X y вектор: Xy logo: стоковые векторные изображения, иллюстрации

Содержание

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11 › Ввод-вывод данных › XY-график вектора и ранжированной переменной. XY-график функции. Полярный график. [страница — 268] | Самоучители по математическим пакетам

XY-график вектора и ранжированной переменной. XY-график функции. Полярный график.

В качестве переменных, откладываемых по любой из осей, можно использовать саму ранжированную переменную (рис. 16.5). При этом по другой оси должно быть отложено либо выражение, явно содержащее саму ранжированную переменную, либо элемент вектора с индексом по этой ранжированной переменной, но никак не сам вектор.


Рис. 16.5. Графики вектора и ранжированной переменной

XY-график функции

Нарисовать график любой скалярной функции f (х) можно двумя способами. Первый заключается в дискретизации значений функции, присвоении этих значений вектору и прорисовке графика вектора. Собственно, так и были получены графики синуса на рис. 16.3-16.5. Второй, более простой способ, называемый быстрым построением графика, заключается во введении функции в один из местозаполнителей (например у оси Y), а имени аргумента – в местозаполнитель у другой оси (рис. 16.6). В результате Mathcad сам создает график функции в пределах значении аргумента, по умолчанию принятых равными от -10 до 10. Разумеется, впоследствии можно поменять диапазон значений аргумента, и график автоматически подстроится под него.


Рис. 16.6. Быстрое построение графика функции

Необходимо заметить, что если переменной аргумента функции было присвоено некоторое значение до построения в документе графика, то вместо быстрого построения графика будет нарисована зависимость функции с учетом этого значения. Примеры двух таких графиков приведены на рис. 16.7.


Рис. 16.7. Графики функций от векторного аргумента

Полярный график

Для создания полярного графика необходимо нажать кнопку Polar Plot на панели Graph (График) (рис. 16.8) и вставить в местозаполнители имена переменных и функций, которые будут нарисованы в полярной системе координат угол (нижний местозаполнитель) и радиус-вектор (левый местозаполнитель).

Точно так же, как при создании Декартова графика (см. разд. 163.1-16.3.3), по осям могут быть отложены два вектора (рис. 16.8, слева), элементы векторов и ранжированные переменные в различных сочетаниях, а также может быть осуществлено быстрое построение графика функции (рис. 16.8, справа).

Форматирование полярных графиков практически идентично форматированию Декартовых, поэтому все, сказанное ниже об оформлении двумерных графиков на примере XY-графиков, в полной мере относится и к полярным.


Рис. 16.8. Полярные графики

общее, через три точки, нормальное

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат — Ox, Oy и Oz. Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости, имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную

точку M с переменными координатами x, y, z. Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

.

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

. (1)

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P. Для точки

N, не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

.

В этой формуле числа A, B и C координаты вектора , а числа x0, y0 и z0 — координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

.

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат

x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

    (2)

называется общим уравнением плоскости.

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz, нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0. Поэтому получаем z = 6. Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке

A(0; 0; 6).

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy. При x = z = 0 получаем y = −3, то есть точку B(0; −3; 0).

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox. При y = z = 0 получим x = 2, то есть точку C(2; 0; 0). По трём полученным в нашем решении точкам A(0; 0; 6), B(0; −3; 0) и C(2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости

. Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0(0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox, поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy, а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz.

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox, поскольку она параллельна оси

Ox (A = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy, а плоскость через ось Oz.

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy, поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz, а плоскость — плоскости xOz.

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy, так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz, а уравнение x = 0 — координатную плоскость yOz.

Пример 3. Составить уравнение плоскости P, проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy. Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P.

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M0(2; −4; 3).

Среди них x = 2, z = 3. Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0.

Оставляем 2A

в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C.

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Посмотреть правильное решение и ответ.


Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

    (3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

, ,

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Раскрываем определитель по первой строке:

Получили общее уравнение плоскости

или после деления на -2:

.

Это уравнение, в котором A = 0, т.е. оно определяет плоскость, параллельную оси Ox.

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах — в пособии «Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке».

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

,

где — направляющие косинусы нормали плоскости, — расстояние от начала координат до плоскости.

Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости — в трёх).

Пусть M — какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты этой точки.

Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т. е.

,

так как расстояние не может быть отрицательным числом.

Общее уравнение плоскости

приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой

.

Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.

Пример 6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

Решение. Вычислим нормирующий множитель:

.

Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:

.

Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3), а плоскость задана общим уравнением .

Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:

.

Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:

.

Вычислим отклонение точки от плоскости:

Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:

Всё по теме «Прямая и плоскость»

  • Плоскость
  • Прямая в пространстве
  • Задачи на плоскость и прямую в пространстве
  • Прямая на плоскости

Вектор

В математике и физике, вектор является величиной, которая характеризуется своим направлением, а также численным значением. Когда же используются векторы и зачем они нужны? Векторы используют для записи тех величин, которые обыкновенными числами записать невозможно. Допустим, нам необходимо описать положение предмета относительно некоторой точки. Разумеется, мы можем вычислить расстояние между точкой и предметов и записать его обыкновенным числом, но это не будет полной характеристикой. А вот если мы запишем данную величину вектором, то помимо расстояния, мы будем еще знать направление, в котором данный предмет находится относительно заданной точки.

Графически все векторы изображаются, как направленные отрезки определенной заданной длины.

Что же такое свободные векторы? По-другому свободные векторы можно еще назвать и равными. Это такие векторы, у которых совпадает, как модульная величина (то есть отрезок по значению одинаковый), так и направление.

А теперь поговорим не много о действиях над векторами. Зачем вообще придумали слаживать вектора? На самом-то деле, просто решили, что можно вывести один вектор, который бы оказывал тоже воздействие, что и два других вектора. Как вы догадались, два других вектора, это наши слагаемые, а один вектор, который оказывает такое же воздействие – это наша сумма. Вектора складываются несколькими способами, в математики они называются «правилами». Первый – «правило треугольника», второй – «правило «параллелограмма». Стоит отметить и то, что мы можем сложить и три, и четыре , и пять векторов, но делать это надо постепенно, то есть попарно.

Векторы


Координаты вектора с началом в точке A(x 
1
, y 
1
, z 
1
)
и концом в точке B(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

AB
 
(x 
2
— x 
1
, y 
2
— y 
1
, z 
2
— z 
1
)
Координаты суммы векторов
a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
+
b
 
=
c
 
(x 
1
+ x 
2
, y 
1
+ y 
2
, z 
1
+ z 
2
)

Свойства сложения векторов

a
 
+
b
 
=
b
 
+
a
 
(
a
 
+
b
 
) +
c
 
=
a
 
+ (
b
 
+
c
 
)

a
 
+ (-
a
 
) =
0
 

Координаты произведения вектора на число
λ *
a
 
(x, y, z) =
c
 
(λx, λy, λz)

Свойства умножения
(λμ)
a
 
= λ(μ
a
 
)
(λ + μ) *
a
 
= λ
a
 
+ μ
a
 
λ(
a
 
+
b
 
) = λ
a
 
+ λ
b
 
0 *
a
 
= λ
0
 
=
0
 

Скалярное произведение векторов

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)

a
 
*
b
 
= x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
= |
a
 
| * |
b
 
| * cos(
a
 
,
b
 
)

Косинус угла между векторами

a
 
(x 
1
, y 
1
, z 
1
) и
b
 
(x 
2
, y 
2
, z 
2
)
= =
x 
1
x 
2
+ y 
1
y 
2
+ z 
1
z 
2
x2
1
+ y2
1
+ z2
1
* x2
2
+ y2
2
+ z2
2

Свойства скалярного произведения

a
 
*
b
 
=
b
 
*
a
 

a
 
*
a
 
= |
a
 
|2
 

a
 
(
b
 
+
c
 
) =
a
 
*
b
 
+
a
 
*
c
 

a
 
)
b
 
= λ(
a
 

b
 
)
Длина вектора
a
 
(x, y, z)
|
a
 
| = x2
 
+ y2
 
+ z2
 

компонентов вектора

В двумерной системе координат любой вектор можно разбить на Икс -компонент и у -компонент.

в → знак равно 〈 в Икс , в у 〉

Например, на рисунке ниже вектор в → распадается на две составляющие, в Икс а также в у .Пусть угол между вектором и его Икс -компонент быть θ .

Вектор и его компоненты образуют прямоугольный треугольник, как показано ниже.

На приведенном выше рисунке компоненты можно быстро прочитать. Вектор в компонентной форме равен в → знак равно 〈 4 , 5 〉 .

То тригонометрические отношения дать отношение между величина вектора и компоненты вектора.

потому что θ знак равно Соседняя сторона Гипотенуза знак равно в Икс в

грех θ знак равно Противоположная сторона Гипотенуза знак равно в у в

в Икс знак равно в потому что θ

в у знак равно в грех θ

С использованием Теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике с длинами в Икс а также в у :

| в | знак равно в Икс 2 + в у 2

Здесь показанные числа являются величинами векторов.

Дело 1: По данным компонентам вектора найдите модуль и направление вектора.

В этом случае используйте следующие формулы.

Величина вектора | в | знак равно в Икс 2 + в у 2 .

Чтобы найти направление вектора, решите загар θ знак равно в у в Икс для θ .

Случай 2: Зная величину и направление вектора, найдите компоненты вектора.

В этом случае используйте следующие формулы.

в Икс знак равно в потому что θ

в у знак равно в грех θ

Пример:

Величина вектора Ф → является 10 единицы, а направление вектора равно 60 ° с горизонталью. Найдите компоненты вектора.

Ф Икс знак равно Ф потому что 60 ° знак равно 10 ⋅ 1 2 знак равно 5

Ф у знак равно Ф грех 60 ° знак равно 10 ⋅ 3 2 знак равно 5 3

Итак, вектор Ф → является 〈 5 , 5 3 〉 .

Компоненты вектора

Математика и наука были изобретены людьми для описания и понимать окружающий мир. Заметим, что существуют некоторые величины и процессы в наш мир, которые зависят от направления , в котором они происходят, и есть некоторые величины, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество который зависит от направления векторной величины .Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторное количество имеет две характеристики: величина и направление . Когда сравнение две векторные величины одного и того же типа, вы должны сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы описываем математическую концепцию, уникальную для векторов; вектор компоненты . Компоненты вектора позволяют нам разбить единую векторную величину на две (или более) скалярные величины, с которыми у нас больше математический опыт. Векторные компоненты используются в векторной алгебре для Добавить, вычитание и умножение векторов.

Векторы обычно обозначаются на рисунках стрелкой. Длина стрелки указывает на величину вектора и кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены буквой в алфавитном порядке буква с линией сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Величину вектора будем обозначать символом |a| .Направление будет измеряться углом фи относительно координаты ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! Они имеют величину и направление. Ты первый столкнуться с осями координат, когда вы учитесь строить графики. Так что у тебя есть использовал векторы в течение некоторого времени, даже не подозревая об этом!

Если мы построим пунктирную линию от вершины вектора , то идущий параллельно оси х, он пересекает ось у в том месте, где мы этикетка ау . Точно так же линия от кончика вектора параллельно оси Y пересекает ось X на x . С использованием синус и косинус отношения от тригонометрия:

ай = |а| * грех (фи)

топор = |а| * cos (фи)

Звоним топор x-компонент a и ay y-компонент из a . Уравнения компонентов представляют собой скалярных уравнений; |а| и тригонометрический функции просто скаляры.Любая алгебра, связанная с эти величины будут скалярной алгеброй, а не векторной алгеброй. По сути, мы заменили единичную векторную величину на . с двумя скалярными величинами x и a .

Присмотревшись очень внимательно к этим двум уравнениям, мы заметим, что они полностью определить векторную величину a ; они указывают как величина, так и направление и . Мы можем найти модуль вектора, используя Теорема Пифагора.2)

Зачем идти на все эти проблемы? Потому что в аэрокосмической отрасли мы часто имеем дело силами и силы являются векторами. Разбиение одной векторной силы на несколько составляющих позволяет нам гораздо легче изучать результирующее движение.

Примечание: На этом слайде для простоты мы разработали компоненты только в двух измерениях; имеются две оси координат. В действительности существуют три пространственных измерения и три компонента мира. все силы.Это важно для нашего вывода общие уравнения движение для траекторий полета и для Навье-Стокса и уравнения Эйлера, которые описать силы и результирующее движение жидкостей в двигателе. Мы можем разбить очень сложные трехмерные векторные задачи на всего три скалярных уравнения.


Экскурсии с гидом
  • Векторов:
  • Ракетный перевод:

Деятельность:

Связанные сайты:
Rocket Index
Rocket Home
Руководство для начинающих Home

Векторы и 2D-движение

Точка может быть расположена в системе координат x, y по ее координаты х и у.

Координата x описывает, как далеко по оси x находится точка расположен, в то время как координата y описывает, как далеко вдоль по оси Y расположена точка.

Координаты x и y могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от видно в примерах выше.

Мы будем использовать жирный шрифт для обозначения вектора, такого как р . Записывая вектор от руки, мы будем указывать, что что-то является вектором, нарисовав над ним стрелку как .Некоторые такие отличительные обозначения важны. Не писать вектор без какой-либо отличительной характеристики или обозначение.

Мы можем описать точку (x,y) как точку, расположенную вектор r , который имеет компоненты x и y.

Мы можем назвать эту x-компоненту вектором вдоль x-направления длину x и указать, что это вектор размером x или . Точно так же мы можем назвать эту y-компоненту вектором вдоль y-направление длины y и указать, что это вектор и или . Тогда мы можем написать

г = х + у

или

= +

Обратите внимание, что _ , а не _ верно писать r = x + у.

r — длина вектора или величина вектора. Угол (тета) указывает направление вектора. Как r, x, y и Связанный?

Обратите внимание, что r, x и y образуют стороны правой стороны . треугольник .Прямоугольные треугольники особенные из-за их Связь с тригонометрическими функциями.

Если мы знаем r, x и y, мы можем найти триггерные функции для угол . Хотя более вероятна ситуация, когда мы знаем x и y и хотим найти р и . Или мы можем знать г и и хочу найти х и у. Все эти ситуации можно разрешить с помощью триггерные функции.

Обычно угол измеряют от положительную ось абсцисс и измерить ее положительных для против часовой стрелки направление. Показанный ниже пример может быть для угла = 53 или . Тогда, если r = 10, компонентов будет

х = г соз = (10) (0,6) = 6

у = г грех = (10) (0,8) = 8

Пожалуйста, , а не , запомните эти уравнения. Помните более основные определения триггерных функций,

грех = опп / хайп

соз = прил / гип

загар = опп/прил

Затем , для этого конкретного случая измерения угла от по оси x у нас есть

г = гип

х = прил

г = опп

и , что означает, что

грех = г / р

соз = х/р

загар = у/х

или

х = r cos

у = r sin

Конечно, угол не обязательно ограничиваться первым квадрантом.Ниже может быть схема для = 150 о . Опять же, пусть r = 10 для этого числового примера. В этом случае

х = г соз = (10) ( cos 150 o ) = (10) ( — 0,866) = — 8,66

у = г грех = (10) (sin 150 o ) = (10) (0,500) = 5,00

Обратите внимание на знаки и сравните их со схемой. х = — 8,66 расположен слева от и y = + 5.00 расположен выше . Всегда составляйте схему! А потом сравните свои результаты — ваши ответы — с вашей схемой.Знаки жизненно важны, и это слишком легко отбросить их и просто использовать величины.

Диаграмма ниже может быть для r = 10 и = 210 или . Для этих значений мы можем найти компоненты по

х = г соз = (10) ( cos 210 o ) = (10) ( — 0,866) = — 8,66

у = г грех = (10) ( sin 210 o ) = (10) ( — 0,500) = — 5.00

Снова обратите внимание на знаки и сравните их со схемой. х = — 8.66 расположен слева от и у = — 5.00 расположен вниз . Всегда составляйте схему! А потом сравните свои результаты — ваши ответы — с вашей диаграммой. Знаки жизненно важны, и это слишком легко отказаться от них и просто использовать величины.

Мы можем описать этот вектор как r = 10, = 210 или , как указано выше. Или мы можем измерить угол по часовой стрелке как мы имеем ниже, и описываем этот вектор как r = 10, = — 150 или .Любое описание так же хорошо, как и другое. Это два способа описания одного и того же вектора или одного и того же точка.

В то время как является обычным для измерения углов от оси X и измерить их как положительных , если они против часовой стрелки , это _ не _ необходимо сделать так. Пилоты самолетов обычно измеряют углы или направления от Север (у) и измерьте их как положительный для по часовой стрелке угла.Ниже может быть местоположение или вектор г = 10 км, = 53 или . В данном случае у нас есть

х = г грех = (10 км) (sin 53 o ) = (10 км) (0,8) = 8 км

у = г соз = (10 км) (cos 53 o ) = (10 км) (0,6) = 6 км

Обратите внимание, что для этого расположения x теперь является противоположным . сторона (сторона прямоугольного треугольника, противоположная углу ) а также y теперь является смежной стороной (сторона прямоугольного треугольника прилегает к углу ).Если вы всегда начните с основных определений синуса и косинус, проблем не будет.

Задание местоположения или вектора через координаты (x, y) означает, что мы используем декартову систему координат (или система отсчета).

Задание местоположения или вектора через координаты (r, ) означает, что мы используем полярную систему координат (или опорную Рамка).

(c) 2002 г., Дуг Дэвис; все права защищены

Понимание перекрестного произведения – BetterExplained

Взяв два вектора, мы можем записать каждую комбинацию компонентов в сетку:

Эта завершенная сетка является внешним продуктом , который может быть разделен на:

  • Скалярный продукт , взаимодействия между подобными измерениями ( x*x , y*y , z*z )

  • Перекрестное произведение , взаимодействия между различными измерениями ( x*y , y*z , z*x и т. д.)

Скалярное произведение ($\vec{a} \cdot \vec{b}$) измеряет сходство, поскольку оно накапливает взаимодействия только в совпадающих измерениях. Это простой расчет с 3 компонентами.

Перекрестное произведение (обозначаемое $\vec{a} \times \vec{b}$) должно измерять полдюжины «перекрестных взаимодействий». Вычисление выглядит сложным, но концепция проста: суммируйте 6 индивидуальных различий для получения общей разницы.

Вместо того, чтобы думать «Когда мне нужно перекрестное произведение?» подумайте: «Когда мне нужно взаимодействие между разными измерениями?».

Площадь

, например, образована векторами, направленными в разные стороны (чем ортогональнее, тем лучше). Действительно, перекрестное произведение измеряет площадь, охватываемую двумя трехмерными векторами (источник):

(«Перекрестное произведение» предполагает трехмерные векторы, но концепция распространяется на более высокие измерения.)

Ключ интуиции щелкнул? Перейдем к деталям.

Определение перекрестного произведения

Скалярное произведение представляет сходство между векторами как одно число:

Например, мы можем сказать, что Север и Восток похожи на 0%, поскольку $(0, 1) \cdot (1, 0) = 0$.Или что Север и Северо-Восток похожи на 70% ($\cos(45) = 0,707$, помните, что триггерные функции представляют собой проценты.) Сходство показывает количество одного вектора, которое «проявляется» в другом.

Должно ли перекрестное произведение, разность между векторами, тоже быть одним числом?

Давайте попробуем. Синус — это процентная разница, поэтому мы могли бы написать:

.

К сожалению, нам не хватает некоторых деталей. Допустим, мы смотрим вниз по оси x: и y, и z указывают на 100% от нас.Число вроде «100%» говорит нам о большой разнице, но мы не знаем, в чем она заключается! Нам нужна дополнительная информация, чтобы сказать нам, что «разница между $\vec{x}$ и $\vec{y}$ составляет на » и «разница между $\vec{x}$ и $\vec{z} $ это , что ».

Итак, представим векторное произведение в виде вектора:

  • Размер перекрестного произведения представляет собой числовую «величину разницы» (с $\sin(\theta)$ в процентах). Само по себе это не отличает $\vec{x} \times \vec{y}$ от $\vec{x} \times \vec{z}$.

  • Направление перекрестного произведения основано на обоих входных данных: это направление ортогонально обоим (т. е. не в пользу ни того, ни другого).

Теперь $\vec{x} \times \vec{y}$ и $\vec{x} \times \vec{z}$ имеют разные результаты, каждый с величиной, указывающей, что они на «100%» отличаются от $ \vec{х}$.

(Должно ли скалярное произведение также быть векторным результатом? Ну, мы отслеживаем сходство между $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Сходство измеряет перекрытие между направлениями исходного вектора, которое мы уже есть.)

Геометрическая интерпретация

Два вектора определяют плоскость, и векторное произведение указывает в направлении, отличном от обоих (источник):

Вот проблема: есть два перпендикулярных направления. По соглашению мы предполагаем «правостороннюю систему» ​​(источник):

Если вы держите первые два пальца, как показано на диаграмме, ваш большой палец будет указывать в направлении векторного произведения. Я проверяю правильность ориентации, проводя пальцем от $\vec{a}$ до $\vec{b}$.Когда направление выяснено, величина векторного произведения равна $|a| |б| \sin(\theta)$, который пропорционален величине каждого вектора и «проценту разницы» (синусу).

Перекрестное произведение для ортогональных векторов

Чтобы запомнить правило правой руки, напишите порядок xyz дважды: xyzxyz . Затем найдите шаблон, который вы ищете:

  • xy => z ( x крест y это z )
  • yz => x ( y пересечь z равно x ; мы зациклились: y до z до x )
  • zx => у

Теперь xy и yx имеют противоположные знаки, потому что в нашей установке xyzxyz они идут вперед и назад.

Таким образом, без формулы вы сможете вычислить:

Опять же, это потому, что x пересечение y является положительным z в правосторонней системе координат. Я использовал единичные векторы, но мы могли масштабировать члены:

Вычисление перекрестного произведения

Один вектор можно разложить на 3 ортогональные части:

Когда векторы пересекаются, каждая пара ортогональных компонентов (например, $a_x \times b_y$) голосует за то, куда должен указывать ортогональный вектор.6 компонентов, 6 голосов, и их сумма является векторным произведением. (Аналогично градиенту, где каждая ось голосует за направление наибольшего увеличения.)

  • xy => z и yx => -z (предположим, что $\vec{a}$ стоит первым, поэтому xy означает $a_x b_y$)
  • yz => x и zy => -x
  • zx => y и xz => -y

xy и yx сражаются в направлении z . Если эти условия равны, например, в $(2, 1, 0) \times (2, 1, 1)$, компонент перекрестного произведения в направлении z (2 – 2 = 0) отсутствует.

Окончательная комбинация:

, где $\vec{n}$ — единичный вектор нормали к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Пусть это вас не пугает:

  • Имеется 6 терминов, 3 положительных и 3 отрицательных
  • Два измерения голосуют за третье (поэтому член z должен иметь только компоненты y и x )
  • Положительный/отрицательный порядок основан на шаблоне xyzxyz

Если хотите, есть алгебраическое доказательство того, что формула одновременно ортогональна и имеет размер $|a| |б| \sin(\theta)$, но мне нравится интуитивное «пропорциональное голосование».

Пример времени

Опять же, мы должны сделать в уме простые перекрестные произведения:

Почему? Мы пересекли оси x и y , получив z (или $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$, используя эти единичные векторы). Переход в другую сторону дает $-\vec{k}$.

Вот как я рассматриваю более сложные примеры:

  • Давайте займемся последним членом, z-компонентой. Это (1)(5) минус (4)(2), или 5 – 8 = -3.Сначала я сделал z , потому что он использует x и y , первые два термина. Попробуйте увидеть (1)(5) как «вперед», когда вы сканируете от первого вектора ко второму, и (4)(2) как назад, когда вы двигаетесь от второго вектора к первому.
  • Теперь компонент и : (3)(4) – (6)(1) = 12 – 6 = 6
  • Теперь компонент x : (2)(6) – (5)(3) = 12 – 15 = -3

Итого $(-3, 6, -3)$, что мы можем проверить с помощью Wolfram Alpha.

Короче:

  • Перекрестное произведение отслеживает все «перекрестные взаимодействия» между измерениями
  • Есть 6 взаимодействий (по 2 в каждом измерении) со знаками, основанными на xyzxyz порядке

Приложение

Связь с определителем

Вы можете вычислить векторное произведение, используя определитель этой матрицы:

Здесь есть четкая связь, поскольку определитель («площадь/объем со знаком») отслеживает вклад ортогональных компонентов.

Существуют теоретические причины, по которым векторное произведение (как ортогональный вектор) доступно только в 0, 1, 3 или 7 измерениях. Однако перекрестное произведение как отдельное число по существу является определителем (площадь со знаком, объем или гиперобъем как скаляр).

Соединение с завитком

Curl измеряет скручивающую силу, которую векторное поле прикладывает к точке, и измеряется вектором, перпендикулярным поверхности. Всякий раз, когда вы слышите «перпендикулярный вектор», начинайте думать о «перекрестном произведении».

Берем «определитель» этой матрицы:

Вместо умножения взаимодействие принимает частную производную. Как и прежде, $\vec{i}$-компонента curl основана на векторах и производных в направлениях $\vec{j}$ и $\vec{k}$.

Связь с теоремой Пифагора

Перекрестное и скалярное произведение подобны ортогональным сторонам треугольника:

Для единичных векторов, где $|a| = |б| = 1$, имеем:

Я немного схитрил в диаграмме сетки, так как мы должны отслеживать квадраты величин (как это делается в теореме Пифагора).

Высшая математика

Перекрестное произведение и друзья расширяются в алгебре Клиффорда и геометрической алгебре. Я все еще изучаю это.

Перекрестные произведения перекрестных произведений

Иногда у вас будет такой сценарий:

Во-первых, векторное произведение не ассоциативно: порядок имеет значение.

Далее, вспомним, что делает векторное произведение: находит ортогональные векторы. Если любые две компоненты параллельны ($\vec{a}$ параллельны $\vec{b}$), то нет размерностей, сталкивающих друг друга, и векторное произведение равно нулю (что приводит к $0 \times \vec {с}$).

Но допустимо, что $\vec{a}$ и $\vec{c}$ параллельны, поскольку они никогда не участвуют напрямую в перекрестном произведении, например:

Ого! Как мы вернулись к $\vec{j}$? Мы запросили направление, перпендикулярное как $\vec{i}$, так и $\vec{j}$, и снова сделали это направление перпендикулярным к $\vec{i}$. Быть «двойным перпендикуляром» означает, что вы вернулись на исходную ось.

Скалярное произведение перекрестных произведений

Теперь, если мы возьмем

что происходит? Мы вынуждены сначала выполнить $\vec{a} \times \vec{b}$, потому что $\vec{b} \cdot \vec{c}$ возвращает скаляр (одно число), который нельзя использовать в перекрестном произведении.

Что происходит, если $\vec{a}$ и $\vec{c}$ параллельны? Итак, $\vec{a} \times \vec{b}$ перпендикулярно $\vec{a}$, что означает, что оно перпендикулярно $\vec{c}$, поэтому скалярное произведение с $\vec{c }$ будет равно нулю.

Я никогда не запоминал эти правила, я должен продумывать взаимодействие.

Другие системы координат

Игровой движок Unity предназначен для левшей, OpenGL (и большинство математических и физических инструментов) — для правшей. Почему?

В компьютерной игре x идет по горизонтали, y по вертикали, а z уходит «в экран». В результате получается левосторонняя система. (Попробуйте: правой рукой вы видите, что x крест y должен указывать за пределы экрана).

Применение перекрестного произведения

  • Найдите направление, перпендикулярное двум заданным векторам.
  • Найдите область со знаком, натянутую на два вектора.
  • Определить, являются ли два вектора ортогональными (хотя проверка скалярного произведения 0, вероятно, выполняется быстрее).
  • «Умножение» двух векторов, когда вклад вносят только перпендикулярные перекрестные члены (например, определение крутящего момента).
  • С кватернионами (четыре комплексных числа) векторное произведение выполняет работу по вращению одного вектора вокруг другого (еще одна статья в разработке!).

Счастливая математика.

Другие сообщения из этой серии

  1. Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
  2. Векторное исчисление: понимание векторного произведения
  3. Векторное исчисление: понимание потока
  4. Векторное исчисление: понимание дивергенции
  5. Векторное исчисление: понимание циркуляции и завитка
  6. Векторное исчисление: понимание градиента
  7. Понимание пифагорейского расстояния и градиента

Дивергенция векторного поля

Вектор есть величина, имеющая величину в определенном направлении . Векторы используются для моделирования сил, скоростей, давлений и многих других физических явлений. Векторное поле — это функция, которая назначает вектор каждой точке пространства. Векторные поля используются для моделирования силовых полей (гравитации, электрических и магнитных полей), течения жидкости и т. д.

Дивергенция векторного поля F = определяется как частная производная от P по x плюс частная производная Q по y плюс частная производная R по z.

Дивергенция векторного поля также определяется формулой:

Мы определяем дивергенцию векторного поля в точке как суммарный исходящий поток на каждый объем, когда объем вокруг точки стремится к нулю.

∇ ∙ A = деление A

В декартовой системе координат
∇ ∙ A ∂a x / ∂ Z / ∂a y / ∂a Z / ∂ Z / ∂ Z

в цилиндрическом
∇ ∙ A ∂ (R ∙ AY ) / (R ∙ ∂ R) + ∂A Ø / (R ∙ ∂ Ø) + ∂a Z / ∂ z

Сферический
∇ ∙ A ∂ (R 2 ∙ A R) / (R 2 ∙ ∂ R) + ∂ ( Ø ∙ Sinθ) / (R ∙ Sinθ ∙ ∂ ∂ θ ) + ∂a Ø / (R ∙ Sinθ ∙ ∂ Ø )

Пример 1: Вычислить расхождение F (x, y) = 3x 2 I + 2yj .
Решение: расходимость F(x, y) определяется выражением ∇• F(x, y) , которое является скалярным произведением.

Пример 2: Вычислить дивергенцию векторного поля G(x,y,z) = e x i + ln(xy)j + e xyz k .
Решение: Расхождение G(x,y,z) равно ∇• G(x,y,z) , что является скалярным произведением. Его компоненты предоставляются: г г 1 = E x 9086
г 2 = ln (xy)
г 3 = E XYZ
и его дивергенция:


Пример 3: Вычислить дивергенцию векторного поля G(x, y, z) = 4y/x 2 · i + (sin y)j + 3k
Решение: Расхождение G(x, y, z) равно ∇• G(x,y,z) , что является скалярным произведением.Его компоненты даны:
6 = 4Y 2 = 3 3 = 3 3 = 3

и его расхождение

= 3

и его расхождение составляет

Примеры Wolfram|Alpha: векторный анализ


Градиент

Найдите градиент функции многих переменных в различных системах координат.

Вычислите градиент функции:

Вычислите градиент функции, заданной в полярных координатах:

Еще примеры


Дивергенция

Вычислить дивергенцию векторного поля.

Вычислить дивергенцию векторного поля:

Еще примеры


Завиток

Вычислить ротор векторного поля.

Вычислите ротор (ротор) векторного поля:

Еще примеры


лапласиан

Найдите лапласиан функции в различных системах координат.

Вычислите лапласиан функции:

Еще примеры


якобианский

Вычислить матрицу Якоби или определитель вектор-функции.

Вычислите определитель Якоби:

Вычислите матрицу Якоби:

Еще примеры


Гессен

Вычислить матрицу Гессе и определитель многомерной функции.

Вычислите определитель Гессе:

Вычислите матрицу Гессе:

Еще примеры


Тождества векторного анализа

Исследуйте тождества, включающие векторные функции и операторы, такие как div, grad и curl.

Вычислить альтернативные формы выражения векторного анализа:

Еще примеры

Исчисление III — Консервативные векторные поля

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-6: Консервативные векторные поля

В предыдущем разделе мы видели, что если бы мы знали, что векторное поле \(\vec F\) консервативно, то \(\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}}\ ) не зависит от пути.Это, в свою очередь, означает, что мы можем легко вычислить этот линейный интеграл, если мы сможем найти потенциальную функцию для \(\vec F\).

В этом разделе мы хотим рассмотреть два вопроса. Во-первых, если задано векторное поле \(\vec F\), есть ли способ определить, является ли оно консервативным векторным полем? Во-вторых, если мы знаем, что \(\vec F\) является консервативным векторным полем, как нам найти потенциальную функцию для векторного поля?

На первый вопрос сейчас легко ответить, если у нас есть двумерное векторное поле. Для векторных полей более высокой размерности нам придется подождать до последнего раздела этой главы, чтобы ответить на этот вопрос. С учетом сказанного давайте посмотрим, как мы это делаем для двумерных векторных полей.

Теорема

Пусть \(\vec F = P\,\vec i + Q\,\vec j\) — векторное поле в открытой и односвязной области \(D\). Тогда если \(P\) и \(Q\) имеют непрерывные частные производные первого порядка в \(D\) и

\[\frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}\]

векторное поле \(\vec F\) консервативно.{ху}}\конец{выравнивание*}\]

Две частные производные равны, поэтому это консервативное векторное поле.

Теперь, когда мы знаем, как определить, является ли двумерное векторное поле консервативным, нам нужно решить, как найти потенциальную функцию для векторного поля. На самом деле это довольно простой процесс. Во-первых, давайте предположим, что векторное поле консервативно, и поэтому мы знаем, что потенциальная функция \(f\left({x,y} \right)\) существует. Тогда мы можем сказать, что

\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\vec j = P\,\vec i + Q\,\vec j = \vec F\]

Или установив равные компоненты,

\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = P\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{and}}\hspace{0,5in}\frac{{\partial f}}{{ \частное у}} = Q\]

Интегрируя каждое из них по соответствующей переменной, мы можем получить следующие два уравнения.

\[f\left( {x,y} \right) = \int{{P\left( {x,y} \right)\,dx}}\hspace{0.5in}{\mbox{or}}\ hspace{0.5in}f\left( {x,y} \right) = \int{{Q\left({x,y} \right)\,dy}}\]

Мы кратко рассмотрели этот вид интеграла в конце раздела о повторных интегралах в предыдущей главе.

Обычно лучше всего посмотреть, как мы используем эти два факта, чтобы найти потенциальную функцию, на одном или двух примерах.

Пример 2. Определите, являются ли следующие векторные поля консервативными, и найдите потенциальную функцию для векторного поля, если оно консервативно. 3} + у\,ди}}\]

Мы можем использовать любой из них, чтобы начать процесс. Напомним, что нам нужно быть осторожными с «постоянной интегрирования», какой бы интеграл мы ни решили использовать. Для этого примера давайте поработаем с первым интегралом, и это означает, что мы спрашиваем, какую функцию мы продифференцировали по \(x\), чтобы получить подынтегральную функцию. Это означает, что «константа интегрирования» должна быть функцией \(y\), поскольку любая функция, состоящая только из \(y\) и/или констант, будет дифференцироваться до нуля при взятии частной производной по \(Икс\).2} + ч\влево( у \вправо)\конец{выравнивание*}\]

, где \(h\left( y \right)\) — «константа интегрирования».

Теперь нам нужно определить \(h\left( y \right)\). Это проще, чем может показаться на первый взгляд. Чтобы добраться до этого момента, мы использовали тот факт, что мы знали \(P\), но нам также нужно будет использовать тот факт, что мы знаем \(Q\), чтобы завершить задачу. Напомним, что \(Q\) действительно является производной \(f\) по \(y\). Итак, если мы продифференцируем нашу функцию по \(y\), мы знаем, какой она должна быть.2} + с\]

Теперь, как отмечалось выше, у нас нет способа (пока) определить, является ли трехмерное векторное поле консервативным или нет. Однако, если нам известно, что трехмерное векторное поле является консервативным, поиск потенциальной функции аналогичен описанному выше процессу, хотя работа будет немного сложнее.

В этом случае мы будем использовать тот факт, что

\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}\,\vec i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}\,\vec j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}\,\vec k = P\,\vec i + Q\,\vec j + R\,\vec k = \vec F\]

Давайте быстро рассмотрим пример.4} = Q\]

Конечно, нам нужно взять частную производную от константы интегрирования, поскольку она является функцией двух переменных. Похоже, теперь у нас есть следующее,

\[{g_y}\left( {y,z} \right) = 0\hspace{0. 5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}g\left({y,z} \right) = h\left( z \правильно)\]

Поскольку дифференцирование \(g\left( {y,z} \right)\) по \(y\) дает ноль, тогда \(g\left( {y,z} \right)\) не может быть больше функция \(z\).4} + с\]

Обратите внимание: чтобы свести работу к минимуму, в этом примере мы использовали довольно простую потенциальную функцию. Можно было бы догадаться, какая потенциальная функция была основана просто на векторном поле. Однако мы должны помнить, что обычно это не так, и часто этот процесс требуется.

Кроме того, было несколько других путей, по которым мы могли бы найти потенциальную функцию. Каждый из них дал бы нам одинаковый результат.3} + y} \right)\vec j\) и \(C\) задается как \(\vec r\left( t \right) = \left( {t\cos \left( {\pi \, t} \right) — 1} \right)\vec i + \sin \left( {\frac {{\pi \,t}}{2}} \right)\vec j\), \(0 \le т \ле 1\). Показать решение

Теперь мы могли бы использовать методы, которые мы обсуждали, когда впервые рассматривали линейные интегралы векторных полей, однако это было бы особенно неприятным решением. 2} + с\]

Используя это, мы знаем, что интеграл не зависит от пути, поэтому все, что нам нужно сделать, это использовать теорему из предыдущего раздела для выполнения вычисления.

\[\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}} = \int\limits_{C}{{\nabla f\centerdot d\,\vec r}} = f\ влево ( {\ vec r \ влево ( 1 \ вправо)} \ вправо) — f \ влево ( {\ vec r \ влево ( 0 \ вправо)} \ вправо) \]

где,

\[\vec r\left( 1 \right) = \left\langle { — 2,1} \right\rangle \hspace{0.5in}\vec r\left( 0 \right) = \left\langle { — 1,0} \право\угол \]

Итак, интеграл равен

\[\begin{align*}\int\limits_{C}{{\vec F\centerdot d\,\vec r}} & = f\left( { — 2,1} \right) — f\left( { — 1,0} \right)\\ & = \left( {\frac{{21}}{2} + c} \right) — \left({\frac{1}{2} + c} \ справа)\\ & = 10\end{align*}\] .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск