2 синус x 1 – Решите уравнение sin(x)=-1/2 (синус от (х) равно минус 1 делить на 2)

Решите уравнение sin(x)^(2)=1/2 (синус от (х) в степени (2) равно 1 делить на 2)

Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = — \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 2*sin(x)^2+sin(x)-1>=0 (2 умножить на синус от (х) в квадрате плюс синус от (х) минус 1 больше или равно 0)

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 \geq 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
преобразуем
$$\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
  pi   1 
- -- - --
  2    10

=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 \geq 0$$
     2/  pi   1 \      /  pi   1 \         
2*sin |- -- - --| + sin|- -- - --| - 1 >= 0
      \  2    10/      \  2    10/         
                      2           
-1 - cos(1/10) + 2*cos (1/10) >= 0
     

но
                      2          
-1 - cos(1/10) + 2*cos (1/10) 
Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{2}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\pi}{2} \wedge x \leq \frac{\pi}{6}$$
$$x \geq \frac{5 \pi}{6} \wedge x \leq \frac{3 \pi}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство sin(x)+2*sin(x)^2>1 (синус от (х) плюс 2 умножить на синус от (х) в квадрате больше 1)

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} > 1$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = 1$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} = 1$$
преобразуем
$$\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(1)^2 - 4 * (2) * (-1) = 9

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
  pi   1 
- -- - --
  2    10

=
$$- \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} > 1$$
   /  pi   1 \        2/  pi   1 \    
sin|- -- - --| + 2*sin |- -- - --| > 1
   \  2    10/         \  2    10/    
                  2          
-cos(1/10) + 2*cos (1/10) > 1
    

Тогда
$$x не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > — \frac{\pi}{2} \wedge x $$x > \frac{5 \pi}{6} \wedge x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите уравнение 2*sin(x)*cos(x)=1/2 (2 умножить на синус от (х) умножить на косинус от (х) равно 1 делить на 2)

Найду корень уравнения: 2*sin(x)*cos(x)=1/2

Решение

$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$

Подробное решение

[LaTeX]

Дано уравнение
$$2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$\sin{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
$$\sin{\left (2 x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (2 x \right )}$$
Переносим свободные слагаемые (без w)
из левой части в правую, получим:
$$w = \frac{1}{2}$$
Получим ответ: w = 1/2
делаем обратную замену
$$\sin{\left (2 x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (2 x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$2 x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$

$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{1}{2} \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$

Быстрый ответ

[LaTeX]

           /                  ___________\
           |       ___       /       ___ |
x1 = 2*atan\-2 + \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /

$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left (-2 + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} \right )}$$

            /                 ___________\
            |      ___       /       ___ |
x2 = -2*atan\2 - \/ 3  + 2*\/  2 - \/ 3  /

$$x_{2} = — 2 \operatorname{atan}{\left (- \sqrt{3} + 2 \sqrt{- \sqrt{3} + 2} + 2 \right )}$$

            /                 ___________\
            |      ___       /       ___ |
x3 = -2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /

$$x_{3} = — 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right )}$$

            /                 ___________\
            |      ___       /       ___ |
x4 = -2*atan\2 + \/ 3  - 2*\/  2 + \/ 3  /

$$x_{4} = — 2 \operatorname{atan}{\left (- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right )}$$

Численный ответ

[LaTeX]

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство 2*sin(x)^2-3*sin(x)+1>0 (2 умножить на синус от (х) в квадрате минус 3 умножить на синус от (х) плюс 1 больше 0)

Дано неравенство:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
преобразуем
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (1 \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \pi}{6}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
подставляем в выражение
$$2 \sin^{2}{\left (x \right )} — 3 \sin{\left (x \right )} + 1 > 0$$
     2/pi   1 \        /pi   1 \        
2*sin |-- - --| - 3*sin|-- - --| + 1 > 0
      \6    10/        \6    10/        
         /1    pi\        2/1    pi\    
1 - 3*cos|-- + --| + 2*cos |-- + --| > 0
         \10   3 /         \10   3 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\pi}{2} \wedge x

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство sin(x)*1/2>-1/2 (синус от (х) умножить на 1 делить на 2 больше минус 1 делить на 2)

Дано неравенство:
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} > — \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} = — \frac{1}{2}$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Разделим обе части ур-ния на 1/2

Ур-ние превратится в
$$\sin{\left (x \right )} = -1$$
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (-1 \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (-1 \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
, где n — любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
  pi            1 
- -- + 2*pi*n - --
  2             10

=
$$2 \pi n — \frac{\pi}{2} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} > — \frac{1}{2}$$
   /  pi            1 \       
sin|- -- + 2*pi*n - --|       
   \  2             10/       
----------------------- > -1/2
           2                  
-cos(-1/10 + 2*pi*n)        
--------------------- > -1/2
          2                 

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > 2 \pi n + \frac{3 \pi}{2}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Решите неравенство sin(x)^2

Дано неравенство:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} = \frac{1}{2}$$
преобразуем
$$- \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$\sin^{2}{\left (x \right )} — \frac{1}{2} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = — \frac{1}{2}$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (1) * (-1/2) = 2

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
  pi   1 
- -- - --
  4    10

=
$$- \frac{\pi}{4} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\sin^{2}{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$
   2/  pi   1 \       
sin |- -- - --| 
   2/1    pi\       
sin |-- + --| 
но
   2/1    pi\       
sin |-- + --| >= 1/2
    \10   4 /       

Тогда
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \geq - \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{4}$$

www.kontrolnaya-rabota.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о