Что происходит при умножении со степенями – «Как перемножить степени с разными основаниями в виде чисел? » – Яндекс.Знатоки

Умножение степеней с одинаковыми основаниями . Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

Основные определения:

Здесь a — основание степени,

 n — показатель степени,

n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:

По-иному: если а – любое число; n и k натуральные числа, то:

Отсюда правило 1:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Разъясняющие примеры:

1)

2)

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать: 

Доказательство основано на определении степени.

То есть 

Пример 1: Представьте в виде степени.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

а)  

б) 

в)

г)

д) 

е)

ж)

Здесь использовано обобщение:

з)

и)

к) 

л)

м) 

Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

а)  (по таблице)

б)

Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

а)  

б)

в)

г)

Пример 4: Определите знак числа:

, а – отрицательное, так как показатель степени при -13 нечетный.

По-иному:

Пример 5: Замените (·) степенью числа с основанием r:

Имеем  , то есть .

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Школьный помощник (Источник).

2. Testent.ru (Источник).

3. Математика-повторение (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Представьте в виде степени:

а)      б)       в) г)        д)

2.  Вычислите:

а)

      б)  

3. Запишите в виде степени с основанием 2:

а)       б)

4. Определите знак числа:

а)

5. Замените (·) степенью числа с основанием r:

а) r· (·) = r15;      б) (·) · r5 = r6

interneturok.ru

Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

23 = 2 · 2 · 2

Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

23 · 22(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
3 множ.2 множ.5 множ.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

ax · ay = ax+y

Примеры умножения степеней

Пример 1. Запишите в виде степени:

n3n5

Решение:

n3n5 = n3 + 5 = n8

Пример 2. Упростите:

xy2z3x4y5z6

Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

(xx4)(y2y5)(z3z6)

Теперь выполним умножение степеней:

(xx4)(y2y5

)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9

Следовательно:

xy2z3x4y5z6 = x5y7z9

Пример 3. Выполните умножение:

а) nxn5;      б) xxn;      в) amam

Решение:

а) nxn5 = nx + 5              
б) xxn = xn + 1                
в) amam = am + m = a2m

Пример 4. Упростите выражение:

а) —a2 · (-a)2 &middot a;      б) -(-a)2 · (-a) &middot a

Решение:

а) —a2 · (-a)2 &middot a = —a2 · a2 &middot a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = —a5
б) -(-a)2 · (-a) &middot a = —a2 · (-a) &middot a = a3 &middot a = a4

Деление степеней с одинаковыми основаниями

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

n12 : n5

где n – это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

Представим n12 в виде произведения n7 · n5. Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5:

n12 = n7 · n5 =  n7
n5n5

Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

n7 · n5 = n7+5 = n12

Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

ax : ay = ax-y

Примеры деления степеней

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

а) a5;      б) m18
am10

Решение:

а) a5 = a4 · a = a4
a a

б) m18 = m8 · m10 = m8
m10 m10

Пример 2. Выполните деление:

а) x7 : x2;      б) n10 : n5;      в) a30 : a10

Решение:

а) x7 : x2 = x7 — 2 = x5         
б) n10 : n5 = n10 — 5 = n5     
в) a30 : a10 = a30 — 10 = a20

Пример 3. Чему равно значение выражения:

а) an ;      б) mx ;      в) b5 · b8
a2mb3

Решение:



в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10
b3b3

naobumium.info

Степень — свойства, правила, действия и формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

  • 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
  • 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
  • 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
  • 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
  • 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь
1 1 1
2 4 8
3 9 27
4 16 64
5 25 125
6 36 216
7 49 343
8 64 512
9 81 279
10 100 1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  • an * am = (a)(n+m);
  • an : am = (a)(n-m);
  • (ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

  • 33 + 24 = 27 + 16 = 43;
  • 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3)2 = 22 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

  • при наличии скобок – начинать нужно с них;
  • затем возведение в степень;
  • потом выполнять действия умножения, деления;
  • после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
  2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
  4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.150 = 1; (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  • А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;
  • А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа;

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3;

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

1001student.ru

Умножение и деление чисел со степенями

Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней.

Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.Умножение и деление чисел со степенями

Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=42, или 24, 64=43, или 26, в то же время 1024=64=45, или 210.

Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 42х43=45 или 24х26=210, и каждый раз мы получаем 1024.

Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 24х22х214=220.

Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 25:23=22, что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 22. Подведем итоги:

amх an=am+n, am: an=am-n, где m и n — целые числа.

С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 23 и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 23х32, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 25 и ни 35 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Умножение и деление чисел со степенями Загрузка…

matemonline.com

Умножение и деление степеней

Вопросы занятия:

·  познакомиться с правилами умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями.

Материал урока

На прошлом уроке мы с вами ввели понятие степени с натуральным показателем.

Например,

Определение.

Также вспомним, что:

Например,

Сейчас мы выясним, как умножать и делить степени с натуральным показателем.

Преобразуем выражение:

Вообще, для любого числа а и натуральных чисел m и n верно равенство:

Таким образом, можно сформулировать правило.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.

Например,

Теперь давайте рассмотрим выражение:

То есть, мы получили, что частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Вообще,

Сформулируем правило деления степеней.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Например,

Также, следует знать, что

Для закрепления нового материала выполним несколько упражнений.

Пример.

Пример.

videouroki.net

Как умножать степени | Алгебра

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

   

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

   

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

   

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

   

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

   

   

   

   

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

   

   

www.algebraclass.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *