Правильные пирамиды — объёмные геометрические тела

Готовый набор «Волшебные грани»

Для сборки многогранников мы можем вам предложить уже готовые развёртки — вырезанные и подогнутые.

Для этого вам нужно воспользоваться деталями набора Волшебные грани № 14.

Кроме того, в самом выпуске вы найдете информацию о строении многогранников.

 

 

Сборка правильной четырехугольной пирамиды:

 

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

 

Сборка усечённой четырехугольной пирамиды:

 

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

 

Сборка пирамиды со звёздчатым основанием:

 

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

 

Сборка би-пирамиды с основанием в форме пятиконечной звезды:

 

Вращение готового многогранника, собранного из этих деталей:

Удлинённая четырёхугольная пирамида — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Удлинённая четырёхуго́льная пирами́да^[1] — один из многогранников Джонсона (J₈, по Залгаллеру — М₂+П₄).

Составлена из 9 граней: 4 правильных треугольников и 5 квадратов. Каждая треугольная грань окружена одной квадратной и двумя треугольными; среди квадратных 1 грань окружена четырьмя квадратными, другие 4 — тремя квадратными и одной треугольной.

Имеет 16 рёбер одинаковой длины. 8 рёбер располагаются между двумя квадратными гранями, 4 ребра — между квадратной и треугольной, остальные 4 — между двумя треугольными.

У удлинённой четырёхугольной пирамиды 9 вершин. В 4 вершинах (расположенных как вершины квадрата) сходятся три квадратных грани; в 4 вершинах (расположенных как вершины другого квадрата) — две квадратных и две треугольных; в 1 вершине — четыре треугольных.

Удлинённую четырёхугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — куба и квадратной пирамиды, все рёбра у которой одинаковой длины (

J₁), — приложив основание пирамиды к одной из граней куба.

Если удлинённая четырёхугольная пирамида имеет ребро длины a{\displaystyle a}, её площадь поверхности и объём выражаются как

S=(5+3)a2≈6,7320508a2,{\displaystyle S=\left(5+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6{,}7320508a^{2},}

V=(1+26)a3≈1,2357023a3.{\displaystyle V=\left(1+{\frac {\sqrt {2}}{6}}\right)a^{3}\approx 1{,}2357023a^{3}.}

Удлинённую четырёхугольную пирамиду с длиной ребра 2{\displaystyle 2} можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• (±1;±1;±1),{\displaystyle (\pm 1;\;\pm 1;\;\pm 1),}
• (0;0;1+2).{\displaystyle (0;\;0;\;1+{\sqrt {2}}).}

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

С помощью удлинённых четырёхугольных пирамид и правильных тетраэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрацию).

Скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Скру́ченно удлинённая четырёхуго́льная пирами́да^[1] — один из многогранников Джонсона (J₁₀, по Залгаллеру — М₂+А₄).

Составлена из 13 граней: 12 правильных треугольников и 1 квадрата. Квадратная грань окружена четырьмя треугольными; среди треугольных граней 4 окружены одной квадратной и двумя треугольными, другие 9 — тремя треугольными.

Имеет 20 рёбер одинаковой длины. 4 ребра располагаются между квадратной и треугольной гранями, остальные 16 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой четырёхугольной пирамиды 9 вершин. В 4 вершинах (расположенных как вершины квадрата) сходятся квадратная грань и три треугольных; в 4 вершинах (расположенных как вершины другого квадрата) — пять треугольных; в 1 вершине — четыре треугольных.

Скрученно удлинённую четырёхугольную пирамиду можно получить из квадратной пирамиды (J₁) и правильной четырёхугольной антипризмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основание пирамиды к одному из оснований антипризмы.

Если скрученно удлинённая четырёхугольная пирамида имеет ребро длины a{\displaystyle a}, её площадь поверхности и объём выражаются как

S=(1+33)a2≈6,1961524a2,{\displaystyle S=\left(1+3{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 6{,}1961524a^{2},}

V=16(2+24+32)a3≈1,1927022a3.{\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {2}}+2{\sqrt {4+3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1{,}1927022a^{3}.}

Скрученно удлинённую четырёхугольную пирамиду с длиной ребра 2{\displaystyle 2} можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• (0;0;2+124),{\displaystyle \left(0;\;0;\;{\sqrt {2}}+{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right),}
• (±1;±1;124),{\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm 1;\;{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right),}
• (±2;0;−124),{\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}};\;0;\;-{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right),}
• (0;±2;−124).{\displaystyle \left(0;\;\pm {\sqrt {2}};\;-{\frac {1}{\sqrt[{4}]{2}}}\right).}

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а две из четырёх плоскостей симметрии — с плоскостями xOz и yOz.

Наклонная пирамида развертка. | МеханикИнфо

Наклонная пирамида развертка. Усеченная четырехгранная пирамида. 4.14/5 (82.86%) проголосовало 7

 

Наклонная усеченная пирамида с четырехугольным основанием показана на рис. 1.

Через точки 0′, 0′₁ и 2′, 2′₁ проводятся прямые до пересечения в точке V’, являющейся вершиной пирамиды.

Рис. 1.

 

Для определения действительном длины ребер пирамиды через произвольную точку А проводят две перпендикулярные прямые. На горизонтальной линии от точки А откладываются расстояния V₀, V₁,…,V₄ до точек 0₀, 1₀, 2₀,…,4₀. На вертикальной линии откладывается высота пирамиды Н до точки V’₀. Расстояния 0₀V’₀, 1₀V’₀,…, 4₀V’₀ представляют собой действительные длины ребер. Для построения развертки необходимо из произвольной точки V₀ отложить отрезок V₀0₀ = V’₀0₀. Из центров V₀ и 0₀ радиусами соответственно V₀1₀ = V’₀1₀ и 0₀1₀ = 01 описываются дуги до пересечения в точке 1₀. Из центров V₀ и 0₀ описываются дуги радиусами V₀2₀ = V’₀2₀ и 1₀2₀ = 12 до пересечения в точке 2₀. Построение продолжается по описанному способу до получения точки 4₀. Точки 1₀, 2₀, 3₀ и 4₀ последовательно соединяются между собой и каждая с V₀.

 

Развертка усеченной пирамиды четырехугольной.

 

Действительная длина ребер малого основания определяется следующим образом. От точки V’₀ откладываются расстояния h₀ = h₁ = h₄ до точки А₁ и h₂ = h₃ до точки А₂. Через точки А₁ и А₂ проводятся горизонтальные прямые до пересечения V’₀0₀ и V’₀2₀ в точках 0⁰₁ = 1⁰₁ = 4⁰₁ и 2⁰₁ = 3⁰₁. Из центра V₀ радиусом V’₀0⁰₁ описывается дуга до пересечения V₀0₀, V₀1₀ и V₀4₀ соответственно в точках 0⁰₁, 1⁰₁ и 4⁰₁. Радиусом V’₀2⁰₁ из центра V₀ описывается дуга до пересечения V₀2₀ и V₀3₀ в точках 2⁰₁ и 3⁰₁, Полученные точки 0⁰₁, 1⁰₁

, 4⁰₁ последовательно соединяются, расстояния 0⁰₁1⁰₁, 1⁰₁2⁰₁ являются действительными длинами ребер малого основания.

 

 

Бипирамида — Википедия

Бипирамида или дипирамида является трёхмерным многогранником, сформированным из двух пирамид, одна из которых является зеркальным отражением другой^[1]. Место соединения пирамид образует общую фигуру в виде многоугольника. Простая бипирамида формируется при сложении двух тетраэдров. При основании пирамиды в виде квадрата, причём боковые грани её равносторонние треугольники, формируется бипирамида, известная как октаэдр. При увеличении числа сторон многоугольника в основании пирамиды, в пределе формируется круг или эллипс и образуется два конуса, соединённые основаниями.

Элементы, составляющие бипирамиду:
Ребра — линии, соединяющие вершины.
Грани — плоские поверхности, ограниченные рёбрами, треугольной или трапецеидальной формы.

В кристаллографии применяется термин (гексагональная сингония) для классификации кристаллов. Например, гексагональная бипирамида образована из пирамид в основании которых лежит правильный шестиугольник, общий для двух пирамид.

• 

• тригональная бипирамида

• 
• 

  гексагональная бипирамида

Бипирамида как термин может применяться и для характеристики объектов, которые состоят из двух пирамид независимо от симметрии, зеркальности частей или формы соединения частей. Элементарные формы бипирамид применяют для описания более сложных форм кристаллов, например, при огранке кристаллов (алмазов). Например, форма октаэдра, состоящего из двух усечённых пирамид (тетрагональная усечённая бипирамида) или кардиоид (форма обработанного алмаза), одна часть которого имеет форму пирамиды, а другая часть — форму усечённой пирамиды.

Соединение двух тетраэдров может дать и более сложную форму в виде тригональной звёздной бипирамиды. Реальные формы кристаллов и алмазов значительно отличаются от приведённых выше идеальных форм, которые рассматривает геометрия и математика.

• Тетрагональная усечённая бипирамида

• Бипирамида — кардиоид

• Бипирамида — тригональная звёздная

В форме октаэдра кристаллизуются: алмазы, хлорид натрия, перовскит, оливин, флюорит, шпинель.