Линейные уравнения – примеры с объяснением (7 класс, математика)

Линейные уравнения это первый шаг на пути изучения огромного количества самых разных уравнений. Именно в этой теме ученики усваивают важнейшие приемы решения. Чтобы не упустить ни одну из мелочей курса математики 6 класса, разберемся в вопросе подробнее.

Что такое уравнение?

В общем случае, уравнением называется тождество с одной неизвестной.

Тождеством зовется равенство. То есть уравнение это два равных между собой выражения, одно из которых или оба содержат неизвестное. Важным является условие присутствия только одной неизвестной в одном уравнении.

Можно написать уравнение с двумя и большим количеством переменных, но такое выражение решить не получится. Запомните, даже в системах уравнений, количество переменных должно равняться количеству уравнений. Например, система:

х+3=2

у+х=3

Z+у=4 – имеет решение. А вот уравнение:

Х+у=12 – однозначных решений не имеет. Почему?

Решением называется строго определенные числа, которые удовлетворяю требованиям равенства. То есть:

Х+3=5

Неизвестная имеет только одно решение. В уравнении х+у=12 – решений бесконечно много. Число х может быть любым, как только мы выберем и подставим любое число, изменится в соответствии с нашим выбором и у. Поэтому и говорят, что у такого уравнения нет определенных решений.

Виды уравнений

Выделяют следующие виды уравнений:

Выделяют так же системы уравнений, где несколько тождеств имеют одинаковые значения переменных. В таких уравнениях часто используют способ подстановки, заменяя одну переменную другой.

Способы решения линейного уравнения

Любое уравнение можно решить двумя способами:

• Аналитическим, то есть с помощью математических вычислений. Этот способ хорош своей точностью
• Графическим, то есть с помощью построения на графике. Этот способ хорош возможностью использования практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда найти корень с помощью вычислений невозможно.

Рассмотрим каждый из способов.

Графический способ

Для понимания графического способа нужно вспомнить, что такое функция. Функция это зависимость одной переменной от другой. Выражение, которое мы записали в начале: х+у=12 – как раз является функцией. Перенесем х в левую сторону выражения и запишем функцию в классическом виде.

у=12-х – функция имеет форму линии, откуда и название функции и соответствующего ей уравнения. Значение корня любого уравнения это одна или несколько точек на графике функции. Точки эти задаются пересечением с графиком другой функции.

Например, уравнение х+7=13 можно разбить на две функции:

у=х+7

у=13 – в первом случае это прямая линия. Во втором, прямая линия, которая проходит параллельно оси Оу через точку 13 на оси Ох. Точка пересечения двух графиков и будет решением уравнения.

Аналитический способ

Аналитический способ решения линейных уравнений подразумевает перенос величин из одной части выражения в другую с заменой знака. Смысл переноса в том, чтобы собрать все неизвестные в одной части уравнения, а все числа в другой.

Приведем пример линейного уравнения: 2х-7х+15=0

2х-7х+15=0 – соберем все значения х в правой части, а числа в левой

2х-7х=-15

-5х=-15 – теперь поделим обе части выражения на коэффициент при неизвестном, т. е. на число -5

х=3

Что мы узнали?

Мы поговорили о видах уравнений. Разобрали, какие уравнения нельзя решить и привели объяснение. Выделили и разобрали на примерах два способа решений линейных уравнений.

Предыдущая

АлгебраДействительные числа – примеры, определение, символ (6 класс, математика)

Следующая

АлгебраДискриминант квадратного уравнения – нахождение по формуле

sprint-olympic.ru

Практикум «Решение линейных уравнений», 7 класс

Материал опубликовал

Файл загрузился с искажением, просьба смотреть его, скачав по ссылке: Практикум по решению линейных уравнений.

Решите уравнения:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

 

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
12	0,6	1	-2	Решений нет	Любое число	0.9	0,8	-1	0.5

Решите уравнения

1) (х – 3)2 = (х – 6)(х + 6) 2) 4∙(х + 2)2 = 3(х2 – 3)+(х – 3)(х + 3) + 2

3) (х – 5)2 – (х + 5)2 = 20 4) 3х(х – 3) = 3(х + 2)2 – 75

5) (х – 2)(х2 + 2х + 4) = х(х – 1)2 + 2х2 6) х2 + 9 = х2 – 81 + 6х

7) 2х(2х – 1) = 3х2 – (3 – х)(3+х) 8) х2 – 25 = 2∙(х – 4)(х +4) – х(х–7)

9) (х + 1)2 = 3х + 1 10) (х – 3)2 = 6∙(15 – х)

 

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
7,5	-2	-1	-3	-8	15	4,5	1	0 и 1	-9 и 9

Опубликовано

24.04.17 в 18:44 в группе «В помощь учителю»

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Решение линейных уравнений — Математика

Решение линейных уравнений, 7 класс

Разноуровневые карточки для проверки знаний учащихся по теме: «Линейные уравнения» содержат 5 уравнений разного уровня сложности. Их можно применять не только на уроках в данной теме, но и при повторении материала.

Вариант I (Уровень А)

Вариант II (Уровень В)

Вариант III (Уровень С)

Вариант I (Уровень А)

Вариант II (Уровень В)

Вариант III (Уровень С)

Вариант I (Уровень А)

Вариант II (Уровень В)

Вариант III (Уровень С)

 

 

 

Просмотр содержимого документа
«Решение линейных уравнений»

multiurok.ru

Теста по теме «Линейные уравнения», 7 класс

Таблица 1. Обоснование спецификации теста по теме «Линейные уравнения», 7 класс, УМК Мордкович А Г.

Диагностируемая учебная цель

Уровень

Кол-во заданий в тесте

Тип (типы) тестовых заданий

Примечания (например, содержание)

1.

Понятие уравнения и корня уравнения

Знание

1

Выбор нескольких правильных ответов

Уравнение вида (где x – переменная, a и b – некоторые числа) называется линейным уравнением с одной переменной. В линейном уравнении переменная x обязательно в первой степени.

Значения неизвестных, при которых равенство уравнения достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.

Знание

1

Подстановка пропущенного слова

Применение

2

Выбор одного правильного ответа

2.

Представление о равносильности уравнений.

Применение

1

Выбор нескольких правильных ответов

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (в том числе, уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными).

1

Выбор одного правильного ответа

3.

Алгоритм решения линейных уравнений.

Знание

1

Выбор одного правильного ответа

Алгоритм решения линейных уравнений:

1. Раскрыть скобки

2. Перенести слагаемые содержащие переменную в одну часть, а не содержащие – в другую.

3. Привести подобные слагаемые.

4. Разделить обе части уравнение на коэффициент при переменной.

Если a = b = 0, то решением уравнения ax + b = 0 является любое число.

Если a = 0 и b  0, то уравнение корней не имеет.

Если a 0, то уравнение ax + b = 0 называется линейным и имеет ровно одно решение  x = − b/a

1

Последовательность

Применение

1

Соответствие

1

Краткий ответ

1

Выбор одного правильного ответа

4.

Процесс решения задач с помощью линейных уравнений.

Применение

1

Краткий ответ.

1. Ввести неизвестную величину.

2. Составить уравнение.

3. Найти корни уравнения.

1

Выбор одного правильного ответа

Таблица 2. Сводка по уровню контроля и представленности содержания (репрезентативности) в тесте

Понятие уравнения и корня уравнения

2

2

4

2

Представление о равносильности уравнений.

2

2

3

Алгоритм решения линейных уравнений.

2

3

5

4

Процесс решения задач с помощью линейных уравнений.

2

2

ИТОГО ПО ТЕСТУ

4

9

13

Таблица 3. Тестовые задания

А.

Б.

В. (х-2)(х+4)=18

Г. 5х + 3 = 2х – 7

1 балл – правильно указаны два уравнения

0 балл – правильно указано одно уравнение или не указано ни одного

ответ: б, г

2

Вставьте пропущенное слово.

Уравнение вида (где x – переменная, a и b – некоторые числа) называется ……. уравнением с одной переменной.

Верно выполненное задание – 1 балл

Линейное

3

Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения  -15x -7 = 0?

А.

Б.

В.

Г.

Верно выполненное задание – 3 балла

Ответ: Б

4

Из множества чисел выберите то число, которое будет корнем уравнения: 2х + 1 = -5

А. – 3

Б. – 2

В. 3

Г. 0

Верно выполненное задание – 2 балла

Ответ: А.

5

Найдите пары равносильных уравнений:

А. 3х – 6 = 0; 3х = 6

Б. 5(х + 2) = 20; х + 2 = 5

В. ; 5 + 2х = 5

Г. 2х + 4 = 7; 5 + 2х = 8.

3 балла – правильно указаны все уравнения

2 балл – правильно указано одно уравнение

0 балл –не указано ни одного

Ответ: А, Г.

6

Какие уравнения являются равносильными:

А. 2х – 7 = 3 и 2х = –4;

Б. 3х-7=2 и 3х+6=1

В. 3(х – 2) = –6 и 3х – 6 = –6;

Г. –0,1х + 0,1х = 0 и 0,2х = 0?

Верно выполненное задание – 3 балла

Ответ: В.

7

Какое действие не принадлежит к основным свойствам уравнений:

А. приведение подобных слагаемых в обеих частях уравнения;

Б. умножение двух частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля;

В. прибавление некоторого числа к одной части уравнения;

Г. перенесение некоторого члена уравнения из одной части уравнения в другую?

Верно выполненное задание – 1 балл

Ответ: В

8

Укажите верный порядок действий при решении линейных уравнений

А. Перенести слагаемые содержащие переменную в одну часть, а не содержащие — в другую.

Б. Разделить обе части уравнение на коэффициент при переменной

В. Привести подобные слагаемые.

Г. Раскрыть скобки

Верно выполненное задание – 1 балл

Ответ: Г, А, В, Б

9

После решения уравнения коэффициент при х оказался стертым, восстановите его.

…х = 27 , х=9

Верно выполненное задание – 2 балла

Ответ: 3

10

Выберите уравнения, корнем которых является число 5.

А. 3х + 1 = 16

Б. 5(2 – х) = 4 + х

В. 7 + х = 2х – 22

Г. (х + 2)+(х – 2) =21

Верно выполненное задание – 3 балла

Ответ: А.

11

Решите уравнения и установите соответствия:

А. 6у – (у – 1) = 2(3у – 4)

Б. 6у – (у + 1) = 2(2у – 4)

В. 6у – (2у – 1) = 2(у – 4)

Г. 6у – (у + 1) = 2(2у + 4)

1. -7

2. 9

3. 7

4. -3,5

Правильно указаны все соответствия – 4 балла;

Правильно указаны 3 соответствия – 3 балла;

Правильно указаны 2 соответствия – 2 балла;

Правильно указано 1 соответствие – 1 балл;

Соответствия указаны неверно – 0 баллов.

Ответ: А3, Б1, В4, Г2.

12

Решите задачу и запишите ответ. Катер за 2 часа по озеру и за 3 часа против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 3 ч 24 мин по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Задача решена верно – 3 балла.

Задача решена неверно – о баллов.

Ответ: 12

13

Выберете правильный вариант ответа.

У меня в холодильнике в общей сложности 19 куриных и  
перепелиных яиц. После приготовления яичницы из 2 куриных и  
5 перепелиных яиц, перепелиных стало в два раза больше, чем куриных.  
Сколько куриных яиц было в холодильнике изначально? 

А. 7

Б. 5

В. 6

Г. 4

Верно выполненное задание – 3 балла

Ответ: В.

Подход к измерению – субъективно-центрированный, поскольку проверяются знания каждого субъекта, и нам необходимо распределить учащихся на группы.

Тип итоговой шкалы измерений – интервальная шкала.

Подход к начислению тестовых баллов – не дихотомический

Максимальное количество набранных баллов – 12.

Алгоритм перехода от тестовых баллов к оценке по итоговой шкале:

infourok.ru