Третий признак подобия треугольников
Прежде, чем познакомиться с третьим признаком подобия треугольников, вспомним известные нам первый и второй.
Итак, первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
Ну а теперь сформулируем третий признак подобия треугольников.
Теорема (3-й признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство.
.
,
,
тогда 
по
1-му признаку.
.
Получаем, что 
,
Тогда 
по
3-му признаку.
Следовательно, 
.
Так как ,
то 
.
Следовательно, 
.
Что и требовалось доказать.
Давайте найдём среди следующих треугольников подобные.
У каждого из треугольников известны длин трёх его сторон, а тогда воспользуемся только что доказанным третьим признаком подобия треугольников.
Посмотрим внимательно на значения их длин и заметим, что стороны треугольника а пропорциональны сторонам треугольника в, а значит, эти треугольники подобны. При этом коэффициент подобия равен 2.
Задача. Подобны ли
треугольники 
и
,
если 
см,
см,
см,
см,
см?Решение.
,
.
Значит, .
Следовательно, .
Ответ: .
Задача. Докажите, что
прямоугольные треугольники
подобны,
если стороны 
и
треугольника
соответственно
равны 
см
и 
см,
а стороны 
треугольника
соответственно
равны 
см
и 
см.Решение.
,
(см).
,
,
(см).
;
.Значит, 
.
Следовательно, по
3-му признаку.
Что и требовалось доказать.
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с ещё одним признаком подобия треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Также мы закрепили материал на практике.
videouroki.net
| Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 9 | ||||
|
|
||||
1.Преобразование подобия и его свойства.
|
||||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
1.Преобразование подобия и его свойства |
||||
|
Преобразованием подобия называется преобразование фигуры G в фигуру G’, у которой расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Т.е. ОA’ = k OA. Это означает, что для любых двух точек геометрической фигуры выполняется равенство A’B’ = k AB. (Рис.1) Число k называется коэффициентом подобия. Если взять произвольную точку, например точку О. И отложить отрезок OB’ = k OB, то такое преобразование фигуры G в фигуру G’ называется гомотетией. А число k называется коэффициентом гомотетии. Таким образом, гомотетия есть преобразование подобия. Свойства преобразования подобияПреобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки и при этом углы между прямыми сохраняются. |
Рис.1 Преобразование подобия и его свойства. |
|||
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам |
||||
|
Две фигуры называются подобными, если преобразованием подобия они переходят друг в друга. (Рис.2) Если две фигуры подобны третьей, то они подобны друг другу. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур, соответсвующие стороны пропорциональны и соответствующие углы равны. |
Рис.2 Подобие фигур. |
|||
Подобие треугольников по двум угламЕсли два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (Рис.3) Докажем это утверждение. Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по стороне и прилегающим к ней углам. Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’. |
Рис.3 Подобие треугольников по двум углам. |
|||
3.Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними |
||||
|
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Докажем это утверждение. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. Полученный треугольник A»B»C» равен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними со сторонами kA’B’=A»B» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. А т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’, т.е. kA’B’=AB, kB’C’=BC и kA’C’=AC. |
Рис.3 Подобие треугольников. |
|||
4.Подобие треугольников по трем сторонам |
||||
|
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство. (Доказательство аналогично доказательству подобия по двум углам) Пусть даны два треугольника ABC и A’B’C’. Преобразованием подобия преобразуем треугольник A’B’C’ в треугольник A»B»C» с коэффициентом k, т.е. подвергнем гомотетии. В результате получим треугольник A»B»C», который равен треугольнику ABC по трем сторонам kA’B’=A»B», kВ’C’=В»C» и kA’C’=A»C». Т.к. преобразование подобия сохраняет углы, а расстояние между двумя точками изменяется в k раз. Следовательно треугольники A’B’C’ и A»B»C» подобны. И т.к. треугольники ABC и A»B»C» равны, то треугольник ABC подобен треугольнику A’B’C’. |
Рис.4 Подобие треугольников по трем сторонам. |
|||
5.Подобие прямоугольных треугольников |
||||
Если два прямоугольных треугольника имеют по одному равному острому углу, то такие треугольники подобны. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Проведем высоту CD. Треугольники ABC и ADC подобны, т.к. угол А у них общий. Так же как и треугольники ADC и BDC. Следовательно: Т.е. катет прямоугольного треугольника равен средней геометрической гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. А высота в прямоугольном треугольнике равна средней геометрической между проекциями катетов на гипотенузу. Отсюда можно сделать вывод, что в любом треугольнике биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (Свойство биссектрисы треугольника). |
Рис.5 Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
Докажем это утверждение. Пусть дан треугольник ABC. (Рис.6) BE — биссектриса. Треугольники ABE и BCD подобны. Углы В у них равны. Треугольники ADE и DCF также подобны. Углы D у них равны, как вертикальные. Отсюда можно записать следующие соотношения для двух пар треугольников. Т.е. отрезки AD и DC пропорциональны сторонам AB и BC. |
Рис.6 Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
6.Пример 1 |
||||
Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность. |
||||
|
Доказательство: Пусть даны две окружности F и F’ с радиусами R1 и R2 . Подберем коэффициент k так, чтобы kR1 = R2. Необходимо доказать, что окружности подобны. Зададим на плоскости систему координат с осями Оx и Oy таким образом, чтобы центр первой окружности F совпал с началом координат. Параллельным переносом переместим вторую окружность F’ так, чтобы ее центр также совпал с началом координат. На окружности F возьмем две произвольные точки А и В. И проведем между ними хорду. Также проведем к этим точкам радиусы ОА и ОВ, которые продлим до окружности F’, т.е. ОA’ и OB’. Оси Оx и Оy повернем так, чтобы ось Oy пересекала хорду под прямым углом (Рис.7). Тогда k OA = OA’. Теперь рассмотрим треугольник ОАС.
|
Рис.7 Задача. Докажите, что фигура подобная окружности, есть окружность. |
|||
|
Таким образом, мы пришли к выводу, что A’B’ = k AB. А это означает, что расстояние между любыми двумя точками окружности F’ в k раз больше, чем расстояние между подобными точками в окружности F, т.е фигуру F’ можно получить преобразованием подобия или гомотетией относительно точки О. А это значит, что окружности F и F’ подобны. |
||||
Пример 2 |
||||
У треугольников АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. AB = 6, AC = 9, A1B1 = 10, B1C1 = 10. Найдите остальные стороны треугольников. |
||||
Решение: Пусть даны два треугольника АВС и А1В1С1 ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (Рис.8). Данные треугольники подобны по двум углам: ∠A = ∠A1 и ∠В = ∠B1. Отсюда следует, что все стороны второго треугольника отличаются от сторон первого треугольника в k число раз, т.е. коэффициент подобия. Найдем число k: k = AB / А1В1 = 6 / 10 = 3 / 5 Отсюда следует, что ВС = k * В1С1 = (3 / 5) * 10 = 6 см А1С1 = АС / k = 9 / (3 / 5) = 15 см |
Рис.8 Задача. У треугольников АВС и А1В1С1… |
|||
Пример 3 |
||||
В трапеции ABCD основание АD = 32 см, а основание ВС = 8 см. Угол между диагональю АС и стороной СD равен углу ∠АВС, т.е. ∠АВС = ∠АСD. Найдите диагональ АС. |
||||
Решение: В трапеции два основания лежат на параллельных прямых (Рис.9). Отсюда следует, что угол ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольники АВС и АСD подобны по двум углам: ∠AВС = ∠АCD по условию задачи, ∠CAD = ∠BCA, как внутренние накрест лежащие углы. Тогда можно составить следующие соотношение: k = АС / ВС = AD / AC . Следовательно, AC2 = BC * AD AC2 = 8 * 32 = 256 Отсюда, АС = 16 см. |
Рис.9 Задача. В трапеции ABCD основание АD = 32 см… |
|||
Пример 4 |
||||
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD, BE, CF. Найдите углы треугольника DEF, если в треугольнике АВС ∠А = α, ∠В = β, ∠С = γ. |
||||
|
Решение: Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFC и ABE. Они подобны по одному острому углу, так как угол при вершине А у них общий. Следовательно, угол ∠FCE = ∠ABE. Обозначим его как ϕ3. Аналогичным образом обозначим: ∠BAD = ∠FCB = ϕ1 ∠DAC = ∠CBE = ϕ2 |
||||
Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFO и DOC. Они подобны по одному острому углу: углы при вершине О равны как вертикальные (Рис.10). Отсюда следует, что треугольники FOD и AOC также подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Так как OD / OF = OC / AO Следовательно, OD / OС = OF / AO Отсюда следует равенство углов: ∠DFC = ∠DAC = ϕ2 Треугольники BFO и EOC подобны. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а углы при вершинах F и E прямые. Отсюда следует подобие треугольников FOE и BOC. Следовательно, ∠EFC = ∠EBC = ϕ2 |
Рис.10 Задача. В остроугольном треугольнике АВС… |
|||
|
Так как ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 90° (из прямоугольного треугольника BFC), то в треугольнике FDE угол при вершине F равен: ∠F = 2 * ϕ2 = 180° — 2 * (ϕ1 + ϕ3) = 180° — 2 * γ Аналогичным образом выводится, что: ∠D = 2 * ϕ3 = 180° — 2 * (ϕ1 + ϕ2) = 180° — 2 * α ∠E = 2 * ϕ1 = 180° — 2 * (ϕ2 + ϕ3) = 180° — 2 * β |
||||
Пример 5 |
||||
В треугольник ABC вписан ромб ADEF, таким образом, что угол А у них общий, а вершина Е находится на стороне ВС. АВ = 12 см, АС = 4 см. Найдите сторону ромба. |
||||
Решение: Так как у ромба противоположные стороны параллельны, то треугольники АВС и DBE подобны по двум углам: ∠А = ∠D, ∠C = ∠E как соответственные (Рис.11). Тогда можно составить следующие соотношение: AC / DE = AB / DB AC / DE = AB / (AB — AD) так как AD = DE, то AC / DE = AB / (AB — DE) 4 / DE = 12 / (12 — DE) 48 — 4 DE = 12 DE 48 = 16 DE Отсюда, DE = 3 см. |
Рис.11 Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF… |
|||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
Содержание |
||||
| Страница 1 | Страница 7 | |||
|
1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии. 3.Смежные углы. 4.Вертикальные углы. 5.Перпендикулярные прямые. 6.Признаки равенства треугольников. |
1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки. 3.Симметрия относительно прямой. 4.Параллельный перенос и его свойства. |
|||
| Страница 2 | Страница 8 | |||
|
1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых. 4.Сумма углов треугольника. 5.Единственность перпендикуляра к прямой. 6.Высота, биссектриса и медиана треугольника. 7.Свойство медианы равнобедренного треугольника. |
1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов. |
|||
| Страница 3 | Страница 9 | |||
|
1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника. 3.Окружность вписанная в треугольник. 4.Геометрическое место точек. |
1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
| Страница 4 | Страница 10 | |||
|
1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма. 3.Ромб. 4.Теорема Фалеса. 5.Средняя линия треугольника. 6.Трапеция. 7.Теорема о пропорциональных отрезках. |
1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности. 3.Теорема косинусов. 4.Теорема синусов. 5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
| Страница 5 | Страница 11 | |||
|
1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник. 3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества. |
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников. 3.Подобие многоугольников. 4.Длина окружности. |
|||
| Страница 6 | Страница 12 | |||
|
1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками. 3.Уравнение окружности. 4.Уравнение прямой. 5.Координаты точки пересечения. |
1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника. 4.Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур. 6.Площадь трапеции. |
|||
www.mathtask.ru
Сформулируйте 3 признака подобия треугольников
Три стороны, три угла и три бисектриссы.
вроде если все стороны пропорциональны, углы равны, а треть не помню, там какая та крыса чтоль тоже пропорциональна
по стороне и 2-ум углам между ними. по 2-ум углам и стор. между ними и по 3-ём сторонам.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
touch.otvet.mail.ru
Конспект урока по теме «Подобие треугольников»
Геометрия, 8-А Учитель: Чакал Э.М. Дата «___»____________2016 г.
Урок № ____ «Первый признак подобия треугольников»
Цели урока:
Образовательные: ввести определение отношения отрезков, пропорциональных отрезков, подобных треугольников, отработать навыки применения пропорциональности отрезков при решении задач.
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Ход урока.
1.Орг. этап
2. Мотивация урока.
С пропорциями имели дело древние строители, Правильные соотношения, возводимых ими дворцов и храмов придавало этим зданиям ту необыкновенную красоту, которая восхищает нас и сегодня. С помощью пропорций в Вавилоне рисовали планы городов. После того, как при раскопках сверили эти планы с самими раскопками, выяснили, что планы выполнены с большой точностью. Древнегреческие математики очень искусно преобразовывали пропорции, доказывали с их помощью самые сложные утверждения, решали самые сложные задачи.
3. Актуализация опорных знаний.
Фронтальный опрос:
Что называется отношением двух чисел?
Верны ли равенства: 3/5=6/25; 3/5=0,6; 0,8/3=8/3; 15/10=25/20?
Найдите отношения: 3и4; 0,8 и 0,9; 5и4; 15и20; 16и18; 0,2и0,16.
Подчеркните равные.
Запишите верные равенства.
Каждое из записанных равенств есть равенство двух отношений. Как называется это равенство?
В пропорции укажите крайние и средние члены: 8/3=5/30; 12/0,2=30/0,5.
Сформулируйте основное свойство пропорции.
Верны ли пропорции 8/3=5/30; 12/0,2=30/0,5?
4. Изучение нового материала.
В геометрии тоже существует понятие отношения и пропорциональности.
Учитель: В повседневной жизни встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров.
Пример: футбольный и теннисный мячи.
В геометрии фигуры одинаковой формы называют подобными: любые два круга, любые два квадрата.
Введем понятие подобных треугольников.
Определение: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Найти подобные треугольники на чертежах:
Обобщенная теорема Фалеса:
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.
Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Если треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1, то углы А,В и С равны соответственно углам A1,B1 и C1, AB/A1B1 =BC/B1C1 =CA/A1C1=k.
Число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Первый признак подобия треугольников: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
5. Закрепление нового материала.
Найти по рисунку высоту ели:
Решить № 550, 555а
8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Оцените степень сложности урока:
а) легко б) обычно в) трудно
Оцените степень вашего усвоения материала:
а) усвоил полностью, могу применять
б) усвоил полностью, но затрудняюсь в применении
в) усвоил частично
г) не усвоил
Выучить п.59-62, решить 537,555(б)
Геометрия, 8-А Учитель: Чакал Э.М. Дата «___»____________2016 г.
Урок № ____ «Второй признак подобия треугольников»
Цели урока:
Образовательные: изучить второй признак подобия треугольников, отработать навыки применения их при решении задач.
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Мотивация урока.
Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
— Что есть больше всего на свете? – Пространство.
— Что быстрее всего? – Ум.
— Что мудрее всего? – Время.
— Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
Подобие двух существ того же вида, но различных размеров имеет ту же самую природу,
как и подобие геометрических фигур.
К.Гаусс
Любопытный отыскивает редкости только затем, чтобы им удивляться, любознательный же затем, чтобы узнать их и перестать удивляться. Так будьте же сегодня на уроке очень любознательными.
3.Актуализация знаний.
Устный опрос.
Какие виды треугольников вам известны?
Какие треугольники называются подобными?
Как составить отношение сходственных сторон подобных треугольников!
Чему равен коэффициент подобия равных треугольников?
Чему равно отношение периметров подобных треугольников?
4. Изучение нового материала.
Если две стороны одного треугольника
пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Решить № 554, 557(а)
5. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Оцените степень сложности урока:
а) легко б) обычно в) трудно
Оцените степень вашего усвоения материала:
а) усвоил полностью, могу применять
б) усвоил полностью, но затрудняюсь в применении
в) усвоил частично
г) не усвоил
Д/з П.63, № 557(б), 552(в)
Найдите среди них пары подобных и докажите почему они подобны.
5. Историческая справка. О подобии
Одинаковые по форме, но различные по величине фигуры встречаются в вавилонских и египетских памятниках. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамсеса II имеется стена, покрытая сетью квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.
Пропорциональность отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя некоторые приписывают это открытие Фалесу Милетскому. До наших дней сохранилась клинописная табличка, в которой речь идет о построении пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов.
Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Ар хита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающиеся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».
6. Закрепление нового материала.
Найти подобные треугольники.
Решить № 513(3), 514(1), устно № 556, 559.
Решить письменно № 564(1),
7. Самостоятельная работа.
Решить № 564(2).
8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Что вы узнали нового?
Чему научились?
Что показалось особенно трудным?
Геометрия — это наука точная в рассуждениях, безупречная в доказательствах, ясная в ответах, гармонично сочетающая в себе прозрачность мысли и красоту человеческого разума.
Геометрия до конца не изученная наука, и, может быть, многие открытия ждут именно вас!
Выучить п.12, 13, ответить на вопросы. Решить № 513(3), 514(3), 564(3).
Урок геометрии в 8 классе по теме «Применение признаков подобия треугольников»
Цели урока:
Образовательные: закрепить признаки подобия треугольников, отработать навыки применения их при решении задач.
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнись, удача всем,
Чтобы не было проблем.
Улыбнулись, ребята, друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.
2. Мотивация урока.
Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, — улыбнулась она ему, — но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.
Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи на признаки подобия треугольников.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Тест на установление истинности или ложности высказываний (отвечать “да” или “нет”).
Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.
Два равносторонних треугольника всегда подобны.
Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?
Периметры подобных треугольников равны.
Если два угла одного треугольника равны 60° и 50°, а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.
Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.
Два равнобедренных треугольника подобны.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Ключ к тесту: 1. да; 2. да; 3. да; 4. нет; 5. нет; 6. нет; 7. да; 8. нет; 9. да; 10. нет.
Форма проверки теста – взаимопроверка).
Найдите пары подобных треугольников и определите признак подобия:
2. Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1. Найти х, у, z, если дано АВ : А1В1 = 2.
4. Решение задач на применение признаков подобия треугольников.
Решить:
устно № 559, 519(1), 567;
письменно № 565(1), 523, 571(1)
5. Упражнение «Чудо-нос».
После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.
Выполним задание,
Задержим дыхание.
Раз, два, три, четыре –
Снова дышим:
Глубже, шире…
глубоко вдохнули.
спину потянули,
руки вверх подняли
радугу нарисовали
повернулись на восток,
продолжаем наш урок.
6. Самостоятельная работа.
Решить № 208(4).
7. Рефлексия. Д/з.
На листочках поставьте:
1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.
9. Подведение итогов урока. Д/з.
Повторить п.12. 13.Выполнить № 563, 571(2), 565(3).
Тема: Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
Цели урока:
Образовательные:
1.Создать условия для самостоятельного вывода соотношений, связывающих пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
2. Обеспечить закрепление полученных знаний при решении задач.
Развивающие:
1.Обеспечить развитие самостоятельности при выполнении заданий.
Воспитательные:
1.Воспитывать культуру общения в микрогруппе.
2. Воспитывать умения принимать решения и нести за них ответственность.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Ребята, послушайте, какая тишина!
Это в школе начались уроки.
Мы не будем тратить время зря,
И приступим все к работе.
Мы сюда пришли учиться,
Не лениться, а трудиться.
Работаем старательно,
Слушаем внимательно.
2. Мотивация урока.
Дорогие ребята!
Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.
Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.
Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
Что называется отношением двух отрезков
В каком случае говорят, что отрезки АВ и СД пропорциональны отрезкам А1В1 и С1Д1
Дайте определение подобных треугольников
Как читается первый признак подобия треугольников
Как читается второй признак подобия треугольников
Как читается третий признак подобия треугольников
Какие фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия?
Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.
Решить № 570(устно), 573(1)(письменно).
4
. Изучение нового материала.
При решении задач чаще всего мы рассматривали остроугольные и тупоугольные треугольники. Элементы прямоугольного треугольника связаны между собой несколько иначе. Рассмотрим чертеж.
Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
1) катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу;
2) высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
АВ=
ВС=
Историческая справка. О развитии практической геометрии в древней Руси.
Уже в XVI в. нужды землемерия, строительства и военного дела привели к созданию рукописных руководств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение этого рода носит название «О земном верстании, как земля верстать». Оно является частью «Книги сошного письма», написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г.
П
ри разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 г. была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и «других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 годах и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сводятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний. Вот один пример.
Для измерения расстояния от точки Я до точки Б (см. рис.) рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека. К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов (или его продолжение) проходил через точку Б. Отмечается точка 3 пересечения другого катета (или его продолжения) с землей. Тогда расстояние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так, как длина жезла к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен на 1000 равных частей.
5. Закрепление нового материала.
Решить устно №601, письменно №610, 600, 604(1), 607(2), 620.
6. Физминутка для глаз.
-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …
Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.
7. Самостоятельная работа.
Работа в парах: решить №604(2) (письменно)
8.Итоги урока. Рефлексия.
Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
Что удивило?
Что понравились больше всего?
Каким ты хочешь увидеть следующий урок?
Домашнее задание: выучить п.14, решить № 604(3), 607(3), 573(2).
Тема: Свойство биссектрисы угла треугольника.
Цели урока:
Образовательные:
1.Создать условия для самостоятельного вывода соотношений, связывающих пропорциональные отрезки, на которые биссектриса делит сторону треугольника.
2. Обеспечить закрепление полученных знаний при решении задач.
Развивающие:
1.Обеспечить развитие самостоятельности при выполнении заданий.
Воспитательные:
1.Воспитывать культуру общения в микрогруппе.
2. Воспитывать умения принимать решения и нести за них ответственность.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Добрый день! Добрый час!
Как я рада видеть вас.
Прозвенел уже звонок
Начинается урок.
Улыбнулись. Подровнялись.
Друг на друга поглядели
И тихонько дружно сели.
2. Мотивация урока.
Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, — улыбнулась она ему, — но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.
Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке, тема которого «Свойство биссектрисы угла треугольника».
Девиз урока: Приобретать знания – храбрость,
Приумножать их – мудрость,
А умело применять – великое искусство.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
Что называется отношением двух отрезков
В каком случае говорят, что отрезки АВ и СД пропорциональны отрезкам А1В1 и С1Д1
Дайте определение подобных треугольников
Как читается первый признак подобия треугольников
Как читается второй признак подобия треугольников
Как читается третий признак подобия треугольников
Какие фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия?
Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.
Определение среднего пропорционального отрезка.
Теорема о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Биссектриса угла.
Найти подобные треугольники на чертежах:
Решить №572(1).
4. Изучение нового материала.
Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
Биссектриса D делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам D
Решить № 612(1,2).
5. Физкультминутка.
Провести физкультминутку, применив математическую считалочку:
« Один, два — не собьюсь,
Четыре, пять – не собьюсь,
Семь, восемь – не собьюсь,
Десять, одиннадцать – не собьюсь,
Тринадцать, четырнадцать – не собьюсь,
Шестнадцать, семнадцать – не собьюсь,
Девятнадцать, двадцать – не собьюсь»
6. Закрепление нового материала.
1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.
2. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать, что и биссектриса равна основанию.
3. Найдите отрезки на которых биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC если AB= 6см BC = 7см AC=8см
4. С помощью циркуля и линейки построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные стороны.
Решить № 611(1), 615(1).
7. Рефлексия.
Выбрать карточку по цвету и оценить свою работу на уроке:
Карточка красного цвета – заслуживаю высокой оценки;
Карточка желтого цвета – заслуживаю хорошей оценки;
Карточка зеленого цвета – заслуживаю удовлетворительной оценки
Карточка черного цвета – заслуживаю неудовлетворительной оценки.
8. Итоги урока. Домашнее задание.
Выучить п. 14, решить №612(3, 4), 572(2), 615(2).
Урок геометрии в 8 классе по теме «Признаки подобия треугольников»
Цели урока:
Образовательные: обобщить и систематизировать признаки подобия треугольников, показать учащимся практическое применение подобия треугольников для проведения измерительных работ на местности: определение высоты предмета; познакомить учащихся с различными способами определения высоты предмета, основанных на теоремах подобных треугольников; отработать навыки применения их при решении задач.
Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.
Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Тех, кто готов работу начать
Улыбки свои я прошу показать!
Все готовы? Тогда повторяем,
Систематизируем, изучаем и обобщаем,
ИТАК, НАЧИНАЕМ!
Давайте улыбнёмся друг другу и с хорошим настроением начнём наш урок.
2. Мотивация урока.
Треугольник – самая простая геометрическая фигура, знакомая нам с детства. К треугольнику на уроках геометрии мы обращаемся чаще всего. Эта фигура таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Один мудрец сказал: “Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление ума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная”. Это одна из основных тем школьного курса планиметрии. Умение решать задачи на применение признаков подобия широко используется в геометрии, физике, астрономии.
Сегодняшний урок мы посвятим решению задач по теме: “Признаки подобия треугольников”. Это урок-практикум, где мы с вами рассмотрим применение признаков подобия при решении занимательных задач.
3.Актуализация знаний. Проверка д/з.
Фронтальный опрос:
Что называется отношением двух отрезков
В каком случае говорят, что отрезки АВ и СД пропорциональны отрезкам А1В1 и С1Д1
Дайте определение подобных треугольников
Как читается первый признак подобия треугольников
Как читается второй признак подобия треугольников
Как читается третий признак подобия треугольников
Какие фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия?
Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.
Определение среднего пропорционального отрезка.
Теорема о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Биссектриса угла.
Свойство сторон треугольника, на которые биссектриса делит противолежающую сторону.
4. Обобщение и систематизация знаний по теме.
Найдите АВ и ВС, если DЕ ‖ АС.
В
х+6 8
D 10 E
Х
15
Решить № 440(1), 516(1), 608(1).
5. Решение занимательных задач.
Геометрия – это не просто наука о свойствах треугольников, параллелограммов, окружностей. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.
А сейчас я хочу предложить вам старинную задачу.
Задача 1. Греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Жрецы и фараон, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего высоту огромного сооружения.
Фалес,– говорит предание,– избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна так же равняться длине отбрасываемой ею тени. Конечно, длину тени надо было
считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно.
Изменим этот способ так, чтобы в солнечный день можно было воспользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была.
Задача 1. Пусть длина шеста 1м, а его тени 1,2м. Найти высоту дерева, если ее тень 6м.
Задача 2. Следующий – тоже весьма несложный способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюля Верна в известном романе “Таинственный остров”. Кто-нибудь читал этот роман?
…Взяв прямой шест, футов (1фут = 30 см) 12 длиною, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.
Затем он отошел от шеста на такое расстояние, чтобы, лежа на песке, можно было на одной прямой видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком
– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
–Да
– Помнишь свойства подобных треугольников?
– Их сходственные стороны пропорциональны.
– Правильно. Так вот: сейчас я построю два подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом будет отвесный шест, другим – расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза – мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же мой луч зрения совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника….”
Итак, длина шеста 10 футов (фут = 30 см). Расстояние от колышка до шеста 15 футов, от стены до шеста 500 футов. Найти высоту скалы
Интересные задачи? Мы рассмотрели только две из них. Таких красивых задач, которые решаются с применением признаков подобия, очень много.
6. Динамическая пауза.
Раз! Два! Час вставати,
Будемо відпочивати
Три! Чотири! Посідаймо.
Швидко втому проганяймо.
П’ять! Шість! Засміялись,
Кілька раз понахилялись
Зайчик сонячний, до нас
Завітав у світлий клас
Будемо бігати, стрибати
Щоб нам, зайчика впіймати.
Прудко зайчик утікає
І промінчиками грає.
Сім, вісім! Час настав
Повернутися до справ.
7. Самостоятельная работа.
Работа в парах: решить №572(2) (письменно)
8.Итоги урока. Рефлексия.
1 Что вы узнали нового? Я знаю…
2 Чему научились? Я умею…
3 Что вам показалось особенно трудным? Я не могу…
Сегодня на уроке вы работали с самой простой геометрической фигурой, названной “клеткой геометрии”, Решая различные задачи на применение признаков подобия треугольников, вы учились правильно логически мыслить, сравнивать, обобщать, делать выводы, тем самым развивали свои умственные способности. Закончить урок хочется словами Г. Галилея «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать».
Повторить п.10-14. Решить № 440(3), 5711(3), 608(3).
infourok.ru
Третий признак равенства треугольников | Треугольники
Теорема
(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
ΔABC,
ΔA1B1C1,
AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1.
Доказать:
ΔABC= ΔA1B1C1
Доказательство:
Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы
- вершина A1 совместилась с вершиной A,
- вершина B1 совместилась с вершиной B,
- точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB.
При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.
I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.
Проведём отрезок CC1.
По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1.
По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C.
Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы:
Таким образом, ∠ACB=∠AC1B.
Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол.
Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем:
AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ∠ACB=∠A1C1B1 (по доказанному).
Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.
Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).
Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:
Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.
По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1.
Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).
Что и требовалось доказать.
www.treugolniki.ru