Однородные дифференциальные уравнения первого порядка: Однородные дифференциальные уравнения [wiki.eduVdom.com] — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 29.12.201809.04.2021 by alexxlab

{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$

Решение:

Содержание

Лекция Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Скачать с Depositfiles

Лекция 2

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Функция называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом справедливо тождество

Примеры: — однородная функция первого измерения

— второго измерения

— нулевого измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

называется однородным относительно х и у, если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у , т.е.

Решение однородного уравнения:

По условию: .

Полагая здесь , получим: , и уравнение (1) запишем так:

(1’)

Заметим, что перед делением на х следует проверить наличие частного решения .

Сделаем подстановку ; ; .

;

Подставляя сюда после интегрирования , получим общий интеграл уравнения (1).

Пример. Найти общий интеграл дифф. уравнения .

Решение. Замена: ; ;

;

— общий интеграл

Замечание: Уравнение вида будет однородным тогда и только тогда, когда и будут однородными функциями одного и того же измерения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения: — однородное уравнение. Заметим, что оно допускает частное решение .

Если , то делаем замену ; ; , ;

; ; . – общий интеграл.

Определение:

Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(1)

где и — непрерывные функции или константы.

Решение уравнения (1) будем искать решение в виде произведения двух функций

(2)

Тогда

Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

, или

(3)

Выберем так, чтобы выполнялось равенство:

(кроме ) (4)

Тогда

Полагаем здесь (нам нужно любое решение уравнения (4))

Окончательно получим общее решение в виде

Постоянную С можно найти из начальных условий: .

Пример: Решить задачу Коши

; ;

Уравнение Бернулли

Уравнения вида

(1)

где и – непрерывные функции (или константы), и , называется уравнениями Бернулли. Заметим, что они допускают нулевое решение . Если, то они приводятся к линейным уравнениям заменой

(2)

Поделим обе части уравнения (1) на , получим

(3)

(4)

-линейное д.у. Найдем его общее решение, сделаем в нем обратную замену и получим общее решение уравнения (1).

Пример. Найти общее решение уравнения

(5)

Уравнение имеет нулевое решение . Найдем другие решения.

; ; ;

— линейное д.у.

Практика

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

1); 2); ;

3); 4) ; ;

2. Однородные

1); ; ;

2); 3);

4); 5);

6) ;

3. Линейные первого порядка

1) ; 2);

3); 4).

4. Уравнения Бернулли

1); 2).

Скачать с Depositfiles

2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

(9)

называется однородным относительно переменных x и y, если – однородная функция нулевой степени относительно своих аргументов.

Дифференциальное уравнение первого порядка

(10)

называется однородным относительно переменных x и y, если и– однородные функции одной и той же степениk относительно своих аргументов.

Функция называетсяоднородной степени k относительно переменных x и y, если для произвольного действительного числа a выполняется равенство

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (как уравнение (9), так и уравнение (10)) может быть представлено в виде

. (11)

Метод интегрирования однородных дифференциальных уравнений состоит в следующем. Однородное дифференциальное уравнение приводится к виду (11). Вводится новая переменная или, где(), и после подстановки в уравнение (11) приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно переменной

xи новой функцииt(x).

В задании 2 необходимо решить однородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

Задание 2. Найти общий интеграл (общее решение) дифференциального уравнения. Сделать проверку.

a) , b),

c) , d).

Решение: Во всех случаях имеем однородные относительно переменных x и y обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Все они могут быть сведены к уравнению вида (11). В случаях a), c), d) предварительно необходимо показать, что эти уравнения являются однородными, а затем привести их к виду (11).

Задание 2a. .

Данное уравнением является уравнением первого порядка. Рассмотрим функцию . Эта функция является однородной функцией нулевой степени, так как для произвольного действительного числаa выполняется равенство

Таким образом, данное уравнением является однородным и его можно свести к уравнению (11). Для этого разделим числитель и знаменатель правой части на x:

; .

Сделаем замену переменной или, где. Найдеми подставим в преобразованное уравнение

; ;;

; .

Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t(x). Заменяя и разделяя переменные, получим

; .

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

Возвращаясь к исходному уравнению, получим

Умножив обе части равенства на два и уединяя произвольную постоянную, получим общий интеграл уравнения с разделяющимися переменными

Для нахождения общего интеграла исходного уравнения вернемся к старой переменной через замену :

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения примет вид:

Сделаем проверку. Вычислим производную искомой функции как функции, заданной неявно.

, ,

; ,

, ,.

Подставим найденное значение в искомое уравнение

и получим тождество (верное равенство).

Ответ: общий интеграл

Задание 2b. .

Имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, однородное относительно переменных x и y. Сделаем замену переменной или, где. Найдеми подставим в исходное уравнение

; .

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

Интеграл, стоящий в правой части является табличным .

Найдем интеграл от дробно рациональной функции, стоящей слева. Для этого можно, например, разложить подынтегральную функцию на сумму простейших или, выделив в знаменателе полный квадрат и сделав замену переменной, прийти к табличному интегралу.

Тогда, возвращаясь к исходному уравнению, получим

, ,

, .

Возвращаясь к старой переменной, получим

Откуда после преобразований записываем общий интеграл

Проверка выполняется аналогично тому, как это делалось в предыдущих заданиях.

Ответ: общий интеграл .

Задание 2c. .

a выполняется равенство

Таким образом, данное уравнение является однородным и его можно решить аналогично тому, как это показано в пункте a), предварительно разделив числитель и знаменатель правой части на .

Сделаем замену переменной

или ,;

; .

Пришли к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно переменной x и новой искомой функции t(x).

; ;.

Тогда

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения примет вид:

Проверку выполняется аналогично предыдущим примерам.

Ответ: общий интеграл .

Задание 2d. .

Рассмотрим функции ,. Эти функции являются однородными первой степени относительно переменныхx и y. Действительно:

Тогда исходное уравнение может быть сведено к уравнению вида (9), а затем к виду (11).

Заметим, что полученное уравнение совпадает с уравнением из задания 2(a), то есть пришли к случаю, который уже рассмотрен.

Глава 87. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Уравнения вида

(8. 4.1)

Называется Однородным, если и однородные функции степени .

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с понятием однородной функции.

Определение

Функция называется Однородной функцией степени , если для произвольного числа выполняется равенство .

Пример

Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

А) . Так как , то данная функция однородна степени 2.

Б) . . Функция однородна степени 0.

В) . . Данная функция неоднородная.

Дифференциальное уравнение вида (8.4.1) можно привести к виду

(8.4.2)

И при помощи подстановки ( – неизвестная функция) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Поскольку , то Þ Þ Þ .После того, как общее решение последнего уравнения будет найдено, необходимо вернуться к старой функции .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Разделим уравнение почленно на . Получим . Выполним замену . Следовательно, . Подстановка в исходное уравнение дает Þ – уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Возвращаясь к функции , получим общее решение уравнения: .

Логарифмирование решения дает: .

Пример

Найти частное решение уравнения в точке .

Решение

Уравнение однородное нулевой степени – или . В результате подстановки (, ) получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции : . Интегрирование этого уравнения дает функцию: . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: . Частное решение, соответствующее начальному условию, имеет вид: .

Определение

Дифференциальное уравнение вида

(8.4.3)

Где и – непрерывные функции, называется Линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно, что и объясняет название уравнения.

Если , то уравнение (8.4.3) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.4.3) называется Линейным неоднородным уравнением.

Пусть линейное однородное уравнение.

(8.4.4)

Соответствует уравнению (8.4.3). Мы рассмотрим так называемый метод вариации постоянной – метод решения неоднородного уравнения, основанный на предварительном решении однородного уравнения (8.4.4).

Уравнение (8.4.2) можно решить методом разделения переменных:

, откуда .

Потенцируя, получаем общее решение уравнения (8.4.4):

(8.4.5)

Где .

Общее решение неоднородного уравнения (8.4.3) ищем в виде (8.4.5), полагая константу новой неизвестной функцией от аргумента.

(8.4.5а)

Подставим решение (8.4.5а¢) в уравнение (8.4.3).

Откуда после приведения подобных получаем уравнение для :

(8.4.6)

Интегрирование уравнения (8.4.4) дает выражение для : .

Подставляя выражение для в формулу общего решения, получаем окончательное выражение для решения неоднородного уравнения:

(8.4.7)

Где – произвольная постоянная.

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции . К таковым относится Уравнение Бернулли:

(8. 4.8)

Где и – непрерывные функции, а – некоторое постоянное число. При имеем линейное неоднородное уравнение, а при – линейное однородное уравнение .

Пусть и . Введем новую функцию . Тогда . Поделим обе части уравнения (8.4.8) на и умножим на : .

Выполняя замену, получим линейное неоднородное уравнение относительно новой функции : . Метод решения последнего нами уже изучен.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Сначала решим соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные, получим Þ .

Полагая функцией от и подставляя найденное решение в исходное неоднородное уравнение, получаем после приведения подобных дифференциальное уравнение для : .

После интегрирования этого уравнения и подстановки в уже найденное решение однородного уравнения получим искомое общее решение исходного уравнения: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Опять начнем с однородного уравнения . После разделения переменных и интегрирования уравнения получаем общее решение однородного уравнения . Полагая, что , получаем после подстановки в неоднородное уравнение . Откуда . Стало быть, общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при . Заменой искомой функции мы получим линейное неоднородное уравнение относительно : . По формуле (8.4.7) получаем общее решение этого уравнения . Теперь выполняя обратную замену , получаем решение исходного нелинейного уравнения:

Рассмотрим еще один из возможных способов решения линейного неоднородного уравнения (8.4.3) и уравнения Бернулли (8.4.8).

Решение этих уравнений ищем в виде произведения двух функций . Тогда линейное уравнение и уравнение Бернулли сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Так как , то линейное уравнение (8. 4.3) преобразуется к виду .

Найдем сначала какое–нибудь частное решение уравнения . Тогда функция Решение уравнения .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение . Пусть , тогда . Следовательно, или . Положим . Проинтегрировав это уравнение, найдем какое–нибудь частное решение этого уравнения . Например, при получаем . Подставляя в уравнение Функцию , получим уравнение относительно функции : . Решением этого уравнения с разделяющимися переменными есть функция . Окончательное выражение для решения исходного уравнения имеет вид .

< Предыдущая		Следующая >

Простейшие = решаемые аналитически обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Виды дифференциальных уравнений первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
Однородные уравнения и сводящиеся к ним
Линейные уравнения и сводящиеся к ним
Уравнение в полных дифференциалах . Интегрирующий множитель.
Уравнения не разрешенные относительно производной и сводящиеся к ним

Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним

1. y’=f(x)*g(y) — например: y’=x*y*(y+2), где f(x)=х; g(y)=y*(y+2)

или

m(x)*n(y)dy+p(x)*q(y)dx=0

(Примеры и методы решений)

2. Уравнение вида y’=f(ax+by) приводится к уравнению с разделяющимися переменными

(Примеры и методы решений)

Однородные уравнения

1. y’=f(y/x)

или

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

где M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени «n».

(Примеры и методы решений)

2. сводится к однородному уравнению.

(Примеры и методы решений)

Линейные уравнения

1. y’+a(x)y=b(x)

(Примеры и методы решений)

2. Уравнение y’+a(x)y=b(x)yⁿ (Бернулли) сводится к однородному

(Примеры и методы решений)

3. Уравнение y’+a(x)y+b(x)y²=c(x) (Риккати) в некоторых случаях сводится к уравнению Бернулли.

(Примеры и методы решений)

Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

1. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,

если выполняется условие

Интегрирующий множитель- множитель, умножив на который обе стороны уравнения, мы получим уравнение в полных дифференциалах (если оно таким и не было изначально).

(Примеры и методы решений)

Уравнения не разрешенные относительно производной

Общий вид : F(x,y,y’)=0,

1. Случай, когда из уравнения F(x,y,y’)=0 можно выразить y’ через x, y.

2. Случай, когда уравнение F(x,y,y’)=0 можно разрешить относительно у (простейший вариант метода введения параметра).

3. Случай, когда уравнение F(x,y,y’)=0 можно разрешить относительно х.

4. Уравнение Лагранжа y=xφ(y’)+ψ(y’). Уравнение Клеро y=xy’+ψ(y’)

5. Особые решения.

(Примеры и методы решений)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка: метод вариации постоянных, примеры

В данной теме поговорим о способах решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида y’=P(x)·y=Q(x). Начнем с метода вариации произвольной постоянной и покажем способ применения этого метода для решения задачи Коши. Продолжим рассмотрением метода, который предполагает представление произвольной постоянной у как произведения двух функций u(x) и v(x). В разделе мы приводим большое количество задач по теме с детальным разбором решения.

На тот случай, если применяемые при разборе темы термины и понятия окажутся незнакомыми для вас, мы рекомендуем заглядывать в раздел «Основные термины и определения теории дифференциальных уравнений».

Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка

Для краткости будет обозначать линейное неоднородное дифференциальное уравнение аббревиатурой ЛНДУ, а линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ).

ЛНДУ вида y’=P(x)·y=Q(x) соответствует ЛОДУ вида y’=P(x)·y=0, при Q(x) = 0. Если посмотреть на дифференциальное уравнение y’=P(x)·y=0, становится понятно, что мы имеем дело с уравнением с разделяющимися переменными. Мы можем его проинтегрировать: y’=P(x)·y=0⇔dyy=-P(x)dx, y≠0∫dyy=-∫P(x)dx⇔lny+C1=-∫P(x)dx⇔lny=lnC-∫P(x)dx, lnC=-C1, C≠0⇔elny=elnC-∫P(x)dx⇔y=C·e-∫P(x)dx

Мы можем утверждать, что значение переменной y=0 тоже является решением, так как при этом значении переменной уравнение y’=P(x)·y=0 обращается в тождество. Этому случаю соответствует решение y=C·e-∫P(x)dx при значении C=0.

Получается, что y=C·e-∫P(x)dx — общее решение ЛОДУ, где С – произвольная постоянная.

y=C·e-∫P(x)dx — это решение ЛОДУ y’=P(x)·y=0.

Для того, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения y’=P(x)·y=Q(x), будем считать С не константой, а функцией аргумента х. Фактически, мы примем y=C(x)·e-∫P(x)dx общим решением ЛНДУ.

Подставим y=C(x)·e-∫P(x)dx в дифференциальное уравнение y’=P(x)·y=Q(x). Оно при этом обращается в тождество:

y’=P(x)·y=Q(x)Cx·e-∫P(x)dx+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)

Теперь обратимся к правилу дифференцирования произведения. Получаем:

C'(x)·e-∫P(x)dx+C(x)·e-∫P(x)dx+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)

Производная сложной функции e-∫P(x)dx’ равна e-∫P(x)dx·-∫P(x)dx’.

Теперь вспомним свойства неопределенного интеграла. Получаем:

e-∫P(x)dx·-∫P(x)dx’=-e-∫P(x)dx·P(x)

Теперь выполним переход:

C'(x)·e-∫P(x)dx+C(x)·e-∫P(x)dx’+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)C'(x)·e-∫P(x)dx-P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx+P(x)·C(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)C'(x)·e-∫P(x)dx=Q(x)

Так мы пришли к простейшему дифференциальному уравнению первого порядка. В ходе решения этого уравнения мы определим функцию C(x). Это позволит нам записать решение исходного ЛНДУ первого порядка следующим образом:

y=C(x)·e-∫P(x)dx

Подведем итог

Метод вариации произвольной постоянной при решении ЛНДУ предполагает проведение трех этапов:

нахождение общего решения соответствующего ЛОДУ y’+P(x)·y=0 в виде y=C·e-∫P(x)dx;
варьирование произвольной постоянной С, что заключается в замене ее функцией С(x);
подстановка функции y=C(x)·e-∫P(x)dx в исходное дифференциальное уравнение, откуда мы можем вычислить C(x) и записать ответ.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Теперь применим этот алгоритм к решению задачи.

Пример 1

Найдите решение задачи Коши y’-2xy1+x2=1+x2, y(1) = 3.

Решение

Нам нужно отыскать частное решение ЛНДУ y’-2xy1+x2=1+x2 при начальном условии y(1) = 3.

В нашем примере P(x)=-2×1+x2 и Q(x) = x2 + 1. Начнем с того, что найдем общее решение ЛОДУ. После этого применим метод вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ. Это позволит нам найти искомое частное решение.

Общим решением соответствующего ЛОДУ y’-2xy1+x2=0 будет семейство функций y=C·(x2+1), где С – произвольная постоянная.

Варьируем произвольную постоянную y=C(x)·(x2+1) и подставляем эту функцию в исходное уравнение:
y’-2xy1+x2=1+x2Cx·(x2+1′-2x·C(x)·(x2+1)1+x2=1+x2C'(x)·(x2+1)+C(x)·2x-2x·C(x)=1+x2C'(x)=1,

откуда C(x)=∫dx=x+C1, где C1 – произвольная постоянная.

Это значит, что y=C(x)·(x2+1)=(x+C1)·(x2+1) — общее решение неоднородного уравнения.

Теперь приступим к отысканию частного решения, которое будет удовлетворять начальному условию y(1) = 3.

Так как y=(x+C1)·(x2+1), то y(1)=(1+C1)·(12+1)=2·(1+C1). Обратившись к начальному условию, получаем уравнение 2·(1+C1)=3, откуда C1=12. Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид y=x+12·(x2+1)

Теперь рассмотрим еще один метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений y’+P(x)·y=Q(x).

Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка

Мы можем представить неизвестную функцию как произведение y=u⋅v, где u и v – функции аргумента x.

Мы можем подставить эту функцию в ЛНДУ первого порядка. Имеем:

y’+P(x)·y=Q(x)(u·v)’+P(x)·u·v=Q(x)u’·v+u·v’+P(x)·u·v=Q(x)u’·v+u·(v’+P(x)·v)=Q(x)

Если найти такое v, чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения v’+P(x)·v=0, то u можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными u’·v=Q(x).

Рассмотрим этот алгоритм решения на предыдущем примере. Это позволит нам сосредоточиться на главном, не отвлекаясь на второстепенные детали.

Пример 2

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’-2xy1+x2=1+x2.

Решение

Пусть y=u⋅v, тогда
y’-2xyx2+1=x2+1⇔(u·v)-2x·u·vx2+1=x2+1u’·v+u·v’-2x·u·vx2+1=x2+1u’·v+u·v’-2x·vx2+1=x2+1

Находим такое v, отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения v’-2x·vx2+1=0.
v’-2x·vx2+1=0⇔dvdx=2x·vx2+1⇒dvv=2xdxx2+1⇔dvv=d(x2+1)x2+1∫dvv=∫d(x2+1)x2+1lnv+C1=ln(x2+1)+C2

Возьмем частное решение v = x2 + 1, соответствующее C2 – С1 = 0.

Для этого частного решения имеем
u’·v+u·v’-2x·vx2+1=x2+1⇔u’·(x2+1)+u·0=x2+1⇔u’=1⇔u=x+C

Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть y=u·v=(x+C)·(x2+1)

Ответы в обоих случаях совпадают. Это значит, что оба метода решения, которые мы привели в статье, равнозначны. Выбирать, какой из них применить для решения задачи, вам.

дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры

Вы искали дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и дифференциальные однородные уравнения примеры, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры,дифференциальные однородные уравнения примеры,дифференциальные уравнения однородные примеры,дифференциальные уравнения первого порядка однородные примеры,дифференциальные уравнения первого порядка однородные уравнения,дифференциальные уравнения примеры однородные,ду первого порядка,как решать однородные дифференциальные уравнения,однородное дифференциальное уравнение 1 го порядка,однородное дифференциальное уравнение первого порядка,однородное уравнение первого порядка,однородные диф уравнения первого порядка,однородные дифференциальные уравнения первого порядка примеры решения,однородные уравнения первого порядка,однородные уравнения первого порядка примеры,примеры дифференциальные однородные уравнения первого порядка,примеры однородные дифференциальные уравнения,примеры однородные дифференциальные уравнения первого порядка,решение однородного дифференциального уравнения,решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, дифференциальные уравнения однородные примеры).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры Онлайн?

Решить задачу дифференциальные однородные уравнения первого порядка примеры вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Однородные уравнения первого порядка

Функция f ( x, y ) называется однородной степени n , если уравнение

выполняется для всех x, y и z (для которых определены обе стороны).

Пример 1 : Функция f ( x, y ) = x ² + y ² однородна степени 2, поскольку

Пример 2 : Функция однородна степени 4, так как

Пример 3 : Функция f ( x, y ) = 2 x + y однородна степени 1, поскольку

Пример 4 : Функция f ( x, y ) = x ³ — y ² не является однородной, поскольку

, что не равно z ⁿ f ( x, y ) для любого n .

Пример 5 : Функция f ( x, y ) = x ³ sin ( y / x ) однородна степени 3, поскольку

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным , если M ( x, y ) и N ( x, y ) являются однородными функциями одной степени.

Пример 6 : Дифференциальное уравнение

является однородным, потому что оба M ( x, y ) = x ² — y ² и N ( x, y ) = xy являются однородными функциями одного и того же степень (а именно 2).

Из этого факта следует метод решения однородных уравнений:

Замена y = xu (и, следовательно, dy = xdu + udx ) преобразует однородное уравнение в разделимое.

Пример 7 : Решите уравнение ( x ² — y ²) dx + xy dy = 0.

Это уравнение однородно, как показано в Примере 6.Таким образом, чтобы решить ее, сделайте замены y = xu и dy = x dy + u dx :

Это последнее уравнение теперь разделимо (что и было задумано). Приступая к решению,

Следовательно, решение разделяемого уравнения, включающего x и v , может быть записано как

Чтобы дать решение исходного дифференциального уравнения (которое включало переменные x и y ), просто отметьте, что

Замена v на y / x в предыдущем решении дает окончательный результат:

Это общее решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 8: Решить IVP

Так как функции

оба однородны степени 1, дифференциальное уравнение однородно. Подстановки y = xv и dy = x dv + v dx преобразуют уравнение в

, который упрощается следующим образом:

Теперь уравнение разделимо. Разделение переменных и интегрирование дает

Интеграл от левой части вычисляется после выполнения частичного разложения на дробь:

Следовательно,

Правая часть (†) сразу интегрируется в

Следовательно, решение сепарабельного дифференциального уравнения (†) равно

Теперь замена v на y / x дает

как общее решение данного дифференциального уравнения.Применение начального условия y (1) = 0 определяет значение константы c :

Таким образом, частным решением IVP является

, который можно упростить до

, как вы можете проверить.

Техническое примечание: на этапе разделения (†) обе стороны были разделены на ( v + 1) ( v + 2), и v = –1 и v = –2 были потеряны как решения. .Однако их не нужно рассматривать, потому что, хотя эквивалентные функции y = — x и y = –2 x действительно удовлетворяют данному дифференциальному уравнению, они несовместимы с начальным условием.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение типа

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

, где \ (a \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) — непрерывные функции от \ (x, \), называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

Использование интегрирующего коэффициента;
Метод изменения постоянной.

Использование интегрирующего коэффициента

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

интегрирующий коэффициент определяется по формуле

\ [{u \ left (x \ right)} = {\ exp \ left ({\ int {a \ left (x \ right) dx}} \ right).} \]

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \ (u \ left (x \ right) \) преобразует левую часть в производную от произведения \ (y \ left (x \ right) u \ left (x \ справа). \)

Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:

\ [y = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}}, \]

где \ (C \) — произвольная постоянная.

Метод изменения константы

Этот метод аналогичен предыдущему.Для начала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = 0. \]

Общее решение однородного уравнения содержит константу интегрирования \ (C. \). Заменим константу \ (C \) некоторой (пока неизвестной) функцией \ (C \ left (x \ right). \) By Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию \ (C \ left (x \ right). \)

Описанный алгоритм называется методом изменения константы.Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.

Задача начального значения

Если помимо дифференциального уравнения существует еще начальное условие в виде \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}, \), такая задача называется задачей начальной стоимости (IVP). или проблема Коши.

Частное решение для IVP не содержит константы \ (C, \), которая определяется подстановкой общего решения в начальное условие \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}.3}. \)

Решение.

Мы решим эту проблему, используя метод изменения постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения:

\ [xy ’= y, \]

, которую можно решить, разделив переменные:

\ [
{x \ frac {{dy}} {{dx}} = y, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{dy}} {y} = \ frac {{dx}} {x }, \; \;} \ Rightarrow
{\ int {\ frac {{dy}} {y}} = \ int {\ frac {{dx}} {x}}, \; \;} \ Rightarrow
{ \ ln \ left | у \ право | = \ ln \ left | х \ право | + \ ln C, \; \;} \ Rightarrow
{y = Cx. 3} + {C_1} x.} \]

Однородные дифференциальные уравнения

Здесь мы рассмотрим специальный метод решения «Однородных дифференциальных уравнений»

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка — это Однородное , когда оно может иметь следующую форму:

dy dx = F ( y x )

Мы можем решить эту проблему, используя разделение переменных, но сначала мы создаем новую переменную v = y x

v = y x , что также равно y = vx

И dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx (в соответствии с Правилом продукта)

Что можно упростить до dy dx = v + x dv dx

Используя y = vx и dy dx = v + x dv dx , мы можем решить дифференциальное уравнение.

Пример покажет, как это все делается:

Пример: Решить

dy dx = x ² + y ² xy

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x ² + y ² xy

Отдельные термины: x ² xy + y ² xy

Упростить: x y + y x

, величина, обратная первому члену: ( y x ) ⁻¹ + y x

Да, у нас есть функция (y / x).

Итак, вперед:

Начать с: dy dx = ( y x ) ⁻¹ + y x

y = vx и dy dx = v + x dv dx : v + x dv dx = v ⁻¹ + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = v ⁻¹

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: v dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫v dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: v ² 2 = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : v ² 2 = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: v ² 2 = ln (kx)

Упростить: v = ± √ (2 ln (kx))

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = ± √ (2 ln (kx))

Упростить: y = ± x √ (2 ln (kx))

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Другой пример:

Пример: Решить

dy dx = y (x − y) x ²

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: y (x − y) x ²

Отдельные условия: xy x ² — y ² x ²

Упростить: y x — ( y x ) ²

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = y x — ( y x ) ²

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = v — v ²

Вычтем v с обеих сторон: x dv dx = −v ²

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: — 1 v ² dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫− 1 v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: 1 v = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : 1 v = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: 1 v = ln (kx)

Упростить: v = 1 ln (kx)

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = 1 ln (kx)

Упростить: y = x ln (kx)

И у нас есть решение.

Вот несколько примеров значений k:

И последний пример:

Пример: Решить

dy dx = x − y x + y

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x − y x + y

Разделить на x: x / x − y / x x / x + y / x

Упростить: 1 − y / x 1 + y / x

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = 1 − y / x 1 + y / x

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = 1 − v 9115 1 + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = 1 − v 1 + v — v

Тогда: x dv dx = 1 − v 1 + v — v + v ² 1 + v

Упростить: x dv dx = 1−2v − v ² 1 + v

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: 1 + v 1−2v − v ² dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ 1 + v 1−2v − v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: — 1 2 ln (1−2v − v ²) = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : — 1 2 ln (1−2v − v ²) = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: (1−2v − v ²) ^−½ = kx

Квадратное и обратное: 1−2v − v ² = 1 k ² x ²

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : 1-2 ( y x ) — ( y x ) ² = 1 k ² x ²

Умножить на x ² : x ² −2xy − y ² = 1 k ²

Мы почти у цели. .. хотя приятно выделить y!
Мы можем попытаться разложить на множители x ² −2xy − y ², но сначала мы должны немного изменить порядок:

Изменить знаки: y ² + 2xy − x ² = — 1 k ²

Заменить — 1 k ² на c: y ² + 2xy − x ² = c

Добавьте 2x ² к обеим сторонам: y ² + 2xy + x ² = 2x ² + c

Фактор: (y + x) ² = 2x ² + c

Квадратный корень: y + x = ± √ (2x ² + c)

Вычтем x из обеих сторон: y = ± √ (2x ² + c) — x

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Руководство по решению дифференциальных уравнений

В нашем мире вещи меняются, и , описывающий, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением.

Примеры из реального мира, где Используемые дифференциальные уравнения включают рост населения, электродинамику, тепловую расход, планетарное движение, экономические системы и многое другое!

Решение

Итак, дифференциальное уравнение может быть очень естественным способом описания чего-либо.

Пример: рост населения

Здесь мы говорим, что популяция «N» увеличивается (в любой момент) по мере того, как скорость роста умножается на численность населения в этот момент:

dN dt = rN

Но и так не очень-то полезно.

Нам нужно решить это!

Мы решаем , когда обнаруживаем функцию y (или набор функций y), удовлетворяющий уравнению, и тогда его можно успешно использовать.

Пример: продолжение

Наш пример решается с помощью этого уравнения:

N (t) = N ₀ e ^rt

, который на самом деле можно использовать так:

Популяция, которая начинается с 1000 (N ₀) со скоростью роста 10% в месяц (r), вырастет до

.
1000 _{e ^0,1×1 = 1105 через 1 месяц}
1000 _{e ^0,1×6 = 1822 через 6 месяцев}
и т. Д.
Не существует волшебной палочки для решения всех дифференциальных уравнений.
Но на протяжении тысячелетий великие умы опирались на работу друг друга и открыли различные методы (возможно, длинные и сложные!) Решения некоторых типов дифференциальных уравнений.
Итак, возьмем посмотрите на несколько различных типов дифференциальных уравнений и как их решить
Бернулли имеют такую общую форму:
dy dx + P (x) y = Q (x) y ⁿ, n 0 или 1
Точное уравнение это где дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
имеет некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой могут быть заменены M и N следующим образом:
∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0
Разделение переменных
Разделение переменных может использоваться, когда:
Все члены y (включая dy) могут быть перемещены в одну сторону уравнения и
Все члены x (включая dx) на другую сторону.
В этом случае вам придется интегрировать и упростить решение.
Подробнее о разделении Переменные
Вернуться к началу
Линейное письмо первого порядка
A Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда оно можно сделать так:
dy dx + P (x) y = Q (x)
Где P (x) и Q (x) — функции от x.
Обратите внимание, что они «Первого порядка», когда есть только dy dx , а не d ² y dx ² или d ³ y dx ³ и т. Д.
Если у вас есть подобное уравнение, вы можете прочитать больше в разделе Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
Примечание: нелинейные дифференциальные уравнения часто труднее решить и поэтому обычно приближается линейными дифференциальными уравнениями к найти более легкое решение.
Вернуться к началу
Однородные уравнения
Есть еще один особый случай, когда можно использовать разделение переменных. называется однородным.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть записано в форме
dy dx = F ( y x )
Такое уравнение можно решить с помощью замены переменных:
v = y x
, который преобразует уравнение в разделяемое.Открывать Подробнее об этом типе уравнений см. в этом полном руководстве по однородным дифференциальным уравнениям
Вернуться к началу
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли имеет следующий вид:
dy dx + P (x) y = Q (x) y ⁿ
, где n — любое вещественное число, но не 0 или 1
Когда n = 0, уравнение может быть решено как линейное уравнение первого порядка. Дифференциальное уравнение.
При n = 1 уравнение можно решить, используя разделение Переменные.
Для других значений n мы можем решить это, подставив
u = y ^{1 − n}
и превратив его в линейное дифференциальное уравнение (а затем решите его).
Найдите примеры и узнать больше об уравнении Бернулли
Вернуться к началу
Уравнение второго порядка
В уравнениях этого типа появляется вторая производная. В общее уравнение второго порядка записывается следующим образом:
a (x) d ² y dx ² + b (x) dy dx + c (x) y = Q (x)
Среди этих уравнения.
Они классифицируются как однородные (Q (x) = 0), неоднородные, автономные, постоянные коэффициенты, неопределенные коэффициенты и т. д.
Для неоднородных уравнений правило решение равно сумме:
Раствор соответствующего однородного уравнение
+
Частное решение неоднородное уравнение
Узнать больше об этих уравнениях
Наверх
Неопределенные коэффициенты
Этот метод работает для неоднородного уравнения, такого как
d ² y dx ² + P (x) dy dx + Q (x) y = f (x)
где f (x) — полином, экспонента, синус, косинус или их линейная комбинация.
Для простоты рассмотрим только корпус:
d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)
, где p и q — константы.
Полное решение такого уравнения можно найти сочетая два типа решения:
Общее решение однородное уравнение
d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
Частные решения неоднородное уравнение
d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)
Как только мы нашли общее решение и все частные решений, то окончательное полное решение находится путем добавления всех решения вместе.
Этот метод также включает в себя угадание ! Подробнее читайте на сайте Undetermined. Коэффициенты
Вернуться к началу
Изменение параметров
Это более общий метод, чем неопределенный Коэффициенты.
Получив общее решение однородного уравнения, вы имеют два фундаментальных решения y ₁ и y ₂
И когда y ₁ и y ₂ являются двумя основными решения однородного уравнения
d ² y dx ² + p dy dx + qy = 0
, то вронскиан W (y ₁, y ₂) является определяющим матрицы
Так
W (y ₁, y ₂) = y ₁ y ₂ ‘ — y ₂ y ₁ ‘
И, используя вронскиан, мы можем теперь найти частное решение дифференциальное уравнение
d ² y dx ² + p dy dx + qy = f (x)
по формуле:
y _p (x) = −y ₁ (x) ∫ y ₂ (x) f (x) W (y ₁, y ₂) dx + y ₂ (x) ∫ y ₁ (x) f (x) W (y ₁, y ₂) dx
Наконец, мы завершаем решение, добавляя общее решение и конкретное решение вместе.
Вы можете узнать больше об этом на сайте Variation. параметров
Вернуться к началу
Точные уравнения и интегрирующие множители
«Точное» уравнение — это дифференциальное уравнение первого порядка, подобное этому:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
имеет некоторую специальную функцию I (x, y), частные производные которой могут быть заменены M и N следующим образом:
∂I ∂x dx + ∂I ∂y dy = 0
, и наша задача — найти эту магическую функцию I (x, y), если она существует.
Узнайте, как их решить с помощью точных уравнений и интегрирующих множителей
К началу
Сравнение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУ)
Все методы до сих пор известны как Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ).
Термин обычный используется в отличие от термина частичный для обозначения производных только по одной независимой переменной.
Дифференциальные уравнения с неизвестными функциями многих переменных и их частные производные относятся к другому типу и требуют отдельных методов для решить их.
Они называются уравнениями в частных производных (УЧП), и извините, но у нас пока нет страницы по этой теме.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (с линейным сдвигом)
Есть ли более простой метод решения этого уравнения?
$$ (x-2y + 1) \ text dx + (4x-3y-6) \ text dy = 0 $$
$$ \ frac {\ text dy} {\ text dx} = \ frac {2y-x-1} {4x-3y-6} $$
$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = \ frac {2 (Y + k) — (X + h) -1} {4 (X + h) -3 (Y + k) -6} $$
$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = \ frac {2Y-X + (2k-h-1)} {4X-3Y + (4h-3k-6)} $$
$$ 2k-h-1 = 0 \ qquad4h-3k-6 = 0 $$ $$ h = 2k-1 \ qquad 4 (2k-1) -3k-6 = 0 $$ $$ 5k-10 = 0 \ qquad k = 2 \ qquad h = 2 (2) -1 \ qquad h = 3 $$ $$ y = Y + 2 \ qquad \ qquad x = X + 3 $$ $$ Y = y-2 \ qquad \ qquad X = x-3 $$
$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = \ frac {2Y-X} {4X-3Y} = \ frac {2 \ left (\ frac {Y} {X} \ right) -1} {4-3 \ left (\ frac {Y} {X} \ right)} $$
$$ \ left (\ frac {Y} {X} \ right) = V \ qquad Y = VX $$
$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = X \ frac {\ text d V} {\ text d X} + V $$
$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} + V = \ frac {2V-1} {4-3V} $$
$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} = \ frac {2V-1} {4-3V} -V $$
$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} = \ frac {2V-1} {4-3V} -V \ left (\ frac {4-3V} {4-3V} \ right ) $$
$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} = \ frac {3V ^ 2-2V-1} {4-3V} $$
$$ \ frac {\ text dX} {X} = \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} \ text dV $$
$$ \ int \ frac {\ text dX} {X} = \ int \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} \ text dV $$
$$ \ ln X = \ int \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} \ text dV $$
$$ 3V ^ 2-2V-1 = (V-1) \ overline {\ bigg) 3V ^ 2-2V-1} $$
$$ \ qquad3V + 1 $$$$ = (V-1) \ overline {\ bigg) 3V ^ 2-2V-1} $$$$ \ quad \ qquad3V ^ 2-3V $$$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad V-1 $$$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ underline {V-1} $$$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 0 $$
$$ 3V ^ 2-2V-1 = (V-1) (3V + 1) $$
$$ \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} = \ frac {4-3V} {(V-1) (3V + 1)} = \ frac {\ alpha} {(V- 1)} + \ frac {\ beta} {(3V + 1)} = \ frac {(3V + 1) \ alpha + (V-1) \ beta} {(V-1) (3V + 1)} $$
$$ 4-3V = (3V + 1) \ alpha + (V-1) \ beta $$ $$ 4-3V = 3V \ alpha + \ alpha + V \ betaa- \ beta $$ $$ 4-3V = \ alpha- \ beta + (3 \ alpha + \ beta) V $$ $$ 4 = \ alpha- \ beta $$ $$ — 3 = 3 \ alpha + \ beta $$ $$ 4 + \ beta = \ alpha $$ $$ — 3 = 3 (4+ \ beta) + \ beta $$ $$ — 15 = 4 \ beta $$ $$ \ beta = \ frac {-15} {4} $$ $$ 4 = \ alpha- \ left (\ frac {-15} {4} \ right) $$ $$ \ alpha = 4- \ frac {15} {4} = \ frac {16} {4} — \ frac {15} {4} = \ frac14 $$
$$ \ ln X = \ int \ frac {1/4} {V-1} — \ frac {15/4} {3V + 1} \ text d V $$
$$ \ ln X = \ frac {1} {4} \ int \ frac {1} {V-1} — \ frac {15} {3V + 1} \ text d V $$
$$ 4 \ ln X = \ ln (V-1) -5 \ ln (3V + 1) + c $$
$$ \ ln \ left (X ^ 4 \ right) = \ ln \ left ({\ frac {(V-1)} {(3V + 1) ^ 5}} \ right) + c $$
$$ X ^ 4 = \ frac {V-1} {(3V + 1) ^ 5} \ times e ^ c $$
$$ (3V + 1) ^ 5X ^ 4 = e ^ c (V-1) $$
$$ (3V + 1) ^ 5X ^ 5 = AX (V-1) $$
$$ (3XV + X) ^ 5 = A (XV-X) $$
$$ (3X \ tfrac {Y} {X} + X) ^ 5 = A (X \ tfrac {Y} {X} -X) $$
$$ (3Y + X) ^ 5 = A (Y-X) $$
$$ (3 (y-2) + (x-3)) ^ 5 = A ((y-2) — (x-3)) $$
$$ (3y + x-9) ^ 5 = A (y-x + 1) $$
Дифференциальные уравнения первого порядка в химии
Датчики измеряют физическую или химическую величину и преобразуют ее в выходной сигнал, который считывается, отслеживается или сохраняется. Возможными физическими величинами являются температура, давление, поток излучения, напряженность магнитного поля и т. Д. Химические величины — это в основном концентрации и активности молекул, атомов и ионов. Записанные сигналы обычно представляют собой напряжения или токи. Наиболее типичной особенностью сигнала является то, что результаты являются одномерными, например выходной сигнал является единственной величиной, то есть измеряется только этот сигнал, а не зависимость этого сигнала от другой заданной величины. Большинство устройств для химического анализа производят двумерные считывания, например.грамм. оптические спектры, в которых поглощение отображается как функция длины волны (\ (E = f (\ lambda) \)), вольтамперограммы, на которых токи отображаются как функция потенциала электрода, или рентгеновские дифрактограммы, на которых интенсивность дифрагированных лучи отображаются как функция угла дифракции и т. д. В современных приборах размерность даже увеличена до трех, когда, например, оптические спектры (\ (E = f (\ lambda) \)) (или масс-спектры, т.е. интенсивности ионов в зависимости от отношения массы к заряду ионов) отображаются как функция времени элюирования хроматограммы.На рисунке 3 показано сравнение общих размерностей аналитических измерений.
Рис. 3
Сравнение трех общих размеров аналитических устройств
Поскольку любое измерение требует времени, нет ничего лучше мгновенного установления сигнала. Это легко увидеть при использовании датчика, например pH-электрод: всегда существует определенный период времени, в течение которого показания меняются, пока мы, наконец, не создадим впечатление, что достигнуто постоянное конечное значение .То же самое верно и для двух- или трехмерных измерений, но мы не можем легко обнаружить это, потому что изменение измеряемого сигнала (например, оптическая плотность) в любом случае изменяется в зависимости от различных величин (например, длины волны) и, следовательно, со временем. . Обычно длина волны изменяется с так называемой скоростью сканирования \ ({{{\ text {d}} \ lambda} \ mathord {\ left / {\ vphantom {{{\ text {d}} \ lambda} {{ \ text {d}} t}}} \ right. \ kern-0pt} {{\ text {d}} t}} \) (скорость записи спектра), и в целом (см. рис.4) величина \ (x \) изменяется в зависимости от скорости сканирования \ ({{{\ text {d}} x} \ mathord {\ left / {\ vphantom {{{\ text {d}} x} { {\ text {d}} t}}} \ right. \ kern-0pt} {{\ text {d}} t}} \) (который также может быть равен нулю). Действительно ли мы измеряем на каждой длине волны конечное значение поглощения, можно будет увидеть только в том случае, если мы уменьшим скорость, с которой изменяется длина волны (в крайнем случае, даже сохраняя длину волны постоянной). Ссылаясь на рис. 4, в общих чертах это означает, что изменение скорости сканирования \ ({{{\ text {d}} x} \ mathord {\ left / {\ vphantom {{{\ text {d}}) x} {{\ text {d}} t}}} \ right.\ kern-0pt} {{\ text {d}} t}} \) может давать воспроизводимый и идентичный ответ только ниже определенного предельного значения \ (({{{\ text {d}} x} \ mathord {\ left / {\ vphantom {{{\ text {d}} x} {{\ text {d}} t}}} \ right. \ kern-0pt} {{\ text {d}} t}}) _ {\ текст {limit}} \). Если эта скорость превышена, сигнал не может установить свое истинное значение, и спектры искажаются (сигнал отстает) (см. Рис. 4).
Рис. 4
Возможное искажение спектра при скорости изменения x со временем выше предельного значения \ ({{({\ text {d}} x} \ mathord {\ left / {\ vphantom { {({\ text {d}} x} {{\ text {d}} t}}} \ right.\ kern-0pt} {{\ text {d}} t}}) _ {\ text {limit}} \)
Рисунок 4 убедительно показывает, что важно знать скорость, с которой устанавливается сигнал для данного значения \ (x \). В случае датчика, то есть одномерного устройства, в котором не изменяются такие параметры, как \ (x \) или \ (y \), изменение сигнала во времени может быть изучено после этапа концентрации. Введение сенсора в раствор можно рассматривать как этап концентрирования. На рисунке 5 изображены два разных типа реакции датчика на этапе концентрации.
Фиг.5
a Концентрация изменяется от нуля до постоянного значения. b Сигнал детектора начинает реагировать немедленно, когда шаг сделан, и крутизна отклика с течением времени непрерывно уменьшается, пока, наконец, не достигнет постоянного конечного значения. Кривая отклика не имеет поворотной точки. c Датчик начинает медленно реагировать (но с увеличивающейся скоростью / крутизной ), и после поворотной точки реакция замедляется ( убывающая крутизна ), пока не приблизится к конечному значению
На рисунке 5 показаны два основных типа временных характеристик датчиков.Различное поведение датчика, показанное на B и C, можно смоделировать с помощью различных дифференциальных уравнений. В то время как кривая отклика, показанная на B, может быть смоделирована с помощью дифференциального уравнения первого порядка; кривая, показанная в C, требует дифференциальных уравнений высшего порядка [5]. Здесь необходимо отметить, что невозможно реализовать ступень концентрации с бесконечной скоростью роста концентрации, как показано на рис. 5а. Это означает, что когда изучаются временные характеристики отклика сенсора, это повышение концентрации должно быть намного быстрее, чем отклик сенсора.Кроме того, реакция, показанная на рис. 5b, в некоторой степени является идеализацией, и на самом деле вначале всегда может быть вялый ответ, но он может быть в таком коротком временном масштабе, что ускользает от нашего распознавания. Кривую отклика, показанную на рис. 5b, можно смоделировать следующим образом:
$$ S = S_ {\ hbox {max}} — z (t) $$
(14)
\ (z \) — величина, зависящая от времени, для которой мы записываем дифференциальное уравнение первого порядка
$$ a_ {1} \ frac {{{\ text {d}} z}} {{{\ text {d }} t}} + a_ {2} z (t) = 0 $$
(15)
Интеграция и перестановки следуют:
$$ \ int \ limits _ {{z_ {0}}} ^ {z} {\ frac {{{\ text {d}} z}} {z (t)}} = — \ frac {{a_ {2}}} {{a_ {1}}} \ int \ limits_ {0} ^ {t} {{\ text {d}} t} $$
(16)
$$ \ ln \ frac {z (t)} {{z_ {0}}} = — \ frac {{a_ {2}}} {{a_ {1}}} t $$
(17)
$$ \ frac {z (t)} {{z_ {0}}} = {\ text {e}} ^ {{- \ frac {{a_ {2}}} {{a_ {1}}} t }} $$
(18)
$$ z (t) = z_ {0} {\ text {e}} ^ {{- \ frac {{a_ {2}}} {{a_ {1}}} t}} $$
(19)
и с формулой. {- 1}) = S _ {\ hbox {max}} \ left ({1 — \ frac {1} {\ text {e}}} \ right) \ приблизительно 0,632S _ {\ hbox {max}} \). Другими словами, по истечении \ (\ tau \) сигнал достиг 63,2% от своего «окончательного значения». Уравнение 22, конечно, подразумевает, что сигнал никогда не достигнет постоянного значения, но приращения функции \ (z \) в уравнении. Со временем число 14 может стать бессмысленно маленьким. Из-за е-функции уравнения. 22, можно указать простые соотношения между временем достижения 50, 63,2, 90, 99% (и любых других значений) от \ (S _ {\ hbox {max:}} \)
$$ t_ {63.2 \%} = \ tau = 1.44t_ {50 \%} $$
(23)
$$ t_ {50 \%} = 0,69 \ tau $$
(24)
$$ t_ {90 \%} = 2.3 \ tau $$
(25)
$$ t_ {99 \%} = 4.6 \ tau $$
(26)
На рис. 6 показана кривая отклика на рис. 5b со шкалой, показывающей отклик в процентах.
Рис.6
Временной отклик датчика, когда он может быть смоделирован дифференциальным уравнением первого порядка
Постоянная времени \ (\ tau \) — важный параметр датчика. Однако на практике гораздо больше интересует время, необходимое для достижения 90 или 99% окончательного значения, то есть \ (t_ {90 \%} \) и \ (t_ {99 \%} \), поскольку сигнал, достигнутый после этого времени, часто считается хорошей оценкой истинного значения сигнала. Благодаря экспоненциальной зависимости сигнала от времени (ур.22), эти временные данные могут быть легко вычислены из постоянной времени \ (\ tau \) в соответствии с уравнениями. 25 и 26.
В случае проточных детекторов, можно также рассчитать так называемый объем отклика , который представляет собой просто объем раствора, протекающего через детектор в пределах \ (t = \ tau \). Его можно рассчитать как \ (v _ {{{\ text {response (}} \ tau)}} = \ tau \ cdot f \), где \ (f \) — расход, например в мл с ⁻¹ [6]. Конечно, можно также рассчитать объемы отклика, относящиеся к 90 или 99% сигнала, т.е.е. \ (v _ {{{{\ text {response (}} \ tau)}} = t_ {90 \%} \ cdot f \) или \ (v _ {{{\ text {response (}} \ tau)}} = t_ {99 \%} \ cdot f \) соответственно. Объемы срабатывания проточного детектора могут быть больше или меньше геометрического объема детектора. Это зависит от их конструкции и принципа действия.
Мы уже упоминали, что тип отклика, показанный на рис. 5в, наблюдается во многих экспериментальных случаях. Для аналитических приложений наиболее важная информация, которую необходимо знать, — это время, необходимое датчику для сбора данных, например.грамм. 90 или 99% окончательного значения. Таким образом, гораздо менее важно точно описать полную кривую отклика от начала до конца, что было бы возможно только путем решения дифференциальных уравнений более высокого порядка и характеризации отклика более чем одной постоянной времени. Поэтому часто используется следующий подход: анализируется только более поздняя часть отклика (то есть часть после поворотной точки) с использованием уравнения. 22, и вводит время задержки \ (t _ {\ text {delay}} \), после которого предполагается выполнение этого уравнения.{{- \ frac {{t — t _ {\ text {delay}}}} {\ tau}}}} \ right) $$
(27)
Отклик датчика типа, показанного на рис. 5c и на рис. 7, также можно описать с помощью двух или более постоянных времени, используя следующее уравнение (здесь с двумя постоянными времени):
Рис. 7
Временной отклик датчика, который должен быть точно описан дифференциальным уравнением более высокого порядка, но который аппроксимируется путем предположения поведения первого порядка после времени задержки \ (t _ {\ text {delay}} \)
$$ S = S_ {1} \ left ({1 — {\ text {e}} ^ {{- \ frac {t} {{\ tau_ {1}}}}}} \ right) + S_ {2 } \ left ({1 — {\ text {e}} ^ {{- \ frac {t} {{\ tau_ {2}}}}}} \ right) $$
(28)
Ключевым моментом является то, что должна существовать модель, поддерживающая использование двух или более постоянных времени, поскольку в противном случае подгонка такой кривой может быть математически правильной, но бессмысленной, поскольку не поддерживается моделью. Несколько экзотический физико-химический пример, где подгонка отклика уравнением типа Ур. 28 основан на физической модели распространения липосомы на ртутном электроде [7]: когда липосома взаимодействует с поверхностью ртути, она распадается и образует островок адсорбированных липидных молекул. Это сопровождается изменением емкости двойного слоя, которую можно измерить как переходный процесс. Интегрирование текущего переходного процесса дает переходный процесс заряда в соответствии с формулой.28 и форма кривой, показанная на рис. 7.
Происхождение постоянных времени — очень сложная тема, требующая подробных объяснений. Здесь может быть достаточно упомянуть некоторые возможные зависящие от времени процессы, которые могут влиять на измеряемую постоянную времени: (а) диффузия частиц к чувствительной поверхности (например, в некоторых электрохимических датчиках), (б) конвекция, когда камера датчика (кювета) ) должен быть заполнен раствором (например, в оптических сенсорах, используемых в хроматографии), (c) химические реакции, особенно.в биосенсорах, где ферментативные реакции могут быть довольно медленными. Несмотря на эти химические или физико-химические источники постоянных времени, никогда не следует забывать, что каждая часть измерительной системы, от усилителя до записывающего устройства, имеет свою собственную постоянную времени. Современные приборы химического анализа обычно имеют настолько малые константы, что они не имеют отношения к измерению, для которого они были разработаны, и химические и физико-химические источники будут преобладать; однако следует помнить, что любая измерительная система включает в себя постоянные времени, которые иногда могут влиять на измерение.Возвращаясь к примеру со спектроскопией (рис. 4), следует упомянуть, что даже современные сканирующие (!) Оптические спектрометры могут выйти на свои пределы, если попытаться сделать слишком быструю запись.
Калькулятор и решатель дифференциальных уравнений первого порядка
1
Решенный пример дифференциальных уравнений первого порядка
$ \ frac {dy} {dx} = \ frac {5x ^ 2} {4y}
долларов США 2
Возьмите $ \ frac {5} {4} $ из дроби
$ \ frac {dy} {dx} = \ frac {\ frac {5} {4} x ^ 2} {y}
долл.