Отношение. Процентное отношение двух чисел

Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отношение можно записать как арифметическое действие «деление», а можно как обыкновенную дробь.

\(a:b=\frac{a}{b}\) – так записывают отношение чисел a и b, причем, а – предыдущий член, b – последующий член.

Например: отношение 75 к 25 можно записать в виде: \(75:25=\frac{75}{25}=3\).

Отношение двух чисел показывает:

• во сколько раз одно число больше другого;
• какую часть одно число составляет от другого.

Процентное отношение

Правило. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на 100.

Например: вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400.

По правилу: \(52:400\cdot100\%=13 \%\).

Обычно такие отношения встречаются в задачах, когда величины заданы, а нужно определить, на сколько процентов вторая величина больше или меньше первой (в вопросе задачи: на сколько процентов перевыполнили задание; на сколько процентов выполнили работу; на сколько процентов снизилась или повысилась цена и т. д.).

Примеры.

Задача 1. Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?

1-й вариант

Решение:

1 200 изделий – это план завода, или 100% плана.

1) Сколько изделий изготовил завод сверх плана?

2 300 – 1 200 = 1 100 (изд.)

2) Сколько процентов от плана составят сверхплановые изделия?

1 100 от 1 200 \(\Rightarrow\ 1100:1200\cdot100\%=91,7\%\).

2-й вариант

Решение:

1) Сколько процентов составляет фактический выпуск изделий по сравнению с плановым?

2 300 от 1 200 \(\Rightarrow\ 2300:1200\cdot100\%=191,7\%\).

2) На сколько процентов перевыполнен план?

\(191,7\%-100\%=91,7\%\).

Ответ: на 91,7%.

Задача 2. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти отношение (частное) вспаханной части участка ко всей площади участка и выразить его отношение в процентах:

\(150:500\cdot 100\%=\frac{150}{500}\cdot 100\%\ \)\(=\frac3{10}\cdot 100\%=0,3\cdot 100\%=30\%\).

Таким образом, мы нашли процентное отношение, то есть сколько процентов одно число (150) составляет от другого числа (500).

Задача 3. Рабочий изготовил за смену 45 деталей вместо 36 по плану. Сколько процентов фактическая выработка составляет от плановой?

Решение:

Для ответа на вопрос задачи надо найти отношение (частное) числа 45 к 36 и выразить его в процентах: \(45:36\cdot 100\%=1,25\cdot 100\%=125\%\).

itest.kz

Процентное отношение двух чисел

Тема: Процентное отношение двух чисел.

Цель: сформировать представление о содержании понятия процентное отношение двух чисел и выработать умение находить процентное отношение двух чисел а так же решать задачи, которые предусматривают данное действие.

Тип урока: усвоение знаний, умений, навыков.

Ход урока

1. Актуализация опорных знаний

— Начнем наш урок с легкой интеллектуальной разминки

Устные упражнения

1. На магнитной доске лежат четыре числа: 3, 4, 6, 8 (15, 18, 10, 12). Составить из них пропорцию

2. Найдите неизвестный член пропорции (крайние, средние члены пропорции, основное свойство пропорции):

а) х:2=3:11 (6/11)

б) (8)

3. Выразите в процентах числа: ; 0,01; ; 0,4; 0,17;

4. Найдите отношения чисел: 15 к 5; 10 к 30; 7 к 2. Что показывает каждое из этих отношений?

5. Цена товара: а) снизилась на 30%; б) повысилась на 10%. Сколько процентов от начальной цены она составляет?

6. Решить задачу:

Пусть дано число 60. Как разделить его на II части пропорциональные числам 1 и 5?

2. Усвоение знаний

1. Мотивация:

На данном уроке ученики знакомятся с третьим типом задач на проценты – задачами на нахождение процентного отношения двух чисел. Т.к. нахождение процентного отношения двух чисел является самым распространенным способом оценки изменений, происходящих в нашей жизни, то для мотивации лучше всего использовать фактический материал.

2. Усвоение новых знаний

Задача 1. В 6 классе учится 12 человек, из которых 3 отсутствовали на последнем уроке. Какую часть составляют эти ученики от всех учеников класса?

Решение. Понятно, что число, которое мы ищем, — отношение 3 к 12:

3:12===0,25

Ответ: 0,25

Задача 2. В 6 классе учится 12 человек, из которых 3 отсутствовали на последнем уроке. Сколько процентов всех учеников составляют отсутствующие?

Решение. Из первой задачи имеем:

3 от 12 составляет 0,25, но 0,25=25%

Ответ: 25%

Вывод:

Процентное отношение двух чисел

a от b составляет

3. Формирование умений

1. Мультики-задачи (решаем и обговариваем 2 задачи с конспектом их в тетради)

2. Решение задач по учебнику № 698, №704

№ 698 а)

б)

в)

г)

№ 704 раствор 4кг+1кг=5кг

3. Заполните пустые клетки таблицы

Решение таблицы

4. Масса ящика с печеньем 11,5 кг. Масса печенья 9,2 кг. Сколько процентов составляет масса пустого ящика от массы ящика с печеньем?

Решение. 11,5-9,2=2,3(кг) масса пустого ящика

Ответ: 20%

4. Итог урока:

Блицтест

1. 4 от 16 составляет:

а) 40% ; б) 16 %; в) ; г) 25%.

2. Разность чисел 5 и 2 составляет от числа 5:

а) 3%; б); в) 60%; г)

5. Домашнее задание № 700, №703, №705

infourok.ru

Конспект урока математики «Процентное отношение двух чисел.»

Урок математики в 6 классе

Урок №4

Тема: Процентное отношение двух чисел

.

Цель: Формировать понятие процентного отношения двух чисел.

Отрабатывать практические умения и навыки вычисления процентов.

Развивать познавательный интерес к вычислению процентов.

Воспитывать способность анализировать, сравнивать, обобщать.

Тип: урок усвоения новых умений и навыков.

Оборудование: таблица, раздаточный материал .

Структура урока

-Организационный момент(1 мин.)

-Мотивация обучения(2мин.)

—Актуализация опорных знаний.(5мин.)

—Изучение нового материала(5мин.)

—Решение задач. Физкультминутка.(15мин.)

—Математический тренинг.(5мин.)

—Подведение итогов. Рефлексия.(8мин.)

—Задание на дом.(4мин.)

Ход урока.

I.Организационный момент.

Проверить подготовку учащихся к уроку, наличие раздаточного материала.

II.Мотивация обучения.

Мы изучали тему ,,Проценты’’ в 5 классе. Научились находить проценты от числа, находить число по его проценту. Эти знания позволяют нам продвинуться в решении задач. Сегодняшний урок посвящен решению задач на нахождение процентного отношения чисел. Такие задачи нам приходится решать в жизни каждый день. Учебный день в школе начинается с вопроса Сколько процентов учащихся отсутствуют в классе?

Как ответить на этот вопрос? (Применяю прием интерактивного обучения ,,Круг идей” Целью приема есть вовлечение всех к обсуждению проблемы. Группы высказываются по очереди, пока не будут исчерпаны все варианты ответов, на доске составляется список предложенных идей, обобщаются высказанные мысли, делаются выводы.)

III. Актуализация опорных знаний.

Вспомним сведения из 5 класса.

1.Что называется процентом?

Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть метра -сантиметром, сотую часть гектара — аром или соткой. Принято называть сотую часть величины или числа процентом. Значит одна копейка — один процент от одного рубля, а один сантиметр — один процент от одного метра, один ар — один процент гектара, две сотых — один процент от числа два. Сотая часть метра — это сантиметр, сотая часть рубля — копейка, сотая часть центнера — килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название — процент ( от латинского «по-центум» — на сто ). Значит, одна копейка — один процент от одного рубля, а один сантиметр — один процент от одного метра.

ОДИН ПРОЦЕНТ — ЭТО ОДНА СОТАЯ ДОЛЯ ЧИСЛА.

Математическими знаками один процент записывается так: 1%. Записи 2%, 4% читают: ( Два процента ), ( Четыре процента)

2. Прочитайте предложение » К 15 апреля вспахано 93% пахотных земель «,

» Производительность труда повысилась на 4% «,

» Цены снижены на 30% «.

Определение одного процента можно записать равенством:

1% = 0,01 ; а%=0,01*а.

Каждый быстро сообразит, что 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

3.Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Задача2. Тракторист вспахал 1,32 кв. км пашни. Это составило 60% всей площади, которую должен вспахать. Какова вся площадь, которую ему нужно вспахать?

Решение: Давайте рассуждать. Вся площадь нам не известна. Обозначим ее буквой X . Мы знаем, что 60% от числа X составляет 1,32.

Значит, сначала проценты нужно заменить десятичной дробью, а затем записать уравнение X * 0,60 =1,32. Решая его, получаем, что Х = 1,32/0,60 = 2,2 (кв. км)

Что же мы сделали, чтобы найти X? Во-первых, заменили проценты десятичной дробью, во вторых, разделили данное нам число на получившуюся десятичную дробь.

Конечно, площадь и число процентов в этой задаче могли быть другими. Но путь решения останется прежним. Значит, можно сформулировать правило:

Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна 100%.

Задача №1: Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Решение: Так как 1200 костюмов — это 100% выпуска, то, чтобы найти 1% выпуска, надо 1200 разделить на 100. Получим, что 1200:100=12, значит, 1% выпуска равен 12 костюмов. Чтобы найти, чему равны 32% выпуска, надо умножить 12 на 32. Так как 12*32=384, то фабрика выпустила 384 костюма нового фасона.

Задача №2: За контрольную работу по математике 12 учеников получили отметку «5», что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?

Решение: Сначала узнаем, чему равен 1% всех учеников. Для этого разделим 12 на 30. Так как 12:30=0,4, то 1% равен 0,4. Чтобы узнать, чему равны 100% надо умножить 0,4 на 100. Так как 0,4*100=40 учеников.

IV. Изучение нового материала.

Задача—рассказ.

Всем нам приходилось пить чай из чашек разного размера, при этом сахар каждый добавляет по своему вкусу, добиваясь привычного ощущения сладости независимо от емкости посуды. Например, если ты каждое утро выпиваешь250г чая, в котором растворено3 ложки сахара, то есть 30г, то отношение 30/250, которое равно 3/25, и будет характеризовать твой ,,сахарный вкус”.

Число 3/25 показывает какую часть от массы напитка составляет масса сахара. А если ты захочешь выпить 400г чая, то, чтобы он был привычного вкуса, в нем должно быть растворено 400*3/25=48(г) сахара.

Запишем в процентах: 3/25=0,12=121%. Число 12 показывает, сколько процентов в выпитом чае составляет сахар. Это число называют процентным отношением массы сахара к массе чая.

Процентное отношение двух чисел — это их отношение, выраженное в процентах. Оно показывает, сколько процентов одно число составляет от другого.

V. Решение задач.

(Эвристическая беседа).

Пример решения задачи на проценты.

Задача1. Токарь вытачивал за 1 час 40 деталей. Применив резец из сверх прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: И так чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40.

Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах — 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Итак, чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов .

Задача №3: Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

|способ.

Решение: Картофелем засажено 558 /1800 всего поля. Обратим дробь 558/1800 в десятичную. Для это разделим 558 на 1800. Получим 0,31. Значит, картофелем засажена 31 сотая всего поля. Каждая сотая равна 1% поля, поэтому картофелем засажен 31% всего поля.

11 способ.

1800га — 100%

558га — х%..

Отношения 1800/100 и 558/х равны, поскольку каждое из них показывает, сколько га приходится на 1%.

Тогда имеем:

1800:100=558:х, х=558*100/1800=31%.

Ответ: 31%.

№652. Учебник Математика-6 А.Г.Мерзляк.

1)(6-3)/3*100=100% увеличилось , 4)(80-72)/80*100=10% уменьшилось,

2)(3-2)/2*100=50%увеличилось, 5)(115-100)/100*100=15%увеличилось,

3)(70-40)/40*100=75%увеличилось, 6)(60-42)/60*100=30%уменьшилось.

Ответ:100%, 50%, 75%, —10%, 15%, —30%.

Знак ,,– “впереди числа процентов будет означать, что значение величины уменьшилось, а ,,+” значение увеличилось.

Итак, чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:

1)на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина,

2)сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины.

• На сколько процентов А больше, чем в( формула ответа : )

• На сколько процентов А меньше, чем В?(формула ответа: )

Чтобы привить навык быстрого решения выше приведенных типов задач, предлагаю учащимся упражнение со следующей тренинг – таблицей Заполнив таблицу, учащийся сравнивает свой результат с таблицей ответов к тренинг — таблице и вычисляет процент своих правильных ответов. По этому проценту и по продолжительности работы учащийся может сам себе выставить оценку согласно следующей рейтинг — таблице.

Эту таблицу каждый ученик заполняет самостоятельно или работают в парах.

Математический тренинг.

Тренинг—таблица.

А

В

Сколько % составляет А от В

Сколько % составляет В от А

На сколько % А больше, чем В

На сколько % В больше, чем А

На сколько % А меньше, чем В

На сколько % В меньше, чем А

1

2

4

1

4

5

15

20

50

10

Ответы к тренинг—таблице.

А

В

Сколько % составляет А от В

Сколько % составляет В от А

На сколько % А больше, чем В

На сколько % В больше, чем А

На сколько % А меньше, чем В

На сколько % В меньше, чем А

1

2

50

200

-50

100

50

-100

4

1

400

25

300

-75

-300

75

4

5

80

125

-20

25

20

-25

15

20

75

133

-25

33

25

-33

50

10

500

20

400

-80

-400

80

.

VI.Подведение итогов урока. Рефлексия.

Обратитесь к плану урока.

Что вы узнали сегодня на уроке?

Чему вы научились сегодня на уроке?

Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?

Труднее всего мне сегодня показалось, когда…, и все-таки (благодаря тому что…).

Учитель отмечает работу каждого учащегося, мотивирует выставленные оценки.

VII.Задание на дом: выучить п.21, решить№649.

infourok.ru