Найти точку пересечения графиков линейных функций

☰

Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.

Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент (k) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m, угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.

Если две линейные функции имеют различные k, но одинаковые m, то они пересекаются в точке (0; m). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k, y становится равен m. Пример: y = –1.3x + 8 и y = 2.1x + 8.

Если две линейные функции имеют различные и k и m, то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y. Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x. Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.

Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y. Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x, при котором это равенство верно. А далее, имея x, можно вычислить y, через любую из функций. Пример:
Даны y = 4x – 5 и y = –2x + 1
4x – 5 = –2x + 1
4x + 2x = 1 + 5
6x = 6
x = 1
y = 4 * 1 – 5 = –1 или y = –2 * 1 + 1 = –1

Таким образом точка пересечения (1; –1).

Пострение графиков

Фундаментальная задача программирования — вычисление математических и, в частности, алгебраических функций. Казалось бы, что проще? Однако, запись выражения на языке математики не принимается напрямую языком программирования. Выражение нужно написать в виде, который будет понятен тому или иному языку программирования.

Например, y = x², должно быть записано как y = x*x или y = x**2.

Упражнение №1

Запишите выражение, заданное формулой, в виде, подходящем для языка Python.

и найдите его значения в точках 1, 10, 1000.

Для вычисления математических функций мы не будем использовать стандартную библиотеку math. Т.к. она не работает с векторами. В нашем случае разумней обратить внимание на библиотеку numpy. Данная библиотека обеспечивает удобную работу с векторам.

Т.е., если у нас есть вектор x=[1, 2, 3, 4] и мы вызовим numpy.log(x), то логарифм будет взят от каждого элемента списка и возвращен будет список значений.

Аналогичная функция в модуля math ожидает число, т.е. нельзя сделать math.log(x), нужно делать math.log(x[0]) и т.д.

Традиционно библиотека numpy подключается командой:

Данный вызов сообщает, что подключить numpy под псевдонимом np. Это делается, чтобы не писать каждый раз:

А писать:

Такой код, с более коротким именем библиотеки, элементарно, проще читать.

Основные математические функции и константы функии, которые нам понадобятся из numpy:

Функция log вычисляет натуральный логарифм. Чтобы вычислить логарифм по другому основанию, нужно воспользоваться формулой перехода. Например, если мы хотим получить логарифм x по основанию 2, нужно написать:

matplotlib — набор дополнительных модулей (библиотек) языка Python. Предоставляет средства для построения самых разнообразных 2D графиков и диаграмм данных. Отличается простотой использования — для построения весьма сложных и красочно оформленных диаграмм достаточно нескольких строк кода. При этом качество получаемых изображений более чем достаточно для их публикования. Также позволяет сохранять результаты в различных форматах, например Postscript, и, соответственно, вставлять изображения в документы TeX. Предоставляет API для встраивания своих графических объектов в приложения пользователя.

Пример построения графика функции:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
plt.plot(x, x**2)
plt.show()

На одном рисунке можно построить несколько графиков функций:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x)
plt.show()

Также довольно просто на график добавить служебную информацию и отобразить сетку:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x)
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$f(x)$')
plt.title(r'$f_1(x)=\sin(x),\ f_2(x)=\cos(x),\ f_3(x)=-x$')
plt.grid(True)
plt.show()

Или используя legend(), где можно указать место расположения подписей к кривым на графике в параметре loc. Подписи могут быть явно переданы legend((line1, line2, line3), ('label1', 'label2', 'label3')) или могут быть переданы в аргумет label, как в примере ниже. Чтобы сохранить график нужно воспользоваться savefig(figure_name), где figure_name явлется строкой назания файла с указанием расширения. Для текстовых полей можно изменять шрифт (fontsize), для большей читаемости графика, а его размер указывается с помощью figure(figsize=(10, 5)).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0. 01)
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, np.sin(x), label=r'$f_1(x)=\sin(x)$')
plt.plot(x, np.cos(x), label=r'$f_2(x)=\cos(x)$')
plt.plot(x, -x, label=r'$f_3(x)=-x$')
plt.xlabel(r'$x$', fontsize=14)
plt.ylabel(r'$f(x)$', fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(loc='best', fontsize=12)
plt.savefig('figure_with_legend.png')
plt.show()

Текстовые поля в matplotlib могут содержать разметку LaTeX, заключенную в знаки $. Буква r перед кавычками говорит python, что символ «\» следует оставить как есть и не интерпретировать как начало спецсимвола (например, перевода строки — «\n»).

Работа с matplotlib основана на использовании графических окон и осей (оси позволяют задать некоторую графическую область). Все построения применяются к текущим осям. Это позволяет изображать несколько графиков в одном графическом окне. По умолчанию создаётся одно графическое окно figure(1) и одна графическая область subplot(111) в этом окне. Команда subplot позволяет разбить графическое окно на несколько областей. Она имеет три параметра: nr, nc, np. Параметры nr и nc определяют количество строк и столбцов на которые разбивается графическая область, параметр np определяет номер текущей области (np принимает значения от 1 до nr*nc). Если nr*nc<10, то передавать параметры nr, nc, np можно без использования запятой. Например, допустимы формы subplot(2,2,1) и subplot(221).

     import numpy as np
     import matplotlib.pyplot as plt
     x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
t = np.arange(-10, 11, 1)

     #subplot 1
     sp = plt.subplot(221)
     plt.plot(x, np.sin(x))
     plt.title(r'$\sin(x)$')
     plt.grid(True)

     #subplot 2
     sp = plt.subplot(222)
     plt.plot(x, np.cos(x), 'g')
     plt.axis('equal')
     plt.grid(True)
     plt.title(r'$\cos(x)$')

     #subplot 3
     sp = plt.subplot(223)
     plt.plot(x, x**2, t, t**2, 'ro')
     plt. 2$')

     #subplot 4
     sp = plt.subplot(224)
     plt.plot(x, x)
     sp.spines['left'].set_position('center')
     sp.spines['bottom'].set_position('center')
     plt.title(r'$x$')

     plt.show()

График может быть построен в полярной системе координат, для этого при создании subplot необходимо указать параметр polar=True:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.subplot(111, polar=True)
phi = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
rho = 2*phi
plt.plot(phi, rho, lw=2)
plt.show()

Или может быть задан в параметрической форме (для этого не требуется никаких дополнительных действий, поскольку два массива, которые передаются в функцию plot воспринимаются просто как списки координат точек, из которых состоит график):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
r = 4
plt.plot(r*np.sin(t), r*np.cos(t), lw=3)
plt.axis('equal')
plt.show()

График функции двух переменных может быть построен, например, так:

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
ax = axes3d.Axes3D(plt.figure())
i = np.arange(-1, 1, 0.01)
X, Y = np.meshgrid(i, i)
Z = X**2 - Y**2
ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

Добавление текста на график: Команду text() можно использовать для добавления текста в произвольном месте (по умолчанию координаты задаются в координатах активных осей), а команды xlabel(), ylabel() и title() служат соответственно для подписи оси абсцисс, оси ординат и всего графика. Для более полной информации смотрите «Text introduction» раздел на оф. сайте.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mu, sigma = 100, 15
x = mu + sigma * np.random.randn(10000)
# the histogram of the data
n, bins, patches = plt.hist(x, 50, density=True, facecolor='g', alpha=0.75)

plt.xlabel('Smarts')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Histogram of IQ')
plt.text(60, . ')
plt.show()

Также в matplotlib существует возможность строить круговые диаграммы:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = [33, 25, 20, 12, 10]
plt.figure(num=1, figsize=(6, 6))
plt.axes(aspect=1)
plt.title('Plot 3', size=14)
plt.pie(data, labels=('Group 1', 'Group 2', 'Group 3', 'Group 4', 'Group 5'))
plt.show()

И аналогичным образом столбчатые диаграммы:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

objects = ('A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F')
y_pos = np.arange(len(objects))
performance = [10,8,6,4,2,1]

plt.bar(y_pos, performance, align='center', alpha=0.5)
plt.xticks(y_pos, objects)
plt.ylabel('Value')
plt.title('Bar title')

plt.show()

Цветовые карты используются, если нужно указать в какие цвета должны окрашиваться участки трёхмерной поверхности в зависимости от значения Z в этой области. Цветовую карту можно задать самому, а можно воспользоваться готовой. Рассмотрим использование цветовой карты на примере графика функции z(x,y)=sin(x)*sin(y)/(x*y).

import pylab
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
import numpy

def makeData():
        x = numpy.arange(-10, 10, 0.1)
        y = numpy.arange(-10, 10, 0.1)
        xgrid, ygrid = numpy.meshgrid(x, y)
        zgrid = numpy.sin(xgrid)*numpy.sin(ygrid)/(xgrid*ygrid)
        return xgrid, ygrid, zgrid

x, y, z = makeData()

fig = pylab.figure()
axes = Axes3D(fig)
axes.plot_surface(x, y, z, rstride=4, cstride=4, cmap=cm.jet)
pylab.show()

Альтернативой к использованию mpl_toolkits.mplot3d является библиотека plotly, которая позволяет интерактивно взаимодействовать с графиком, поворачивая его или увеличивая некоторую область в пространсте.

В Python есть встроенная функция eval(), которая выполняет строку с кодом и возвращает результат выполнения:

>>> eval("2 + 3*len('hello')")
17
>>>

Это очень мощная, но и очень опасная инструкция, особенно если строки, которые вы передаёте в eval, получены не из доверенного источника. Если строкой, которую мы решим скормить eval(), окажется "os.system('rm -rf /')", то интерпретатор честно запустит процесс удаления всех данных с компьютера.

Упражнение №2

Постройте график функции

y(x) = x*x — x — 6

и по графику найдите найдите корни уравнения y(x) = 0. (Не нужно применять численных методов — просто приблизьте график к корням функции настолько, чтобы было удобно их найти.)

Упражнение №4

Используя функцию eval() постройте график функции, введённой с клавиатуры. Чтобы считать данные с клавиатуры, используйте функцию input(). Попробуйте включить эффект «рисование от руки» посредством вызова plt.xkcd(). Посольку эта функция применяет некоторый набор настроек, избавиться от которых впоследствие не так просто, удобнее использовать ее как «контекстный менеджер» — это позволяет применить настройки временно, только к определенному блоку кода. Для этого используется ключевое слово with:

with plt.xkcd():
    plt.pie([70, 10, 10, 10], labels=('В комментариях', 'В Ираке', 'В Сирии', 'В Афганистане'))
    plt.title('Где ведутся самые ожесточенные бои')

Отображение погрешностей

С помощью метода plt.errorbar можно рисовать точки с погрешностями измерений, как для лабораторных работ. Погрешности по осям абсцисс и ординат задаются в параметрах (соответственно) xerr и yerr.

import matplotlib.pyplot as plt
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [0.99, 0.49, 0.35, 0.253, 0.18]
plt.errorbar(x, y, xerr=0.05, yerr=0.1)
plt.grid()
plt.show()

Альтернативой для plt.errorbar может слудить plt.fill_between, который заполняет область графика между кривыми, чтобы регулировать прозрачность используется аргумент alpha. Это число из отрезка [0, 1], на которое домножоается интенсивность цвета заполнения между кривыми.

import numpy as np
import matplotlib. 2$')
plt.scatter(x, x**2 + np.random.randn(len(x))*x, s=0.3)
plt.fill_between(x, 1.3*x**2, 0.7*x**2, alpha=0.3)
plt.legend(loc='best')
plt.savefig('figure_fill_between.png')
plt.show()

В уже использованном модуле numpy есть метод polyfit, позволяющий приближать данные методом наименьших квадратов. Он возвращает погрешности и коэффициенты полученного многочлена.

 x = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
 y = [1, 1.42, 1.76, 2, 2.24, 2.5]
 p, v = np.polyfit(x, y, deg=1, cov=True)

 >>> p
 array([0.28517032, 0.80720757])
 >>> v
 array([[0.00063242, -0.00221348],
[-0.00221348, 0.00959173]])

Многочлен задается формулой p(x) = p[0] * x**deg + … + p[deg]

Для того, чтобы не выписывать каждый раз руками эту формулу для разных степеней, есть функция poly1d, которая возвращает функцию полинома, описанного точками p. Возвращенная функция может принимать на вход не только число, но и список значений, в таком случае, будет вычислено значение функции в каждой точке списка и возвращен список результатов.

p_f = np.poly1d(p)
p_f(0.5)
p_f([1, 2, 3])

Упражнение №5

Приблизить данные из приведённого примера с погрешностями или свои собственные (из лабораторного практикума по общей физике) многочленами первой и второй степени. Начертить точки с погрешностями и полученные аппроксимационные кривые на одном графике.

Резюме: Характеристики функций и их графиков

Ключевые уравнения

Ключевые понятия

• Отношение — это набор упорядоченных пар. Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
• Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex].
• В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям.
• Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
• Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
• Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
• Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
• Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.
• Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
• График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
• График представляет собой взаимно однозначную функцию, если любая горизонтальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.

Глоссарий

зависимая переменная

выходная переменная

домен

набор всех возможных входных значений для отношения

функция

отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение

Тест горизонтальной линии

Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза

независимая переменная

входная переменная

ввод

каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция

индивидуальная функция

функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода

выход

каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию

диапазон

набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении

отношение

набор заказанных пар

Тест вертикальной линии

Способ проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Графики основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -пересечение (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определенная как f (x) = x3., Определенная как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно-определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функцию квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, что обозначено t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.

h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, тогда y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целой функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Основные выводы

• Точки графика для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
• Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
• Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
• Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

Часть A: Основные функции

Сопоставьте график с определением функции.

Оценить.

7. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

8. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

9. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

10. f (x) = | x |; найти f (−10), f (0) и f (a).

11. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

12. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

13. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

14. f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

15. График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон.

16. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.

Функция кубического корня.

17. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

18. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

19. Постройте график функции корня куба, определяемой как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

20. Определите область и диапазон функции кубического корня.

Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .

Часть B: кусочные функции

Постройте график кусочных функций.

25. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

26. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

27. h (x) = {xifx <0xifx≥0

28. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

29. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

30. f (x) = {xifx <1xifx≥1

31. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

32. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

33. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

34. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

35. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

36. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

37. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

38. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

39. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

40. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

Оценить.

45. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

    Найдите f (−5), f (0) и f (3).

46. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

    Найдите f (−3), f (0) и f (2).

47. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

    Найдите g (−1), g (1) и g (4).

48. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

    Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

49. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

    Найдите h (−2), h (0) и h (4).

50. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

    Найдите h (−5), h (4) и h (25).

51. f (x) = [[x − 0,5]]

    Найдите f (−2), f (0) и f (3).

52. f (x) = [[2x]] + 1

    Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

Оцените по графику f .

53. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

54. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

55. Найдите f (0), f (2) и f (4).

56. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

57. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

58. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

59. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

60. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

61. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

    1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
    2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?

62. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

    1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
    2. Какой уровень производства минимизирует удельную стоимость?

63. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

    1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
    2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?

64. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

Часть C: Обсуждение

65. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

66. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка. Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответы

7. f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a

9. f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

13. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

15. Домен: ℝ; диапазон: {5}

17. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

45. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

47. г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

49. ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16

51. f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2

53. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

55. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

57. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

59. f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

Экспоненциальных функций и их графиков

Экспоненциальные функции

До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции — это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа.

Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную.Трансцендентные функции часто могут решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение. тем не мение когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.

Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a ^x , a> 0, а ≠ 1

Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер.Пример: если a = -2, то (-2) ^0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1. Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один.

Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными. Они имеют инверсии, которые также являются функциями. Их можно применять к обеим сторонам уравнения.

Графики экспоненциальных функций

График y = 2 ^x показан справа.Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.

• График проходит через точку (0,1)
• В домене все реальные числа
• Диапазон: y> 0.
• График увеличивается
• График асимптотичен относительно оси x, когда x приближается к отрицательная бесконечность
• График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
• График непрерывный
• График плавный

Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси y. Мы также знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y = 2 ^-x , график был бы отражение относительно оси y y = 2 ^x , и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) ^x .

График y = 2 ^-x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1.

• График проходит через точку (0,1)
• В домене все реальные числа
• Диапазон: y> 0.
• График убывает
• График асимптотичен относительно оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
• График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
• График непрерывный
• График плавный

Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, а поведение на левом и правом концах.

Переводы экспоненциальных графиков

Вы можете применить то, что знаете о переводах (из раздела 1.5) чтобы помочь вам нарисовать график экспоненциальных функций.

Горизонтальный сдвиг может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.

Вертикальный сдвиг может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Не изменится ли график без границ или является асимптотическим (хотя он может меняться там, где он является асимптотическим) влево или Правильно.Икс приблизится к трансцендентному числу e .

Показанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела — это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел — это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление — это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие по алгебре.

Значение для e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезное, приближение.

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​

55170 27618 38606 26133

Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e ^x .Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 ^nd ] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю.

Сложные проценты

Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.

Я знаю, что сбивает с толку. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) ⁿ .

A — это сумма на счете.P — это принципал, с которого вы начали. я — периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n — количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целую главу о финансах и задействованных формулах.

Непрерывное соединение и рост / распад

Раньше было постоянное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

Модель для непрерывного компаундирование: A = P e ^rt .

A — сумма, P — основная сумма, r — годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t — время в годах. e — основание для натурального логарифма.

Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется. постоянно меняется.

Экспоненциальная модель: y = A e ^kt ,

, где y — количество, присутствующее в момент времени t. А — начальное количество, и k — скорость роста (если положительна) или скорость распада (если отрицательный).

Функции и обозначение функций — Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Определите, представляет ли отношение функцию.
• Найдите значение функции.
• Определить, является ли функция взаимно однозначной.
• Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
• Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.

Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.

Определение того, представляет ли отношение функцию

Отношение — это набор упорядоченных пар. Набор, состоящий из первых компонентов каждой упорядоченной пары, называется доменом , а набор, состоящий из вторых компонентов каждой упорядоченной пары, называется диапазоном .Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

Домен
Диапазон