А8. В каком слове на месте пропуска пишется буква О?
□ 1) насух..
□ 2) снов..
□ 3) к.. литка
□ 4) акв.. рель
А9. В каком слове верно выделена буква, обозначающая ударный гласный звук?
□ 1) балУясь
□ 2) досЫта
□ 3) килОметр
□ 4) нАчавший
А10. В каком примере не нарушена речевая норма?
□ 1) напишущий изложение
□ 2) аэрозоль для моли
□ 3) уверенность в победе
□ 4) поделиться о впечатлениях
А11. В каком предложении знаки препинания расставлены неправильно?
□ 1) Это был трудный путь, и люди, утомлённые им, падали духом.
□ 2) Алёша так неожиданно бросился на шею к кухарке, что она упустила из рук Чернушку, которая от страха взлетела на кровлю сарая и там продолжала кудахтать.

Дополнен 3 года назад

А1. В каком ряду в обоих словах на месте пропуска пишется буква Е?
□ 1) о пропавш.. й экспедици..
□ 2) о случивш.. мся н.. давно
□ 3) на взвивш.. мся знамен..
□ 4) выяв.. вший н.. достатки
А2. В каком ряду в обоих словах на месте пропуска пишется буква И?
□ 1) примеча.. мый, высвет.. в
□ 2) поража.. мый, заброс.. в
□ 3) ненавид.. мый, прекращ.. на
□ 4) недвиж.. мый, отвес.. в
А3. В каком ряду в обоих словах на месте пропуска пишется буква А (Я)?
□ 1) засе. но, позор. щий
□ 2) держ. щий, кол. щий
□ 3) занима. щийся, спа. нный
□ 4) стел. щий, потер. на
А4. В каком предложении на месте пропуска пишется одна буква Н?
□ 1) К станции подходил гружё..ый углём состав.

Голосование за лучший ответ

Репетитор по русскому языку. Тула.. Итоговый тест для учащихся 7 класса

А1. В каком ряду в обоих словах на месте пропуска пишется буква Е?
1) о пропавш..й экспедиции..
2) о случивш..мся не..давно
3) на взвивш..мся знамен..
4) выяв..вший н..достатки

 А2. В каком ряду в обоих словах на месте пропуска пишется буква И?
1) примеча..мый, высвет..в
2) поража..мый, заброс..в
3) ненавид..мый, прекращ..на
4) недвиж..мый, отвес..в

 А3. В каком ряду в обоих словах на месте пропуска пишется буква А(Я)?

 А4. В каком предложении на месте пропуска пишется одна буква Н?
1) К станции подходил гружё..ый углем состав.
2) Все пути к отступлению отреза..ы.
3) Говорил он горячо и взволнова..о.
4) Подростки были веселы и раскова..ы.

 А5. В каком предложении НЕ пишется слитно с обоими словами?
1) Одет он (не)лепо, (не)по-нашему.
2) Уходя из дома, (не)оставляйте (не)выключенные электроприборы.
3) Выглядел он (не)ряшливо и говорил (не)искренне.
4) (Не)набив шишек, (не)научишься кататься на велосипеде.

 А6. В каком варианте ответа правильно указаны все цифры, на месте которых пишется НИ?
В чертогаж Снежной королевы Каю казалось, что лучше ему (1)где быть (2)может. Он (3)мало (4)беспокоился о своей судьбе.

1) 1,4
2) 1
3) 1,2,3,4
4) 1,3

А7. В каком предложении оба выделенных слова пишутся слитно?
1) Вот раздалось (КУ)КУ (В)ДАЛЕКЕ.
2) (В)СЛЕДСТВИЕ сильных морозов занятия отменили, (ЗА)ТО можно было выспаться.
3) (НЕ)СМОТРЯ на то что был поздний час, (КОЕ)ГДЕ в окнах горел свет.
4) Я (ТО)ЖЕ научился решать задачи (НА)ПОДОБИЕ треугольников.

А8. В каком слове на месте пропуска пишется буква О?
1) насух..
2) снов..
3) к..литка
4) акв..рель

А9.  В каком слове верно выделена буква, обозначающая ударный гласный звук?
1) балУясь
2) досЫта
3) килОметр
4) нАчавший

А10 В каком примере не нарушена речевая норма?
1) напишущий изложение
2) аэрозоль для моли
3) уверенность в победе
4) поделиться о впечатлениях

А11. В каком предложении знаки препинания расставлены неправильно?

Прочитайте текст и выполните задания В1-В6 и С1.
(1)Бунин был чрезвычайно строгим критиком и одновременно необычайно благодарным читателем, умеющим по-настоящему пережить и проанализировать прочитанное. (2)Бунин мечтал написать о Лермонтове, но обстоятельства мешали это сделать, однако, перечитывая собрание сочинений поэта, он все больше и больше увлекался этим чтением. (3)Иван Алексеевич вспоминал лермонтовские стихи, сопровождая их своей оценкой: (4)»Как необыкновенно! Ни на Пушкина, ни на кого не похоже! Изумительно, другого слова нет».

В1. Из предложения (1) выпишите страдательное причастие.

В2. Из предложения (2) выпишите наречие, укажите степень сравнения.

В3. В предложении (3) найдите деепричастие, укажите его вид.

В4. Из предложения (4) выпишите частицу(частицы).

В5. Из предложения (4) выпишите союз.

В6. Укажите цифрой количество грамматических основ в предложении (2).

С1. Напишите, какие стихотворения М.Ю. Лермонтова вас особенно нравятся и почему. Расскажите о своих впечатлениях.

Ответы

Источник: Контрольно-измерительные материалы. Русский язык: 7 класс/Сост. Н.В. Егорова/

«Невозможная» школьная задача поставила в тупик доктора наук. И вы ее тоже не решите

Живущий в Канаде австралиец Брайан Гэнслер поделился в твиттере задачей, которую его сыну дали решить в школе. Задание оказалось настолько нестандартным, что вынудило профессора просить о помощи в интернете.

Брайан Гэнслер — известный астрофизик, он возглавляет Институт астрономии и астрофизики имени Данлэпа в Торонтском университете.

«В домашнем задании моего сына есть такая задача, — написал он. — Нужно найти a, b и c. Какой ответ? Я кандидат наук в области астрофизики, но не могу понять, как это решить. Пожалуйста, помогите мне не разрушить свою репутацию».

На рисунке изображены два подобных треугольника и даны длины двух сторон меньшего и одной стороны большего треугольника. Задание заключается в том, чтобы найти длины оставшихся сторон, которые обозначены a, b и c.

На первый взгляд, всё просто — обычно задачи о подобных треугольниках решают через пропорцию. Вот только в этом примере неизвестных слишком много, а углы треугольников не указаны. Это значит, что у задачи нет единственного решения — их число бесконечно.

And here’s a sample image showing three possible solutions. There are of course infinitely many. 🙂 pic.twitter.com/YXYAwG4Dxc

— Chris Solnordal (@chris_solnordal) 3 декабря 2018 г.

Друзья астрофизика принялись шутить над странной задачей. Один предложил измерить длины сторон линейкой. Другой обвел буквы a, b и c в кружок и заявил, что нашел их.

pic.twitter.com/kYy9NLz2AS

— Jason Marson (@chulomarson) 3 декабря 2018 г.

Мальчику в школе учитель объяснил, что «у некоторых задач нет решения». Вот такое решение учитель предложил классу: составить все возможные пропорции и прийти к выводу, что они «плохие».

У некоторых задач действительно нет однозначного решения, а доказательство его отсутствия тоже может считаться решением. К примеру, если кто-то докажет, что решения нет у одной из «задач тысячелетия» — о равенстве классов P и NP, — этот человек получит миллион долларов от Математического института Клэя.

Урок по математике по теме «Подобные треугольники»

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ

Тип урока: вводный урок.

Тема: «Подобные треугольники» (урок № 1)

Цели:

•образовательные: сформировать представление о понятии подобных треугольниках, сформировать представление о подобных фигурах, показать практическое использование подобных треугольников;

•развивающие: развивать логическое мышление, умение высказывать свои мысли, коммуникативные способности, пространственное представление;

•воспитательные: развивать культуру математической речи, умение работать в коллективе, умение работать самостоятельно, наблюдательность, инициативу, старательность, умение оценивать свои результаты, понимание значимости математики.

Оборудование: линейка, карандаш, приложение 1 ( таблица знаний), приложение 2 (игра на актуализацию знаний), приложение 3 (презентация к уроку), план-конспект.

Структура урока

1. Организационный момент (2 мин).

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний (4 мин).

4. Ознакомление с новым материалом (10 мин).

5. Отработка действий, входящих в состав овладения понятием (3 мин).

6. Упражнения на закрепления понятия подобных треугольников (14 мин).

7. Подведение итогов урока (3 мин).

8. Рефлексия (2 мин).

9. Постановка домашнего задания (2 мин).

Ход урока

2 слайд:

Делай сегодня то, что другие не хотят.
Завтра будешь жить так, как другие не могут.
Дж.Лето

3 слайд:

Организационный момент: На этом уроке мы с вами откроем для себя новый раздел в математике. Но перед этим я расскажу вам правила сегодняшнего урока. За активность и правильные ответы каждый получаете баллы. В конце урока, ученик, набравший самое большое количество баллов, получит приз (раздаётся список, в который учащиеся вписывают свои фамилии).

4 слайд:

1)Как вы думаете, что объединяет эти две фигуры? А эти? А в чём их различие?

Все эти фигуры похожи, а если перевести на математический язык – подобные.

В этом и кроиться название нашей темы, которая является одной из важнейших тем геометрии. Но что же в ней такого особенного 5 слайд ? Попробуем в конце урока ответить на этот вопрос. А пока перенесёмся в древний Египет.

6 слайд:

2)Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего.

Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский. Он подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.

3)Посмотрите на рисунок (слайд 7). Ничего вам не напоминает? Это же два похожих или как мы уже выяснили подобных треугольников. А тема наших следующих занятий – подобные треугольники.

8 слайд:

Что мы с вами должны узнать за следующие 19 уроков? Наша тема: 4)«Подобные треугольники» делится на такие подтемы:

Мы узнаем с вами такие определения и теоремы:

9 слайд:

Знание

Самооценка

до

после

2.1

Определение подобных треугольников

3.1

Первый признак подобия треугольников

4.1

Второй признак подобия треугольников

5.1

Третий признак подобия треугольников

6.1

Определение коэффициент подобия

6.2

Отношения площадей подобных треугольников

11.1

Определение средней линии треугольника

12.1

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

14.1

Определение синуса в прямоугольном треугольнике

14.2

Определение косинуса в прямоугольном треугольнике

14.3

Определение тангенса в прямоугольном треугольнике

16.1

Основное тригонометрическое тождество

(Учитель раздаёт таблицы)Давайте прочитаем определения и теоремы в таблицах по очереди. Как же пользоваться этими таблицами, спросите вы?

В ходе нашей темы вы можете проверять ваши знания и сами себя оценивать. Это поможет вам ещё до контрольной работы узнать свою предполагаемую оценку по теме «Подобные треугольники».

Но мы идём дальше, чтоб ответить на наш вопрос. 10 слайд

5)(Игра на актуализацию знаний)

6) Давайте попробуем теперь определить чем-же подобные треугольники отличаются. 11 слайд

Для этого пройдём с вами тест. Правильные ответы запишите в тетради.

Тест «Найди подобные фигуры»

1. Какой предмет является подобным к данному (слайд 12 )

2. Какая ФИГУРА является подобной к фигуре (слайд 14)

(обсуждения ответов)

Задачи, которые научатся решать учащиеся в теме:

Задача1(слайд 16 )

Задача2(слайд 18)

Так что же такое подобные треугольники? Обратите внимания на рисунки и выберите правильный ответ (обсуждение) (слайд 20 ).

(слайд 21 )

Подведение итогов:

1. Какую тему мы с вами будем изучать?

2. Что особенного в теме «Подобные треугольники»?

3. Какой известный учёный древности использовал подобные треугольники?

4. Где встречается подобие в жизни?

5. Какие важные задачи из жизни мы научимся решать?

(слайд 22 )

Давайте теперь подсчитаем ваши баллы. Как вы себя оцениваете на уроке? Как оценивают вашу активность на уроке одноклассники?

(на этом этапе ученики подсчитывают баллы и объявляется победитель).

Рефлексия

Учащимся раздаётся два треугольника.

Учитель: (слайд 23 )

Первый треугольник вы отдаёте мне, а второй вы оставляете себе на память.

(слайд 24)

Постановка домашнего задания

1. Толщина 300 листов бумаги для принтера составляет 3, 3 см. Какую толщину будет иметь пачка из 500 листов такой же бумаги?

2. Для этого задания класс делится на четыре команды. Задание подумать и нарисовать.

1 команда: готовят рисунок, где встречаются треугольники в географии.

2 команда: готовит рисунок, где встречаются треугольники в человеке.

3 команда: готовит рисунок, где встречаются треугольники в архитектуре.

4 команда: готовит рисунок, где встречаются треугольники в астрономии

Репетитор по математике в работе с подобием треугольников

Стратегия, которую выбирает репетитор по математике в каждом конкретном практическом случае, может быть разной. Однако, каковы бы ни были условия работы репетитора с учеником необходимо придерживаться принципа максимального продвижения вперед. Для этого требуется как можно полнее охватить изученное в классе и дополнить эти знания наибольшим количеством математических приемов работы по близким к теме задачам. В курсе геометрии с 7 по 9 класс выделяется несколько крупных разделов, на которые репетитор по математике заостряет внимание (особенно если осуществляется расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с задачами С4. Это «площади», «окружность и ее элементы» и, конечно же, «подобие»! Все они изучаются в 8 — 9 классе (в зависимости от программы) и с большой вероятностью составят костяк любой конкурсной задачи по планиметрии. Если взять с десяток содержательных задач в плоскости (хотя бы те же С4 с ЕГЭ), не связанных с окружностью, то в 8 — 9 из них будет завязана площадь с подобием. тему «подобие» очень любят составители любых серьезных экзаменов и репетитор по математике при подготовке к ЕГЭ должен уметь преподносить ее качественно, быстро и доступно.

По учебнику Атанасяна подобные треугольники изучаются уже в середине 8 классе, когда как по Погорелову они поставлены в начало 9 класса. Логика изложения отличается в них очень сильно. Разное соприкосновение со смежным материалом порождает массу методических ошибок и казусов. Бывший репетитор по математике одного моего ученика при ответе на вопрос о равенстве соответствующих углов подобных треугольников сказл: «преобразование подобия сохраняет углы, поэтому они равны». И все было бы правильно, если бы не одно обстоятельство: ученик занимается по Атанасяну, в котором преобразование плоскости (такое как подобие) в 8 классе не рассматривается вообще.

Методически подготовленный репетитор по математике никогда не допустит подобных ошибок, ибо имеет большой опыт использования учебно-педагогической литературы само широкого профиля.

Учитывая тот факт, что Погорелов все реже и реже используется в школах (даже в обычном классе), в большей степени внимание репетитора по математике приковывается именно к Атанасяну. О нем и пойдет речь. Логическое построение темы является по сути стандартом для курса школьной математики и является продолжением изучения площадей.

Как репетитор по математике готовит ученика к пониманию подобия?

Прежде чем начать изучение темы, репетитору желательно провести практическую аналогию вводимого понятия с известными ребенку фактами и явлениями из жизни. Сложность возникает в том, что мы живут трехмерном мире, а не на листе бумаги. Ребенок имеет перед глазами примеры пропорционального изменении размеров реальных пространственных объектов. Поэтому примеры моделей машин или самолетов в 8 классе далеко не всегда снимают проблему понимания.

Эффективный практический пример для плоскости репетитору по математике найти непросто, ибо плоскость сама по себе является моделью пространства. Тогда, когда мы рисуем трехмерные объекты. Именно поэтому с ранних лет нужно развивать способность выполнять эти рисунки. Когда репетитор по математике в 6 классе рассказывает ученику о пропорциях и о масштабе — в самое время коснуться подобия. Конечно, нужно оставить взрослую терминологию: «коэффициент подобия», «соответствующие стороны», объясняя происходящее словами «увеличилось в два раза», «уменьшилось в 3 раза».

Подобие и компьютер
Я бы советовал репетиторам по математике на первом уроке по подобию включить компьютер и загрузить любую программу для просмотра и обработке фотографий. В таких программах, как правило, предусмотрена функция увеличения и уменьшения размеров картинки. В 8 классе дети уже самостоятельно работают на компьютере и им неоднократно приходилось увеличивали или уменьшать изображение на экране. Такую практику можно и нужно использовать. Если репетитор по математике подготовит для урока соответствующий jpg файл с фигурами — можно не только продемонстрировать подобие, но и проверить некоторые его свойства.

К главному свойству подобия, безусловно, относится свойство сохранения углов. Для проверки этого равенства можно провести небольшую лабораторную работу. Репетитор по математике подгружает сканер любой фигуры, имеющей углы (не обязательно треугольника), и измеряет их самым обычным транспортиром, приложенным к экрану. Затем, например, уменьшает размер изображения стандартной кнопкой «минус» и повторяет измерения.

Демонстрация примера повседневного использования подобия, несомненно, отложится в голове современного школьника. Причем такой урок репетитор по математкие может провести уже в 6 классе. Ребенок получит начальные представления о новом понятии в раннем возрасте и подойдет к его подробному изучению в будущем более подготовленным. Использование компьютера на вводном уроке репетитора по математике в 8 классе тоже даст положительный эффект.

Безусловно, в том случае, если индивидуальные занятия проводятся с целью подготовки к ЕГЭ по математике на профильном уровне, то репетитору не потребуется разжевывание элементарного. Слабому троечнику в 11 классе оно тоже не нужно. По крайней мере в задачах части «В» на трех последних ЕГЭ свойства подобных фигур не использовались.

О доказательстве признаков подобия:
Обоснование признаков в учебнике Атанасяна основано на использовании теоремы об отношении площадей треугольников с равной парой углов. Ученика, которым можно излагать математику относительно аккуратно и строго, я даю теорему о разделительном отрезке, которая почему-то не выделяется в программах как самостоятельный факт. А жаль! Если репетитор по математике рассмотрит ее как отдельную теорему, он упростит понимание доказательства.

Теорема о разделительном отрезке: если в треугольнике MNK проведен отрезок NO к его основанию, то . Факт имеет огромное применение в сложных задачах на площади, поэтому, при соответствующих целях подготовки к ЕГЭ по математике, репетитору желательно занести его теоретическую тетрадь ученика.

В 90-95% случаев, дабы не застревать с теорией, я пропускаю доказательства второго и третьего признака подобия (по пропорциональным сторонам) и сразу перехожу к практике решения задач. Имеется огромная база содержательных и методически выверенных комплектов заданий на подобие. Решение большого количества задач — гораздо более полезное занятие, чем заучивание доказательств.

5 правил репетитора по математике

1. Индексы в обозначениях

1) Во всех доказательствах и объяснениях для обозначения соответствующих вершин лучше использовать индексы, то есть, например, обозначать треугольники так: . Как бы ни было противно было выписывать единички и двойки. Такая система позволяет ученику лучше контролировать соответствие элементов, а репетитору по математике предоставляет возможность ввести нумерацию треугольников (первый и второй) для удобного и быстрого обращения к ним в процессе объяснений.

2. Свойства линейных размеров

Отношения, из которых в задаче на подобие составляется пропорция, составляются не только из сторон. На одном и том же уроке репетитор по математике может несколько раз повторить ученику: «Если коэффициент подобия равен, например, числу 3, то это означает, что у треугольников ровно в 3 раза будут отличаться все соответствующие линейные размеры (длины)». Или так: «Коэффициент подобия равен отношению любых соответствующих линейных размеров». В эту группу попадают не только отрезки (высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанных и описанных окружностей), но и периметры треугольников. Если у школьника возникают проблемы с пониманием термина «линейный размер», репетитор по математике дает ему следующее «бытовое» определение: «линейный размер — это то, что можно измерить линейкой.» Что называется — для тех, кто в танке. Понятно, что площадь — не является линейной величиной (не имеет линейного размера), так как ее нельзя измерить линейкой.

Привязывая новый термин к знакомому действию (измерению линейкой), репетитор по математике воздействует на механизмы работы ассоциативной памяти ребенка и поэтому информация быстро и легко запоминается. Как то у меня был перерыв в работе с одним учеником, которого я вел с 6 класса. В 9 классе и 10 классе у нас не получилось организовать занятия и мы решили с родителями остановиться на подготовке к ЕГЭ. Каково же было мое удивление, когда ученик в 11 классе слово в слово закончил мою фразу «…равен отношению любых линейных размеров».

3. Памятка репетитора по математике: «Паровозик» из дробей

В теоретической тетради я выписываю длинную цепочку из отношений соответствующих элементов подобных треугольников и :

, где

и  — высоты
и  — медианы
и  — биссектрисы
и  — радиусы вписанных окружностей
и  — радиусы описанных окружностей
и  — периметры
k- коэффициент подобия

Эта запись позволяет репетитору визуально отобразить содержательную часть второго правила.

Сильным ученикам к «паровозику из дробей» я прицепляю еще одним «вагончик», — пропорцию . Для остальных даю формулировку соответствующего свойства в обычной форме: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

4. Соблюдение репетитором по математике правила соответствия вершин

В практической работе с подобием крайне важно научиться выписывать пропорцию сторон (или соответствующих элементов) по крайне скудной информации о самих треугольниках (по равенству углов). Репетитору важно отработать схему решения большинства задач: равные углы ===> подобные треугольники ===> пропорция (уравнение). Если в 7 классе соответствующие стороны равных треугольников легко выявляются по рисунку, то в подобии крайне тяжело бывает перетащить с рисунка в пропорцию нужные линейные размеры. Ученика часто дезориентирует расположение треугольников на чертеже. Кроме этого, элементы подобных треугольников еще нужно правильно расположить по отношению к друг другу в самой пропорции. Что-то поставить в числитель, а что-то в знаменатель. У ребенка этот процесс часто вызывает серьезные затруднения. Репетитору по математике нужно дать четкие инструкции по выявлению сходственных (соответствующих) элементов. Для этого нужно научить ученика правильно обозначать сами треугольники. Чаще всего в задачах на подобие используется признак подобия «по двум углам». Это играет репетитору только на руку. На рисунке углы в обязательном порядке выделяются (одинаково обозначаются). Вершины первого треугольника записываются в любом порядке. В процессе этого занятия репетитор по математике просит ученика произнести вслух обозначения соответствующих углов. Например так: «Закрашенный угол ===> дуга ===> пустой (не закрашенный).» Этот же порядок переносится на вершины другого треугольника. И только так. Практика моей работы репетитором по математике доказывает эффективность такого подхода. Ученики 8 класса мгновенно схватывают правило и сразу же берут его в оборот в решении задач.

5. Быстрый переход к практике
Даже самая лучшая методика объяснений репетитора по математике в сочетании с грамотно выстроенной последовательностью изложения теории и удобной системой условных обозначений не сможет обеспечить усвоение материала, если он не закреплен на достаточном количестве решенных задач. Практические занятия позволяют «дожать тему до конца», сглаживая шероховатости объяснений словно наждачная бумага заусенцы на необработанной древесине. Если репетитор по математике нацелен перейти к задачам как можно быстрее, ему не следует доказывать все три признака подобия. Достаточно остановиться на самом популярном из них — на признаке подобия по двум углам.

Колпаков А.Н Репетитор по математике — Москва. Уроки в Строгино.

Практическое приложение подобия

Цели:

• Показать применение подобия в измерительных работах на местности;
• Совершенствовать навыки решения задач на применение теории подобных треугольников.
• Воспитание познавательной активности, культуры общения, привитие интереса к предмету;
• Развитие сознательного восприятия учебного материала.

Принадлежности: компьютер, экран, проектор, рисунки, магниты, прямоугольники 10х16,  ножницы, карточка ученика.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие. Проверить готовность к уроку. Опрос дежурных об отсутствующих.

— тема нашего урока: практические приложения подобия. 

— цель урока: научиться применять теоретические знания о подобных треугольниках при решении задач.

— эпиграфом урока я выбрала слова Г.Галилея: «Природа формулирует свои законы языком математики».

2. Практические задания.

— Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь всё, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от её внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.

— Постарайтесь сегодня на уроке следовать девизу

 «Смотри – думай – делай выводы», а выводы записывайте на карточку.

Задание 1.

Возьмите из бумаги прямоугольник со сторонами 10 см  и 16 см. Отрежьте от него квадрат наибольшей площади. Измерьте стороны получившегося прямоугольника. Запишите результат измерений на каждом прямоугольнике.

Затем с этим прямоугольником проделайте ту же операцию.

Найдём отношения сторон каждого из  этих трёх прямоугольников:

— в 1 прямоугольнике АВСД   АВ:ВС=16:10=1,6;

-в 2 прямоугольнике МЕВС  МЕ:ЕВ = 10:6=1,666…;

— в 3 прямоугольнике МФНС   МС:СН = 6:4 =1,5.

Вывод: так вот, ребята, прямоугольники, у которых стороны соотносятся приблизительно как 1,6 : 1, называют «Золотыми».

— Я предлагаю  вам посмотреть компьютерную презентацию.

(Просмотр)

— Математика всегда решала задачи, которые ставила перед ней жизнь, практика.

Послушайте историю о том, как однажды пришелец из далёкой Греции посрамил искусных египетских землемеров.

Случилось это в VI веке до новой эры, а пришельцем был Фалес из Милета.

( просмотреть ролик о Фалесе)

— В те времена греки не занимались геометрией, и Фалес решил познакомиться с египетской наукой. Египтяне задали ему трудную задачу: как найти высоту одной из громадных пирамид?

Фалес нашёл для этой задачи простое и красивое решение (а в математике очень часто простота – признак красоты).

Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды»

Задание 2.

Фалес, вероятно, рассуждал так. Солнце от Земли очень далеко, поэтому идущие от него лучи можно без большой ошибки считать параллельными.

Попробуйте продолжить рассуждения ФАЛЕСА, используя рисунок. ВС – палка, СА – тень от палки, НЕ – высота пирамиды.

К доске желающий, остальные записывают свои рассуждения на карточку.

Задание 3.

— Так или нет рассуждал Фалес, сказать трудно. Но, вернувшись в родной город, он ещё раз удивил всех своим пониманием геометрии. Далеко от берега стоял на якоре корабль. Фалес сумел измерить расстояние от берега до корабля. В точности, как он это сделал, мы не знаем: его труды до нас не дошли. Подумайте и  предложите свой способ решения этой задачи, используя рисунки.

Решение.

     Пусть корабль находится в точке В, а наблюдатель в точке А. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегу два равных отрезка АС=СК. В точке К вновь построить прямой угол, причём наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдёт до точки М, из которой корабль В и точка С были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольные треугольники АВС и СКМ равны, следовательно, АВ=КМ, а отрезок КМ можно непосредственно измерить.

Этот способ, получивший название метода триангуляции, нашёл применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из трёх этапов:

1. Выбираем на местности точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем углы его. Затем с помощью астролябии измеряем углы  А=α  и С=β.
2. На листе бумаги строим треугольник А’В’С’ с углами α и β при вершинах А’  и С’ соответственно. Измеряем длины сторон А’В’  и А’С’ этого треугольника.
3. Учитывая подобие треугольников АВС,  А’В’С’  и равенство АВ:А’В’ = АС : А’С’ , по известным длинам отрезков АС,  А’С’ и А’В’  нетрудно найти длину отрезка АВ :    АВ=АС ∙ А’В’ :  А’С’.

Задание 4 .

На  рисунке показано, как можно определить ширину ВК реки, рассматривая два подобных  треугольника  АВС  и  АМК.

Пояснить способ решения этой задачи на карточке.

Возможный план решения:

1. На местности выбрать точку А  и точку В₁  на берегу реки так, чтобы АВ₁ было перпендикулярно берегу.  В – точка на противоположном берегу.
2. На берегу реки выбрать точку  С, отличную от В₁.
3. Измерить углы  В₁АС  и АСВ.
4. На листе бумаги выполнить рисунок в некотором масштабе и провести прямую  В₁С₁ параллельно В₁В.
5. Вычислить АВ, а затем В₁В.

АВ : АС = АВ₁ : АС₁ =>АВ = АС ∙ АВ₁ : АС₁,  В₁В = АВ – АВ₁

Задание 5.

Однажды сын проходил с отцом по двору. Недавно прошёл дождь, и во дворе было много небольших луж. Посреди двора росло большое дерево. Сын спросил отца: «Чему равна высота этого дерева?» На этот вопрос отец ответил: «Давай не будем гадать, а измерим его высоту …   с помощью лужи. Я знаю свой рост – 180 см. Мне надо знать, ан какой высоте расположены глаза. Думаю, мы не сильно ошибёмся, если будем считать это расстояние равным 170 см. Мой шаг равен 90 см… А впрочем, это не важно. Сейчас я встану так, чтобы я мог видеть в этой луже отражение вершины дерева. Теперь подсчитаем, сколько шагов от меня до лужи. Получилось 3 шага. Так, а чему равно расстояние от лужи до дерева?.. 30 шагов. Значит, высота дерева равна…»

      Чему равна высота дерева? На карточке решите эту задачу.

Решение. 

Луч света ДС, отражаясь от лужи С, попадает  в глаз человеку В. По законам физики угол ДСЕ равен углу ВСЕ. Из подобия треугольников АВС и ЕДС выразим длину отрезка ДЕ:

ДЕ = ЕС ∙ АВ : АС = 30 ∙ 170 : 3 = 1700 см.

Ответ: 17 м.

Подведение итогов урока.  Оценки за урок.

Итак, чему сегодня вы научились на уроке?

— определять высоту предмета;

— определять расстояние до недоступной точки;

— определить ширину реки.

Я надеюсь, что эти знания вам пригодятся в жизни, а для того, чтобы вы закрепили их, запишите домашнее задание.

Сдайте карточки на проверку.

Домашнее задание.

П.64 измерительные работы на местности. №  579, № 581, № 583

Задача о двух старушках, которые отправились в путь на рассвете

Предлагаю вам послушать (МР3) обсуждение этой задачи на радио «Говорит Москва» (С.Доренко, А.Оношко), и попробовать решить ее, прежде, чем лезть под кат, чтобы сравнить…

Первый вариант: система уравнений
Именно так решал ее я, сначала написав систему уравнений типа вот этой (s — это расстояние от А до В, х — время от рассвета до полудня):

Решить ни ее, ни похожую систему у меня долго не получалось (неизвестных всегда оказывалось на одно больше, чем уравнений, а избавиться от лишней — не выходило). Наконец, написав систему двух уравнений для расстояний АО и ОВ (О — точка встречи в полдень):
,
удалось избавиться от «лишних» неизвестных (скоростей), перемножив левые и правые стороны двух уравнений. В результате, произведение скоростей сократилось, а из оставшегося уравнения t²=36 искомое время легко нашлось:
12-t=6.

Надо сказать, что провозился я час или два, а потом, через несколько дней, когда вернулся к задаче, вконец запутался и полез за решением в интернет, где и нашел…

Второй вариант: пропорция

Поскольку задача «детская», то и решение имеет вполне детское. Если составить пропорцию длин отрезков пути АО/ОВ с точки зрения первой и второй старушки, то получим:
,
откуда сразу следует уравнение t²=36. (Даже скорости в пропорции не нужны, достаточно понимания того, что отрезки пути пропорциональны времени).

Таким образом, задачу вполне может решить и ученик начальной школы: это типичная олимпиадная задачка, которые я ненавижу с детства (надо — мне по крайней мере — убить кучу времени, чтобы найти решение). Между тем, задача простая, и, если ее рассматривать с практической точки зрения (получения ответа, а не поиска элегантного решения, которым, несомненно, является вариант 2), в наши дни я бы использовал…

Третий вариант: быстрое численное решение.
Я приведу его в виде документа Mathcad:

Сначала задаются начальные приближения к неизвестным (включая взятое «с потолка» оценочное значение s=20 км). Затем стандартный численный алгоритм ищет решение той самой системы уравнений, которую мы выписали в самом начале, затратив всего пару минут. Здесь s рассматривается, как неизвестная переменная, в результате получающаяся равной начальному приближению 20 км.

Повторив расчеты для серии различных разумных s, получим, что решение для s остается равным начальному приближению, а искомое время х всегда равно 6 часам. Это весьма строгое решение задачи (поскольку несложно просканировать весь интервал разумных расстояний АВ), которое, признаюсь, мне нравится больше всего, хотя и выглядит немного туповатым.

В заключение, приведу те же расчеты для s=50 км (и с использованием в расчетах единиц измерения):