Обозначения и сокращения / math5school.ru

N	множество натуральных чисел
Z	множество целых чисел
Q	множество рациональных чисел
I	множество иррациональных чисел
R	множество действительных (вещественных) чисел
ø	пустое множество
∈	знак принадлежности
∩	пересечение множеств
∪	объединение множеств
⊂ и ⊃	включение множеств (знак подмножеств)
\	разность множеств
=	равно
≠	не равно
≈	приближённо (примерно) равно
>	больше
<	меньше
≥	больше или равно (не меньше)
≤	меньше или равно (не больше)
НОД (a, b)	наибольший общий делитель чисел a и b
НОК (a, b)	наименьшее общее кратное чисел a и b
|a|	модуль (абсолютная величина) числа а
[a]	целая часть числа а
{a}	дробная часть числа а
√a	арифметический квадратный корень из числа а
n√a	арифметический корень n-й степени из числа а
log a b	логарифм числа b с основанием а
lg b	десятичный логарифм числа b
ln b	натуральный логарифм числа b
π	число «пи» – отношение длины окружности к её диаметру
e	число «е» – основание натурального логарифма
f(x0)	значение функции f в точке х0
sin x	функция синус х
cos x	функция косинус х
tg x	функция тангенс х
ctg x	функция котангенс х
arcsin x	функция арксинус х
arccos x	функция арккосинус х
arctg x	функция арктангенс х
arcctg x	функция арккотангенс х
[a; b]	замкнутый промежуток (отрезок) с началом а и концом b
(a; b)	открытый промежуток (интервал) с началом а и концом b
[a; b) и (a; b]	полузамкнутые числовые промежутки с началом а и концом b
(– ∞; + ∞)	числовая прямая
(– ∞ ; a] и [b; + ∞)	полузамкнутые числовые лучи
(– ∞ ; a) и (b; + ∞)	открытые числовые лучи
a < x < b	двойное неравенство: х больше а и меньше b
a ≤ x < b	двойное неравенство: х не меньше а и меньше b
a < x ≤ b	двойное неравенство: х больше а и не больше b
a ≤ x ≤ b	двойное неравенство: х не меньше а и не больше b
(a; b)	упорядоченная пара чисел
(a; b; c)	упорядоченная тройка чисел
Ox, Oy, Oz	координатные оси: ось абсцисс, ось ординат, ось апликат
M(x)	точка М с координатой х на координатной прямой
M(x; y)	точка М с координатами х и у в координатной плоскости
M(x; y; z)	точка М с координатами х, у и z в координатном пространстве
lim x→a f(b) = b	b – предел функции f(b) при условии, что х стремится к а
Δx, Δy или Δf(x)	приращение аргумента и приращение функции
f'(x), f»(x), f»'(x), f(n)(x0)	производные функции: первая, вторая, третья и n-го прядка
F(x)	первообразная функция для функции f(x)
∫ f(x) dx	неопределённый интеграл функции f(x)
a∫b f(x) dx	определённый интеграл функции f(x) от а до b
i	мнимая единица
z = a + bi	комплексное число с действительной частью а и мнимой – bi
Re z	действительная часть комплексного числа z
Im z	мнимая часть комплексного числа z
z	число, сопряжённое числу z
arg z	аргумент комплексного числа z
|z|	модуль комплексного числа z
n!	n-факториал
Pn	число перестановок из n элементов
An m	число размещений из n элементов по m
Cnm	число сочетаний из n элементов по m
Σ, Π	сумма и произведение
A, B, C	случайные события
P(A)	вероятность случайного события А
A + B, A · B	сумма и произведение событий А и В
A	событие, противоположное событию А
{	знак системы
[	знак совокупности
x°  y’  z»	x градусов, y минут, z секунд
AB	отрезок или прямая АВ
∪AB	дуга окружности с концами в точках А и В
∠ ABC	угол с вершиной в точке В и сторонами ВА и ВС
∠A	любой угол с вершиной в точке А
Δ ABC	треугольник с вершинами в точках А, В и С
PF	периметр многоугольника F
SF	площадь фигуры F
VF	объём тела F
F ∼ G	фигуры F и G подобны
F = G	фигуры F и G равны

Математическая константа — Википедия

Символ	Приближенное значение	Название	Область	Значение	Впервые описана	Число известных знаков
π{\displaystyle \pi }	≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88	пи, архимедова константа	мат	Т	до 2600 до н. э. (Месопотамия, Египет)	31 415 926 535 897[1]
τ{\displaystyle \tau }	≈ 6,283 185 307 179 586	тау (2π)	мат	Т
e	≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50	константа Непера, число Эйлера, основание натурального логарифма	мат	Т	1618	12 884 901 000
2{\displaystyle {\sqrt {2}}}	≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 08	константа Пифагора, квадратный корень из 2	мат	А, И	до 1800 до н. э.	137 438 953 444
3{\displaystyle {\sqrt {3}}}	≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 37	константа Феодора, квадратный корень из 3	мат	А, И	до 800 до н. э.
γ	≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43	постоянная Эйлера — Маскерони	мат, ТЧ	?	1735	108 000 000
φ	≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 12	золотое сечение	мат	А, И	ок. 300 до н. э.	3 141 000 000
β*	≈ 0,702 58	константа Эмбри — Трефетена	ТЧ
δ	≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	постоянная Фейгенбаума	ТХ		1975
α	≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	константа Фейгенбаума	ТХ		1975
C2	≈ 0,643 410 546 29	Константа Каэна	ТЧ	Т
C2	≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77	константа простых близнецов	ТЧ			5 020
M1	≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85	константа Майсселя — Мертенса	ТЧ		1866; 1874	8010
B2	≈ 1,902 160 583 104[2]	константа Бруна для простых близнецов	ТЧ		1919	10
B4	≈ 0,870 588 380 0	константа Бруна для простых четвёрок	ТЧ
	≈ 0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90	предел Лапласа	мат
G	≈ 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 11	постоянная Каталана	комб			31 026 000 000
Λ	0.22 ≥ Λ ≥ 0[3]	константа де Брёйна — Ньюмана	ТЧ		1950, 1976	0
K	≈ 0,764 223 653 589 220 66	константа Ландау — Рамануджана	ТЧ	И (?)		30 010
K	≈ 1,131 988 24	константа Висваната	ТЧ			16
K0	≈ 2,685 452 001 065	постоянная Хинчина	ТЧ		1934
J	≈ 3,058 198 247 456 354 132 564 564 787 888 767…	константа Поля — Гаусса	ТЧ			10343
B´L	1 (первоначальная гипотеза 1,08366[4])	константа Лежандра	ТЧ	Ц	1808	точное значение
λ	≈ 0,624 329 988 543 550 870 992 936	Постоянная Голомба — Дикмана	ТЧ
μ	≈ 1,451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027	константа Рамануджана — Солднера	ТЧ			75 500
E’B	≈ 1,606 695 152 415 291 763	константа Эрдёша — Борвейна	ТЧ	И
Ω	≈ 0,007 874 996 997 812 384 4	константа Хайтина	АИТ	Т
ζ(3)	≈ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 99	постоянная Апери	ТЧ	И	1735	100 000 001 000
ɯ	≈ 0,739 085 133 215 160 641 655 312 087 673 873 40	число Дотти[5], притягивающая неподвижная точка функции cos(x)	ТХ
A	≈ 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 73	постоянная Глейшера — Кинкелина	ТЧ		1860
θ, A	≈ 1,306 377 883 863 080 690 468 614 492 6	Константа Миллса	ТЧ		1947	6850
ρ	≈ 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 478	Пластическое число	ТЧ	А, И	1928

Список логических символов — Википедия

Символ	Название	Объяснение	Примеры	Значение Unicode	Название в HTML	Символ LaTeX
	Читается как
	Категория
	Импликация	A ⇒ B верно, только когда либо A ложно, либо B истинно. → может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов). ⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество).	x = 2  ⇒  x2 = 4 истинно, но x2 = 4   ⇒  x = 2, в общем случае, ложно (поскольку x может быть равен −2).	U+21D2 U+2192 U+2283	⇒ → ⊃	⇒{\displaystyle \Rightarrow }\Rightarrow →{\displaystyle \to }\to ⊃{\displaystyle \supset }\supset ⟹{\displaystyle \implies }\implies
	из .. следует; если .. то
	логика высказываний, алгебра Гейтинга[en]
	Тогда и только тогда	A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны.	x + 5 = y + 2  ⇔  x + 3 = y	U+21D4 U+2261 U+2194	⇔ ≡ ↔	⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }\Leftrightarrow ≡{\displaystyle \equiv }\equiv ↔{\displaystyle \leftrightarrow }\leftrightarrow ⟺{\displaystyle \iff }\iff
	тогда и только тогда
	логика высказываний
	отрицание	Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Знак /, расположенный поверх другого оператора, означает то же самое, что «¬», помещённое перед выражением.	¬(¬A) ⇔ A x ≠ y  ⇔  ¬(x = y)	U+00AC U+02DC	¬ ˜ ~	¬{\displaystyle \neg }\lnot или \neg ∼{\displaystyle \sim }\sim
	not (не)
	логика высказываний
	конъюнкция	Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае.	n < 4  ∧  n >2  ⇔  n = 3, если n — натуральное число.	U+2227 U+0026	&and; &amp;	∧{\displaystyle \wedge }\wedge или \land \&[2]
	and (и)
	логика высказываний, Булева алгебра
	логическая дизъюнкция	Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение неверно.	n ≥ 4  ∨  n ≤ 2  ⇔ n ≠ 3 когда n является натуральным числом.	U+2228	&or;	∨{\displaystyle \lor }\lor или \vee
	or (или)
	логика высказываний, Булева алгебра
	исключающее или	Утверждение A ⊕ B верно, когда либо A, либо B верно, но не оба. A ⊻ B означает то же самое.	(¬A) ⊕ A всегда верно, A ⊕ A всегда неверно.	U+2295 U+22BB	&oplus;	⊕{\displaystyle \oplus }\oplus ⊻{\displaystyle \veebar }\veebar
	xor
	логика высказываний, Булева алгебра
	Тавтология	Утверждение ⊤ безусловно верно.	A ⇒ ⊤ всегда верно.	U+22A4	T	⊤{\displaystyle \top }\top
	верх
	логика высказываний, Булева алгебра
	Противоречие	Утверждение ⊥ безусловно неверно.	⊥ ⇒ A всегда верно.	U+22A5	&perp; F	⊥{\displaystyle \bot }\bot
	ложь, неверно, ошибочно
	логика высказываний, Булева алгебра
	Квантор всеобщности	∀ x: P(x) или (x) P(x) означает P(x) верно для всех x.	∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n.	U+2200	&forall;	∀{\displaystyle \forall }\forall
	для любого; для всех
	Логика первого порядка
∃	Квантор существования	∃ x: P(x) означает, что существует по меньшей мере один x, такой, что P(x) верно.	∃ n ∈ ℕ: n чётно.	U+2203	&exist;	∃{\displaystyle \exists }\exists
	существует
	логика первого порядка
∃!	Единственность	∃! x: P(x) означает, что существует ровно один x, такой, что P(x) верно.	∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.	U+2203 U+0021	&exist; !	∃!{\displaystyle \exists !}\exists !
	существует в точности один
	логика первого порядка
	Определение	x := y илиx ≡ y означает, что x является другим обозначением для y (но заметьте, что ≡ может означать и другое, как, например, конгруэнтность). P :⇔ Q означает, что P логически эквивалентно Q.	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)	U+2254 (U+003A U+003D) U+2261 U+003A U+229C	:= : &equiv; &hArr;	:={\displaystyle :=}:= ≡{\displaystyle \equiv }\equiv ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }\Leftrightarrow
	определяется как
	везде
()	приоритетная группировка	Операции внутри скобок выполняются первыми.	(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4.	U+0028 U+0029	()	( ){\displaystyle (~)} ()
	скобки
	везде
⊢	Выводимо[en]	x ⊢ y означает, что y выводимо из x (в некоторых формальных системах).	A → B ⊢ ¬B → ¬A	U+22A2	&#8866;	⊢{\displaystyle \vdash }\vdash
	выводимо
	логика высказываний, логика первого порядка
⊨	Модель[en]	x ⊨ y означает, что x семантически влечёт за собой y	A → B ⊨ ¬B → ¬A	U+22A8	&#8872;	⊨{\displaystyle \vDash }\vDash
	влечёт
	логика высказываний, логика первого порядка

Википедия:Примеры оформления формул — Википедия

Элемент	Синтаксис	Интерпретация в Википедии
Надстрочный индекс	a^2	a2{\displaystyle a^{2}}
Подстрочный индекс	a_2	a2{\displaystyle a_{2}}
Группировка	a^{2+2}	a2+2{\displaystyle a^{2+2}}
	a_{i,\;j}	ai,j{\displaystyle a_{i,\;j}}
Комбинирование верхнего и нижнего индексов	x_2^3 или x_{i,\;j}^{x_1,\;x_2}	x23{\displaystyle x_{2}^{3}} или xi,jx1,x2{\displaystyle x_{i,j}^{x_{1},\;x_{2}}}
Набор индексов	\sideset{_1^2}{_3^4}\prod_a^b {}_1^2\Omega_3^4	∏12∏34ab12Ω34{\displaystyle \sideset {_{1}^{2}}{_{3}^{4}}\prod _{a}^{b}\quad {}_{1}^{2}\Omega _{3}^{4}}
Размещение символов друг над другом	\overset{\alpha}{\omega} \underset{\alpha}{\omega} \overset{\alpha}{\underset{\gamma}{\omega}} \stackrel{\alpha}{\omega} \sum_{\begin{smallmatrix}i,\;j=1\\i\neq j\end{smallmatrix}}^\infty a_{ij}	ωαωαωγαωα∑i,j=1i≠j∞aij{\displaystyle {\overset {\alpha }{\omega }}\quad {\underset {\alpha }{\omega }}\quad {\overset {\alpha }{\underset {\gamma }{\omega }}}\quad {\stackrel {\alpha }{\omega }}\quad \sum _{\begin{smallmatrix}i,\;j=1\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{\infty }a_{ij}}
Стрелки с текстом	A \xleftarrow{n+\mu-1} B \xrightarrow[T]{n\pm i-1} C	A←n+μ−1B→Tn±i−1C{\displaystyle A{\xleftarrow {n+\mu -1}}B{\xrightarrow[{T}]{n\pm i-1}}C}
Производная (правильно)	x'	x′{\displaystyle x’}
Производная (неправильно в HTML)	x^\prime	x′{\displaystyle x^{\prime }}
Производная (неправильно в PNG)	x\prime	x′{\displaystyle x\prime }
Сумма	\sum_{k=1}^N k^2 или \sum\nolimits_{k=1}^N k^2	∑k=1Nk2{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}k^{2}} или ∑k=1Nk2{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{N}k^{2}}
Произведение	\prod_{i=1}^N x_i	∏i=1Nxi{\displaystyle \prod _{i=1}^{N}x_{i}}
Предел	\lim_{n \to \infty}x_n	limn→∞xn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}
Интеграл	\int\limits_{-N}^{N} e^x\, dx	∫−NNexdx{\displaystyle \int \limits _{-N}^{N}e^{x}\,dx}
Кратные интегралы	\iint\limits_{D}^{W} \, dx\,dy	∬DWdxdy{\displaystyle \iint \limits _{D}^{W}\,dx\,dy}
	\iiint\limits_{D}^{W} \, dx\,dy\,dz	∭DWdxdydz{\displaystyle \iiint \limits _{D}^{W}\,dx\,dy\,dz}
	\iiiint\limits_{D}^{W} \, dx\,dy\,dz\,dw	⨌DWdxdydzdw{\displaystyle \iiiint \limits _{D}^{W}\,dx\,dy\,dz\,dw}
Интеграл по контуру	\oint\limits_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy	∮C⁡x3dx+4y2dy{\displaystyle \oint \limits _{C}x^{3}\,dx+4y^{2}\,dy}
Пересечение	\bigcap_1^{n} p	⋂1np{\displaystyle \bigcap _{1}^{n}p}
Объединение	\bigcup_1^{k} p	⋃1kp{\displaystyle \bigcup _{1}^{k}p}

Q.E.D. — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. QED.

Q.E.D. — аббревиатура от лат. quod erat demonstrandum — «что и требовалось доказать», «ч. т. д.»; латинское выражение, обозначающее завершение доказательства теоремы.

Выражение quod erat demonstrandum является переводом на латинский с греческого ὅπερ ἔδει δεῖξαι (аббревиатура: ΟΕΔ). При этом греческая фраза имеет значение «что требовалось доказывать», а латинская — «что нужно было показать»^[1]. Это выражение использовалось многими древнегреческими математиками, включая Евклида, Архимеда и Аристотеля.

Оригинальный текст «Этики» Спинозы , часть 1, QED используется в конце Demonstratio из Propositio III на правой странице

В эпоху Возрождения учёные пользовались латынью, и выражение Q.E.D. часто использовалось в завершении доказательства. Возможно наиболее знаменитое использование Q.E.D. в философии — в основном произведении Бенедикта Спинозы «Этика». Он строил свою метафизику по аналогии с логикой, что предполагало задание алфавита (определение терминов), формулировку логических законов (аксиом), вывод всех остальных положений (теорем) путём логических следствий^[2].

В систему компьютерной вёрстки ΤΕΧ под командой \qedsymbol или \qed включён символ символ конца доказательства ■ (заполненный квадрат, так называемый «символ Халмоша»). В Юникоде этот символ называется end of proof (U+220E, ∎). В качестве альтернативы используют □ (пустой квадрат), ‣ (правый треугольник), // (две косые черты), а также русскую аббревиатуру «ч. т. д.».