N | множество натуральных чисел |
Z | множество целых чисел |
Q | множество рациональных чисел |
I | множество иррациональных чисел |
R | множество действительных (вещественных) чисел |
ø | пустое множество |
∈ | знак принадлежности |
∩ | пересечение множеств |
∪ | объединение множеств |
⊂ и ⊃ | включение множеств (знак подмножеств) |
\ | разность множеств |
= | равно |
≠ | не равно |
≈ | приближённо (примерно) равно |
> | больше |
< | меньше |
≥ | больше или равно (не меньше) |
≤ | меньше или равно (не больше) |
НОД (a, b) | наибольший общий делитель чисел a и b |
НОК (a, b) | наименьшее общее кратное чисел a и b |
|a| | модуль (абсолютная величина) числа а |
[a] | целая часть числа а |
{a} | дробная часть числа а |
√a | арифметический квадратный корень из числа а |
n√a | арифметический корень n-й степени из числа а |
log a b | логарифм числа b с основанием а |
lg b | десятичный логарифм числа b |
ln b | натуральный логарифм числа b |
π | число «пи» – отношение длины окружности к её диаметру |
e | число «е» – основание натурального логарифма |
f(x0) | значение функции f в точке х0 |
sin x | функция синус х |
cos x | функция косинус х |
tg x | функция тангенс х |
ctg x | функция котангенс х |
arcsin x | функция арксинус х |
arccos x | функция арккосинус х |
arctg x |
функция арктангенс х |
arcctg x | функция арккотангенс х |
[a; b] |
|
(a; b) | открытый промежуток (интервал) с началом а и концом b |
[a; b) и (a; b] | полузамкнутые числовые промежутки с началом а и концом b |
(– ∞; + ∞) | числовая прямая |
(– ∞ ; a] и [b; + ∞) | полузамкнутые числовые лучи |
(– ∞ ; a) и (b; + ∞) | открытые числовые лучи |
a < x < b | двойное неравенство: х больше а и меньше b |
a ≤ x < b | двойное неравенство: х не меньше а и меньше b |
a < x ≤ b | двойное неравенство: х больше а и не больше b |
a ≤ x ≤ b | двойное неравенство: х не меньше а и не больше b |
(a; b) | упорядоченная пара чисел |
(a; b; c) | упорядоченная тройка чисел |
Ox, Oy, Oz | координатные оси: ось абсцисс, ось ординат, ось апликат |
M(x) | точка М с координатой х на координатной прямой |
M(x; y) | точка М с координатами х и у в координатной плоскости |
M(x; y; z) | точка М с координатами х, у и z в координатном пространстве |
lim x→a f(b) = b | b – предел функции f(b) при условии, что х стремится к а |
Δx, Δy или Δf(x) | приращение аргумента и приращение функции |
f'(x), f»(x), f»'(x), f(n)(x0) | производные функции: первая, вторая, третья и n-го прядка |
F(x) | первообразная функция для функции f(x) |
∫ f(x) dx | неопределённый интеграл функции f(x) |
a∫b f(x) dx | определённый интеграл функции f(x) от а до b |
i | мнимая единица |
z = a + bi | комплексное число с действительной частью а и мнимой – bi |
Re z | действительная часть комплексного числа z |
Im z | мнимая часть комплексного числа z |
z | число, сопряжённое числу z |
arg z | аргумент комплексного числа z |
|z| | модуль комплексного числа z |
n! | n-факториал |
Pn | число перестановок из n элементов |
An m | число размещений из n элементов по m |
Cnm | число сочетаний из n элементов по m |
Σ, Π | сумма и произведение |
A, B, C | случайные события |
P(A) | вероятность случайного события А |
A + B, A · B | сумма и произведение событий А и В |
A | событие, противоположное событию А |
{ | знак системы |
[ | знак совокупности |
x° y’ z» | x градусов, y минут, z секунд |
AB | отрезок или прямая АВ |
∪AB | дуга окружности с концами в точках А и В |
∠ ABC | угол с вершиной в точке В и сторонами ВА и ВС |
∠A | любой угол с вершиной в точке А |
Δ ABC | треугольник с вершинами в точках А, В и С |
PF | периметр многоугольника F |
SF | площадь фигуры F |
VF | объём тела F |
F ∼ G |
фигуры F и G подобны |
F = G | фигуры F и G равны |
Символ | Приближенное значение | Название | Область | Значение | Впервые описана | Число известных знаков |
---|---|---|---|---|---|---|
π{\displaystyle \pi } | ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 | пи, архимедова константа | мат | Т | до 2600 до н. э. (Месопотамия, Египет) | 31 415 926 535 897[1] |
τ{\displaystyle \tau } | ≈ 6,283 185 307 179 586 | тау (2π) | мат | Т | ||
e | ≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50 | константа Непера, число Эйлера, основание натурального логарифма | мат | Т | 1618 | 12 884 901 000 |
2{\displaystyle {\sqrt {2}}} | ≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 08 | константа Пифагора, квадратный корень из 2 | мат | А, И | до 1800 до н. э. | 137 438 953 444 |
3{\displaystyle {\sqrt {3}}} | ≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505 872 37 | константа Феодора, квадратный корень из 3 | мат | А, И | до 800 до н. э. | |
γ | ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43 | постоянная Эйлера — Маскерони | мат, ТЧ | ? | 1735 | 108 000 000 |
φ | ≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 12 | золотое сечение | мат | А, И | ок. 300 до н. э. | 3 141 000 000 |
β* | ≈ 0,702 58 | константа Эмбри — Трефетена | ТЧ | |||
δ | ≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61 | постоянная Фейгенбаума | ТХ | 1975 | ||
α | ≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78 | константа Фейгенбаума | ТХ | 1975 | ||
C2 | ≈ 0,643 410 546 29 | Константа Каэна | ТЧ | Т | ||
C2 | ≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77 | константа простых близнецов | ТЧ | 5 020 | ||
M1 | ≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85 | константа Майсселя — Мертенса | ТЧ | 1866; 1874 | 8010 | |
B2 | ≈ 1,902 160 583 104[2] | константа Бруна для простых близнецов | ТЧ | 1919 | 10 | |
B4 | ≈ 0,870 588 380 0 | константа Бруна для простых четвёрок | ТЧ | |||
≈ 0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90 | предел Лапласа | мат | ||||
G | ≈ 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 11 | постоянная Каталана | комб | 31 026 000 000 | ||
Λ | 0.22 ≥ Λ ≥ 0[3] | константа де Брёйна — Ньюмана | ТЧ | 1950, 1976 | 0 | |
K | ≈ 0,764 223 653 589 220 66 | константа Ландау — Рамануджана | ТЧ | И (?) | 30 010 | |
K | ≈ 1,131 988 24 | константа Висваната | ТЧ | 16 | ||
K0 | ≈ 2,685 452 001 065 | постоянная Хинчина | ТЧ | 1934 | ||
J | ≈ 3,058 198 247 456 354 132 564 564 787 888 767… | константа Поля — Гаусса | ТЧ | 10343 | ||
B´L | 1 (первоначальная гипотеза 1,08366[4]) | константа Лежандра | ТЧ | Ц | 1808 | точное значение |
λ | ≈ 0,624 329 988 543 550 870 992 936 | Постоянная Голомба — Дикмана | ТЧ | |||
μ | ≈ 1,451 369 234 883 381 050 283 968 485 892 027 | константа Рамануджана — Солднера | ТЧ | 75 500 | ||
E’B | ≈ 1,606 695 152 415 291 763 | константа Эрдёша — Борвейна | ТЧ | И | ||
Ω | ≈ 0,007 874 996 997 812 384 4 | константа Хайтина | АИТ | Т | ||
ζ(3) | ≈ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 99 | постоянная Апери | ТЧ | И | 1735 | 100 000 001 000 |
ɯ | ≈ 0,739 085 133 215 160 641 655 312 087 673 873 40 | число Дотти[5], притягивающая неподвижная точка функции cos(x) | ТХ | |||
A | ≈ 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 73 | постоянная Глейшера — Кинкелина | ТЧ | 1860 | ||
θ, A | ≈ 1,306 377 883 863 080 690 468 614 492 6 | Константа Миллса | ТЧ | 1947 | 6850 | |
ρ | ≈ 1,324 717 957 244 746 025 960 908 854 478 | Пластическое число | ТЧ | А, И | 1928 |
Символ | Название | Объяснение | Примеры | Значение Unicode | Название в HTML | Символ LaTeX |
---|---|---|---|---|---|---|
Читается как | ||||||
Категория | ||||||
Импликация | A ⇒ B верно, только когда либо A ложно, либо B истинно. → может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также указывать область определения и область значений функции, см. таблицу математических символов). ⊃ может означать то же самое, что и ⇒ (символ может также обозначать надмножество). | x = 2 ⇒ x2 = 4 истинно, но x2 = 4 ⇒ x = 2, в общем случае, ложно (поскольку x может быть равен −2). | U+21D2 U+2192 U+2283 | ⇒ → ⊃ | ⇒{\displaystyle \Rightarrow }\Rightarrow →{\displaystyle \to }\to ⊃{\displaystyle \supset }\supset ⟹{\displaystyle \implies }\implies | |
из .. следует; если .. то | ||||||
логика высказываний, алгебра Гейтинга[en] | ||||||
Тогда и только тогда | A ⇔ B истинно, только если оба значения A и B ложны, либо оба истинны. | x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y | U+21D4 U+2261 U+2194 | ⇔ ≡ ↔ | ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }\Leftrightarrow ≡{\displaystyle \equiv }\equiv ↔{\displaystyle \leftrightarrow }\leftrightarrow ⟺{\displaystyle \iff }\iff | |
тогда и только тогда | ||||||
логика высказываний | ||||||
отрицание | Утверждение ¬A истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Знак /, расположенный поверх другого оператора, означает то же самое, что «¬», помещённое перед выражением. | ¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y) | U+00AC U+02DC | ¬ ˜ ~ | ¬{\displaystyle \neg }\lnot или \neg ∼{\displaystyle \sim }\sim | |
not (не) | ||||||
логика высказываний | ||||||
конъюнкция | Утверждение A ∧ B истинно, если и A, и B истинны, и ложно в противном случае. | n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3, если n — натуральное число. | U+2227 U+0026 | ∧ & | ∧{\displaystyle \wedge }\wedge или \land \&[2] | |
and (и) | ||||||
логика высказываний, Булева алгебра | ||||||
логическая дизъюнкция | Утверждение A ∨ B верно, если A или B (или оба) верны. Если оба не верны, утверждение неверно. | n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 когда n является натуральным числом. | U+2228 | ∨ | ∨{\displaystyle \lor }\lor или \vee | |
or (или) | ||||||
логика высказываний, Булева алгебра | ||||||
исключающее или | Утверждение A ⊕ B верно, когда либо A, либо B верно, но не оба. A ⊻ B означает то же самое. | (¬A) ⊕ A всегда верно, A ⊕ A всегда неверно. | U+2295 U+22BB | ⊕ | ⊕{\displaystyle \oplus }\oplus ⊻{\displaystyle \veebar }\veebar | |
xor | ||||||
логика высказываний, Булева алгебра | ||||||
Тавтология | Утверждение ⊤ безусловно верно. | A ⇒ ⊤ всегда верно. | U+22A4 | T | ⊤{\displaystyle \top }\top | |
верх | ||||||
логика высказываний, Булева алгебра | ||||||
Противоречие | Утверждение ⊥ безусловно неверно. | ⊥ ⇒ A всегда верно. | U+22A5 | ⊥ F | ⊥{\displaystyle \bot }\bot | |
ложь, неверно, ошибочно | ||||||
логика высказываний, Булева алгебра | ||||||
Квантор всеобщности | ∀ x: P(x) или (x) P(x) означает P(x) верно для всех x. | ∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n. | U+2200 | ∀ | ∀{\displaystyle \forall }\forall | |
для любого; для всех | ||||||
Логика первого порядка | ||||||
∃ | Квантор существования | ∃ x: P(x) означает, что существует по меньшей мере один x, такой, что P(x) верно. | ∃ n ∈ ℕ: n чётно. | U+2203 | ∃ | ∃{\displaystyle \exists }\exists |
существует | ||||||
логика первого порядка | ||||||
∃! | Единственность | ∃! x: P(x) означает, что существует ровно один x, такой, что P(x) верно. | ∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n. | U+2203 U+0021 | ∃ ! | ∃!{\displaystyle \exists !}\exists ! |
существует в точности один | ||||||
логика первого порядка | ||||||
Определение | x := y илиx ≡ y означает, что x является другим обозначением для y (но заметьте, что ≡ может означать и другое, как, например, конгруэнтность). P :⇔ Q означает, что P логически эквивалентно Q. | cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)) A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B) | U+2254 (U+003A U+003D) U+2261 U+003A U+229C | := : ≡ ⇔ | :={\displaystyle :=}:= ≡{\displaystyle \equiv }\equiv ⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }\Leftrightarrow | |
определяется как | ||||||
везде | ||||||
() | приоритетная группировка | Операции внутри скобок выполняются первыми. | (8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, но 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4. | U+0028 U+0029 | () | ( ){\displaystyle (~)} () |
скобки | ||||||
везде | ||||||
⊢ | Выводимо[en] | x ⊢ y означает, что y выводимо из x (в некоторых формальных системах). | A → B ⊢ ¬B → ¬A | U+22A2 | ⊢ | ⊢{\displaystyle \vdash }\vdash |
выводимо | ||||||
логика высказываний, логика первого порядка | ||||||
⊨ | Модель[en] | x ⊨ y означает, что x семантически влечёт за собой y | A → B ⊨ ¬B → ¬A | U+22A8 | ⊨ | ⊨{\displaystyle \vDash }\vDash |
влечёт | ||||||
логика высказываний, логика первого порядка |
Элемент | Синтаксис | Интерпретация в Википедии |
---|---|---|
Надстрочный индекс | a^2 | a2{\displaystyle a^{2}} |
Подстрочный индекс | a_2 | a2{\displaystyle a_{2}} |
Группировка | a^{2+2} | a2+2{\displaystyle a^{2+2}} |
a_{i,\;j} | ai,j{\displaystyle a_{i,\;j}} | |
Комбинирование верхнего и нижнего индексов | x_2^3 или x_{i,\;j}^{x_1,\;x_2} | x23{\displaystyle x_{2}^{3}} или xi,jx1,x2{\displaystyle x_{i,j}^{x_{1},\;x_{2}}} |
Набор индексов | \sideset{_1^2}{_3^4}\prod_a^b | ∏12∏34ab12Ω34{\displaystyle \sideset {_{1}^{2}}{_{3}^{4}}\prod _{a}^{b}\quad {}_{1}^{2}\Omega _{3}^{4}} |
Размещение символов друг над другом | \overset{\alpha}{\omega}
| ωαωαωγαωα∑i,j=1i≠j∞aij{\displaystyle {\overset {\alpha }{\omega }}\quad {\underset {\alpha }{\omega }}\quad {\overset {\alpha }{\underset {\gamma }{\omega }}}\quad {\stackrel {\alpha }{\omega }}\quad \sum _{\begin{smallmatrix}i,\;j=1\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{\infty }a_{ij}} |
Стрелки с текстом | A \xleftarrow{n+\mu-1} B \xrightarrow[T]{n\pm i-1} C | A←n+μ−1B→Tn±i−1C{\displaystyle A{\xleftarrow {n+\mu -1}}B{\xrightarrow[{T}]{n\pm i-1}}C} |
Производная (правильно) | x' | x′{\displaystyle x’} |
Производная (неправильно в HTML) | x^\prime | x′{\displaystyle x^{\prime }} |
Производная (неправильно в PNG) | x\prime | x′{\displaystyle x\prime } |
Сумма | \sum_{k=1}^N k^2 или \sum\nolimits_{k=1}^N k^2 | ∑k=1Nk2{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}k^{2}} или ∑k=1Nk2{\displaystyle \sum \nolimits _{k=1}^{N}k^{2}} |
Произведение | \prod_{i=1}^N x_i | ∏i=1Nxi{\displaystyle \prod _{i=1}^{N}x_{i}} |
Предел | \lim_{n \to \infty}x_n | limn→∞xn{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}} |
Интеграл | \int\limits_{-N}^{N} e^x\, dx | ∫−NNexdx{\displaystyle \int \limits _{-N}^{N}e^{x}\,dx} |
Кратные интегралы | \iint\limits_{D}^{W} \, dx\,dy | ∬DWdxdy{\displaystyle \iint \limits _{D}^{W}\,dx\,dy} |
\iiint\limits_{D}^{W} \, dx\,dy\,dz | ∭DWdxdydz{\displaystyle \iiint \limits _{D}^{W}\,dx\,dy\,dz} | |
\iiiint\limits_{D}^{W} \, dx\,dy\,dz\,dw | ⨌DWdxdydzdw{\displaystyle \iiiint \limits _{D}^{W}\,dx\,dy\,dz\,dw} | |
Интеграл по контуру | \oint\limits_{C} x^3\, dx + 4y^2\, dy | ∮Cx3dx+4y2dy{\displaystyle \oint \limits _{C}x^{3}\,dx+4y^{2}\,dy} |
Пересечение | \bigcap_1^{n} p | ⋂1np{\displaystyle \bigcap _{1}^{n}p} |
Объединение | \bigcup_1^{k} p | ⋃1kp{\displaystyle \bigcup _{1}^{k}p} |
Q.E.D. — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
У этого термина существуют и другие значения, см. QED.Q.E.D. — аббревиатура от лат. quod erat demonstrandum — «что и требовалось доказать», «ч. т. д.»; латинское выражение, обозначающее завершение доказательства теоремы.
Выражение quod erat demonstrandum является переводом на латинский с греческого ὅπερ ἔδει δεῖξαι (аббревиатура: ΟΕΔ). При этом греческая фраза имеет значение «что требовалось доказывать», а латинская — «что нужно было показать»[1]. Это выражение использовалось многими древнегреческими математиками, включая Евклида, Архимеда и Аристотеля.

В эпоху Возрождения учёные пользовались латынью, и выражение Q.E.D. часто использовалось в завершении доказательства. Возможно наиболее знаменитое использование Q.E.D. в философии — в основном произведении Бенедикта Спинозы «Этика». Он строил свою метафизику по аналогии с логикой, что предполагало задание алфавита (определение терминов), формулировку логических законов (аксиом), вывод всех остальных положений (теорем) путём логических следствий[2].
В систему компьютерной вёрстки ΤΕΧ под командой \qedsymbol или \qed включён символ символ конца доказательства ■ (заполненный квадрат, так называемый «символ Халмоша»). В Юникоде этот символ называется end of proof (U+220E, ∎). В качестве альтернативы используют □ (пустой квадрат), ‣ (правый треугольник), // (две косые черты), а также русскую аббревиатуру «ч. т. д.».