Сборник. Задачи на составление уравнений по видам

1 вид задач.

У хозяйки было всего 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?

У хозяйки было всего 16 уток и утят. Уток было в 3 раза меньше, чем утят. Сколько утят было у хозяйки?

Сумма трех чисел равна 80. Первое число меньше второго в 2,75 раза, а третье число составляет

В трех классах 119 учащихся. В первом учатся на 4 человека больше, чем во втором, и на 3 человека меньше, чем в третьем классе. Сколько учеников в каждом классе?

На трех полках стояло 110 книг, причем на первой было в 2 раза больше чем на второй и на 5 больше, чем на третьей. Сколько книг на каждой полке?

На первой полке было 33 книги, а на другой – 21 книга. Сколько книг нужно переставить с первой полки на вторую, чтобы книг стало поровну?

На автостоянке легковых машин в 2 раза больше грузовых. После того, как со стоянки уехало 10 легковых машин, а приехало 4 грузовых, количество легковых и грузовых машин стало поровну. Сколько легковых машин было на стоянке первоначально?

В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 литров во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока в каждом бидоне?

На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на полках книг стало поровну. Сколько книг было первоначально?

В двух бочках 725 литров бензина. Когда из первой бочки взяли бензина, а из второй бочки бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько бензина было первоначально в каждой бочке?

На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?

На первом участке было в 3 раза больше кустов малины, чем на втором. Когда с первого участка пересадила на второй 20 кустов, то их стало поровну на обоих участках. Сколько кустов было посажено на каждом участке?

На первом катере было в 2 раза больше людей, чем во втором. Когда на ближайшей пристани с первого катера сошли 98 человек, а со второго 16 человек, то на обоих катерах людей стало поровну. Сколько человек было на каждом катере первоначально?

В одном элеваторе зерна в 3 раза больше, чем в другом. Из первого вывезли 960 т зерна, а во второй привезли 240 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько было в каждом элеваторе зерна первоначально?

В двух вагонах поезда ехало одинаковое количество пассажиров. После того, как из первого вагона вышли 26 пассажиров, а из второго – 17 пассажиров, в первом вагоне стало в 2 раза меньше пассажиров, чем во втором вагоне. Сколько пассажиров было в каждом вагоне первоначально?

Одно число в 4 раза меньше другого, а их сумма равна 60. Найти эти числа.

Одно число в 3 раза больше другого, а их разность равна 10. Найти эти числа.

Некоторое число увеличили на 20 и оказалось, что оно увеличилось в 3 раза. Найти это число.

Некоторое число увеличили на 35 и оказалось, что оно увеличилось в 5 раза. Найти это число.

В двухзначном натуральном числе сумма цифр равна 9. Число десятков меньше числа единиц на 3. Найдите это число.

В двухзначном натуральном числе сумма цифр равна 14. Число единиц меньше числа десятков на 4. Найдите это число

В двухзначном натуральном числе разность цифр равна 6. Число единиц меньше числа десятков в 4 раза. Найдите это число

В двухзначном натуральном числе разность цифр равна 7. Число единиц меньше числа десятков в 8 раз. Найдите это число.

Турист шел 3 часа пешком и 4 часа ехал на велосипеде. Всего он проделал путь в 62 км. С какой скоростью турист шел пешком, если он шел на 5 км/ч медленнее, чем ехал на велосипеде?

Поезд шел 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч.

Теплоход проходит за 15 ч против течения столько же, сколько за 13 часов по течению Найдите скорость течения реки, если собственная скорость теплохода 70км/ч. Ответ – 5 км/ч

Из двух сел, расстояние между которыми 21 км, вышли одновременно на встречу друг другу мужчина и женщина. При встрече оказалось, что мужчина прошел в раза больше расстояние, чем женщина. Через сколько часов после выхода они встретились если скорость мужчины 6км/ч? С какой скоростью шла женщина? Ответ через 2 часа, 4.5 км/ч.

multiurok.ru

Решение задач с помощью квадратных уравнений . Видеоурок. Алгебра 8 Класс

На этом уроке мы выясним, как решать текстовые задачи с помощью квадратных уравнений. Как вы уже знаете, при решении любой задачи необходимо сначала перевести её условие на математический язык, составить нужное уравнение (или не одно, а несколько уравнений – систему уравнений), а затем решить его. На этом уроке мы поговорим о таких задачах, в которых уравнения будут получаться не линейные, как это было раньше, а квадратные. Или сводящиеся к квадратным.

Рассмотрим такую геометрическую задачу.

Задача

Периметр прямоугольника равен  см, а его диагональ –  см (Рис. 1). Найти стороны прямоугольника.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Решение

Пусть  см – одна сторона прямоугольника. Тогда другая –  см, так как удвоенная сумма сторон (периметр) равна  см. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, который образован смежными сторонами прямоугольника и его диагональю, и составим уравнение.

По теореме Виета:

Это и есть длины сторон. Логично, что получилось два ответа: за  ведь можно было взять как меньшую сторону, так и большую.

Ответ:  см и  см.

Три основных типа текстовых задач в математике – на движение, на работу и на смеси. На смеси очень редко бывают задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, так что о них сейчас говорить не будем. Рассмотрим задачу на движение.

Задача

Катер прошел  км по течению реки и  км по озеру, затратив на весь путь

 час. Скорость течения равна  км/ч. Найти скорость катера по течению.

Решение (первый способ)

Как всегда в подобных задачах, лучше всего за  брать то, что спрашивают. Тогда мы не ошибемся, если, найдя , сразу запишем его в ответ.

Итак, пусть  км /ч – скорость катера по течению. Тогда скорость катера по озеру меньше ровно на скорость течения – ведь в озере течения нет. Значит, по озеру катер двигался со скоростью

 км/ч. При этом мы также знаем пути, которые катер прошёл по реке и по озеру. Вспомним уравнение движения: . Найдем время : по озеру , а по реке – .

Чтобы было удобнее, запишем все данные в следующую таблицу.

По течению
По озеру

 

Теперь вспомним, что в общей сложности катер плыл

 час, получаем уравнение:

По теореме Виета:

 – не подходит, так как скорость катера по течению не может быть меньше скорости течения. Значит, ответ:

 км/ч.

Решение (второй способ)

Как вы уже заметили, в таких задачах очень важно переписать условие на математический язык, то есть язык формул и уравнений. В этой задаче это получилось, но проблема первого способа в том, что он работает только для этой конкретной задачи. Хочется чего-то более универсального. Попробуем это сделать.

Итак, перечитаем условие и попробуем записать текст в виде формул. Пока не будем задумываться, не много ли обозначений мы ввели, просто перепишем условие на математическом языке.

1. По течению: .
2. По озеру:
   .
3. В сумме плыл один час:  час.
4.  км/ч.
5.  – ?

Теперь второй шаг. Воспользовавшись формулой , запишем эти данные в виде системы: .

Теперь про условие задачи можно вообще забыть: мы свели решение задачи к решению системы уравнений, дальше дело техники.

Решив полученное уравнение (для сокращения записи можно заменить  – получим то же уравнение, что и в первом способе), получим тот же самый ответ.

Ответ:  км/ч.

Повторим шаги алгоритма, позволяющего решить любую текстовую задачу.

1. Переписать условие на математический язык.
2. Составить уравнение или систему уравнений.
3. Решить полученное уравнение или систему.
4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

Так, в рассмотренной задаче про катер получилось два значения неизвестной, и чисто алгебраически оба они являются решениями уравнения (системы). Однако для одного из значений скорость катера против течения реки получается отрицательной – это и есть анализ: в ответ записываем только второе значение.

Рассмотрим ещё один тип задач, на совместную работу.

Задача

Бассейн наполняется двумя трубами за  часов. За сколько часов наполнит бассейн первая труба, если она это делает на  ч быстрее, чем вторая?

Решение

Для начала вспомним формулу для вычисления объёма проделанной работы: . Обратите внимание на то, что здесь есть полное соответствие задачам на движение: путь – объём работы, скорость – производительность, время – время.

Эту задачу можно решить ровно по тому же алгоритму, что и предыдущую. Сначала перепишем условие на математическом языке.

1. Работа по наполнению бассейна объёмом  выполнена двумя трубами одновременно с общей скоростью  за время  ч.
2. Первая труба наполняет бассейн (объём работы ) со скоростью  за время .
3. Вторая труба наполняет бассейн (объём работы ) со скоростью  за время .
4. Разница между временем  и временем  равна  ( на  ч)

Обратите внимание на то, что в подобных задачах на совместную работу производительности складывать можно, а времена – нет.

Второй шаг – составляем систему: .

Так как трубы заполняют один и тот же бассейн, то есть выполняют одинаковую работу, то можно принять работу за . Обратите внимание, речь не идет об  литре или кубометре,  в данном случае – это  бассейн. Так что и производительность в этом случае будет измеряться не в литрах в час, а в бассейнах в час, то есть какую часть бассейна заполнит труба за час.

Третий шаг – решаем систему: .

Получаем:

По теореме Виета:

И теперь анализ: время не может быть отрицательным, так что ответ –  часов.

Ответ:  ч.

Рассмотрим пример ещё одной, не совсем стандартной текстовой задачи.

Задача

На шахматном турнире каждый сыграл с соперником по  партии. Всего было сыграно  партий. Сколько участников было на турнире?

Решение

Пусть участников было . Тогда каждый сыграл  партию. Итого,  партий… Казалось бы, приравняли к , решаем… А целого ответа нет. Почему так? Да потому, что мы каждую партию посчитали дважды (например, партия Вася – Петя и Петя – Вася посчитаны как разные партии, но ведь это одна и та же партия). Значит, количество партий . Тогда получаем: .

По теореме Виета:

Второй вариант не подходит, так что участников было .

Ответ:  участников.

На этом уроке мы разобрали ряд текстовых задач, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. Помимо этого, мы рассмотрели универсальный алгоритм, который используется при решении любой текстовой задачи.

1. Переписать условие на математическом языке.
2. Составить уравнение или систему уравнений.
3. Решить полученное уравнение или систему уравнений.
4. Проанализировать полученное решение и записать ответ.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра. 8 класс. С углубленным изучением математики, Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. – М.: Просвещение, 2010.
2. Алгебра. 8 класс, Алимов Ш.А. – М.: Просвещение, 2012.
3. Алгебра. 8 класс. Рабочая тетрадь, Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
2. Интернет портал «znaika.ru» (Источник)
3. Интернет портал «uztest.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии своей подруги, потребовалось  фотографий. Сколько было подруг?
2. Токарь должен был отработать  деталей к определённому сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать на  деталей в день больше и закончил работу на  день раньше. Сколько деталей он должен был обрабатывать по плану за  день?
3. Периметр прямоугольного треугольника равен  см, один его катет на  см больше другого. Чему равны стороны этого треугольника?

interneturok.ru

Решение задач с помощью уравнений

Ход урока.

I. Актуализация прежних знаний. Устная работа.

1. Решение уравнений

а) 0,5х + 0,15=0
б) 7х-4=х-16;
в) 1,3р – 11 = 0,8р + 5

Вопросы:

а) Какое уравнение называется линейным уравнением?
б) Когда уравнение имеет одно, много или не имеет решения?

2. Зная а – в = 15 ,найдите значение выражения:

а) 3а — 3в;
б) а + 1- в;
в) а — (в – 4).

3. Задача. Расстояние от Сарманово до Набережных Челнов 65 км. За какое время пройдет автомобиль со скоростью V км/ч это расстояние?

Найдите t,если V = 65 км/ч , V= 60 км/ч.

Мы составили выражение для нахождения времени 65 :V. А как решить такую задачу?

4. Задача. В корзине было в два раза меньше яблок, чем в ящике. Из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

Задаются вопросы:

а) Можно ли составить выражение с переменной?
б) Что известно, что неизвестно в задаче?

Вывод: Нужно решать задачу с помощью уравнений.

II. Ставим цель урока и записываем тему.

а) Работа ведется в черновике вместе, т.е. составляется план решения

	Было	Переложили	Стало
Корзина х яблок 10 х-10
Ящик 2х яблок 2х+10
В 5 раз

Х – 10 < 2x + 10

Чтобы было равно 5(х — 10) = 2х + 10

б) Оформление.

1. Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике 2х яблок. После того как из корзины переложили 10 яблок в ящик , в ящике стало (2х+10) яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок ,чем в корзине. Значит, 5(х-10)=2х+10

2. Решим уравнение вместе (один ученик у доски)

5х-50=2х+10
5х-2х=10+50
3х=60
х=20

3. 20 яблок было в корзине

2*20=40 яблок было в ящике

4. Ответ: 20 яблок,40 яблок.

в) Оценивает, как поняли решение этой задачи.

III. Составление модели решения задачи (алгоритм решения)

1. Обозначение неизвестного через букву.
2. Используя условие задачи ,составляется уравнение.
3. Решают уравнение. Объясняются ответы с условием задачи.
4. Записывается ответ.

IV. Первичные закрепления знаний №157 (самостоятельно) составить план решения и уравнение.

Проверка по готовому решению: сосед соседа и оценка.

V. Рефлексивное повторение.

Как решить уравнение?
Алгоритм решения?

VI. Оценка своих знаний. На какую оценку поняли тему?

VII. Домашнее задание.№159;161 (план решения)

urok.1sept.ru

Конспект по математике на тему «Решение задач с помощью уравнений»

Решение задач с помощью уравнений

1) Найдите корни уравнения.

а) (х-8)(х+10)=0

б) 5(х-2)=5х+4

в) (х+4)-(х-8)=-4х

Сейчас ребята мы с вами перейдем к решению задач с помощью уравнений , но сначала вспомним схему решения:  1) обозначаем неизвестную в задаче величину буквой;

                                                   2) используя эту букву, записываем другие величины;

                                                    3) составляем уравнение по условию задачи;

                                                   4 )решаем полученное уравнение;

                                                    5) находим требуемые величины.

2) Решите задачу с помощью уравнения.

                   (решаем задачи  на доске)

а) Бабушка старше мамы на 20 лет, а мама старше дочери в 2,5 раза. Вместе им 116 лет. Сколько лет каждой из них?

б) За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть собственная скорость теплохода – Х км/ч. Заполним таблицу значений трёх величин.

(3х-1)(2х+3)=0

2.Решите задачу с помощью уравнения

На базе хранится 520 тонн рыбы. При этом трески в 1,5 раза больше, чем наваги. Окуня на 16 тонн больше, чем трески. Сколько тонн трески, наваги и окуня находится на базе?

                        2. вариант.

1.Решите уравнение:

(5х+2)(2х-1)=0

2.Решите задачу с помощью уравнения

На базе хранится 590 тонн овощей. При этом картофеля в 2,5 раза больше, чем моркови. Лука на 14 тонн больше, чем картофеля. Сколько тонн картофеля, моркови и лука находится на базе?

2. Увеличив среднюю скорость с 250 до300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?
Пусть Х мин – время, за которое спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 300 м/мин, тогда Х +1 мин – время, за которое спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 м/мин. Составим уравнение:
250(Х + 1) = 300Х , которое имеет единственный корень 5.Найдём длину дистанции 300Х = 300×5 = 1500 м.

3. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть в первую бригаду привезли Х кг раствора, тогда во вторую – Х + 50 кг. Заполним таблицу значений величин для двух бригад:

5. Книгу в 296 страниц ученик прочитал за три дня. Во второй день он прочитал на 20% больше, чем в первый, а в третий – на 24 страницы больше, чем во второй. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?
Пусть в первый день ученик прочитал Х страниц, тогда во второй день ученик прочитал Х + 0,2Х = 1,2Х страниц, а в третий день прочитал 1,2Х + 24. Составим уравнение:
Х + 1,2Х +1,2Х + 24 = 296. Решив это уравнение, получим Х = 80, то есть ученик прочитал в первый день 80 страниц.

6. На солнышке грелось несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?
Пусть грелось Х кошек, тогда у этих кошек 2Х ушей и 4Х лап. Составим уравнение:
4Х – 2Х = 10. Решив это уравнение, получим Х = 5,то есть 5 кошек грелось на солнышке.

II. Самостоятельная работа учащихся.

Каждый ученик получает индивидуальную карточку с задачами. Правильность решения проверяет преподаватель, при необходимости он оказывает помощь в решении. После проверки ученику выставляется в оценочный лист плюс или оценка.

Примеры карточек для первой группы:

Карточка № 1.

1. (Старинная задача.) Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

2. Чтобы сделать вовремя заказ, артель стеклодувов должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и выполнила заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения заказа?

Ответ: № 1 – 8 дней, № 2 – 9 дней.

Карточка № 2.

1. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?

2. На ферме 1000 кроликов и кур, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько кур на ферме?

Ответ: № 1 – 70 сорочек, № 2 – 575 кроликов и 425 кур..

Карточка № 3.

1. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

2. Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?

Ответ: № 1 – 360 км, № 2 – 408 деталей.

Карточка № 4.

1. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?

2. На одном складе было 185 т угля, а на другом – 237 т. Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй – по 18 т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?

Ответ: № 1 – 9 км, № 2 – 9 дней.

Примеры карточек для второй группы:

Карточка № 5.

1. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В , отстоящего от пункта А на расстоянии 60 км/ч, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист – со скоростью 30 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

2. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья – 30% того числа деталей, которые изготовили первая и вторая детали вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

Ответ: № 1 – 40 км, № 2 – 20, 30, 15 деталей.

Карточка № 6.

1. Расстояние между пристанями М и N равно 162 км. От пристани М отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?

2. Бригада рабочих должна была изготовить определённое количество деталей за 20 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 70 деталей больше, чем планировалось первоначально. Поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада?

Ответ: № 1 – 2 ч, № 2 – 3000 деталей.

Карточка № 7.

1. От пристани А отошел теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

Ответ: № 1 – 2 ,5 ч; 150 км, № 2 – 4 овцы и15 кур.

Карточка № 8.

1. Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

2. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?

Ответ: № 1 – 7 монет, № 2 – 16,5 км/ч.

Примеры карточек для третьей группы:

Карточка № 9.

1. Со станции М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.

2. В одном резервуаре 380 м³ воды, а в другом 1500 м³. В первый резервуар каждый час поступает 80 м³ воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м³. Через сколько часов воды в резервуаре станет поровну?

Ответ: № 1 – 85 и 90км/ч, № 2 – 56 ч.

Карточка № 10.

1. Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

2. Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?

Ответ: № 1 – 7 монет, № 2 – 300 га.

Карточка № 11.

1. (Старинная задача.) Летели галки, сели на палки: по две сядут – одна палка лишняя, по одной сядут – одна галка лишняя. Сколько было галок и сколько палок?

2. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

Ответ: № 1 – 4 галки и 3 палки, № 2 – 12 км.

Карточка № 12.

1. (Задача С.А. Рачинского.) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5 . Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

2. К числу приписали справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.

Ответ: № 1 – 83 ореха, № 2 – 45.

Раздел считается введённым в работу, если каждая карточка с заданиями выполнена хотя бы одним учеником.

III. Работа в группах.

Затем работа классного коллектива выглядит так: организуется 3–4 группы по 4 человека (можно до 7 человек). В группе у каждого ученика своя карточка, за которую ученик уже получил плюс или оценку в оценочный лист. Каждый в группе выбирает партнёра, и они меняются карточками. Школьники работают в парах (решают карточку своего партнера полностью), затем пары в группе меняются. Если необходима помощь, то происходит взаимообучение. Если помощь не нужна, то после выполнения задания происходит взаимопроверка и делается отметка в оценочный лист. Потом пары меняются, и процесс продолжается до тех пор, пока каждый ученик не выполнит задания других учеников группы. Затем подводится итог, и выставляется общая оценка.

Оценочный лист.

infourok.ru

«Решение задач с помощью уравнений»

Урок математики в 6 классе по теме

«Решение задач с помощью уравнений»

План –конспект урока

п/п

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Время

1

Организационный момент

Проверка готовности к уроку, настрой детей на позитивную работу.

Здравствуйте, ребята! Какие вы все красивые, милые! Улыбнитесь! Улыбнитесь друг другу, мне! Сегодня урок буду вести у вас я, Гульшат Ильясовна! Присаживайтесь!

Ну-ка, проверь дружок,
Ты готов начать урок?
Всё ль на месте, Всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадка?
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Все расселись по местам? Никому не тесно?
По секрету скажу ВАМ будет ИНТЕРЕСНО!

Я очень рада видеть ваши веселые глазки. Вижу вы готовы к работе. Ведь мы отправимся в путешествие по Великой стране математики! Наше путешествие мы совершим на необычной ракете «Вперед! К знаниям!»

Не боитесь, что путь будет труден?

Кто не боится? Хорошо. Кто немного боится?

Тоже хорошо, ведь никакие открытия и достижения людям не давались легко.

Приветствуют учителя и садятся за парты

Дети отвечают на вопросы учителя

1-2

2

Актуализация

А сейчас проверим, готовы ли вы к путешествию?

Ведь, чтобы новых знаний набраться,

Нужно на старые опираться!

Посмотрите пожалуйста на экран! Будем работать по цепочке с места.

1 задание:

Решите уравнения (устно): а) х+9=27, б)х-7=14, в)60-с=18, г)2х=76, д) 4х=32, 5х=30. Спасибо, молодцы!

2 задание:

При решении уравнений были допущены ошибки! Найдите их:

А)Х+2,7=3 (Х+2,7=3 Х=3-2,7 Х=0,3)

Х=3+2,7

Х=5,7

Б)25-4х=12-5х (5х-4х=12-25 х=-13)

5х-4х=12+25

Х=37

В)2х+7=х+5,5 (2х-х=5,5-7 х=-1,5)

2х-х=5,5-7

Х=4,8

Г)7х+3=7х+5 (0х=2, уравнение не имеет корней)

7х-7х=5-3

Х=2

Д)3х+х-7=4х-7 (0х=0, х — любое число)

4х-4х=7-7

Х=0

Молодцы!

Работаем дальше!

3 задание:

Продолжите, пожалуйста, предложения:

-Уравнение это…(равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой)

—Корнем уравнения называется…(число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство)

— Решить уравнение это значит…(найти корень или доказать что его нет)

Посмотрим, ребята, какой багаж знаний возьмет каждый из вас в дорогу.

У вас на столах лежат путевые оценочные листы с заданиями. В течении урока мы с вами будем выполнять задания и ставить оценки в них. Подпишите их, пожалуйста.

Выполним первое задание «Багаж знаний»! Работать будем в паре со соседом по парте! В течение 1 минуты нужно найти корни каждого уравнения и вписать в третий столбец соответствующие им буквы. Внизу есть таблица выбора ответов. Задание понятно? Время пошло! (таймер)

Класс выполняет самостоятельную работу на листочках. 2 варианта. См. прил.1

И так, время вышло! проверим, что каждый из вас возьмет в путь? Взаимопроверка, обмениваемся листочками с соседом по парте. (ответы на слайде).

ДИОФАНТ – верный ответ (на слайде ответы по вариантам и критерии оценки)

Сколько ответов, верно, такая оценка и ставится в оценочный лист (таблица, которая лежит у каждого ученика на парте)

А знаете ли вы ребята кто такой ДИОФАНТ?

Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший в 3 веке. Он впервые применил букву для обозначения неизвестной величины!

Учащиеся работают фронтально

Отвечают!

Подписывают оценочные листы

Учащиеся выполняют работу

Обмениваются листочками и проверяют друг у друга

Фиксируют оценки на оцен. листах

6-7

3

Постановка проблемы

А вы хотите узнать, кто и когда придумал уравнение?

Представьте себе, что первобытная мама сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать каждому из своих четырех детей. Вероятно, она не умела считать не только до 12, но и до четырех, и уж несомненно не умела делить 12:4. Как Вы думаете, как она делила яблоки? Правильно, сначала дала каждому по яблоку, потом еще по одному, потом еще по одному и тут увидела, что яблок больше нет и дети довольны. А как записать эти действия на современном математическом языке? x*4=12, т.е. мама решила задачу на составление уравнения. По-видимому, ответить на поставленный вопрос невозможно. Задачи, приводимые к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла, с того времени, как они стали людьми. Еще за 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых и приемы были не похожими на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше.

(на экране число и тема)

Запишите, пожалуйста, в тетради число и тему урока.

Сформулируйте, пожалуйста, цель нашего путешествия.

Молодцы!

Отвечают

слушают

«Решение задач с помощью уравнений»

(запис. в тетр. тему и дату)

Познакомиться с понятие НОК и узнать алгоритм нахождения

3-4

4

Открытие нового знания

А чтобы добиться цели нам надо потрудиться. Давайте разделимся на группы. Цвет вашего оценочного листа — это цвет вашей группы.

Ведь одна голова хорошо, а когда команда лучше! Не забудьте после оценить работу свою и своих товарищей!

− Решим № 172 из тетради-тренажера. Кто-то будет решать пункт 1, а кто-то пункт 2.

Весь необходимый материал для работы у вас на столе.

Задача ясна? У вас в распоряжении 1 минута. Время пошло. (таймер)

Время вышло. Первая группа слушаем ваш ответ! Прочитайте условие пожалуйста!

У кого такая же работа, вы согласны? Или хотите дополнить?

Выйди пожалуйста к доске и реши полученное уравнение.

Следующая группа слушаем вас! Другие группы вы согласны? Или хотите дополнить?

Выйди пожалуйста к доске и реши полученное уравнение.

Что же надо было сделать, чтобы решить задачу с помощью уравнения? А теперь откройте учебники на стр.143 и проверьте правильность своих ответов.

(алгоритм на экране после выходит)

Закрепим наше открытие, откроем задачники, стр.64, № 497(а) выполняет 1 вариант, стр.65 № 498(а) 2 вариант. Что нужно сделать в этих номерах? Задание понятно? выполните письменно в тетрадях!

Проверим ваши ответы.

Делятся на группы по цвету оцен.листа

работают в группах, далее формулируют свои ответы

оценивают себя и своих товарищей по группе.

Читают!

Выполняют письменно!

Отвечают.

6-7

5

Физкультминутка

Ребята, попрошу вас всех встать и приготовиться на физкультминутку:

Игра САМЫЙ ВНИМАТЕЛЬНЫЙ!

Если число кратно 2, то хлопаем

Если число кратно 3, то топаем,

Если число кратно 5, то качаем головой!

Готовы?

Молодцы, все справились!

Почему вы одновременно топали, хлопали и качали головой в конце? МОЛОДЦЫ! Присаживайтесь!

Выполняют

1

6

Закрепление нового материала

Ребята, я теперь Вам предлагаю в группах решить следующие номера с последующей проверкой в цифровой лаборатории. Необходимо в тетрадях составить уравнение по условию задачи, решить его и затем записать данное уравнение в цифровой лаборатории, а также записать ответ. Также внимательно смотрите, какую величину в лаборатории обозначили за неизвестное и какой буквой.

Номера в учебнике стр. 144: 464, 465(а), 466(б), 467(б)

Все что узнали на уроке, закрепим, выполняя тест. (прил. 2). Время на выполнение: 1 минута! Готовы? Начинаем!

Время вышло. Правильность выполнения теста проверим и зафиксируем оценку в оценочный лист.

Все справились с тестом? Молодцы!

Выполняют письменную работу

Проверяют

Выполняют тест.

Проверяют. Оценку ставят в оценочный лист.

3

7

Подведение итогов урока

– А что сегодня вы нового узнали на уроке?

– Какую цель мы ставили в начале урока?

– Наша цель достигнута?

– Что нам помогло справиться с затруднением?

Теперь, пожалуйста, оцените свою работу на уроке:

на партах лежат человечки (девочки и мальчики)! Прикрепите их пожалуйста на тот уровень горы, до которого вы сегодня добрались на уроке! И не забудьте сдать мне оценочные листы, средний балл за работу будет выставлен в журнал.

Урок полезен, всё понятно.

Лишь кое-что чуть-чуть неясно.

Ещё придётся потрудиться.

Да, трудно всё-таки учиться!

Листочки сдаем. Спасибо за урок. Вы большие молодцы!

Мне понравилось с вами работать!

Отвечают

Прикрепляют человечков у тех слов, которые им больше подходят к

окончанию урока.

Сдают оценочные листы.

2

infourok.ru

Решение задач с помощью уравнений.

Тема урока: Решение задач с помощью уравнений

Класс: 5А

Дата: 10.10.2016г

Цель урока: создание условий для осознанного и уверенного владения навыком составления уравнений при решении текстовых задач.

Планируемые образовательные результаты:

Предметные:

Личностные:

Регулятивные:

• умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

• проговаривать последовательность действий на уроке;

• оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной оценки;

• планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей;

• вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок.

Коммуникативные:

• развивать творческие способности учащихся;

• развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;

• развивать умение сотрудничать при решении учебных задач.

Познавательные:

• уметь ориентироваться в своей системе знаний;

• добывать новые знания;

• самостоятельно создавать алгоритмы деятельности;

• извлекать из математических текстов необходимую информацию.

Оборудование: доска, мел, ноутбук, мультимедийный проектор, экран, карточки задания

План урока:

1. Организационный момент

2. Устный счёт

3. Определение темы урока

4. Изучение нового материала

5. Физминутка

6. Закрепление изученного материала

7. Самостоятельная работа

8. Подведение итогов

9. Домашнее задание

Тип урока – урок изучения нового материала, с использованием ИКТ технологий.

Формы организации деятельности учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, взаимопроверка.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Долгожданный дан звонок,

Начинается урок!

— Ребята все готовы к уроку? А с каким настроением вы пришли на урок?

У вас на столах лежат смайлики. Покажите какое у вас настроение?

— Давайте улыбнёмся друг другу, пожелаем удачи и с хорошим настроением начнём наш урок.

1. Устный счёт (слайд 1)

— Посмотрите на экран что это записано?

— Ответы учащихся

— А что называется уравнением?

— Ответ учащихся: уравнением называется равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

— Что значит решить уравнение?

— Ответы учащихся: решить уравнение значит найти все его корни или убедиться что уравнение не имеет ни одного корня.

— Что называют корнем уравнения?

— Ответы учащихся: корнем уравнения называется значение буквы, при котором, из уравнения получается верное числовое равенство)

х + 17 = 60 а – 51 = 60 у + 52 = 70 с – 43 = 81 100 – у = 62

59 + х = 59 78 – а = 78 а + 45 = 45 х – 0 = 82 70 – с = 68

— Назовите номера уравнений, в которых надо найти слагаемое? (1,3,6,8)

— Как его найти? (Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое)

— В каких уравнениях неизвестно уменьшаемое? (2,4,9)

— Как его найти? (Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность)

— В каких уравнениях надо найти вычитаемое? (5,7,10)

— Как его найти? (Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность)

— Найдите корни уравнений

1. Определение темы урока. (Слайд 2)

Решите задачу:

В корзине было несколько яблок. После того как в неё положили ещё 15 яблок, их стало 65. Сколько яблок было в корзине?

— Ответы учащихся

— А как ещё можно решить задачу?

— Ответы учащихся

-Уравнением можно решить задачу? Мы с вами умеем решать задачи уравнением?

-Ответы учащихся

-Значит сегодня на уроке мы будем учиться составлять уравнения к задачам и решать эти задачи.

На доске записывается тема и цель урока.

1. Изучение нового материала.

В математике много задач, которые удобнее решать не арифметическим, а алгебраическим способом, т.е. с помощью составления уравнений. При решении задач способом составления уравнения чаще всего буквой следует обозначать то, что требуется найти в задаче.

— Давайте с вами попробуем решить данную задачу уравнением

Разбор задачи:

— О чем говорится в задаче?

— Что нам неизвестно?

— Яблок стало больше или меньше?

— Какое можно составить уравнение?

Решение задачи записывается учителем на доске, а учащиеся в тетради.

Было	Добавили	Стало
х	15	65

Решение:

х + 15 = 65

х= 65 -15

х= 50

50 – яблок

Ответ: 50 яблок было в корзине.

Карточка №1 (работа в парах)

В канистре, где был бензин, перед поездкой, долили еще 10 л. Во время поездки было израсходовано 12 л бензина, после чего в канистре осталось 32 л. Сколько литров бензина было в канистре первоначально?

Разбор задачи. И запись её решения на доске и в тетрадях учащихся.

Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.

Решение.

Составим таблицу:

Было	Долили	Израсходовали
х	10	12

Составим уравнение:

(х + 10) -12 = 32

(х + 10) = 32 +12

х + 10 = 44

х = 44 -10

х= 34

34 -литра

Ответ: 34 литра бензина было.

Ребята, каким образом поступают при решении задач с помощью уравнений?

• Обозначают некоторое неизвестное число буквой, и, используя условие задачи, составляют уравнение.

• Решают уравнение.

• Истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

1. Физминутка.

Или

Быстро встали, улыбнулись.

Выше-выше потянулись.

Ну-ка, плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали. Сели, встали.

И на месте побежали.

1. Закрепление изученного материала (карточка №2)

№1. В автобусе было несколько пассажиров. После того как на остановке вышло 9 пассажиров, в автобусе осталось 42 пассажира. Сколько пассажиров было в автобусе первоначально?

Было	Вышло	Осталось
х	9	42

Решение:

х – 9 = 42

х = 42 + 9

х = 51

51 – пассажир

Ответ: 41 пассажир был в автобусе первоначально.

№2 Аня задумала число. Если к этому числу прибавить 15 и от полученной суммы отнять 13, то получится 58. Какое число задумала Аня?

Решение:

(х + 15) -13 = 58

х + 15 = 58 +13

х + 15 = 71

х= 71 – 15

х = 56

Ответ: Аня задумала число 56.

Проверка решения. (Слайд 3-4)

— Обменяйтесь тетрадями и сверьте решение в тетради и на экране

1. Самостоятельная работа

Составьте уравнение по задаче (карточка № 3):

1.В книге 50 страниц. После того как Оля прочитала несколько страниц, ей осталось прочитать ещё 17. Сколько Страниц прочитала Оля?	50 – х = 17
2. На двух машинах вместе 32т груза. На одной машине 18т. Сколько груза на второй машине?	х + 18 =32
3. В автобусе было несколько пассажиров. После того как на остановке вышло 8 человек, в автобусе осталось 37 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе первоначально?	х – 8 = 37
4. Я задумала число. Если его увеличить на 21, то получится 90. Какое число я задумала?	х + 21 = 90
5. При уменьшении 76 на это число получилось 64. На сколько уменьшили число 76 ?	76 – х = 64

Проверка полученных уравнений (Слайд 5 )

— Ребята поднимите руки кто не сделал ни одной ошибки? Молодцы! А остальным надо будет ещё потрудиться!

1. Рефлексия (Слайд 6 )

— Наш урок подходит к концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями и сегодняшнем уроке. Вам для этого помогут слова (если хотите одним предложением):

— Я узнал…..

— Я научился…..

— Я увидел….

— Я сначала испугался, а потом…

Подведение итогов урока

1. Домашнее задание (Слайд 7)

Придумайте задачу , которая бы решалась уравнением. Напишите текст задачи, занесите данные в таблицу и решите её.

Или № 396 (а, б) № 397 (б)

— Всем спасибо за урок! Покажите с каким настроением вы заканчиваете урок? Покажите смайлик. Урок окончен!

11

multiurok.ru

Решение задач с помощью уравнений

II этап. Работа с математической моделью.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

6 книг было на II полке.

6*5= 30 (книг) – было на I полке.

Ответ: 30 книг, 6 книг.

.Отцу сейчас 26 лет, а его сыну – 2 года.
Через сколько лет отец будет в 5 раз старше сына?

Задача №3. (Решается у доски)  I этап. Составление математической модели.

Вопросы по ходу решения и заполнения таблицы:

1. Как найти расстояние, зная время и скорость движения? (S = V* t)

2. Что означают выражения: 6х, х + 12, 2*(х + 12).

3. Есть ли среди этих выражений равные? Какие?

Составим и решим уравнение: 6х = 2*(х + 12).

II этап. Работа с математической моделью.

6х = 2х + 24

4х = 24

х = 6.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

6 км/ч – скорость пешехода.

Ответ: 6 км/ч.

IV. Самостоятельная работа. (8 минут)

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Решите задачу:

В одной корзине было в 3 раза больше кг ягод, чем в другой. Когда из одной корзины взяли 8 кг, а в другую корзину добавили 14 кг, то количество кг ягод в обеих корзинах стало поровну. Сколько кг ягод в каждой корзине было первоначально?

2. Решите уравнение:

0,4(х – 3)=0,5(4 + х) – 2,5

Самостоятельная работа.

Вариант 2.

1. Решите задачу:

На первом складе было в 4 раза больше центнеров яблок, чем на другом. Когда на первый склад привезли 15 центнеров, а на второй склад 3 центнеров, то количество яблок на складах стало поровну. Сколько центнеров яблок на каждом складе было первоначально?

2. Решите уравнение:

0,4(х – 9)=0,3(2 + х) + 0,7

V. Подведение итогов урока. (5 минут)

Сбор тетрадей на проверку.

Повторить: этапы работы с задачей при решении ее с помощью уравнения.

— Мы сегодня занимались решением задач с помощью уравнений. С поставленной задачей справились успешно. В течение урока я поставила следующие оценки следующим ученикам…

VI. Определение домашнего задания. (1 минута)

1.Глубина одного котлована на 4 м больше глубины другого. Если глубину второго котлована увеличить в 2 раза, то он станет на 2 м больше глубины первого котлована. Найдите глубину каждого котлована.

2.В классной комнате стоят парты. Если за каждую парту посадить по одному ученику, то семи ученикам не хватит места. А если посадить по 2 ученика, то 5 парт останутся свободными. Определите число парт и число учеников в классе.

infourok.ru