Закон на Ампер – Уикипедия

Серия статии на тема Класическа електродинамика

Електричество Магнетизъм Електромагнетизъм Електродинамика Известни учени

Законът на Ампер (открит от Андре Мари Ампер) показва зависимостта на интегралното магнитно поле около затворен контур, създавано от електрическия ток, преминаващ през контура. Законът е магнитен аналог на закона на Гаус и е едно от четирите уравнения на Максуел, образуващи основата на класическия електромагнетизъм.

В оригиналната си форма законът на Ампер определя магнитното поле H→{\displaystyle {\vec {H}}}, причинено от ток с плътност J→{\displaystyle {\vec {J}}}:

∮C⁡H→⋅dl→=∫∫SJ→⋅dS→=Ienc{\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\int \!\!\!\!\int _{S}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=I_{\mathrm {enc} }}

където

∮C{\displaystyle \oint _{C}} е линейният интеграл по затворения контур (затворената крива) C,

H→{\displaystyle {\vec {H}}} е магнитното поле в ампери на метър [А/m],

dl→{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}} е безкрайно малък векторен елемент от контура C,

J→{\displaystyle {\vec {J}}} е плътността на тока (в ампери на квадратен метър) през повърхността S, обхваната от контура C,

dS→ {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}\!\ } е диференциален векторен елемент, площ с посока нормална към площта S и с безкрайно малка големина,

Ienc {\displaystyle I_{\mathrm {enc} }\!\ } е токът, обхванат от затворената крива C, или токът, който прониква през площта S.

Уравнението има следния запис в диференциална форма

∇→×H→=J→{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}}

където

∇→× {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times \!\ } е диференциален оператор за ротация.

Интензитетът на магнитното поле H→{\displaystyle {\vec {H}}} се свързва с магнитната индукция B→{\displaystyle {\vec {B}}} (измерва се в тесла [T]) посредством уравнението:

B→ = μH→{\displaystyle {\vec {B}}\ =\ \mu {\vec {H}}}

където μ {\displaystyle \mu \!\ } е магнитната проницаемост на средата (измерва се в хенри на метър [H/m]).

Закон Ампера.

В 21 веке, казалось бы, открыты все законы природы. Магнетизм, электричество, молекулярный и атомный мир являют собой открытую книгу. При этом многие законы, открытые сто с лишним лет назад, не теряют актуальности и по сей день, являясь основой работы многих привычных нам предметов. В первую очередь, речь идет об электричестве. Имя Андре Ампера, французского физика-изобретателя не только дало название физическому закону, но и широко известно физикам и школьникам по всему миру благодаря описанному им явлению.

В 1820 году, основываясь на описанном Эрстедом взаимодействии магнитной стрелки и электрического тока, текущего по проводу, Ампер совершил важнейшее открытие, получившее название Закон Ампера. Формулировка его вкратце звучит следующим образом:

пропускание электрического тока в одном направлении через двух проводников, расположенных параллельно друг другу, ведет к их взаимоотталкиванию. Пропускание его в разных направлениях при прочих равных вызывает взаимное притяжение двух проводников.

Помимо этих заключений, видимых невооруженных глазом, Закон Ампера включает в себя ряд понятий, открытых тем же исследователем в то же время.

Сделав вывод о поведении двух проводников при пропускании через них тока в разных направлениях, французский ученый стал исследовать силы, обеспечивающие их таковое поведение. Логика его рассуждений была проста: электрический ток, пропущенный через проводник, создает магнитное поле. Образно его можно представить в качестве концентрических кругов, обрамляющих сечение проводника. Другой проводник, при условии, что он параллелен первому и расстояние между ними невелико, попадает в область воздействия магнитного поля, в результате чего образуется сила, воздействующая на атомы проводника и приводящая их в движение. Закон Ампера также позволяет объяснить возникшие наблюдения:

• Магнитное поле является результатом протекания любого электрического тока;
• Магнитное поле оказывает воздействие на движущиеся электрические заряды.

Основываясь на проделанном эксперименте и полученных результатах, Андре Ампер связал силы и явления, воздействующие на проводники в момент проведения через них электрического тока, поэтому Закон Ампера может быть представлен формулой:

F = IBl sin a.

Где F — сила Ампера, т.е. сила, воздействующая на проводник с током, находящийся в магнитном поле;

I — сила тока;

l— длина проводника;

B— модуль вектора магнитной индукции;

sin a — синус угла, образовавшегося между вектором магнитной индукции и проводником.

Сила Ампера — векторная величина, т.е. имеющая направление. Определить его можно с помощью так называемого «Правила левой руки»:

• четыре пальца левой руки направлены в сторону направления протекания электрического тока, вектор магнитной индукции (B) при этом входит в ладонь перпендикулярно. Тогда направление силы тока будет указывать отогнутый в плоскости ладони большой палец.

В современной науке применение Закона Ампера, в основном, приходится на производство электротехники. В частности, речь идет о громкоговорителях и динамиках. Принцип работы громкоговорителя, например, заключается в преобразовании электрической энергии в акустическую. Катушка — основа любого динамика или громкоговорителя — пропускает через себя переменный ток, частота которого соответствует частоте микрофона или динамика. Как гласит Закон Ампера, катушка начинает колебаться под действием тока, колебания передаются параллельно оси громкоговорителя диафрагме устройства. В результате излучаются звуковые волны, которые мы и слышим.

Кроме того, что создал Закон Ампера, изобретатель известен тем, что оставил свое имя в физике на века, поскольку оно было присвоено единице измерения силы тока.

Закон Ампера Википедия

Зако́н Ампе́ра  — закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 для постоянного тока. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Сила оказывается линейно зависимой как от тока, так и от магнитной индукции B{\displaystyle B}. Выражение для силы dF→{\displaystyle d{\vec {F}}}, с которой магнитное поле действует на элемент объёма dV{\displaystyle dV} проводника с током плотности j→{\displaystyle {\vec {j}}}, находящегося в магнитном поле с индукцией B→{\displaystyle {\vec {B}}}, в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

dF→=j→×B→dV.{\displaystyle d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.}

Если ток течёт по тонкому проводнику, то j→dV=Idl→{\displaystyle {\vec {j}}dV=Id{\vec {l}}}, где dl→{\displaystyle d{\vec {l}}} — «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равный dl{\displaystyle dl} и совпадающий по направлению с током. Тогда предыдущее равенство можно переписать следующим образом:

Направление силы dF→{\displaystyle d{\vec {F}}} определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.

Модуль силы Ампера можно найти по формуле:

dF=IBdlsin⁡α,{\displaystyle dF=IBdl\sin \alpha ,}

где α{\displaystyle \alpha } — угол между вектором магнитной индукции и направлением, вдоль которого течёт ток.

Сила F{\displaystyle F} максимальна, когда проводник с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции (α=90∘,sin⁡α=1{\displaystyle \alpha =90^{\circ },\sin \alpha =1}):

F=BLI{\displaystyle F=BLI}, где L{\displaystyle L} — длина проводника.

Два параллельных проводника

Два бесконечных параллельных проводника в вакууме

Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии r{\displaystyle r} друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I1{\displaystyle I_{1}} и I2{\displaystyle I_{2}}. Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

В соответствии с законом Био — Савара — Лапласа бесконечный проводник с током I1{\displaystyle I_{1}} в точке на расстоянии r{\displaystyle r} создаёт магнитное поле с индукцией

B1(r)=μ04π2I1r,{\displaystyle B_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}},}

где μ0{\displaystyle \mu _{0}} — магнитная постоянная.

Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:

dF→1−2=I2dl→×B→1(r).{\displaystyle d{\vec {F}}_{1-2}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).}

По правилу буравчика, dF→1−2{\displaystyle d{\vec {F}}_{1-2}} направлена в сторону первого проводника (аналогично и для dF→2−1{\displaystyle d{\vec {F}}_{2-1}}, а значит, проводники притягиваются).

Модуль данной силы (r{\displaystyle r} — расстояние между проводниками):

dF1−2=μ04π2I1I2rdl.{\displaystyle dF_{1-2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.}

Интегрируем по участку проводника длины L{\displaystyle L} (пределы интегрирования по l{\displaystyle l} от 0 до L{\displaystyle L}):

F1−2=μ04π2I1I2r⋅L.{\displaystyle F_{1-2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.}

Если L{\displaystyle L} — единичная длина, то это выражение задаёт искомую силу взаимодействия.

Полученная формула используется в СИ для установления численного значения магнитной постоянной μ0{\displaystyle \mu _{0}}. Действительно, ампер, являющийся одной из основных единиц СИ, определяется в ней как «сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 метр один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 метр силу взаимодействия, равную 2⋅10⁻⁷ньютона»^[1].

Таким образом, из полученной формулы и определения ампера следует, что магнитная постоянная μ0{\displaystyle \mu _{0}} равна 4π×10−7{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}} Н/А² или, что то же самое, 4π×10−7{\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}} Гн/ м точно.

Проявления

• Электродинамическая деформация шин (токопроводов) трёхфазного переменного тока на подстанциях при воздействии токов короткого замыкания.
• Раздвигание токопроводов рельсотронов при выстреле.

Применение

Любые узлы в электротехнике, где под действием электромагнитного поля происходит движение каких-либо элементов, используют закон Ампера. Принцип работы электромеханических машин (движение части обмотки ротора относительно части обмотки статора) в основан на использовании закона Ампера, и самый широко распространённый и используемый чуть ли не во всех технических конструкциях агрегат — это электродвигатель, либо, что конструктивно почти то же самое — генератор. Именно под действием силы Ампера происходит вращение ротора, поскольку на его обмотку влияет магнитное поле статора, приводя в движение. Любые транспортные средства на электротяге для приведения во вращение валов, на которых находятся колёса, используют силу Ампера (трамваи, электрокары, электропоезда и др).

Также магнитное поле приводит в движение механизмы электрозапоров (электродвери, раздвигающиеся ворота, двери лифта). Другими словами, любые устройства, которые работают на электричестве и имеют движущиеся узлы, основаны на эксплуатации закона Ампера.

Также, он находит применение во многих других видах электротехники, например, в динамическое головке (динамике): в динамике (громкоговорителе) для возбуждения мембраны, которая формирует звуковые колебания используется постоянный магнит, на него под действием электромагнитного поля, создаваемого расположенным рядом проводником с током, действует сила Ампера, которая изменяется в соответствии с нужной звуковой частотой.

Также:

История

В 1820 году Ханс Кристиан Эрстед открыл, что провод, по которому идёт ток, создает магнитное поле и заставляет отклоняться стрелку компаса. Он заметил, что магнитное поле перпендикулярно току, а не параллельно ему, как можно было бы ожидать. Ампер, вдохновлённый демонстрацией опыта Эрстеда, обнаружил, что два параллельных проводника, по которым течёт ток, притягиваются или отталкиваются в зависимости от того, в одну ли или разные стороны по ним идёт ток. Таким образом ток не только производит магнитное поле, но магнитное поле действует на ток. Уже через неделю после объявления Эрстедом о своём опыте, Ампер предложил объяснение: проводник действует на магнит, потому что в магните течёт ток по множеству маленьких замкнутых траекторий^[2][3].

Сила Ампера и третий закон Ньютона

Пусть есть два тонких проводника с токами I1{\displaystyle I_{1}} и I2{\displaystyle I_{2}} , заданные кривыми C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}}. Сами кривые могут быть заданы радиус-векторами r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}} и r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}. Найдем силу, действующую непосредственно на токовый элемент одного провода со стороны токового элемента другого провода. По закону Био — Савара — Лапласа токовый элемент I1dr1{\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, находящийся в точке r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, создает в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}} элементарное магнитное поле dB1(r2)=μ04πI1[dr1,r2−r1]|r2−r1|3{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1}[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}. По закону Ампера сила, действующая со стороны поля dB1(r2){\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})} на токовый элемент I2dr2{\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, находящийся в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, равна

d2F12=I2dr2×dB1(r2)=μ0I1I24π[dr2,[dr1,r2−r1]]|r2−r1|3.{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}

Токовый элемент I2dr2{\displaystyle I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}, находящийся в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, создает в точке r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}} элементарное магнитное поле

dB2(r1)=μ04πI2[dr2,r1−r2]|r2−r1|3{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2}[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}.

Сила Ампера, действующая со стороны поля dB2(r1){\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})} на токовый элемент I1dr1{\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}, находящийся в точке r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, равна

d2F21=I1dr1×dB2(r1)=μ0I1I24π[dr1,[dr2,r1−r2]]|r2−r1|3.{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}

В общем случае для произвольных r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}} и r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}} силы d2F12{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}} и d2F21{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}} даже не коллинеарны, а значит, не подчиняются третьему закону Ньютона: d2F12+d2F21≠0{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0}. Однако ничего страшного в этом нет. Физиками доказано, что постоянный ток может течь только по замкнутому контуру. Поэтому третий закон Ньютона должен действовать только для сил, с которыми взаимодействуют два замкнутых проводника с током. Убедимся, что для двух таких проводников третий закон Ньютона выполняется.

Пусть кривые C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}} являются замкнутыми. Тогда ток I1{\displaystyle I_{1}} создает в точке r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}} магнитное поле

B1(r2)=μ0I14π∮C1⁡[dr1,r2−r1]|r2−r1|3,{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},}

где интегрирование по C1{\displaystyle C_{1}} производится в направлении течения тока I1{\displaystyle I_{1}}. Сила Ампера, действующая со стороны поля B1(r2){\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})} на контур C2{\displaystyle C_{2}} с током I2{\displaystyle I_{2}}, равна

F12=∮C2⁡(I2dr2×B1(r2))=∮C2⁡(I2dr2×μ0I14π∮C1⁡[dr1,r2−r1]|r2−r1|3)=μ0I1I24π∮C2⁡∮C1⁡[dr2,[dr1,r2−r1]]|r2−r1|3,{\displaystyle \mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times {\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},}

где интегрирование по C2{\displaystyle C_{2}} производится в направлении течения тока I2{\displaystyle I_{2}}. Что характерно, порядок интегрирования значения не имеет.

Аналогично сила Ампера, действующая со стороны поля B2(r1){\displaystyle \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})}, создаваемого током I2{\displaystyle I_{2}}, на контур C1{\displaystyle C_{1}} с током I1{\displaystyle I_{1}}, равна

F21=∮C1⁡(I1dr1×B2(r1))=μ0I1I24π∮C1⁡∮C2⁡[dr1,[dr2,r1−r2]]|r2−r1|3=∮C1⁡∮C2⁡d2F21.{\displaystyle \mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}.}

Равенство F12+F21=0{\displaystyle \mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0} эквивалентно равенству ∮C2⁡∮C1⁡[dr2,[dr1,r2−r1]]|r2−r1|3=∮C1⁡∮C2⁡[dr1,[dr2,r2−r1]]|r2−r1|3{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}.

Чтобы доказать это последнее равенство, заметим, что выражение для силы Ампера очень похоже на выражение для циркуляции магнитного поля по замкнутому контуру, в котором внешнее скалярное произведение заменили векторным произведением. Тогда понятно, в каком направлении нужно двигаться.

Пользуясь тождеством Лагранжа, двойное векторное произведение в левой части доказываемого равенства можно записать так:

[dr2,[dr1,r2−r1]]=dr1(dr2,r2−r1)−(r2−r1)(dr2,dr1).{\displaystyle [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).}

Тогда левая часть доказываемого равенства примет вид:

∮C2⁡∮C1⁡[dr2,[dr1,r2−r1]]|r2−r1|3=∮C1⁡∮C2⁡dr1(dr2,r2−r1)|r2−r1|3−∮C1⁡∮C2⁡(r2−r1)(dr2,dr1)|r2−r1|3.{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}

Рассмотрим отдельно интеграл ∮C1⁡∮C2⁡dr1(dr2,r2−r1)|r2−r1|3{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}}, который можно переписать в следующем виде:

∮C1⁡∮C2⁡dr1(dr2,r2−r1)|r2−r1|3=∮C1⁡dr1∮C2⁡(r2−r1,d(r2−r1))|r2−r1|3.{\displaystyle \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.}

Сделав замену переменной во внутреннем интеграле на r=r2−r1{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}, где вектор r{\displaystyle \mathbf {r} } изменяется по замкнутому контуру C2′{\displaystyle C_{2}’}, обнаружим, что внутренний интеграл является циркуляцией градиентного поля по замкнутому контуру. А значит, он равен нулю:

∮C2⁡(r2−r1,d(r2−r1))|r2−r1|3=∮C2′⁡(r,dr)|r|3=−∮C2′⁡(grad(1|r|

Закон Ампера — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Зако́н Ампе́ра  — закон взаимодействия электрических токов. Впервые был установлен Андре Мари Ампером в 1820 для постоянного тока. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с электрическими токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположных — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током. Выражение для силы dF→{\displaystyle d{\vec {F}}}, с которой магнитное поле действует на элемент объёма dV{\displaystyle dV} проводника с током плотности j→{\displaystyle {\vec {j}}}, находящегося в магнитном поле с индукцией B→{\displaystyle {\vec {B}}}, в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

dF→=j→×B→dV{\displaystyle d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV}.

Если ток течёт по тонкому проводнику, то j→dV=Idl→{\displaystyle {\vec {j}}dV=Id{\vec {l}}}, где dl→{\displaystyle d{\vec {l}}} — «элемент длины» проводника — вектор, по модулю равный dl{\displaystyle dl} и совпадающий по направлению с током. Тогда предыдущее равенство можно переписать следующим образом:

Направление силы dF→{\displaystyle d{\vec {F}}} определяется по правилу вычисления векторного произведения, которое удобно запомнить при помощи правила левой руки.

Модуль силы Ампера можно найти по формуле:

dF=IBdlsin⁡α,{\displaystyle dF=IBdl\sin \alpha ,}

где α{\displaystyle \alpha } — угол между вектором магнитной индукции и направлением, вдоль которого течёт ток.

Сила dF{\displaystyle dF} максимальна когда элемент проводника с током расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции (α=90∘,sin⁡α=1{\displaystyle \alpha =90^{\circ },\sin \alpha =1}):

dFmax=IBdl.{\displaystyle dF_{max}=IBdl.}

Два параллельных проводника

Два бесконечных параллельных проводника в вакууме

Наиболее известным примером, иллюстрирующим силу Ампера, является следующая задача. В вакууме на расстоянии r{\displaystyle r} друг от друга расположены два бесконечных параллельных проводника, в которых в одном направлении текут токи I1{\displaystyle I_{1}} и I2{\displaystyle I_{2}}. Требуется найти силу, действующую на единицу длины проводника.

В соответствии с законом Био — Савара — Лапласа бесконечный проводник с током I1{\displaystyle I_{1}} в точке на расстоянии r{\displaystyle r} создаёт магнитное поле с индукцией

B1(r)=μ04π2I1r,{\displaystyle B_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}},}

где μ0{\displaystyle \mu _{0}} — магнитная постоянная.

Теперь по закону Ампера найдём силу, с которой первый проводник действует на второй:

dF→1−2=I2dl→×B→1(r).{\displaystyle d{\vec {F}}_{1-2}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).}

По правилу буравчика, dF→1−2{\displaystyle d{\vec {F}}_{1-2}} направлена в сторону первого проводника (аналогично и для dF→2−1{\displaystyle d{\vec {F}}_{2-1}}, а значит, проводники притягиваются).

Модуль данной силы (r{\displaystyle r} — расстояние между проводниками):

dF1−2=μ04π2I1I2rdl.{\displaystyle dF_{1-2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.}

Интегрируем, учитывая только проводник единичной длины (пределы l{\displaystyle l} от 0 до 1):

F1−2=μ04π2I1I2r.{\displaystyle F_{1-2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}.}

Полученная формула

закон Ампера — с русского на все языки

ЗАКОН АМПЕРА — закон (см.), определяющий силу F, с которой магнитное поле, характеризуемое вектором магнитной (см.) В, действует на элементарный отрезок ΔL проводника с током /. В скалярном виде З. А. выглядит так: где а угол между направлениями векторов ΔL и В …   Большая политехническая энциклопедия

закон Ампера — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Ampere s law …   Справочник технического переводчика

Закон Ампера —     Классическая электродинамика …   Википедия

закон Ампера — Ampero dėsnis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dviejų srovės elementų sąveikos dėsnis. atitikmenys: angl. Ampère’s law vok. Amperesches Gesetz, n rus. закон Ампера, m pranc. formule d’Ampère, f …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

закон Ампера — Ampero dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Ampère’s law vok. Amperesches Gesetz, n rus. закон Ампера, m pranc. formule d’Ampère, f …   Fizikos terminų žodynas

Закон Био — Савара — Лапласа — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм …   Википедия

Закон Видемана — Франца — Классическая электродинамика Магнитное поле соленоида Электричество · Магнетизм …   Википедия

Закон Кулона — О законе сухого трения см. Закон Амонтона Кулона     Классическая электродинамика …   Википедия

Закон электромагнитной индукции Фарадея —     Классическая электродинамика …   Википедия

Закон Био —     Классическая электродинамика …   Википедия

Закон Ома —     Классическая электродинамика …   Википедия