Знаходження інтеграла: Неприпустима назва — Вікіпедія

Содержание

Метод інтегрування частинами. Практичне застосування

Із формули диференціала добутку інтегруванням двох частин рівності одержуємо формулу інтегрування частинами

За цією формулою знаходження інтеграла зводиться до знаходження іншого інтеграла Застосовувати цю формулу потрібно в тих випадках, коли інтеграл легко знаходитися. Якщо неправильно вибрати , то завдання навпаки може ускладнитись. Для застосування формули інтегрування частинами до інтегралу необхідно підінтегральний вираз представити в вигляді добутку двох множників та . За диференціал завжди вибирають такий вираз, що містить . Його інтегруванням можна знайти . За в більшості випадків приймається функція, яка при диференціюванні спрощується.
В такий спосіб на перший погляд важкі і незрозумілі, з точки зору обчислень, інтеграли можна швидко звести до табличного вигляду.

Поширені приклади інтегрування частинами

Приклад 1. Обчислити невизначені інтеграли методом інтегрування частинами.
а) якщо на практиці Ви зустрінете добуток полінома на синус чи косинус, то останні і слід вносити під диференціал
 

б) Перший раз арктангенс залишаємо, а за dv позначаємо dx. Далі обчислюємо похідну арктангенса та підставляємо.
подальші заміни для інтегрування частинами розбирайте самостійно з формули
  

 

Приклад 2. Обчислити інтеграли

а)

Розв’язок: Даний інтеграл один з класичних в курсі вищої математики. Функції підбираємо таким чином


Згідно формул інтегрування частинами маємо

 

б)

Розв’язок: Для даного інтеграла функції для підстановки вибираємо у вигляді


За формулою отримаємо



На цьому прикладі добре видно ефективність методу підстановки. Ніяка інша методика не дозволяє так швидко обчислити інтеграл.

 

в)

Розв’язок: Для заданого заміни вибираємо наступними


Підставляємо в інтеграл та обчислюємо його


Бачимо, що знову отримали інтеграл до якого потрібно застосувати правило інтегрування частинами. За схемою вибираємо функцію

Формли для беремо з попереднього інтегрування. Підставляємо в інтеграл та знаходимо

Останній доданок потребує повторного інтегрування частинами. Для цього записуємо заміну змінних

Друга змінна залишається без змін. Залишився один крок до повного обчислення значення інтегралу.


Всі внутрішні інтеграли підставляємо у початкову формулу




Це і є відповіддю до завдання.

 

г)

Розв’язок: Вибираємо функції для застосування правила заміни змінних у вигляді


За правилами інтегрування отримаємо

Останній інтеграл знайдемо за правилом розкладу, для цього чисельник доповнюємо до вигляду знаменника


Остаточно інтеграл матиме вигляд


д)

Розв’язок: За функції u,v вибираємо наступні


За правилом інтегрування частинами знаходимо неозначений інтеграл

Для останнього доданку необхідно повторно застосувати інтегрування частинами.
Першу функцію вибираємо так

— залишається без змін. Обчислюємо інтеграл

Значення інтегралу підставимо в попередній вираз


В цьому завдання застосовувати правило доводилося повторно. Це не складно, адже Ви тепер знаєте, яку робити заміну змінних при інтегруванні частинами.

 

е)

Розв’язок:Вибираємо функції u,v для заміни змінних наступними


Здійснимо інтегрування частинами

Далі u залишаємо без змін, а v знаходимо інтегруванням

Повторно інтегруємо косинус

Необхідно зауважити, що шуканий інтеграл та останній однакові. Позначимо їх

При цьому отримуємо рекурентну залежність


З рівняння виражаємо невідомий інтеграл



Інтеграли на подобі останнього зустрічаються доволі рідко, проте вимагають особливої уваги при їх розв’язанні. Найменша помилка може призвести до ускладнення інтегралу і красивого рівняння Ви можете не отримати. Тому будьте уважні при обчисленнях.
Сподіваюсь, що з даного уроку Ви багато потрібного для себе почерпнули. Практикуйте в розв’язуванні задач і до зустрічі в наступних уроках.

знаходження площі плоскої фігури за допомогою інтеграла

Тема. Обчислення площі плоскої фігури за допомогою інтеграла.

Мета.

навчальна: формувати в учнів вміння застосовувати інтеграл до знаходження площ плоских фігур;

розвиваюча: розвивати логічне мислення, пам’ять, увагу, математичну грамотність, уміння лаконічно й чітко формулювати думку.

виховна: виховувати акуратність, наполегливість, толерантність, інтерес до вивчення                    математики.

Тип уроку: формування вмінь і навичок.

Обладнання та наочність: презентація « Обчислення площ плоских фігур»,

Хід уроку.

І. РОЗМИНКА.

Переконана, що для кожнонг, хто тут присутній, незаперечним фактом є те, що для пізнання  нового використовують відомості, уміння, навички попередні. А в математиці – особливо. Тому пропоную пригадати терміни, поняття, що згадувались на попередніх уроках, за допомогою ХМАРИ СЛІВ, яку ви маєте завантажено на ваших гаджетах. (Учні називають і коментують). — Чи є серед даних понять те, що ми  ще не згадували?(площа плоскої фігури)

Так дійсно, саме з цим поняттям ми сьогодні ознайомимось.

Запишемо тему: Знаходження площі плоскої фігури, обмеженої лініями, за допомогою інтеграла

 

І пропоную спочатку розглянути ваше домашнє завдання.

 В домашньому завданні вам потрібно було знайти площі деяких фігур.

Д/З. перевірка (слайд 1)

 

На рис. зображено графіки функцій (пряма РК) і   х = — 3 (пряма РМ). Установіть відповідність між фігурами (1-4) і числовими значеннями їх площ (А-Д).

  1.               МРКО                             А. 4
  2.               NOK                                Б.
    4,5
  3.               MNP                                B.
  4.                PKN (затушована)          Г.

                                                           Д. 7,5

                                                                                                                              

 

Запитання до класу:

  • Чи усі фігури є криволінійними трапеціями? ( остання ні)
  • Як ви знайшли площу зафарбованої фігури? (як різницю між першою і сумою другої і третьої)
  • Чи не задовгий шлях?
  • Чим обмежена дана фігура? Чи замітили  ви різницю між криволінійною трапецією і фігурою , що не нею?

 

ІІ. ОБГРУНТУВАННЯ НАВЧАННЯ

 

Давайте розглянемо подібні фігури у загальному вигляді і спробуємо скласти формулу для знаходження її площі, використовуючи відомі нам знання – площу криволінійної трапеції.

 (слайд 2)

Запитання

  • Що спільного у всіх малюнках? Що відмінного?

А)     Б)

 

                          В)

А) S=Sf-Sg  =  =

Б) S=Sf+Sg =  + (- ) = ­=

В) S=Sg-Sf =(- ) – (- ) = ­=

Отже, формула       S= дає можливість  знаходити   площі

плоских фігур, що не є криволінійними трапеціями і обмежені лініями, за допомогою інтеграла.

 

І давайте повернемось до домашнього завдання. Знайдемо площу замальованої фігури за отриманою формулою.( слайд 3) На рис. зображено графіки функцій (пряма РК) і   х = — 3 (пряма РМ).

 

 

 

ІІІ. УСВІДОМЛЕННЯ ЗМІСТУ.

ЗАВДАННЯ 1.

(Слайд 4). Записати формулу знаходження площі зафарбованої фігури.

 

 

Запитання до класу:

  • Як знайти значення с, якщо б не було задано?
  • Як знайти точку перетину двох графіків функцій?

ЗАВДАННЯ 2.

(Слайд 5). Вибрати правильну відповідь

 

 

 

 

 

ЗАВДАННЯ 3.

(Слайд 6). Знайти площу фігури, обмежену лініями 

 

 

Запитання:

 

  • де і яка функція зображена?
  • Які межі інтегрування?
  • Як знайти межі інтегрування? (прирівняти дві функції і розв’язати рівняння)

 

Учні знаходять межі, записують формулу для знаходження площі фігури і обчислюють інтеграл.

Сформулюємо алгоритм знаходження площі фігури, обмеженої лініями:

1.Знайти точки перетину графіків ( їх абсциси є межами інтегрування).

2. побудувати графіки даних функцій і замалювати фігуру.

3. знайти площу за допомогою інтеграла.

 

ЗАВДАННЯ 4. Підручник № 11.10 (11) авт.. Мерзляк, Полонський

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у=х2 і  у=х3.

 

ПІДСУМОК.

 З чим ознайомились?

Що вчились робити?

Що склали? (алгоритм)

Прошу прорангувати складність виконання кроків алгоритму по складності саме для вас. (проговорюємо найважчий крок)

Д / З. Розв’язати  № 11.10 (1,2), виконати вправу за посиланням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повернемось до слів В. Кілпатріка


Поставимо перед собою завдання розв’язати задачу практичного характеру: Обчислити площу перерізу серповидної опори,  в якої верхній і нижній контури є параболами. Серповидна опора задовольняє початковим умовам: (слайд 10)

Розв’язання


1. Перенесемо рисунок задачі в декартову систему координат (слайд 11)

 

2. Згідно умови переріз  опори є  параболічний сегмент. Отже потрібно задати формули парабол, які обмежують даний сегмент: (слайд 12)

— загальний вигляд контурів опори. Причому, використовуючи теорію перетворення та умову задачі можемо записати, що рівняння набуває вигляду , Залишається знайти значення коефіцієнта

аi:  за побудовою графіки проходить через  точку . Отже, координати цієї точки повинні задовольняти рівнянням обох парабол: Знайдемо рівняння, яке задає нижній контур: . Отже нижня опора задається рівнянням .

  • Знайдемо рівняння верхньої опори.

. Отримали, що верхня опора задається рівнянням:          

  1.    Чи є побудована фігура криволінійною трапецією? ( Відповідь: ні)

КОМЕНТАР. Від площі перерізу опори звичайно залежить міцність опори, площа опори впливає на її об’єм , а об’єм такої фігури також знаходиться за допомого інтеграла. Але про це ми поговоримо  на наступних уроках.

(Слайд 14). Записати формулу площі зафарбованої фігури та знайти площу.

 

Як вирішувати складні певні інтеграли. Рішення певного інтеграла онлайн. Обчислення визначених інтегралів методом інтегрування частинами і методом заміни змінної

Рішення інтегралів — завдання легка, але тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого або майже нічого. Інтеграл … Навіщо він потрібен? Як його обчислювати? Що таке певний і невизначений інтеграли?

Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла — діставати гачком в формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати найпростіші та інші інтеграли і чому без цього ніяк не можна обійтися в математиці.

вивчаємо поняття « інтеграл »

Інтегрування було відомо ще в Древньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З тих пір математики написали дуже багато книг по цій темі. особливо відзначилися

ньютон і Лейбніц , Але суть речей не змінилася.

Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знання основ математичного аналізу. Відомості про, необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас в блозі.

невизначений інтеграл

Нехай у нас є якась функція f (x) .

Невизначеним інтегралом функції f (x) називається така функція F (x) , Похідна якої дорівнює функції f (x) .

Іншими словами інтеграл — це похідна навпаки або первісна. До речі, про те, як читайте в нашій статті.


Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають знак константи, так як похідні функцій, що розрізняються на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.

Простий приклад:

Щоб постійно не вираховувати Первісні елементарних функцій, їх зручно звести в таблицю і користуватися вже готовими значеннями.

Повна таблиця інтегралів для студентів


Визначений інтеграл

Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях і багато іншого. Слід пам’ятати, що інтеграл — це сума нескінченно великої кількостінескінченно малих доданків.

Як приклад уявімо собі графік якої-небудь функції.


Як знайти площу фігури, обмеженої графіком функції? За допомогою інтеграла! Розіб’ємо криволинейную трапецію, обмежену осями координат і графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площа трапеції. Але пам’ятайте, що таке обчислення дасть приблизний результат. Однак чим менше і вже будуть відрізки, тим точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх до такої міри, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:


Точки а і b називаються межами інтегрування.


« інтеграл »

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Правила обчислення інтегралів для чайників

Властивості невизначеного інтеграла

Як вирішити невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості не певного інтеграла, Які стануть в нагоді при вирішенні прикладів.

  • Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральної функції:

  • Константу можна виносити з-під знака інтеграла:

  • Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів. Вірно також для різниці:

Властивості визначеного інтеграла

  • Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:

  • при будь-якихточках a, bі з:

Ми вже з’ясували, що певний інтеграл — це межа суми. Але як отримати конкретне значення при вирішенні прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:

Приклади розв’язання інтегралів

Нижче розглянемо невизначений інтеграл і приклади з рішенням. Пропонуємо самостійно розібратися в тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, задавайте питання в коментарях.


Для закріплення матеріалу подивіться відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Чи не впадайте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться в професійний сервіс для студентів, і будь-який потрійний або криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.

Даний калькулятор дозволяє вирішити певний інтеграл онлайн. По суті, обчислення визначеного інтеграла— це знаходження числа, яке дорівнює площі під графіком функції. Для вирішення необхідно задати кордону інтегрування і інтегруються функцію. Після інтегрування система знайде первісну для заданої функції, вирахує її значення в точках межах інтегрування, знайде їх різниця, що і буде рішенням певного інтеграла. Щоб вирішити невизначений інтеграл вам необхідно скористатися схожим онлайн калькулятором, Який знаходиться на нашому сайті за посиланням — Вирішити невизначений інтеграл.

ми дозволяємо обчислити визначений інтеграл онлайншвидко і надійно. Ви отримаєте завжди вірне рішення. Причому для табличних інтегралів відповідь буде представлятися в класичному вигляді, тобто виражатися через відомі константи, такі як число «пі», «експонента» і т.д. Всі обчислення повністю безкоштовні і не вимагають реєстрації. Вирішуючи певний інтеграл у нас, ви позбавите себе від трудомістких і складних обчислень, Або вирішивши інтеграл самостійно — ви зможете перевірити отримане вами рішення.

У кожному розділі будуть і завдання для самостійного рішення, до яких можна подивитися відповіді.

Поняття визначеного інтеграла і формула Ньютона-Лейбніца

певним інтегралом від безперервної функції f(x) На кінцевому відрізку [ a, b] (Де) називається приріст який-небудь її первісної на цьому відрізку. (Взагалі, розуміння помітно полегшиться, якщо повторити тему невизначеного інтеграла) При цьому використовується запис

Як видно на графіках внизу (приріст первісної функції позначено), визначений інтеграл може бути як позитивним, так і негативним числом (Обчислюється як різниця між значенням первообразной в верхній межі і її ж значенням в нижній межі, т. Е. Як F(b) — F(a)).

числа aі bназиваються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, а відрізок [ a, b] — відрізком інтегрування.

Таким чином, якщо F(x) — якась первісна функція для f(x), То, згідно з визначенням,

(38)

Рівність (38) називається формулою Ньютона-Лейбніца . різниця F(b) – F(a) Коротко записують так:

Тому формулу Ньютона-Лейбніца будемо записувати і так:

(39)

Доведемо, що визначений інтеграл не залежить від того, яка первісна підінтегральної функції взята при його обчисленні. нехай F(x) І Ф ( х) — довільні первісні підінтегральної функції. Так як це первісні однієї і тієї ж функції, то вони відрізняються на постійний доданок: Ф ( х) = F(x) + C. Тому

Тим самим встановлено, що на відрізку [ a, b] Збільшення всіх первісних функції f(x) Збігаються.

Таким чином, для обчислення певного інтеграла необхідно знайти будь-яку первісну підінтегральної функції, тобто спочатку слід знайти невизначений інтеграл. Постійна З з наступних обчислень виключається. Потім застосовується формула Ньютона-Лейбніца: в первісну функцію підставляється значення верхньої межі b , далі — значення нижньої межі a і обчислюється різниця F (b) — F (a) . Отримане число і буде певним інтегралом..

при a = bза визначенням приймається

Приклад 1.

Рішення. Спочатку знайдемо невизначений інтеграл:

Застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца до первісної

(при З= 0), отримаємо

Однак при обчисленні визначеного інтеграла краще не знаходити окремо первісну, а відразу записувати інтеграл у вигляді (39).

Приклад 2.Обчислити визначений інтеграл

Рішення. використовуючи формулу

Знайти певний інтеграл самостійно, а потім подивитися рішення

Властивості визначеного інтеграла

Теорема 2.Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування, Тобто

(40)

нехай F(x) — первісна для f(x). для f(t) Первісної служить та ж функція F(t), В якій лише інакше позначена незалежна змінна. отже,

На підставі формули (39) остання рівність означає рівність інтегралів

Теорема 3.Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, Тобто

(41)

Теорема 4.Певний інтеграл від алгебраїчної суми кінцевого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів від цих функцій, Тобто

(42)

Теорема 5.Якщо відрізок інтегрування розбитий на частини, то визначений інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі визначених інтегралів за його частинами, Тобто якщо

(43)

Теорема 6. При перестановці меж інтегрування абсолютна величина певного інтеграла не змінюється, а змінюється лише його знак, Тобто

(44)

теорема 7(Теорема про повну загальну середню). Визначений інтеграл дорівнює добуткудовжини відрізка інтегрування на значення підінтегральної функції в деякій точці всередині його, Тобто

(45)

Теорема 8.Якщо верхня межа інтегрування більше нижнього і підінтегральна функція невід’ємна (позитивна), то і певний інтеграл неотрицателен (позитивний), тобто якщо


Теорема 9.Якщо верхня межа інтегрування більше нижнього і функції і безупинні, то нерівність

можна почленно інтегрувати, Тобто

(46)

Властивості визначеного інтеграла дозволяють спрощувати безпосереднє обчислення інтегралів.

Приклад 5.Обчислити визначений інтеграл

Використовуючи теореми 4 і 3, а при знаходженні первісних — табличні інтеграли (7) і (6), отримаємо


Певний інтеграл із змінною верхньою межею

нехай f(x) — безперервна на відрізку [ a, b] Функція, а F(x) — її Первісна. Розглянемо певний інтеграл

(47)

а через tпозначена змінна інтегрування, щоб не плутати її з верхньою межею. При зміні хзмінюється і опредёленний інтеграл (47), тобто він є функцією верхньої межі інтегрування х, Яку позначимо через Ф(х), Тобто

(48)

Доведемо, що функція Ф(х) Є первісною для f(x) = f(t). Дійсно, диференціюючи Ф(х), Отримаємо

так як F(x) — первісна для f(x), А F(a) — постійна величина.

функція Ф(х) — одна з нескінченної кількості первісних для f(x), А саме та, яка при x = aзвертається в нуль. Це твердження виходить, якщо в рівність (48) покласти x = aі скористатися теоремою 1 попереднього параграфа.

Обчислення визначених інтегралів методом інтегрування частинами і методом заміни змінної

де, за визначенням, F(x) — первісна для f(x). Якщо в подинтегрального вираженні зробити заміну змінної

то відповідно до формули (16) можна записати

У цьому виразі

Первісна функція для

Справді, її похідна, згідно правилом диференціювання складної функції, дорівнює

Нехай α і β — значення змінної t, При яких функція

приймає відповідно значення aі b, Тобто

Але, згідно з формулою Ньютона-Лейбніца, різниця F(b) – F(a) є

>> >> >> методи інтегрування

Визначення інтеграла, визначеного і невизначеного, таблиця інтегралів, формула Ньютона-Лейбніца, інтегрування по частинах, приклади обчислення інтегралів.

невизначений інтеграл

Нехай u = f (x) і v = g (x) — функції, що мають безперервні. Тоді, по твору,

d (uv)) = udv + vdu або udv = d (uv) — vdu.

Для вираження d (uv) первісної, очевидно, буде uv, тому має місце формула:

∫ udv = uv — ∫ vdu (8. 4.)

Ця формула виражає правило інтегрування по частинах. Воно призводить інтегрування виразу udv = uv «dx до інтегрування виразу vdu = vu» dx.

Нехай, наприклад, потрібно знайти ∫xcosx dx. Покладемо u = x, dv = cosxdx, так що du = dx, v = sinx. тоді

∫xcosxdx = ∫x d (sin x) = x sin x — ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад, ∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.

Визначений інтеграл

методи інтегрування, Поняття певного інтеграла вводиться наступним чином. Нехай на відрізку визначена функція f (x). Розіб’ємо відрізок [a, b] на n частин точками a = x 0Δ x i = x i — x i-1. Сума виду f (ξ i) Δ x i називається інтегральною сумою, а її межа при λ = maxΔx i → 0, якщо він існує і кінцевий, називається певним інтеграломфункції f (x) від a до b і позначається:

F (ξ i) Δx i (8. 5).

Функція f (x) в цьому випадку називається інтегрованою на відрізку, Числа a і b носять назву нижнього і верхнього меж інтеграла.

методи інтегруваннямають такі властивості:

Остання властивість називається теоремою про середнє значення.

Нехай f (x) неперервна на. Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл

∫f (x) dx = F (x) + C

і має місце формула Ньютона-Лейбніца, Cвязивающая певний інтеграл з невизначеним:

F (b) — F (a). (8.6)

Геометрична інтерпретація: є площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривою y = f (x), прямими x = a і x = b і відрізком осі Ox.

невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами і інтеграли від розривних (необмежених) функцій називаються невласними. Невласні інтеграли I роду —це інтеграли на нескінченному проміжку, що визначаються наступним чином:

(8.7)

Якщо ця межа існує і кінцевий, то називається збіжним невласних інтегралом від f (x) на інтервалі [а, + ∞), а функцію f (x) називають інтегрованою на нескінченному проміжку [а, + ∞). В іншому випадку про інтеграл кажуть, що він не існує або розходиться.

Аналогічно визначаються невласні інтеграли на інтервалах (-∞, b] і (-∞, + ∞):

Визначимо поняття інтеграла від необмеженої функції. Якщо f (x) неперервна для всіх значень x відрізка, крім точки с, в якій f (x) має нескінченний розрив, то невласних інтегралом II роду від f (x) в межах від a до bназивається сума:

якщо ці межі існують і кінцеві. позначення:

Приклади обчислення інтегралів

Приклад 3.30.Обчислити ∫dx / (x + 2).

Рішення. Позначимо t = x + 2, тоді dx = dt, ∫dx / (x + 2) = ∫dt / t = ln | t | + C = ln | x + 2 | + C.

приклад 3.31. Знайти ∫ tgxdx.

Решеніе.∫ tgxdx = ∫sinx / cosxdx = — ∫dcosx / cosx. Нехай t = cosx, тоді ∫ tgxdx = -∫ dt / t = — ln | t | + C = -ln | cosx | + C.

приклад3.32 . Знайти ∫dx / sinx

приклад3.33. Знайти.

Рішення. =

.

приклад3.34 . Знайти ∫arctgxdx.

Рішення. Інтегруємо частинами. Позначимо u = arctgx, dv = dx. Тоді du = dx / (x 2 +1), v = x, звідки ∫arctgxdx = xarctgx — ∫ xdx / (x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + C; так як
∫xdx / (x 2 +1) = 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) = 1/2 ln (x 2 +1) + C.

приклад3.35 . Обчислити ∫lnxdx.

Рішення.Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
u = lnx, dv = dx, du = 1 / x dx, v = x. Тоді ∫lnxdx = xlnx — ∫x 1 / x dx =
= Xlnx — ∫dx + C = xlnx — x + C.

приклад3.36 . Обчислити ∫e x sinxdx.

Рішення. Застосуємо формулу інтегрування частинами. Позначимо u = e x, dv = sinxdx, тоді du = e x dx, v = ∫sinxdx = — cosx → ∫ e x sinxdx = — e x cosx + ∫ e x cosxdx. ∫e x cosxdx також інтегруємо частинами: u = e x, dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. маємо:
∫ e x cosxdx = e x sinx — ∫ e x sinxdx. Отримали співвідношення ∫e x sinxdx = — e x cosx + e x sinx — ∫ e x sinxdx, звідки 2∫e x sinx dx = — e x cosx + e x sinx + С.

приклад 3.37. Обчислити J = ∫cos (lnx) dx / x.

Решеніе.Так як dx / x = dlnx, то J = ∫cos (lnx) d (lnx). Замінюючи lnx через t, приходимо до табличного інтегралу J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.

приклад 3.38 . Обчислити J =.

Рішення. З огляду на, що = d (lnx), виробляємо підстановку lnx = t. Тоді J = .

приклад 3.39 . Обчислити J = .

Рішення. маємо: . Тому =

У більшості прикладних задач обчислювати точне значення певного інтеграла не доцільно, більш того, це далеко не завжди можливо. Часто нам буває досить знати значення певного інтеграла з деяким ступенем точності, наприклад, з точністю до однієї тисячної.

Для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла з необхідною точністю застосовують чисельне інтегрування, наприклад, метод Сімпсона (метод парабол), метод трапецій або метод прямокутників. Однак, в деяких випадках можна обчислити визначений інтеграл точно.

У цій статті ми зупинимося на використанні формули Ньютона-Лейбніца для обчислення точного значення певного інтеграла, наведемо докладний рішення характерних прикладів. Також на прикладах розберемося з заміною змінної в певному інтегралі і з перебуванням значення певного інтеграла при інтегруванні частинами.

Навігація по сторінці.

Формула Ньютона-Лейбніца.

Нехай функція y = f (x) неперервна на відрізку і F (x) — одна з первісних функції на цьому відрізку, тоді справедлива:.

Формулу Ньютона-Лейбніца називають основною формулою інтегрального числення.

Для доказу формули Ньютона-Лейбніца нам буде потрібно поняття інтеграла із змінною верхньою межею.

Якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку, то для аргументу інтеграл виду є функцією верхньої межі. Позначимо цю функцію , Причому ця функція безперервна і справедливо рівність .

Дійсно, запишемо приріст функції, відповідне приросту аргументу і скористаємося п’ятим властивістю певного інтеграла і наслідком з десятого властивості:

де.

Перепишемо це рівність у вигляді . Якщо згадати і перейти до межі при, то отримаємо. Тобто, — це одна з первісних функції y = f (x) на відрізку. Таким чином, безліч всіх первісних F (x) можна записати як , Де С — довільна стала.

Обчислимо F (a), використовуючи першу властивість певного інтеграла: , Отже,. Скористаємося цим результатом при обчисленні F (b):, тобто . Це рівність дає доводить формулу Ньютона-Лейбніца.

Приріст функції прийнято позначати як . Користуючись цим позначенням, формула Ньютона-Лейбніца набуде вигляду .

Для застосування формули Ньютона-Лейбніца нам досить знати одну з первісних y = F (x) підінтегральної функції y = f (x) на відрізку і обчислити приріст цієї первісної на цьому відрізку. У статті розібрані основні способи знаходження первісної. Наведемо кілька прикладів обчислення певних інтегралів за формулою Ньютона-Лейбніца для роз’яснення.

Приклад.

Обчислити значення певного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення.

Для початку зазначимо, що підінтегральна функція неперервна на відрізку, отже, інтегрована на ньому. (Про що інтегруються функції ми говорили в розділі функції, для яких існує певний інтеграл).

Розберемо на прикладі для ясності.

Приклад.

Обчислити значення певного інтеграла .

Рішення.

Підінтегральна функція неперервна на відрізку інтегрування, отже, певний інтеграл існує.

позначимо . При x = 9 маємо, а при x = 18 маємо, тобто,. Підставляємо отримані результати в формулу :

З таблиці невизначених інтегралів видно, що однією з первісних функції є функція, тому, за формулою Ньютона-Лейбніца маємо

Можна було обійтися і без формули .

Якщо методом заміни змінної взяти невизначений інтеграл , То ми прийдемо до результату .

Таким чином, за формулою Ньютона-Лейбніца обчислюємо визначений інтеграл:

Як бачите, результати збігаються.

Інтегрування по частинах при обчисленні визначеного інтеграла.

функція є інтегрованою на відрізку в силу своєї безперервності.

нехай u (x) = x, а , тоді , а . За формулою отримуємо

Цей приклад можна вирішити і по-іншому.

Знаходимо безліч первісних функції інтеграцією по частинах і застосовуємо формулу Ньютона-Лейбніца:

Интеграл Эйлера — Пуассона. Подробно о способах вычисления / Хабр

В статье подробно, вплоть до самых мелочей, рассмотрены три способа взятия интеграла Эйлера-Пуассона. В одном из способов выводится вспомогательная формула редукции. Для нахождения некоторых сложных интегралов можно использовать формулы редукции, которые позволяют понизить степень подынтегрального выражения и вычислить соответствующие интегралы за конечное число шагов.

Данный интеграл берется от гауссовой функции:
Здесь есть очень интересный математический способ. Чтобы найти исходный интеграл, сначала ищут квадрат этого интеграла, а потом от результата берут корень. Почему? Да потому что так гораздо проще и безболезненно можно перейти в полярный координаты. Поэтому, рассмотрим квадрат Гауссового интеграла:

Мы видим, что у нас получается двойной интеграл от некоторой функции . В конце этого поверхностного интеграла стоит элемент площади в декартовой системе координат .
Теперь давайте переходить в полярную систему координат:

Тут нужно заметить, что r может изменяться в пределах от 0 до +∞, т.к. x изменялось в таких же пределах. А вот угол φ изменяется от 0 до π/2, что описывают область интегрирования в первой четверти декартовой системы координат. Подставляя в исходный, получим:

В силу симметричности интеграла и положительной области значений подынтегральной функции, можно заключить, что

Давайте поищем ещё какие-нибудь решения? Это ведь интересно! 🙂

Рассмотрим функцию
А теперь вспомним школьную математику и проведем простейшее исследование функции с помощью производных и пределов. Не то, чтобы мы здесь будем считать сложные пределы (ведь в школе их не проходят), а просто порассуждаем что будет с функцией, если её аргумент стремится к нулю или к бесконечности, таким образом прикинем асимптотическое поведение, что в математике всегда очень важно. Это похоже на качественную оценку того, что происходит.

Она ограничена сверху единицей на интервале (-∞;+∞) и нулем на интервале [-1;+∞).

Cделаем следующую замену переменных
И получим:

Ограничим в первом неравенстве изменение (0,1), а во втором — промежутком (0;+∞), возведём оба неравенства в степень n, так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим:

Давайте для наглядного доказательства неравенств построим графики при n = 1


Теперь попробуем проинтегрировать неравенства в пределах, которые указаны в соответствующих системах. И сразу объединим всё в одно неравенство:

Опять таки, если посмотреть на графики, то данное неравенство справедливо.

С учетом небольшой замены, легко увидеть, что:

Т.е. в том большом неравенстве в середине у нас интеграл Эйлера-Пуассона, а вот теперь нам нужно найти интегралы, которые стоят на границах данного неравенства.

Найдем интеграл от левой границы:

Для того, чтобы его посчитать и оценить, давайте сначала найдем интеграл общего вида. Сейчас я покажу вам как можно вывести формулу редукции ( в математике под такими формулами подразумевают понижения степени ) для данного интеграла.

Теперь если с помощью формулы редукции рассмотреть тот же интеграл, но с нашими пределами от 0 до π/2, то можно сделать некоторые упрощения:

Как мы видим, понижать можно до бесконечности (зависит от n). Однако, и тут есть одна тонкость. Формула изменяется в зависимости то того, является ли n четным числом или не является.

Для этого рассмотрим два случая.

Где n!! — двойной факториал. Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1, n], имеющих ту же чётность что и n

В силу того, что 2n+1 — нечетное число при любом значении n, получим для левой границы нашего неравенства:


Найдем интеграл от правой границы:

(здесь используем ту же формулу редукции, которую доказали ранее)

После того, как мы оценили левую и правую части неравенства, сделаем некоторые преобразования, чтобы оценить пределы левой и правой частей неравенства при условии, что n стремится к ∞:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Теперь сделаем небольшое лирическое отступление. В 1655 году Джон Валлис (английский математик, один из предшественников математического анализа.) предложил формулу для определения числа π. Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа π формула Валлиса мало пригодна. Но для оценки нашего выражения она отлично подходит 🙂

Теперь преобразуем наше неравенство так, чтобы мы могли увидеть где подставить формулу Валлиса:

Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к π/4 при n → ∞

В силу того, что функция exp[-x²] является четной, мы смело полагаем, что

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

Давайте еще попробуем вычислить Гауссов интеграл. Его можно написать в разных видах. Ведь ничего не меняет изменение название переменной, по которой идет интегрирование. 2

Что вы подразумеваете под целочисленным значением класса 12 по математике CBSE

Подсказка : Мы должны решить этот вопрос, сформулировав определение интегрального значения. Мы также сформулируем два типа интегралов. Мы также приведем примеры интегральных значений. Мы также укажем места, где можно использовать интегральные значения. Мы также приведем некоторые формулы для интегрирования функции. Мы также можем указать связь между дифференцированием и целыми величинами.

Полный пошаговый ответ :
Определение интегральных значений :
В общем термине целочисленное значение означает значение, полученное после интегрирования или сложения членов функции, которая делится на бесконечное число членов.

Типы интегральных значений:
(1) Неопределенный интеграл
(2) Определенный интеграл

(1) Неопределенный интеграл: антипроизводная или интегрирование функции, которая не интегрируется ни для какого конкретного значения или предела. Это просто определено в общих чертах. Интеграция слагаемых состоит из интегральной константы, которая может иметь любое значение. Интегральная константа добавляется, поскольку дифференцирование постоянного члена равно нулю. Таким образом, при интегрировании мы не можем вычислить значение этой константы в неопределенном интеграле, поэтому мы должны добавить интегральную константу, поскольку интегрирование не определено для предела.2} + c$ Где c — интегральная константа. Что мы не можем определить.

(2) определенный интеграл
Антипроизводная или интегрирование функции, которая интегрируется для любого конкретного значения или предела. Это просто определено в общих чертах. Интегрирование членов не состоит из интегральной константы. Когда функция интегрируется для определенного предела, мы получаем определенное значение функции.
Понятие целочисленных значений используется для нахождения значений площади или объема формы или области, образованной системой уравнений.Мы также можем определить смещение или ускорение функции движения.
Площадь или объем можно рассчитать, используя различные интегральные формулы и интегрируя функцию для ограничения. Постановка предела дает нам точное значение (интегральное значение) площади или объема.

Примечание : Различные формулы интегрирования: + {\text{}}C.\]
\[\smallint {\text{ }}a{\text{}}dx{\text{}} = {\text{}}ax + {\text{} } С.2}xdx = — \cot x + C$

4.9: Ожидаемое значение в виде интеграла

\(\newcommand{\var}{\text{var}}\) \(\newcommand{\sd}{\ text{sd}}\) \(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\) \(\newcommand{\cor}{\text{cor}}\) \(\renewcommand{\P}{ \mathbb{P}}\) \(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\) \(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\) \(\newcommand{\N} {\mathbb{N}}\) \(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)

Во вводном разделе мы определили математическое ожидание отдельно для дискретного, непрерывного и смешанного распределений, используя функции плотности.В разделе о дополнительных свойствах мы показали, как можно унифицировать эти определения, сначала определив ожидаемое значение для неотрицательных случайных величин в терминах функции распределения с правой стороны. Однако, безусловно, лучшее и наиболее элегантное определение ожидаемой ценности — это интеграл по отношению к лежащей в основе вероятностной мере. Это определение и обзор свойств ожидаемой ценности являются целями этого раздела. Никаких доказательств не требуется (будете рады узнать), так как все результаты следуют из общей теории интегрирования.Однако, чтобы понять экспозицию, вам необходимо просмотреть расширенные разделы по интегралу в отношении положительной меры и свойств интеграла. Если вы новичок в изучении вероятностей или не интересуетесь подробностями этого предмета с точки зрения теории меры, вы можете смело пропустить этот раздел.

Определения

Как обычно, нашей отправной точкой является случайный эксперимент, смоделированный вероятностным пространством \( (\Omega, \mathscr{F}, \P) \). Итак, \(\Omega\) — множество исходов, \(\mathscr{F} \) — \(\sigma\)-алгебра событий, а \(\P \) — вероятностная мера на выборочном пространстве \((\Омега, \mathscr F)\).n \), мы предполагаем, что \( S \) измеримо по Лебегу, и мы переводим \( \mathscr{S} \) в \( \sigma \)-алгебру измеримых по Лебегу подмножеств \( S \). Как отмечалось выше, вот теоретико-мерное определение:

Если \(X\) является случайной величиной с действительным знаком в вероятностном пространстве, ожидаемое значение \(X\) определяется как интеграл \(X\) по отношению к \(\P\), предполагая что интеграл существует: \[ \E(X) = \int_\Omega X \, d\P \]

Рассмотрим поэтапное определение интеграла, но уже с использованием обозначений теории вероятностей.- \) обозначают положительную и отрицательную части \( X \).

  • Если \( A \in \mathscr{F} \), то \( \E(X; A) = \E\left(X \bs{1}_A \right) \), предполагая, что ожидаемое значение на право есть.
  • Таким образом, как и в случае с интегралами в целом, ожидаемое значение может существовать как число в \( \R \) (в этом случае \( X \) является интегрируемым ), может существовать как \( \infty \) или \( -\infty\) или может не существовать. Применительно к части (а) случайная величина с конечным набором значений в \(\R\) представляет собой простую функцию в терминологии общего интегрирования. -\право) \lt\infty\).

    Наша следующая цель — переформулировать основные теоремы и свойства интегралов, но в обозначении вероятности. Если не указано иное, предполагается, что все случайные величины имеют действительные значения.

    Основные свойства

    Линейные свойства

    Пожалуй, самыми важными и основными свойствами являются линейные свойства . Часть (a) является аддитивным свойством , а часть (b) является свойством масштабирования .

    Предположим, что \( X \) и \( Y \) являются случайными величинами, ожидаемые значения которых существуют, и что \( c \in \R \).Затем

    1. \( \E(X + Y) = \E(X) + \E(Y) \), если правая часть не имеет вида \( \infty — \infty \).
    2. \( \Е(сХ) = с\Е(Х)\)

    Таким образом, часть (a) выполняется, если хотя бы одно из ожидаемых значений справа конечно, или если оба равны \( \infty \), или оба равны \( -\infty \). Что исключено, так это два случая, когда одно ожидаемое значение равно \( \infty \), а другое — \(-\infty \), и это то, что подразумевается под неопределенной формой \( \infty — \infty \) .

    Равенство и порядок

    Наш следующий набор свойств касается равенства и порядка. Во-первых, ожидаемое значение случайной величины в нулевом наборе равно 0,

    .

    Если \( X \) является случайной величиной и \( A \) является событием с \( \P(A) = 0 \). Тогда \( \Е(Х; А) = 0 \).

    Случайные величины, которые эквивалентны, имеют одинаковое ожидаемое значение

    Если \( X \) является случайной величиной, ожидаемое значение которой существует, и \( Y \) является случайной величиной с \( \P(X = Y) = 1 \), то \( \E(X) = \Е(У)\).

    Наш следующий результат — положительное свойство ожидаемого значения.

    Предположим, что \( X \) — случайная величина и \( \P(X \ ge 0) = 1 \). Затем

    1. \( \E(X) \ge 0 \)
    2. \( \E(X) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( \P(X = 0) = 1 \).

    Итак, если \( X \) неотрицательная случайная величина, то \( \E(X) \gt 0 \) тогда и только тогда, когда \( \P(X \gt 0) \gt 0 \). Следующим результатом является возрастающее свойство математического ожидания, возможно, самое важное свойство после линейности.

    Предположим, что \( X, Y \) — случайные величины, ожидаемые значения которых существуют, и что \( \P(X \le Y) = 1 \). Затем

    1. \( \E(X) \le \E(Y) \)
    2. За исключением случая, когда оба ожидаемых значения равны \( \infty \) или оба \( -\infty \), \( \E(X) = \E(Y) \) тогда и только тогда, когда \( \P( Х = Y) = 1 \).

    Итак, если \( X \le Y \) с вероятностью 1, то, за исключением двух упомянутых случаев, \( \E(X) \lt \E(Y) \) тогда и только тогда, когда \( \P(X \ lt Y) \gt 0 \). Следующим результатом является абсолютное неравенство .

    Предположим, что \( X \) — случайная величина, ожидаемое значение которой существует. Затем

    1. \( \влево| \E(X) \вправо| \le \E \влево(\влево| X \вправо| \вправо) \)
    2. Если \( \E(X) \) конечно, то равенство имеет место в (а) тогда и только тогда, когда \( \P(X \ge 0) = 1 \) или \( \P(X \le 0) = 1 \).

    Изменение переменных и функций плотности

    Теорема о замене переменных

    Предположим теперь, что \( X \) является общей случайной величиной в вероятностном пространстве \((\Omega, \mathscr F, \P)\), принимающей значения в измеримом пространстве \( (S, \mathscr{S} )\).Напомним, что вероятностное распределение \( X \) представляет собой вероятностную меру \( P \) на \( (S, \mathscr{S}) \), заданную выражением \( P(A) = \P(X \ в A) \) для \( A \in \mathscr{S} \). Это частный случай новой положительной меры, индуцированной данной положительной мерой и измеримой функцией. Если \(g: S \to \R\) измерима, то \(g(X) \) является случайной величиной с действительным знаком. Следующий результат показывает, как вычислить ожидаемое значение \(g(X)\) как интеграл по распределению \(X\), и известен как теорема о замене переменных .

    Если \( g: S \to \R \) измеримо, то, предполагая, что ожидаемое значение существует, \[\E\left[g(X)\right] = \int_S g(x) \, dP(x ) \]

    Таким образом, используя исходное определение и теорему о замене переменных, а также явно указывая переменные для акцента, мы имеем \[ \E\left[g(X)\right] = \int_\Omega g\left[X(\ omega)\right] \, d\P(\omega) = \int_S g(x) \, dP(x)\]

    Теорема Радона-Никодима

    Предположим теперь, что \( \mu \) является положительной мерой на \( (S, \mathscr{S}) \) и что распределение \( X \) абсолютно непрерывно относительно \( \mu \) . Напомним, что это означает, что из \( \mu(A) = 0 \) следует \( P(A) = \P(X \in A) = 0 \) для \( A \in \mathscr{S} \). По теореме Радона-Никодима , названной в честь Иоганна Радона и Отто Никодима, \( X \) имеет функцию плотности вероятности \( f \) по отношению к \( \mu \). То есть \[ P(A) = \P(X \in A) = \int_A f \, d\mu, \quad A \in \mathscr{S} \] В этом случае мы можем записать ожидаемое значение от \( g(X) \) как интеграл по функции плотности вероятности.

    Если \( g: S \to \R \) измеримо, то при условии, что ожидаемое значение существует, \[ \E\left[g(X)\right] = \int_S g f \, d\mu \]

    Опять же, задавая явно переменные для акцента, мы имеем следующую цепочку интегралов: \[ \E\left[g(X)\right] = \int_\Omega g\left[X(\omega)\right] \ , d\P(\omega) = \int_S g(x) \, dP(x) = \int_S g(x) f(x) \, d\mu(x)\]

    Есть два критически важных особых случая.

    Дискретные распределения

    Предположим сначала, что \((S, \mathscr S, \#)\) является дискретным пространством с мерой , так что \( S \) счетно, \( \mathscr{S} = \mathscr{P}( S) \) — это совокупность всех подмножеств \( S \), а \( \# \) — считающая мера на \( (S, \mathscr S) \). Таким образом, \(X\) имеет дискретное распределение на \(S\), и это распределение всегда абсолютно непрерывно относительно \(\#\). В частности, \( \#(A) = 0 \) тогда и только тогда, когда \( A = \emptyset \) и, конечно, \( \P(X \in \emptyset) = 0 \).Функция плотности вероятности \( f \) от \( X \) по отношению к \( \# \), как мы знаем, просто \( f(x) = \P(X = x) \) для \( х \в S\). Более того, интегралы по \( \# \) являются суммами, так что \[ \E\left[g(X)\right] = \sum_{x \in S} g(x) f(x) \] при условии что ожидаемое значение существует. Существование в этом случае означает, что либо сумма положительных членов конечна, либо сумма отрицательных членов конечна, так что сумма имеет смысл (и, в частности, не зависит от порядка добавления членов).n \) для некоторого \( n \in \N_+ \), \(\mathscr S\) есть \(\sigma\)-алгебра измеримых по Лебегу подмножеств \(S\), а \( \lambda_n \ ) является мерой Лебега на \( (S, \mathscr S) \). Распределение \( X \) абсолютно непрерывно относительно \( \lambda_n \), если из \( \lambda_n(A) = 0 \) следует \( \P(X \in A) = 0 \) для \( A \in \mathscr{S} \). Если это так, то функция плотности вероятности \(f\) от \(X\) имеет свой обычный смысл. Таким образом, \[ \E\left[g(X)\right] = \int_S g(x) f(x) \, d\lambda_n(x)\] при условии, что ожидаемое значение существует.Когда \( g \) — типично хорошая функция, этот интеграл сводится к обычному \ ( n \)-мерному интегралу Римана исчисления. Специализируясь далее, если \( X \) само является вещественным и \(g = 1 \), то \[ \E(X) = \int_S xf(x) \, dx \], что было нашим исходным определением ожидаемого значения в непрерывном случае.

    Свойства развязки

    В этом подразделе мы рассмотрим свойства, которые позволяют обменивать математическое ожидание и другие операции: пределы последовательностей, бесконечные суммы и интегралы.Мы снова предполагаем, что случайные величины действительны, если не указано иное.

    Пределы

    Наш первый набор результатов сходимости связан с взаимозаменяемостью ожидаемого значения и пределов. Начнем с версии математического ожидания леммы Фату , названной в честь Пьера Фату. Его полезность связана с тем, что на случайные величины не делается никаких предположений, кроме того, что они неотрицательны.

    Предположим, что \( X_n \) является неотрицательной случайной величиной для \( n \in \N_+ \).Тогда \[ \E\left( \liminf_{n \to \infty} X_n \right) \le \liminf_{n \to \infty} \E(X_n) \]

    Наш следующий набор результатов дает условия для взаимозаменяемости ожидаемого значения и пределов.

    Предположим, что \( X_n \) является случайной величиной для каждого \( n \in \N_+ \). тогда \[ \E\left(\lim_{n \to \infty} X_n\right) = \lim_{n \to \infty} \E\left(X_n\right) \] в каждом из следующих случаев:

    1. \( X_n \) неотрицательно для каждого \( n \in \N_+ \) и \( X_n \) возрастает в \( n \).
    2. \( \E(X_n) \) существует для каждого \( n \in \N_+ \), \( \E(X_1) \gt -\infty \), и \( X_n \) возрастает в \( н\).
    3. \( \E(X_n) \) существует для каждого \( n \in \N_+ \), \( \E(X_1) \lt \infty \), и \( X_n \) убывает в \( n \).
    4. \( \lim_{n \to \infty} X_n \) существует, и \( \left|X_n\right| \le Y \) для \( n \in \N \), где \( Y \) неотрицательная случайная величина с \( \E(Y) \lt \infty \).
    5. \( \lim_{n \to \infty} X_n \) существует, и \( \left|X_n\right| \le c \) для \( n \in \N \), где \( c \) положительная постоянная.

    Утверждения о случайных величинах в приведенной выше теореме (неотрицательность, возрастание, существование предела и т. д.) должны выполняться только с вероятностью 1. Часть (а) — это теорема о монотонной сходимости , один из наиболее важных результатов сходимости и в смысл, существенный для определения интеграла в первую очередь. Части (b) и (c) являются небольшими обобщениями теоремы о монотонной сходимости. В частях (a), (b) и (c) обратите внимание, что \( \lim_{n \to \infty} X_n \) существует (с вероятностью 1), хотя предел может быть \( \infty \) в части (а) и (б) и \( -\infty \) в части (в) (с положительной вероятностью).Часть (d) представляет собой теорему о мажорируемой сходимости , еще один из наиболее важных результатов сходимости. Иногда ее также называют теоремой о мажорируемой сходимости Лебега в честь Анри Лебега. Часть (e) является следствием теоремы об ограниченной сходимости и известна как теорема об ограниченной сходимости .

    Бесконечная серия

    Наши следующие результаты включают замену ожидаемого значения и бесконечной суммы, поэтому эти результаты обобщают основное свойство аддитивности ожидаемого значения.\infty\E(X;A_n)\]

    Конечно, предыдущая теорема применима, в частности, если \(X\) неотрицательно.

    Интегралы

    Предположим, что \( (T, \mathscr{T}, \mu) \) является \( \sigma \)-пространством с конечной мерой и что \( X_t \) является действительнозначной случайной величиной для каждого \( т \в Т\). Таким образом, мы можем думать, что \( \left\{X_t: t \in T\right\} \) — это стохастический процесс, индексированный \( T \). Мы предполагаем, что \( (\omega, t) \mapsto X_t(\omega) \) измерима как функция из пространства произведений \( (\Omega \times T, \mathscr{F} \otimes \mathscr{T }) \) в \( \R \). Наш следующий результат включает замену ожидаемого значения и интеграла и является следствием теоремы Фубини, названной в честь Гвидо Фубини.

    При сделанных выше предположениях \[ \E\left[\int_T X_t \, d\mu(t)\right] = \int_T \E\left(X_t\right) \, d\mu(t) \] в каждый из следующих случаев:

    1. \( X_t \) неотрицательно для каждого \( t \in T \).
    2. \(\int_T \E\left(\left|X_t\right|\right) \, d\mu(t) \lt \infty \)

    Теорема Фубини фактически утверждает, что два приведенных выше повторных интеграла равны объединенному интегралу \[ \int_{\Omega \times T} X_t(\omega) \, d(\P \otimes \mu)(\omega, t) \] где, конечно, \( \P \otimes \mu \) является мерой произведения на \( (\Omega \times T, \mathscr{F} \otimes \mathscr{T}) \).Однако нас обычно интересует оценка повторного интеграла выше слева с точки зрения повторного интеграла справа. Часть (a) является версией ожидаемого значения теоремы Тонелли , названной в честь Леониды Тонелли. 2\right)}, \quad x \in \R \] Распределение Коши изучается в более общем виде в главе, посвященной специальным распределениям.{a+1}}, \quad x \in [1, \infty) \], где \( a \gt 0 \) — параметр формы . Распределение Парето изучается в более общем виде в главе, посвященной специальным распределениям.

    Предположим, что \( X \) имеет распределение Парето с параметром формы \( a \). Найти \( \E(X) \) в следующих случаях:

    1. \(0 \lt a \le 1\)
    2. \( а \gt 1 \)
    Ответ
    1. \(\infty\)
    2. \( \frac{a}{a — 1} \)

    Откройте симулятор специального распределения и выберите распределение Парето.\infty \P(X \ge k) \). Мы видели этот результат ранее в разделе о дополнительных свойствах ожидаемого значения, но теперь мы можем понять доказательство в терминах замены суммы и ожидаемого значения.

    Средние значения и длины функций

    Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже. Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

    Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

     

    Среднее значение функции — Задача 1

    Формула для среднего значения f(x) от x=a до x=b представляет собой интеграл от f(x) от a до b, деленный на (b — a). b — a — это длина интервала, по которому вы находите среднее значение.

    Чтобы рассчитать среднее значение, просто подставьте значения a, b и f(x) в формулу. Проинтегрируйте f(x), используя обычные правила или методы. Вычислить в пределах интегрирования а и b и взять разность значения интеграла при b и при а.

    Найдем среднее значение функции.У нас есть эта формула для среднего значения. 1 по длине интервала, по которому вы усредняете, умножить на площадь под кривой, которую вы усредняете. Применим это, чтобы найти среднее значение f(x), равное корню x на интервале от 0 до 9.

    Интеграл в правой части формулы представляет здесь эту область. И мне нужно разделить эту площадь на длину этого интервала, и это даст мне среднее значение. Давайте посчитаем это здесь.

    Среднее значение равно 1 на 9 минус 0, это ширина интервала, умноженная на интеграл от 0 до 9 от f(x). Позвольте мне просто написать квадратный корень из xdx. Итак, это интеграл 1/9 от 0 до 9. И позвольте мне заменить квадратный корень из x на x на ½. Я хочу представить его как силу, потому что так я его антидифференцирую. Таким образом, 1/9 и первообразная от x к ½: я увеличиваю это число на 1, получаю 3/2 и делю на 3/2, что равносильно умножению на 2/3. Это 2/3x по сравнению с 3/2, и я оцениваю это от 0 до 9. Я действительно могу вытащить эту 1/9, она не так уж много делает, так или иначе, чем 9 по отношению к 3/2, потому что но 2/27x на 3/2 от 0 до 9.

    Позвольте мне сначала оценить это на 9. 2/27 умножить на 9 на 3/2 минус 2/27 умножить на 0 на 3/2, это просто будет 0. Сколько будет 9 на 3/2? Поскольку 9 — это идеальный квадрат, я сначала возьму квадратный корень, я получу 3, а затем возьму результат в куб и получу 27. Итак, это 2/27, умноженное на 27, что равно 2. 2 — это среднее значение. функции квадратного корня в интервальной форме от 0 до 9.

    Давайте посмотрим на график и посмотрим, как он выглядит. Максимальное значение, которое он достигает, составляет 3 при 9, 2 примерно здесь, это среднее значение.Подумайте об этом так, если бы это был резервуар с водой, и эта кривая представляла бы поверхность воды после того, как вода осела, это уровень, которого она достигла бы, уровень 2.

    Среднее значение функции

    Определение среднего значения

    Одним из основных применений определенных интегралов является нахождение среднего значения функции y = f ( x ) на определенном интервале [ a , b ].б {е\влево(х\вправо)dx} .\]

    Геометрически это означает, что существует прямоугольник, площадь которого точно представляет площадь области под кривой \(y = f\left( x \right).\) Значение \(f\left( c \right) \) представляет высоту прямоугольника, а разница \(\left( {b — a} \right)\) представляет ширину.

    Рисунок 1.

    Среднеквадратичное значение функции

    Среднеквадратичное значение \(\left({RMS} \right)\) определяется как квадратный корень из среднего (среднего) значения квадрата функции \({{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}\) через интервал \(\left[ {a,b} \right]. 2}дх} } .\]

    Значение \({RMS}\) имеет множество применений в математике, физике и технике. Например, в физике среднеквадратичное значение переменного тока \(\left( {AC} \right)\) равно значению постоянного тока \(\left( {DC} \right)\), который рассеивает такая же мощность в резисторе.

    Решенные проблемы

    Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

    Пример 1

    Среднее значение функции \(y = f\left( x \right)\) на интервале \(x \in \left[ {1,5} \right]\) равно \(2.3}\] на интервале \(\left[ {0, 1} \right].\)

    Пример 3

    Найти среднее значение функции квадратного корня \[f\left( x \right) = \sqrt{x}\] на интервале \(\left[ {0, 25} \right].\)

    Пример 4

    Найти среднее значение функции косинуса \[f\left( x \right) = \cos{x}\] на интервале \(\left[ {0, \frac{\pi }{2}} \right ].\)

    Пример 1.

    Среднее значение функции \(y = f\left( x \right)\) на интервале \(x \in \left[ {1,5} \right]\) равно \(2. {\ гидроразрыва {\ пи} {2}} = \ гидроразрыва {2} {\ пи}. \]

    Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

    8.6 Численное интегрирование

    Рисунок 8.6.1. Аппроксимация площади прямоугольниками и трапециями.

    Как и в случае с прямоугольниками, разделим интервал на $n$ равных подынтервалов длины $\Delta x$. Типичная трапеция изображена на рис. 8.6.2; его площадь $\ds{f(x_i)+f(x_{i+1})\over2}\Delta x$. Если мы сложим площади всех трапеций получаем $$ \выравнивание{ {f(x_0)+f(x_1)\over2}\Дельта x&+{f(x_1)+f(x_2)\over2}\Дельта x+\cdots+ {f(x_{n-1})+f(x_n)\over2}\Delta x=\cr &\left({f(x_0)\over2}+f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{n-1})+{f(x_n)\over2}\right) \Дельта х.\кр} $$ Это обычно известно как Правило трапеций . Для небольшого числа подынтервалов это не так уж сложно сделать. с калькулятором; компьютер может легко сделать много подынтервалов.

    Рисунок 8.6.2. Одна трапеция.

    На практике приближение полезно, только если мы знаем, насколько точно это; например, нам может понадобиться конкретное значение с точностью до трех десятичные знаки. Когда мы вычисляем конкретную аппроксимацию интеграл, ошибка есть разница между аппроксимацией и истинное значение интеграла.Для любого метода приближения мы нужна оценка ошибки , значение, которое гарантированно будет больше фактической ошибки. Если $A$ является аппроксимация и $E$ — соответствующая оценка ошибки, то мы знаем что истинное значение интеграла находится между $A-E$ и $А+Е$. В случае нашей аппроксимации интеграла мы хотим $E=E(\Delta x)$ — функция от $\Delta x$, которая быстро становится малой. когда $\Delta x$ становится маленьким. К счастью, для многих функций есть такая оценка ошибки связана с аппроксимацией трапеций.2}|\le 2$. Начнем с оценки количества подынтервалов, которые мы, вероятно, нужно. Чтобы получить два знака после запятой, нам непременно понадобится $Е(\Дельта х)

    На практике это обычно стоит начать с требования лучше, чем максимально возможное ошибка; например, мы могли изначально потребовать $E(\Delta Икс)

    Трапециевидное приближение работает хорошо, особенно по сравнению с прямоугольники, потому что вершины трапеций образуют достаточно хорошую аппроксимация кривой, когда $\Delta x$ достаточно мала. 2+bx+c$, мы можем легко вычислить площадь под параболой.

    Через любые две заданные точки проходит бесконечное число парабол. точек, а только от одной до трех заданных точек. Если мы найдем параболу через три последовательные точки $(x_i,f(x_i))$, $(x_{i+1},f(x_{i+1}))$, $(x_{i+2},f(x_{i+2}))$ на кривой, он должен быть достаточно близко к кривой на всем интервале $[x_i,x_{i+2}]$, как на рисунке 8.6.3. Если разделить интервал $[a,b]$ на четное число подынтервалов, тогда мы можем аппроксимировать кривую последовательностью парабол, каждая из которых покрывает две подынтервалы.2+bx+c$ через эти точки, а затем проинтегрировать, и надеюсь, что результат довольно прост. Хотя алгебра задействована грязно, это оказывается возможным. Алгебра в пределах нормы возможности хорошей системы компьютерной алгебры, такой как Sage, поэтому мы представить результат без всей алгебры; вы можете увидеть, как это сделать это в этом Рабочий лист шалфея.

    Чтобы найти параболу, решим эти три уравнения для $a$, $b$ и $c$: $$ \выравнивание{ f(x_i)&=a(x_{i+1}-\Delta x)^2+b(x_{i+1}-\Delta x)+c\cr f(x_{i+1})&=a(x_{i+1})^2+b(x_{i+1})+c\cr f(x_{i+2})&=a(x_{i+1}+\Delta x)^2+b(x_{i+1}+\Delta x)+c\cr} $$ Неудивительно, что решения оказываются вполне грязный. 2+bx+c\,dx= {\ Delta x \ over3} (f (x_i) + 4f (x_ {i + 1}) + f (x_ {i + 2})). $$ Теперь сумма площадей под всеми параболами равна $$ \displaylines{ {\ Delta x \ over3} (f (x_0) + 4f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + f (x_2) + 4f (x_ {3}) + f (x_ {4}) + \cdots +f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}))=\cr {\ Delta x \ over3} (f (x_0) + 4f (x_ {1}) + 2f (x_ {2}) + 4f (x_ {3}) + 2f (x_ {4}) + \ cdots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})).\cr} $$ Это немного сложнее, чем формула для трапеции; нужно запомнить чередование 2 и 4 коэффициентов; обратите внимание, что $n$ должно быть четным, чтобы это имело смысл.2}$; на $[0,1]$ это самое большее $12$ в абсолютном выражении. Начнем с оценки количества подынтервалы, которые нам, вероятно, понадобятся. Чтобы получить два десятичных разряда точность, нам обязательно понадобится $E(\Delta x)

    На рисунке ниже сравниваются три рассмотренных нами метода. вычисление площади под $y=\sin x$, $0\le x\le \pi/2$. Конечно, это легко вычислить точно: площадь равна $1$.

    Используйте ползунок, чтобы изменить количество подынтервалов.

    5.4 Формулы интегрирования и теорема о чистом изменении – исчисление, том 1

    Цели обучения

    • 5.4.1 Примените основные формулы интегрирования.
    • 5.4.2 Объясните значение теоремы о чистом изменении.
    • 5.4.3 Используйте теорему о чистом изменении для решения прикладных задач.
    • 5.4.4 Примените интегралы от нечетных и четных функций.

    В этом разделе мы используем некоторые основные формулы интегрирования, изученные ранее, для решения некоторых ключевых прикладных задач.Важно отметить, что эти формулы представлены в виде неопределенных интегралов. Хотя определенные и неопределенные интегралы тесно связаны между собой, следует помнить о некоторых ключевых различиях. Определенный интеграл — это либо число (когда пределы интегрирования постоянные), либо отдельная функция (когда один или оба предела интегрирования переменные). Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, каждая из которых отличается на константу. По мере того, как вы будете лучше знакомиться с интегрированием, вы почувствуете, когда использовать определенные интегралы и когда использовать неопределенные интегралы.Вы, естественно, выберете правильный подход к данной проблеме, не слишком задумываясь об этом. Однако до тех пор, пока эти концепции не закрепятся в вашем сознании, тщательно подумайте, нужен ли вам определенный интеграл или неопределенный интеграл, и убедитесь, что вы используете правильную запись, основанную на вашем выборе.

    Базовые формулы интегрирования

    Вспомните формулы интегрирования, приведенные в таблице в Первообразных, и правило о свойствах определенных интегралов. Рассмотрим несколько примеров применения этих правил.

    Пример 5.23

    Интеграция функции с помощью правила мощности

    Используйте степенное правило для интегрирования функции ∫14t(1+t)dt. ∫14t(1+t)dt.

    Решение

    Первый шаг — переписать функцию и упростить ее, чтобы можно было применить правило степени:

    ∫14t(1+t)dt=∫14t1/2(1+t)dt=∫14(t1/2+t3/2)dt.∫14t(1+t)dt=∫14t1/2(1+t )dt=∫14(t1/2+t3/2)dt.

    Теперь применим правило мощности:

    ∫14(t1/2+t3/2)dt=(23t3/2+25t5/2)|14=[23(4)3/2+25(4)5/2]−[23(1)3/ 2+25(1)5/2]=25615.∫14(t1/2+t3/2)dt=(23t3/2+25t5/2)|14=[23(4)3/2+25(4)5/2]−[23(1)3/ 2+25(1)5/2]=25615.

    Пропускной пункт 5.21

    Найдите определенный интеграл от f(x)=x2−3xf(x)=x2−3x на интервале [1,3].[1,3].

    Теорема о чистых изменениях

    Теорема о чистом изменении рассматривает интеграл скорости изменения . В нем говорится, что при изменении количества новое значение равно первоначальному значению плюс интеграл скорости изменения этого количества. Формула может быть выражена двумя способами.Второй более знаком; это просто определенный интеграл.

    Теорема 5.6

    Теорема о чистом изменении

    Новое значение изменяющейся величины равно первоначальному значению плюс интеграл скорости изменения:

    F(b)=F(a)+∫abF'(x)dxor∫abF'(x)dx=F(b)−F(a).F(b)=F(a)+∫abF'(x )dxor∫abF'(x)dx=F(b)−F(a).

    (5.18)

    Вычитание F(a)F(a) из обеих частей первого уравнения дает второе уравнение. Поскольку это эквивалентные формулы, какую из них мы используем, зависит от приложения.

    Значение теоремы о чистом изменении заключается в результатах. Чистое изменение может быть применено к площади, расстоянию и объему, и это лишь некоторые из приложений. Чистое изменение учитывает отрицательные величины автоматически, без необходимости писать более одного интеграла. Чтобы проиллюстрировать это, давайте применим теорему о чистом изменении к функции скорости, результатом которой является смещение.

    Мы рассмотрели простой пример этого в «Определенном интеграле». Предположим, что автомобиль движется прямо на север (в положительном направлении) со скоростью 40 миль в час между 2 часами ночи. м. и 16:00, затем машина движется на юг со скоростью 30 миль в час между 16:00 и 16:00. и 17:00 Мы можем графически изобразить это движение, как показано на рис. 5.32.

    Фигура 5.32 На графике показана зависимость скорости от времени для заданного движения автомобиля.

    Как и раньше, мы можем использовать определенные интегралы для расчета чистого перемещения, а также общего пройденного расстояния. Чистое водоизмещение определяется как

    . ∫25v(t)dt=∫2440dt+∫45−30dt=80−30=50.∫25v(t)dt=∫2440dt+∫45−30dt=80−30=50.

    Таким образом, на 5 р.м. автомобиль находится в 50 милях к северу от своего начального положения. Общее пройденное расстояние равно

    . ∫25|v(t)|dt=∫2440dt+∫4530dt=80+30=110.∫25|v(t)|dt=∫2440dt+∫4530dt=80+30=110.

    Таким образом, между 14:00 и 17:00 машина проехала в общей сложности 110 миль.

    Подводя итог, чистый водоизмещение может включать как положительные, так и отрицательные значения. Другими словами, функция скорости учитывает как расстояние вперед, так и расстояние назад. Чтобы найти чистое смещение, проинтегрируйте функцию скорости по интервалу.С другой стороны, общее пройденное расстояние всегда положительно. Чтобы найти общее расстояние, пройденное объектом независимо от направления, нам нужно проинтегрировать абсолютное значение функции скорости.

    Пример 5.24

    Нахождение чистого смещения

    Для заданной функции скорости v(t)=3t−5v(t)=3t−5 (в метрах в секунду) частицы, движущейся с момента времени t=0t=0 до момента времени t=3,t=3, найди чистое смещение частицы.

    Решение

    Применяя теорему о чистом изменении, мы имеем

    ∫03(3t−5)dt=3t22−5t|03=[3(3)22−5(3)]−0=272−15=272−302=−32.∫03(3t−5)dt=3t22−5t|03=[3(3)22−5(3)]−0=272−15=272−302=−32.

    Чистое водоизмещение −32−32 м (рис. 5.33).

    Фигура 5.33 На графике показана зависимость скорости от времени для частицы, движущейся с линейной функцией скорости.

    Пример 5,25

    Определение общего пройденного расстояния

    Используйте пример 5. 24, чтобы найти общее расстояние, пройденное частицей в соответствии с функцией скорости v(t)=3t−5v(t)=3t−5 м/с за интервал времени [0,3].[0,3].

    Решение

    Общее пройденное расстояние включает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, мы должны проинтегрировать абсолютное значение функции скорости, чтобы найти общее пройденное расстояние.

    Чтобы продолжить пример, используйте два интеграла, чтобы найти общее расстояние. Сначала найдите t -пересечение функции, так как именно там происходит деление интервала. Приравняйте уравнение к нулю и найдите t .Таким образом,

    3t-5=03t=5t=53,3t-5=03t=5t=53.

    Два подинтервала: [0,53][0,53] и [53,3].[53,3]. Чтобы найти общее пройденное расстояние, проинтегрируйте абсолютное значение функции. Поскольку функция отрицательна на интервале [0,53],[0,53], мы имеем |v(t)|=−v(t)|v(t)|=−v(t) на этом интервале. Над [53,3],[53,3] функция положительна, поэтому |v(t)|=v(t).|v(t)|=v(t). Таким образом, у нас есть

    ∫03|v(t)|dt=∫05/3−v(t)dt+∫5/33v(t)dt=∫05/35−3tdt+∫5/333t−5dt=(5t−3t22)|05/ 3+(3t22−5t)|5/33=[5(53)−3(5/3)22]−0+[272−15]−[3(5/3)22−253]=253−256 +272−15−256+253=416.∫03|v(t)|dt=∫05/3−v(t)dt+∫5/33v(t)dt=∫05/35−3tdt+∫5/333t−5dt=(5t−3t22)|05/ 3+(3t22−5t)|5/33=[5(53)−3(5/3)22]−0+[272−15]−[3(5/3)22−253]=253−256 +272−15−256+253=416.

    Итак, общее пройденное расстояние равно 416416 м.

    Пропускной пункт 5.22

    Найдите чистое перемещение и общее пройденное расстояние в метрах при заданной функции скорости f(t)=12et−2f(t)=12et−2 на интервале [0,2].[0,2].

    Применение теоремы о чистом изменении

    Теорему о чистом изменении можно применить к потоку и потреблению жидкостей, как показано в примере 5.26.

    Пример 5.26

    Сколько галлонов бензина потребляется?

    Если мотор на моторной лодке запущен в t=0t=0 и лодка потребляет бензина из расчета 5-t35-t3 галлонов/час, сколько бензина израсходовано за первые 2 часа?

    Решение

    Выразите задачу в виде определенного интеграла, проинтегрируйте и оцените, используя Фундаментальную теорему исчисления. Пределы интегрирования — это концы интервала [0,2].[0,2].У нас есть

    ∫02(5-t3)dt=(5t–t44)|20=[5(2)–(2)44]–0=10–164=6∫02(5-t3)dt=(5t–t44) |20=[5(2)–(2)44]–0=10–164=6

    Таким образом, моторная лодка расходует 6 галлонов бензина за 2 часа.

    Пример 5.27

    Начало главы: Ледяные лодки

    Фигура 5,34 (кредит: модификация работы Картера Брауна, Flickr)

    Как мы видели в начале главы, лучшие ледоходы (рис. 5.1) могут развивать скорость, в пять раз превышающую скорость ветра. Однако Эндрю — средний ледоход, поэтому он развивает скорость, равную только удвоенной скорости ветра.Предположим, однажды утром Эндрю выводит свою лодку на лед, когда все утро дует легкий бриз со скоростью 5 миль в час. Однако, когда Эндрю настраивает свою ледяную лодку, ветер начинает усиливаться. В течение первых получаса катания на льдине скорость ветра увеличивается согласно функции v(t)=20t+5.v(t)=20t+5. В течение второго получаса прогулки Эндрю ветер остается стабильным на уровне 15 миль в час. Другими словами, скорость ветра равна

    . v(t)={20t+5for0≤t≤1215for12≤t≤1.v(t)={20t+5for0≤t≤1215for12≤t≤1.

    Вспоминая, что ледяная лодка Эндрю движется со скоростью, в два раза превышающей скорость ветра, и предполагая, что он движется по прямой линии от начальной точки, на каком расстоянии Эндрю от начальной точки через 1 час?

    Решение

    Чтобы вычислить, как далеко проехал Эндрю, нам нужно проинтегрировать его скорость, которая в два раза превышает скорость ветра.Затем

    Расстояние =∫012v(t)dt.=∫012v(t)dt.

    Подставляя выражения, которые мы дали для v(t),v(t), мы получаем

    ∫012v(t)dt=∫01/22v(t)dt+∫1/212v(t)dt=∫01/22(20t+5)dt+∫1/312(15)dt=∫01/2(40t+ 10)dt+∫1/2130dt=[20t2+10t]|01/2+[30t]|1/21=(204+5)−0+(30−15)=25,∫012v(t)dt=∫ 01/22v(t)dt+∫1/212v(t)dt=∫01/22(20t+5)dt+∫1/312(15)dt=∫01/2(40t+10)dt+∫1/2130dt= [20t2+10t]|01/2+[30t]|1/21=(204+5)−0+(30−15)=25.

    Эндрю находится в 25 милях от начальной точки через 1 час.

    Пропускной пункт 5.23

    Предположим, что вместо того, чтобы оставаться устойчивым в течение вторых получасов прогулки Эндрю, ветер начинает стихать в соответствии с функцией v(t)=−10t+15.v(t)=−10t+15. Другими словами, скорость ветра равна

    . v(t)={20t+5for0≤t≤12−10t+15for12≤t≤1.v(t)={20t+5for0≤t≤t≤12−10t+15for12≤t≤1.

    В этих условиях на каком расстоянии от исходной точки находится Андрей через 1 час?

    Объединение четных и нечетных функций

    Мы видели в разделе «Функции и графики», что четная функция — это функция, в которой f(−x)=f(x)f(−x)=f(x) для всех x в области, то есть граф кривой не изменится, если x заменить на — x .Графики четных функций симметричны относительно оси y . Нечетная функция — это функция, в которой f(−x)=−f(x)f(−x)=−f(x) для всех x в области, а график функции симметричен относительно начала координат.

    Интегралы четных функций, когда пределы интегрирования лежат в пределах от − a до a , включают две равные площади, поскольку они симметричны относительно оси y . Интегралы нечетных функций, когда пределы интегрирования равны [−a,a],[−a,a], оцениваются как нуль, поскольку площади выше и ниже оси 90 559 x 90 560 равны.

    Правило: интегралы от четных и нечетных функций

    Для непрерывных четных функций, таких что f(−x)=f(x),f(−x)=f(x),

    ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx.

    Для непрерывных нечетных функций, таких что f(−x)=−f(x),f(−x)=−f(x),

    ∫−aaf(x)dx=0.∫−aaf(x)dx=0.

    Пример 5,28

    Интеграция четной функции

    Проинтегрируйте четную функцию ∫−22(3×8−2)dx∫−22(3×8−2)dx и убедитесь, что формула интегрирования для четных функций верна.

    Решение

    Симметрия появляется на графиках на рис. 5.35. График (а) показывает область ниже кривой и выше оси x . Нам нужно сильно увеличить этот график, чтобы увидеть регион. На графике (b) показана область выше кривой и ниже оси x . Знаковая область этой области отрицательна. Оба изображения иллюстрируют симметрию четной функции относительно оси y . У нас есть

    ∫−22(3×8−2)dx=(x93−2x)|−22=[(2)93−2(2)]−[(−2)93−2(−2)]=(5123−4) −(−5123+4)=10003.∫−22(3×8−2)dx=(x93−2x)|−22=[(2)93−2(2)]−[(−2)93−2(−2)]=(5123−4) −(−5123+4)=10003.

    Чтобы проверить формулу интегрирования для четных функций, мы можем вычислить интеграл от 0 до 2 и удвоить его, а затем убедиться, что получаем тот же ответ.

    ∫02(3×8−2)dx=(x93−2x)|02=5123−4=5003∫02(3×8−2)dx=(x93−2x)|02=5123−4=5003

    Поскольку 2·5003=10003,2·5003=10003, мы проверили формулу для четных функций в этом конкретном примере.

    Фигура 5,35 На графике (а) показана положительная площадь между кривой и осью x , тогда как на графике (b) показана отрицательная площадь между кривой и осью x . Оба вида показывают симметрию относительно оси y .

    Пример 5.29

    Интеграция нечетной функции

    Вычислить определенный интеграл нечетной функции −5sinx−5sinx на интервале [−π,π].[−π,π].

    Решение

    График показан на рис. 5.36. Мы можем видеть симметрию относительно начала координат по положительной области над осью x над [-π, 0], [-π, 0] и отрицательной области под осью x над [0, π ].[0,π]. У нас есть

    ∫−ππ−5sinxdx=−5(−cosx)|−ππ=5cosx|−ππ=[5cosπ]−[5cos(−π)]=−5−(−5)=0,∫−ππ−5sinxdx=− 5(−cosx)|−ππ=5cosx|−ππ=[5cosπ]−[5cos(−π)]=−5−(−5)=0.

    Фигура 5,36 На графике показаны области между кривой и осью x для нечетной функции.

    Пропускной пункт 5.24

    Интегрировать функцию ∫−22x4dx.∫−22x4dx.

    Раздел 5.4 Упражнения

    Используйте основные формулы интегрирования для вычисления следующих первообразных или определенных интегралов.

    207 .

    ∫(x−1x)dx∫(x−1x)dx

    208 .

    ∫(e2x−12ex/2)dx∫(e2x−12ex/2)dx

    211 .

    ∫0π(sinx−cosx)dx∫0π(sinx−cosx)dx

    212 .

    ∫0π/2(x−sinx)dx∫0π/2(x−sinx)dx

    213 .

    Напишите интеграл, выражающий увеличение периметра P(s)P(s) квадрата при увеличении длины его стороны s с 2 до 4 единиц, и оцените интеграл.

    214 .

    Напишите интеграл, определяющий изменение площади квадрата A(s)=s2A(s)=s2 при увеличении длины стороны вдвое с S единиц до 2 S единиц, и вычислите интеграл.

    215 .

    Правильный N -угольник ( N -сторонний многоугольник со сторонами, имеющими равную длину s , такой как пятиугольник или шестиугольник) имеет периметр Ns . Напишите интеграл, выражающий увеличение периметра правильного N -угольника при увеличении длины каждой стороны от 1 единицы до 2 единиц, и вычислите интеграл.

    216 .

    Площадь правильного пятиугольника со стороной a>0a>0 равна pa 2 при p=145+5+25.р=145+5+25. Пентагон в Вашингтоне, округ Колумбия, имеет внутренние стороны длиной 360 футов и внешние стороны длиной 920 футов. Напишите интеграл, чтобы выразить площадь крыши Пентагона в соответствии с этими размерами, и оцените эту площадь.

    217 .

    Додекаэдр — это платоново тело, поверхность которого состоит из 12 пятиугольников одинаковой площади. На сколько увеличивается площадь поверхности додекаэдра, когда длина стороны каждого пятиугольника увеличивается вдвое с 1 единицы до 2 единиц?

    218 .

    Икосаэдр — платоново тело, поверхность которого состоит из 20 равносторонних треугольников. На сколько увеличится площадь поверхности икосаэдра, если длина стороны каждого треугольника удвоится с 90 559 на 90 560 единиц до 2 90 559 на 90 560 единиц?

    219 .

    Напишите интеграл, определяющий изменение площади поверхности куба при увеличении длины его стороны вдвое с 90 559 с 90 560 единиц до 2 90 559 с 90 560 единиц, и вычислите интеграл.

    220 .

    Напишите интеграл, определяющий увеличение объема куба при увеличении длины стороны вдвое с 90 559 s 90 560 единиц до 2 90 559 s 90 560 единиц, и вычислите интеграл.

    221 .

    Напишите интеграл, определяющий увеличение площади поверхности сферы по мере удвоения ее радиуса с R единиц до 2 R единиц, и оцените интеграл.

    222 .

    Напишите интеграл, определяющий увеличение объема сферы при удвоении ее радиуса с R единиц до 2 R единиц, и оцените интеграл.

    223 .

    Предположим, что частица движется по прямой со скоростью v(t)=4−2t,v(t)=4−2t, где 0≤t≤20≤t≤2 (в метрах в секунду).Найдите водоизмещение в момент времени t и полное расстояние, пройденное до t=2. t=2.

    224 .

    Предположим, что частица движется по прямой линии со скоростью, определяемой соотношением v(t)=t2−3t−18,v(t)=t2−3t−18, где 0≤t≤60≤t≤6 (в метрах на второй). Найдите водоизмещение в момент времени t и полное расстояние, пройденное до t=6.t=6.

    225 .

    Предположим, что частица движется по прямой линии со скоростью, определяемой соотношением v(t)=|2t−6|,v(t)=|2t−6|, где 0≤t≤60≤t≤6 (в метрах на второй).Найдите водоизмещение в момент времени t и полное расстояние, пройденное до t=6.t=6.

    226 .

    Предположим, что частица движется по прямой линии с ускорением, определяемым как a(t)=t−3,a(t)=t−3, где 0≤t≤60≤t≤6 (в метрах в секунду). Найдите скорость и перемещение в моменты времени t и общее расстояние, пройденное до t=6t=6, если v(0)=3v(0)=3 и d(0)=0.d(0)=0.

    227 .

    Мяч брошен вверх с высоты 1,5 м с начальной скоростью 40 м/с.Ускорение за счет силы тяжести составляет −9,8 м/с 2 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите скорость v(t)v(t) и высоту h(t)h(t) мяча через t секунд после того, как он был брошен и до того, как он упал на землю.

    228 .

    Мяч брошен вверх с высоты 3 м с начальной скоростью 60 м/с. Ускорение за счет силы тяжести составляет −9,8 м/с 2 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите скорость v(t)v(t) и высоту h(t)h(t) мяча через t секунд после того, как он был брошен и до того, как он упал на землю.

    229 .

    Площадь A(t)A(t) круглой формы увеличивается с постоянной скоростью. Если площадь увеличивается с 4 π единиц до 9 π единиц между моментами времени t=2t=2 и t=3,t=3, найдите чистое изменение радиуса за это время.

    230 .

    Сферический воздушный шар надувается с постоянной скоростью. Если объем воздушного шара изменится с 36 π дюймов 3 на 288 π дюймов 3 между моментами времени t=30t=30 и t=60t=60 секунд, найдите чистое изменение радиуса шар за это время.

    231 .

    Вода поступает в конический резервуар с площадью поперечного сечения πx 2 при высоте x и объемом πx33πx33 до высоты x . Если вода поступает в бак со скоростью 1 м 3 /мин, найдите высоту воды в баке через 5 мин. Найдите изменение высоты между 5 и 10 мин.

    232 .

    Горизонтальный цилиндрический резервуар имеет площадь поперечного сечения A(x)=4(6x−x2)м2A(x)=4(6x−x2)м2 на высоте x метров над дном при x≤3.х≤3.

    1. Объем V между высотами a и b равен ∫abA(x)dx.∫abA(x)dx. Найдите объем на высоте от 2 м до 3 м.
    2. Предположим, что масло закачивается в бак со скоростью 50 л/мин. Используя цепное правило, dxdt=dxdVdVdt,dxdt=dxdVdVdt, на сколько метров в минуту изменяется высота масла в резервуаре, выраженная в единицах x , когда высота составляет x метров?
    3. Сколько времени требуется, чтобы заполнить резервуар до 3 м, начиная с уровня заполнения 2 м?
    233 .

    В следующей таблице указана электрическая мощность в гигаваттах — скорость, с которой потребляется энергия, — используемая в определенном городе в разные часы дня в течение типичного 24-часового периода, где 1 час соответствует полуночи до 1 часа ночи.

    Час Мощность Час Мощность
    1 28 13 48
    2 25 14 49
    3 24 15 49
    4 23 16 50
    5 24 17 50
    6 27 18 50
    7 29 19 46
    8 32 20 43
    9 34 21 42
    10 39 22 40
    11 42 23 37
    12 46 24 34

    Найдите общее количество энергии в гигаватт-часах (ГВт-ч), потребляемой городом за обычный 24-часовой период.

    234 .

    Среднее бытовое потребление электроэнергии (в сотнях ватт) в час приведено в следующей таблице.

    Час Мощность Час Мощность
    1 8 13 12
    2 6 14 13
    3 5 15 14
    4 4 16 15
    5 5 17 17
    6 6 18 19
    7 7 19 18
    8 8 20 17
    9 9 21 16
    10 10 22 16
    11 10 23 13
    12 11 24 11
    1. Вычислите среднее общее потребление энергии за день в киловатт-часах (кВтч).
    2. Если тонна угля вырабатывает 1842 кВтч, сколько времени требуется среднему жилому дому, чтобы сжечь тонну угля?
    3. Объясните, почему данные могут соответствовать графику вида p(t)=11,5−7,5sin(πt12).p(t)=11,5−7,5sin(πt12).
    235 .

    Данные в следующей таблице используются для оценки средней выходной мощности Питера Сагана за каждые из последних 18 секунд этапа 1 Тур де Франс 2012 года.

    Второй Вт Второй Вт
    1 600 10 1200
    2 500 11 1170
    3 575 12 1125
    4 1050 13 1100
    5 925 14 1075
    6 950 15 1000
    7 1050 16 950
    8 950 17 900
    9 1100 18 780

    Стол 5. 6 Средняя выходная мощность Источник : sportsexercisengineering.com

    Оцените используемую чистую энергию в килоджоулях (кДж), учитывая, что 1 Вт = 1 Дж/с, и среднюю мощность, выдаваемую Саганом за этот промежуток времени.

    236 .

    Данные в следующей таблице используются для оценки средней выходной мощности Питера Сагана за каждый 15-минутный интервал этапа 1 Тур де Франс 2012 года.

    Минуты Вт минут Вт
    15 200 165 170
    30 180 180 220
    45 190 195 140
    60 230 210 225
    75 240 225 170
    90 210 240 210
    105 210 255 200
    120 220 270 220
    135 210 285 250
    150 150 300 400

    Стол 5. 7 Средняя выходная мощность Источник : sportsexercisengineering.com

    Оцените используемую чистую энергию в килоджоулях, учитывая, что 1 Вт = 1 Дж/с.

    237 .

    Распределение доходов по состоянию на 2012 год в США с шагом в 5000 долларов показано в следующей таблице. k -я строка обозначает процент домохозяйств с доходами от 5000xk$5000xk до 5000xk+4999,5000xk+4999. Строка k=40k=40 содержит все домохозяйства с доходом от 200 000 до 250 000 долларов.

    0 3,5 21 1,5
    1 4.1 22 1,4
    2 5,9 23 1,3
    3 5,7 24 1,3
    4 5,9 25 1,1
    5 5,4 26 1. 0
    6 5,5 27 0,75
    7 5,1 28 0,8
    8 4,8 29 1,0
    9 4.1 30 0,6
    10 4,3 31 0,6
    11 3,5 32 0.5
    12 3,7 33 0,5
    13 3,2 34 0,4
    14 3,0 35 0,3
    15 2,8 36 0,3
    16 2,5 37 0,3
    17 2,2 38 0. 2
    18 2,2 39 1,8
    19 1,8 40 2,3
    20 2,1

    Стол 5,8 Распределение доходов Источник : http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf

    1. Оцените процент домохозяйств США в 2012 году с доходом менее 55 000 долларов США.
    2. Какой процент домохозяйств имел доход, превышающий 85 000 долларов США?
    3. Нарисуйте данные и попытайтесь подогнать их форму к форме графика вида a(x+c)e−b(x+e)a(x+c)e−b(x+e) для подходящего a, б, ка, б, в.
    238 .

    Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что гравитационная сила, действующая на объект массой M и объект массой m с центрами, разделенными расстоянием r , равна F=GmMr2, F=GmMr2, причем G эмпирическая константа G=6. 67×10-11м3/(кг·с2).G=6,67×10-11м3/(кг·с2). Работа, совершаемая переменной силой на интервале [a,b][a,b], определяется как W=∫abF(x)dx.W=∫abF(x)dx. Если Земля имеет массу 5,97219×10245,97219×1024 и радиус 6371 км, рассчитайте объем работы, чтобы поднять полярный метеорологический спутник массой 1400 кг на высоту его орбиты 850 км над Землей.

    239 .

    Для данного автомобиля максимально достижимое замедление при торможении составляет примерно 7 м/с 2 на сухом бетоне. На мокром асфальте примерно 2.5 м/сек 2 . Учитывая, что 1 миля в час соответствует 0,447 м/с, найдите общее расстояние в метрах, которое автомобиль проезжает по сухому бетону после включения тормозов до полной остановки, если начальная скорость равна 67 миль в час (30 м/с) или если начальная скорость торможения составляет 56 миль в час (25 м/с). Найдите соответствующие расстояния, если поверхность представляет собой скользкий мокрый асфальт.

    240 .

    Джон — 25-летний мужчина, вес которого составляет 160 фунтов. Он сжигает 500−50t500−50t калорий в час, катаясь на велосипеде в течение t часов.Если в овсяном печенье 55 ккал, а Джон съедает 4 t печенек за t -й час, сколько чистых калорий он потерял за 3 часа езды на велосипеде?

    241 .

    Сандра — 25-летняя женщина, вес которой составляет 120 фунтов. Она сжигает 300–50 т300–50 т ккал/ч при ходьбе на беговой дорожке. Ее потребление калорий от Gatorade составляет 100 калорий за t часов. Каково ее чистое уменьшение калорий после ходьбы в течение 3 часов?

    242 .

    Максимальная эффективность автомобиля составляет 33 мили на галлон при крейсерской скорости 40 миль в час.Эффективность падает со скоростью 0,1 мили на галлон/час между 40 и 50 милями в час и со скоростью 0,4 мили на галлон/час между 50 и 80 милями в час. Какова эффективность в милях на галлон, если автомобиль движется со скоростью 50 миль в час? Какова эффективность в милях на галлон, если автомобиль движется со скоростью 80 миль в час? Если бензин стоит 3,50 доллара за галлон, какова стоимость топлива, чтобы проехать 50 миль со скоростью 40 миль в час, 50 ​​миль в час и 80 миль в час?

    243 .

    Хотя некоторые двигатели более эффективны при заданной мощности, чем другие, в среднем эффективность использования топлива уменьшается с увеличением мощности со скоростью 1/251/25 миль на галлон/лошадиная сила.Если типичный 50-сильный двигатель имеет среднюю топливную экономичность 32 мили на галлон, какова средняя топливная экономичность двигателя со следующей мощностью: 150, 300, 450?

    244 .

    [T] В следующей таблице приведена таблица федерального подоходного налога за 2013 год по сравнению с налогооблагаемым доходом.

    Диапазон налогооблагаемого дохода Налог … … Из суммы свыше
    $0–$8925 10% $0
    8925–36 250 долл. США 892 доллара.50 + 15% $8925
    36 250–87 850 долл. США 4991,25 $ + 25% 36 250 долларов США
    87 850–183 250 долл. США 17 891,25 $ + 28% 87 850 долларов США
    183 250–398 350 долл. США 44 603,25 долл. США + 33% 183 250 долларов США
    398 350–400 000 долл. США $115 586,25 + 35% 398 350 долларов США
    > 400 000 долларов США 116 163,75 долл. США + 39,6% 400 000 долларов

    Стол 5. 9 Федеральный подоходный налог в сравнении с налогооблагаемым доходом Источник : http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt—2013.pdf.

    Предположим, что Стив только что получил повышение на 10 000 долларов. Какая часть этой прибавки остается после уплаты федеральных налогов, если зарплата Стива до получения прибавки составляла 40 000 долларов? Если бы это было 90 000 долларов? Если бы это было 385 000 долларов?

    245 .

    [T] В следующей таблице представлены гипотетические данные об уровне обслуживания для определенного шоссе.

    Диапазон скоростей на шоссе (миль/ч) Транспортных средств в час на полосу Диапазон плотности (автомобилей/миль)
    > 60 < 600 < 10
    60–57 600–1000 10–20
    57–54 1000–1500 20–30
    54–46 15:00–19:00 30–45
    46–30 1900 2100 45–70
    <30 Нестабильный 70–200

    Стол 5. 10

    1. Отображение транспортных средств в час на полосу по оси x и скорости шоссе по оси y .
    2. Вычислите среднее снижение скорости (в милях в час) на единицу увеличения загруженности (автомобилей в час на полосу движения) при увеличении последней с 600 до 1000, с 1000 до 1500 и с 1500 до 2100. Влияет ли уменьшение количества миль на единицу в час линейно зависят от увеличения количества автомобилей в час на полосе?
    3. Постройте график в минутах на милю (60-кратное обратное число миль в час) как функцию количества транспортных средств в час на полосу движения.Является ли эта функция линейной?

    В следующих двух упражнениях используйте данные из следующей таблицы, в которой показаны популяции белоголовых орланов с 1963 по 2000 год в континентальной части США.

    Год Популяция гнездящихся пар белоголовых орланов
    1963 487
    1974 791
    1981 1188
    1986 1875
    1992 3749
    1996 5094
    2000 6471

    Стол 5. 11 Популяция размножающихся пар белоголовых орланов Источник : http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html.

    246 .

    [T] На приведенном ниже графике изображен квадратичный p(t)=6,48t2−80,31t+585,69p(t)=6,48t2−80,31t+585,69 в сравнении с данными предыдущей таблицы, нормализованными так, что t=0t= 0 соответствует 1963 году. Оцените среднее количество белоголовых орланов, ежегодно присутствующих в течение 37 лет, вычислив среднее значение p за [0,37].[0,37].

    247 .

    [T] На приведенном ниже графике показано кубическое соотношение p(t)=0,07t3+2,42t2−25,63t+521,23p(t)=0,07t3+2,42t2−25,63t+521,23 к данным в предыдущей таблице. нормализовано так, что t=0t=0 соответствует 1963 году. Оцените среднее количество белоголовых орланов в год, присутствующих в течение 37 лет, вычислив среднее значение p по [0,37]. [0,37].

    248 .

    [T] Предположим, вы отправляетесь в путешествие и записываете свою скорость каждые полчаса, как указано в следующей таблице.Наилучшее квадратичное соответствие данным q(t)=5×2−11x+49, q(t)=5×2−11x+49, как показано на прилагаемом графике. Интегрируйте q , чтобы оценить общее расстояние, пройденное за 3 часа.

    Время (ч) Скорость (миль/ч)
    0 (начало) 50
    1 40
    2 50
    3 60

    Когда автомобиль ускоряется, он не ускоряется с постоянной скоростью; скорее, ускорение является переменным. В следующих упражнениях используйте следующую таблицу, в которой указано ускорение, измеряемое каждую секунду, когда водитель выезжает на автостраду.

    Время (сек) Ускорение (миль/сек)
    1 11,2
    2 10,6
    3 8.1
    4 5,4
    5 0
    249 .

    [T] На прилагаемом графике показано наилучшее квадратичное соответствие a(t)=−0,70t2+1,44t+10,44,a(t)=−0,70t2+1,44t+10,44 данным из предыдущей таблицы. . Вычислите среднее значение a(t)a(t), чтобы оценить среднее ускорение между t=0t=0 и t=5.t=5.

    250 .

    [T] Используя уравнение ускорения из предыдущего упражнения, найдите соответствующее уравнение скорости. Предполагая, что конечная скорость равна 0 миль в час, найдите скорость в момент времени t=0.t=0.

    251 .

    [T] Используя уравнение скорости из предыдущего упражнения, найдите соответствующее уравнение расстояния, предполагая, что ваше начальное расстояние равно 0 миль. Какое расстояние вы проехали, пока разгоняли свою машину? ( Подсказка: Вам нужно будет преобразовать единицы времени.)

    252 .

    [T] Количество гамбургеров, проданных в ресторане в течение дня, приведено в следующей таблице, а прилагаемый график показывает наилучшее кубическое соответствие данным, b(t)=0,12t3−2.13t3+12,13t+3,91,b(t)=0,12t3−2,13t3+12,13t+3,91, где t=0t=0 соответствует 9 утра, а t=12t=12 соответствует 9 вечера. Вычислите среднее значение b(t)b(t), чтобы оценить среднее количество гамбургеров, продаваемых в час.

    Часы после полуночи Количество проданных бургеров
    9 3
    12 28
    15 20
    18 30
    21 45
    253 .

    [T] Спортсмен пробегает мимо детектора движения, который регистрирует ее скорость, как показано в следующей таблице. На прилагаемом графике показано наилучшее линейное соответствие этим данным, ℓ(t)=-0,068t+5,14, ℓ(t)=-0,068t+5,14. Используйте среднее значение ℓ(t)ℓ(t) между t=0t=0 и t=40t=40, чтобы оценить среднюю скорость бегуна.

    Минуты Скорость (м/с)
    0 5
    10 4.8
    20 3,6
    30 3,0
    40 2,5
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.