Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Библиографическое описание:

Парканова С. И., Ревтова С. Н., Котлярова Т. М. Линейные уравнения // Школьная педагогика. — 2016. — №2. — С. 19-22. — URL https://moluch.ru/th/2/archive/27/615/ (дата обращения: 31.12.2019).



Математика — это язык, на котором говорят все точные науки.

Н. И. Лобачевский

Введение.

Математика — предмет, без которого не могут быть изучены, ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире. Применение математических исчислений, в том числе линейных уравнений, являются составной частью в новых научных исследованиях и вносят большой вклад в развитие современной науки и технического прогресса в целом.

Актуальность: Уравнения в математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

Цель:

Изучить свойства линейных уравнений;

Отрабатывать навыки решения линейных уравнений.

Исторический экскурс.

Кто придумал уравнения?

Ответить на этот вопрос невозможно! Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Наибольших успехов в развитии учения об уравнениях достиг греческий ученый Диофант

“Он уйму всяких разрешил проблем.

И засухи предсказывал и ливни.

Поистине его познанья дивны”

Большой вклад внес среднеазиатский ученый Мухаммед аль Хорезми (IX век). –среднеазиатский математик, астроном, историк, географ — один из крупнейших ученых средневековья.

Его труды по арифметике, изложенные в «Книге об индийском счете», привели к грандиозным последствиям в науке вообще и древней математики в частности. Внес вклад в преобразование линейных уравнений.

Жаутыков Орымбек Ахметбекович (1911–1989г)

Ученый — математик. Внес значительный вклад в развитие математических наук. Академик Национальной Академии наук Республики Казахстан. Доктор физико-математических наук, профессор. Автор первого национального учебника по высшей математике. Основные научные труды посвящены математическим уравнениям, теоретической и прикладной механике.

Линейные уравнения содной переменной

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенной буквой, называется — уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, — правой частью уравнения. Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Уравнение вида: ax+b=0

Называется линейным уравнением с одной переменной

(где х-переменная, а и b некоторые числа).

Х-переменная входит в уравнение обязательно в первой степени!

Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Уравнение может иметь один корень: 3x+5=0

Несколько корней: y(y-2)(5+2y) = 0 Бесконечно много корней: 7(x+1) = 7x+7 Уравнение может не иметь корней: x+3=x

Решить линейное уравнение— это значит найти все его корни или установить, что их нет. При решении уравнений могут быть использованы свойства уравнения:

1. Корни уравнения не изменяются, если любой член уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный.
2. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

При решении уравнений используют свойства:

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число

(не равное нулю), то получится равносильное уравнение.

Алгоритм решения линейного уравнения

1. Раскрыть скобки в обеих частях уравнения;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную в одну часть, а не содержащую в другую;
3. Привести подобные члены в каждой части;
4. Разделить обе части на коэффициент при переменной.

Рассмотрим решение уравнения:

(13х-15)-(9+6х)=-3х

Раскроем скобки:

13х-15–9-6х=-3х.

Перенесём с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные — в правую часть уравнения, тогда получим уравнение:

13х-6х+3х=15+9.

Приведём подобные слагаемые.

10х=24.

Разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

х=2,4

Ответ: 2,4

Так же вашему вниманию представлены следующие решения уравнений:

8у -3(2y-3) = 7y — 2(5y + 8)

8у — 6у + 9 = 7у — 10у -16

8y — 6y — 7y + 10y = -16–9

5y= -25

y= -25: 5

у= — 5

(0,5х + 1,2)-(3,6–4,5х)=(4,8–0,3х)+(10,5х + 0,6)

0,5х + 1,2–3,6 + 4,5х = 4,8–0,3х + 10,5х + 0,6

0,5х + 4,5х + 0,3х — 10,5х = 4,8 + 0,6–1,2 + 3,6

—5,2х = 7,8

х= -1,5 Ответ: -1,5

5(3х+1,2) + х = 6,8,

15х + 6 + х = 6,8,

15х + х = 6,8–6,

16х = 0,8,

х = 0,8: 16,

х = 0,05, Ответ: 0,05

5,6–7у = — 4(2у — 0,9) + 2, 4,

5,6–7у = — 8у + 3, 6 + 2,4,

8у — 7у = 3,6 + 2.4–5,6,

у = 0,4, Ответ: 0,4

—3(у + 2,5) = 6,9–4,2у,

— 3у — 7,5 = 6,9–4,2у,

4,2у — 3у = 6,9 + 7,5,

1,2у = 14,4,

у = 14,4: 1,2,

у = 12, Ответ: 12

3 (х + 6) + 4 = 8 — (5х + 2)

3х + 18 + 4 = 8–5х — 2

3х + 5х = — 18–4 + 8–2

8х = — 16

х = — 16: 8

х = — 2

Ответ: -2

Задачи на составление линейных уравнений содной переменной.

Решение задач с помощью уравнений состоит из нескольких этапов:

1. неизвестную величину, значение которой мы хотим определить, обозначаем буквой, например x;
2. используя эту букву и имеющиеся в задаче данные, составляем математическую модель, где два разных выражения равны друг другу;
3. записывая эти выражения через знак равно, мы получаем уравнение,решение которого поможет найти ответ к задаче;
4. если необходимо, выполняем дополнительные действия для нахождения ответа к задаче.

Задача: В холодильнике в общей сложности 19 куриных и перепелиных яиц. После приготовления яичницы из 2 куриных и 5 перепелиных яиц, перепелиных стало в два раза больше, чем куриных. Сколько куриных яиц было в холодильнике изначально?

Составляем модель уравнения:

Нам надо решить, какую величину мы обозначим переменной x.

Рассмотрим вариант, где x — кур. яйца изначально;

Составляем математическую модель и уравнение.

x — кур. яйца изначально;

x — 2 —

кур. яйца после;

2(x — 2) — пер. яйца после;

2(x — 2) + 5 — пер. яйца изначально;

Составляем модель уравнения:

Рассмотрим выражения, которые мы можем уравнять, сумму яиц до приготовления яичницы.

x + 2(x — 2) + 5 — сумма яиц изначально

19 — сумма яиц изначально

x + 2(x — 2) + 5 = 19 уравнение, решение которого находит ответ к задаче.

Решение:

х + 2х — 4 + 5 = 19

3х = 18

х = 18: 3

x = 6

Ответ: изначально в холодильнике было 6 куриных яиц.

Задача: По шоссе едут две автомашины с одной и той же скоростью. Если первая машина увеличит скорость на 10км в час, а вторая уменьшит на 10км в час, то первая за 2 часа пройдет столько же, сколько вторая за 3 часа. С какой скоростью едут автомашины?

Составление таблицы

Пусть х — первоначальная скорость машин, тогда (х + 10) — скорость первой машины, а (х — 10) — скорость второй машины.

Расстояние для первой машины 2(х + 10)

Расстояние для второй машины 3(х — 10)

Величины	Первичная скорость	Скорость по условию	Время	Расстояние
1 машина	х	+ 10	2	2 (х + 10)
2 машина	х	— 10	2	3 (х — 10)

Составление уравнения

Так как по условию задачи первая машина прошла за 2 часа столько же, сколько вторая за 3 часа, составим уравнение:

2(х + 10) = 3(х — 10)

Решение:

2(х + 10) = 3(х — 10)

2х + 20 = 3х — 30

2х — 3х = — 20–30

—х = — 50 Х = 50

Скорость первой машины 50+10=60км ч

Скорость второй машины 50–10=40км ч

Ответ: 1 машина — 60км ч

2 машина — 40км ч

Задача: Были куплены яблоки и груши на сумму 4200 тенге. Килограмм яблок стоит 300 тенге, а груш — 1200тенге. Сколько килограммов яблок было куплено?

Составление таблицы

Мы знаем, что 1 кг груш стоит 1200тг. Пусть х — количество купленных яблок, тогда количество купленных груш (х + 1).

Получаем, что 300х — сумма, уплаченная за яблоки, тогда 1200(х + 1) — сумма уплаченная за груши.

Величины	Цена, тг	Кол-во, кг	Стоимость, тг
Яблоки	300	х	300х
Груши	1 200	(х + 1)	1200(х + 1)
		На 1 кг	Всего: 4200

Решение:

Теперь можно составить и решить уравнение:

300х + 1200(х + 1) = 4200

300х + 1200х + 1200 =4200

1500х = 3000

х = 3000: 1500

х = 2 Ответ: было куплено 2 килограмма яблок.

Выводы:

Итак, мы рассмотрели, что представляют собой линейные уравнения, их свойства и способы решения, заглянули в историю.

Научились решать линейные уравнения и задачи. Надеемся, что данный проект поможет учащимся в изучении темы «Линейные уравнения».

Литература:

1. Т. А. Алдамуратова, Т. С. Байшоланов «Математика 6 класс» Алмата «Атамура» 2011.
2. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович..«Справочные материалы» Математика М. «Просвещение», 1988
3. К. П. Сикорский. «Факультативный курс» М. «Просвещение», 1969.

Основные термины (генерируются автоматически): уравнение, часть уравнения, Ответ, машина, линейное уравнение, корень уравнения, решение уравнений, сумма яиц, задача, решение.

moluch.ru

Линейные уравнения: решение, примеры, график

Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.

Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.

К примеру, линейным уравнением будет:

2х + 4 = 0,

или

5х + 8 = 0,

или

4х + 1 = 0,

И так далее.

Решение линейных уравнений.

Как решать линейные уравнения?

Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.

Пример линейного уравнения и его решение.

Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.

Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.

Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.

Получится:

4х = 10 – 2,

4х = 8.

Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:

Х = 8 : 4,

Х = 2.

Проверка:

4х + 2 = 10, где х = 2.

4 * 2 + 2 = 10.

8 + 2 = 10.

Ответ верный.

График линейного уравнения.

При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.

Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.

Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.

Похожие статьи

infoogle.ru

Решение линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных / Habr

Здравствуйте, уважаемые читатели! Продолжаю серию дилетантских статей о математике.
Сегодня предлагаю поразмышлять над некоторой интересной математической задачкой.
А именно, давайте-ка для разминки решим следующее линейной уравнение:

«Чего сложного?» — спросите вы. Действительно, лишь одно уравнение и целых четыре неизвестных. Следовательно, три переменных есть свободные, а последняя зависит от оных. Так давайте выразим скорее! Например, через переменную , тогда множество решений следующее:

где — множество любых действительных чисел.

Что же, решение действительно оказалось слишком тривиальным. Тогда будем нашу задачу усложнять и делать её более интересной.

Вспомним про линейные уравнения с целыми коэффициентами и целыми корнями, которые, собственно, являются разновидностью диофантовых уравнений. Конкретно — наложим на наше уравнение соответствующие ограничение на целочисленность коэффициентов и корней. Коэффициенты при неизвестных у нас и так целые (), а вот сами неизвестные необходимо ограничить следующим:

где — множество целых чисел.

Теперь решение, полученное в начале статьи, «не проканает», так как мы рискуем получить как рациональное (дробное) число. Так как же решить это уравнение исключительно в целых числах?

Заинтересовавшихся решением данной задачи прошу под кат.

А мы с вами продолжаем. Попробуем произвести некоторые элементарные преобразования искомого уравнения:

Задача выглядит по-прежнему непонятной, в таких случаях математики обычно производят какую-нибудь замену. Давайте и мы с вами её бахнем:

Опа, мы с вами достигли интересного результата! Коэффициент при у нас сейчас равен единице, а это значит, что мы с вами можем выразить эту неизвестную через остальные неизвестные в этом уравнении без всяких делений (чем грешили в самом начале статьи). Сделаем это:

Обращу внимание, что это говорит нам о том, что какие бы не были (в рамках диофантовых уравнений), всё равно останется целым числом, и это прекрасно.

Вспоминая, что справедливо говорить, что . А подставив заместо полученный выше результат получим:

Тут мы также видим, что что какие бы не были , всё равно останется целым числом, и это по-прежнему прекрасно.

Тогда в голову приходит гениальная идея: так давайте же объявим как свободные переменные, а будем выражать через них! На самом деле, мы уже это сделали. Осталось только записать ответ в систему решений:

Теперь можно лицезреть, что в системе решений нигде нет деления, а это значит, что всегда решения будут целочисленными. Попробуем найти частное решение исходного уравнения, положив, к примеру, что :

Подставим в исходное уравнение:

Тождественно, круто! Давайте попробуем ещё разок на другом примере?

Тут мы видим отрицательный коэффициент, он может доставить нам изрядных проблем, так что давайте от греха избавимся от него заменой , тогда уравнение будет следующим:

Как мы помним, наша задача сделать такие преобразования, чтобы в нашем уравнении оказалась неизвестная с единичным коэффициентом при ней (чтобы затем выразить её через остальные без любого деления). Для этого мы должны снова что-нибудь взять «за скобку», самое быстрое — это брать коэффициенты из уравнения которые самые близкие к единице. Однако нужно понимать, что за скобку можно взять только лишь то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Итак:

Введем замену , тогда получим:

Вновь возьмем за скобку и наконец получим в уравнении неизвестную с единичным коэффициентом:

Введем замену , тогда:

Выразим отсюда нашу одинокую неизвестную :

Из этого следует, что какие бы мы не взяли, все равно останется целым числом. Тогда найдем из соотношения :

Аналогичным образом найдем из соотношения :

На этом наша система решений созрела — мы выразили абсолютно все неизвестные, не прибегая к делению, тем самым показывая, что решение точно будет целочисленным. Также не забываем, что , и нам надо ввести обратную замену. Тогда окончательная система решений следующая:

Таким образом, осталось ответить на вопрос — а любое ли подобное уравнение можно так решить? Ответ: нет, если уравнение в принципе нерешаемо. Такое возникает в тех случаях, если свободный член не делится нацело на НОД всех коэффициентов при неизвестных. Иными словами, имея уравнение:

Для его решения в целых числах достаточно выполнение следующего условия:

(где — наибольший общий делитель).
Доказательство

Доказательство в рамках этой статьи не рассматривается, так как это повод для отдельной статьи. Увидеть его вы можете, например, в чудесной книге В. Серпинского «О решении уравнений в целых числах» в §2.

Резюмируя вышесказанное, выпишем алгоритм действий для решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных:

1. Проверяем, а решаемо ли уравнение вообще (вышеописанным свойством ). Если ответ положительный — переходим к следующему пункту.
2. Для ускорения процесса поделим все коэффициенты (включая свободный член) на их .
3. Избавляемся от отрицательных коэффициентов в уравнении заменой
4. Проводим серию замен (разваливая некоторые члены уравнения на суммы и объединяя их в скобки) таким образом, чтобы в конце концов один из членов уравнения был с единичным коэффициентов, и мы смогли вывести его без какого либо деления. Помня при этом, что за скобку можно взять только то число, которое обязательно является каким-либо коэффициентом уравнения (ни больше, ни меньше), иначе наткнемся на тавтологию/противоречие или дроби (иными словами, нельзя чтобы свободные переменные появились где-то кроме как в последней замене). Наконец, объявляем все переменные, через которые выражена оная, как свободные.
5. Выводим остальные переменные через вышевыведенную (выводим из всех наших замен), не забывая также про обратные замены.
6. Объединяем все в единую систему решений.

В заключение стоит сказать, что также можно добавить ограничения на каждый член уравнения в виде неравенства на оного (тогда к системе решений добавляется система неравенств, в соответствии с которой нужно будет скорректировать ответ), а также добавить ещё чего-нибудь интересное. Ещё не стоит забывать и про то, что алгоритм решения является строгим и поддается записи в виде программы для ЭВМ.

С вами был Петр,
спасибо за внимание.

habr.com