Радиус описанной окружности трапеции | Треугольники

Как найти радиус описанной окружности для трапеции?

В зависимости от данных условия, сделать это можно разными способами. Готовой формулы радиуса описанной около трапеции окружности нет.

I. Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции

Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции.

В общем случае радиус описанной около треугольника окружности может быть найден по одной из формул

   

где a — сторона треугольника, α — противолежащий ей угол;

либо по формуле

   

где a, b, c — стороны, S — площадь треугольника.

Для трапеции ABCD радиус может быть найден, например, как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

   

или

   

где синус угла A можно найти из прямоугольного треугольника ABF:

   

III. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров

Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции. (Можно рассуждать иначе: в равнобедренном треугольнике AOD (AO=OD=R) высота ON является также медианой. Для треугольника BOC — аналогично).

Если известна высота трапеции KN=h, основания AD=a, BC=b, можно обозначить ON=x.

Если центр окружности лежит внутри трапеции, OK=h-x, из прямоугольных треугольников ANO и BKO можно выразить

   

   

и приравнять правые части

   

   

   

Решив это уравнения относительно x, можно найти R.

IV. Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне, центр описанной окружности лежит на середине большего основания и радиус равен половине большего основания.

   

точка O — середина AD

   

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

I вариант нахождения радиуса для этого случая не изменяется.

 

Во II случае OK=h+x, соответственно, изменяется уравнение для нахождения x и R.

 

 

Позже рассмотрим конкретные задачи нахождения радиуса описанной около трапеции окружности.

www.treugolniki.ru

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию

.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

   

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

 

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

 

 

 

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

   

Из треугольника ABC

   

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

   

   

 

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

   

   

 

 

 

 

 

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

   

 

 

 

 

 

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

   

   

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

   

Отсюда

   

www.uznateshe.ru

Описанная окружность и трапеция

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

1. Свойство сторон четырёхугольника описанного около окружности.

2. Теорему Пифагора. *Куда мы без неё )

3. Понятие средней линии трапеции.

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь.

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания).  Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

Ответ: 6

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60⁰, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60⁰ и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее здесь п.6

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180⁰ и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

Ответ: 6

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности),  FC=3 (так как  DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности),  EB=4 (так как  AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Ответ: 7

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство  четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

Значит

А средняя линия равна половине суммы оснований, то есть 10.

Ответ: 10

27938. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Радиус окружности равен половине высоты. Используя свойство указанное в предыдущей задаче получим:

Большая сторона у нас это СВ, следовательно можем вычислить AD=11–CB=11–7=4. Таким образом, радиус будет равен 2.

Ответ: 2

27915. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.

Посмотреть решение

27936. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё, успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

*Расскажите о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Описанная окружность. Видеоурок. Геометрия 8 Класс

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности, при этом многоугольник называется вписанным в окружность (см. рис. 2).

Вся теория описанных окружностей базируется на свойстве серединного перпендикуляра (см. рис. 1).  – серединный перпендикуляр.

Рис. 1. Серединный перпендикуляр

Теорема: серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка. Т.е. центр окружности, описанной около отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Около многоугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда все его серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Рис. 2. Вписанный многоугольник

В данном случае , , ,  – четыре серединных перпендикуляра четырехугольника, должны пересечься в одной точке, точке

, тогда около этого многоугольника можно описать окружность (см. рис. 2).

Не каждый многоугольник обладает таким свойством, любой треугольник этим свойством обладает.

Теорема 1: около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство: дан треугольник . Его серединные перпендикуляры , ,

. Серединный перпендикуляр  пересечется с серединным перпендикуляром  в некоторой точке  (см. рис. 3).

Рис. 3. Окружность, описанная вокруг треугольника

Они пересекутся, т.к.  перпендикулярен к

 по определению,  перпендикулярен к , но не перпендикулярен к , так как в таком случае будет две прямые перпендикулярные к , что невозможно, значит,  и  не параллельны и обязательно пересекутся (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Рассмотрим свойства точки . Точка  принадлежит перпендикуляру , а значит, она равноудалена от его концов, , точка  лежит на втором серединном перпендикуляре

, значит, она равноудалена от точек  и , .

Выясняется, что точка  равноудалена от всех трех вершин треугольника. Обозначим это расстояние за .

Точка  равноудалена от точек  и , значит, она лежит на серединном перпендикуляре  к отрезку .

Три серединных перпендикуляра пересекаются в точке .

Окружность с центром в точке  и радиусом  описана около данного треугольника.

Мы доказали, что вокруг треугольника можно описать окружность..

Давайте определим, единственная эта окружность или нет. Пусть существует другая описанная окружность с центром  и радиусом . .

Центр этой окружности, точка , должна лежать на пересечении серединных перпендикуляров. Значит, она должна совпадать с точкой . .

Точка  должна быть удалена от точек , ,  на одинаковое расстояние, и совпадать с точкой , значит, . Таким образом, окружности совпадают.

Итак, мы доказали, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Есть параллелограмм . Около него нельзя описать окружность.

Серединные перпендикуляры  и  параллельны, они не имеют общих точек, иначе это был бы прямоугольник (см. рис. 5).

Рис. 5. Параллелограмм

Около прямоугольника можно описать окружность, и даже можно найти центр этой окружности.

Пусть  – прямоугольник. Мы знаем, что диагонали прямоугольника равны между собой, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка  равноудалена от всех вершин этого прямоугольника.  является радиусом этой окружности.  (см. рис. 6)

Рис. 6. Окружность, описанная около прямоугольника

Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Допустим, есть трапеция , в которой бедра равны: .

Если мы опишем окружность около любых трех точек, например, окружность около точек ,  и , то точка  будет принадлежать этой окружности. . А почему? Потому что трапеция имеет ось симметрии – серединный перпендикуляр  к основаниям  и  (см. рис. 7).

Рис. 7. Окружность, описанная вокруг равнобедренной трапеции

Итак, мы видим, что около некоторых четырехугольников можно описать окружность. Подмечаем, что сумма противоположных углов в таких четырехугольниках равна 180 градусам. Это очень важное замечание: . Оказывается, это свойство любого выпуклого четырехугольника.

Пока мы ограничимся рассмотрением только выпуклых четырехугольников и для таких четырехугольников докажем теорему.

Теорема 2: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам.

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Доказательство: пусть ,  (см. рис. 8). Используем теорему о вписанном в окружность угле, тогда дуга .

Дуга . В сумме они составляют всю окружность, а значит, . Делим на два и получаем: .

Еще раз повторим ход доказательства, он прост. Если угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2. Если вписанный в окружность угол равен , то дуга, на которую он опирается, равна 2.

Если точки, на которые эти углы опираются, совпадают, , а . Что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема: если сумма противоположных углов выпуклого четырехугольника равна 180 градусам, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Дано: .

Доказательство: опишем окружность около трех точек, например, , , . . Докажем, что точка  тоже лежит на этой окружности.

Предположим противное, пусть точка  не лежит на окружности, а она лежит внутри круга, тогда продлим отрезки  и  и получим точки  и , которые лежат на окружности (cм. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к доказательству

Используем теорему о внутреннем угла окружности. А она говорит, что внутренний угол окружности измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается. Дан угол , который опирается на дугу  (см. рис. 10), пусть он измеряется в .

Угол  опирается на дугу , который измеряется в : .

Доказано, что .

Рис. 10. Иллюстрация к доказательству

Почему? Достаточно всего лишь провести отрезок , чтобы получить требуемое (cм. рис. 10).

По теореме о вписанном угле, .

Для треугольника , угол  – внешний, а внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. Т.е. , что и говорилось.

Вернемся к рисунку 9: точка  – внутренняя точка круга, значит,  равен половине дуг, на которые он опирается.

Мы видим, что угол  больше, чем половина дуги .

Угол  равен половине оставшейся дуги .

Сложение этих углов дает: .

А так как дуги  и  в сумме составляют всю окружность, то . Значит, .

Противоречие, по условию, сумма противоположных углов равна 180 градусов. А значит, точка  не может находиться внутри окружности.

Аналогично доказывается, что точка  не может находиться вне окружности.

Задание

Докажите самостоятельно, что точка

interneturok.ru

Свойства трапеции, описанной около окружности: формулы и теоремы

Трапеция — это геометрическая фигура с четырмя углами. При построении трапеции важно учитывать, что две противоположные стороны параллельны, а две другие, наоборот, не параллельны относительно друг друга. Это слово пришло в современность из Древней Греции и звучало как «трапедзион», что означало «столик», «обеденный столик».

Эта статья рассказывает о свойствах трапеции, описанной около окружности. Также мы рассмотрим виды и элементы этой фигуры.

Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция

Параллельные стороны в этой фигуре называют основаниями, а те, что не параллельны — боковыми сторонами. При условии, что боковые стороны одинаковой длины, трапеция считается равнобедренной. Трапеция, боковые стороны которой лежат перпендикулярно основанию под углом в 90°, называется прямоугольной.

У этой, казалось бы, незамысловатой фигуры имеется немалое количество свойств, ей присущих, подчеркивающих ее признаки:

1. Если провести среднюю линию по боковым сторонам, то она будет параллельна основаниям. Этот отрезок будет равен 1/2 разности оснований.
2. При построении биссектрисы из любого угла трапеции образуется равносторонний треугольник.
3. Из свойств трапеции, описанной около окружности, известно, что сумма параллельных боковых сторон должна быть равна сумме оснований.
4. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является основанием трапеции, полученные треугольники будут подобны.
5. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является боковой, полученные треугольники будут иметь равную площадь.
6. Если продолжить боковые линии и построить отрезок из центра основания, то образованный угол будет равен 90°. Отрезок, соединяющий основания, будет равен 1/2 их разности.

Свойства трапеции, описанной около окружности

Заключить окружность в трапецию возможно лишь при одном условии. Данное условие заключается в том, что сумма боковых сторон должна быть ровна сумме оснований. Например, при построении трапеции AFDM применимо AF + DM = FD + AM. Только в таком случае в трапецию можно заключить круг.

Итак, подробнее о свойствах трапеции, описанной около окружности:

1. Если в трапецию заключена окружность, то для того, чтобы найти длину ее линии, пересекающей фигуру пополам, необходимо найти 1/2 от суммы длин боковых сторон.
2. При построении трапеции, описанной около окружности, образованная гипотенуза тождественна радиусу круга, а высота трапеции по совместительству является и диаметром круга.
3. Еще одним свойством равнобедренной трапеции, описанной около окружности, является то, что ее боковая сторона сразу видна от центра окружности под углом 90°.

Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность

Только равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность. Это значит, что нужно соблюсти условия, при которых построенная трапеция AFDM будет отвечать следующим требованиям: AF + DM = FD + MA.

Теорема Птолемея гласит, что в трапеции, заключенной в окружность, произведение диагоналей тождественно и равно сумме умноженных противоположных сторон. Это значит, что при построении окружности, описанной около трапеции AFDM, применимо: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

На школьных экзаменах довольно часто встречаются задачи, требующие решения задач с трапецией. Большое количество теорем необходимо запоминать, но если выучить сразу не получиться — не беда. Лучше всего периодически прибегать к подсказке в учебниках, чтобы эти знания сами собой, без особого труда уложились в голове.

fb.ru

Найти радиус описанной около трапеции окружности

Рассмотрим задачи, в которых нужно найти радиус описанной около трапеции окружности.

1) Найти радиус окружности, описанной около трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а диагональ — 20 см.

Дано: ABCD — трапеция, AD∥BC, AD=21 см, BC=11 см, BD=20 см, окружность (O; R) — описанная около ABCD.

Найти: R.

Анализ задачи.

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти как радиус окружности, описанной около треугольника ABD:

   

Таким образом, задача сводится к нахождению синуса угла A.

Решение:

1) Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции, следовательно, CD=AB.

2) Проведём высоту трапеции BF.

По свойству равнобедренной трапеции,

   

   

Тогда FD=AD-AF=21-5=16 (см).

3) Рассмотрим треугольник BDF. ∠BFD=90º (так как BF — высота трапеции).

По теореме Пифагора,

   

   

   

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.

По теореме Пифагора

   

   

По определению синуса,

   

5) По формуле

   

   

   

Ответ: 10 5/6 см.

2) Найти радиус описанной около трапеции окружности, если известно, что её боковые сторона и меньшее основание равны 10 см, а один из углов 60º.

Дано: ABCD — трапеция, AD∥BC,

AB=BC=CD=10 см, ∠D=60º,

окружность (O;R) — описанная около ABCD.

Найти: R.

Решение:

Проведём диагональ BD.

Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (AB=BC по условию).

Следовательно, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании).

∠BCA=∠DAC (как внутренние накрест лежащие при AD∥BC и секущей AC).

Отсюда ∠BAC=∠DAC, то есть диагональ AC является биссектрисой угла BAD.

∠BAD=∠D=60º (как углы при основании равнобедренной трапеции). Поэтому 

   

Рассмотрим треугольник ACD.

Так как сумма углов треугольника равна 180º,

∠ACD=180º-(∠DAC+∠D)=180º-(30º+60º)=90º.

Значит, вписанный угол ACD опирается на диаметр.

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Поэтому AD=2∙CD=2∙10=20(см). Следовательно, радиус

   

Ответ: 10 см.

www.treugolniki.ru

Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности с центром О. Найти площадь трапеции, если AO = 3, BO =1.

О какой олимпиаде может идти речь, если не знаешь свойств равнобедренной трапеции? 1. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис. Следовательно, ∆ AOB — прямоугольный. AB=√(3²+1²)=√10=m- средней линии трапеции 2. Диагональ трапеции AC=4 (AO+OB), высота h=CH, опущенная из вершины С на основание AD, равна h=√(AC²-AH²)=√6, AH=(AD+BC)/2=√10 — свойство равнобедренной трапеции 3. S=m*h=√10*√6=2√15

<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/wqSj?0=3836″ target=»_blank»>владислав посмотри здесь, страница 834</a>

<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/Le4Y?0=363407″ target=»_blank»>владислав посмотри здесь, страница 457</a>

̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳ ̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳ Уважаемая школота! Что на сайте есть раздел «домашние задание» не означает что сюда можно тупо скопипастить что угодно и добрый дядя в интернете придёт и всё за вас сделает. Писать сочинения и рефераты за вас никто не будет, решать задачи и примеры никто не будет, а потом всё это переписывать вам в тетрадку вашим почерком никто не будет. Учиться за вас вообще не будет и на экзамены за вас не пойдёт. Потому учитесь думать своей пустой башкой! У вас есть учебники, есть гугл — там всё, что вам нужно, при условии что вы можете хоть немного соображать своей башкой, чтобы уметь перерабатывать информацию, а не тупо ждать что кто-то это сделает за вас. Так что хорошо уже тупить и начинайте думать, а до тех пор уёбывайте и не возвращайтесь. Спасибо… ̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳ ̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳̱̳

touch.otvet.mail.ru