Дробные числа

Помимо натуральных чисел существуют еще дробные числа. Дробные числа, или дроби, получаются в результате деления натуральных чисел на равные части: на две, три, пять и т.д. частей.

Доли

Люди практически каждый день делят целое на части, которые называют еще долями. Чаще всего используется половина — полдня, полчаса, полкило и т.д.

Но используется и деление на другое количество долей — треть, четверть, десятая, сотая. Доли образуются при делении одного предмета (буханки хлеба, листа бумаги) или единицы измерения (часа, килограмма) на равные части. Доля является каждой из равных частей единицы. Называется доля в зависимости от того, на какое количество равных частей делится единица. При делении на две части доля называется «половиной», на три — третью, на четыре — четвертью. При делении на $5$, на $6$, $7$ частей используют названия пятая, шестая, седьмая и т.д. Также используются названия вторая, третья, четвертая доля вместо половины, трети и четверти.

Для записи долей используется горизонтальная черточка, которую называют дробной чертой. Над дробной чертой ставится единица, а под ней записывается количество равных частей, на которые разделили единицу. Например, третья, двадцатая, семьдесят третья доля записывается: $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{20}$, $\frac{1}{73}$, а читается

одна третья, одна двадцатая, одна семьдесят третья. Если единицу разделили на $n$ равных частей, то записывается дробь $\frac{1}{n}$ и читается одна энная.

Замечание 1

Доли используются в случаях, когда при измерении величин невозможно обойтись только целыми единицами. Например, невозможно целыми единицами (метрами) измерить рост человека.

Дроби

Дроби получаются из долей.

Пример 1

Например, три седьмых не является ни натуральным числом, ни долей единицы. Это сумма трех одинаковых долей. Числа, которые являются долями или их суммами, называют дробными числами. Для дробных чисел используется и название дроби.

Пример 2

Например, три седьмых — это дробь. Цифрами такая дробь запишется $\frac{3}{7}$. Дробь $\frac{3}{7}$ равна сумме трех одинаковых седьмых долей: $\frac{3}{7}=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}$.

Определение 1

Для записи дробей используется дробная черта и два натуральные числа. Под дробной чертой записывается знаменатель дроби, который показывает, из каких долей состоит дробь. Над чертой записывается числитель дроби, который показывает, из суммы скольких долей состоит дробь.

Чаще всего используется десятичная нумерация. Название нумерации произошло от следующего правила: единица каждого разряда в $10$ раз больше единицы предыдущего разряда.

Разряд единиц является самым младшим в записи натуральных чисел. Единица предыдущего младшего разряда должна быть в $10$ раз меньше единицы каждого разряда.

Разряд десятых долей размещается правее разряда единиц и отделяется от разряда единиц запятой. Например, число $13\frac{4}{10}$ можно записать так: $13,4$, а число $2\frac{8}{10}$ запишется $2,8$.

Разряды справа от запятой могут продолжаться и для них действует правило: каждая единица разряда в $10$ раз меньше единицы предыдущего разряда: $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{100}$, $\frac{1}{1000}$ и т.д.

$1$-й разряд после запятой называется десятыми долями, $2$-й разряд после запятой — сотыми доли, $3$-й разряд после запятой — тысячными долями.

Записанная с помощью цифр и запятой дробь называется десятичной дробью, а записанная с помощью дробной черты дробь называется обыкновенной дробью.

Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Например, $214,5793=200+10+4+\frac{5}{10}+\frac{7}{100}+\frac{9}{1000}+\frac{3}{10000}$.

В таблице записаны несколько первых разрядов после запятой и цифры, которые обозначают разрядные слагаемые числа $214,5793$.

Рисунок 1.

Для записи обыкновенной дроби в виде десятичной нужно числитель разделить на знаменатель.

История

Современная система записи дробей с числителем и знаменателем создана в Индии.

Индийцы использовали обыкновенные дроби. Обозначение обыкновенных дробей с помощью числителя и знаменателя принято в Индии еще в $VIII$ веке до н.э., но без дробной черты. Различие было в том, что знаменатель записывался сверху, а числитель — снизу. Современная запись дробей стала использоваться уже арабами.

В Вавилоне использовали шестидесятеричные дроби. Знаменателями дробей были числа $60, 602, 603$ и т.д. Но не все можно было точно выразить через шестидесятеричные. Например, дробь $\frac{1}{7}$ можно было выразить только приближенно.

Шестидесятеричные дроби использовали греческие и арабские математики и астрономы. Но с натуральными числами, которые записывались в десятичной и шестидесятеричной систем было неудобно работать, тем более сложно было работать с обыкновенными дробями. Тогда голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их запись была очень сложной, но впоследствии стала использоваться современная запись. Сегодня в компьютерной технике используются двоичные дроби, которые ранее применялись на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т.д.

В Древнем Риме использовали двенадцатеричную систему дробей. Медная монета, а позднее единица веса — $acc$ — делилась на $12$ равных частей — унций. Одна двенадцатая доля асса называется унцией. Путь, время и другие величины сравнивали с весом. Например, римляне говорили, что прошли $7$ унций пути или прочли $5$ унций книги, что означало $\frac{7}{12}$ пройденного пути и $\frac{5}{12}$ прочтенной книги.

Существовало и более мелкое дробление, чем на $12$ равных частей. Например, слово «скрупулезно» происходит от римского названия $\frac{1}{288}$ асса — скрупулус. Использовались также названия «семис»— половина асса, «секстанс»

— шестая часть, «семиунция»— полунции ($\frac{1}{24}$ асса) и т.д. Всего использовалось $18$ различных названий дробей. При работе с дробями нужно было помнить таблицу их сложения и таблицу их умножения. Например, римские купцы твердо помнили, что при сложении триенса ($\frac{1}{3}$ асса) и секстанса получится семис, а при умножении беса ($\frac{2}{3}$ асса) на сескунцию($\frac{3}{2}$ унции или $\frac{1}{8}$ асса) получится унция. Для облегчения расчетов составляли специальные таблицы, некоторые из которых дошли до наших времен.

В двенадцатеричной системе не было дробей со знаменателями $10$ или $100$, поэтому римлянам было трудно делить на $10, 100$ и т. д. При делении $1001$ асса на $100$ один римский математик сначала получил $10$ ассов, потом раздробил асс на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не «лихва составит $16$ сотых суммы долга», а «на каждые $100$ сестерциев долга заплатишь $16$ сестерциев лихвы». Так как слова «на сто» звучали по-латыни «про центум», то сотая часть стала называться

процентом.

spravochnick.ru

Целые и дробные числа

До сих пор мы с вами имели дело с обычными числами, при помощи которых можно пересчитывать различные объекты: 1, 2, 3… Очень часто нам и не требуются другие числа.

Например, подобным числом может быть определено количество мальчиков в классной комнате. В комнате может быть 4 мальчика, 5 мальчиков или другое число мальчиков. В любом случае это будет вполне определенное число. Но вы никак не можете заявить: «Ну, я все тщательно подсчитал, и выяснилось, что в комнате больше чем 4 мальчика, но меньше чем 5. Я думаю, их какое-то промежуточное число, между 4 и 5».

Если вы считаете какие-то объекты, то между 4 и 5 для вас нет никаких других чисел. В комнате либо 4 мальчика, либо 5, но нет никакого промежуточного числа. Если в комнату, где уже находится 5 мальчиков, войдет еще 1, то в комнате окажется 6 мальчиков, причем ровно 6, а не около 6 или чуточку больше 6.

Однако если вы поинтересуетесь, сколько времени мальчики посвятили занятиям, вы можете получить приблизительный ответ: «Они занимались больше одного часа, я не уверен, но, по-моему, меньше двух часов».

В данном случае ответ не лишен смысла, поскольку существует отрезок времени, больший одного часа, но меньший двух часов. Время – это то, что измеряют, а не пересчитывают.

Пересчет и измерение – это разные процессы. При пересчете вы имеете дело с отдельными, или дискретными объектами. Те числа, которые мы с вами изучали ранее, также являются отдельными, или

целыми числами, и они хорошо соответствуют дискретным объектам. При рассмотрении дискретных объектов нам и не нужны никакие другие числа.

Если же нам приходится измерять что-либо, что не состоит из отдельных объектов, задача сразу же усложняется. Теперь мы имеем дело с протяженностью, или с континуумом, то есть с продолжительностью времени какого-то процесса или длиной какой-нибудь линии.

Обычные дискретные числа не соответствуют протяженным величинам, и их нельзя использовать для измерения таких величин, не рискуя допустить неточность.

Для того чтобы избежать такого несоответствия, следует вставить в ряд дискретных чисел какие-то промежуточные, или дробные числа. Когда мы это сделаем, числа 1, 2, 3, 4… становятся только малой частью бесконечной системы, которая соответствует таким понятиям, как время, длина, или любому другому континууму.

В следующих статьях мы начнем изучать такие числа, выясним их происхождение и освоим правила расчетов при помощи таких чисел.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Практикум «Целые и дробные числа»

Раздел 2. Целые и дробные числа

Где встречаемся

С числами мы встречаемся на каждом шагу: дома,

в школе, на улице.

с числами?

1. Вспомните, какие бывают числа. Приведите свои примеры.

Целые числа, полученные при счете: 3; 23587; 19 тетрадей; 35 карандашей.

Целые числа, полученные при измерении величин: 5м; 28лет; 3м16см;

Дробные числа (обыкновенные и десятичные):; сут.; 30,002км; 0,312

1. Приведите примеры следующих чисел:

Числа, полученные при счете:

_________________________________________

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

_________________________________________

Числа, полученные при измерении

величин:

__________________________________________

_________________________________________

Дроби десятичные:

ДРОБНЫЕ ЧИСЛА

_________________________________________

_________________________________________

Дроби обыкновенные:

__________________________________________

_________________________________________

1. Целые числа бывают однозначные, двузначные, трехзначные и т.д.

Приведите примеры: _______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответьте на вопросы:

1. Какие числа называются многозначными

2. Какие числа больше: пятизначные или четырехзначные? четырехзначные или трехзначные?

3. Существует ли наибольшее целое число?

1. Говорим правильно:

а) Прочитайте числа: 12 597; 435 281; 2 306; 803 468; 70 700; 70 070;

200 469; 469 200; 400 400; 400 040; 40 400; 100 100; 100 010; 10 100; 101 010; 110 001; 100 001; 1 000 000.

б) Прочитайте числа: I; III; IV; V; VII; IX; X; XIII; XVI; XXIV; XXIX. Как называются цифры, которые использованы в записи этих чисел? Где их обычно используют?

1. Выполните сравнение римских чисел

III * X	IX * XIII	XII * VII
XI * IV	XI * IX	XIV * XVI

1. Выполните вычисление римских чисел

III + I =_________	VI – II =_________	XII – III =________
IX + II =________	IV + III = ________	III + III =________

7.Приготовьте сообщение по плану:

1. Где и когда появились римские числа

2. Основные цифры римской нумерации

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. Сравните числа

7 5248…8 598

508 493…405 927

3 000 … 30 000

909 090…899 090

3,15…3,18

0,100 … 0,1

50,05 …50,15

0,48 …0,048

9. Выполните действия

5409+19078

308040+28305

479635+72808

706,379+8,008

97,008+323,99

5,97+520,407

98260-17050-936

478+ (24909-9759)

8012,01-(6,785+ 5307)

1. Найдите неизвестные компоненты действий

х+ 9054= 10536

х+1829= 6096

х- 3189= 16038

17009- х= 3481

79,28+ х= 265,12

93,235+ х= 300,4

1. Алеша решил настроить приемник на волну 101,4. Определите, в какую сторону надо подвинуть указатель на шкале радиоприемника, если сейчас он находится на отметке 104,1

1. Расположите в хронологической последовательности

события, перечисленные в таблице

1820г.	Открытие Антарктиды экспедицией Ф.Беллинсгузена и М.П. Лазарева
1961г.	Полет Юрия Гагарина в космос
1945г.	Окончание Великой Отечественной Войны
1147г.	Первое упоминание в летописи о Москве
1703г.	Основание Санкт- Петербурга
1895г.	Возникновение пристанционного посёлка Исилькуль

1. Решите примеры в несколько действий

8160: 34+ 347×25

(18,169+ 0,96×24):49: 0,7×10

3,02×100: 25

150,075: 75- 0,892+39+10,107×34

177,45:35×58- 293,6

12,54+ (150,01- 48,53): 43

8,76×35- 4,2:12

5,358+ (316- 0,344):68

768×73+19536:37

videouroki.net

Целая и дробная части числа

Цели урока: познакомить учащихся с понятием целой и дробной части числа; сформулировать и доказать некоторые свойства целой части числа; познакомить учащихся с широким спектром применения целой и дробной части числа; совершенствовать умение решать уравнения и системы уравнений, содержащих целую и дробную части числа.

Оборудование: плакат “Кто смолоду делает и думает сам, тот и становится потом надёжнее, крепче, умнее” (В. Шукшин).
Проектор, магнитная доска, справочник по алгебре.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
4. Решение задач по теме.
5. Итоги урока.
6. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент: сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.

II. Проверка домашнего задания.

Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию. Решить задачи, вызвавшие затруднения при выполнении домашней работы.

III. Изучение нового материала.

Во многих задачах алгебры приходится рассматривать наибольшее целое число, не превосходящее данного числа. Такое целое число получило специальное название “целая часть числа”.

1. Определение.

Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозначается символом [x] или Е(х) (от французского Entier “антье” ─ “целый”). Например, [5] = 5, [π] = 3,

Из определения следует, что [x] ≤ х, так как целая часть не превосходит х.

С другой стороны, т.к. [x] – наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, то [x] +1>х. Таким образом, [x] есть целое число, определяющееся неравенствами [x] ≤ х< [x] +1, а значит 0 ≤ х ─ [x] < 1.

Число α = υ ─ [x] называют дробной частью числа х и обозначают {х}. Тогда имеем: 0 ≤ {х}<1 и следовательно, х = [x] + {х}.

2. Некоторые свойства антье.

1. Если Z – целое число, то [x+Z] = [x] + Z.

2. Для любых действительных чисел х и у: [x+у] ≥ [x] + [у].

Доказательство: так как х = [x] + {х}, 0 ≤ {х}<1 и у = [у] + {у}, 0 ≤ {у}<1, то х+у= [x] + {х} + [у] + {у}= [x] + [у] + α, где α = {х} + {у} и 0 ≤ α <2.

Если 0 ≤ α <1. ςо [x+у] = [x] + [у].

Если 1≤ α <2, т.е. α = 1 + α`, где 0 ≤ α` < 1, то х+у = [x] + [у] +1+ α` и

[x+у]= [x] + [у]+1>[x] + [у].

Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых:

[x₁ +x₂ + x₃ + ….. + x_n] ≥ [x₁] + [x₂] + [x₃] + … + [x_n].

Умение находить целую часть величины очень важно в приближенных вычислениях. В самом деле, если мы умеем находить целую часть величины х, то, приняв [x] или [x]+1 за приближенное значение величины х, мы сделаем погрешность, величина которой не больше единицы, так как

≤ х – [x]< [x] + 1 – [x]=1,
0< [x] + 1– x ≤[x] + 1 – [x] =1.

Более того, значение целой части величины позволяет найти ее значение с точностью до 0,5. За такое значение можно взять [x] + 0,5.

Умение находить целую часть числа позволяет определить это число с любой степенью точности. Действительно, так как

[Nx] ≤ Nx ≤[Nx] +1, то

 При большем N ошибка будет мала.

IV. Решение задач.

(Они получаются при извлечении корней с точностью до 0,1 с недостатком и избытком). Сложив эти неравенства, получим

1+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.

Т.е. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.

Заметим, что число 3,25 отличается от х не более чем на 0,15.

Задача 2. Найти наименьшее натуральное число m, для которого

Проверка показывает, что при k = 1 и при k = 2 полученное неравенство, не выполняется ни для какого натурального m, а при к = 3 имеет решение m = 1.

Значит, искомое число равно 11.

Ответ: 11.

Антье в уравнениях.

Решение уравнений с переменной под знаком “целой части” обычно сводится к решению неравенств или систем неравенств.

Задача 3. Решить уравнение:

Задача 4. Решить уравнение

По определению целой части полученное уравнение равносильно двойному неравенству

Задача 5. Решить уравнение

Решение: если два числа имеют одинаковую целую часть, то их разность по абсолютной величине меньше 1, и поэтому из данного уравнения следует неравенство

И поэтому, во-первых, x ≥ 0 , а во-вторых, в сумме, стоящей в середине полученного двойного неравенства, все слагаемые, начиная с третьего, равны 0, так что x < 7.

Поскольку х – целое число, то остается проверить значения от 0 до 6. Решениями уравнения оказываются числа 0,4 и 5.

Ответ: 0; 4; 5.

Задача 7. Решить систему уравнение

Ответ: (4;5)

Самостоятельное решение задач

(Провести проверку с помощью проектора.)

Задача 8.

Найти число корней уравнения

Преобразуем, неравенство к виду , откуда получим, что искомое количество целых чисел равно 5. Значит, число корней данного уравнения равно 5.

Ответ: 5.

Задача 9. (Соросовская олимпиада).

Решить уравнение

V. Итоги урока:

а) провести проверку самостоятельных работ с помощью проектора;

б) ответить на вопросы:

1. “Дайте определение целой и дробной части числа”;
2. “При решении, каких задач используется целая и дробная часть числа?”;

в) выставление отметок.

VI. Домашнее задание.

Дополнительная задача (по желанию).

Некто измерил длину и ширину прямоугольника. Он умножил целую часть длины на целую часть ширины и получил 48; умножил целую часть длины на дробную часть ширины и получил 3,2; умножил дробную часть длины на целую часть ширины и получил 1,5. Определите площадь прямоугольника.

urok.1sept.ru

10 Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части

К числу нестандартных относятся методы решения уравнений, которые содержат целые и (или) дробные части действительных чисел. В программе школьной математики методы решения таких уравнений не изучаются. В настоящем разделе применение существующих методов и приемов иллюстрируется на примерах решения ряда уравнений.

Целой частью действительного числа (илиАнтье) называется наибольшее целое число, не превосходящее , и это число обозначается. Очевидно, чтоРазностьназывается дробной частью числа(илиМантисса) и обозначается через Из определения следует, чтоКроме того, справедливо равенство

(10.1)

Например, имеет место

Отметим некоторые свойства введенного выше понятия целой части действительного числа.

Для произвольных действительных чисел имеет место неравенство

Кроме того, для любого действительного числа справедливо

. (10.2)

Перейдем теперь к рассмотрению уравнений, содержащих целую и (или) дробную части неизвестной переменной.

Задачи и решений

Пример 10.1. Решить уравнение

(10.3)

Решение. Поскольку являются целым числом, то— тоже целое число. Следовательно, числотакже является целым. В таком случаеи уравнение (10.3) принимает видЦелыми корнями последнего уравнения являются

Ответ:

Пример 10.2. Решить уравнение

(10.4)

Решение. Рассмотрим последовательно три случая.

Если , т.е. решением уравнения (10.4) могут быть только

Пусть тогда из уравнения (10.4) следует, чтоТак как, то получаем систему неравенств

Решением данной системы неравенств являются .

Если Следовательно, уравнение (10.4) не имеет корней среди

Ответ:

Пример 10.3. Решить уравнение

(10.5)

Решение. Используя свойство (10.2), можно записать

Так как то, складывая почленно три приведенные выше неравенства, получим

Отсюда, принимая во внимание уравнение (10.5), следуют неравенства

(10.6)

Поскольку в этом случае следует, что. Так как— целое число, то отсюда получаем, чтоСледовательно, имеем

Из уравнения (10.5) следует, что – целое число. Так както остается лишь проверить целые значенияНетрудно установить, что решениями (10.5) являются

Ответ:

Пример 10.4. Решить уравнение

(10.7)

Решение. Из формулы (10.1) следует, что В этой связи уравнение (10.7) можно переписать, как

Отсюда следует уравнение

(10.8)

Очевидно, что является корнем уравнения (10.8). Положим, чтоТогда разделим обе части уравнения (10.9) наи получим уравнение

(10.9)

Рассмотрим последовательно несколько случаем.

Если В таком случае

Если

Если

Если Отсюда следует, что уравнение (10.9) корней не имеет.

Следовательно, уравнение (10.7) имеет единственный корень

Ответ:

Пример 10.5. Решить уравнение

(10.10)

Решение. Решая тригонометрическое уравнение (10.10), получаем

_­(10.11)

где – целое число. Из уравнения (10.11) получаем совокупность двух уравненийЛевые части обоих уравнений являются целыми числами, в то время как их правые части (за исключением случаяв первом уравнении) принимают иррациональные значения.

Следовательно, равенство в уравнениях совокупности может иметь место только в том случае, когда правые их части являются рациональными (точнее, целыми) числами. А это возможно лишь в первом уравнении при условии, что В этом случае получаем уравнениеоткуда следует

Ответ:

Пример 10.6. Решить уравнение

(10.12)

Решение. Левая часть уравнения (10.12) принимает только целые значения, поэтому число является целым.

Так как то при любом целоммногочленпредставляет собой произведение трех последовательно расположенных на числовой осицелых чисел, среди которых имеется хотя бы одно четное число и число, кратное трем. Следовательно, многочленделится набез остатка, т.е.является целым числом.

В этой связи и уравнение (10.12) принимает видили

(10.13)

Так как то корнями уравнения (10.13) являются

Ответ:

Пример 10.7. Доказать равенство

(10.14)

для произвольного действительного числа

Доказательство. Любое число можно представить или какгде— целое число и

Рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть Так как

и

2. Пусть тогда

и

Таким образом, равенство (10.14) выполняется для каждого из двух рассмотренных выше случаем. Следовательно, равенство (10.14) доказано.

Заключение

В результате работы над дипломным проектом был проведен анализ решения нестандартных типов решения тестовых задач. Все рассмотренные задачи, решаемые нестандартными методами, классифицированы по следующим типам:

1. метод функциональной подстановки

2. методы, основанные на применении численных неравенств,

3. метод тригонометрической подстановки;

4. методы, основанные на монотонности функций,

5. методы решения функциональных уравнений,

6. методы, основанные на применении векторов,

7. комбинированные методы,

8. методы, основанные на использовании ограниченности функций,

9. методы решения симметрических систем уравнений,

10. методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа.

В каждом из этих типов рассмотрены конкретные примеры и методы их решения.

Материал, содержащийся в дипломной работе, представляет собой основу методического пособия, которое можно при определенной доработке, внедрять как в школьный процесс, так и при подготовке абитуриентов к поступлению.

Список использованных источников

1. Азаров, В.И. Функциональные методы решения задач [текст] : учебное пособие / В.И. Азаров, О.П. Тавгень, В.С. Федосенко. – Мн. :БГУ,1994.

2. Азаров, А.И Экзамен по математике: руководство к решению задач [текст] : справочное пособие / С.В. Пруцко, В.С. Федосенко. – Мн. :ТетраСистем, 2001.

3. Ивлев, Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа [текст] : учебное пособие / Б.М. Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницин, С.И. Шварцбург. -М. :Просвещение, 1990.

4. Габринович, В.А. Решим любую задачу [текст] : учебное пособие / В.А. Габринович, В.И. Громак. – Мн. :Асар, 1996.

5. Мандрик, П.А. Экзамен по математике на пять [текст] : учебное пособие / П.А. Мандрик, В.И. Репников. – Мн. :тетраСистемс, 1999.

6. Олехник, С.Н. Нестандартные методы решений уравнений и неравенств [текст] : учебное пособие / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасаиченуо. – М. :МГУ, 1991.

7. Пруцко, С.В. Экзамен по математике [текст] : руководство к решению задач : учебное пособие / С.В. Пруцко, А.И. Азаров, В.С. Федосенко. – МН. :тетраСистемс, 2001.

8. Пруцко, С.В. руководство к решению конкурсных задач по математике [текст] : учебное пособие / С.В. Пруцко, А.И. Азаров, В.С. Федосенко. – МН. :тетраСистемс, 1999.

9. Сборник задач по математике для поступающих во втузы [текст] / под редакцией М.И.Сканави. – Мн. :Высшая школа, 1990.

10. Супрун, В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике [текст] / В.П. Супрун. Мн. :Полымя, 1998.

11. Супрун, В.П. Нестандартные методы решения задач по математике [текст] / В.П. Супрун. –Мн. :Полымя, 2000.

studfile.net

Целая и дробная части числа

Введение

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа. Эти понятия представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

1. Познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа.
2. Уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств.
3. Рассмотреть функции вида: y=[x] и y={x} их графики и свойства.

Целая часть числа

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x]  x < [x] + 1.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа

Решение системы неравенств:

     

Дробная часть числа

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

Примеры: {2,81} = 0, 81; {-0,2} = 0,8

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е.

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа

Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

Продолжение (функция у=[x], ее свойства и график; функция у={x}, ее свойства и график; преобразование графиков в системе координат; графики, содержащие целую и дробную части; графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа)

Заключение

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.

Список литературы

1. В.А. Кирзимов, Центр образования “Царицыно” № 548, М. 2000 г.
2. Милованова Л.Н. Функции и их исследование.- М.: Академия педагогических наук РСФСР, 1958 г.
3. Глаголева Е.Г. Серебринкова Л.Г. Метод координат
4. Евсюк С.Л.  Математика. Решение задач повышенной сложности. Минск “Мисанта” 2003 г.
5. Абрамов А. М. Ивлев Б.М. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа “Просвещение” 1990 г.

urok.1sept.ru