Решите уравнение sin(x)^(2)=1/2 (синус от (х) в степени (2) равно 1 делить на 2)
Дано уравнение$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = — \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 2*sin(x)^2+sin(x)-1>=0 (2 умножить на синус от (х) в квадрате плюс синус от (х) минус 1 больше или равно 0)
Дано неравенство:$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
преобразуем
$$\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- - -- 2 10
=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 \geq 0$$
2/ pi 1 \ / pi 1 \ 2*sin |- -- - --| + sin|- -- - --| - 1 >= 0 \ 2 10/ \ 2 10/
2 -1 - cos(1/10) + 2*cos (1/10) >= 0
но
2 -1 - cos(1/10) + 2*cos (1/10)
Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$_____ _____ / \ / \ -------•-------•-------•-------•------- x1 x2 x3 x4
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \frac{3 \pi}{2}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)+2*sin(x)^2>1 (синус от (х) плюс 2 умножить на синус от (х) в квадрате больше 1)
Дано неравенство:$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- - -- 2 10
=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} > 1$$
/ pi 1 \ 2/ pi 1 \ sin|- -- - --| + 2*sin |- -- - --| > 1 \ 2 10/ \ 2 10/
2 -cos(1/10) + 2*cos (1/10) > 1
Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x
_____ _____ / \ / \ -------ο-------ο-------ο-------ο------- x1 x2 x3 x4
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x $$x > \frac{5 \pi}{6} \wedge x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите уравнение 2*sin(x)*cos(x)=1/2 (2 умножить на синус от (х) умножить на косинус от (х) равно 1 делить на 2)
Найду корень уравнения: 2*sin(x)*cos(x)=1/2
Решение
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Подробное решение[LaTeX]
Дано уравнение
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (2 x \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left (2 x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
[LaTeX]
/ ___________\ | ___ / ___ | x1 = 2*atan\-2 + \/ 3 + 2*\/ 2 - \/ 3 /
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$
/ ___________\ | ___ / ___ | x2 = -2*atan\2 - \/ 3 + 2*\/ 2 - \/ 3 /
$$x_{2} = — 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$
/ ___________\ | ___ / ___ | x3 = -2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /
$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$
/ ___________\ | ___ / ___ | x4 = -2*atan\2 + \/ 3 - 2*\/ 2 + \/ 3 /
$$x_{4} = — 2 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$
Численный ответ[LaTeX]
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 2*sin(x)^2-3*sin(x)+1>0 (2 умножить на синус от (х) в квадрате минус 3 умножить на синус от (х) плюс 1 больше 0)
Дано неравенство:$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
2/pi 1 \ /pi 1 \ 2*sin |-- - --| - 3*sin|-- - --| + 1 > 0 \6 10/ \6 10/
/1 pi\ 2/1 pi\ 1 - 3*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| > 0 \10 3 / \10 3 /
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____ \ / \ -------ο-------ο-------ο------- x1 x2 x3
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\pi}{2} \wedge x
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)*1/2>-1/2 (синус от (х) умножить на 1 делить на 2 больше минус 1 делить на 2)
Дано неравенство:$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} > — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Разделим обе части ур-ния на 1/2
Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = -1$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- + 2*pi*n - -- 2 10
=
$$2 \pi n — \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} > — \frac{1}{2}$$
/ pi 1 \ sin|- -- + 2*pi*n - --| \ 2 10/ ----------------------- > -1/2 2
-cos(-1/10 + 2*pi*n) --------------------- > -1/2 2
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____ \ / -------ο-------ο------- x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство sin(x)^2
Дано неравенство:$$\sin^{2}{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = — \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
pi 1 - -- - -- 4 10
=
$$- \frac{\pi}{4} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
2/ pi 1 \ sin |- -- - --|2/1 pi\ sin |-- + --|
но2/1 pi\ sin |-- + --| >= 1/2 \10 4 /
Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$_____ _____ / \ / \ -------•-------•-------•-------•------- x1 x2 x3 x4
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{4}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru