Задачи на закон сложения скоростей: Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей»

Содержание

Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей»

Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей»

Подробности
Просмотров: 899

«Физика — 10 класс»

При решении задач на эту тему прежде всего надо грамотно выбрать тело отсчёта, с которым связать неподвижную систему координат. Затем выбрать тело отсчёта, движущееся относительно первого, и связать с ним подвижную систему координат. В этих двух системах рассмотреть движение тела и записать закон сложения скоростей.

Задача 1.

Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость первого равна 80 км/ч, а скорость второго — 60 км/ч. Определите скорость второго поезда относительно первого.

Р е ш е н и е.

Обозначим скорость первого поезда относительно земли через 1, а скорость второго поезда — через 2. Тогда согласно закону сложения скоростей (1.9)

2 = ‘2 + 1

,

где ‘2 — искомая скорость второго поезда относительно первого. Отсюда

2 = 21.

Это сложение скоростей поясняется на рисунке 1.21. Из рисунка видно, что скорость второго поезда относительно первого направлена в сторону, противоположную направлению движения поездов, и второй поезд удаляется от первого. Проекция скорости ‘2 на ось ОХ равна

υ’2 = υ2 — υ1 = -20 км/ч.

Задача 2.

Скорость течения реки υ = 1,5 м/с. Определите модуль скорости υ1 катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью υ2 = 2 м/с относительно его.

Р е ш е н и е.

Согласно закону сложения скоростей (1.9)

2 = 2 — .

Отсюда скорость катера относительно воды

1 = 1 + .

Векторное сложение скоростей и 2 показано на рисунке 1. 22.

Так как полученный треугольник скоростей прямоугольный, то 1 = 2,5 м/с.

Задача 3.

Самолёт, скорость которого относительно воздуха равна 300 км/ч, летит на север. Внезапно подул северо-западный ветер со скоростью 100 км/ч относительно земли. Определите, под каким углом к направлению на запад лётчик должен направлять самолёт, чтобы продолжать лететь на север, и чему при этом будет равна скорость самолёта относительно земли.

Р е ш е н и е.

Свяжем неподвижную систему отсчёта с землёй, а подвижную — с воздухом. Тогда согласно закону сложения скоростей скорость 2 самолёта относительно земли равна сумме скоростей ‘

2 самолёта относительно воздуха и ветра относительно земли:

2 = ‘2 +         (1)

На рисунке 1.23 показаны скорость ветра, скорость 2 самолёта и скорость ‘2 самолёта относительно земли. Мы направляем скорости так, чтобы проекции скорости самолёта относительно ветра и скорости ветра на оси ОХ были равны по модулю и направлены в противоположные стороны: ‘2x = —x. Соответственно

2cosα = cos45°. (2)

В проекции на ось OY уравнение (1) запишем в виде 2y = ‘2y + y.

Тогда 2y = ‘2sinα — sin45°, это искомая скорость самолёта.

Из уравнения (2) найдем угол α:

Подставим числовые значения: α = 76°.

Из уравнения (3) выразим sinα:

Скорость самолёта

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский



Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Физика и познание мира — Что такое механика — Механическое движение. Система отсчёта — Способы описания движения — Траектория. Путь. Перемещение — Равномерное прямолинейное движение. Скорость. Уравнение движения — Примеры решения задач по теме «Равномерное прямолинейное движение» — Сложение скоростей — Примеры решения задач по теме «Сложение скоростей» — Мгновенная и средняя скорости — Ускорение — Движение с постоянным ускорением — Определение кинематических характеристик движения с помощью графиков — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением» — Движение с постоянным ускорением свободного падения — Примеры решения задач по теме «Движение с постоянным ускорением свободного падения» — Равномерное движение точки по окружности — Кинематика абсолютно твёрдого тела.

Поступательное и вращательное движение — Кинематика абсолютно твёрдого тела. Угловая скорость. Связь между линейной и угловой скоростями — Примеры решения задач по теме «Кинематика твёрдого тела»

Относительность движения. Закон сложение скоростей

Ничто не мешает человеку завтра

стать умнее, чем он был вчера

П.Л. Капица

Данная тема будет посвящена решению задач на относительность движения и классический закон сложения скоростей.

Задача 1. Скорость катера относительно воды составляет 18 км/ч, а скорость течения реки 2 м/с. С какой скоростью катер движется против течения реки? Определите его перемещение за 20 мин движения.

ДАНО:

СИ

РЕШЕНИЕ:

Согласно закону сложения скоростей:

υ — скорость катера относительно берега реки.

Проекции скоростей на ось Ох:

Т.к. движение катера равномерное, то:

Ответ: υ = 3 м/с; sx = 3600 м.

Задача 2. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями 15 м/с и 22 м/с. Машинист первого поезда замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 6 с. Определите длину второго поезда.

 

ДАНО:

РЕШЕНИЕ:

Согласно закону сложения скоростей:

Тогда

В проекциях на ось Оx’:

Уравнение движения хвоста поезда:

В момент времени  t = t1

Откуда

Ответ: 222 м.

Задача 3. Два пешехода движутся со скоростями υ1 и υ2 под углом α друг к другу. Определите скорость второго пешехода относительно первого.

ДАНО:

РЕШЕНИЕ:

Запишем закон сложения скоростей в векторном виде

Тогда

В проекциях на оси координат xОy’:

Теперь, зная проекции вектора скорости второго пешехода относительно первого, находим его модуль, который определяется как квадратный корень из суммы квадратов его проекций

 

Задача 4. Рыбак на лодке плывет против течения реки. Проплывая под мостом, он теряет поплавок, но продолжает грести дальше. Через 12 мин после потери рыбак поворачивает и плывет обратно. На расстоянии 1,5 км от моста ниже по течению реки он догоняет свой поплавок. Определите скорость течения реки.

ДАНО:

СИ

 

РЕШЕНИЕ:

Очевидно, что, в выбранной системе отсчета, поплавок и рыбак начали свое движение одновременно. Одновременно и закончили. Время, которое затратил поплавок на свое движение по течению реки, равно времени, которое затратил рыбак, двигаясь сначала против течения реки, а затем по ее течению до момента встречи с поплавком:

t1 — все время движения рыбака;

t2 —время движения поплавка.

Очевидно, что поплавок плывет по реке со скоростью, равной скорости течения реки. Тогда время движения поплавка можно записать в виде отношения пройденного им пути к скорости течения реки:

Время движения рыбака складывается из его времени движения против течения и времени движения по течению реки

Время движения рыбака против течения

где l — расстояние от моста до точки поворота рыбака:

Время движения рыбака по течению:

Запишем закон сложения скоростей

Скорость рыбака по течению реки:

Скорость рыбака против течения реки:

Или

Все время движения рыбака:

Время движения поплавка:

Так как время движения поплавка и время движения рыбака на лодке одинаково, то:

2 способ:

Решим эту же задачу, но уже в рамках непривычной, подвижной системы отсчета, которую свяжем с поплавком.

Относительно этой системы отсчета скорость рыбака и против течения, и по течению реки одинакова и равна его скорости в стоячей воде

Время движения рыбака:

Время движения поплавка:

Тогда скорость течения реки:

Ответ: 1 м/с.

Решение задач на закон сложения скоростей. Часть 3.

Рассмотрим решение ещё одной задачи по этой теме.

Задача 1.

Легковая машина и грузовик движутся по перпендикулярным дорогам к перекрёстку. С какой скоростью эти машины сближаются, если скорость легковой машины по спидометру 72 км/ч, а спидометр грузовой машины показывает 36 км/ ч.?

В качестве неподвижной системы отсчета оставляем дерево, растущее рядом со светофором, за подвижную систему отсчета возьмём грузовую машину.

Тогда:

скорость легковой машины (Тела) Относительно Подвижной системы отсчета (грузовой машины) (ϑтоп), скорость с которой легковая машины приближается к грузовой,

скорость легковой машины  относительно Земли (дерева) – скорость легковой машины (Тела) Относительно неподвижной системы отсчета (Земли) (ϑтоз = 72 км/ч). Эту скорость показывает спидометр – прибор, для измерения скорости, есть в каждой машине,

скорость грузовой машины – скорость Подвижной системы отсчета (грузовой машины) Относительно неподвижной (Земли) (ϑпоз = 36 км/ч). Эту скорость показывает спидометр грузового автомобиля.

Запишем условие, сделаем чертёж к этой задаче и запишем закон сложения скоростей в векторном виде. Из вопроса задачи видно, что нам надо найти одно из слагаемых – скорость сближения машин ϑтоп  (см. рисунок ниже)

Вектор искомой скорости – разность векторов скоростей ϑтоз  и ϑпоз.

Построим разность векторов.

Видим, что искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются вектора исходных скоростей.

Длину гипотенузы находим по теореме Пифагора.

ϑтоп =  √ (/ϑтоз/2 + /ϑпоз/2)

ϑтоп =  √ (202+ 102) = √ (400 + 100) = √500 = 10√5 м/c

Ответ:  скорость сближения машин ϑтоп = 10√5 м/c

Вот и всё:)  Нет ничего сложного в решении задач подобного рода.

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на закон сложения скоростей?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

НАЧАЛА ФИЗИКИ


Это значит, что векторы скорости тела по отношению к разным наблюдателям связаны правилом векторного сложения, то есть образуют треугольник скоростей. Из этого треугольника можно «геометрически» найти величины скоростей или углы между векторами, если заданы три параметра, характеризующих треугольник: три скорости, две скорости и угол, одна скорость и два угла. Можно также найти третий угол, если заданы два. Можно также найти перечисленные величины «алгебраически». Для этого нужно спроецировать соотношение (3.14) на координатные оси (выбор которых определяется соображениями простоты и удобства), и получить уравнения, связывающие величины скоростей и углы (которые входят в выражения для проекций через тригонометрические функции). Решение этих уравнений и позволяет найти неизвестные величины скоростей и углы.

Основная трудность в реализации этой программы связана, как правило, с точным пониманием того, какие скорости заданы в условии, и как их связывает закон сложения скоростей. Поэтому мы советуем до решения задачи записать словами – «это скорость какого тела относительно какого». Затем с использованием общей формулировки закона сложения скоростей следует построить треугольник сложения скоростей, введя неизвестный вектор (векторы), а затем геометрически или алгебраически найти неизвестные параметры треугольника скоростей.

Вторая возможность, которую дает закон сложения скоростей, – это «правильный» взгляд на задачу, максимально упрощающий решение. Это значит, что при решении задачи может оказаться удобным рассмотреть исследуемый процесс не в той системе отсчета, в которой поставлена задача, а в некоторой другой (как в задаче с катерами и плотом). Тогда нужно перейти в эту систему отсчета, то есть найти скорости всех тел в ней, используя закон сложения скоростей. Затем следует рассмотреть задачу в этой системе отсчета, найти необходимые величины, а затем (часто снова с использованием закона сложения скоростей) пересчитать найденные величины к той системе отсчета, в которой задача поставлена.

Такой подход является абсолютно необходимым, когда рассматривается движение лодки в текущей воде (распространенная группа задач). Основная идея рассмотрения этого движения заключается в переходе в систему отсчета, связанную с текущей водой. В этой системе отсчета величина скорости лодки не зависит от направления вектора скорости (вода же стоит – «озеро»!) и определяется мощностью мотора лодки.

45/597

О методике решения задач на относительность

О методике решения задач на относительность движения при изучении основ кинематики в 9 классе общеобразовательной школы

Антощук Л.Г.

Одним из сложных и недостаточно разработанных вопросов методики физики является методика решения задач на относительность движения. Анализ специальной литературы и имеющийся практический опыт убеждают в том, что учащиеся школы и студенты не умеют решать задачи на относительность движения. В методических пособиях предлагается преимущественно логические приемы решения, иллюстрируемые иногда рисунками.

Я предлагааю способ решения задач на относительность движения, который позволяет конкретизировать представления учащихся о законе сложения скоростей и перемещений, о понятии неподвижной системы отсчета (НСО) и подвижной системы отсчета (ПСО). Учит определять скорости, перемещения тел относительно различных систем отсчета (СО) и другие величины, убеждает в относительности скорости и перемещения тел.

Сущность предлагаемого способа решения задач сводится к следующему алгоритму:

Анализ условия задачи, выделение движущихся тел. Краткая запись условия задачи. Определение неподвижной и подвижной системы отсчета (НСО и ПСО), движущегося тела.

Записать закон сложения скоростей или перемещений в векторной форме.

Изобразить графически параметры заданных движений, при этом выбрать начальный момент времени и совместить начало НСО и ПСО.

Отобразить на графике, который строится под первоначальным, изменение величин, описанных в задаче со временем.

Сравнение закона сложения скоростей (перемещений) и графика.

Записать закон сложения скоростей (перемещений) в проекциях на оси координат, объединив их в систему (или найти геометрическую сумму путем сложения векторов).

Решить полученную систему уравнений. Подставить в решение общего вида значения величин и произвести вычисления.

На примерах решения типовых задач на относительность движения покажем применение данного способа решения.

Задача № 1.

Два поезда движутся равномерно друг за другом. Скорость первого 80 км/ч, а второго 60 км/ч. Какова скорость второго поезда относительно первого ?

1. Первый и второй поезда движутся относительно Земли с некоторыми скоростями. Скорость первого поезда V, скорость второго V2 (жирным шрифтом обозначены векторные величины).

Дано: Решение:

V = 80 км/ч За НСО примем Землю, за ПСО – первый поезд.

V2 = 60 км/ч Скорость ПСО относительно НСО – V.

V1 — ? Движущимся телом является второй поезд.

Скорость движущегося тела относительно НСО – V2.

Неизвестная скорость второго поезда относительно первого (ПСО) – V1.

2

рис.1


. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда относительно ПСО и скорости ПСО относительно НСО.

3. Систему координат XY свяжем с Землей (НСО).

Систему координат X Y параллельную XY свяжем с первым поездом (ПСО)

В начальный момент времени (t = 0) совместим НСО и ПСО.

4. Через t = 1 час положение ПСО (первого поезда) изменится на расстояние, равное 80 км, а второго поезда, относительно НСО окажется на расстоянии 60 км.

рис. 2

5. Соотнесем график и формулу закона сложения скоростей V2 = V + V1. Убеждаемся в том, что обе формы отражения закона совпадают.

6. Для вычисления скорости второго поезда относительно первого найдем проекции и запишем:

V2x = Vx + V1x

V2y = Vy + V1y

V2 = V — V1

-V1 = V2 – V

V1 = V – V2

V1 = 80 км/ч — 60 км/ч = 20 км/ч

Ответ: скорость второго относительно первого поезда равна 20 км/ч.

Задача №2

Скорость течения реки V= 1,5 м/с. Каков модуль скорости V1 катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью V2 = 2 м/с относительно него.

1. Дано:

V= 1,5 м/с За НСО примем берег реки,

V2 = 2 м/с за ПСО – реку (скорость течения реки V),

V

рис. 3


— ? движущееся тело – катер.

2. Закон сложения скоростей V2 = V + V1. Скорость катера относительно НСО (берега реки) равна геометрической сумме скорости катера относительно ПСО (течения реки) и скорости течения реки.

3. Свяжем НСО с системой координат XY, а ПСО с системой координат X`Y`. Ось OX направим вдоль берега, а ось OY поперек реки (O`X` и O`Y` соответственно).

рис. 4

4.

5. Сравним закон сложения скоростей и графика. Для простоты решения найдем геометрическую сумму векторов скорости.

6. Так как полученный треугольник прямоугольный, то

Ответ: модуль скорости катера относительно реки 2,5 м/с.

Задача № 3

Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 72 и 54 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 14 с. Какова длина второго поезда ?

1. Дано:

V1 =72 км/ч =20 м/с Так как движение поездов можно считать равномерным,

V2 = 54 км/ч = 15 м/с то длину второго поезда можно найти по формуле

l — ? l = V21 t, где V21 – скорость второго поезда относительно первого поезда. Значит, для определения l необходимо найти V21.

Примем за НСО Землю, а за ПСО – первый поезд, движущееся тело – второй поезд. V2 скорость второго поезда относительно НСО. Скорость ПСО — V1.

рис. 5

2. Закон сложения скоростей V2 = V2 1 + V1. Скорость второго поезда относительно НСО равна геометрической сумме скорости второго поезда относительно ПСО (первого поезда) и скорости ПСО (первого поезда).

3. 4.

рис.6

5. На графике V2 и V2 1 направлены в одну сторону, а V1 в противоположную,

тогда -V2 = V1 — V21

6 V2 1 = V1 + V2

l

рис.7


= (V1 + V2) t

l = (20 м/с + 15 м/с) 14 с = 490 м.

Ответ: длина второго поезда 490 м.

Задача № 4

Катер, двигаясь против течения реки, проплывает около стоящего на якоре буя и встречает там плот. Через 12 минут после встречи катер повернул обратно и догнал плот на расстоянии 800м ниже буя. Найти скорость течения реки.

Дано:

t = 12 мин = 720с НСО свяжем с буем, ПСО – плот (движущийся со скоростью

S = 800 м течения реки V0), движущееся тело – катер.

V0 — ? Скорость катера относительно НСО – V,

а относительно ПСО – V1.

Закон сложения скоростей для катера, движущегося по течению и против течения реки, в геометрической форме совпадает: V = V0 + V1. Скорость катера относительно НСО равна геометрической сумме скорости ПСО (течения реки) и скорости катера относительно ПСО.

Найдем скорость катера, двигающегося против течения реки

V = V0 + V1

— V = V0 — V1

V = V1 — V0

Аналогично найдем скорость катера, двигающегося по течению реки

V = V0 + V1

V = V0 + V1

Запишем уравнения движения плота и катера:

Sпл. = V0  t

Sк= S1 — S2 , где S1 – расстояние, пройденное катером по течению,

S2 – расстояние, пройденное катером против течения.

Sпл. = V0t

Sк = -( V1 — V0 )  t1 + (V0 + V1)  (t – t1)

Расстояние, пройденное катером от буя до того места, где катер догнал плот, равно расстоянию пройденному плотом, то есть Sпл = Sк, то

рис. 10


V0  t = -( V1 — V0 )  t1 + (V0 + V1)  (t – t1)

V0  t = — V1 t1 + V0  t1 + V0  t + V1  t – V0  t1 — V1 t1

V1 t = 2 V1 t1

t = 2 t1

Ответ: скорость течения реки 0,55 м/с.

Задача № 5

Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины ? Какой путь за это время пройдет мотоциклист относительно Земли ?

Дано:

l = 2 км. Примем за НСО землю,

V1 = 40км/ч за ПСО – колонну, движущееся тело – мотоциклиста.

V2 = 60 км/ч Время, за которое мотоциклист догонит головную

t` — ? Sм.з. — ? машину , где V2 1 – скорость мотоциклиста

относительно ПСО (колонны). .

2. Закон сложения скоростей для данной задачи запишем в виде: V2 = V1 + V2 1. Скорость мотоциклиста относительно НСО равна геометрической сумме скорости колонны и скорости мотоциклиста относительно колонны.

3

рис. 11


. Отразим на рисунке – чертеже процесс, описанный в условии задачи.

Обозначим колонну прямоугольником, и совместим её конец (начало ПСО) с началом НСО в начальный момент времени (t = 0).

Укажем скорости V1 и V2 (рис. а).

4. Отразим геометрически закон сложения скоростей, выяснив, что произойдет через 1 час.

5. Сравним чертеж и формулу закона. Убедимся, что V2 = V1 + V2 1 соответствует геометрическому чертежу (рис. б).

6. Найдем проекции скоростей и вычислим время t` .

V2 = V1 + V2 1

V2 1 = V2 — V 1

Определить путь можно алгебраически по известной формуле ( S. =V t) и проиллюстрировать чертежом (рис. в, г ) при t = t1=0,1 ч.

По закону сложения перемещений Sм.з = Sк.з. + Sм.к

где Sм.з – перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно Земли

Sм.к. — перемещение мотоциклиста за 0,1 часа относительно колонны,

Sк.з. – перемещение колонны за 0,1 часа относительно Земли.

Произведя вычисления Sм.з = 6 км.

Ответ: через 0,1 часа мотоциклист достигнет головной машины колонны, при этом пройдет путь 6 км.

Задача № 6

Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нем пассажира в течение 1 мин. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 мин. Сколько времени будет подниматься идущий вверх пассажир по движущемуся эскалатору ?

Дано:

tэ.з. = 1 мин. =60 с. Примем за НСО – Землю, за ПСО – эскалатор,

tч. э. = 3 мин. = 180 с движущееся тело – человек.

tч.з. – ? tэ.з. – время движения эскалатора относительно НСО,

tч.э. – время движения пассажира относительно ПСО,

tч.з. – время движения пассажира относительно НСО.

2. Запишем закон сложения скоростей Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.. Скорость человека относительно НСО (идущего вверх по движущемуся эскалатору) равна геометрической сумме скорости эскалатора относительно НСО и скорости человека относительно ПСО ( неподвижному эскалатору).

3

рис. 12

рис. 13


.

4.

5. Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.

Vч.з. = Vэ.з.. + Vч.э.

— скорость движения человека относительно эскалатора, — скорость движения эскалатора относительно Земли, — скорость движения человека относительно Земли. Подставив в полученную формулу, получим:

Так как путь, пройденный человеком один и тот же, то

, ,

Ответ: пассажир идущий вверх по движущемуся эскалатору поднимется за 45 с.

Примерные вопросы к учащимся (студентам) по анализу и решению задач на относительность можно сформулировать следующим образом.

Движение каких тел рассматривается в задаче ?

Что известно о движущихся телах ?

С какими телами можно связать подвижную и неподвижную системы отсчета ?

Какой момент времени можно принять за начальный ?

Как на чертеже отразить начальные условия состояния тел ?

Как записать закон сложения скоростей (или перемещений) для данной задачи ?

В какой точке чертежа (графика) будет находится начало отсчета подвижной системы относительно неподвижной через единицу времени (если речь идет о скоростях движения) ?

Как это отразить на чертеже ?

В какой точке чертежа будет находится движущееся тело относительно НСО и ПСО ?

Как геометрически отразить процесс перемещения тел за единицу времени?

Сравните геометрический чертеж с законом сложения скоростей ? Сделайте вывод.

Найдите проекции скоростей, проведите вычисления искомой величины.

При необходимости можно напомнить основные формулы перемещения и координатный метод решения задач.

Данная статья является исходным моментом для разработки методики решения задач на относительность движения. Дальнейшее её развитие возможно на пути рассмотрения движения тел относительно разных систем отсчета.

Материал статьи может быть использован студентами физмат факультетов и учителями физики базовой школы.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.khspu.ru

119. Человек начинает подниматься по движущемуся вверх эскалатору метро с ускорением 0,2 м/с2. добежав до середины эскалатора, он поворачивает и начинает спускаться вниз с тем же ускорением. Сколько времени человек находился на эскалаторе, если длина эскалатора 105 м, скорость движения эскалатора 2 м/с.

При подъеме по эскалатору модуль перемещения человека равен

а при спуске

где t1 и t2 – время подъема и спуска соответственно.

Эти выражения приводят к двум квадратным уравнениям

Решая эти уравнения, находим:

Время нахождения человека на эскалаторе t = t1 + t2, поэтому

Подставляя числовые значения, найдем

что это такое, классический вид, формула расчета

Закон сложения скоростей — что это такое

В классической механике применяют термин, который звучит, как абсолютная скорость точки. Данная величина является суммой двух векторов: относительная и переносная скорости точки. В подобном равенстве выражена теорема сложения скоростей. Общепринятым положением является равенство скорости движения какого-либо объекта в рамках неподвижной системы отсчета и векторной суммы скорости аналогичного физического тела в условиях относительно подвижной системы отсчета. Данными координатами определяется непосредственное нахождение тела.

Определение

Классический закон сложения скоростей определяет, что скорость тела относительно неподвижной системы отсчета представляет собой геометрическую сумму двух скоростей, включая скорость тела относительно подвижной системы отсчета и скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной.

Классический вид, формула расчета

Релятивистским законом сложения скоростей являются соотношения, справедливые для частицы, перемещающейся параллельно относительной скорости систем отсчета:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). {,}\) будут параллельны.

Алгоритм решения задач

Существуют правила, которые являются основой механической физики. Исходя из данных соотношений, можно рассмотреть примеры сложения скоростей. Простейшими объектами для объяснения физических законов являются, к примеру, человек и любой перемещающийся в пространстве объект, с которым он прямо или косвенно взаимодействует.

Пример

Можно представить, что человек совершает прямолинейное движение вдоль коридора пассажирского поезда со скоростью пять километров в час. При этом равномерная скорость состава составляет 100 километров в час. Скорость человека, относительно пространства, которое его окружает, будет равна 105 километрам в час. Следует учитывать одинаковое направление перемещения человека и поезда.

В случае, когда направления движения человека и транспорта противоположны, данный принцип также справедлив. Тогда человек будет двигаться относительно окружающего пространства со скоростью 95 километров в час.

При рассмотрении объектов, скорости которых равны, можно сделать вывод, что относительно друг друга они неподвижны. Во время вращения скорость рассматриваемого тела представляет собой совокупность скоростей перемещения тела относительно движущейся поверхности другого объекта.

Решение задач на сложение скоростей выполняется в несколько этапов:

  1. Следует начать с выбора тела отсчета, которое связано с неподвижной системой координат.
  2. Далее необходимо определить тело отсчета, которое совершает движение по отношению к первому телу, и связать его с подвижной системой координат.
  3. Изучение движения тела в двух координатных системах.
  4. Запись закона сложения скоростей, относительно конкретных условий задачи.

Задача 1

На примере рассмотрено равномерное движение двух поездов друг за другом. Первый поезд перемещается со скоростью 80 км/ч, а второй — 60 км/ч. Требуется рассчитать, какова скорость второго поезда относительно первого. {‘}=v_{2}-v_{1}=-20\)

Ответ: скорость второго поезда относительно первого составит -20 км/ч

Задача 2

Река течет со скоростью \(v = 1,5\) м/с. Требуется определить модуль скорости \(v_{1}\) по отношению к воде. Необходимо учитывать, что в случае движения катера перпендикулярно относительно берега, его скорость составляет \(v_{2}=2\) м/с.

 

Решение

Исходя из закона сложения скоростей:

\(\vec{v_{2}}=\vec{v_{2}}-\vec{v}\)

Формула для расчета скорости катера относительно реки:

\(\vec{v_{1}}=\vec{v_{1}}+\vec{v}\)

Векторное сложение скоростей представлено на рисунке. На схеме получаем треугольник скоростей с прямым углом, поэтому:

\(\vec{v_{1}}=2,5\)

Ответ: модуль скорости \(v_{1}\) по отношению к воде составляет \(2,5\) м/с.

Задача 3

Скорость движения самолета относительно воздуха составляет 300 км/ч. Объект движется в северном направлении. {0}\); скорость самолета относительно земли примерно равна 220 км/ч.

Задачи на тему Релятивистский закон сложения скоростей. Зависимость массы от скорости, энергии

Сравнить время приема светового сигнала с одного расстояния, посланного с ракеты, если: а) ракета удаляется от наблюдателя; б) ракета приближается к наблюдателю
РЕШЕНИЕ

Элементарная частица нейтрино движется со скоростью света с. Наблюдатель движется навстречу нейтрино со скоростью v. Какова скорость нейтрино относительно наблюдателя
РЕШЕНИЕ

Две частицы, расстояние между которыми L= 10 м, летят навстречу друг другу со скоростями v = 0,6. Через какой промежуток времени по лабораторным часам произойдет соударение
РЕШЕНИЕ

Две частицы удаляются друг от друга, имея скорость 0,8c каждая, относительно земного наблюдателя. Какова относительная скорость частиц
РЕШЕНИЕ

С космического корабля, движущегося к Земле со скоростью 0,4c, посылают два сигнала: световой сигнал и пучок быстрых частиц, имеющих скорость относительно корабля 0,8c. В момент пуска сигналов корабль находился на расстоянии 12 Гм от Земли. Какой из сигналов и на сколько раньше будет принят на Земле
РЕШЕНИЕ

Какова масса протона, летящего со скоростью 2,4 * 108 м/с? Массу покоя протона считать равной 1 а. е. м
РЕШЕНИЕ

Во сколько раз увеличивается масса частицы при движении со скоростью 0,99c
РЕШЕНИЕ

На сколько увеличится масса α-частицы при движении со скоростью 0,9c? Полагать массу покоя а-частицы равной 4 а. е. м
РЕШЕНИЕ

С какой скоростью должен лететь протон (m0 = 1 а. е. м.), чтобы его масса стала равна массе покоя &aplha;-частицы (m0 = 4 а. е. м.)
РЕШЕНИЕ

При какой скорости движения космического корабля масса продуктов питания увеличится в 2 раза? Увеличится ли вдвое время использования запаса питания
РЕШЕНИЕ

Найти отношение заряда электрона к его массе при скорости движения электрона 0,8c. Отношение заряда электрона к его массе покоя известно
РЕШЕНИЕ

Мощность общего излучения Солнца 3,83 х 1026 Вт. На сколько в связи с этим уменьшается ежесекундно масса Солнца
РЕШЕНИЕ

Груз массой 18 т подъемный кран поднял на высоту 5 м. На сколько изменилась масса груза
РЕШЕНИЕ

На сколько увеличится масса пружины жесткостью 10 кН/м при ее растяжении на 3 см
РЕШЕНИЕ

Масса покоя космического корабля 9 т. На сколько увеличивается масса корабля при его движении со скоростью 8 км/с
РЕШЕНИЕ

Электрон движется со скоростью 0,8c. Определить полную и кинетическую энергию электрона
РЕШЕНИЕ

Чайник с 2 кг воды нагрели от 10 °С до кипения. На сколько изменилась масса воды
РЕШЕНИЕ

На сколько изменяется масса 1 кг льда при плавлении
РЕШЕНИЕ

Определить импульс протона, если его энергия равна энергии покоя α-частицы. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы приобрести такой импульс
РЕШЕНИЕ

Найти кинетическую энергию электрона (в МэВ), движущегося со скоростью 0,6c
РЕШЕНИЕ

Ускоритель Ереванского физического института позволяет получать электроны с энергией 6 ГэВ. Во сколько раз масса таких электронов больше их массы покоя? Какова масса этих электронов (в а. е. м.)
РЕШЕНИЕ

Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его кинетическая энергия стала в 10 раз больше его энергии покоя? Начальную скорость электрона считать равной нулю
РЕШЕНИЕ

Найти кинетическую энергию электрона, который движется с такой скоростью, что его масса увеличивается в 2 раза
РЕШЕНИЕ

Найти импульс протона, движущегося со скоростью 0,8с
РЕШЕНИЕ

28.4 Релятивистское сложение скоростей – College Physics, главы 1–17

Релятивистское сложение скоростей

  • Рассчитать сложение релятивистской скорости.
  • Объясните, когда следует использовать релятивистское сложение скоростей вместо классического сложения скоростей.
  • Рассчитать релятивистский доплеровский сдвиг.
Общая скорость каяка, такого как этот на реке Дирфилд в Массачусетсе, — это его скорость относительно воды, а также скорость воды относительно берега реки. (кредит: abkfenris, Flickr)

Если вы когда-нибудь видели, как каяк плывет по быстрой реке, вы знаете, что оставаться на одном месте будет сложно. Течение реки тянет за собой байдарку. Если оттолкнуть весла от воды, каяк может двигаться вперед в воде, но это только часть скорости. Движение байдарки — пример классического сложения скоростей. В классической физике скорости складываются как векторы. Скорость каяка представляет собой векторную сумму его скорости относительно воды и скорости воды относительно берега реки.

Для простоты мы ограничимся рассмотрением сложения скоростей одномерным движением. Классически скорости складываются как обычные числа в одномерном движении. (См. [ссылка].) Предположим, например, что девушка едет в санях со скоростью 1,0 м/с относительно наблюдателя. Она бросает снежок сначала вперед, затем назад со скоростью 1,5 м/с относительно саней. Мы обозначаем направление знаками плюс и минус в одном измерении; в этом примере вперед положительно. Пусть vv size 12{v} {} — скорость салазок относительно Земли, uu size 12{u} {} — скорость снежного кома относительно земного наблюдателя, u′u′ size 12{u rSup { size 8{‘} } } {} скорость снежного кома относительно саней.

Классически скорости складываются как обычные числа при одномерном движении. Здесь девочка бросает снежок вперед, а затем назад из санок. Скорость саней относительно Земли v=1,0м/sv=1,0м/с size 12{ ital «v=»1 «.» 0`”м/с”} {}. Скорость снежного кома относительно грузовика равна u′u′ size 12{u rSup { size 8{‘} } } {}, а его скорость относительно Земли равна uu size 12{u} {}. Классически u=v+u′u=v+u′.

Дополнение Classic Velocity

u=v+u’u=v+u’

Таким образом, когда девочка бросает снежок вперед, u=1.0 м/с+1,5 м/с=2,5 м/вс=1,0 м/с+1,5 м/с=2,5 м/с. Интуитивно понятно, что снежный ком быстрее направится к земному наблюдателю, потому что его бросает вперед движущееся транспортное средство. Когда девочка бросает снежок назад, u=1,0 м/с+(-1,5 м/с)=-0,5 м/su=1,0 м/с+(-1,5 м/с)=-0,5 м/с. Знак минус означает, что снежок удаляется от земного наблюдателя.

Второй постулат относительности (подтвержденный многочисленными экспериментальными наблюдениями) говорит, что классическое сложение скоростей неприменимо к свету. Представьте машину, едущую ночью по прямой дороге, как в [ссылка]. Если бы классическое сложение скоростей применялось к свету, то свет от автомобильных фар приближался бы к наблюдателю на тротуаре со скоростью u=v+cu=v+c size 12{ ital «u=v+c»} {}. Но мы знаем, что свет будет удаляться от автомобиля со скоростью cc size 12{c} {} относительно водителя автомобиля, а свет будет двигаться к наблюдателю на тротуаре со скоростью cc size 12{c} {}, слишком.

Согласно эксперименту и второму постулату относительности, свет от автомобильных фар движется от автомобиля со скоростью cc size 12{c} {} и к наблюдателю на тротуаре со скоростью cc size 12{c} {}.Классическое сложение скоростей недействительно.

Добавление релятивистской скорости

Либо свет является исключением, либо классическая формула сложения скоростей работает только при низких скоростях. Последнее имеет место. Правильная формула сложения одномерных релятивистских скоростей:

.

u=v+u′1+vu′c2,u=v+u′1+vu′c2, размер 12{ ital “u=” { { ital “v+u’”} над {1+ { {v `итал «u»} над {c rSup {размер 8{2} } } } } } } {}

, где vv — относительная скорость между двумя наблюдателями, uu — скорость объекта относительно одного наблюдателя, а u′u′ — скорость относительно другого наблюдателя. (Для простоты визуализации мы часто выбираем измерение uu в нашей системе отсчета, в то время как кто-то, движущийся со скоростью vv относительно нас, измеряет u′u′.) Обратите внимание, что термин

vu′c2vu′c2 становится очень маленьким при низких скоростях, а
u=v+u′1+vu′c2u=v+u′1+vu′c2 дает результат, очень близкий к классическому сложению скоростей. Как и прежде, мы видим, что классическое сложение скоростей является прекрасным приближением к правильной релятивистской формуле для малых скоростей. Неудивительно, что это кажется правильным в нашем опыте.

Демонстрация того, что скорость света по направлению к наблюдателю постоянна (в вакууме): скорость света равна скорости света

Предположим, что космический корабль, летящий прямо к Земле со скоростью, равной половине скорости света, посылает нам сигнал в виде лазерного луча света. Учитывая, что свет покидает корабль со скоростью cc размера 12{c} {}, наблюдаемой с корабля, рассчитайте скорость, с которой он приближается к Земле.


Стратегия

Поскольку свет и космический корабль движутся с релятивистскими скоростями, мы не можем использовать простое сложение скоростей.Вместо этого мы можем определить скорость, с которой свет приближается к Земле, используя релятивистское сложение скоростей.

Раствор

  1. Определить известные. v=0,500сv=0,500с; и’=ку’=с
  2. Определить неизвестное. уу размер 12{у} {}
  3. Выберите подходящее уравнение. u=v+u′1+vu′c2u=v+u′1+vu′c2 size 12{ ital “u=” { { ital “v+u’”} над {1+ { {v` ital “u ‘”} более {c rSup {размер 8{2} } } } } } } {}
  4. Подставьте известные значения в уравнение.

    u=v+u′1+vu′c2=0.500c+c1+(0,500c)(c)c2=(0,500+1)c1+0,500c2c2=1,500c1+0,500=1,500c1,500=cu=v+u′1+vu′c2=0,500c+c1+(0,500 c)(c)c2=(0,500+1)c1+0,500c2c2=1,500c1+0,500=1,500c1,500=c

Обсуждение

Добавление релятивистской скорости дает правильный результат. Свет покидает корабль со скоростью cc size 12{c} {} и приближается к Земле со скоростью cc size 12{c} {}. Скорость света не зависит от относительного движения источника и наблюдателя, находится ли наблюдатель на корабле или на Земле.

Скорости не могут складываться со скоростью, превышающей скорость света, при условии, что размер vv 12{v} {} меньше размера cc 12{c} {}, а u’u’ не превышает cc. Следующий пример показывает, что релятивистское сложение скоростей не так симметрично, как классическое сложение скоростей.

Сравнение скорости света по направлению к наблюдателю и от него: релятивистская доставка пакетов

Предположим, космический корабль из предыдущего примера приближается к Земле со скоростью, равной половине скорости света, и стреляет канистрой со скоростью 0.750с0,750с. а) С какой скоростью находящийся на Земле наблюдатель увидит контейнер, если он выстрелит прямо в сторону Земли? б) Если выстрелить прямо с Земли? (См. [ссылка].)


Стратегия

Поскольку канистра и космический корабль движутся с релятивистскими скоростями, мы должны определить скорость канистры с помощью земного наблюдателя, используя сложение релятивистских скоростей вместо простого сложения скоростей.

Раствор для (а)

  1. Определить известные.v=0,500cv=0,500c;u′=0,750cu′=0,750c размер 12{u rSup { размер 8{‘} } = – 0 «.» «750»с} {}
  2. Определить неизвестное. уу размер 12{у} {}
  3. Выберите подходящее уравнение. u=v+u′1+vu′c2u=v+u′1+vu′c2
  4. Подставьте известные значения в уравнение.

    u=v+u′1+vu′c2=0,500c +0,750c1+(0,500c)(0,750c)c2=1,250c1+0,375=0,909cu=v+u′1+vu′c2=0,500c +0,750 с1+(0,500с)(0,750с)с2=1,250с1+0,375=0,909с

Решение для (б)

  1. Определить известные.v=0,500сv=0,500с; и’=-0,750ку’=-0,750с
  2. Определить неизвестное. уу
  3. Выберите подходящее уравнение. u=v+u′1+vu′c2u=v+u′1+vu′c2
  4. Подставьте известные значения в уравнение.

    u=v+u’1+vu’c2=0,500c +(-0,750c)1+(0,500c)(-0,750c)c2=-0,250c1-0,375=-0,400cu=v+u’1+ vu′c2=0,500c +(-0,750c)1+(0,500c)(-0,750c)c2=-0,250c1-0,375=-0,400c

Обсуждение

Знак минус указывает на скорость удаления от Земли (в направлении, противоположном vv), что означает, что канистра движется к Земле в части (a) и удаляется в части (b), как и ожидалось. Но релятивистские скорости складываются не так просто, как в классическом случае. В части (а) канистра приближается к Земле быстрее, но не по простой сумме 1,250c1,250c. Общая скорость меньше, чем вы могли бы получить классически. А в части (b) канистра удаляется от Земли со скоростью −0,400c−0,400c, что на быстрее , чем скорость −0,250c−0,250c размера 12{c} {}, которую можно было бы ожидать. классически. Скорости даже не симметричны. В части (а) канистра движется 0.409c0.409c размером 12{c} {} быстрее корабля относительно Земли, тогда как в части (b) он движется на 0.900c0.900c размера 12{c} {} медленнее корабля.

Хотя скорость света не меняется с относительной скоростью, частота и длина волны света меняются. Впервые обсужденный для звуковых волн, доплеровский сдвиг возникает в любой волне, когда между источником и наблюдателем существует относительное движение.

Релятивистские эффекты Доплера

Наблюдаемая длина волны электромагнитного излучения больше (называется красным смещением), чем длина волны, испускаемой источником, когда источник удаляется от наблюдателя, и короче (называется синим смещением), когда источник движется к наблюдателю.

=λнаб=λs1+uc1−uc.=λнаб=λs1+uc1−uc. size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } ital «=λ» rSub { size 8{s} } sqrt { { {1+ {{u} over {c} } } over {1 — { {u } более {с} } } } } } {}

В уравнении Доплера λobsλobs size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } } {} — наблюдаемая длина волны, λsλs size 12{λ rSub { size 8{s} } } {} — длина волны источника, uu size 12{u} {} — относительная скорость источника относительно наблюдателя. Скорость uu size 12{u} {} положительна при движении от наблюдателя и отрицательна при движении к наблюдателю.В терминах частоты источника и наблюдаемой частоты это уравнение может быть записано как

брелки=fs1-uc1+uc.fobs=fs1-uc1+uc. size 12{f rSub { size 8{«obs»} } ital «=f» rSub { size 8{s} } sqrt { { {1 — {{u} over {c} } } over {1+ { {u } более {с} } } } } } {}

Обратите внимание, что знаки – и + отличаются от тех, что указаны в уравнении для длины волны.

Карьера Связь: Астроном

Если вы заинтересованы в карьере, которая требует знания специальной теории относительности, вероятно, нет лучшей связи, чем астрономия. Астрономы должны учитывать релятивистские эффекты при расчете расстояний, времени и скоростей черных дыр, галактик, квазаров и всех других астрономических объектов. Чтобы сделать карьеру в области астрономии, вам нужна как минимум степень бакалавра в области физики или астрономии, но часто требуется степень магистра или доктора наук. Вы также должны иметь хорошие знания в области математики высокого уровня.

Расчет доплеровского сдвига: радиоволны от удаляющейся галактики

Предположим, что галактика удаляется от Земли со скоростью 0.825c0.825c
. Он излучает радиоволны с длиной волны 0,525 м 0,525 м размером 12{0″. «525» «м»} {}. Какую длину волны мы бы обнаружили на Земле?

Стратегия

Поскольку галактика движется с релятивистской скоростью, мы должны определить доплеровский сдвиг радиоволн, используя релятивистский доплеровский сдвиг вместо классического доплеровского сдвига.

Раствор

  1. Определить известные. u=0,825cu=0,825c размер 12 {итал. «u=»0».” “825”c} {}
    ; λs=0,525 мλs=0,525 м размер 12{λ rSub { размер 8{s} } =0 «.» «525» м} {}
  2. Определить неизвестное. λobsλobs size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } } {}
  3. Выберите подходящее уравнение. λobs=λs1+uc1−ucλobs=λs1+uc1−uc size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } ital «=λ» rSub { size 8{s} } sqrt { { {1+ { {u} более {c} } } более {1 – {{u} более {c} } } } } } {}
  4. Подставьте известные значения в уравнение.

    λobs=λs1+uc1−uc=(0,525 м)1+0,825 куб. см1−0,825 куб.см=1,70 м.525 м)1+0,825 куб.см1−0,825 куб.см=1,70 м.

Обсуждение

Поскольку галактика удаляется от Земли, мы ожидаем, что длины волн испускаемого ею излучения будут смещены в красную сторону. Длина волны, которую мы рассчитали, составляет 1,70 м, что смещено в красную сторону от исходной длины волны 0,525 м.

Релятивистский доплеровский сдвиг легко наблюдать. Это уравнение имеет повседневное применение, начиная от измерения скорости транспорта с помощью доплеровского радара и заканчивая мониторингом штормов с помощью доплеровского радара. В астрономических наблюдениях релятивистский доплеровский сдвиг предоставляет информацию о скорости, такую ​​как движение и расстояние до звезд.

Проверьте свое понимание

Предположим, что космический зонд удаляется от Земли со скоростью 0,350c0,350c размером 12{0″. «350»с} {}. Он отправляет обратно на Землю радиоволновое сообщение на частоте 1,50 ГГц. С какой частотой приходит сообщение на Землю?

Ответить

fobs=fs1-uc1+uc=(1,50 ГГц)1-0,350 куб.см1+0,350 куб.см=1.04 GHzfobs=fs1−uc1+uc=(1,50 ГГц)1−0,350 cc1+0,350 cc=1,04 ГГц размер 12{f rSub { размер 8{«obs»} } ital «=f» rSub { размер 8{s} } sqrt { { {1 – { {u} над {c} } } над {1+ { {u} над {c} } } } } = ( 1 “.” “50 ГГц” ) sqrt { { {1 – { {0 «.» «350» итал. «c»} более {c} } } более {1+ { {0 «.» «350» ital »c»} over {c} } } } } =1 «.» «04 ГГц»} {}

  • При классическом сложении скоростей скорости складываются как обычные числа в одномерном движении: u=v+u′u=v+u′ size 12{ ital “u=v+u” rSup { size 8{‘} } } {}, где vv size 12{v} {} — скорость между двумя наблюдателями, uu size 12{u} {} — скорость объекта относительно одного наблюдателя, u′u′ size 12{u rSup { size 8{‘} } } {} — скорость относительно другого наблюдателя.
  • Скорость не может быть больше скорости света в сумме. Сложение релятивистской скорости описывает скорости объекта, движущегося с релятивистской скоростью:

    u=v+u′1+vu′c2u=v+u′1+vu′c2

  • Наблюдатель электромагнитного излучения видит релятивистские эффекты Доплера, если источник излучения движется относительно наблюдателя. Длина волны излучения больше (называется красным смещением), чем длина волны, испускаемой источником, когда источник удаляется от наблюдателя, и короче (называется синим смещением), когда источник движется к наблюдателю.Сдвинутая длина волны описывается уравнением

    λobs=λs1+uc1−ucλobs=λs1+uc1−uc size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } ital «=λ» rSub { size 8{s} } sqrt { { {1+ { {u } над {c} } } над {1 – {{u} над {c} } } } } } {}

    λobsλobs size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } } {} — наблюдаемая длина волны, λsλs size 12{λ rSub { size 8{s} } } {} — длина волны источника, uu size 12{ u} {} — относительная скорость источника относительно наблюдателя.

Объясните значение терминов «красное смещение» и «синее смещение» применительно к релятивистскому эффекту Доплера.

Что происходит с релятивистским эффектом Доплера, когда относительная скорость равна нулю? Это ожидаемый результат?

Соответствует ли релятивистский эффект Доплера классическому эффекту Доплера в том отношении, что λobsλobs size 12{λ rSub { size 8{«obs»} } } {} больше при удалении?

Все галактики дальше примерно 50×106 световых лет 50×106 световых лет размером 12{«50» умножить на «10» rSup { размер 8{6} } `»ly»} {} демонстрируют красное смещение в излучаемом ими свете, пропорциональное на расстояние, а те, что дальше и дальше, имеют все большее красное смещение.Что это значит, если предположить, что единственным источником красного смещения является относительное движение? (Подсказка: на таких больших расстояниях расширяется само пространство, но влияние на свет такое же.)

Предположим, что космический корабль движется прямо к Земле с координатами 0,750c0,750c размером 12{0″. «750»с} {} может стрелять канистрой на 0,500с0,500с размером 12{0″. «750»c} {} относительно корабля. а) Какова скорость канистры относительно Земли, если она выстрелит прямо в Землю? б) Если выстрелить прямо с Земли?

(а) 0.909c0.909c размер 12{0 «.» «909»с} {}

(b) 0,400c0,400c размер 12{0 «.» «400»с} {}

Повторите предыдущую задачу с кораблем, направляющимся прямо от Земли.

Если космический корабль приближается к Земле на расстоянии 0,100c0,100c и к нему направляется капсула с сообщением на расстоянии 0,100c0,100c относительно Земли, какова скорость капсулы относительно корабля?

0,198c0,198c размер 12{0 «.» «198»с} {}

(a) Предположим, что скорость света всего 3000 м/с3000 м/с.Реактивный истребитель, летящий к цели на земле со скоростью 800 м/с800 м/с, стреляет пулями, каждая из которых имеет начальную скорость 1000 м/с1000 м/с. Какова скорость пули относительно цели? б) Если бы скорость света была такой маленькой, стали бы вы наблюдать релятивистские эффекты в повседневной жизни? Обсуждать.

Если галактика удаляется от Земли, имеет скорость 1000 км/с1000 км/с размер 12{1,000″” м/с”} {} и излучает 656 нм656 нм размер 12{“656″” нм” } {} световая характеристика водорода (наиболее распространенного элемента во Вселенной).а) Какую длину волны мы наблюдали бы на Земле? б) Что это за электромагнитное излучение? в) Почему здесь пренебрежимо мала скорость движения Земли по своей орбите?

а) 658 нм Размер 658 нм 12 {«658″»»нм»} {}

б) красный

c) v/c=9,92×10−5v/c=9,92×10−5 размер 12{v/ ital «c=»9 «.» «92» умножить на «10» rSup {размер 8{ – 5} } } {} (незначительно)

Космический зонд, летящий к ближайшей звезде, движется со скоростью 0,250c0,250c размером 12{0 «.» «250»c} {} и отправляет радиоинформацию на частоте вещания 1.00 ГГц. Какая частота принимается на Земле?

Если два космических корабля движутся прямо друг к другу на расстоянии 0,800c0,800c размером 12{0 «.» «800»с} {}, с какой скоростью должна быть выпущена канистра с первого корабля, чтобы приблизиться к другому на 0,999с0,999с размера 12{0″. «999»c} {} глазами второго корабля?

0,991c0,991c размер 12{0 «.» «991»с} {}

Две планеты находятся на столкновении, направляясь прямо друг к другу с размером 0,250c0,250c 12{0 «.» «250»с} {}.Космический корабль, отправленный с одной планеты, приближается ко второй на 0,750c0,750c размером 12{0″. «750»c} {} со стороны второй планеты. Какова скорость корабля относительно первой планеты?

Когда ракета летит с одного космического корабля в сторону другого, она покидает первый на расстоянии 0,950c0,950c размером 12{0 «.» «950»c} {} и приближается к другому на 0,750c0,750c размером 12{0 «.» «750»c} {}. Какова относительная скорость двух кораблей?

−0,696c−0,696c размер 12{0 «.» “696”c} {}

Какова относительная скорость двух космических кораблей, если один из них выстрелит в другой ракетой в точке 0.750c0.750c, а другой наблюдает, что он приближается к 0.950c0.950c?

Около центра нашей галактики газообразный водород движется прямо от нас по своей орбите вокруг черной дыры. Мы получаем электромагнитное излучение с длиной волны 1900 нм и знаем, что оно было 1875 нм при испускании газообразным водородом. Какова скорость газа?

0,01324c0,01324c размер 12{0 «.» «01324» с} {}

Офицер дорожной полиции использует устройство, которое измеряет скорость транспортных средств, отражая их от радара и измеряя доплеровский сдвиг.Уходящий радар имеет частоту 100 ГГц, а возвращающийся эхо-сигнал имеет частоту на 15,0 кГц выше. Какова скорость транспортного средства? Обратите внимание, что в эхо-сигналах есть два доплеровских сдвига. Будьте уверены, чтобы не округлить до конца задачи, потому что эффект небольшой.

Докажите, что при любой относительной скорости vv size 12{v} {} между двумя наблюдателями луч света, направленный от одного к другому, будет приближаться со скоростью cc size 12{c} {} (при условии, что vv size 12{v} {} меньше, чем размер cc 12{c} {}, конечно).

u’=cu’=c, поэтому

u=v+u′1+(vu′/c2)=v+c1+(vc/c2)=v+c1+(v/c)=c(v+c)c+v=cu=v+u′ 1+(vu′/c2)=v+c1+(vc/c2)=v+c1+(v/c)=c(v+c)c+v=c size 12{alignl { stack {
ital «u= ” { { ital “v+u’”} над {1+ ( ital “vu””’/”c rSup { size 8{2} } ) } } = { { ital “v+c”} over {1+ ( ital “vc”/c rSup { size 8{2} } ) } } = { { ital “v+c”} over {1+ ( v/c ) } } {} #
{ {c ( ital “v +c” ) } over { ital “c+v”} } = {подчеркивание {c}} {}
} } } {}

Покажите, что при любой относительной скорости vv size 12{v} {} между двумя наблюдателями луч света, направленный одним из них прямо в сторону другого, будет удаляться со скоростью света (при условии, что vv size 12{v} {} меньше, чем cc size 12{c} {}, конечно).

(а) Все галактики, кроме ближайших, удаляются от нашей Галактики Млечный Путь. Если галактика 12,0×109 световых лет12,0×109 световых лет размером 12{«12» «.» 0 раз «10» rSup { size 8{9} } ”ly”} {} ly удаляется от нас на 0.0.900c0.900c, с какой скоростью относительно нас мы должны отправить исследовательский зонд, чтобы приблизиться к другой галактике на 0,990c0,990c, измеренное из этой галактики? б) Сколько времени потребуется зонду, чтобы достичь другой галактики, если измерять с Земли? Вы можете предположить, что скорость другой галактики остается постоянной.в) Сколько времени потребуется, чтобы радиосигнал передавался обратно? (Все это в принципе возможно, но нецелесообразно.)

а) 0,99947с0,99947с

b) 1,2064×1011 y1,2064×1011 y размер 12{1 «.» «2064» умножить на «10» rSup { размер 8 {«11″} } » y»} {}

c) 1,2058×1011 y1,2058×1011 y размер 12{1 «.» «2058» умножить на «10» rSup { size 8{«11″} } » y»} {} (все цифры должны быть достаточными для отображения эффектов)

Глоссарий

классическое добавление скорости
метод сложения скоростей при v<
добавление релятивистской скорости
метод сложения скоростей объекта, движущегося с релятивистской скоростью: u=v+u′1+vu′c2u=v+u′1+vu′c2, где vv размер 12{v} {} — относительная скорость между двумя наблюдателями, uu size 12{u} {} — скорость объекта относительно одного наблюдателя, а u′u′ size 12{u rSup { size 8{‘} } } {} — скорость относительно другого наблюдатель
релятивистские эффекты Доплера
изменение длины волны излучения, движущегося относительно наблюдателя; длина волны излучения больше (называется красным смещением), чем длина волны, испускаемой источником, когда источник удаляется от наблюдателя, и короче (называется синим смещением), когда источник движется к наблюдателю; сдвинутая длина волны описывается уравнением

λobs=λs1+uc1−ucλobs=λs1+uc1−uc

где λobsλobs — наблюдаемая длина волны, λsλs — длина волны источника, uu — скорость источника относительно наблюдателя

3.

5 Добавление скоростей – College Physics: OpenStax

При добавлении скоростей мы тщательно указывали, что скорость относится к некоторой системе отсчета . Эти скорости называются относительными скоростями . Например, скорость самолета относительно воздушной массы отличается от его скорости относительно земли. Обе скорости сильно отличаются от скорости самолета относительно его пассажиров (которая должна быть близка к нулю).Относительные скорости являются одним из аспектов теории относительности , которая определяется как изучение того, как разные наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, измеряют одно и то же явление.

Почти все слышали об теории относительности и сразу же связывают ее с Альбертом Эйнштейном (1879–1955), величайшим физиком 20 века. Эйнштейн произвел революцию в нашем взгляде на природу своей современной теорией относительности, которую мы изучим в следующих главах. Относительные скорости в этом разделе на самом деле являются аспектами классической теории относительности, впервые правильно обсужденной Галилеем и Исааком Ньютоном. Классическая теория относительности ограничена ситуациями, когда скорости меньше примерно 1% от скорости света, то есть меньше[latex]\boldsymbol{3000\textbf{ км/с}}.[/latex]Большинство вещей, которые мы встречаются в повседневной жизни двигаться медленнее, чем эта скорость.

Рассмотрим пример того, что видят два разных наблюдателя в ситуации, давно проанализированной Галилеем. Предположим, матрос на мачте движущегося корабля роняет бинокль. Где он упадет на палубу? Ударит ли он в основание мачты или за мачту, потому что корабль движется вперед? Ответ заключается в том, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, бинокль ударится о основание мачты в точке, расположенной прямо под точкой ее выпуска.Теперь рассмотрим, что видят два разных наблюдателя, когда бинокль опускается. Один наблюдатель находится на корабле, а другой на берегу. Бинокль не имеет горизонтальной скорости относительно наблюдателя на корабле, поэтому он видит, как он падает прямо на мачту. (См. рис. 6.) Для наблюдателя на берегу бинокль и корабль имеют одинаковую горизонтальную скорость, поэтому оба перемещаются на одинаковое расстояние вперед, пока бинокль падает. Этот наблюдатель видит кривую траекторию, показанную на рисунке 6.Хотя пути выглядят по-разному для разных наблюдателей, каждый видит один и тот же результат — бинокль попадает в основание мачты, а не за нее. Для получения правильного описания крайне важно правильно указать скорости относительно наблюдателя.

Пример 3. Расчет относительной скорости: пассажир самолета роняет монету

Пассажир самолета роняет монету, когда самолет движется со скоростью 260 м/с. Какова скорость монеты, когда она ударяется о пол на 1,50 м ниже точки выброса: а) измерена относительно плоскости? (b) Измерено относительно Земли?

Рис. 7. Движение монеты, упавшей внутрь самолета, глазами двух разных наблюдателей. (а) Наблюдатель в самолете видит, как монета падает прямо вниз. (b) Наблюдатель с земли видит, как монета движется почти горизонтально.

Стратегия

Обе проблемы можно решить с помощью техник падающих предметов и снарядов. В части (а) начальная скорость монеты равна нулю относительно плоскости, поэтому движение является движением падающего объекта (одномерным). В части (b) начальная скорость составляет 260 м/с по горизонтали относительно Земли, а сила тяжести вертикальна, поэтому это движение является движением снаряда.2}[/латекс]

дает

[латекс]\boldsymbol{v_y=-5.42\textbf{м/с}.}[/латекс]

Мы знаем, что квадратный корень из 29,4 имеет два корня: 5,42 и -5,42. Мы выбираем отрицательный корень, потому что знаем, что скорость направлена ​​вниз, а положительное направление определено как восходящее. Нет начальной горизонтальной скорости относительно плоскости и горизонтального ускорения, поэтому движение происходит прямо вниз относительно плоскости.

Раствор для (б)

Поскольку начальная вертикальная скорость относительно земли равна нулю, а вертикальное движение не зависит от горизонтального движения, окончательная вертикальная скорость монеты относительно земли равна[latex]\boldsymbol{v_y=-5. 0.}[/латекс]

Обсуждение

В части (а) конечная скорость относительно плоскости такая же, как если бы монета упала из состояния покоя на Землю и упала на 1,50 м. Этот результат соответствует нашему опыту; предметы в самолете падают одинаково, когда самолет летит горизонтально, и когда он покоится на земле. Этот результат справедлив и для движущихся автомобилей. В части (b) наблюдатель на земле видит совсем другое движение монеты. Самолет движется настолько быстро по горизонтали, что его конечная скорость едва превышает начальную скорость.Мы снова видим, что в двух измерениях векторы складываются не так, как обычные числа — конечная скорость v в части (b) равна , а не [латекс]\boldsymbol{(260 — 5,42)\textbf{ м/с }};[/latex]скорее, это[latex]\boldsymbol{260,06\textbf{ м/с}}.[/latex]Величина скорости должна быть рассчитана до пяти цифр, чтобы увидеть какое-либо отличие от скорости самолета . Движения, наблюдаемые разными наблюдателями (один в самолете, а другой на земле) в этом примере аналогичны движениям, обсуждаемым для бинокля, сброшенного с мачты движущегося корабля, за исключением того, что скорость самолета намного больше, поэтому что два наблюдателя видят совершенно разные пути. (См. рис. 7.) Кроме того, оба наблюдателя видят, как монета падает на 1,50 м по вертикали, но тот, кто находится на земле, также видит, как она движется вперед на 144 м (эти расчеты оставляются читателю). Таким образом, один наблюдатель видит вертикальный путь, а другой — почти горизонтальный.

УСТАНОВЛЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ: ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ И ЭЙНШТЕЙН


Поскольку Эйнштейн смог четко определить, как производятся измерения (некоторые из них связаны со светом), и поскольку скорость света одинакова для всех наблюдателей, результаты поразительно неожиданны.Время меняется в зависимости от наблюдателя, энергия накапливается в виде увеличения массы, и нас ждут новые сюрпризы.

3.5 Добавление скоростей – College Physics

При добавлении скоростей мы позаботились указать, что скорость относится к некоторой системе отсчета . Эти скорости называются относительными скоростями . Например, скорость самолета относительно воздушной массы отличается от его скорости относительно земли. Обе скорости сильно отличаются от скорости самолета относительно его пассажиров (которая должна быть близка к нулю).Относительные скорости являются одним из аспектов теории относительности , которая определяется как изучение того, как разные наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, измеряют одно и то же явление.

Почти все слышали об теории относительности и сразу же связывают ее с Альбертом Эйнштейном (1879–1955), величайшим физиком 20 века. Эйнштейн произвел революцию в нашем взгляде на природу своей современной теорией относительности, которую мы изучим в следующих главах. Относительные скорости в этом разделе на самом деле являются аспектами классической теории относительности, впервые правильно обсужденной Галилеем и Исааком Ньютоном. Классическая теория относительности ограничена ситуациями, когда скорости меньше примерно 1% от скорости света, то есть меньше[latex]\boldsymbol{3000\textbf{ км/с}}.[/latex]Большинство вещей, которые мы встречаются в повседневной жизни двигаться медленнее, чем эта скорость.

Рассмотрим пример того, что видят два разных наблюдателя в ситуации, давно проанализированной Галилеем. Предположим, матрос на мачте движущегося корабля роняет бинокль. Где он упадет на палубу? Ударит ли он в основание мачты или за мачту, потому что корабль движется вперед? Ответ заключается в том, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, бинокль ударится о основание мачты в точке, расположенной прямо под точкой ее выпуска.Теперь рассмотрим, что видят два разных наблюдателя, когда бинокль опускается. Один наблюдатель находится на корабле, а другой на берегу. Бинокль не имеет горизонтальной скорости относительно наблюдателя на корабле, поэтому он видит, как он падает прямо на мачту. (См. рис. 6.) Для наблюдателя на берегу бинокль и корабль имеют одинаковую горизонтальную скорость, поэтому оба перемещаются на одинаковое расстояние вперед, пока бинокль падает. Этот наблюдатель видит кривую траекторию, показанную на рисунке 6.Хотя пути выглядят по-разному для разных наблюдателей, каждый видит один и тот же результат — бинокль попадает в основание мачты, а не за нее. Для получения правильного описания крайне важно правильно указать скорости относительно наблюдателя.

Пример 3. Расчет относительной скорости: пассажир самолета роняет монету

Пассажир самолета роняет монету, когда самолет движется со скоростью 260 м/с. Какова скорость монеты, когда она ударяется о пол на 1,50 м ниже точки выброса: а) измерена относительно плоскости? (b) Измерено относительно Земли?

Рис. 7. Движение монеты, упавшей внутрь самолета, глазами двух разных наблюдателей. (а) Наблюдатель в самолете видит, как монета падает прямо вниз. (b) Наблюдатель с земли видит, как монета движется почти горизонтально.

Стратегия

Обе проблемы можно решить с помощью техник падающих предметов и снарядов. В части (а) начальная скорость монеты равна нулю относительно плоскости, поэтому движение является движением падающего объекта (одномерным). В части (b) начальная скорость составляет 260 м/с по горизонтали относительно Земли, а сила тяжести вертикальна, поэтому это движение является движением снаряда. 2}[/латекс]

дает

[латекс]\boldsymbol{v_y=-5.42\textbf{м/с}.}[/латекс]

Мы знаем, что квадратный корень из 29,4 имеет два корня: 5,42 и -5,42. Мы выбираем отрицательный корень, потому что знаем, что скорость направлена ​​вниз, а положительное направление определено как восходящее. Нет начальной горизонтальной скорости относительно плоскости и горизонтального ускорения, поэтому движение происходит прямо вниз относительно плоскости.

Раствор для (б)

Поскольку начальная вертикальная скорость относительно земли равна нулю, а вертикальное движение не зависит от горизонтального движения, окончательная вертикальная скорость монеты относительно земли равна[latex]\boldsymbol{v_y=-5.0.}[/латекс]

Обсуждение

В части (а) конечная скорость относительно плоскости такая же, как если бы монета упала из состояния покоя на Землю и упала на 1,50 м. Этот результат соответствует нашему опыту; предметы в самолете падают одинаково, когда самолет летит горизонтально, и когда он покоится на земле. Этот результат справедлив и для движущихся автомобилей. В части (b) наблюдатель на земле видит совсем другое движение монеты. Самолет движется настолько быстро по горизонтали, что его конечная скорость едва превышает начальную скорость.Мы снова видим, что в двух измерениях векторы складываются не так, как обычные числа — конечная скорость v в части (b) равна , а не [латекс]\boldsymbol{(260 — 5,42)\textbf{ м/с }};[/latex]скорее, это[latex]\boldsymbol{260,06\textbf{ м/с}}.[/latex]Величина скорости должна быть рассчитана до пяти цифр, чтобы увидеть какое-либо отличие от скорости самолета . Движения, наблюдаемые разными наблюдателями (один в самолете, а другой на земле) в этом примере аналогичны движениям, обсуждаемым для бинокля, сброшенного с мачты движущегося корабля, за исключением того, что скорость самолета намного больше, поэтому что два наблюдателя видят совершенно разные пути.(См. рис. 7.) Кроме того, оба наблюдателя видят, как монета падает на 1,50 м по вертикали, но тот, кто находится на земле, также видит, как она движется вперед на 144 м (эти расчеты оставляются читателю). Таким образом, один наблюдатель видит вертикальный путь, а другой — почти горизонтальный.

УСТАНОВЛЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ: ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ И ЭЙНШТЕЙН


Поскольку Эйнштейн смог четко определить, как производятся измерения (некоторые из них связаны со светом), и поскольку скорость света одинакова для всех наблюдателей, результаты поразительно неожиданны.Время меняется в зависимости от наблюдателя, энергия накапливается в виде увеличения массы, и нас ждут новые сюрпризы.

3.5 Добавление скоростей – College Physics

При добавлении скоростей мы позаботились указать, что скорость относится к некоторой системе отсчета . Эти скорости называются относительными скоростями . Например, скорость самолета относительно воздушной массы отличается от его скорости относительно земли. Обе скорости сильно отличаются от скорости самолета относительно его пассажиров (которая должна быть близка к нулю).Относительные скорости являются одним из аспектов теории относительности , которая определяется как изучение того, как разные наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, измеряют одно и то же явление.

Почти все слышали об теории относительности и сразу же связывают ее с Альбертом Эйнштейном (1879–1955), величайшим физиком 20 века. Эйнштейн произвел революцию в нашем взгляде на природу своей современной теорией относительности, которую мы изучим в следующих главах. Относительные скорости в этом разделе на самом деле являются аспектами классической теории относительности, впервые правильно обсужденной Галилеем и Исааком Ньютоном. Классическая теория относительности ограничивается ситуациями, когда скорости меньше примерно 1% от скорости света, то есть меньше чем Большинство вещей, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, движутся медленнее этой скорости.

Рассмотрим пример того, что видят два разных наблюдателя в ситуации, давно проанализированной Галилеем. Предположим, матрос на мачте движущегося корабля роняет бинокль. Где он упадет на палубу? Ударит ли он в основание мачты или за мачту, потому что корабль движется вперед? Ответ заключается в том, что если сопротивлением воздуха можно пренебречь, бинокль ударится о основание мачты в точке, расположенной прямо под точкой ее выпуска. Теперь рассмотрим, что видят два разных наблюдателя, когда бинокль опускается. Один наблюдатель находится на корабле, а другой на берегу. Бинокль не имеет горизонтальной скорости относительно наблюдателя на корабле, поэтому он видит, как он падает прямо на мачту. (См. рис. 6.) Для наблюдателя на берегу бинокль и корабль имеют одинаковую горизонтальную скорость, поэтому оба перемещаются на одинаковое расстояние вперед, пока бинокль падает. Этот наблюдатель видит кривую траекторию, показанную на рисунке 6.Хотя пути выглядят по-разному для разных наблюдателей, каждый видит один и тот же результат — бинокль попадает в основание мачты, а не за нее. Для получения правильного описания крайне важно правильно указать скорости относительно наблюдателя.

Пример 3. Расчет относительной скорости: пассажир самолета роняет монету

Пассажир самолета роняет монету, когда самолет движется со скоростью 260 м/с. Какова скорость монеты, когда она ударяется о пол на 1,50 м ниже точки выброса: а) измерена относительно плоскости? (b) Измерено относительно Земли?

Рис. 7. Движение монеты, упавшей внутрь самолета, глазами двух разных наблюдателей. (а) Наблюдатель в самолете видит, как монета падает прямо вниз. (b) Наблюдатель с земли видит, как монета движется почти горизонтально.

Стратегия

Обе проблемы можно решить с помощью техник падающих предметов и снарядов. В части (а) начальная скорость монеты равна нулю относительно плоскости, поэтому движение является движением падающего объекта (одномерным). В части (b) начальная скорость составляет 260 м/с по горизонтали относительно Земли, а сила тяжести вертикальна, поэтому это движение является движением снаряда.В обеих частях лучше всего использовать систему координат с вертикальной и горизонтальной осями.

Раствор для (а)

Используя данную информацию, отметим, что начальная скорость и положение равны нулю, а конечное положение равно 1,50 м. Конечную скорость можно найти по уравнению:

Подставляя в уравнение известные значения, получаем

дает

Мы знаем, что квадратный корень из 29,4 имеет два корня: 5,42 и -5,42. Мы выбираем отрицательный корень, потому что знаем, что скорость направлена ​​вниз, а положительное направление определено как восходящее.Нет начальной горизонтальной скорости относительно плоскости и горизонтального ускорения, поэтому движение происходит прямо вниз относительно плоскости.

Раствор для (б)

Поскольку начальная вертикальная скорость относительно земли равна нулю, а вертикальное движение не зависит от горизонтального движения, окончательная вертикальная скорость монеты относительно земли такая же, как и в части (а). В отличие от части (а), здесь теперь есть горизонтальная составляющая скорости.Однако, поскольку горизонтального ускорения нет, начальная и конечная горизонтальные скорости одинаковы, и x — и y -компоненты скорости можно объединить, чтобы найти величину конечной скорости:

Таким образом,

дает

Направление дано:

так что

Обсуждение

В части (а) конечная скорость относительно плоскости такая же, как если бы монета упала из состояния покоя на Землю и упала 1. 50 м. Этот результат соответствует нашему опыту; предметы в самолете падают одинаково, когда самолет летит горизонтально, и когда он покоится на земле. Этот результат справедлив и для движущихся автомобилей. В части (b) наблюдатель на земле видит совсем другое движение монеты. Самолет движется настолько быстро по горизонтали, что его конечная скорость едва превышает начальную скорость. И снова мы видим, что в двух измерениях векторы складываются не так, как обычные числа — конечная скорость v в части (b) равна , а не . Величина скорости должна быть рассчитана до пяти цифр, чтобы увидеть любую отличие от самолета.Движения, наблюдаемые разными наблюдателями (один в самолете, а другой на земле) в этом примере аналогичны движениям, обсуждаемым для бинокля, сброшенного с мачты движущегося корабля, за исключением того, что скорость самолета намного больше, поэтому что два наблюдателя видят совершенно разные пути. (См. рис. 7.) Кроме того, оба наблюдателя видят, как монета падает на 1,50 м по вертикали, но тот, кто находится на земле, также видит, как она движется вперед на 144 м (эти расчеты оставляются читателю). Таким образом, один наблюдатель видит вертикальный путь, а другой — почти горизонтальный.

УСТАНОВЛЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ: ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ И ЭЙНШТЕЙН


Поскольку Эйнштейн смог четко определить, как производятся измерения (некоторые из них связаны со светом), и поскольку скорость света одинакова для всех наблюдателей, результаты поразительно неожиданны. Время меняется в зависимости от наблюдателя, энергия накапливается в виде увеличения массы, и нас ждут новые сюрпризы.

Сложение скоростей — Класс инженерной физики

В классической физике, если мы рассмотрим случай поезда, движущегося со скоростью v относительно земли и пассажир поезда, движущегося со скоростью u’ относительно поезда, 

Тогда скорость пассажира относительно земли

…………………..  ( 1 )
Это просто галилеевское или классическое сложение скоростей теорема. Обсудим, как складываются скорости по специальным теория относительности. Рассмотрим для особого случая все скорости вдоль направления двух инерционных кадры S и S’, S – лабораторный кадр а S’   – движущаяся система координат с постоянным скорость v. Тело движется в S’ системе отсчета со скоростью u’ и его положение может быть записано как ……(2)

 Скорость тела с относительно S кадра можно рассчитать как следует,     

……..(3)….(4)

Умножая u’ на обе части уравнения (4), мы получаем

, используя уравнение (2)

, используя уравнение (3)

Где

— скорость тела относительно S-образной системы отсчета

Следовательно, вышеприведенное уравнение стало

……..(5)Уравнение (5) представляет собой релятивистское сложение скоростей. В классическом смысле это u = u’ + v. В зависимости от значений u’ и v здесь мы видим следующие случаи.

Случай (i): Если u’ и v очень малы по сравнению с c, то из уравнения (5) пренебрежимо мало.Следовательно, и = и’ + v. Это классическая формула.

Случай (ii): Если u’ или v равно c, пусть v = c, тогда уравнение (5) принимает вид. Это показывает, что если система отсчета или объект движется со скоростью света, то их относительная скорость равна c, независимо от того, может быть скорость другого.

Случай (iii): Предположим, что система S’ движется со скоростью света, и объект движется со скоростью света в этой системе отсчета S’, т. е. u’ = c и v = c, тогда уравнение (5) принимает вид. Это показывает, что когда скорость света (с) добавляется к скорости света, то это просто воспроизводит скорость самого света.Поэтому мы говорим, что скорость света есть максимально достижимая скорость.

примеров

примеров

Примеры теории относительности


Пример №1

Проблема:

Время жизни мюона 2,2E-8 с в собственной системе покоя. Если он движется со скоростью 0,95с, какой путь он пройдет до он разлагается?

Решение:

Расстояние если vt , но время длиннее в раза g .

20,1 м


Пример #2

Проблема:

Метровый стержень пролетает с явным длина 60 см . Какова его скорость?

Решение:

Начиная с г равно (1/0,6), найти v .

v = 0,8c = 2,4E8 м/с


Пример №3

Проблема:

Сколько диаметр Земли уменьшается из-за движения Земли вокруг Солнца.

ДАННЫЕ: R земная_орбита =1,5E10 м , D земля =1,28E7 м

Решение:

Рассчитайте скорость Земли, используя длину окружности орбита и продолжительность года в секундах. Затем рассчитайте коэффициент g. Земля короче на сумма D( 1-1/г).

v = 2990 м/с, г = 1.0000000000497, Дх = 0,64 мм


Пример №4

Проблема:

Два космических корабля приближаются друг к другу с скорость 0,9с. По словам наблюдателя на космическом корабле, какова скорость другой корабль.

Решение:

Используйте формулу сложения скоростей, . Оба u и v являются 0,9с.

v’ = 0,9944с


Пример №5

Проблема:

а.) Два космических корабля путешествуют в одном и том же направлении, при этом один движется со скоростью 0,9с, другой — со скоростью 0,99с. Что это скорость более быстрого корабля по данным наблюдателя на более медленном корабле.

Решение:

Снова используйте формулу сложения скоростей с u = 0,99с и v = 0,9с.

v’ = 0,825с

b.) Какова скорость более медленного корабля? по словам наблюдателя на более быстром корабле?

v’ = -0. 825с


Пример №6

Проблема:

Протон и антипротон приближаются друг к другу другие движутся со скоростью 0,999с. Они сливаются, образуя новую частицу. Какова масса образовавшейся частицы?

Решение:

Энергия каждого протона равна м р г с 2 при массе протона 1,67E-27 кг . Умножение на два и деление на c 2 дает массу новой частицы.

м = 7,5E-26 кг


Индекс относительности Примеры Указатель лекций

Вопросы и ответы по теории относительности — Sanfoundry

Этот набор вопросов и ответов с множественным выбором по инженерной физике посвящен «Закону сложения скоростей».

1. Две частицы сближаются со скоростью 0,8с относительно лаборатории. Их относительная скорость ___________
а) 0.2}}}\)
м = E/c 2
м = \(\frac{2 X 2}{\sqrt{1-0,64}}\)
м = 6,67 кг.

3. В случае v << c преобразование Лоренца такое же, как ____________
а) преобразование Эйнштейна
б) преобразование Галилея
в) преобразование Максвелла
г) преобразование Планка
Просмотреть Ответ

Ответ: б
Пояснение: At v << c, u x = u x + v
U y = u y , что совпадает с преобразованиями Галилея.

4. Когда частица движется со скоростью света c относительно S, ее скорость, наблюдаемая наблюдателем в системе S , равна _____________
a) Ноль
b) 0,5 c
c) 0,75 c
d ) c
Посмотреть ответ

Ответ: d
Объяснение: Поскольку частица движется со скоростью c, u = c.
Следовательно, u = \(\frac{C-v}{1-\frac{v}{C}} \) = c
Следовательно, скорость, наблюдаемая наблюдателем в системе S’, по-прежнему равна c.

5. Преобразования Лоренца основаны на принципе постоянства скорости света.
a) Верно
b) Неверно
Просмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: В преобразовании Лоренца, если частица движется со скоростью света в кадре, ее скорость, наблюдаемая в другом кадре, остается c. Это доказывает, что преобразование Лоренца основано на принципе непротиворечивости света.

6. В теории относительности Лоренца, если два события одновременны для одного наблюдателя, они будут одновременны и для всех остальных наблюдателей.2}}\)
= 1,8с/1,81
= 0,99с.

10. Атом А, движущийся относительно наблюдателя со скоростью 2 х 10 8 м/с, испускает частицу В, которая движется относительно атома со скоростью 2,8 х 10 8 м/с. Скорость частицы излучателя относительно ученого _____________
а) 0,8 х 10 8 м/с
б) 2,4 х 10 8 м/с
в) 3 х 10 8 м/с
г ) 2,95 X 10 8 м/с
Посмотреть ответ

Ответ: d
Объяснение: Теперь мы знаем, u x = \(\frac{u^{‘}+v}{1+\frac{u ^{‘}v}{c^2}}\)
Здесь u’ = 2.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск