я хочу знать какова временная сложность моего рекурсивного метода : T(n) = 2T(n/2) + O(1) я видел результат , который говорит, что это O(n), но я не знаю почему, я решил его так : T(n) = 2T(n/2) + 1…

входные контрольные работы 2-4 класс

                                               Входные контрольные работы

                                            по русскому языку и математике

                                                            Русский язык. 

2 класс.
                                                                    Диктант.
                                                                    Мурзик.
У Яши жил кот Мурзик. Мурзик любил играть в кустах.. Яша долго искал кота. А кот сидел на крыльце.
Задания.
1. Замените одну букву так, чтобы получилось новое слово:
Палка, удочка, роза.
Подчеркни согласные буквы.
2. Вставить пропущенные гласные, записать полученные слова:
М….л (а,и,е,ё,я).
3. Используя слоги, составить и записать слова:
Лу жи ли
Мы ши ны.
3 класс.
                                                                    В школе.
   Ольга Иванова пришла в школу рано. Она дежурная. Девочка открыла окно. Свежий воздух влетел в класс. На столе стояли цветы. Их принёс Илья Жуков. У доски лежат мел и губка. Весело входят в класс мальчики и девочки. Идёт урок. Все читают сказки Пушкина.

Задания:
1. Подчеркни главные члены предложения № 4.
2. Вспомни и допиши парные звонкие и глухие согласные: б-п…
Придумай и запиши 2-3 слова с парными согласными в конце.
3. Выпиши только однокоренные слова:
Добр, добрый, Добрыня, добрался, добро.
Былина, былинка, бык, былое, быль.

4 класс.

                                                       Журавлиный крик.
   Я стоял на опушке и слушал произвольную песню леса. С неба упал журавлиный крик. Птицы летели косяком. Вдруг строй рассыпался. Что случилось в небе? Почему тревожно закричали журавли?
   Вот птицы построились в круг. Они минут десять кружили над Волгой. Журавли попрощались с родным краем и скрылись за горизонтом. Мне было грустно. Я осмотрел местность. Осенний день провожал тёплые солнечные дни. На пороге стояла дождливая осень.

Задания.
1. Определите количество слогов, букв и звуков в словах:
Урожай, ливень, ястреб.
2. Дописать ещё 2-3 однокоренных слова:
Пригорок, гора,…
Село, односельчане,…
3. Списать предложение, подчеркнуть главные члены, обозначить части речи.
Робкий зайчишка спрятался под кустом.

                                                           Математика.
2 класс.
1 вариант.
1. В одном рулоне 15м обоев, в другом – на 5 м меньше. Сколько всего метров обоев в рулонах?

2. Найти ошибки в примерах и решить их правильно.
4+2=6 7+3=9 8+1=9
6+2=7 3+3=6 4+5=8

3.Решить:
8-1= 7-2= 6-5= 10-3=

4. Поставить знаки :»больше», «меньше» или «равно»:
3+4…7 8-2…8-3
9-3….7 4+2…4+3

5. Начертить отрезок АВ длиной 7см, а отрезок ОМ – 3см. Узнать, на сколько см отрезок АВ длиннее, чем ОМ?

2 вариант.

1. В одном доме 18 квартир, в другом – на 8квартир меньше. Сколько всего квартир в двух домах?

2. найти ошибки в примерах и решить их правильно.
5+3=8 5+4=9 7+2=9
7+2=9 2+3=6 4+4=8

3.Решить:
9-1= 8-2= 7-5= 10-4=

6. Поставить знаки :»больше», «меньше» или «равно»:
3+5…7 9-3…9-4
7-3….4 6+2…6+3

7. Начертить отрезок АВ длиной 4см, а отрезок ОМ – 6см. Узнать, на сколько см отрезок АВ , чем ОМ?

3 класс.
1 вариант.
1. На полке было 16 книг. С полки сняли 5 книг, а затем на неё поставили 8 книг. Сколько книг стало на полке?

2. реши примеры.
91+9 53-20 47-24
60-7 50-23 28+39
67 – 24 30+64 51-19

4. Сравнить:
3дм…29см 42- 25…42-26
35см…3дм 5см 54+12…54+ 13

5. Начерти отрезок АВ длиной 7 см, а отрезок ОМ – на 5 см длиннее. Сосчитай сумму двух отрезков.

2 вариант.
1. На приём к врачу сначала записались 15 человек, а потом ещё 3 чел. Врач уже принял 7 чел. Сколько человек осталось принять врачу?

2. реши примеры.
82+8 74-20 56-32
50-3 70-24 45+48
53 – 22 60+24 82-27

6. Сравнить:
5дм…49см 38- 23…38-24
48см…4дм 8см 73+13…73+ 14

7. Начерти отрезок АВ длиной 11 см, а отрезок ОМ – на 5 см короче. Сосчитай сумму двух отрезков.

4 класс.
1 вариант.
1. На одной машине привезли 100 коробок с конфетами, а на другой –на 50 коробок меньше. Сколько килограммов конфет привезли, если в каждой коробке по 4кг конфет?
2. Вычисли значения выражений:
64: (4х2)х2 240+(620-200):7
19х3+2х27 80х3+450-90

3.Решить уравнения:
Хх8=72 42- у=21

8. Найти периметр прямоугольника, если его длина 6 см, а ширина в 2 раза меньше.

9. Закончи запись:
6м 7дм = ….дм 5см 2мм = ….мм 3ч.=….мин.

Вариант2.
1. Для лагеря купили 50 наборов фломастеров, по 6 штук в каждом, а наборов карандашей – на 20 меньше. Сколько всего фломастеров и карандашей купили?
2. 56:(7х2)х2 690+(450-300):5
13х4+3х17 90х4+240-70
3. Решить уравнения:
54:х=9 у-24=48

4. Найти периметр прямоугольника, если его длина 8 см, а ширина в 2 раза меньше.

5. Закончи запись:
2м 5дм = ….дм 3см 1мм = ….мм 4ч.=….мин.

Собеседование в Яндекс: театр абсурда :/ / Хабр

Привет, хабр!

В прошлой статье меня знатно разбомбили в комментариях, где-то за дело, где-то я считаю, что нет. Так или иначе, я выжил, и у меня есть чем с вами поделиться >:)

Напомню, что в той статье я рассказывал, каким я вижу идеальное собеседование и что я нашёл компанию, которая так и делает — и я туда прошёл, хотя это был адский отбор. Я, довольный как слон, везде отметил, что я не ищу работу, отовсюду удалился и стал работать работу.

Как вы думаете, что делают рекрутеры, когда видят «Alexandr, NOT OPEN FOR WORK»? Правильно, пишут «Алексей, рассматриваете вариант работать в X?» Я обычно игнорирую это, но тут мне предложили попытать счастья с Яндекс. Лавкой, и я не смог пройти мимо — интересно было, смогу ли я устроиться куда-нибудь, когда введут великий российский файерволл. К тому же за последние 3 года я проходил только два интервью, и мне показалось, что я не в теме, что нынче требуется индустрии. Блин, я оказался и вправду не в теме. И вы, скорей всего, тоже — об этом и статья.

Короче, я согласился — буду продавать дошики и похмелье!

Мне назначили дату интервью, и также прислали методичку, чтобы я понимал, что меня ждёт и как готовиться. Чтобы ничего не заспойлерить, я замазал квадратиками важную информацию.

Вы тоже заметили «вопросы на C++» в методичке для питониста? Не то чтобы я знал C++, но в институте проходили, авось что-нибудь да вспомню на интервью.

Тут что-то написано про leetcode, но я человек ответственный, поэтому к интервью не готовлюсь. Это кстати я не шуткую, реально: если вы ответственный человек, то вы, когда предстаёте перед компанией, отвечаете за то, что вы заявляете как ваши умения. Можно выучить типовые вопросы и даже казаться умнее и опытнее, чем есть, но по факту это переобучение на тестовых заданиях/вопросах. Ребята из ml поймут. Поэтому я гол как сокол и чист как стёклышко или что там ещё блин, если что-то знаю — скажу, что-то не знаю — скажу что не знаю. Таким образом работодатель знает, что он покупает и сколько ещё нужно вложить в меня средств на обучение. Все счастливы.

Интервью 1

Так вот, назначили мне собеседование, и в назначенный час я был в зуме. Сразу скажу, что все — и рекрутер, и интервьюеры — вежливые и приятные в общении люди, тут я подкопаться не могу, ну разве что иногда они слишком корректные: спрашивают, ничего, если будет стажёр-наблюдатель и если они будут делать заметки в ходе интервью. На какой-то из итераций мне даже стало интересно, что будет, если я скажу «нет, нельзя», но именно тогда меня не спросили, так что предлагаю вам проверить самим.

Мне кинули ссылку на Яндекс.Блокнот (это я его так называю, вообще он Яндекс. Код и живёт тут) — там можно вместе писать текст и включать подсветку синтаксиса. Запускать там, естественно, ничего нельзя, потому что это уже реализовано в coderpad, а он недостоин Яндекса. Ну ок, мне на самом деле проще, потому что написать код и написать хотя бы запускаемый код — это очень разные вещи. Минус — нельзя прогнать тесты и вообще тут как битва самураев: ваша правда против правды рекрутера, один доказывает, почему работает, другой — почему нет.

Итак, о чём вас спросит Яндекс на интервью? Выберите один правильный вариант:

1) прежний опыт

2) текущие проекты

3) как вы будете решать вот эту бизнес-задачу

4) как решить вот эту алгоритмическую задачу без стандартной библиотеки

Именно так! Так давайте решим эту алгоритмическую задачу. Помните, у нас нет collections.Counter, itertools.groupby, set.intersection, вообще случилась война и стандартная библиотека питона погибла, оставив после себя int, bool, for, if и while. Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

Задача 1

Даны два массива: [1, 2, 3, 2, 0] и [5, 1, 2, 7, 3, 2]
Надо вернуть [1, 2, 2, 3] (порядок неважен)

Фактически нам нужно вернуть пересечение множеств, но с повторением элементов. Не включая мозг, я начал сразу кидать что-то вроде

common = set(a).intersection(set(b))  # найдём общие элементы
for el in common:
    occurs = min(a.count(el), b.count(el))  # и посчитаем, сколько они встречаются

Но меня осадили — у нас война, поэтому никаких intersection, только хардкор. После нескольких итераций и намёков интервьюера я родил вот это:

def common_elements(a, b):
  b_dict = defaultdict(int)  # defaultdict выжил :)
  for el in b:
      b_dict[el] += 1  # я считаю все элементы из b, т.е. типа collections.Counter

  result = []

  for el in a:
      count = b_dict[el]
      if count > 0:  # если какой-то элемент из a встречается в b
          result. append(a)  # то это успех
          b_dict[a] -= 1  # и я "вынимаю" его из b, т.е. уменьшаю его количество на 1

  return result

Внимательные читатели намекнули, что на строчках 11 и 12 нужно использовать el, а не a, но на интервью и так прокатило 🙂

Тут же меня спросили, какова сложность алгоритма — ок, норм, это нужно знать, потому что в реальном программировании мне это потребовалось целых 0 раз. Ответил.

После этого задания (и впоследствии) я увидел, что хоть они и принимают рабочие решения, у них есть эталонные, к которым они вас подталкивают, особенно если сложность вашего решения больше сложности эталона. Не то чтобы прям только эталон принимают, но знайте, что он есть.

Кстати, как вы наверно догадываетесь, есть большая разница между решением, написанным в обычной рабочей атмосфере, и решением, написанным на собеседовании в яндекс.блокнотике с интервьюером на связи и ограничением по времени. Здесь и далее я привожу те решения, которые сообразил на интервью, какими бы ужасными они не были. Можно ли написать лучше? Да, в каждой из задач можно лучше.

Задача 2

Ладно, лоу-левел алгоритмическая муть позади, давайте теперь нормальную задачу, распарсить там что-нибудь или накидать архитектуру высоконагруженного прило…

Дана строка (возможно, пустая), состоящая из букв A-Z: AAAABBBCCXYZDDDDEEEFFFAAAAAABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
Нужно написать функцию RLE, которая на выходе даст строку вида: A4B3C2XYZD4E3F3A6B28
И сгенерирует ошибку, если на вход пришла невалидная строка.
Пояснения: Если символ встречается 1 раз, он остается без изменений; Если символ повторяется более 1 раза, к нему добавляется количество повторений.

Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

Вроде просто: for grouper, items in groupby(string)… А, да, у нас была война. Ничего нет.

def convert(s: str) -> str:
  result: List[str] = []
  last_sym = None  # последний символ, что мы видели
  count = 0  # и сколько мы его видели

  # мы будем идти по строке и записывать в result при смене символа
  for sym in (list(s) + [None]):  # последний None искусственно триггерит посленюю смену символа

      if last_sym and sym != last_sym:  # если случилась смена символа

          if count == 1:
              result.append(last_sym)
          else:
              result.append(last_sym + str(count))

      	  # начнаем запоминать новый символ
          count = 1
          last_sym = sym

      else:  # символ просто повторился
          count += 1  # ну ок, запомнили что символ видели на 1 раз больше

  return ''.join(result)

Не помню точно, но с вероятностью 3 сигма я продолбал граничные условия — это я делать люблю. Помните, тут нельзя ничего запускать, вместо этого тут принято запускать интервьюера, который интерпретирует ваш код прям в голове и говорит какие случаи не работают, чтобы вы могли пропатчить код.

Так, давайте может что-то другое?

Задача 3

Дан список интов, повторяющихся элементов в списке нет. Нужно преобразовать это множество в строку, сворачивая соседние по числовому ряду числа в диапазоны. Примеры:
[1,4,5,2,3,9,8,11,0] => «0-5,8-9,11»
[1,4,3,2] => «1-4»
[1,4] => «1,4»

Так блин, серьёзно? Я наверно очень мутный тип, если две предыдущие задачи не показали мой скилл на этом классе задач.

Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

def repr(group_start, group_end) -> str:
    # это просто правильно печатает группу
    
    if last_group_start == last_group_end:
        return str(last_group_end)

    return f'{last_group_start}-{last_group_end}'


def squeeze(numbers) -> str:
    if not numbers:  # граничный случай
        return ''

    numbers_ = sorted(numbers)  # сначала располагаем по порядку
    groups = []  # тут будем хранить группы

    last_group_start = None
    last_group_end = None

    for n in numbers_:
        # это первая итерация, просто говорим, что группа началась и закончилась
        if last_group_end is None:
            last_group_start = n
            last_group_end = n

        # если предыдущая группа отличается от текущего числа на 1, 
        # то это число входит в группу, то есть становится концом группы
        elif last_group_end == n-1:
            last_group_end = n

        # иначе мы понимаем, что группа закончилась,
        # мы её запоминаем и начинаем новую
        else:
            groups. append(repr(last_group_start, last_group_end))
            last_group_start = n
            last_group_end = n

    else:
        # посленюю группу придётся обработать вручную
        groups.append(repr(last_group_start, last_group_end))

    return ','.join(groups)

На этом интервью закончилось, и я стал ждать вестей от рекрутера.

Через пару часов мне сказали, что всё отлично и меня ждут на следующих интервью — 2 штуки подряд — задачи на написание кода. Так, минуточку, а что было до этого — написание говнокода? Ладно, там видно будет. Уж точно что-то новенькое, следующий этап всё-таки.

Интервью 2

В назначенный час я бахнул кофейку и встретился в зуме с новым рекрутером. Интервью #2 началось.

Задача 4

Я, признаюсь, был готов ко всему, но не к этому:

Дан массив из нулей и единиц. Нужно определить, какой максимальный по длине подинтервал единиц можно получить, удалив ровно один элемент массива.

[1, 1, 0]

Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей. Вот такой ужас у меня вышел:

# пример: [0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0]

def max_ones_length(lst: List[int]) -> int:

    max_ones_length = 0

    # тут мы хотим получить сгруппированные 0 или 1 и их количество:
    subranges = []  # [(0, 2), (1, 2), (0, 1), (1, 2), (0, 1)]
    last_el = None  # последний элемент, который мы просмотрели

    # идём по элементам списка
    for el in lst + [0]:  # [0] - это ручной триггер для обработки последнего элемента

        if last_el != el:  # если произошла смена 0 на 1 или наоборот
            if el == 0:  # если это была смена 1 на 0
              
              	# пример: subranges == [(0, 2), (1, 2), (0, 1), (1, 2)]
                # у нас произошла смена 1 на 0, до смены единица шла 2 раза
                # (см последний элемент subranges) - проверяем, вдруг это
                # максимальная длина
                try:
                    last_ones_length = subranges[-1][1]
                    max_ones_length = max(last_ones_length, max_ones_length)
                except IndexError:
                    pass

                # а может если мы удалим один ноль между элементами 1 и 3,
                # то получится более длинная последовательность единиц?
                try:
                    gap_length = subranges[-2][1]
                    if gap_length == 1:
                        combined_ones_length = subranges[-1][1] + subranges[-3][1]
                        max_ones_length = max(combined_ones_length, max_ones_length)
                except IndexError:
                    pass

            # добавляем новый счётчик последовательности в subranges
            subranges. append((el, 1))

        else:
          	# увеличиваем счётчик последней последовательности на 1
            subranges[-1] = (el, subranges[-1][1]+1])

        last_el = el

    # костыль, граничное условие
    if len(subranges) == 2 and subranges[1][1] == 1:
        return subranges[0][1] - 1

    return max_ones_length

Ну что, Яндекс, ты доволен? Ты доволен?! Кто король алгоритмов?! Я король алгоритмов! Давай, удиви меня…

Задача 5

Даны даты заезда и отъезда каждого гостя. Для каждого гостя дата заезда строго раньше даты отъезда (то есть каждый гость останавливается хотя бы на одну ночь). В пределах одного дня считается, что сначала старые гости выезжают, а затем въезжают новые. Найти максимальное число постояльцев, которые одновременно проживали в гостинице (считаем, что измерение количества постояльцев происходит в конце дня).

sample = [ (1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 3), ]

Отлично, тут уже начинает появляться мир — ну там люди, отели, вдруг даже этот код реально где-то когда-то может пригодиться. Я прям вижу, как с каждой задачей будут появляться дороги, поезда, реки, горы и моря, металл, электричество, сервера и датацентры и блин задачи, которые будут работать в дата-центрах и серверах, ну хоть где-нибудь!

Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

from collections import defaultdict

def max_num_guests(guests: List[tuple]) -> int:

    res = 0

    # для каждого дня посчитаем, сколько приехало и сколько отъехало
    arriving = defaultdict(int)
    leaving = defaultdict(int)

    for guest in guests:  # O(n)
        arriving[guest[0]] += 1
        leaving[guest[1]] += 1

    current = 0
    # едем по дням в порядке увеличения, добавлем приехавших и убавляем уехавших,
    # считаем сколько стало
    for day in sorted(set(arriving.keys()).union(set(leaving.keys()))):  # O(n*log(n)) + O(n)
        current -= leaving[day]
        current += arriving[day]

        if current > res:
            res = current

    return res

Не без подсказки интервьюера, но я написал это, и теперь менеджер, наверно, может эффективно узнать важную инфу. Круто. Пора прыгать на следующее собеседование (да, они шли одно за другим).

Интервью 3

Новый интервьюер; можно наблюдателя; можно писать заметки; да, я знаю, как работает ваш яндекс.блокнот лучше вас уже, давайте наконец

Задача 6

Sample Input [«eat», «tea», «tan», «ate», «nat», «bat»]
Sample Output [ [«ate», «eat», «tea»], [«nat», «tan»], [«bat»] ]

Т.е. сгруппировать слова по «общим буквам».

Смутное чувство дежавю посетило меня… Нет, показалось наверно. Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

Эта задача простая, наверно хотят удостовериться, что пока я разруливал дела в отеле, я не забыл, как пользоваться словарём. Не лишено смысла! Давайте накидаем что-нибудь простое.

def group_words(words: List[str]) -> List[List[str]]:

    groups = defaultdict(list)

    for word in words:  # O(n)
        key = sorted(word)
        groups[key].append(word)

    return [sorted(words) for words in groups.values()]  # O(n*log(n))

Тут меня спросили «а какая сложность у сортировки», и я воспользовался лайфхаком. Дело в том, что все собеседования проводятся разными людьми, и они вообще не знают ваш контекст — например, о чём я говорил в предыдущих сериях и, например, кхм, сколько алгоритмических задач я прорешал до этого. На прошлом собеседовании меня спросили, какая сложность у сортировки, я не знал и мне сказали — и на этом собеседовании я уже ответил.

Задача 7

Слияние отрезков:

Вход: [1, 3] [100, 200] [2, 4]
Выход: [1, 4] [100, 200]

Честно говоря, где-то тут мне уже стало плевать на собеседование, Яндекс и все эти алгоритмы, и в реале я бы уже просто послал всех в /dev/null, но мне хотелось знать, что в конце всего этого, ведь конец должен быть? Будет задача, где я завалюсь, и это кончится. Что-то вроде эвтаназии, но в интервью.

Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

def merge(ranges: List[Tuple[int, int]]) -> List[Tuple[int, int]]:

    if not ranges:
        return []

    result_ranges = []
    last_range = None  # последний отрезок, что мы видели

    for rng in sorted(ranges):  # обязательно сортируем

        if not last_range:
            last_range = rng
            continue

        # если начало текущего отрезка меньше конца предыдущего
        if rng[0] <= last_range[1]:
            # расширяем предыдущий отрезок на текущий
            last_range = (last_range[0], max(rng[1], last_range[1])

        # старый отрезок всё, начинаем новый
        else:
            result_ranges. append(last_range)
            last_range = rng

    else:
        # граничный случай для последнего элемента
        result_ranges.append(last_range)

    return result_ranges

Задача 8

Время собеседования подходит к концу, но всё-таки можно ещё поболтать про кодинг и поспрашивать практические вопросы, например по Django или SqlAlchemy:

Дан массив точек с целочисленными координатами (x, y). Определить, существует ли вертикальная прямая, делящая точки на 2 симметричных относительно этой прямой множества. Note: Для удобства точку можно представлять не как массив [x, y], а как объект {x, y}

Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей.

Тут я как всегда пошёл куда-то не туда и написал вот что:

from statistics import mean

def is_vertical_symmetry(points: List[Point]) -> bool:

  	# сначала найдём вертикальную прямую в середине всех точек
    x_center = mean(p.x for p in points)

    # тут будем хранить точки, для которых пока не нашли пары:
    unmatched_points = defaultdict(int)
    
    for point in points:

        if point.x == x_center:  # если точка на прямой, то она сама себе пара
            continue

        # создадим "брата" - точку, которая симметрична текущей относительно вертикальной прямой
        brother = Point(
            x = x_center * 2 - point.x,
            y = point.y,
        )
        
        # если этот брат есть в unmatched_points, то достаём его оттуда и говорим, что текущая точка сматчилась
        if unmatched_points[brother]:
            unmatched_points[brother] -= 1
            
        # иначе добавляем эту точку в не-сматченные
        else:
            unmatched_points[point] += 1

    return not any(unmatched_points.values())

Здесь я прям видел, как интервьюер ожидал что-то другое, а получил меня. Ну бывает. Я тоже, знаете, ожидал собеседование.

Так, третье собеседование пройдено, и эти садисты сказали, что я прошёл дальше. 2) в решениях, так может я у вас посчитаю длину цепочки от кандидата до собственно интервьюера и спрошу «а можно оптимальнее?!«

Итак, началась четвёртое (да, ей-Богу) интервью. Интервьюер спрашивает, на каком языке я буду решать задачки. На йоптаскрипте, разумеется. Кстати, по косвенным признакам я понял, что интервьюер больше в C, чем в питон, и это тоже здорово. Итак: после того как компания решила нанять сеньор питон разраба за 200к и сношала его 3 часа на долбанных задачках, она отправляет на собеседование сишника и спрашивает, на каком языке кандидат будет сношаться с долбанными задачками. Л — логика!

Итак, вот задачка от мини-босса:

Задание 9

Даны две строки.

Написать функцию, которая вернёт True, если из первой строки можно получить вторую, совершив не более 1 изменения (== удаление / замена символа).

Погодите, да это же… Ну ок, хотят проверить знание каких-то базовых вещей. Сссссуууу…пер.

Если вы хотите решить задачу не так, как хотел интервьюер, то смотрите:

def no_more_than_one_change(string1: str, string2: str) -> bool:
  
  	# string1: a b c d
    # string2: a b c

    max_length = max(len(string1), len(string2))  # наибольшая длина строк
    diff = abs(len(string1) - len(string2))  # разница в длине строк

    # дополняем строки до максимальной длины при помощи zip_longest,
    # то есть на место "недостающих" элементов ставим None, и строки
    # теперь одинаковой длины;
    #          ---->
    # string1: a b c d
    # string2: a b c None
    
    # идём слева направо по обеим строкам и сравниваем символы,
    # находим индекс, при котором строки начинают отличаться:
    change_left = None
    for i, (char1, char2) in enumerate(zip_longest(string1, string2)):  # O(n)
        if char1 != char2:
            change_left = i  # в нашем примере будет 3
            break
    else:
        # если мы такой индекс не нашли, то строки просто совпадают
        return True

    # теперь делаем то же, но идём справа налево:
    # string1:    a b c d
    # string2: None a b c
    #               <----
    change_right = None
    for j, (char1, char2) in enumerate(zip_longest(reversed(string1), reversed(string2))):  # O(n)
        if char1 != char2:
            # тут строки прям сразу отличаются, т. ___[range(0,3)=range(0,2)+5=3, range(1,3)=range(1,2)+5=2, range(2,3)=5]

Не угадал, конечно — «а можно чтобы быстрее?». Но тут, к счастью, время вышло, и мой мозг не успел придумать ничего лучше.

>> Сейчас я нахожусь здесь <<

Прелесть ситуации в том, что я ещё не получил фидбек, то есть я кандидат Шрёдингера — я и прошёл (формально я все задачи решил), и не прошёл (== не всё угадал, где-то баги), и суперпозиция сколлапсирует, когда ответ пройдёт через всю цепочку рекрутеров ко мне. А пока я полностью беспристрастен, ведь 1) меня не отшили, то есть это не пост обиженного на компанию человека, и 2) мне плевать на результат, потому что мне и на текущей работе офигенно.

К чему всё это

Вообще это просто так тупо, что забавно, и я не мог с вами не поделиться. Никак не связанные люди тестируют меня на одном и том же типе задач, который максимально оторван от реальности, всё это длится много часов, сложность задач неупорядочена, проверяется всё в голове и никакого фидбека.

Сколько вопросов, блин, можно спросить про http, rest, django orm, sql, python, stdlib, docker, multithreading/multiprocessing/async, да про что угодно — что вы там в лавке делаете? — спросите про похмелье, но зачем 4 часа алгоритмов? Что это показывет — что я устойчив к тупости? Честно говоря, я уже не уверен.

Может кому-то пригодится разбор задачек, ну вдруг вы любитель такого, хотя я уже говорил о качестве решений 🙂

А если вам нужен вывод, то вот несколько, берите любой:

• Тестировать кандидатов нужно на реальных задачах, а не синтетических

• Нужно уважать время кандидатов

• Кто-то в яндексе пересмотрел «день сурка»

• Знаете, когда целое не равно сумме частей? Вот тут так же: люди тебя собеседуют хорошие и встречи приятные, а в целом всё гавно.

• Открыто новое достижение: ругательство «да пошёл ты в яндекс!»

• Большие компании ай-яй-яй

• Какой-то чувак написал смешную статью

И да, если вы ищете работу на питоне — залетайте к нам. У нас не Яндекс.

Wolfram | Alpha Примеры: Алгебра

Другие примеры

Решите уравнения с одной или несколькими переменными как символьно, так и численно.

Решите полиномиальное уравнение:

Решите систему линейных уравнений:

Решите уравнение с параметрами:

Другие примеры

Другие примеры

Решайте, строите и находите альтернативные формы полиномиальных выражений от одной или нескольких переменных.

Вычислить свойства многочлена от нескольких переменных:

Другие примеры

Другие примеры

Вычислить разрывы и другие свойства рациональных функций.

Вычислить свойства рациональной функции:

Вычислить частичное разложение дроби:

Другие примеры

Другие примеры

Упростите алгебраические функции и выражения.

Другие примеры

Другие примеры

Находите свойства и выполняйте вычисления с матрицами.

Выполните базовую арифметику с матрицами:

Вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы:

Другие примеры

Другие примеры

Выполните вычисления в кватернионной системе счисления.

Получите информацию о кватернионе:

Проведите расчеты с кватернионами:

Другие примеры

Другие примеры

Откройте для себя свойства групп, содержащих конечное число элементов.

Получите информацию о конечной группе:

Спросите о собственности группы:

Сделайте алгебру с перестановками:

Другие примеры

Другие примеры

Откройте для себя свойства полей, содержащих конечное число элементов.

Вычислить свойства конечного поля:

Вычислить конкретное свойство:

Другие примеры

Другие примеры

Найдите область и диапазон математических функций.

Вычислить область определения функции:

Вычислить диапазон функции:

Другие примеры

Решение, какой метод использовать при решении квадратных уравнений

При решении квадратного уравнения выполните следующие действия. (в таком порядке) выбрать метод:

1. Сначала попробуйте решить уравнение факторингом.Быть уверенным что ваше уравнение имеет стандартную форму (ax ² + bx + c = 0) до того, как вы начать попытку факторинга. Не тратьте много времени на попытки фактор вашего уравнения; если вы не можете учесть его менее чем за 60 секунд, перейти к другому методу.
2. Затем посмотрите на сторону уравнения, содержащую переменную. Эта сторона — идеальный квадрат? Если это так, то вы можете решить уравнение извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения.Не забывай чтобы включить знак ± в уравнение как только вы извлечете квадратный корень.
3. Далее, если коэффициент при квадрате члена равен 1 и коэффициент линейного (среднего) члена четный, завершая квадрат это хороший метод для использования.
4. Наконец, квадратичная формула будет работать на любом квадратичном уравнение. Однако, если использование формулы приводит к слишком большим числа под знаком радикала, другой метод решения может быть лучше выбор.

Пример 1: Решить x ² + 4 = 4x

Во-первых, представьте уравнение в стандартной форме, чтобы мы могли попробуйте решить это факторингом:

х ² — 4х + 4 = 0

(х — 2) (х — 2) = 0

x — 2 = 0 | х — 2 = 0

x = 2 | х = 2

Итак, решение этого уравнения, найденное путем факторизации, это x = 2.

Пример 2: Решить (2x — 2) ² = -4

Сторона уравнения, содержащая переменную ( левая сторона) представляет собой идеальный квадрат, поэтому мы извлечем квадратный корень из обеих сторон для решения уравнения.

(2х — 2) ² = -4

2x — 2 = ± 2i

2x = 2 ± 2i

х = 1 ± я

Обратите внимание, что знак ± был вставлен в уравнение в точке извлечения квадратного корня.

Пример 3: Решить x ² + 6x — 11 = 0

Это уравнение не факторизуемо, и сторона, содержащая переменная не является точным квадратом. Но поскольку коэффициент x ² равно 1, а коэффициент при x четный, завершая квадрат будет подходящим методом. Чтобы найти номер, который нужно быть добавленным к обеим частям уравнения, чтобы получить квадрат, возьмите коэффициент при x, разделите его на 2, а затем возведите это число в квадрат.В в этой задаче 6 ¸ 2 равно 3, и 3 ² равно 9, поэтому мы добавим 9 к обеим частям уравнения, как только мы изолировали переменные условия.

х ² + 6х — 11 = 0

х ² + 6х = 11

x ² + 6x +9 = 11 + 9

(х + 3) ² = 20

Пример 4: Решить 2x ² — x + 5 = 0

Это уравнение не факторизуемо, левая часть не учитывается. полный квадрат, а коэффициенты при x ² и x членах не сделает завершение квадрата удобным.Остается квадратичный формула как лучший метод решения этого уравнения. Мы будем использовать a = 2, b = -1, и c = 5.

Извлечение квадратного корня

Извлечение квадратного корня

Напомним, что квадратное уравнение имеет стандартную форму Любое квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0, где a , b и c — действительные числа и a 0. если он равен 0:

, где a , b и c — действительные числа и a 0.Решение такого уравнения называется корневым решением квадратного уравнения в стандартной форме. Квадратные уравнения могут иметь два действительных решения, одно действительное решение или не иметь реального решения. Если квадратное выражение слева множители, то мы можем решить его путем факторизации. Обзор шагов, используемых для решения с помощью факторинга, следующий:

Шаг 1: Выразите квадратное уравнение в стандартной форме.

Шаг 2: Разложите квадратное выражение на множители.

Шаг 3: Примените свойство нулевого произведения и установите каждый переменный коэффициент равным 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения.

Например, мы можем решить x2−4 = 0, разложив на множители следующим образом:

Двумя решениями являются −2 и 2. Цель этого раздела — разработать альтернативный метод, который можно использовать для простого решения уравнений, где b = 0, давая форму

Уравнение x2−4 = 0 находится в этой форме и может быть решено путем выделения x2 вначале.

Если извлечь квадратный корень из обеих частей этого уравнения, мы получим следующее:

Здесь мы видим, что x = −2 и x = 2 являются решениями полученного уравнения. В общем, это описывает свойство квадратного корня для любого действительного числа k , если x2 = k, то x = ± k .; для любого действительного числа к ,

Обозначение «±» читается как «плюс или минус» и используется как компактное обозначение, обозначающее два решения.Следовательно, утверждение x = ± k указывает, что x = −k или x = k. Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения называется извлечением корней Применение свойства квадратного корня как средства решения квадратного уравнения.

Пример 1: Решить: x2−25 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем примените свойство квадратного корня.

Ответ: Решения — 5 и 5.Чек предоставляется читателю.

Конечно, предыдущий пример можно было бы так же легко решить с помощью факторинга. Тем не менее, он демонстрирует метод, который можно использовать для решения уравнений в этой форме, которые не учитывают факторы.

Пример 2: Решить: x2−5 = 0.

Решение: Обратите внимание, что квадратное выражение слева не множится. Мы можем извлечь корни, если сначала выделим главный член x2.

Примените свойство квадратного корня.

Для полноты проверьте, что эти два действительных решения решают исходное квадратное уравнение. Как правило, проверка не является обязательной.

Ответ: Решения — 5 и 5.

Пример 3: Решить: 4×2-45 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

Примените свойство квадратного корня, а затем упростите.

Ответ: Решения — 352 и 352.

Иногда квадратные уравнения не имеют реального решения.

Пример 4: Решить: x2 + 9 = 0.

Решение: Начните с изоляции x2.

После применения свойства квадратного корня у нас остается квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, у этого уравнения нет реального решения.

Ответ: Реального решения нет

Обратитесь к этому процессу, чтобы найти уравнения с заданными решениями вида ± k .

Пример 5: Найдите уравнение с решениями −23 и 23.

Решение: Начните с возведения в квадрат обеих частей следующего уравнения:

Наконец, вычтите 12 из обеих частей и представьте уравнение в стандартной форме.

Ответ: x2−12 = 0

Попробуй! Решить: 9×2−8 = 0.

Ответ: x = −223 или x = 223

Рассмотрите возможность решения следующего уравнения:

Чтобы решить это уравнение путем факторизации, сначала возведите в квадрат x + 2, а затем представьте его в стандартной форме, равной нулю, путем вычитания 25 из обеих частей.

Фактор, а затем примените свойство нулевого продукта.

Два решения: −7 и 3.

Когда уравнение имеет такую ​​форму, мы можем получить решения за меньшее количество шагов, извлекая корни.

Пример 6: Решите: (x + 2) 2 = 25.

Решение: Решите, извлекая корни.

На этом этапе разделите «плюс или минус» на два уравнения и упростите каждое по отдельности.

Ответ: Решения −7 и 3.

В дополнение к меньшему количеству шагов этот метод позволяет нам решать уравнения, которые не учитывают множители.

Пример 7: Решите: (3x + 3) 2−27 = 0.

Решение: Начните с выделения квадрата.

Затем извлеките корни и упростите.

Решите относительно x .

Ответ: Решения: −1−3 и −1 + 3.

Пример 8: Решить: 9 (2x − 1) 2−8 = 0.

Решение: Начните с выделения квадратного множителя.

Примените свойство квадратного корня и решите.

Ответ: Решения 3−226 и 3 + 226.

Попробуй! Решите: 3 (x − 5) 2−2 = 0.

Ответ: 15 ± 63

Пример 9: Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

Раствор:

Диагональ любого прямоугольника образует два прямоугольных треугольника. Таким образом, применима теорема Пифагора. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы:

Решить.

Здесь мы получаем два решения, w = −25 и w = 25. Поскольку в задаче требовалась длина прямоугольника, мы игнорируем отрицательный ответ. Кроме того, мы рационализируем знаменатель и представим наши решения без каких-либо радикалов в знаменателе.

Обратно подставить, чтобы найти длину.

Ответ: Длина прямоугольника составляет 455 футов, а ширина — 255 футов.

Основные выводы

• Решите уравнения вида ax2 + c = 0, извлекая корни.
• Извлечение корней включает выделение квадрата и последующее применение свойства квадратного корня. После применения свойства квадратного корня у вас есть два линейных уравнения, каждое из которых можно решить. Обязательно упростите все радикальные выражения и при необходимости рационализируйте знаменатель.

Тематические упражнения

Часть A: извлечение квадратного корня

Решите с помощью факторизации, а затем извлеките корни.Проверить ответы.

1. x2−36 = 0

2. x2−81 = 0

3. 4y2−9 = 0

4. 9y2−25 = 0

5. (x − 2) 2−1 = 0

6. (x + 1) 2−4 = 0

7. 4 (y − 2) 2−9 = 0

8. 9 (y + 1) 2−4 = 0

9. −3 (t − 1) 2 + 12 = 0

10. −2 (t + 1) 2 + 8 = 0

11. (x − 5) 2−25 = 0

12. (x + 2) 2−4 = 0

Решите, извлекая корни.

13. x2 = 16

14. x2 = 1

15. y2 = 9

16. y2 = 64

17. x2 = 14

18. x2 = 19

19. y2 = 0,25

20. y2 = 0,04

21. x2 = 12

22. x2 = 18

23. 16×2 = 9

24. 4×2 = 25

25. 2t2 = 1

26.3t2 = 2

27. x2−100 = 0

28. x2−121 = 0

29. y2 + 4 = 0

30. y2 + 1 = 0

31. x2−49 = 0

32. x2−925 = 0

33. y2−0.09 = 0

34. y2−0,81 = 0

35. x2−7 = 0

36. x2−2 = 0

37. x2−8 = 0

38. t2−18 = 0

39. х2 + 8 = 0

40.х2 + 125 = 0

41. 16×2−27 = 0

42. 9×2-8 = 0

43. 2y2−3 = 0

44. 5y2−2 = 0

45. 3×2−1 = 0

46. 6×2−3 = 0

47. (x + 7) 2−4 = 0

48. (x + 9) 2−36 = 0

49. (2y − 3) 2-81 = 0

50. (2у + 1) 2−25 = 0

51. (x − 5) 2−20 = 0

52. (x + 1) 2−28 = 0

53.(3t + 2) 2−6 = 0

54. (3т − 5) 2−10 = 0

55,4 (у + 2) 2−3 = 0

56. 9 (y − 7) 2−5 = 0

57,4 (3x + 1) 2−27 = 0

58. 9 (2x − 3) 2−8 = 0

59. 2 (3x − 1) 2 + 3 = 0

60,5 (2x − 1) 2−3 = 0

61,3 (y − 23) 2−32 = 0

62. 2 (3y − 13) 2−52 = 0

Найдите квадратное уравнение стандартной формы со следующими решениями.

63. ± 7

64. ± 13

65. ± 7

66. ± 3

67. ± 35

68. ± 52

69. 1 ± 2

70,2 ± 3

Решите и округлите решения до ближайшей сотой.

71. 9x (x + 2) = 18x + 1

72. x2 = 10 (x2−2) −5

73. (x + 3) (x − 7) = 11−4x

74.(x − 4) (x − 3) = 66−7x

75. (x − 2) 2 = 67−4x

76. (x + 3) 2 = 6x + 59

77. (2x + 1) (x + 3) — (x + 7) = (x + 3) 2

78. (3x − 1) (x + 4) = 2x (x + 6) — (x − 3)

Составьте алгебраическое уравнение и используйте его для решения следующих задач.

79. Если 9 вычесть из четырех квадратов числа, то результат будет 3. Найдите число.

80. Если из квадрата числа вычесть 20, то получится 4.Найдите номер.

81. Если 1 прибавить к троекратному квадрату числа, то получится 2. Найдите число.

82. Если 3 прибавить к двукратному квадрату числа, то получится 12. Найдите число.

83. Если квадрат имеет площадь 8 квадратных сантиметров, найдите длину каждой стороны.

84. Если круг имеет площадь 32π квадратных сантиметра, найдите длину радиуса.

85.Объем правого кругового конуса составляет 36π кубических сантиметров при высоте 6 сантиметров. Найдите радиус конуса. (Объем правого кругового конуса равен V = 13πr2h.)

86. Площадь поверхности сферы составляет 75π квадратных сантиметров. Найдите радиус сферы. (Площадь поверхности сферы определяется как SA = 4πr2.)

87. Длина прямоугольника в 6 раз больше его ширины. Если площадь составляет 96 квадратных дюймов, найдите размеры прямоугольника.

88. Основание треугольника вдвое больше его высоты. Если площадь составляет 16 квадратных сантиметров, то найдите длину его основания.

89. Квадрат имеет площадь 36 квадратных единиц. На какую равную величину необходимо увеличить стороны, чтобы получить квадрат с удвоенной заданной площадью?

90. Круг имеет площадь 25π квадратных единиц. На какую величину нужно увеличить радиус, чтобы создать круг с удвоенной заданной площадью?

91.Если стороны квадрата равны 1 единице, то найдите длину диагонали.

92. Если стороны квадрата равны 2 единицам, найдите длину диагонали.

93. Диагональ квадрата составляет 5 дюймов. Найдите длину каждой стороны.

94. Диагональ квадрата составляет 3 дюйма. Найдите длину каждой стороны.

95. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 10 футов, найдите размеры прямоугольника.

96. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ составляет 8 футов, найдите размеры прямоугольника.

97. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ 5 метров, то найдите размеры прямоугольника.

98. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если диагональ составляет 2 фута, найдите размеры прямоугольника.

99. Высота в футах объекта, падающего с 9-футовой лестницы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 9, где t представляет время в секундах после падения объекта.Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Подсказка: когда объект ударяется о землю, высота равна 0.)

100. Высота в футах объекта, сброшенного с 20-футовой платформы, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 20, где t представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю?

101. Высота в футах объекта, падающего с вершины 144-футового здания, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 144, где t измеряется в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы достичь половины расстояния до земли, 72 фута?

г. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлите до сотых долей секунды.

102. Высота в футах объекта, сброшенного с самолета на высоте 1600 футов, определяется выражением h (t) = — 16t2 + 1,600, где t — в секундах.

а. Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли на половину расстояния?

г.Сколько времени потребуется, чтобы добраться до земли?

Округлить до сотых долей секунды .

Часть B: Обсуждение

103. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корень. Поделитесь им вместе с решением на доске обсуждений.

104. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.

105. Объясните своими словами, как решить, извлекая корни.

106. Выведите формулу диагонали квадрата через его стороны.

ответы

1: −6, 6

3: −3/2, 3/2

5: 1, 3

7: 1/2, 7/2

9: -1, 3

11: 0, 10

13: ± 4

15: ± 3

17: ± 1/2

19: ± 0.5

21: ± 23

23: ± 3/4

25: ± 22

27: ± 10

29: Реального решения нет

31: ± 2/3

33: ± 0,3

35: ± 7

37: ± 22

39: Реального решения нет

41: ± 334

43: ± 62

45: ± 33

47: −9, −5

49: −3, 6

51: 5 ± 25

53: −2 ± 63

55: −4 ± 32

57: -2 ± 336

59: Реального решения нет

61: 4 ± 326

63: x2−49 = 0

65: x2−7 = 0

67: x2-45 = 0

69: x2−2x − 1 = 0

71: ± 0.33

73: ± 5,66

75: ± 7,94

77: ± 3.61

79: −3 или 3

81: −33 или 33

83:22 сантиметра

85:32 сантиметра

87: Длина: 24 дюйма; ширина: 4 дюйма

89: −6 + 62≈2,49 ед.

91: 2 шт.

93: 522 дюйма

95: Длина: 45 футов; ширина: 25 футов

97: Длина: 3102 метра; ширина: 102 метра

99: 3/4 секунды

101: а.2,12 секунды; б. 0,88 секунды

Решите квадратные уравнения по квадратичной формуле — элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите квадратные уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения
• Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество решений квадратного уравнения
• Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Упростить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. Упростить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Упростить:.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой, чтобы найти решение проблемы. квадратное уровненеие.

Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы проделали алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Возможно, будет полезно взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение формы, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, поэтому вы видите их как с числами, так и со словом «в целом».’

Последнее уравнение — квадратичная формула.

Квадратичная формула

Решения квадратного уравнения вида даются формулой:

Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем все математические вычисления, чтобы упростить выражение. Результат дает решение (я) квадратного уравнения.

Как решить квадратное уравнение с помощью квадратной формулы

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы быстро запомните ее. И помните, квадратная формула — это уравнение. Обязательно начинайте с «».

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы. Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

Решите, используя дискриминант.

Решение

Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти переменную в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли оно « x ».

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем, и в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения.Мы увидим это в следующем примере.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Все квадратные уравнения, которые мы решили до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме,. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей. Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Подумайте об уравнении. Мы знаем из принципа нулевого произведения, что это уравнение имеет только одно решение:.

В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.

Решите, используя дискриминант.

Решение

Вы узнали, что это идеальный квадрат?

Решите, используя дискриминант.

Решите, используя дискриминант.

Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения

Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда нет реальных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?

Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений.Эта величина называется дискриминантом.

Дискриминант

В квадратичной формуле величина называется дискриминантом.

Давайте посмотрим на дискриминант уравнений на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), а также на количество решений этих квадратных уравнений.

Когда дискриминант положителен , квадратное уравнение имеет два решения .

Когда дискриминант равен нулю , квадратное уравнение имеет одно решение .

Когда дискриминант отрицательный , квадратное уравнение не имеет реальных решений .

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒⓓ

ⓐ нет реальных решений ⓑ 2 ⓒ 1 ⓓ нет реальных решений

Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒⓓ

ⓐ 2 ⓑ нет реальных решений ⓒ 1 ⓓ 2

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

Мы использовали четыре метода для решения квадратных уравнений:

• Факторинг
• Свойство квадратного корня
• Завершение квадрата
• Квадратичная формула

Вы можете решить любое квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы, но это не всегда самый простой метод.

Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.

1. Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
2. Далее попробуйте применить свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или, его можно легко решить с помощью свойства квадратного корня.
3. Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.

А как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его.Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

Решение

ⓐ

Поскольку уравнение находится в, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.

ⓑ

Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.

ⓒ

Приведите уравнение в стандартную форму.

В то время как наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

коэффициент ⓑ Свойство квадратного корня ⓒ Квадратичная формула

Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

ⓐⓑⓒ

ⓐ Квадратичная формула ⓑ факторинг ⓒ Свойство квадратного корня

Практика ведет к совершенству

Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.

ⓐ нет реальных решений ⓑ 1
ⓒ 2 ⓓ нет реальных решений

ⓐ 1 ⓑ нет реальных решений
ⓒ 1 ⓓ 2

Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения. Не решайте.

коэффициент ⓑ квадратный корень
ⓒ Квадратичная формула

коэффициент ⓑ квадратный корень
коэффициент

Повседневная математика

Ракета запускается прямо с корабля в море.Решите уравнение для количества секунд, в течение которых ракета будет находиться на высоте 640 футов.

Архитектор проектирует холл гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше высоты. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение для высоты окна.

Письменные упражнения

Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

ⓐⓑ
ⓒ ответы будут отличаться

Решите уравнение
ⓐ, заполнив квадрат
ⓑ с помощью квадратичной формулы
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Глоссарий

дискриминант

В квадратной формуле величина называется дискриминантом.

Посторонние решения

An посторонний раствор является корнем преобразованного уравнения, который не является корнем исходного уравнения, потому что он был исключен из домен исходного уравнения.

Пример 1:

Решить для Икс , 1 Икс — 2 + 1 Икс + 2 знак равно 4 ( Икс — 2 ) ( Икс + 2 ) .

1 Икс — 2 + 1 Икс + 2 знак равно 4 ( Икс — 2 ) ( Икс + 2 )

( Икс — 2 ) ( Икс + 2 ) ( Икс — 2 ) + ( Икс — 2 ) ( Икс + 2 ) ( Икс + 2 ) знак равно 4 ( Икс — 2 ) ( Икс + 2 ) ( Икс — 2 ) ( Икс + 2 )

( Икс — 2 ) + ( Икс + 2 ) знак равно 4

2 Икс знак равно 4

Икс знак равно 2

Но 2 исключен из области определения исходного уравнения, потому что это сделало бы в знаменатель одной из дробей ноль — и деление на ноль недопустимо! .Следовательно, он не может быть корнем исходного уравнения. Так, 2 является посторонний раствор. Итак, уравнение не имеет решений.

Пример 2:

Решить для Икс , Икс + 4 знак равно Икс — 2

Икс + 4 знак равно Икс — 2

( Икс + 4 ) 2 знак равно ( Икс — 2 ) 2

Икс + 4 знак равно Икс 2 — 4 Икс + 4

0 знак равно Икс 2 — 5 Икс

0 знак равно Икс ( Икс — 5 )

Икс знак равно 0 или же Икс знак равно 5

Проверьте свои решения в исходном уравнении.

Позволять Икс знак равно 5 .

5 + 4 знак равно ? 5 — 2

3 знак равно 3

Так, 5 это решение. {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до сотых долей секунды.)

Ответ

1. \ (\ pm 9 \)

3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)

5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)

7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)

9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)

11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)

13. \ (\ pm i \)

15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)

19.\ (\ pm 2 i \)

21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)

23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)

27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)

29. \ (- 9, -5 \)

31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)

33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)

35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)

37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)

39.{2} = 3 (3 т + 1) \)

\ ((3 t + 2) (t-4) — (t-8) = 1-10 t \)

Ответ

1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)

3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)

7. \ (- 15,5 \)

9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)

11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

13.