Формула для геометрической прогрессии – Геометрическая прогрессия — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 30.08.201721.12.2019 by alexxlab

Содержание

Геометрическая прогрессия | umath.ru

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число

, называется геометрической прогрессией. Число

называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

$b_{n+1} = b_n \cdot q.$

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

$b_n = b_1\cdot q^{n-1}.$

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

$b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}.$

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

$b_n = b_{n-1}\cdot q, \qquad b_{n+1} = b_n \cdot q.$

Следовательно,

$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{b_{n+1}}{b_n} = q,$

откуда

$b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}.$

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности $\{b_n\},$ начиная со второго, выполняется равенство $b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1},$ то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots ,$ знаменатель которой $q \ne 0$ :

(1) $\begin{equation*}S_n= b_1 + b_2 + \ldots + b_n.\end{equation*}$

Умножим это равенство на :

$S_n q = b_1q + b_2q + \ldots + b_nq$

или

(2) $\begin{equation*}S_n q = b_2 + b_3 + \ldots + b_{n+1}.\end{equation*}$

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим $S_n q - S_n = b_{n+1} - b_1.$ Отсюда, так как $q \ne 1,$ имеем

$S_n = \frac{b_{n+1} - b_1}{q - 1},$

или

(3) $\begin{equation*}S_n = \frac{b_nq - b_1}{q - 1}.\end{equation*}$

Так как $b_n = b_1q^{n-1},$

то формулу (3) можно переписать в виде

(4) $\begin{equation*}S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}.\end{equation*}$

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

$1, 2, 2^2, 2^3, \ldots , 2^{63}.$

По формуле (3) получаем

$S = \frac{2^{63}\cdot 2 - 1}{2 - 1} = 2^{64} - 1 =$

$= 18\ 446\ 744\ 073\ 709\ 551\ 615.$

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию $\{b_1q^{n-1}\}.$ Если её знаменатель $\{b_1q^{n-1}\}.$ то эта последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресcии выражается формулой

(5) $\begin{equation*}S = \frac{b_1}{1 - q}.\end{equation*}$

umath.ru

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия — это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число $q={b_k}/{b_{k-1}}$ называется знаменателем геометрической прогрессии.

Основное свойство геометрической прогрессии.

Мы видим, что

$b_k={b_{k-1}}q$

$b_k={b_{k+1}}/q$

Перемножив эти два равенства, получим:

${b_k}^2={b_{k-1}}*{b_{k+1}}$

Итак,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

${b_k}^2={b_{k-1}}*{b_{k+1}}$

Нетрудно доказать, что

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера , равен произведению двух соседних:

Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

$S_n=b_1+b_1{q}+b_1{q}^2+ b_1{q}^3+$ … $b_1{q}^{n-1}$ (1)

Умножим обе части равенства на

$S_{n}q= b_1{q}+b_1{q}^2+b_1{q}^3+ b_1{q}^4+$ … $b_1{q}^{n}$ (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

$S_{n}q-S_{n}=b_1{q}^{n}-b_1$ (остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

$S_{n}(q-1)=b_1({q}^{n}-1 )$

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

$S_{n}(q-1)=b_1({q}^{n}-1 )$ (1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если знаменатель геометрической прогрессии delim{ , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при $n{right}{infty}, ~b_n{right}0$

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

$n{right}{infty}, ~b_n{right}0$ (2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если delim{ .

Рассмотрим примеры задач.

1. Дана последовательность . Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.

Докажем, что для любого номера n отношение ${c_n}/{c_{n-1}}=const$

$c_{n-1}=5(-2)^{n}$

${c_n}/{c_{n-1}}={5(-2)^{n}} /{5(-2)^{n-1}}=-2$ — мы видим, что отношение ${c_n}/{c_{n-1}}$ не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

2. Дана геометрическая прогрессия

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

1. $b_5=2(-3)^{5}=-486$

2. $S_5={b_1(q^5-1)}/{q-1}$

Найдем b_1 и .

$q={b_2}/{b_1}={18}/{-6} =-3$

$S_5={(-6)((-3)^5-1)}/{(-3)-1}={(-6)(-243-1)}/{-4}=-3*122=-366$

Ответ: 1. -162; 2. -366

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле $S={b_1}/{1-q}$ . (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)

b_1=8 ;

Ответ: 10{2/3}

4. Дана геометрическая прогрессия (c_n) с положительными членами, в которой .

а) Найдите c_1 .

б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.

а) Запишем условие задачи, выразив его через c_1 и . Получим систему уравнений:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{c_1*q^3=24} {c_1*q^5=96} }}{ }$

Разделим второе уравнение на первое, получим

q^2=4 ; .

По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому q>0 .

Найдем c_1 . Для этого подставим q=2 в первое уравнение системы.

б) По условию S_n=45

$S_n={c_1(q^n-1)}/{q-1}={3(2^n-1)}=45$

2^n=16

n=4

Ответ: а) 3; б) 4.

5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии (b_n) в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение ${b_2}/{b_4}$ .

Выразим условие задачи через b_1 и

$S={b_1}/{1-q}$

Т.к. по условию S=3b_1 , получим

${b_1}/{1-q}=3b_1$ . Отсюда

Нам нужно найти ${b_2}/{b_4}={b_1*q}/{b_1*q^3}=1/{q^2}$ .

$1/{q^2} 1/{(2/3)^2}=9/4=2,25$

Ответ: 2,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Геометрическая прогрессия | Онлайн калькулятор

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии — постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности. b_n=b₁ q^(n-1)

В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель — положительный, но находится между 0 и 1 (0 , тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k , тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.

Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:

• Формула первого члена геометрической прогрессии;

• Формула n члена геометрической прогрессии;

• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;

• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;

• Формула

знаменателя геометрической прогрессии.

Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.

allcalc.ru

Геометрическая прогрессия — это… Что такое Геометрическая прогрессия?

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : ^[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

Если и , прогрессия является возрастающей последовательностью, если , — убывающей последовательностью, а при — знакочередующейся^[2].

Своё название прогрессия получила по своему

характеристическому свойству:

то есть каждый член равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[3]^:8-9.
Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.
— геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Свойства

Доказательство

Пусть — последовательность :

Полученное соотношение является характеристическим для арифметической прогрессии.

Доказательство

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
,

Доказательство

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, можно рассчитать по формуле:

Доказательство

Сумма первых членов геометрической прогрессии:

Доказательство

Через сумму:

Примечания

См. также

dvc.academic.ru

Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена

Тема: Геометрическая прогрессия

Урок: Определение и свойства геометрической прогрессии, формула

n–го члена

На уроке дается определение геометрической прогрессии, выводится формула общего члена, решаются типовые задачи.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись:

, т.е.

Рассмотрим примеры геометрических прогрессий:

здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2; полученная последовательность при этом возрастает (

2. здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на

; полученная последовательность при этом убывает (

Теперь выведем формулу n–го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию , при этом

Тогда,

. . . . . . . . . . .

n=1,2,3,…

Докажем полученную формулу методом полной математической индукции.

Дано:геометрическая прогрессия,

Доказать:.

Доказательство.

1. Проверим справедливость формулы дляn =1:

2. Предположим, что формула справедлива для n=k:

3. Докажем, что из справедливости формулы для n=k следует справедливость формулы для n=k+1:

Вывод: формула верна для всех

Рассмотрим геометрическую прогрессию как функцию натурального аргумента и построим ее график.

Обозначим, тогда

, это показательная функция натурального аргумента.

Рассмотрим примеры.

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

n	1	2	3	4
	1	2	4	8

И построим ее график.

Рис. 1.

, поэтому график – это только отдельные точки, которые лежат на показательной кривой.

2. ;

Перейдя к функции, имеем

Составим таблицу значений функции.

n	1	2	3	4
	1

И построим ее график.

Рис. 2

Снова график – это отдельные точки, лежащие на показательной кривой.

Из графиков видно, что если геометрическая прогрессия возрастает, то возрастает очень быстро, а если убывает, то убывает тоже быстро (как показательная функция).

Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула общего члена геометрической прогрессии:

1. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: . Решение: Ответ:

2. Дано:геометрическая прогрессия,. Проверить, является ли число 1536 членом этой прогрессии, если да, найти его номер. Решение: Ответ:

3. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

4. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

Если известны два члена геометрической прогрессии то справедлива формула:

Действительно, Рассмотрим еще одну задачу.

5. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

Методические замечания:

1. В видео уроке на доске график на рисунке 2 подписан вместо

2. Не рассмотрена очень полезная для решения задач формула , которая была добавлена в конце конспекта и на использование формулы приведен соответствующий пример.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений /А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 485, 486, 488, 490, 497.

interneturok.ru

Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахо

yukhym.com

Конспект «Геометрическая прогрессия» — УчительPRO

Геометрическая прогрессия

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. (Первый член геометрической прогрессии также не может быть равен нулю.)

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

Или b_n₊₁ = b_n • q.

Пример 1. Пусть b₁ = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Пример 2. Пусть b₁ = 5 и q = –2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются: 5; –10; 20; –40; 80; –160; 320; … . Это последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (b_n), первый член которой равен b₁, a знаменатель равен q:

b_n = b₁ • q^n–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Если последовательность (b_n) – геометрическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство: b_n = b_m • q^n-^m.

Пример 3. В геометрической прогрессии b₃ = –1/2, b₆ = 4. Найдём b₁₂.

Так как b₆ = b₃ • q³, то q³ = b₆ / b₃ = –8. Далее имеем: b₁₂ = b₆ • q⁶ = b₆ • (q³)² = 4 • (–8)² = 256.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

На рисунке точками изображены несколько членов геометрической прогрессии (b_n), в которой b₁ = 1, q = 2; эта прогрессия задаётся формулой
b_n = 2ⁿ^-1.

Скорость её роста всё время увеличивается, и точки, соответствующие её членам, резко «уходят» вверх. Все они лежат на кривой, которая носит название экспонента. Чем выше поднимается экспонента у = 2^х, тем круче она становится.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то

Заметим, что если 0 < q < 1, то удобнее пользоваться формулой суммы, представленной в виде:

Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой и S_n = nb₁.

Пример 4. Найдём сумму

Слагаемые в этой сумме – члены геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, a знаменатель равен ½. Всего суммируется 11 членов. Имеем:

Пример 5. Найдём сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, a четвёртый равен 24.

Это конспект по математике на тему «Геометрическая прогрессия». Выберите дальнейшие действия:

uchitel.pro

Геометрическая прогрессия | umath.ru

Определение геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия | Онлайн калькулятор

Геометрическая прогрессия — это… Что такое Геометрическая прогрессия?

Описание

Примеры

Свойства

Примечания

См. также

Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена

Геометрическая прогрессия на примерах

Конспект «Геометрическая прогрессия» — УчительPRO

Геометрическая прогрессия

Определения и обозначения

Или bn+1 = bn • q.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

bn = b1 • qn–1

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Добавить комментарий Отменить ответ

Или b_n₊₁ = b_n • q.

b_n = b₁ • q^n–1