Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды. Усеченная пирамида

Когда человек слышит слово «пирамида», то сразу вспоминает величественные египетские сооружения. Тем не менее древние каменные гиганты являются лишь одним из представителей класса пирамид. В данной статье рассмотрим с геометрической точки зрения свойства правильной четырехугольной пирамиды .

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая — четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

• в основании должен находиться правильный многоугольник;
• боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Правильная четырехугольная пирамида

Теперь перейдем к теме статьи и рассмотрим, какие свойства правильной четырехугольной пирамиды характеризуют ее. Сначала покажем на рисунке, как выглядит эта фигура.

Ее основание является квадратом. Боковые стороны представляют 4 одинаковых равнобедренных треугольника (они также могут быть равносторонними при определенном соотношении длины стороны квадрата и высоты фигуры). Опущенная из вершины пирамиды высота пересечет квадрат в его центре (точка пересечения диагоналей).

Эта пирамида имеет 5 граней (квадрат и четыре треугольника), 5 вершин (четыре из них принадлежат основанию) и 8 ребер. Ось симметрии четвертого порядка, проходящая через высоту пирамиды, переводит ее в саму себя путем поворота на 90^o.

Египетские пирамиды в Гизе являются правильными четырехугольными.

Далее приведем формулы, позволяющие определить все характеристики этой фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Начнем рассмотрение математических свойств правильной четырехугольной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Сразу скажем, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

Предположим, что известна высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, тогда боковое ребро b будет равно:

b = √(a² / 2 + h²)

Теперь приведем формулу для длины a_b апофемы (высота треугольника, опущенная на сторону основания):

a_b = √(a² / 4 + h²)

Очевидно, что боковое ребро b всегда больше апофемы a_b.

Оба выражения можно применять для определения всех четырех линейных характеристик, если известны другие два параметра, например a_b и h.

Площадь и объем фигуры

Это еще два важных свойства правильной четырехугольной пирамиды . Основание фигуры имеет следующую площадь:

S_o = a²

Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которая образована четырьмя одинаковыми треугольниками, можно определить через апофему a_b пирамиды так:

S_b = 2 × a × a_b

Если a_b является неизвестной, то можно ее определить по формулам из предыдущего пункта через высоту h или ребро b.

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры складывается из площадей S_o и S_b:

S = S_o + S_b = a² + 2 × a × a_b = a (a + 2 × a_b)

Рассчитанная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

Описание свойств правильной четырехугольной пирамиды не будет полным, если не рассмотреть формулу для определения ее объема. Эта величина для рассматриваемой пирамиды вычисляется следующим образом:

V = 1/3 × h × a²

То есть V равен третьей части произведения высоты фигуры на площадь ее основания.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Получить эту фигуру можно из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать верхнюю часть пирамиды плоскостью. Оставшаяся под плоскостью среза фигура будет называться пирамидой усеченной.

Удобнее всего изучать характеристики усеченной пирамиды, если ее основания параллельны друг другу. В этом случае нижнее и верхнее основания будут подобными многоугольниками. Поскольку в четырехугольной правильной пирамиде основание — это квадрат, то образованное при срезе сечение тоже будет представлять квадрат, но уже меньшего размера.

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (S_o1 + S_o2 + √(S_o1 × S_o2))

Здесь h — расстояние между основаниями фигуры, S_o1, S_o2 — площади нижнего и верхнего оснований.

fb.ru

Усеченная пирамида

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, разбивает исходную пирамиду на две части: пирамиду, подобную данной, и усеченную пирамиду. Усеченная пирамида ограничена основаниями — двумя параллельными подобными многоугольниками, —  и боковой поверхностью.

Соответствующие стороны многоугольников в основаниях попарно параллельны, поэтому боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

Высота усеченной пирамиды — это расстояние между плоскостями ее оснований.

 

 

 

 

 

Как построить усеченную пирамиду?

Чтобы построить усеченную пирамиду:

 

 

 

1) строят полную пирамиду;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) проводят сечение, параллельное основанию;

 

 

 

 

 

 

 

3) верхнюю часть чертежа стирают.

 

 

 

Объем усеченной пирамиды

Формула объема усеченной пирамиды:

   

где S1 и S2- площади оснований пирамиды, H — высота пирамиды.

Правильная усеченная пирамида

Усеченная пирамида, полученная из правильной пирамиды, называется правильной усеченной пирамидой. Боковые грани правильной усеченной пирамиды представляют собой равные равнобокие трапеции. Их высоты называют апофемами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1F, A1F — апофемы.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды может быть найдена по одной из формул:

   

где P1 и P2 — периметры оснований, l — апофема.

   

где φ- двугранный угол при большем основании пирамиды.

www.uznateshe.ru

Стороны и апофема усеченной пирамиды

Стороны оснований правильной усеченной пирамиды дают возможность вычислить все, что связано с основаниями, используя формулы для правильных многоугольников. Среди таких параметров можно перечислить внутренний угол многоугольника, его периметр, площадь, радиус окружности, вписанной в основание, и радиус окружности, которая может быть описана около него. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Зная апофему усеченной пирамиды, можно вычислить боковое ребро через прямоугольную трапецию, которая их связывает по боковой грани пирамиды. Основаниями такой трапеции являются половины сторон оснований пирамиды, поэтому по прямоугольному треугольнику боковое ребро будет равно радикалу из теоремы Пифагора. (рис. 50.2) d=√(f^2+(b/2-a/2)^2 )=√(f^2+(b-a)^2/4)

Чтобы вычислить высоту усеченной пирамиды, необходимо найти такую же прямоугольную трапецию во внутреннем пространстве усеченной пирамиды, тогда в такой трапеции и прямоугольном треугольнике высота будет равна аналогичному радикалу через радиусы вписанных в основания окружностей и апофему (рис. 50.4) h=√(f^2-(r_b-r_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и апофеме, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции. cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую боковое ребро образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.3) cos⁡δ=(R_b-R_a)/d ε=180°-δ

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна произведению количества сторон в основании на апофему и полусумму сторон оснований. Чтобы найти площадь полной поверхности через стороны усеченной пирамиды, нужно прибавить к площади боковой поверхности еще два основания. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Для того чтобы вычислить объем усеченной пирамиды, необходимо сначала найти высоту через теорему Пифагора, как было указано выше, а затем найти треть произведения высоты на сумму площадей оснований с квадратным корнем из их произведения. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))

geleot.ru

Диагональный сечение усеченной пирамиды — УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА — СТЕРЕОМЕТРИЯ — ГЕОМЕТРИЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§18. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА.

3. Диагональный сечение усеченной пирамиды.

 

В школьном курсе геометрии рассматривают диагональный сечение усеченной пирамиды.

Сечение усеченной пирамиды, проходящей через два боковых ребра, не лежащие на одной грани, называют диагональным сечением.

На рисунке 476: АА₁С₁C — диагональный сечение четырехугольной усеченной пирамиды АВСDА₁B₁C₁D₁. Диагональные сечения срезанной пирамиды — трапеции, основаниями которых являются параллельные диагонали основ, а боковыми ребрами — боковые ребра усеченной пирамиды.

 

 

Пример. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 7 см и 3 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол 45º. Найти площадь диагонального сечения срезанной пирамиды.

Решения. 1) Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ — заданная в условии правильная четырехугольная усеченная пирамида, АВ = 7 см,

4) Выполним планиметрический рисунок сечения АА₁С₁С, площадь которого необходимо найти (рис. 477) и проведем в нем две высоты А₁М и С₁К.

5) Тогда

поэтому ∆АА₁М — равнобедренный и

 

na-uroke.in.ua