Углы и отрезки. Измерения. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Если есть два объекта рядом, то самое простое, что можно сделать, – это сравнить их друг с другом. Мы сразу отмечаем, что апельсин больше мандарина, а дорога через поле короче дороги в обход и т. д.

Но иногда сравнить объекты не так просто. Какой из домов больше (см. рис. 1)?

Рис. 1. Нет однозначного ответа, какой из домов больше

Один больше в ширину, другой в высоту. Вывод – мы сравниваем не сами объекты, а их конкретные характеристики. Например, высоту. У второго дома высота больше, чем у первого (см. рис. 2). А можно сравнить площади фасадов или объемы домов.

Рис. 2. Сравнение характеристик домов

Иногда нам достаточно простого сравнения: больше – меньше, длиннее – короче и т. д.

Но чаще нужна более точная оценка. В этом случае мы проводим измерения – сравнение с определенным стандартом (например, в двухлитровой бутылке находится вода, объем которой в 2 раза больше эталона (стандарта) – 1 литра).

На этом уроке мы поговорим об измерении отрезков и углов. В реальном мире не встретишь два абсолютно одинаковых объекта. Но в математике мы работаем с идеальными моделями (приближенными моделями реального мира). Поэтому можем пренебрегать несущественными отличиями и говорить о том, что в рамках решения данной задачи те или иные объекты можно считать одинаковыми.

Как мы уже говорили, геометрия – это инструмент описания формы объектов, поэтому начнем с определения равных геометрических фигур.

Понятно, что фигуры будут равными, если они совпадают по форме и по размерам.

Формальное определение звучит так: две фигуры называются равными, если одну можно наложить на другую так, что они при этом совпадут (см. рис. 3). Такое свойство называется конгруэнтностью.

Рис. 3. Равные фигуры

У нас пока есть три базовые фигуры, которым мы не давали определения: точка, прямая, плоскость.

Несложно убедиться, что при совмещении совпадут любые две точки, две прямые и две плоскости. Вывод: любые две точки (две прямые, две плоскости) являются равными фигурами.

Какие объекты можно сконструировать, используя три базовые фигуры? Самый простой способ: поставить на прямой точку, в результате мы получим две фигуры, которые называются лучами (см. рис. 4).

Рис. 4. Лучи

Луч – это часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее. Данная точка называется началом луча.

Понятно, почему эта фигура называется именно так: луч Солнца, луч фонарика – начало есть, а конца не видно – аналогия близкая.

Любые два луча можно совместить при наложении, поэтому они тоже будут равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Наложение лучей друг на друга

Если добавить на прямую еще одну точку, то они ограничат с двух сторон новую фигуру – отрезок.

Отрезок – часть прямой, состоящая из двух данных точек (концов отрезка) и точек, расположенных между ними (внутренние точки отрезка).

Рис. 6. Отрезок

До этого все фигуры одного вида оказывались равными между собой (из-за того, что их нельзя было измерить: прямая, плоскость, луч – бесконечно большие объекты, а точка – бесконечно малый объект). Отрезки принципиально отличаются, мы можем их сравнивать. Для этого ввели характеристику отрезка – длину.

Чтобы из двух человек выбрать более высокого, достаточно поставить их рядом (см. рис. 7).

Рис. 7. Сравнение роста людей

Так же мы сравниваем и длины отрезков: если при наложении отрезки совпадают – их длины равны, т. к. сами отрезки в этом случае, по определению, будут равными фигурами (см. рис. 8).

Рис. 8. Отрезки с одинаковыми длинами

Если при наложении один из отрезков полностью «умещается» внутри второго, то первый отрезок будет короче второго (его длина будет меньше).

Рис. 9. Отрезки с разными длинами

Можно переформулировать это следующим образом: отрезок  меньше (короче) отрезка , если он равен его части. В этом случае отрезок  будет больше (длиннее), чем отрезок .

Заметьте, что для сравнения отрезков знать их длину необязательно – достаточно иметь возможность их совместить. Когда же возникает потребность в измерении длины?

Вернемся к примеру с ростом. Поставить людей рядом можно не всегда. Как быть, к примеру, если они находятся в разных городах? Или если эти люди жили с разницей в несколько веков? В этом случае нужно сравнить рост людей с каким-то объектом, который находится «вне времени и пространства» и будет универсальным эталоном. 

В этом случае говорят, что мы выполняем измерение – сравнение с эталоном (т. е. единицей измерения). Фраза «рост человека 165 сантиметров» означает, что рост человека в 165 раз больше, чем длина эталона – отрезка длиной 1 сантиметр. Но как выбрали именно такой эталон?

Самое важное в измерении — это всеобщая договоренность. Мы все должны согласиться, что определенный предмет или его часть будет эталоном.

К примеру, раньше длину измеряли в локтях. Длина куска ткани составляет 7 локтей – означает, что длина куска в 7 раз больше, чем длина эталона – одного локтя (см. рис. 10).

Рис. 10. Измерение длины в локтях

Но у людей локти разные, поэтому разброс при таких измерениях может быть слишком большим.

В XVIII веке французские ученые разделили (на бумаге, конечно) парижский меридиан на 40 миллионов равных частей. Полученную часть назвали метром. Даже сделали металлический эталон, длина которого равна этому самому метру.

Система, где в качестве единицы измерения длины используется метр, называется метрической.

Длиной отрезка (в метрах) называется число, равное количеству раз, которое отрезок длиной метр помещается внутри данного отрезка (см. рис. 11).

Рис. 11. Длина отрезка, равная 7 метров

Например, дом высотой 7 метров (см. рис. 12).

Рис. 11. Высота дома, равная 7 метров

Если метр помещается в отрезке не целое число раз, то используются части метра: сантиметры (сотая часть метра: 1 метр = 100 сантиметров), миллиметры (тысячная часть метра: 1 метр = 1000 миллиметров, 1 сантиметр = 10 миллиметров).

Если длина объекта во много раз больше метра, то мы используем более крупную единицу измерения – километр (1 километр = 1000 метров).

Итак, для определения длины сначала нужно выбрать эталон – единичный отрезок (отрезок, длину которого мы будем считать равной 1). Необязательно давать этому отрезку название (метр, фут, локоть). Можно просто считать его длину равной 1 (если это не так важно для решения конкретной задачи, главное – контролировать, чтобы все величины, которые фигурируют в задаче, измерялись по одной шкале).

Длиной отрезка  называется то количество раз, которое единичный отрезок помещается внутри отрезка . Длина отрезка  может быть целым, дробным или даже иррациональным. Таким образом, длина отрезка может оказаться любым действительным положительным числом.

Число ПИ

Возьмем велосипедное колесо. Будем считать спицу единичным отрезком. Снимем с колеса шину и разрежем его – получим отрезок, равный длине окружности колеса (см. рис. 1).

Рис. 1. Получение отрезка, равного длине окружности колеса

Попробуем посчитать длину шины, т. е. длину окружности. Спица помещается  целых раз (см. рис. 2). Длина примерно равна  целых.

Рис. 2. Вычисление длины окружности с точностью до целых

Чтобы посчитать более точно, берем  единичного отрезка. Помещается  раза. Длина примерно равна  (см. рис. 3).

Рис. 3. Вычисление длины окружности с точностью до десятых

Теперь сотую, помещается  раз: длина примерно равна  (см. рис. 4).

Рис. 4. Вычисление длины окружности с точностью до сотых

Так можно продолжать сколь угодно долго. Мы будем получать все более и более точное значение длины окружности.

Если же говорить о точном значении числа, то мы его уже обсуждали – это . Длина окружности выражается следующим образом: , где  – радиус окружности.

Число Пи приблизительно равно  и имеет бесконечную непериодическую десятичную запись.

Длина отрезка – это число. А сравнивать числа мы уже умеем.

Теперь, чтобы ответить на вопрос «какой из двух отрезков больше», нам достаточно ответить на вопрос: «У какого из двух отрезков больше длина?».

Так, если мы знаем, что рост одного человека  см, а другого –  см, то нам уже не нужно ставить их рядом, чтобы сказать, что первый человек выше второго. Более того, мы можем вычислить, на сколько именно первый выше второго:  см.

Верно и обратное утверждение: рост более высокого человека, измеренный в сантиметрах, будет больше, чем рост более низкого.

Почему мы так долго говорим о длине именно отрезка? Ведь нам нужно измерять длины более сложных объектов. Дело в том, что любую кривую можно с разной степенью точности приблизить отрезками (см. рис. 12). Значит, научившись измерять длину отрезка, мы сможем измерять длину любой кривой.

Рис. 12. Приближение кривой отрезками

Мы рассматривали точку и две точки на прямой (луч и отрезок). Следующий шаг для получения новой фигуры – рассмотреть две прямые.

Возможны два варианта: прямые могут пересекаться и не пересекаться. Во втором случае прямые называются параллельными (прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются), подробнее об их свойствах мы поговорим на следующем уроке.

Пока рассмотрим две пересекающиеся прямые (см. рис. 13).

Рис. 13. Пересекающиеся прямые

В результате образуется 4 угла (см. рис. 14). Что такое угол понятно каждому: он есть у стола, у комнаты, у дома.

Рис. 14. Пересекающиеся прямые образуют 4 угла

Сформулируем строгое определение: угол – это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общую вершину (вершина угла) и частью плоскости между этим лучами.

Понятно, что есть и вторая часть плоскости. Она тоже ограничена этими лучами. Это тоже угол. Какой же угол имеется в виду, когда есть уже два луча? Обычно речь идет о том угле, который меньше. Но как сравнивать углы, как определить, какой из них меньше?

На пересечении двух прямых образуются 4 угла, но, на самом деле, можно говорить о двух парах углов (см. рис. 15). Почему это так, мы обсудим позже.

Рис. 15. Две пары углов, образованные пересекающимися прямыми

Важно отметить, что если мы наложим противоположные углы друг на друга (совместим вершины и один из лучей), то они совпадут (вторые лучи также совместятся) (см. рис. 16). Т. е., по определению равенства фигур, углы будут равны.

Рис. 16. Равные углы

Мы сказали про две пары углов, однако сразу можно выделить «особый» случай: когда образуется 4 равных угла (во всех остальных один угол будет меньше, другой – больше).

Такие прямые называются перпендикулярными (от лат. perpendicularis — «отвесный», по отвесу выравнивают стену дома, чтобы она не отклонялась ни вправо, ни влево, а была перпендикулярна земле), а образующиеся углы – прямыми (см. рис. 17).

Рис. 17. Равные углы, образованные перпендикулярными прямыми

Кроме прямых углов, выделяют еще несколько видов, которые удобно использовать для постановки различных геометрических задач.

1. Если два луча совпадают, то между ними не остается плоскости, такой угол называют нулевым (см. рис. 18).
2. При этом образуется и второй угол, который занимает всю плоскость. Такой угол называется полным (см. рис. 19).
3. Если лучи дополняют друг друга до прямой, то оба угла, которые образуются, называются развернутыми (см. рис. 20). Получается, что развернутый – это половина полного угла. А прямой угол – половина развернутого.
4. Любой угол меньше прямого будем называть острым. Острые углы могут быть от нулевого до прямого.
5. Любой угол больше прямого, но меньше развернутого будем называть тупым. Тупой угол может быть любым от прямого до развернутого.

Рис. 18. Нулевой угол

Рис. 19. Полный угол

Рис. 20. Развернутые углы

Чтобы определить, какой угол больше, а какой – меньше, поступим так же, как и с отрезками. Вот есть два угла, при наложении один занимает часть другого (см. рис. 21).

Рис. 21. Сравнение углов

Определение. Если первый угол равен части второго, то первый угол меньше второго.

Это определение согласуется с нашим жизненным опытом и здравым смыслом: если какой-то объект является частью другого объекта, то первый объект меньше, чем второй.

Как и в случае с отрезками, нам может быть недостаточно сравнения типа «больше – меньше». Поэтому углы тоже нужно измерять. Измерение – это сравнение с эталоном. Но измерение углов отличается от измерения отрезков (и большинства других величин в математике).

Обратите внимание, что длина отрезка может быть сколь угодно большой (у нее нет верхнего предела). Углы же, по сути, ограничены полным углом, т. е. для измерения углов есть верхний предел.

Есть и еще одно обстоятельство: величина угла не зависит от того, какую часть его сторон мы изобразим. Если рассмотреть угол, затем продлить его стороны и рассмотреть еще один угол (см. рис. 22), то они будут равными, т. к. у них совпадают вершины и лучи, образующие стороны.

Рис. 22. Величина угла не зависит от изображения его сторон

Поэтому договорились разделить полный угол на 360 равных частей и взять одну из них в качестве эталона. Эталонный угол назвали 1 градус (обозначается ). Теперь измерение угла – это сравнение с эталоном: сколько раз в нем поместится угол в 1 градус (см. рис. 23).

Рис. 23. Измерение угла

Почему именно на 360? Так сложилось исторически, никакой принципиальности в этом нет. За 1 градус могли обозначить  или  часть полного угла. Главное, чтобы эту договоренность признали все и единица измерения была универсальной. С  так и произошло.

Теперь мы можем сказать, что полный угол – это , развернутый – , прямой –

Прямая и отрезок. Луч и угол.

Мы начинаем изучать новый предмет — геометрию.

В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» (гео — земля, метрео — мерить). Это одна из самых древних наук.

Зарождение геометрии было связано с необходимостью определять размеры участков земли, ориентироваться по расположению звёзд на небе, строить  здания и сооружения. В результате такой деятельности накопилось много правил, связанных с геометрическими построениями и измерениями, и геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур.

На уроках математики вы познакомились с такими геометрическими фигурами как:

Школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства уже известных вам фигур на плоскости, таких, как отрезок, прямоугольник, треугольник:

В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве. Примерами таких фигур являются параллелепипед, шар, цилиндр:

Мы начнём изучение геометрии с планиметрии.

Давайте поговорим о точках, прямых и отрезках. Точки обозначаются большими латинскими буквами:

Прямые обычно обозначаются малыми латинскими буквами. Прямая не имеет толщины и ширины, простирается неограниченно в обе стороны. Туго натянутая нить даёт нам представление о прямой:

Часть прямой а, ограниченная двумя точками А и В (Б), называется отрезком. Точки А и В, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Такой отрезок обозначается АВ или ВА.

Поговорим о свойствах прямой. Возьмём некоторую прямую а, точки А и В, которые лежат на прямой а, и точки C и D, которые не лежат на этой прямой. Другими словами можно сказать, что прямая проходит через точки А и В, но не проходит через точки C и D. Отметим, что через точки А и В нельзя провести другую прямую, которая не совпадала бы с прямой а:

Таким образом, можно сформулировать следующее свойство:

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Рассмотрим теперь две прямые. Если прямые а и b имеют одну общую точку О, то говорят, что они пересекаются в этой точке. А вот прямые p и q не пересекаются:

Любые две прямые могут иметь не более одной общей точки. Так как иначе, исходя из сформулированного выше свойства, они будут совпадать. Таким образом, можно сделать вывод: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Поговорим о луче. Проведём прямую а и отметим на ней точку О. Эта точка разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О. Точка О называется началом каждого из лучей:

Обозначаются лучи обычно либо малой латинской буквой, например, луч h, либо двумя большими латинскими буквами, например, луч ОА. Как видите, первая буква О — начало луча, вторая точка А — произвольная точка на луче:

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла:

Изобразим угол с вершиной О и сторонами h и k. На сторонах отметим точки А и В, тогда данный угол можно обозначить как угол hk, или угол АОВ, или просто угол О:

Углы могут быть развёрнутыми и неразвёрнутыми. Рассмотрим развёрнутый угол pq с вершиной С:

Обе стороны такого угла лежат на одной прямой. Можно сказать, что каждая сторона развёрнутого угла является продолжением второй. Отметим, что угол разбивает плоскость на две части. У неразвёрнутого угла одна часть называется внутренней областью угла, а другая — внешней.

А если же угол развёрнутый, то любую из его частей можно считать внутренней:

Следует помнить, что фигуру состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

В заключении рассмотрим следующее. Возьмём некоторый неразвёрнутый угол АОВ, проведём внутри угла из его вершины луч ОС:

Получим два угла: угол АОС и угол СОВ. Если же взять развёрнутый угол АОВ, то любой луч ОС, не совпадающий с лучами ОА и ОВ, делит этот угол на два угла АОС и СОВ.

Луч и угол, измерение и сравнение углов

Луч

Определение понятия луча базируется на двух основных понятиях геометрии: точке и прямой. Возьмем произвольную прямую и выберем на ней произвольную точку. Такая точка будет разделять эту прямую две части (рис. 1).

Определение 1

Лучем будет называться часть прямой, которая ограничена какой-либо точкой на этой прямой, но только с одной стороны.

Определение 2

Точка, которой ограничен луч в рамках определения 1 называется началом этого луча.

Замечание 1

отметим, что угол, который получался на рисунке 1 называется развернутым.

Луч будем обозначать двумя точками: началом его и другой любой произвольной точки на нем. Отметим, что здесь, в обозначении, важен порядок обозначения этих точек. На первом месте всегда ставим именно начало луча (рис. 2)

Понятие луча связано со следующей аксиомой геометрии:

Аксиома 1: Любая произвольная точка на прямой будет делить ее на два луча, причем любые произвольные точки одно и того же из них будут лежать с одной стороны от этой точки, а две точки из разных лучей – по разные стороны от этой точки.

С понятием луча и отрезка также связана следующая аксиома.

Аксиома 2: От начала любого луча может быть отложен отрезок, который равен заведомо данному отрезку, причем такой отрезок будет единственен.

Угол

Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда

Определение 3

Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало.

Определение 4

Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла.

Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 3).

С понятием луча и угла также связана следующая аксиома.

Аксиома 3: От любого произвольного луча может быть отложен угол в определенную полуплоскость, который равен заведомо данному углу, причем такой угол будет единственен.

Сравнение углов

Рассмотрим два произвольных угла. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными.

Итак, для сравнения выбранных нами углов (обозначим их угол 1 и угол 2) наложим вершину угла 1 на вершину угла 2, так, чтобы, по одному из лучей этих углов наложились друг на друга, а другие два были по одну сторону от этих лучей. После такого наложения возможны два следующих случая:

1. Вторые лучи этих углов также совпадут. В таком случае мы получим, что такие углы будут равны друг другу (рис. 4).

2. Вторые лучи не совпадут. Здесь, без ограничения общности, будем считать, что луч угла 1 будет лежать внутри угла 2. Тогда здесь мы говорим, что данные углы не равны, причем угол 1 меньше угла 2 (рис. 5).

Величина угла

Помимо сравнения одних углов с другими также часто необходимо измерение углов. Измерить угол означает найти его величину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти.

Самым простым способом измерения величины углов является измерение с помощью транспортира.

Пример 1

Найти величину следующего угла:

Решение.

Используем транспортир:

Получим

Ответ: $30^0$.

После определения величины углов у нас появляется второй способ для сравнения углов. Если при одном и том же выборе единицы измерения угол 1 и угол 2 будут иметь одинаковую величину, то такие углы будут называться равными. Если же, без ограничения общности, угол 1 будет иметь величину по числовому значению меньше величины угла 2, то угол 1 будет меньше угла 2.

Виды углов

Определение 5

Угол называется острым, если он меньше $90^0$.

Определение 6

Угол называется тупым, если он больше $90^0$.

Определение 7

Угол называется развернутым, если он равен $180^0$.

Определение 8

Угол называется прямым, если он равен $90^0$.

Пример 2

Определить виды следующих углов:

Решение.

Из определений 5-8, получим.

Ответ:

1. тупой.
2. развернутый.
3. прямой.
4. острый.

Что такое отрезок, луч,угол,окружность,радиус,диаметр,хорда,биссектриса угла ?

отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками луч — часть прямой, ограниченная одной точкой угол — геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от центральной точки радиус -отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности диаметр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности, но не проходящий через центр окружности биссектриса угла — прямая, исходящая из вершины угла и делящая его пополам.

Геометрические тела

А в учебнике об это разве не написано ничего?