Алгебраические функции и их графики: Ошибка: 404 Материал не найден

Содержание

Урок алгебры по теме «Взаимное расположение графиков линейных функций». 7-й класс

Цели урока:

  •  формирование коммуникативных УУД, включающих  умения высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий таких, как линейная функция, аргумент, прямая пропорциональность.
  • формирование познавательных УУД - основных мыслительных операций в ходе поиска решения заданий:  аналитически и геометрически определять взаимное расположение графиков линейных функций;
  • формирование регулятивных действий - действий контроля, включающих приёмы самопроверки и взаимопроверки, умений самостоятельно двигаться по заданному плану, оценивать и корректировать полученный результат.
  • Формирование личностных УУД:
    • умение  работать  коллективно;
    • аккуратность,  эстетичность в выполнении  чертежей;
    • самостоятельность учащихся, усидчивость, трудолюбие.

Этапы урока:

  1. Актуализация знаний.
  2. Работа над новым материалом.
  3. Обобщение новых знаний.
  4. Применение полученных знаний.
  5. Мониторинг полученных знаний.

Ход урока

1. Актуализация знаний

Отрабатывается знание определений линейной функции, прямой пропорциональности и их графиков.

Ответить на вопросы:

  1. Функция, какого вида называется линейной?
  2. Что является графиком линейной функции?
  3. Как построить график линейной функции?
  4. Функция, какого вида называется прямой пропорциональностью?
  5. Как проходит график функции у = в?
  6. Выполнение тестовых заданий:

Задание №1.

  1.  На каком рисунке изображён график прямой пропорциональности?
  2.  На каком рисунке у графика линейной функции положительный углово коэффициент?
  3. График, какой функции мы не изучали?
  4. На каком рисунке у графика линейной функции отрицательный угловой коэффициент?

Задание №2.

Точка А (1; 8 ) В (1;-8)

принадлежит графику функции, заданной формулой:

а)  у = -15х + 7
б)  у = 7х + 15
в)  у = 15х + 7
г)  у = 15х - 7

Задание №3.

Для данных линейных функций  найдите коэффициент к и ординату точки пересечения графика функции с осью Оу:
 у = 0,5х – 3 и у = 0,2х + 4

а)  к=2;  у =-3
б)  к=0,2;  у = 4
в)  к=0,25;  у = 0
г)  к=0,5;  у = -3
д)  к=0,125;  у = 19

Задание №4.

Перед собой вы видите пять графиков различных функций. Сможете ли Вы узнать имя математика, который впервые ввел для этих функций обозначения. Чтобы сделать это, нужно ответить на вопросы (каждая буква соответствует своему графику).

  1. Какой график функции лишний? Почему?
  2. На каком рисунке изображен график прямой пропорциональности? Почему?
  3. На каком рисунке у графика функции отрицательный угловой коэффициент?
  4. На каком положительный?
  5. На каком чертеже прямая параллельна оси абсцисс?

Задание №5.

1. Определить взаимное расположение прямых, не выполняя построения графиков:

а) у = 3х и у = – х + 2
б) у = 3х и у = 3х + 2
в) у = 3х + 2 и у = – х + 2

Учитель подчеркивает, что учащиеся столкнулись с затруднением – незнанием.

Какую же цель мы можем поставить перед собой на уроке?

2. Работа над новым материалом

Работа над новым материалом проходит в форме исследовательской работы учащихся. Ребята добывают новые знания, выходят на уровень понимания. (работа по группам)

Постройте в одной системе координат графики функций:

Каждая  группа – это исследовательская группа. Задача каждой группы:

  • Построить графики данных функций.
  • Проанализировать алгебраическую модель функций.
  • Провести связь между геометрической моделью и алгебраической – формулой.
  • Обобщить результаты всех членов группы.
  • Сделать вывод. Подготовить представление своей работы.

1-я группа:

Задание: Построить в одной системе координат графики функций и выяснить взаимное расположение графиков в зависимости от коэффициентов:

у = 2х + 3
у = 3х + 3
у = 2х – 4
у = 2х

Сделать вывод (гипотезу)

2-я группа:

Задание: Построить в одной системе координат графики функций и выяснить взаимное расположение графиков в зависимости от коэффициентов:

у = х + 5
у = – х + 3

у = х + 5

Сделать вывод (гипотезу).

3-я группа.

Задание: Построить в одной системе координат графики функций и выяснить взаимное расположение графиков в зависимости от коэффициентов:

у = 0,5х – 1
у = 0,5х + 2
у =- х + 2
у = 0,5х - 1

Сделать вывод (гипотезу).

3. Обобщение полученных знаний

Проходит на новом уровне сложности, в виде заполнения таблицы.

Задание 1: Постройте в одной системе координат графики функций:

у = 2х – 4 и у = 2х +3

  • Чему равен угловой коэффициент каждой прямой?
  • Каково взаимное расположение графиков этих функций?

Задание 2: Постройте в этой же системе координат (другим цветом) графики функций:

У = Зх+2  и У = - 4х+ 3

  • Каково взаимное расположение графиков этих функций?

Задание 3: Как можно составить уравнение линейных функций, чтобы их графики совпадали?

Линейные функции

Алгебраическое условие

Геометрический вывод

у = кх + n
у = ах + в

к = а,  n ≠ в

Прямые параллельны

к = а, n = в

Прямые совпадают

к ≠ а, n ≠ в

Прямые пересекаются

к ≠ а, n = в

Прямые пересекаются в точке (0;n)

4.
Применение полученных знаний

Отработка:

  • алгоритма определения взаимного расположения графиков линейных функций;
  • выбора рационального способа решения;
  • умения сравнивать, анализировать. №10.1;10.2

5. Мониторинг полученных знаний

Умение оперировать старыми и новыми знаниями.

Самостоятельная работа (выполнение тестовых заданий)

Вариант 1

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 3х – 4 и у = 3х + 4.

Выберите правильный ответ:
А. Графики пересекаются;
В. Графики параллельны;
С. Графики совпадают.

2. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 0,5х + 8 и у = х + 8.

Выберите правильный ответ:
А. Графики пересекаются;
В. Графики параллельны;
С. Графики совпадают.

3 . Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 2х + 4 и у = 5х - 8.

Выберите правильный ответ:
А. Графики пересекаются;
В. Графики параллельны;

С. Графики совпадают.

4. Поставьте вместо к такое число, чтобы графики линейных функций у = 8х + 12 и у = кх – 3 были параллельны.

Выберите правильный ответ:
А. 12;
В. -3;
С. 8.

5. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 6х + 2 и у = кх – 3 пересекались.

Выберите правильный ответ:
А. 6;
В. -3;
С. Другой ответ.

6. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = х + 5 и у = кх + 5 совпадали.

Выберите правильный ответ:
А. 1;
В. 5;
С. Другой ответ.

7. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = -4х + 7.

Выберите правильный ответ:
А. Убывает;
В. Возрастает;
С. Другой ответ.

8. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = х - 16.

Выберите правильный ответ:
А. Убывает;
В. Возрастает;

С. Другой ответ.

Вариант 2

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у =2х – 4 и у = 2х - 4.

Выберите правильный ответ:
А. Графики пересекаются;
В. Графики параллельны;
С. Графики совпадают.

2. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 3х + 8 и у = х + 6.

Выберите правильный ответ:
А. Графики пересекаются;
В. Графики параллельны;
С. Графики совпадают.

3. Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков линейных функций у = 0,5х и у = 0,5х + 8.

Выберите правильный ответ:
А. Графики пересекаются;
В. Графики параллельны;
С. Графики совпадают.

4. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 21х + 1 и у = кх – 3 были параллельны.

Выберите правильный ответ:
А. 21;
В. -3;
С. 1.

5. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 5х + 2 и у = кх пересекались.

Выберите правильный ответ:
А. 5;
В. 2;
С. Другой ответ.

6. Поставьте вместо знака к такое число, чтобы графики линейных функций у = 3х + 5 и у = кх + 5 совпадали.

Выберите правильный ответ:
А. 5;
В. 3;
С. Другой ответ.

7. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = х + 7.

Выберите правильный ответ:
А. Убывает;
В. Возрастает;
С. Другой ответ.

8. Не выполняя построения, определите, возрастает или убывает линейная функция у = -6х - 1.

Выберите правильный ответ:
А. Убывает;
В. Возрастает;
С. Другой ответ.

Матрица ответов

Номера заданий

Ответы 1 варианта

Ответы 2 варианта

1.

В

С

2.

С

А

3.

А

В

4.

С

А

5.

В

В

6.

А

В

7.

А

В

8.

В

А

6. Итог урока

Каждый ученик оценивает свои знания полученные на уроке.

Учитель устанавливает соответствие между поставленными задачами и результатами, выносит коррективы, анализирует учебную деятельность.

Домашнее задание. №940; 942; 944.

Энциклопедия элементарной математики. Книга 3 (функции и пределы, основы анализа)

Павел Сергеевич Александров, Алексей Иванович Маркушевич, Александр Яковлевич Хинчин

М.-Л., ГТТИ, 1952. 559 с.
Тираж 50000 экз.

Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

Книга посвящена вопросам анализа, а именно, функциям и пределам. Наряду с учением об элементарных функциях и обстоятельно изложенной теорией пределов, сюда вошли также наиболее элементарные сведения из дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов и сведения о функциях комплексного переменного.

Содержание

Предисловие.

Элементарные функции действительного переменного. Пределы последовательностей и функций. Общее понятие функции.
(В.Л.Гончаров)

Глава I. Общие сведения об элементарных функциях и графиках уравнений.
§ 1. Элементарные функции.
§ 2. Графические представления. Приёмы точечных построений.
§ 3. Простейшие преобразования графиков.
§ 4. Прямая и обратная функции.
§ 5. Элементарное исследование функций (постановка вопроса и некоторые общие приёмы).

Глава II. Обзор элементарных функций и их графиков.
§ 6. Классификация рациональных функций.
§ 7. Целые положительные степени.
§ 8. Многочлены первой степени (линейные функции).
§ 9. Многочлены (трёхчлены) второй степени.
§ 10. Многочлены третьей степени.
§ 11. Биквадратные многочлены.
§ 12. Многочлены высших степеней.
§ 13. Целые отрицательные степени.
§ 14. Дробные линейные функции.
§ 15. Дробные функции второй степени.
§ 16. Дробные рациональные функции (общий случай).
§ 17. Алгебраические иррациональные функции.
§ 18. Примеры исследования алгебраических функций.
§ 19. Элементарные трансцендентные функции.
§ 20. Показательная функция.
§ 21. Функции, связанные с показательной.
§ 22. Логарифмическая функция.
§ 23. Функции, связанные с логарифмической.
§ 24. Произвольная степенная функция.
§ 25. Основные (целые) тригонометрические функции: синус и косинус.
§ 26. Простые гармонические колебания.
§ 27. Тригонометрические многочлены.
§ 28. Многочлены Чебышева.
§ 29. Тангенс и другие дробные тригонометрические функции.
§ 30. Представление функций, рационально зависящих от тригонометрических, через одну или две из них.
§ 31. Примеры исследования функций, рационально зависящих от тригонометрических. Тригонометрические уравнения.
§ 32. Обратные тригонометрические функции.
§ 33. Исследование многочленов Чебышева. Их минимальное свойство.

Глава III. Пределы числовых последовательностей и пределы функций.
§ 34. Конечные и бесконечные числовые последовательности.
§ 35. Общее определение бесконечной числовой последовательности.
§ 36. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
§ 37. Примеры. Предел как единственная предельная точка.
§ 38. Предел последовательности; классическое определение и основные свойства.
§ 39. Обобщение понятия предела (пределы в "несобственном смысле").
§ 40. Предел функции на бесконечности.
§ 41. Односторонний предел функции в конечной точке.
§ 42. Двусторонний предел. Понятие непрерывности.
§ 43. Примеры непрерывных функций.
§ 44. Пределы при монотонном изменении. Число e.

Глава IV. Пределы последовательностей функций. Свойства непрерывных функций.
§ 45. Простая сходимость.
§ 46. Общее понятие функции одной действительной переменной.
§ 47. Свойства непрерывных функций.
§ 48. Равномерная сходимость последовательности непрерывных функций.
§ 49. Теорема Вейерштрасса-Бернштейна о приближении непрерывной функции с помощью рациональных многочленов.
§ 50. Доказательство теоремы.
§ 51. Определение показательной функции. Продолжение непрерывной функции за пределы всюду плотного множества.
§ 52. Теорема Больцано и проблема существования однозначной обратной функции.
§ 53. Функциональные уравнения и элементарные функции.

Глава V. Общее понятие функции.
§ 54. Соответствие между множествами.
§ 55. Геометрические образы в многомерных пространствах.
§ 56. Пространственные отображения.
§ 57. Метрические пространства.
§ 58. Понятие предела в метрическом пространстве.
§ 59. Топологические пространства.
§ 60. Алгебра множеств. Производное множество. Замкнутость и связность.
§ 61. Непрерывные отображения и их свойства.
§ 62. Гомеоморфные отображения.
§ 63. Верхняя и нижняя границы числовых множеств или последовательностей. Верхний и нижний пределы числовых множеств или последовательностей.

Производные, интегралы и ряды.
(И.П.Натансон)

Введение.

Глава I. Производные.
§ 1. Производная и дифференциал.
     1. Задачи, приводящие к понятию производной.
     2. Определение производной.
     3. Дифференцируемость и непрерывность. Односторонние производные.
     4. Производные простейших элементарных функций.
     5. Дифференцирование обратных функций.
     6. Правила комбинирования формул дифференцирования.
     7. Дифференциал.
     8. Производные и дифференциалы высшего порядка.
     9. Частные производные и полный дифференциал.
§ 2. Важнейшие теоремы о производных.
     10. Теоремы Ферма и Ролля.
     11. Формулы Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя.
     12. Формула Тейлора.
     13. Исследования П.Л.Чебышева и С.Н.Бернштейна.
§ 3. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
     14. Признаки постоянства и монотонности функции.
     15. Экстремум функции.
     16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.

Глава II. Интегралы.
§ 4. Неопределенные интегралы.
     17. Основные понятия.
     18. Интегрирование с помощью подстановки.
     19. Интегрирование по частям.
     20. Общие замечания по поводу интегрирования элементарных функций.
§ 5. Определённые интегралы.
     21. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.
     22. Определённый интеграл.
     23. Основные свойства интеграла.
     24. Интеграл, как функция верхнего предела.
     25. Вычисление определённого интеграла с помощью неопределённого.
     26. Формула Валлиса.
     27. Приближённое вычисление определённых интегралов.
§ 6. Приложения интегрального исчисления.
     28. Вычисление площадей.
     29. Вычисление объёмов.
     30. Длина дуги кривой.
     31. Площадь поверхности вращения.
     32. Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением.

Глава III. Ряды.
§ 7. Ряды с постоянными членами.
     33. Основные понятия.
     34. Простейшие свойства рядов.
     35. Положительные ряды.
     36. Знакочередующиеся ряды.
     37. Абсолютная сходимость.
     38. Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.
§ 8. Степенные ряды.
     39. Промежуток сходимости.
     40. Свойства суммы степенного ряда.
     41. Разложение логарифма и составление таблиц логарифмов.
     42. Разложение арктангенса и вычисление π.
     43. Общие замечания по поводу разложения функций в степенные ряды.
     44. Биномиальный ряд.
     45. Очерк аналитической теории тригонометрических функций.

Элементарные функции комплексного переменного.
(В.Л.Гончаров)

§ 1. Рациональные функции.
§ 2. Пределы. Ряды.
§ 3. Показательная функция. Синус и косинус.
§ 4. Выражение тригонометрических функций через показательную.
§ 5. Гиперболические и тригонометрические функции.
§ 6. Логарифм.
§ 7. Произвольная степень.
§ 8. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.
§ 9. Производная.
§ 10. Интеграл.
§ 11. Приближение функций многочленами.
§ 12. Первообразная функция.
§ 13. Интеграл Коши.
§ 14. Понятие аналитической функции.
§ 15. Свойства аналитических функций.
§ 16. Геометрический смысл аналитических функций.
§ 17. Примеры конформных отображений.

Алфавитный указатель.


Список литературы


Загрузить (Mb)
djvu (7.61) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)


ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ - Курсовая работа

Введение (выдержка)

Тема курсовой работы «Преобразование графиков функций».

График функции – это геометрическая интерпретация функции на чертеже. Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, экономика, биология, социология и др. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и алгебра изучает их в виде свойств чисел.

Алгебра рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. Свободное владение техникой построения графиков функций часто помогает решать многие задачи и порой является единственным средством их решения. График и есть изображение нашего понимания того, как ведет себя функция. Для этого необходимо знать элементарные функции, их свойства, владеть методикой построения графиков. А также необходимо знать каким образом можно, преобразовывать графики функций. Правил преобразования графиков функци можно эфективно применять при решении заданий ЕГЭ (части C). Все вышесказанное определяет актуальность рассмотрения данной темы.

Объект исследования: преобразование графиков функций.

Предмет исследования: применение правил преобразования графиков функций для решения алгебраических задач.

Цель курсовой работы: обобщить, систематизировать и расширить знания и умения по построению графиков различных функций в прямоугольно-декартовой системе координат, их преобразованию.

Исходя из цели ставим следующие задачи:

рассмотреть методы построения графиков функций, опирающиеся на простейшие приемы (растяжение, сжатие, параллельный перенос, симметрию).

систематизировать приемы построения графиков.

показать их применение при построении:

а) графиков сложных функций;

б) при решении заданий ЕГЭ из части C.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе приводятся теоретические основы преобразований графиков функций. Во второй главе рассмотрим основные правила преобразования графиков на примерах элементарных функций, а также построение графиков функций y=|f(x)|, y=f(|x|) и обратной функции. Применение правил преобразования графиков при решении заданий ЕГЭ (части C) входят в состав второй главы.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ | algebrafan.uz

Алгебраические функции – это функции, которые построены из букв, чисел и алгебраических операций. Например, алгебраическая функция

   

построена из:

  • букв которые называются переменными;
  • чисел
  • алгебраических операций:

Поэтому, нашим главным помощником при решении задач с алгебраическими функциями будут свойства алгебраических операций. Откройте эту страницу и используйте её, как подсказку! Только эти свойства пригодятся нам для решения любых задач с алгебраическими функциями.

Примечание! В каждой ссылке ниже, вы найдёте не только примеры, задачи и методы их решения, но и много полезной информации об алгебраических функциях. Вся информация располагается по порядку: если какой‑то пункт вам покажется непонятным, то посмотрите предыдущий. Там обязательно найдётся ответ!

Алгебраические функции

1. Целые рациональные функции
1.1. Линейная функция

★ Вычисление значений линейной функции

★ Табличное задание линейной функции

★ Область определения линейной функции

★ Область значений линейной функции

★ Построение графика линейной функции (прямые линии)

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

1.2. Степенная функция

★ Вычисление значений степенной функции

★ Табличное задание степенной функции

★ Область определения степенной функции

★ Область значений степенной функции

★ Построение графика степенной функции

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

1.3. Квадратичная функция

★ Вычисление значений квадратичной функции

★ Табличное задание квадратичной функции

★ Область определения квадратичной функции

★ Область значений квадратичной функции

★ Построение графика квадратичной функции

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

2. Дробные рациональные функции

★ Вычисление значений дробно-рациональной функции

★ Табличное задание дробно-рациональной функции

★ Область определения дробно-рациональной функции

★ Область значений дробно-рациональной функции

★ Построение графика дробно-рациональной функции

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

3. Целые иррациональные функции

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

3. Дробные иррациональные функции

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

★ В разработке

В разработке!!!

Автор: Павел Пяк
Дата публикации: 2018-04-08 20:29:52
Дата обновления и пополнения: 2018-06-26 01:16:35

Вопрос 5. Функция, способы задания. Примеры элементарных функций и их графики.

Тема: Понятие функции

Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения) Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Понятие функции. Основные свойства функций Математический анализ (лекция 2) 28 / 64 Понятие функции. Основные свойства функций Если каждому элементу (значению) x множества X поставлен

Подробнее

Пусть задано числовое множество D

Пусть задано числовое множество D R. Если каждому числу x D поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на множестве D задана числовая функция: y = f (x), x D. Множество D, называется

Подробнее

Элементы высшей математики

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Тема 1.

4 Функции, их свойства и графики

Тема.4 Функции, их свойства и графики Автор: Переверзьева Н.С. Преподаватель математики Лицей 6 Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы

Подробнее

x 4 ; x log 6 - логарифмические неравенства

Вопрос. Неравенства, система линейных неравенств Рассмотрим выражения, которые содержат знак неравенства и переменную:. >, - +х -это линейные неравенств с одной переменной х.. 0 - квадратное неравенство.

Подробнее

Степенная функция. Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия.

Степенная функция Функция вида y=x k, где k>0 постоянная, называется степенной функцией. Если k=1, то y=x линейная функция, ее график прямая линия. Если k=2, то y=x 2 квадратичная функция, ее график парабола.

Подробнее

Задание 18. Задачи с параметром

Линейное уравнение a x = b имеет: единственное решение, при a 0; бесконечное множество решений, при a = 0, b = 0; не имеет решений, при a = 0, b 0. Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет: два различных

Подробнее

Алгоритм решения квадратных неравенств

Алгоритм решения квадратных неравенств 1) Привести неравенство к стандартному виду : 2) Решить квадратное уравнение (т.е. найти точки пересечения параболы с осью Ох):,, если D > 0, то (две точки пересечения

Подробнее

Урок на тему: Построение графиков.

Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

Подробнее

Математическая индустрия моды

Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских и проектных работ учащихся 6-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» прикладные вопросы математики Математическая индустрия

Подробнее

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

СОДЕРЖАНИЕ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА ФУНКЦИИ...10 Основные свойства функций...11 Четность и нечетность...11 Периодичность...12 Нули функции...12 Монотонность (возрастание, убывание)...13 Экстремумы (максимумы

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ (для

Подробнее

Алгебра. Программа. 9 класс

Алгебра. Программа. 9 класс Пояснительная записка. Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей: овладение системой математических знаний и умений,

Подробнее

«ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

В.И. Иванов С.И. Васин

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов С.И. Васин Методические указания к изучению темы «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ»

Подробнее

математика (алгебра)

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Калининская средняя общеобразовательная школа» Принято на педагогическом совете «Утверждаю протокол от 018 Директор МОУ «Калининская СОШ Е. Г. Борщевска Пр.

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

4 Лекция Функция

Функция Понятие функции Способы задания функции Характеристики функции Обратная функция Предел функции Предел функции в точке Односторонние пределы Предел функции при x Бесконечно большая функция 4 Лекция

Подробнее

Тема 9 «Функция. Свойства функций»

Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

Подробнее

ФУНКЦИЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА понятия, которые можно описать, но нельзя строго определить, так как любая попытка дать строгое определение неизбежно сведётся к замене определяемого понятия ему

Подробнее

10 класс, Математика (профиль) уч.год Тема модуля 1 «Корни, степени, логарифмы»

0 класс, Математика (профиль) 0-08 учгод Тема модуля «Корни, степени, логарифмы» Знать Понятия действительного числа, множества чисел, свойства действительных чисел, делимость целых чисел****, свойства

Подробнее

Квадратичная функция

Квадратичная функция Функция вида y=ax +bx+c, где а 0, называется квадратичной. Значения х, при которых функция принимает значение, равное 0, называют нулями функции. Если b=c=0, то функция принимает вид

Подробнее

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства Неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называются иррациональными Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного

Подробнее

Функции одной переменной

Функции одной переменной. Действительные числа В нашем курсе мы постоянно будем иметь дело с действительными числами. Напомним основные сведения о действительных числах, известные и школьного курса математики.

Подробнее

11.1. Функции Базовый уровень.

111 Функции Базовый уровень Оглавление 11101 Системы координат 1110 Понятие функции 7 1110 Область определения функции 10 11104 Область (множество) значений функции 1 11105 Возрастание и убывание функции

Подробнее

Дом Севастьянова. Екатеринбург

Дом Севастьянова. Екатеринбург 9. Функция =, её график и свойства 0. Свойства квадратных корней. Тождество =. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня. Внесение множителя под знак квадратного

Подробнее

Функция y = cos x. Ее свойства и график

Функция y = cos x Ее свойства и график 1 Сегодня мы рассмотрим Построение графика функции y = cos x; Свойства функции y = cos x; Изменение графика функции y = cos x в зависимости от изменения функции и

Подробнее

Определение 1. Функция y = ax + bx + c, где a, b, c - действительные числа, причем a 0, называется квадратичной. 1) Область определения. ( f ) R.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК Определение. Функция, где,, - действительные числа, причем 0, называется квадратичной. Область определения. ( f R, так как выражение определено для любых. Область значений.

Подробнее

1 Степень с целым показателем

Глава 9 Степени Степень с целым показателем. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0 ; > >.. >. Если четно, то ( ) < ( ). Например, ( ) 0 = 0 < 0 = = ( ) 0. Если нечетно, то ( ) > ( ). Например, ( ) = > = = ( ), так

Подробнее

Планируемые результаты

Повторение 7 часов. п/п Дата Тема урока Тип урока Основные вопросы 1. Повторение. Преобразование алгебраических дробей. 2. Повторение. Преобразование алгебраических дробей. 3 Повторение. Степени. Степень

Подробнее

Математический анализ

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Содержание темы учебного курса

Содержание темы учебного курса п/п Наименование разделов, тем уроков Кол-во часов Содержание учебной темы Требование к знаниям и умениям Формы и виды контроля Глава. Рациональные неравенства 5-3 Линейные

Подробнее

Найти точку пересечения графиков линейных функций

Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.

Графики двух линейных функций параллельны друг другу, если имеют одинаковый угловой коэффициент (k) и различное значение m (если и m будет одно и то же, то это будет одна и та же функция). Действительно, ведь k определяет угол между осью x и прямой, а значит у графиков линейных функций, отличающихся лишь значением m, угол с осью абсцисс один и тот же, и, следовательно, графики будут параллельны. Пример: графики функций y = 2x – 3 и y = 2x + 1 параллельны и, следовательно, не пересекаются.

Если две линейные функции имеют различные k, но одинаковые m, то они пересекаются в точке (0; m). Действительно, если x = 0, то независимо от того, чему равен k, y становится равен m. Пример: y = –1.3x + 8 и y = 2.1x + 8.

Если две линейные функции имеют различные и k и m, то они пересекаются в какой-то точке, которую можно найти графическим способом. Сначала на координатной плоскости чертится одна прямая, затем вторая, далее находится их точка пересечения. Для того, чтобы начертить прямую линейной функции, надо найти две точки, которые принадлежат прямой. Для этого берут два различных x и вычисляют y. Это нужно сделать для каждой из двух функция. При этом не обязательно брать одинаковые x. Следует брать те, вычислять с которыми удобнее, или их будет проще нанести на координатную плоскость.

Также можно решить уравнение. Ведь точка пересечения — это та точка, где у обоих функций одинаковы x и y. Если y одинаковы, то правая часть одного уравнения равна правой части другой. То есть их можно приравнять и найти значение x, при котором это равенство верно. А далее, имея x, можно вычислить y, через любую из функций. Пример:
Даны y = 4x – 5 и y = –2x + 1
4x – 5 = –2x + 1
4x + 2x = 1 + 5
6x = 6
x = 1
y = 4 * 1 – 5 = –1 или y = –2 * 1 + 1 = –1

Таким образом точка пересечения (1; –1).

Пострение графиков

Фундаментальная задача программирования — вычисление математических и, в частности, алгебраических функций. Казалось бы, что проще? Однако, запись выражения на языке математики не принимается напрямую языком программирования. Выражение нужно написать в виде, который будет понятен тому или иному языку программирования.

Например, y = x², должно быть записано как y = x*x или y = x**2.

Упражнение №1

Запишите выражение, заданное формулой, в виде, подходящем для языка Python.

и найдите его значения в точках 1, 10, 1000.

Для вычисления математических функций мы не будем использовать стандартную библиотеку math. Т.к. она не работает с векторами. В нашем случае разумней обратить внимание на библиотеку numpy. Данная библиотека обеспечивает удобную работу с векторам.

Т.е., если у нас есть вектор x=[1, 2, 3, 4] и мы вызовим numpy.log(x), то логарифм будет взят от каждого элемента списка и возвращен будет список значений.

Аналогичная функция в модуля math ожидает число, т.е. нельзя сделать math.log(x), нужно делать math.log(x[0]) и т.д.

Традиционно библиотека numpy подключается командой:

Данный вызов сообщает, что подключить numpy под псевдонимом np. Это делается, чтобы не писать каждый раз:

А писать:

Такой код, с более коротким именем библиотеки, элементарно, проще читать.

Основные математические функции и константы функии, которые нам понадобятся из numpy:

Функция библиотеки math Математическая функция
np.pi Число pi
np.e Число e
np.cos Косинус
np.sin Синус
np.tan Тангенс
np.acos Арккосинус
np.asin Арксинус
np.atan Арктангенс
np.exp Экспонента
np.log Логарифм

Функция log вычисляет натуральный логарифм. Чтобы вычислить логарифм по другому основанию, нужно воспользоваться формулой перехода. Например, если мы хотим получить логарифм x по основанию 2, нужно написать:

matplotlib - набор дополнительных модулей (библиотек) языка Python. Предоставляет средства для построения самых разнообразных 2D графиков и диаграмм данных. Отличается простотой использования — для построения весьма сложных и красочно оформленных диаграмм достаточно нескольких строк кода. При этом качество получаемых изображений более чем достаточно для их публикования. Также позволяет сохранять результаты в различных форматах, например Postscript, и, соответственно, вставлять изображения в документы TeX. Предоставляет API для встраивания своих графических объектов в приложения пользователя.

Пример построения графика функции:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
plt.plot(x, x**2)
plt.show()

На одном рисунке можно построить несколько графиков функций:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x)
plt.show()

Также довольно просто на график добавить служебную информацию и отобразить сетку:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
plt.plot(x, np.sin(x), x, np.cos(x), x, -x)
plt.xlabel(r'$x$')
plt.ylabel(r'$f(x)$')
plt.title(r'$f_1(x)=\sin(x),\ f_2(x)=\cos(x),\ f_3(x)=-x$')
plt.grid(True)
plt.show()

Или используя legend(), где можно указать место расположения подписей к кривым на графике в параметре loc. Подписи могут быть явно переданы legend((line1, line2, line3), ('label1', 'label2', 'label3')) или могут быть переданы в аргумет label, как в примере ниже. Чтобы сохранить график нужно воспользоваться savefig(figure_name), где figure_name явлется строкой назания файла с указанием расширения. Для текстовых полей можно изменять шрифт (fontsize), для большей читаемости графика, а его размер указывается с помощью figure(figsize=(10, 5)).

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.arange(-10, 10.01, 0. 01)
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, np.sin(x), label=r'$f_1(x)=\sin(x)$')
plt.plot(x, np.cos(x), label=r'$f_2(x)=\cos(x)$')
plt.plot(x, -x, label=r'$f_3(x)=-x$')
plt.xlabel(r'$x$', fontsize=14)
plt.ylabel(r'$f(x)$', fontsize=14)
plt.grid(True)
plt.legend(loc='best', fontsize=12)
plt.savefig('figure_with_legend.png')
plt.show()

Текстовые поля в matplotlib могут содержать разметку LaTeX, заключенную в знаки $. Буква r перед кавычками говорит python, что символ "\" следует оставить как есть и не интерпретировать как начало спецсимвола (например, перевода строки - "\n").

Работа с matplotlib основана на использовании графических окон и осей (оси позволяют задать некоторую графическую область). Все построения применяются к текущим осям. Это позволяет изображать несколько графиков в одном графическом окне. По умолчанию создаётся одно графическое окно figure(1) и одна графическая область subplot(111) в этом окне. Команда subplot позволяет разбить графическое окно на несколько областей. Она имеет три параметра: nr, nc, np. Параметры nr и nc определяют количество строк и столбцов на которые разбивается графическая область, параметр np определяет номер текущей области (np принимает значения от 1 до nr*nc). Если nr*nc<10, то передавать параметры nr, nc, np можно без использования запятой. Например, допустимы формы subplot(2,2,1) и subplot(221).

     import numpy as np
     import matplotlib.pyplot as plt
     x = np.arange(-10, 10.01, 0.01)
t = np.arange(-10, 11, 1)

     #subplot 1
     sp = plt.subplot(221)
     plt.plot(x, np.sin(x))
     plt.title(r'$\sin(x)$')
     plt.grid(True)

     #subplot 2
     sp = plt.subplot(222)
     plt.plot(x, np.cos(x), 'g')
     plt.axis('equal')
     plt.grid(True)
     plt.title(r'$\cos(x)$')

     #subplot 3
     sp = plt.subplot(223)
     plt.plot(x, x**2, t, t**2, 'ro')
     plt. 2$')

     #subplot 4
     sp = plt.subplot(224)
     plt.plot(x, x)
     sp.spines['left'].set_position('center')
     sp.spines['bottom'].set_position('center')
     plt.title(r'$x$')

     plt.show()

График может быть построен в полярной системе координат, для этого при создании subplot необходимо указать параметр polar=True:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.subplot(111, polar=True)
phi = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
rho = 2*phi
plt.plot(phi, rho, lw=2)
plt.show()

Или может быть задан в параметрической форме (для этого не требуется никаких дополнительных действий, поскольку два массива, которые передаются в функцию plot воспринимаются просто как списки координат точек, из которых состоит график):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
t = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01)
r = 4
plt.plot(r*np.sin(t), r*np.cos(t), lw=3)
plt.axis('equal')
plt.show()

График функции двух переменных может быть построен, например, так:

from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
ax = axes3d.Axes3D(plt.figure())
i = np.arange(-1, 1, 0.01)
X, Y = np.meshgrid(i, i)
Z = X**2 - Y**2
ax.plot_wireframe(X, Y, Z, rstride=10, cstride=10)
plt.show()

Добавление текста на график: Команду text() можно использовать для добавления текста в произвольном месте (по умолчанию координаты задаются в координатах активных осей), а команды xlabel(), ylabel() и title() служат соответственно для подписи оси абсцисс, оси ординат и всего графика. Для более полной информации смотрите «Text introduction» раздел на оф. сайте.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
mu, sigma = 100, 15
x = mu + sigma * np.random.randn(10000)
# the histogram of the data
n, bins, patches = plt.hist(x, 50, density=True, facecolor='g', alpha=0.75)

plt.xlabel('Smarts')
plt.ylabel('Probability')
plt.title('Histogram of IQ')
plt.text(60, . ')
plt.show()

Также в matplotlib существует возможность строить круговые диаграммы:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = [33, 25, 20, 12, 10]
plt.figure(num=1, figsize=(6, 6))
plt.axes(aspect=1)
plt.title('Plot 3', size=14)
plt.pie(data, labels=('Group 1', 'Group 2', 'Group 3', 'Group 4', 'Group 5'))
plt.show()

И аналогичным образом столбчатые диаграммы:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

objects = ('A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F')
y_pos = np.arange(len(objects))
performance = [10,8,6,4,2,1]

plt.bar(y_pos, performance, align='center', alpha=0.5)
plt.xticks(y_pos, objects)
plt.ylabel('Value')
plt.title('Bar title')

plt.show()

Цветовые карты используются, если нужно указать в какие цвета должны окрашиваться участки трёхмерной поверхности в зависимости от значения Z в этой области. Цветовую карту можно задать самому, а можно воспользоваться готовой. Рассмотрим использование цветовой карты на примере графика функции z(x,y)=sin(x)*sin(y)/(x*y).

import pylab
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
import numpy

def makeData():
        x = numpy.arange(-10, 10, 0.1)
        y = numpy.arange(-10, 10, 0.1)
        xgrid, ygrid = numpy.meshgrid(x, y)
        zgrid = numpy.sin(xgrid)*numpy.sin(ygrid)/(xgrid*ygrid)
        return xgrid, ygrid, zgrid

x, y, z = makeData()

fig = pylab.figure()
axes = Axes3D(fig)
axes.plot_surface(x, y, z, rstride=4, cstride=4, cmap=cm.jet)
pylab.show()

Альтернативой к использованию mpl_toolkits.mplot3d является библиотека plotly, которая позволяет интерактивно взаимодействовать с графиком, поворачивая его или увеличивая некоторую область в пространсте.

В Python есть встроенная функция eval(), которая выполняет строку с кодом и возвращает результат выполнения:

>>> eval("2 + 3*len('hello')")
17
>>>

Это очень мощная, но и очень опасная инструкция, особенно если строки, которые вы передаёте в eval, получены не из доверенного источника. Если строкой, которую мы решим скормить eval(), окажется "os.system('rm -rf /')", то интерпретатор честно запустит процесс удаления всех данных с компьютера.

Упражнение №2

Постройте график функции

y(x) = x*x - x - 6

и по графику найдите найдите корни уравнения y(x) = 0. (Не нужно применять численных методов — просто приблизьте график к корням функции настолько, чтобы было удобно их найти.)

Упражнение №4

Используя функцию eval() постройте график функции, введённой с клавиатуры. Чтобы считать данные с клавиатуры, используйте функцию input(). Попробуйте включить эффект «рисование от руки» посредством вызова plt.xkcd(). Посольку эта функция применяет некоторый набор настроек, избавиться от которых впоследствие не так просто, удобнее использовать ее как "контекстный менеджер" - это позволяет применить настройки временно, только к определенному блоку кода. Для этого используется ключевое слово with:

with plt.xkcd():
    plt.pie([70, 10, 10, 10], labels=('В комментариях', 'В Ираке', 'В Сирии', 'В Афганистане'))
    plt.title('Где ведутся самые ожесточенные бои')

Отображение погрешностей

С помощью метода plt.errorbar можно рисовать точки с погрешностями измерений, как для лабораторных работ. Погрешности по осям абсцисс и ординат задаются в параметрах (соответственно) xerr и yerr.

import matplotlib.pyplot as plt
x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [0.99, 0.49, 0.35, 0.253, 0.18]
plt.errorbar(x, y, xerr=0.05, yerr=0.1)
plt.grid()
plt.show()

Альтернативой для plt.errorbar может слудить plt.fill_between, который заполняет область графика между кривыми, чтобы регулировать прозрачность используется аргумент alpha. Это число из отрезка [0, 1], на которое домножоается интенсивность цвета заполнения между кривыми.

import numpy as np
import matplotlib. 2$')
plt.scatter(x, x**2 + np.random.randn(len(x))*x, s=0.3)
plt.fill_between(x, 1.3*x**2, 0.7*x**2, alpha=0.3)
plt.legend(loc='best')
plt.savefig('figure_fill_between.png')
plt.show()

В уже использованном модуле numpy есть метод polyfit, позволяющий приближать данные методом наименьших квадратов. Он возвращает погрешности и коэффициенты полученного многочлена.

 x = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
 y = [1, 1.42, 1.76, 2, 2.24, 2.5]
 p, v = np.polyfit(x, y, deg=1, cov=True)

 >>> p
 array([0.28517032, 0.80720757])
 >>> v
 array([[0.00063242, -0.00221348],
[-0.00221348, 0.00959173]])

Многочлен задается формулой p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg]

Для того, чтобы не выписывать каждый раз руками эту формулу для разных степеней, есть функция poly1d, которая возвращает функцию полинома, описанного точками p. Возвращенная функция может принимать на вход не только число, но и список значений, в таком случае, будет вычислено значение функции в каждой точке списка и возвращен список результатов.

p_f = np.poly1d(p)
p_f(0.5)
p_f([1, 2, 3])

Упражнение №5

Приблизить данные из приведённого примера с погрешностями или свои собственные (из лабораторного практикума по общей физике) многочленами первой и второй степени. Начертить точки с погрешностями и полученные аппроксимационные кривые на одном графике.

Резюме: Характеристики функций и их графиков

Ключевые уравнения

Постоянная функция [латекс] f \ left (x \ right) = c [/ latex], где [latex] c [/ latex] - константа
Функция идентификации [латекс] f \ left (x \ right) = x [/ латекс]
Функция абсолютного значения [латекс] f \ left (x \ right) = | x | [/ латекс]
Квадратичная функция [латекс] f \ left (x \ right) = {x} ^ {2} [/ latex]
Кубическая функция [латекс] f \ left (x \ right) = {x} ^ {3} [/ latex]
Возвратная функция [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} [/ latex]
Функция обратного квадрата [латекс] f \ left (x \ right) = \ frac {1} {{x} ^ {2}} [/ latex]
Функция квадратного корня [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {x} [/ latex]
Функция кубического корня [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt [3] {x} [/ latex]

Ключевые понятия

  • Отношение - это набор упорядоченных пар. Функция - это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
  • Функциональная нотация - это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex].
  • В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям.
  • Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
  • Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
  • Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
  • Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
  • Связь входных значений с выходными значениями на графике - еще один способ оценить функцию.
  • Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
  • График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
  • График представляет собой взаимно однозначную функцию, если любая горизонтальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.

Глоссарий

зависимая переменная
выходная переменная
домен
набор всех возможных входных значений для отношения
функция
отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение
Тест горизонтальной линии
Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза
независимая переменная
входная переменная
ввод
каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция
индивидуальная функция
функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода
выход
каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию
диапазон
набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении
отношение
набор заказанных пар
Тест вертикальной линии
Способ проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

Внесите свой вклад!

У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

Улучшить эту страницуПодробнее

Графики основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c - любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f (x) = c, где c - действительное число.. Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения для x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -пересечение (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определенная как f (x) = x3., Определенная как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

Домен и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

Домен и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности. Это описывает вертикальную асимптоту - вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту - горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно-определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., - это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительно, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функцию квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, что обозначено t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = - 16t2 + 32t.

h (0) = - 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = - 32, h (0) = 0 и h (3) = - 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Где x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) - это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = - 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x - любое действительное число, тогда y = [[x]] - наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целой функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ.Эту функцию часто называют минимальной функцией - термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Основные выводы

  • Точки графика для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
  • Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
  • Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
  • Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

    Часть A: Основные функции

      Сопоставьте график с определением функции.

      Оценить.

    1. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

    2. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

    3. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

    4. f (x) = | x |; найти f (−10), f (0) и f (a).

    5. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

    6. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

    7. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

    8. f (x) = - 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

    9. График f (x) = 5 и укажите его область определения и диапазон.

    10. График f (x) = - 9 и укажите область определения и диапазон.

      Функция кубического корня.

    1. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

    2. Найдите точки на графике функции, определенной как f (x) = x3, со значениями x в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

    3. Постройте график функции корня куба, определяемой как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

    4. Определите область и диапазон функции кубического корня.

      Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .

    Часть B: кусочные функции

      Постройте график кусочных функций.

    1. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

    2. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

    3. h (x) = {xifx <0xifx≥0

    4. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

    5. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

    6. f (x) = {xifx <1xifx≥1

    7. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

    8. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

    9. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

    10. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

    11. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

    12. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

    13. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

    14. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

    15. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

    16. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

      Оценить.

    1. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

      Найдите f (−5), f (0) и f (3).

    2. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

      Найдите f (−3), f (0) и f (2).

    3. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

      Найдите g (−1), g (1) и g (4).

    4. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

      Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

    5. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

      Найдите h (−2), h (0) и h (4).

    6. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

      Найдите h (−5), h (4) и h (25).

    7. f (x) = [[x − 0,5]]

      Найдите f (−2), f (0) и f (3).

    8. f (x) = [[2x]] + 1

      Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

      Оцените по графику f .

    1. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

    2. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

    3. Найдите f (0), f (2) и f (4).

    4. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

    5. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

    6. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

    7. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

    8. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

    9. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

      1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
      2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?
    10. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

      1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
      2. Какой уровень производства минимизирует удельную стоимость?
    11. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией: г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

      1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
      2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?
    12. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

    Часть C: Обсуждение

    1. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

    2. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка. Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответы

  1. f (−10) = - 10, f (0) = 0, f (a) = a

  2. f (−10) = - 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

  3. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

  4. Домен: ℝ; диапазон: {5}

  5. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

  1. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

  2. г (-1) = - 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

  3. ч (-2) = - 5, ч (0) = - 3 и ч (4) = 16

  4. f (−2) = - 3, f (0) = - 1 и f (3) = 2

  5. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

  6. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

  7. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

  8. f (−2) = - 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

Экспоненциальных функций и их графиков

4. 1 - Экспоненциальные функции и их графики

Экспоненциальные функции

До сих пор мы имели дело с алгебраическими функциями. Алгебраические функции - это функции, которые могут быть выражены с помощью арифметических операций и значения которых либо рациональны, либо являются корнем Рациональное число. Теперь мы будем иметь дело с трансцендентными функциями. Трансцендентный функции возвращают значения, которые не могут быть выражены как рациональные числа или корни рациональных числа.

Алгебраические уравнения в большинстве случаев можно решить вручную.Трансцендентные функции часто могут решить вручную с помощью калькулятора, необходимого, если вы хотите десятичное приближение. тем не мение когда трансцендентные и алгебраические функции смешиваются в уравнении, графическом или числовом методы иногда являются единственным способом найти решение.

Простейшая экспоненциальная функция: f (x) = a x , a> 0, а ≠ 1

Причины ограничений просты. Если a≤0, то когда вы возведете его в рациональную степень, вы можете не получить реальный номер.Пример: если a = -2, то (-2) 0,5 = sqrt (-2), что нереально. Если a = 1, тогда независимо от того, что такое x, значение f (x) равно 1. Это довольно скучная функция, и это, безусловно, не один на один.

Напомним, что у однозначных функций есть несколько свойств, которые делают их желательными. Они имеют инверсии, которые также являются функциями. Их можно применять к обеим сторонам уравнения.

Графики экспоненциальных функций

График y = 2 x показан справа.Вот некоторые свойства экспоненциальной функции, когда основание больше 1.

  • График проходит через точку (0,1)
  • В домене все реальные числа
  • Диапазон: y> 0.
  • График увеличивается
  • График асимптотичен относительно оси x, когда x приближается к отрицательная бесконечность
  • График неограниченно увеличивается по мере приближения x положительная бесконечность
  • График непрерывный
  • График плавный

Каким будет перевод, если вы замените каждый x на -Икс? Это было бы отражение относительно оси y. Мы также знайте, что когда мы поднимаем базу до отрицательной силы, один результат состоит в том, что берется обратное число. Так, если бы мы построили график y = 2 -x , график был бы отражение относительно оси y y = 2 x , и функция будет быть эквивалентным y = (1/2) x .

График y = 2 -x показан справа. Свойства экспоненциальная функция и ее график при базисе дано от 0 до 1.

  • График проходит через точку (0,1)
  • В домене все реальные числа
  • Диапазон: y> 0.
  • График убывает
  • График асимптотичен относительно оси x, когда x стремится к положительной бесконечности
  • График неограниченно увеличивается по мере приближения x к отрицательной бесконечности
  • График непрерывный
  • График плавный

Обратите внимание, единственная разница в том, увеличивается или уменьшается функция, а поведение на левом и правом концах.

Переводы экспоненциальных графиков

Вы можете применить то, что знаете о переводах (из раздела 1.5) чтобы помочь вам нарисовать график экспоненциальных функций.

Горизонтальный сдвиг может повлиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), левостороннее / правостороннее поведение графика и точка пересечения по оси Y, но это не изменит местоположение горизонтальной асимптоты.

Вертикальный сдвиг может влиять на увеличение / уменьшение (если умножается на отрицательное), точку пересечения по оси Y и положение горизонтальной асимптоты. Не изменится ли график без границ или является асимптотическим (хотя он может меняться там, где он является асимптотическим) влево или Правильно.Икс приблизится к трансцендентному числу e .

Показанные предельные обозначения взяты из расчетов. Обозначение предела - это способ спросить, что происходит с выражением, когда x приближается к показанному значению. Предел - это разделительная линия между исчислением и алгеброй. Исчисление - это алгебра с понятием предела. Люди всегда я не могу понять этого страха перед расчетом. Само исчисление простое. Причина люди не преуспевают в исчислении не из-за исчисления, а из-за того, что они плохие по алгебре.

Значение для e составляет приблизительно 2,718281828. Вот чуть более точный, но не более полезное, приближение.

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45716 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​

55170 27618 38606 26133

Когда используется основание e , экспоненциальная функция принимает вид f (x) = e x .Икс. На калькуляторах TI-8x он находится слева как a [2 nd ] [Ln]. В экспоненциальная функция с основанием e иногда сокращается как exp (). Одно общее место это аббревиатура появляется при написании компьютерных программ. Я упоминаю об этом, поэтому, когда я пишу exp (x), ты знаешь о чем я говорю.

Сложные проценты

Сумма на вашем сберегательном счете может быть вычислена с экспоненциальной функцией. Каждый период (я предположим, ежемесячно), вы получаете 1/12 годовой процентной ставки (r), применяемой к вашему счету.Новый сумма на счете составляет 100% от того, с чего вы начали, плюс r% / 12 от того, с чего вы начали. Это означает, что теперь у вас есть (100% + r% / 12) того, с чего вы начали. В следующем месяце вы будет то же самое, за исключением того, что он будет основан на том, что у вас было в конце первого месяца.

Я знаю, что сбивает с толку. На странице 304 текста есть объяснение, но полученная формула для Сложный процент равен A = P (1 + i) n .

A - это сумма на счете.P - это принципал, с которого вы начали. я - периодическая ставка, которая представляет собой годовой процент (записанный в виде десятичной дроби) r, разделенный по количеству периодов в году, м. n - количество периодов начисления сложных процентов, что равно количество периодов в году, м, умноженное на время в годах, т. Формула Я показал выше немного отличается от формулы в книге, но согласен с формулой, которую вы будете использовать, если пойдете по конечной математике (Math 160). В конечной математике есть целую главу о финансах и задействованных формулах.

Непрерывное соединение и рост / распад

Раньше было постоянное начисление процентов. Ты не найти его больше, потому что он дает максимальную отдачу от инвестиций, и банки в бизнесе, чтобы сделать деньги, как и любое другое коммерческое учреждение.

Модель для непрерывного компаундирование: A = P e rt .

A - сумма, P - основная сумма, r - годовая процентная ставка (написано в виде десятичной дроби), а t - время в годах. e - основание для натурального логарифма.

Однако непрерывная модель имеет смысл для роста населения и радиоактивного распада. Радиоактивность изотопа не меняется раз в месяц в конце месяца, а не меняется. постоянно меняется.

Экспоненциальная модель: y = A e kt ,

, где y - количество, присутствующее в момент времени t. А - начальное количество, и k - скорость роста (если положительна) или скорость распада (если отрицательный).

Функции и обозначение функций - Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Определите, представляет ли отношение функцию.
  • Найдите значение функции.
  • Определить, является ли функция взаимно однозначной.
  • Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
  • Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.

Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета. Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.

Определение того, представляет ли отношение функцию

Отношение - это набор упорядоченных пар. Набор, состоящий из первых компонентов каждой упорядоченной пары, называется доменом , а набор, состоящий из вторых компонентов каждой упорядоченной пары, называется диапазоном .Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре - это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

Домен
Диапазон

Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение или зависимая переменная, и часто обозначается строчной буквой

Функция - это отношение, которое назначает один элемент в диапазоне каждому элементу в домене . Другими словами, значения x не повторяются. Для нашего примера, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене сопряжен ровно с одним элементом в диапазоне,

Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Будет отображаться как

Обратите внимание, что каждый элемент в домене
равен , а не в паре с ровно одним элементом в диапазоне,
Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из домена
, а термин «четный» соответствует двум значения из диапазона,
Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.

(рисунок) сравнивает отношения, которые являются функциями, а не функциями.

Функция

Функция - это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход - это функция входа».

Входные значения составляют область, а выходные значения составляют диапазон.

Как к

Учитывая взаимосвязь между двумя величинами, определите, является ли взаимосвязь функцией.

  1. Определите входные значения.
  2. Определите выходные значения.
  3. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.

Определение того, являются ли прайс-листы меню функциями

Меню кофейни, показанное на (Рисунок), состоит из позиций и их цен.

  1. Цена зависит от товара?
  2. Товар зависит от цены?
Рисунок 2.

[show-answer q = ”855295 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 855295 ″]

  1. Давайте начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения - это цены.

    У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента.

  2. Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных.См. (Рисунок). Рисунок 3.

    Следовательно, товар не зависит от цены.

[/ hidden-answer]

Определение того, являются ли правила оценки класса функциями

В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу. Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? (Рисунок) показывает возможное правило присвоения баллов.

Процентное содержание 0–56 57–61 62–66 67–71 72–77 78–86 87–91 92–100
Средний балл 0.0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
[show-answer q = ”fs-id1165135424616 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135424616 ″]

Для любой процентной оценки существует соответствующий средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.

В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.

[/ hidden-answer]

Попробуй

(рисунок) перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.

Игрок Рейтинг
Бейб Рут 1
Вилли Мейс 2
Тай Кобб 3
Уолтер Джонсон 4
Хэнк Аарон 5
  1. Является ли ранг функцией имени игрока?
  2. Является ли имя игрока функцией ранга?
[show-answer q = ”fs-id1165137724415 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137724415 ″]

а. да; б. да. (Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.)

[/ hidden-answer]

Представление функций с помощью таблиц

Общий метод представления функций - в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения. В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.

(рисунок) перечисляет входное число каждого месяца (январь = 1, февраль = 2 и т. Д.) И выходное значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце, где месяцы идентифицируются целым числом, а не именем.

Номер месяца, (ввод) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Дней в месяце, (выход) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

(рисунок) определяет функцию Помните, это обозначение говорит нам, что это имя функции, которая принимает входные данные и выдает выход

1 2 3 4 5
8 6 7 6 8

(Рисунок) отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.

Возраст в годах, (ввод) 5 5 6 7 8 9 10
Высота в дюймах (на выходе) 40 42 44 47 50 52 54

Как к

Учитывая таблицу входных и выходных значений, определите, представляет ли таблица функцию.

  1. Определите входные и выходные значения.
  2. Убедитесь, что каждое входное значение сопряжено только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.

Идентификационные таблицы, представляющие функции

Какая таблица (рисунок), (рисунок) или (рисунок) представляет функцию (если есть)?

Ввод Выход
–3 5
0 1
4 5
[show-answer q = ”fs-id1165137665675 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137665675 ″]

(рисунок) и (рисунок) определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. (Рисунок) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.

Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.

Функция, представленная (Рисунок), может быть представлена ​​записью

Аналогично выписки

представляют функцию на (Рисунок).

(рисунок) не может быть выражен аналогичным образом, потому что он не представляет функцию.[/ hidden-answer]

Попробуй

Представляет ли (рисунок) функцию?

Ввод Выход
1 10
2 100
3 1000
[show-answer q = ”fs-id1165135322022 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135322022 ″]

да

[/ hidden-answer]

Поиск входных и выходных значений функции

Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию.Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.

Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем для входа. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.

Вычисление функций в алгебраических формах

Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.Например, функция может быть вычислена путем возведения входного значения в квадрат, умножения на 3 и последующего вычитания произведения из 5.

Как к

Учитывая формулу функции, оцените.

  1. Замените входную переменную в формуле указанным значением.
  2. Рассчитайте результат.

Попробуй

Учитывая функцию оценки

[show-answer q = ”fs-id1165137441862 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137441862 ″]

[/ hidden-answer]

Решающие функции

Учитывая функцииolve для

Попробуй

Учитывая functionsolve

[show-answer q = ”fs-id1165135664055 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135664055 ″]

[/ hidden-answer]

Оценка функции, заданной в табличной форме

Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. (Рисунок).

Домашнее животное Объем памяти в часах
Щенок 0,008
Взрослая собака 0,083
Кот 16
Золотая рыбка 2160
Бета рыба 3600

Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений.Здесь давайте вызовем функцию
. Область действия функции - это тип домашнего животного, а диапазон - это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца. Мы можем оценить функцию по входному значению «золотая рыбка». Мы бы написали Заметьте, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функций кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

Как к

Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.

  1. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
  2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
  3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
  4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

Оценка и решение табличной функции

Использование (рисунок),

  1. Оценить
  2. Решить
1 2 3 4 5
8 6 7 6 8

Попробуй

[show-answer q = ”fs-id1165137423936 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137423936 ″]

[/ hidden-answer]

Определение того, является ли функция взаимно однозначной

Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям.Например, на биржевой диаграмме, показанной на (Рисунок) в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.

Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как показано на (Рисунок).

Буквенный класс Средний балл
А 4,0
B 3,0
С 2,0
D 1,0

Эта система оценок представляет собой функцию «один к одному», поскольку каждая введенная буква дает один конкретный средний результат оценки, а каждая средняя оценка соответствует одной входной букве.

Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, схематически изображенные на (Рисунок) (a) и (Рисунок) (b) . Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно-однозначной функцией, потому что входы и оба выдают выходные данные Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является взаимно-однозначной функцией, потому что каждый вход связан с одним выход.

Индивидуальная функция

Однозначная функция - это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.Нет повторяющихся значений x или y .

Определение того, является ли отношение взаимно однозначной функцией

Площадь круга зависит от его радиуса? Если да, то функция взаимно однозначная?

Попробуй

  1. Является ли остаток функцией номера банковского счета?
  2. Является ли номер банковского счета функцией баланса?
  3. Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
[show-answer q = ”fs-id1165137456018 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137456018 ″]

а.да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс; б. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс; c. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу.

[/ hidden-answer]

Попробуй

  1. Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
  2. Если да, то функция взаимно однозначная?
[show-answer q = ”fs-id1165137655289 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137655289 ″]
  1. Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки;
  2. Нет, не один на один.Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке.

[/ hidden-answer]

Использование теста вертикальной линии

Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают большое количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно графики строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

Наиболее распространенные графики называют входное значение и выходное значение, и мы говорим, что это функция или когда функция называется График функции - это набор всех точек на плоскости, которые удовлетворяют уравнению. Если функция определена только для нескольких входных значений, то График функции состоит только из нескольких точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующим выходным значением.Например, черные точки на графике на (Рисунок) говорят нам об этом, и тем не менее, набор всех удовлетворяющих точек представляет собой кривую. Показанная кривая включает и потому, что кривая проходит через эти точки.

Рисунок 8.

Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. (Рисунок).

Рисунок 9.

Как к

Для данного графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

  1. Проверьте график, чтобы увидеть, не пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
  2. Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.

Применение теста вертикальной линии

Какой из графиков на (Рисунок) представляет функцию

Рисунок 10. [show-answer q = ”fs-id11651351 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651351 ″]

Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) (Рисунок). Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекала бы график более чем в одной точке, как показано на (Рисунок).

Рисунок 11.

[/ hidden-answer]

Попробуй

Представляет ли график на (Рисунок) функцию?

Рисунок 12. [show-answer q = ”fs-id1165134258608 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134258608 ″]

да

[/ hidden-answer]

Использование теста горизонтальной линии

После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли он взаимно однозначной функцией, - это использовать тест горизонтальной линии.Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.

Как к

Учитывая график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию взаимно однозначного соответствия.

  1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
  2. Если такая линия есть, определите, что функция не взаимно однозначна.

Применение теста горизонтальной линии

Рассмотрим функции, показанные на (Рисунок) (a) и (Рисунок) (b) . Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

[show-answer q = ”fs-id1165135521259 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135521259 ″]

Функция на (Рисунок) (a) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на (Рисунок), пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках.)

Рисунок 13.

Функция на (Рисунок) (b) является взаимно однозначной. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную не более одного раза. [/ Hidden-answer]

Попробуй

Является ли график на (Рисунок) взаимно однозначным?

[show-answer q = ”fs-id1165135255384 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135255384 ″]

Нет, потому что он не проходит тест горизонтальной линии.

[/ hidden-answer]

Определение основных функций набора инструментов

В этом тексте мы будем исследовать функции - формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Когда мы учимся арифметике, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать как входную, так и выходную переменную.

Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную на (Рисунок).

Ключевые понятия

  • Отношение - это набор упорядоченных пар. Функция - это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Функциональная нотация - это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме (см. (Рисунок) и (рисунок)).
  • В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям. См. (Рисунок).
  • Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение. См. (Рисунок).
  • Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения. См. (Рисунок) и (Рисунок).
  • Входные и выходные значения функции можно определить по таблице. См. (Рисунок).
  • Связь входных значений с выходными значениями на графике - еще один способ оценить функцию. См. (Рисунок).
  • Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.См. (Рисунок).
  • График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке. См. (Рисунок).
  • График функции "один к одному" проходит проверку горизонтальной линии. См. (Рисунок).

Упражнения по разделам

Устный

В чем разница между отношением и функцией?

[show-answer q = ”fs-id1165137667225 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137667225 ″]

Отношение - это набор упорядоченных пар.Функция - это особый вид отношения, в котором никакие две упорядоченные пары не имеют одинаковой первой координаты.

[/ hidden-answer]

В чем разница между вводом и выводом функции?

Почему тест с вертикальной линией говорит нам, представляет ли график отношения функцию?

[show-answer q = ”fs-id1165134118515 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134118515 ″]

Если вертикальная линия пересекает график отношения более одного раза, это означает, что для этого входа существует более одного выхода.При любом конкретном входном значении может быть только один выход, если отношение должно быть функцией.

[/ hidden-answer]

Как определить, является ли отношение взаимно однозначной функцией?

Почему тест горизонтальной линии говорит нам, является ли график функции взаимно однозначным?

[show-answer q = ”fs-id1165137679053 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137679053 ″]

Если горизонтальная линия пересекает график функции более одного раза, это указывает на то, что для этого выхода существует более одного входа.Функция взаимно однозначна, если каждый выход соответствует только одному входу.

[/ hidden-answer]

Алгебраические

В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.

[show-answer q = ”fs-id1165135318977 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135318977 ″]

функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение функцию

.

[show-answer q = ”fs-id1165137942475 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137942475 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135675187 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135675187 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137679348 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137679348 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135581209 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135581209 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134042765 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134042765 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135434851 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135434851 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137849364 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137849364 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135527680 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135527680 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137629243 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137629243 ″]

не функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений оцените функцию при указанных значениях

[show-answer q = ”fs-id1165137409631 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137409631 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134151868 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134151868 ″]

[латекс] \ sqrt {2-a-h} +5 [/ латекс]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135357153 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135357153 ″]

[/ hidden-answer]

Учитывая функции упрощения

Учитывая функции упрощения

[show-answer q = ”fs-id1165134284461 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134284461 ″]

[/ hidden-answer]

Учитывая функцию

  1. Оценить
  2. Решить

Учитывая функцию

  1. Оценить
  2. Решить

Учитывая функцию

  1. Оценить
  2. Решить
Графический

В следующих упражнениях используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, какие графики показывают отношения, являющиеся функциями.

[show-answer q = ”fs-id1165135332505 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135332505 ″]

не функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137597406 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137597406 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137399700 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137399700 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id11651351

″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651351

″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id11651379 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651379 ″]

функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165134240963 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134240963 ″]

функция

[/ hidden-answer]

Учитывая следующий график,

  • Оценить
  • Решить относительно

Учитывая следующий график,

  • Оценить
  • Решить относительно

Для следующих упражнений определите, является ли данный график взаимно однозначной функцией.

[show-answer q = ”fs-id1165133085670 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165133085670 ″]

не является функцией, поэтому это также не взаимно однозначная функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137583859 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137583859 ″]

индивидуальная функция

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165135342197 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135342197 ″]

функция, но не индивидуально

[/ hidden-answer]

Числовой

В следующих упражнениях определите, представляет ли отношение функцию.

[show-answer q = ”fs-id1165135381334 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135381334 ″]

функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений определите, представляет ли отношение, представленное в виде таблицы, функцию

.
5 10 15
3 8 14
[show-answer q = ”fs-id1165137771736 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137771736 ″]

функция

[/ hidden-answer]

5 10 15
3 8 8
5 10 10
3 8 14
[show-answer q = ”fs-id1165135641696 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135641696 ″]

не функция

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений используйте функцию, представленную на (Рисунок).

0 74
1 28
2 1
3 53
4 56
5 3
6 36
7 45
8 14
9 47

Оценить

Решить

[show-answer q = ”fs-id1165137832462 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137832462 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений оцените функцию при значениях и

[show-answer q = ”fs-id11651351

″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651351

″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137755505 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137755505 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137770304 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137770304 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений оцените выражения, заданные функции и

[show-answer q = ”fs-id1165134373506 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165134373506 ″]

20

[/ hidden-answer]

Технологии

Для следующих упражнений создайте график в данном окне просмотра.Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.

[show-answer q = ”fs-id1165137809996 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137809996 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений создайте график в данном окне просмотра. Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.

[show-answer q = ”fs-id1165135634141 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135634141 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137833875 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137833875 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений создайте график в данном окне просмотра.Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.

[show-answer q = ”fs-id1165135344910 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165135344910 ″]

[/ hidden-answer]

Для следующих упражнений создайте график в данном окне просмотра. Определите соответствующий диапазон для каждого окна просмотра. Покажите каждый график.

[show-answer q = ”fs-id11651374 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id11651374 ″]

[/ hidden-answer]

[show-answer q = ”fs-id1165137686659 ″] Показать решение [/ show-answer]
[скрытый-ответ a = ”fs-id1165137686659 ″]

[/ hidden-answer]

Сноски

  • http: // www.baseball-almanac.com/legendary/lisn100.shtml. Дата обращения 24.03.2014.

Глоссарий

зависимая переменная
выходная переменная
домен
набор всех возможных входных значений для отношения
функция
отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение
Тест горизонтальной линии
Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза
независимая переменная
входная переменная
вход
каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция
индивидуальная функция
функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода
выход
каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию
диапазон
набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении
отношение
набор заказанных пар
тест вертикальной линии
Способ проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

Алгебра - Графики

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. , вероятно, вы разговариваете по мобильному телефону). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Построение графиков

В этом разделе нам нужно рассмотреть некоторые основные идеи построения графиков.Предполагается, что вы видели некоторые графики до этого момента, поэтому мы не будем здесь вдаваться в подробности. Мы рассмотрим только некоторые из основных идей.

Начнем с прямоугольной или декартовой системы координат. Это просто стандартная система осей, которую мы используем при рисовании наших графиков. Вот декартова система координат с нанесенными на нее несколькими точками.

Горизонтальная и вертикальная оси, обычно называемые осью \ (x \) и осью \ (y \) соответственно, делят систему координат на квадранты, как показано выше.В каждом квадранте есть следующие знаки для \ (x \) и \ (y \).

Квадрант I \ (x> 0 \) или \ (x \) положительный \ (y> 0 \), или \ (y \) положительный
Квадрант II \ (x <0 \) или \ (x \) отрицательное значение \ (y> 0 \), или \ (y \) положительный
Квадрант III \ (x <0 \) или \ (x \) отрицательное значение \ (y <0 \) или \ (y \) отрицательное значение
Квадрант IV \ (x> 0 \) или \ (x \) положительный \ (y <0 \) или \ (y \) отрицательное значение

Каждая точка в системе координат определяется упорядоченной парой вида \ (\ left ({x, y} \ right) \). 2} - 4 \).Показать решение

Теперь это парабола, и после следующей главы вы сможете быстро построить график без особых усилий. Однако мы еще не продвинулись так далеко, поэтому нам нужно будет выбрать некоторые значения \ (x \), подключить их и вычислить значения \ (y \).

Как упоминалось ранее, при выборе значений \ (x \) полезно иметь представление о том, как должен выглядеть этот график. Так что не беспокойтесь, почему мы выбрали именно те ценности, которые сделали.После следующей главы вы также сможете выбрать эти значения \ (x \).

Вот таблица значений этого уравнения.

\ (х \) \ (у \) \ (\ влево ({х, у} \ вправо) \)
-2 5 \ (\ влево ({- 2,5} \ вправо) \)
-1 0 \ (\ left ({- 1,0} \ right) \)
0 -3 \ (\ left ({0, - 3} \ right) \)
1 -4 \ (\ left ({1, - 4} \ right) \)
2 -3 \ (\ left ({2, - 3} \ right) \)
3 0 \ (\ влево ({3,0} \ вправо) \)
4 5 \ (\ влево ({4,5} \ вправо) \)

Давайте проверим первый, а остальное предоставим вам.2} - 4 \\ & = 9 - 4 \\ & = 5 \ end {align *} \]

Вот график этого уравнения.

Обратите внимание, что когда мы настраиваем систему осей в этом примере, мы настраиваем ровно столько, сколько нам нужно. 2} \) Показать решение

Вот работа точки пересечения \ (y \) для этого уравнения.2} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = - 1 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 1,0} \ right) \]

В этом случае мы имеем единственный \ (x \) - точку пересечения.

Вот эскиз графика для этого уравнения.

Теперь обратите внимание, что в этом случае график фактически не пересекает ось \ (x \) в точке \ (x = - 1 \). Однако эта точка все еще называется \ (x \) - точкой пересечения.

Перед тем, как покинуть этот раздел, мы должны сделать один последний комментарий.В предыдущем наборе примеров все уравнения были квадратными уравнениями. Это было сделано только потому, что они демонстрировали диапазон поведения, который мы искали, и мы также могли выполнять эту работу. Вы не должны уходить от этого обсуждения перехватов с мыслью, что они будут иметь место только для квадратных уравнений. Они могут иметь место и имеют место для множества различных уравнений.

Функции и графики

Автор M Bourne

В реальном мире очень часто одна величина зависит от другой величины.

Например, если вы работаете в заведении быстрого питания, ваш пакет заработной платы зависит от количества часов, которые вы работаете. Или количество бетона, которое вам нужно заказать при строительстве здания, будет зависеть от высоты здания.

1234-1-212345-1xy Открыть изображение на новой странице
Декартова плоскость

Эта глава посвящена функциям (так мы выражаем отношения между величинами) и их графикам .

График функции действительно полезен, если мы пытаемся смоделировать реальную проблему.(«Моделирование» - это процесс нахождения взаимосвязей между величинами.)

Иногда мы можем не знать выражения для функции, но знаем некоторые значения (возможно, из эксперимента). График может дать нам хорошее представление о том, какую функцию можно применить к ситуации для решения проблемы.

В этой главе

Обзор функций

1. Введение в функции - определение функции, обозначение функций и примеры

2. Функции из словесных заявлений - превращение словесных задач в функции

Графики функций

3.Прямоугольные координаты - система, которую мы используем для построения графиков наших функций

4. График функции - примеры и приложение

Домен и диапазон функции - значения x и y, которые может принимать функция

5. Построение графиков с помощью системы компьютерной алгебры - некоторые мысли об использовании компьютеров для построения графиков функций

6. Графики функций, определенных таблицами данных - часто у нас нет алгебраического выражения для функции, только таблицы

7. Непрерывные и прерывные функции - разница становится важной в более поздней математике

8.Функции разделения - они имеют разные выражения для разных значений независимой переменной

9. Четные и нечетные функции - полезны в более сложной математике.

Давайте теперь узнаем об определении функции и обозначении функции.

Графики функций и алгебра

Включены бесплатные учебные пособия для изучения важных тем в предварительном исчислении, таких как квадратичные, рациональные, экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические, полиномиальные, функции абсолютного значения и их графики.Уравнения прямых, окружностей, эллипсов, гипербол и парабол также исследуются в интерактивном режиме. Также включены смещение, масштабирование и отражение графика. Детально исследованы определение и свойства обратных функций. Включен графический подход к системе уравнений 2 на 2.

Функции

Вопросы о функциях (с решениями). Представлены несколько вопросов о функциях и обсуждаются их подробные решения.
Операции с функциями представлены в виде примеров и вопросов с решениями.
Линейные функции. Учебное пособие для изучения графиков, областей и диапазонов линейных функций.
Функции квадратного корня. Функции квадратного корня вида f (x) = a √ (x - c) + d и характеристики их графиков, такие как область, диапазон, точка пересечения по оси x, точка пересечения по оси y, исследуются в интерактивном режиме.
Функции кубического корня. Кубические корневые функции вида f (x) = a (x - c) 1/3 + d и свойства их графиков, такие как домен, диапазон, пересечение по оси x, пересечение по оси y, исследуются в интерактивном режиме с использованием апплет.
Функции куба. Графики кубических функций вида f (x) = a (x - c) 3 + d , а также их свойства, такие как домен, диапазон, точка пересечения по оси x, точка пересечения по оси Y, исследуются в интерактивном режиме с помощью апплета. .
График, область и диапазон общих функций. Учебное пособие с использованием апплета с большим окном для изучения графиков, областей и диапазонов некоторых из наиболее распространенных функций, используемых в математике.
Квадратичные функции (общий вид). Квадратичные функции и свойства их графиков, такие как вершины и пересечения по осям x и y, исследуются в интерактивном режиме с помощью апплета.
Квадратичные функции (стандартная форма). Квадратичные функции в стандартной форме f (x) = a (x - h) 2 + k и свойства их графиков, такие как вершины и пересечения по осям x и y, исследуются в интерактивном режиме с помощью апплета.
Произведение двух линейных функций дает квадратичную функцию. Это свойство исследуется в интерактивном режиме с помощью апплета.
Четные и нечетные функции. Графические и аналитические примеры четных и нечетных функций.
Периодические функции. Графические и аналитические примеры с решениями периодических функций.
Функции абсолютных значений. Определение и график функций абсолютного значения исследуются с помощью приложения HTML5 путем сравнения графиков f (x) и h (x) = | f (x) |.

Экспоненциальные и логарифмические функции

Экспоненциальные функции. Экспоненциальные функции изучаются в интерактивном режиме с помощью приложения HTML5. Также исследуются такие свойства, как домен, диапазон, горизонтальные асимптоты, пересечения по осям x и y. Также исследуются условия, при которых экспоненциальная функция увеличивается или уменьшается.
Найти экспоненциальную функцию по ее графику; примеры с подробными решениями.
Найти логарифмическую функцию по ее графику; примеры с подробными решениями.
Логарифмические функции. Интерактивный апплет с большим экраном используется для исследования логарифмических функций и свойств их графиков, таких как область, диапазон, пересечения по осям x и y и вертикальная асимптота.
Правила логарифмов и экспонент - вопросы с решениями.
Функция Гаусса. Функция Гаусса исследуется путем изменения ее параметров.
Функция логистики. Логистическая функция исследуется путем изменения ее параметров и наблюдения за ее графиком.
Сравните экспоненциальную и степенную функции. Экспоненциальные и степенные функции сравниваются в интерактивном режиме с помощью апплета. В этом упражнении сравниваются такие свойства, как домен, диапазон, точки пересечения по осям x и y, интервалы увеличения и уменьшения графиков двух типов функций.

Рациональные функции

Рациональные функции. Рациональные функции и свойства их графиков, такие как область значений, вертикальные и горизонтальные асимптоты, пересечения по осям x и y, исследуются с помощью апплета.Исследование этих функций осуществляется путем изменения параметров, входящих в формулу функции.
Наклонные асимптоты рациональных функций - интерактивные. Наклонные асимптоты исследуются в интерактивном режиме с помощью графического калькулятора.
Вертикальные асимптоты рациональных функций - интерактивные. Вертикальные асимптоты рациональных функций исследуются в интерактивном режиме с помощью графического калькулятора.
Горизонтальные асимптоты рациональных функций - интерактивные. Горизонтальные асимптоты рациональных функций исследуются в интерактивном режиме с помощью графического калькулятора.

Гиперболические функции

Графики гиперболических функций. Графики и свойства, такие как область определения, диапазон и асимптоты 6 гиперболических функций: sinh (x), ch (x), tanh (x), coth (x), sech (x) и csch (x), исследуются с использованием апплет.

Функции «один к одному» и инверсия функции

Функции «один к одному». Изучите концепцию индивидуальной функции с помощью апплета. Некоторые функции исследуются графически с помощью теста горизонтальной линии.
Обратные функции.

Изучите другие функции

Изучите графики функций.Это образовательное программное обеспечение, которое помогает вам исследовать концепции и математические объекты, изменяя константы, включенные в выражение функции. Идея состоит в том, чтобы ввести константы (до 10) a, b, c, d, f, g, h, i, j и k в выражения функций и изменить их вручную, чтобы увидеть эффекты графически, а затем изучить.

Преобразования графиков

Сдвиг по горизонтали. Апплет помогает исследовать горизонтальный сдвиг графика функции.
Вертикальное смещение. Апплет, который позволяет вам интерактивно исследовать вертикальный сдвиг или перевод графика функции.
Горизонтальное растяжение и сжатие. Этот апплет помогает вам исследовать изменения, которые происходят с графиком функции, когда ее независимая переменная x умножается на положительную константу a (горизонтальное растяжение или сжатие).
Вертикальное растяжение и сжатие. Этот апплет помогает вам интерактивно исследовать и понимать растяжение и сжатие графика функции, когда эта функция умножается на константу a.
Отражение графиков по оси абсцисс. Это апплет для изучения отражения графиков по оси x путем сравнения графиков f (x) (синим цветом) и h (x) = -f (x) (красным).
Отражение графиков по оси ординат. Это апплет для изучения отражения графиков по оси Y путем сравнения графиков f (x) (синим цветом) и h (x) = f (-x) (красным).
Отражение графиков функций. Это апплет для изучения отражения графиков по осям y и x. Графики f (x), f (-x), -f (-x) и -f (x) сравниваются и обсуждаются.

Уравнение линии

Найдите уравнение линии на графике, примеры с подробными решениями.
Наклон прямой. Наклон прямой, параллельной и перпендикулярной линий исследуются в интерактивном режиме с помощью апплета.
Общее уравнение прямой: ax + by = c. Изучите график общего линейного уравнения с двумя переменными, имеющего форму ax + by = c, с помощью апплета.
Форма пересечения наклона уравнения прямой. Форма пересечения наклона уравнения линии исследуется в интерактивном режиме с помощью апплета. Исследование проводится путем изменения параметров m и b в уравнении прямой y = mx + b.
Найти уравнение линии - апплет. Апплет, который генерирует две строки. Один синего цвета, которым вы можете управлять, изменяя параметры m (наклон) и b (пересечение оси y).Вторая строка - красная, она генерируется случайным образом. В качестве упражнения вам нужно найти уравнение для красной линии формы пересечения наклона y = mx + b.

Уравнение параболы

Построить параболу. Апплет для построения параболы из ее определения.
Уравнение параболы. Апплет для изучения уравнения параболы и ее свойств. Используемое уравнение представляет собой стандартное уравнение, имеющее вид (y - k) 2 = 4a (x - h)
Найдите уравнение параболы из графика.

Уравнение окружности

Уравнение окружности. Апплет для изучения уравнения круга и его свойств. Используемое уравнение представляет собой стандартное уравнение, которое имеет вид (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 .
Найдите уравнение окружности - апплет. Это апплет, который генерирует два графа кругов. Уравнения этих окружностей имеют вид (x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 . Вы можете управлять параметрами синего круга, изменяя параметры h, k и r.Второй круг - красный, он генерируется случайным образом. В качестве упражнения вам нужно найти уравнение для красного кружка.

Уравнение эллипса

Уравнение эллипса. Это апплет для исследования свойств эллипса, заданного следующим уравнением (x - h) 2 / a 2 + (y - k) 2 / b 2 = 1.

Уравнение гиперболы

Уравнение гиперболы. Уравнение и свойства гиперболы исследуются в интерактивном режиме с помощью апплета.Используемое уравнение имеет вид x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1, где a и b - положительные действительные числа.

Системы уравнений

Системы линейных уравнений - графический подход. Этот большой оконный Java-апплет поможет вам изучить решения систем линейных уравнений 2 на 2.

Полярные координаты и уравнения

Полярные координаты и уравнения. Графики некоторых конкретных полярных уравнений исследуются с помощью java-апплета. Вы также можете построить свои собственные точки, созданные с помощью исследуемого полярного уравнения.

Многочлены

Кратность нулей и графики многочленов. Апплет с большим экраном помогает исследовать влияние кратности нулей на графики многочленов в форме f (x) = a (x-z1) (x-z2) (x-z3) (x-z4) (x-z5). ).
Полиномиальные функции. Эта страница содержит большой оконный Java-апплет, который поможет вам изучить многочлены степеней до 5: f (x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f.
Полиномы третьей степени - Апплет. Апплет с большим экраном помогает исследовать графические свойства полиномов третьего порядка вида: f (x) = ax 3 + bx + c.
Полиномы четвертой степени - Апплет.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск