Задача с двумя неизвестными: Решение задач. Уравнение с двумя неизвестными

Содержание

Решение задач. Уравнение с двумя неизвестными

Здравствуйте уважаемые обучающиеся и их родители. 

На прошлых занятиях мы говорили по теме «Уравнения с двумя неизвестными». Обсудили, что называют уравнением с двумя неизвестными, как решать такие уравнения, что является решением такого уравнения. 

Обо всем по теме мы говорили на странице: 

Сегодня мы потренируемся в решении задач на решение уравнений с двумя неизвестными.

Давайте посмотрим ролик, где рассказывают о том, как решать уравнение с двумя неизвестными:

Видео YouTube


Видео YouTube

Давайте познакомимся с основными положениями темы, которые нужно знать. Я их отразил в виде схем для наглядности.

Помним о том, как задаются координаты. Координаты записываются в круглых скобках, отражают положение точки в плоскости по оси х и y. Ось абсцисс — х, ось ординат — у.

Построим некоторые точки….

По новой теме:Начало.

Переходим с разбору заданий: В тетрадку оформим:

Разбор модели задания:

Решение задачи № 2. Разбор в тетрадь. Ощутите алгоритм, последовательность решения. 

Запишите алгоритм.

Разбор заданий:

Задача № 1. Выразить в  уравнении одну переменную через другую.

Задача № 2. Построить уравнения с двумя неизвестными. Построено три уравнения. Графики — все линейные функции.

Для построения достаточно 2 точек, две пары чисел (x, y), которые являются решениями уравнений ниже.

Задача № 2. Алгоритм в действии. Построение одного из множества графиков уравнения с двумя неизвестными.

Выразили переменную y через х, после чего уравнение поделили все на 2.

Упростили его. Получилось у=-2х+4. После чего взяли произвольные точки,которые являются решением этого уравнения и построили прямую — линейную функцию.

Домашняя работа: Работа состоит из 10 заданий. Половина из них решается в одну строчку, поэтому не думайте, что они сложные. Они основные и базовые по этой теме. Их нужно уметь делать. Все, что нужно для решения, указано в статье. Там все. Для того, чтобы разобраться, статью нужно прочесть, видео посмотреть, иначе нельзя.

задачи с двумя переменными, задача с двумя неизвестнами, axmara.narod.ru о математике.

Мой племянник опять не может решить задачу!

Давайте вместе попробуем решить несколько задач  с двумя неизвестными!

Уясните  для себя самое главное! Не бойтесь математику! Полюбите её! И вы будете щелкать эти задачи как семечки! Ведь математика – это самая главная наука!

И неважно, что эта задача не похожа на вашу, если вы не научитесь решать их самостоятельно, то любое изменение условия задачи,  будет всегда для вас проблемой!

Условие задачи с двумя неизвестными :

Миша сказал, что одна лента в 2 раза длиннее, чем  вторая.

А Оля сказала, что одна лента длиннее другой на 3см.

Решение задачи с двумя неизвестными:

Правильное решение задачи с двумя переменными зависит от правильности составления уравнений!

Большую ленту выразим через – х.

Маленькую выразим через – у.

Слова Миши можно записать как   х = 2у.

Слова Оли можно записать как х – у = 3.

У нас получилось 2 уравнения с двумя неизвестными.

Заменим во втором уравнении  х на 2у, ведь х = 2у.

И получим 2у – у = 3, у = 3.

Подставим  у = 3, в первое уравнение  х = 2*х=6.

Ответ к задаче с двумя неизвестными:

Первая лента равна 6см, а вторая 3см.

Написать что-нибудь.

.. задачи с двумя переменными , решить задачу два велосипедиста . задачи с двумя неизвестными , задача два автомобиля выехали одновременно , задача два пешехода вышли одновременно , задача две трубы ,

Решение задач с помощью систем уравнений 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

94. Решение задач с помощью систем уравнений.

Некоторые задачи проще решать с помощью системы уравнений. Обычно это те задачи, в которых нужно найти две величины. Существует алгоритм, выполняя который легко решать задачи с помощью системы уравнений.

Чтобы решить задачу с двумя неизвестными, нужно:

  1. Обозначить неизвестные величины буквами (обычно это те величины, значения которых и нужно найти в задаче).
  2. Используя условие задачи, составить систему линейных уравнений.
  3. Решить систему.
  4. Истолковать полученный ответ в соответствии с условием задачи.

Пример 1. Основание равнобедренного треугольника на 8 дм больше боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 44 дм.

Решение: у треугольника три стороны. Длины этих сторон нам неизвестны. Но нам известно, что треугольник равнобедренный – это значит, что его боковые стороны равны. То есть у нас есть две неизвестные величины: длина боковой стороны и длина основания.

Пусть х (см) – длина боковой стороны равнобедренного треугольника,

у (см) – длина основания равнобедренного треугольника.

Так как нам известно, что основание треугольника больше его боковой стороны на 7 дм, мы можем составить первое уравнение

у-х = 8

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Выразим ее через переменные х и у.

х+х+у = 2х+у (дм)

Нам известно, что периметр треугольника равен 44 дм. Используя это, составим второе уравнение

2х+у = 45

Запишем систему уравнений

y-x=82x+y=44

Умножим первое уравнение на 2

2y-2x=162x+y=44

Применим способ сложения

3y=602x+y=44

y=202x+20=44

y=192x=24

y=20x=12

Мы получили два числа. Вспомним, что за х мы обозначали боковую сторону треугольника, значит, боковая сторона треугольника равна 12 см. А за у обозначали основание треугольника. То есть основание треугольника равно 20 см. В задаче требуется найти только боковую сторону треугольника. Значит ответ будет выглядеть так: боковая сторона треугольника равна 12 см.

Раскрыт секрет СтатГрада! Система уравнений с двумя неизвестными в заданиях ЕГЭ … по химии! | Репетитор Богунова В.Г.

Вы хотите познавать химию и профессионально, и с удовольствием? Тогда вам сюда! Автор методики системно-аналитического изучения химии Богунова В. Г. раскрывает тайны решения задач, делится секретами мастерства при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ, ДВИ и олимпиадам

Месяц назад на занятие по химии мои ученики примчались в более чем возбужденном состоянии: волосы — дыбом, в глазах — черти! Сразу вспомнились ужастики моего детства:

Прибежали в избу дети,
В торопях зовут отца:
«Тятя! тятя! наши сети
Притащили мертвеца.»
«Врите, врите, бесенята, —
Заворчал на них отец: —
Ох, уж эти мне робята!
Будет вам ужо мертвец!
А.С. Пушкин «Утопленник»

На вопрос: «Что случилось?! Неужели, ЕГЭ отменили?!», ребята ответили практически хором: «В школе писали Диагностику по химии! 34-я задача была на смеси, которые мы только что разбирали. Между прочим, на систему уравнений с двумя неизвестными. Никто, даже учитель, решить не могли. С задачей справились только мы — самые лучшие, самые умные, самые мудрые на всем белом свете!»

Конечно, на нашем занятии условие 34-й задачи, представленной в Диагностической работе, было сразу восстановлено по памяти учеников, задача разобрана по косточкам и решена.

Что сказать? Задача хорошая, но далеко не самая сложная (посложней видали). К большому сожалению, я не могу размещать восстановленное условие 34-й задачи из Диагностической Работы — СтатГрад запрещает. Но… нам голова дана для «ума и сообразительности», а самое любимое занятие — составление стилизованных задач. Думаю, вы догадались — я придумала целую серию аналогичных задач, одну из которых помещаю в статье. Читайте, решайте, учитесь!

Задача 34 (стилизация под ДР 20191015)

Смесь сульфидов натрия и калия общей массой 48,6 г растворили в воде и к полученному раствору добавили 940 г 12%-го раствора нитрата меди (II). После отделения осадка в фильтрат поместили железную пластинку пластинку, при этом 5,6 г железа растворилось. Определите состав исходной смеси солей (в % по массе). В ответе запишите уравнения реакций, которые указаны в условии задачи, и приведите необходимые вычисления с указанием единиц измерения искомых физических величин.

Вспомним методические рекомендации решения задач на смеси:

1. Для каждого компонента смеси записывается отдельное уравнение реакции (если реакция протекает).
2. Если компоненты смеси реагируют по-разному (в одном случае выделяется газ или осадок, а в другом — нет), алгоритм будет строиться на основе последовательных логических шагов.
3. Если компоненты смеси реагируют одинаково (или очень похоже), в основе алгоритма должна быть положена система уравнений с двумя неизвестными.
4. При решении задач на смеси удобнее использовать не отдельные блоки веществ (досье), а таблицу.

Представленная в Диагностической Работе 34-я задача решается по Рекомендации 3: если компоненты смеси реагируют одинаково (или очень похоже), в основе алгоритма должна быть положена система уравнений с двумя неизвестными. Остальные компоненты алгоритма — стандартные и абсолютно не сложные.

Успехов вам в изучении химии! А пока — пока! До встречи! Не забывайте подписаться на канал и поставить лайк за статью!

Вы хотите сдавать ЕГЭ по химии и биологии? Обязательно посетите мой сайт Репетитор по химии и биологии. Здесь вы найдете огромное количество задач, заданий, теоретического материала и познакомитесь с моими учениками.
На странице ВК я анонсирую свои публикации, вебинары, уроки, рассказываю и показываю решение задач и заданий, выкладываю новинки теоретического материала, конспекты и лекции.Добавляйтесь ко мне в друзья, и вы всегда будете в курсе всех событий, связанных с подготовкой к ЕГЭ, ДВИ, олимпиадам!
Полный каталог статей репетитора Богуновой В.Г. вы найдете на странице сайта Статьи репетитора
Подписывайтесь на YouTube-канал Репетитор по химии и биологии. Здесь ежедневно появляются новые вебинары, видео-уроки, видео-консультации, видео-решения.
Пишите мне в WhatsApp +7(903)186-74-55, я отвечу вам обязательно.
Приходите ко мне на занятия, я помогу вам фундаментально изучить химию и биологию, научу решать любые задачи, даже самые сложные.

Репетитор по химии и биологии кбн В.Богунова

Hyundai Venue: задача с двумя неизвестными

С разницей в один день в Шанхае и Нью-Йорке были представлены две версии маленького бюджетного кроссовера Hyundai – в Поднебесной им стал новый ix25, а в Америке — Venue. И главный вопрос, на который у нас пока нет ответа — какая из этих двух моделей появится в России в образе нового поколения «Креты»

5 колесо

Хотя Hyundai Venue впервые показали на публике в США, предназначен этот кроссовер не только для американцев.

Более того, главным рынком сбыта новинки станет вовсе не Америка, а Индия, где в основном и разрабатывалась эта модель.

Внешне Hyundai ix25 и Venue очень похожи, а вот внутри индо-американская версия кроссовера выглядит проще. Вместо огромного вертикального «планшета» на центральной консоли, куда также выведено управление «климатом», здесь стоит классический «аналоговый» климат-контроль и вынесенный над торпедо экран медиацентра. 

А еще Hyundai Venue компактнее Creta: версия для индийского рынка не добирает полсантиметра до четырех метров (чтобы попасть в льготную шкалу налогообложения), а «американка», хоть и длиннее «индианки» на 4 см, но все равно, по сравнению с «Кретой» выглядит мелковато — последняя аж на 23 см длиннее. Разница в колесной базе не столь существенная, 7 см, но на просторе на заднем ряду она сказывается весьма ощутимо. 

В принципе сравнение габаритов уже говорит не в пользу версии с российской локализацией Venue. Но здесь не все так однозначно.

Учитывая, что покупательская способность россиян падает, в Hyundai вполне могут выкатить на наш рынок более компактный, но и более дешевый вариант кроссовера — тем более, что его шасси максимально унифицировано с «Солярисом». Единственное «но» — у такого кроссовера не может быть полного привода, поэтому окончательно ставить точку в вопросе, «какой будет новая Creta» пока рано.

Редакция рекомендует:






Хочу получать самые интересные статьи

Схема решения текстовых задач

Текстовые задачи на составление уравнений изучают в 8, 9 классе. Сложные или простые задачи способствуют подготовке школьников к олимпиаде, тестам, вступительным экзаменам.
Среди задач рассмотренных в статье есть задачи на движение, на возраст, о треугольнике, совместную работу.
Цель таких задач — научить Вас составлять уравнения к задаче и решать их.

Схема решения задачи на составление уравнений

Перед решением задач необходимо провести анализ, который выполняется по схеме:

  • Определение величин указанных в условии задачи.
  • Установление зависимости между указанными величинами.
  • Определение главного вопросу задачи.
  • Обоснование выбора неизвестной величины (или величин).
  • Выражение других величин задачи через неизвестную.
  • Составление уравнения к задаче.
  • Решение уравнений.
  • Выяснение удовлетворяют ли найденные корни уравнения условие задачи.
  • Дать ответ на главный вопрос задачи.

Для приобретения необходимого опыта нужно разобрать много задач, изучить алгоритмы составления уравнений, схемы возведения уравнений к простому виду. Для этого рассмотрим простые задачи и по мере изучения темы «Текстовые задачи на составление уравнений» разберем задачи от простых до сложных.

Решения задач на составление уравнений

Задача 1. Турист прошел 20% всего пути. Осталось пройти на 36 км больше чем прошел. Какова длина пути (в км) ?
Решение: В подобных задачах можете выполнять дополнительное графическое построение для понимания условия задачи. Прошел 20% означает, что это 20/100 = 0,2 от всего пути. Осталось пройти на 36 км больше, чем прошел.
Итак весь путь равный
0,2+0,2+36 км=1.
Отсюда (1-0,2-0,2)=0,6 или 60% отвечает за 36 км.
Составляем пропорцию
36 км – 60%
x – 100%.
Перекрестным умножением определяем весь путь
x=36*100/60=36/0,6=60 (км).
Ответ: Длина пути 60 км.

Задача 2. Турист пришел 1/5 пути. Осталось пройти на 18 км больше чем он прошел. Какова длина пути (в км)?
Решение: Задача на определение пути по схеме вычислений идентична предыдущей задаче.
По условию туристу осталось пройти 1/5 пути +18 км.
Устанавливаем, какая доля пути равна 18 км
1-1/5-1/5=3/5.
Поделив на нее получим длину всего пути
18:3/5=18*5/3=30(км)
Ответ: длина пути 30 км.

Задача 3. Турист прошел 0,3 пути. Осталось пройти на 30 км больше чем он прошел. Какова длина пути (в км)?
Решение: Распишем задачу в объяснениях.
Пусть х — весь путь
0,3*х – прошел
0,3*х+30 км осталось
Вычислим сколько занимает 30 км от всего пути
х-0,3*х-0,3*х=0,4*х.
Из уравнения находим искомое расстояние
0,4*х=18; х=18:0,4=45(км)
Ответ: Длина пути 45 км.

Задача 4. Мать старше дочери в 4 раза. Вместе им 40 лет. Сколько лет дочери?
Решение: Такого рода задач на составление уравнений немало. Алгоритм вычислений следующий.
Пусть дочери х лет, тогда матери 4 * х лет.
По условию составляем уравнение
х+4*х=5*х;
5*х=40.
Отсюда находим возраст девочки
х=40/5=8 (лет)
Ответ: Дочери 8 лет.

Задача 5. Мать старше дочери на 24 года. Вместе им 40 лет. Сколько лет матери?
Решение: Обозначим через Х возраст дочери. Тогда (Х + 24) — возраст матери.
Далее составим уравнение из условия, что сумма лет равна 40.
Х+Х+24=40;
2*Х=40-24=16;
Х=16:2=8 (лет).
Найдем возраст матери
Х+24=8+24=32 (года)
Ответ: Матери 32 года.

Задача 6. Цену товара увеличили на 53%. Во сколько раз стал дороже товар?
Решение: Начальная цена товара составляет 100%. Увеличили на 53% означает
100%+53%=153%.
Далее вычисляем отношение образованной цены к начальной
153%/100%=1,53(раза)
Ответ: Товар стал дороже в1,53 раза.

Задача 7. Отец старше сына в 2 раза. Сколько лет сыну если отец старше на 18 лет?
Решение: Пусть сыну Х лет. Тогда отцу по условию 2х лет.
Старший на 18 лет означает, что разница лет равна 18.
В наших обозначениях условие равносильно уравнению
2*Х-Х=Х=18 лет.
Ответ: сыну 18 лет.

Задача 8. Отец старше сына в 5 раз. Сколько лет отцу если он старше сына на 20 лет?
Решение: Пусть сыну Х лет отцу
Х*5=5*Х лет
Из-за разницы составляем уравнения возраста
5*Х-Х=20;
4*Х=20.
Находим возраст сына
Х=20:4=5 лет
дальше возраст отца
5*Х=5*5=25 (лет).
Ответ: Отцу 25 лет.

Задача 9. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 2: 1. Сколько градусов имеет меньший острый угол?
Решение: Здесь нужно знать что сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Один из углов прямой, поэтому на два других приходится
180-90=90 градусов.
Обозначим меньший угол через Х, тогда другой 2Х.
составим уравнение
2*Х+Х=900;
3*Х=900;
Х=900/3=300
Ответ: Острый угол треугольника имеет 300.

Задача 10. Стороны треугольника относятся как 2: 3: 4. Вычислить длину большей стороны если его периметр равен 180.
Решение: Согласно условию обозначим стороны треугольника — 2*Х; 3*Х; 4*Х.
Далее составляем уравнение относительно неизвестной и решаем его
2*Х+3*Х+4*Х=180;
9*Х=180;
Х=180/9=20.
Находим большую сторону треугольника
4*Х=4*20=80 (единиц).
Ответ: Длина стороны 80.

Задача 11. Углы треугольника относятся как 1: 3: 6. Сколько градусов имеет средний угол?
Решение: Вводим обозначения углов согласно их пропорции Х: 3*Х: 6*Х.
Составляем уравнение
Х+3*Х+6*Х=1800;
10*Х=1800;
Х=1800/10=180.
Находим меру среднего угла
3*Х=18*3=540;
Ответ: Искомый угол треугольника равен 54 градуса.

Задача 12. За два дня обработали 160 га пшеницы, причем в первый день обработали на 36 га больше чем второго. Сколько гектаров обработали второго дня?
Решение: Обозначим Х — площадь, которую обработали пшеницы второго дня.
По условию Х + 36 га — в первый день.
составляем уравнение
Х+Х+36=160;
2*Х=160-36=124;
Х=124/2=62 (га).
Ответ: Во второй день обработали 62 га пшеницы.

Задача 13. За два дня обработали 140 га пшеницы, причем в первый день обработали на 30 га больше чем второго. Сколько гектаров обработали первого дня?
Решение: Обозначаем Х га — обработали второго дня Х + 30 га — в первый день.
записываем уравнение
Х+Х+30= 140(га;)
2*Х=140-30=110 (га)
Х=110/2=55(га).
Найдем площадь обработки первого дня
55+30=85 (га).
Ответ: В первый день обработали 85 га пшеницы.

Задача 14. Два рабочие изготовили вместе 84 детали, работая 7 дней. Сколько деталей в день изготавливал первый рабочий если второй изготавливал за день на 2 детали меньше?
Решение:Обозначим через Х количество деталей, которое производит первый рабочий. Тогда второй изготовляет — Х-2 деталей.
Составляем уравнение
(Х+Х-2)*7=84.
Думаю здесь Вам все понятно, мы умножили производительности рабочих за день на количество дней.
(2*Х-2)*7=84;
2*Х-2=84/7=12;
2*Х=12+2=14;
Х=14/2=7(деталей).
Ответ: Первый рабочий производит 7 деталей.

Задача 15. Сумма двух чисел равна 12, а их разность равна 4. Найти больше из чисел.
Решение: Обозначим числа через а и b. По условию задачи составляем уравнение.
а+b=12;
а-b=4.
Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Добавим к 1 уравнение 2, таким образом обнулим переменную b
2а=12+4=16;
а=16/2=8;
b=12-a=12-8=4.
Ответ: большее число равно 8.

Посмотреть похожие материалы:

Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными

1. «Всякая хорошо решённая задача доставляет умственное наслаждение».

(Герман Гессе)
Сказка про деда-Равняло
Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло, со
своим маленьким внучком Равнялкой. Любил он с числами
подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя
числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но
следит, чтобы одна часть равнялась другой. Как-то раз решил
дед-Равняло усложнить задачу своему внучку Равнялке. Выстроил
он опять по обе стороны от себя числа, соединил их знаками,
самые резвые в скобки взял, да только на этот раз спрятал он два
числа, одно под маской «икс», другое – под «игрек». И снова просит
своего Равнялку найти эти числа. Долго думал маленький
Равнялка, перегонял числа то в одну сторону, то в другую, ничего
не выходило, не мог он найти решение. Решил, наконец, помощи у
деда просить. Дед у него был опытным в своем деле и, конечно же,
помог внучку решить такую сложную задачу.

3. Решение задач составлением систем линейных уравнений с двумя переменными

*Она нужна, чтобы не говорить
глупостей…
*Когда одно вытекает из другого…
*Бывает математическая, а бывает
женская…
Логика

6. У с т н о

Устно
2
а) х-6=0,
3
б) 4х+3х=21,
в) 4х=5(х-2).

7. Задача 1. Фарш состоит из свинины и говядины в отношении 5:3.

Сколько грамм нужно взять свинины и говядины, чтобы получить 1 кг фарша?
а) х+у = 10
б) 4х-3у = 7
5х+2у=26
Ответ: (4;3)
«Оперативное совещание»
1. Ввести переменную.
2. Составить систему уравнений по тексту
задачи.
3. Решить систему уравнений.
4.Ответить на все вопросы задачи.
5.Записать ответ задачи.

10. Задача 2. Залетные галки садятся на палки. Если на каждую палку сядет по галке, то для одной галки не хватит палки. Если на

палку
сядет по две галки, то на одной не будет галок.
Сколько торчало палок? Сколько летало галок?
Система
линейных
уравнений
Электронные
Иллюстрац
Метод
таблицы MS
Графически
Способ
Способ
ионный угадывани
Excel
подстановки
й способ
сложения
метод
я
a1x+b1y+c=0,
a2x+b2y+c=0

11. Основные этапы графического способа решения системы уравнений в MS Excel:

1. Построить таблицу значений x, и
соответствующие ему значения двух функций.
2. Выделить таблицу значений.
3. С помощью мастера диаграмм
построить графики двух функций.
4. Найти точки пересечения двух графиков
функций и записать ответ.

12. «Меткий стрелок» Тест. Ключ записать в тетрадь.

1. Выразить Х через У: х + 3у = 6
а) х = 6 – 3у,
b) х = – 6 – 3у,
c) х = 6 + 3у
2. Выразить У через Х: 2х – у = 3
a) у = 3 – 2х,
b) у = – 3 + 2х,
c) у = 3 + 2х.
3.Потеряли решение системы уравнений
x+y=20,
0,5x+y=0
a) (– 40; – 20)
b) (-40; 20),
c) (40; – 20)
4. Результат сложения уравнений
х + 5у = 7, 3х – 2у = 4 равен:
а) 4х – 3у = 11,
b) 4х + 7у = 11,
с) 4х + 3у = 11
5.Нет такого способа решения
системы уравнений:
a) сложения,
b) умножения,
c) графический.
Ключ: 1-a, 2-b, 3- c, 4-с, 5-b.
5 – оценка «5»
4 – оценка «4» и т.д.

13. «Следственный эксперимент» Задача 3.

Как-то лошадь и мул вместе вышли из дома,
Моя ноша значительно больше твоей.
Их хозяин поклажей большой нагрузил,
Вот представь: я мешок у тебя забираю,
Долго-долго тащились дорогой знакомой,
И мой груз стал в два раза, чем твой, тяжелей.
Из последней уже выбиваяся сил.
А вот если тебе мой мешок перебросить,
«Тяжело мне идти» – лошадь громко стонала. Одинаковый груз наши спины б согнул»
Мул с иронией молвил (нес он тоже немало)
Сколько ж было мешков у страдалицы-лошади?
«Неужели, скажи, я похож на осла?
Сколько нес на спине умный маленький мул?
Может, я и осел, но вполне понимаю:
Заполните таблицу
Две неизвестные
величины
Поклажа,
которую несла
лошадь
Поклажа,
которую нес мул
1 уравнение
2 уравнение
Было
Когда мул забрал мешок, стало
Когда мул отдал
мешок, стало

15. Физминутка

«Следствие ведут знатоки»
самостоятельная работа в группах,
решение разноуровневых задач.
1. «Старинные задачи по
элементарной математики»
(1балл)
5. Задача про сына и отца
(3балла)
9. Задача о Незнайке
(5баллов)
2. Из рассказа А.П.Чехова
«Репетитор» (1балл)
6. Задача про учителя и
тетрадные листы (3балла)
10. Задача о девочках и
мальчиках (5баллов)
3. Из «Курса алгебры»
(2балла)
7. Задача о пристанях
(4балла)
4. Задача про индюков и
жеребят (2балла)
8. Задача об автобусе и
поезде (4балла)
11. Задача об уборке
картофеля (подготовка к ОГЭ)
(5баллов)
«Следствие ведут знатоки»
самостоятельная работа в группах,
решение разноуровневых задач

группы
1
2
3
4
5
6
Рейтинг «раскрытых дел»
Рефлексия
*Вы научились решать задачи с помощью систем
линейных уравнений?
*Какой метод решения задач вам больше
понятен (понравился)…
*Что понравилось на уроке…
*Как вы оцениваете свою работу на уроке?

словесных задач с двумя неизвестными

Объяснение:

Мы можем решить эту задачу, составив алгебраическое уравнение. Мы знаем, что у Джамаркуса двадцать одна монета, но мы не знаем, сколько у него каждой монеты. Обычно это означает, что нам нужна переменная. Поскольку мы не знаем, сколько у него десятицентовиков, обозначим d как количество десятицентовиков. Если мы хотим найти количество четвертаков, мы должны вычесть количество десятицентовиков из 21, и полученное число будет количеством четвертаков.Следовательно, если у Ямарка есть десятицентовика, у него должно быть четвертака. Мы можем перепроверить себя. Если мы добавим количество десятицентовиков и четвертаков, мы получим 21.

 

Единственная другая информация, которой мы располагаем, это то, что вместе все 21 монета составляют 4,20 доллара. Сначала это может показаться не слишком полезным, но на самом деле это позволяет нам решить проблему. Мы знаем, что каждый дайм стоит 10 центов, поэтому каждый дайм, который есть у Джамаркуса, добавляет 10 центов к его 4 долларам.20 всего. Кроме того, каждый квартал добавляет к его сумме 25 центов. Поскольку у Джамаркуса есть десятицентовики, каждый из которых стоит 10 центов, общая стоимость его десятицентовиков составляет всего .  Кроме того, поскольку у Джамарка есть четвертаки, каждая из которых стоит 25 центов, общая стоимость всех его четвертаков равна . Сумма этих двух сумм должна равняться общей сумме 4,20 доллара США или 420 центов. Мы можем записать это как следующее уравнение.

 

Затем мы используем распределительное свойство для упрощения, умножая 25 на 21 и на .

Упрощая далее получаем

Затем мы хотим объединить подобные термины ( d s)

Затем нам нужны все наши переменные на одной стороне и все наши константы на другой, что мы можем сделать, вычитая 525 из обеих сторон.

  что дает

Чтобы найти , теперь нам нужно просто разделить обе части на .

 что дает

Это означает, что у Джамаркуса 7 монет.Если мы вспомним, что всего у него была 21 монета, то остается 14 четвертаков. У Джамаркуса 7 десятицентовиков и 14 четвертаков.

Мы можем перепроверить себя. Семь десятицентовиков составят 0,70 доллара, а 14 четвертаков составят 3,50 доллара, в результате чего общая сумма составит 4,20 доллара.

Смешанные задачи (системы уравнений с двумя переменными)

Смесевые задачи (системы уравнений с двумя переменными) Проблемы со смесью

Сколько унций 20% раствора соляной кислоты и 70% раствор соляной кислоты необходимо смешать, чтобы получить 20 унций 50% раствор соляной кислоты?

Что мы пытаемся найти в этой задаче? Мы хотим знать необходимое количество 20% раствора кислоты, и мы хотим знать необходимое количество 70% раствора кислоты.Нам понадобится переменная для представляют каждое из этих неизвестных:

x = требуется унций 20% раствора
y = требуется унций 70% раствора

Поскольку у нас есть два неизвестных, нам придется написать систему двух переменных, чтобы найти неизвестные.

Чтобы помочь нам систематизировать информацию в задаче, давайте представьте, что мы в лаборатории и смотрим на две бутылки с кислотой, которые мы собирается смешать вместе. На одной из бутылок написано «20%». содержит x унций жидкости.На другой бутылке написано «70%». в нем y унций жидкости. Вот как выглядят две бутылки подобно; под бутылками указано количество кислоты в каждой бутылке:

Если мы объединим две бутылки кислоты, мы создадим 20 унций 50% раствора кислоты. Объединение (сложение) двух бутылки с кислотой можно показать, добавив к нашей картинке:

х унций + у унций = 20 унций

Первое из наших уравнений будет исходить из количества жидкость в бутылках — добавление жидкости в две бутылки приведет к дайте нам 20 унций раствора:

х + у = 20

Второе из двух наших уравнений будет исходить из суммы чистой кислоты в каждой бутылке.

В первой бутылке 20% x унций жидкости является чистой кислотой, поэтому количество чистой кислоты в первой бутылке равно 0,20x .
Во второй бутылке 70% y унций жидкость представляет собой чистую кислоту, поэтому количество чистой кислоты во второй бутылке равно .70г .
В комбинированной смеси 50% от 20 унций жидкости представляет собой чистую кислоту, поэтому количество чистой кислоты в объединенной смеси составляет 0,50 (20) .
чистая кислота в первой бутылке + чистая кислота во втором флаконе = чистая кислота в объединенной смеси
Так .20х + 0,70у = 0,50(20)
или
0,20х + 0,70у = 10
Умножьте обе части этого уравнения на 10, чтобы получить очистить десятичные дроби:
2х + 7у = 100
Это второе уравнение, которое мы будем использовать.

Теперь решим систему уравнений

2х + 7у = 100
х + у = 20

Умножьте второе уравнение на -2, затем сложите два уравнения вместе:

2х + 7у = 100
-2х — 2у = -40
5 лет = 60
г = 12

Нам понадобится 12 унций 70% раствора кислоты.

Чтобы найти необходимое количество 20% раствора кислоты, замените 12 для y в любом уравнении; мы будем использовать более простое уравнение:

х + у = 20
х + 12 = 20
х = 8

Таким образом, потребуется 8 унций 20%-ного раствора кислоты.








Решение одновременных уравнений с несколькими неизвестными

Это третья статья в нашей серии кратких статей, посвященных важным темам, касающимся техников-электронщиков и электромехаников, а также студентов техников, готовящихся к работе в современном мире.В этой серии мы обсудим некоторые повседневные навыки и темы для практикующих техников, а также некоторые области, которые наши студенты-технари определили как «трудные для понимания» при выполнении общего анализа цепей. Темы обсуждения будут включать в себя методы сокращения схемы, переходные характеристики, а также области сложности при работе с линейными теоремами сети постоянного тока.

Как решать одновременные уравнения с несколькими неизвестными

Многие технические специалисты сталкиваются с трудностями при решении уравнений узлов или контуров, содержащих несколько неизвестных величин.В этой третьей части серии «Техники-практики» мы рассмотрим способы решения таких уравнений для получения контурных токов или узловых напряжений при выполнении линейного анализа сети постоянного тока. Двумя методами технического уровня для решения одновременных уравнений с несколькими неизвестными, используемыми при работе с двумя или тремя уравнениями, являются «подстановка» и «исключение». Чтобы решить для заданного числа неизвестных, мы требуем, чтобы такое же количество уравнений было предоставлено. Например, нам потребуется два уравнения для решения двух неизвестных величин. Нам потребовались бы три уравнения для решения трех неизвестных величин и так далее.

Использование метода подстановки для решения одновременных уравнений

Найдите x и y, учитывая эти два уравнения, содержащие две неизвестные величины.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Мы хотим выделить член y в одном уравнении. Под этим мы подразумеваем, что нам нужно уравнение, которое выражает значение одного y через x.

Экв.1 3x + 2 = 2y
  у = (3х + 2) / 2

Поскольку теперь у нас есть выражение для значения y через x, мы заменим член y в уравнении 2 этим новым выражением, которое мы получили выше. Это оставит нам только одну неизвестную величину, x, для решения уравнения 2 вместо двух неизвестных, которые у нас были раньше.

Уравнение 2 8х – 4 = 4у
  8х – 4 = 4(3х + 2) / 2
  8х – 4 = (12х + 8) / 2
  8х – 4 = 6х + 4
  8х = 6х + 4 + 4
  8х – 6х = 4 + 4
  2x = 8
  х = 8/2
  х = 4

Имея значение x, мы можем использовать его в уравнении. 1 или уравнение 2, чтобы найти значение y. (Используя уравнение 1)

3(4) + 2 = 2 года
12 + 2 = 2 года
14 = 2 года
y = 14 / 2
y = 7

Использование метода исключения для решения одновременных уравнений

Этот подход также можно использовать для решения двух неизвестных в тех же двух уравнениях.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

На этот раз наша цель — найти множитель для умножения одного из уравнений, который позволит нам сложить два уравнения и исключить одно из неизвестных.Если мы умножим обе части уравнения 1 на коэффициент -2, а затем просуммируем два уравнения, у нас останется выражение, содержащее только одно неизвестное. Мы выбрали -2 в качестве коэффициента для умножения уравнения 1, так что правая часть уравнения 1 при добавлении к правой части уравнения 2 приведет к исключению члена y из результирующего уравнения.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y
  -2 (3x + 2) = -2 (2y)
  -6х – 4 = — 4у

Теперь мы суммируем это новое выражение для уравнения. 1 с нашим исходным уравнением 2. Добавление -4y из правой части нашего нового выражения для уравнения 1 к 4y в правой части уравнения 2 приведет к 0y, что эффективно исключает член y из результирующего уравнения.

Уравнение 1 -6x – 4 = — 4y (уравнение 1 изменено с коэффициентом -2) 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Чтобы просуммировать эти уравнения, сложите члены из левой части каждого уравнения вместе и сложите члены из правой части уравнений вместе следующим образом…..

(-6x – 4) + (8x – 4) = (-4y) + (4y)
2x – 8 = 0
2x = 8
x = 8/2
x = 4

Теперь мы будем использовать значение 4 для x в любом из двух исходных уравнений, чтобы найти значение y.(Используя уравнение 2)

8(4) – 4 = 4 года
32 – 4 = 4 года
28 = 4 года
y = 28/4
y = 7

В этом последнем примере мы убрали член y из уравнений, потому что это был легко узнаваемый способ сведения уравнения к одному неизвестному. Вместо этого мы могли бы исключить переменную x, оставив уравнение с y в качестве единственной неизвестной величины.

Уравнение 1 3x + 2 = 2y 
Уравнение 2 8x – 4 = 4y

Для того, чтобы удалить члены x из приведенных выше уравнений, необходимо будет применить коэффициент к обоим уравнениям, чтобы создать желаемую ситуацию.Если мы умножим Eq.1 на 8 и Eq.2 на -3, члены x станут 24x и -24x соответственно. Они компенсируют друг друга при суммировании двух уравнений.

Уравнение 1 8(3x + 2) = 8(2y)
Уравнение 1 24x + 16 = 16y
Уравнение 2 -3(8x – 4) = -3(4y)
Уравнение 2 -24x + 12 = -12 лет

Теперь мы суммируем наши два новых уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной. Если мы напишем уравнения одно поверх другого, мы можем просто просуммировать по вертикали, чтобы получить наше уравнение с одной переменной.

Экв.1 24x + 16 = 16y
Уравнение 2 -24х + 12 = -12у
  ————————
  0х + 28 = 4у
  4г = 28
  г = 28/4
  у = 7

Теперь мы будем использовать это известное значение y в одном из исходных уравнений, чтобы найти значение x. (Используйте уравнение 1)

3x + 2 = 2(7)
3x + 2 = 14
3x = 14 – 2
3x = 12
x = 12/3
x = 4

Практический пример того, как применяются эти методы, представлен в видеоролике, посвященном Loop Analysis, ниже. В этом примере используются методы замены и исключения для решения одновременных уравнений цикла KVL, и он проиллюстрирован шаг за шагом.

Мы надеемся, что это было полезно для вас как практикующего или студента-техника.Если вам понравился этот пост, ознакомьтесь с нашей предыдущей статьей из серии «Практикующий техник»;

Использование функции Natural Log или «ln» при анализе цепей.
Как составить правильные уравнения ветвей KCL по закону Ома для узлового анализа

Мы ищем другие идеи для этой продолжающейся серии «Практикующий техник». Пожалуйста, дайте нам знать, о чем вы хотели бы, чтобы мы написали, отправив нам свои мысли и вопросы по адресу [email protected] com.

словесных задач по системе уравнений | Пурпурная математика

Пурпурная математика

Многие задачи поддаются решению с помощью систем линейных уравнений.В «реальной жизни» эти проблемы могут быть невероятно сложными. Это одна из причин, по которой линейная алгебра (изучение линейных систем и связанных с ними понятий) является отдельной ветвью математики.

Однако в учебе вы, как правило, сталкиваетесь с гораздо более простыми задачами. Ниже приведены некоторые типичные примеры.


  • Плата за вход на небольшую ярмарку составляет 1,50 доллара США для детей и 4 доллара США для взрослых. В определенный день на ярмарку приходит 2200 человек и собирается 5050 долларов.Сколько детей и сколько взрослых участвовало?

MathHelp.

com

Раньше я бы устанавливал это, выбирая переменную для одной из групп (скажем, « c » для «детей»), а затем используя «(всего) меньше (то, что я уже учёл) » (в данном случае «2200 –  c «) для другой группы.Однако использование системы уравнений позволяет мне использовать две разные переменные для двух разных неизвестных.

количество взрослых: a

количество детей: c

Используя эти переменные, я могу составить уравнения для сумм, которые они мне дали:

общее количество: a + c = 2200

общий доход: 4 + 1. 5 с = 5050

Теперь я могу решить систему на количество взрослых и количество детей. Я решу первое уравнение для одной из переменных, а затем подставлю результат в другое уравнение:

а = 2200 – в

4(2200 – с ) + 1,5 с = 5050

8800 – 4 с + 1.5 с = 5050

8800 – 2,5 с = 5050

–2,5 с = –3750

с = 1500

Теперь я могу обратно решить значение другой переменной:

a = 2200 – (1500) = 700

У меня есть значения для двух моих переменных. Я могу вернуться к своим определениям переменных, чтобы интерпретировать эти значения. Чтобы ответить на исходный вопрос, было:

1500 детей и 700 взрослых.


Вероятно, вы начнете с проблем, которые, как и описанная выше, кажутся вам очень знакомыми. Но затем вы перейдете к более сложным задачам.

  • Сумма цифр двузначного числа равна 7. При перестановке цифр число увеличивается на 27.Найдите число.

Хитрость заключается в том, чтобы явно работать с цифрами. Я буду использовать « t » для цифры «десятки» исходного числа и « u » для цифры «единицы» (или «единицы»). У меня тогда:

Десятки означают «десятикратное значение этой цифры». Точно так же, как «26» — это «10 умножить на 2, плюс 6 умножить на 1», так и двузначное число, которое они мне дали, будет в десять раз больше цифры «десятки» плюс одна цифра «единиц». Другими словами:

оригинальный номер: 10 т + 1 у

Новое число имеет значения цифр (представленных переменными) в обратном порядке. Это дает мне:

И это новое число на двадцать семь больше исходного числа. Ключевое слово «есть» означает «равно», поэтому я получаю:

(новое число) равно (старому числу), умноженному на (двадцать семь)

10 u + 1 t = (10 t + 1 u ) + 27

Теперь у меня есть система уравнений, которую я могу решить:

т + и = 7

10 u + t = 10 t + u + 27

Сначала я упрощу второе уравнение:

10 u + t = 10 t + u + 27

9 u – 9 t = 27

u т = 3

После изменения порядка переменных в первом уравнении у меня теперь есть:

Складывая вниз, я получаю:

Тогда т = 2. При обратном решении это означает, что исходное число было 25, а новое число (полученное путем замены цифр) равно 52. Поскольку 52 — 25 = 27, это решение проверяется.


Как я могу найти уравнение параболы всего по трем точкам?

Чтобы найти уравнение параболы, подставьте значения каждой из трех пар ( x y ) в y = x 2  +  bx 90 004  + c.Это даст вам три уравнения с тремя неизвестными, эти неизвестные являются коэффициентами a , b и c .

(Если они дали вам «хорошие» точки, такие как, скажем, все три точки пересечения, тогда жизнь довольно проста. Вы бы взяли значения точек пересечения x , преобразовали их в квадратичные множители, а затем использовали третий отрезок, чтобы найти значение любого множителя. Предположим, что x -отрезки равны −3 и +2; тогда множители будут x  + 3 и x  &-минус 2, которые умножаются на x 2  +  x  −6. Если вы подставите ноль вместо x , вы получите -6. Если точка пересечения y на самом деле равна y = −12, то вы знаете, что вам нужно умножить на 2, поэтому уравнение будет таким: 12. Легко-легко.

(Но как это выглядит, когда вам дают нехорошие баллы?)

  • Найдите уравнение параболы, проходящей через точки (–1, 9), (1, 5) и (2, 12).
  • Вспоминая, что парабола имеет квадратное уравнение в качестве уравнения, я знаю, что ищу уравнение вида x 2  +  b x  +  c = y . Кроме того, я знаю, что точки имеют форму ( x , y ). На практике это означает, что в каждой из этих точек мне дали значения x и y , которые делают квадратное уравнение верным.Подставляя три точки в общее уравнение для квадратного числа, я получаю систему из трех уравнений, где переменные обозначают неизвестные коэффициенты этого квадратного числа:

    а (–1) 2 + б (–1) + в = 9

    а (1) 2 + б (1) + в = 5

    a (2) 2 + b (2) + c = 12

    Упрощая три уравнения, я получаю:

    1 а б + в = 9

    1 а + б + в = 5

    4 а + 2 б + в = 12

    Я не буду показывать решение этой задачи, но результат таков, что a  = 3, b  = –2 и c  = 4, поэтому уравнение, которое они хотят, будет следующим:


    Вы также можете увидеть похожие упражнения с кругами, используя:

    x 2 + y 2 + bx + cy + d = 0

    . … или другие коники, хотя наиболее распространены параболы. Имейте в виду, что задачи со снарядами (например, пустить стрелу в воздух или уронить монетку с крыши высокого здания) также являются задачами параболы, используя:

    — ( 1 / 2 / 2 ) GT 2 + V 0 T + H 0 = S

    …где ч 0 — исходная высота, v 0 — начальная скорость, с — высота в момент времени t , обычно измеряемая в секундах, а г относится к гравитация, равная 9.8, если вы работаете в метрах и 32, если вы работаете в футах).

    Все эти различные перестановки приведенного выше примера работают одинаково: возьмите общее уравнение для кривой, подставьте заданные точки и решите полученную систему уравнений для значений коэффициентов. Предупреждение: Если вы видите в домашнем задании упражнение такого рода, имейте в виду, что вы, возможно, ожидали знание форм общих уравнений (например, « ax 2 + bx + c = y » для парабол) в следующем тексте.


    URL: https://www.purplemath.com/modules/systprob.htm

    Иллюстративная математика

    Задача

    Лиза работает с системой уравнений $x + 2y = 7$ и $2x — 5y = 5$. Она умножает первое уравнение на 2, а затем вычитает второе уравнение, чтобы найти $9y = 9$, сообщая ей, что $y = 1$.Затем Лиза находит, что $x = 5$. Думая об этой процедуре, Лиза задается вопросом

    Есть много способов решить эту проблему. Я мог бы сложить 5 раз первое уравнение и дважды второе, или я мог бы умножить первое уравнение на -2 и добавить второе. Кажется, я обнаружил, что есть только одно решение для двух уравнений, но интересно, получу ли я то же решение, если воспользуюсь другим методом?
    1. Какой ответ на вопрос Лизы? Объяснять.
    2. Изменится ли ответ на вопрос (а), если у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, не имеющая решений? А если решений бесконечно много?

    Комментарий IM

    Цель этого задания — помочь учащимся увидеть правильность метода исключения для решения систем из двух уравнений с двумя неизвестными.То есть новая система уравнений, полученная с помощью метода, имеет то же решение (решения), что и исходная система. Это тонкий и важный момент, хотя учащиеся уже должны быть знакомы с выполнением этой процедуры, прежде чем приступить к выполнению этого задания.

    Нетрудно проверить, что решение исходной системы уравнений также является решением новой системы. Однако ключом к успеху метода исключения является то, что все шаги алгоритма обратимы. Вот почему решение более простой системы уравнений также является решением исходной системы.Это можно увидеть геометрически, если взять кратное уравнение, поскольку, например, $x + 2y =  7$ и $2x + 4y = 14$ определяют одну и ту же прямую на плоскости. Однако геометрическая интуиция теряется, когда уравнения добавляются или вычитаются, так как это создает новую линию, имеющую ту же точку пересечения с линией, которая определяется как $2x — 5y = 5$.

    Решение математических задач с несколькими неизвестными

    Класс алгебры II в школе Алзар решал интересные задачи с системами уравнений.Базовая система уравнений включает два уравнения, каждое из которых связывает две неизвестные величины. Систему можно решить с помощью методов замены одного уравнения другим, объединения уравнений для исключения переменной или построения графика обоих уравнений и определения места пересечения двух линий.

    Модуль по системам уравнений подходит для решения текстовых задач. Например: «Гольф-клуб предлагает два варианта членства. Вы можете платить 18 долларов в месяц и платить дополнительно 7 долларов за каждый раунд или купить премиум-членство за 54 доллара в месяц и платить 3 доллара за раунд.” Если мы назначим переменные d=количество дней, в течение которых вы играете в гольф, и C=общая ежемесячная стоимость членства, то базовая стоимость членства будет смоделирована по формуле C = 7 d + 18. Аналогично, второе уравнение моделируется по формуле C = 3 . д + 54.

    Решение системы дает результат C = 81 доллар и d = 9 дней, что означает, что если вы играете 9 раундов в гольф каждый месяц, оба варианта членства стоят одинаково. Более регулярные игроки в гольф выиграют от премиум-членства, а такие любители, как я, должны выбрать базовый вариант.

    В Алгебре II мы уделяем большое внимание переводу записанных ситуаций в математические уравнения, которые можно решить для определения неизвестных величин. Эти словесные задачи поначалу часто расстраивают учащихся, но демонстрируют важное практическое применение материала, который мы изучаем. Для более сложных задач мы подошли к системам с тремя переменными и тремя уравнениями. Следующая задача со словами была проектом, над которым трудились студенты во время нашей чилийской гребной экспедиции:

    .

    «Для уничтожения вредителя урожая требуется смесь из 12 литров химиката А, 16 литров химиката В и 26 литров химиката С.Коммерческий спрей X содержит соответственно 1, 2 и 2 части каждого химического вещества. Коммерческий спрей Y содержит только химикат C. Коммерческий спрей Z содержит только химикаты A и B в равных количествах. Какое количество каждого типа коммерческого спрея необходимо для получения желаемой смеси?»

    В этом задании проверяется способность учащихся явно определять переменные, понимать неизвестные величины и писать алгебраические выражения для представления системы. Самая сложная часть этой задачи — написать три разных уравнения с тремя переменными, чтобы создать систему, которую можно решить.Математика проста. Сделайте выстрел в него; посмотрите, сможете ли вы перевести ситуацию в пригодные для использования уравнения.

     

    (Подсказка: x, y и z — это неизвестные, а не A, B и C. A, B и C — это уравнения, которые вы должны написать.) Эта задача также может быть решена с помощью графика. Решением является точка пересечения всех трех плоскостей в пространстве!

    — Дэн Тербер, учитель математики

    Возрастные задачи — ChiliMath

    Время от времени мы сталкиваемся с текстовыми задачами, которые требуют от нас найти взаимосвязь между возрастами разных людей.Проблемы со словами о возрасте обычно включают сравнение возраста двух людей в разные моменты времени, то есть в настоящее время, в прошлом или в будущем.

    Этот урок разделен на две части. Часть I включает возрастные словесные задачи, которые можно решить с помощью одной переменной , а Часть II содержит возрастные словесные задачи, которые необходимо решить с использованием двух переменных .

    Давайте познакомимся со словесными задачами на возраст, поработав с некоторыми примерами.


    ЧАСТЬ I. Проблемы со словами о возрасте, решаемые с одной переменной

    Пример 1: Таня старше Маркуса на 28 лет. Через 6 лет Таня будет в три раза старше Маркуса. Сколько лет Тане сейчас?

    В этой задаче нас просят только найти текущий возраст Тани. Однако проблема также дала нам много другой информации, которая может быть ошеломляющей. Чтобы помочь нам систематизировать важные детали, давайте создадим таблицу, чтобы перечислить то, что мы знаем на данный момент.

    Поскольку нам предоставляется только информация об их текущем возрасте и о том, каким они будут через 6 лет, мы продолжим и выделим столбец «Прошлое» серым цветом.

    Вы могли заметить, что текущий возраст Тани определяется по возрасту Маркуса. Однако настоящий возраст Маркуса в настоящее время неизвестен. Итак, давайте выразим возраст Маркуса, используя переменную x. Поскольку Таня на 28 лет старше Маркуса , то текущий возраст Тани должен быть x+28.

    Далее давайте заполним колонку Будущее, которая будет состоять из их возраста через 6 лет. Все, что нам нужно сделать, это добавить 6 к настоящему или текущему возрасту Тани и Маркуса. Таким образом, мы имеем:

    • Таня: \left( {x + 28} \right) {\color{red}+ 6} = x + 34
    • Маркус: x {\color{red}+ 6}

    Теперь, когда наша таблица заполнена, мы можем продолжить и создать наше уравнение на основе предоставленной информации.Проблема гласит следующее:

    Через 6 лет Таня будет в три раза старше , чем Маркус.

    Здесь мы пытаемся найти соотношение между их возрастами в будущем. Мы можем просто сказать, что

    Возраст Тани через 6 лет = 3 (возраст Маркуса через 6 лет)

    Имея это в виду, мы можем легко построить наше уравнение.

    Теперь наш следующий шаг — найти x. Но перед этим вспомним, что наша задача просит нас найти текущий возраст Тани. Поскольку возраст Тани определяется с использованием текущего возраста Маркуса (который равен x), нам нужно сначала найти его возраст, чтобы определить текущий возраст Тани.

    Решение:

    Теперь, когда у нас есть значение x, давайте узнаем, каков текущий возраст Тани и Маркуса. Мы можем сделать это, просто заменив x на 8.

    ТЕКУЩИЙ ВЕК (настоящее время)

    • Маркус: x = {\textbf{8}} лет
    • Таня: x + 28 = {\color{red}8} + 28 = {\textbf{36}} лет

    Возвращаясь к проблемный вопрос, сколько лет Тане сейчас?

    Ответ: Тане 36 лет.

    Проверка ответа:

    На данный момент мы уверены, что наш ответ правильный. Но как мы можем быть уверены на 100%? Ну, это всегда хорошая идея, особенно в математике, проверять наши ответы, чтобы быть уверенными, что мы получили правильные значения.

    Для этой задачи мы можем просто проверить, соответствует ли наш ответ нашему будущему утверждению. Вы помните это высказывание?

    Через 6 лет Таня будет в три раза старше Маркуса.

    Нам известен нынешний возраст Маркуса и Тани: 8 и 36 лет соответственно.Следовательно, через 6 лет Маркусу будет 14, а Тане 42 года.

    Так через 6 лет Таня будет в три раза старше Маркуса? Ответ Да .


    Пример 2: Брюс на 4 года моложе Гектора. Двадцать лет назад возраст Гектора был на 13 лет больше, чем половина возраста Брюса. Сколько им сейчас лет?

    Просто прочитав задачу, мы уже можем сказать, что есть много информации, которую нам нужно отсортировать, и что эта задача включает дробь.Большинство студентов легко теряются во всей предоставленной информации, не говоря уже о решении уравнений с дробями. Но не волнуйтесь! Пока вы придерживаетесь основных принципов и шагов по решению возрастных задач со словами, у вас все будет хорошо.

    Прямо сейчас мы не знаем текущий возраст Брюса или Гектора. Но поскольку возраст Брюса выражается по отношению к возрасту Гектора, наша неизвестная переменная будет основываться на возрасте Гектора. Другими словами,

    • Пусть {\textbf{\textit{h}}} = возраст Гектора
    • {\textbf{\textit{h} — 4}} = возраст Брюса, поскольку он на 4 года моложе , чем Гектор

    Давайте организовать все эти важные данные в таблицу.Нам даются сведения только об их настоящем и прошлом (20 лет назад) возрасте, поэтому столбец «Будущее» будет выделен серым цветом.

    Двадцать лет назад и Брюс, и Гектор были на 20 лет моложе, поэтому мы вычтем 20 из их нынешнего возраста.

    • Брюс: \left( {h — 4} \right) {\color{red}- 20} = h — 24
    • Гектор: h {\color{red}- 20}

    Теперь наша таблица готова, и мы можем приступить к созданию нашего уравнения. Как вы можете видеть в столбце «Прошлое», мы смогли создать алгебраические выражения для возраста Брюса и Гектора 20 лет назад. Но наша проблема также сказала нам, что

    Двадцать лет назад , возраст Гектора был 13 лет больше, чем половина возраста Брюса.

    Поскольку возраст Гектора 20 лет назад также на 13 лет больше, чем половина возраста Брюса, мы можем взять эти два алгебраических выражения и приравнять их друг к другу, чтобы составить уравнение.

    возраст Гектора 20 лет назад = \Large{1 \over 2}(возраст Брюса 20 лет назад)+ 13

    Теперь мы готовы найти неизвестную переменную h.

    Решение:

    Следовательно, нынешний возраст Гектора составляет {\textbf{42}} лет.

    С другой стороны, вы можете вспомнить, что текущий возраст Брюса: h — 4. Поскольку h = 42, то текущий возраст Брюса равен 42 — 4 = {\textbf{38}}.

    Итак, сколько им сейчас лет?

    Ответ: Гектору 42 года и Брюсу 38 лет .

    Последним шагом является проверка наших ответов путем подстановки неизвестных значений в исходное уравнение, чтобы проверить, равна ли каждая часть уравнения другой.

    Проверка ответа:

    Отлично! Наш ответ проверяет. Это просто показало нам, что если мы возьмем возраст Брюса двадцать лет назад, то есть 18 лет, и разделим его пополам, мы получим 9. Прибавив 13 к этому (9 + 13), мы получим 22, что было возрастом Гектора двадцать лет назад.

    Таким образом, мы можем подтвердить, что двадцать лет назад, когда Гектору было 22 года, а Брюсу 18 лет, возраст Гектора был на 13 лет больше, чем половина возраста Брюса.


    Пример 3: Стелла на 13 лет моложе Кваме.Через девять лет сумма их возрастов будет равна 43. Найдите настоящий возраст каждого из них.

    Эта задача немного отличается от двух предыдущих примеров, поскольку нам дана сумма их возрастов за 9 лет. Но сразу же мы видим, что возраст Стеллы определяется возрастом Кваме. Поэтому мы выберем переменную для представления текущего возраста Кваме. В этом случае давайте использовать «k».

    • Пусть {\textbf{\textit{k}}} = возраст Кваме
    • {\textbf{\textit{k} — 13}} = возраст Стеллы, поскольку она на 13 лет моложе , чем Кваме

    Через девять лет Кваме и Стелла станут на 9 лет старше. Таким образом, мы просто добавим 90 154 к их нынешнему возрасту, указанному выше, к 9 , чтобы показать их будущий возраст.

    • Кваме: k {\color{red}+ 9}
    • Стелла: \left( {k — 13} \right) {\color{red}+ 9} = k — 4

    Заполним нашу таблицу.

    Теперь, когда у нас есть алгебраические выражения для возраста обоих через 9 лет, мы можем сложить этих выражений, чтобы составить наше уравнение. Нам дали следующие реквизиты:

    Через девять лет сумма их возрастов будет 43 .

    Решение:

    Итак, у нас есть

    Возвращаясь к нашему столу, k означает возраст Кваме. Но так как наша задача просила нас найти текущий возраст для обоих, давайте еще немного порешаем.

    ТЕКУЩИЙ ВЕК (настоящее время)

    • Кваме: k = {\textbf{19}} лет
    • Стелла: k — 13 = {\color{red}19} — 13 = {\textbf{6}} лет

    Ответ: Кваме 19 лет и Стелла 6 лет .

    Проверка ответа:

    Теперь проверим, действительно ли сумма возрастов Кваме и Стеллы за 9 лет будет равна 43.

    • Возраст Кваме через 9 лет: k + 9 = {\color{red}19} + 9 = {\textbf{28}}
    • Возраст Стеллы через 9 лет: k — 4 = {\color{red}19} — 4 = {\textbf{15}}

    Отлично! Сумма их возрастов через девять лет составляет 43 года, поэтому наши ответы верны.


    Пример 4: Мистеру Куку 34 года.Его сын моложе его на 22 года. Через сколько лет возраст мистера Кука будет на 24 года меньше, чем в три раза старше его сына?

    Нам уже известен их текущий возраст, поэтому, прежде чем углубляться дальше, давайте начнем заполнять нашу таблицу.

    Обратите внимание, что, поскольку сын на 22 года моложе мистера Кука, мы вычли 22 из 34 , чтобы получить текущий возраст его сына, 34 — {\color{red}22} = 12.

    Эта проблема уникальна, потому что она не спрашивает нас об их возрасте в определенный момент времени, как обычно. Вместо этого он просит нас узнать, сколько лет в будущем возраст мистера Кука будет соответствовать определенному соотношению с возрастом его сына.

    Но на данный момент мы не знаем, сколько времени понадобится мистеру Куку, чтобы быть на 24 года меньше, чем в три раза старше его сына. Итак, давайте назначим неизвестную переменную «x» для обозначения количества лет, затем добавим x к обоим их текущим возрастам, чтобы создать алгебраические выражения, которые будут представлять, сколько им будет лет через x лет.

    Так как г.Возраст Кука через х лет (х + 34) также будет 24 года меньше, чем в три раза старше его сына , мы можем положить эти два алгебраических выражения равными друг другу, таким образом составив наше уравнение.

    Теперь, когда у нас есть уравнение, давайте найдем x.

    Решение:

    Как вы, возможно, помните, х означает количество лет, через которое мистер Кук будет на 24 года меньше, чем в три раза старше своего сына. Следовательно,

    Ответ: В 11 лет г.Возраст Кука будет на 24 года меньше, чем в три раза старше его сына.

    Проверка ответа:

    Чтобы проверить правильность нашего ответа, мы должны сначала узнать, сколько лет будет мистеру Куку и его сыну через 11 лет. Подставляя значение x, равное 11, в наши алгебраические выражения, мы получаем:

    • Возраст мистера Кукса в 11 лет: x + 34 = {\color{red}11} + 34 = {\textbf{45}}
    • Возраст сына в 11 лет: x + 12 = {\color{red} 11} + 12 = {\textbf{23}}

    Итак, через 11 лет г.Куку будет 45 лет, а его сыну — 23 года.

    На этот раз я предоставляю вам проверить, действительно ли за это время его 45-летний возраст будет на 24 года меньше, чем в три раза старше его сына. Если оно удовлетворяет условию, то наш ответ правильный.


    Пример 5: Сумма одной пятой возраста Анники четыре года назад и половины ее возраста через шесть лет составляет 33 года. Сколько ей лет сейчас?

    По сравнению с нашими предыдущими упражнениями, в этой задаче участвует только один человек.Кроме того, вместо сравнения возраста двух людей в определенный момент времени мы будем сравнивать возраст Анники в разные моменты времени, то есть 4 года назад и через 6 лет.

    Нам неизвестен текущий возраст Анники, поэтому давайте выберем переменную {\textbf{\textit{a}}} для представления этого неизвестного значения. Мы также будем использовать эту переменную для создания алгебраических выражений, которые будут обозначать ее прошлый и будущий возраст.

    • Пусть {\textbf{\textit{a}}} = текущий возраст Анники
    • {\textbf{\textit{a} — 4}} = возраст Анники 4 года назад
    • {\textbf{\ textit{a} + 6}} = возраст Анники через 6 лет

    Наша задача также сообщила нам, что если мы сложим \Large{1 \over 5} возраста Анники 4 года назад и \Large{1 \over 2} ее возраста 6 лет спустя , сумма будет 33 .

    Имея эту информацию, нам легко написать наше уравнение.

    Наш следующий шаг — найти неизвестную переменную a.

    Решение:

    Итак, сколько Аннике сейчас лет?

    Ответ: Сейчас Аннике 44 года.

    Проверка ответа:

    Как я уже упоминал ранее, всегда полезно проверить, дали ли вы правильный ответ. Для начала давайте выясним, каковы прошлый и будущий возраст Анники.

    • Возраст Анники 4 года назад : a — 4 = {\color{red}44} — 4 = {\textbf{40}}
    • Возраст Анники Через 6 лет : a + 6 = {\color {red}44} + 6 = {\textbf{50}}

    Теперь, когда мы знаем, сколько ей было лет 4 назад и сколько ей будет через 6 лет, мы подставим эти значения в наш исходный уравнение, чтобы увидеть, равны ли обе части уравнения друг другу.

    Так и случилось! Мы смогли доказать, что сумма \Large{1 \over 5} возраста Анники 4 года назад и \Large{1 \over 2} ее возраста через 6 лет действительно равна 33.


    ЧАСТЬ II. Решаемые задачи о возрасте с двумя переменными

    Пример 6: Сумма возрастов Алии и Харальда равна 28. Через четыре года Алия будет в три раза старше Харальда. Найдите их настоящий возраст.

    Ни возраст Алии, ни Харальда не выражается с точки зрения другого. Итак, для этой задачи мы будем использовать более одной переменной для представления неизвестных значений. Для начала

    • Пусть {\textbf{\textit{a}}} будет возрастом Алии
    • Пусть {\textbf{\textit{h}}} будет возрастом Харальда

    Так как они будут на 4 года старше в следующие 4 лет, нам просто нужно добавить 4 к их текущему возрасту, чтобы представить их будущие возраста.

    Оглядываясь назад на нашу проблему, есть два важных утверждения, которые могут помочь нам найти ответы.

    1) Сумма возрастов Алии и Харальда составляет 28 лет.

    Из этого утверждения мы можем составить следующее уравнение:

    2) Через четыре года Алия будет в три раза старше Харальда.

    Между тем, приведенное выше утверждение можно перевести в следующее уравнение:

    Теперь нам нужно решить два уравнения.

    • Уравнение 2: a + 4 = 3(h + 4)

    Во-первых, мы будем использовать уравнение 1 для решения a.

    Далее мы заменим a на 28 — h в уравнении 2 .

    Отлично! Мы можем найти значения для обеих наших неизвестных переменных, a и h, которые также обозначают нынешний возраст для Алии и Харальда. Итак, у нас есть,

    • Текущий возраст Алии: a = 28 — h = 28 — {\color{red}5} = {\textbf{23}}
    • Текущий возраст Харальда: h = {\textbf{5}}

    Ответ: Сейчас Алии 23 года, а Харальду 5 лет.

    Проверка ответа:

    Я предоставляю вам возможность проверить правильность наших ответов. Но, как вы можете видеть, даже просто используя вычисления в уме, мы уже можем сказать, что сумма возрастов Алии и Харальда равна 28 (23 + 5 = 28), что делает наше первое утверждение верным. Вы можете дополнительно проверить наши ответы, подставив значения a и h в уравнение 2, чтобы проверить, равна ли левая часть уравнения правой, что также делает наше второе утверждение верным.


    Пример 7: Сумма возрастов Джайи и Нади в три раза больше возраста Нади. Семь лет назад Джайя была в три раза моложе, чем в четыре раза, старше Нади. Сколько им сейчас лет?

    Эта проблема аналогична нашему предыдущему примеру. Однако для этого нам не дано точное число для суммы. Сначала нам нужно выяснить каждый из их текущих возрастов, чтобы мы могли определить, какова сумма.

    • Пусть {\textbf{\textit{y}}} будет возрастом Джайи
    • Пусть {\textbf{\textit{n}}} будет возрастом Нади

    Затем нам нужно вычесть 7 из их текущего возраста, чтобы представить, сколько им было лет семь назад.

    Теперь, когда мы упорядочили наши данные, давайте пройдемся по важным утверждениям, данным в нашей задаче, и превратим каждое из них в уравнение.

    1) Сумма возрастов Джайи и Нади в три раза больше возраста Нади.

    2) Семь лет назад Джая была в три раза меньше, чем в четыре, старше Нади.

    Следовательно, наши два уравнения таковы:

    • Уравнение 2: y — 7 = 4(n — 7) — 3

    Давайте сначала сосредоточимся на уравнении 1 и решим для y.

    Теперь найдем n, используя значение y из уравнения 1. Мы сделаем это, заменив y на 2n в уравнении 2 .

    Взяв значения y и n, мы имеем:

    • Настоящий возраст Джайи: y = 2n = 2({\color{red}12}) = {\textbf{24}}
    • Настоящий возраст Нади: n = {\textbf{12}}

    Итак, идем вернемся к нашей проблеме. Сколько им сейчас лет?

    Ответ: Джайе 24 года, а Наде 12 лет.

    Проверка ответа:

    Чтобы проверить наши ответы, мы заменим значения y и n в уравнении 1 и уравнении 2. Опять же, я оставляю на ваше усмотрение решить оба уравнения и проверить, равна ли каждая часть уравнения другой. Как только вы закончите со своими решениями, вы увидите, что мы можем доказать, что оба утверждения из нашей задачи верны.


    Пример 8: Разница в возрасте Пенелопы и ее сына Зака ​​составляет 34 года. Через шесть лет Пенелопа будет в четыре раза старше Зака ​​два года назад. Сколько им сейчас лет?

    Легко потеряться во всей предоставленной информации, поэтому сначала мы сосредоточимся на присвоении переменных, которые будут обозначать неизвестные значения.

    • Пусть {\textbf{\textit{p}}} будет текущим возрастом Пенелопы
    • Пусть {\textbf{\textit{z}}} будет текущим возрастом Зака ​​

    Уникальность этой задачи в том, что она включает три разных момента времени. Нам дана не только связь между Пенелопой и возрастом ее сына в настоящее время, но и то, как их возраст через 6 лет соотносится с их возрастом два года назад.

    Чтобы показать это, мы вычтем 2 из их возраста сейчас для их возраста 2 года назад, затем добавим 6 к их текущему возрасту для их возраста 6 лет спустя.

    Отлично! Теперь у нас есть переменные и алгебраические выражения для представления текущего возраста Пенелопы и Зака, а также их возраста в прошлом и будущем. Двигаясь вперед, давайте рассмотрим важные детали, данные в задаче, и создадим уравнение из каждого утверждения.

    1) Разница в возрасте Пенелопы и ее сына Зака ​​составляет 34 года .

    Помните, что Пенелопа — мать Зака, поэтому она определенно старше его. Поэтому мы вычитаем возраст Зака ​​из возраста Пенелопы, чтобы найти разницу.

    2) Через шесть лет Пенелопе будет в четыре раза больше, чем Заку два года назад.

    Вот наши два уравнения:

    • Уравнение 2: p + 6 = 4(z — 2)

    Давайте теперь поработаем над уравнением 1 , чтобы решить для p.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск