиндра — это общая площадь внутри призмы. Эта область заполнена какой-то материей, газом, жидкостью или твердым телом. Например, цилиндрическая банка для супа наполнена жидким и твердым супом, который, исходя из объема цилиндрической банки, содержит только такое количество супа.

Площадь поверхности цилиндра основана на размере двух оснований ({eq}2\pi r {/eq}) плюс площадь внешней поверхности трубы.Например, если на ту же банку с супом должна быть нанесена этикетка, необходимо будет найти площадь поверхности банки, а затем вычесть площади верхней и нижней поверхности из общего числа.

Как найти высоту цилиндра

Высоту как прямого, так и наклонного цилиндра можно найти, измеряя расстояние между двумя основаниями. Для правого цилиндра эта высота измеряется непосредственно от одной точки на верхнем основании до той же точки непосредственно под ним на нижнем основании.Это показано на рис. 1 и отмечено буквой «h».

Наклонный цилиндр, в котором два основания не выровнены непосредственно друг над другом и под ним, все же имеет высоту. Но эта высота должна быть измерена иначе, чем у правого цилиндра. Поскольку эти цилиндры наклонены, способ измерения высоты заключается в размещении их на плоскости, в которой можно провести смежную линию от верхнего основания непосредственно к плоскости, на которой находится нижнее основание. Эта линия может касаться или не касаться нижнего основания и определенно не будет проходить параллельно сторонам цилиндра, а будет создавать форму треугольника относительно центра обоих оснований.

Как найти радиус цилиндра

Радиусом цилиндра называется любая линия, проведенная из центра цилиндра в любую точку на внешнем краю цилиндра. Самый простой способ найти это — найти диаметр или общее расстояние через одно из оснований и разделить его на два, чтобы получить радиус. Этот радиус будет одинаковым по всей длине цилиндра.

Как найти объем цилиндра

Объем цилиндра находится с использованием измерений высоты и радиуса.3 {/eq}, так как он трехмерный. Если задан объем и либо высота, либо радиус, ту же формулу можно использовать в обратном порядке, чтобы найти одно из отсутствующих измерений, как показано ниже в примерах.

Примеры

Ниже приведены некоторые примеры того, как найти радиус, высоту и объем цилиндров, используя формулы объема и площади поверхности.

Пример 1: Найдите объем цилиндра высотой 7 сантиметров и радиусом 2 сантиметра.2*7 {/экв}

  • Объем цилиндра: 87,97 см в кубе

Пример 2: Найдите площадь поверхности цилиндра из примера 1.

  • Высота и радиус подставляются в приведенную выше формулу площади поверхности
  • {экв}SA= 2\pi (2)*(2+7) {/экв}
  • Площадь поверхности цилиндра 113,1 см

Пример 3: Найдите радиус цилиндра высотой 100 дюймов и объемом 350 дюймов в кубе. 2 {/экв}

  • {экв}\sqrt{1,114} = г {/экв}
  • Радиус цилиндра 1,055 дюйма

Краткий обзор урока

Цилиндр представляет собой геометрическую призму в форме трубы с круглыми гранями одинакового размера на противоположных концах. Цилиндры могут быть разных размеров, и измерения, которые можно снять с цилиндра, — это высота и радиус. Используя формулы, высота и радиус используются для нахождения объема цилиндра, а также площади поверхности.2ч {/экв}

  • Площадь поверхности: {экв}2\pi r(r+h) {/экв}

Эти формулы можно изменить, чтобы найти либо высоту, либо объем цилиндра, если одна из них не указана.

Объем цилиндра

А цилиндр представляет собой тело, состоящее из двух конгруэнтных окружностей в параллельных плоскостях, их внутренностей и всех отрезков, параллельных отрезку, содержащему центры обеих окружностей с концами на круговых областях.

То объем из 3 -мерное твердое тело — это объем пространства, которое оно занимает. Объем измеряется в кубических единицах ( в 3 , футов 3 , см 3 , м 3 , и так далее). Перед вычислением объема убедитесь, что все измерения приведены в одних и тех же единицах измерения.

Громкость В цилиндра с радиус р это площадь основания Б раз больше высоты час .

В знак равно Б час или В знак равно π р 2 час

Пример:

Найдите объем показанного цилиндра. Округлите до точных кубических сантиметров.

Решение

Формула объема цилиндра В знак равно Б час или В знак равно π р 2 час .

Радиус цилиндра 8 см, а высота 15 см.

Заменять 8 для р а также 15 для час в формуле В знак равно π р 2 час .

В знак равно π ( 8 ) 2 ( 15 )

Упрощать.

В знак равно π ( 64 ) ( 15 ) ≈ 3016

Следовательно, объем цилиндра примерно 3016 кубических сантиметров.

Калькулятор объема цилиндра 📐

    Быстрая навигация:

  1. Объем цилиндра формула
  2. Как рассчитать объем цилиндра?
  3. Пример: найти объем цилиндра
  4. Практические применения

    Объем цилиндра формула

Формула объема цилиндра: высота x π x (диаметр / 2) 2 , где (диаметр / 2) — радиус основания (d = 2 xr), так что другой способ записи высота x π x радиус 2 .Визуал на рисунке ниже:

Сначала измерьте диаметр основания (обычно это проще, чем измерить радиус), затем измерьте высоту цилиндра. Для правильного расчета необходимо иметь два измерения в одних и тех же единицах длины. Результат нашего калькулятора объема цилиндра всегда в кубических единицах, на основе входной единицы: in 3 , ft 3 , yd 3 , cm 3 , m 3 , km 3 , и так далее.

    Как рассчитать объем цилиндра?

Можно представить себе цилиндр как ряд кругов, уложенных друг на друга. Высота цилиндра дает нам глубину укладки, а площадь основания дает нам площадь каждого кругового среза. Умножение площади среза на глубину стопки — простой способ концептуализировать способ вычисления объема цилиндра. Поскольку в практических ситуациях легче измерить диаметр (трубы, круглого стального стержня, троса и т.), чем для измерения радиуса, и на большинстве технических схем указан диаметр, наш калькулятор объема цилиндра принимает диаметр в качестве входных данных. Если у вас есть радиус, просто умножьте его на два.

Использование формулы и выполнение расчетов вручную может быть затруднено из-за значения константы π: ~3,14159, с которой может быть сложно работать, поэтому калькулятор объема цилиндра значительно упрощает задачу.


    Пример: найдите объем цилиндра

Применять формулы объема легко, если известна высота цилиндра, а также задано одно из следующих значений: радиус, диаметр или площадь основания. Например, если высота и площадь равны 5 футам и 20 квадратным футам, объем — это просто произведение двух значений: 5 x 20 = 100 кубических футов.

Если задан радиус, с помощью второго приведенного выше уравнения можно получить объем цилиндра с помощью нескольких дополнительных шагов. Например, высота 10 дюймов, а радиус 2 дюйма. Во-первых, мы находим площадь как 3,14159 x 2 2 = 3,14159 x 4 = 12,574, затем умножаем это на 10, чтобы получить 125,74 кубических дюйма объема. Использование более высокого уровня точности для π приводит к более точным результатам, например.грамм. наш калькулятор вычисляет объем этого цилиндра как 125,6637 кубических дюймов.

    Практическое применение

Цилиндр — одна из наиболее широко используемых форм кузова в технике и архитектуре: от туннелей, крытых переходов до труб, тросов, круглых стержней, цилиндров и поршней в двигателе вашего автомобиля — цилиндры повсюду. Вычисление объема цилиндра полезно, когда вы хотите узнать его объем или сколько жидкости или газа вам нужно, чтобы заполнить его, например. сколько воды нужно, чтобы наполнить джакузи. Цилиндрические аквариумы также довольно распространены, как и цилиндрические искусственные озера, фонтаны, газовые баллоны/резервуары и т. д.

Калькулятор объема цилиндра

Вычислите объем цилиндра, включая площадь его поверхности и сколько жидкости он может вместить.

Калькулятор объема цилиндра FYIs…

Для расчета введите высоту цилиндра, измеренную сверху вниз; И, радиус цилиндра, который составляет половину диаметра.

Если вычисляемая вами форма представляет собой усеченный конус, например, чашку или кашпо, используйте Калькулятор объема конического усеченного конуса.

Расчет площади поверхности цилиндра

Площадь поверхности рассчитывается путем сложения всех внешних сторон цилиндра.

Вы можете использовать площадь поверхности в качестве отправной точки для приблизительного определения того, как много глазури, которую может использовать ваше изделие. Например, если вы сделали цилиндрический сосуд, открыт сверху и остекляет всю деталь, кроме внешнего дна, которое находится на полки печи, вы можете удвоить площадь поверхности (при условии, что вы также застекляете внутри) и вычесть нижний один раз, а верхний дважды, так как его нет.

Формула для расчета площади поверхности цилиндра:

Площадь = 2*π*r 2 + 2*π*r*h

, где r — радиус, h — высота, а π (пи) примерно равно 3,14.

Расчет объема цилиндра

Объем – это количество жидкости, которое может вместить изделие. Например, если это глиняная кружка или чашка, это количество кофе, чая или другой жидкости, которое она может вместить. Формула для расчета объема цилиндра:

Объем = πr 2 ч

, где r — радиус, h — высота, а π (пи) примерно равно 3.14

Результат вычисления объема цилиндра в кубических дюймах (или сантиметрах). С использованием объем, вместимость цилиндра по жидкости рассчитывается в нескольких общепринятых единицах измерения (стаканах, унциях, миллилитров и др.)

Обратите внимание, что вместимость жидкости будет немного больше, чем она может вместить, если вы не измерите с внутренних стенок цилиндра; В противном случае в расчет включается толщина стены.

Объем горизонтального цилиндра

Как найти объем такого цилиндра, если известны только его длина и радиус, а также высота его заполнения?

 

Сначала мы обрабатываем область на одном конце (пояснение ниже):

Площадь = cos -1 ( r — h r ) r 2 — (r — h) √(2rh — h 2 )

Где:

  • r радиус цилиндра
  • ч это высота цилиндр заполнен до

А затем умножьте на длину, чтобы получить объем:

Объем = Площадь × Длина

 

Зачем сначала вычислять площадь? Таким образом, мы можем проверить, является ли это разумным значением! Мы можем нарисовать квадраты на реальном танке и посмотреть, соответствует ли площадь реальному миру, или просто подумать, как площадь соотносится с полным кругом.

Калькулятор

Введите значения радиуса, заполненной высоты и длины, ответ рассчитывается «вживую»:

Формула площади

Как мы получили эту формулу площади?

Это площадь сектора (области сектора пирога) за вычетом треугольной части.

Площадь сегмента = площадь сектора − площадь треугольника

Глядя на эту схему:

С небольшим количеством геометрии мы можем вычислить этот угол θ/2 = cos -1 ( r − h r ), поэтому

Площадь сектора = cos -1 ( r − h r ) r 2

А для полутреугольника высота = (r − h) , а основание можно вычислить по Пифагору:

  • b 2 = r 2 − (r−h) 2
  • b 2 = r 2 − (r 2 −2rh + h 2 )
  • b 2 = 2rh − h 2
  • б = √(2рч — ч 2 )

Таким образом, площадь полутреугольника равна ½ (высота × основание), поэтому для полного треугольника:

Площадь треугольника = (r − h) √(2rh − h 2 )

Итак:

Площадь сегмента = cos -1 ( r − h r ) r 2 − (r − h) √(2rh − h 2 )

 

Видео-вопрос: Определение высоты цилиндра по общей площади поверхности и диаметру основания

Стенограмма видео

Найдите диаметр основания цилиндра, если площадь его поверхности 496 квадратных сантиметров, а высота 23 сантиметра.

Цилиндр обычно описывается двумя измерениями: высотой ℎ цилиндра и радиусом 𝑟 его круглого основания. Площадь поверхности цилиндра равна сумме площадей трех его граней. Это круги на вершине и основании цилиндра, а затем изогнутая поверхность, огибающая его. Каждый из двух кругов имеет площадь 𝜋𝑟 в квадрате. Итак, вместе они дают вклад в два 𝜋𝑟 в квадрате к общей площади поверхности.

Изогнутая поверхность на самом деле представляет собой прямоугольник.Ширина этого прямоугольника равна высоте цилиндра ℎ. А длина этого прямоугольника равна окружности круглого основания цилиндра. Это два 𝜋𝑟. Таким образом, вклад площади искривленной поверхности равен двум 𝜋𝑟ℎ.

В этом вопросе нам сказали, что площадь поверхности составляет 496𝜋 квадратных сантиметров, а высота цилиндра составляет 23 сантиметра. Мы хотим рассчитать диаметр. Но помните, диаметр всего в два раза больше радиуса. Итак, если мы сможем вычислить радиус, мы сможем использовать его для вычисления диаметра.Итак, мы можем сделать некоторые замены в этой формуле. Подставляем 496𝜋 для площади поверхности и 23 для высоты.

Теперь у нас есть уравнение относительно 𝑟, которое мы хотим решить. Во-первых, отметим, что мы можем сократить множитель 𝜋 из каждого из членов. Мы также можем разделить каждое слагаемое в нашем уравнении на два. 496 разделить на два — это 248. Два 𝑟 в квадрате разделить на два — это 𝑟 в квадрате, а два 𝑟 умножить на 23 разделить на два — это просто 23𝑟. Итак, у нас 248 равно 𝑟 в квадрате плюс 23𝑟.

Теперь это квадратное уравнение относительно 𝑟, потому что наибольшая степень 𝑟 равна двум. У нас есть член в квадрате 𝑟. И чтобы решить квадратное уравнение, нам нужно сначала сделать это уравнение равным нулю, что мы можем сделать, вычитая 248 с каждой стороны. Это дает ноль равен 𝑟 в квадрате плюс 23𝑟 минус 248. Мы также можем поменять местами две части уравнения, чтобы у нас был ноль в правой части, если мы предпочитаем.

Теперь у нас есть три метода, которые мы можем использовать для решения квадратного уравнения. Мы можем увидеть, прежде всего, будет ли квадратное уравнение факторизовано, или мы можем использовать квадратную формулу, или мы можем применить метод заполнения квадрата. Если квадратное уравнение факторизуется, это всегда будет самый быстрый способ. Итак, стоит сделать быструю проверку, прежде всего, чтобы увидеть, можно ли решить ее с помощью факторизации.

Поскольку коэффициент при квадрате 𝑟 в нашем уравнении равен единице, мы ищем два числа, которые в сумме дают коэффициент при 𝑟 — это положительное 23 — и умножаются на постоянный член — это отрицательное 248.Мы не будем слишком беспокоиться о знаках для начала. Мы начнем просто с перечисления некоторых делителей числа 248. У нас есть один и 248, затем два и 124, затем четыре и 62, а затем восемь и 31. числа, чтобы умножить на отрицательное число, нам нужно, чтобы одно было положительным, а другое отрицательным, потому что положительное, умноженное на отрицательное, дает отрицательный ответ. И если мы сделаем восьмерку отрицательной в последней паре множителей, то сумма отрицательных восьми и 31, что также равно 31 минус восемь, будет положительным 23. Итак, это та пара факторов, которую мы ищем. Два числа, которые заключаются в скобки, — это отрицательные восемь и 31. Таким образом, разложенная на множители форма этого квадратного числа равна 𝑟 минус восемь, умноженная на 𝑟 плюс 31, равно нулю.

Далее напомним, что если два выражения при умножении дают ноль, то хотя бы одно из них само должно быть равно нулю. Итак, мы берем каждую скобку по очереди и устанавливаем ее равной нулю, что дает 𝑟 минус восемь равно нулю или 𝑟 плюс 31 равно нулю. Эти два линейных уравнения можно решить относительно просто, чтобы найти значения 𝑟.

Чтобы решить первое уравнение, мы добавляем восемь к каждой стороне, в результате чего 𝑟 равно восьми. Чтобы решить второе, мы вычитаем 31 с каждой стороны, что дает 𝑟 равно отрицательному 31. Но помните, 𝑟 представляет собой радиус основания этого цилиндра, поэтому он должен принимать положительное значение, поскольку представляет собой длину. Наше значение 𝑟, равное минус 31, является допустимым решением квадратного уравнения, но не является допустимым значением 𝑟, поэтому мы можем его отбросить.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.