Умножение степеней с одинаковыми основаниями . Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

 n — показатель степени,

— n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

По-иному: если а – любое число; n и k натуральные числа, то:

Отсюда правило 1:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Разъясняющие примеры:

1)

2)

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать: 

Доказательство основано на определении степени.

То есть 

Пример 1: Представьте в виде степени.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

а)  

б) 

в)

г)

д) 

е)

ж)

Здесь использовано обобщение:

з)

и)

к) 

л)

м) 

Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

а)  (по таблице)

б)

Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

а)  

б)

в)

г)

Пример 4: Определите знак числа:

, а – отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

По-иному:

Пример 5: Замените (·) степенью числа с основанием r:

Имеем  , то есть .

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Testent.ru (Источник).

3. Математика-повторение (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Представьте в виде степени:

а)      б)       в) г)        д)

2.  Вычислите:

а)

      б)  

3. Запишите в виде степени с основанием 2:

а)       б)

4. Определите знак числа:

а)

5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

а) r⁴ · (·) = r¹⁵;      б) (·) · r⁵ = r⁶

interneturok.ru

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

2³ = 2 · 2 · 2

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22 =	(2 · 2 · 2)	·	(2 · 2)	=	2 · 2 · 2 · 2 · 2	= 25
	3 множ.		2 множ.		5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

a^x · a^y = a^x+y

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n³n⁵

Решение:

n³n⁵ = n^{3 + 5} = n⁸

Пример 2. Упростите:

xy²z³x⁴y⁵z⁶

Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx⁴)(y²y⁵)(z³z⁶)

Теперь выполним умножение степеней:

(xx⁴)(y²y⁵

)(z³z⁶) = (x^{1 + 4})(y^{2 + 5})(z^{3 + 6}) = x⁵y⁷z⁹

Следовательно:

xy²z³x⁴y⁵z⁶ = x⁵y⁷z⁹

Пример 3. Выполните умножение:

а) n^xn⁵;      б) xxⁿ;      в) a^ma^m

Решение:

а) n^xn⁵ = n^{x + 5}              
б) xxⁿ = x^{n + 1}                
в) a^ma^m = a^{m + m} = a^2m

Пример 4. Упростите выражение:

а) —a² · (-a)² &middot a;      б) -(-a)² · (-a) &middot a

Решение:

а) —a² · (-a)² &middot a = —a² · a² &middot a = -(a²a²a) = -(a^{2 + 2 + 1}) = —a⁵
б) -(-a)² · (-a) &middot a = —a² · (-a) &middot a = a³ &middot a = a⁴

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n¹² : n⁵

где n – это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

Представим n¹² в виде произведения n⁷ · n⁵. Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n⁵:

n12	=	n7 · n5	=  n7
n5		n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n⁷ · n⁵ = n⁷⁺⁵ = n¹²

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

a^x : a^y = a^x-y

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а)	a5	;      б)	m18
	a		m10

Решение:

а)	a5	=	a4 · a	= a4
	a		a

б)	m18	=	m8 · m10	= m8
	m10		m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x⁷ : x²;      б) n¹⁰ : n⁵;      в) a³⁰ : a¹⁰

Решение:

а) x⁷ : x² = x^{7 — 2} = x⁵         
б) n¹⁰ : n⁵ = n^{10 — 5} = n⁵     
в) a³⁰ : a¹⁰ = a^{30 — 10} = a²⁰

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а)	an	;      б)	mx	;      в)	b5 · b8
	a2		m		b3

Решение:

в)	b5 · b8	=	b2 · b3 · b8	= b2 · b8 = b10
	b3		b3

naobumium.info

Степень — свойства, правила, действия и формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

aⁿ = a * a * a * …a_n.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

• 2³ = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4² = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5⁴ = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10⁵ = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10⁴ = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• aⁿ * a^m = (a)^(n+m);
• aⁿ : a^m = (a)^(n-m);
• (a^b ) ^m=(a)^(b*m).

Проверим на примерах:

2³ * 2² = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2⁵ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2³ : 2² = 8 / 4 =2. Иначе 2^3-2 = 2¹ =2.

(2³)² = 8² = 64. А если по-другому? 2⁶ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 3³ + 2⁴ = 27 + 16 = 43;
• 5² – 3² = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3)² = 2² = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)³ = 8³ = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них;
• затем возведение в степень;
• потом выполнять действия умножения, деления;
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a^m/n.
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ.
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A^(-n) = 1 / Aⁿ, 5^(-2) = 1 / 5² = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A^(-n) = Aⁿ, 1 / 2^(-3) = 2³ = 8.

А если дробь?

(A / B)^(-n) = (B / A)ⁿ, (3 / 5)^(-2) = (5 / 3)² = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A⁰ = 1, 1⁰ = 1; 2⁰ = 1; 3.15⁰ = 1; (-4)⁰ = 1…и т. д.

A¹ = A, 1¹ = 1; 2¹ = 2; 3¹ = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)²ⁿ⁺², n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A^m/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
• А˃1.

А^r1 ˂ А^α ˂ А^r2, r₁ ˂ r₂ – рациональные числа;

В этом случае наоборот: А^r2 ˂ А^α ˂ А^r1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r₁ – в этом случае равно 3;

r₂ – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1^π = 1.

А = 2, то 2³ ˂ 2^π ˂ 2⁴, 8 ˂ 2^π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)⁴ ˂ (½)^π ˂ (½)³, 1/16 ˂ (½)^π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

1001student.ru

Умножение и деление чисел со степенями

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней.

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=4², или 2⁴, 64=4³, или 2⁶, в то же время 1024=6⁴=4⁵, или 2¹⁰.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4²х4³=4⁵ или 2⁴х2⁶=2¹⁰, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2⁴х2²х2¹⁴=2²⁰.

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 2⁵:2³=2², что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2². Подведем итоги:

a^mх aⁿ=a^m+n, a^m: aⁿ=a^m-n, где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2³ и 2⁴, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2³х3², и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2⁵ и ни 3⁵ не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Умножение и деление степеней

Вопросы занятия:

·  познакомиться с правилами умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

Материал урока

На прошлом уроке мы с вами ввели понятие степени с натуральным показателем.

Например,

Определение.

Также вспомним, что:

Например,

Сейчас мы выясним, как умножать и делить степени с натуральным показателем.

Преобразуем выражение:

Вообще, для любого числа а и натуральных чисел m и n верно равенство:

Таким образом, можно сформулировать правило.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.

Например,

Теперь давайте рассмотрим выражение:

То есть, мы получили, что частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Вообще,

Сформулируем правило деления степеней.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Например,

Также, следует знать, что

Для закрепления нового материала выполним несколько упражнений.

Пример.

Пример.

videouroki.net

Как умножать степени | Алгебра

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

   

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

   

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

   

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

   

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

   

   

   

   

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

   

   

www.algebraclass.ru