примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Определение 1

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1.

Определение 2

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Определение 3

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Определение 4

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1. Дадим определение целых чисел.

Определение 5

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя  и на 1. Составные числа: 6, 63, 121, 6697. То есть число 6 можно разложить на 2 и 3, а 63 на 1, 3, 7,9, 21, 63, а 121 на

zaochnik.com

Простые числа

Простые числа — это целые натуральные (положительные) числа больше единицы, которые имеют ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя), т.е. не делится ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы. Все остальные числа кроме единицы называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

---

---

Последовательность простых чисел начинается так (от 2 до 10000 их 1229):

2 3 5 7 11 13

17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61

67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151

157 163 167 173 179 181

191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251

257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317

331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397

401 409 419 421 431 433

439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557

563 569 571 577 587 593

599 601 607 613 617 619

631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701

709 719 727 733 739 743

751 757 761 769 773 787

797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953

967 971 977 983 991 997

1009 1013 1019 1021 1031 1033

1039 1049 1051 1061 1063 1069

1087 1091 1093 1097 1103 1109

1117 1123 1129 1151 1153 1163

1171 1181 1187 1193 1201 1213

1217 1223 1229 1231 1237 1249

1259 1277 1279 1283 1289 1291

1297 1301 1303 1307 1319 1321

1327 1361 1367 1373 1381 1399

1409 1423 1427 1429 1433 1439

1447 1451 1453 1459 1471 1481

1483 1487 1489 1493 1499 1511

1523 1531 1543 1549 1553 1559

1567 1571 1579 1583 1597 1601

1607 1609 1613 1619 1621 1627

1637 1657 1663 1667 1669 1693

1697 1699 1709 1721 1723 1733

1741 1747 1753 1759 1777 1783

1787 1789 1801 1811 1823 1831

1847 1861 1867 1871 1873 1877

1879 1889 1901 1907 1913 1931

1933 1949 1951 1973 1979 1987

1993 1997 1999 2003 2011 2017

2027 2029 2039 2053 2063 2069

2081 2083 2087 2089 2099 2111

2113 2129 2131 2137 2141 2143

2153 2161 2179 2203 2207 2213

2221 2237 2239 2243 2251 2267

2269 2273 2281 2287 2293 2297

2309 2311 2333 2339 2341 2347

2351 2357 2371 2377 2381 2383

2389 2393 2399 2411 2417 2423

2437 2441 2447 2459 2467 2473

2477 2503 2521 2531 2539 2543

2549 2551 2557 2579 2591 2593

2609 2617 2621 2633 2647 2657

2659 2663 2671 2677 2683 2687

2689 2693 2699 2707 2711 2713

2719 2729 2731 2741 2749 2753

2767 2777 2789 2791 2797 2801

2803 2819 2833 2837 2843 2851

2857 2861 2879 2887 2897 2903

2909 2917 2927 2939 2953 2957

2963 2969 2971 2999 3001 3011

3019 3023 3037 3041 3049 3061

3067 3079 3083 3089 3109 3119

3121 3137 3163 3167 3169 3181

3187 3191 3203 3209 3217 3221

3229 3251 3253 3257 3259 3271

3299 3301 3307 3313 3319 3323

3329 3331 3343 3347 3359 3361

3371 3373 3389 3391 3407 3413

3433 3449 3457 3461 3463 3467

3469 3491 3499 3511 3517 3527

3529 3533 3539 3541 3547 3557

3559 3571 3581 3583 3593 3607

3613 3617 3623 3631 3637 3643

3659 3671 3673 3677 3691 3697

3701 3709 3719 3727 3733 3739

3761 3767 3769 3779 3793 3797

3803 3821 3823 3833 3847 3851

3853 3863 3877 3881 3889 3907

3911 3917 3919 3923 3929 3931

3943 3947 3967 3989 4001 4003

4007 4013 4019 4021 4027 4049

4051 4057 4073 4079 4091 4093

4099 4111 4127 4129 4133 4139

4153 4157 4159 4177 4201 4211

4217 4219 4229 4231 4241 4243

4253 4259 4261 4271 4273 4283

4289 4297 4327 4337 4339 4349

4357 4363 4373 4391 4397 4409

4421 4423 4441 4447 4451 4457

4463 4481 4483 4493 4507 4513

4517 4519 4523 4547 4549 4561

4567 4583 4591 4597 4603 4621

4637 4639 4643 4649 4651 4657

4663 4673 4679 4691 4703 4721

4723 4729 4733 4751 4759 4783

4787 4789 4793 4799 4801 4813

4817 4831 4861 4871 4877 4889

4903 4909 4919 4931 4933 4937

4943 4951 4957 4967 4969 4973

4987 4993 4999 5003 5009 5011

5021 5023 5039 5051 5059 5077

5081 5087 5099 5101 5107 5113

5119 5147 5153 5167 5171 5179

5189 5197 5209 5227 5231 5233

5237 5261 5273 5279 5281 5297

5303 5309 5323 5333 5347 5351

5381 5387 5393 5399 5407 5413

5417 5419 5431 5437 5441 5443

5449 5471 5477 5479 5483 5501

5503 5507 5519 5521 5527 5531

5557 5563 5569 5573 5581 5591

5623 5639 5641 5647 5651 5653

5657 5659 5669 5683 5689 5693

5701 5711 5717 5737 5741 5743

5749 5779 5783 5791 5801 5807

5813 5821 5827 5839 5843 5849

5851 5857 5861 5867 5869 5879

5881 5897 5903 5923 5927 5939

5953 5981 5987 6007 6011 6029

6037 6043 6047 6053 6067 6073

6079 6089 6091 6101 6113 6121

6131 6133 6143 6151 6163 6173

6197 6199 6203 6211 6217 6221

6229 6247 6257 6263 6269 6271

6277 6287 6299 6301 6311 6317

6323 6329 6337 6343 6353 6359

6361 6367 6373 6379 6389 6397

6421 6427 6449 6451 6469 6473

6481 6491 6521 6529 6547 6551

6553 6563 6569 6571 6577 6581

6599 6607 6619 6637 6653 6659

6661 6673 6679 6689 6691 6701

6703 6709 6719 6733 6737 6761

6763 6779 6781 6791 6793 6803

6823 6827 6829 6833 6841 6857

6863 6869 6871 6883 6899 6907

6911 6917 6947 6949 6959 6961

6967 6971 6977 6983 6991 6997

7001 7013 7019 7027 7039 7043

7057 7069 7079 7103 7109 7121

7127 7129 7151 7159 7177 7187

7193 7207 7211 7213 7219 7229

7237 7243 7247 7253 7283 7297

7307 7309 7321 7331 7333 7349

7351 7369 7393 7411 7417 7433

7451 7457 7459 7477 7481 7487

7489 7499 7507 7517 7523 7529

7537 7541 7547 7549 7559 7561

7573 7577 7583 7589 7591 7603

7607 7621 7639 7643 7649 7669

7673 7681 7687 7691 7699 7703

7717 7723 7727 7741 7753 7757

7759 7789 7793 7817 7823 7829

7841 7853 7867 7873 7877 7879

7883 7901 7907 7919 7927 7933

7937 7949 7951 7963 7993 8009

8011 8017 8039 8053 8059 8069

8081 8087 8089 8093 8101 8111

8117 8123 8147 8161 8167 8171

8179 8191 8209 8219 8221 8231

8233 8237 8243 8263 8269 8273

8287 8291 8293 8297 8311 8317

8329 8353 8363 8369 8377 8387

8389 8419 8423 8429 8431 8443

8447 8461 8467 8501 8513 8521

8527 8537 8539 8543 8563 8573

8581 8597 8599 8609 8623 8627

8629 8641 8647 8663 8669 8677

8681 8689 8693 8699 8707 8713

8719 8731 8737 8741 8747 8753

8761 8779 8783 8803 8807 8819

8821 8831 8837 8839 8849 8861

8863 8867 8887 8893 8923 8929

8933 8941 8951 8963 8969 8971

8999 9001 9007 9011 9013 9029

9041 9043 9049 9059 9067 9091

9103 9109 9127 9133 9137 9151

9157 9161 9173 9181 9187 9199

9203 9209 9221 9227 9239 9241

9257 9277 9281 9283 9293 9311

9319 9323 9337 9341 9343 9349

9371 9377 9391 9397 9403 9413

9419 9421 9431 9433 9437 9439

9461 9463 9467 9473 9479 9491

9497 9511 9521 9533 9539 9547

9551 9587 9601 9613 9619 9623

9629 9631 9643 9649 9661 9677

9679 9689 9697 9719 9721 9733

9739 9743 9749 9767 9769 9781

9787 9791 9803 9811 9817 9829

9833 9839 9851 9857 9859 9871

9883 9887 9901 9907 9923 9929

9931 9941 9949 9967 9973

mirurokov.ru

Просто про простые числа — Мастерок.жж.рф — LiveJournal

Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500 — 300 до н.э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел. Они первыми пришли к идеям о совершенных и дружественных числах.

Простые числа делятся без остатка на единицу и на самих себя. Они — основа арифметики и всех натуральных чисел. То есть тех, которые возникают естественным образом при счете предметов, например, яблок. Любое натуральное число это произведение каких-нибудь простых чисел.

И тех и других — бесконечное множество.

Простые числа, кроме 2 и 5, заканчиваются на 1, на 3, на 7 или на 9. Считалось, что они распределены случайным образом. И за простым числом, оканчивающимся, к примеру, на 1 может с равной вероятностью — в 25 процентов — следовать простое число, которое оканчивается на 1, 3, 7, 9.
Простые числа — это целые числа больше единицы, которые не могут быть представлены как произведение двух меньших чисел. Таким образом, 6 — это не простое число, так как оно может быть представлено как произведение 2×3, а 5 — это простое число, потому что единственный способ представить его как произведение двух чисел — это 1×5 или 5×1. Если у вас есть несколько монет, но вы не можете расположить их все в форме прямоугольника, а можете только выстроить их в прямую линию, ваше число монет — это простое число.

У совершенного числа сумма его собственных делителей равна ему самому. Например, собственные делители числа 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. У числа 28 делители — это 1, 2, 4, 7 и 14. При этом, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Числа называются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому, и наоборот – например, 220 и 284. Можно сказать, что совершенное число является дружественным для самого себя.

Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н.э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает Основную теорему арифметики – каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.

Также он показал, что если число 2ⁿ-1 является простым, то число 2^n-1 * (2ⁿ-1) будет совершенным. Другой математик, Эйлер, в 1747 году сумел показать, что все чётные совершенные числа можно записать в таком виде. По сей день неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа.

В году 200 году до н.э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».

Никто точно не знает, в каком обществе стали впервые рассматривать простые числа. Их изучают так давно, что у ученых нет записей тех времен. Есть предположения, что некоторые ранние цивилизации имели какое-то понимание простых чисел, но первым реальным доказательством этого являются египетские записи на папирусах, сделанные более 3500 лет назад.

Древние греки, скорее всего, были первыми, кто изучал простые числа как предмет научного интереса, и они считали, что простые числа важны для чисто абстрактной математики. Теорему Евклида по-прежнему изучают в школах, несмотря на то что ей уже больше 2000 лет.

После греков серьезное внимание простым числам снова уделили в XVII веке. С тех пор многие известные математики внесли важный вклад в наше понимание простых чисел. Пьер де Ферма совершил множество открытий и известен благодаря Великой теореме Ферма, 350-летней проблеме, связанной с простыми числами и решенной Эндрю Уайлсом в 1994 году. Леонард Эйлер доказал много теорем в XVIII веке, а в XIX веке большой прорыв был сделан благодаря Карлу Фридриху Гауссу, Пафнутию Чебышёву и Бернхарду Риману, особенно в отношении распределения простых чисел. Кульминацией всего этого стала до сих пор не решенная гипотеза Римана, которую часто называют важнейшей нерешенной задачей всей математики. Гипотеза Римана позволяет очень точно предсказать появление простых чисел, а также отчасти объясняет, почему они так трудно даются математикам.

Открытия сделаные в начале 17-го века математиком Ферма, доказали гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов.

Он разработал новый метод факторизации больших чисел, и продемонстрировал его на числе 2027651281 = 44021 × 46061. Также он доказал Малую теорему Ферма: если p – простое число, то для любого целого a будет верно a^p = a modulo p.

Это утверждение доказывает половину того, что было известно как «китайская гипотеза», и датируется 2000 годами ранее: целое n является простым тогда и только тогда, если 2ⁿ-2 делится на n. Вторая часть гипотезы оказалась ложной – к примеру, 2³⁴¹ — 2 делится на 341, хотя число 341 составное: 341 = 31 × 11.

Малая теорема Ферма послужила основой множества других результатов в теории чисел и методов проверки чисел на принадлежность к простым – многие из которых используются и по сей день.

Ферма много переписывался со своими современниками, в особенности с монахом по имени Марен Мерсенн. В одном из писем он высказал гипотезу о том, что числа вида 2ⁿ+1 всегда будут простыми, если n является степенью двойки. Он проверил это для n = 1, 2, 4, 8 и 16, и был уверен, что в случае, когда n не является степенью двойки, число не обязательно получалось простым. Эти числа называются числами Ферма, и лишь через 100 лет Эйлер показал, что следующее число, 2³² + 1 = 4294967297 делится на 641, и следовательно, не является простым.

Числа вида 2ⁿ — 1 также служили предметом исследований, поскольку легко показать, что если n – составное, то и само число тоже составное. Эти числа называют числами Мерсенна, поскольку он активно их изучал.

Но не все числа вида 2ⁿ — 1, где n – простое, являются простыми. К примеру, 2¹¹ — 1 = 2047 = 23 * 89. Впервые это обнаружили в 1536 году.

Многие годы числа такого вида давали математикам наибольшие известные простые числа. Что число M₁₉, было доказано Катальди в 1588 году, и в течение 200 лет было наибольшим известным простым числом, пока Эйлер не доказал, что M₃₁ также простое. Этот рекорд продержался ещё сто лет, а затем Люкас показал, что M₁₂₇ — простое (а это уже число из 39 цифр), и после него исследования продолжились уже с появлением компьютеров.

В 1952 была доказана простота чисел M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃ и M₂₂₈₁.

К 2005 году найдено 42 простых чисел Мерсенна. Наибольшее из них, M_25964951, состоит из 7816230 цифр.

Работа Эйлера оказала огромное влияние на теорию чисел, в том числе и простых. Он расширил Малую теорему Ферма и ввёл φ-функцию. Факторизовал 5-е число Ферма 2³²+1, нашёл 60 пар дружественных чисел, и сформулировал (но не смог доказать) квадратичный закон взаимности.

Он первым ввёл методы математического анализа и разработал аналитическую теорию чисел. Он доказал, что не только гармонический ряд ∑ (1/n), но и ряд вида

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

получаемый суммой величин, обратных к простым числам, также расходится. Сумма n членов гармонического ряда растёт примерно как log(n), а второй ряд расходится медленнее, как log[ log(n) ]. Это значит, что, например, сумма обратных величин ко всем найденным на сегодняшний день простым числам даст всего 4, хотя ряд всё равно расходится.

На первый взгляд кажется, что простые числа распределены среди целых довольно случайно. К примеру, среди 100 чисел, идущих прямо перед 10000000, встречается 9 простых, а среди 100 чисел, идущих сразу после этого значения – всего 2. Но на больших отрезках простые числа распределены достаточно равномерно. Лежандр и Гаусс занимались вопросами их распределения. Гаусс как-то рассказывал другу, что в любые свободные 15 минут он всегда подсчитывает количество простых в очередной 1000 чисел. К концу жизни он сосчитал все простые числа в промежутке до 3 миллионов. Лежандр и Гаусс одинаково вычислили, что для больших n плотность простых чисел составляет 1/log(n). Лежандр оценил количество простых чисел в промежутке от 1 до n, как

π(n) = n/(log(n) — 1.08366)

А Гаусс – как логарифмический интеграл

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

с промежутком интегрирования от 2 до n.

Утверждение о плотности простых чисел 1/log(n) известно как Теорема о распределении простых чисел. Её пытались доказать в течение всего 19 века, а прогресса достигли Чебышёв и Риман. Они связали её с гипотезой Римана – по сию пору не доказанной гипотезой о распределении нулей дзета-функции Римана. Плотность простых чисел была одновременно доказана Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году.

В теории простых чисел есть ещё множество нерешённых вопросов, некоторым из которых уже многие сотни лет:

• гипотеза о простых числах-близнецах – о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2


• гипотеза Гольдбаха: любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел


• бесконечно ли количество простых чисел вида n²+ 1 ?


• всегда ли можно найти простое число между n²and (n + 1) ²? (факт, что между n и 2n всегда есть простое число, было доказан Чебышёвым)


• бесконечно ли число простых чисел Ферма? есть ли вообще простые числа Ферма после 4-го?


• существует ли арифметическая прогрессия из последовательных простых чисел для любой заданной длины? например, для длины 4: 251, 257, 263, 269. Максимальная из найденных длина равна 26.


• бесконечно ли число наборов из трёх последовательных простых чисел в арифметической прогрессии?


• n²— n + 41 – простое число для 0 ≤ n ≤ 40. Бесконечно ли количество таких простых чисел? Тот же вопрос для формулы n² — 79 n + 1601. Эти числа простые для 0 ≤ n ≤ 79.


• бесконечно ли количество простых чисел вида n# + 1? (n# — результат перемножения всех простых чисел, меньших n)


• бесконечно ли количество простых чисел вида n# -1 ?


• бесконечно ли количество простых чисел вида n! + 1?


• бесконечно ли количество простых чисел вида n! – 1?


• если p – простое, всегда ли 2^p-1 не содержит среди множителей квадратов простых чисел


• содержит ли последовательность Фибоначчи бесконечное количество простых чисел?

Некоторые считают, что простые числа не стоят глубокого изучения, но они имеют фундаментальное значение для математики. Каждое число может быть представлено уникальным способом в виде простых чисел, умноженных друг на друга. Это значит, что простые числа — это «атомы умножения», маленькие частички, из которых может быть построено что-то большое.

Так как простые числа — это строительные элементы целых чисел, которые получаются с помощью умножения, многие проблемы целых чисел могут быть сведены к проблемам простых чисел. Подобным образом некоторые задачи в химии могут быть решены с помощью атомного состава химических элементов, вовлеченных в систему. Таким образом, если бы существовало конечное число простых чисел, можно было бы просто проверить одно за другим на компьютере. Однако оказывается, что существует бесконечное множество простых чисел, которые на данный момент плохо понимают математики.

У простых чисел существует огромное количество применений как в области математики, так и за ее пределами. Простые числа в наши дни используются практически ежедневно, хотя чаще всего люди об этом не подозревают. Простые числа представляют такое значение для ученых, поскольку они являются атомами умножения. Множество абстрактных проблем, касающихся умножения, можно было бы решить, если бы люди знали больше о простых числах. Математики часто разбивают одну проблему на несколько маленьких, и простые числа могли бы помочь в этом, если бы понимали их лучше.

Вне математики основные способы применения простых чисел связаны с компьютерами. Компьютеры хранят все данные в виде последовательности нулей и единиц, которая может быть выражена целым числом. Многие компьютерные программы перемножают числа, привязанные к данным. Это означает, что под самой поверхностью лежат простые числа. Когда человек совершает любые онлайн-покупки, он пользуется тем, что есть способы умножения чисел, которые сложно расшифровать хакеру, но легко покупателю. Это работает за счет того, что простые числа не имеют особенных характеристик — в противном случае злоумышленник мог бы получить данные банковской карты.

Один из способов нахождения простых чисел — это компьютерный поиск. Путем многократной проверки того, является ли число множителем 2, 3, 4 и так далее, можно легко определить, простое ли оно. Если оно не является множителем любого меньшего числа, оно простое. В действительности это очень трудоемкий способ выяснения того, является ли число простым. Однако существуют более эффективные пути это определить. Эффективность этих алгоритмов для каждого числа является результатом теоретического прорыва 2002 года.

Простых чисел достаточно много, поэтому если взять большое число и прибавить к нему единицу, то можно наткнуться на простое число. В действительности многие компьютерные программы полагаются на то, что простые числа не слишком трудно найти. Это значит, что, если вы наугад выберете число из 100 знаков, ваш компьютер найдет большее простое число за несколько секунд. Поскольку 100-значных простых чисел больше, чем атомов во Вселенной, то вполне вероятно, что никто не будет знать наверняка, что это число простое.

Как правило, математики не ищут отдельных простых чисел на компьютере, однако они очень заинтересованы в простых числах с особыми свойствами. Есть две известные проблемы: существует ли бесконечное количество простых чисел, которые на один больше, чем квадрат (например, это имеет значение в теории групп), и существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2.

Самое большое простое число, вычисленное проектом GIMPS [Great Internet Mersenne Prime Search], можно посмотреть в таблице на официальной странице проекта.

Самые большие близнецы среди простых чисел – это 2003663613 × 2195000 ± 1. Они состоят из 58711 цифр, и были найдены в 2007 году.

Самое большое факториальное простое число (вида n! ± 1) – это 147855! — 1. Оно состоит из 142891 цифр и было найдено в 2002.

Наибольшее праймориальное простое число (число вида n# ± 1) – это 1098133# + 1.

Чтобы записать новое простое число, найденное математиками, потребовалась бы книга более, чем в 7 тысяч страниц. Оно – это небывало большое число – состоит из 23 249 425 цифр. Обнаружить его удалось благодаря проекту распределенных вычислений GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).

Простые числа – это такие, которые делятся на единицу и на самих себя. И больше ни на что. Найденное ныне относится еще и к так называемым числам Мерсенна, которые имеют вид 2 в степени n минус 1. Выразить рекордное число можно как 2 в степени 77232917 минус 1. Оно стало 50 известным числом Мерсенна.

Простые числа используют в криптографии – для шифрования. Они стоят немалых денег. Например, в 2009 году за одно из простых чисел было выплачена премия в $100 тысяч.

Несмотря на то, что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о простых числах до сих пор известно на удивление мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2. Предполагается, что существует, но это пока не доказано. Это проблема, которую можно объяснить ребенку школьного возраста, однако величайшие математические умы ломают над ней голову уже более 100 лет.

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах как с практической, так и с теоретической точки зрения заключаются в том, какое количество простых чисел имеет то или иное свойство. Ответ на самый простой вопрос — сколько есть простых чисел определенного размера — теоретически можно получить, решив гипотезу Римана. Дополнительный стимул доказать гипотезу Римана — приз размером в один миллион долларов, предложенный математическим институтом Клэя, равно как и почетное место среди самых выдающихся математиков всех времен.

Сейчас существуют неплохие способы предположить, каким будет правильный ответ на многие из этих вопросов. На данный момент догадки математиков проходят все численные эксперименты, и есть теоретические основания, чтобы на них полагаться. Однако для чистой математики и работы компьютерных алгоритмов чрезвычайно важно, чтобы эти догадки действительно были верными. Математики могут быть полностью удовлетворены, только имея неоспоримое доказательство.

Самым серьезным вызовом для практического применения является сложность нахождения всех простых множителей числа. Если взять число 15, можно быстро определить, что 15=5х3. Но если взять 1000-значное число, вычисление всех его простых множителей займет больше миллиарда лет даже у самого мощного суперкомпьютера в мире. Интернет-безопасность во многом зависит от сложности таких вычислений, потому для безопасности коммуникации важно знать, что кто-то не может просто взять и придумать быстрый способ найти простые множители.

Сейчас невозможно сказать, как простые числа будут использоваться в будущем. Чистая математика (например, изучение простых чисел) неоднократно находила способы применения, которые могли показаться совершенно невероятными, когда теория впервые разрабатывалась. Снова и снова идеи, воспринимавшиеся как чудной академический интерес, непригодный в реальном мире, оказывались на удивление полезными для науки и техники. Годфри Харольд Харди, известный математик начала XX столетия, утверждал, что простые числа не имеют реального применения. Сорок лет спустя был открыт потенциал простых чисел для компьютерной коммуникации, и сейчас они жизненно необходимы для повседневного использования интернета.

Поскольку простые числа лежат в основе проблем, касающихся целых чисел, а целые числа постоянно встречаются в реальной жизни, простым числам найдется повсеместное применение в мире будущего. Это особенно актуально, учитывая, как интернет проникает в жизнь, а технологии и компьютеры играют большую роль, чем когда-либо раньше.

Существует мнение, что определенные аспекты теории чисел и простых чисел выходят далеко за рамки науки и компьютеров. В музыке простые числа объясняют, почему некоторые сложные ритмические рисунки долго повторяются. Это порой используется в современной классической музыке для достижения специфического звукового эффекта. Последовательность Фибоначчи постоянно встречается в природе, и есть гипотеза о том, что цикады эволюционировали таким образом, чтобы находиться в спячке в течение простого числа лет для получения эволюционного преимущества.

Также предполагается, что передача простых чисел по радиоволнам была бы лучшим способом для попытки установления связи с инопланетными формами жизни, поскольку простые числа абсолютно независимы от любого представления о языке, но при этом достаточно сложны, чтобы их нельзя было спутать с результатом некоего в чистом виде физического природного процесса.

[источники]Источники:
https://habrahabr.ru/post/276037/
https://postnauka.ru/faq/66114

masterok.livejournal.com

Почему единицу не относят к простым числам, и когда её вообще начали считать числом

Мой друг инженер недавно меня удивил. Он сказал, что не уверен, является число 1 простым или нет. Я удивилась, потому что никто из математиков не считает единицу простым.

Путаница начинается с определения, которое дают простому числу: это положительное целое число, которое делится только на 1 и само на себя. Число 1 делится на 1, и оно делится само на себя. Но деление на себя и на 1 здесь не является двумя различными факторами. Так простое число это или нет? Когда я пишу определение простого числа, то пытаюсь устранить эту двусмысленность: я прямо говорю о необходимости ровно двух различных условий, деление на 1 и само на себя, или что простое число должно быть целым числом больше 1. Но зачем идти на такие меры, чтобы исключить 1?

Моё математическое образование научило меня, что хорошей причиной того, почему 1 не считается простым, является основная теорема арифметики. Она утверждает, что каждое число может быть записано как произведение простых чисел ровно одним способом. Если бы 1 было простым, мы бы потеряли эту уникальность. Мы могли бы записать 2 как 1×2, или 1×1×2, или 1⁵⁹⁴⁸²⁷×2. Исключение 1 из простых чисел устраняет это.

Изначально я планировала в статье объяснить основную теорему арифметики и покончить с этим. Но на самом деле не так сложно изменить формулировку теоремы для решения проблемы с единицей. В конце концов, вопрос моего друга разжёг моё любопытство: как математики остановились на этом определении простого числа? Беглый поиск по Википедии показал, что единица раньше считалась простым числом, а сейчас нет. Но статья Криса Колдуэлла и Енг Сюна демонстрирует немного более сложную историю. Это можно понять с самого начала их статьи: «Во-первых, является ли число (особенно единица) простым — это вопрос определения, то есть вопрос выбора, контекста и традиции, а не вопрос доказательства. Тем не менее, определения не возникают случайным образом; выбор связан с нашим использованием математики и, особенно в этом случае, нашей нотацией».

Колдуэлл и Сюн начинают с классических греческих математиков. Они не считали 1 числом так же, как 2, 3, 4 и так далее. 1 считалась цифрой, а число состояло из нескольких цифр. По этой причине 1 не могла быть простым — это даже не число. Арабский математик IX века аль-Кинди писал, что это не число и, следовательно, не является чётным или нечётным. В течение многих веков преобладало представление, что единица — это строительный блок для составления всех чисел, но не само число.

В 1585 году фламандский математик Саймон Стевин указал, что в десятичной системе нет никакой разницы между 1 и любыми другими числами. Во всех отношениях 1 ведёт себя как любая другая величина. Хотя и не сразу, но это наблюдение в конечном итоге привело математиков к принятию 1 как любого другого числа.

До конца XIX века некоторые выдающиеся математики считали 1 простым, а некоторые нет. Насколько я могу судить, это не было причиной разногласий; для самых популярных математических вопросов различие не являлось критически важным. Колдуэлл и Сюн цитируют Г. Х. Харди как последнего крупного математика, считающего 1 простым (он явно указал его в качестве простого числа в первых шести изданиях «Курса чистой математики», опубликованных между 1908 и 1933 годами, а в 1938 году изменил определение и назвал 2 наименьшим простым).

В статье упоминаются, но не разбираются подробно изменения в математике, из-за которых 1 исключили из списка простых чисел. В частности, одним из важных изменений стала разработка множеств за пределами множества целых чисел, которые ведут себя как целые.

В самом простом примере мы можем спросить, является ли число -2 простым. Вопрос может показаться бессмысленным, но он побуждает нас выразить словами уникальную роль единицы среди целых чисел. Самым необычным аспектом 1 является то, что его обратное значение тоже является целым числом (обратное значение x — это число, которое при умножении на x даёт 1. У числа 2 обратное значение 1/2 входит в множество рациональных или действительных чисел, но не является целым: 1/2×2=1). Число 1 оказалось собственным обратным числом. Ни у какого другого положительного целого числа нет обратного значения в множестве целых чисел. Число с обратным значением называется обратимым элементом. Число −1 тоже является обратимым элементом в наборе целых чисел: опять же, оно обратимый элемент само для себя. Мы не рассматриваем обратимые элементы как простые или составные, потому что вы можете умножить их на некоторые другие обратимые элементы без особых изменений. Тогда мы можем считать, что число -2 не так уж отличается от 2; с точки зрения умножения. Если 2 является простым, то и −2 должно быть таким же.

Я старательно избегала в предыдущем абзаце определения простого из-за неудачного факта, что для этих больших множеств такое определение не подходит! То есть оно немного нелогично, и я бы выбрала другое. Для положительных целых чисел у каждого простого числа p два свойства:

Его нельзя записать как произведение двух целых чисел, ни одно из которых не является обратимым элементом.

Если произведение m×n делится на p, то m или n должны быть делимы на p (для примера, m=10, n=6, а p=3.)

Первое из этих свойств — то, как мы могли бы охарактеризовать простые числа, но, к сожалению, тут получается неприводимый элемент. Второе свойство — это простой элемент. В случае натуральных чисел, конечно, одни и те же числа удовлетворяют обоим свойствам. Но это не относится к каждому интересному набору чисел.

В качестве примера рассмотрим множество чисел вида a+b√−5 или a+ib√5, где a и b — целые числа, а i — квадратный корень из −1. Если вы умножите числа 1+√−5 и 1-√−5, то получите 6. Конечно, вы также получите 6, если умножите 2 и 3, которые тоже находятся в этом множестве чисел при b=0. Каждое из чисел 2, 3, 1+√−5, и 1−√−5 нельзя представить как произведение чисел, которые не являются обратимыми элементами (если не верите мне на слово, это не слишком трудно проверить). Но произведение (1+√−5)(1−√−5) делится на 2, а 2 не делится ни на 1+√−5, ни на 1−√−5 (опять же, можете проверить, если не верите мне). Таким образом, 2 является неприводимым элементом, но не простым. В этом наборе чисел 6 можно разложить на неприводимые элементы двумя различными способами.

Приведённое выше число, которое математики могут назвать Z[√-5], содержит два обратимых элемента: 1 и −1. Но есть аналогичные множества чисел с бесконечным количеством обратимых элементов. Поскольку такие множества стали объектами изучения, есть смысл чётко разграничить определения обратимого, неприводимого и простого элементов. В частности, если есть множества чисел с бесконечным числом обратимых элементов, становится всё труднее понять, что мы подразумеваем под уникальной факторизацией чисел, если не уточнить, что обратимые элементы не могут быть простыми. Хотя я не историк математики и не занимаюсь теорией чисел и хотела бы прочитать больше, как именно происходил этот процесс, но я думаю, что это одна из причин, которые Колдуэлл и Сюн считают причиной исключения 1 из простых чисел.

Как это часто бывает, мой первоначальный аккуратный и лаконичный ответ на вопрос, почему всё устроено так, как есть, в конечном итоге стал только частью проблемы. Спасибо моему другу за то, что задал вопрос и помог мне узнать больше о сложной истории простоты.

habr.com

Как определить простое число 🚩 все простые числа нечетные 🚩 Математика

Инструкция

Поскольку простое число по определению не должно делиться ни на какое другое, кроме себя самого, очевидный способ проверки числа на простоту — попытка разделить его без остатка на все числа, меньшие его. Именно этот способ обычно выбирают создатели компьютерных алгоритмов. Однако перебор может оказаться достаточно долгим, если, скажем, на простоту нужно проверить число вида 136827658235479371. Поэтому стоит обратить внимание на правила, способные заметно сократить время вычислений. Если число составное, то есть представляет собой произведение простых сомножителей, то среди этих сомножителей обязательно должен найтись хотя бы один, который будет меньше квадратного корня из заданного числа. Ведь произведение двух чисел, каждое из которых больше квадратного корня из некоторого X, будет заведомо больше X, и эти два числа никак не могут быть его делителями.

Поэтому даже при простом переборе можно ограничиться проверкой только тех целых чисел, которые не превышают квадратный корень из заданного числа, округленный в большую сторону. Например, проверяя число 157, вы перебираете возможные множители только от 2 до 13.

Если у вас нет под рукой компьютера, и число на простоту приходится проверять вручную, то и здесь на помощь приходят простые и очевидные правила. Больше всего вам поможет знание уже известных простых чисел. Ведь проверять отдельно делимость на составные числа нет смысла, если можно проверить делимость на их простые множители.

Четное число по определению не может быть простым, поскольку делится на 2. Поэтому, если последняя цифра числа четна, то оно заведомо составное.

Числа, делящиеся на 5, всегда оканчиваются пятеркой или нулем. Взгляд на последнюю цифру числа поможет их отсеять.

Если число делится на 3, то и сумма его цифр тоже обязательно делится на 3. Например, сумма цифр числа 136827658235479371 равна 1 + 3 + 6 + 8 + 2 + 7 + 6 + 5 + 8 + 2 + 3 + 5 + 4 + 7 + 9 + 3 + 7 + 1 = 87. Это число делится на 3 без остатка: 87 = 29*3. Следовательно, и наше число тоже делится на 3 и является составным.

Очень прост также признак делимости на 11. Нужно из суммы всех нечетных цифр числа вычесть сумму всех четных его цифр. Четность и нечетность определяется счетом с конца, то есть с единиц. Если получившаяся разность делится на 11, то и все заданное число тоже на него делится. Например, пусть дано число 2576562845756365782383. Сумма его четных цифр равна 8 + 2 + 7 + 6 + 6 + 7 + 4 + 2 + 5 + 7 + 2 = 56. Сумма нечетных: 3 + 3 + 8 + 5 + 3 + 5 + 5 + 8 + 6 + 6 + 5 = 57. Разность между ними равна 1. Это число не делится на 11, а следовательно, 11 не является делителем заданного числа.

Проверить делимость числа на 7 и 13 можно аналогичным способом. Разбейте число на тройки цифр, начиная с конца (так делают при типографской записи для удобства чтения). Число 2576562845756365782383 превращается в 2 576 562 845 756 365 782 383. Просуммируйте числа, стоящие на нечетных местах, и вычтите из них сумму чисел на четных. В данном случае вы получите (383 + 365 + 845 + 576) — (782 + 756 + 562 + 2) = 67. Это число не делится ни на 7, ни на 13, а значит и делителями заданного числа они не являются.

www.kakprosto.ru

Признаки делимости — Википедия

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному^[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности[править | править код]

Если для двух целых чисел a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} существует такое целое число q,{\displaystyle q,} что

bq=a,{\displaystyle b\,q=a,}

то говорят, что число a{\displaystyle a} делится на b.{\displaystyle b.}

Два целых числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} называются равноделимыми на m,{\displaystyle m,} если либо они оба делятся на m,{\displaystyle m,} либо оба не делятся^[2].

Два целых числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} равноостаточны при делении на натуральное число m{\displaystyle m} (или сравнимы по модулю m{\displaystyle m}), если при делении на m{\displaystyle m} они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа q1,q2,r,{\displaystyle q_{1},\,q_{2},\,r,} что

a=mq1+r,b=mq2+r.{\displaystyle a=m\,q_{1}+r,\;\;b=m\,q_{2}+r.}

Эту статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. Пожалуйста, попытайтесь изложить эту статью так, чтобы она была понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе. Пояснение: слишком сложный раздел в статье, которая должны быть понятна четвероклассникам. Нужно это раздел либо удалить, либо перенести ниже, либо перенести в статью Признак Паскаля. Соответственно изменить текст ниже

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число A{\displaystyle A} на другое натуральное число m.{\displaystyle m.} Для этого будем строить последовательность натуральных чисел:

A0,A1,A2,A3,…,An,{\displaystyle A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,\dots ,\,A_{n},}

такую, что:

1. A0=A;{\displaystyle A_{0}=A;}
2. каждый член последовательности вполне определяется предыдущим;
3. Ai<Ai−1,i=1,2,3,…,n−1;{\displaystyle A_{i}<A_{i-1},\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n-1;}
4. последний член последовательности меньше m,{\displaystyle m,} то есть 0⩽An<m.{\displaystyle 0\leqslant A_{n}<m.}
5. все члены последовательности являются попарно равноделимыми на m.{\displaystyle m.}

Тогда если последний член этой последовательности равен нулю, то A{\displaystyle A} делится на m,{\displaystyle m,} в противном случае A{\displaystyle A} на m{\displaystyle m} не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на m.{\displaystyle m.} Математически он может быть описан с помощью функции f(x),{\displaystyle f(x),} определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

Ai=f(Ai−1),i=1,2,3,…,n,{\displaystyle A_{i}=f\left(A_{i-1}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,}

удовлетворяющей следующим условиям:

1. при x<m{\displaystyle x<m} значение f(x){\displaystyle f(x)} не определено;
2. при x⩾m{\displaystyle x\geqslant m} значение f(x){\displaystyle f(x)} есть натуральное число;
3. если x⩾m,{\displaystyle x\geqslant m,} то f(x)<x;{\displaystyle f(x)<x;}
4. если x⩾m,{\displaystyle x\geqslant m,} то f(x){\displaystyle f(x)} и x{\displaystyle x} равноделимы на m.{\displaystyle m.}

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления A{\displaystyle A} на m,{\displaystyle m,} а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на m.{\displaystyle m.} В силу того, что из равенства остатка при делении на m{\displaystyle m} нулю следует делимость на m{\displaystyle m}, любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции f(x),{\displaystyle f(x),} определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

Ai=f(Ai−1),i=1,2,3,…,n,{\displaystyle A_{i}=f\left(A_{i-1}\right),\quad i=1,\,2,\,3,\,\dots ,\,n,}

удовлетворяющей следующим условиям:

1. при x<m{\displaystyle x<m} значение f(x){\displaystyle f(x)} не определено;
2. при x⩾m{\displaystyle x\geqslant m} значение f(x){\displaystyle f(x)} есть натуральное число;
3. если x⩾m,{\displaystyle x\geqslant m,} то f(x)<x;{\displaystyle f(x)<x;}
4. если x⩾m,{\displaystyle x\geqslant m,} то f(x){\displaystyle f(x)} и x{\displaystyle x} равноостаточны при делении на m.{\displaystyle m.}

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

f(x)=x−m,x⩾m,{\displaystyle f(x)=x-m,\quad x\geqslant m,}

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

A,A−m,A−2m,A−3m,…{\displaystyle A,\,A-m,\,A-2m,\,A-3m,\,\dots }

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться остатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа A,{\displaystyle A,} представленного в виде

A=10b+a,0⩽a<10,b⩾0.{\displaystyle A=10\,b+a,\quad 0\leqslant a<10,\quad b\geqslant 0.}

Тогда остатком от деления A{\displaystyle A} на 10 будет a{\displaystyle a}. Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как

f(A)=a,A⩾10.{\displaystyle f(A)=a,\quad A\geqslant 10.}

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа A{\displaystyle A} — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить a{\displaystyle a}, программе пришлось бы сначала поделить A{\displaystyle A} на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

1. При любых целом q{\displaystyle q} и натуральном m{\displaystyle m} целые числа A{\displaystyle A} и A+mq{\displaystyle A+mq} равноостаточны при делении на m.{\displaystyle m.}
2. При любых целом q{\displaystyle q}, натуральном m{\displaystyle m}, целые числа A{\displaystyle A} и pA+mq{\displaystyle pA+mq} равноделимы на m,{\displaystyle m,} если целое p{\displaystyle p} является взаимно простым с m.{\displaystyle m.}

Пример построения признаков делимости и равноостаточности на 7

Продемонстрируем применение этих теорем на примере признаков делимости и равноостаточности на m=7.{\displaystyle m=7.}

Пусть дано целое число

A=10a1+a0,0⩽a0<10,a1⩾0.{\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0.}

Тогда из первой теоремы полагая q=−a1{\displaystyle q=-a_{1}} будет следовать, что A{\displaystyle A} будет равноостаточно при делении на 7 с числом

A′=A−7a1=(10−7)a1+a0=3a1+a0.{\displaystyle A’=A-7a_{1}=\left(10-7\right)a_{1}+a_{0}=3\,a_{1}+a_{0}.}

Запишем функцию признака равноостаточности в виде:

f(A)={3a1+a0,A⩾Amin,A−7,7⩽A<Amin.{\displaystyle f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant A_{min},\\A-7,&7\leqslant A<A_{min}.\end{cases}}}

И, наконец, остаётся найти такое Amin⩽7,{\displaystyle A_{min}\leqslant 7,}, при котором для любого A⩽Amin{\displaystyle A\leqslant A_{min}} выполняется условие 3a1+a0<A.{\displaystyle 3\,a_{1}+a_{0}<A.} В данном случае Amin=10{\displaystyle A_{min}=10} и функция приобретает окончательный вид:

f(A)={3a1+a0,A⩾10,A−7,7⩽A<10.{\displaystyle f(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}}

А из второй теоремы полагая q=3a1{\displaystyle q=3\,a_{1}} и p=−2,{\displaystyle p=-2,} взаимно простое с 7, будет следовать, что A{\displaystyle A} будет равноделимы на 7 с числом

A′=7⋅3a1−2A=(21−20)a1−2a0=a1−2a0.{\displaystyle A’=7\cdot 3a_{1}-2A=\left(21-20\right)a_{1}-2\,a_{0}=a_{1}-2\,a_{0}.}

Учитывая, что числа A′{\displaystyle A’} и |A′|{\displaystyle \left|A’\right|} равноделимы на 7, запишем функцию признака делимости в виде:

f(A)={|a1−2a0|,A⩾Amin,A−7,7⩽A<Amin.{\displaystyle f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant A_{min},\\A-7,&7\leqslant A<A_{min}.\end{cases}}}

И, наконец, остаётся найти такое Amin⩽7,{\displaystyle A_{min}\leqslant 7,}, при котором для любого A⩽Amin{\displaystyle A\leqslant A_{min}} выполняется условие |a1−2a0|<A.{\displaystyle \left|a_{1}-2\,a_{0}\right|<A.} В данном случае Amin=10{\displaystyle A_{min}=10} и функция приобретает окончательный вид:

f(A)={|a1−2a0|,A⩾10,A−7,7⩽A<10.{\displaystyle f(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-2\,a_{0}\right|,&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}}

Признаки делимости в десятичной системе счисления[править | править код]

Признак делимости на 2[править | править код]

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

A=10a1+a0,0⩽a0,<10,a1⩾0,{\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}

F(A)={a0,A⩾10A−2,2⩽A<10.{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 3[править | править код]

Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 159 делится на 3, поскольку сумма его цифр 1 + 5 + 9 = 15 делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

A=∑i=0n10iai,0⩽ai<10,i=0,1,…n,{\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}

F(A)={∑i=0nai,A⩾10,A−3,3⩽A<10.{\displaystyle F(A)={\begin{cases}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10.\end{cases}}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, 1+5+4=10{\displaystyle 1+5+4=10} и 1+0=1{\displaystyle 1+0=1} равноостаточны при делении на 3.

Признак делимости на 4[править | править код]

Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенная цифра в разряде десятков, сложенная с цифрой в разряде единиц, делится на 4. Например, число 42 не делится на 4, так как 2⋅4+2=10{\displaystyle 2\cdot 4+2=10} не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

A=100a2+10a1+a0,0⩽a0<10,0⩽a1<10,a2⩾0,{\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}

F(A)={2a1+a0,A⩾10,A−4,4⩽A<10.{\displaystyle F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, 8⋅2+7=23{\displaystyle 8\cdot 2+7=23} и 2⋅2+3=7{\displaystyle 2\cdot 2+3=7} равноостаточны при делении на 4.

Более простая формулировка: Число делится на 4, если в последнем разряде 0, 4, 8, а предпоследний разряд чётный; или если в последнем разряде 2, 6, а предпоследний разряд нечётный.

Признак делимости на 5[править | править код]

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

Соответствующая признаку функция:

A=10a1+a0,0⩽a0<10,a1⩾0,{\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}

F(A)={a0,A⩾10,A−5,5⩽A<10.{\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}}

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6[править | править код]

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

ru.wikipedia.org

Математики обнаружили странную закономерность у простых чисел

Простые числа, которые делятся без остатка только на единицу и самих себя, оказались не такими простыми, как считалось ранее. Согласно основной теореме арифметики, все натуральные числа могут быть представлены в виде произведения простых чисел, которые выступают в роли математических «строительных блоков».

Так как все чётные числа делятся на 2, а все числа, заканчивающиеся на 0 и 5, могут быть поделены на 5, простые числа кроме 2 и 5 оканчиваются на 1, 3, 7 или 9 с одинаковой вероятностью каждого варианта окончания. Таким образом, долгое время считалось, что простые числа распределены по числовой прямой случайным образом. Но два американских математика обнаружили странную закономерность, которая исключает такую случайность.

В случае случайного распределения каждое следующее простое число может с равной долей вероятности заканчиваться на любую из четырёх возможных цифр. Например, за простым числом, оканчивающимся на 3, в 25% случаев должно следовать другое простое число, которое также будет заканчиваться на 3. Однако Каннан Саундарараджан (Kannan Soundararajan) и Роберт Лемке Оливер (Robert Lemke Oliver) из Стэнфордского университета рассчитали, что вероятность соседства двух простых чисел с одинаковой цифрой на конце гораздо ниже, чем это можно ожидать от случайной последовательности.

Математики установили, что две единицы на конце простого числа могут стоять рядом лишь в 18% случаев, в то время как 3 и 7 следуют за 1 в 30%, а 9 – в 22% случаев. Как сообщается в препринте статьи, доступном на сайте arXiv, такая же тенденция наблюдается и для других комбинаций окончаний.

Учёные говорят, что на больших выборках картина становится больше похожа на случайность, но даже когда они провели анализ нескольких триллионов простых чисел, необычная закономерность всё ещё присутствовала, пусть и в меньших масштабах.

Лемке Оливер и Саундарараджан считают, что у их открытия есть объяснение. Большинство современных исследований простых чисел опираются на теорию математиков Годфри Харолда Харди (Godfrey Harold Hardy) и Джона Литтлвуда (John Littlewood), которая предполагает, что пары, тройки и большие выборки простых чисел распределяются не равномерно, а более сложным образом. В начале двадцатого века эти учёные собрали вместе все известные правила чередования простых чисел, например, то, что два соседних числа не могут быть простыми, потому что одно из них чётное, а если число N простое, то число N+2 также окажется простым с большей вероятностью, чем любое случайно выбранное число. Эти наблюдения были объединены в общую гипотезу, которая описывает распределение во всех видах первичных кластеров простых чисел.

Новое исследование показывает, что именно гипотеза Харди-Литтлвуда, которая до сих пор не была доказана, лучше всего описывает чередование последних цифр в простых числах. Она также подразумевает, что по мере расширения выборки чисел характер распределения будет всё больше напоминать случайный.

Хотя результаты новой работы не имеют практической значимости и не могут быть использованы для решения важных математических проблем, специалисты считают, что выводы американских учёных дали хороший стимул к пересмотру некоторых вещей, связанных с простыми числами, на которые математики долгое время не обращали внимания.

nauka.vesti.ru