Цели урока: повторить правила выполнения действий с десятичными и обыкновенными дробями, повторить порядок выполнения действий в числовых примерах.

Ход урока:

                          I.      Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

                        II.      Устный счет.

Учитель зачитывает циклические примеры. В начале учитель по очереди опрашивает двух-трёх учащихся по примерам

Затем учитель вызывает на каждое действие одного ученика.

И заканчивается устный счёт опять индивидуальными ответами учащихся, которые были достаточно пассивны.

                          I.      Работа у доски.

Решается № 1 у доски. На каждое действие вызывается новый ученик, который полностью комментирует своё решение.

                        II.      Объяснение нового материала.

Объяснение учителя:

Рассмотрим дробь , если => = 0,

если => дробь не имеет смысла.

                     III.      Решение задач.

Решить № 3 (а) и № 4 (а).

                      IV.      Математический диктант.

В конце урока провести математический диктант по теме наиболее рациональное решение примеров на действия.

Подведение итогов.

Домашнее задание: № 2, № 3(в), № 4(в).

Полный текст материала смотрите в скачиваемом файле.
На странице приведен только фрагмент материала.

Урок по алгебре в 9 классе на тему «Числовые и алгебраические выражения»

Название работы:«Практикум по решению заданий ГИА № 1,2,3,7,21».

Автор: Шатрова Наталья Викторовна

Место работы: муниципальное казенное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 6» городского округа город Фролово.

Предмет: алгебра.

Тема: «Числовые и алгебраические выражения».

Тип урока: урок повторения.

Продолжительность: 1 урок (45 минут).

Класс: 9.

Урок практикум по решению заданий ГИА № 1,2,3,7,21

Цели урока:

Совершенствовать вычислительные навыки.

Повторить действия с алгебраическими выражениями.

Повторить способы преобразования выражений.

Повторить свойства степени с натуральным показателем.

Повторить свойства арифметического квадратного корня.

Ход урока

1.Организационный момент.

Математика – это язык», — сказал наш великий соотечественник Николай Иванович Лобачевский. Разговаривая на математическом языке мы используем в качестве букв цифры (0, 1,…,9), строчные латинские буквы (а, в, с,….,х,у) , математические знаки (+, -, ∙, :), скобки, как знаки определяющие порядок действий.

Выражения – это слова математического языка. Они могут состоять из одного числа или одной буквы, а могут содержать несколько действий.

Знаки =, ≠, ≤, ≥, ˂, ˃ служат для записи фраз математического языка.

Выражения разделяются на числовые и буквенные (выражения с переменной, алгебраические).

2. Актуализация знаний.

Сегодня мы проводим урок-практикум по решению заданий ГИА № 1,2,3,7,21.

Элементы содержания, проверяемые заданиями № 1,2,3,21 по кодификатору:

1.Числа и вычисления

2.Алгебраические выражения

3. Координаты на прямой

Проверяемые требования (умения) в заданиях № 1,2,3,21 по кодификатору:

1.Уметь выполнять вычисления и преобразования.

1.1.Выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметическиедействия с рациональными числами, сравнивать действительныечисла; находить в несложныхслучаях значения степеней с целымипоказателями и корней; вычислять значениячисловых выражений; переходить от одной формы записи чисел к другой;

1.2.Округлять целые числа и десятичные дроби, находить приближениячисел с недостатком и с избытком, выполнять прикидку результатавычислений, оценку числовых выражений;

1.3.Изображать числа точками накоординатной прямой.

2.Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений.

2.1.Составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значения буквенных выражений, осуществляянеобходимые подстановки и преобразования;

2.2.Выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и алгебраическими дробями;

2.3.Выполнять разложение многочленов на множители;

2.4.Выполнять тождественные преобразования рациональныхвыражений;

2.5. Применять свойства арифметических квадратных корней дляпреобразованиячисловых выражений, содержащих квадратныекорни.

Ребята,вспомните какие бывают выражения.

ВЫРАЖЕНИЯ

С ПЕРЕМЕННЫМИ

ЧИСЛОВЫЕ

РАЦИОНАЛЬНЫЕ

СОДЕРЖАЩИЕ СТЕПЕНЬ

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ

ЦЕЛЫЕ

Данная таблица не полная, в старших классах вы будете изучать тригонометрические, логарифмические выражения.

3. Целеполагание и мотивация

Ребята, посмотрите на задания. Ответьте на вопрос: «Сможете ли вы решить их?» Каждый для себя выберите номера, которые вызывают затруднения при решении.

Учащиесяназывают номера, решение которых для них проблематично. Для каждого конкретного задания, выясняют, что необходимо знать, чтобы выполнить его правильно. В ходе беседы выяснили, что нужно повторить темы: сложение, вычитание, умножение, деление рациональных дробей, «Степень и ее свойства», «Арифметический квадратный корень и его свойства».

4. Повторение

Математический диктант потеме «Степень с натуральным показателем»

1. Степенью числа а (а/=0) с натуральным показателем n называют число______

2. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание _________, а показатели ____________. Если аⁿ∙ a ^m , то получим ________

3. Если аⁿ: а^m? То получим _________

4. При а/= 0, а⁰=_______ Степень числа а, неравного нулю, с нулевым показателем равна ________

5. При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый _______ и результаты ___________

6. При возведении степень в степень основание ________, а _________перемножают

Ответы: 1) аⁿ; 2) а^n+m; 3) а^{n — m}; 4) 1; 5) множитель, перемножают; 6)оставляют прежним, показатели. (Ответы на слайде)

Ребята, поднимите руки кто ответил на все вопросы верно. У кого не получилось ответить верно, вы можете прочитать в учебнике на странице 251.

Арифметический квадратный корень и его свойства повторили на доске.

4. Решение тренировочных упражнений, с последующей проверкой на доске отдельных номеров.

Числовые выражения

1. Найдите значение выражения  

2. Найдите значение выражения  

3.  Найдите значение выражения   .

4. Значение какого из данных выражений является наибольшим?

1)  2)  3)  4) 

Алгебраические выражения

5. Какое из следующих выражений равно ?

1) 2)  3)  4) 

6. Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

7. Упростите выражение    и найдите его значение при  .

5. Тест “Числовые и алгебраические выражения”

Часть А

Выберите один правильный ответ и запишите его номер в бланк ответов

А1

Значение какого выражения меньше 1?

1)

2)

3)

4)

А2

Найдите значение выражения  при a = — 0,7; с = — 0,3.

1) 2,5

2) – 2,5

3) 1

4) — 1

А3

Укажите выражение, которое имеет смысл при любом значении переменной

1) 

2) 

3) 

4) 

А4

В каком случае разложение на множители выполнено неправильно?

1) у²-25=(5+у)(у-5)

2) ху-2у=(х-2)у

3) 4-4х+х²=(2-х)²

4) х²+1=(х+1)²

А5

Каждому выражению поставьте в соответствие его значение:

А. 

Б. 

В. 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

1)  3,2

2)  1,75

3)  0,45

А6

Найдите значение выражения 

1) 

2) 

3) 

4) 180

Часть ВЗапишите в бланке только ответ

В1

Упростите выражение .

Ответ:_________________________

В2

Упростите выражение .

Ответ:__________________________

Часть СЗапишите ход решения и ответ на отдельном листе или на обороте бланка тестирования

С1

Сократите дробь

6.Подведение итогов урока.

Какую тему мы сегодня повторили? Какие задачи мы сегодня ставили? Наши задачи выполнены?

На следующем занятии мы продолжим работать по данной теме.

7.Домашнее задание.

Прочитать в учебнике стр.251 – 253. Решить тест.

Часть А. Выберите один правильный ответ и запишите его номер в бланк ответов

А1

Значение какого из выражений является числом рациональным?

1) 

2) 

3) 

4) 

А2

В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь  ?

1) 

2) 

3) 

4) 

А3

Какое из следующих выражений равно ?

1) 

2) 

3) 

4) 

А4

 Соотнесите обыкновенные дроби с равными им десятичными.

А. 

Б. 

В. 

Г. 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

1) 0,5

2) 0,02

3) 0,12

4) 0,625

А5

Запишите номера верных равенств.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1) 

2) 

3) 

4) 

Часть В. Запишите в бланке только ответ

В1

Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Ответ: ________________________________

В2

Упростите выражение , найдите его значение при ; . В ответ запишите полученное число.

Ответ: ________________________________

Часть С. Запишите ход решения и ответ на отдельном листе или на обороте бланка тестирования

С1

Упростите выражение   

С2

Один из корней уравнения    равен  . Найдите второй корень.

8.Рефлексия.

1. Тема и цель урока

2. а) Все получилось;

б) не все, но многое;

в) не все, но я буду пробовать еще.

3. а) Работал самостоятельно;

б) мне помогали немного;

в) мне помогали.

План-конспект урока (алгебра, 9 класс) по теме: Урок алгебры «Повторение: алгебраические выражения» 9 класс

Бекшаева Мария Николаевна

9 класс. Алгебра

Тема: «Повторение: алгебраические выражения»

Тип урока: закрепление и обобщение изученного материала

Методы:  беседа, фронтальный опрос, работы индивидуальные и в группах.

Цели: а) систематизировать знания учащихся за курс алгебры 7-9 класс, обобщить их знания и умения по данной теме, вспомнить и закрепить методы работы с алгебраическими выражениями: правила раскрытия скобок, правила умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, формулы сокращенного умножения, разложение многочлена на множители, действия над рациональными дробями;

б) воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям, дисциплинированности;

в) развитие аналитического и синтезирующего мышления, умений применять знания на практике, аккуратности, точности выполнения действий, самостоятельности;

Оборудование: презентация на тему «Повторение: алгебраические выражения», карточки с заданиями;

Конспект данного урока предназначен для двух занятий, объединенных в пару.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Постановка целей и задач урока. Актуализация знаний.

Тема «Алгебраические выражения» — одна из основных опорных линий в курсе алгебры. На ней основаны многие задачи математики: текстовые задачи, решение уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств, построение графиков парабол y=ax2+n и y=a(x – m)2 и другие. А также непосредственно на ней основаны часто встречающиеся в алгебре задания типа «Упростите выражение». Например,

Упростите выражение:    

Решите уравнение:          

Решите систему уравнений:  

Решите неравенство:            

Решите систему неравенств:

Задача: одна из сторон треугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую втрое, то периметр нового прямоугольника станет равным 240 см. Найдите стороны треугольника.

(все примеры из сборника Дьячкова А. К. «Готовимся к экзамену по алгебре»,2008, задания на 2 балла)

Поэтому целями нашей работы являются: вспомнить и закрепить методы работы с алгебраическими выражениями: правила раскрытия скобок, правила умножения одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, формулы сокращенного умножения, разложение многочлена на множители, действия над рациональными дробями;

Таким образом, мы с вами систематизируем и обобщим знания и умения по данной теме за курс алгебры 7-9 класса в целом.

Задачи урока: вспомнить и применить при решении тренировочных упражнений вышеперечисленные правила работы с алгебраическими выражениями.  

3. Повторение учебного материала.

1) Правила раскрытия скобок

Пример 1                                  

Правило! (проговорить устно) Если перед скобками стоит знак +, то можно опустить скобки и этот знак +, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

То есть фактически мы умножаем каждое слагаемое в скобках на +1.

       Пример 2                        

Правило! (учащиеся формулируют самостоятельно) Если перед скобками стоит знак — , то скобки опускаются, а слагаемые в скобках меняют свой знак на противоположный.

То есть фактически мы умножаем каждое слагаемое в скобках на -1.

Общее правило раскрытия в скобках

Устные примеры:                                   Ответы:

Примечание. Последний пример из сборника тестов «Алгебра 9 класс»,2007, часть А. В нем необходимо напомнить учащимся о правилах приведения подобных слагаемых.

Далее работа класса разбивается на параллельные задания: несколько более подготовленных учащихся вызываются к доске для решения примеров на применения формул сокращенного умножения пункт 3), остальные учащиеся работают с учителем устно 2).

2) Правило умножения одночлена на многочлен.

    Пример 3             

Правило! (учащиеся формулируют вместе с учителем). Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Правило умножения многочлена на многочлен.

Пример 4                    

Правило! (учащиеся формулируют самостоятельно). Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

3) Формулы сокращенного умножения.

   Трое учащихся у доски решают примеры по карточкам  на формулы сокращенного умножения квадрат суммы (разности), разности квадратов и суммы (разности) кубов двух выражений (формулы обозначены на слайдах). После учащиеся проговаривают правила данных формул. Карточки распределены по уровням сложности.

а) Квадрат суммы (разности) двух выражений

Правило! Квадрат суммы (разности) двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс (минус) удвоенное произведение первого на второе выражений, плюс квадрат второго выражения.

б) Разность квадратов двух выражений

Правило! Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на их разность.

в) Сумма (разность) кубов двух выражений

Правило! Сумма (разность) кубов двух выражений равна произведению суммы (разности) этих выражений и неполного квадрата их разности (суммы).

Задание (фронтальный опрос). Соедините линиями задания и ответы:

Задания:                                                  Ответы:

4) Разложение на множители

Ответить на вопрос: что общего в приведенных ниже примерах?

 Пример 5

 Пример 6    

 Пример 7

 Пример 8

Ответ: в ответах получаются произведения.

Определение. Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители.

Назвать, исходя из данных примеров, методы разложения многочлена на множители.

А) вынесение общего множителя за скобки

Б) способ группировки

В) с помощью формул сокращенного умножения

Г) формула разложения на множители квадратного трехчлена.

5) Действия над рациональными дробями        

 а) Сокращение дроби

б) Сумма и разность дробей.

Рассмотреть и решить следующие примеры и устно проговорить правила их решения.

      в) Произведение и частное дробей

Задание. Рассмотреть решение примера и найти ошибки.

Правильное решение оформить на доске

4. Тренировочные упражнения № 1000(а, в, д, ж), 1004(а, в, д)

№1000 учащиеся выполняют по вариантам: 1 вариант №1000(а, ж), второй — №1000(в, д), и двое учащихся на отворотах доски. Затем решения проверяются.

Решение №1000(а, в, д, ж).

№1004учащиеся решают по рядам: 1 ряд – а), 2 ряд – в), 3 ряд – д).

Ответы выбрать из предложенных выражений на слайде:

Решение № 1004(а, в, д)

№2 сборника Дьячкова А. К., часть 2, задания на 2 балла, стр. 42

Упростите выражение:

№3 Упростите выражение:

5. Итог урока

Задание на слайде: вставьте вместо пропусков такие одночлены, чтобы полученное равенство было тождеством. Учащиеся выполняют задания в тетрадях. При выполнении обмениваются тетрадями за партой, проверяют сделанные задания одноклассника, сверяясь с ответами на слайдах, выставляют оценку: если нет ошибок – оценка «5», 2 ошибки – «4», 3-4 ошибки – оценка «3», 5 и более ошибок – оценка «2».

Задания:        Ответы:

6. Учитель отвечает на вопросы учащихся в конце урока и оценивает их работу на уроке.

7. Домашнее задание п. 1-9, №1000(б, г, е, з), 1004(б, г, е).

Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Преобразование выражений

Математические модели задач могут содержать громоздкие выражения.

Чтобы решать уравнения, неравенства и их системы, нужно научиться упрощать такие выражения. Кроме того, упрощение необходимо для того, чтобы уменьшить количество операций для вычисления значения выражения как вручную, так и при помощи компьютерных алгоритмов.

На этом уроке мы вспомним все изученные ранее методы упрощения выражений и систематизируем их.

Начнем урок с целых алгебраических выражений. О них мы говорили в уроках 7 класса: («Числовые и алгебраические выражения», «Действия с числовыми и алгебраическими выражениями», «Одночлены», «Многочлены», «Формулы сокращенного умножения», «Разложение многочленов на множители»).

При упрощении таких выражений можно выделить два основных приема:

1. раскрытие скобок;
2. разложение на множители.

Чтобы раскрыть скобки, можно:

а) использовать распределительный закон один или несколько раз:

Например:

б) использовать готовые результаты раскрытия скобок – формулы сокращенного умножения (ФСУ), например формулу квадрата суммы:

Например:

Для разложения на множители можно применить следующие методы:

а) вынести общий множитель за скобки (использовать распределительный закон справа налево):

Например:

б) использовать метод группировки, поочередно вынося за скобки общие множители (то есть несколько раз применить вынесение общего множителя за скобки), например:

в) использовать ФСУ справа налево, например формулу разности квадратов:

г) для разложения на множители квадратного трехчл

Урок 1. числовые и алгебраические выражения. линейные уравнения и неравенства — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 1. Повторение 7-9. Числовые и алгебраические выражения. Линейные уравнения и неравенства

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

1. обобщение и систематизация знаний по алгебре 7-9;
2. повтор арифметики алгебраических выражений;
3. решение линейных уравнений и неравенств;
4. решение систем линейных уравнений и неравенств.

Основная литература:

1. Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.

2. Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни

Дополнительная литература:

1. Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.

2. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2000. 

Открытые электронные ресурсы:

1. Федеральный институт педагогических измерений. http://www.fipi.ru

1.Выражения

Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.

Логическая задача на классификацию

Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.

Пример 1.

Найдите значение выражения при a=0,01 и b=12:

1) 7a-(2a-(a-5)),

2)

3)

Решение:

1)7a-(2a-(a-5)) =7a-(2a-a+5) =7a-(a+5) =7a-a-5=6a-5;

6∙0,01-5=-4,94

2);

3)

3b-2a-3b=-2a-2a=-0,02

2.Линейное уравнение с одним неизвестным

Определение

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет

Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Пример 2.

Решите уравнение:

1) ,

2) |5x+7|=2.

Решение:

1),

3(3x+1)-5(2x-1)=7x+3,

9x+3-10x+5=7x+3,

-8x=-5 |:(-8),

x=0,625

Ответ: 0,625

Решим уравнение 2).

По определению модуля числа имеем 5x+7=±2.

Таким образом, либо 5x+7=2, откуда x=-1, либо 5x+7=-2, откуда x=-1,8. Получаем ответ: -1; -1,8.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Если a=0, b=0, то x – любое число.

Линейное уравнение с параметрами

Пример.

Решите уравнение (5x+7)n=x-m, где m и n – некоторые числа, x – неизвестное

Решение:

5x∙n+7n=x-m,

5xn-x=-m-7n,

x(5n-1)=-m-7n,

1)Если 5n-1≠0, то есть n≠0,2, то . Используя основное свойство дроби, получаем, что .

2)Если 5n-1=0, то есть n=0,2, то уравнение примет вид 0∙x=-m-1,4;

Тогда при m=-1,4 корнем уравнения будет любое число,

при m≠-1,4 уравнение не имеет корней.

Рассмотрим задачу 1.

От пристани А до пристани В катер плывет по реке 15 минут, а обратно 20 минут. Найти скорость течения реки, если собственная скорость катера 14 км/ч.

Для ее решения необходимо:

1.Провести ориентировку в тексте задачи.

1.1.Проанализировать условие и выявить данные (известные, дополнительные, скрытые).

1.2.Проанализировать вопрос задачи и выявить искомое.

1.3.Определить связи одноуровневые и межуровневые между данными и искомым.

1.4.Построить графическую схему, например, таблицу.

1.5.Установить в ней место искомого.

2.Спланировать способ решения задачи.

2.1.Подобрать метод, например, алгебраический.

2.2.Подобрать средства.

2.3.Подобрать действия для решения составленной математической модели.

3.Исполнить намеченный план решения и найти искомое.

4.Провести самоконтроль решения задачи, проверив, что найденное искомое не противоречит условию задачи.

5.Провести самооценку решения задачи.

6.Провести самокоррекцию выполненного решения задачи, если есть в том необходимость.

1 способ: Провести повторное решение задачи от начала до конца.

2 способ: Провести дополнительную деятельность для того, чтобы ответить на вопрос задачи.

3 способ: Решить задачу другим способом.

удовлетворяет условию

Ответ: 2км/ч.

3.Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .

Определение

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.

Пример 3.

Решите систему способом подстановки

Для этого необходимо:

1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.

2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.

3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.

5.Записать решение системы.

y=6x-4,

3x+5(6x-4)=13,

3x+30x-20=13,

33x=33,

x=1.

y=6∙1-4=2

(1;2) – решение системы

Ответ: (1;2)

Пример 4.

Решите систему способом сложения

Для этого необходимо:

1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.

2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.

3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.

4.Решить составленное уравнение.

5.Записать решение системы.

23x=69,

x=3,

2∙3+3y=3,

y=-1.

(3;-1) – решение системы

Ответ:(3;-1)

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если , то система имеет единственное решение.

Если то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Система линейных уравнений с параметром

Пример 5.

Решите систему уравнений с параметром a:

Решение:

Решим систему способом подстановки. Выразим y из первого уравнения системы: . Подставим выражение вместо y во второе уравнение системы:
(a-3)x+a((a+1)x-a)=-9 .

Решим полученное уравнение относительно x:
.

1. Если , то есть , то система имеет единственное решение. Найдем это решение: После сокращения получаем: . Найдем соответствующее значение y, подставив вместо x в формулу
. Получим . Итак, если , то – решение системы.

2. Если и , то есть a=-3, то система имеет бесконечно много решений. Найдем в этом случае решения системы. Для этого подставим a=-3 в первое уравнение системы. Получим уравнение -2x-y=-3, из которого выразим y: y=3-2x. Значит, (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы.

3. Если и , то есть a=1, то система не имеет решений.

Ответ: Если , то – решение системы;

если a=-3, то (x;3-2x), где x – любое число, — решения системы;

если a=1, то система не имеет решений.

4.Решение линейных неравенств с одним неизвестным

Определение

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax<b / ax>b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Определение

Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным

1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.

2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.

3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.

5.Системы линейных неравенств с одним неизвестным

Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Пример 6.

Решить неравенство 2x-8<5,2x-1,6.

Решение:

2x-8<5,2x-1,6,

2x-5,2x<-1,6+8,

-3,2x<-9,6,

x>3.

Ответ: x>3

Решение неравенства ax<b

Если a>0, то

Если a<0, то

Если a=0, b>0, то x – любое число

Если a=0, b≤0, то решений нет

Линейное неравенство с параметром

Пример 7.

Решите неравенство с параметром a:

a(2x-1)<ax+5

Решение:

2ax-a<ax+5,

ax<5+a.

Если a>0, то

Если a<0, то

Если a=0, то 0∙x<5 верно для любого x, так как 0<5. В этом случае решением неравенства является любое число x.

Ответ: Если a>0, то ; если a<0, то ; если a=0, то x – любое число.

Решить систему неравенств – это значит найти все решения системы или установить, что их нет.

Пример 8.

Решить систему неравенств

Решим первое неравенство системы:

2x-6>0, 2x>6, x>3.

Решим второе неравенство системы:

4x-20<0, 4x<20, x<5.

Отметим найденные решения неравенств на координатной прямой.

Оба неравенства системы верны при 3<x<5.

Пример 9.

Решите неравенство |3-2x|<7.

Данное неравенство означает то же что и двойное неравенство

-7<3-2x<7.

Вычтем 3 из каждой части двойного неравенства, получим

-10<-2x<4, откуда делением на -2 каждой части неравенства найдем

-2<x<5.

Глоссарий по теме:

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида ax<b / ax>b / ax≤b / ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем и .